Hagrannsóknir I - Forsíða · 2004-12-29 · Erlendur Davíðsson 10 Aðfelluóhneigður metill Metill sem er hneigður í upphafi vegna smæðar, en þegar hann stækkar hættir

Hagrannsóknir I

Glósur úr fyrirlestrum og dæmatímum Haustönn 2004

Erlendur Davíðsson 2

Efnisyfirlit FYRIRLESTUR 1 – 6.09.2004......................................................................................................................4

3. KAFLI ......................................................................................................................................................4 FYRIRLESTUR 2 – 13.09.2004....................................................................................................................6

5. KAFLI ......................................................................................................................................................6 Mat og metlar.........................................................................................................................................6 Skilvirkni (e. efficiency)..........................................................................................................................8 Eiginleikar metla stórra úrtaka..............................................................................................................9 Aðfelluóhneigður metill........................................................................................................................10 Samkvæmni (e. consistency).................................................................................................................10 Aðfelluskilvirkur metill.........................................................................................................................11 Aðferð hámarkslíkinda (e. Maximum Likelihood Estimation (MLE)).................................................11

FYRIRLESTUR 3 – 20.09.2004..................................................................................................................13 5. KAFLI .....................................................................................................................................................13

5. skref hámarkslíkinda........................................................................................................................13 Smá upprifjun úr tölfræði.....................................................................................................................16 Kunna til prófs um ML.........................................................................................................................18

FYRIRLESTUR 4 – 27.09.2004..................................................................................................................19 KAFLI 4 .....................................................................................................................................................19

Aðfallsgreining.....................................................................................................................................19 Þrjú atriði um ε ..................................................................................................................................19

KAFLI 7 .....................................................................................................................................................24 Frávikaform .........................................................................................................................................27


Summa heildarfervika (SST) ................................................................................................................28 Summa útskýrðra fervika (SSE) ...........................................................................................................28 Summa óútskýrðra fervika (SSR) .........................................................................................................28 Forsendur sem þarf að kunna ..............................................................................................................32 II. Forsendur um ε .............................................................................................................................33 Eiginleikar β ......................................................................................................................................35


Gauss-Markov setning .........................................................................................................................41 FYRIRLESTUR 7 – 25.10.2004..................................................................................................................46

KAFLI 7 .....................................................................................................................................................46 ML-metlar ............................................................................................................................................46

KAFLI 9 .....................................................................................................................................................47 Marglínuleiki (e. multicollinearity)......................................................................................................47 Afleiðingar marglínuleika ....................................................................................................................48 Variance inflation factor (VIF) ............................................................................................................49 Það sem er að vita fyrir próf................................................................................................................50 Stuðlabönd – Bönd á stuðla .................................................................................................................50

Háskóli Íslands


FYRIRLESTUR 8 – 01.11.2004..................................................................................................................54

9. KAFLI .....................................................................................................................................................54 Aukajafna (e. auxiliary regression)......................................................................................................55 Dummy-ar ............................................................................................................................................57 Fullkominn marglínuleiki.....................................................................................................................58 Recursive least squares (afturvirksaðferð minnstu kvaðrata)..............................................................60

FYRIRLESTUR 9 – 08.11.2004..................................................................................................................61 10. KAFLI ...................................................................................................................................................61

Þessa útleiðslu á að kunna...................................................................................................................62 Almenn aðferð minnstu kvaðrata .........................................................................................................62 Þverskurðargögn..................................................................................................................................62 Misdreifni.............................................................................................................................................62 Goldfeld-Quandt ..................................................................................................................................66 White-próf ............................................................................................................................................66 Lagrange multiplier test.......................................................................................................................66 Breusch-Pagan próf .............................................................................................................................66

FYRIRLESTUR 10 – 15.11.2004................................................................................................................68 10. KAFLI ..................................................................................................................................................68

Misdreifni.............................................................................................................................................68 Sjálffylgni .............................................................................................................................................69 1. gráðu sjálffylgni ...............................................................................................................................69 2. gráðu sjálffylgni ...............................................................................................................................69 Þrjú tilvik .............................................................................................................................................69 Próf fyrir sjálffylgni .............................................................................................................................71 Gallar Durbin-Watson .........................................................................................................................72 Úrræði..................................................................................................................................................73

FYRIRLESTUR 11 – 22.11.2004................................................................................................................75 KAFLI 8 - SLEMBISKÝRIBREYTUR ..............................................................................................................75

Samkvæmni ..........................................................................................................................................76 Tímaraðir .............................................................................................................................................76 Þrjú ólík tilvik ......................................................................................................................................76 Þrjú tilvik sem þarf að kunna...............................................................................................................78 Ástæður fyrir fylgni á milli og X ε ..................................................................................................78 Mæliskekkjur ........................................................................................................................................78 Samtímajöfnu-bjögun...........................................................................................................................80 Tveggja þrepa aðferð...........................................................................................................................81

FYRIRLESTUR 12 .....................................................................................................................................83 KAFLI 11 ...................................................................................................................................................83

Ástæður fyrir tímatöfum í líkönum .......................................................................................................83 Áhrif X á Y............................................................................................................................................83 11.2 Aðlögunarferlar ...........................................................................................................................84 Distributed lags – Tímatafðar jöfnur ...................................................................................................85 Partial Adjustment Model ....................................................................................................................86 ADL......................................................................................................................................................86 Væntingar.............................................................................................................................................88 1. Aðlögunarvæntingar ........................................................................................................................88 2. Ræðar væntingar (RE) .....................................................................................................................88 Fyrir próf .............................................................................................................................................89

Háskóli Íslands


Hagrannsóknir I Fyrirlestur 1 – 6.09.2004

3. Kafli 1. Segjum sem svo að við séum með þýði sem er óendanlega stórt. Þýðið hefur:

Meðaltal: µ Dreifni: 2σ Úrtök, meðaltal X X hefur dreifingu: Meðaltal: [ ]E X µ=

Dreifni: ( )2

Var Xnσ

=

Ef tekin eru stór úrtök þá verður2

,X N µnσ⎛

⎜⎝ ⎠

∼⎞⎟ , óháð dreifingu þýðisins.

2. Metill:

ixX

n= ∑ (Þetta er metill)

Þegar sett eru inn gögn þá fæst mat. Þegar um eina tölu er að ræða er talað um punktmat. Öryggisbil:

xz

n

µσ−

= Normaldreift ( )0,1N ∼

Pr(-1,96 1,96) 0,95

Pr(-1,96 1,96) 0,95

zX

n

µσ

≤ ≤ =

−≤ ≤ =

95% öryggismörk fyrir meðaltalið ( )X

Háskóli Íslands


1,96 sXn

± ×

s er metill fyrir σ

22 ( )

1iX X

sn−

=−

∑

3. Dæmi um tilgátur:

0

1

: 540: 540

HH

µµ=>

Type I error: Hafna H0 þegar hún er sönn. Type II error: Hafna ekki H0 þegar hún er ósönn. 4. Innbyrðis tengsl dreifinga:

( )

1 2

2

1

0 1 2

02

2n2

a) Z 0,1

b) Höfum nokkrar innbyrðis óháðar z-breytur , ,...,

dreift með n frelsisgráðum.

c) t-dreifingHöfum , , ,...,

t-dreifð með n frelsisgráðum

d) F-dreifing

F-d

nn

ni

i

n

i

N

z z z

z

z z z zz

zn

nn

χ

χχ

=

−∑

∑

∼

∼

∼

∼ [ ]reift með u,n frígráðum.

Háskóli Íslands



5. Kafli Mat og metlar X er slembistærð Þýði X

iX sem stök í þýðinu

1 2( , .... )mX X Xθ θ= Allir metlar hafa dreifingu. Þegar við stingum tölum inn fáum við mat. 1. Lítil úrtök – eiginleikar metla

i) Óhneigður ( )E θ θ=

( )E θ θ≠ Hneigður metill

=> Bjögun (Bias) Bias ( )θ = E ( )θ - θ

Bias ( )θ >0 Jákvæð bjögun

Bias ( )θ <0 Neikvæð bjögun Dæmi: Óhneigður metill: er óhneigður metill fyrir X µ

2

1 1 .....

n

ii n

XXXX

n n== = + +∑

n

1 ( )( )( ) ..... ...nE XE XE Xn n n n

µ µ µ= + + = + + =

ii) Hneigður metill

X hefur dreifingu

Var( X )=2

nσ

Háskóli Íslands


Metill fyrir ( )Var X :

2

2 1( )

n

ii

X Xv

n=

−=∑

( ) ( )( )

2

2

1

2

22

1

2 21 1

2 21

2 21

( )

( )( )

( )1( )

1 (( ) 2( )( ) ( ) )

1 ( ) 2 ( )( ) ( )

1 ( ) ( )

Veit að:(

n

ii

i n

ii

Var X En

X XVar X

n

X XE v E X X

n n

E X X X Xn

E X n X X n Xn

E X n Xn

XE

σ

µ µ

µ µ µ µ

µ µ µ µ

µ µ

=

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

−=

⎧ ⎫−⎪ ⎪ ⎡ ⎤⎪ ⎪= = − −⎨ ⎬ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

⎡ ⎤= − − − − + −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − − − + −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦

∑

∑∑

∑

∑

∑

−

( )

21 2

2 2

22

2 22 2 2 2 2

2 2

2

2

2

)

( ) ( )

( )

( 1)1 1( )

( )er hneigður metill fyrir

Óhneigður metill fyrir

( )

1

i

i

nE n X E X

E Xn

nE v nn n n n

X Xv

n

X Xs

n

µσ

µ µ

σµ

σ σσ σ σ σ

σ

σ

−=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− =

−= − = − = ≠

−=

−=

−

∑

∑

∑

∑

∑

Kíkja síðan á bls. 49-50.

Háskóli Íslands


Eftirfarandi þarf að vera á hreinu:

Hvað er að vera bjagaður og óbjagaður metill. Kunna skilgreininguna - jákvæð eða neikvæð bjögun.

( )

2

2 2 21

2

2

22

2 2

( )( )

( )

1

( )( 1)

1 1 ( 1)

n

ii

i

i

i

X Xv nv X X

n

X Xs

n

X Xnv n nE s E E

n n n n2σ σ

=

−= ⇒ = −

−=

−⎡ ⎤

−⎢ ⎥ ⎡ ⎤ −⎢ ⎥= = =⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∑

∑

∑=

Skilvirkni (e. efficiency): Tvö skilyrði sem metill verður að uppfylla Metillinn θ er skilvirkur ef:

a) E(θ )=θ Óhneigður b) Enginn annar metill hefur minni variance

Með því að hafa lítinn variance er þröngt bil og því minnka líkur á því að fá mat sem er langt frá. Oft er þá miðað við línulega metla:

1 1 n na X a Xθ = + +… iii) BLÓM: Besti

Línulegi Óhneigði Metillinn

BLÓM ER SKILVIRKASTUR AF ÖLLUM LÍNULEGUM METLUM. iv)

Mean Square Error (MSE) (Ísl: Hnittnifervik)

2

2( ) Bias( ) ( ) ( ( ))MSE Var E Eθ θ θ θ θ⎡ ⎤ ⎡= + = −⎣ ⎦ ⎣⎤⎦

Velja á þann metil sem hefur lægst MSE.

Háskóli Íslands


Eiginleikar metla stórra úrtaka: Aðfellueiginleikar (e. Assymptotic) Aðfelludreifingin fyrirθ er sú dreifingθ stefnir á þegar úrtakið stækkar. Dæmi:

2

2

,

( ) 0

plim( )

Plim dreifingin stefnir á tiltekna stærð með ákveðnum líkindum þegar n

n

X Nn

Var Xn

XX

σµ

σ

µµ

→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

→

=

→∞

∼

Þetta er kallað LÍKINDAMARKGILDI (Probability limit).

( )( )

1 1 1 2

2 2 1 2

1 2

1 2

1 1

2 2

1 2 1 2 1 2

1

2

, , ,

, , ,

eru stikar (parameters).

Tökum mörg úrtök fáum dreifingar fyrir og .

plim ( )

plim ( )

plim ( ) plim ( ) plim ( )

plim plim

n

n

X X X

X X X

og

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ θ θ θ θ

θθθ

=

=

⇒

=

=

+ = + = +

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

…

…

( )( )

1 1

22plim θθθ

=

Háskóli Íslands


Aðfelluóhneigður metill Metill sem er hneigður í upphafi vegna smæðar, en þegar hann stækkar hættir hann að vera hneigður:

2 2

2 2

1

plim ( )

nvnv

σ

σ

−=

=

Bjögunin hverfur þegar . n →∞

2

22

er metill fyrir

1100

Þetta er dæmi um lið sem viðheldur bjöguninni, óháð hversu stórt n verður.

nn

τ σ

στ σ−= +

Samkvæmni (e. consistency) Þrjú skilyrði sem þarf að uppfylla: θ er samkvæmur metill ef:

( )1) ( ) 0 þegar nVar θ → →∞ lim 0Var θ =p

2) ( )plim Bias 0θ =

3) ( )plim MSE 0θ =

Háskóli Íslands


Aðfelluskilvirkur metill: 1) θ er samkvæmur metill 2) Enginn annar hefur minni aðfelludreifni Þegar orðið “aðfellu” er notað er verið að tala um metla sem eru teknir úr stórum úrtökum. Kafli 5.3 Heimaverkefnið byggist á að skoða hvernig metlar breytast þegar stærri og stærri úrtök eru tekin. Sleppa Method of moments. Aðferð hámarkslíkinda (e. Maximum Likelihood Estimation (MLE)) MLE : Byggir á því að finna það gildi á metlinum sem hámarkar líkurnar á að viðkomandi slembistærð hafi komið fram. Finna þann metil sem hámarkar líkurnar á að viðkomandi slembistærð hafi komið fram !

Háskóli Íslands


Dæmi bls. 125. Segjum sem svo að við séum með:

17 manna úrtak verkamanna í verksmiðju 2 ætla í verkfall

Hvaða dreifing gefur okkur mestar líkur á að við fáum þessa útkomu ? Binomial dreifing:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

15 15 152 2 2

15 142 2

!( ) (1 )( )! !

17! 17 16( ) 1 1 136 1(17 2)!2! 2

( ) 0 136 1 136 15 1 ( 1)

2(1 ) 152 17

217

x n xnP Xn x x

P X

dP Xd

π π

π π π π π

π π π πππ ππ

π

−= −−

×= − = − =

−

= = − + − −

− ==

=

π−

Setja á fram líkindafallið, diffra síðan m.t.t. þess parametra sem við höfum áhuga á að kanna.

Háskóli Íslands



5. kafli Dæmi: Hópur fólks er að fara í verkfall. Úrtak: n = 17 2 vilja fara í verkfall: x=2 Hvað er það gildi sem gefur mestar líkur á að þetta hlutfall komi upp ? Binomial dreifing:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

152

152

!! !

líkur

P X 136 1Nokkur gildi á :

136 10,1 0,280,2 0,19140,3 0,05810,5 0,0010,8

n xxnP X nn x x

π π

π

π ππ

π π π

−= −−

=

= −

−

0,00002 =0,1176 0,288

17Fallið er sýnt á bls. 128.

Einnig er hægt að taka líkindafallið og diffra það til að finna hámark !!! 5 skref hámarkslíkinda: (ÞETTA ÞARF AÐ KUNNA !!!):

1. Skrifum upp líkindafallið 2. (Tökum log (stundum gert)) 3. Diffrum með tilliti til viðkomandi stika (parameter) 4. Fáum metil 5. Mat

Háskóli Íslands


Dæmi:

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

2

15 142

14

Höfum áhuga á þessum sviga

1. ( ) 136 1 15( )3. 136 2 1 136 15 1 0

136 1 2 1 15 0

0 eða 1 eru ekki áhugaverðar lausnir.22-2 15 0 2 17

17

P xP x

π π

π π π ππ

π π π π

π π

π π π π

= −

∂= × − + × − =

∂

− − − =

= =

− = ⇒ = ⇒ =

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

11

11

11

! 1 1! !

! 1 1 0! !

! 1 0! !

0

liður 4: Hérna höfum við metilinn.

n x n xx x

n x n xx x

n xx

P x n x n xn x x

n x n xn x x

n n x n xn x x

x x n xx n

xn

π π π ππ

π π π π π

π π π π

π π ππ

π

− − −−

− − −−

− −−

∂ ⎡ ⎤= − + − −⎢ ⎥⎣ ⎦∂ −

⎡ ⎤− − − − =⎣ ⎦−

⎡ ⎤− − − − =⎣ ⎦−

− − + ==

=

1 0− =

Háskóli Íslands


Tökum fleiri dæmi með öðrum tegundum af dreifingum: Við erum með geometríska dreifingu og við ætlum að nota hana til að kanna líkur á að tiltekinn atburður gerist eftir ákveðinn fjölda tilrauna. Höfum úrtak

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

1 2

1 2

1

1 2

1 2

, , ,Líkurnar á að fá einmitt tiltekna athugun. (T.d. gallað eintak)Líkindi: ( ) 1

Líkindafallið: ( ),....,

1 1 ... 1

ln ln 1 ln ln 1 ln ... ln 1 ln

ln 1

i

n

n

x

n

xx x

n

X X X X

P X

P X P X P X

l L x x x

n

θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

=

= −

= − − −

= = − + + − + + + − +

=

…

( )

θ

( )

( )( )

( )

[ ][ ]

1ln

01

1

1

Þýði1

Sama og ML gefur1

n

ii

i

i

i i i

i i

i i

i

i

ii

x

xl n

xn

n x x x

n x x

n x x

Xx Xn

Xn x Xnn n

E XE X

θ θ

θ θ θ

θ θ

θ θ θ

θ θ

θ

θ

θ

=

− +

∂= − + =

∂ −

=−

= − = −

+ =

+ =

= = =+ +

+

=+

∑

∑

∑

∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑

∑∑

∑∑

Þegar við hámörkum logarithma-fallið verðum við að vera viss um að við séum einnig að hámarka líkindafallið. Oft þægilegra að taka logarithma ef fallið er stórt og flókið.

