Embed Size (px)
Citation preview
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC
Hà Đức Thái
BIẾN ĐỔI HILBERT - ỨNG DỤNG
TRONG VIỆC NGHIÊN CỨU SỰ HỘI TỤ
CỦA CHUỖI FOURIER VÀ TÍCH PHÂN FOURIER
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Chương trình đào tạo chuẩn
Hà Nội – Năm 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC
Hà Đức Thái
BIẾN ĐỔI HILBERT - ỨNG DỤNG
TRONG VIỆC NGHIÊN CỨU SỰ HỘI TỤ
CỦA CHUỖI FUORIER VÀ TÍCH PHÂN FUORIER
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Chương trình đào tạo chuẩn
Người hướng dẫn: TS. Đặng Anh Tuấn
Hà Nội – Năm 2015
i
Mục lục
Lời mở đầu 1
Lời cảm ơn 3
Bảng kí hiệu 4
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Độ đo và tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Hội tụ đơn điệu và hội tụ chặn của tích phân Lebesgue . 10
1.3 Không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Hàm liên tục tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Biến đổi Hilbert 21
2.1 Biến đổi Hilbert rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Biến đổi Hilbert trên đường thẳng thực . . . . . . . . . . 33
3 Sự hội tụ của chuỗi Fourier và tích phân Fourier 42
3.1 Định lý Fejer về sự hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . 42
ii
3.2 Sự hội tụ trong Lp của chuỗi Fourier và tích phân Fourier 47
3.3 Mối liên hệ giữa sự hội tụ của chuỗi Fourier và tích phân
Fourier qua biến đổi Hilbert và toán tử Carleson . . . . . 52
Kết luận 60
Tài liệu tham khảo 61
1
Lời mở đầu
Trong Giải tích, biến đổi Hilbert có ý nghĩa cả về mặt lý thuyết và
ứng dụng. Đặc biệt là mối liên hệ giữa sự hội tụ của chuỗi Fourier, tích
phân Fourier qua biến đổi Hilbert và toán tử Carleson.
Vì vậy, tôi chọn đề tài làm khóa luận tốt nghiệp là: " Biến đổi Hilbert -
Ứng dụng trong việc nghiên cứu về sự hội tụ của chuỗi Fourier và tích
phân Fourier."
Nghiên cứu đề tài này đã giúp tôi hiểu sâu hơn về các tính chất của biến
đổi Hilbert cũng như mối liên hệ giữa sự hội tụ của chuỗi Fourier và tích
phân Fourier qua biến đổi Hilbert và toán tử Carleson.
Nội dung của khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1. Kiến Thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về Độ đo
và tích phân Lebesgue, tính khả tích đều trong không gian LP và cuối
cùng là các khái niệm cơ bản về hàm liên tục tuyệt đối.
Chương 2. Biến đổi Hilbert
Trong chương này, chúng tôi trình bày về biến đổi Hilbert rời rạc và biến
đổi Hilbert trên đường thẳng thực cùng với các ví dụ minh họa.
Chương 3. Sự hội tụ của chuỗi Fourier và tích phân Fourier
Trong chương này, chúng tôi trình bày về sự hội tụ đều đối với tổng
Fejer của hàm liên tục, sự hội tụ trong LP của chuỗi Fourier, tích phân
Fourier và cuối cùng là mối liên hệ giữa sự hội tụ của chuỗi Fourier, tích
2
phân Fourier qua biến đổi Hilbert và toán tử Carleson.
Nội dung chủ yếu của khóa luận dựa vào chương 2, chương 3, chương
4 trong cuốn sách " Introduction to Fourier Analysis and Wavelets"
(2003) của tác giả M. A. Pinsky [3] và chương 6, chương 7 trong cuốn
sách "Classical and Multilinear Harmonic Analysis" (2013) của tác giả
C. Muscalu và W. Schlag [2].
Tôi hy vọng khóa luận sẽ là một tài liệu tham khảo tốt cho những người
quan tâm đến lĩnh vực này.
Tuy nhiên, với phạm vi thời gian và kiến thức của tôi có hạn, khóa luận
không thể tránh khỏi thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo
của các thầy, cô.
3
Lời cảm ơn
Khóa luận được hoàn thành tại Khoa Toán - Cơ - Tin học,
Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội dưới sự
hướng dẫn của TS. Đặng Anh Tuấn. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận
tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện đề tài đã giúp
tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với
thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học
Khoa học tự nhiên, các thầy lãnh đạo Khoa Toán - Cơ - Tin học và các
thầy giáo, cô giáo trong nhà trường đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi
cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận.
Hà Nội, ngày 15 tháng 5 năm 2015
Tác giả
Hà Đức Thái
4
Bảng kí hiệu
N Tập số tự nhiên
R Tập số thực
C Tập số phức
∅ Tập rỗng
I Gian trong R
µ∗(I) Độ đo ngoài Lebesgue của I
µ(I) Độ đo Lebesgue của I
AC(I) Không gian các hàm liên tục tuyệt đối trong I
� Kết thúc chứng minh
5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về độ
đo và tích phân Lebesgue, các định lý về hội tụ đơn điệu, hội tụ chặn
Lebesgue. Tiếp theo chúng tôi trình bày về tính khả tích đều trong không
gian Lp. Cuối cùng chúng tôi trình bày về tính khả vi hầu khắp nơi khôi
phục lại từ đạo hàm hầu khắp nơi và tích phân từng phần đối với hàm
liên tục tuyệt đối. Các định lý đã được chứng minh đầy đủ trong [1]
do đó trong khóa luận chúng tôi chỉ đưa ra kết quả để sử dụng cho các
chương tiếp theo.
1.1 Độ đo và tích phân Lebesgue
Định nghĩa 1.1.1. [1]. Cho tập hợp A trong không gian metric X. Điểm
x ∈ X được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại một lân cận V của x
sao cho V ⊂ A.
Tập hợp tất cả các điểm trong của A được gọi là phần trong của A. Ký
hiệu là IntA.
6
Tập A được gọi là tập hợp mở nếu mọi điểm của A đều là điểm trong
của nó. Tập A được gọi là tập đóng nếu phần bù của A trong X, ký hiệu
là X\A hay Ac, là tập hợp mở.
Định nghĩa 1.1.2. [1]. Tập hợp A ⊂ Rn được gọi là tập compact nếu
mọi dãy điểm {xk} ⊂ A đều tồn tại dãy con {xki} hội tụ đến một điểm
thuộc A.
Định nghĩa 1.1.3. [1]. F là σ− đại số nhỏ nhất bao hàm lớp các tập
mở trong R được gọi là σ− đại số Borel của R. Phần tử của F được gọi
là các tập Borel trong R.
Định nghĩa 1.1.4. [1]. Ta gọi gian trên R là tập hợp điểm có một trong
các dạng sau:
(a, b), [a, b], [a, b), (a, b], (+∞,−∞), (−∞, a), (−∞, a], [a,+∞), (a,−∞).
Gọi P là họ các gian.
Định nghĩa 1.1.5. [1]. Với mỗi tập A ⊂ R, ta định nghĩa
µ∗(A) = inf{∞∑k=1
|∆k| : ∪∞k=1∆k ⊃ A,∆k ∈ P}.
Hàm tập µ∗ thỏa mãn các tính chất:
1. µ∗(A) ≥ 0,∀A ⊂ R,
2. µ∗(∅) = 0,
3. A ⊂ ∪ni=1Ai ⇒ µ∗(A) ≤∑∞
i=1 µ∗(Ai).
Khi đó µ∗ là độ đo ngoài Lebesgue trên R.
7
Hàm tập µ∗ là một độ đo ngoài trên R, như vậy ta áp dụng định lý
Caratheodory để xây dựng một độ đo trên R, đó là độ đo Lebesgue trên
đường thẳng.
Định nghĩa 1.1.6. [1]. Với độ đo ngoài µ∗ trên tập con A ⊂ R thỏa mãn:
µ∗(E) = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E\A),∀E ⊂ R,
được gọi là đo được Lebesgue trên R. Lớp các tập đo được Lebesgue trên
R ký hiệu là L. Độ đo µ∗ trên L được ký hệu là µ.
Nhận xét 1.1.1. 1. L là một σ− đại số, nghĩa là đóng kín với các phép
toán hợp đếm được, giao đếm được và phép lấy phần bù các tập hợp.
2. Tập Borel là những tập xuất phát từ tập hợp mở và thực hiện một số
hữu hạn hay đếm được phép toán hợp, giao trên các tập hợp đó.
3. Mọi tập Borel đều đo được Lebesgue.
Nhận xét 1.1.2. Mỗi tập hợp A đo được ta đều có thể biểu diễn được
thành
A = E0 + ∪nKn,
với Kn là các tập compact, Kn ⊂ Kn+1, n = 1, 2, ... và µ(E0) = 0.
Định lý 1.1.1. [1]. Cho dãy tập đo được Lebesgue, A1 ⊂ A2 ⊂ ....
Khi đó ∪∞i=1Ai là tập đo được Lebesgue. Hơn nữa µ(∪∞i=1Ai) = limi→∞ µ(Ai).
Định nghĩa 1.1.7. [1]. Cho A ∈ L. Hàm số f : A → R gọi là đo được
trên tập A đối với σ− đại số L nếu
∀a ∈ R, {x ∈ A : f(x) < a} ∈ L.
8
Nhận xét 1.1.3. L là σ− đại số tức là đóng kín với các phép toán về
tập hợp nên điều kiện trong định nghĩa trên có thể thay bởi một trong
các điều kiện sau:
∀a ∈ R, {x ∈ A : f(x) > a} ∈ L,
∀a ∈ R, {∀a ∈ A : f(x) ≤ a} ∈ L,
∀a ∈ R, {∀a ∈ A : f(x) ≥ a} ∈ L.
Vậy f(x) đo được trên tập hợp A thì cũng đo được trên mọi tập con của
A thuộc L.
Định nghĩa 1.1.8. [1]. Cho dãy hàm đo được fn : A → R, được gọi là
hội tụ hầu khắp nơi (h. k. n) về hàm số f(x) trên tập A ∈ L nếu
tồn tại tập B ⊂ A,B ∈ L và µ(B) = 0 sao cho limn→∞ fn(x) =
f(x),∀x ∈ A\B.
Định nghĩa 1.1.9. [1]. Dãy hàm số {fn} được gọi là hội tụ theo độ đo
µ đến hàm số f(x) trên tập A đo được, ký hiệu là fnµ→ f, nếu
∀ε > 0, limn→+∞
µ({x ∈ A : |fn(x)− f(x)| ≥ ε}) = 0.
Định lý 1.1.2. [1]. Nếu {fn} là dãy các hàm đo được trên tập A, hội
tụ h. k. n tới hàm f(x) thì f(x) đo được. Trong trường hợp µ(A) < +∞
thì fn(x)µ→ f(x).
9
Định nghĩa 1.1.10. [1]. Cho A là tập đo được, f : A→ R là hàm đơn
giản, đo được trên A, nghĩa là f có hữu hạn giá trị f1, f2, ..., fn.
Đặt
Ak = {x ∈ A : f(x) = fk}, k = 1, 2, ..., n.
A = ∪nk=1Ak, f(x) =n∑k=1
fk(x),∀x ∈ A.
Khi đó tích phân của hàm đơn giản f(x) trên A với độ đo µ là số∫A
f(x)dµ =n∑k=1
fkµ(Ak).
Định nghĩa 1.1.11. [1]. Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm số
f : A→ [0,+∞] là hàm đo được. Khi đó tồn tại dãy đơn điệu tăng các
hàm đơn giản đo được fn(x) ≥ 0 hội tụ h. k. n về hàm số f(x) trên A.
Tích phân của hàm f(x) trên A với độ đo µ là∫A
f(x)dµ = limn→+∞
∫A
fn(x)dµ.
Định nghĩa 1.1.12. [1]. Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm số
f : A→ R là hàm đo được. Khi đó ta có f(x) = f+(x)− f−(x),
với f+(x), f−(x) ≥ 0 và có tích phân tương ứng trên A với độ đo µ là∫A f
+(x)dµ,∫A f−(x)dµ. Nếu
∫A f
+(x)dµ−∫A f−(x)dµ có nghĩa thì tích
phân của hàm đo được f(x) trên A với độ đo µ là∫A
f(x)dµ =
∫A
f+(x)dµ−∫A
f−(x)dµ.
10
1.2 Hội tụ đơn điệu và hội tụ chặn của
tích phân Lebesgue
Định lý 1.2.1. [1]. (Hội tụ đơn điệu Beppo Levi)
Nếu dãy hàm số fn(x) thỏa mãn fn(x) ≥ 0 và fn(x) đơn điệu tăng đến
hàm số f(x) trên tập A đo được thì
limn→∞
∫A
fn(x)dµ =
∫A
f(x)dµ.
Định lý 1.2.2. [1]. Nếu dãy hàm số fn(x) đơn điệu tăng đến hàm số
f(x) trên tập A đo được và f(x) là hàm khả tích thì
limn→∞
∫A
fn(x)dµ =
∫A
f(x)dµ.
Định lý 1.2.3. [1]. Nếu dãy hàm số fn(x) ≥ 0 trên tập A đo được thì∫A
∞∑n=1
fn(x)dµ =∞∑n=1
∫A
fn(x)dµ.
Định lý 1.2.4. [1]. Nếu dãy hàm số fn(x) ≥ 0 trên tập A đo được và∫A
∞∑n=1
fn(x)dµ <∞
thì∑∞
n=1 fn(x)dµ < ∞ h. k. n trên A và hàm số f(x) =∑∞
n=1 fn(x)dµ
khả tích trên A.
Định lý 1.2.5. [1]. (Bổ đề Fatou)
Nếu dãy hàm số fn(x) ≥ 0 trên tập A đo được thì∫A
lim infn→∞
fn(x)dµ ≤ lim infn→∞
∫A
fn(x)dµ ≤
11
≤ lim supn→∞
∫A
fn(x)dµ ≤∫A
lim supn→∞
fn(x)dµ.
Định nghĩa 1.2.1. [1]. (Hội tụ chặn)
Nếu dãy hàm số fn(x) thỏa mãn |fn(x)| ≤ g(x) trong đó g(x) là một
hàm khả tích và fn(x) → f(x) ( h. k. n hay theo độ đo) trên tập A đo
được thì
limn→∞
∫A
fn(x)dµ =
∫A
f(x)dµ.
Nhận xét 1.2.1. Trong không gian Rk, việc chuyển qua giới hạn dưới
dấu tích phân không gặp nhiều khó khăn như tích phân Riemann. Nếu
một hàm số f(x) khả tích Riemann trên một đoạn ∆ ⊂ Rk thì cũng khả
tích Lebesgue trên đoạn ấy và hai tích phân bằng nhau:
(R)
∫∆
f(x)dx = (L)
∫∆
f(x)dµ.
1.3 Không gian Lp
Định nghĩa 1.3.1. [1]. Cho E ⊂ R là tập đo được Lebesgue và µ là một
độ đo Lebesgue. Họ các hàm số f(x) có lũy thừa bậc p (1 ≤ p <∞) của
modun khả tích trên E, nghĩa là∫E |f(x)|pdµ < ∞, được gọi là không
gian Lp(E, µ), hay Lp(E).
Định nghĩa 1.3.2. [2]. Hàm số f(x) đo được trên E gọi là bị chặn cốt
yếu nếu tồn tại tập A có độ đo 0, sao cho f(x) bị chặn trên E\A. Nghĩa
là tồn tại số K > 0 sao cho |f(x)| ≤ K, ∀x ∈ E\A. Cận dưới đúng của
12
tập hợp tất cả các số K thỏa mãn như trên được gọi là cận trên đúng
cốt yếu của hàm f(x) trên tập E, ký hiệu là esssupE |f(x)|.
Họ tất cả các hàm f(x) bị chặn cốt yếu trên E được gọi là không gian
L∞(E).
Định lý 1.3.1. [2]. Nếu hàm số f(x) ∈ L∞(E) thì f(x) ≤ esssupE |f(x)|
h. k. n trên E.
Định lý 1.3.2. [1]. (Bất đẳng thức Holder)
Cho p, q là hai số thực thỏa mãn 1 < p, q <∞, 1p + 1
q = 1.
Nếu f ∈ Lp(E), g ∈ Lq(E) thì∫E
|f(x).g(x)|dµ ≤(∫
E
|f(x)|pdµ) 1p
.(∫
E
|g(x)|qdµ) 1q
.
Định lý 1.3.3. [1]. (Bất đẳng thức Young)
Cho f ∈ L1(R), g ∈ Lp(R) thì (f ∗ g)(x) =∫R f(x− y)g(y)dy thuộc vào
Lp(R).
Hơn nữa
||f ∗ g||p ≤ ||f ||1.||g||p.
Định lý 1.3.4. [1]. (Bất đẳng thức Minkowski)
Cho số thực p thỏa mãn 1 < p <∞. Nếu f, g ∈ Lp(E) thì(∫E
|f(x) + g(x)|pdµ) 1p ≤
(∫E
|f(x)|pdµ) 1p
+(∫
E
|g(x)|pdµ) 1p
.
13
Định nghĩa 1.3.3. [4]. Không gian các hàm giảm nhanh S(R) là tập
hợp
S(R) = {f : R→ C sao cho f ∈ C∞(R),∀m,n ∈ Z+ thì ∃cm,n thỏa mãn
|xmf (n)(x)| < cm,n,∀x ∈ R}.
Định nghĩa 1.3.4. [4]. Cho f ∈ S(R) thì phép biến đổi Fourier của f
được xác định như sau:
f(ξ) =
∫Rf(x)e−2πixξdξ.
Ta có một số tính chất của phép biến đổi Fourier:
1. Biến đổi Fourier là toán tử từ S(R) vào S(R),
2. e2πixMf(ξ) = f(ξ −M),∀M ∈ R,
3.∫R f(ξ)g(ξ)dξ =
∫R f(ξ)g(ξ)dξ, ∀g ∈ Lp(R), p > 2.
4. ||f ||2 = ||f ||2 với f ∈ L2(R)
Định nghĩa 1.3.5. [4]. Cho f ∈ S(R) thì phép biến đổi ngược Fourier
của f được xác định như sau:
f(ξ) =
∫Rf(x)e2πixξdξ.
Định lý 1.3.5. [4]. (Định lý Young - Hausdorff)
Nếu 1 < p < 2 thì phép biến đổi Fourier là xác định và bị chặn từ Lp(R)
vào Lp′(R) với 1
p + 1p′ = 1.
14
Định lý 1.3.6. [2]. (Định lý nội suy Riesz - Thorin)
Cho 1 ≤ p, q, p0, p1, q0, q1 ≤ +∞, θ ∈ (0, 1) thỏa mãn
1
p=
1− θp0
+θ
p1;
1
q=
1− θq0
+θ
q1.
T là ánh xạ tuyến tính, T : Lp0(R)→ Lq0(R) và ||T ||p0→q0 = N0;
T : Lp1(R)→ Lq1(R) và ||T ||p1→q1 = N1 thì ta có
||Tf ||q ≤ N 1−θ0 .N θ
1 ||f ||p,∀f ∈ Lp0(R) ∩ Lp1(R).
Từ đây ta có thể mở rộng thành ánh xạ liên tục từ Lp(R) vào Lq(R)
với ||T ||p→q ≤ N 1−θ0 .N θ
1 .
Định lý 1.3.7. [2].(Định lý khả vi Lebesgue)
Cho f ∈ L1(E) thì ta có limε→0+
1ε
∫ x+ε
x−ε |f(t)|dt = 0 h.k.n theo x ∈ E.
Định lý 1.3.8. [1].(Định lý đối ngẫu)
Cho p ∈ R, 1 < p < +∞, khi đó không gian đối ngẫu của LP (R) là
LP′(R) với 1
p + 1p′ = 1.
Nhận xét 1.3.1. Lp(E, µ) với 1 ≤ p < +∞ là một không gian định
chuẩn tách được với chuẩn được xác định:
||f(x)||p =(∫
E
|f(x)|pdµ) 1p.
Hơn nữa LP (E, µ) là không gian định chuẩn đầy đủ, tức là không gian
Banach. Do đó một dãy {fn(x)} hội tụ trong LP (E, µ) thì nó chứa một
15
dãy con fnk(x) hội tụ h. k. n.
Sự hội tụ trong LP (E, µ) ta gọi là hội tụ trung bình cấp p, ký hiệu là
fn(x)(p)→ f(x). Vậy một dãy hội tụ trung bình thì cũng hội tụ theo độ đo.
Định nghĩa 1.3.6. [2]. Cho E ⊂ R, là tập đo được Lebesgue và
f : E → R là hàm đo được Lebesgue. Hàm f(x) gọi là khả tích đều
(equi - integrable) nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi
F ⊂ E, µ(F ) ≤ δ thì∫F |f(x)|dx ≤ ε.
Nhận xét 1.3.2. Hàm số f(x) ∈ LP (E) với E ⊂ R, đo được Lebesgue,
1 ≤ p < ∞ thì khả tích đều trên E. Đây chính là tính khả tích đều của
không gian LP (E)
Định lý 1.3.9. [1]. Không gian C[a,b] trù mật trong Lp([a, b]) với
1 ≤ p < +∞.
Định lý 1.3.10. [2]. Không gian C∞0 (R) trù mật trong Lp(R) với
1 ≤ p <∞.
Định nghĩa 1.3.7. [4]. Một họ nhân {Kn} ⊂ L1(T) được gọi là họ nhân
tốt nếu nó thỏa mãn các tính chất:
1. ∀n ≥ 1, ta có 12π
∫ π−πKn(x)dx = 1,
2. ∃M > 0,∀n :∫ π−π |Kn(x)|dx ≤M,
3. ∀δ > 0 thì limn→∞
(supδ<|x|<π |Kn(x)|
)= 0.
16
Định lý 1.3.11. [3]. Nếu f là hàm khả tích trên [−π, π] và {KN}∞N=1là
họ nhân tốt thì(f ∗KN
)(x)
N→+∞−→ f(x) tại mọi điểm liên tục của f.
Hơn nữa, nếu f liên tục trên T thì f ∗KN hội tụ đều về f trên T.
Chứng minh. Giả sử x0 là một điểm liên tục bất kỳ của f.
Với ε > 0 ta sẽ tìm số N0 ∈ N sao cho ∀N > N0 thì
|f ∗KN(x0)− f(x0)| < 2ε.
Vì f liên tục tại x0 nên ∃δ > 0 : ∀|y| < δ thì
|f(x0 − y)− f(x0)| < ε.
Ta có
|f∗KN(x0)−f(x0)| =∣∣∣ 1
2π
∫ π
−πf(x0 − y)KN(y)dy− 1
2π
∫ π
−πf(x0)KN(y)dy
∣∣∣=∣∣∣ 1
2π
∫ π
−π
(f(x0 − y)− f(x0)
)KN(y)dy
∣∣∣≤ 1
2π
∫ π
−π|(f(x0 − y)− f(x0)|.|KN(y)|dy
=1
2π
∫|y|<δ|(f(x0 − y)− f(x0)|.|KN(y)|dy
+1
2π
∫δ<|y|<π
|(f(x0 − y)− f(x0)|.|KN(y)|dy = I1 + I2.
Ta có
I1 ≤1
2πε
∫|y|<δ|KN(y)|dy ≤ 1
2πε
∫T|KN(y)|dy = ε.
I2 ≤1
2πsup
δ<|y|<π|KN(y)|
∫δ<|y|<π
|f(x0 − y)− f(x0)|dy.
≤ 1
π||f ||1 sup
δ<|y|<π|KN(y)|.
