HALMAZFOGALOM

Halmaz, elem, hozzátartozás A halmaz és a hozzátartozás alapfogalmak,ezért nem definiáljuk. A halmazokat általában nagy nyomtatott betűvel jelöl-jük, pl. A, B, X, stb. A hozzátartozás jele ε, azaz azt, hogy x hozzátartozikA-hoz úgy jelöljük, hogy xεA. Ekkor x az A halmaz eleme. A halmazok elemeitáltalában kisbetűvel jelöljük, pl. a, x, y, stb. Halmaz elemei bármik lehetnek,tárgyak, fogalmak, vagy akár halmazok is, vagy halmazok halmazai, stb..Megjegyzés: Magyarázatképpen említhetünk olyan körülírásokat, mint pl. „A halmaz bizonyosszempontból összetartozó dolgok összessége”, de ekkor meg kellene mondani, mi az, hogy „bi-zonyos szempont”, ill. mi az az „összesség”, ami viszont tulajdonképpen épp a halmazfogalom.

Azt, hogy xεA, úgy is mondjuk, hogy x benne van A-ban, vagy x A-hoztartozik.

Meghatározottsági axióma: Két halmaz akkor és csak akkor egyenlő, haelemeik ugyanazok. Jele: A = B.Azaz, egy halmazt az elemei határoznak meg.

Halmazokat sokféleképpen adhatunk meg. Ha az A halmaznak véges sokeleme van, felsorolhatjuk ezeket. Vagy megadhatunk olyan tulajdonságokat,amelyek alapján el tudjuk dönteni, hogy valami a halmazhoz tartozik, vagynem. Egy halmazt akkor tekintünk adottnak, ha mindenről el tudjuk dönteni,hozzátartozik, vagy nem. A fentiekből következően egy halmaz nem változikmeg attól, hogy némely elemét esetleg többször is felsoroljuk.A halmaz megadásakor elemeit általában kapcsos zárójelbe tesszük. Pl.A = {1, 2, 3} egy három elemű halmaz. Az A = {x|x valós, és x > 3} halmazelemei azok az x-ek, amelyek háromnál nagyobb valós számok.

HALMAZARITMETIKA

1. Definíció. Üreshalmaz Egyetlen olyan halmaz van, amelynek nincs egyet-len eleme sem, ez az üreshalmaz. Jele: ∅.

2. Definíció. Részhalmaz, tartalmazás Ha A és B halmazok, és A mindeneleme B-nek is eleme, akkor azt mondjuk, hogy A részhalmaza B-nek, vagy Btartalmazza A-t. Jele:

A ⊆ B

Minden halmaznak részhalmaza az üreshalmaz és saját maga. Ezeket triviálisrészhalmazoknak nevezzük.Ha A-nak minden eleme hozzátartozik B-hez, és B-nek vannak A-hoz nem tar-tozó elemei is, akkor A valódi részhalmaza B-nek.

A magyar nyelvben a „tartalmazás” szó a „hozzátartozásra” és a részhal-mazként való „tartalmazásra” is használatos. Ezért használatakor mindig nyil-vánvalónak kell lennie, hogy milyen értelemben értjük. Ha A a B-nek valódirészhalmaza, akkor azt mondjuk, hogy B bővebb A-nál.

1

Az egyenlőség reflexív, szimmetrikus és tranzitív; azaz: A = A; ha A = B, akkor B = A;valamint ha A = B és B = C, akkor A = C.A tartalmazás reflexív, tranzitív és antiszimmetrikus; azaz: A ⊆ A; A ⊆ B és B ⊆ C-bőlA ⊆ C következik; valamint ha A ⊆ B és B ⊆ A, akkor A = B.

1. Tétel. Nincs olyan halmaz, ami mindent tartalmaz, azaz, bármilyen A hal-mazhoz létezik olyan B halmaz, hogy A valódi részhalmaza B-nek. Más szóvalnincs legbővebb halmaz.

3. Definíció. Komplementer Ha A részhalmaza H-nak, akkor azt a halmazt,amelyhez azok az elemek tartoznak, amelyek H-ban benne vannak, de A-bannincsenek, az A H-ra vonatkozó komplementerének nevezzük. Jele: A

H.

Mivel nincs legbővebb halmaz, nincs „általános” komplementer. Ha komple-mentert akarunk használni, mindig meg kell mondani, mire vonatkozik. Mivelminden feladattal kapcsolatban könnyen meg lehet adni egy olyan halmazt, amiazzal a feladattal kapcsolatban megfelelő legbővebb halmaz, általában nem fog-lalkozunk egy-egy ilyen halmaz konkrét megadásával, hanem gondolatban fel-tesszük, hogy ilyen van, és minden komplementerképzés erre vonatkozik. Ilyen-kor a „felülvonás” mellől a H jelet elhagyjuk.

4. Definíció. Alaphalmaz vagy univerzális halmaz Az egy-egy adott fel-adattal kapcsolatos legbővebb halmazt a feladat alaphalmazának, vagy a feladatuniverzális halmazának nevezzük.

5. Definíció. Halmazok egyesítése, vagy úniója Két halmaz egyesítésevagy úniója egy halmaz, amely (elemként) tartalmaz minden elemet, amelyek akét halmaz közül legalább az egyikben benne vannak, és ezeken kívül más elemenincs. Jele: ∪. Azaz: A ∪ B = C, ha xεC akkor és csak akkor, ha xεA, vagyxεB.

6. Definíció. Halmazok közös része, vagy metszete Két halmaz közösrésze vagy metszete egy halmaz, amely (elemként) tartalmaz minden elemet,amelyek a két halmaz mindegyikében benne vannak, és ezeken kívül más elemenincs. Jele: ∩. Azaz: A ∩B = C, ha xεC akkor és csak akkor, ha xεA, és xεB.

7. Definíció. Halmazok különbsége Az A és B halmazok különbsége egyhalmaz, amelyhez A azon elemei tartoznak, amelyek B-ben nincsenek benne.Jele: A \B.

8. Definíció. Halmazok szimmetrikus különbsége Az A és B halmazokszimmetrikus különbsége egy halmaz, amelynek elemei A és B elemei közül azok,amelyek az egyikhez hozzátartoznak, de a másikhoz nem, azaz, amelyek ponto-san az egyikben vannak benne. Jele: AB.

2. Tétel. Tetszőleges A, B, C halmazokra igazak a következő állítások:A ∩B ⊆ A ⊆ A ∪B, és A ∩B ⊆ B ⊆ A ∪B.Ha A ⊆ B, akkor (A ∪ C) ⊆ (B ∪ C), és (A ∩ C) ⊆ (B ∩ C).Ha A ⊆ B, akkor A ∩B = A, és A ∪B = B

2

3. Tétel. Az únió és metszet legfontosabb tulajdonságai:

Kommutativitás A ∪B = B ∪A A ∩B = B ∩AAsszociativitás (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)Idempotencia A ∪A = A A ∩A = ADisztributivitás A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)Elnyelési tulajdonság A ∪ (A ∩B) = A A ∩ (A ∪B) = A

A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅

4. Tétel. Ha H az alaphalmaz, és A, B ennek részhalmazai, akkor:

A ∪A = H A ∩A = ∅De Morgan azonosságok: A ∪B = A ∩B, A ∩B = A ∪Bvalamint A \B = A ∩B

5. Tétel. A különbség néhány tulajdonsága, ami a definíció alapján, ill. komplementer-metszetes átírással nyilvánvaló:

A \B ⊆ A A ∩ (B \A) = ∅ (A ∩B) \A = ∅ A = (A ∩B) ∪ (A \B)

AB = (A \B) ∪ (B \A) AB = (A ∪B) \ (A ∩B)

6. Tétel. Ha A∩B = A∩C és A∪B = A∪C egyenlőségek egyszerre teljesülnek,akkor B = C.

Megjegyzés: Szigorúan meg kell különböztetnünk egy halmaz elemeit a hal-maz egyelemű részhalmazaitól. Pl. két különböző elemet tartalmazó egyeleműrészhalmaz egyesítése egy kételemű részhalmaz, míg két elem egyesítése nincsértelmezve. A gyakorlatban azonban általában nem törekszünk annak hangsú-lyozására, melyikről van szó, a két fogalmat ugyanúgy nevezzük, és legtöbbszörez nem okoz zavart, mert nyilvánvaló, hogy melyikről van szó.

Megjegyzés: A feladatokat többféleképpen oldhatjuk meg. A leggyakrabbancélravezető módszerek:-Logikus elemzés (amikor pl. egy egyenlőségben a meghatározottsági axiómaalapján vizsgáljuk a két oldal elemeit);-Műveleti tulajdonságok használata;-Esetszétválasztás, azaz táblázatos módszer. A Venn-diagrammos ábrázolásttekinthetjük úgy, mint az esetszétválasztás egy geometriai modelljét.Ha pl. egy kifejezésben két halmaz szerepel, A és B, akkor bármit tekintsünk is,az biztosan a következő négy állapot valamelyikében van: mindkettőhöz hozzátartozik; A-hoz igen, B-hez nem; B-hez igen, A-hoz nem; egyikhez sem. Ezenaz elven működik a táblázatos módszer, ill. a jól felrajzolt Venn-diagramm.

3