27
UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti Valna funkcija Vremenska ovisnost () d p x wx ³

Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

  • Upload
    others

  • View
    7

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

UVOD U KVANTNU MEHANIKU

Princip neodređenosti

Gustoća vjerojatnosti

Postulati kvantne mehanike

Operatori Mjerne vrijednosti

Valna funkcija Vremenskaovisnost

( ) dp x w x

Page 2: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

Princip neodređenosti

2xp x h

Page 3: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

difrakcijski uzorak

DIFRAKCIJAPrincip neodređenosti

pozitiv

Page 4: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

zrake pribiližno paralelne(fotofilm daleko od pukotine)

zrake nisu paralelne(fotofilm blizu pukotine)

fotofilm

destruktivna interferencija u točki PPrincip neodređenosti

Page 5: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

sin2 2a

a

Princip neodređenosti

Page 6: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

elektroni

komponente količine gibanja elektrona, px i py

p

fotofilm

pukotina

difrakcijskiuzorakdifrakcijski uzorak

sinyp i

pur sin

a

yp pa

ur

(85 % elektrona)

Princip neodređenosti

y

x

Page 7: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

- pogreška u y komponentipoložaja elektrona ( y)

yhp p p h

a a p

ur urur

0yp

- najmanja pogreška y komponente količine gibanjayp

( )hp

( )2y yp y h p y h

Princip neodređenosti

2( )( )y i y i

y

p p Np

N

2( ( ) ) iy i y Ny

N

( )y yp p i (odabir-elektroni koji pogađaju ekran u prvomminimumu)

STVARNO:

a

Page 8: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

pukotina 1

pukotina 2

elektroni

difrakcijski uzorak (shematski prikaz intenziteta)

fotofilm 28 elektrona

1000 elektrona

10 000 elektrona

Princip neodređenosti

Page 9: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

(a)velika neodređenost količine gibanja(mala neodređenost položaja)

nemoguće

Princip neodređenosti

(a)

(b) velika neodređenost položaja(mala neodređenost količine gibanja, odnosno valne duljine)

(b)

Page 10: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

2yp y h

2E t h

Prirodna širina linija u apsorpcijskom spektru:kratko i dugo živuća stanja.

Princip neodređenosti

Page 11: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

Princip neodređenosti

POSLJEDICE:

Deterministički opis mikroskopskih sustava (poznati položaj i količina gibanja čestice u svakom trenutku) valja napustiti.

Kvantnomehanički opis mikroskopskih sustava temelji se na postulatima

kvantne mehanike koji omogućavaju izračun očekivanih vrijednosti fizikalnih

veličina (brzine, energije, količine gibanja čestica)

Page 12: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

PRIMJERI

1. Brzina metka mase 1,0 g poznata je unutar intervala 1,0.10-6 m/s.Izračunajte minimalnu nesigurnost u položaju metka na putanji leta.

2. Brzina protona iznosi 350 km/s.Nesigurnost količine gibanja procijenjena je na 0,01 %.Izračunajte minimalnu nesigurnost u položaju protona.

3. Elektron se nalazi unutar atoma promjera 100 pm.Procijenite minimalnu nesigurnost brzini elektrona ako je neodređenost položaja reda veličine radiusa atoma.

Princip neodređenosti

Page 13: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

Valna funkcija i Schrödingerova jednadžba

1d

,ˆ ,q t

H q t it

h

Page 14: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

Postulati kvantne mehanike

Operatori Očekivanevrijednosti

Valna funkcija Vremenskaovisnost

( , )q t

Kontinuirana

Integral konačanKonačna funkcija

Konačna vrijednost prve derivacije

Jednoznačna

Page 15: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

Valna funkcija

Nije kontinuirana (i prva derivacija)(a i b)

Nije jednoznačna (c)

Nije konačna (d)

Page 16: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

Bornova interpretacija valne funkcije

Funkcija Ψ nema fizikalno značenje

Valna funkcija

područje visokekinetičke energije

područje niskekinetičke energije

Page 17: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

NORMIRANOST VALNE FUNKCIJE

Rubni uvjeti

Valna funkcija

g

Valna funkcijaValna funkcija (Ψ)

gustoća vjerojatnosti (Ψ2)

vjerojatnost

1d

Rubni uvjeti

Page 18: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

1. Kretanje čestice u jednoj dimenziji: sin x

PRIMJERI FUNKCIJA Valna funkcija

Page 19: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

2. Vibracija čestice: xn exp(-ax2)

PRIMJERI FUNKCIJA Valna funkcija

Page 20: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

Postulati kvantne mehanike

Operatori Mjerne vrijednosti

Valna funkcija Vremenskaovisnost

ˆ

Matematička uputa kako djelovati na valnu funkciju da bi se izračunala neka vrijednost fizikalne veličine

