Hamilton elv Lagrange-egyenletek

Hamilton egyenletek

Newton mozgásegyenletek

.0d tL

fi

q

L

q

L

t ii

, 2, ,1

,0d

d

.

,

,,

i

ii

i

ii

p

qpHq

q

qpHp

Több tömegpontból álló rendszer esetén is érvényesek !

Koordináták és energiák szerepelnek bennük

Bonyolult esetekben is könnyebb felirni őket.

fqqq ,...,, 21 fqqq ,...,, 21

,,,, 21pot fp qqqWW W W q q q q q qf fk k 1 2 1 2, , , , , , , ,

,pk WWL

Általános helykoordináták Általános sebességkoordináták

Potenciális energiaKinetikus energia

Lagrange fügvény

fq

q

q

2

1

q

Lagrange-féle mozgásegyenletek

fi

q

L

q

L

t ii

, 2, ,1

,0d

d

Általános impulzuskoordináták

pL

qii

fp

p

p

2

1

p

Hamilton függvény: H q p Lii

i

Hamilton-féle mozgásegyenletek

.,

ii

ii p

Hq

q

Hp

qp,qp,

Lineáris és nemlineáris rezgések. Ingamozgás, rugók, harmonikus oszcillátorok, rezgő húr, stb.

1. Egydimenziós, szabad és „kis” rezgések

Stabil egyensúlyi állapot, amelyben a )(qWp potenciális energiánakminimuma van :

Az egyensúlyi helyzetből való kitérés esetén x

Wp

d

d erő lép fel.

0q

200 )(

2)()( qqk

qWqW pp (A Taylor sor első el nem tűmő tagja)

A továbbiakban 20 2

)(; xk

xWqqx p A kinetikus energia 2

2

1xmWk

A Lagrange függvény:22

22 xkxmWWL pk

A mozgásegyenlet: 0;;0 2 xxm

kxkxm

)cos(sincos 21 tAtCtCx1

222

21 tg;

C

CCCA

Amplitúdó Fázis

A kis rezgést végző rendszer összenergiája

Az általános impulzus

2222222

2

1)(

222Amxx

mxkxmWWW pk

xmx

L

q

Lp

„Fázistér” : a hely és impulzuskoordináták által kifeszitett tér

Egydimenziós térbeli mozgás esetén pmomentumqposition ,Phase space (fázistér) ),( pq

Mozgás szabadságfoka f

f

f

pppmomentum

qqqposition

,...,,

,...,,

21

21

Phase space (fázistér) ),...,,,,...,,( 2121 ff pppqqq

q

p

„Fázisgörbe” p = p(q)

Lineáris és nemlineáris rezgések. Ingamozgás, rugók, harmonikus oszcillátorok, rezgő húr, stb.

1. Egydimenziós, szabad és „kis” rezgések

Stabil egyensúlyi állapot, amelyben a )(qWp potenciális energiánakminimuma van :

Az egyensúlyi helyzetből való kitérés esetén x

Wp

d

d erő lép fel.

0q

200 )(

2)()( qqk

qWqW pp (A Taylor sor első el nem tűmő tagja)

A továbbiakban 20 2

)(; xk

xWqqx p A kinetikus energia 2

2

1xmWk

A Lagrange függvény:22

22 xkxmWWL pk

A mozgásegyenlet: 0;;0 2 xxm

kxkxm

)cos(sincos 21 tAtCtCx1

222

21 tg;

C

CCCA

Amplitúdó Fázis

A kis rezgést végző rendszer összenergiája

Az általános impulzus

2222222

2

1)(

222Amxx

mxkxmWWW pk

xmx

L

q

Lp

„Fázistér” : a hely és impulzuskoordináták által kifeszitett tér

Egydimenziós térbeli mozgás esetén pmomentumqposition ,Phase space (fázistér) ),( pq

Mozgás szabadságfoka f

f

f

pppmomentum

qqqposition

,...,,

,...,,

21

21

Phase space (fázistér) ),...,,,,...,,( 2121 ff pppqqq

q

p

„Fázisgörbe” p = p(q)

),( qp,

qp,f

q

Hp

ii

).( qp,

qp,g

p

Hq

ii

),(

),,(

),,(

)(

)(

21

21

2

1 tftxxg

txxf

tx

txxx

Nemlineáris dinamika

Megjegyzés 21),,( xxxxtxxfx

),(),,(

)(

)(

1

21

2

1 tfx

txxf

tx

txxx

Pályák, trajektóriák: )(),( 21 txtx

Fázisgörbék: Irányitott görbesereg (ahogy az időben fut) az

),( 21 xx sikon: )( 21 xx

NDSolvex't yt, y't xt, x0 1, y0 1,x, y,t, 0, 20, MaxSteps 3000;PlotEvaluatext, yt. %,t, 0, 20ParametricPlotEvaluatext, yt. %%,t, 0, 20,PlotPoints 1000

5 10 15 20

-1

-0.5

0.5

1

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Fázis sik Közönséges pont

Kritikus pont (Egyensúly) (Stabil vagy instabil)

Periódikus megoldás Zárt fázisgörbe

Stabilis határciklusEgy zárt fázisgörbe, melynek környezetéből induló trajektória spirálisan a fázisgörbéhez tart

Az egyensúlyi helyzet asszimptotikus stabilitása

)()(

)()(

),(

),,(

)(

)(

2022

1011

2022

1011

21

21

2

1

xxx

gxx

x

g

xxx

fxx

x

f

xxg

xxf

tx

tx

20

10

21

21

2

1

0

0

),(

),,(

)(

)(

x

x

xxg

xxf

tx

tx

Az egyensúlyi hely környezetében „linearizáljuk” a rendszert:

)()(

)()(

),(

),,(

)(

)(

2022

1011

2022

1011

21

21

2

1

xxx

gxx

x

g

xxx

fxx

x

f

xxg

xxf

tx

tx

Ha e lineáris rendszer stabilis, akkor a nemlineáris is stabil ebben az egyensúlyban .

Lineáris stabilitás feltétele:

Karakterisztikus egyenlet gyökeinek valós része negativ.

0

202

10121

21

xxxx

sx

g

x

gx

fs

x

fMásodfokú egyenlet: 2 komplex gyök

21, ss

Illusztráció: 00 0210 axaxaxa Ennek megoldásai, ha

04 2021 aaa

tsts eCeCtx 21

21)( 0

20211

2,1 2

4

a

aaaas

2. ha 04 2021 aaa t

a

a

etCCtx 2

1

221 )()(

0

2120

0

1

2

4,

2 a

aaa

a

a 3. ha 04 20

21 aaa )sin()( tAetx t

1. ha

Hat eset van:

1. Stabilis csomópont negativ valós

2. Labilis csomópont pozitiv valós

3. Nyeregpont ellentétes előjelű valós

4. Stabilis fókuszpont konjugált komplexek negativ valós résszel

5. Labilis fókuszpont konjugált komplexek pozitiv valós résszel

6. Örvénypont tiszta képzetes

21 ss és

1. Stabilis csomópont negativ valós

2. Labilis csomópont pozitiv valós

3. Nyeregpont ellentétes előjelű valós

4. Stabilis fókuszpontkonjugált komplexek negativ valós résszel

5. Labilis fókuszpontkonjugált komplexek pozitiv valós résszel

6. Örvénypont tiszta képzetes

21 ss és

NDSolvex't 3xt yt,y't xtzt 26.5xt yt,z't xtyt zt, x0 z0 0, y0 1,x, y, z,t, 0, 20, MaxSteps 3000;

PlotEvaluatext, yt, zt. %,t, 0, 20ParametricPlot3DEvaluatext, yt, zt. %%,t, 0, 20, PlotPoints 1000

5 10 15 20

-10

10

20

30

40

-10-5

0510

-10

0

10

20

0

10

20

30

40

-10-5

0510

-10

0

10

20

NDSolvex't yt, y't xt 3yt, x0 1,

y0 1,x, y,t, 0, 20, MaxSteps 3000;PlotEvaluatext, yt. %,t, 0, 20ParametricPlotEvaluatext, yt. %%,t, 0, 20,PlotPoints 1000

5 10 15 20-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2