Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o.

Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PODPOROVÁNA ICT“

IV/2-2-2-06 ARITMETICKÁ POSLOUPNOST

MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA – FUNKCE II

Autor: Mgr. Alexandra Bouchalová

Zpracováno dne 14. 9. 2013

Úloha 1

Aritmetická posloupnost 2

Zapište následující posloupnosti rekurentně.

Určete, co mají první tři posloupnosti společného.

a) 2, 4, 6, 8, 10, 12 d) 2, 4, 8, 16, 32, 64

b) 2, 1, 0, –1, –2, –3

c) 5, 9, 13, 17, 21, 25

a) a1 = 2, an+1 = an + 2

b) a1 = 2, an+1 = an – 1

c) a1 = 5, an+1 = an + 4

b) a1 = 2, an+1 = 2 an

an+1 = an + d

Každý člen posloupnosti

počínaje druhým získáme tak, že k předchozímu

přičteme d.

Definice aritmetické posloupnosti (AP)

Aritmetická posloupnost 3

Posloupnost se nazývá aritmetická, právě když

existuje takové reálné číslo d, že pro každé n N je

an+1 = an + d.

Definice

d = an+1 – an d – diference aritmetické posloupnosti

K jednoznačnému určení AP stačí znát pouze a1 a d.

n-tý člen AP

Aritmetická posloupnost 4

Vyjádřete vztah pro n-tý člen AP pomocí jejího prvního členu a1

a diference d.

...

a1 a2 a3 a4 an. . .

a2 = a1 + d

+d +d +d

a3 = a1 + 2d

a4 = a1 + 3d. . . +d

an = a1 + (n – 1)d Dokažte MI

Vztah mezi r-tým a s-tým členem AP

Aritmetická posloupnost 5

a1 a2 a3 a4 ar. . .

+d +d +d . . . +d

an = a1 + (n – 1)d

as. . .

. . . +d

. . .

as = a1 + (s – 1)d

ar = a1 + (r – 1)d

as – ar = a1 + (s – 1)d – [a1 + (r – 1)d] = sd – rd = (s – r)d

as = ar + (s – r)d

Součet sn prvních n členů AP

Aritmetická posloupnost 6

Určete součet prvních 10 členů posloupnosti všech přirozených

čísel.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10+ + + + + + + + +

1 2 9 3 8 4 7 5 6+ + + + + + + + +10

s10 = 5(1 + 10) s10 = 55

Součet sn prvních n členů posloupnosti

Aritmetická posloupnost 7

Pro součet sn prvních n členů aritmetické posloupnosti platí

Určete počet všech lichých přirozených čtyřciferných čísel.

Jaký je jejich součet?

a1 = 1001, an = 9999, d = 2, sn = ?, n = ?

an = a1 + (n – 1)d n = 4500 s4500 = 2250(1001 + 9999)

s4500 = 24 750 000

Použitá literatura

Literatura

JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet (I). 7. vyd. Praha: Československá akademie věd, 1984. ISBN 104-21-852.

JARNÍK, Vojtěch. Integrální počet (2). 3. vyd. Praha: Československá akademie věd, 1984. ISBN 104-21-852.

KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN 978-808-6873-053.

ODVÁRKO, Oldřich, Miloš BOŽEK a Marta RYŠÁNKOVÁ. Matematika: pro II. ročník gymnázií.1. vyd. Praha: SPN, 1985. ISBN 14-499-85.

ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Funkce. 4. vyd. Praha: Prometheus, 2008, 168 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-357-8.

ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Posloupnosti a řady. 3. vyd. Prometheus, 2008. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-391-2.

PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998. ISBN 978-807-1960-997.

VOCELKA, Jindřich. Maturujeme jinak. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2001. ISBN 80-719-6221-X.

Aritmetická posloupnost

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem

„VÝUKA NA GYMNÁZIU PODPOROVÁNA ICT“

SOUBOR PREZENTACÍ MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA