52
 HAMILTON SSTEMLER Gamze CABAR Eylül 2006 DENZL 

Hamilton Sistemler Hamilton Systems

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 1/52

 

 

HAMILTON SSTEMLER

Gamze CABAR

Eylül 2006

DENZL 

Page 2: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 2/52

 

 

HAMILTON SSTEMLER

Pamukkale Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü

Yüksek Lisans Tezi

Matematik Anabilim Dalı

Gamze CABAR

Danışman: Y. Doç. Dr. Mehmet TEKKOYUN 

Eylül 2006

DENZL 

Page 3: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 3/52

 

iii

YÜKSEK LSANS TEZ ONAY FORMU

Gamze CABAR tarafından Y. Doç. Dr. Mehmet TEKKOYUN yönetiminde hazırlanan

“Hamilton Sistemler” başlıklı tez tarafımızdan okunmuş, kapsamı ve niteliği açısından bir

Yüksek Lisans Tezi olarak kabul edilmiştir.

Pamukkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun ...../...../2006 tarih ve

................ sayılı kararıyla onaylanmıştır.

Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL

Müdür

Page 4: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 4/52

 

iv

TEŞEKKÜR

Bu çalışmanın hazırlanmasında bana destek olan aileme, gerekli bütün imkanları

sağlayarak benden her zaman yakın ilgi ve yardımlarını esirgemeyen değerli hocam Y. Doç.

Dr. Mehmet TEKKOYUN’a , Fizik Bölümü öğretim üyesi Sayın Y. Doç. Dr. Muzaffer

ADAK’a ve tezin yazılmasında emeği geçen Hüseyin Alper BOZ’a teşekkürlerimi sunmayı

bir borç bilirim.

Gamze CABAR

Page 5: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 5/52

 

v

Bu tezin tasarımı, hazırlanması, yürütülmesi, araştırmalarının yapılması vebulgularının analizlerinde bilimsel etiğe ve akademik kurallara özenle riayet edildiğini; buçalışmanın doğrudan birincil ürünü olmayan bulguların, verilerin ve materyallerin bilimseletiğe uygun olarak kaynak gösterildiğini ve alıntı yapılan çalışmalara atfedildiğini beyanederim.

mza :

Öğrenci Adı Soyadı: Gamze CABAR

Page 6: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 6/52

 

vi

ÖZET

HAMILTON SSTEMLER

Cabar, GamzeYüksek Lisans Tezi, Matematik ABD

Tez Yöneticisi: Y. Doç. Dr. Mehmet TEKKOYUN

Eylül 2006, 42 Sayfa

Bu çalışmada reel ve kompleks Hamilton sistemler incelendi. Bu bağlamda mekanik

sistemlerden bahsedildi. Reel uzayda Lagrange ve Hamilton denklemleri ile ilgili örnekler elealındı. Maple programı yardımıyla kompleks Lagrange ve Hamilton denklemlerine özgünörnekler verildi.

Anahtar kelimeler: Hamilton fonksiyonu, Lagrange fonksiyonu, Hamilton denklemi,Lagrange denklemi

Y. Doç. Dr. Mehmet TekkoyunY.Doç. Dr. Muzaffer Adak

Y. Doç. Dr. Murat Sarı

Page 7: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 7/52

 

vii

ABSTRACT

HAMILTONIAN SYSTEMS 

Cabar, Gamze M. Sc. Thesis in Mathematics

Supervisor: Y. Doç. Dr. Mehmet TEKKOYUN

September 2006, 42 Pages

In this study real and complex Hamilton systems have been examined. Within thecontext mechanical systems have been mentioned. In real space, related examples onLagrange and Hamilton equations have been dealt with. Original examples have also beengiven to the complex Lagrange and Hamilton equations with the help of Maple program.

Keywords: Hamilton functions, Lagrange functions Hamilton equation Lagrange equation.

Assist. Prof. Dr. Mehmet TekkoyunAssist. Prof. Dr. Muzaffer AdakAssist. Prof. Dr. Murat Sarı

Page 8: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 8/52

 

viii

ÇNDEKLER

SayfaYüksek Lisans Tezi Onay Formu..................................................................................iiiTeşekkür.........................................................................................................................ivBilimsel Etik Sayfası.......................................................................................................vÖzet................................................................................................................................viAbstract.........................................................................................................................viiçindekiler....................................................................................................................viiiŞekiller Dizini…………………………………………………………………………ıxTablolar Dizini…………………………………………………………………………x

1.Reel Hamilton Sistemler……………………………………………………………...11.1. Giriş……………………….................................................................................11.2. Lagrange fonksiyonu ve denklemleri…………………………………………..31.3. Hamilton fonksiyonu ve denklemleri…………………………………………..41.4 Uygulamalar…………………………………………………………………….51.5 Sonuç…………………………………………………………………………..28

2.Kompleks Hamilton sistemler………………………………………………………292.1 Sonuç…………………………………………………………………………..39

3.Sonuç ve Öneriler…………………………………………………………………...40

KAYNAKLAR..............................................................................................................41

ÖZGEÇMŞ ………………………………………………………………………......42

Page 9: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 9/52

 

ix

ŞEKLLER DZN 

Sayfa

Şekil 1.1.1 Kütlesi m olan cisim ve üzerine etki eden kuvvetler……………………………....6Şekil 1.2.1 Bağlantı noktası yukarıya doğru sabit bir a ivmesi ile hareket eden basit

sarkaç ……………………………………………………..………………………………..9Şekil1.3.1 Eğik düzlemin yatayla θ  açısını yaptığı an θ   açısı sabit bir α  sür’atle

artırılıyor.……………………………………………………………………...………….12

Şekil 1.4.1 Bir yayın ucuna m kütleli küçük bir top asılarak oluşturulan sarkaç. Küçük topun

hareketi sırasında hem θ   hem de değişir..…………….……………..………...……...16

Şekil 1.5.1 Askı ipi sabit bir şekilde tavana tutturulmuş, diskin en üst noktasına bağlanan

sarkacın salınması sırasında farklı anlardaki görünümü ….…...................................……20

Şekil 1.6.1 Eğik düzlem üzerinde yuvarlanan diskin merkezine asılmış basit sarkaç.

Sarkaç ipinin boyu hareket süresince değişmiyor.……………………………..…………24Şekil 2.1.1 Kütlesi m olan cisim ve üzerine etki eden kuvvetler .……………………………30Şekil 2.2.1 Bağlantı noktası yukarıya doğru sabit bir a ivmesi ile hareket eden basit

sarkaç………………………………………………………………………...……………35

Page 10: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 10/52

 

x

TABLOLAR DZN 

Sayfa

Tablo:3.1 Lagrange ve Hamilton fonksiyonlarının kıyaslanması…...………….……………...5 

Page 11: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 11/52

 

1 REEL HAMLTON SSTEMLER

1.1 Giriş 

Mekanik; günlük hayatta karşılaştığımız cisimlerin konumlarının zamanla

değişmesi veya durum ve yapılarının bozulmadan kalabilmesiyle ilgili problemleri

inceler ve günlük olaylar çerçevesinde oldukça kesin sonuçlar elde edilmesini sağlar.

Ancak ışık hızına yakın hızlarda hareket eden sistemler için rölativistik mekanik, çok

küçük uzaklık ölçeklerindeki sistemler için kuantum mekaniği ve her iki özelliğe sahip

sistemler için de rölativistik kuantum alan teorisi kullanılmaktadır. Mekanik; kinematik,

dinamik ve statik olmak üzere üç ana bölümden oluşur (Zengin vd 1999).

Kinematik: Cisimlerin konumlarının zamanla değişmesini yani hareketlerini ele

alır. Harekete neden olan kuvvetlerle ilgilenmez ve bu yönüyle dinamikten ayrılır.

Örneğin, deniz yüzeyinden h kadar yükseklikten atılan bir taş kinematiğin konusudur.

Dinamik: Cisimlerin konumlarının değişmesine yol açan nedenler bilindiğinde

cisimlerin hareketlerinin, özelliklerinin nasıl bulunacağını gösterir. Örnek olarak, eğik

düzlem üzerindeki bir bloğun hareketi verilebilir.

Statik: Cisimlerin durum ve yapılarının bozulmadan kalabilmesi, diğer bir ifadeyle,

dengede olabilmeleri için gerekli koşulları saptar. Denge halindeki bir sistem ya

hareketsizdir ya da sabit bir hızla hareket etmektedir. Bu durumda Newton’un üçüncü

yasasına göre, sistem üzerine etki eden net  kuvvet ve net  tork sıfırdır, tavana iple

tutturulmuş m kütleli basit sarkaç buna örnektir.

Çok iyi bilinen üç temel yasası üzerine kurulan Mekanik; XIX. yüzyılda pek çok

araştırmacının katkılarıyla neredeyse kusursuz bir sistematik yapıya kavuşturulmuştur.

Newton yasaları üzerine kurulan bütün yapı, bugün Klasik Mekanik veya Newton

Mekaniği olarak; XIX. yüzyılda geliştirilen sistematik yapıysa Analitik Mekanik veya

Analitik Dinamik olarak isimlendirilmektedir (Rızaoğlu 2002).

Page 12: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 12/52

 

  2

Newton denklemlerinin vektörel bir yapıda olması toplam kuvvetin bilinmesine

gereksinim duyulması en büyük güçlüktür. Bu nedenle daha yalın skaler büyüklüklerin

kullanıldığı ve kuvvet vektörünün içinde doğrudan yer almadığı, ilke ve yöntemlerin

bulunmasına çalışılmıştır. Bulunan ve zamanla daha da geliştirilen bu ilke ve

yöntemlerin tümü bugün Analitik  Dinamik olarak bilinmektedir. Analitik dinamiğinverdiği sonuçlar Newton denklemlerinin verdiği sonuçların aynısıdır.

Analitik Dinamik; Lagrange ve Hamilton denklemlerinden oluşmaktadır.

Lagrange yöntemi mekaniğin skaler büyüklükler kullanarak yeniden kurulması

açısından önemlidir. Lagrange yöntemi mekanik problemlerin çözümünde başarılıdır,

ancak bu yöntemin en büyük önemi Hamiltonsal yöntemlerin çıkışına yol açmasıdır

(Rızaoğlu 2002).

Lagrange yöntemi mekanik sistemlerin hareket denklemlerinin elde edilmesini

sıradan duruma getirir. Fakat bu denklemlerin çözülmesinde sistematik bir yol

göstermez.

