H , tên thí sinh: Trường: PRO X CHO TEEN 2K1 – DUY NHẤT TẠI … · 2018-06-14 · Như vậy, một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROXCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1


MỐI QUAN HỆ GIỮA CỰC TRỊ VÀ ĐẠO HÀM CẤP 1 ĐẠO HÀM CẤP 2 (ĐỀ 01)

*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn

Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại www.vted.vn Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Mã đề thi 132

Họ, tên thí sinh:..................................................................... Trường: ........................................... PRO X CHO TEEN 2K1 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Đăng kí khoá học tại đây: https://goo.gl/DNXWvS

(1) Mối quan hệ giữa cực trị và đạo hàm của hàm số Định lí. Nếu hàm số y = f (x) đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f (x) có đạo hàm tại x0 thì

′f (x0 ) = 0. • Điều ngược lại có thể không đúng, tức có thể ′f (x0 ) = 0 nhưng hàm số f (x) không đạt cực trị

tại x0.

Chẳng hạn như hàm số y = x3, y = x5. • Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

Chẳng hạn như hàm số y = x , y = x (x + 2).

Như vậy, một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

• Điều kiện cần để hàm số f đạt cực trị tại x0 là hàm số có đạo hàm triệt tiêu tại x0 hoặc hàm số không có đạo hàm tại x0.

• Điều kiện đủ: Định lí. Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a;x0 ) và (x0;b). Khi đó

• Nếu ′f (x) < 0,∀x∈ (a;x0 ) và ′f (x) > 0,∀x∈ (x0;b) thì hàm số f (x) đạt cực tiểu tại điểm x0. • Nếu ′f (x) > 0,∀x∈ (a;x0 ) và ′f (x) < 0,∀x∈ (x0;b) thì hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm x0.

Nói một cách khác: (2) Mối quan hệ giữa điểm cực trị và đạo hàm cấp hai của hàm số Định lí. Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm đến cấp hai tại x0 và ′f (x0 ) = 0, ′′f (x0 )≠ 0 thì x0 là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa,

• Nếu ′′f (x0 ) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu. • Nếu ′′f (x0 ) < 0 thì x0 là điểm cực đại.

Trong trường hợp ′′f (x0 ) = 0 thì chưa thể khẳng định được x0 là điểm cực trị của hàm số hay không. Chứng minh. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 , ′f (x0 ) = 0 và ′′f (x0 ) < 0. Khi đó, theo định nghĩa đạo hàm cấp hai, ta có

2 BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROXCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


′′f (x0 ) = lim

x→x0

′f (x)− ′f (x0 )x− x0

= limx→x0

′f (x)x− x0

< 0.

Do đó tồn tại số h > 0 sao cho [x0−h;x0 + h]⊂ (a;b) và

′f (x)x− x0

< 0 với mọi x∈ (x0−h;x0 + h) \{x0}.

• Vì x− x0 < 0,∀x∈ (x0−h;x0 ) nên ′f (x) > 0,∀x∈ (x0−h;x0 ). • Vì x− x0 > 0,∀x∈ (x0;x0 + h) nên ′f (x) < 0,∀x∈ (x0;x0 + h).

Vậy ′f (x) đổi dấu từ dương qua âm khi qua x0. Do đó hàm số f đạt cực tiểu tại x0. Tương tự, hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 , ′f (x0 ) = 0 và ′′f (x0 ) > 0. Hàm số f đạt cực đại tại x0. Chú ý. Định lí này thường được sử dụng để nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số cho các hàm số có chứa lượng giác và hàm có chứa căn thức (khi việc xét dấu của đạo hàm khó khăn). Câu 1. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = ′f (x) như hình vẽ bên. Hỏi hàm số y = f (x) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Câu 2. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = ′f (x) như hình vẽ bên.

Hỏi hàm số y = f (x) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Câu 3. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = ′f (x) như hình vẽ bên.



Hỏi hàm số y = f (x)− x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 1. D. 5. Câu 4. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = ′f (x) như hình vẽ bên.

Hỏi hàm số y = f (x) có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Câu 5. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = ′f (x) như hình vẽ bên.

Hỏi điểm cực đại của hàm số y = f (x)− x là ? A. x =1. B. x = 0. C. x = 2. D. x =−1. Câu 6. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = ′f (x) như hình vẽ bên.



Đồ thị của hàm số y = 2 f (x)+ (x +1)2 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 4. B. 2. C. 3. D. 0. Câu 7. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = ′f (x) như hình vẽ bên.

Hỏi đồ thị của hàm số y = f (x) có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. Câu 8. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = ′f (x) như hình vẽ bên.

Đồ thị của hàm số y = 3 f (x)−7x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 0. C. 1. D. 3. Câu 9. Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. Nếu x0 là nghiệm của phương trình ′f (x) = 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số. B. Nếu hàm số f (x) đạt cực trị tại x0 thì hàm số có đạo hàm tại x0. C. Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. D. Nếu hàm số f (x) đạt cực trị tại x0 thì ′f (x0 ) = 0. Câu 10. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm ′f (x) xác định trên !. Đồ thị của hàm số y = ′f (x) như hình vẽ bên.



Hỏi hàm số y = f (x2 ) có bao nhiêu điểm cực đại và điểm cực tiểu ? A. 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu. B. 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại. C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. D. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại. Câu 11. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = ′f (x) như hình vẽ bên.

Hỏi điểm cực tiểu của hàm số y = f (x)− x là ? A. x =1. B. x = 0. C. x = 2. D. x =−1. Câu 12. Cho hàm số y = x3−3x. Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. Cực đại của hàm số là 2. B. Cực đại của hàm số là −1. C. Cực đại của hàm số là −2. D. Cực đại của hàm số là −2. Câu 13. Cho hàm số y = f (x) có ′f (x) = x2(x + 2). Hỏi số điểm cực trị của hàm số y = f (x) là ? A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Câu 14. Cho hàm số y = f (x) có ′f (x) = x2(x−1)(x + 2). Hỏi số điểm cực trị của hàm số y = f (x) là ? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Câu 15. Cho hàm số y = f (x) có ′f (x) = x2(x + 3)2. Hỏi số điểm cực trị của hàm số y = f (x) là ? A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Câu 16. Hỏi cực đại của hàm số y = x3−3x + 2 là ? A. 1. B. −1. C. 4. D. 0. Câu 17. Hỏi điểm nào dưới đây là điểm cực đại của hàm số y = 2sin2x?



A. x =π4

+ k π2

. B. x =

3π4

+ kπ. C. x =π4

+ kπ. D. x =

3π4

+ k π2

.

Câu 18. Hỏi điểm nào dưới đây là điểm cực tiểu của hàm số y = 2sin2x?

A. x =π4

+ k π2

. B. x =

3π4

+ kπ. C. x =π4

+ kπ. D. x =

3π4

+ k π2

.

Câu 19. Cho hàm số y =

13

x3− x2−3x +43

. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. Cực tiểu của hàm số 3. B. Cực tiểu của hàm số là −1.

C. Cực tiểu của hàm số là −

233

.

D. Cực tiểu của hàm số là −9. Câu 20. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) và điểm x0 thuộc khoảng (a;b). Xét các mệnh đề sau:

I. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f (x) thì ′f (x0 ) = 0. II. Nếu f (x)≥ f (x0 ),∀x∈ (a;b) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f (x). III. Nếu f (x) < f (x0 ),∀x∈ (a;b) \{x0} thì x0 là điểm cực đại của hàm số f (x). IV. Nếu x0 là điểm cực đại của hàm số f (x) thì ′′f (x0 ) < 0.

Số mệnh đề đúng là ? A. 4. B. 2. C. 1. D. 0.

Câu 21. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) và điểm x0 thuộc khoảng (a;b). Xét các mệnh đề sau: (1) Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f (x) thì ′f (x0 ) = 0. (2) Nếu ′f (x0 ) = 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số f (x). (3) Nếu ′f (x) > 0,∀x∈ (a;x0 ) và ′f (x) < 0,∀x∈ (x0;b) thì x0 là điểm cực đại của hàm số f (x). (4) Nếu ′f (x) < 0,∀x∈ (a;x0 ) và ′f (x) > 0,∀x∈ (x0;b) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f (x). (5) Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f (x) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x) tại điểm (x0; f (x0 )) song song hoặc trùng với trục hoành. Số mệnh đề đúng là ? A. 5. B. 3. C. 4. D. 2. Câu 22. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) và điểm x0 thuộc khoảng (a;b). Xét các mệnh đề sau: (1) Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f (x) thì ′f (x0 ) = 0. (2) Nếu ′f (x0 ) = 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số f (x). (3) Nếu ′f (x) > 0,∀x∈ (a;x0 ) và ′f (x) < 0,∀x∈ (x0;b) thì f (x0 ) là cực đại của hàm số f (x). (4) Nếu ′f (x) < 0,∀x∈ (a;x0 ) và ′f (x) > 0,∀x∈ (x0;b) thì f (x0 ) là cực tiểu của hàm số f (x). (5) Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f (x) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x) tại điểm (x0; f (x0 )) song song hoặc trùng với trục hoành.



Số mệnh đề đúng là ? A. 5. B. 3. C. 4. D. 2. Câu 23. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 , ′f (x0 ) = 0 và hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai tại điểm x0. Xét các mệnh đề sau: (1) Nếu ′′f (x0 ) < 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số f (x). (2) Nếu ′′f (x0 ) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f (x). (3) Nếu ′′f (x0 ) = 0 thì x0 không là điểm cực trị của hàm số f (x). (4) Nếu ′′f (x0 ) = 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số f (x). (5) Nếu ′′f (x0 ) < 0 thì f (x0 ) là cực đại của hàm số f (x). (6) Nếu ′′f (x0 ) > 0 thì f (x0 ) là cực tiểu của hàm số f (x). Số mệnh đề đúng là ? A. 6. B. 4. C. 5. D. 2. Câu 24. Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 thuộc khoảng (a;b). (1) Nếu f (x0 )≥ f (x),∀x∈ (a;b) thì f (x0 ) là giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên khoảng (a;b). (2) Nếu f (x0 )≤ f (x),∀x∈ (a;b) thì f (x0 ) là giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trên khoảng (a;b). (3) Nếu f (x0 ) > f (x),∀x∈ (a;b) \{x0} thì f (x0 ) là cực đại của hàm số f (x). (4) Nếu f (x0 ) < f (x),∀x∈ (a;b) \{x0} thì f (x0 ) là cực tiểu của hàm số f (x). Số mệnh đề đúng là ? A. 0. B. 2. C. 1. D. 4. Câu 25. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = ′f (x) như hình vẽ bên.

Đồ thị của hàm số y = 2 f (x)− x2 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 4. B. 2. C. 3. D. 5. Câu 26. Cho hàm số ( )y f x= xác định và có đạo hàm ( )'f x . Đồ thị của hàm số ( )'f x như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?



-3 -2 -1 1 2 3

-2

2

x

y

A. Hàm số ( )y f x= đồng biến trên khoảng ( );2−∞ .

B. Hàm số ( )y f x= đồng biến trên khoảng ( ); 1−∞ − .

C. Hàm số ( )y f x= có ba điểm cực trị.

D. Hàm số ( )y f x= nghịch biến trên khoảng ( )0;1 .

Câu 27. Đồ thị hàm số y = x3−3x2−9x +1 có hai điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB? A. P(1;0). B. M (0;−1). C. N (1;−10). D. Q(−1;10). Câu 28. Đồ thị hàm số y =−x3 + 3x2 +5 có hai điểm cực trị A và B. Tính diện tích S của tam giác OAB với O là gốc toạ độ.

A. S = 9. B. S =

103

. C. S = 5. D. S =10.

Câu 29. Đồ thị hàm số 3 3 2y x x= − − có 2 điểm cực trị , .A B Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB .

A. (0; 2)M − B. (2;0)M C. ( 1;0)M − D. ( 2;4)M −

Câu 30. Đồ thị hàm số 3 26 9 1y x x x= - + - có 2 điểm cực trị , .A B Tính độ dài đoạn thẳng AB .

A. 5AB= B. 4 2AB= C. 2 2AB= D. 2 5AB=

Câu 31. Đồ thị hàm số y =

x2 +5x + 2

có hai điểm cực trị A và B. Hỏi đường thẳng đi qua hai điểm A, B

là ? A. y = 2x. B. y =−2x. C. 2y = x. D. 2y =−x.

Câu 32. Đồ thị hàm số y =

x2 + x +1x + 2

có hai điểm cực trị A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

A. AB = 5. B. AB = 2 5. C. AB = 2 15. D. AB = 2 13. Câu 33. Đồ thị hàm số y = x4−8x2 + 2 có ba điểm cực trị A, B,C. Gọi S là diện tích tam giác ABC. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. S = 4 2. B. S =16. C. S = 8 2. D. S = 32. Câu 34. Đồ thị hàm số y =−2x4 + 4x2 + 3 có ba điểm cực trị A, B,C. Gọi R là bán kính ngoại tiếp tam giác ABC. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. R =

52

. B. R =

54

. C. R =

52

. D. R =

54

.



Câu 35. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên ! có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hỏi hàm số y = f (x) có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 4. C. 3. D. 1. Câu 36. Cực đại của hàm số

y = x3−5x− x2−1 là ?

A. −1. B. 53

. C. 4. D. −

14827

.

Câu 37. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên ! có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hỏi hàm số y = f (x) có bao nhiêu điểm cực đại ? A. 2. B. 4. C. 3. D. 1. Câu 38. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên ! có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hỏi hàm số y = f (x) có bao nhiêu điểm cực tiểu ? A. 2. B. 4. C. 3. D. 1. Câu 39. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm ′f (x) trên !. Đường cong ở hình vẽ bên là đồ thị của hàm

số y = f (x). Đặt g(x) = f (x)( )2

. Hỏi số điểm cực trị của hàm số g(x) là ?

A. 4. B. 7. C. 5. D. 9. Câu 40. Cho ba đường cong (C1),(C2 ),(C3) là đồ thị của các hàm số y = f (x), y = ′f (x), y = ′′f (x). Hỏi đồ thị của các hàm số y = f (x), y = ′f (x), y = ′′f (x) theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào ?