17
Vì limn→∞
(sup
δ<|x|<π|Kn(x)|
)= 0 nên I2
N→∞→ 0. Do đó tồn tại N0 = N0(δ)
để I2 < ε,∀N > N0.
Vậy ta có |f ∗KN(x0)− f(x0)| < 2ε, với mọi N > N0.
Hay limN→+∞
(f ∗KN)(x0) = f(x0).
Nếu f liên tục trên T thì f liên tục đều trên T nên số δ được chọn ở
trên không phụ thuộc vào x0. Do đó f ∗KN hội tụ đều về f trên T khi
N →∞. �
1.4 Hàm liên tục tuyệt đối
Định nghĩa 1.4.1. [2]. Cho đoạn I ⊂ R. Hàm số f : I → R được
gọi là liên tục tuyệt đối trên I nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao
cho với mọi hệ hữu hạn các khoảng (a1, b1), (a2, b2), ..., (ak, bk) rời nhau,
[ai, bi] ⊂ I,i = 1, 2, ..., k và∑k
i=1 (bi − ai) ≤ δ thì
k∑i=1
|f(bi)− f(ai)| ≤ ε.
Không gian của tất cả các hàm liên tục tuyệt đối trên I ký hiệu là AC(I).
Hàm số f : I → R được gọi là liên tục tuyệt đối địa phương nếu f liên
tục tuyệt đối trong mọi đoạn [a, b] ⊂ I. Không gian của tất cả các hàm
liên tục tuyệt đối địa phương trên I ký hiệu là ACloc(I).
Ví dụ 1.4.1. Các hàm f(x) khả vi mọi nơi trong [a, b] có đạo hàm bị
chặn trong [a, b] thì f(x) là hàm liên tục tuyệt đối trong [a, b].
18
Định lý 1.4.1. [2]. Cho khoảng I ⊂ R và hàm số f : I → R. Khi
đó f ∈ AC(I) khi và chỉ khi với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho
với mọi hệ hữu hạn các khoảng (a1, b1), (a2, b2), ..., (ak, bk) rời nhau,
[ai, bi] ⊂ I,i = 1, 2, ..., k và∑k
i=1 (bi − ai) ≤ δ thì
∣∣∣ k∑i=1
(f(bi)− f(ai)
)∣∣∣ ≤ ε.
Định lý 1.4.2. [2]. Cho khoảng I ⊂ R và hàm số f : I → R khả vi với
đạo hàm bị chặn.
Khi đó f ∈ AC(I), nghĩa là f liên tục tuyệt đối trên I.
Định lý 1.4.3. [2]. Cho f, g ∈ AC([a, b]). Khi đó ta có f±g ∈ AC([a, b]),
f.g ∈ AC([a, b]), và nếu g(x) ≥ 0,∀x ∈ [a, b] thì fg ∈ AC([a, b]).
Tương tự ta cũng có các phép toán đối với hàm liên tục tuyệt đối địa
phương.
Định lý 1.4.4. [2]. Cho I ⊂ R là một khoảng bị chặn và f : I → R là
hàm liên tục tuyệt đối trên I. Khi đó ta có thể mở rộng f thành hàm
g : I → R. Nếu f ∈ AC(I) thì hàm mở rộng g ∈ AC(I).
(I là bao đóng của I.)
Định lý 1.4.5. [2]. Cho I ⊂ R là một khoảng bị chặn, BPV (I) là không
gian các hàm có biến phân bị chặn trong I. Khi đó AC(I) ⊂ BPV (I).
Đặc biệt, nếu f ∈ AC(I) thì f khả vi h. k. n trong I và f ′ khả tích
Lebesgue.
19
Định lý 1.4.6. [2]. Cho gian I ⊂ R và f ∈ ACloc(I)(tương ứng, AC(I)).
Khi đó f ∈ BPVloc(I), (tương ứng, BPV (J) cho tất cả các khoảng con
bị chặn J của I ). Đặc biệt, f khả vi h. k. n trong I và f ′ khả tích địa
phương Lebesgue (tương ứng, khả tích Lebesgue trên những khoảng con
bị chặn của I).
Định lý 1.4.7. [2]. (Định lý Lusin)
Cho khoảng I ⊂ R và hàm số f : I → R. Khi đó f ∈ ACloc(I) khi và chỉ
khi ba điều kiện sau đây đồng thời xảy ra:
1. f liên tục trên I.
2. f khả vi h. k. n trong I và f ′ ∈ L1loc(I).
3. f biến tập có độ đo Lebesgue 0 thành tập có độ đo Lebesgue 0.
Định lý 1.4.8. [2]. (Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân)
Cho khoảng I ⊂ R và hàm số f : I → R. Khi đó f ∈ ACloc(I) khi và chỉ
khi ba điều kiện sau đây đồng thời xảy ra:
1. f liên tục trên I.
2. f khả vi h. k. n trong I và f ′ ∈ L1loc(I).
3. ∀x, x0 ∈ I,
f(x) = f(x0) +
∫ x
x0
f ′(t)dt.
Như vậy muốn khôi phục một hàm số F (x) từ đạo hàm F ′(x) của nó
thì điều kiện hàm F (x) phải tuyệt đối liên tục. Việc chứng minh định lý
trên được trình bày chi tiết trong [2], dựa trên bổ đề mà chúng tôi trình
bày trong định lý sau đây.
20
Định lý 1.4.9. [2]. Cho khoảng I ⊂ R và hàm số f : I → R là hàm khả
tích Lebesgue địa phương. Cố định x0 ∈ I và cho f(x) =∫ xx0g(t)dt, x ∈ I.
Khi đó f ∈ ACloc(I) và f ′(x) = g(x) h. k. n trong I.
Định lý 1.4.10. [2]. Cho khoảng I ⊂ R và hàm số f : I → R khả vi
mọi nơi. Nếu f ′ ∈ L1loc(I), thì ∀x, x0 ∈ I ta có
f(x) = f(x0) +
∫ x
x0
f ′(t)dt.
Định lý 1.4.11. [2]. (Phép tính tích phân từng phần)
Cho khoảng I ⊂ R và hàm số f, g ∈ ACloc(I). Khi đó ∀x, x0 ∈ I ta có∫ x
x0
f(t).g′(t)dt = f(x).g(x)− f(x0).g(x0)−∫ x
x0
f ′(t).g(t)dt.
21
Chương 2
Biến đổi Hilbert
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày về phép biến đổi Hilbert
của đa thức lượng giác, sau đó là biến đổi Hilbert của hàm đo được
trên đường thẳng. Cuối cùng là phần trình bày về biến đổi Hilbert trong
Lp(R).
2.1 Biến đổi Hilbert rời rạc
Ta ký hiệu chuỗi lượng giác hình thức là∑n∈Z
cneinθ, θ ∈ [−π, π], cn ∈ C.
Định nghĩa 2.1.1. [4]. f =∑
n∈Z cneinθ, θ ∈ [−π, π], cn ∈ C, được gọi
là một đa thức lượng giác nếu chỉ có hữu hạn cn khác không. Gọi P là
tập hợp tất cả các đa thức lượng giác. Biến đổi Hilbert của f ∈ P là
Hf(θ) = H(∑n∈Z
cneinθ)
(θ) = −i∑n≥1
cneinθ + i
∑n≤−1
cneinθ. (2.1)
22
Ánh xạ chiếu P : P → P xác định bởi
f =∑n∈Z
cneinθ 7→ Pf =
∑n≥1
cneinθ.
Ví dụ 2.1.1. Với n ∈ N ta có
H(cosnθ) = H(einθ + ei(−n)θ
2) =−i2einθ +
i
2ei(−nθ) =
−i2
(einθ − ei(−nθ))
=−i2
2i sinnθ = sinnθ.
H(sinnθ) = H(einθ − ei(−n)θ
2) =−i2i
(einθ + ei(−nθ)) = − cosnθ.
Giả sử∫ π−π f(θ)dθ = 0 thì c0 = 0.
Ta có
(f + iHf) =∑n∈Z
cneinθ +
∑n≥1
cneinθ −
∑n≤1
cneinθ
= c0 +∑n≥1
cneinθ = 2Pf(θ).
Vì 2Pf là đa thức lượng giác nên (2Pf)2k, k ∈ N cũng là một đa thức
lượng giác.
Ta có Pf(θ) =∑
n≥1 cneinθ. Vì chỉ có hữu hạn cn 6= 0 suy ra
Prf(θ) =N∑n=1
cneinθ.
Vậy ta có
(Pf(θ))2k =
N∑n1,n2,...,n2k
cn1cn2...cn2kei(∑2kj=1 njθ).
Suy ra số mũ của eiθ trong các số hạng của(Pf(θ)
)2k
luôn lớn hơn hoặc
bằng 1. Vậy ta có ∫ π
−π
(Pf(θ)
)2k
dθ = 0,∀k ∈ N. (2.2)
23
Giả sử f =∑
n∈Z cneinθ là một đa thức lượng giác bất kỳ thì f − c0 là
một đa thức lượng giác.
Nếu ||H(f − c0)||p ≤ C||f − c0||p thì ||Hf ||p ≤ 2C||f ||p.
Thật vậy
||H(f − c0)||p = ||Hf −H(c0)||p = ||Hf ||p, (H(c0) = 0).
Mặt khác ta có ||f − c0||p ≤ ||f ||p + ||c0||p mà
||c0||p =(∫ π
−π|c0|pdθ
) 1p
= |c0|(2π)1p .
Do c0 = 12π
∫ π−π f(θ)dθ suy ra
|c0| ≤∫ π
−π|f(θ)| 1
2πdθ ≤
(∫ π
−π|f(θ)|pdθ
) 1p
.(∫ π
−π(
1
2π)qdθ
)1− 1p
= ||f ||p(2π)−1p
nên ta có ||c0||p ≤ ||f ||p.
Vậy ||f − c0||p ≤ 2||f ||p, hay ||Hf ||p ≤ 2C||f ||p.
Không giảm tính tổng quát ta giả sử rằng∫T f(x)dx = c0 = 0 trong việc
chứng minh H là toán tử bị chặn từ P vào Lp(T).
Định lý 2.1.1. [4]. H là toán tử bị chặn từ P vào L2(T). Hơn nữa
||H||2→2 = 1.
Chứng minh. Vì { 1√2πeinθ}n là hệ trực chuẩn trong L2(T) nên ta có
||Hf ||22 = || − i∑n≥1
cneinθ + i
∑n≤−1
cneinθ||22
=∑n≥1
|| − icneinθ||22 +∑n≤−1
||icneinθ||22 =∑
n∈Z,n6=0
4π2|cn|2
≤∑n∈Z
|2πcn|2 = ||f ||22.
24
Vậy H bị chặn trong L2(T) và ||H||2 ≤ 1. Mà H(cosnθ) = sinnθ nên
||H||2→2 = 1. �
Định lý 2.1.2. [4]. H là toán tử bị chặn từ P vào L2k(T),∀k ≥ 2, k ∈ N.
Chứng minh. Trường hợp 1: f là đa thức lượng giác có giá trị thực.
Nếu f là hàm thực thì Hf cũng là hàm thực. Ta có
(2Pf)2k = (f + iHf)2k =2k∑j=0
(2k
j
)f j(iHf)2k−j.
Ta suy ra∫ π
−π(2Pf)2k(θ)dθ =
2k∑j=0
(2k
j
)∫ π
−πf j(θ)(iHf)2k−j(θ)dθ.
Theo (2.2) ta có
2k∑j=0
(2k
j
)∫ π
−πf j(θ)(iHf)2k−j(θ)dθ = 0.
Tách riêng phần thực ta được
k∑r=1
(2k
2r
)(−1)k−r
∫ π
−πf 2r(θ)(Hf)2k−2r(θ)dθ = 0.
Suy ra∫ π
−π(Hf)2k(θ)dθ =
k−1∑r=1
(2k
2r
)(−1)k−r
∫ π
−πf 2r(θ)(Hf)2k−2r(θ)dθ.
