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1J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Métodos Matemáticos Aplicados a Processos Químicos e Bioquímicos
Capítulo I : Análise Matricial
DISCIPLINA
José Luiz de Medeiros e Ofélia Q.F. AraújoEngenharia Química – UFRJ
[email protected], [email protected]. 21-2562-7535
2J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Vetor Coluna n x 1
Cap. I : Análise Matricial1. Notação
=
nV
VV
VM2
1
Vetor Linha 1 x m
[ ]mT UUUU L21=
3J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Vetor Coluna n x 1
Cap. I : Análise Matricial1. Notação
=
nV
VV
VM2
1
Vetor Linha 1 x m
[ ]mT UUUU L21=
A Generalização do Conceito de Vetor (Coluna ou Linha) Leva àNoção de Matriz como Arranjo Bidimensional de Números.
Uma Matriz é um Arranjo em Linha de Vetores Colunares; ouum Arranjo Colunar de Vetores Linha.
4J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Matriz n x m
Cap. I : Análise Matricial1. Notação
=
nmnn
m
m
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
5J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Matriz n x m
Cap. I : Análise Matricial1. Notação
=
nmnn
m
m
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
Quadrada : (n=m)Diagonal : (n=m) Λ (i≠k →→→→ Aik=0)Triangular Superior: (n=m) Λ (k<i)→→→→ Aik=0)Triangular Inferior : (n=m) Λ (k>i)→→→→ Aik=0)Tridiagonal : (n=m) Λ ((k< i-1)V(i+1<k))→→→→ Aik=0)Simétrica : (n=m) Λ (Aik= Aki)
6J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Matriz n x m
Cap. I : Análise Matricial1. Notação
=
nmnn
m
m
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
Quadrada : (n=m)Diagonal : (n=m) Λ (i≠k →→→→ Aik=0)Triangular Superior: (n=m) Λ (k<i)→→→→ Aik=0)Triangular Inferior : (n=m) Λ (k>i)→→→→ Aik=0)Tridiagonal : (n=m) Λ ((k< i-1)V(i+1<k))→→→→ Aik=0)Simétrica : (n=m) Λ (Aik= Aki)
7J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Matriz n x m
Cap. I : Análise Matricial1. Notação
=
nmnn
m
m
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
Quadrada : (n=m)Diagonal : (n=m) Λ (i≠k →→→→ Aik=0)Triangular Superior: (n=m) Λ (k<i)→→→→ Aik=0)Triangular Inferior : (n=m) Λ (k>i)→→→→ Aik=0)Tridiagonal : (n=m) Λ ((k< i-1)V(i+1<k))→→→→ Aik=0)Simétrica : (n=m) Λ (Aik= Aki)
8J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Matriz n x m
Cap. I : Análise Matricial1. Notação
=
nmnn
m
m
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
Quadrada : (n=m)Diagonal : (n=m) Λ (i≠k →→→→ Aik=0)Triangular Superior: (n=m) Λ (k<i)→→→→ Aik=0)Triangular Inferior : (n=m) Λ (k>i)→→→→ Aik=0)Tridiagonal : (n=m) Λ ((k< i-1)V(i+1<k))→→→→ Aik=0)Simétrica : (n=m) Λ (Aik= Aki)
9J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Matriz n x m
Cap. I : Análise Matricial1. Notação
=
nmnn
m
m
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
Quadrada : (n=m)Diagonal : (n=m) Λ (i≠k →→→→ Aik=0)Triangular Superior: (n=m) Λ (k<i)→→→→ Aik=0)Triangular Inferior : (n=m) Λ (k>i)→→→→ Aik=0)Tridiagonal : (n=m) Λ ((k< i-1)V(i+1<k))→→→→ Aik=0)Simétrica : (n=m) Λ (Aik= Aki)
10J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Matriz n x m
Cap. I : Análise Matricial1. Notação
=
nmnn
m
m
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
Quadrada : (n=m)Diagonal : (n=m) Λ (i≠k →→→→ Aik=0)Triangular Superior: (n=m) Λ (k<i)→→→→ Aik=0)Triangular Inferior : (n=m) Λ (k>i)→→→→ Aik=0)Tridiagonal : (n=m) Λ ((k< i-1)V(i+1<k))→→→→ Aik=0)Simétrica : (n=m) Λ (Aik= Aki)
11J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Matriz n x m
Cap. I : Análise Matricial1. Notação
=
nmnn
m
m
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
Quadrada : (n=m)Diagonal : (n=m) Λ (i≠k →→→→ Aik=0)Triangular Superior: (n=m) Λ (k<i)→→→→ Aik=0)Triangular Inferior : (n=m) Λ (k>i)→→→→ Aik=0)Tridiagonal : (n=m) Λ ((k< i-1)V(i+1<k))→→→→ Aik=0)Simétrica : (n=m) Λ (Aik= Aki)
12J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Matriz n x m Representação de Matriz em Linhas
=
nmnn
m
m
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
Cap. I : Análise Matricial1. Notação
=
Tn
T2
T1
A
A
A
M
→Tk
A Linha k de A
13J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Matriz n x m Representação de Matriz em Colunas
=
nmnn
m
m
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
Cap. I : Análise Matricial1. Notação
[ ]mAAA L
L
21
↓↓↓
[ ]m21 AAA L=
Coluna k de A→kA
14J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Soma e Subtração Matricial Definição
ijijij BACBAC ±=⇒±=
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
!Propriedades :
Comutativa
Associativa
ABBA +±=±→
( ) ( )CBACBACBA ±±=±±=±±→
)(,, mxnCBA
15J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Multiplicação Matriz por Escalar Definição
ijij ACAC .ββ =⇒=
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
!Propriedades :
Comutativa
Distributiva
Distributiva
ββ AA =→
BABA βββ +=+→ )(
AAA ηβηβ +=+→ )(
)(, mxnCA
16J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Multiplicação Matricial Definição
∑=
=⇒=m
kkjikij BACBAC
1.