Háskóli Íslands


Dæmi – Samfelldar breytur: Smá upprifjun úr tölfræði: Þéttifall: i) ( ) 0 f x x≥ −∞ < < ∞

ii) ( ) 1f x dx∞

−∞

=∫

iii) ( ) (b

a

P a x b f x dx≤ ≤ = ∫ )

( ) er líkindaþéttifallið.f x

( )

[ ] [ ]

( ) 2

Um þessa dreifingu gildir almennt:1 1

1

xP X e

E XE X

Var X

θθ

θθ

θ

−=

= ⇒ =

=

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2

1 2

1 2

...

....

ln ln ln ... ln

lnln 0

0

1

n

n

xx x

n

i

i

ii

i

L P X P X P X

e e e

L x x

n xl n x

n nxx

nn

x Xn

θθ θθ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ

θ θ

θ

θ

=

=

= − + − + + −

= −

∂= − =

∂

= ⇒ =

= =

∑∑

∑ ∑

∑

x

Við fáum fullkomna mynd af dreifingunni með því að vita hvernig þessi stiki lítur út.

Háskóli Íslands


Dæmi: Þéttifallið:

( )2

2

1 1exp22

ixP x µσπσ

⎡ ⎤−⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) 212 2

2

12 exp Neðst á bls. 1292

x µπσ

σ− ⎡ ⎤−

= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Úrtak að stærð n úr x. Líkindafallið:

( ) ( ) ( )20,52

22 exp 0,5 ii

xP x

µπσ

σ− ⎡ ⎤−

⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∑

Fallið lítur svona út þegar búið er að taka logarithma af því:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

22

2

22

2

ln 0,5ln 2 0,5ln 0,5

0,5 ln 2 0,5 ln 0,5

i

i

xL

xn n

µπ σ

σ

µπ σ

σ

⎛ ⎞−⎜ ⎟= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

−= − × − × −

∑

∑ Jafna 5.32 í bókinni

Það sem þarf að gera hér er að diffra m.t.t. tveggja stika.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

2 22

222

2 2 4

22

22

2

22

22

ln 0,5 2 0 0 0 0

0,5 1ln 0,5 0 0,5 0,5

ML-metill fyrir n

bjagaður

óbjagaður1

ii i

i

ii

i

i

i

i

xL x x n

xn

xL n n x

n x

x Xn

xv

nx

sn

µσ σ µ

µ σ

µ

µσ µ

σ σ σσ µ

σ

σ

µ

µ

⎛ ⎞−∂= − × = ≠ ⇒ > ⇒ − = ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

⇒ =

− −∂ −= − = ⇒ − + −

∂

= −

−=

⎧ −⎪ =⎪⎨

−=

−

∑ ∑ ∑

∑

∑ ∑

∑∑

∑

∑

⎫⎪⎪⎬

⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

µ

Háskóli Íslands


Metillinn sem við erum með fyrir variance-inn er asemptótískt óhneigður, þegar n stækkar verður n og (n-1) nokkurn veginn það sama. Metillinn fyrir meðaltalið er óbjagaður í stórum úrtökum, en það er mjög gagnlegt. Ef það er hægt að ganga að því vísu að dreifingin sé normal og nógu stórt úrtak hverfur bjögunin, mjög mikilvægur eiginleiki. Eiginleikar:

1) ML-metlarnir eru aðfellu-óbjagaðir 2) Flókin líkön einföld í tölvum

Átta sig á hvernig þéttifall um er að ræða. Summera fallið upp. Diffra og leiða út. Kunna til prófs um ML Vita hvað aðferð hámarkslíkind er. Kunna þrepin við að leiða út metlana (5 skref sem þarf að kunna !!!)

Háskóli Íslands



Kafli 4 Aðfallsgreining:

25 heimilin = Ætlum að skoða tekjur og neyslu. Neysla er fall af tekjum ( )f Tekjur . Y Xα β ε= + + Fyrir þýðið í heild gildir: ( )

( ) ( ) er truflun e. disturbance = +

E Y X

Y E YX

α β

ε ε

α β ε

= +

= +

+

Þrjú atriði um ε :

i) Óþekkt stærð ii) Áhrif annarra breyta iii) Mannlegt atferli

Getum skrifað fyrir tiltekið heimili:

i iY X iα β ε= + + Við höfum úrtak (n=25). Verðum að meta og α β α β⇒ .

( ) e: afgangsliður / leifaliður e. residuali i i

i i i

Y X

Y Y e

Y X e

e Y X

Y X e

e Y X

α β

α β

α β

α β

α β

= +

= +

= + +

= − −

= + +

= − −

Háskóli Íslands


Mynd á bls. 80 er mikilvægt að kunna VERULEGA VEL !!! Hvaða eiginleika hefur ε og hvaða eiginleika hefur e ? Næst er að finna metla fyrir og .α β Reyna á að lágmarka fjarlægðina milli e og línunnar. Skiptir ekki máli hvort um sé að ræða ofmat eða vanmat. Notum aðferð sem kallast: Venjuleg Aðferð Minnstu Kvaðrata (VAMK) (e. Ordinary Least Squares (OLS)).

2iS =∑e Þetta á að reyna að lágmarka.

( )( )2

2

i i

i i

e Y X

S e Y X

α β

α β

= − −

= = − −∑ ∑ i

Lágmarka S með tilliti til og α β .

( )( )

( )( )

1. 2 1 0

2. 2 1 0

i i

i i i

S Y X

S X Y X

α βα

α ββ

∂= − − − =

∂∂

= − − −∂

∑

∑ =

Kíkjum fyrst á lið 1.

( )2 1 0i iS e eα∂

= − = ⇒∂ ∑ ∑ 0=

Háskóli Íslands


Kíkjum svo á lið 2:

( )2 1 0i i i iS X e X eβ∂

= − = ⇒∂ ∑ ∑ 0=

Leiðum nú út metlana fyrir og α β .

( ) ( )

( )Normaljafna

2

Normaljafna

2 0

2 0

i i i

i i

i i i

i i i i

Y X Y

Y n X

X Y X

X Y X X

α β α β

α β

α β

α β

− − − = ⇒ = +

= +

− − − =

= +

∑ ∑ ∑∑ ∑

∑∑ ∑ ∑

iX

Fáum jöfnu fyrir α :

i i

i i

Y n X

Y Xn n

Y X Y

α β

α β

Xα β α β

= +

= +

= + ⇒ = −

∑ ∑∑ ∑

Stingum þessu nú inn:

( )

( )

2 2

2

2

2

22

Munum að : og

1 1

Erum nú komin með metil fyrir :1

i i i i i i

i ii i i

i i i

iii i i

i i i i i i

i i i

X Y X X Y X X X

Y XY X X X X Y X

n nY X X X X

XY X X Xn n

X Y Y X X Xn n

X Y Y Xn

α β β β

β β

β β

β β

β

β

β

= + = − +

= − + =

= + −

= + −

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

−=

∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑∑∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑

( )22 1i

i iX Xn

−

∑ ∑

∑ ∑

Háskóli Íslands


Reynum nú að umrita þennan metil þannig að hann sé mótækilegri. Skoðum þennan hlut:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

222 22 2

2

2 22 2 2

2 2

1 12 2

1 1 12

ii i i i i

iii i i i

i i i i i i

X 2

2

X X X X X X X X nn

XXX X n X X n

n n n

X X X X X X Xn n n

− = − + = − +

⎛ ⎞= − + = − +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − + = −

X

n

∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑∑∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Erum nú komin með það sama og var undir strik í metlinum. Þá blasir við að ef nefnarann má einfalda með þessum hætti, er þá ekki líka hægt að gera eitthvað við teljaran ? Jú, það er hægt. Förum nú að vinna í teljaranum.

( )( )

( )( )

1 1

12

1 1 12

i i i i i i

i i i i i i

i ii i i i i i

i i i i i i i i i i

X X Y Y X Y X Y X Y XY

X Y X Y X Y nXYn n

X YX X Y Y X Y X Y n

n n n

X Y X Y X Y X Y Xn n n

− − = − − +

= − − +

− − = − +

= − + = −

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Y

∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Getum nú sett inn í.

( )( )( )

( )222

1

1i i i i i i

ii i

i i

i i

X Y X Y X X Y YnX XX X

nx X Xy Y Y

β− − −

= =−−

= −

= −

∑ ∑ ∑ ∑∑∑ ∑

Og þar að leiðandi:

2i i

i

x yx

β = ∑∑

Háskóli Íslands


2

=163,2 =163,29

166.258,2

135.068,5i

i i

XY

x

x y

=

=∑∑

2

135.068,5 0,812166.258,2

163,29 0,812 163,20 30,71

30,71 0,812

i i

i

x yx

Y X

Y X

β

α β

= = =

= − = − × =

= +

∑∑

Þetta þýðir að ef tekjur einstaklings eru 0 mun hann eyða 30,71. Þegar tekjurnar aukast mun neyslan aukast um 0,812 af hverri krónu. Þetta er því jaðarneysluhneigð heimilana. Ef þetta væri logarithmi myndi þessi tala þýða teygni.

Úr kafla 4:

Kunna allar skilgreiningar á :

Jafna þýðis Jafna úrtaks Tenging Geta teiknað myndina upp Geta sett upp þetta einfalda líkan og leitt þetta út. Og eitthvað fleira eflaust.

Sleppum kafla 6.

Háskóli Íslands


Kafli 7 Í kafla 4 leiddum við út frekar einfalt líkan. Við gætum t.d. verið með líkan sem lyti svona út:

1 2 1 3 1 4 2t t t tY Y X X tβ β β β−= + + + +ε Y: Neysla á tímanum t

1tY − : Neysla á tímanum t-1

1X : Tekjur

2X : Eignir Almennt er þetta svona:

1 2 2 3 3 ... k kY X X Xβ β β β= + + + + Hér er 1X fasti. Þetta er hægt að skrifa á mun einfaldari hátt (fylkjaformi). Við það einfaldast hlutirnir mjög: Á fylkjaformi: Y = Xβ+ ε Við þurfum að átta okkur á hvaða víddir við erum með í gangi. Höfum:

n: fjöldi athugana k: fjöldi X

[ ] [ ] [ ] [ ]

1 11 1 1 1

1 n

. .. . . . . . .

. . . . . . .

. .

1 k 1 n 1

k

n n kn k

Y X X

Y X X

n n k

β ε

β ε

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦× × ×

Y X β ε

×

]

[ ] [ ] [ ][

1 n k 1 1n k n× × × ×

Y = X β + ε

Háskóli Íslands


1 2 2 ... k kY X

Y Y e

β β β= + + +

= +

Y = Xβ + e

X

i

]1

Lágmarka ( )22i iS e Y Y= = −∑ ∑

[ ]

( ) ( ) ( )( )

[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][

2 2 2 21 2

1

21

...

.. .

.

1 1 1 1 1 1 1

i n

n i

n

e e e e

e

e e e

e

S

n n n n k k k k n n k k

= + + +

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= =

× × × × × × × × × ×

∑

∑T

T TT T T

T TT T T T

e × e

e e Y - xβ Y - xβ = Y -β X Y - Xβ

= Y Y - Y Xβ -β X Y +β X Xβ

Þurfum að átta okkur á því að :

[ ][ ] [ ][ ][ ][ ] [ ][ ][ ][ ] [ ][ ][ ][ ][ ] [

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

n n

n n k k

k k n n

k k n n k k

= × × = ×

= × × × = ×

= × × × = ×

= × × × × = ×

T

T

T

T T

Y Y

Y Xβ

βX Y

β X Xβ ]1 1

Nokkrar diffurreglur: 1.

a aa a∂ ∂= =

∂ ∂

T TX XX X

2.

( ) er samhverft

2∂

=∂

T

T

X AX A

X AXAX

X

Háskóli Íslands


Eftirfarandi þarf að kunna utan af – mjög vinsæl spurning. Skilgreina betametilinn, segja hvaða hugsun sé á bakvið hann og sýna helstu skrefin í að leiða metilinn út.

( )( ) ( )

2 0

S

S

=

=∂

= =∂

T TT T T T

T TT T T

T T

T T

-1 -1T T T T

Y Y - Y Xβ -β X Y +β X Xβ

Y Y - 2β X Y +β X Xβ

X Y + 2X Xββ

X Y = X X β

X X X Y = X X X Xβ

Kíkjum nú á einn hlut:

( )

( )⇒

T T

T T

T T T T

X Y = X X β

Y = Xβ + ε

X Xβ + ε = X Xβ

X Xβ + X ε = X Xβ X ε = 0

Hvað þarf maður til að leiða út β og reikna:

1. Kunna að leiða metilinn út ( )-1T Tβ = X X X Y

2. Reikna ( ) ( ) ( ) og og -1T TX X X X X YT

3. Margfalda ( )-1T TX X X Y Á prófi koma aðeins fyrir fylki. 2 2×

Háskóli Íslands


Frávikaform: (1) 1 2 2 ... ki iY X Xβ β β= + + + +ki ie

ki ie

(2) ( )1 2 2 ... ki iY X Xβ β β= + + + +∑ ∑(3) 1 2 2 ... k kY X Xβ β β= + + + + e (1)-(3) = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 ...i i ki i kiY Y X X X X e eβ β β β− = − + − + + − + −k i

Vitum að :

( )( )0

ii i

i i

ee e e

ne e e

− = −

= ⇒ − =

∑

∑ ie

Og þ.a.l.

( ) ( )2 2 2

2 2

...

...

i i ki

ki k i

Y Y X X X X e

y x x e

β β

β β

− = − + + − +

= + + +

k i

Metlar:

( )( )

2

1 2

fyrir ,...,

x er x ,...,

k

kY X x

β β

β β= −

-1T Tβ = x x x y

Háskóli Íslands



Kafli 7 Við erum komin á bls. 178. Reynum nú að finna hversu góð aðfallslíkingin okkar er.

Þegar búið er að meta líkanið ( )-1T Tβ = x x x y og höfum fengið útY X e y eβ= + = + . Skoðum nú 2R en það er mælikvarði á hversu góður útskýringarmáttur jöfnunnar er.

Höfum

( ) ( )( )( )

( )

: Sveiflur í Y í kringum Y

: Sveiflur í Y í kringum Y

Sá hluti sem aðfallslíkingin útskýrir

i i i

i i

i i

i

Y Y Y Y e

Y Y

Y Y

Y Y

− = − +

−

−

⇒ −

Útleiðsla:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

22 2

1 2 21

1 2 2

22 2

2

2 2 ... 2

2 2 ... 2 2

i ii i i

ki i i ki i

ki i i ki i

i i i

Y Y Y Y e e Y Y

e Y Y e X X Y e

e X e X e Y

Y Y Y Y e

β β β

β β β

− = − + + −

− = + + + −

= + + + + −

⇒ − = − +

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

ie

∑

Summa heildarfervika (SST): ( )2

iY Y−∑

Summa útskýrðra fervika (SSE): ( )2

iY Y−∑

Summa óútskýrðra fervika (SSR): 2

ie∑

Háskóli Íslands


Erum með:

( ) ( )22 2

2

SST = SSE + SSRSSE SSR1=SST SSTSSE SSR1SST SST

i iY Y Y Y e

R

− = − +

+

= = −

∑ ∑ i∑

Sp. Hvernig á að túlka 2R ? 2 ]0,1[R ∈

1) Sýnir sambandið á milli Y og . X 2) Segir ekkert um orsakasambandið.

Dæmi:

a. Tekjur = ( )menntunf 1 2 2Y xβ β ε= + +

b. Menntun = ( )tekjumf 1 2 2Y xβ β ε= + +

3) Breytilegt á milli úrtaka. 4) Getur mælt áhrif annarra breyta sem ekki eru í líkaninu á Y og .

X

Dæmi: Tel mig vera búinn að komast að eftirfarandi:

Er búin að sjá að sala á ís = ( )árasir á fólkf Í þessu tilfelli hef ég kannski gleymt að taka tillit til þess að:

Íssala = ( )sólf

Árásir = ( )sólf

5) Áhrif tíma (spurious regression). 6) 2R hækkar með fjölda skýristærða, . X

Háskóli Íslands


2 2 Leiðrétt RR =

( )( )

2 SSR SSR 11 1SST -1 SST

n k nRn n−

k−

= − = − ×−

Breytum bætt við 1nn k−⎛ ⎞⇒ ↑⎜ ⎟−⎝ ⎠

Breytum bætt við SSRSST

⎛ ⎞⇒ ↓⎜ ⎟⎝ ⎠

Breytum bætt við: SSR 1SST

nn k−⎛ ⎞ ⎛ ⎞↓ ↑⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Nettóáhrifin eru fyrirfram óviss. Ef viðbótarbreyturnar “eiga heima” í líkaninu þá :

SSR 1SST

nn k−⎛ ⎞ ⎛∆ > ∆⎜ ⎟ ⎜

⎞⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Dæmi:

2 20,9 R 0,92SSR0,1 0,08SST

25 n=255 k=6

RSSRSSTnk

= =

= =

==

Hvor jafnan er betri ?