Hamilton yöntemleriyle elde edilen denklemlerin doğrudan çözülebilmeleri

açısından, Lagrange yöntemiyle elde edilen denklemlere herhangi bir üstünlüğü yoktur.

Hamilton denklemlerinin fizikteki önemi, kolay integre edilebilmelerini sağlayan

yöntemlerin geliştirilmesine açık olmaları ve mekaniğin dışında örneğin mikroskopik

cisimlerin arasından sür’atleri ışığın sür’atiyle kıyaslanamayacak kadar küçük olan

cisimlerin davranışlarını açıklayan Kuantum mekaniği alanında da başarıyla

uygulanabilmesidir (Rızaoğlu 2002).

Klasik Mekanik her problemin çözümünde kullanılan bir yöntem olmasa da

günümüzde gökdelenlerden uçaklara kadar pek çok sistemin yıkılmadan,

parçalanmadan kalabilmesi için gerekli koşulların bulunmasında, dünya etrafında

dolanan uyduların yerleştirilmesinde, gezegenlere ve daha ötelere uzay gemilerinin

gönderilmesinde kullanılan bilgiler arasında Klasik Mekaniğin verdiği sonuçlar önemli

bir yer tutar. Bu nedenle Klasik Mekanik hayatımızda önemli bir yere sahiptir. Ayrıca

Klasik Mekanik matematik becerilerimizin ve fiziksel düşünme yeteneğimizin

artmasında da önemli rol oynar (Kibble 1999 ; Rızaoğlu 2002).

Page 13: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 13/52

 

  3

Kuantum mekaniğinde ve klasik mekanikte sıkça rastlanan Hamilton Sistemler,

uygulamalı bilimlerde önemli bir yere sahiptir. Bu konuda literatürde oldukça çok

çalışma yapılmıştır. Son zamanlarda yapılan çalışmalar; Chang ve vd. (1981) Henon-

Heiles Hamilton’unun sonuçlarını kompleks zaman düzleminde araştırmışlardır. Özer

(1994) çarpım-skalası metodunu çeşitli integrallenebilir sistemlerin (KdV, CKdV,integrallenebilir Klein-Gordon denklemleri) integrallenebilir NLS tip denklemlerini

çıkarmak için uygulamış, Henon-Heiles sistemi olarak açıkladığı bu metodun sonlu

boyutlu Hamilton sistemler için uygulanabilir oldugunu göstermiştir. Civelek (1996)

genişletilmiş vektör demetleri üzerinde Lagrange ve Hamilton denklemlerinin düşey ve

tam lift’lerini ele almıştır. De Leon vd. (2001) klasik alan teorilerini göz önünde

bulundurarak simplektik ve kosimplektik manifoldlar üzerindeki Hamilton çatısını

genişletmişlerdir. Tekkoyun (2002) Hamilton denklemlerini lift teoriyi kullanarak

genişletmiş Kahler manifoldlara genelleştirmiştir ve yüksek mertebeden türevleri içeren

Hamilton denklemlerinin geometrik özelliklerini sonuçlarnı vermiştir. Zabzine (2005)

genelleştirilmiş kompleks yapı ile genişletilmiş world-sheet süpersimetrisi arasındaki

ilişkiyi açıklayarak bu analizin sigma modellerinin geniş sınıfının faz uzayı tanımına

dayalı olduğunu belirtmiştir.

Bu çalışmada ise; Tekkoyun’un (2002) temellendirdiği kompleks Lagrange ve

Hamilton denklemlerine özgün uygulamalar verilecektir.

1.2 Lagrange Fonksiyonu ve Denklemleri

Sistemi tanımlamak için yeterli olan birbirinden bağımsız genelleştirilmiş 

koordinatlarınnqqq ,...,, 21 ve bunların zamana göre birinci türevlerinin,

nqqq ,...,, 21  

olduğunu kabul edelim. Sistemin Lagrange fonksiyonu; sistemin T  kinetik enerjisi ile

V  potansiyel enerjisinin farkına eşit olup; V T  L −=   şeklinde gösterilir. Burada

sistemin Lagrange denklemleri ise;

0)( =∂

∂−

ii q

 L

q

 L

dt 

, n,1,2,3,…=i (1.2.1)

olarak verilir (Rızaoğlu 2002).

Bu denklem sistemi kartezyen koordinatlar n x x x ,...,, 21 kullanılarak ifade edilebilir.

Bu durumda (1.2.1) denklemi;

Page 14: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 14/52

 

  4

0)( =∂

∂−

ii x

 L

 x

 L

dt 

, n,1,2,3,…=i (1.2.2)

şeklinde ifade edilebilir.

ii

ii p xm x

 x

 L==∂

∂=∂

∂ ( p =momentum)

ve

i

ii

F  x

 x

 L−=

∂=

∂ 

olmasından iiF  p = yani F  p

=  şeklinde Newton denklemleri elde edilir.

1.3 Hamilton Fonksiyonu ve Denklemleri

Hamilton fonksiyonu;

),,(),,(1

t qq Lq pt  pq H n

i

ii −=∑

=

, n,1,2,3,…=i (1.3.1)

şeklinde tanımlanır (Rızaoğlu 2002).

Bu bağıntının her iki tarafının diferansiyeli alınırsa;

dt t 

 H dp p

 H dqq

 H dH  i

i i

i

i ∂

∂+∂

∂+∂

∂=∑ )(

olmasından

dt t 

 Lqd 

q

 Ldq

q

 Lqdpqd  p

dt t 

 H dp

 p

 H dq

q

 H 

i

i

i

i

i

n

i

iiii

n

i

i

i

i

i

∂−

∂+

∂−+=

∂+

∂+

∑∑

=

=

)()(

)(

1

1

(1.3.2)

elde edilir. Buradai

iq L p∂∂= ifadesi ve (1.2.1) Lagrange hareket denklemi kullanılırsa

(1.3.2) ile verilen denklem aşağıdaki şeklini alır.

Page 15: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 15/52

 

  5

dt t 

 L

dq pdpq

dt t 

 Ldq

q

 L

dt 

d dpq

dt t 

 H dp

 p

 H dq

q

 H 

ii

iii

i

i

i ii

ii

i

i

i

i

i

−−=

∂−

∂−=

∂+

∂+

∑∑

∑∑

)(

)(

(1.3.3)

iq genelleştirilmiş koordinatlarıyla i

 p genelleştirilmiş momentumlarının bağımsız

olarak alındığı anımsanırsa

i

i p

 H q

∂= ,

i

iq

 H  p

∂−= ,

 L

 H 

∂−=

∂, n,1,2,3,…=i (1.3.4)

denklemleri elde edilir. Burada birinci mertebeden 2n-tane diferansiyel denklem vardır.

Bu denklemler ilk defa Hamilton tarafından elde edilmiştir ve Hamilton Denklemleri

olarak bilinirler.

Lagrange ve Hamilton fonksiyonları ile ilgili kıyaslama aşağıdaki gibi yapılabilir.

Tablo 3.1 Lagrange ve Hamilton fonksiyonlarının kıyaslanması

Hamilton Lagrange

Genel Formül ),,(),,( t qq Lq pt  pq H i

ii −=

∑  V T t qq L −=),,(  

Mertebeleri 1.mertebe 2. mertebe

Bağımsız değişken qi koordinatları

 pi momentumları

qi koordinatları

iq hızları

Tanımlandıkları uzay Faz uzayı

(2n-boyutlu soyut uzay)

Konfigürasyon uzayı

(n-boyutlu soyut uzay)

1.4 UygulamalarÖrnek 1.1 Sabit bir kütle-çekim alanında bulunan m kütleli bir cismin üzerine, Şekil

1.1.1 de görüldüğü gibi büyüklüğü 1)( −= α  ρ  ρ  A f  ( 1,0≠α  ) olan ve kuvvet merkezi

orijinde bulunan, bir merkezcil kuvvet alanı etki ediyor. Cismin devamlı aynı düşey

düzlem içinde kaldığını kabul ederek, Lagrange ve Hamilton hareket denklemlerini

bulunuz (Rızaoğlu 2002).

Page 16: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 16/52

 

  6

Şekil 1.1.1 Kütlesi m olan cisim ve üzerine etki eden kuvvetler

Çözüm: Sistemin kinetik enerjisi;

)(2

1)(

2

1 2222 y xmvvmT 

 y x +=+=  

olupϕ  ρ ϕ  ρ  sin,cos == y x ifadelerinde  x ve  y ’nin zamana göre birinci türevleri

sırasıyla;

ϕ ϕ  ρ ϕ  ρ ϕ ϕ  ρ ϕ  ρ  cossin,sincos +=−= y x  

olarak bulunur.

Buradan  x ve  y ’nin karesi alınıp taraf tarafa toplanırsa

ϕ ϕ  ρ ϕ ϕ ϕ  ρ  ρ ϕ  ρ  222222 sincossin2cos +−= x ,

ϕ ϕ  ρ ϕ ϕ ϕ  ρ  ρ ϕ  ρ 222222 coscossin2sin ++= y ,

22222ϕ  ρ  ρ  +=+ y x  

şeklinde hesaplanır. Dolayısıyla sistemin kinetik enerjisi

)(2

1 222 ϕ  ρ  ρ  += mT   

konumuna gelir.

V F  ∇−=

’den ∫−= r d F V 

.  

olur.  ρ  ρ  ρ  ρ α  ˆ,ˆ1 d r d  AF  =−= − olduğundan  ρ  ρ α  d  Ar d F  1. −−=

bulunur.

Buradan α α   ρ α 

 ρ  ρ ∫ =−−= − Ad  AV  1 ve α 

 ρ α 

ϕ  ρ A

mgV top += sin elde edilir.

Bu durumda sistemin Lagrange fonksiyonu;

 y

 x

 f m

ϕ 

 ρ 

Page 17: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 17/52

 

  7

V T  L −= ’den

α  ρ ϕ ϕ  ρ  ρ A

mgm L −−+= sin)(2

1 222  şeklinde olur.

Sistemin Lagrange hareket denklemleri:

1) 0)( =∂

∂−

 ρ  ρ 

 L L

dt 

2) 0)( =

∂−

ϕ ϕ 

 L L

dt 

 

olup bu denklemlerin çözümleri sırasıyla

1) 0sin)22

1()2

2

1( 12 =++− −α  ρ ϕ ϕ  ρ  ρ  Amgmm

dt 

d  , 

0sin12 =++− − ϕ  ρ ϕ  ρ  ρ  α  mg Amm  

ve

2) 0cos)22

1( 2 =− ϕ  ρ ϕ  ρ  mgm

dt 

d   

0cos)( 2 =− ϕ  ρ ϕ  ρ  mgmdt 

d   

olur.

Sistemin Hamilton fonksiyonunun elde edilebilmesi için  ρ  ve ϕ  ye bağlımomentumlar;

 ρ  ρ  ρ 

 ρ 

mm

 L p ==

∂= 2

2

1, ϕ  ρ ϕ  ρ 

ϕ ϕ 

22 22

1mm

 L p ==

∂=  

şeklinde olur. Sistemin  L p p H  −+= ϕ  ρ  ϕ  ρ  Hamilton fonksiyonu;

α  ρ α 

ϕ  ρ ϕ  ρ  ρ ϕ  ρ  ρ A

mgmmm H  +++−+= sin)(2

1 222222  

α  ρ α 

ϕ  ρ ϕ  ρ  ρ  A

mgmm

+++= sin22

222

 

şeklinde elde edilir. Diğer taraftan  ρ  ve ϕ  çekilip Hamilton fonksiyonunda yerine

yazılırsa;

Page 18: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 18/52

 

  8

ϕ  ρ  ρ  ϕ  ρ 

2, m pm p == ’dan2

, ρ 

ϕ  ρ ϕ  ρ 

m

 p

m

 p== olur. Bu denklemler sistemin

 L p p H  −+= ϕ  ρ  ϕ  ρ  Hamilton fonksiyonunda yerine yazılırsa

ϕ  ρ  ρ α  ρ 

 ρ 

 ρ 

α ϕ  ρ ϕ 

ϕ 

 ρ 

 ρ  sin)(2

1

. 42

22

2

2

2 mg

 A

m

 p

m

 p

mm

 p

 pm

 p

 p H  +++−+=  

ϕ  ρ  ρ α  ρ  ρ 

α  ρ  ρ ϕ  ρ sin

22. 2

22

2

22

mg A

m

 p

m

 p

m

 p

m

 p++−−+=  

ϕ  ρ  ρ α  ρ 

α ϕ  ρ sin

22 2

22

mg A

m

 p

m

 p+++=  

olarak bulunur.

Hamilton denklemleri de

1) ρ 

 ρ  p

 H 

∂= ,

 ρ  ρ 

∂−=

H  p  

m

 p

m

 p  ρ  ρ  ρ  ==

2

2  

]sin2

2[ 12

ϕ αρ α 

ϕ  ρ  α 

 ρ  mg Am

 p ++−= −  

]sin[ 12 ϕ  ρ ϕ  ρ  α  mg Am ++−= −  

]sin[ 1

42

2

ϕ  ρ  ρ 

 ρ α ϕ 

mg Am

Pm ++−= −  

ϕ  ρ  ρ 

α ϕ sin1

3

2

mg Am

 p−−−= −  

2)ϕ 

ϕ  p

 H 

∂= , ϕ 

ϕ ∂∂−=H 

 p ’dan 

222

.2

 ρ  ρ ϕ 

ϕ ϕ 

m

 p

m

 p== ve

ϕ ϕ  ρ ϕ ϕ  ρ ϕ  cos)cos( mgmg p −=−=  

şeklinde elde edilir. 

Page 19: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 19/52

 

  9

Örnek 1.2 Şekil 1.2.1’de görülen ve bağlantı noktası yukarıya doğru sabit bir a ivmesi

ile hareket eden; bir basit sarkacın küçük salınımlarının Lagrange ve Hamilton

fonksiyonlarını yazıp hareket denklemlerini çıkarınız (Rızaoğlu 2002):

Şekil 1.2.1 Bağlantı noktası yukarıya doğru sabit bir a ivmesi ile hareket eden basit

sarkaç

Çözüm: Herhangi bir t  anında sarkacın bağlantı noktasının orijinden η  kadar ötede

olduğunu varsayalım. Buna göre sarkacın ucundaki m kütleli noktasal cismin  x ve  y  

koordinatları sırasıyla ,

θ sin= x , η θ −= cos y  

olur. Buradan cismin kinetik enerjisi;

)(2

1 22 y xmT  += ’den, θ θ cos = x   θ θ 

2222 cos = x  

η θ θ  −−= sin y   η θ θ η θ θ η θ θ  sin2sin)sin( 222222 ++=−−= y  

)sin2sincos(2

1 2222222

η θ θ η θ θ θ θ 

+++= mT   

)sin2(2

1 222θ η θ η θ  ++= m (1.4.1)

ve potansiyel enerjisi de  x -ekseni boyunca

0=V  kabul edildiğinde

 y

 x

θ 

η 

η θ −cos

θ cos

m

θ sin

Page 20: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 20/52

 

  10

)cos( η θ −−= mgV   

olarak bulunur. O halde sarkacın V T  L −= Lagrange fonksiyonu

)cos()sin2(2

1 222 η θ θ η θ η θ  −+++= mgm L .

Buradan 0)( =∂

∂−

θ θ 

 L L

dt 

Lagrange’ın θ’ya bağlı hareket denklemi

0sincos22

1)sin2

2

12

2

1( 222 =+−+ θ θ θ θ η θ η θ  mgmmm

dt 

d  

0sincos)sin( 222 =+−+ θ θ θ θ η θ η θ  mgmmmdt 

d  

olarak elde edilir.

0)( =∂

∂−

η η 

 L L

dt 

Lagrange’ın η’ye bağlı hareket denklemi

0)sin22

1.2

2

1( =++ mgmm

dt 

d θ θ η   

0)sin( =++ mgmmdt 

d θ θ η   

bulunur.

Sarkacın  L p p H  −+= η θ  η θ  Hamilton fonksiyonunu yazabilmek için θ ve η’ye bağlı

momentumları,

θ η θ θ η θ θ 

θ  sinsin22

12

2

1 22

mmmm

 L p +=+=

∂=  

ve

θ θ η θ θ η η η  sinsin22

1

22

1 mmmm

 L

 p +=+=∂

=  

olmak üzere

)cos()sin2(2

1sinsin 222222 η θ θ θ η η θ θ θ η η θ η θ θ  −−++−+++= mgmmmmm H 

 elde edilir ve gerekli işlemler yapılırsa,

Page 21: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 21/52

 

  11

η θ θ θ η η θ 

mgmgmmm

 H  +−++= cossin22

222

(1.4.2)

bulunur.

θ η θ θ  sin2

mm p += ’dan 2

sin

m

m p θ η θ 

θ  −= (1.4.3)

ve

θ θ η η  sin mm p += danm

m p θ θ η 

η  sin

−= (1.4.4)

elde edilir.

(1.4.3) ve (1.4.4) eşitlikleri (1.4.2) ile verilen Hamilton fonksiyonunda yerine yazılırsa;

η θ θ θ η θ θ 

θ θ θ η 

θ η 

η θ 

mgmgm

m p

m

m pm

m

m pm

m

m pm

 H 

+−−−

+

+

=

cossinsinsin

2

)sin

(

2

)sin

(

2

222

2.

 

m

m p

m

m p H 

2

)sin(

2

)sin(2

2

2 θ θ θ η  η θ 

−+

−=

η θ θ 

θ η 

θ θ θ 

η  mgmgm

m p

m p +−

−+ cossin

)sin(

)sin(

(1.4.5)

bulunur. Dolayısıyla (1.4.5) ile verilen fonksiyona ait yukarıdaki Hamilton denklemleri

aşağıdaki gibidir.

1)η 

η P

 H 

∂= ve

η η 

∂−=

H  p den

θ θ η θ θ 

η θ η 

sinsin

2

sin22

m

m p

m

m p −+

= ,

θ θ η θ θ 

θ η  sinsinsin

m

m p

m

m p −+

−=  

ve

mg p −=η   

Page 22: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 22/52

 

  12

bulunur.

2)θ 

θ  p

 H 

∂= ve

θ θ 

∂−=

H  p dan

m

m p

m

m p θ θ θ θ η θ 

η θ sin)sin(sin

2

−+

−=  

ve

θ θ θ θ η 

θ θ θ θ η θ 

sincos

)sincos(2

2

mgm

mgm p

−−=

+−= 

şeklinde elde edilir.

Örnek 1.3 Şekil 1.3.1 de m kütleli noktasal bir cisim başlangıçta, sürtünmesiz yatay bir

düzlemin bir ucunda durmaktadır. Düzlemin cismin durduğu ucu sabit bir α  sür’atiyle

(burada süratten kasıt θ  açısının birim zaman aralığındaki değişme miktarıdır) yukarıya

kaldırılıyor. Düzlemin herhangi bir anda yatayla yaptığı açıyı  θ  ile gösterelim. Cismin

Lagrange ve Hamilton fonksiyonlarını yazıp denklemlerini belirleyiniz.(Rızaoğlu 2002).

Şekil 1.3.1 Eğik düzlemin yatayla θ açısını yaptığı an θ  açısı sabit bir sür’atle

artırılıyor.

Çözüm: Cismin herhangi bir t anında eğik düzlem boyunca orijinden olan uzaklığını

r(t) ile gösterelim. Hem r hem de θ  zamanla değiştiğine göre, cismin kinetik enerjisi

)(2

1)(

2

1

2

1 2222222 α θ  r r mr r mmvT  +=+== .

Düzlemin ilk konumunun belirlediği yatay düzlemde kütle-çekim potansiyel enerjisi

sıfır alındığında, cismin potansiyel enerjisi

θ  0

)(t r 

Page 23: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 23/52

 

  13

)sin( t mgr V =  

yazılır. Buna göre cismin Lagrange fonksiyonu;

V T  L −= den )sin()(2

1 222 t mgr r r m L α α  −+=  

olur. Buradan Lagrange hareket denklemleri sırasıyla

1) 0)( =∂

∂−

 L

 L

dt 

dan

0)sin(22

1)2

2

1( 2 =+− t mgr mr m

dt 

d α α   

olup gerekli işlemler yapılırsa

0)sin()( 2 =+− t mgmr r mdt d  α α  ,

bulunur ve buradan da

0)sin(2 =+− t mgmr r m α α   

veya

)sin(2 t gr r  α α  −=−  

olarak elde edilir. Elde edilen denklem ikinci mertebeden sabit katsayılı homojen

olmayan bir diferansiyel denklemdir. Öncelikle homojen kısmın çözümü

02 =− α r r  ’dan

022 =−α  D  

ya da

±= D ve dolayısıyla

t t 

h Be Aer α α  += −  

elde edilir.

=)cosh(2 t  t t  eeα α  −+ ve t t  eet  α α α  −−=)sinh(2 ifadelerinden

)sinh()cosh( t t e t  α α α  += ve )sinh()cosh( t t e t  α α α  −=− eşitlikleri elde edilir.

0))sinh()(cosh())sinh()(cosh( =++− t t  Bt t  A α   

olup

Page 24: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 24/52

 

  14

0)sinh()()cosh()( =−++ t  B At  B A α  elde edilir.

Buradan,

A+B=C ve A-B=D denilirse homojen çözüm

)sinh()cosh( t  Dt C r h

+=  

şeklinde elde edilir. Özel çözüm ise

)sin()cos( 21 t ct cr  p α  +=  

)cos()sin( 21 t ct cr  p α +−=  

)sin()cos( 22

12 t ct cr 

 p α α α α  −−=  

elde edilir. Dolayısıyla

)sin(2 t gr r  p p

α α  −=−  

olup buradan

)sin())sin()cos(()sin()cos( 212

22

12 t gt ct ct ct c α α α α α α α α  −=+−−−  

)sin())sin()cos((2 212 t gt ct c α α α α  −=+−  

elde edilir.

02 1

2

=− cα  ve gc −=− 2

2

2α  dan 01 =c ve 22 2α 

g

c = olarak bulunur.

O halde )sin(2 2

t g

r  p α α 

= olup genel çözüm

)sin(2

)sinh()cosh()(2

t g

t  Dt C t r  α α α  ++=  

şeklinde elde edilir.

0=t  anında cismin O noktasına olan uzaklığı 0r  ile gösterilirse, cisim durduğuna göre

0=o

v olur. Bu başlangıç koşullarına göre genel çözüm, 0r C = ve 0=t  için

)cos(2

)cosh()sinh()(2

t g

t  Dt C t r  α α 

α α α α α  ++=  

ve

0)0( 0 ==V r   

Page 25: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 25/52

 

  15

olup buradan

)0cos(2

)0cosh()0sinh(0 α α g

 DC  ++=  

elde edilir.

α α 

20

g D += den

22α 

g D −= olur.

O halde cismin herhangi bir t anında eğik düzlem boyunca orijinden olan uzaklığı

)sin(2

)sinh(2

)cosh(220 t 

gt 

gt r r  α 

α α α  +−=  

olarak bulunur.

Sistemin  Lr  p H r 

−= Hamilton fonksiyonu

r mr mr 

 L p

==

∂= )2(

2

1’den

)sin()(2

1 2222 t mgr r r mr m H  α α  ++−=  

şeklinde bulunur. Sistemin Hamilton fonksiyonu momentuma bağlı yazılırsa r m pr =  

dan r  çekilip Hamilton fonksiyonunda yerine konursa

)sin()(2

1 22

2

2

2

2

t mgr r m

 pm

m

 pm H  r r  α α  ++−=  

veya

)sin(22

2222

t mgr mr 

m

 p

m

 p H  r r  α 

α +−−=  

veya

)sin(

22

222

t mgr mr 

m

 p H  r  α 

α +−=  

olarak bulunur.

Hamilton denklemi

r P

 H r 

∂= ve

 H  pr 

∂−= olup

Page 26: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 26/52

 

  16

m

 p

m

 pr  r r  ==

2

2  

ve

)sin(

))sin((

))sin()2(2

1(

2

2

2

t mgmr 

t mgmr 

t mgr m pr 

α α 

α α 

α α 

−=

+−−=

+−−=

 

elde edilir.

Örnek 1.4 Yay sabiti k , boyu 0 olan ve kütlesiz kabul edilebilen bir yay Şekil 1.4.1’de

görüldüğü gibi, bir ucundan tavana asılmış ve öteki ucuna da kütlesi m olan küçük bir

top takılmıştır. Küçük top hem yayın ucunda düşey düzlem içinde salınmakta ve hem de

denge konumu etrafında titreşmektedir. Cismin Lagrange ve Hamilton denklemlerini

yazınız (Rızaoğlu 2002).

Şekil 1.4.1 Bir yayın ucuna m kütleli küçük bir top asılarak oluşturulan sarkaç. Küçük

topun hareketi sırasında hem θ  hem de değişir.

Çözüm: Cismin salınması sırasında, yayın herhangi bir t  anında düşey doğrultuyla

yaptığı açı θ  olsun. Cismin denge durumu etrafında aşağı yukarı titreşmesi sırasında

yayın t anındaki boyunu ile gösterelim. Koordinat sisteminin orijini olarak yayın askı

noktasını alalım. m kütlesinin konumunu belirlemek için en uygun koordinatlar kutupsal

koordinatlardır. Cismin 2

2

1vmT 

= kinetik enerjisi hesaplanırsa;

)(2

1 22 y xmT  +=  

olur.

θ 

m

Page 27: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 27/52

 

  17

θ θ  cos,sin == y x  

olup bu koordinatların zamana göre birinci türevleri;

θ θ θ  sincos += x , θ θ θ  cossin +−= y  

dır.θ θ θ θ θ θ  222222 sinsincos2cos ++= x  

θ θ θ θ θ θ  222222 cossincos2sin +−= y  

olup verilen eşitlikleri taraf tarafa toplanıp formülde yerine yazılırsa;

22222 +=+ θ  y x den

)(2

1 222 += θ mT   

olarak bulunur. Sistemin, hem yerin sabit kütle-çekim alanında bulunması hem de yayın

titreşmesi sırasında gerilmesi veya sıkışması nedeniyle, iki potansiyel enerjisi vardır.

Yerin kütle-çekim potansiyelini orijinin bulunduğu düzeyde sıfır kabul edelim. Sistemin

toplam potansiyel enerjisi

20 )(

2

1cos −+−= k mgV  θ  ,

Buna göre sistemin V T  L −= Lagrange fonksiyonu

20

222 )(21cos)(

21 −−++= k mgm L θ θ   

olur. Buradan sistemin titreşim ve salınım hareket denklemleri olan Lagrange

denklemleri yazılırsa;

1) 0)( =∂

∂−

 L L

dt 

d dan

,0))22(

2

1cos2

2

1()2

2

1( 0

2 =−−+− k mgmm

dt 

d θ θ   

0)cos()( 02 =+−+− k k mgmm

dt 

d θ θ  ,

,0cos 02 =−+−− k k mgmm θ θ   

Page 28: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 28/52

 

  18

0)(cos 02 =−+−−

m

k g θ θ  ,

bulunur.

2) 0)( =∂

∂−

θ θ 

 L L

dt 

dan

0)sin()22

1( 2 =−− θ θ  mgm

dt 

d ,

0sin)( 2 =+ θ θ  mgmdt 

d ,

0sin2

222

2

=++

m

mg

m

m

m

m θ θ θ ,

0sin1

2 =++ θ θ θ 

g ,

elde edilir.

Sistemin  L p p H  −+=

θ θ  Hamilton fonksiyonunun elde edilmesi için

θ θ 

θ θ 

22 2

2

1mm

 L p ==

∂=  

mm L

 p ==∂

∂= 2

2

olup Hamilton fonksiyonu

20

222222 )(2

1cos

2

1

2

1 −+−−−+= k mgmmmm H  θ θ θ  ,

20

222 )(

2

1cos

22

−+−+= k mgmm

 H  θ θ  (1.4.6)

olarak hesaplanır.

Sistemin Hamilton fonksiyonunu momentumlar cinsinden yazmak için θ  ve çekilirse

θ θ 

2m p = dan2

m

 pθ θ  = (1.4.7)

ve

Page 29: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 29/52

 

  19

m p = denm

 p

= , (1.4.8)

olur. (1.4.7) ve (1.4.8) eşitlikleri; (1.4.6) ile verilen Hamilton fonksiyonunda yerine

yazılırsa

202

2

42

22 )(

2

1cos

22

−+−+= k mg

m

 pm

m

 pm H  θ θ  veya

20

2

2

2

)(2

1cos

22

−+−+= k mgm

 p

m

 p H  θ θ   

olarak bulunur.

Buradan Hamilton denklemleri

1)θ 

θ  p H ∂∂= ,

θ θ 

∂∂−= H  p dan

222

2

m

 p

m

 p θ θ θ  == ,

θ θ θ  sin mg p −= elde edilir.

2)

 p

 H 

∂= ,

∂−=

H  p den

m

 p

m

 p

==2

2,

02

02 cos2

2

12

2

1cos2

2

k k mgmk k mg

m p +−+−=+−+−= θ θ θ θ   

bulunur.

Örnek 1.5 Boyu olan bir ipin bir ucu  R yarıçapında ve sabit bir şekilde tavana

tutturulmuş bir diskin en uç noktasına bağlanmıştır. Cismin öteki ucuna kütlesi m olan

küçük bir top takılarak Şekil 1.5.1’de gösterilen bir sarkaç yapılmıştır. Sarkacın küçük

salınımlarının Lagrange ve Hamilton hareket denklemlerini bulunuz (Rızaoğlu 2002).

Page 30: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 30/52

 

  20

Şekil 1.5.1 Askı ipi sabit bir şekilde tavana tutturulmuş, diskin en üst noktasına

bağlanan sarkacın salınması sırasında farklı anlardaki görünümü

Çözüm: Sarkacın salınması sırasında ip diske dolanacak ve boyu değişecektir. Sarkacın

herhangi bir anında salınma açısı ϕ  kabul edilsin. Şekil 1.5.1 de görüldüğü gibi, ipin

diske teğet olduğu noktayı diskin merkezine birleştiren yarıçapın yatay doğrultuyla

yaptığı açı da ϕ  olur. Bu anda sarkaç ipinin boyu )

2

( ϕ π −− R uzunluğuna eşittir.

( ϕ −90 dilimlik yayın uzunluğu; )2

()90(360

902 ϕ 

π ϕ 

ϕ π  −=−=

− R R R olup ipin boyu  

idi. O halde sarkaç ipinin boyu )2

( ϕ π −− R olur) Buna göre m kütlesinin koordinatları;

ϕ ϕ π 

ϕ  sin))2

((cos −−+= R R x  

ϕ ϕ π 

ϕ  cos))2

((sin −−+−= R R y .

Buradan bu koordinatlar yardımıyla hızı elde etmek için zamana göre birinci türevleri

alınırsa

ϕ ϕ ϕ π 

ϕ ϕ ϕ π 

ϕ ϕ  cos))2

((cos))2

((sinsin −−=−−++−= R R R R x ,

ϕ ϕ ϕ π 

ϕ ϕ  cos))2

((sinsin −−++−= R R R x  

ϕ 

m

 y

ϕ sin R ϕ 

cos R ϕ 

sin R R ϕ −

 x

 R

Page 31: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 31/52

 

  21

ϕ ϕ ϕ π  2222 cos))2

(( −−= R x ,

ϕ ϕ ϕ π 

ϕ ϕ ϕ π 

ϕ ϕ  sin))2

((sin))2

((coscos −−−=−−−+−= R R R R y  

ϕ ϕ ϕ π  2222 sin)}2

(( −−= R y  

olup buradan sistemin )(2

1 22  y xT  += kinetik enerjisi

22))2

((2

1ϕ ϕ 

π  −−= RmT  dir.

x-ekseninin belirlediği düzeyde kütle-çekim potansiyel enerjisi sıfır seçilirse, sarkacın

potansiyel enerjisi

)sincos))2

((( ϕ ϕ ϕ π   R RmgV  −−−−=  

olup sistemin V T  L −= Lagrange fonksiyonu,

)sincos))2

((())2

((2

1 22 ϕ ϕ ϕ π 

ϕ ϕ π 

 R Rmg Rm L −−−+−−=  

olarak elde edilir.

Sistemin Lagrange denklemi

0)( =∂∂−

∂∂

ϕ ϕ 

 L L

dt 

dan

ϕ ϕ π 

ϕ ϕ π 

ϕ 

22 ))2

((2))2

((2

1−−=−−=

∂ Rm Rm

 L,

)coscossin))2

((())2

((22

1 2ϕ ϕ ϕ ϕ 

π ϕ ϕ 

π 

ϕ  R R Rmg R Rm

 L−+−−−+−−=

∂ ,

ϕ ϕ 

π 

ϕ ϕ 

π 

ϕ  sin))2(())2((

2

−−−−−=∂

 Rmg R Rm

 L

 

0sin))2

(())2

(()))2

((( 22 =−−+−−−−− ϕ ϕ π 

ϕ ϕ π 

ϕ ϕ π 

 Rlmg R Rm Rmdt 

d   

Page 32: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 32/52

 

  22

ϕ ϕ π 

ϕ ϕ π 

ϕ ϕ π 

ϕ ϕ π 

sin))2

(())2

(())2

(()2

(2 222 −−+−−−−−++− Rmg R Rm Rm R R Rm

 

0

))2((

sin))2

((

))2((

))2

((

))2((

))2

((

22

2

2

2

=

−−

−−+

−−

−−+

−−

−−

ϕ π 

ϕ ϕ π 

ϕ π 

ϕ ϕ π 

ϕ π 

ϕ ϕ π 

 Rm

 Rmg

 Rm

 Rm

 Rm

 R Rm

 

0sin))

2(())

2((

2 =

−−

+

−−

+ ϕ 

ϕ π 

ϕ 

ϕ π 

ϕ 

 R

g

 R

 R

olur.

Sistemin  L p H  −= ϕ ϕ  Hamilton fonksiyonu ve denklemi

ϕ ϕ 

π 

ϕ ϕ 

π 

ϕ ϕ 

22

))2(())2((22

1

−−=−−=∂

= Rm Rm

 L

 p (1.4.9)

olup sistemin Hamilton fonksiyonu

)sincos))2

((())2

((2

1))

2(( 2222

ϕ ϕ ϕ π 

ϕ ϕ π 

ϕ ϕ π 

 R Rmg Rm Rm H  −−−−−−−−−= ,

ϕ ϕ ϕ π 

ϕ ϕ π 

sincos))2

(())2

((2

22mgR Rmg R

m H  +−−−−−= (1.4.10)

elde edilir.

Sistemin Hamilton fonksiyonu momentumlar cinsinden yazılmak istenirse (1.4.9)

denklemlerinden;

ϕ ϕ π 

ϕ 

2))2

(( −−= Rm p  

olup ϕ  yalnız bırakılırsa

2))

2

(( ϕ π 

ϕ ϕ 

−−

=

 Rm

 p

olup (1.4.10) Hamilton fonksiyonu;

ϕ ϕ ϕ π 

ϕ π 

ϕ π  ϕ  sincos))

2((

))2

(())

2((

2 42

2mgR Rmg

 Rm

 p R

m H  +−−−

−−

−−=

,

Page 33: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 33/52

 

  23

ϕ ϕ ϕ π 

ϕ π 

ϕ sincos))

2((

))2

((2 2

2

mgR Rmg

 Rm

 p H  +−−−

−−

=

(1.4.11)

elde edilir.

(1.4.11) Hamilton fonksiyonundan yararlanarak Hamilton denklemi yazılmak istenirse;

22 ))2

(())2

((2

2

ϕ π 

ϕ π 

ϕ ϕ ϕ 

ϕ  −−

=

−−

=∂

∂=

 Rm

 p

 Rm

 p

 p

 H 

 

ve

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π 

ϕ 

ϕ π 

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π ϕ 

ϕ π 

ϕ π 

ϕ 

ϕ 

ϕ 

ϕ 

cossin))2

((cos))

2((

cossin))2

((cos))

2((4

))

2

((22

3

2

42

2

mgR RmgmgR

 Rm

 R p

mgR RmgmgR

 Rm

 R Rm p

 H  p

+−−+−

−−

−=

+−−+−−−

−−

−=

∂−=

 

elde edilir

Örnek 1.6 Şekil 1.6.1 deki yarıçapı R ve kütlesi M olan bir disk, eğim açısı olan bir

eğik düzlem üzerinde kaymadan yuvarlanmaktadır. Diskin merkezine yerleştirilmiş ufak

bir çivi üzerine bir sarkaç bağlanmıştır. Sarkaç ipi, sarkacın salınması sırasında

bağlanmış olduğu çiviye dolanmıyor. Sarkaç ipinin boyu  R< ve ucundaki kütlede

m olsun. Sarkacın disk düzleminde serbestçe salındığını varsayarak sistemin Lagrange

ve Hamilton denklemlerini çıkarınız (Rızaoğlu 2002).

Page 34: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 34/52

 

  24

Şekil 1.6.1 Eğik düzlem üzerinde yuvarlanan diskin merkezine asılmış basit sarkaç.

Sarkaç ipinin boyu hareket süresince değişmiyor.

Çözüm: Koordinat sistemi şekilde gösterildiği gibi seçilsin. Diskin yuvarlanmasını

belirleyen açı θ  olsun ve disk eğik düzlemin en üst noktasından harekete başlasın. Disk

eğik düzlem boyunca kaymadan yuvarlandığına göre, herhangi bir t anında eğik düzlem

boyunca θ  R kadar yol almış olacaktır. Diskin kütle merkezinin  X  ve Y  koordinatlarışekilden kolaylıkla görülebildiği gibi;

α θ  sincos R R X  += ve θ  cossin R RhY  +−= .

Sarkacın düşey doğrultuda yaptığı salınma açısını ϕ  ile gösterildiğinde, sarkaç

kütlesinin koordinatları;

ϕ sin+= X  x ve ϕ cos−= Y  y olur.

Sistemin kinetik enerjisi yazılmak istenirse;

22222

)(4

1

)(2

1

)(2

1

θ 

R M Y  X  M  y xmT  ++++=  

Burada 2

2

1 MR ; M kütleli diskin eylemsizlik momentidir.

α θ  cos R X  = ve α θ  2222 cos R X  =  

α θ  sin RY  −= ve α θ  2222 sin RY  =  

olup buradan

α m

 y

ϕ cos R α 

sin Rθ ϕ 

 x

α 

α 

sin R α cos Rθ α 

 Rθ 

 M 

 R

h-Rθ sinα  

h

Page 35: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 35/52

 

  25

2222222222 sincos R R RY  X  θ α θ α θ  =+=+  

elde edilir.

ϕ ϕ α θ  coscos += R x  

veϕ ϕ ϕ α ϕ θ α θ  2222222 coscoscos2cos ++= R R x  

α ϕ α θ  sinsin +−= R y  

ve

ϕ ϕ ϕ α ϕ θ α θ  2222222 sinsinsin2sin +−= R R y  

ϕ ϕ ϕ α ϕ θ 

α θ ϕ ϕ ϕ α ϕ θ α θ 

222

22222222222

sinsinsin2

sincoscoscos2cos

+−

+++=+

 R

 R R R y x 

2222

222222

)cos(2

)sinsincos(cos2

ϕ ϕ α ϕ θ θ 

ϕ ϕ α ϕ α ϕ θ θ 

+++=

+−+=+

 R R

 R R y x 

olup sistemin kinetik enerjisi

22222222

4

1

2

1))cos(2(

2

1θ θ ϕ ϕ α ϕ θ θ   MR R M  R RmT  +++++=  

bulunur. Sistemin potansiyel enerjisi

)coscossin()cossin( ϕ α θ α α θ  −+−++−= R Rhmg R Rh MgV   

ϕ α θ  cos)cossin()( mg R Rhgm M  −+−+=  

olup V T  L −= Lagrange fonksiyonu;

)coscossin()cossin(4

1

2

1))cos(2(

2

1 22222222

ϕ α α θ α α θ 

θ θ ϕ ϕ α ϕ θ θ 

−+−−+−−

+++++=

 R Rhmg R Rh Mg

 MR R M  R Rm L 

elde edilir. Buradan diskin θ  koordinatına göre olan Lagrange denklemi;

0)( =∂

∂−

θ θ 

 L L

dt 

dan

0sin)()2

1)cos(( 2222 =+−+++++ α θ θ θ ϕ α ϕ θ  gRm M  R M  R M mmR Rm

dt 

d  ,

Page 36: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 36/52

 

  26

,0sin)(2

1

)sin()cos(

2

2222

=+−+

+++−++

α θ 

θ θ ϕ α ϕ ϕ α ϕ θ 

gRm M  R M 

 R M mmRmR Rm

 

0sin)()sin()cos()2

3

(

22

=+−+−+++ α ϕ α ϕ ϕ ϕ α θ  g M mmRmR R M m

 

olarak hesaplanır. Sarkacın ϕ  koordinatına göre olan Lagrange denklemi de;

0)( =∂

∂−

ϕ ϕ 

 L L

dt 

dan

0)sin())cos(22

12

2

1( 2 =−−++ ϕ ϕ α θ ϕ  mg Rmm

dt 

d  

0sin)sin()cos(2 =++−++ ϕ ϕ α ϕ θ ϕ α θ ϕ  mgmRmRm  

olarak bulunur. Sistemin  L p p H  −+= ϕ θ  ϕ θ  Hamilton fonksiyonunu bulmak için;

θ θ  ∂

∂=

L p ,

ϕ ϕ 

∂=

L p dan

θ θ ϕ α ϕ θ 

θ θ ϕ α ϕ θ θ 

222

222

2

1)cos(

24

12

2

1)cos(2

2

12

2

1

 MR R M mR Rm

 MR R M  Rm Rm p

++++=

++++=

22

2

3)cos( R M mR Rm θ ϕ α ϕ θ  +++= (1.4.12)

ϕ ϕ α θ ϕ  2

2

1)cos(2

2

1 2m Rm p ++=  

ϕ ϕ α θ  2)cos( mmR ++= (1.4.13)

olup sistemin Hamilton fonksiyonu

)coscossin()cossin(

4

1

2

1])cos(2[

2

1

))cos(()2

3)cos((

22222222

222

ϕ α α θ α α θ 

θ θ ϕ ϕ α ϕ θ θ 

ϕ ϕ ϕ α θ θ θ ϕ α ϕ θ 

−+−++−+

−−+++−

++++++=

 R Rhmg R Rh Mg

 MR R M  R Rm

mmR R M mR Rm H 

 

olup fonksiyonunda gerekli sadeleştirmeler yapılırsa

222222

2)cos(

4

3

2θ ϕ α ϕ θ θ θ  m

mR R M  Rm

 H  ++++=

)coscossin()cossin( ϕ α α θ α θ  −+−++−+ R Rhmg R Rh Mg (1.4.14)

olarak bulunur.

Page 37: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 37/52

 

  27

Sistemin Hamilton fonksiyonu momentumlar cinsinden yazılmak istenirse (1.4.12) ve

(1.4.13) denklemlerinden θ  veϕ  çekilip (1.4.14) Hamilton fonksiyonunda yerine

yazılırsa,

22

23

)cos(

 MRmR

mR p

+

+−=

ϕ ϕ θ  θ 

,

2)cos(

mmR

 p

++=

ϕ α ϕ 

ϕ ,

22

22

22

22

)

2

3

)cos((

4

3)

2

3

)cos((

2R

 MRmR

mR p M  R

 MRmR

mR pm H 

+

+−+

+

+−=

ϕ ϕ ϕ ϕ  θ θ 

 

)coscossin(

)cossin())cos((2

)cos()cos(

2

3)cos(

22

22

222

ϕ α α θ 

α α θ ϕ α 

ϕ α ϕ α 

ϕ α ϕ 

ϕ 

ϕ θ 

−+−+

+−+++

+

+++

+

+−+

 R Rhmg

 R Rh MgmmR

 pm

mmR

 p

 MRmR

mR pmR

 

olup sadeleşmiş şekli

)coscossin(

)cossin())cos((2

)cos()cos()

2

3(

)cos(

)23(

))cos((

4

3

)23(

))cos((

2

2

2

22

2

22

2

ϕ α α θ 

α α θ ϕ α 

ϕ α ϕ α 

ϕ α ϕ 

ϕ α ϕ ϕ α ϕ 

ϕ 

ϕ θ 

θ θ 

−+−+

+−+++

+

+++

+

+−+

+

+−+

+

+−=

 R Rhmg

 R Rh Mg R

 p

l Rl

 p

 M m R

mR p

 M m R

mR p M 

 M m R

mR pm H 

 

olarak bulunur.

Buradan Hamilton denklemlerini

1)θ 

θ  p

 H 

∂= ,

θ θ 

∂−=

H  p  

ve

Page 38: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 38/52

 

  28

2)ϕ 

ϕ  p

 H 

∂= ,

ϕ ϕ 

∂−=

H  p  

olup aşağıdaki gibi hesaplanır.

1)

)23()

23(

))cos((2

4

3

)23(

))cos((2

2 2222  M m R M m R

mR p M 

 M m R

mR pm

+

+

+

+−+

+

+−=

ϕ α ϕ ϕ ϕ θ  θ θ   

)2

3()

2

3(

))cos((2

2

3

)2

3(

))cos((

2222 M m R M m R

mR p M 

 M m R

mR pm

+

+

+

+−+

+

+−=

ϕ ϕ ϕ α ϕ  θ θ  ,

α α α θ 

sin)()sinsin( gRm M mgR MgR p +=−−−= ,

2)

))cos((2

2

2)cos(

)cos(2

++

+

++

+=

ϕ α ϕ α 

ϕ α ϕ 

ϕ 

 R

 p

 R

 

))cos((2)cos(

)cos(2

+++

++

+=

ϕ α ϕ α 

ϕ α  ϕ 

 R

 p

 R 

))sin()cossinsincos(( ϕ ϕ ϕ α ϕ ϕ α ϕ ϕ θ ϕ  mgmRP −−−−= .

Sonuç 1.5 Bu bölümde; reel Lagrange ve Hamilton sistemleri tanımlanarak değişik

örneklerle altı beslendi. Gelecek bölümde ise kompleks Hamilton sistemler

irdelenecektir.

Page 39: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 39/52

 

  29

2 KOMPLEKS HAMILTON SSTEMLER

Bu bölümde, reel uzayda yapılan Lagrange ve Hamilton sistemler ile ilgili bazı

çalışmaların kompleks versiyonları Mapple bilgisayar programı yardımıyla elde

edilecektir. Kompleks kinetik ve potansiyel enerji, kompleks Lagrange ve Hamilton

fonksiyonları verilerek kompleks Lagrange ve Hamilton denklemleri ifade edilecektir.

Tanım 2.1: 2 n -reel boyutlu bir M manifoldu üzerinde kompleks koordinatlar ( ii z z , ),

ni ≤≤1 ve im , M manifoldu üzerinde m parçacıklı bir sistemin kütlesi olmak üzere

22 )(2

1)(

2

1 i

i

i

i zm zmT  ==  

ile verilen

C  M T  →:  

dönüşümüne sistemin kinetik enerjisi denir (Tekkoyun 2002).

Tanım 2.2: 2 n -reel boyutlu bir M manifoldu üzerinde kompleks koordinatlar ( ii  z z , ),

ni ≤≤1 ve im , M manifoldu üzerinde m parçacıklı bir sistemin kütlesi g , yerçekimiivmesi ve h , sistemin orijine olan uzaklığı olmak üzere

ghmV i

=  

ile verilen

C  M V  →:  

dönüşümüne sistemin potansiyel enerjisi denir (Tekkoyun 2002).

Sistemin kompleks anlamdaki Lagrange fonksiyonu;

ghm zm

V T  L

i

i

i−=

−=

2)(2

1  

Hamilton fonksiyonu

Page 40: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 40/52

 

  30

),,(),,( t  z z L z zt  z z H  iii

ii

i −=  

olup denklemleri sırasıyla

 z

 L

 z

 L

t i L

∂=

∂= )(1 ,

 z

 L

 z

 L

t i L

∂−=

∂= )(2

 z

 H i

 z H 

∂−=

∂=1 ,

 z

 H i

 z H 

∂=

∂=2  

şeklindedir (Tekkoyun 2002).

Örnek 2.1 Sabit bir kütle-çekim alanında bulunan m kütleli bir cismin üzerine, şekil

2.1.1 de görüldüğü gibi büyüklüğü 1)( −= α  ρ  ρ  A f  ( 1,0≠α  ) olan ve kuvvet merkezi

orijinde bulunan, bir merkezcil kuvvet alanı etki ediyor. Cismin devamlı aynı düşey

düzlem içinde kaldığını kabul ederek, kompleks Lagrange ve kompleks Hamilton

hareket denklemlerini bulunuz (Rızaoğlu 2002).

Şekil 2.1.1 Kütlesi m olan cisim ve üzerine etki eden kuvvetler

Çözüm: Kinetik enerji; 2

2

1vmT 

= idi. Hızı elde edebilmek için m kütleli cismin

konum vektörlerinin zamana göre birinci türevleri alınır. O halde kinetik enerji

aşağıdaki şekilde yazılır. 

)(2

1)(

2

1 2222 y xmvvmT   y x +=+= .

y

x

ϕ

ρ

m

Page 41: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 41/52

 

  31

ϕ  ρ cos= x ve, ϕ  ρ sin= y olup

ϕ ϕ  ρ ϕ  ρ  sincos −= x ve ϕ ϕ  ρ ϕ  ρ  cossin += y  

şeklinde hesaplanır.

ϕ ϕ  ρ ϕ ϕ ϕ  ρ  ρ ϕ  ρ 

ϕ ϕ  ρ ϕ ϕ ϕ  ρ  ρ ϕ  ρ 

222222

222222

cos.sincos2sin

sin.sincos2cos

++=

+−=

 y

 x

 

olup bu eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa

22222 ϕ  ρ  ρ  +=+ y x   şeklinde bulunur. O halde kinetik enerji

)(2

1 222 ϕ  ρ  ρ  += mT  (2.1)

olarak yazılır.

)sin(cos ϕ ϕ  ρ  i z += ve z nin eşleniği )sin(cos ϕ ϕ  ρ  i z −=   şeklindeki gösterim

kutupsal gösterim olup buradaki  ρ  ve ϕ  zamana bağlı değişkenlerdir, yani )(t  ρ  ρ = ,

)(t ϕ ϕ = dir.

Bu eşitliklerden faydalanarak  ρ  ve ϕ  çekilirse

ϕ ϕ  ρ  222 sin(cos += z z ),

2 ρ = z z , olup

 ρ = z z (2.2)

ve

)sin(cos

)sin(cos

ϕ ϕ  ρ 

ϕ ϕ  ρ 

i

i

 z

 z

+= ,

 z )sin(cos ϕ ϕ  i− = )sin(cos ϕ ϕ  i z + ,

ϕ ϕ ϕ ϕ  sincossincos zi ziz z +=− ,

)(cos

)(sin

)(cos

)(cos

 z zi

 z zi

 z zi

 z z

+

+=

+

ϕ 

ϕ 

ϕ 

ϕ ,

ϕ tan)(

)(1=

+

 z z

 z z

iolup

Page 42: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 42/52

 

  32

)](1

arctan[ z z

 z z

i +

−=ϕ  (2.3)

olur. Buradan (2.2) ve (2.3) ile elde edilen  ρ  ve ϕ  nin zamana göre birinci türevleri

alınıp (2.1) de yerine yazılırsa

 z z z z z z

 z z z z

22)( +=′= ρ  ,

,2

)(1

22

221

))((

)(1

)(

)()(

)(

))(())((1

)(1

)(1

2

22

2

2

 z z

 z z z z

i z z

 z z z z

i

 z z z z z z z z

 z z z z z z z z z z z z z z z zi

 z z

 z z z z

 z z

 z z z z z z z z

i

 z z

 z z z z

 z z

i

−=

−=

+−+−++

++−−−−+=

+

−−+

+

+−−+−

=

+

−−

′+

=ϕ 

 

 z zm z z

 z z z zm

 z z

 z z z z z z z z z z z z z z z zm

 z z

 z z z z

 z z

 z z z zm

 z z

 z z z z

i z z

 z z

 z z z zmT 

21)

4)2)(2((

21

)4

))(((

2

1

)4

)(

4

)((

2

1

))2

1()

2((

2

1

22

22

==

+−+−++=

−−

+=

−+

+=

 

olur.

Sistemin potansiyel enerjisi

))(1

(sin(arctan z z

 z z

i z zmg z z

 AV 

+

−+=

α 

α  

olarak hesaplanır.

 z z; nin zamana göre birinci türevi, ; z z nin zamana göre ikinci türevi, ; z z nin

eşleniği olmak üzere sistemin Lagrange fonksiyonu;

)))(

(sin(arctan)(2

12

 z z

 z zi z zmg z z

 A z zm L

+

−−−−=

α 

α   

veya

Page 43: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 43/52

 

  33

2

2

2

1

)(

)(1)(

)()(

2

1

 z z

 z z z z

 z z z zimg z z A z zm L

+

−−+

−+−=

α 

α 

bulunur.

 z

 L

 z

 L

t i L

∂∂=

∂∂

∂∂= )(:1 den 

2 / 3

2

2

3

2

2

2

22

2

2

2

2

2

1

2 / 32

2

3

2

2

2

22

2

2

2

2

2

1

)

)(

)(1)((

))(

)(2

)(

)(2)((

2

1

)(

)(1)(

)(

)(

)(1)(

)(

)(1)(

)(2

1

2

)(

))

))()(1)((

))(

)(

)(

)(2)((

2

1

)()(1)(

)(

)(

)(1)(

)(

)(1)(

)(i2

1

2

)(((:1

 z z

 z z z z

 z z

 z z

 z z

 z z z z z zimg

 z z

 z z z z

 z z z zimg

 z z

 z z z z

 z zimg

 z z

 z z z z z z

 z z zimg

 z

 z z A

 z z z z z z

 z z

 z z

 z z

 z z z z z zimg

 z z z z z z

 z z z zimg

 z z

 z z z z

 z zimg

 z z

 z z z z z z

 z z zmg

 z

 z z A

t i L

+

−−+

+

−+

+

−−−

+

−−+

−−

+

−−+

+

+

−−+

−+−=

+−−+

+

−+

+

−−−

+−−+

−−

+

−−+

+

+

−−+

−+−

∂=

α 

α 

 

şeklinde bulunur.

 z

 L

 z

 L

t i L

∂−=

∂= )(:2 denkleminden

 zm zmt 

i L

2

1))

2

1((2 −=

∂= olarak hesaplanır.

Sistemin  L z p z p H   z z −+= Hamilton fonksiyonunu yazabilmek için

 z

 L p

 z∂

∂= olup  zm p

 z

2

1=  

ve

 z

 L p z ∂

∂= olup  zm p z

2

1=  

Page 44: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 44/52

 

  34

olmak üzere

))(sin(arctan2

12

 z z

 z zi z zmg z z

 A z zm H 

+

−−++=

α 

α   

veya

2

2

21

)(

)(1)(

)()(

2

1

 z z

 z z z z

 z z z zimg z z A z zm H 

+

−−+

−−+=

α 

α 

 

şeklinde hesaplanır. Hamilton denklemlerinden birincisine H1 ikincisine de H2

denilirse, H1 denklemi;

),

))(

)(1)((

))(

)(2

)(

)(2)((

2

1

)(

)(1)(

)(

)(

)(1)(

)(

)(1)(

)(2

1

2

)((:1

2 / 3

2

2

3

2

2

2

22

2

2

2

2

2

1

 z z

 z z z z

 z z

 z z

 z z

 z z z z z zimg

 z z

 z z z z

 z z z zimg

 z z

 z z z z

 z zimg

 z z

 z z z z z z

 z z zimg

 z

 z z Ai

 z

 H i

 z H 

+

−−+

+

−+

+

−−

+

+

−−+

−+

+

−−+

+

+

−−+

−−−=

∂−=

∂=

α 

 

H2 denklemi ise

 z

 H i

 z H 

∂=

∂=2

den

)

))(

)(1)((

))(

)(2

)(

)(2)((

2

1

)(

)(1)(

)(

)(

)(1)(

)(

)(1)(

)(2

1

2

)((:2

2 / 3

2

2

3

2

2

2

22

2

2

2

2

2

1

 z z

 z z z z

 z z

 z z

 z z

 z z z z z zimg

 z z

 z z z z

 z z z zimg

 z z

 z z z z

 z zimg

 z z

 z z z z z z

 z z zimg

 z

 z z Ai z

t  H 

+

−−+

+

−+

+

−−−

+

+

−−+

−+

+

−−+

+

−−+

−−=

∂=

α 

 

şeklinde bulunur.

Örnek 2.2 Şekil 2.2.1’de görülen ve bağlantı noktası yukarıya doğru sabit bir a ivmesi

ile hareket eden; bir basit sarkacın küçük salınımlarının kompleks Lagrange ve

kompleks Hamilton fonksiyonlarını yazıp hareket denklemlerini elde ediniz (Rızaoğlu

2002).

Page 45: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 45/52

 

  35

Şekil 2.2.1 Bağlantı noktası yukarıya doğru sabit bir a ivmesi ile hareket eden basit

sarkaç

Çözüm:

Kompleks düzlemdeki bir nokta iy x z += idi. Buradan θ sin= x ,

η θ −= cos y eşitlikleri yerine yazılırsa; )(cossin η θ θ  −+= i z elde edilir.  z ’nin

eşleniği; )(cossin η θ θ  −−= i z olup  z ile  z taraf tarafa toplanırsa

θ sin2=+ z z ,

θ sin2

=+

 z z,

)2

arcsin(

 z z +=θ   

elde edilir. Şimdi de η ,  z ve  z cinsinden çekilirse

)(cossin η θ θ  −+= i z idi;

η θ θ  −=− cos)sin(1

 zi

 

η −+

=+

− ))2

(cos(arcsin)))2

(sin(arcsin(1

z z z z z

η −=+

−+

− ))2

(cos(arcsin))2

((1

z z z z z

ibulunur.

 y

 x

θ 

η 

η θ −cos

θ cos

m

θ sin

Page 46: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 46/52

 

  36

Buradan )2

()2

(1 2 z z zi

 z z +−+

+−=

η  den

)2

()2

(1 2 z zi

 z z −+

+−=

η   

olarak hesaplanır. Şimdi de sırayla θ  ve η  nin zamana göre birinci türevleri alınıp

(1.4.1)’de yerine yazılırsa

22222 )(4

2

)(42

)2

(1

)2

())

2(arcsin(

 z z

 z z

 z z

 z z

 z z

 z z

 z z

+−

+=

+−

+

=+

′+

=′+

=

θ   

.)(42

))(()

2(

2)(42

))((24

1

)

2

(

)2

(12

))2

(()

2

(

22

22

2

2

2

 z z

 z z z z z zi

 z z

 z z z z z z

i

 z z

 z z

 z zi

+−

++−

−=

+−

++−

+−

=

+−

′+

−+

−=

η 

 

Kinetik enerji

)sin)

)(42

))((

2

)((

)(4

2

4

)()

))(4(4

)()(

)(4

)((

2

1

2222

2

22

22

22

22

θ 

 z z

 z z z z z zi

 z z

 z z

 z z

 z z

 z z z z

 z z

 z zmT 

+−

++−

+−

++

−−

+−

+++

+−

+=

 

olarak bulunur.

Sistemin potansiyel enerjisi de

)cos( η θ −−= mgV  den

)2

(

)2

()2

(1)2

(1(

))2

())2

(1)2

(cos(arcsin(

22

2

 z zmgi

 z zi

 z z z zmg

 z zi

 z z z zmgV 

−=

−−

+−−

+−−=

−−

+−−

+−=

 

olup sistemin V T  L −= Lagrange fonksiyonu;

Page 47: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 47/52

 

  37

)(2

1)

)(4

))(4

))(()()()(sin(

)(4

1

)(416

)()(

)(4

)((

2

1

22

22

2

22

22

22

22

 z zimg

 z z

 z z

 z z z z z zi z z

 z z z z

 z z z z

 z z

 z zm L

−−

+−

+−

++−−+

+

−−+−

+++

+−

+=

θ  

elde edilir.

Lagrange denklemlerine sırasıyla L1 ve L2 denirse

 z

 L

 z

 L

t i L

∂=

∂= )(:1 ;

 z

 L

 z

 L

t i L

∂−=

∂= )(:2 den

img z z

 z z

 z z z z z z

 z z

 z z z zi z z

 z z

 z z z z

 z z z z z zi z z

 z z

 z z z z z z

 z z

 z z z z

 z z

 z z z zm

img z z

 z z

 z z z z z z

 z z

 z z z zi z z

 z z

 z z z z

 z z z z z zi z z

 z z

 z z z z z z

 z z

 z z z z

 z z

 z z z zm

t i L

2

1)

)(4

)))(4(2

)22)()((

)(4

)()(()()(sin(

))(4(2

)22)()(4

))(()()()(sin(

))(416(

)88()()(

)(416

))((2

))(4(

)22()((

2

1

))2

1)

)(4

)))(4(2

)22)()((

)(4

)()(()()(sin(

))(4(2

)22)()(4))(()()()(sin(

))(416(

)88()()(

)(416

))((2

))(4(

)22()((

2

1((:1

22

2 / 32222

2 / 322

22

222

22

22

2

222

22

22

2 / 32222

2 / 322

22

222

22

22

2

222

2

−+−

+−

−−+++

+−

−−−+

+

+−

−−+−

++−−+

+−

−−++−

+−

+++

+−

−−+−=

−+−

+−

−−+++

+−

−−−+

+

+−

−−+−

++−−+

−+−

−−++−

+−

+++

+−

−−+−

∂=

θ 

θ 

θ 

θ 

 ve

))))(4

))(4

)()()(sin(

)(4

))(4

))(()()(sin(

2

1

2

1

)(416

)()(2

)(4

)(2(

2

1((:2

22

22

22

22

22

2

22

2

 z z

 z z

 z z z z

 z z

 z z

 z z z z z z

 z z

 z z

 z z z z

 z z

 z zm

i L

+−

+−

+−+

++−

+−

++−−

+

+−

+−

+++

+−

+

∂=

θ θ 

 

Page 48: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 48/52

 

  38

)

)(4

))(4

)()()(sin(

)(4

))(4

))(()()(sin(

2

1

2

1

)(416

)()(2

)(4

)(2(

2

1

22

22

22

22

22

2

22

2

 z z

 z z

 z z z z

 z z

 z z

 z z z z z z

 z z z z

 z z z z

 z z

 z zm

+−

+−

+−+

+

+−

+−

++−−

+

+−+−

+++

+−

+−=

θ θ  

olarak bulunur.

Hamilton fonksiyonu;

 L z p z p H   z z −+= olup

 z

 L p z

∂= ve

 z

 L p z ∂

∂= için

))sin()(4

))(22()sin(

)(4

2

4

22

))(4(4

)22()(

)(4

)22((2

1

2222

22

2

22

2

θ θ  z z

 z z z z

 z z

 zi

 z z

 z z

 z z z z

 z z

 z z

m z

 L

 p z

+−

++−

+−+

−−+−

++++−

+=∂

∂=

 

ve

))sin()(4

))(22()sin(

)(4

2

4

22

))(4(4

)22()(

)(4

)22((

2

1

2222

22

2

22

2

θ θ  z z

 z z z z

 z z

 zi

 z z

 z z

 z z z z

 z z

 z zm p

 z

+−

++−

+−

−+

+−−

+−

+++

+−

+=

 

olarak hesaplanırsa

)(2

1)

)(4

sin)(

)(4

)(sin

)(41

)(416)()(

)(4)((

21

))(4

))((sin

)(4

sin

4

1

4

1

)(416

)()(

)(4

)(()

)(4

))((sin

)(4

)sin(

4

1

4

1

)(416

)()(

)(4

)((:

22

2

22

22

222

22

22

22

222222

2

22

2

2222

22

2

22

2

 z zimg z z

 z z

 z z

 z zi

 z z z z z z z z

 z z z zm

 z z

 z z z z

 z z

 zi z z

 z z

 z z z z

 z z

 z z zm

 z z

 z z z z

 z z

 zi

 z z z z

 z z z z

 z z

 z z zm H 

−++−

+−

+−

−+

+++−+++

+−+−

+−

++−

+−−+−

+−

+++

+−

++

+−

++−

+−+

+−+−

+++

+−

+=

θ θ 

θ θ 

θ θ 

 

bulunur. Hamilton denklemi H1 ve H2, sırasıyla

Page 49: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 49/52

 

  39

),

2

1)

))(4(

)22)(sin()(

))(4(

)22)(sin()(2

1

))(416(

)88)(()(

)(416

))((2

))(4(

)22()((

2

1

))(4(

)22)()()(sin(

)(4

))(sin(

))(4(

)22()sin(2

1

))(416(

)88)(()(

)(416

))((2

))(4(

)22)(((

)))(4(

)22)()()(sin(

)(4

))(sin(

))(4(

)22()sin(2

1

))(416(

)88)(()(

)(416

))((2

))(4(

)22)((((

:1

2 / 322

2

2 / 322

22

222

2

22

2

222

22

222222 / 322

222

2

22222

2

222222 / 322

222

2

22222

2

img

 z z

 z z z z

 z z

 z z z zi

 z z

 z z z z z z

 z z

 z z z z

 z z

 z z z zm

 z z

 z z z z z z

 z z

 z z

 z z

 z z zi

 z z

 z z z z z z

 z z

 z z z z

 z z

 z z z z zm

 z z

 z z z z z z

 z z

 z z

 z zl

 z z zi

 z z

 z z z z z z

 z z

 z z z z

 z z

 z z z z zmi

 z

 H i

 z H 

+−

−−−+

+−

−−−−

+−

−−++−

+−

+++

+−

−−+−−

+−

−−+++

+−

+−

+−

−−+

+−

−−++−

+−

+++

+−

−−+−+

+−

−−++

++−

+

−+−

−−

+−

−−++−

+−

+++

+−

−−+−−=

∂−=

∂=

θ θ 

θ θ θ 

θ θ θ 

 

)2

1)

))(4(

)22)(sin()(

))(4(

)22)(sin()(2

1

))(416(

)88)(()(

)(416

))((2

))(4(

)22()((

2

1

))(4(

)22)()()(sin(

)(4

))(sin(

))(4(

)22()sin(2

1))(416(

)88)(()(

)(416

))((2

))(4(

)22)(((

)))(4(

)22)()()(sin(

)(4

))(sin(

))(4(

)22()sin(2

1

))(416(

)88)(()(

)(416

))((2

))(4(

)22)((((

:2

222

2

2 / 322

22

222

2

22

2

222

22

222222 / 322

222

2

22222

2

222222 / 322

222

2

22222

2

img z z

 z z z z

 z z

 z z z zi

 z z

 z z z z z z

 z z

 z z z z

 z z

 z z z zm

 z z

 z z z z z z

 z z

 z z

 z z

 z z zi

 z z

 z z z z z z

 z z

 z z z z

 z z

 z z z z zm

 z z

 z z z z z z

 z z

 z z

 z z

 z z zi

 z z

 z z z z z z

 z z

 z z z z

 z z

 z z z z zmi

 z

 H i

 z H 

++−

−−−+

+−

−−−−

+−

−−++−

+−

+++

+−

−−+−−

+−

−−+++

+−

+−

+−

−−+

+−

−−++−

+−

+++

+−

−−+−+

+−

−−+++

+−

+−

+−

−−−

+−

−−++−

+−

+++

+−

−−+−=

∂=

∂=

θ θ 

θ θ θ 

θ θ θ 

 

elde edilir.

Sonuç 2.1 Bu bölümde Maple programı kullanılarak kompleks Hamilton denklemlerine

örnekler verilmiştir.

Page 50: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 50/52

 

  40

3 SONUÇ VE ÖNERLER 

Bu çalışmada çıkarılan denklemlerin ışığı altında genelleştirilmiş klasik mekanik

ve alan teorisinde Hamilton formalizmi, kompleks uzaylarda karakterize edilmiş ve

ilgili uygulamalara yer verilmiştir.

Elde edilen bu denklemler nümerik ve analitik olarak temsil edeceği ortamlar

göz önünde tutularak çözülebilir. Aynı zamanda, elde edilen kompleks Lagrange ve

Hamilton denklemleri kuantum mekaniğinin muhtemel yeni formalizmine taşınabilir.

Page 51: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 51/52

 

  41

KAYNAKLAR

Chang, Y. F., Tabor, M., Weiss, J. (1981) Analytic Structure of the Henon-HeilesHamiltonian in Integrable and Nonintegrable Regimes.  J.Math. Phys., 23(4):531-538.

Civelek, Ş. (1996) The Lifts of Lagrange and Hamilton Equations to the ExtendedVector Bundles, Manisa, Türkiye,  Mathematical & Computational 

 Applications, 1.1: 21-28.

De Leon, M., Oubina, J. A., Rodrigues, P. R., Salgado, M. R., Merino, E. (2001)Hamiltonian Systems on k-Cosymplectic Manifolds, Project PB940106 andProject XUGA13101A94, Spain.

Kibble, T. W.B., Berkshire, F. H., (Çeviri Editörü) Çolakoğlu, K.(1999) KlasikMekanik, Palme Yayıncılık, Ankara, 361s.

Özer, M. N. (1994) Related Integrable Hamilton Systems, Doktora Tezi, The University   of Leeds, England, 158s.

Rızaoğlu, E., Sünel, N. (2006) Klasik Mekanik, Seçkin Yayıncılık, Ankara, 570s.

Tekkoyun, M. (2002), Genişletilmiş Kahler Manifoldlara Euler-Lagrange veHamiltonDenklemlerin Yüksek Mertebeden Lift’leri, Doktora Tezi, OsmangaziÜniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Eskişehir, 71s.

Zabzine, M. (2005) Hamiltonian Perspective on Generalized Complex Structure,  http:/arxiv.org/abs/hep-th/0502137 (15.02.2005).

Zengin, M., Selam, C., Korcak, S. (1999) Mekanik,  Bilim Yayıncılık, Ankara, 291s.

Page 52: Hamilton Sistemler Hamilton Systems

5/17/2018 Hamilton Sistemler Hamilton Systems - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/hamilton-sistemler-hamilton-systems 52/52

 

  42

ÖZGEÇMŞ 

27.07.1981 tarihinde Almanya’nın Nagold kasabasında doğdu. 1987-1992 yılları

arasında Denizli Hürriyet lkokulu’nda, 1992-1995 yılları arasında ise Denizli Merkez

Ortaokulu’nda okudu. 1995 yılında kazandığı Denizli Anafartalar Süper Lisesi’ne kayıt

oldu ve 1999’da mezun oldu. 2000 yılında kazandığı Eskişehir Osmangazi Üniversitesi

Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik bölümünden 2004 yılında mezun oldu ve aynı yıl

Denizli Pamukkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim dalında

Yüksek Lisansa başladı. 2004-2005 öğretim yılında Cankurtaran lköğretim Okulu’nda

sözleşmeli öğretmen olarak görev yaptı. Halen, özel bir dershanede matematik

öğretmeni olarak görev yapmaktadır.