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
!Propriedades :
Não Comutativa
Associativa
Distributiva
Identidade à Esquerda
Identidade à Direita
ABBA ≠→
CABACBA +=+→ )(
( ) ( )CBACBACBA ==→
)()(),(
pxnCpxmBmxnA
(Em Geral)
( )nxnIAAI =→( )mxmIAIA =→
17J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Multiplicação Matriz e Vetor Definição
∑=
=⇒=m
1kkiki X.ACXAC
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
)1xm(X)mxn(A
18J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Multiplicação Matriz e Vetor Definição
∑=
=⇒=m
1kkiki X.ACXAC
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
)1xn(C)1xm(X)mxn(A
19J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Multiplicação Matriz e Vetor Definição
∑=
=⇒=m
1kkiki X.ACXAC
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
∑=
=⇒=n
1iijij
TT AYDAYD
)nx1(Y
)mxn(AT
)1xn(C)1xm(X)mxn(A
20J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Multiplicação Matriz e Vetor Definição
∑=
=⇒=m
1kkiki X.ACXAC
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
∑=
=⇒=n
1iijij
TT AYDAYD
)mx1(D
)nx1(Y
)mxn(A
T
T
)1xn(C)1xm(X)mxn(A
21J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Multiplicação Matricial Formatos Válidos
[ ]m21
Tn
T2
T1
AAA
A
A
A
A LM
=
=
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
)mxn(A
[ ]p21
Tm
T2
T1
BBB
B
B
B
B LM
=
=
)pxm(B
22J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Multiplicação Matricial Formatos Válidos
=
=
=
pTn2
Tn1
Tn
pT22
T21
T2
pT12
T11
T1
Tn
T2
T1
Tn
T2
T1
BABABA
BABABA
BABABA
BA
BA
BA
B
A
A
A
BA
L
MMMM
L
L
MM
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
)pxn(BA)pxm(B)mxn(A
23J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Multiplicação Matricial Formatos Válidos
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
)pxn(BA)pxm(B)mxn(ABT
iΑ
Linha i de BA
=
=
=
pTn2
Tn1
Tn
pT22
T21
T2
pT12
T11
T1
Tn
T2
T1
Tn
T2
T1
BABABA
BABABA
BABABA
BA
BA
BA
B
A
A
A
BA
L
MMMM
L
L
MM
24J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Multiplicação Matricial Formatos Válidos
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
[ ] [ ]p21p21 BABABABBBABA LL ==
)pxn(BA)pxm(B)mxn(A
=
pTn2
Tn1
Tn
pT22
T21
T2
pT12
T11
T1
BABABA
BABABA
BABABA
BA
L
MMMM
L
L
25J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Multiplicação Matricial Formatos Válidos
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
[ ] [ ]p21p21 BABABABBBABA LL ==
)pxn(BA)pxm(B)mxn(A
jBAColuna j de BA
=
pTn2
Tn1
Tn
pT22
T21
T2
pT12
T11
T1
BABABA
BABABA
BABABA
BA
L
MMMM
L
L
26J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Multiplicação Matricial Ortogonalidade de Vetores
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
=
=
n
2
1
n
2
1
V
VV
V,
U
UU
UMM
)1xn(V)1xn(U
27J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Multiplicação Matricial - Ortogonalidade de Vetores
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
=
=
n
2
1
n
2
1
V
VV
V,
U
UU
UMM
)1xn(V)1xn(U
0UVVUVU Tn
1iii
T ===∑=
U , V são Ortogonais
VU ⊥
28J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Integração / Diferenciação Matricial Definição
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
=
)t(A)t(A)t(A
)t(A)t(A)t(A)t(A)t(A)t(A
)t(A
nm2n1n
m22221
m11211
L
MOMM
L
L
)mxn()t(A
29J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Integração / Diferenciação Matricial Definição
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
( )
=
dt)t(dA
dt)t(dA
dt)t(dA
dt)t(dA
dt)t(dA
dt)t(dA
dt)t(dA
dt)t(dA
dt)t(dA
)t(Adtd
nm2n1n
m22221
m11211
L
MOMM
L
L
)mxn()t(A
30J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Integração / Diferenciação Matricial Definição
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
( )
=
dt)t(dA
dt)t(dA
dt)t(dA
dt)t(dA
dt)t(dA
dt)t(dA
dt)t(dA
dt)t(dA
dt)t(dA
)t(Adtd
nm2n1n
m22221
m11211
L
MOMM
L
L
)mxn()t(A
=
∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
∫dt)t(Adt)t(Adt)t(A
dt)t(Adt)t(Adt)t(Adt)t(Adt)t(Adt)t(A
dt)t(A
nm2n1n
m22221
m11211
L
MOMM
L
L
31J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Transposição Matricial Definição
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
)mxn(A
=
nm2n1n
m22221
m11211
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
TAãoTransposiç
A →
( ) ( ) jijiijT AAA ==
)nxm(AT
32J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Transposição Matricial Definição
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
)nxm(A
)mxn(A
T
=
nm2n1n
m22221
m11211
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
TAãoTransposiç
A →
( ) ( ) jijiijT AAA ==
=
nmm2m1
2n2212
1n2111
T
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