- linearni- međusobno usklađeni

Operatori

Page 21: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

Linearni operatori

Djelovanje operatora prikazujemo:

Za linearne operatore vrijedi:

1 1ˆ ˆc c

1 2ˆ

1 2 1 2ˆ ˆ ˆ

1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ

1 2 3 1 2 3 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

Zakon komutacije

ˆ ˆˆ ˆFG GF

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ,F G FG GF

ˆˆ , 0F G

ˆˆ , 0F G

Operatori

Page 22: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

Tablica 2.1 Osnovni kvantnomehanički operatori u koordinatnoj reprezentaciji.

Veličina Kvantnomehanički

Naziv Simbol operator

koordinata x ˆ x x

količina gibanja, impuls

px ˆ p x ih

x

Tablica 2.2 Neki izvedeni kvantnomehanički operatori.

Veličina Kvantnomehanički

Naziv Simbol operator

potencijalna energija (1-D)

V V (x) V (x)

kinetička energija (3-D)

T

ˆ T h2

2m

2

x2

2

y2

2

z2

ukupna energija za česticu u 3-D prostoru*

E ˆ H

h2

2m2 V(x,y,z)

komponente kutne količine gibanja, impulsnog momenta

Lx

Ly

Lz

ˆ L x ih r y zrz y

ˆ L y ih rz xr x z

ˆ L z ih r x yr y x

Operator ukupne energije:Hamiltonov operator ili hamiltonijan

Operatori

Page 23: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

Postulati kvantne mehanike

Operatori Mjerne vrijednosti

Valna funkcija Vremenskaovisnost

ˆi i i

ˆ d

d

ˆ d

sustav opisan funkcijom

- očekivana kvantnomehanička vrijednost veličine

- operator veličine

n-struko DEGENERIRANO STANJE- n funkcija pripada istoj svojstvenoj vrijednosti

ˆ

Page 24: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

Postulati kvantne mehanike

Operatori Mjerne vrijednosti

Valna funkcija Vremenskaovisnost

,ˆ ,q t

H q t it

h

,q t q t

Vremenski nezavisna Schrödingerova jednadžbaH q E q

d ( ) ( )d

t Ei tt h

Page 25: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

Teoremi kvantne mehanike

Ortogonalne funkcije:valne funkcije koje pripadajurazličitim svojstvenimvrijednostima operatorajedne dinamičke veličine.

1 2 2 1 0d d

Operatori koji komutiraju:moguće je naći valne funkcijekoje su istovremenosvojstvene funkcijeoba operatora (npr. p i E)

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆ, 0

A B AB BA

A B

Page 26: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

Schrödingerova jednadžba

HΨ E

1. Napisati klasičan hamiltonijan

2. Pretvoriti klasični hamiltonijan u kvantnomehanički operator

3. Postaviti Schrödingerovu jednadžbu

4. Riješiti Schrödingerovu jednadžbu

i. Rješenja Schrödingerove jednadžbe: beskonačan broj funkcija

ii. Nisu sve funkcije dobre valne funkcije (uvjeti!)

iii. Sve rješenja nemaju fizikalno značenje.

iv. Rješenja moraju zadovoljavati rubne (granične) uvjete.

Page 27: Gustoća vjerojatnosti p() d xwx ³ - unizg.hr1].pdf · UVOD U KVANTNU MEHANIKU Princip neodređenosti Gustoća vjerojatnosti Postulati kvantne mehanike Operatori Mjerne vrijednosti

Pitanja za ponavljanje (uvod u kvantnu mehaniku)

1. Kako glasi načelo neodređenosti?

3. Što je valna funkcija?4. Kakva svojstva mora imati funkcija stanja?5. Bornova interpretacija valne funkcije.6. Što su rubni uvjeti?7. Zašto valna funkcija mora biti normirana?8. Što su rješenja Schrödingerove jednandžbe?9. Što su svojstvene funkcije u Schrödingerovoj jednadžbi?10. Što su svojstvene vrijednosti u Schrödingerovoj jednandžbi?11. Što je Hamiltonijan?