2

2

245 : 1 0,1 1 0,12 0,8820

246 : 1 0,08 1 0,1 0,919

k R

k R

= = − × = − =

= = − × = − =

2R dæmi eru alltaf á prófi þar sem á að túlka hluti. Skilja hvað 2R er, hvernig á að nota

það og hvernig á að reikna úr því. Yfirleitt þýtur 2R upp úr öllu valdi ef tími er í gögnunum.

Háskóli Íslands


1. 2

R R< nema ef 2 1R = 2. 2R getur hækkað ef breytum er bætt við.

( ) ( ) ( )2 2: ln Örvar: Bætum við breytuie kAIC AIC

n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ↓ + ↑⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

Lágmarka AIC . Kunna kafla 7 mjög vel. Hægt að ná prófi bara með því að kunna kafla 7.

( ) ( ) ( )-1 -1T T T T

Y = xβ + ε

β = x x x y = x x x xβ + ε

Þýði:

1 2 2 ... k kY X Xβ β β= + + + +ε Úrtök:

2 2 ...i i i k ki iY X X e Xβ β β β= + + + + = + e

Háskóli Íslands


Forsendur sem þarf að kunna: IA. X er ekki slembistærð, Y er slembistærð.

e er slembistærð er slembinY X e Yβ= + ⇒ IB. X hefur föst gildi, e er breytileg Y er breytileg milli úrtaka. ⇒

( )β =TT Tx x x y β⇒ er breytileg og hefur dreifingu (bls. 136-137)

IC. 21 þegar nij jx Qn

→ →∑ ∞

( )22

iiX Xx

n n

−=∑

∑

ID. Það er ekki fullkomið línulegt samband milli X.

1 2 2 3 3Y X Xβ β β= + + +ε

( ) 1

2 33 er ekki til er ekki tilTX X x x β−

= ⇒ ⇒ .

( ) 1 er non-singular x er til.T Tx x x

−

Tökum saman IC og ID:

Tx x er non-singular og þannig úr garði gerð að þegar:

1 Tn x xn

→∞⇒ →Q

er non-singular fylki af föstum.Q

Háskóli Íslands


II. Forsendur um ε IIA. ( ) 0iE ε = fyrir öll i og þ.a.l. er meðaltalið = 0.

( ) ( )( ) ( )2 2r (fasti)i i i iE E Eε ε ε ε σ= − = =IIB. Va Dreifni allra skekkjuliðana er sú sama. IIC. ( ) ( ) 0 engin sjálffylgnii j i jCov Eε ε ε ε= = . IID. er normaldreifð.iε

( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

221 1 2 1

2 22 1 2

22

1

er n 1 vektor.

1 1 fylki.

0 0 00 00 0 . 00 0 0

T

n

T

n n

n n n n

E E E

E E

E E

ε

εε

ε ε ε ε ε σε ε ε σ

εε0

σε ε ε

×

× × = × −

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

…

…

…

… …

2 2

1 0 . 00 1 . 0. . . 00 . . 1

TnIεε σ σ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( )20,NIDε σ nI∼

N: Normaldreifing. ID: Independantly distributed.

Háskóli Íslands


( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

21 1 2 1

22 1 22

21

1 1 2 1

2 1

1

.

. .

. . . .

. .

.. . .

Varians-Covarians fylki. . . .

. .

n

Tn

n n

n

n n

E E E

E EI

E E

Var Cov CovCov

Cov Var

ε ε ε ε ε

ε ε εεε σ

ε ε ε

ε ε ε ε εε ε

ε ε ε

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Allar þessar átta forsendur á að kunna, skilja í hverju þær felast og geta útskýrt hvað þær þýða. Mikilvægt að vera með þetta á tæru !!!

( ) 1T Tx x x yβ−

=

Háskóli Íslands


Eiginleikar β :

I. Línulegur metill : ( )β =-1T TX X X Y

CY= C=fasti

II. Óhneigður metill :

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

(IA,IB)

(IIA)

⇒

-1T T

-1T T

-1 -1T T T T

-1T T

β = X X X Y

β = X X X Xβ + ε

β = X X X Xβ + X X X ε

β = β + X X X ε

= β + Cε

E β = E β + Cε

= E β + E Cε

= β + E ε = β E ε = 0

E β = β

Hérna eru notaðar forsentur IA, IB og IIA. (bls. 187)

III. Samkvæmur

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 2

21 2

2 2

...

...

- ... - -

k k

kk

k k

Y XX X

Y X X

Y Y y x x x

β εβ β β ε

β β β ε

β β ε ε β ε

= += + + + +

= + + + +

= = + + + = +

-1 -1T T T T

-1 -1T T T T

-1T T

β = x x x y = x x x xβ + ε - ε

= x x x xβ + x x x ε - ε

= β + x x x ε - ε

ε

Háskóli Íslands


( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )

1

1

1

1

plim plim

plim plim

x 1plim plim

1 1plim plimn n

T T

T

TT

T T

x x x

x x x

xx

n n

x x x

β β ε ε

β ε ε

β β ε

β ε

−

−

−

−

= + −

= + −

⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥= + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠

ε

ε

Kíkjum nú á fyrri liðin:

11

1plimn

1plimn

T

T

x x Q

x x Q−

−

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Og nú seinni liðurinn:

( ) ( )( ) ( )1 1 1Ti ix X X Cov x

n n nε ε ε ε− = − − =∑ ε

X er ekki slembin heldur föst stærð.

( ) 0Cov Xε⇒ = Og þá erum við búin að sanna að: ( )plim β β=

Metillinn er því línulegur, óhneigður og samkvæmur.

Háskóli Íslands



Kafli 7 Í prófinu verða útleiðslur, eiginleikar metla, einhver dæmi þar sem beðið verður um að finna metil sbr. bls 200 og 201. Kíkjum nú hvernig variance- og covariancefylki er hjáβ . Viljum vita hvernig við getum fengið variance-inn er hjáβ og þ.a.l. staðalfrávikið. Þegar staðalfrávikið er fundið getum við gert tilgátupróf. Fylki β .

( )( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2

1 1

2

2 1 22 1 2

2

1 1

1 1

2 21

1

. . .

. .

. . .

. .

. .

. .

. . . .

. .

T

k kk k

k

k k

E

E EE

E E

Var Cov

Cov Var

Cov Var

β β

β β β β β ββ β β β

β β β β β β

β β β

β β β

β β β

⎡ ⎤⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤− − −⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦− − = ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Háskóli Íslands


( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

-1T T

-1T T

-1 -1T T T T

-1T T

-1T T

T

TT -1 -1T T T T

-1 -1T T T T

T 2n

T -1 -1 -12 T T T 2 T

β = X X X Y

= X X X Xβ + ε

= X X X Xβ + X X X ε

= β + X X X ε

β -β = X X X ε

E β -β β -β

= E β -β β -β = E X X X ε X X X ε

= E X X X E εε X X X

E εε = σ I

E β -β β -β = σ X X X X X X = σ X X

( ) ( ) 111 er jj stak í xTx x−

Varianceinn fyrir sérhvert iβ er jafn 2 jjx j iσ = 1,2,...,k= . Sjáum líka að . ( ) 2 ij

i jCov xβ β σ=

Athugið:

( )

( )( )

11 12 13

1 21 22 23

31 32 33

2 111

2 222

T

x x xx x x x x

x x x

Var x

Var x

β σ

β σ

−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=

=

Fylkið hér að ofan er symetrískt.

Háskóli Íslands


Ef verið er að vinna með frávikaaðferð (litla x og litla y í stað X og Y), þá fáum við að . ( ) 2 j=2,3,....,kjj

jVar xβ σ=

Einn hlutur er ekki tekin fyrir í bókinni sem verður tekinn fyrir hér.

( ) 1 Getum skrifða þetta sem T TX X X Y AYβ β

−= =

Það sem við erum að velta fyrir okkur er það hvort að β sé besti metillinn. Er kannski til einhver annar metill með minni variance ? Til að svara þessu þarf að búa til annann metil, sýna fram á hvaða eiginleika hann þarf að hafa og sýna fram á að hann sé ekki betri enβ .

( ) ( )( )( )( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1

1

1 1

1

1

ef CX =0

T T T T

T T

T T T T

T T

T T

CY X X X Y CY X X X C Y

X X X C X

X X X X X X X CX C

X X X CX C

E E X X X E E CX CE

E CX

β β

β β ε

β β ε β

β β ε β ε

β β ε β ε

β β β β

− −

−

− −

−

−

= + = + = +

= + +

= + + +

= + + +

⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

= + ≠

ε

Er

( ) ( )( ) ( )( )

( )( )1

T

T T

Var Var

Var E

E X X X CX C

β β

β β β β β

β ε β ε β−

>

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦

−

Háskóli Íslands


Þar sem:

( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1

1 1

1 1 1

1 12

ef er óhneigður, þ.e. cx=0

Var

TT T T T

TT T T T

T T T T T

T T T T T T T T

T T T T T

Var E X X X CX C X X X CX C

E X X X C X X X C

E x x X C C X X X

E X X X C X X X X X X

X X X C X X CC CX

β ε β ε ε β ε

ε ε ε ε β

β ε ε ε ε

εε εε

σ

− −

− −

− −

− − −

− −

⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤

= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

= + + + ( )( ) ( )1 12T TX X X Xσ− −

≠

Niðurstaða:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 12 2T T T T T T TVar X X X C X X CC CX X X Var X Xβ σ β σ− − −

= + + + ≠ =1−

( )Var β getur aldrei verið minni en ( )Var β þar sem við höfum alla þessa auka liði.

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

12 2

2

2

. 0

. 0

T T

T

T

Var X X CC

i CC

Var Var

ii CC Var Var

β σ σ

σ

β β

σ β β

−= +

≠

⇒ >

= ⇒ =

Út frá þessu höfum við eftirfarandi setningu: Venjuleg aðferð minnstu kvaðrata er BLÓM (Besti línulegi óhneigði metillinn).

Háskóli Íslands


Gauss-Markov setning:

1. Hið sanna líkan er línulegt 2. X er ekki slembin 3. Vongildi ε er 0 ( ) ( ) 0E ε =4. X er ekki fasti og ekkert línulegt samband á milli X-a. 5. ( ) 2Var ε σ=

ef þessi skilyrði eru uppfyllt ( ) ( )Var Varβ β⇒ ≥ .

Vitum nú að: ( ) ( ) 12 TVar X Xβ σ

−=

Vandamálið er það að við vitum ekki 2σ . Lokahnykkurinn er því að finna metil fyrir 2σ . Þegar það er komið getum við farið að gera tilgátupróf. Höfum því áhuga á að finna metil fyrir 2σ . Það sem við vitum er að :

( )( )( )

( )

( )( ) ( )

( )

1

1

1 1

Um gildir að

0

T T

T T T T

M

T T T T

TT T T T

e Y X

Y X X X X Y

I X X X X Y M M M MM M

e MYM XMX M

MX I X X X X X IX X X X X X IX IX

e M

e e M M M M M

β

β εβ ε

β β β β

ε

ε ε ε ε ε ε

−

−

− −

= −

= −

= − = =

=

= +

= +

= − = − = − =

=

= = =

β β

Vitum að 2T

ie e e=∑ Trace af fylki = summa meginhornalínununnar ( ( ) 2

itr A a=∑ ).

Háskóli Íslands


( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )( )

2

1

1

T T

T

T T

T

T T

T T

E e e E tr M

E tr M

e e trM E

e e tr M

tr M tr I X X X X

tr I X X X X

ε ε

εε

εε

σ−

−

⎡ ⎤⇒ = ⎣ ⎦⎡ ⎤= ⎣ ⎦

=

=

= −

= −

( )

( )( ) ( )

1

er

er einingafylki af víddinni k.T T

n k

I m m

X X X X

tr M tr I I n k

−

×

⇒ = − = −

( ) ( ) ( )2 2T

TE e e

E e e n kn k

σ σ= − ⇒ =−

Hérna höfum við fengið metil.

( ) 2T

iE e e e=∑ Og því er metillinn:

22 2ie

sn k

σ = =−∑

þar sem er óhneigður metill fyrir2s 2σ . Sögðum áðan að:

( ) ( )( )

12

12

T

T

Var X X

s X X

β σ−

−

=

=

Háskóli Íslands


Nú er aðeins eitt skref eftir þangað til hægt er að fara í ályktunarfræðina:

1 2 32 3

2 2er marktæk frá

Y X Xβ β β

β β

= + + + e

Almennt gildir:

( )

( )

2 2

2 2

0,1

er óþekkt nota s í stað

dreift með n-k frelsisgráðum

j

j

j

j

j j

j jjj

N

s s X ts

β

β

ββ

β βσ

σ σ

β β

−

⇒

−= ⇒ −

∼

∼

Sp. En af hverju er hún t-dreifð en ekki normal-dreifð ? 1.

( ) ( )( )

2

Notum k-fjölda brennum burtu k frígráðum og eigum því eftir n-k frígráður.

T

ie Y X Y Xβ β

β

= − −

⇒

∑

2. Vitum að ef forsendur halda þá er :

( )( )

( )

20,

0 0,1

0,1

i

i

i

NID

N

N

ε σ

εσ

εσ

−

∼

∼

∼

og einnig að

( )

22

2

2i 2

2

dreift

edreift með n-k frígráðum

iε χσ

χσ

−

−

∑

∑

∼

∼

Háskóli Íslands


3.

( )2

2

er t-dreifð með n-k frígráðum1ie

n k

β

β βσ

σ

−

×−

∑

Þetta má umrita. Vitum að: 2

2ies

n k=

−∑ og því:

( )2

2

er t-dreift með n-k frígráðums ssβ β

β β

β

β β β βσ σ β β

σσ

− −

−= =

Getum nú farið að draga ályktanir og gera tölfræðipróf. Dæmi:

1 2 32 3Y X Xβ β β= + + + e

20

2A

s

1 1,7 0,82 0,6 0,33 0,3 0,05

H : 0

H : 0

ββ

β

β

=

≠

2 2

2 20 0,6 0 2 Sama og að skrifa 0,3

325 22

s s

kn n k

β β

β β− −= =

== ⇒ − =

Gildið fyrir 95% öryggismörk er 2,074 í tveggja hala prófi með 22 f.g. Hægt er að hafna ef útkoman hefði verið stærri en 2,074. Hér er reiknaða t-gildið 2,0. Krítíska gildið er 2,074. K-gildið > reiknaða gildið getum ekki hafnað við þessi marktæknimörk.

0H⇒ 0H

Háskóli Íslands


Annað dæmi:

2

20

2

2

: 0,5

0,5 0,6 0,5 0,10,3 0,3

Hérna væri ekki hægt að hafna tilgátunni um að 0,5

H

Sβ

β

β

β

=

− −= =

=

Háskóli Íslands



Kafli 7 ML-metlar

( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 22 exp 2 exp

2 2

n nix

Lβ

πσ πσσ σ

− −⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

TTTiy -β x y -e e

( ) (22

1ln ln 2 ln2 2 2n nL x )xπ σ β

σ= − − − Ty - y - β

( )22

1ln ln 2 ln2 2 2

Tn nL π σσ

= − − T T Tiy y - 2β x y +β x xβ

( ) ( ) 1

2

ln 1 2 2 0 sama og áður2

T T T TL x y x x x x x yβ ββ σ

−∂= − − + = ⇒ =

∂

( ) ( )2 2 4

ln 1 02 2

L nσ σ σ

∂= − + =

∂Ty - xβ y - xβ

2

2

n

n

σ

σ

⇒ =

⇒ =

T

T

ε εε ε

ekki sama og í VAMK 2sn k

=−

Tε ε

Ef þetta er mjög stórt úrtak mun n-k stefna á n og því verður hann óbrenglaður fyrir stór úrtök. Ef úrtakið er stórt verður munurinn á metlunum engin. Og þá er kafla 7 lokið.

Háskóli Íslands


Kafli 9 Marglínuleiki (e. multicollinearity):

( ) ( ). og eru sérstæð fylki, ákveðan er ekki til.M ⇒ T TX X x x Getum til dæmis verið með: Fyrir þýðið í heild gildir: ( ) 1 2 2 3E Y X Xβ β β= + + 3

Úrtakið er gallað þar sem línulegt samband er á milli . 2 3og XX

3 2i iX a bX= + ( ) ( )

( ) ( )

1 2 2 3 2

1 3 2 2 3 2

1 3 2 3 2

1 2 2

E Y X a b

a X bX

a b X

µ µ X

β β β

β β β β

β β β β

= + + +

= + + +

= + + +

= +

X

Ekki eiginleiki þýðisins heldur úrtaksins, úrtakið er “gallað”. Þetta kallast fullkominn marglínuleiki. Ef við erum með marglínuleiki á háu stigi þá stefnir ákvað fylkisins á 0:

( )det 0→TX X

( ) stökin í verða stór, sérstaklega stökin á meginhornalínu fylkisins.⇒-1Tx x

Ef að stökin eru há verður staðalfrávikið stórt, og því getum við ekki hafnað tilgátum að stuðullinn verði 0. Veldur því að stuðlarnir í tilgátuprófi verða ómarktækir frá 0.