33J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Transposição Matricial Formatos
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
=
nm2n1n
m22221
m11211
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
=
nmm2m1
2n2212
1n2111
T
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
[ ]m21
Tn
T2
T1
AAA
A
A
A
LM
=
=
[ ]n21
Tm
T2
T1
AAA
A
AA
LM
=
=
34J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Transposição Matricial Matriz Simétrica
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
TAA = [ ]n21
Tn
T2
T1
AAA
A
AA
LM
=
=
=
7654654354324321
A
jiij AA =
Exemplo
Requisito : Quadrada
35J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Transposição Matricial Matriz Simétrica
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
TAA = [ ]n21
Tn
T2
T1
AAA
A
AA
LM
=
=
=
7654654354324321
A
Exemplo
Reflexão Relativa à Diagonal Principal
jiij AA =
Requisito : Quadrada
36J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Transposição Matricial Propriedades
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
( ) TTT BABA +=+ Transposição da Soma
( ) TTT ABBA = Transposição do Produto
37J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Transposição Matricial Propriedades
Cap. I : Análise Matricial2. Operações
( ) TTT BABA +=+ Transposição da Soma
( ) TTT ABBA = Transposição do Produto
( ) ( )( )( )( ) ( )
TTTT
TT
TT
ABCD
BADC
DCBADCBA
=
=
=
Transposição Multi-Produto
38J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Determinante Definição
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
Função Escalar dos Elementosde Matrizes Quadradas
=
nn2n1n
n22221
n11211
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
AA DA)A(DET === ∆
39J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Determinante Definição
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
=
nn2n1n
n22221
n11211
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
∑ ∏
∑
=−=
−=
n
1ii
n2
1
n21i
n2n21
1
A)1()A(DET
AAA)1()A(DET
αααα
δ
ααααα
αδ
L
L
L
1n123deimparpermutação0n123deparpermutação
n21
n21
=⇒=⇒
δαααδααα
LL
LL
40J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Determinante Definição
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
=
nn2n1n
n22221
n11211
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
∑ ∏
∑
=−=
−=
n
1ii
n2
1
n21i
n2n21
1
A)1()A(DET
AAA)1()A(DET
αααα
δ
ααααα
αδ
L
L
L
1n123deimparpermutação0n123deparpermutação
n21
n21
=⇒=⇒
δαααδααα
LL
LL
Multiplicações !n)*1n( −
41J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Determinante Exemplo
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
132103120231121311320123
=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒
δδδδδδ
=
333231
232221
131211
AAAAAAAAA
A
312213322113
312312332112
322311332211A
AAAAAAAAAAAAAAAAAAD
−++−−+=
32321
1 32
1A AAA)1(D ααααα
αδ∑ −=
Multiplicações 12!3)*13( =−
42J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Determinante Definição
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
32321
1 32
1A AAA)1(D ααααα
αδ∑ −=
Multiplicações
!n)*1n( −
=
nn2n1n
n22221
n11211
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
1000h2.101215
10s5.10610
10-3s4805
CPUMultiplicaçõesn
43J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Determinante Definição Equivalente e Idêntica
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
n2n21
1 n2
1A AAA)1(D ααααα
αδ L
L∑ −=
=
nn2n1n
n22221
n11211
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
n2
1A n2n21
1AAA)1(D αα
αααα
δ LL∑ −=
44J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Menor e Cofator Definição
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
=
nnnj2n1n
inij2i1i
n2j22221
n1j11211
AAAA
AAAA
AAAAAAAA
A
LL
MLMLMM
LL
MLMLMM
LL
LL
45J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Menor e Cofator Definição
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
=
nnnj2n1n
inij2i1i
n2j22221
n1j11211
AAAA
AAAA
AAAAAAAA
A
LL
MLMLMM
LL
MLMLMM
LL
LL Menor ij
ijM
46J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Menor e Cofator Definição
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
=
nnnj2n1n
inij2i1i
n2j22221
n1j11211
AAAA
AAAA
AAAAAAAA
A
LL
MLMLMM
LL
MLMLMM
LL
LL
Retirar Linha i e Coluna j e Calcular o Determinante n-1 x n-1Resultante para Obter Mij
Menor ij
ijM
47J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Menor e Cofator Definição
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
=
nnnj2n1n
inij2i1i
n2j22221
n1j11211
AAAA
AAAA
AAAAAAAA
A
LL
MLMLMM
LL
MLMLMM
LL
LL Cofator ij
ijΩ
ijji
ij M)1( +−=Ω
48J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Matriz de Cofatores Definição
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
=
nn2n1n
n22221
n11211
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
)nxn(A
=
nn2n1n
n22221
n11211
ΩΩΩ
ΩΩΩΩΩΩ
Ω
L
MOMM
L
L
)nxn(Ω
49J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Matriz de Cofatores Definição
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
)nxn(A
[ ]n21
Tn
T2
T1
nn2n1n
n22221
n11211
ΩΩΩ
Ω
Ω
Ω
ΩΩΩ
ΩΩΩΩΩΩ
Ω
L
M
L
MOMM
L
L
=
=
=
50J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Matriz de Cofatores Definição
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
[ ]n21
Tn
T2
T1
ΩΩΩ
Ω
Ω
Ω
Ω LM
=
=
[ ]
==
nj
j2
j1
jin2i1iTi
,
Ω
ΩΩ
ΩΩΩΩΩM
L
Cofatores da Linha i
Cofatores da Coluna j
51J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Expansão de Laplace Teorema 1.1
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
iADn
1jijijA ∀=∑
=Ω Expansão de Laplace via Linha i
O Determinante da MatrizAdmite as Formas EquivalentesAbaixo, Idênticas em EsforçoNumérico à Definição via Permutações
=
nn2n1n
n22221
n11211
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
jADn
1iijijA ∀=∑
=Ω Expansão de Laplace via Coluna j
52J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Determinante da Transposta Teorema 1.2
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
=
nn2n1n
n22221
n11211
AAA
AAAAAA
A
L
MOMM
L
L
==
nnn2n1
2n2212
1n2111
T
AAA
AAAAAA
BA
L
MOMM
L
L
)A(DET)A(DET T=⇒
53J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Determinante da Transposta Teorema 1.2
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
Demonstração
n2n21
1 n2
1A AAA)1(D ααααα
αδ L
L∑ −=
ijjin2
1A ABBBB)1(Dn2
n211
=−= ∑ ααααα
αδ L
L
)A(DETDD TBA ==
n2
1B n2n21
1BBB)1(D αα
αααα
δ LL∑ −=
54J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Determinante após Multiplicar Linha/Coluna Teorema 1.3
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
[ ]nj21
Tn
Ti
T2
T1
AAAA
A
A
A
A
A LL
M
M=
= AB
Tn
Ti
T2
T1
DD
A
A
A
A
B λλ
=⇒
=
M
M
[ ] ACnj21 DDAAAAC λλ =⇒= LL
55J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Determinante após Multiplicar Linha/Coluna Teorema 1.3
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
A
n
1j
)A(ijij
n
1j
)B(ijijB DABD λΩλΩ === ∑∑
==
Demonstração
Exp. Laplace via Linha i
A
n
1i
)A(ijij
n
1i
)C(ijijC DACD λΩλΩ === ∑∑
==
Exp. Laplace via Coluna j
56J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Determinante após Multiplicar Linha/Coluna Teorema 1.3
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
Corolário 1.3.1
Matriz com Linha ou Coluna Nula tem Determinante Nulo
Demonstração : Usar Teor. 1.3 com λλλλ=0 na Coluna ou Linhaem Questão
57J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Matrizes com Colunas Comuns Exceto j Teorema 1.4
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
[ ]n1jk1j21k AAPAAAA LL +−=
∑=
=m
1kAkB k
DD λ
Coluna j
= +− ∑ n1j
m
kkk1j21 AAPAAAB LL λ
Então
Coluna j
58J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Matrizes com Colunas Comuns Exceto j Teorema 1.4
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
= +− ∑ n1j
m
kkk1j21 AAPAAAB LL λ
Demonstração : Exp. de Laplace via Col. j em DB
Coluna j
∑ ∑∑∑∑= == ==
===m
1k
n
1i
)A(ijikk
n
1i
)A(ij
m
1kikk
n
1i
)B(ijijB PPBD ΩλΩλΩ
∑∑ ∑== =
==m
1kAk
m
1k
n
1i
)A(ijikkB k
DPD λΩλ
59J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
Corolário 1.4.1
Demonstração : Usar, como no Teor. 1.4, Expansão de Laplacena Linha i
Matrizes com Colunas Comuns Exceto j Teorema 1.4
Matrizes com Linhas Comuns Exceto i(Resultado Análogo para Linhas em vez de Colunas)
60J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
A Troca de Duas Linhas (ou Duas Colunas) de Teorema 1.5Matriz, Multiplica o Determinante por -1
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
[ ]nji21 AAAAAA LLL=
Demonstração :
Col. iCol j
[ ]nij21 AAAAAB LLL=
Idênticas, Exceto pelo Intercâmbio de Colunas i e j
61J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Demonstração Teorema 1.5
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
nji2
1A nji2n21
1AAAAA)1(D αααα
αααα
δ LLLL∑ −=
nji2
1B nji2n21
1BBBBB)1(D αααα
αααα
δ LLLL∑ −=
nij2
1B nji2n21
1AAAAA)1(D αααα
αααα
δ LLLL∑ −=
DB apresenta os mesmos termos de DA exceto pela inversão de paridade devido a haver uma troca a mais nas permutações de DB
AB DD −=⇒
62J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
Corolário 1.5.1
Demonstração : Tome a matriz com 2 linhas (colunas) iguais.Troque as linhas (colunas) iguais. A matriz não se altera nem seu determinante.Mas, com Teor 1.5, o determinante troca sinal.Logo é Zero. O único número que, trocandosinal, mantém-se igual.
