HALLIDAY - capitolo 18 problema 14

Si abbia una bacchetta della lunghezza precisa di 20,05cm, misurata con una riga di acciaio in una stanza alla temperatura di 20,00°C. Sia la bacchetta che la riga vengono poste in un forno alla temperatura di 270,0°C; ora la bacchetta misura 20,11cm, misurata sempre con la stessa riga. Qual è il coefficiente di dilatazione termica del materiale di cui è composta la bacchetta? Il coefficiente di dilatazione termica dell’acciaio è di 11×10-6 °C-1.

Sia u0(=1cm) l’unità di misura delle lunghezze sulla riga a T0=20°C (u0 è la distanza tra due tacche successive sulla scala dei cm)

A temperatura T0 la bacchetta ha una lunghezza l0:

00 20,05ul

Alla temperatura T1=270°C la bacchetta si sarà dilatata, e la sua lunghezza l1 si può esprimere come:

Anche la riga si è dilatata, e la nuova unità di misura u1 diventa:

Alla temperatura T1 la lunghezza l1 in termini di u1 è data da:

Mettendo a confronto le due espressioni ottenute per l1 e sostituendo i valori di l0 e u1 in termini di u0 si ha:

ΔTα1ll B01

ΔTα1uu R01

11 20,11ul

16RB

R0B0

1B0

C 10231ΔTα120,05

20,11

ΔT

1α

ΔTα120,11uΔTα120,05u

20,11uΔTα1l

HALLIDAY - capitolo 18 problema 19

Un tubo di vetro verticale lungo 1,28m è riempito a metà con un liquido alla temperatura di 20°C. Di quanto si innalza la superficie del liquido riscaldandolo fino a 30°C? Si assuma αvetro=1,0×10-5K-1 e βliq=4,0×10-5K-1

Indichiamo con S0 e l0=1,28m la sezione e l’altezza del tubo alla temperatura T0=20°C

Alla temperatura T1=30°C si ha:

Detti V0 e V1 il volume del liquido alle temperatura T0 e T1, si ha anche:

ΔT2α1SS

ΔTα1ll

vetro01

vetro01

ΔTβ1VV liq01

Altezza del liquido alla temperatura T0:

Altezza del liquido alla temperatura T1:

Differenza di altezza:

2

l

S

Vh 0

0

00

ΔT2α1S

ΔTβ1V

S

Vh

vetro0

liq0

1

11

m101,31ΔT2α1

ΔTβ1

2

lhh

S

V

ΔT2α1S

ΔTβ1Vhh

4

vetro

liq001

0

0

vetro0

liq001

HALLIDAY - capitolo 18 problema 28

Un vaso di massa 150g in rame (calore specifico 0,0923 cal/g K) contiene 220g di acqua, entrambi alla temperatura di 20,0°C. Un cilindro di 300g di rame molto caldo viene immerso in acqua, facendola bollire, e 5,00g di acqua vengono trasformati in vapore. La temperatura finale del sistema è 100°C. Quanto calore è stato trasferito all’acqua? Qual era la temperatura originale del cilindro? Si trascurino le perdite verso l’ambiente. Il calore latente di evaporazione dell’acqua è 539cal/g.

Stato iniziale:

• m1=150g di Cu a T1=20°C

• M=220g di acqua a T1

• m2=300g di Cu a T0 incognita

Stato finale:

• m1+m2 di Cu a T2=100°C

• M1=5g di vapore a T2

• M-M1 di acqua a T2

Il calore assorbito dall’acqua serve per portare la massa M di acqua da T1 a T2 e per far evaporare la massa M1:

La massa m2 di Cu cede una quantità di calore Q portandosi dalla temperatura T0 alla temperatura T2:

Lo stesso calore Q serve per portare la massa m1 di rame alla temperatura T1 e per riscaldare l’acqua:

Uguagliando le due espressioni di Q si ha:

20300calLMTTMcQ 112acquaacqua

20Cu2 TTcmQ

12Cu1112acqua TTcmLMTTMcQ

C867cm

TTcmLMTTMcTT

TTcmTTcmLMTTMc

Cu2

12Cu1112acqua20

20Cu212Cu1112acqua

HALLIDAY - capitolo 18 problema 33

Due cubetti di ghiaccio (calore specifico cg=0,530cal/g K) di massa 50g ciascuno vengono immersi in un bicchiere isolato contenente 200g di acqua. Se l’acqua inizialmente ha una temperatura di 25°C e se il ghiaccio proviene direttamente dal congelatore a -15°C, quale sarà la temperatura della bevanda quando il ghiaccio e l’acqua raggiungono la stessa temperatura? E se invece venisse usato un solo cubetto di ghiaccio, quale sarebbe la temperatura finale? Il calore latente di fusione dell’acqua è 79,5cal/g.

T1= -15°CT

T2= 25°CT0= 0°C

Quale è la temperatura di equilibrio Tf della miscela?

1. 0°C<Tf<25°C: tutto il ghiaccio fonde e si ha solo acqua

2. -15°<Tf<0°C: tutta l’acqua solidifica e si ha solo ghiaccio

3. Tf=0°C: in questo caso si ha una miscela di acqua e ghiaccio

Supponiamo che sia 0°C<Tf<25°C

Calore ceduto dalla massa M=200g di acqua:

Calore assorbito dalla massa 2m=2×50g di ghiaccio:

Uguagliando le due espressioni:

f2a TTMcQ

0fa10g TT2mc2mLTT2mcQ

C122mcMc

T2mc2mLTT2mcTMcT

TT2mc2mLTT2mcTTMc

aa

0a10g2af

0fa10gf2a

La temperatura trovata è fuori dell’intervallo ipotizzato! Pertanto l’ipotesi fatta inizialmente non può essere corretta!

Supponiamo ora che sia Tf=T0=0°C. Ci sono due possibilità:

a. la massa M di acqua si porta da T2 a T0; la massa 2m di ghiaccio si porta da T1 a T0; una massa x di ghiaccio (0<x<2m) passa allo stato liquido

b. la massa M di acqua si porta da T2 a T0; la massa 2m di ghiaccio si porta da T1 a T0; una massa y di acqua (0<y<M) passa allo stato solido

Assumiamo vera l’ipotesi (a):

Calore assorbito dal ghiaccio:

Calore ceduto dall’acqua:

Uguagliando le due espressioni:

xLTT2mcQ 10g

02a TTMcQ

52,9gL

TT2mcTTMcx

TTMcxLTT2mc

10g02a

02a10g

Poichè si è trovato 0<x<2m,

l’ipotesi (a) è quella corretta

Cosa succede se utilizziamo un solo cubetto di ghiaccio?

Poichè abbiamo visto che, mettendo due cubetti di ghiaccio, l’equilibrio termico si stabiliva a temperatura T0 con la fusione di una massa di ghiaccio x>m, è ragionevole aspettarsi che la temperatura di equilibrio Tf sia compresa fra T0 e T2

Calore ceduto dall’acqua:

Calore assorbito dal ghiaccio:

Uguagliando le due espressioni si ha:

f2a TTMcQ

0fa10g TTmcmLTTmcQ

C2,51mcMc

TmcmLTTmcTMcT

TTmcmLTTmcTTMc

aa

0a10g2af

0fa10gf2a

HALLIDAY - capitolo 18 problema 34

Un thermos isolato contiene 130cm3 di caffè caldo a una temperatura di 80,0°C. Per raffreddare il caffè aggiungete nel thermos un cubetto di ghiaccio di massa 12,0g al suo punto di fusione (cG=0,530 cal/g K, L=79,5cal/g). Di quanti gradi si sarà raffreddato il caffè dopo che il ghiaccio si è fuso? Trattate il caffè come se fosse acqua pura e trascurate gli scambi termici con l’ambiente circostante.

Massa di caffè nel thermos: 130g130cmcm

g1ρVM 3

3

Calore ceduto dal caffè = calore assorbito dal ghiaccio

C66,5mMc

TmcmLTMcT

TTmcmLTTMc

a

0a2af

0faf2a

HALLIDAY - capitolo 18 problema 40

Un gas all’interno di una camera percorre il ciclo mostrato in figura. Si determini il calore totale fornito al sistema durante la trasformazione CA se il calore QAB fornito durante la trasformazione AB è 20,0J, considerato che durante la trasformazione BC non si ha alcun trasferimento di calore, e che il lavoro totale compiuto durante il ciclo è 15,0J.

Primo principio della termodinamica:

ciclociclointciclociclo LQ0ΔELQ

CAABCABCABciclo Q0QQQQQ

Sommando i contributi delle varie trasformazioni si ha anche:

Dal confronto segue:

5,0JQLQ

LQQ

ABcicloCA

cicloCAAB