( ) ( )( ) ( )

12

2 iii

Var

Var x

β σ

β σ

−=

=

TX X

Hátt veldur því að það verður hátt iix ( )iVar β .

Háskóli Íslands


Afleiðingar marglínuleika:

1. Hár ( )Var β 2. Léleg t-gildi 3. Erfitt að sundurgreina áhrif einstakra þýðibreyta (X-a) á Y.

Ef við erum t.d. með ( ) 1 2 2 3 3E Y Xβ β β= + + X

2 3. t-gildin fyrir og léleg.M β β⇒ Það má þó ekki taka því þannig að jöfnur með lélegum t-gildum þýði marglínuleika. Það getur líka verið að viðkomandi breytur hafi ekki áhrif á Y. Hvenær getum við þá reynt að álykta sem svo að það sé marglínuleiki til staðar með því að skoða t-gildið. Ef við höfum metið jöfnu og höfum fengið gott (hátt) 2R og léleg t-gildi. Getum verið með marglínuleika. Getum gert “Próf”: Ekki formleg próf ! Athugum fylgni:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

22 2

i xyXYCov X Yr r

X YVar X Var Y x y= = ⇒ = ∑∑

∑ ∑ ∑ ∑

( )2

1 2 22

2 3 3

T 3x x xx x

x x x− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

22 2

22 3 3

1 T

3x x xx x xx x

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

Kíkjum á ákveðuna:

( )22 22 3 2 3

1T

x x x xx x

= −∑ ∑ ∑

( ) ( )2 2

22 222 22 2

2 3 2 3

xVar x

x x x x

σβ σ= =

−

∑∑ ∑ ∑

Háskóli Íslands


1 2 2 3 3Y X Xβ β β= + + +ε

( ) ( )2

22 32 22 3 2 32 2

2 3

x xr x x r

x x= ⇒ =∑ ∑ ∑∑ ∑

2x x∑

Það “blasir” því við að:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 3 2 3 2 31 1x x

Varx x r x x r x x r x

σ σ σβ = = =− − −∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ 23∑ ∑ ∑

Það sem stendur því eftir er:

( ) ( )( )

2

2 2 23

22

1

hátt Var verður hár

Varr x

r

σβ

β

=−

⇒

∑

Þetta gildir eingöngu ef við erum með tvær breytur. Almennt séð þá getum við reynt að setja þetta upp með aðeins öðruvísi hætti ef við erum með fleiri en tvær breytur. Almennt: Variance inflation factor (VIF):

( ) 2

11 i

VIFR

β =−

Erum t.d með svona fall: 3x =

1 2 2 3 3 3 4Y X X Xβ β β β= + + + +ε

22 1 2 3 3 4 iX X Xα α α= + + ⇒ R

Eftir því sem 2

iR er hærra verður ( )iVar β hærra.

Það er ekkert krítískt gildi til fyrir þetta próf, þetta er bara ábending.

Háskóli Íslands


Það sem er að vita fyrir próf: Skilgreina hvað marglínuleiki er Hvernig hann kemur fram (í gögnunum og í , lélegum t-gildum) 2r Segja hvaða áhrif þessi marglínuleiki hefur (fullkominn og á háu stigi) Hvernig maður getur tjékkað á að það sé marglínuleiki (fylgni, ef það eru tvær breytur eða fleiri). Lokaniðurstaða: Ef við höfum marglínuleika er ekkert hægt að gera nema að fá betri gögn. Stuðlabönd – Bönd á stuðla: Segjum sem svo að við séum að meta fall:

1 2 2 3 4q X P gβ β β β= + + + +ε Setjum upp : 2 3 4 0β β β+ + = Þetta á að halda 4 2 3β β β⇒ = − −

( )( ) ( )

1 2 3 2 3

1 2 3

q X P g

X g P g

β β β β β ε

β β β

= + + − + +

= + − + − +ε

R

Bönd

Nú eru komin bönd á jöfnuna. Ef óbundna jafnan útskýrir meira af breytileikanum í q (meira en sú bundna) þá hlýtur það að þýða að:

U RSSE SSE> Þ.e. útskýringamáttur óbundnu (U) meiri en í bundnu (R).

U U RSST SSE SSR SSE SSR= + = + Og því :

U R

U R

SSE SSESSR SSR

><

Háskóli Íslands


Prófið byggist því á munum leifaliðanna í bundnu og óbundnu. Setjum því upp eftirfarandi próf:

dreift með frígráðum sem eru jafnar fjölda bundinna stuðla.R U

U

SSR SSR FSSR−

−∼

Notum prófið: ( ) (( )

)//

R U U

U U

SSR SSR k kSSR n k− −

−R

Í okkar tilfelli: 4 , 3U Rk k= = Þurfum fyrst að meta fyrri jöfnuna sem er óbundin, og síðan seinni jöfnuna. Tökum eitt sértilvik: Úr Gretl: F-statistic: Tölvan keyrir alltaf 1q β= Þetta er próf fyrir 2 3 4 0β β β= = = Þarna er tölvan að mæla hversu mikið ég get hafnað því að hafa þessi bönd. Ef að

reiknaða gildið úr ( ) ( )( )

//

R U U

U U

SSR SSR k kSSR n k− −

−R er stærra en krítiska gildið er hafnað. 0H

Ef ekki er hægt að hafna er verið að segja að allar breyturnar hafa engin áhrif á . 0H 0H Erum að gá samtímis hvort að engin breytana hafi áhrif á þetta allt í einu.

Háskóli Íslands


Dæmi:

1850

U

R

SSRSSR

==

n=25 Uk =4

Rk =1

F-próf: ( ) ( )( )

( )/ 50 18 / 3 32 21 224/ 18 / 21 18 3 18

R U U R

U U

SSR SSR k kSSR n k− − −

= = =−

Frígráður: Skoða bók !!! 3

21U R

U

k kn k

− =− =

Krítíska gildið er 3,07. Gildið er prófinu er mun hærra en krítíska gildið og því er niðurstaðan að hafna . 0H

F-próf: ( ) ( )( ) [ ,

// U R U

R U U Rk k n k

U U

SSR SSR k kF

SSR n k − −

− −−

∼ ]

5X

Dæmi bls. 247.

Fáum alltaf uppgefið krítíska gildið. Þarf að kunna að setja upp prófið og geta sagt hvernig prófstærðin er dreifð með þessum tveimur frígráðum. Segjum sem svo að við séum að meta jöfnu sem lítur út svona:

1 2 2 3 3 4 4

1 2 2 3 3 0 4

1 2 2 3 3 4 4 5

(1) (2) : 0(3)

Y X X XY X X HY X X X

β β β ββ β β ββ β β β β

= + + += + + =

= + + + +

(1) er óbundin miðað við (2) (1) er hinsvegar bundinn miðað við (3) þar sem þar væri 0 5: 0H β = . Ef við ætluðum að nota (3) væri (1) bundin með einu bandi en 2 bundin með tveimur.

Háskóli Íslands


( ) ( )( )

( ) (( )

)

1 2 2 3 3

1

(1) ... (2)

Í (2) 0/ /

/ /

k k U

R

R

R U U R U U

U U U U

Y X X X SSRY SSR

SSE SSR SSTSSR SSR k k SST SSR k k

SSR n k SSR n kR

β β β ββ

= + + + +

=

= ⇒ =

− − − −=

− −

( )( )

( )

( )( )

( ) ( )

2

2

// // 1 //

UU R

U U R U R

UU u UU

SSE k kSSE k k R k kSSTSSRSSR n k R n kn kSST

−− −= = =

− − −−

Háskóli Íslands



9. kafli Höfum: 1 2 2 3 3 4 4Y X X Xβ β β β= + + + +ε Getum gert ýmis próf: t-próf: 0, eða 0,5 o.s.frv.i iβ β= = F-próf: Mörg bönd í einu:

i. 2 3 4 0β β β= = =

ii. Önnur bönd 2 3 0β β= = iii. Chow próf

9.25 1 2 2 ... k kY X Xβ β β= + + + +ε Bundin R RSSE SSR SST+ =9.26 1 2 2 1 1... ...k k k k q kY X X X Xβ β β β β+ += + + + + + + +ε

U

R

Óbundin U USSE SSR SST+ =

R R U

R U U

SSE SSR SSE SSRSSR SSR SSE SSE

+ = +− = −

Höfum sett prófið upp svona: ( ) ( )

( ) ( )/ :

/R U U R

U RU U

SSR SSR k kh k k

SSR n k− −

−−

Getum einfaldað þetta:

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 2

2

/ // // / 1 //

U R

U RR U U R U R

UU U U U U UU

SSE SSE h R R hSSR SSR k k SSE SSE h SST SSTSSRSSR n k SSR n k R n kn kSST

⎛ ⎞−⎜ ⎟ −− − − ⎝ ⎠= = =− − ⎛ ⎞ − −−⎜ ⎟

⎝ ⎠

Á bls. 252 og 253 eru tekin fyrir tvö önnur próf til að kanna réttmæti stuðlabanda:

i. 2 prófχ −ii. t-próf

iii. Önnur

Háskóli Íslands


Það þarf að vita hvað átt er við með stuðlaböndum. Jafnan sem hefur fleiri parametra er alltaf óbundna jafnan. Á bls. 246 og 247 er talað um : 2 prófχ −

22 dreift með n-k frígráður.SSR χ

σ−∼

2

2 U R

R Uk k

SSR SSR χσ −

− ∼

Metill fyrir 2σ í stóru úrtaki : 2

2ML

eSSRn n

σ = = ∑

2 prófχ − : 2 bls. 251-252

u R

R Uk k

R

SSR SSRSSR

n

χ −

− ∼

Þetta má setja upp á annann hátt – (Önnur leið : (bls 252-253)) Höfum metið bundnu jöfnuna 2

R RSSR e⇒ =∑ Aukajafna (e. auxiliary regression):

1 2 2 ...R k kXe Xδ δ δ= + + + ( )2 dreift með frígráðumU Rk kχ − −( ) Það má sýna fram á að : Ue

SSR SSR=

Einnig má sýna fram á að : ReSST SSR=

( ) ( )22

1 11/ / 1

e e

R U e e e ee

U ee

e

SSR SSRRSSR SSR SST SSTSSR SSR

n RSSESSR n SST nnSST n

−− −−−

= = = =−

×

Ef það er mikið samband milli leifaliðanna og breytnana δ þá er 2

eR hátt.

Háskóli Íslands


1 2 2 3 3 4 4 5 5Y X X X Xβ β β β β= + + + + +ε

0 4 5: 0H β β= =

i. 1 2 2 3 3 RY X X SSRβ β β ε= + + + ⇒

ii. 21 2 2 3 3 4 4 5 5 e

e X X X Xδ δ δ δ δ= + + + + ⇒ R Segjum sem svo að við séum með jöfnuna: 1 2 2 3 3 4 4Y X X Xβ β β β ε= + + + + Viljum athuga hvort að 2 3 1β β θ= = = sé satt.

( )22 3 2 3,N vβ β β β+ +∼

( ) ( ) (2

2 3 2v Var Var Cov )2 3β β β= + + β

( ) ( )( )

2 3 2 30,1N

v

β β β β+ − +∼

( )2 2 22 33 232v x x xσ= + +

2σ er óþekkt, metum í staðinn. 2s

( )2 2 22 33 232u s x x x= + +

( ) ( )2 3 2 3dreift með frígráður.t n k

u

β β β β+ − +− −∼

Í Gretl fáum við alltaf Log(L) gildi:

( ) ULog L l=

( ) 22u RR U k kLR l l χ −= − − ∼

Þá erum við búin með prófin í bili. Eigum bara eftir að skoða Chow-próf seinna.

Háskóli Íslands


Kafli 9.4 Bls. 260 Dummy-ar

1 2 3Q E Pβ β β= + + +ε

Setjum inn dummy breytu: D ED

1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 1 E

1D = á 4. ársfjórðungi en annars 0.

i. 1 2 3Y E P Dβ β β α= + + + +ε ii. 1 2 3 2Y E P EDβ β β α= + + + +ε

Ef 2α er tölfræðilega marktækt frá núlli:

1 2 3 2 1 2 3Y E P ED Y E Pβ β β α ε β β β= + + + + ⇒ = + + +ε á ársfjórðungum 1-3

( )1 2 3 2 1 2 2 3Y E P ED Y E Pβ β β α ε β β α β= + + + + ⇒ = + + + +ε á ársfjórðungi 4 Segjum að:

1 2 3ln Xw E Kβ β β= + + +ε K: 1 ef karl annars 0 Ef karlar og konur fá ólíkt borgað fyrir starfsreynslu sína getum við sett þetta svona upp:

1 2 3 4

Mismunur starfsreynslu- áhrifa eftir kyni

ln X Xw E K E Kβ β β β= + + + +ε

Getum notað dummy breytur hér til að skoða hvaða áhrif það hefur að vera karl.

Háskóli Íslands


Fullkominn marglínuleiki:

1 2 1 3t tC C Ytβ β β−= + + +ε

1. 2. 3. 4. 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1

Ársfjórðungsgreining:

1 2 1 3 4 1 5 2 6 3t t tC C Y D D Dβ β β β β β−= + + + + + +ε Það má ekki setja þetta upp svona:

1 2 1 3 4 1 5 2 6 3 7 4t t tC C Y D D D Dβ β β β β β β−= + + + + + + +ε

1

Þarna eru allir dummy-arnir komnir inn og því erum við komin með fullkomin marglínuleika þ.s. : 1 2 3 4 1D D D D X+ + + = = Annaðhvort þarf að:

i. Sleppa einum dummy ii. Slepppa 1X

Tökum dæmi þessu til stuðnings:

1 2 3 4 3 4ln Karl Kona Fullkominn marglínuleiki þ.s. 1Xw E 1Xβ β β β β β= + + + ⇒ + = =

1 2 3 1 4 2 5 3ln Xw E D D Dβ β β β β= + + + + +ε

1

1

2

3

: Grunnskólapróf: Framhaldsskólapróf: Háskólapróf

DDD

Hérna verður : 3 4 5 1 Xβ β β+ + = = Hérna þarf því að sleppa einni breytunni til að fá ekki fullkominn marglínuleika. Ef 1 er sleppt sína breyturnar D 4 og 5β β áhrif þess að hafa meiri próf en bara grunnskólapróf. Þá eru gervibreyturnar búnar. Prófspurning: Hvað gerist þegar allar breyturnar eru settar inn í jöfnuna ?

Háskóli Íslands


3. liður í F-prófum: Chow-próf Erum búin að meta jöfnu sem lítur út svona:

(9.60) 1 2 2 3 3t tY X X t tβ β β ε= + + + Höldum að á einhverjum tíma hafi breyting átt sér stað þannig að stuðlarnir hafi breytt um gildi, t.d. ef það er verið að skoða hagvöxt þá hafi t.d. olíuverðsbreytingar 78-82 breytt hagvextinum. Erum með sem eru einhver tvö tímabil. 1 og n n2

t t

1

2

fyrri hluti seinni hluti

nn

1

1 1 2

0, 1,2,...,1, ,...,

D t nD t n n+

= == =

(9.61) 1 1́ 2 2 2 2 3 3 3 3

USSR

t t t tY D X X D X X Dβ α β α β α= + + + + + +ε (9.62) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 3 3 3t tY X t tXβ α β α β α= + + + + + +ε

( )

( )/

/ 2R U

U

SSR SSR kSSR n k

−−

Þetta má setja upp með öðrum hætti (bls. 267):

1. Meta (9.60) fyrir hvort tímabil. Það gefur okkur og 1RSSR 2RSSR2. Meta (9.60) fyrir allt tímabilið í einu. Þá fáum við RSSR SSRP= P: pool

Chow-prófið:

( )( )( ) ( )

1 2

1 2

// 2

P R R

R R

SSR SSR SSR kSSR SSR n k

− +

+ −

Ef að það hefur engin breyting átt sé stað á tímabilinu verður PSSR nálægt því að vera

. 1 2R RSSR SSR+ Eini munurinn er tíminn. Það sem skiptir máli er að velja tímabil. Hvað er 1 og hvað er

. Hvar breytist þetta ? Það er hægt að finna út með því að nota Recursive least squares.n

2n

Háskóli Íslands


Recursive least squares (afturvirksaðferð minnstu kvaðrata):

1 2 2t tY Xβ β ε= + + n=50 Byrjum með mjög fáar athuganir, t.d. n=5. Metum síðan Y. Metum síðan n=6, n=7 o.s.frv. Teiknum síðan upp mynd. Sá tímapunktur sem t.d. 2β ríkur upp eftir því sem n fjölgaði er notaður til að splitta á milli 1 2og .n n Þessar myndir má skoða á bls. 272. Þá er komið að síðasta F-prófinu á bls. 268: Ef við höfum fáar athuganir á t.d. seinna tímabilinu er ekki hægt að gera Chow-próf. Þá verður að nota spágildi:

f Y Y= − Til að geta gert Chow-prófið verður þetta að halda : . Ef að svo er ekki erum við “komin í vandræði” og verðum því að vinna okkur útúr þeim.

