Handboek PDV's

TGWN312 Parsieledifferensiaalvergelykings (Numeries)

Johan de Klerk

Handleiding vir die module TGWN312, NWU (Potchefstroom-kampus), Potchefstroom

Inhoudsopgawe

1 Tweepuntrandwaardeprobleme 1

1.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Inleidende wiskundige sake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Tweepuntrandwaardeprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Die Thomas-algoritme 15

2.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Die Thomas-algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Iteratiewe oplostegnieke 19

3.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Eerste afleiding van metodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Tweede afleiding van metodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 Moontlike keuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Paraboliese parsiele differensiaalvergelykings 27

4.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Die eksplisiete metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 Die Crank-Nicolson-metode (implisiete metode) . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4 Stabiliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Elliptiese parsiele differensiaalvergelykings 43

5.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2 Die metode van onbepaalde koeffisiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3 Basiese idee om die oplossing te kry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.4 Verdere voorbeelde in verband met Dirichlet-probleme . . . . . . . . . . . 49

5.5 Die metode van onbepaalde koeffisiente (vervolg) . . . . . . . . . . . . . . 53

1

0 INHOUDSOPGAWE

5.6 Die Dirichlet-probleem met onreelmatige rande . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.7 Neumann-randvoorwaardes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.8 Hoer-orde differensiebenaderings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6 Hiperboliese parsiele differensiaalvergelykings 67

6.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.2 Eindige verskille en die eksplisiete metode . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Hoofstuk 1

Tweepuntrandwaardeprobleme

1.1 Inleiding

In die wiskundige modellering van probleme uit die werklikheid, is daar n groot aantalverskynsels wat gemodelleer kan word deur differensiaalvergelykings (gewoon of parsieel),in die besondere vorm van randwaardeprobleme. In hierdie module wil ons aandag geeaan die oplos van sulke probleme.

Die gewone differensiaalvergelykings wat ons sal teekom, kan breedweg geklassifiseer wordas aanvangswaardeprobleme en randwaardeprobleme. Ons sal in die besonder aandag geeaan laasgenoemde tipe, en in die besonder, tweepuntrandwaardeprobleme.

Sommige van die parsiele differensiaalvergelykings wat in die praktyk raakgeloop word, islineer, maar n groot aantal is nie. Heelwat van die nie-lineere parsiele differensiaalverge-lykings kan onder sekere aannames herlei word na lineere parsiele differensiaalvergelykings.n Groot gedeelte van die lineere parsiele differensiaalvergelykings wat dan teegekomword, bevat hoogstens tweede orde afgeleides. Die onder hulle wat funksies van tweeveranderlikes bevat, kan geskryf word in die vorm

Auxx +Buxy + Cuyy +Dux + Euy + Fu = G,

waar u(x, y) n funksie is van die twee veranderlikes x en y, en waar A, . . . , G in diealgemeen ook funksies van x en y kan wees.

Hierdie tipe parsiele differensiaalvergelyking, veral met konstante koeffisiente, kan ge-transformeer word na een van drie tipes parsiele differensiaalvergelykings, genoem kano-niese vorms. Die eerste tipe is almal familie van die sogenoemde warmtevergelyking, dietweede van die potensiaalvergelyking en die derde van die golfvergelyking.

Die direkte doelwit van hierdie studie is die volgende:

a. om die bogenoemde verskillende tipes wiskundige modelle te bestudeer,

b. om numeriese oplosmetodes vir die differensiaalvergelykings te bespreek,

1

2 HOOFSTUK 1. TWEEPUNTRANDWAARDEPROBLEME

c. om die beperkings in die wiskundige formulerings aan te dui,

d. om die gebreke van die numeriese oplossing te bespreek en

e. om die resultate goed voor te stel.

Ook die geskiedkundige ontwikkeling van hierdie probleme is interessant en van belang.Sommige van die probleme kan ook analities in teenstelling met numeries opgelosword. Dit is n saak wat veral in die module TGWS311 aandag kry.

Die bogenoemde tweepuntrandwaardeprobleme en die drie parsiele differensiaalvergely-kingprobleme kan, met al hul implikasies en toepassings, elk alleen n boek vul, maar inhierdie module kan slegs aandag aan die basiese sake gegee word.

Elke probleem verteenwoordig n sekere tipe wiskundige model en die modelleringsbe-ginsel wat aan die orde kom, is belangrik. Elke probleem lewer n tipe parsiele differen-siaalvergelyking en hierdie tipes parsiele differensiaalvergelykings is uiters belangrik enword in n verskeidenheid terreine gebruik.

Vir elke tipe probleem is daar n numeriese metode ter sprake, en die metodes watbestudeer sal word, is van toepassing op n wye verskeidenheid prakties probleme.

Rekenaarprogramme word gebruik om die oplossing van die verskillende probleme teverkry. Die goeie hantering van sulke programme is van groot belang vir n toegepastewiskundige of ingenieur. Daarom is dit ook van belang dat jy jou programmeringskennisen -vaardigheid deeglik sal opknap.

Met hierdie doeleindes voor oe, kan die volgende voorbeelde as inleidende probleme tothierdie module beskou word.

Tweepuntrandwaardeprobleem: n Balk met aksiale trekkragte dra n nie-eenvormigeverspreide lading. Die vorm van die balk (en ook die deurbuiging) kan verkry word deurdie vergelyking

y + py = r

op te los, met randvoorwaardes by die eindpunte van die balk, wat y en y daar spesifiseer.

Paraboliese parsiele differensiaalvergelykings (warmtevergelyking): n Pasge-boude damwal is aan beide kante aan die lug blootgestel. Die verhardende beton stelwarmte vry. Hoe lank neem dit voordat die beton geset het? Hierdie vraag kan beant-woord word deur die parsiele differensiaalvergelyking

ut = uxx + uyy

met aanvangs- en randvoorwaardes daarby, op te los.

Elliptiese parsiele differensiaalvergelykings (potensiaalvergelyking): Om diepotensiaal in n halfgeleier te beskryf, word gebruik gemaak van die parsiele differen-siaalvergelyking

1.2. INLEIDENDE WISKUNDIGE SAKE 3

uxx + uyy = f

met aanvangs- en randvoorwaardes daarby.

Hiperboliese parsiele differensiaalvergelykings (golfvergelyking): Die vibrasiesin n brug waaroor n voertuig ry, kan verkry word deur n parsiele differensiaalvergelykingvan die vorm

utt = uxx + uyy

op te los. Ook in hierdie geval moet aanvangs- en randvoorwaardes verskaf word voordatdie probleem ten volle opgelos kan word.

1.2 Inleidende wiskundige sake

Voordat ons oor tweepuntrandwaardeprobleme en hulle oplossings gesels, is dit eers nodigom inleidend en in aansluiting by wiskundige werk wat in vroeere modules gedoen is naantal sake te bespreek. Twee onderwerpe sal bespreek word, naamlik (a) die numeriesebepaling van die afgeleide van n gegewe funksie (in n funksie- of in n tabelvorm) en (b)die numeriese oplos van aanvangswaardeprobleme.

Om die afgeleide van die funksie f(x) numeries te bepaal, lyk eenvoudig en kan deurenigiemand uitgedink word: Neem die definisie

f (x) = limh0

f(x+ h) f(x)h

,

laat die limiet weg en konstrueer n reeks waardes, vir al kleinerwordende h.Meer formeel: kies n reeks {hk} sodanig dat hk 0 en bereken die limiet van die reeks

Dk =f(x+ hk) f(x)

hk, k = 1, 2, . . . .

Weens verskeie redes, waarop ons nie nou sal ingaan nie, is hierdie tegniek egter nie baiedoeltreffend nie.

Taylor-ontwikkelings van funksies vorm n steunpilaar in baie afdelings van Wiskundeen Toegepaste Wiskunde, so ook in hierdie module. Ons sal dus eerder daarvan gebruikmaak om meer doeltreffende metodes te verkry vir die bepaling van die afgeleide van nfunksie.

Indien die funksie f(x) bekend is in punte links en regs van x, se by x h en x+ h (ofas slegs funksiewaardes in n tabel bekend is), dan kan maklik aangetoon word dat ntweepunt-formule vir die berekening van f (x) gegee word deur


f (x) =f(x+ h) f(x h)

2h+ Eafkap(f, h),

waar

Eafkap(f, h) =h2f (3)(c)

6= O(h2),

met c een of ander waarde in die interval [xh, x+h], en O(h2) n sogenoemde ordeterm.Die term Eafkap staan bekend as die foutterm omdat dit n aanduiding gee van die foutwat gemaak word weens die feit dat die oneindige Taylor-ontwikkelings afgekap wordom eindige ontwikkelings te lewer.

Opmerking: Die bewys, wat jy self moet uitskryf, berus op die volgende: Skryf die Taylor-ontwikkelings neer van f(x + h) en f(x h) (beide met die hulp van n resterm), trekdie tweede af van die eerste en vereenvoudig die resultaat om die bostaande uitdrukkingte kry.

Hierdie tegniek staan bekend as n sentraal-differensie-formule aangesien dit op verskille(differences) gegrond is met die x-waarde sentraal tussen x h en x+ h.Die bogenoemde bewys lewer die basis van (of idee vir) n verskeidenheid ander soortge-lyke formules. Ons noem n aantal; gaan self die detail en bewyse daarvan deur.

a. Indien die funksie f(x) bereken kan word in 2 punte links en 2 punte regs van x,se by x 2h, x h, x + h en x + 2h (of as slegs sulke funksiewaardes in n tabelbekend is) dan kan aangetoon word dat n vyfpunt-formule vir die berekening vanf (x) gegee word deur

f (x) =f(x+ 2h) + 8f(x+ h) 8f(x h) + f(x 2h)

12h+ Eafkap(f, h),

waar

Eafkap(f, h) =h4f (5)(c)

30= O(h4),

met c een of ander waarde in die interval [x 2h, x+ 2h].

b. Indien die funksie f(x, y) bereken kan word in die punte (xh, y), (x+h, y), (x, yh)en (x, y+h), dan kan aangetoon word dat formules vir die parsiele afgeleides fx(x, y)en fy(x, y) gegee word deur

fx(x, y) =f(x+ h, y) f(x h, y)

2h+O(h2)

en

fy(x, y) =f(x, y + h) f(x, y h)

2h+O(h2)

waar O(h2) weereens n ordeterm van die tweede orde is.


c. Indien die funksie f(x) bereken kan word in punte links en regs van x, se by x hen x + h, dan kan aangetoon word dat n driepunt-formule vir die berekening vanf (x) gegee word deur

f (x) f(x+ h) 2f(x) + f(x h)h2

.

d. Indien die funksie f(x) bereken kan word in 2 punte links en 2 punte regs van x, seby x 2h, x h, x+ h en x+ 2h (of as slegs funksiewaardes in n tabel bekend is)dan kan aangetoon word dat n vyfpunt-formule vir die berekening van f (x) gegeeword deur

f (x) f(x+ 2h) + 16f(x+ h) 30f(x) + 16f(x h) f(x 2h)12h2

.

Wat die numeriese oplos van aanvangs- en randwaardeprobleme betref, begin ons eers byn eenvoudige formulering van n eerste-orde-differensiaalvergelyking, met n voorwaarde,naamlik:

x = f(t, x) x(t0) = x0.

Hierin is die bedoeling om uit die vergelyking op te los vir die funksie x(t). Aangesiendaar dan net n algemene oplossing verkry word, word die voorwaarde x(t0) = x0 bygegee.

Tegnieke wat reeds bekend is vir die numeriese oplos van so n vergelyking, is die on-derstaande. Let vooraf op dat die numeriese oplossing nie as n funksie-oplossing verkryword nie, maar as n reeks funksiewaardes x0 (wat reeds bekend is), x1, x2, x3, . . . . As ditmoet, sou so n reeks waardes weer as n funksie geskryf kon word deur n interpolasie-of approksimasietegniek.

Euler-metode:xn+1 = xn + hf(tn, xn), n = 0, 1, 2, . . . .

Vierde-orde Runge-Kutta-metode:

xn+1 = xn +1

6(F1 + 2F2 + 2F3 + F4), n = 0, 1, 2, . . . ,

met

F1 = hf(tn, xn),

F2 = hf(tn + h/2, xn + F1/2),

F3 = hf(tn + h/2, xn + F2/2),

F4 = hf(tn + h, xn + F3).


Ook by die afleiding van hierdie formules word gebruik gemaak van n Taylor-ontwikkeling;kontroleer hierdie opmerking vir die Euler-metode by die Runge-Kutta-metodes worddit op n meer gesofistikeerde wyse gedoen. Omdat die oneindige Taylor-ontwikkelingsweereens afgekap moet word om eindige, werkbare formules te gee, is die waardes x1,x2, x3, . . . benaderings vir die eksakte waardes x(t1), x(t2), x(t3), . . . . Hierdie feit moetvoortdurend in gedagte gehou word. Stel self vas wat die foutterm is in die Euler-metode.

n Volgende vlak van veralgemening van die bostaande probleem, is die geval van nstelsel eerste-orde-differensiaalvergelykings, met voorwaardes, byvoorbeeld vir die gevalvan twee vergelykings:

x = f1(t, x, y)

y = f2(t, x, y)

met x(t0) = x0 en y(t0) = y0.

Hierin is die bedoeling om uit die vergelykings op te los vir die funksies x(t) en y(t).Weereens, aangesien daar dan net algemene oplossings gekry kan word, word die voor-waardes x(t0) = x0 en y(t0) = y0 bygegee.

Dieselfde tegnieke wat hier bo genoem is, kan weer gebruik word; nou net meer uitgebreid.In hierdie geval word n reeks funksiewaardes x0 en y0 (wat reeds bekend is), x1 en y1, x2en y2, . . . as numeriese oplossing verkry. Weereens moet ons onthou dat hierdie oplossingbenaderings is vir die eksakte waardes x(t1) en y(t1), x(t2) en y(t2), . . . .

Euler-metode:

xn+1 = xn + hf1(tn, xn, yn)

yn+1 = yn + hf2(tn, xn, yn),

met n = 0, 1, 2, . . . .

Vierde-orde Runge-Kutta-metode:

xn+1 = xn +1

6(F1 + 2F2 + 2F3 + F4),

yn+1 = yn +1

6(G1 + 2G2 + 2G3 +G4),

met n = 0, 1, 2, . . . , en met

F1 = hf1(tn, xn, yn) G1 = hf2(tn, xn, yn),

F2 = hf1(tn + h/2, xn + F1/2, yn +G1/2) G2 = hf2(tn + h/2, xn + F1/2, yn +G1/2),

F3 = hf1(tn + h/2, xn + F2/2, yn +G2/2) G3 = hf2(tn + h/2, xn + F2/2, yn +G2/2),

F4 = hf1(tn + h, xn + F3, yn +G3) G4 = hf2(tn + h, xn + F3, yn +G3).


Ons beskou vervolgens die aanvangswaardeprobleem

x = f(t, x, x) x(t0) = x0, x(t0) = y0.

Hierin is die bedoeling weereens om uit die vergelyking op te los vir die funksie x(t).Aangesien dit n tweede-orde-vergelyking is wat opgelos moet word, sal daar n algemeneoplossing met twee onbekende konstantes gekry word. Om die probleem te oorkom,word daar nou twee voorwaardes bygegee. Let op dat die voorwaardes geld ten opsigtevan x(t0) en x

(t0), en omdat beide voorwaardes by een punt geld, praat ons van naanvangswaardeprobleem.

Daar is verskeie metodes wat algemeen gebruik word om n oplossing of benaderde oplos-sing van n aanvangswaardeprobleem te verkry. Die metodes kan breedweg geklassifiseerword as analitiese en numeriese metodes. Wat eersgenoemde betref, kan die volgendegenoem word: (a) Die eerste metode is om n analitiese (eksakte) oplossing te probeerbepaal. Dit is moontlik as die koeffisiente in die differensiaalvergelyking konstant is.(b) As die koeffisiente nie konstant is nie, kan magreeksmetodes soms gebruik word. (c)Soms kan n benaderde analitiese oplossing of n oplossing van n probleem wat naastenbydieselfde is, gevind word.

Wat die numeriese oplos van aanvangswaardeprobleme betref, bestaan daar ook n verskei-denheid tegnieke. Vir die metodes wat ons hier bespreek, moet ons die gegewe enkeletweede-orde-differensiaalvergelyking eers as twee eerste-orde-differensiaalvergelykings her-skryf. Dit word soos volg gedoen:

Stel vooraf y = x. Dan volg dat

x = y

y = f(t, x, y)

met x(t0) = x0 en y(t0) = y0; of meer gepas vir ons doel

x = y f1(t, x, y)y = f(t, x, y) f2(t, x, y)

met x(t0) = x0 en y(t0) = y0. Deur nou die tegnieke hierbo vir n stelsel vergelyking toe tepas, kry ons vir opeenvolgende waardes van n, die oplossings as die reekse funksiewaardesx0 en y0 (wat reeds bekend is), x1 en x

1 = y1, x2 en x

2 = y2, . . . .

Ook hierdie waardes is benaderings vir x(t1) en x(t1), x(t2) en x

(t2), . . . .

n Probleem wat ten nouste aansluit by bostaande aanvangswaardeprobleem, is die rand-waardeprobleem


x = f(t, x, x) x(a) = , x(b) = .

waar t [a, b] is.Vergelyk hierdie formulering met die van die aanvangswaardeprobleem om te sien hoeklein die verskil is. Die tegnieke om hierdie probleem op te los, verskil egter grootliks vandie van die aanvangswaardeprobleem. Die rede vir die verskil sal aanstons gegee word.

Ook vir hierdie probleem is daar verskeie metodes wat algemeen gebruik word om noplossing of benaderde oplossing te verkry. Die metodes kan breedweg weer geklassifiseerword as analitiese en numeriese metodes. Wat eersgenoemde betref, geld die reeds-genoemde tegnieke steeds.

In die bogenoemde randwaardeprobleem is die bedoeling weereens om uit die vergelykingop te los vir die funksie x(t). Aangesien dit n tweede-orde-differensiaalvergelyking is watopgelos moet word, sal daar weer n algemene oplossing met twee onbekende konstantesgekry word. Om die konstantes te bepaal, word daar weer twee voorwaardes gegee endie oplossing kan in beginsel verkry word. Alles is tot hier in orde, en as die vergelykinganalities opgelos moet word, is alles hopelik reg. Vir die numeriese bepaling van dieoplossing (soos in die Euler- en Runge-Kutta-metode wat hier bo bespreek is, en ander,soortgelyke tegnieke) moet daar egter by die beginpunt twee voorwaardes wees. In diegeval van die randwaardeprobleem is daar n voorwaarde by die beginpunt van die intervalen nog een by die eindpunt van die interval. Om n oplostegniek te ontwikkel, moet eenvan die volgende uitwee dus gebruik word: (a) Bedink n plan om die randwaardeprobleemas n aanvangswaardeprobleem te skryf en gebruik die bespreekte tegnieke, of (b) bedinkn heel ander tegniek vir die randwaardeprobleem.

Om hierdie paragraaf mee af te sluit, word aandag gegee aan n tegniek, die skietmetode,wat aansluit by (a). In die volgende paragraaf sal aandag gegee word aan eindigever-skillemetodes wat aansluit by (b).

Vir die skietmetode vervang ons eenvoudig die randwaardeprobleem

x = f(t, x, x) x(a) = , x(b) = ,

deur die aanvangswaardeprobleem

x = f(t, x, x) x(a) = , x(a) = z1,

waar z1 n geraaide waarde is. Omdat die oplossing van hierdie opgemaakte probleemnie noodwendig die oplossing is van die gegewe probleem nie, dui ons die numeriese oplos-sing aan as, se, x1. Neem aan daar word n funksie-oplossings oor die interval [a, b] bereken,dan word die staplengte h gegee deur h = (b a)/n en tn = b. Ons eindig dus met diefunksiewaarde x1(tn), dit is, x1(b). Ons wil he dat hierdie waarde gelyk moet wees aan dievoorskrifwaarde (ons wil dus he die teiken moet getref word) maar in die algemeensal dit nie die geval wees nie (die teiken word gemis).

Ons kan weer probeer deur die tegniek te herhaal. Gebruik die keer n ander waarde virx(a), se, z2. Die formulering van die probleem is dan

1.3. TWEEPUNTRANDWAARDEPROBLEME 9

x = f(t, x, x) x(a) = , x(a) = z2.

Hierdie formulering sal weer n ander numeriese oplossing tot gevolg he, se x2. As onsdieselfde staplengte h as voorheen gebruik, sal ons eindig met die waarde x2(tn), dit is,x2(b). Hierdie waarde kan nou vergelyk word met die voorskrifwaarde om te sien of onsnou die teiken getref het of nie.

So kan voortgegaan word, en dit is duidelik waarom die tegniek n skietmetode genoemword. Dit is egter ook duidelik dat ons nie maar net willekeurig kan skiet nie. Onsmoet op n sinvolle manier inskiet sodat ons die teiken met so min as moontlikinskietskote kan tref. Daar moet dus by elke nuwe stap op n strategiese wyse nbeste geraaide waarde vir x(a) gekry word. Hiervoor bestaan daar verskeie tegnieke,waarvan ons slegs die volgende spesiale geval bespreek.

As die oorspronklike differensiaalvergelyking in die randwaardeprobleem die spesiale,maar algemeen-voorkomende, lineere vorm

x = f(t, x, x) = u(t) + v(t)x+ w(t)x,

het, dan kan bewys word dat die teiken binne slegs 2 inskietskote getref sal word! Diestappe hiervoor is die volgende:

1. (Eerste skoot): Kies z1 = 0 en bereken x1(t1), x1(t2), . . . , totdat n waardex1(b) = x1(tn) verkry is.

2. (Tweede skoot): Kies z2 = 1 en bereken x2(t1), x2(t2), . . . , totdat n waardex2(b) = x2(tn) verkry is.

3. Bereken met behulp van die formule

= x2(b)

x1(b) x2(b).

4. Die finale oplossing van bostaande probleem is dan vir i = 1, . . . , n soos volg:

x(ti) = x1(ti) + (1 )x2(ti).

1.3 Tweepuntrandwaardeprobleme

In hierdie paragraaf wil ons aandag gee aan die oplos van tweepuntrandwaardeproblemedeur middel van eindigeverskille- of diskretisasiemetodes.

Die probleem wat ons wil oplos, kan, soos reeds genoem, in die algemeen geformuleerword as

x = f(t, x, x), x(a) = , x(b) = .


Let op dat die funksie x(t) verkry moet word en dat dit aan die gegewe randwaardesmoet voldoen. Let verder op dat x(t) slegs oor die geslote interval [a, b] verkry hoef teword.

Ons gee aandag aan n eindigeverskillemetode. Die basiese idee in hierdie geval is dievolgende: Verkry waardes, xi, wat benaderings is vir die funksiewaardes x(ti). Om ditte kan regkry, moet ons vergelykings vorm waarin sulke waardes, xi, voorkom, waarvoorons dan kan oplos. Die een tipe stelsel wat ons gewoonlik maklik kan oplos, is lineerevergelykings.

Ons taak word dus om die tweepuntrandwaardeprobleem te vervang deur n stelsel lineerevergelykings waarin getalle xi as onbekendes voorkom. Die stelsel vergelykings moetsodanig wees dat xi x(ti), met ti n aantal waardes van die onafhanklike veranderlike,en met x die oplossingsfunksie.

Om so n stelsel vergelykings te vorm waaraan die getalle xi moet voldoen, moet onsdie afgeleides x en x in die differensiaalvergelyking vervang met uitdrukkings waarinslegs xi, i = 1, . . . , n voorkom. Ons wil dus afgeleides in die differensiaalvergelykingvervang met eindige verskille, soos reeds in die vorige paragraaf bespreek. Ons gebruikdie volgende twee formules:

x(t) =x(t+ h) x(t h)

2h 1

6h2x()

x(t) =x(t+ h) 2x(t) + x(t h)

h2 1

12h2x(4)(),

waar die eindterme in albei gevalle weer foutterme is. Indien hierdie foutterme klein is,kan ons hulle weglaat en dan kan x(ti) vervang word met xi, ensovoorts.

Hierdie proses lewer nou nie meer n differensiaalvergelyking nie, maar n aantal verge-lykings met onbekende benaderingswaardes. Die vergelykings wat verkry word, is slegsbenaderings vir die werklike differensiaalvergelyking en daarom moet ons verskillendenotasies gebruik, soos reeds angetoon. Om weer saam te vat: Die eksakte waarde x(ti)sal ons benader deur die benaderde waarde xi.

Die presiese wiskundige afleiding is soos volg: Neem aan die interval [a, b] kan opgedeelword deur die punte a = t0, t1, t2, . . . , tn, tn+1 = b. Hierdie punte hoef nie gelykgespasieerte wees nie, maar vir ons doel sal ons aanvaar dat dit gelykgespasieer is. Stel dus, vir nstaplengte, h,

ti = a + ih, i = 0, . . . , n + 1, h =b an+ 1

.

Indien die benaderingsuitdrukkings

x(t) x(t + h) x(t h)2h

x(t) x(t + h) 2x(t) + x(t h)h2


nou gebruik word, tesame met die notasie x(t1) x1, x(t2) x2, . . . , x(tn) xn, danword die diskrete probleem vir die tweepuntrandwaardeprobleem die onderstaande:

x0 = xi1 2xi + xi+1

h2= f

(

ti, xi,xi+1 xi1

2h

)

, i = 1, . . . , n,

xn+1 = .

Hierdie stelsel lewer n vergelykings met n onbekendes xi, i = 1, . . . , n. Die n onbekendeskan in beginsel hieruit opgelos word. Die stelsel is in die algemeen egter nie-lineer, watbeteken dat dit dikwels moeilik is om die stelsel vergelykings op te los. n Numerieseoplostegniek soos die metode van Newton vir n stelsel vergelykings kan wel hiervoorgebruik word.

Spesiale geval: Ter wille van eenvoud en om n makliker probleem te kan oplos, neemons vervolgens aan dat die funksie f in die oorspronklike probleem die spesiale, maaralgemeen-voorkomende, lineere vorm

f(t, x, x) = u(t) + v(t)x+ w(t)x,

aanneem. Dan het die tweepuntrandwaardeprobleem die vorm

x = u(t) + v(t)x+ w(t)x, x(a) = , x(b) = .

Die stelsel vergelykings waaruit die benaderingsoplossing verkry kan word, is dan

x0 =

(1 12hwi)xi1 + (2 + h

2vi)xi + (1 +1

2hwi)xi+1 = h2ui, i = 1, . . . , n,

xn+1 = ,

waar ui = u(ti), vi = v(ti) en wi = w(ti). Hieruit kan nou opgelos word vir die onbekendes.Die onderstaande voorbeeld sal die saak mooi duidelik maak.

Voorbeeld Los numeries op met n = 3 :

x 4x = 502 sin t

onderhewig aan x(0) = 0 en x(1) = 5.

Om die oplossing te verkry, stel ons h = 104

en ti = 0+ ih met i = 0, . . . , 4. Dan is h =14.

Doen die volgende vervangings vir die waarde i :


(a) Vervang x deur

xi1 2xi + xi+1h2

, dit is, 16xi1 32xi + 16xi+1,

(b) vervang x deur xi en

(c) vervang t deur ti, dit is, i/4.

Saamgevat gee dit

16xi1 36xi + 16xi+1 = 502 sin

i

4, i = 1, 2, 3.

Dit lewer, vir i = 1, 2, 3,

16x0 36x1 + 16x2 = 5016x1 36x2 + 16x3 = 70,71116x2 36x3 + 16x4 = 50.

Indien die randwaardes x0 = 0 en x4 = 5 hierin vervang word, kry ons

0 36x1 + 16x2 = 5016x1 36x2 + 16x3 = 70,71116x2 36x3 + 80 = 50.

Hierdie stelsel kan opgelos word (byvoorbeeld met die reel van Cramer) en lewer dan asoplossing: x1 = 3,0134, x2 = 3,6551 en x3 = 0,7912. Saam met die randwaardeskry ons dan die finale, benaderde oplossing:x(0) = 0, x(0,25) 3,0134, x(0,5) 3,6551, x(0,75) 0,7912 en x(1) = 5.

Opmerkings Die volgende opmerkings is van belang.

Tridiagonale stelsel Indien ons in die vergelyking

(1 12hwi)xi1 + (2 + h

2vi)xi + (1 +1

2hwi)xi+1 = h2ui

die korter notasie ai = 1 12hwi, di = 2+ h2vi, ci = 1+ 12hwi en bi = h2ui stel, volg

x0 =

aixi1 + dixi + cixi+1 = bi, i = 1, . . . , n,

xn+1 = .


Deur in die hoofvergelyking hier bo i = 1, . . . , n te stel, verkry ons die volgende ma-triksvergelyking:

d1 c1 0 0 . . . . . . 0a2 d2 c2 0 . . . . . . 00 a3 d3 c3 . . . . . . 0

0 0 a4 d4. . . . . . 0

......

.... . .

. . .. . .

...0 0 . . . . . . an1 dn1 cn10 0 . . . . . . 0 an dn

x1x2x3x4...

xn1xn

=

b1 a1b2b3b4...

bn1bn cn

Let op dat die stelsel n tridiagonale patroon vertoon. Dit is baie spesiaal en daar bestaanspesiale tegnieke om die oplossing van so n stelsel te bepaal. Daarop sal in die volgendehoofstuk teruggekom word.

Diagonaaldominansie n Matriks met tipiese inskrywing {aij} heet n diagonaaldomi-nante matriks indien

|aii| >n

j=1, j 6=i

|aij |, i = 1, . . . , n.

Indien diagonaaldominansie vir n matriks soos hier bo geld, dan kan die oplossing direkverkry word deur Gauss-eliminasie, sonder spilbewerkings.

Ons wil nou aantoon onder watter omstandighede diagonaaldominansie vir bostaandestelsel geld.(a) Aanvaar dat vi > 0. Dan is di 2 + h2vi > 2 vir i = 1, . . . , n.(b) Aanvaar dat h klein genoeg is sodat ons kan se |1

2hwi| 1. Dus is 1 12hwi 1.

Hieruit volg die twee moontlikhede (i) 1 + 12hwi 0 en (ii) 1 12hwi 0.

Dus geld, vir i = 2, . . . , n 1, dat|ai|+ |ci| |1 12hwi|+ |1+ 12hwi| = |1+ 12hwi|+ |1 12hwi| = 1+ 12hwi+1 12hwi = 2.Saamgevat:

|2 + h2vi| > |1 +1

2hwi|+ |1

1

2hwi|.

Konvergensie Die vraag kan gevra word of die benaderde oplossing wat met bostaandemetode verkry word, enigsins n oplossing is van die oorspronklike probleem. Sonder omop die bewys in te gaan, kan gestel word dat dit aangetoon kan word dat wanneer h 0,die diskrete oplossing na die oplossing van die tweepuntrandwaardeprobleem konvergeer.Daarvoor moet ons natuurlik sekerheid he dat die randwaardeprobleem n oplossing het.Hiervoor geld die volgende stelling:


Stelling: Neem aan dat op die interval [a, b] die bogenoemde funksies u, v en w kon-tinu is, dat hul eerste afgeleides bestaan, en dat dit ook kontinu is, en dat v > 0. Dietweepuntrandwaardeprobleem

x = f(t, x, x)

met

c11x(a) + c12x(a) = c13

c21x(b) + c22x(b) = c23

het n eenduidige oplossing op die interval [a, b] mits1. f, ft, fx en fx kontinu is op die gebied D = [a, b] R R;2. fx > 0, |fx| M en |fx| M op D, en3. |c11|+ |c12| > 0, |c21|+ |c22| > 0, |c11|+ |c21| > 0 en c11c12 0 c21c22.

Hoofstuk 2

Die Thomas-algoritme

2.1 Inleiding

In hierdie hoofstuk wil ons n eksakte algoritme verkry vir die oplos van n tridiagonalestelsel.

Die numeriese oplosproses van n tweepuntrandwaardeprobleem (soos ons in die vorigehoofstuk teegekom het) lei gewoonlik tot n stelsel vergelykings van die vorm

d1 c1a2 d2 c2

a3 d3 c3. . .

. . .. . .

an1 dn1 cn1an dn

x1x2x3...

xn1xn

=

b1 a1b2b3...

bn1bn cn

,

waar ons van dieselfde simbole en notasie as voorheen gebruik maak.

Ons sal een metode bespreek om hierdie stelsel op te los, naamlik die Thomas-algoritme.Dit sal volledig afgelei en verduidelik word.

2.2 Die Thomas-algoritme

Die bostaande matriksvergelyking kan ons ook in die vorm

Ax = b

skryf, waar

15

16 HOOFSTUK 2. DIE THOMAS-ALGORITME

A =

d1 c1a2 d2 c2

a3 d3 c3. . .

. . .. . .

an1 dn1 cn1an dn

,

x =

x1x2x3...

xn1xn

en b =

b1 a1b2b3...

bn1bn cn

.

Neem nou aan dat die matriks A geskryf kan word as die produk van twee matrikse,naamlik,

A = LU,

waar L n links-driehoekige en U n regs-driehoekige matriks is. Omdat A tridiagonaalis, volg dit direk dat L en U elk net twee diagonale het en verder nulle. In die algemeenkan ons stel dat

L =

1f2 1

f3 1. . . . . .

fn 1

en U =

g1 c1g2 c2

. . . . . .gn1 cn1

gn

,

met f2, . . . , fn en g1, . . . , gn voorlopig onbekend.

Dan is

LU =

g1 c1f2g1 f2c1 + g2 c2

f3g2 f3c2 + g3 c3. . . . . .

fngn1 fncn1 + gn

en deur dit met A te vergelyk, kry ons

g1 = d1

figi1 = ai, i = 2, . . . , n;

fici1 + gi = di, i = 2, . . . , n.

2.2. DIE THOMAS-ALGORITME 17

Om nou die oorspronklike stelsel Ax = b, of dan, LUx = b op te los, gaan soos volg tewerk:(a) Stel z = Ux. Dan volg uit LUx = L(Ux) = b dat Lz = b, en hieruit kan opgelosword vir z.(b) Met z bekend, los op vir x uit Ux = z.

Hierdie vergelykings kan rekursief vir zi en xi soos volg opgelos word.

z1 = b1 a1zi = bi fizi1, i = 2, . . . , n 1;zn = (bn cn) fnzn1;xn = zn/gn

xi = (zi cixi+1)/gi, i = n 1, n 2, . . . , 1.

Algoritme Die proses kan in n algoritme-vorm soos volg saamgevat word:

1. Gegee die vektore a, c,d en b, bereken die vektore g, f en z soos volg:

g1 = d1

z1 = b1 a1

Vir i = 2, . . . , n bereken die volgende:

fi = ai/gi1,

gi = di fici1.

Vir i = 2, . . . , n 1 bereken die volgende:

zi = bi fizi1,

en ten slottezn = (bn cn) fnzn1.

2. Bereken die oplossingsvektor x dan soos volg:

xn = zn/gn

xi = (zi cixi+1)/gi, i = n 1, n 2, . . . , 1.

18 HOOFSTUK 2. DIE THOMAS-ALGORITME

Voorbeeld

As voorbeeld sal ons die stelsel vergelykings

0 36x1 + 16x2 = 5016x1 36x2 + 16x3 = 70, 71116x2 36x3 + 80 = 50.

van paragraaf 1.3 oplos.

Let op dat n = 3 en verder dat

d1 = 36 c1 = 16a2 = 16 d2 = 36 c2 = 16

a3 = 16 d3 = 36

en

b1 a1 = 50b2 = 70, 711

b3 c3 = 30.

Stap 1:

(1a) g1 = 36 en z1 = 50.

(1b) f2 = a2/g1 = 16/(36) = 0, 444 eng2 = d2 f2c1 = 36 (0, 444)16 = 28, 888f3 = a3/g2 = 16/(28, 888) = 0, 554 eng3 = d3 f3c2 = 36 (0, 554)16 = 27, 138z2 = b2 f2z1 = 70, 711 (0, 444)50 = 92, 933.

(1c) z3 = (b3 c3) f3z2 = 30, 0 (0, 554)(92.933) = 21, 470.

Stap 2:

(2c) x3 = z3/g3 = 21, 471/(27, 138) = 0, 791.

(2b) x2 = (z2 c2x3)/g2 = (92, 933 16(0, 791))/(28, 888) = 3, 655.

(2a) x1 = (z1 c1x2)/g1 = (50, 0 16(3, 655))/(36) = 3, 013.

Hoofstuk 3

Iteratiewe oplostegnieke

3.1 Inleiding

Die Thomas-algoritme om n stelsel lineere vergelykings op te los, is n eksakte metode (indie sin dat daar nie benaderings bereken word nie). Dit kan egter wel gebeur dat afron-dingsfoute wat in die rekenaarberekenings voorkom, oorgedra word en tot onstabiliteiteen verkeerde resultate kan lei, maar die tegnieke bly steeds eksakte metodes. Hierteenoorbestaan daar ook n groep metodes vir die oplos van n stelsel lineere vergelykings watiteratief van aard is. Hierdie tegnieke is geheel en al n alternatiewe oplostegniek metander voordele as die tegnieke van die vorige hoofstuk. Dit kan byvoorbeeld op baie grootstelsels toegepas word (105105) en die proses kan gestop word wanneer die akkuraatheidvoldoende is.

Ons sal die iteratiewe oplostegniek op twee wyses aflei, naamlik (a) eerstens deur middelvan n eenvoudige probleem, en (b) tweedens by wyse van n meer algemene bespreking.

3.2 Eerste afleiding van metodes

Beskou ten aanvang die stelsel van drie lineere vergelykings in drie onbekendes,

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3,

waar die bedoeling is om oplossings te kry vir x1, x2 en x3.

In hierdie stelsel kan ons op die ry af uit elke vergelyking oplos vir x1, x2 en x3 om tekry,

19

20 HOOFSTUK 3. ITERATIEWE OPLOSTEGNIEKE

x1 = (b1 a12x2 a13x3)/a11x2 = (b2 a21x1 a23x3)/a22x3 = (b3 a31x1 a32x2 )/a33.

Ons voer nou die idee in om hierdie stelsel iteratief op te los. Dit beteken dat die volgendeprosedure gevolg word: Raai oplossingswaardes vir x1, x2 en x3 en noem dit x

01, x

02 en

x03. Vervang dit regs in bogenoemde stelsel om links die waardes x11, x

12 en x

13 te kry.

Herhaal hierdie proses totdat n bevredigende oplossing verkry word. In die algemeen salons se dat as ons reeds die iteratiewe oplossings x

(k1)1 , x

(k1)2 en x

(k1)3 het, ons daarmee

die iteratiewe oplossings x(k)1 , x

(k)2 en x

(k)3 kan bereken. In terme van bostaande stelsel

kan ons skryf:

x(k)1 = (b1 a12x

(k1)2 a13x

(k1)3 )/a11

x(k)2 = (b2 a21x

(k1)1 a23x

(k1)3 )/a22

x(k)3 = (b3 a31x

(k1)1 a32x

(k1)2 )/a33.

Let op en doen moeite om dit te verstaan dat hierdie stelsel korter geskryf kan wordas

x(k)i =

1

aii

[

bi 3

j=1;j 6=i

aijx(k1)j

]

, i = 1, 2, 3.

Indien n stelsel van n vergelykings in n onbekendes opgelos moet word, kan bogenoemdevergelyking veralgemeen word na

x(k)i =

1

aii

[

bi n

j=1;j 6=i

aijx(k1)j

]

, i = 1, 2, . . . , n.

Let op dat ons deurgaans aanvaar dat aii 6= 0 vir alle gevalle ter sprake. Besef ook datas aii 0, daar berekeningsprobleme mag ontstaan.Hierdie metode staan bekend as die Jacobi-metode vir die oplos van n stelsel lineerevergelykings. n Verwante metode wat ons vervolgens bespreek, staan bekend as dieGauss-Seidel-metode.

Ons begin weer met die stelsel

3.2. EERSTE AFLEIDING VAN METODES 21

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3,

en los op vir x1, x2 en x3 om te kry,

x1 = (b1 a12x2 a13x3)/a11x2 = (b2 a21x1 a23x3)/a22x3 = (b3 a31x1 a32x2 )/a33.

Waar ons by die Jacobi-metode eers x(k)1 , x

(k)2 en x

(k)3 klaar bereken het met die ou waardes

x(k1)1 , x

(k1)2 en x

(k1)3 , gaan ons nou van die standpunt uit dat ons moontlik beter kan

doen deur n nuwe berekening so gou as moontlik te begin gebruik. Dus kan ons nou dieiteratiewe oplossings x

(k)1 , x

(k)2 en x

(k)3 soos volg bereken:

x(k)1 = (b1 a12x

(k1)2 a13x

(k1)3 )/a11

x(k)2 = (b2 a21x

(k)1 a23x

(k1)3 )/a22

x(k)3 = (b3 a31x

(k)1 a32x

(k)2 )/a33.

Let op en doen weereens moeite om dit te verstaan dat hierdie stelsel korter geskryfkan word as

x(k)i =

1

aii

[

bi 3

j=1;ji

aijx(k1)j

]

, i = 1, 2, 3.

Indien n stelsel van n vergelykings in n onbekendes opgelos moet word, kan bogenoemdevergelyking veralgemeen word na

x(k)i =

1

aii

[

bi n

j=1;ji

aijx(k1)j

]

, i = 1, 2, . . . , n.

Weereens moet deurgaans geld dat aii 6= 0 vir alle gevalle ter sprake.

Voorbeeld (toepassing van die Jacobi-metode): Los op vir x1, x2 en x3 in die onderstaandestelsel.


4x1 x2 +x3 = 74x18x2 +x3 =21

2x1 +x2+5x3 = 15

Met behulp van die formulering vir die Jacobi-metode kry ons:

x(k)1 = (7 + x

(k1)2 x

(k1)3 )/4

x(k)2 = (21 4x

(k1)1 x

(k1)3 )/(8)

x(k)3 = (15 + 2x

(k1)1 x

(k1)2 )/5.

Beginnende met die geraaide waardes x01 = 1, x02 = 2 en x

03 = 2 volg dat x

11 = 1,75,

x12 = 3,375 en x13 = 3,0 en dan weer dat x

21 = 1,844, x

22 = 3,875 en x

23 = 3,025.

Hierdie proses kan nou herhaaldelik voortgesit word. Soos met enige iteratiewe metodemoet die proses gestop word wanneer n sekere graad van akkuraatheid bereik is.

3.3 Tweede afleiding van metodes

Ons wil vervolgens meer algemeen en volledig matriks-gewys hierdie iteratiewe metodesverkry. Sodoende kan ook uitspraak gegee word oor konvergensie van die tegniek (metander woorde, hoe weet ons dat ons n korrekte resultaat as oplossing gaan kry).

Soos reeds verduidelik kom die strategie by hierdie tegnieke daarop neer dat as die verge-lyking

Ax = b

opgelos moet word, daar n benaderde oplossing x(0) as aanvangswaarde gekies word;hiermee word n verbeterde waarde x(1) bereken, dan x(2), x(3), x(4), ensovoorts. Ondergeskikte omstandighede vind konvergensie plaas na die oplossing x van die lineere stelsel.

As algemene agtergrond kan die volgende gestel word: Uit bogenoemde vergelyking volg

Qx = b Ax+Qx,

dit is,

Qx = (QA)x + b,

3.3. TWEEDE AFLEIDING VAN METODES 23

waar Q voorlopig n willekeurige, maar wel n omkeerbare, matriks is.

Laasgenoemde vergelyking kan iteratief geskryf word as

Qx(k) = (Q A)x(k1) + b

met x(0) gekies. Hieruit volg dan (onder geskikte omstandighede) dat

Qx = (QA)x + b.

Voordat daar na spesifieke iteratiewe oplostegnieke gekyk word, moet enkele opmerkingseers gemaak word.

Keuse van die matriks Tot dusver is niks gese oor die keuse vir Q nie. Die volgendekan nou hieroor opgemerk word:(a) Die keuse van Q moet sodanig wees dat dit maklik sal wees om die bostaande itera-tiewe vergelyking op te los.(b) Die keuse van Q moet ook sodanig wees dat konvergensie sal plaasvind, ongeag diebeginwaarde x(0). Dit kan bewerkstellig word deur Q naby A te kies.

Hierdie laaste bewering kan soos volg verduidelik word: Uit

Qx(k) = (Q A)x(k1) + b

volg

x(k) = Q1[(QA)x(k1) + b],

omdat Q omkeerbaar is. Indien x die korrekte oplossing is, volg dat

x(k) x = (I Q1A)x(k1) x +Q1b.

As ons die huidige fout definieer as e(k) x(k)x en die vorige fout as e(k1) x(k1)x,dan volg

e(k) = (I Q1A)x(k1) (I Q1A)x

= (I Q1A)(x(k1) x)= (I Q1A)e(k1).

Let dus op dat vir die tegniek om te konvergeer, die huidige fout kleiner moet wees asdie vorige fout. Dit sal kan gebeur as (I Q1A) klein is. Op sy beurt sal dit weerdie geval wees as I naby Q1A is, of as Q naby A is. (Die woorde klein(er) ennaby word in aanhalingstekens geplaas aangesien dit wiskundig gesproke eers sin kanhe indien daar van norms gebruik gemaak word.)


In die volgende paragraaf sal ons nou verder ingaan op verskillende moontlike keuses virQ.

3.4 Moontlike keuses

1. Q die diagonaal van A

As eerste tegniek kies ons Q as die diagonaal van A. Indien die vergelyking

Ax = b

geskryf word as

n

j=1

aijxj = bi, i = 1, . . . , n,

dan volg uit

Qx(k) = (Q A)x(k1) + b

dat

a11 0 . . . 00 a22 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . ann

x(k)1

x(k)2...

x(k)n

=

0 a12 . . . a1na21 0 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . 0

x(k1)1

x(k1)2...

x(k1)n

+

b1b2...bn

,

dit is,

aiix(k)i =

n

j=1; j 6=i

(aij)x(k1)j + bi, i = 1, . . . , n,

of, ten slotte, dat

x(k)i =

1

aii

[

n

j=1; j 6=i

aijx(k1)j + bi

]

, i = 1, . . . , n,

mits aii 6= 0 vir i = 1, . . . , n.Hierdie iteratiewe metode lewer die reeds bespreekte Jacobi-metode.

3.4. MOONTLIKE KEUSES 25

2. Q die laer driehoekige deel van A, insluitende die diagonaal

Vir n tweede keuse kies ons Q die laer driehoekige deel van A, met insluiting van diediagonaal. Met behulp van

n

j=1

aijxj = bi, i = 1, . . . , n,

en

Qx(k) = (Q A)x(k1) + b

volg dat

a11 0 . . . 0a21 a22 . . . 0...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

x(k)1

x(k)2...

x(k)n

=

0 a12 . . . a1n0 0 . . . a2n...

.... . .

...0 0 . . . 0

x(k1)1

x(k1)2...

x(k1)n

+

b1b2...bn

,

dit is,

n

j=1; ji

aijx(k)j =

n

j=1; j>i

(aij)x(k1)j + bi, i = 1, . . . , n,

of, ten slotte, dat

x(k)i =

1

aii

[

n

j=1; ji

aijx(k1)j + bi

]

, i = 1, . . . , n,

mits aii 6= 0 vir i = 1, . . . , n.Hierdie iteratiewe metode lewer die reeds-bespreekte Gauss-Seidel-metode.

3. Variasie op geval 2: die oorrelaksasietegniek

Die laasgenoemde vergelyking, naamlik

x(k)i =

1

aii

[

n

j=1; ji

aijx(k1)j + bi

]

, i = 1, . . . , n,

met aii 6= 0 vir i = 1, . . . , n, kan ook geskryf word as

x(k)i x

(k1)i =

1

aii

[

n

j=1; ji

aijx(k1)j + bi aiix

(k1)i

]

,


dit is,

x(k)i = x

(k1)i

1

aii

[

n

j=1; j

Hoofstuk 4

Paraboliese parsieledifferensiaalvergelykings

In hierdie hoofstuk beskou ons die warmtevergelyking (ook genoem die diffusievergely-king). Dit is n prototipe van n klas probleme wat bekend staan as paraboliese parsieledifferensiaalvergelykings. In hierdie probleme stel n mens belang in die verloop van nproses oor een of ander gebied soos wat die tyd verander. In paraboliese vergelykings isdaar gewoonlik n proses wat van een of ander toestand oorgaan na n stabiele toestandwaar omstandighede nie meer van tydstip tot tydstip verander nie.

4.1 Inleiding

Om n duidelike begrip te he van die tipes parsiele differensiaalvergelykings wat onsin hierdie en die volgende hoofstukke gaan bespreek, is dit nodig om te weet hoe dieverskillende vergelykings geklassifiseer word. Ons aanvaar dat die algemene vorm van dievergelyking onder beskouing die volgende is (vergelyk ook die inleidende opmerkings byhoofstuk 1):

Auxx +Buxy + Cuyy +Dux + Euy + Fu = G,

waar u(x, y) n funksie van die twee veranderlikes x en y is, en waar A, . . . , G ook funksiesvan x en y kan wees.

Die diskriminant B2 4AC wat uit hierdie vergelyking verkry kan word, speel n baiebelangrike rol. Die volgende gevalle kan onderskei word:

1. As B2 4AC > 0, dan staan die vergelyking bekend as n hiperboliese parsieledifferensiaalvergelyking.

2. As B2 4AC = 0, dan staan die vergelyking bekend as n paraboliese parsieledifferensiaalvergelyking.

27

28 HOOFSTUK 4. PARABOLIESE PARSIELE DIFFERENSIAALVERGELYKINGS

3. As B2 4AC < 0, dan staan die vergelyking bekend as n elliptiese parsiele diffe-rensiaalvergelyking.

Dit is dikwels n vermorsing van tyd om na n bepaalde probleem in wiskunde te kyk endit te probeer oplos. Wat eerder gedoen moet word, is om n veralgemeende probleem teformuleer en die dan op te los. Die verkree oplossing van die algemene probleem kan dandirek toegepas word op die besondere probleem.

Soos in die geval van gewone differensiaalvergelykings bestaan n goed-geformuleerdemodel van n fisiese probleem nie maar net uit n parsiele differensiaalvergelyking nie daar moet ook genoeg voorwaardes gegee word sodat n eenduidige oplossing vir dieprobleem verkry kan word.

Die volgende warmteprobleem kan in die driedimensionele ruimte as modelprobleem ge-bruik word:

uxx + uyy + uzz = ut.

In hierdie vergelyking is u n funksie van die ruimtelike veranderlikes x, y en z en t isdie tyd. Die notasie ut dui u/t aan, uxx dui

2u/x2 aan, ensovoorts. Uit hierdievergelyking kan die temperatuur u(x, y, z, t) op tydstip t by die posisie (x, y, z) in n drie-dimensionele liggaam verkry word. Let dus op dat u n reeelwaardige funksie is, afhanklikvan vier veranderlikes.

Ons sal spesifiek die volgende eenvoudiger eendimensionele uitdrukking, met die nodigevoorwaardes, naamlik

c2uxx = ut

op die gebied G as modelprobleem gebruik. In hierdie vergelyking is c n konstante, enG = {(x, t) : a < x < b, t 0}. Verder geld die aanvangswaarde u(x, 0) = g(x) en dierandwaardes u(a, t) = f1(t) en u(b, t) = f2(t), t 0.

4.2 Die eksplisiete metode

Ons doelwit in die numeriese oplos van die probleem is om getalle ui,j te bepaal sodanigdat hulle benaderings is vir die oplossingsfunksie se waardes in n aantal punte (xi, tj).Dit wil se, ons soek getalle

ui,j u(xi, tj) i = 0, . . . , n+ 1; j = 0, 1, 2, . . . .

Ons diskretiseer die parsiele differensiaalvergelyking soos wat ons vroeer die gewone dif-ferensiaalvergelyking gediskretiseer het. Ons kan dit doen deur n net (of rooster) oor

4.2. DIE EKSPLISIETE METODE 29

die gebied G te plaas deur die interval [a, b] langs die x-as in n gelyke deelintervalle teverdeel en n staplengte k in die rigting van die t-as te kies. In die besonder, stel

h =b an+ 1

, x0 = a, xi = x0 + ih, i = 1, . . . , n, xn+1 = b

en

tj = jk, j = 1, 2 . . . .

Vir die tweedeordeafgeleide stel ons

uxx(xi, tj) ui1,j 2ui,j + ui+1,j

h2,

en vir die eersteordeafgeleide stel ons

ut(xi, tj) ui,j+1 ui,j

k,

waar h en k die die lengte van die diskretisasie-interval aandui vir onderskeidelik dieveranderlikes x en t.

Ons kan dus die bostaande parsiele differensiaalvergelyking vervang deur die volgendebenaderingsvergelyking, wat in sy vorm n differensievergelyking is:

c2ui1,j 2ui,j + ui+1,j

h2=

ui,j+1 ui,jk

,

waaruit volg

ui,j+1 =c2k

h2ui1,j + (1 2

c2k

h2)ui,j +

c2k

h2ui+1,j.

Ons stel r = c2kh2

sodat die vergelyking word,

ui,j+1 = rui1,j + (1 2r)ui,j + rui+1,j, i = 1, . . . , n; j = 0, 1, . . . .

Let op dat hoewel ons hier bo benaderings ingevoer het vir uxx en ut ons afgesluit hetmet n vergelyking (en nie n benadering nie). Wat ons in der waarheid gedoen het,is om die oorspronklike parsiele differensiaalvergelyking benaderd te vervang deur ndifferensievergelyking. Ons herhaal ook weer dat hoewel ons eintlik op soek is na diefunksiewaardes u(xi, tj), i = 0, . . . , n + 1; j = 0, 1, 2, . . . , ons die benaderde waardesui,j, i = 0, . . . , n + 1; j = 0, 1, 2, . . . , gaan kry en daarmee tevrede sal moet wees.

Ons vat die tegniek soos volg saam in die onderstaande algoritme.

Algoritme: die eksplisiete metode


1. Plaas n net oor die gebied G = {(x, t) : a < x < b, t 0}, met

h =b an+ 1

, x0 = a, xi = x0 + ih, i = 1, . . . , n, xn+1 = b

en

tj = jk, j = 0, 1, 2 . . . .

2. Se ui,j is die gevraagde benaderings vir die oplossingsfunksie se waardes in dieroosterpunte (xi, tj), dit is ui,j u(xi, tj) met i = 1, . . . , n en j = 1, 2, . . . .

3. Met behulp van die aanvangswaarde kan ons stel

ui,0 = g(xi), i = 0, . . . , n+ 1.

4. Met behulp van die randwaardes kan ons stel

u0,j = f1(tj), un+1,j = f2(tj), j = 0, 1, 2, . . . .

5. Deur die parsiele differensiaalvergelyking te diskretiseer, volg

ui,j+1 = rui1,j + (1 2r)ui,j + rui+1,j,

met r = c2kh2

en i = 1, . . . , n; j = 0, 1, 2, . . . .

6. Met die bogenoemde aanvangs- em randwaardes bekend, kan hieruit opgelos wordvir ui,j deur opeenvolgend vir j = 1, 2, . . . op te los.

Opmerking

Omdat die benadering van die eersteordeafgeleide net n eersteordebenadering is, kanhoogstens eersteordeakkuraatheid in die finale oplossings verwag word. Dit beteken datn baie fyn net oor die gebied geplaas moet word. Daar is egter n verdere probleem,naamlik die van stabiliteit: As die stappe in die tydrigting nie baie klein is nie, bouafrondingsfoute op, en die oplossing raak totaal niksseggend. Ons sal in paragraaf 4.4weer op die saak van stabiliteit terugkom.

Voorbeeld

Beskou die parsiele differensiaalvergelyking ut = 2uxx onderhewig aan(a) die aanvangswaarde u(x, 0) = 0 as 0 < x 2 en(b) die randwaardes u(0, t) = 100 en u(2, t) = 0 as t 0 is.Neem h =0,5, r =0,25 en dus k = h2r/c2 = 0,250,25/2 = 0,03125. Die basiese formuleword

4.3. DIE CRANK-NICOLSON-METODE (IMPLISIETE METODE) 31

ui,j+1 =ui1,j + 2ui,j + ui+1,j

4

en verder het ons

u0,0 = 100, u1,0 = 0, u2,0 = 0, u3,0 = 0, u4,0 = 0

en

u0,1 = 100, u0,2 = 100, . . . ; u4,1 = 0, u4,2 = 0, . . . .

Dit lewer

u1,1 =100 + 2 0 + 0

4= 25

u2,1 =0 + 2 0 + 0

4= 0

u3,1 =0 + 2 0 + 0

4= 0

en dan

u1,2 =100 + 2 25 + 0

4= 37, 5

u2,2 =25 + 2 0 + 0

4= 6, 25

u3,2 =0 + 2 0 + 0

4= 0,

ensovoorts. Hierdie resultate kan op verskillende maniere visueel voorgestel word.

4.3 Die Crank-Nicolson-metode (implisiete metode)

Ons doelwit is nog steeds om die paraboliese parsiele differensiaalvergelyking

c2uxx = ut

met gegewe aanvangs- en randwaardes op te los. Ons bespreek in hierdie paragraaf nmeer effektiewe metode om die probleem op te los.

Hierdie metode behels onder andere dat die Thomas-algoritme herhaaldelik toegepasword, telkens om n hele ry oplossingswaardes by n volgende tydstap te bepaal. Elkevolgende waarde word dus nie eksplisiet soos voorheen uit die metode bepaal nie: dit


is implisiet in n stelsel vergelykings verskuil en moet met n verdere oplossingsprose-dure bepaal word. Hierdie implisiete metode staan bekend as die metode van Crank enNicolson, en is vernoem na die navorsers John Crank en Phyllis Nicolson. Dit is vinnigeren meer betroubaar as die eksplisiete metode en heelwat groter tydstappe kan gebruikword. Ons sal in die volgende paragraaf aantoon dat die eksplisiete metode onstabiel isindien die getal r groter as 0,5 gekies word. Die oorsaak vir die probleem le deels bydie eersteordeafgeleide na die tyd, waarvoor n eersteordebenadering gebruik word. Asverbetering hierop, het Crank en Nicolson hul metode voorgestel wat ons vervolgens wilbespreek.

Die basiese argument van Crank en Nicolson se metode kom daarop neer dat al is diebenadering

ui,j+1 ui,jk

vir ut(xi, tj)

van die eerste orde, is dieselfde benadering, naamlik,

ui,j+1 ui,jk

vir ut(xi, tj+ 12

) = ut(xi, tj +k

2)

egter n tweedeordebenadering, wat ons as sodanig sou kon benut.

Maar as ons die benadering vir ut in die regterlid (van die parsiele differensiaalvergelykinghier bo) by die punt (xi, tj+ 1

2

) neem, moet ons ook die benadering vir uxx in die linkerlid

in die punt (xi, tj+ 12

) neem. As ons egter waardes in punte halfpad tussen twee tydvlakkegebruik, bring ons nuwe onbekende funksiewaardes in. In plaas daarvan gebruik ons asbenadering vir uxx in die punt halfpad tussen die tydvlakke, die gemiddeld van uxx sewaardes by die twee tydstappe j en j + 1. Dus,

uxx(xi, tj+ 12

) 12[uxx(xi, tj) + uxx(xi, tj+1)]

12

[

ui+1,j 2ui,j + ui1,jh2

+ui+1,j+1 2ui,j+1 + ui1,j+1

h2

]

.

Dit lewer dan die diskretisasie

c2

2

[

ui+1,j 2ui,j + ui1,jh2

+ui+1,j+1 2ui,j+1 + ui1,j+1

h2

]

=ui,j+1 ui,j

k

wat ons, met die hulp van r = c2kh2

, kan herskryf as

r2ui1,j+1 + (1 + r)ui,j+1

r

2ui+1,j+1 =

r

2ui1,j + (1 r)ui,j +

r

2ui+1,j,

vir i = 1, 2, . . . , n.

Die aanvangs- en randwaardes kan net soos by die eksplisiete metode hanteer word deurte stel,

4.3. DIE CRANK-NICOLSON-METODE (IMPLISIETE METODE) 33

ui,0 = g(xi), i = 0, 1, . . . , n+ 1,

en

u0,j = f1(tj), un+1,j = f2(tj), j = 0, 1, 2, . . . .

Opmerkings

1. Vir elke tydstap j moet die hele stelsel vergelykings nou opgelos word die nuwewaardes kan nie een vir een soos voorheen bepaal word nie.

2. Vir elke tydstap j het ons n stelsel lineere vergelykings met n onbekendes in nvergelykings, met aanvanklik, vir i = 1, 2, . . . , n, die waardes ui,0 bekend en ui,1onbekend.

3. Die stelsel vergelykings is n tridiagonale stelsel. Aanvanklik word die waardes virj = 1 (dit is, t = t1) bepaal uit die vir j = 0. Dan word die waardes vir j = 2 (ditis, t = t2) bepaal uit die vir j = 1, ensovoorts. By elke tydstap, tj, kan dit metdie reedsbespreekte Thomas-algoritme of iteratiewe metodes opgelos word, deurdattelkens, met die waardes ui,j bekend, opgelos word vir ui,j+1.

Voorbeeld

Beskou weereens die parsiele differensiaalvergelyking ut = 2uxx onderhewig aan(a) die aanvangswaarde u(x, 0) = 0 as 0 < x 2 en(b) die randwaardes u(0, t) = 100 en u(2, t) = 0 as t 0 is.Neem weer h =0,5, r =0,25 en dus k = h2r/c2 = 0,25 0,25/2 = 0,03125. Die basieseformule word

ui1,j+1 + 10ui,j+1 ui+1,j+18

=ui1,j + 6ui,j + ui+1,j

8

en ons het ook

u0,0 = 100, u1,0 = 0, u2,0 = 0, u3,0 = 0, u4,0 = 0

en

u0,1 = 100, u0,2 = 100, . . . ; u4,1 = 0, u4,2 = 0, . . . .

Dit lewer met behulp van die bostaande formule die volgende vergelykings:


j = 0, i = 1 : u0,1 + 10u1,1 u2,1 = u0,0 + 6u1,0 + u2,0,dit is, 100 + 10u1,1 u2,1 = 100 + 6 0 + 0;

j = 0, i = 2 : u1,1 + 10u2,1 u3,1 = u1,0 + 6u2,0 + u3,0,dit is, u1,1 + 10u2,1 u3,1 = 0 + 6 0 + 0;

j = 0, i = 3 : u2,1 + 10u3,1 u4,1 = u2,0 + 6u3,0 + u4,0,dit is, u2,1 + 10u3,1 0 = 0 + 6 0 + 0.

Met behulp van die bogenoemde numeriese waardes, vereenvoudig hierdie vergelykingsna

10u1,1 u2,1 = 200u1,1 + 10u2,1 u3,1 = 0

u2,1 + 10u3,1 = 0.

of, in matriksvorm,

10 1 01 10 10 1 10

u1,1u2,1u3,1

=

20000

.

Die oplossing is

u1,1 = 20,20 u2,1 = 2,04 u3,1 = 0,20.

Vir die volgende tydstap kry ons die vergelyking

10 1 01 10 10 1 10

u1,2u2,2u3,2

=

323,2732,653,27

met oplossing

u1,2 = 32,99 u2,2 = 6,66 u3,2 = 0,99,

ensovoorts. Ook hierdie resultate kan op verskillende maniere visueel voorgestel word.

4.4. STABILITEIT 35

4.4 Stabiliteit

Ons wil vervolgens aandag gee aan die stabiliteit van sowel die eksplisiete as die implisietemetode. Die bespreking van beide gevalle verloop in n groot mate soortgelyk aan mekaar.Ons sal dit apart behandel en eerstens aandag gee aan die stabiliteit van die eksplisietemetode; daarna sal die stabiliteit van die implisiete metode aan die beurt kom.

Stabiliteit van die eksplisiete metode:

Vir die eksplisiete metode is die vergelyking

ui,j+1 = rui1,j + (1 2r)ui,j + rui+1,j,

die basis vir die numeriese oplostegniek.

Laat die waardes ui,j, i = 1, . . . , n op tydstap j vektorgewys aangedui word deur

Uj =

u1,ju2,j...

un,j

.

Ter wille van die verdere bespreking aanvaar ons dat die randwaardes deurgaans 0 is, ditis, f1(t) = f2(t) = 0, sodat u0,j = un+1,j = 0 vir alle j.

Bogenoemde vergelyking kan dan geskryf word as

Uj+1 = AUj,

waar A die n n matriks is, gegee deur

A =

1 2r r 0 . . . 0r 1 2r r . . . 00 r 1 2r . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1 2r

.

As ons aanvaar dat die probleem onder beskouing n warmteprobleem is, dan kan onsredeneer dat die temperatuur in die liggaam onder beskouing na 0 sal nader as t omdat die rande by 0 grade gehou word. Dit moet daarom dus ook geld dat die numerieseoplossing na 0 sal nader as t . Aangesien

Uj+1 = AUj,

geld


Uj = AUj1 = A2Uj2 = . . . = A

jU0.

Neem aan dat die eiewaardes van A gegee word deur 1, . . . , n en stel

(A) = maksi=1,...,n|i|.Die uitdrukking (A) staan bekend as die spektraalradius van A.

Ons aanvaar nou n stelling waarvolgens limjAjU0 = 0 as en slegs as (A) < 1. Dus

kan ons stel dat die parameter r = c2kh2

sodanig gekies moet word dat (A) < 1, dit is, aldie eiewaardes van A moet in absolute waarde kleiner as 1 wees.

n Bepaling van die eiewaardes van A (Bylae 1) toon dat dit gegee word deur

i = 1 2r(1 cos i), i =i

n+ 1, i = 1, . . . , n.

Vir (A) om kleiner as 1 te wees, moet dus geld dat

1 < 1 2r(1 cos i) < 1, i = 1, . . . , n.

Dit sal geld as en slegs as

0 < r 0. Ons soek nou na die minimumwaarde van

1

1 cos i, i = 1, . . . , n,

(of selfs n nog kleiner waarde) sodat dit kan dien as beperking op die waarde van r: Letop dat i 6= , i = 1, . . . , n. Vir hierdie keuses van i geld dit dus dat cos i < 1. Dus is1 cos i < 2 waaruit volg dat

1

1 cos i>

1

2.

Aangesien r positief is, kan ons dus die eis stel dat r op die grootste 12mag wees.

Samevattend: Vir die eksplisiete metode om dus stabiel te wees, aanvaar ons dat r =c2kh2

12.

Stabiliteit van die implisiete metode:

Vir die implisiete metode is die vergelyking

r2ui1,j+1 + (1 + r)ui,j+1

r

2ui+1,j+1 =

r

2ui1,j + (1 r)ui,j +

r

2ui+1,j,

die basis vir die numeriese oplostegniek.

Laat die waardes ui,j, i = 1, . . . , n op tydstap j weereens aangedui word deur

4.4. STABILITEIT 37

Uj =

u1,ju2,j...

un,j

.

Bogenoemde vergelyking kan dan geskryf word as

(2I + rB)Uj+1 = (2I rB)Uj,

waar B die n n matriks is, gegee deur

B =

2 1 0 . . . 01 2 1 . . . 00 1 2 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 2

.

Ter wille van die verdere bespreking aanvaar ons ook hier dat die randwaardes deurgaans0 is, dit is, f1(t) = f2(t) = 0. Dan is u0,j = un+1,j = 0 vir alle j.

As ons ook weer aanvaar dat die probleem onder beskouing n warmteprobleem is, dan kanons weer redeneer (weereens omdat die rande by 0 grade gehou word) dat die temperatuurin die liggaam onder beskouing na 0 sal nader as t . Dit moet daarom dus ook weergeld dat die numeriese oplossing na 0 sal nader as t . Aangesien

Uj+1 = (2I + rB)1(2I rB)Uj,

geld

Uj = (2I + rB)1(2I rB)Uj1

= [(2I + rB)1(2I rB)]2Uj2= . . .

= [(2I + rB)1(2I rB)]jU0,

sodat limj[(2I + rB)1(2I rB)]jU0 = 0 as en slegs as

[(2I + rB)1(2I rB)] < 1.

Die stabiliteit van die metode sal dus verseker wees as ons kan bewys dat

[(2I + rB)1(2I rB)] < 1.

Ons sal in Bylae 2 aantoon dat dit wel die geval is vir enige waarde van r.

Samevattend: Die implisiete metode is stabiel vir alle waardes van r = c2kh2

.


BYLAE 1

Ons sal in n paar stappe aantoon dat die eiewaardes van A gegee word deur

i = 1 2r(1 cos i), i =i

n+ 1, i = 1, . . . , n.

Stap 1:

Let op dat die matriks

A =

1 2r r 0 . . . 0r 1 2r r . . . 00 r 1 2r . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1 2r

.

geskryf kan word as

A = I rB

waar B gegee word deur

B =

2 1 0 . . . 01 2 1 . . . 00 1 2 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 2

.

Indien ons skryf Ax = x en Bx = x, dan is Ax = (I rB)x = (1 r)x, dit is,(1 r)x = x. Dus is 1 r = . Ons hoef dus slegs die eiewaardes van B te bepaal.Die eiewaardes van A volg dan direk uit hierdie laaste uitdrukking.

Stap 2:

Vir die bewys word die volgende identiteite aanvaar (maar kontroleer dit self en weesdaartoe in staat om die bewyse te kan doen):

sin(k + 1) + sin(k 1) = 2 sin k cos 2 sin sin 2 = (2 2 cos ) sin

2 sinn sin(n 1) = (2 2 cos ) sinn.

Hierin is k en n gegewe waardes.

4.4. STABILITEIT 39

Stap 3:

Laat xi = [sin i, sin 2i, . . . , sin ni]T , waar i =

in+1

, i = 1, . . . , n. Dan volg (onderandere met behulp van die bogenoemde identiteite) dat

Bxi =

2 1 0 . . . 01 2 1 . . . 00 1 2 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 2

sin isin 2isin 3i

...sinni

=

2 sin i sin 2i sin i + 2 sin 2i sin 3i sin 2i + 2 sin 3i sin 4i

... sin(n 2)i + 2 sin(n 1)i sin ni

sin(n 1)i + 2 sinni

=

(2 2 cos i) sin i2 sin 2i 2 sin 2i cos i2 sin 3i 2 sin 3i cos i

...2 sin(n 1)i 2 sin(n 1)i cos i

(2 2 cos i) sinni

= (2 2 cos i)

sin isin 2isin 3i

...sin(n 1)i

sinni

= (2 2 cos i)xi.

Hiermee is aangetoon dat die eiewaardes van B, naamlik i, i = 1, . . . , n, gegee worddeur

i = (2 2 cos i).Dus word die eiewaardes van A, naamlik i, i = 1, . . . , n, gegee deur

i = 1 2r(1 cos i).


BYLAE 2

Ons sal in n paar stappe aantoon dat

[(2I + rB)1(2I rB)] < 1.

Stap 1:

Uit die vergelykingBx = x

kan die eiewaardes van B bereken word. Omdat dit geld dat Ix = 1x, kan ons aflei dat

(2I + rB)x = (2 + r)x en

(2I rB)x = (2 r)x.

Verder nog: omdat Bx = x, geld 1Bx = x en dus

B1x =1

x.

Met behulp van hierdie drie resultate volg dan

(2I + rB)1(2I rB)x = (2I + rB)1[(2I rB)x]= (2I + rB)1[(2 r)x]= [(2I + rB)1x](2 r)= (2 + r)1(2 r)x.

As 1, 2, . . . , n die eiewaardes van B is, moet ons vervolgens dus aantoon dat

2 ri2 + ri

< 1, i = 1, . . . , n.

Stap 2:

Soos reeds in Bylae 1 aangetoon, word die eiewaardes van B, naamlik 1, 2, . . . , n gegeedeur die numeriese waardes

i = 2(1 cos i), i =i

n + 1, i = 1, . . . , n.

Stap 3:

4.4. STABILITEIT 41

Aangesien dit vir die bogenoemde waardes van i geld dat 1 < cos i < 1,is 0 < (1 cos i) < 2 en dus 0 < 2(1 cos i) < 4; dit is,

0 < i < 4, i = 1, . . . , n.

Vir i = 1, . . . , n, geld dus dat ri > 0, en dus dat 4 ri < 4 + ri.Ook, omdat 0 < 4 geld verder dat ri < 4 ri.Uit hierdie twee resultate het ons dan

ri < 4 ri < 4 + ri,

dit is,

2 ri < 2 ri < 2 + ri,

en gevolglik,

1 < 2 ri2 + ri

< 1.

Die ongelykheid

2 ri2 + ri

< 1, i = 1, . . . , n,

geld dus vir enige positiewe keuse van r, saam met die gegewe waardes van i, i = 1, . . . , n.

Hoofstuk 5

Elliptiese parsieledifferensiaalvergelykings

5.1 Inleiding

In hierdie hoofstuk beskou ons elliptiese parsiele differensiaalvergelykings. Uit hierdie klasvergelykings is die Laplace-vergelyking beroemd. Weens sy geskiedkundige ontwikkelingkan dit beskou word as die prototipe-probleem.

Laplace-vergelyking

2u 2u

x2+

2u

y2= 0.

In Wiskunde is daar die voortdurende prosesse van enersyds spesialiserings en andersydsveralgemenings. So is bostaande vergelyking, hoe belangrik ook al, op sy beurt n spesialegeval van die Poisson-vergelyking. Die kan soos volg geformuleer word:

Poisson-vergelyking

2u 2u

x2+

2u

y2= f(x, y),

met f n gegewe funksie.

Die proses van veralgemening kan egter nog verder voortgesit word. Beide bostaandeparsiele differensiaalvergelykings vorm op hulle beurt weer n onderdeel van die soge-noemde Dirichlet-probleem. Hierdie probleem bestaan uit die Poisson-vergelyking (of asn spesiale geval, die Laplace-vergelyking) saam met randvoorwaardes wat die waardesvan die oplossingsfunksie op die rand van die gebied voorskryf. Ons dui die gebied aandeur G en die rand van die gebied deur G. Die randvoorwaarde is dan van die vormu(x, y) = g(x, y), (x, y) G, met g n gegewe funksie. Saamgevat:

43

44 HOOFSTUK 5. ELLIPTIESE PARSIELE DIFFERENSIAALVERGELYKINGS

Dirichlet-probleem Los op vir u(x, y) uit die Poisson-vergelyking

2u 2u

x2+

2u

y2= f(x, y),

met f n bekende funksie, of, as spesiale geval, die Laplace-vergelyking

2u 2u

x2+

2u

y2= 0.

Enige van hierdie vergelykings geld op die gebied G. Op die rand van die gebied, G,geld die randvoorwaarde, u(x, y) = g(x, y), (x, y) G, met g n gegewe funksie.

5.2 Die metode van onbepaalde koeffisiente

Voordat ons verder gaan met n bespreking van elliptiese parsiele differensiaalvergely-kings, staan ons eers stil by n baie handige en bruikbare tegniek wat bekend staan as diemetode van onbepaalde koeffisiente. Hierdie tegniek word wyd in Wiskunde en ToegepasteWiskunde gebruik, nie net by die oplos van parsiele differensiaalvergelykings nie.

Gestel n maklik-berekenbare wiskundige formulering word gesoek vir n gegewe moeilik-berekenbare wiskundige uitdrukking. Voorbeelde hiervan is die volgende: n Sekerefunksie is moeilik integreerbaar, en daar word daarom na n makliker formule gesoek.Of: n parsiele afgeleide is onbekend maar dit moet op een of ander manier meganiesbereken word, ens. Dikwels is die metode van onbepaalde koeffisiente dan juis n gemak-like uitkomkans.

Ons het reeds in n vorige hoofstuk tegnieke bespreek om die afgeleide van n funksie deurmiddel van n formule-berekening te verkry. Meer spesifiek, ons het reeds aangetoon, deuronder andere van n Taylor-ontwikkeling gebruik te maak, dat

f (x) f(x 2h) 8f(x h) + 8f(x+ h) f(x+ 2h)12h

,

of, as n spesiale geval, met x = 0, dat

f (0) f(2h) 8f(h) + 8f(h) f(2h)12h

.

Ons gaan hierdie laaste formule nou aflei deur gebruik te maak van die metode vanonbepaalde koeffisiente.

Vir hierdie metode gaan ons uit van die veronderstelling dat die formule waarna onssoek moet geld vir n eenvoudige funksie, byvoorbeeld n polinoom van graad n, se,anx

n+an1xn1+ +a0. As ons aanvaar dat die proses onder beskouing n lineere proses

is (soos wat byvoorbeeld die geval is met differensiasie en integrasie), dan sal die resultaat

5.3. BASIESE IDEE OM DIE OPLOSSING TE KRY 45

korrek wees vir bogenoemde polinoom as dit korrek is vir die funksies xn, xn1, . . . , 1, ookgenoem basisfunksies.

Ons volg nou die volgende werkwyse: Neem aan ons soek na n benadering

f (0) Af(2h) +Bf(h) + Cf(0) +Df(h) + Ef(2h),

waar h n gegewe staplengte is, en A,B,C,D en E onbepaalde (onbekende) koeffisienteis, wat bepaal moet word.

As ons nou aanvaar dat die bostaande benadering presies korrek moet wees vir n poli-noom van graad 4, kry ons vyf vergelykings waaruit die onbekendes bepaal kan word,naamlik:

f(x) = 1 : 0 = 1A+ 1B+ 1C + 1D+ 1E

f(x) = x : 1 = (2h)A+ (h)B + 0C + (h)D+ (2h)Ef(x) = x2 : 0 = (2h)2A+ (h)2B+ 0C +(h)2D+(2h)2Ef(x) = x3 : 0 = (2h)3A+ (h)3B+ 0C +(h)3D+(2h)3Ef(x) = x4 : 0 = (2h)4A+ (h)4B+ 0C +(h)4D+(2h)4E

Uit hierdie vyf lineere vergelykings kan opgelos word vir die vyf onbekendes. Om dieberekenings egter ter wille van hierdie bespreking eenvoudig te hou, aanvaar ons dat diegesoekte formule simmetries is, behalwe vir n tekenverskil. Dus, aanvaar A = E enB = D. Dan is C = 0 en met min moeite volg A = 1

12h, B = 8

12h, D = 8

12hen E = 1

12h.

Saamgevat kry ons dan die vroeere resultaat

f (0) f(2h) 8f(h) + 8f(h) f(2h)12h

.

Opmerking: Let op dat hoewel ons in bostaande afleiding van eksakte vergelykings (ennie benaderingsvergelykings nie) gebruik gemaak het, ons hierdie finale resultaat steedsas n benadering skryf. Wat natuurlik waar is, is dat in sommige gevalle, waaronder diegevalle van die basisfunksies 1, x, x2, x3, x4, die eksakte antwoord wel gekry word.

5.3 Basiese idee om die oplossing te kry

Die basiese idee in die hantering van elliptiese parsiele differensiaalvergelykings is die-selfde as vir paraboliese parsiele differensiaalvergelykings, en soos later sal blyk, ook virhiperboliese parsiele differensiaalvergelykings, naamlik dat die vergelyking gediskretiseerword. Die metode om die parsiele differensiaalvergelykings te diskretiseer is weereensdeur die afgeleides te vervang met eindigeverskille-benaderings, die foutterme te ignoreeren die waardes wat uit die vergelykings volg, te neem as benaderings vir die oplossing inn versameling roosterpunte.

Oorsigtelik gestel, kan ons die Dirichlet-probleem soos volg numeries oplos:


1. n Rooster (of net) word oor die betrokke gebied geplaas. Die inkremente van dierooster word langs die x- en y-rigting gekies. Om die berekenings eenvoudig te hou,sal ons die staplengtes in beide rigtings dieselfde kies, se h.

2. Dui die roosterpunte met (xi, yj) aan. Laat die numeriese benaderings soos volgaangedui word:

u(xi, yj) ui,ju(xi + h, yj) ui+1,ju(xi h, yj) ui1,ju(xi, yj + h) ui,j+1u(xi, yj h) ui,j1.

3. Vervang by die punt (xi, yj) die tweede afgeleide uxx met die benaderingswaarde

uxx|(xi,yj) ui+1,j 2ui,j + ui1,j

h2

en die tweede afgeleide uyy met die benaderingswaarde

uyy|(xi,yj) ui,j+1 2ui,j + ui,j1

h2.

Vervang dan die Laplaciaan uxx + uyy by (xi, yj) met die benaderingswaarde

(uxx + uyy)|(xi,yj) ui,j+1 + ui1,j + ui,j1 + ui+1,j 4ui,j

h2.

Vervang hierdie uitdrukking in die gegewe parsiele differensiaalvergelyking. Danword die diskretiseringsformule vir die Poisson-vergelyking by die punt (xi, yj) (ditwil se, die benaderingsvergelyking vir die differensiaalvergelyking),

ui,j+1 + ui1,j + ui,j1 + ui+1,j 4ui,jh2

= f(xi, yj).

4. Vervang alle onbekendes op die rand met die gegewe waardes.

5. Los die stelsel vergelykings wat sodoende gevorm word op.

Voordat ons na voorbeelde kyk, net die volgende oor notasie: n Notasie wat soms ge-volg word in die afleiding van diskretiseringsformules en wat baie help vir n visuelevoorstelling is die volgende:

Stel die basispunt (x, y) voor as O.Stel die punt (x, y + h) voor as N (want dit le noord van O);stel die punt (x h, y) voor as W (want dit le wes van O);stel die punt (x, y h) voor as S (want dit le suid van O); en,stel die punt (x+ h, y) voor as E (want dit le oos, Engels east, van O).

5.3. BASIESE IDEE OM DIE OPLOSSING TE KRY 47

Die afkortings NW,SW, SE,NE word soms selfs ook gebruik. Volgens bostaande notasiedui die simbole uN , uW , uS, uE, dan die benaderde waardes aan van die funksie u viru(x, y + h), u(x h, y), u(x, y h), u(x+ h, y).Met hierdie notasie word die bostaande basiese diskretiseringsformule vir die Poisson-vergelyking by die punt (x, y) dan

uN + uW + uS + uE 4uOh2

= f(x, y).

Vanwee die meetkundige voorkoms van die uitdrukking


,

sal ons daarna verwys as die (reelmatige) vyfpuntsterformule.

Ons let nou op die volgende voorbeeld.

Voorbeeld 1: Los die volgende Dirichlet-probleem numeries op: Die Poisson-vergelyking

uxx + uyy = 32x2

geld op die vierkantige gebied 0 x 1, 0 y 1; op die rand van hierdie gebied isu = 4xy.

Interpretasie van die probleemstelling: Maak vooraf n skets van die gebied ter sprake enlet op die volgende:1. Die gebied waarop die parsiele differensiaalvergelyking van toepassing is, is die vierkantbeskryf deur 0 x 1, 0 y 1.2. Op die rand van die gebied word die funksie u gegee deur u = 4xy.3. Op die inwendige van die gebied word die funksie u beskryf deur die parsiele differen-siaalvergelyking

uxx + uyy = 32x2.

Oplos van die probleem:

1. Teken die vierkant. Neem h = 12en let op dat, vir hierdie growwe rooster, daar

slegs een onbekende inwendige punt is.

2. Nommer die onbekende benaderde funksiewaarde by hierdie punt u1,1.

3. Die funksiewaardes op die rand word gegee deur


u0,0 = u(0, 0) = 4 0 0 = 0u1,0 = u(

12, 0) = 4 1

2 0 = 0

u2,0 = u(1, 0) = 4 1 0 = 0u0,1 = u(0,

12) = 4 0 1

2= 0

u2,1 = u(1,12) = 4 1 1

2= 2

u0,2 = u(0, 1) = 4 0 1 = 0u1,2 = u(

12, 1) = 4 1

2 1 = 2

u2,2 = u(1, 1) = 4 1 1 = 4

4. Pas die vyfpuntsterformule toe op die enkele inwendige punt om sodoende eenvergelyking te kry met die een onbekende u1,1. Neem uO = u1,1 as onbekende enuN = u1,2, uW = u0,1, uS = u1,0, uE = u2,1 as bekendes. Die vergelyking by diepunt (x, y) = (1

2, 12) word


= 32x2|x=1/2,

2 + 0 + 0 + 2 4uO(12)2

= 32(

1

2

)2

.

5. Hieruit volg dat4uO = 6.

6. Dus is die oplossing van die vergelyking u0 =32.

7. n Vergelyking met die waardes van u op die rand, bevestig dat die funksiewaardeby die punt (1

2, 12) realisties is.

In hierdie eenvoudige voorbeeld blyk dit nie duidelik nie, maar dit sal later duidelik weesdat ons nie van een kant van die gebied kan begin werk en ry-vir-ry die numeriese oplos-sings kan bepaal soos voorheen nie. Die waardes by alle roosterpunte kom normaalweggelyktydig voor in die stelsel vergelykings wat opgelos moet word.

Selfs op n eenvoudige gebied met n growwe net beteken die feit dat al die onbekendefunksiewaardes gelyktydig in die stelsel vergelykings voorkom, alreeds groot stelsels verge-lykings.

Op n vierkant met sylengte 1 met n rooster van 4 inwendige punte langs elk van die tweeasse, sal ons 16 vergelykings met 16 onbekendes he. As ons dit op die konvensionele manierhanteer en as n matriksvergelyking skryf, sal die koeffisientematriks 256 inskrywings he.Netso, op n vierkant met sylengte 1 met n rooster van 40 inwendige punte langs elkvan die twee asse, sal ons 1600 vergelykings met 1600 onbekendes he. As ons dit op diekonvensionele manier hanteer, sal dit n koeffisientematriks met 2,56 miljoen inskrywingstot gevolg he!

So n verskynsel sal natuurlik ruimteprobleme op meeste persoonlike rekenaars met meesteprogrammeringstale tot gevolg he. Die fokus verskuif dus in n mate van die diskretise-ringsprobleem na die hantering van groot stelsels vergelykings. Die volgende opmerking

5.4. VERDERE VOORBEELDE IN VERBAND MET DIRICHLET-PROBLEME 49

is dus van belang: As daar n diskretisering gevind kan word wat met n growwe roosterhoe akkuraatheid lewer, dan is die aantal onbekendes en vergelykings wat nodig is, on-middellik baie minder.

Vir verdere probleemoplossings, gee ons die volgende samevatting van die tegniek:

1. Teken n skets van die gebied G met die rooster daarop.

2. Nommer alle onbekende benaderde funksiewaardes ui,j, met i = 1, . . . , n en j =1, . . . , m.

3. Vul alle bekende funksiewaardes op die rand in, met behulp van die randvoor-waardes. Dit lewer die randwaardes.

4. Pas bogenoemde vyfpuntsterformule toe op elke inwendige punt.

5. Herskryf die vergelykings met onbekendes links en bekendes regs.

6. Los die vergelykings op.

7. Vul die antwoorde op die skets in en kontroleer dat dit realisties is.

5.4 Verdere voorbeelde in verband met Dirichlet-

probleme

In hierdie afdeling let ons op n paar verdere voorbeelde in verband met Dirichlet-probleme op n reghoek (of vierkant).

Voorbeeld 2: Ons herhaal voorbeeld 1, maar nou met n fyner rooster. In hierdievoorbeeld is daar slegs een roosterpunt per sykant meer, naamlik 2. Dus, los die volgendeDirichlet-probleem numeries op: Die Poisson-vergelyking

uxx + uyy = 32x2

geld op die vierkantige gebied 0 x 1, 0 y 1; op die rand van hierdie gebied isu = 4xy.


1. Teken die vierkant. Neem h = 13en let op dat, vir hierdie fyner rooster, daar nou

4 inwendige punte is. Daar sal dus 4 onbekende waardes wees om te bepaal uit4 lineere vergelykings. Let op hoe die koeffisiente matriks reeds opblaas na 16inskrywings, hoewel sommige inskrywings gelukkig 0 is.

2. Nommer die onbekende benaderde funksiewaardes by hierdie punte u1,1, u2,1, u1,2en u2,2.



u0,0 = u(0, 0) = 4 0 0 = 0u1,0 = u(

13, 0) = 4 1

3 0 = 0

u2,0 = u(23, 0) = 4 2

3 0 = 0

u3,0 = u(1, 0) = 4 1 0 = 0u0,1 = u(0,

13) = 4 0 1

3= 0

u3,1 = u(1,13) = 4 1 1

3= 4

3

u0,2 = u(0,23) = 4 0 2

3= 0

u3,2 = u(1,23) = 4 1 2

3= 8

3

u0,3 = u(0, 1) = 4 0 1 = 0u1,3 = u(

13, 1) = 4 1

3 1 = 4

3

u2,3 = u(23, 1) = 4 2

3 1 = 8

3

u3,3 = u(1, 1) = 4 1 1 = 4

4. Pas die vyfpuntsterformule toe op die vier inwendige punte om sodoende vier verge-lykings te kry in die vier onbekendes u1,1, u2,1, u1,2 en u2,2. By hierdie punte is dievergelykings dan:

u1,1 :u1,2 + u0,1 + u1,0 + u2,1 4u1,1

h2= 32

(

1

3

)2

u2,1 :u2,2 + u1,1 + u2,0 + u3,1 4u2,1

h2= 32

(

2

3

)2

u1,2 :u1,3 + u0,2 + u1,1 + u2,2 4u1,2

h2= 32

(

1

3

)2

u2,2 :u2,3 + u1,2 + u2,1 + u3,2 4u2,2

h2= 32

(

2

3

)2

.

5. Hieruit volg die stelsel

4u1,1 + u2,1 + u1,2 = 32(13)4u1,1 4u2,1 + u2,2 = 4 32(13)4 43u1,1 4u1,2 + u2,2 = 32(13)4 43

u2,1 + u1,2 4u2,2 = 4 32(13)4 2 83 .

6. Hieruit volg die oplossings van die vergelykings u1,1 = 0,790124, u2,1 = 1,530864,u1,2 = 1,234568 en u2,2 = 2,419753.

7. n Vergelyking met die waardes van u op die rand, bevestig dat hierdie berekendefunksiewaardes by die inwendige punte realisties is.

Voorbeeld 3: Ons let ook op die volgende probleem, met n rooster soos die vorigegeval. Los die Laplace-vergelyking

uxx + uyy = 0

5.4. VERDERE VOORBEELDE IN VERBAND MET DIRICHLET-PROBLEME 51

op die vierkantige gebied 0 x 1, 0 y 1 op. Die randwaardes word gegee deur

u(x, 0) = 0

u(x, 1) = sin x

u(0, y) = 0

u(1, y) = 0


1. Teken die vierkant. Neem h = 13en let op dat daar weer 4 inwendige punte is. Daar

sal dus 4 onbekende waardes wees om te bepaal uit die 4 lineere vergelykings.

2. Nommer die onbekende benaderde funksiewaardes by hierdie punte u1,1, u2,1, u1,2en u2,2.


u0,0 = u(0, 0) = 0u1,0 = u(

13, 0) = 0

u2,0 = u(23, 0) = 0

u3,0 = u(1, 0) = 0u0,1 = u(0,

13) = 0

u3,1 = u(1,13) = 0

u0,2 = u(0,23) = 0

u3,2 = u(1,23) = 0

u0,3 = u(0, 1) = 0

u1,3 = u(13, 1) =

3/2

u2,3 = u(23, 1) =

3/2

u3,3 = u(1, 1) = 0

4. Pas bogenoemde vyfpuntsterformule toe op die vier inwendige punte om sodoendevier vergelykings te kry in die vier onbekendes u1,1, u2,1, u1,2 en u2,2. By elkeen vanhierdie punte is die vergelykings:

u1,1 : u1,2 + u0,1 + u1,0 + u2,1 4u1,1 = 0u2,1 : u2,2 + u1,1 + u2,0 + u3,1 4u2,1 = 0u1,2 : u1,3 + u0,2 + u1,1 + u2,2 4u1,2 = 0u2,2 : u2,3 + u1,2 + u2,1 + u3,2 4u2,2 = 0.

5. Hieruit volg die stelsel

4u1,1 + u2,1 + u1,2 = 0u1,1 4u2,1 + u2,2 = 0u1,1 4u1,2 + u2,2 =

3/2

u2,1 + u1,2 4u2,2 = 3/2.


6. Hieruit volg die oplossings van die vergelykings u1,1 =3/16, u2,1 =

3/16, u1,2 =

33/16 en u2,2 = 3

3/16.

7. n Vergelyking met die waardes van u op die rand, bevestig dat hierdie berekendefunksiewaarde by die inwendige punte realisties is.

Opmerking: Let op dat ons met behulp van simmetrie-oorwegings (maar wees versigtighiermee!) sou kon se dat u1,1 = u2,1 en u1,2 = u2,2. Dan is die stelsel heelwat eenvoudiger.

Hierdie probleem is om twee redes ingevoeg: (a) Om die numeriese oplostegniek nogweer te verduidelik, en (b) om ook die oplossing analities te bepaal en die resultate metbostaande resultate te vergelyk.

Ons gee vervolgens aandag aan laasgenoemde saak deur die analitiese oplossing van hier-die probleem neer te skryf (vergelyk Kreyszig, 11.5 (8e uitgawe) of 12.5 (9e uitgawe)).Die algemene analitiese oplossing van die probleem is

u(x, y) =

n=1

An sinnx sinh ny,

met

An =2

sinhn

1

0

sin x sin nx dx, n = 1, 2, . . . .

Die waardes van An moet vervolgens bepaal word:

Vir n = 1 is

A1 =1

sinh limn1

[

sin(n 1)(n 1)

sin(n+ 1)

(n+ 1) sin(n 1)0

(n 1) +sin(n + 1)0

(n+ 1)

]

=1

sinh .

Vir n = 2, 3, . . . , volg,

An =2

sinh n

1

0

sin x sinnx dx

=1

2

2

sinhn

1

0

[cos(n 1)x cos(n+ 1)x] dx

=1

sinh n

[

sin(n 1)x(n 1)

sin(n + 1)x

(n+ 1)

]1

0

= 0.

Dus is

u(x, y) =1

sinh sin x sinh y = sin x

sinh y

sinh .

5.5. DIE METODE VAN ONBEPAALDE KOEFFISIENTE (VERVOLG) 53

Ter vergelyking volg dan

u

(

1

3,1

3

)

= sin

3

e/3 e/3e e = 0,0937, teenoor u1,1 =

3/16 = 0,1083.

u

(

2

3,1

3

)

= sin2

3

e/3 e/3e e = 0,0937, teenoor u2,1 =

3/16 = 0,1083.

u

(

1

3,2

3

)

= sin

3

e2/3 e2/3e e = 0,2999, teenoor u1,2 = 3

3/16 = 0,3248.

u

(

2

3,2

3

)

= sin2

3

e2/3 e2/3e e = 0,2999, teenoor u2,2 = 3

3/16 = 0,3248.

5.5 Die metode van onbepaalde koeffisiente (vervolg)

Ons keer weer terug na ons basiese probleem

2u 2u

x2+

2u

y2= f(x, y),

met f n bekende funksie. In hierdie paragraaf wil ons die moontlikheid ondersoek omdie benaderingsformule, die vyfpuntsterformule, langs n tweede weg te kry, naamlik metbehulp van die reeds-bespreekte metode van onbepaalde koeffisiente. Wat ons dus wildoen is om weer die basiese diskretiseringsformule vir die Poisson-vergelyking hier bo bydie punt (x, y) te kry, naamlik


= f(x, y).

Die rede vir hierdie werkwyse is nie bloot om maar net nog weer oefening in die tegniek tekry nie, maar omdat ons in die res van hierdie hoofstuk meermale van die tegniek gebruikgaan maak, en dan is die metode van onbepaalde koeffisiente die enigste werkwyse watons gaan volg.

Uit die vorm van die foutterme in die behandelde eindigeverskille-benaderings kan onssien dat die foutterme slegs hoer-orde afgeleides van die funksie u bevat. Dit bring meedat indien u n polinoom van n lae graad sou wees, die differensiebenadering eksaksou wees. Die fout sou 0 wees, want die hoer-orde afgeleides sou dan 0 wees. As onsbyvoorbeeld u(x, y) = xpyq met p 3 en q 3 in die basiese diskretisering stel, is diehoofterm van die fout 0 omdat uxxxx en uyyyy identies 0 is (so ook die terme wat in dieO(h4)-term verskuil is; hulle bevat afgeleides van selfs hoer orde).


Gestel dus nou n lineere differensievergelyking moet gekonstrueer word om die parsieledifferensiaalvergelyking te vervang. Hierdie vergelyking moet die vyf funksiewaardes byen rondom die punt (x, y) bevat, waar (x, y) enige inwendige roosterpunt aandui. Diekoeffisiente van die funksiewaardes uO, uN , uW , uS en uE in die vergelyking moet dusbepaal word.

Anders, meer formeel, gestel: Bepaal die koeffisiente cO, cN , cW , cS en cE in die benade-ringsformule

(uxx + uyy)O cOuO + cNuN + cWuW + cSuS + cEuEsodanig dat gelykheid vir u geld, waar u onderskeidelik die vyf funksies,

u = 1, u = x, u = y, u = x2, u = y2,

is.

Opmerkings

1. Ons noem die bogenoemde vyf funksies basisfunksies.

2. Die funksie u = xy is natuurlik ook nog n moontlike keuse. Kontroleer in wat volgdat dit egter geen sinvolle bydrae lewer nie.

3. Die prosedure is nou die volgende: Verkry vir elkeen van hierdie basisfunksies,u = 1, u = x, u = y, u = x2 en u = y2, met die hulp van bogenoemde uitdrukking(maar nou as n gelykheid beskou) n lineere vergelyking met cO, cN , cW , cS en cEas onbekendes. Die vyf funksies lewer vyf lineere vergelykings in vyf onbekendes.Los op vir die onbekendes.

Met hierdie opmerkings in gedagte doen ons nou die volgende: Vir die punt (x, y) =(xO, yO) (ook kortweg aangedui as O) vervang ons om die beurt die basisfunksies linksen regs in

(uxx + uyy)O = cOuO + cNuN + cWuW + cSuS + cEuE.

u = 1 : (0 + 0) = 1 cO + 1 cN + 1 cW + 1 cS + 1 cE

u = x : (0 + 0) = xO cO + xO cN + (xO h) cW + xO cS + (xO + h) cEu = y : (0 + 0) = yO cO + (yO + h) cN + yO cW + (yO h) cS + yO cEu = x2 : (2 + 0) = x2O cO + x

2O cN + (xO h)2 cW + x2O cS + (xO + h)2 cE

u = y2 : (0 + 2) = y2O cO +(yO + h)2 cN + y

2O cW + (yO h)2 cS + y2O cE

Dit kan aangetoon word dat die oplossing van hierdie stelsel gegee word deur

cO =4h2

, cN =1

h2, cW =

1

h2, cS =

1

h2, cE =

1

h2,

5.5. DIE METODE VAN ONBEPAALDE KOEFFISIENTE (VERVOLG) 55

sodat

uxx + uyy 4h2

uO +1

h2uN +

1

h2uW +

1

h2uS +

1

h2uE,

wat die vyfpuntsterformule is, soos ons gehoop het die geval sal wees.

Dit is egter duidelik dat ons vir ons n reuse werk hier op die hals gehaal het. Die vraagis of bostaande stelsel nie eenvoudiger afgelei kan word nie. Die antwoord is inderdaadbevestigend. Die keuse van presies watter vorm die basisfunksies moet aanneem, is be-langrik omdat die hoeveelheid werk in die oplos van die stelsel vergelykings aansienlikverminder kan word as die regte keuse gedoen word. Bostaande keuse is die mees logiese,maar is ongelukkig, soos dit geblyk het, nie die mees praktiese nie. n Keuse wat heelwatmakliker werk, is om die oorsprong in effek na die punt O te verskuif en die staplengteh as skaalfaktor in ag te neem. In plaas van bogenoemde basisfunksies, het ons dan dienuwe stel funksies,

u = 1, u =x xO

h, u =

y yOh

, u =(x xO)2

h2,

(y yO)2h2

.

Ons vervang dan opmerking 3 hier bo deur die onderstaande opmerking.

Opmerking

3a. Die prosedure is nou die volgende: Verkry vir elkeen van die basisfunksies u =

1, u = xxOh

, u = yyOh

, u = (xxO)2

h2en (yyO)

2

h2met die hulp van bogenoemde uit-

drukking (maar nou as n gelykheid beskou) n lineere vergelyking met cO, cN , cW , cSen cE as onbekendes. Die vyf funksies lewer vyf lineere vergelykings in vyf onbe-kendes. Los op vir die onbekendes.

Ons herhaal dus weer dieselfde prosedure as hier bo, nou met die nuwe keuse van basis-funksies, en kry:

u = 1 : (0 + 0)O = cO1 + cN1 + cW1 + cS1 + cE1u = xxO

h: (0 + 0)O = cO0 + cN0 cW1 + cS0 + cE1

u = yyOh

: (0 + 0)O = cO0 + cN1 + cW0 cS1 + cE0u = (xxO)

2

h2: ( 2

h2+ 0)O = cO0 + cN0 + cW1 + cS0 + cE1

u = (yyO)2

h2: (0 + 2

h2)O = cO0 + cN1 + cW0 + cS1 + cE0

Na herskrywing het ons die volgende stelsel lineere vergelyking

Documents

Handboek PDV's