Troca de Linhas (Cols) Troca Sinal do Det. Teorema 1.5
Matriz Quadrada com Duas Linhas (Cols) Iguais Tem Determinante Nulo
63J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
Corolário 1.5.2
Demonstração : Seja a matriz com colunas i e j proporcionais
Troca de Linhas (Cols) Troca Sinal do Det. Teorema 1.5
Matriz com Duas Linhas (Cols) Proporcionais Tem Determinante Nulo
[ ]njj21 AAAAAA LLL λ=
Col. iCol j
[ ]( )njj21A AAAAADETD3.1.T
LLLλ=⇒
00*D5.1.T
A ==⇒
λ
64J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
Corolário 1.5.3
Demonstração : Seja matriz com col. i como C.L. das demais
Troca de Linhas (Cols) Troca Sinal do Det. Teorema 1.5
Matriz com Linha (Coluna) Combinação Linear das demais Linhas (Colunas) Tem Determinante Nulo
= ∑
≠n
n
ikkk21 AAAAA LL λ
Col. i
[ ]( ) 00*AAAADETD4.1.T n
ikknk21
n
ikkA ===
⇒ ∑∑≠≠
λλ LL
Na col. i há a col. k repetida
65J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
Corolário 1.5.4
Demonstração : Sejam matriz A, n x n, e matriz de cofatores;Matriz B, com col. i repetida na col. j ; pelo C.1.5.1, tem DB=0
Troca de Linhas (Cols) Troca Sinal do Det. Teorema 1.5
Em Matriz Quadrada, o Vetor de Cofatores de uma Coluna (Linha) é Ortogonal às demais Colunas (Linhas)
[ ]nji21 AAAAAA LLL= [ ]nj21 ΩΩΩΩΩ LL=
)A(j
Tj
n
1k
)A(kjkjA AAD ΩΩ ==∑
=
Laplace via Coluna j
[ ]nii21 AAAAAB LLL=
)ji(A0AABD ji
n
1k
)A(j
Ti
)A(kjki
n
1k
)B(kjkjB ≠⊥⇒==== ∑∑
==ΩΩΩΩ
66J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
Corolário 1.5.4
Consolidando Corolário 1.5.4
Troca de Linhas (Cols) Troca Sinal do Det. Teorema 1.5
Em Matriz Quadrada, o Vetor de Cofatores de uma Coluna (Linha) é Ortogonal às demais Colunas (Linhas)
[ ]nji21 AAAAAA LLL= [ ]nj21 ΩΩΩΩΩ LL=
jTj
n
1kkjkjA AAD ΩΩ ==∑
=
)ji(A0A jijTi ≠⊥⇒= ΩΩ
kTk
n
1jkjkjA AAD ΩΩ ==∑
=
)ki(A0Akik
Ti
≠⊥⇒= ΩΩ
Laplace via Coluna j Laplace via Linha k
67J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
Corolário 1.5.5
Demonstração para colunas (com linhas é análogo) :
Troca de Linhas (Cols) Troca Sinal do Det. Teorema 1.5
Em Matriz Quadrada, a soma de coluna (linha) multiplicada por número a outra coluna (linha) não altera o Determinante.
[ ]nji21 AAAAAA LLL=
( )[ ]niji21 AAAAAAB LLL λ+=
[ ]( )[ ]( )nii21
nji21B
AAAAADET
AAAAADETD4.1.T
LLL
LLL
λ+
+=⇒
AB DD1.5.1.C
=⇒
68J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Determinante de Matriz Diagonal ou Triangular é Igual ao Produto dos Termos da Diagonal Principal. Teorema 1.6
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
Demonstração p/ Matriz Triangular já que toda matrizdiagonal é triangular. Basta tomar uma matriz triangular típica:
=
44
3433
242322
14131211
A000AA00AAA0AAAA
A44
3433
24232211
11A
A00AA0AAA
)1(AD +−=
44
34331122
1111A A0
AA)1(A)1(AD ++ −−=
44332211A AAAAD =Usando ApenasLaplace na Coluna 1
69J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cálculo de Determinantes :
# Usar operações linha de pivotamento (da esquerda para direita e de cima para baixo) que não alteram ou que alteram de forma conhecida, o determinante, buscando forma triangular;# Operações Usadas :
(A) Troca de linhas para substituir pivô nulo; (B) Multiplicar linha do pivô por número e somar a outra
linha para anular elemento na coluna do pivô;# Ao atingir a forma triangular, o determinante final é dado pelo produto da diagonal. # Para obter o determinante original, trocar o sinal do determinante triangular tantas vezes quanto utilizada a operação (A).
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
70J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cálculo de Determinantes Exemplo
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
−
−=
1101002301421021
A
71J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cálculo de Determinantes Exemplo
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
−
−
1101002301421021
−−−−
212030402100
1021
Ação Pivô 1 : Coluna 1 Pivotada, Determinante Inalterado
72J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cálculo de Determinantes Exemplo
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
−−−−
212030402100
1021 Pivô 2 Nulo : Troca de Linhas 2 e 4
−−−−
21003040
21201021
−− 2100120021201021
Ação Pivô 2 : Coluna 2 Pivotada, Determinante Troca Sinal
73J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cálculo de Determinantes Exemplo
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
−− 2100120021201021
Ação Pivô 3 : Coluna 3 Pivotada, Determinante Triangular
− 5.1000120021201021
6)5.1(*2*2*1)*1(DA =−−=
74J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cálculo de Determinantes : Esforço numérico
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
)1)(2(...)2n)(1n()1n(nçõesMultiplica ++−−+−=
∑=
−=n
1i)1i(içõesMultiplica
2)1n(n
6)1n2)(1n(nii
n
1i
n
1i
2 +−++=−= ∑∑==
3n
3nnçõesMultiplica
33≅−=
75J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cálculo de Determinantes : Esforço numérico
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
3n
3nnçõesMultiplica
33≅−=
11202.101215
3305.10610
404805
Multiplicações via Cálculo (n3-n)/3
MultiplicaçõesVia Definição (n-1)n!
n
76J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Determinante do Produto de Matrizes é igual ao Produto dos Respectivos Determinantes. Teorema 1.7
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
)B(DET).A(DET)BA(DET =
Corolário 1.7.1
Determinante de Multi-Produto Matricial
)D(DET).C(DET).B(DET).A(DET)DCBA(DET)DC(DET).BA(DET)DCBA(DET
))DC)(BA((DET)DCBA(DET
=
==
==
77J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Derivada de determinante n x n é a soma de n determinantes em que cada coluna (linha) é diferenciada por vez. Teorema 1.8
Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes
=
)t(A)t(A)t(A
)t(A)t(A)t(A)t(A)t(A)t(A
)t(A
nn2n1n
n22221
n11211
L
MOMM
L
L
Demonstração para colunas (com linhas é análogo) :
∑=
==n
1iijijnn11AA A))t(A,),t(A(D)t(D ΩL
∑∑ ∑ ∑∑∑= = = == = ≠
==
∂∂=
n
1i
n
1j
n
1j
n
1iij
ijij
ijn
1i
n
1j AAij
AijAdt
dAdt
dAAD
dtdA
dtdD
ijkm
ΩΩ
∑∑ ∑== =
=
=
n
1jnj1
n
1j
n
1iij
ijA AAdtdADET
dtdA
dtdD
LLΩ
78J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Sejam m Vetores (n x 1) Ak . Estes Vetores são Linearmente Dependentes (LD) ou Linearmente Independentes (LI) de acordo com : Definição
Cap. I : Análise Matricial4. Dependência e Independência Linear de Vetores
∑=
=≠∃⇒m
1kkkm21 0AqueTal0LDA,,A,A ααL
0parasomente0ALIA,,A,Am
1kkkm21 ==⇒ ∑
=ααL
79J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Seja a matriz A não singular (n x n). Então as colunas e as linhas desta matriz são Linearmente Independentes (LI). Teorema 1.9
Cap. I : Análise Matricial4. Dependência e Independência Linear de Vetores
0parasomente0An
1kkk ==∑
=αα
Demonstração para colunas (para Linhas é Análogo) :
[ ]( ) 0AAADET)A(DET n21 ≠= L
Queremos provar que
Hipótese: Admita colunas LD ∑=
=≠∃n
1kkk 0Acom0 αα
Assim algum destes Ai é C.L. dos demais
−= ∑
≠
n
ikk
ii A1A
α
Mas, Pelo C.1.5.3, DET(A)=0, Contrariando a Premissa acima
Premissa
80J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Prova-se, adicionalmente, o converso disto: Se as colunas (e as linhas) desta matriz são Linearmente Independentes (LI), a matriz A é não singular (n x n). Teorema 1.9b
Cap. I : Análise Matricial4. Dependência e Independência Linear de Vetores
Com Teoremas 1.9 e 1.9b, Tem-se a Equivalência :
0)A(DETLIAAA n21 ≠⇔L
81J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
O Posto de uma Matriz é a Ordem do Maior Sub-Determinante não Nulo Existente nesta Matriz. Definição
Cap. I : Análise Matricial5. Posto
# Como as Operações Linha utilizadas para cálculo de determinantes no Item 3, não são capazes de anular determinantes (nem os sub-determinantes existentes), elas podem ser usadas para Determinar o Posto de Matrizes; isto é, o Posto é Invariante à Triangulização por Pivotamento. # O Algoritmo procede de forma similar ao utilizado para cálculo de Determinantes visando-se forma final Triangular. # O Posto é interpretado ao final da triangulização pela sua Definição; isto é, como o Maior Sub-Determinante Não-Nulo Existente. # Operações Coluna também podem ser usadas se necessário.
82J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
O Posto de uma Matriz é a Ordem do Maior Sub-Determinante não Nulo Existente nesta Matriz. Exemplo
Cap. I : Análise Matricial5. Posto
−−
=
210021201110110101
111011
A
83J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
O Posto de uma Matriz é a Ordem do Maior Sub-Determinante não Nulo Existente nesta Matriz. Exemplo
Cap. I : Análise Matricial5. Posto
−−
210021201110110101
111011
−
−−−−
101010201110201110
111011
Ação Pivô 1 : Coluna 1 Pivotada, Determinante InalteradoPosto Inalterado
84J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
O Posto de uma Matriz é a Ordem do Maior Sub-Determinante não Nulo Existente nesta Matriz. Exemplo
Cap. I : Análise Matricial5. Posto
−
−−−−
101010201110201110
111011
Ação Pivô 2 : Coluna 2 Pivotada, Determinante InalteradoPosto Inalterado
−−−
−−−−
102100000000201110
111011
85J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
O Posto de uma Matriz é a Ordem do Maior Sub-Determinante não Nulo Existente nesta Matriz. Exemplo
Cap. I : Análise Matricial5. Posto
Não há Ação do Pivô 3. A Triangulização Chega aoFim. Determinante TrocaSinal. Posto Inalterado
−−−
−−−−
102100000000201110
111011 Pivô 3 NuloTroca de Linhas 3 e 4
−−−−−−−
000000102100201110
111011
86J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
O Posto de uma Matriz é a Ordem do Maior Sub-Determinante não Nulo Existente nesta Matriz. Exemplo
Cap. I : Análise Matricial5. Posto
O Posto Final é 3. O MaiorSub-determinante Não Nulo é3 x 3, como o produto daTriangulização (DET=1) mostrado. Qualquer outroSub-determinante serásingular ou terá ordem 3.
−−−−−−−
000000102100201110
111011
Portanto, como o PostoInicial é igual ao PostoFinal, a Matriz Original tem Posto 3.