2n k>

Hvað ef ? 2n k<

Meta jöfnuna á fyrra tímabilinu og notum 1n β til að spá fyrir seinna tímabilið . 2n Spágildi: YSpáskekkja: Y Y−Ef spáskekkjan hefur breyst á milli þá drögum við þá ályktun að 1 og n n2 β hefur breyst.

1

2

1 ef 1, annars 01 ef 2, annars 0

1 ef , annars 0i

D t nD t n

D t n i

= = += = +

= = +

Með þvi að skilgreina þessar gervibreytur þá eru e á seinna bímabilinu, , þvingaðir til að vera 0.

2n

i sem er stuðullinn við viðkomandi gervibreytu, D .i i i if Y Y α= − = Ef iα er marktækt frá núlli þá er eitthvað að gerast. ( ) ( )

( ) ( )1 2

1

/ // /

R U U R P

U U

SSR SSR k K SSR SSR nSSR n k SSR n k− − −

=− −

Háskóli Íslands



10. kafli Erum annað hvort með að eftirfarandi forsendur haldi:

( )

2

22

2

0 0 00 0 0

00 0 0

TnE I

σσ

εε σ

σ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )2 , 0i iVar Covε σ ε ε= =j

Eða forsendur haldi ekki: ( )TE Vεε = Höfum tvö atvik:

i) Misdreifni (e. Heterosketasticity):

( )

21

22

2

0 0 00 00 0 00 0 0

T

n

E

σσ

εε0

σ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ii) Sjálffylgni (e. Auto-correlation):

( )

21 21 1

221 2 2

21

n

T n

n n

E

σ σ σσ σ σ

εε

σ σ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) 0i jCov ε ε ≠

Afleiðingar:

( )-1T Tβ = x x x y er óhneigður, línulegur, samkvæmur.

( ) ( ) 1Var β

−= 2 Tσ x x

Núna: ( )TE εε = V

Háskóli Íslands


Þessa útleiðslu á að kunna !!!:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

Var ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤⎣ ⎦

≠

T -1 -1T T T T

-1 -1 -1 -1T T T T T T T

-12 T

β = E β -β β -β = E X X X ε ε X X X

= E X X X εε X X X = X X X VX X X

σ X X

Ef VAMK gefur bjagað mat á 2

nV Iσ≠ ⇒ ( )Var β . Ef variance “fer til fjandans” verða t-prófin ónákvæm í þeim skilningi að það er ekki víst að við séum með réttan variance (getum verið að ofmeta eða vanmeta). Almenn aðferð minnstu kvaðrata, AAMK, (e. GLS, Generalized Least Squares):

( )-1* T -1 T -1β = X V X X V Y Ef er þekkt þannig að við getum metið það beint er talað um FLS, Feasible Least Sqares.

iðV −

Það sem skiptir mestu máli: Misdreifni og sjálffylgni eru ákveðin tilvik. Kunna formúlu fyrir ofan. Ályktun í hnotskurn: Ef 2

nV Iσ≠

1. β er áfram óhneigður, línulegur og samkvæmur metill

2. ( )Var β er rangt metinn. Ályktunarfræðin, sem byggist á ( )Var β , er röng. 3. VAMK er ekki lengur BLÓM. Ekki einu sinni aðfelluskilvirkur.

Þverskurðargögn: Öll úrtökin frá sama tíma. Misdreifni:

1 2Y Xβ β ε= + + Misdreifni felur það í sér að variance-inn ( ( )Var iε ) er ekki sá sami. Ólíkur á milli athugana.

Háskóli Íslands


Dæmi: Erum að meta neyslu á einhverri vöru.

Neyslufallið: 1 2

: Neysla

: Tekjuri

i i ii

QQ X

Xβ β ε

⎧= + + ⎨

⎩ Gögnin sem við höfum er þó þannig að það er búið að flokka einstaklinga í hópa eftir tekjum. Getum aðeins metið 1 2Q Xβ β ε= + + Það sem við lendum í er það að við höfum: m : Fjöldi hópa og það eru mismargir í hverjum hópi.

11 1...i

mm m mε

ε ε ε= = + +∑

( )2 2

2 22 2 2

1 1Var ...im

m m m mσ σε σ σ= × + + × = =

( )Var iε ræðst því að hluta af fjölda í m . Fámennir hópar⇒ stærri variance.

Þar sem það eru mismargir í m verður ( )Var iε mismunandi eftir stærð hópa.

Háskóli Íslands


Úr 6. kafla

( ) ( )

( )

2 2 2 2 2

1 22 2

1 22 2 2

2 2 2

ATH: 0i i i i i i ii i i

i i i i

i i i i i

i i

i i i i i

i i i

i i i i

i i

x y x Y Y x Y Y xx X X X X

x x x x

x Y x Xx x

x x X xx x x

x X xx x

β

β β ε

β β ε

εβ

− ⎡ ⎤= = = − = − = − =⎣ ⎦

+ += =

= + +

= +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑

2 , 0 , 0ii i

i

xw xx

= =∑ ∑∑ iw =

( ) 0i i i i i i i

i i i i

w x w X X w X X w

w x w X

= − = −

⇒ =∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

=

2 2 2 22 2 2i i i i i i

i ii i i

x X x xw

x x xε ε

β β β β⇒ = + = + = + +∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ε

Niðurstaðan úr þessu er eftirfarandi: ( )2 2 i iwβ β ε− =∑ Þetta var “forleikurinn” fyrir jöfnu (10.15) í bókinni. Síðan er næst að taka variance-inn af þessu dóti:

( ) ( ) [ ]2 2 2 2

1 1 2 2Var E E E E E ...i i m mw w w wβ β β β β ε ε ε ε⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − = = + + +⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦∑ Forsenda: Engin covariance ( )( )0i jCov ε ε = .

Fáum þá ( ) 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2Var E ... m mw w wβ ε ε ε⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦

22

2 2

1ii

i i

Xwx x

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑

Háskóli Íslands


Klassíska tilfellið: 2 2 fyrir öll og .i j i jσ σ=

( )2

2 2 2 2 2 2 2 21 2 2Var ... m i

i

w w w wx

σβ σ σ σ σ= + + + = =∑ ∑

Núna er þetta hinsvegar svona : 2 2 fyrir öll og i j i jσ σ≠ Fáum því:

( )( )

2 2

22Var i i

i

x

x

σβ = ∑

∑

Ef það er jákvæð fylgni á milli og ix iε þá mun 2

2ix

σ

∑ vanmeta ( )Var β .

jsβ

⇒ verður vanmetið og öryggismörkin fyrir β of þröng, og t-gildið of hátt.

t-gildi: j

j

sβ

β

Verðum að geta sýnt fram á hvað gerist þegar misdreifni er til staðar:

Verður ekki stærðin 2

2ix

σ

∑ heldur stærðin

( )2 2

22

i i

i

x

x

σ∑∑

Verðum að geta sett fram próf til að athuga hvort misdreifni sé til staðar. Ef ekki er hægt að hafna því að misdreifni sé til staðar verður að fara einhverja aðra leið.

Háskóli Íslands


Greining: Hvernig sér maður hvort það sé misdreifni til staðar ?

1) Plotta 2 á móti i ie X2) Tölfræðipróf

a. Goldfeld-Quandt - Fullyrt að það sé samband á milli 2 og iX e

i. Raða gögnunum upp eftir stærð þeirrar breytu sem talið er að sé samband á milli og leifaliðanna.

ii. Skipta úrtakinu í þrennt, hágildi, miðlungs og lág. Höfum ekki áhuga á miðjuhópnum (engin regla um hversu stór hann á að vera).

iii. VAMK á há og lág gildi: ( ) ( )1 12 2

21

,22

Há

Lág n c k n c k

eF

e − − − −∑∑

∼

iv. : Engin misdreifni. Ef reiknaða gildið er hærra en töflugildið höfnum við tilgátunni.

0H

b. White-próf ( ) 2 prófχ −

Byrjum á að meta fallið 1 2 2 ... fáum .k kY X X eβ β β ε= + + + + ⇒ i. 2

1 2 2 ...i ke X Xα α α= + + + +k u2 2

1knR χ −∼ Ef 2R er hátt gætum við væntanlega hafnað forsendunni um að það væri engin misdreifni: 0H

ii. Tvær tegundir af White-Prófi

1. 21 2 2 3 3i ie X Xα α α i iu= + + +

2. 21 2 2 3 3 4 2 3i i i ie X X X Xα α α α i iu= + + + +

c. Lagrange multiplier test (LM)-próf ( )2 prófχ −

221 2 ii ie Yα α= + +u

i. 0 2: 0H α = ii. 2 2

1nR χ∼

d. Breusch-Pagan próf ( )2 prófχ − - (10.28) og (10.29) i. ( ) ( )2 2Var ... i i l lif k z zε α α= + + +

ii. getur verið z Xiii. getur haft að geyma aðrar breytur en z Xiv. hugsanlegt X z∈

v. BP-próf: 22

21 2 22

... , iii l li i

ee z z un

β β β σσ

= + + + + = ∑

vi. 210 12: Engin misdreifni , SSE kH χ −∼

Háskóli Íslands


Lausn:

vísbending um að eitthvað annað sé að en verið er að prófa fyrir.

Meta

1. Próf geta verið 2. White-aðferð: 2

iσ beint með

ee

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

ðfelluskilvirkir metlar – Misdreifni-samkvæmur metill

grundvelli þessa fylkis getum við gert öll hefðbundnu t-prófin.

. Vigtuð aðferð minnstu kvaðrata (e. Weighted Least Squares)

iX

2ie .

21

22

2ne⎢ ⎥⎣ ⎦

A Á 3

( ) 21 2 2 , Vari i i iY β β ε ε σ= + + =

) Ef við deilum í gegn allstaðar með a iσ

( )2

2 212 2

1 , Var Var 1i i i ii

i i i i i i i

Y Xβ ε ε σβ εσ σ σ σ σ σ σ

⎛ ⎞= + + = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

i , ii

i

ε εσ

∗=

VAMK : Lágmarka

AAMK : Lágmarka

2ie∑

22 2

2 2

1 , ii i

i i

ee eλ λ

σ σ∗ = = =∑∑ ∑

λ sem sem vHá tala á egur

andi: 2iσV er óþekkt.

) Einhver breita X sem orsakar þessa misdreifni:

b

( )Var i ikX θε =

Deili í gegn með iX θ

( )Var i kε ∗ =

Háskóli Íslands



10. Kafli Misdreifni:

1. Skilgreina og skilja. Útleiðsla. 2. Próf

a. Plotta b. Goldfeld-Quandt F-dreift c. White 2χ -dreift d. LM 2χ -dreift e. Breusch-Pagan 2χ -dreift

3. Úrræði a. White – Meta 2σ b. WLS – Vita hvaða breyta það er sem veldur misdreifninni

Ef spurt er um skilgreiningu á misdreifni fæst ekki fullt nema leitt sé út. Kunna þarf öll prófin og geta sett þau upp. GQ – Skipta upp í tvo hópa F-próf Hvernig eru prófin gerð og hvaða tegundir á prófum eru þetta (þ.e. dreifingin).

0H tilgátan er alltaf engin misdreifni. Dæmi:

1 2 3ln E tA Sβ β β= + + +ε

A orsakar misdreifni deila í gegn með WLS⇒

1A

.

1 2 3ln E 1 A S

A A A A Aεβ β β= + + + HÉR ER ENGINN FASTI.

Háskóli Íslands


Sjálffylgni: Forsendan sem við vorum með áður: ( )Cov 0i jε ε = Ef ( )Cov 0i jε ε ≠ þá brestur sú forsenda. β verður þá ekki lengur besti metillinn. 1. gráðu sjálffylgni - táknað ( )AR 1 .:

1t t tuε ρε −= + , [ ]1,1ρ ∈ −

u

( )( ) ( )( )

2 2

E 0

Var E

Cov , 0

t

t t

t s

u

u u

u u

σ

=

= =

=

Kallað 1. gráðu sjálffylgni þar sem aðeins er verið að skoða eitt tímabilið. 2. gráðu sjálffylgni - táknað ( )AR 2 :

1 1 2 2t t t utε ρ ε ρ ε− −= + + Þrjú tilvik á ρ : 1. 0 t utρ ε= ⇒ = VAMK er BLÓM 2. 0ρ > ⇒ Jákvæð sjálffylgni (Sjá mynd bls. 302) 3. 0ρ < ⇒Neikvæð sjálffylgni (Sjá mynd bls. 302) Þó við erum með sjálffylgni þá hefur ( )E tε ekki breyst, og því er ( )E tε = 0

1t−

t+

n−

ennþá. ( )

( )1

1 2

1 2

t t t

t t

uu

ε ρεε ρε

−

− −

= +

= +

Sting nú (2) Í (1): ( )2 1t t tu uε ρ ρε − −= + Ef við stingum inn fyrir fleiri tafir þá endum við á:

2 31 2 3 ... n

t t t t t tu u u u uε ρ ρ ρ ρ− − −= + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 31 2 3

1

E E E E E ... E

E E ... 0 E 0

nt t t t t t

t t t

u u u u u

u u

ε ρ ρ ρ ρ

ε− − −

−

= + + + + +

= = = ⇒ =n−

Háskóli Íslands


Sýna má fram á að ( )2

221

uσσρ

=−

. Það verður þó ekki leitt út hér.

2

2

: Konstant: Konstant

er fasti, engin misdreifni.u

ρ

σ

σ⇒

2 1

2

2 2 3

1 2 3

11

1

1

n

n

n

n n n

ρ ρ ρρ ρ

σ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

−

−

−

− − −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

V

………

…

ρ (10.70)

Hérna erum við yfirleitt að tala um tímaraðir (misdreifni er um þverskurðargögn).

( )( )

2

2

0,

0,t u

t

u N

N

σ

ε σ

∼

∼

Til þess að átta okkur á hvaða áhrif sjálffylgni hefur á variance-inn förum við nákvæmlega sömu leið eins og þegar við könnuðum áhrif misdreifninnar.

1 2 1 , t t t t tY X tuβ β ε ε ρε −= + + = +

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

2 2 21 1 2 2

21 1 2 222

Var E E E ...

1 E ...

t t n n

n n

i

w w w w

x x xx

β β β ε ε ε ε

ε ε ε

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = = + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦

∑

∑

Gefum okkur nú að n=3 til þess að þetta verði ekki alltof flókið.

( )( )

2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 322

1Var E 2 2 2i

x x x x x x x x xx

β ε ε ε ε ε ε ε ε ε⎡ ⎤= + + + + +⎣ ⎦∑

Í venjulegu forsendunum er ( )2 2E iε σ= , ( ) ( ) 2

1 2 2 3E Eε ε ε ε ρ= = σ og ( ) 2 21 3E ε ε ρ σ= .

Setjum þetta inn í jöfnuna fyrir ofan:

Háskóli Íslands


( )( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 322

1Var E 2 2 2i

x x x x x x x x xx

β σ σ σ ρσ ρ σ ρσ⎡ ⎤= + + + + +⎣ ⎦∑

( )( )

( )

22 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 322

22 2

1 2 1 3 2 322

Var 2 2 2

2 2 2

i

i

i

x x x x x x x x xx

x x x x x x xx

σβ ρ ρ

σ ρ ρ ρ

⎡ ⎤= + + + + +⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦

∑

∑∑

ρ

Klassíska forsendan: 0ρ = ( )( )

2 2 2

2 22Var i

ii

xxx

σ σβ⇒ = =∑∑∑

Ef ( )2

20 Varix

σρ β≠ ⇒ ≠∑

Ef :

( )

( )

2 2 21 2 1 3 2 3

0 Það er mun algengara að sé stærri en 0 heldur en minni

2 2 2

Variance-inn, Var verður stærri en samkvæmt VAMK

i ix x x x x x x x

ρ ρ

ρ ρ ρ

β

>

⎡ ⎤⇒ + + + >⎣ ⎦⇒

∑ ∑

1.

ef s er vanmetin -gildi of há og öryggismörk þröng VAMK: tsββ

β⎛ ⎞⇒ ⇒ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

2. 2 20 vanmetur sρ σ≠ ⇒

3. SSR verður vanmetið 2 2SSR1 OfmetuSST

m R R⇒ = − ⇔

Próf fyrir sjálffylgni – (Tökum fyrir 2 próf): Byrja þó á því að plotta (Gott að plotta upp alla leifaliði yfir tíma) Er reglulegt mynstur ? Ef búið er að gera það er hægt að skoða þessi formlegu próf:

Háskóli Íslands


1) Durbin-Watson próf, DW:

( )

( ) ( )

2 2 2t 1 1 12

2 2

21 1

2 2

e 2DW=

22 1 ,

nt t t t tt

t t

t t t t t

t t

e e e e ee e

e e e e ee e

ρ ρ

− − −=

− −

− + −=

−= = − =

∑ ∑ ∑∑ ∑

∑ ∑ ∑∑ ∑

[ [] ]

Ef 0 DW 2

Ef 0 DW 0,2

Ef 0 DW 2,4

ρ

ρ

ρ

≈ ⇒ ≈

> ⇒ ∈

< ⇒ ∈

1 DW 0

1 DW 4

ρ

ρ

≈ ⇒ ≈

≈ − ⇒ ≈

Skoða mynd bls. 304.

´0H : 0 og ráðast af fjölda breyta í líkingunum og fjölda athugana.U Ld dρ =

Dæmi:

501 4 (Erum með fjórar breytur inni)

nk=− =

1,72 1,38U Ld d= = a) Ef [ ]DW , 2Ud∈ þá getum við ekki hafnað 0H .

b) Ef [ ]DW 0, Ld∈ þá höfnum við 0H .

c) Ef ] [DW ,L Ud d∈ þá fáum við ekkert einhlítt svar. Þá er eina lausnin að gera annað nákvæmara próf. Ef

Nota við neikvæða sjálffylgni

DW 2 4 DW 0 Neikvæð sjálffylgniρ> ⇒ − ⇒ < .

Gallar Durbin-Watson:

1. Grá svæðið [ ], 4U Ud d−

2. Prófar aðeins gegn ( )AR 13. Hneigt próf, DW 2, ef tafin gildi af háðu breytunni eru ein stýribreyta.→

a. 1 2 1 3

Tafið gildi

t tY Y Ct tβ β β−= + + +ε

Háskóli Íslands


Það sem þarf að kunna: Geta túlkað niðurstöður úr prófinu. Geta reiknað svipað dæmi og hér að framan. 2) LM-próf Erum með fallið 1 2t tY Xβ β ε= + + 1. gráðu sjálffylgni:

1 2 3 1 3 , t t t te X e uβ β β β−= + + + = ρ Hér yrði 0 3H : 0, 0ρ β= =

2 2Fjöldi tafinna enR χ∼

3. gráðu sjálffylgni:

21 3

1 2 3 1 4 2 5t t t te X e eρρ ρ

3teβ β β β β− − −= + + + +

Hér yrði 0 3 4 5 1 2 3H : 0 , 0β β β ρ ρ ρ= = = = = = Úrræði:

1. Ef ρ er þekkt þá getum við umbreytt gögnunum og nota síðan VAMK:

( ) ( ) ( )

1 2

1

1

1 1 2 1 1

1 1 2 2 2 1

1 2 2

1

t t t

t t t

t t t

t t t

t t t t t

t t t

Y Xuu

Y XY Y X X t

Y X u1

β β εε ρεε ρερ ρβ ρβ ρε

ρ β ρ β ρ ε ρε

β β

−

−

− − −

− −

∗ ∗ ∗

= + += +− =

= + +

− = − + − + −

= + +−

Leiðrétta þarf fyrstu athugunina:

( )( )

21 1

21 1

1Prais-Winsten leiðrétting

1

Y Y

X X

ρ

ρ

∗

∗

⎫= − ⎪⎬

= − ⎪⎭

2. Ef ρ er óþekkt þá metum við það og notum síðan aðferð 1.

a. 12

t t

t

e ee

ρ −= ∑∑

Háskóli Íslands


b. Meta fall sem lítur út svona: 1 2 3 1t t tY X Y tβ β β − ε= + + + Stuðullinn við 1 3,tY β ρ− =

Höfum því tvær aðferðir til að fara ef við erum með óþekkt ρ og þurfum að meta það sjálf. Kunna um sjálffylgni í kafla 10: Sjálffylgni: Skilgreining – Einföld 1. gráðu sjálffylgni

Geta sett upp fylkið :

2 1

2

2 2 3

1 2 3

11

1

1

n

n

n

n n n

ρ ρ ρρ ρ

σ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

−

−

−

− − −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

V

………

…

ρ

Útskýra hvaða áhrif það hefur ef sjálffylgni er til staðar. Kunna DW og LM prófið. Vita hvað á að gera til að umbreyta gögnunum til að geta notað VAMK á umbreyttu gögnin.

Háskóli Íslands



Kafli 8 - Slembiskýribreytur Þótt sé slembin stærð þá halda X β eiginleikum sínum, t.d. skilvirkni og samkvæmni, svo lengi sem engin fylgni er á milli og .X ε Tökum einfalt dæmi:

1 2Y Xβ β ε= + + Jákvæð fylgni milli ( )og , Cov 0X Xε ε ≠ Sjá mynd 8.1 (a). Höfum áfram að ( )E 0iε = Vanmetum 1 2 1 2( ) og ofmetum og eru hneigðir metlar (bjagaðir).β α β β β⇒ Græðum ekkert á stærra úrtaki þar sem þessi jákvæðna fylgni er alltaf til staðar. Metlarnir eru þ.a.l. aðfelluhneigðir (allavega ekki aðfelluóhneigðir). Neikvæð fylgni milli ( ) og , Cov 0X Xε ε < (Mynd 8.1 (b)). Ofmetum ( )1 2 og vanmetum Hneigðir metlar.β α β ⇒ Í báðum tilfellum eru metlarnir okkar bjagaðir. Þetta er því miður nokkuð algengt. Klassíska útleiðslan: ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1 1

1 1

1

E E E

E E

E

T T T T

T T T T T T

T T

X X X Y X X X X

X X X X X X X X X X

X X X

β β1

ε

β ε β

β ε

− −

− −

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡= + = +⎣ ⎦ ⎣

⎡ ⎤= + ⎣ ⎦

ε− ⎤⎦

X er ekki slembið.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

E E , E 0 ET TX X Xβ β ε ε−

= + = ⇒ =β β

Háskóli Íslands


Ef X er slembið og fylgni milli:

( ) ( )1 1 og E 0 ET T T TX X X X X X Xε ε β β

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ ≠ ⇒ = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ε Samkvæmni:

( ) ( ) ( )( )1 1T T Tx x x y x x x xβ β ε ε− −

= = + −

( ) ( ) ( )1plim plim T Tx x xβ β ε ε

−⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

( ) ( )1

11

1 1plim plim

1: plim

T T

T

x x xn n

n x x Qn

β β ε−

−−

⎡ ⎤⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

ε

Vorum búin að sýna fram á að ( )1plim 0Txn

ε ε− = ef er ekki slembistærð. x

Ef er slembið og fylgni milli x ( )1og plim 0Tx xn

ε ε⇒ −ε ≠

( )1plim Txn

β ε ε= + −

Hugmyndafræðin er sú að bæði má sýna fram á aðβ er bjagað og ósamkvæmur. Stafar af því að og X ε eru fylgin þegar er slembistærð. X Tímaraðir: Þrjú ólík tilvik:

1. Engin fylgni: ( )Cov 0t tX ε = (Klassíska forsendan)

2. Samtímafylgni: ( )Cov 0t tX ε ≠

3. Fylgni á ólíkum tíma: ( )Cov 0t i tX ε− ≠

Háskóli Íslands


Dæmi:

1 2 1

1 1 2 2

t t

t t

Y YY Y 1

t

t

β β εβ β ε

−

− −

= + += + + −

Og því er ( )1 1t tY f ε− −= Þótt svo að sé ekki fall af tY tε , þá er það fall af öllum töfðum gildum af tε , í gegnum 1tε − .

Um daginn vorum við með : 2t

tt

xwx

=∑

Hér er : ( )12

1

, tt t

t

yw y Yy−

−

= =∑ t tY−

( )1 0 1 2 11 ... ...t t nY Y Y Y Y Yn

− −= + + + + + +

( )11 tty f Y −− =

1ty − og því eru því háð , sem er ekki, ólíkt tw tY 1tY − , óháð tε .

Þótt svo og 1tY − tε séu óháð verður ( )E 0t tw ε ≠ .

i iwβ β ε= +∑ ( ) ( ) [ ] ( ) ( )

( )1 1 2 2 1 1 2 2E E E ... E E ...

ef E 0 og engin fylgni er á milli og .i i

i

w w w w w

x

β β ε β ε ε β ε ε

β ε ε

= + = + + + = + + +

= =

∑

Ef ( ) ( )E 0 Et t i iw wε β β ε β≠ ⇒ = + ≠∑ Jafnan sem við erum með er : 1 2 1t tY Y tβ β ε−= + + Þrátt fyrir þetta er β samkvæmur metill vegna þess að

( )11plim 0 plimt tyn

ε β β−⎛ ⎞ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ .

Háskóli Íslands


Þrjú tilvik sem þarf að kunna: Höfum jöfnuna : 1 2 1t tY Y tβ β ε−= + + 1. og X ε eru óháð - β er óhneigð og samkvæm.

2. Fylgni á milli og X ε , en ekki á sama tíma - β er hneigður en samkvæmur.

3. Fylgni á milli og X ε á sama tíma - β er hneigður og ósamkvæmur.

1 2 1 2 , 1t t tY Yβ β ε β−= + + >

( ) ( )Var fastiX Q= ef og X ε eru óháð þá verður β ekki samkvæmur ef ( )Var X er ekki fasti. Á þessu er alltaf hætta ef er meðal skýribreyta. 1tY −

Ástæður fyrir fylgni á milli og X ε :

1. Mæliskekkjur 2. Samtímajöfnu-bjögun

1. Mæliskekkjur: Ætlum að meta 1 2 2i iY X iβ β ε= + +

Við höfum : i i

i i

Y Y wi

iX X v

∗

∗

= +

= +

Forsendur um þessa leifaliði : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2

E 0 , Var , E 0

E 0 , Var , E 0i i v i j

i i w i j

=

=

v v v v

w w w w

σ

σ

= =

= =⇒

( ) ( )( ) ( )

E E

E Ei i

i i

X X

Y Y

∗

∗

=

=

( )( )( )

E 0

E 0

E 0

i i

i i

i i

v w

v

w

ε

ε

=

=

=

Háskóli Íslands


Sjáum því að :

( )1 2

i i i

i i i i

Y Y w

Y w X v iβ β ε

∗

∗ ∗

= −

− = + − +

( )1 2 2 2

1 2 2

i i i i

i i

Y X w

X

β β ε β

β β ε

∗ ∗

∗ ∗

= + + + −

= + +iv

( )2Cov 0i iX ε∗ ∗ ≠

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2 2

2 2

22 2 2

Cov E E E E E

Cov E E E E 0

i i i i i i i i i

i i i

i i i i i i i i i i i i v

X X X X X

X X v

X v w v v v w v v

ε ε ε ε

ε ε β ε β β σ

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗

∗ ∗

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− =

⎡ ⎤= + − = + + − = −⎣ ⎦ 2 ≠

( )( )

2 2

2 2

Cov 0 ef 0

Cov 0 ef 0i i

i i

X

X

ε β

ε β

∗ ∗

∗ ∗

> <

< >

A) Mæliskekkja í ( )2 og Cov 0 Samtímafylgnii iY X X ε∗ ∗⇒ ≠ B) Mæliskekkja í Y en ekki í 0iX w⇒ =

( ) ( ) 2Var Vari i iw 2wε ε σ∗⇒ = + = +σ , Minni skilvirkni

Mæliskekkja í Y ( )Var iε⇒ er rangt metin og ( )Var β einnig.

Háskóli Íslands


2. Samtímajöfnu-bjögun Erum með jöfnuna (Keynesískt):

, 0 1C Y uα β β= + + < < Y C Z= + Eigum að meta og .α β

( )C C ZC Z u

α βα β β

= + + += + + +

u

1 11 1 1

C C Z v

C Z u

β α βα ββ β β

− = + +

= + +− − −

11 1 1

Y Y u ZY Y Z u

uY Z

α ββ ααβ β β

= + + +− = + +

= + +− − −

Sjáum hér að ( )Y f u= . Klárlega fylgni á milli.

] [ 10,1 01

ββ

∈ ⇒ >−

Jákvæð fylgni milli og .Y u

Myndum vanmeta α og ofmeta β . Sleppa frá 8.20a bls 215 alveg út 8.3 og sleppa 8.5. Kafli 8.4:

1 2Y Xβ β= + +ε Fylgni milli og .X ε Finna einhverja breytu sem hefur fylgni við en ekki .X ε Notum :Z hjálparbreyta.

Háskóli Íslands


Tveggja þrepa aðferð – Þetta þarf að kunna og skilja 100%: 1.

1 2 2

1 2 2 3 3 ... k k

X Z uX

X Z Z Z uα αα α α α

= + + ⎫⎬= + + + + ⎭

2.

21 2Y Xβ β ε= + + ( )

( )

E 0

plim E 0

i i

i ii i

z

zz

n

ε

εε

=

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

1 2

1 2

1

2

i i

i i i i

i i

i i

Y n X

z Y z z X

Y Xz yz x

β β

β β

β β

β

= +

= +

= −

=

∑ ∑∑ ∑ ∑

∑∑

i

Þetta kallast Instrumental variable (IV) – Aðferð hjálparbreyta. Ef notaðar eru margar breytur eru notaðar kallast það GIVE.

Háskóli Íslands


Tökum annað dæmi (Vinnumarkaðslíkan):

EW P uα β γ= + + + P µW vλ= + +

( )

( )( )

E

E1 1 1

E

EE

1 1 1

W µW vW µW W u v

v vWµ µ µ

P µ a P v

P µ P µ µ µv vµ µ µv vPµ µ µ

α β λ γ uβ α βλ γ βα βλ γ β

β β β

λ β γ

β λ α γλ α γ

β β β

= + + + + +

− = + + + ++ +

= + +− − −

= + + + +

− = + + + +

+ += + +

− − −

Sjáum hér að ( )W f v= , og þ.a.l. höfum við samtímafylgni. Segjum sem svo að við séum með

] [] [

( )

0,1

0,1

1 0

µ

µ

β

β

∈

∈

− >

Jákvæð fylgni milli og .W v

Háskóli Íslands



Kafli 11 Höfum jöfnu með tveimur töfðum breytum:

1 2 3 1 4 2t t t tY X X X tβ β β β− −= + + +ε Ástæður fyrir tímatöfum í líkönum:

1. Sálfræðilegar ástæður 2. Tæknibreytingar 3. Ófullkomnar upplýsingar

Áhrif X á Y:

1. Skammtímaáhrif: 2β 2. Lantímaáhrif: 2 3 4β β β+ +

3. Meðaltöf: 2 3

2 3 4

0 1 2 4β β ββ β β

× + × + ×+ +

Skoðum t.d. jöfnuna

0

mt i ti

Y X i tα β ε−== + +∑

1. Skammtímaáhrif: 0β 2. Langtímaáhrif: iβ∑

3. Meðaltöf: i

i

iββ

∑∑

Dæmi bls. 315:

1 215 0,4 0,7 0,2t tY X X − −= + + + tX Skammtímaáhrif: 0,4 Langtímaáhrif: 0,4+0,2+0,2 = 0,3

Meðaltímatöf: 0 0,4 1 0,7 2 0,2 1,1 0,8461,3 1,3

× + × + ×= =

Það líða því að meðaltali 0,864 tímabil þar til hefur áhrif á X .Y Ef fallið hefði verið svona: 1 2 1 3 4t t tY Y X 1tXβ β β β− −= + + + þá þarf að færa Y yfir.

( )2 1 3 41t tY Xβ β β β −⇒ − = + + 1tX Þegar við erum með langa tímaröð getur komið upp vandamál með marglínuleika.

Háskóli Íslands


11.2 Aðlögunarferlar Segjum sem svo að við séum með tY ∗ : Æskilegt magn af einhverjum hlut á tíma .t

t tY X tα β ε∗ = + + Vandamálið er að þetta æskilega magn er ekki það sama og við höfum milli handann á timabili . , t tt Y Y∗ ≠ Þurfum því að hefja ákveðið aðlögunarferli til að komast í hið æskilega magn. ( ) ( )1 1t t t tY Y Y Yθ ∗

− −− = − Ef 10 t tY Yθ −= ⇒ = Engin aðlögun Fullkomin aðlögun 1 t tY Yθ ∗= ⇒ = Því nær 0 sem θ , því tregari aðlögun, og því nær 1, því auðveldari aðlögun, ] [0,1θ ∈ .

1 1t t t tY Y Y Yθ θ∗− −= − +

þetta getum við umritað:

( )

( )1

1

11

t t t

t t

Y Y YY Y

θ θθ

∗−

−

= + −

= − −

t tY X tθ θα θβ θε∗ = + +

( ) 1

Það er fylgni milli þessara tveggja liða.

1t t tY X Y tθα θβ θ θε−⇒ = + + − +

Þetta er sama og segja:

1 2 1t t tY X Y tα β β∗ ∗ ∗−= + + + ε ∗ ( ) ( )2 21 , 1β θ θ β∗ ∗= − = −

( )1 1 21t t tY X Y 1tθα αβ θ θε− − −= + + − + −

1t

miðað við skilgreiningu er fylgni á milli 1 og tY ε− − og þar að leiðir að OLS gefur bjagaða en samkvæma metla.

Háskóli Íslands


Metum nú jöfnuna: 124 0,54 0,4 0,6t t tY X Y θ−= + + ⇒ =

24 0,54 40 0,90,6 0,6

t t

t t t

Y X

Y X X

θ α βα βθ θ

∗

∗

= +

= + = + = + tX

t

Skref 1: t tY Xα β ε∗ = + +

Skref 2: ( ) ( )1 1t t t tY Y Y Yθ ∗− −− = −

Skref 3: ( ) 11t t tY X Y tθα θβ θ θε−= + + − +

Skref 4: 2 1 finnum t t tY X Yα β β −= + + ⇒ θ

Skref 5: t tY Xθ α β∗= +

Distributed lags – Tímatafðar jöfnur:

1

nt i ti

Y X i tα β ε−== + +∑

1 Autoregressive lag, AL (Sjálftímatafðar)n

t t i t i tiY X Yα β γ ε−== + + +∑

Byrjum á því að við erum með:

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

1

1 1 2 12

1 2

(DL)

11

1 1 1 1

nt i t i ti

t t t t

t t t t

t t t t

Y X

Y X YY X Y

Y X X Y

α β ε

αθ βθ θ θεαθ βθ θ θε

1tαθ αθ θ β θ βθ θ θ θ ε

−=

−

− − − −

− − −

= + +

= + + − +

= + + − +

⇒ = + − + + − + − + −

∑

Almennt er hægt að sýna fram á að (11.16 – Koyck-umbreyting): Felst einfaldlega að því að stinga inn fyrir öll töfðu gildin af .Y

( ) ( ) ( )0 0 0

1 1 1n n ni it t ii i i

Y X it iαθ θ βθ θ θ θ ε− −= = =

= − + − + −∑ ∑ ∑

tY samanstendur því af þremur röðum sem allar eru aðhverfar þar sem að:

( )lim 1 0 , 0 1i

iθ θ

→∞− = < < og

1

lim 1i

ii

RR→∞

+

< .

Gildi raðann er ( )1 1αθ αθα α

θ θ∗ = =

− −=

Háskóli Íslands


Partial Adjustment Model:

( ) 11 0 1 ( 11.13 bls. 316)t t t tY X Yθα θβ θ θε θ−= + + − + < < Með innsetningum má umrita líkanið sem: ADL: ( ) ( ) ( ) (

0 0 01 1 1 11.16n n ni i i

t t ii i iY Xθα θ βθ θ θ θ ε− −= = == − + − + −∑ ∑ ∑ )

t i

tX

Þessa jöfn má umrita svona:

( ) ( )21 21 1 ...t t t tY X X Xα βθ βθ θ βθ θ∗− −= + + − + − +

Förum núna úr (11.16) í (11.13):

( ) ( )21 21 1 ...t t t tY X X Xα βθ βθ θ βθ θ− −= + + − + − +

( ) ( ) ( ) ( )2

1 21 1 1 1 ...t tY Xθ θ α βθ θ βθ θ− −− = − + − + − +

( )( ) ( ) ( )1 11 1 1t t t tY Y X tθ α θ α βθ ε θ ε− −− − = − − + + − −

( ) ( )1 11 1t t t tY X Y tθα βθ θ ε θ ε− −= + + − + − − Jafnan er nú orðin næstum því eins og (11.13) fyrir utan leifaliðinn. Umbreytingin breytir tε í ( ) 11t tε θ ε −+ − sem er hreyfanlegt meðaltal. Sjálffylgni. Það sem þarf að vita eru áhrifin á tímaraðastrúktúr. Sleppa More Comlicated Lag structures frá bls. 320 – 326 og kafla 11.4. Ef við erum með tímaraðir þarf að passa vandlega á því að tjékka á því hvort þær séu sístæðar (Dickey-Fuller próf).

Háskóli Íslands


Erum með jöfnuna:

1 1

L mt i t ii j

Y Xα β γ− −= == + +∑ ∑ j t jY

Þessi jafna hefur rætur. m Höfum áhyggjur af því að jafnan sé: 1. Óstöðug ef einhver rótin hefur gildi sem er stærra en 1 . 2. DL-jöfnu og ( )20,Nε σ∼ ⇒ þá verður sjálffylgni (MA) í AL-jöfnunni. Lendum þá í því að metlar fyrir stuðla AL-jöfnunnar verða bæði bjagaðir og ósamkvæmir.

( ) ( )

( ) ( )

( )

1 1

1 1

1 1 2 1

1 , 11 1

1

t t t t t t

t t t t t

t t t t

Y X Y Y v uY X Y u uY X Y v

θα θβ θ θθα θβ θ θθα θβ θ

− −

− −

− − − −

= + + − + = − −

= + + − + − −

= + + − +

tu

tv

1 1 er háð og þess vegna einnig .t tY v− −

⇒ samtímafylgni á milli 1 og .t tY v−

Gætum líka lent í sjálffylgni. Lausn - Nota Instrumental Variables (IV): Nota tX sem hjálparbreytu fyrir sjálfa sig. Nota 1tX − sem hjálparbreytu fyrir 1tY − . Hvorki tX né 1tX − hafa fylgni með . tvGetur verið mikil fylgni á milli 1 1og .t tX Y− − Verður þó ef til vill ekki skilvirkt vegna náinnar fylgni á milli tX og 1tX − . Myndum þá umrita þetta svona:

( ) 11 ...t t t

t t

Y X XZ u

α θ θ θα β

−⎡ ⎤= + + − + +⎣ ⎦= + +

tv

Ef θ er þekkt þá má skilgreina Z (það er þó mjög ólíklegt að θ sé þekkt). Annars þarf að prufa ólík gildi af θ . Metum þá ( ) ( )2

1 21 1 ...t t tZ X X Xθ θ θ θ θ− −= + − + − +

Háskóli Íslands


Væntingar: 1. Aðlögunarvæntingar

t tY X tα β ε∗= + +

( )1 1 0 1t t t tX X X Xφ φ∗ ∗ ∗− −− = − < <

1

1Gerum ráð fyrir því að við séum þarna á milli.

0t t

t t

X X

X X

φ

φ

∗

∗ ∗−

⎫= ⇒ = ⎪⎬

= ⇒ = ⎪⎭

( ) 11t t tX Xφ φ∗ ∗

−= + − X

i t

Stingum inn í þessa jöfnu aftur og aftur:

( ) ( )21 21 1 ...t t t tX X X Xφ φ φ φ φ∗− −= + − + − +

( )

01n

t tiY Xα φβ φ ε−== + − +∑

Notum nú Koyck-umbreytingu:

( ) 11t t tY X Y tφα φβ φ ε−= + + − + 2. Ræðar væntingar (RE)

( )1 0 1 1 1 1 1 2 2 1E .t t t t tX X b Z b Zα α− − −= + + + + ..− Z eru óháðar breytur.

( )1Et t tX X∗−= ef RE stenst.

, er spáskekkjat t t tX X u u∗= + Gefum okkur eftirfarandi:

i) ( )E 0tu =

ii) Engin fylgni á milli og einhverra utanaðkomandi breyta. tu ( )1Et t t tX X u− = −

Erum með fallið: t tY X tα β ∗= + + ε . Metum nú með 2SLS:

i) 0 1 11 1 1 2 1 ...t t t tY X b Z bZα α − − −= + + + +

ii) tt tY Xα β ε= + + Sleppa 11.4. 11.2 frá bls. 320 og út kaflann.

Háskóli Íslands


Fyrir próf: Kunna klassísku forsendurnar, vita hvað þær fela í sér, hvernig lítur variance – covariance fylki út, hvað hefur áhrif á variance fyrir β . Útleiðslur í kafla 8, óhneigður, samkvæmur, variance fyrir β , sýna að hann sé óhneigður, samkvæmur, að það sé minnsti variance-inn í honum, sýna að hann sé BLÓM. Hvernig við finnum metil fyrir 2σ . Vera með á tæru hvernig líkanið er sett upp. Lágmarka fervikin, lágmarka vegalengdirnar frá punktunum. Kunna t-próf, F-próf, 2R , hvernig það tengist leifaliðunum, grunnpróf, geta túlkað. Kemur útprentun úr Gretl. Eiginleikar metla, stór úrtök, lítil úrtök, maximum likelihood aðferðin, um hvað snýst hún og hvað er verið að gera. Brestirnir: Marglínuleiki, hvað þýðir það og hvaða afleiðingar hefur það, hátt R2, léleg t-gildi. Engin próf fyrir honum en má glöggva sig á því með því að skoða breyturnar sem eru innbyrðis. Ef það er marglínuleiki í þýðinu er ekkert hægt að gera. F-próf, Chow-Próf (brostnar spár). Hinir þrír alvarlegustu gallarnir: Misdreifni, hvað felur hún í sér, hvernig lítur fylkið út, hvaða afleiðingar hefur misdreifnin, leiðið það út, hvaða áhrif hefur hún á metlana (tilgátuprófin fara til fjandans). Hvernig er tjékkað á því að það sé misdreifni ? Hvernig er hægt að lagfæra fyrir misdreifni ? White aðferðin.Nota leyfaliðina til að meta fylkið beint. Deila í gegn með rót af breytu. Sjálffylgni. Hvernig lítur fylkið út, hvað veldur sjálffylgni, hvaða afleiðingar hefur það, hvernig er hægt að leiða það út, hvaða próf eru ? Kunna durbin watson, vita að Durbin-H getur átt við við ákveðnar aðstæður, hvernig er hægt að bjarga sér fyrir horn ef við erum með sjálffylgni. Ef X er slembið og hefur einhverja dreifingu skiptir máli hvort það sé fylgni milli X og leyfaliðsins. Getur komið fram ef við erum að mæla X og Y vitlaust, yfirleitt hægt að leiða það út. Tímaraðir, tvær tegundir, AD, AL og DL, umbreytingarnar, hvaða áhrif hefur það á leifaliðinna að umbreyta, skammtímaáhrif, langtímaáhrif, meðaláhrif, hvernig setur maður upp í líkani þessar tegundir af væntingum.

Háskóli Íslands


Hagrannsóknir I Dæmatími 2 – 23.9.2004

Dæmi 5.6

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

10 1 9 91 1

9 8

9 8

101?

! 1! !

10! 10!1 1 1010 1! 1! 9!1!

10 1 10 9 1 1 0

10 1 90 1 10 1 90

10 1 90

1 91 10

110

n xx

nx

nP Xn x x

P x

π

π π

1π π π π π

π π ππ

π π π π π

π π

π ππ

π

−

−

===

= −−

= − = − =−

∂= − + × − − =

∂

− = − ⇒ − =

− =

− =

=

=

π−

Háskóli Íslands


Dæmi 5.8

( ) [ ]

( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

1 2

1 2

1

1 2

1 2

1 1 2 2

X!

, , , ML metill fyrir .Líkindafallið:

...

1) ...

2) ln ln ln ! ln ln ! ... ln ln !

ln

n

x

n

n

xx x

n

n n

i

eP x Ex

x X X X

P x

L P X P X P X

e e eLx x x

L l x x x x x x

x n

λ

λ λ λ

λ λ

λ

λ λ λ

λ λ λ λ λ λ

λ λ

−

− − −

= =

=

=

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = − − + − − + + − −

= − −

∑

…

)ln !

ln3) 0

5) Setja inn fyrir og n og fá næst á .

i

i ii

i

x

x xL n x nn

x

λ λλ λ

λ

∂= − = ⇒ = ⇒ =

∂

∑ ∑∑ ∑∑

Dæmi 5.7

( )( )

( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

2

22

2

22

2

2 2

16?2510,513

ln 0,5ln 2 0,5ln 0,5

0,5 ln 2 0,5 ln 0,5

10,5 2 ln 2 0,5 2 ln16 0,5 510 51316

ln 0,5 2 510 1 2 513 1 0 511,516

nx

xl

xn n

L

σµ

µπ σ

σ

µπ σ

σ

π µ

µ µ µµ

===

=

⎛ ⎞−⎜ ⎟= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

−= − − −

µ⎡ ⎤= − × × − × × − − + −⎣ ⎦∂ −

⎡ ⎤= − − + − − = ⇒ =⎣ ⎦∂

∑

∑

How I need a drink Alcoholic of course After the heavy Chapters involving Quantum mechanics

Háskóli Íslands



Á bls. 196 í Thomas er hann með gögn sem ætlar að meta. Líkanið er svona: ( ), ,Q f X P G= Q: Eftirspurn eftir vöru P: Verð á vöru X Tekjur G: Almennt verðlag En hverju samsvarar þetta ? Gagnskrá I NF: Kaup á vöru á verðlagi hvers árs RF: Kaup á vöru á föstu verðlagi NTE : Neysla á verðlagi hvers árs RTE: Neysla á föstu verðlagi Þurfum að fá upplýsingar um verðið og magnið.

Verðið sem við erum með er : NFPRF

=

Almennt verðlag : NTEGRTE

=

Q RF= X RTE= Í gagnaskránni í Gretl er q=RF=Q Eftirspurnarfallið er “homogent” af 0-gráðu í X, P og G. Það þýðir að ef X, P og G er tvöfaldað þá hefur það engin áhrif á Q. (Ef þetta hefði verið homgent af fyrstu gráðu hefði Q tvöfaldast) Deilum nú í gegn með G:

,X PQ fG G

⎛= ⎜⎝ ⎠

⎞⎟ Þetta er hin strangfræðileg rétti hlutur.

Háskóli Íslands


Nú erum við búin að taka gögnin inn, tjékka á því hvort þau séu rétt, athuga theroy-una og nú þurfum við að skilgreina fallið. Við ætlum að nota Cobb-Douglas fall:

32 4Q AX P Gββ β= Umritum þetta nú yfir í logarithma:

2

1

3 4ln ln ln ln lnQ A X P Gβ

β β β= + + + +ε

Háskóli Íslands



Dæmi 7.2 bls 178,180,194 Jafnan sem á að meta:

1 2 2 3 3 4 4Y X X Xβ β β β= + + + +ε n=25 k=4 Frávikaaðferð ( ) ,y x Búið er að reikna út:

( )( ) ( )1 1

0,03 0,004 0,0310,004 0,028 0,0150,031 0,015 0, 275k k− × −

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

-1Tx x

Metillinn sem við erum með er:

( )β =-1T Tx x x y

erum líka með gefið

2

3

4

226,2259,148,3

i

i

i

x yx yx y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎝ ⎠

∑∑∑

Tx y

þar sem ( )β =-1T Tx x x y

fáum við

2

3

4

0,03 0,004 0,031 226,2 9,310,004 0,028 0,015 259,1 7,440,031 0,015 0,275 48,3 16,41

β

β

β

⎛ ⎞ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Háskóli Íslands


Nú þurfum við að finna 1β . Þurfum þá að hafa meðaltal Y og meðaltal X þar sem

2 41 2 3 3Y X X Xβ β β β= − − − 4 Förum nú yfir á bls. 180 Þurfum að nota 2 2=6733 og ?i iy e =∑ ∑ .

Vitum að ( ) ( )22 2i iY Y Y Y e− = − +∑ ∑ i∑

Kíkjum á jöfnur 4.27 og 4.36

( ) ( )

( ) ( )( )( )

22

31 2 2 3

122

2 32 2 2 3

22 2 2 2

...

Stingum nú inn fyrir

... ...

ki k

kk ki k

i i i i i i

Y Y X X X Y

Y Y Y X X X X X Y

X X x x

β β β β

β

β β β β β

β β β

− = + + + + −

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡− = − + + + + + + −⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

= − = =

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑

⎤⎦

2

2

i

i

e

x

2 2 2

2 2 2

i i i

i i i

y x

e y

β

β

= +

= −∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

( )

22 2 2

22 2 2

2 22

2

1

ii i i

ii i i

i i ii

i i

y x e

e y x

e y x yx

y x yβ

β

β

β

β

β

= +

= −

=

= −

= −

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑∑

∑ ∑

-1T Tx x x x

2ix

Þetta er jafna bls. 179

Háskóli Íslands


En aftur að dæminu þá:

2 22 2 3 3 4 4i ie y x y x y x yβ β β= − − −∑ ∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( )2 6733 9,31 226,2 7,44 259,1 16,41 48,3 1906,8ie = − × − − − − × =∑

2

22

1906,81 1 0,7176733

i

i

eR

y= − = − =∑

∑

Þetta þýðir að 71,7% af breytileika Y má útskýra með jöfnunni. Erum nú með jöfnuna:

41 2 2 3 3Y X Xβ β β β= + + + 4X

22 1906,8 90,8

25 4ie

sn k

= = =− −∑

( )

2

3

4

22

1 33

44

2

2

2

0,03 . .. 0,028 .. . 0,

90,8 0,03 1,65

90,8 0,028 1,59

90,8 0, 275 5,0

T

xx x x

x

s

s

s

β

β

β

−⎛ ⎞=⎜ ⎟

= =⎜ ⎟⎜ ⎟=⎝ ⎠

= × =

= × =

= × =

275

1 2 31,65 1,59 5

9,31 7, 44 16, 41Y X Xσ σ σ

β= = =

= + + − 4X

t-gildi: 5,6 4,68 3,3 Krítíska t-gildið m.v. 5% með 21 frígráðu =2,08 Þá þarf að túlka: Á að taka mark á stuðlunum eða ekki ? Ef reiknaða t-gildi (absolút gildi) er stærra heldur en krítíska gildið leiðir það að því að við höfnum 0 : 0iH β = . Allir stuðlarnir eru tölfræðilega marktækir frá 0 miðað við 5% þar sem reiknaða t-gildið er alltaf hærra en 2,08.