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có∫ π
−π(Hf)2k(θ)dθ ≤
k−1∑r=1
(2k
2r
)∫ π
−π|f |2r(θ)|(Hf)|2k−2r(θ)dθ
≤k−1∑r=1
(2k
2r
)(∫ π
−π|f |2k(θ)dθ
) rk(∫ π
−π|Hf |2k(θ)dθ
)k−rk
.
25
Ta suy ra
||Hf ||2k2k ≤k∑r=1
(2k
2r
)(||f ||2k2k
) rk(||Hf ||2k2k
)k−rk
.
Với f ∈ P mà ||f ||2k = 1 ta có
||Hf ||2k2k ≤k−1∑r=1
(2k
2r
)||Hf ||2k−2r
2k .
Ta sẽ chứng minh ||Hf ||2k ≤ c2k =√
22k − 1,∀k ≥ 2
Nếu ||Hf ||2k ≤ 1 thì ta có điều phải chứng minh.
Nếu ||Hf ||2k > 1 ta suy ra ||Hf ||2k−2r2k ≤ ||Hf ||2k−2
2k ,∀r = 1, 2, ..., k − 1.
Hay ||Hf ||2k2k ≤ ||Hf ||2k−22k
∑k−1r=1
(2k2r
).
Vậy ta có ||Hf ||2k ≤√
22k − 1 = c2k.
Trường hợp 2: f là đa thức lượng giác có giá trị phức thì có thể tách f
thành f = f1 + if2 trong đó f1, f2 là các đa thức lượng giác có giá trị
thực. Khi đó ta có Hf = Hf1 + iHf2.
Do Hf1, Hf2 bị chặn trên L2k(T) nên Hf bị chặn trên L2k(T).
Thật vậy, ||Hf ||2k ≤ ||Hf1||2k + ||Hf2||2k ≤ C2k(||f1||2k + ||f2||2k).
Ta có ||f1||2k2k =∫R |f1(x)|2kdx ≤
∫R(|f1(x)|2 + |f2(x)|2)kdx ≤ ||f ||2k2k.
Tương tự ta có ||f2||2k ≤ ||f ||2k.
Vậy ||Hf ||2k ≤ 2C2k||f ||2k.
Mà không gian các đa thức lượng giác trù mật trong LP (T) (ta sẽ chứng
minh điều này ở chương sau) nên H là toán tử bị chặn từ L2k(T) vào
L2k(T),∀k ≥ 1. �
Theo định lý nội suy M. Riesz - Thorin ta có toán tử H bị chặn trong
LP (T), với p ≥ 2.
26
Định lý 2.1.3. [4]. H là toán tử bị chặn từ Lp(T) vào Lp(T), 1 < p < 2.
Chứng minh. Vì∫ π
−πHf(θ)g(θ)dθ = −
∫ π
−πf(θ)Hg(θ)dθ
nên ta có ||Hf ||p = sup06=g∈Lp′(T)
∫ π−π|fHg|(θ)dθ||g||p′
, trong đó Lp′(T) là đối ngẫu
của Lp(T).
Vì 1 < p < 2 nên p′ ≥ 2, ta có∫ π
−π|fHg|(θ)dθ ≤ ||f ||p.||Hg||p′
≤ ||f ||p.cp′.||g||p′.
Vậy ta có ||Hf ||p ≤ cp′.||f ||p.
Suy ra H bị chặn trong Lp(T), với 1 < p < 2. �
Từ các kết quả đã chứng minh ở trên ta có H là toán tử bị chặn trong
Lp(T), với 1 < p < +∞.
Định nghĩa 2.1.2. [4]. Ta gọi là nhân Poisson được xác định như sau
Pr(θ) =∑n∈Z
r|n|einθ, 0 < r < 1, θ ∈ [−π, π].
Vì Pr(θ) thỏa mãn các tính chất
1. limr→1−
12π
∫T Pr(θ)dθ = 1,
2.∫T |Pr(θ)|dθ ≤ C, ∀r ∈ (0, 1),
3. limr→1−
supδ<|θ|<π
|Pr(θ)| = 0,∀δ > 0,
nên {Pr(θ)}r∈(0,1) là họ nhân tốt.
27
Đặt
Prf(θ) =∑n∈Z
r|n|f(n)einθ = (f ∗ Pr)(θ),
Qrf(θ) = −i∑n∈Z
sgn(n)r|n|f(n)einθ.
Ta có Pf , Qf là các hàm điều hòa và Prf + iQrf là hàm chỉnh hình.
Định lý 2.1.4. [4]. Cho f ∈ L1(T) thì Hf(θ) = limr→1− Qrf(θ) tồn tại
h.k.n trên [−π, π].
Chứng minh. Vì f ∈ L1(T) nên f có thể viết thành tổng của bốn hàm
có giá trị thực, không âm f = (f1 − f2) + i(f3 − f4).
Không mất tính tổng quát ta giả sử f có giá trị thực và f(x) ≥ 0,∀x ∈ T.
Ta có Pr(θ) = 1−r21−2r cos θ+r2 > 0,∀r ∈ (0, 1), θ ∈ T, có đạo hàm riêng
theo biến θ nhỏ hơn hoặc bằng 0 với mọi r ∈ (0, 1), mọi θ ∈ [0, π] và
{Prf(θ)}r∈(0,1) là nhân tốt.
Theo định lý 1.4.16 trong [4] ta có
Prf(θ) = (f ∗ Pr)(θ)r→1−−→ f(θ)h.k.n.
Đặt
Gr(z) = e−Prf(θ)−iQrf(θ),
trong đó z = reiθ. Vì Prf(θ)− iQrf(θ) là hàm chỉnh hình nên Gr là hàm
chỉnh hình. Ta có
|Gr(z)| = e−Prf(θ).
Vì f(x) ≥ 0,∀x ∈ T nên Prf(θ) ≥ 0,∀θ ∈ T. Ta suy ra |Gr(z)| ≤ 1,∀r ∈
(0, 1).
Vậy tồn tại limr→1− Gr(z) h.k.n theo θ.
28
Giả sử không tồn tại limr→1− Qrf(θ) h.k.n trên T.
Nghĩa là ∃E ⊂ T, µ(E) > 0 và limr→1−
Qrf(θ) phân kỳ trên E.
Vì Prf(θ) và Gr(z) hội tụ h.k.n trên T và µ(E) > 0 nên tồn tại θ0 ∈ E
sao cho Prf và Gr(z) cùng hội tụ tại θ0.
Nếu Qrf(θ0)r→1−−→ +∞ thì với mỗi j ∈ N, tồn tại rj ∈ (0, 1) sao cho
Qrjf(θ0) = j.
Vậy ∃{rj}∞1 ⊂ (0, 1), rj ↗ 1− mà Qrjf(θ0) = e−ij.
Do đó ta có Gr(z0) = e−Prf(θ0)e−ij , z0 = reiθ0. Vậy Gr phân kỳ tại z0 là
điều mâu thuẫn.
Chứng minh tương tự với trường hợp Qrf(θ)r→1−−→ −∞.
Giả sử {Qrf(θ0)}r∈(0,1), khi r → 1− có điểm tụ hữu hạn là A và B.
Tức là
∃{r1n}n∈N ↗ 1− sao cho Qr1nf(θ0)
r1n→1−−→ A, ∃{r2n}n∈N ↗ 1− sao cho
Qr2nf(θ0)r2n→1−−→ B.
Vậy tập điểm tụ của {Qrf(θ0)} khi r → 1− chứa [A,B]. Suy ra tồn tại
hai điểm tụ của {Qrf(θ0)}, khi r → 1− mà khoảng cách của chúng nhỏ
hơn 2π.
Như vậy tại z0 mà Prf(θ0) hội tụ thì Gr(z) sẽ hội tụ đến hai giá trị khác
nhau là điều vô lý.
Do đó Qrf(θ) hội tụ h. k. n trên T và ta đặt
Hf(θ) = limr→1−
Qrf(θ).
�
29
Định lý 2.1.5. [4]. f ∈ L1(T) thì
Hf(θ) =1
2πlimε→0
∫|ϕ|>ε
f(θ − ϕ)sinϕ
1− cosϕdϕ.
Chứng minh. Chọn r = 1− ε, nếu ε→ 0 thì r → 1.
Ta có
Qrf(θ) = −i∑n 6=0
sgn(n)r|n|einθf(n)
=−i2π
∑n 6=0
(
∫ π
−πf(x)einxdx)sgn(n)r|n|einθ
Theo định lý về tích phân của chuỗi lũy thừa ta có
Qrf(θ) =−i2π
∫ π
−πf(x)
(∑n 6=0
sgn(n)r|n|ein(θ−x))dx
=−i2π
∫ π
−πf(x)
(∑n≥1
rnein(θ−x) −∑n≥1
rnein(x−θ)).
Mà ∑n≥1
rnein(θ−x) =∑n≥1
zn, z = rei(θ−x), r < 1
= z(1 + z2 + ...+ zn + ...) =z
1− z.
Vậy
Qrf(θ) =−i2π
∫ π
−πf(x)
( rei(θ−x)
1− rei(θ−x)− rei(x−θ)
1− rei(x−θ))dx
=−i2π
∫ π
−πf(x)
rei(θ−x) − rei(x−θ)
1− (rei(θ−x)+rei(x−θ)) + r2dx
=−i2π
∫ π
−πf(x)
2ir sin(θ − x)
1− 2r cos(θ − x) + r2dx
=1
2π
∫ π
−πf(x)
2r sin(θ − x)
1− 2r cos(θ − x) + r2dx.
30
Ta xét biểu thức
K = Qrf(θ)− 1
2π
∫π>|ϕ|>ε
f(θ − ϕ)sin(ϕ)
1− cosϕdϕ.
=1
2π
{∫ π
−πf(θ−ϕ)
2r sinϕ
1− 2r cosϕ+ r2dϕ−
∫π>|ϕ|>ε
f(θ−ϕ)sin(ϕ)
1− cosϕdϕ}.
Từ tính chất của hàm lẻ ta có∫ a
−a
sin(ϕ)
1− 2r cosϕ+ r2dϕ = 0,
∫ a
−a
sinϕ
1− cosϕdϕ = 0,∀a ∈ R.
Ta có
K =1
2π
∫|ϕ|<ε
f(θ − ϕ)2r sinϕ
1− 2r cosϕ+ r2dϕ
+1
2π
∫π>|ϕ|>ε
f(θ − ϕ)(2r sin(ϕ)
1− 2r cosϕ+ r2− sinϕ
1− cosϕ)dϕ.
=1
2π
(∫|ϕ|<ε
2r sinϕ
1− 2r cosϕ+ r2f(θ−ϕ)dϕ−f(θ)
∫ ε
−ε
2r sinϕ
1− 2r cosϕ+ r2dϕ)
+1
2π
(∫ε<|ϕ|<r
f(θ − ϕ)(2r sinϕ
1− 2r cosϕ+ r2− sinϕ
1− cosϕ)dϕ
−∫ε<|ϕ|<r
f(θ)(2r sinϕ
1− 2r cosϕ+ r2− sinϕ
1− cosϕ)dϕ)
=1
2π
∫|ϕ|<ε
2r sinϕ
1− 2r cosϕ+ r2(f(θ − ϕ)− f(θ))dϕ
+1
2π
∫ε|<ϕ|<π
(2r sinϕ
1− 2r cosϕ+ r2− sinϕ
1− cosϕ)(f(θ − ϕ)− f(θ))dϕ
=1
2π(I1 + I2).
Xét I1 :
Vì |ϕ| ≤ ε, | sinϕ| ≤ |ϕ| suy ra | sinϕ| ≤ 2ε.
Lại có 1− 2r cosϕ+ r2 ≥ 1− 2r + r2 = (1− r)2 = ε2, nên ta có
31
|I1| ≤ 2εε2
∫|ϕ|<ε |f(θ − ϕ)− f(θ)|dϕ = 2
ε
∫|ϕ|<ε |f(θ − ϕ)− f(θ)|dϕ.
Theo định lý về khả vi Lebesgue ta có
limε→0+
1
ε
∫ ε
−ε|f(θ − ϕ)− f(θ)|dϕ = 0.
Vậy I1 → 0 khi ε→ 0+.
Xét I2 :
I2 =∫ε|<ϕ|<π(f(θ − ϕ)− f(θ))( 2r sinϕ
1−2r cosϕ+r2 −sinϕ
1−cosϕ)dϕ
=
∫ε|<ϕ|<π
(f(θ − ϕ)− f(θ))2r sinϕ− sinϕ− r2 sinϕ
(1− 2r cosϕ+ r2)(1− cosϕ)dϕ
= −(1− r)2
∫ε|<ϕ|<π
(f(θ − ϕ)− f(θ))sinϕ
(1− 2r cosϕ+ r2)(1− cosϕ)dϕ.
Vậy ta có
|I2| ≤ (1−r)2
∫ε|<ϕ|<π
|f(θ − ϕ)− f(θ)| | sinϕ|(1− 2r cosϕ+ r2)(1− cosϕ)
dϕ.
Vì 1 + r2 ≥ 2r nên suy ra 1− 2r cosϕ+ r2 ≥ 2r(1− cosϕ).
Với 0 ≤ |ϕ| ≤ π thì 2 sin ϕ2 ≥
ϕ2π2
= ϕπ . Suy ra 1− cosϕ ≥ ϕ2
π2 .
Vậy ta có
|I2| ≤ (1− r)2
∫ε|<ϕ|<π
|f(θ − ϕ)− f(θ)| |ϕ|2rϕ
4
π4
dϕ
≤ (1− r)2π4
2r
∫ε|<ϕ|<π
|f(θ − ϕ)− f(θ)| 1
|ϕ|3dϕ.
Đặt Fθ(ϕ) =∫ ϕ
0 |f(θ − γ)− f(θ)|dγ, ta có Fθ(ϕ) là hàm liên tục tuyệt
đối. Suy ra
dFθ(ϕ) = |f(θ − ϕ)− f(θ)|dϕ.
Theo định lý tích phân từng phần Lebesgue ta có∫ε|<ϕ|<π
|f(θ − ϕ)− f(θ)| 1
|ϕ|3dϕ =
∫ε|<ϕ|<π
1
|ϕ|3d(Fθ(ϕ))
32
=F (ϕ)
|ϕ|3∣∣∣πε
+ 3
∫ε|<ϕ|<π
F (ϕ)
ϕ4dϕ = C + 3
∫ε|<ϕ|<π
|F (ϕ)|ϕ4
dϕ.
Vì F (ϕ)ϕ3
∣∣∣|ϕ|=π
là bị chặn suy ra (1− r2)π4
2rF (ϕ)ϕ3
r→1−→ 0. Ta có
(1− r2)F (ϕ)
ϕ3
∣∣∣|ϕ|=ε
= 2(1− r)2F (ε)
ε3= 2
F (ε)
ε.
Theo định lý về khả vi Lebesgue thì F (ε)ε
ε→0+→ 0.
Suy ra (1− r2)F (ϕ)ϕ3
∣∣∣|ϕ|=ε
ε→0+→ 0.
Đặt γ( 1ϕ) = F (ϕ)
ϕ . Xét I3 = ε2∫ 1
ε1π
uγ(u)du trong đó γ(u)u→+∞→ 0 và
γ(u) > 0,∀u. Vì γ(u)u→+∞→ 0 nên tồn tại M > 1
π sao cho
γ(u) <δ
2,∀u > M.
Vậy ta có
0 < ε2
∫ 1ε
M
uγ(u)du < ε2δ
2
∫ 1ε
M
udu = ε2δ
2
u2
2
∣∣∣ 1εM<δ
4.
Vì ε2∫M
1πuγ(u)du
ε→0+→ 0 nên tồn tại ε0 sao cho ∀ε : 0 < ε < ε0 thì
ε2∫M
1πuγ(u)du < 3δ
4 . Vậy I3 < δ,∀ε : 0 < ε < ε0. Tức là I3ε→0+→ 0.
Đổi biến u = 1ϕ ta có
I3 =
∫ π
ε
1
ϕγ(
1
ϕ)
1
ϕ2dϕ =
∫ π
ε
γ( 1ϕ)
ϕ3dϕ =
∫ π
ε
F (ϕ)
ϕ4dϕ.
Suy ra∫ πεF (ϕ)ϕ2 dϕ
ε→0+→ 0. Do đó I2ε→0+→ 0. Vậy ta có I1 + I2
ε→0+→ 0, tức
là1
2π
∫|ϕ|>ε
f(θ − ϕ)sin(ϕ)
1− cosϕdϕ
ε→0+→ Hf(θ).
�
33
2.2 Biến đổi Hilbert trên đường thẳng thực
Định nghĩa 2.2.1. [4]. Cho f là một hàm đo được bất kỳ trên R. Ta
định nghĩa biến đổi Hilbert của f như sau:
Hf(x) = P.C1
π
∫ ∞−∞
f(x− y)
ydy =
1
πlim
ε→0,M→+∞
∫ε<|y|<M
f(x− y)
ydy.
(2.3)
Định lý 2.2.1. [4]. f ∈ S(R) thì Hf xác định trên R.
Chứng minh. Từ định nghĩa của biến đổi Hilbert hàm f ta có
πHε,Mf(x) =
∫ε<|y|<M
f(x− y)
ydy.
Đặt z = −y ta có
πHε,M = −∫ε<|z|<M
f(x+ z)
zdz.
Suy ra
2πHε,M =
∫ε<|y|<M
f(x− y)− f(x+ y)
ydy.
=
∫ε<|y|<1
f(x− y)− f(x+ y)
ydy +
∫1<|y|<M
f(x− y)− f(x+ y)
ydy.
Vì f ∈ S(R) nên ta có |f(x− y)− f(x+ y)| < c|x−y|+|x+y| <
c|y| . Suy ra∣∣∣ ∫
1<|y|<M
f(x− y)− f(x+ y)
ydy∣∣∣ < ∫
1<|y|<M
1
|y|2dy < +∞.
Xét I1 =∫ε<|y|<1
f(x−y)−f(x+y)y dy.
Đặt
g(y) =
f(x−y)−f(x+y)
y , nếu y 6= 0
−2f ′(x), nếu y = 0.
34
Ta có g(y) là hàm liên tục, bị chặn.
Suy ra |I1| <∫ε<|y|<1 |g(y)|dy ≤M(1− ε). Vậy I1 bị chặn khi ε→ 0.
Hay Hf(x) tồn tại khi ε→ 0,M → +∞. �
Sau đây chúng tôi trình bày về biến đổi Hilbert trong L2(R).
Cho hàm f ∈ L2(R) bất kỳ. Ta có
Hε,M =1
π
∫ε<|y|<M
f(x− y)
ydy = f ∗Kε,M , (2.4)
với Kε,M(x) = 1πx .χ{ε<|x|<M}.
Vì Kε,M ∈ L1(R) nên f ∗Kε,M ∈ L2(R). Ta suy ra Hε,M ∈ L2(R). Mặt
khác ta có Kε,M(0) = 0 và
Kε,M(ξ) =
∫ε<|x|<M
1
πxe−2πiξxdx, ξ 6= 0
=
∫ε<|x|<M
cos 2πiξx
πxdx−
∫ε<|x|<M
sin 2πiξx
πxdx
= −i∫ε<|x|<M
sin 2πiξx
πxdx
= −2i
∫ε<x<M
sin 2πiξx
πxdx
=−2i
π
∫2πξε<|y|<2πξM
sin y
ydy
= −i(Si(2πξM)− Si(2πξε)
),
trong đó hàm Si xác định bởi Si(x) =∫ x
0sin tt dt.
Ta suy ra
Kε,M(ξ) = −i(Si(2πξM)− Si(2πξε)).
Vậy ta có
|Kε,M(ξ)| < 2Si(π).
35
Mặt khác ta có
limε→0,M→+∞
Kε,M(ξ) = −i limM→+∞
Si(2πξM) = −iπsgn(ξ). (2.5)
Từ (2.4) suy ra
Hε,Mf(ξ) = f(ξ).Kε,M(ξ).
Từ (2.5) ta suy ra
f(ξ).Kε,M(ξ)ε→0,M→+∞−→ −iπf(ξ)sgn(ξ).
vậy ta có
f(ξ).Kε,M(ξ)ε→0,M→+∞−→ −iπf(ξ)sgn(ξ),
theo chuẩn trong L2(R).
Vậy Hε,Mε→0,M→+∞−→ −iπsgn(ξ) theo chuẩn trong Lp(R). Do đó {Hε,M}M>ε>0
là dãy Cauchy trong L2(R). Mà biến đổi Fourier là một đẳng cấu, đẳng
cự trong L2(R) nên {Hε,M}M>ε>0 là dãy Cauchy trong L2(R). Vì L2(R)
là không gian đầy đủ nên {Hε,M}M>ε>0 hội tụ trong L2(R).
Đặt
Hf(x) = limε→0,M→+∞
Hε,M(x)
= limε→0,M→+∞
1
π
∫RKε,M(ξ)f(ξ).e2πiξxdξ
= −i∫Rsgn(ξ)f(ξ).e2πiξxdξ. (2.6)
Vì
Hε,Mf(ξ)ε→0,M→+∞−→ −iπf(ξ)sgn(ξ),
theo chuẩn trong Lp(R).
Ta suy ra
||Hε,M ||22ε→0,M→+∞−→ || − iπf(ξ)sgn(ξ)||22.
36
= π||f(ξ)||22.
Vì biến đổi Fourier là một đẳng cấu, đẳng cự nên ta có
||Hε,M ||22ε→0,M→+∞−→ π||f ||22.
Vậy ta có ||Hf ||22 = ||f ||22, và Hf = F−1(−iπsgn(ξ)f(ξ)). Bây giờ chúng
tôi trình bày về biến đổi Hilbert trong Lp(R).
Với ε > 0, ta đặt
Sε = {f ∈ S : f(ξ) = 0,∀|ξ| ≤ ε}
và
S0 = ∪ε>0Sε.
Định lý 2.2.2. [4]. Tập S0 là tập trù mật trong S(R) theo chuẩn trên
Lp(R), p ≥ 2.
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh với p = 2.
Cho f ∈ S(R) bất kỳ. Đặt
fε(x) =
∫|ξ|>ε
f(ξ).e2πixξdξ
=
∫Rf(ξ).χR\(−ε,ε)(ξ).e
2πixξdx.
(Đây là biến đổi Fourier ngược của hàm f .χR\(−ε,ε)(x)).
Suy ra fε(ε) = f .χR\(−ε,ε)(ξ). Vậy ta có fε ∈ Sε, hay fε ∈ S0,∀ε > 0.
Do đó ta có
||f − fε||22 = ||f0 − fε||22 = ||fχ(−ε,ε)||22
37
=(∫ ε
ε
|f(ξ)|dξ)2
≤ Cε2.
Ta suy ra
||f − fε||ε→0−→ 0.
Vậy fεε→0+−→ f trong L2(R).
Bây giờ ta chứng minh với p > 2.
Ta có
|f(x)− fε(x)| = |∫
(R)
f(ξ).e2πixξdξ −∫|ξ|>ε
f(ξ)e2πixξdξ|
≤∫ ε
−ε|f(ξ)|dξ < Cε.
Ta suy ra
|f(x)− fε(x)|p ≤ Cεp−2|f(x)− fε(x)|2.
Vậy ta có
||f − fε||pp ≤ Cεp−2||f − fε||22.
Vì p > 2 ta suy ra ||f − fε||ppε→0−→ 0. Hay fε hội tụ về f theo chuẩn trong
Lp(R). Do đó S0 trù mật trong S theo chuẩn trong Lp(R). �
Do S trù mật trong Lp(R) theo chuẩn nên S0 trù mật theo chuẩn trong
Lp(R).
Định lý 2.2.3. [4]. H là toán tử bị chặn từ S0(R) vào Lp(R), p > 2.
Chứng minh. Cho f ∈ S0 ta có
f(x) =
∫ +∞
0
f(ξ)e2πixξdξ +
∫ 0
−∞f(ξ)e2πixξdξ
38
và
Hf(x) = −i∫ +∞
0
f(ξ)e2πixξdξ + i
∫ 0
−∞f(ξ)e2πixξdξ.
Do đó ta có (f + iHf)(x) = 2∫ +∞
0 f(ξ)e2πixξdξ.
Vì f ∈ S0 nên ∃ε > 0 : f(ξ) = 0,∀|ξ| < ε.
Đặt F (ξ) =
f(ξ), nếu ξ > ε
0, nếu ξ ≤ ε.
Vậy F ∈ S0. Khi đó ta có
(f + iHf)(x) = 2
∫ +∞
0
F (ξ)e2πixξdξ = 2
∫(R)
F (ξ)e2πixξdξ = 2F (x).
(F là biến đổi Fourier ngược của hàm F .)
Đặt Q = F ∗ F ∗ ... ∗ F ,
G = f ∗ f ∗ ... ∗ f , (2k lần).
Ta có Q(ξ) = 0 với ξ ≤ ε. Suy ra
(f + iHf)2k = (2F )2k = 22kQ
= 22k
∫RQ(ξ)e2πixξdξ = 22k
∫ +∞
0
G(ξ)e2πixξdξ.
Đặt g(ξ) =
G(ξ), ξ ≥ 0
G(−ξ), ξ < 0,
ta có g(ξ) = g(−ξ)∀ξ ∈ R. Vậy ta có
(f + iHf)2k(x) = 22k
∫ +∞
0
g(ξ)e2πixξdξ.
Suy ra ∫ T
−T(f + iHf)2k(x) = 22k
∫ T
−T
∫ +∞
0
g(ξ)e2πixξdξ
= 22k
∫ +∞
0
∫ T
−Tg(ξ)e2πixξdξ
39
= 22k
∫ +∞
0
sin 2πTξ
πξg(ξ)dξ
= 22k−1
∫ +∞
−∞
sin 2πTξ
πξg(ξ)dξ = STg(0).
Ở đây ta sử dụng công thức trong [4]
SMf(x) =
∫ M
−Mf(ξ)e2πixξdξ =
∫ +∞
−∞
sin 2πMz
πzf(x− z)dz.
Vì f(ξ) = 0,∀|ξ| < ε và supp g ⊂ supp f nên suy ra g(ξ) = 0,∀|ξ| < ε,
hay g(0) = 0.
Mặt khác ta có g là hàm trơn suy ra STg(0)T→+∞−→ g(0), (ta sẽ chứng
minh ở chương sau.) Vậy ta có∫ TT
(f + iHf)2k(x)dxT→+∞−→ 0.
Vì f ∈ S nên Hf ∈ S. Suy ra f + iHf ∈ S do đó tích phân hội tụ tuyệt
đối. Ta có∫R(f + iHf)2k(x)dx = 0. Suy ra
2k∑j=0
(2k
2j
)∫R(iHf)jf 2k−j = 0. (2.7)
Trường hợp 1: f là hàm thực thì Hf cũng là hàm thực. Tách phần thực
ta cók∑j=1
(2k
2j
)(−1)j
∫R(Hf)2j(x)f 2k−2j(x)dx = 0.
Suy ra ∫R(Hf)2k =
k−1∑j=1
(2k
2j
)(−1)j
∫R(Hf)2j(x)f 2k−2j.
Vậy ∫R|Hf(x)|2kdx ≤
k−1∑j=1
(2k
2j
)∫R|Hf(x)|2j|f(x)|2k−2jdx.
40
Theo bất đẳng thức Holder ta có∫R|Hf(x)|2kdx ≤
k−1∑j=1
(2k
2j
)(∫R|f(x)|2kdx
)k−jk(∫
R|Hf(x)|2k
) jk
.
Suy ra
||Hf ||2k2k ≤k−1∑j=1
(2k
2j
)(∫R|f(x)|2kdx
)k−jk(∫
R|Hf(x)|2k
) jk
.
Vậy ta có
||Hf ||2k2k ≤k∑j=1
(2k
2j
)(||f ||2k2k
)2k−2j(||Hf ||2k2k
)2j
.
Ta sẽ chứng minh ||Hf ||2k ≤ c2k =√
22k − 1,∀k ≥ 2
Nếu ||Hf ||2k ≤ 1 thì ta có điều phải chứng minh.
Nếu ||Hf ||2k > 1 ta suy ra ||Hf ||2k−2r2k ≤ ||Hf ||2k−2
2k ,∀r = 1, 2, ..., k − 1.
Hay ||Hf ||2k2k ≤ ||Hf ||2k−22k
∑k−1r=1
(2k2r
).
Vậy ta có ||Hf ||2k ≤√
22k − 1 = c2k.
Trường hợp 2: f là hàm thuộc S0(R) có giá trị phức thì có thể tách f
thành f = f1 + if2 trong đó f1, f2 là các hàm thuộc S0(R) có giá trị thực.
Khi đó ta có Hf = Hf1 + iHf2.
Do Hf1, Hf2 bị chặn trên L2k(T) nên Hf bị chặn trên L2k(T).
Thật vậy, ||Hf ||2k ≤ ||Hf1||2k + ||Hf2||2k ≤ C2k(||f1||2k + ||f2||2k).
Ta có ||f1||2k =∫R |f1(x)|2kdx ≤
∫R(|f1(x)|2 + |f2(x)|2)kdx ≤ ||f ||2k.
Tương tự ta có ||f2||2k ≤ ||f ||2k.
Vậy ||Hf ||2k ≤ 2C2k||f ||2k. �
Theo định lý nội suy M. Riesz - Thorin ta có H là toán tử bị chặn trong
Lp(R), 2 ≤ p <∞.
Tương tự phần biến đổi Hilbert của hàm tuần hoàn, bằng cách sử dụng
41
tính đối ngẫu ta cũng có H bị chặn trong Lp(R), 1 < p < 2.
Vậy H bị chặn trong Lp(R), 1 < p < +∞.
42
Chương 3
Sự hội tụ của chuỗi Fourier và tích
phân Fourier
Trong chương này chúng tôi trình bày định lý Fejer về sự hội tụ đều đối
với tổng Fejer của hàm liên tục, sự hội tụ trong Lp của chuỗi Fourier và
tích phân Fourier. Cuối cùng chúng tôi trình bày về mối quan hệ giữa
sự hội tụ của chuỗi Fourier với sự hội tụ của tích phân Fourier qua biến
đổi Hilbert và toán tử Carleson.
3.1 Định lý Fejer về sự hội tụ đều
Định nghĩa 3.1.1. [3]. Cho f là hàm khả tích trên [−π, π]. Chuỗi Fourier
của hàm f có tổng riêng rời rạc thứ N xác định như sau:
SNf(x) =∑|n|<N
fneinx.
Đặt
σNf(x) =S0 + S1 + ...+ SN−1
N(x), x ∈ [−π, π].
43
Nhân Dirichlet thứ N là:
DN(x) =N∑
n=−N
einx =sin(N + 1
2)x
sin x2
.
Nhân Fejer thứ N là
FN(x) =1
N(D0(x) +D1(x) + ...+DN−1(x))
=1
N
sin2(Nx2 )
sin2(x2).
Khi đó ta có(f ∗ FN
)(y) =
1
N
(f ∗ (D0(x) +D1(x) + ...+DN−1(x))
)(y)
=1
N
N−1∑n=0
(f ∗Dn
)(x) =
1
N
N−1∑n=0
Sn(x) = σNf(x). (3.1)
Định lý 3.1.1. [3].(Định lý Fejer)
Nếu f là hàm khả tích trên [−π, π]. thì σNf(x) hội tụ về f(x) tại những
điểm liên tục của f.
Hơn nữa nếu f liên tục trên toàn tập xác định thì σNf(x) hội tụ đều về
f(x) trên tập xác định.
Để chứng minh định lý Fejer ta chứng minh bổ đề sau đây.
Bổ đề 3.1.1. Nhân Fejer là nhân tốt.
Chứng minh. Từ định nghĩa nhân Fejer ta có
1
N
∫ π
−πFN(x)dx =
1
2π
N−1∑n=0
1
N
∫ π
−πDn(x)dx.
44
Mà ∫ π
−πDn(x)dx =
n∑m=−n
∫ π
−πeimxdx
=n∑
m=−n,m 6=0
eimx
im
∣∣∣π−π
+
∫ π
−πdx = 2π.
Vậy ta có
1
2π
∫ π
−πFN(x)dx =
1
2πN
N−1∑n=0
2π = 1.
Vì FN(x) = 1N
sin2(Nx2 )
sin2(x2 )> 0,∀N nên ta có
1
2π
∫ π
−π|FN(x)|dx =
1
2π
∫ π
−πFN(x)dx = 1.
Với δ > 0 bất kỳ, ∀x : δ < |x| < π thì sin2 x2 ≥ sin2 δ
2 = cδ.
Do đó |FN(x)| = 1N
sin2(Nx2 )
sin2(x2 )≤ 1
N sin2( δ2 ),∀x : δ < |x| < π.
Bởi vậy supδ<|x|<π
|FN(x)| ≤ 1N sin2( δ2 )
→ 0 khi N →∞.
Vậy nhân Fejer là nhân tốt. �
Từ kết quả của bổ đề và tính chất của nhân tốt ta chứng minh được
định lý Fejer.
Định lý 3.1.2. [3]. Nếu f ∈ Lp(T) thì σNfN→+∞−→ f trong Lp(T), với
1 ≤ p <∞.
Chứng minh. Vì C[−π,π] trù mật trong Lp(T) nên tồn tại g liên tục trên
[−π, π] sao cho ||f − g||p < ε.
Mặt khác, g liên tục trên [−π, π] nên σNg ⇒ g trong T khi N → +∞.
Suy ra
∃N0 > 0 : |(σNg − g)(θ)| < (ε
2π)1p ,∀N > N0,∀θ ∈ T.
45
Vậy ||σNg − g||p < ε,∀N > N0.
Theo bất đẳng thức Young ta có
||σNf−σNg||p = ||σN(f−g)||p = ||FN ∗(f−g)||p ≤ ||FN ||1.||f−g||p < ε.
Do đó
||σNf − f ||p ≤ ||σNf − σNg||p + ||σNg − g||p + ||g − f ||p ≤ 3ε, ∀N > N0.
Vậy σNfN→+∞−→ f trong Lp(T). �
Vì σNf là đa thức lượng giác nên ta có hệ quả sau
Hệ quả 3.1.1. Tập hợp các đa thức lượng giác P là tập trù mật trong
Lp(T), 1 ≤ p <∞.
Định nghĩa 3.1.2. [3]. Cho f ∈ L1(R) ta định nghĩa tổng riêng Fourier
liên tục của f như sau:
SMf(x) =
∫ M
−Mf(ξ)e2πixξdξ =
∫ M
−M
sin 2πMz
πzf(x− z)dz. (3.2)
Định nghĩa 3.1.3. [3]. Tổng Fejer của SMf(x) được xác định như sau:
σMf(x) =1
M
∫ M
0
Smf(x)dm. (3.3)
Ta có
σMf(x) =1
M
∫ M
0
Smf(x)dm =1
M
∫ M
0
(∫ m
−mf(ξ)e2πixξdξ
)dm
=1
M
∫ M
0
(∫ m
−m(
∫Rf(y)e2πiξ(x−y))dξ
)dm
46
=1
M
∫R
(∫ M
0
sin 2πm(x− y)
π(x− y)dm)f(y)dy
=
∫R
1− cos 2πM(x− y)
2Mπ2(x− y)2f(y)dy =
(f ∗KM
)(x),
với KM(x) = 1−cos 2πMx2Mπ2x2 là nhân Fejer của tích phân Fourier.
Tương tự phần nhân Fejer của chuỗi Fourier ta cũng có {KM(x)}M>0 là
họ nhân tốt.
Định lý 3.1.3. [3]. Tổng Fejer của tích phân Fourier có các tính chất
sau:
1. Nếu f ∈ L1(R) và f liên tục tại x0 thì KMf(x0)M→+∞−→ f(x0).
Hơn nữa f liên tục trên một tập compact K ⊂ R thì σMf hội tụ đều về
f trên K.
2. Nếu f ∈ Lp(R) thì ||σMf − f ||M→+∞−→ 0, 1 < p <∞.
Chứng minh. Tính chất 1 được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của
KMf(x) và {KM(x)} là nhân tốt.
Ta chứng minh tính chất 2.
ε > 0 ta sẽ chứng minh ||σMf − f ||p < 3ε với M đủ lớn.
Vì C∞0 (R) trù mật trong Lp(R) nên
∃r ∈ R và hàm g liên tục sao cho: supp g ⊂ [−r, r] và ||f − g||p < ε.
Lại vì g liên tục trên [−r, r] nên σMg hội tụ đều về g trên [−r, r].
Suy ra
∃M0 ∈ N sao cho |(σMg − g)(x)| < ( ε2π)
1p ,∀M > M0,∀x ∈ R.
Vậy ||(σMg − g)||p < ε.
Do đó ||σM(f − g)||p = ||KM ∗ (f − g)||p. Theo bất đẳng thức Young ta
47
có ||KM ∗ (f − g)||p ≤ ||KM ||1.||f − g||p < ε.
Vậy ||(σMf − f)||p ≤ ||σM(f − g)||p + ||(σMg− g)||p + ||f − g||p < 3ε,∀M
đử lớn.
Như vậy limM→∞
||(σMf − f)||p = 0. �
3.2 Sự hội tụ trong Lp của chuỗi Fourier
và tích phân Fourier
Định lý 3.2.1. [3]. Cho P là tập tất cả các đa thức lượng giác. f ∈ P
ta có
|SNf(θ)| ≤ 1
2|H(e−iNθf)|+ 1
2|H(eiNθf)|+ ||f ||p. (3.4)
Chứng minh. Giả sử f =∑
n∈Z cneinθ là một đa thức lượng giác. Theo
kết quả biến đổi Hilbert đa thức lượng giác trong chương 2 ta có
eiNθH(e−iNθf) = −i∑n>N
cneinθ + i
∑n<N
cneinθ.
e−iNθH(eiNθf) = −i∑n>−N
cneinθ + i
∑n<−N
cneinθ.
Ta suy ra
eiNθH(e−iNθf)− e−iNθH(eiNθf)
= 2i∑n=−N
cneinθ − icNeiNθ − ic−Ne−iNθ.
Hay ta có
SNf(θ) =1
2i
(eiNθH(e−iNθf)− e−iNθH(eiNθf)
)
48
+1
2cNe
iNθ +1
2c(−N)e
−iNθ. (3.5)
Mặt khác ta có
cN =1
2i
∫ π
−πf(x)e−iNxdx.
Suy ra
|cN | ≤1
2i
∫ π
−π|f(x)|dx.
Theo bất đẳng thức Holder ta có
|cN | ≤(∫ π
−π|f(x)|pdx
) 1p(∫ π
−π(
1
2π)qdx
) 1q
,
với 1p + 1
q = 1.
Ta suy ra |cN | ≤ ||f ||p,∀N.
Từ (3.5) ta có
|SNf(θ)| ≤ 1
2|H(e−iNθf)|+ 1
2H(eiNθf)|+ ||f ||p. (3.6)
�
Định lý 3.2.2. [3]. Nếu f ∈ Lp(T), 1 < p <∞, thì ||SNf − f ||pN→+∞−→ 0.
Chứng minh. Từ (3.6) ta suy ra
||SNf || ≤1
2||H(e−iNθf)||p +
1
2||H(eiNθf)||p + ||f ||p.
Mà ta có
||H(e−iNθf)||p ≤ Cp||e−iNθ||p = Cp||f ||p.
Suy ra
||SNf ||p ≤ (Cp + 1)||f ||p,∀N. (3.7)
Vậy SN là toán tử bị chặn từ Lp(T) vào Lp(T).
Với f ∈ Lp(T), ε > 0 bất kỳ, vì P trù mật trong Lp(T) nên tồn tại
49
g ∈ P : ||f − g||p < ε.
Ta lại có
||SNf − f ||p ≤ ||SNf − SNg||p + ||SNg − g||p + ||f − g||p.
Vì g là đa thức lượng giác nên với N đủ lớn thì ||SNg − g||p = 0.
Do đó ||SNf − f ||p ≤ (Cp + 1)||f − g||p + ||f − g||p = (Cp + 2)||f − g||p
với N đủ lớn. Hay ||SNf − f ||p ≤ (Cp + 2)ε, với N đủ lớn.
Vậy ta có ||SNf − f ||p → 0 khi N →∞.
�
Bây giờ ta sẽ trình bày sự hội tụ theo chuẩn của tổng riêng Fourier liên
tục trong Lp(R),1 ≤ p <∞.
Từ (2.6) với M > 0 ta có
H(e−2πiMxf)(x) = −i∫Rsgn(ξ)f(ξ +M)e2πixξdξ.
Do đó
e2πiMxH(e−2πiMxf)(x) = −i∫Rsgn(ξ)f(ξ +M)e2πix(ξ+M)dξ
= −i∫ξ>0
f(ξ +M)e2πix(ξ+M)dξ + i
∫ξ<0
f(ξ +M)e2πix(ξ+M)dξ.
Đổi biến ξ +M = α ta có
e2πiMxH(e−2πiMxf)(x) = −i∫α>M
f(α)e2πixαdα +
∫α<M
f(α)e2πixαdα.
Tương tự ta có
e−2πiMxH(e2πiMxf)(x) = −i∫α>−M
f(α)e2πixαdα +
∫α<−M
f(α)e2πixαdα.
50
Suy ra
1
2i
(e−2πiMxH(e2πiMxf)(x)− e2πiMxH(e−2πiMxf)(x)
)=
∫ M
−Mf(α)e2πixαdα = SMf(x).
Vậy
1
2i
(e−2πiMxH(e2πiMxf)(x)− e2πiMxH(e−2πiMxf)(x)
)= SMf(x). (3.8)
Định lý 3.2.3. [4]. SM là toán tử bị chặn từ S(R) vào Lp(R), 1 < p <∞.
Chứng minh. Từ (3.8) ta có
||SMf ||p ≤1
2||H(e−2πMxf)||p +
1
2||H(e2πMxf)||p
≤ 1
2Cp||e−2πMxf ||p +
1
2Cp||e2πMxf ||p = Cp||f ||p.
�
Hơn nữa vì S(R) trù mật trong Lp(R) nên ta có thể thác triển SM thành
toán tử bị chặn từ Lp(R) vào Lp(R) với 1 < p <∞.
Định lý 3.2.4. [4]. ||SMf − f ||p → 0 khi M → ∞,∀f ∈ Lp(R) với
2 < p <∞.
Chứng minh. Trường hợp 1: f ∈ S(R)
Ta có
(SMf − f)(x) =
∫ M
−Mf e2πixξdξ −
∫Rf e2πixξdξ
= F−1(χR\[−M,M ]f)(x).
51
Vậy ta có
||SMf − f ||pp = ||F−1(χR\[−M,M ]f)||pp
Vì f ∈ S(R) nên F−1(χR\[−M,M ]f)(ξ) ∈ Lp′(R), (1p + 1
p′ = 1).
Với p > 2 thì 1 < p′ < 2, theo bất đẳng thức Young - Hausdorff ta có
||F−1(χR\[−M,M ]f)||pp ≤ C||(χR\[−M,M ])f ||p′ = C
∫|x|>M
|f(x)|pdx.
Do f ∈ S(R) nên f ∈ S(R). Ta có∫|x|>M |f(x)|pdx→ 0 khi M → +∞.
Hay ||SMf − f ||p → 0 khi M → +∞.
Trường hợp 2: f ∈ Lp(R) với 2 < p <∞.
Cho ε > 0, vì S(R) trù mật trong Lp(R) nên tồn tại g ∈ S(R) sao cho
||f − g||p < ε. Ta có
||SMf − f ||p ≤ ||SM(f − g)||p + ||SMg − g||p + ||f − g||p
≤ Cp||f − g||p + ||f − g||p + ε,
(vì ||SMg − g||p → 0 khi M →∞).
≤ (Cp + 2)ε khi M đủ lớn.
Vậy ||SMf − f ||p → 0 khi M →∞. �
Với 1 < p < 2 sử dụng tính đối ngẫu và định lý Young - Hausdorff ta có
||SMf − f ||p → 0 khi M →∞.
Vậy ||SMf − f ||p → 0 khi M →∞ với 1 < p <∞.
52
3.3 Mối liên hệ giữa sự hội tụ của chuỗi
Fourier và tích phân Fourier qua biến
đổi Hilbert và toán tử Carleson
Cho hàm f ∈ Lp(T), 1 < p <∞ là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π, ta có
toán tử Carleson rời rạc được xác định như sau
CTf(θ) = supN∈N|SNf(θ)|.
Định lý 3.3.1. [3]. Cho 1 < p <∞, giả sử toán tử Carleson là bị chặn
trong Lp(T). Khi đó
SNf(θ) =N∑
n=−N
fneinθ N→+∞−→ f(θ)h.k.n trên[−π, π],∀f ∈ Lp(T), (3.9)
và f tuần hoàn với chu kỳ 2π.
Chứng minh. Vì
0 ≤ lim infN→+∞
|(SNf − f)(θ)| ≤ lim supN→+∞
|(SNf − f)(θ)|,
nên để chứng minh (3.9) ta chỉ cần chứng minh
lim supN→+∞ |(SNf−f)(θ)| = 0 h.k.n trên [−π, π].Điều này tương đương
với ∥∥∥ lim supN→+∞
|SNf − f |∥∥∥p
= 0. (3.10)
Cho ε bất kỳ và hàm f ở trên, theo định lý Fejer thì tồn tại đa thức
lượng giác g sao cho ||f − g||p < ε.
Ta có∥∥∥ lim supN→+∞
|SNf − f |∥∥∥p
=∥∥∥ lim sup
N→+∞|(SNf − SNg + SNg − g + g − f)|
∥∥∥p
53
≤∥∥∥ lim sup
N→+∞|SN(f − g)|
∥∥∥p
+∥∥∥ lim sup
N→+∞|SNg − g|
∥∥∥p
+∥∥∥g − f∥∥∥
p.
Vì g là đa thức lượng giác nên với N đủ lớn ta có
|(SNg − g)(θ)| = 0.
Suy ra ∥∥∥ lim supN→+∞
|(SNg − g)|∥∥∥p
= 0.
Ta có
lim supN→+∞
|SN(f − g)(θ)| ≤ supN∈N|SN(f − g)(θ)|.
Vậy ta có∫T
lim supN→+∞
|SN(f − g)(θ)|pdθ ≤∫T
supN∈N|SN(f − g)(θ)|pdθ.
Hay ∥∥∥ lim supN→+∞
|SN(f − g)|∥∥∥p≤∥∥∥ supN∈N|SN(f − g)|
∥∥∥p.
Như vậy để chứng minh (3.9) ta chỉ cần chứng minh∥∥∥ supN∈N|SN(f − g)|
∥∥∥p≤∥∥∥f − g∥∥∥
p.
Vì toán tử Carleson rời rạc bị chặn trong Lp(T) nên
||CT (f − g)||p ≤ C||f − g||p.
Vậy ta điều phải chứng minh. �
Lấy f ∈ Lp(T), 1 < p <∞ và tuần hoàn với chu kỳ 2π trên R.
Theo (3.6) ta có
|SNf(θ)| ≤ ||f ||p +1
2|H(e−iNθf)(θ)|+ 1
2|H(eiNθf)(θ)|.
54
Ta suy ra
supN∈N|SNf(θ)| ≤ ||f ||p + sup
N∈N|H(eiNθf)(θ)|.
Do đó ta có
CTf(θ) ≤ ||f ||p + supN∈N|H(eiNθf)(θ)|. (3.11)
Vì f ∈ Lp(T) nên f ∈ L1(T).
Trong chương 2 ta đã chứng minh
Hf(θ) =1
2πlimε→0+
∫π>|ϕ|>ε
cot(ϕ
2)f(θ − ϕ)dϕ, (−π ≤ θ ≤ π).
Do đó ta có
Hf(θ) =1
2πlimε→0+
∫π>|ϕ|>ε
cot(ϕ
2)f(θ − ϕ)dϕ
=1
2πlimε→0+
∫|ϕ|>ε
cot(ϕ
2)f(θ − ϕ)dϕ.
Trong đó f(θ − ϕ) = f(θ − ϕ)χ[−2π,2π](θ − ϕ).
Vì f ∈ Lp(T) nên f ∈ Lp(T) và f ∈ Lp(R)
Ta có ||f ||pLp(R) =∫ 2π
−2π |f(x)|pχ[−2π,2π](x)dx = 2∫ π−π |f(x)|pdx = 2||f ||pp.
Vậy
||f ||pLp(R) = 2||f ||pp. (3.12)
Với f ∈ Lp(T), 1 < p <∞ ta xác định toán tử Carleson liên tục như sau
C1Rf(x) = sup
N∈R|∫ξ<N
f(ξ)e2πixξdξ|,
C2Rf(x) = sup
N∈R|∫ξ>N
f(ξ)e2πixξdξ|.
Định lý 3.3.2. [4]. Nếu C1R, C
2R bị chặn trong Lp(R), thì CT bị chặn
trong Lp(T) với 1 < p <∞.
55
Chứng minh. Ta có
Hf(θ) =1
2πP.C
∫R
cot(ϕ
2− 2
ϕ)f(θ − ϕ)dϕ
+1
2πP.C
∫R
2
ϕf(θ − ϕ)dϕ = I1(θ) +
1
πHf(θ).
Đặt K1(ϕ) =(
cot(ϕ2 −2ϕ))χ[−π,π](ϕ) thì K1 là hàm bị chặn, giá compact
nên K1 ∈ L1(T). Ta có
cot(ϕ
2)χ[−π,π](ϕ)− 2
ϕ= K1(ϕ)− 2
ϕχ[−π,π](ϕ).
Ta suy ra
I1(θ) =1
2πP.C
∫RK1(ϕ)f(θ)dϕ
− 1
2πP.C
∫R
2
ϕχR\[−π,π](ϕ)f(θ − ϕ)dϕ
=1
2π(K1 ∗ f)(θ)− 1
πP.C
∫R
1
ϕχR\[−π,π](ϕ)f(θ − ϕ)dϕ. (3.13)
Chọn K2(θ) là hàm chẵn, trơn có giá compact trong đoạn [−π, π], không
âm và thỏa mãn∫RK2(x)dx = 1.
Mặt khác ta có
1
ϕχR\[−π,π](ϕ) = (
1
ϕ∗K2) +
( 1
ϕχR\[−π,π](ϕ)− (
1
ϕ∗K2)
)(3.14)
Đặt K3(ϕ) = 1ϕχR\[−π,π](ϕ)− ( 1
ϕ ∗K2).
Bổ đề 3.3.1. [4]. K3 ∈ L1(R).
Chứng minh. Vì∫RK2(x)dx = 1 nên ta có
K3(ϕ) = P.C
∫RK2(θ)
(χR\[−π,π](ϕ)
ϕ− 1
ϕ+ θ
)dθ.
=1
2
∫ π
−πK2(θ)
(2χR\[−π,π](ϕ)
ϕ− 1
ϕ− θ− 1
ϕ+ θ
)dθ
56
=
∫ π
−πK2(θ)
(χR\[−π,π](ϕ)
ϕ− ϕ
ϕ2 − θ2
)dθ.
Nếu |ϕ| ≥ π thì
K3(ϕ) =
∫ π
−πK2(θ)(
1
ϕ− ϕ
ϕ2 − θ2)dθ
=
∫ π
−πK2(θ)
−θ2
|ϕ|(ϕ2 − θ2)dθ.
Vậy ta có
|K3(ϕ)| ≤∫ π
−πK2(θ)
θ2
|ϕ|(ϕ2 − θ2)dθ.
Vì K2(ϕ) có giá compact trong [−π, π] nên ∃δ > 0 sao cho
supp K2 ⊂ [−π + δ, π − δ].
Do đó
|K3(ϕ)| ≤∫ π−δ
−π+δ
K2(θ)θ2
ϕ(ϕ2 − θ2)dθ.
Với |θ| < π − δ, |ϕ| > π ta có
θ2
|ϕ|(ϕ2 − θ2)≤ Cπ2
|ϕ|3.
Suy ra
|K3(ϕ)| ≤ C
∫ π−δ
−π+δ
K2(θ)dθ.
Vậy K3(ϕ) bị chặn với |ϕ| ≥ π, và có cỡ |ϕ|−3 khi |ϕ| → ∞.
Nếu |ϕ| < π thì
K3(ϕ) =−1
ϕ∗K2 = −P.C
∫ π
−π
K2(θ)
ϕ− θdθ
= − limε→0+
∫|ϕ−θ|>ε
K2(θ)
ϕ− θdθ
= − limε→0+
(∫ |ϕ|+πε
K2(ϕ− θ)θ
dθ +
∫ −ε−|ϕ|−π
K2(ϕ− θ)θ
dθ)
57
= − limε→0+
∫ |ϕ|+πε
K2(ϕ− θ)−K2(ϕ+ θ)
θdθ.
Đặt
g(θ) =
K2(ϕ−θ)−K2(ϕ+θ)
θ , nếu θ 6= 0
−2K2(ϕ), nếu θ = 0
thì g(θ) là hàm liên tục, bị chặn trên [0, |ϕ| + π], ta có |g(θ)| < M với
mọi θ ∈ [0, |ϕ|+ π]. Suy ra K3(ϕ) = −∫ |ϕ|+π
0 g(θ)dθ.
Vậy ta có |K3(ϕ)| ≤M∫ |θ|+π
0 dθ < +∞. Hay K3(ϕ) bị chặn trong R.
Vì K3 có cỡ |ϕ|−3 khi |ϕ| → ∞ nên K3 ∈ L1(R). �
Từ (3.13), (3.14) ta có
I1(θ) =1
2π(K1 ∗ f)(θ) +
1
πP.C
∫R(1
ϕ∗K2)(ϕ)f(θ − ϕ)dϕ
+1
2πP.C
∫RK3(ϕ)f(θ − ϕ)dϕ
=1
2π(K1 ∗ f)(θ) +
1
π(K2 ∗Hf)(θ) +
1
π(K3 ∗ f)(θ).
Như vậy ta có
Hf(θ) =1
πHf(θ) +
1
2π(K1 ∗ f)(θ) +
1
π(K2 ∗Hf)(θ) +
1
π(K3 ∗ f)(θ).
Suy ra
|Hf(θ)| ≤1
π|Hf(θ)|+
1
2π|(K1 ∗ f)(θ)|+ 1
π|(K2 ∗Hf)(θ)|+
1
π|(K3 ∗ f)(θ)|.
Theo (3.11) ta có
CTf(θ) ≤ ||f ||p + | supN∈N
H(eiNθf)(θ)|+(|K1| ∗ |f |
)(θ)
+(|K3| ∗ |f |
)(θ) +
(| supN∈N
H(eiNθf)(θ)| ∗ |K2|)
(θ). (3.15)
58
Toán tử cực đại Carleson liên tục nghĩa là
C1Rf(x) = sup
N∈R
∣∣∣ ∫ξ<N
f(ξ)e2πixξdξ∣∣∣.
C2Rf(x) = sup
N∈R
∣∣∣ ∫N<ξ
f(ξ)e2πixξdξ∣∣∣.
Ta có
H(eiNθf) = −i∫Rsgn(ξ)f(ξ +N)e2πixξdξ.
Vì vậy
|H(eiNθf)| ≤∣∣∣ ∫
ξ<N
f(ξ)e2πixξdξ∣∣∣+∣∣∣ ∫
ξ>N
f(ξ)e2πixξdξ∣∣∣
≤ supN∈R
∣∣∣ ∫ξ<N
f(ξ)e2πixξdξ∣∣∣+ sup
N∈R
∣∣∣ ∫ξ>N
f(ξ)e2πixξdξ∣∣∣
= C1Rf(x) + C2
Rf(x).
Do đó nếu C1R và C2
R bị chặn trong Lp(R) thì supN∈N|H(eiNθf)| cũng bị
chặn trong Lp(T). Kết hợp với (3.15) ta có
CTf(θ) ≤ ||f ||p + C1Rf(θ) + C2
Rf(θ) +(
(C1Rf(θ) + C2
Rf(θ)) ∗K2
)(θ)
+(|f | ∗ |K1|
)(θ) +
(|f | ∗ |K3|
)(θ),∀θ ∈ [−π, π].
Suy ra
||CTf ||p ≤ ||f ||p + 2||C1Rf ||p + 2||C1
Rf ∗K2||p
+|||f | ∗ |K1|||p + |||f | ∗ |K3|||p.
Theo bất đẳng thức Yong ta có
|||f | ∗ |K1|||p ≤ ||f ||p.||K1||1 = 2||f ||p.||K1||1,
|||f | ∗ |K3|||p ≤ ||f ||p.||K3||1 = 2||f ||p.||K3||1,
59
||CTf ||p ≤ C||f ||p.
Do đó nếu toán tử C1R, C
2R bị chặn trong Lp(R) thì CT bị chặn trong
Lp(R). �
60
Kết luận
Khóa luận được trình bày với 3 chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị, trình bày một số khái niệm và tính chất
cơ bản về độ đo và tích phân Lebesgue, không gian Lp và cuối cùng là
các khái niệm và tính chất cơ bản về hàm liên tục tuyệt đối.
Chương 2: Biến đổi Hilbert, trình bày về biến đổi Hilbert rời rạc với các
hàm tuần hoàn chu kỳ 2π và biến đổi Hilbert trên đường thẳng thực.
Chương 3: Mối liên hệ giữa sự hội tụ của chuỗi Fourier và tích phân
Fourier qua biến đổi Hilbert và toán tử Carleson, trình bày về sự hội tụ
đều đối với tổng Fejer của hàm liên tục, sự hội tụ trong LP của chuỗi
Fourier, tích phân Fourier và cuối cùng là mối liên hệ giữa sự hội tụ
của chuỗi Fourier và tích phân Fourier qua biến đổi Hilbert và toán tử
Carleson.
Khóa luận đã trình bày chi tiết phần chứng minh các định lý của chương
2 và chương 3 mà trong tài liệu tham khảo chỉ đưa ra các bước chứng
minh vắn tắt.
61
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Hoàng Tụy (2005),Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học quốc
gia Hà Nội.
[2] Vũ Công Viên (2012),Các bất đẳng thức kiểu Hardy một chiều, Luận
văn cao học, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học KHTN, Đại học
quốc gia Hà Nội.
[B] Tài liệu tiếng Anh
[3] C. Muscalu, W. Schlag (2013), Classical and Multilinear Harmonic
Analysis, Cambridge university press.
[4] M. A. Pinsky (2003), Introduction to Fourier Analysis and Wavelets,
China machine press.