87J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Seja a Matriz A (n x n). Analisamos as condições acerca da matriz inversa de A. Definição
Cap. I : Análise Matricial6. Matriz Inversa
IDAIAE
=
= Inversa à Esquerda
Inversa à Direita
Se a Matriz A (n x n) tem inversa, então a Inversa à esquerda éigual à Inversa à direita. Teorema 1.10a
Demonstração
( ) DEDDAEDDAEIDA,IAE =⇒=⇒=⇒==
88J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. I : Análise Matricial6. Matriz Inversa
Se A (n x n) tem inversa, então Ela é Única. Teorema 1.10b
Demonstração, por absurdo, admita duas Inversas Distintas:
AdeInversas)VU(V,U ≠
( ) VUVVAUVVAUIAVVAIAUUA
=⇒=⇒=⇒
====
Logo se Existir, só Há uma Inversa
89J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. I : Análise Matricial6. Matriz Inversa
A, B (n x n) têm inversa, então : Teorema 1.11
Demonstração
111 AB)BA( −−− =
1111111
11111
1
AB)BA(AB)BA(BB
A)BA(BA)BA)(BA(A
I)BA)(BA(
−−−−−−−
−−−−−
−
=⇒=
=⇒=
=
90J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. I : Análise Matricial6. Matriz Inversa
A (n x n) tem inversa, então : Teorema 1.12
Demonstração
( )T11T A)A( −− =
( ) ( )
( ) T11T1T1T
11T1TT1T1TT
)A()A(T
A)A(
AAA)A(IA)A(T
I)A(A
−−−−
−−−−−
=⇒=
=⇒=⇒=
91J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. I : Análise Matricial6. Matriz Inversa
A (n x n) tem inversa, então : Teorema 1.12
( )T11T A)A( −− =
Corolário 1.12.1
A (n x n), simétrica, tem inversa; então a inversa é simétrica.
Demonstração com T.1.12
( ) ( ) SimétricaAAAA)A(
AA 1T11T11T
T−−−
−−⇒=⇒
=
=
92J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. I : Análise Matricial6. Matriz Inversa
Expressão da Inversa de A (n x n) Não Singular Teorema 1.13
( ) 01 )(1 ≠Ω=−A
TA
A
DD
A
[ ][ ]n
A
nAAAA
ΩΩΩ=Ω
=
L
L
21)(
21
93J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. I : Análise Matricial6. Matriz Inversa
Expressão da Inversa de A (n x n) Não Singular Teorema 1.13
T
ADA Ω=− 11
Demonstração por Substituição Direta na Identidade da Inversão
[ ]
=
==−
nTn2
Tn1
Tn
nT22
T21
T2
nT12
T11
T1
An21
Tn
T2
T1
A
T
A
1
AAA
AAAAAA
D1AAA
D1A
D1AA
ΩΩΩ
ΩΩΩΩΩΩ
Ω
ΩΩ
Ω
L
MMMM
L
L
LM
0DI
D00
0D000D
D1A
D1AA A
A
A
A
A
T
A
1 ≠=
==−
L
MOMM
L
L
Ω
[ ] [ ]n21n21 ,AAAA ΩΩΩΩ LL ==
94J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. I : Análise Matricial6. Matriz Inversa
Inversa de A (n x n) Não Singular Exemplo
−−
−=
−−−−−−
−=
−
−
3/23/13/23/13/13/13/23/13/1
212111211
31
1
1
A
A
T
=
011120101
A 31120
10110
)1(00112
1 −=+−+=AD
,22001
,11011
,21210
,11101
,10111
10110
,21120
,10110
,10112
3332312322
21131211
==Ω−=−=Ω−==Ω−=−=Ω−==Ω
=−=Ω−==Ω=−=Ω−==Ω
IAA =
−−
−=−
011120101
3/23/13/23/13/13/13/23/13/1
1
95J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. I : Análise Matricial7. Sistema Linear de Equações
Sistema Linear de n Equações em m Variáveis Definição
BXA =
)1()1()(
xnBxmXmxnA [ ]mAAAA L21=
96J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. I : Análise Matricial7. Sistema Linear de Equações
Sistema Linear de n Equações em m Variáveis Definição
BXA =
)1()1()(
xnBxmXmxnA [ ]mAAAA L21=
Formas Equivalentes
=++
=++=++
⇒=∑=
nmnmnn
mm
mm
m
jjj
BXAXAXA
BXAXAXABXAXAXA
BXA
L
MMMM
L
L
2211
22222121
11212111
1
97J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. I : Análise Matricial7. Sistema Linear de Equações
Sistema Linear Análise de Solução
⇒= BXA ∑=
=m
jjj BXA
1
( ) [ ]( ) SoluçãoTemSistemapBAPostoAPosto ⇒==
Condição Necessária e Suficiente para Solução : B pode ser expresso como Combinação Linear das Colunas A1 ... AmPosto(A)=Posto([A B])
( ) [ ]( ) SoluçãoSemSistemaBAPostopAPosto ⇒<=
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Cap. I : Análise Matricial7. Sistema Linear de Equações
Sistema Linear Graus de Liberdade na Solução
BXA =
)1()1()(
xnBxmXmxnA
[ ]mpp AAAAA LL 11 +=
Posto de A : p p Colunas L.I. em A. Admitimos as p primeiras
p Colunas L.I.
m-p Colunas L.D.
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Cap. I : Análise Matricial7. Sistema Linear de Equações
Sistema Linear Análise de Solução
BXA =
∑∑+==
−=m
pkkk
p
jjj XABXA
11
Há m-p Graus de Liberdade na Solução Xp+1 , Xp+2 , ... , Xm
p
m
pkkkmp XXXABXXcadaa ,,,, 1
11 LL ⇒−⇒ ∑
+=+
O Lugar de Soluções é Hiperplano m-p Dimensional no Rm
Se p=m a Solução é 0-Dimensional, i.e. é um Ponto no Rm
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Cap. I : Análise Matricial7. Sistema Linear de Equações
Sistema Linear Resumo da Análise de Solução
( ) [ ]( )
m
m
RnolDimensionapmHiperplanoemSoluçõesInfinitaspm
RnoXPontoUmÚnicaSoluçãopm
SoluçãoTemSistemaBAPostopAPosto
BXA
−⇒>⊗⇒=⊗
⇒==⊗
=
:
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Cap. I : Análise Matricial7. Sistema Linear de Equações
Sistema Linear Obtenção e Análise da Solução
# Usar as operações linha sobre a Matriz Aumentada [A B] do sistema visando a diagonalização com pivôs = 1 na matriz A;# O Algoritmo é similar ao de Determinantes, mas visa-se forma final Diagonal com Pivôs Unitários. Postos são Conservados.# Operações Usadas:(A) Troca com linha abaixo de um pivô nulo para substituí-lo; (B) Dividir linha do pivô pelo mesmo para transformá-lo em 1;(C) Multiplicar linha do pivô=1 por número e somar a outra
linha para anular elemento acima e abaixo nesta coluna;# A Solução surge ao final na Coluna B;# Análise de Postos podem ser feitos simultaneamente.
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Cap. I : Análise Matricial7. Sistema Linear de Equações
Exemplo
01
1
000200111010121
)(1101
101011101110121
101
101011101110121
5
4
3
2
1
−−
−−
=
oNormalizadPivô
AumentadoTableauXXXXX
111
0110001110121013
211
022000111012101
2011
0002001110101212
−
−−
−
−
−−
−
−−
PivôNormaliza
Pivô
PivôNormaliza
−
+
−
+
=
+==−−===
=−⇒=>=
==−
10001
01101
00100
1,0,,
,:..,,:.
235..2
])([3)(100
011000001011001
3
32
154
54
321
βα
αβαβα
X
XXXXX
XXBásNãoVarXXXBásicasVarpmpmLGcomSoluçãoHá
BAPostoAPosto
Pivô
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Cap. I : Análise Matricial7. Sistema Linear de Equações
Utilização para Inversão de Matrizes Quadradas Não singulares
[ ][ ]
[ ] [ ]
1
21
2121
211
21
−
−
⇒
==
=
=
AIIA
IIIA
IIIIXXXAXXXA
AAAA
n
nn
n
n
L
LL
L
L
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Cap. I : Análise Matricial7. Sistema Linear de Equações
Inversão de Matrizes Não singulares Exemplo
101110010120001101
1100011010120001101
011120101
−−
=
Pivô
Tableau
A
3/23/13/210002/102/110001101
312/112/30002/102/110001101
210111002/102/110001101
2
−
−−−
−−
PivôNormaliza
Pivô
PivôNormaliza
−−
−=
−−
−
−
3/23/13/23/13/13/13/23/13/1
3/23/13/21003/13/13/10103/23/13/1001
3
1A
Pivô
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Cap. I : Análise Matricial7. Sistema Linear de Equações
Resolução de Sistemas Quadrados Não Singulares via Inversão
BAX
xnBxnX
nAPostonxnABXA
1
11
)(,
−=
==
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Cap. I : Análise Matricial8. Método Newton-Raphson para Equações Não Lineares
Passo Chave : Linearização Iterada em Estimativa da Solução
[ ]
[ ]
.2;1.6
;.5
0)(.4
0)()(.3
.);(..2
0;.1
.
,11
0)(
)1()()1(
)(1)()1()()(
)()(
)()()(
)0(
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
)0(
aVoltarnn
XXFimXXSe
FJXXXXJF
XXJFXF
XemFJCalcXFFCalc
nXEntrar
EqsdasJacobianaMatriz
XF
XF
XF
XF
XF
XF
XF
XF
XF
FJ
SoluçãoEstimativaXxnXxnF
XF
nnn
nnnnn
nn
nTTX
nn
n
nnn
n
n
TTX
+=
=⇒≤−
−=⇒=−+
=−+≅
∇==
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∇=
=
++
−+
ε
L
MOMM
L
L
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Cap. I : Análise Matricial8. Método Newton-Raphson para Equações Não Lineares
Exemplo
SoluçãoXT=0T
[ ]
[ ]
[ ] EtcXFJXX
JF
n
XFJXX
JJF
n
XXXXX
XJXXXXXXXXXX
XF
⇒
−−−
=⇒−=
−−
−−=
−
−=
=
−−
−=⇒−=
−−−
−=
−−−−−
=
=
=
−−−−−
=
==
−−−
−+=
−
−
−
5695.189661.061653.0
114375.3625.41025.975.64
,06094.356
1625.4375.32
75.2125.1125.025.2875.0125.015.00
,1142210442
,061
0
11410
222)(,
221
,0410)(
)2()1(1)1()1()2(
)1()1(
)1()0(1)0()0()1(
1)0()0()0(
23
321)0(
321
321
23
22
21