Háskóli Íslands


Útfrá þessu getum við sagt að :

2 2,08 9,31sβ

β = × ±

Sanni stuðullinn liggur því innan þessara marka: 9,31 3,43± með 95% vissu. með 95% vissu. Annað dæmi:

0,71

0,95j

j

sβ

β =

=

t-gildið: 0,71 0,720,95

≈

[ ]0,71 2,08 0,95jβ ∈ ± ×

Vitum ekkert hvor hún er pósitív eða negatív Geta fengið fylki, reiknað út , sett upp -próf og segja hvort það sé marktækt.

2 2 2, , ,ie R sβ ∑ 0H

Háskóli Íslands


Skilgreiningar úr Data 1 í hagrannsóknunm NF: neysla á verðlagi hvers árs NF PF: Neysla á föstu verðlagi q NTE: Tekjur á verðlagi hvers árs x PTE: Tekjur á föstu verðlagi RTE Byrja að meta þetta fall:

1 2 3 4ln ln ln lnQ x P G eβ β β β= + + + +

1 2 3ln ln lnx pQ eG G

β β β⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ef fallið er homogent af 0-tu gráður þá:

2 3 4 0β β β+ + =

Tstat: 00 H : 0

i i

i iis s

β β

β β β−= =

2Prob. Líkur á að stuðullinn sé ekki marktækur

ef 2prob=0,002 þá er stuðullinn marktækur við 5%

(hættir að vera marktækur við 2%)⇒

Getum líka skoðað:

( ) (1 2 3ln ln ln ln lnQ x G pβ β β= + − + − +)G e

Háskóli Íslands


Hagrannsóknir I Dæmatími 8

Með gagnasafn 4: Metum fyrst (1) ( )1 2 1 3 1 2 1 3t t t tC C Y D C D Yβ β β ε α α α− −= + + + + + + t D Erum með 1 2 1 3 4 2 5 3 6 4t t tC C Y D D Dβ β β β β β−= + + + + + +ε Þurfum að búa til (2) 1 2 1 3 4 4t t t tC C Y Y Dβ β β β−= + + + +ε INCDQ4=INC×DQ4 Metum síðan með: 2β 3β n=10 -0,327379 0,854235 n=20 -0,140081 0,854235 n=30 -0,164530 0,784166 n=40 -0,0248773 0,820318 n=43 -0,0229133 0,854514 Ef við myndum gera þetta fyrir öll n kallast það recursive least squares. 1. Splittum upp í tíma t í tvö tímabil, 1 2og .n n2. Meta jöfnu á tíma 1 2, á tíma og á öllu tímabilinu.n n

3. Setjum upp próf (Chow-test) : ( )( ) ( )

1 2

1 2 1 2

SSR SSR SSR /SSR SSR / 2

P kn n k

− ++ + −

0 1 2 3: 0H α α α= = =

Ef þetta heldur haldast parametrarnir óbreyttir allt tímabilið. Ef þetta heldur ekki er eitthvað að gerast. Ef útkoman úr jöfnunni ( )

( ) ( )1 2

1 2 1 2

SSR SSR SSR /SSR SSR / 2

P kn n k

− ++ + − er hærri en ( )1 2, 2 gilF k n n k+ − − dið getum

við hafnað 0.H

Háskóli Íslands


Ef eftir er stuttur tími við “splittið” þarf að gera ákveðna aðferð sem er tilgreind á bls. 268 þar sem búin er til dummy breyta. 1. Vandi 2n k<2. 1 11 ef tími=n +1, ella 0D =

2

2 2

1 2

1 ef tími=n +1, ella 0

1 ef tími=n +n , ella 0n

D

D

=

= i) Met (1) án dummy fyrir n, og nota stuðlamatið til að spá Y á tíma 2.n Á tíma þá er 2n Spáskekkja.i i iY Yα = − = 3. ( )

( )1 2

1 1

SSR SSR /SSR

P nn k

−−

Segjum sem svo að ég haldi að breytingin hafi gerst í lokin. Þá er SSR fyrir seinna tímabilið ekki metið heldur SSR fyrir fyrra tímabilið ( )1SSR og svo fyrir allt

tímabilið ( )SSR P . Tilgátan hér er að spáskekkjan hafi ekki breyst ( )0 1 2 3: 0H α α α= = = Ath. Það eru tvö Chow-próf.

Háskóli Íslands


Model 4: OLS estimates using the 10 observations 1974:1-1976:2 Dependent variable: Cons VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT 2Prob(t > |T|) 0) const 16112,2 31525,2 0,511 0,625009 7) Cons_1 -0,327379 0,339963 -0,963 0,367634 2) inc 0,854235 0,694748 1,230 0,258582 Model 5: OLS estimates using the 20 observations 1974:1-1979:0 Dependent variable: Cons VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT 2Prob(t > |T|) 0) const 7977,30 10043,6 0,794 0,437989 7) Cons_1 -0,140081 0,183477 -0,763 0,455642 2) inc 0,861264 0,213551 4,033 0,000863 *** Model 6: OLS estimates using the 30 observations 1974:1-1981:2 Dependent variable: Cons VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT 2Prob(t > |T|) 0) const 12933,2 4548,01 2,844 0,008398 *** 7) Cons_1 -0,164530 0,141665 -1,161 0,255643 2) inc 0,784166 0,115574 6,785 < 0,00001 *** Model 7: OLS estimates using the 40 observations 1974:1-1984:0 Dependent variable: Cons VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT 2Prob(t > |T|) 0) const 4817,19 4038,13 1,193 0,240492 7) Cons_1 -0,0248773 0,129581 -0,192 0,848806 2) inc 0,820318 0,121706 6,740 < 0,00001 *** Model 8: OLS estimates using the 43 observations 1974:1-1984:3 Dependent variable: Cons VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT 2Prob(t > |T|) 0) const 2948,07 3651,19 0,807 0,424196 7) Cons_1 -0,0229133 0,128390 -0,178 0,859258 2) inc 0,854514 0,115406 7,404 < 0,00001 ***

Háskóli Íslands


Hagrannsóknir I – Dæmatími 9 Vigtuð aðferð minnstu kvaðrata (e. Weighted Least Squares) Dæmi: 1.

( ) 2Var i ikXε = Erum með fall sem lítur svona út: 1 2 2i iY X iβ β ε= + +

Deilum í gegn með 2

1

iX

( ) ( ) 22 22

1 1Var Var Varii i

i ii

kX kX XX

εε ε∗ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

i =

Höfum þá umbreytta jöfnu þar sem búið er að deila í gegn með kvaðratrótinni:

21 2

2 2 2

1 i i

i i i

XYX X X 2iX

εβ β= + + Enginn fasti.

Vandamálið er að finna hvaða X það er sem veldur þessari misdreifni. Þetta er það sem við þurfum að finna út (kallað λ í bókinni og er hér 2iX ). Almennt gildir: ( ) 2Var i i k iε σ λ= =

“Trick”: Deila í gegn með 1

iλ. Getur verið mun flóknara en hér.

( )Var i kε⇒ =

Aðferðin er kölluð vigtuð þar sem öll gögnin eru vigtuð með λ . Kíkjum nú á hvernig við könnum misdreifni, en það er gert í Gretl. Sambærilegur hlutur og í heimaverkefni 3.

Háskóli Íslands


Gagnasett 5 Erum með launajöfnu. Líkanið er svona:

1 2 3ln E A Sβ β β= + + Jafnan kallast “semi-log” þar sem logarithmi er bara öðru megin. E: Laun A: Aldur í árum S: Skólavist í árum D=1 ef heimilið les vandað dagblað

2 31 E 1 E E EA S

β β∂ ∂= =

∂ ∂

Þetta þýðir að fyrir hvert ár sem við eldumst munu tekjur okkar aukast um 2,78% Fyrir hvert skólaár hækka laun um 12,27% Hvoru tveggja er túlkað sem jákvæð áhrif á laun. Vel marktækt þar sem t-gildi eru há. Þetta kallast þverskurðagögn þar sem þetta er athugun sem fer fram á sama tíma. Þverskurðagögn hafa yfirleitt lægra 2R heldur en tímagögn. A veldur misdreifni. 1. GQ-próf. Röðum breytunum í röð og splittum þeim upp. C=8 Lægsti hópur, n=21 Hæsti hópur, n=21 Viljum fá SSR fyrir hæsta og lægsta hópinn. Lægsti hópur, =0,712467 2SSRHæsti hópurinn, =12,7227 1SSR

Háskóli Íslands


1 12 2

1( ) . ( )

2

18,18

18,18

SSRSSR12,728 17,560,712

2,22

n c k n c kF

F

F

− − − −

=

=

∼

∼

0 : Engin misdreifniH

Ef reiknað gildi er hærra en töflugildi höfnum við . 0H 2. White-próf – Einfalt Finnum og notum hana sem skýribreytu í næsta mati. 2

ie Ætlum að meta: 2

1 2 3i ie A Sα α α= + + + u

2

2 220,35 nRR χ= ∼

2 50 0,35 17,5nR = × =

22 5,991χ =

Reiknaða gildið hærra en töflugildið og höfnum . Þetta styrkir hugmyndina um það að það sé misdreifni.

0H

3. White-próf – Flóknara Ætlum nú að meta: 2 2

1 2 3 4 5 2 6i ie A S A S ASα α α α α α= + + + + + + u Erum nú með þrjár marktækar breytur. Fáum eflaust niðurstöðu sem hafnar tilgátu um enga sjálffylgni. Gerum nú annað próf:

2 50 0,49 24,75nR = × = 25 11,07χ =

Höfnum aftur tilgátunni um að það sé engin misdreifni. Erum nú búin að gera þrjú próf, tvær tegundir af White og GQ próf sem segja öll sömu sögu.

Háskóli Íslands


Gerum eitt próf í viðbót:

M-Próf:

ing the 50 observations 1-50 ependent variable: usq4

VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT 2Prob(t > |T|)

17) yhat7sqr 0,102198 0,0303683 3,365 0,001512 ***

α α= +

L Model 8: OLS estimates usD 0) const -0,193067 0,164067 -1,177 0,245096

2 21 2i ie Y

21χ -dreift

Passa að það á ekki að vera neinn fasti þegar

2

21

50 0,19 103,84

nRχ

= × =

=

ln E

A jafnan er metinn !!!

Háskóli Íslands


Hagrannsóknir I – Dæmatími 10 Sjálffylgni:

1 2t tC Y tβ β ε= + + Metum gagnasett 4 í gretl

1,86DW = ; 44 ; 1 1n k= − =

0H :Engin sjálffylgni Erum því að meta jöfnuna : 1 0 , H segir að 0t t tuε ρε ρ−= + =

1, 481,57

L

U

dd

==

Ef reiknaða gildið lendir á milli og 2 getum við ekki hafnað . ud 0H Ef reiknaða gildiðr er milli getum við ekkert sagt. u og dLd Ef reiknaða gildið er minna en höfnum við . Ld 0H Hér getum við því ekki hafnað þar sem . 0H 1,86DW = First-order autocorrelation coeff.: Mat á ρ (gretl gefur þetta upp þegar OLS er tekið á tímaraðagögn). Þetta próf er bara fyrir fyrstu gráðu sjálffylgni. Ef tafin háð breyta er í prófinu er DW gildið bjagað í átt að 2. Þá er gert Durbin H próf sem leiðréttir fyrir þessari bjögun.

Durbin H-próf: ( )( )2

1 0,51

nh DWns

β

= −−

Þarf ekki að kunna, en skilja.

Durbin Watson próf: ( ) 122 1 ; t t

t

e eDW

eρ ρ −= − = ∑

∑

Háskóli Íslands


Eina sem er farið fram á að vita varðandi Durbin-H próf er það að ef tafið gildi háðu breytunnar er í jöfnunni verður DW prófið bjagað. LM-próf: 1 2 3 1 4 1 5 2 6 3 7 4t t t t t t te Y C e e e e tuα α α α α α α− − − − −= + + + + + + + Í gretl: test – autocorrelation. Í þessu dæmi eru töfðu gildin (laggarnir) 4, en sú tala er einfaldlega valin vegna þess að þetta er árstíðarbundið. Úr prófinu er reiknað út 2

4nR 2χ∼ . Ef reiknaða gildið er hærra en töflugildið er hafnað.

0H

Eftirfarandi útprentun úr Gretl á að geta túlkað (hvern einasta lið, þetta kemur pottþétt á prófi): Model 3: OLS estimates using the 44 observations 1974:0-1984:3 Dependent variable: Cons VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT 2Prob(t > |T|) 0) const 1987,97 3397,16 0,585 0,561555 2) inc 0,851439 0,0630220 13,510 < 0,00001 *** Mean of dependent variable = 47780,9 Standard deviation of dep. var. = 3454,4 Sum of squared residuals = 9,59839e+007 Standard error of residuals = 1511,73 Unadjusted R-squared = 0,812938 Adjusted R-squared = 0,808485 Degrees of freedom = 42 Durbin-Watson statistic = 1,85873 First-order autocorrelation coeff. = 0,0396019 Misdreifnileiðrétt líkan (White aðferð): Gera HCCM í stað OLS.

Háskóli Íslands


Hagrannsóknir I – Dæmatími 11 Durbin H-próf: Erum með: 1 2 3 1t t tC Y C tβ β β −= + + +ε

1. 12

t t

t

e ee

ρ −= ∑∑

2. ( )

1

' , ' 11 '

ytS

nL nn

β

ρ−

= =−

n −

3. L er Normaldreift. Hér er 0H : 0ρ = Vita varðandi Durbin H próf: Próf sem er gert þegar við erum með tafða breytu. Normaldreift. Þurfum að hafa og sρ .

Háskóli Íslands


Dæmi bls. 231 – Kann fylgni milli og t tY ε . Erum með jöfnuna: 1 2t tC Y tβ β ε= + + Hjálparbreyta fyrir ? tY

1 2 1t t tY Y uα α −= + + ⇒ tY

1 2 tt tC Yβ β ε= + + Metum nú fyrst frá 1 2t tC Y tβ β= + +ε 1975.1-1984.4 Model 1: OLS estimates using the 40 observations 1975:0-1984:3 Dependent variable: Cons VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT 2Prob(t > |T|) 0) const 2160,37 3699,88 0,584 0,562737 2) inc 0,848045 0,0681483 12,444 < 0,00001 *** Mean of dependent variable = 48103,6 Standard deviation of dep. var. = 3401,6 Sum of squared residuals = 8,89162e+007 Standard error of residuals = 1529,67 Unadjusted R-squared = 0,802961 Adjusted R-squared = 0,797776 Degrees of freedom = 38 Durbin-Watson statistic = 1,63423 First-order autocorrelation coeff. = 0,119326 Hér er og því er ekki hægt að hafna tilgátunni um enga sjálffylgni. 1,54ud = Prófum nú að meta jöfnuna með öðrum hætti: Two Stage Least Squares. Erum nú að meta: 1 2 tt tC Yβ β ε= + + ( )1 2 1t tY Yα α −= + + tu Model 2: TSLS estimates using the 40 observations 1975:0-1984:3 Dependent variable: Cons Instruments: inc_1 VARIABLE COEFFICIENT STDERROR T STAT 2Prob(t > |T|) 0) const 3094,61 3956,50 0,782 0,438968 2) inc 0,830800 0,0728944 11,397 < 0,00001 *** Mean of dependent variable = 48103,6 Standard deviation of dep. var. = 3401,6 Sum of squared residuals = 8,90661e+007 Standard error of residuals = 1530,96 Unadjusted R-squared = 0,802961 Adjusted R-squared = 0,797776 Degrees of freedom = 38 Durbin-Watson statistic = 1,63729 First-order autocorrelation coeff. = 0,11381

Háskóli Íslands


1. Metum 1 2t tC Y tβ β= + +ε t Hér er gert ráð fyrir að t tY C S= + 2. 2-SLS í Gretl : 1 2t tC Y tβ β ε= + + Getum líka fyrst metið: 1 2 1t t tY Y uα α −= + + ⇒ tY

Og metið svo: 1 2 tt tC Yβ β ε= + + Þetta er allt gert til að kanna fylgni milli og t tY ε . Svona output úr Gretl koma pottþétt á prófi. Hagfræðingur heldur því fram að sérhver stuðull se tölfræðilega marktækur frá núlli (t-próf) og þeir séu samtímis tölfræðilega marktækir frá núlli (F-próf). Hann segir að útskýringamáttur jöfnunnar sé yfir 70% og það sé engin sjálffylgni. Skoða

2R og DW- gildið. Ef DW-gildið er nálægt 2 þá er ekki sjálffylgni. Ef tafin gildi eru í jöfnunni getur DW-gildið verið hættulegt. Hvernig er hægt að prófa ef þú ert með jöfnu með fjórum breytum hvernig er hægt að prófa hvernig tveir stuðlar eru samtímis jafnir 0 (F-próf). Brot í gagnaröðinni, hvernig er hægt að tjékka á því (Chow-próf). Hvaða hluti setur maður inní F-prófin (SSR).

Háskóli Íslands

Documents

Hagrannsóknir I - Forsíða · 2004-12-29 · Erlendur Davíðsson 10 Aðfelluóhneigður metill Metill sem er hneigður í upphafi vegna smæðar, en þegar hann stækkar hættir