A. (C3),(C2 ),(C1). B. (C2 ),(C1),(C3). C. (C2 ),(C3),(C1). D. (C1),(C3),(C2 ).

Câu 41. Cho hàm số y = x3−5x− x2−1 . Cực đại và cực tiểu của hàm số lần lượt là ?

A. −1 và 53

. B. 4 và −4. C. −1 và 1. D. 4 và −

14827

.


14

x4− x2−12

. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. Cực tiểu của hàm số là − 2 và 2. B. Cực tiểu của hàm số là 0.

C. Cực tiểu của hàm số là −

12

.

D. Cực tiểu của hàm số là −

32

.


x2 +5x + 2


A. Cực đại của hàm số là −5. B. Cực đại của hàm số là 1. C. Cực đại của hàm số là −10. D. Cực đại của hàm số là 2. Câu 44. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm ′f (x) = (x−1)(x2−2)(x4−4). Số điểm cực trị của hàm số

y = f (x) là ? A. 3. B. 2. C. 4. D. 1.


14

x4− x2−12


A. Cực đại của hàm số là −

12

.

B. Cực đại của hàm số là 0. C. Cực đại của hàm số là − 2 và 2.

D. Cực đại của hàm số là −

32

.

Câu 46. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ



Đồ thị hàm số

y = 2 f (x)−3 có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 4. B. 7. C. 5. D. 9. Câu 47. Tìm điểm cực đại của hàm số y = x + 2sin2 x.

A. x =−

π12

+ kπ,k ∈!. B. x =−

π6

+ k2π,k ∈!. C. x =

7π12

+ kπ,k ∈!. D. x =

7π6

+ k2π,k ∈!.

Câu 48. Tìm điểm cực tiểu của hàm số y = x + 2sin2 x.

A. x =−

π12

+ kπ,k ∈!. B. x =−

π6

+ k2π,k ∈!. C. x =

7π12

+ kπ,k ∈!. D. x =

7π6

+ k2π,k ∈!.

Câu 49. Gọi S là tập hợp tất cả các điểm cực đại của hàm số y = x + 2sin2 x trên khoảng (0;2018). Tính tổng tất cả các phần tử của S.

A. 412271π

2. B.

2468491π

12. C.

412699π

2. D.

12217981π

6.

Câu 50. Cho hàm số y = x3 + ax2 + bx + c có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Hỏi số điểm cực trị của hàm số f (x) = ( ′y )2−2y. ′′y là ? A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.

------------------------ HÊ ́T ------------------------ CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN DÀNH CHO 2K – 2K1 – 2K2 – 2K3 TẠI VTED

PRO X LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2019 CHO TEEN 2K1

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-hoc-pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2019-

kh633150433.html



PRO XMAX – VẬN DỤNG CAO 2018 MÔN TOÁN CHO TEEN 2K

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xmax-chinh-phuc-nhom-cau-hoi-van-dung-cao-2018-mon-

toan-kh266161831.html

PRO X LUYỆN THI THPT QUỐC GIA MÔN

TOÁN 2018 CHO TEEN 2K https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-

quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

PRO XPLUS – LUYỆN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2018 MÔN TOÁN

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xplus-luyen-de-thi-thu-thpt-quoc-gia-2018-mon-toan-

kh644451654.html

PRO XMIN –BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018 MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÀ CÁC

SỞ ĐÀO TẠO https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-xmin-bo-de-thi-

thu-thpt-quoc-gia-2018-mon-toan-cac-truong-chuyen-va-cac-so-giao-duc-dao-tao-

kh084706206.html

PRO Y NỀN TẢNG TOÁN 11 VỮNG CHẮC CHO TEEN 2K2

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-hoc-bam-sat-toan-dien-chuong-trinh-toan-11-plus-11-

kh968641713.html

PRO O CHƯƠNG TRÌNH HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 CHO TEEN 2K2

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/olympic-toan-11-kh071103157.html



PRO Z NỀN TẢNG TOÁN 10 VỮNG CHẮC CHO TEEN 2K3

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-hoc-pro-z-nen-tang-toan-hoc-10-vung-chac-cho-teen-2k2-

kh546669683.html

ĐÁP ÁN 1B 2D 3A 4B 5D 6C 7C 8C 9C 10B 11C 12A 13C 14A 15D 16C 17C 18B 19C 20C 21C 22C 23B 24D 25C 26C 27C 28C 29A 30D 31A 32C 33D 34B 35B 36C 37A 38A 39C 40B 41D 42D 43C 44D 45A 46B 47C 48A 49A 50C

Documents

H , tên thí sinh: Trường: PRO X CHO TEEN 2K1 – DUY NHẤT TẠI … · 2018-06-14 · Như vậy, một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà