KIMIA KUANTUMKIMIA KUANTUMKIMIA KUANTUM

D1B233

YATI B. YULIATI, Dra., M.S.

IMAN RAHAYU, S.Si.,M.Si

Prasyarat : D1A102 Matematika II

D1B232 Kimia Fisik II

Bahasan

• Teori atom dan lahirnya kuantum• Dasar-dasar Teori Kuantum• Konsep operator• Sistem mekanika gelombang dengan energi

potensial konstan• Sistem mekanika gelombang dengan energi tidak

konstan• Interaksi materi dan energi• Struktur molekul

Pustaka

• Chandra, Introductory Quantum Chemistry• Atkins, Physical Chemistry

Hubungan dengan kuliah ini

• Kuliah ini mendasari:– Kuliah lanjut kimia (kimia inti dan radiokimia)

• Sangat penting untuk memahami:– Struktur molekul– Spektroskopi molekul

Mekanika klasik• Perilaku atom/molekul dikaitkan dengan objek sehari-hari dan planet-

planet• Gagal menjelaskan partikel-partikel sangat kecil

Persamaan fisika klasik

• Lintasan dalam hubungannya dengan energi

E = Ek + V

Energi Total

Ek = Energi kinetikV = Energi potensial

2

1

2

m

V) - E(2

dt

dx

Vmv2

1 E

Persamaan ini untuk energi total menunjukan posisi partikel sebagai fungsi waktu (lintasan partikel)

Hukum Kedua Newton = tentang gerakan partikel

dt

dx . m p

F dt

dp

Gerakan Rotasi

Momentum sudut J sebuah partikelJ = I

Osilator Harmonis

Gerakan osilator = vibrasi atom pada sebuah ikatan F = -kx

Gerakan Partikel Lainnya

Kegagalan Fisika Klasik

• Menerangkan transfer energi pada kuantitas yang sangat kecil

• Pemerian mengenai gerakan partikel karena massa yang kecil dan momen inersia yang kecil

Apa yang salah dengan M. Klasik ?

I. Gagal menjelaskan radiasi benda hitam

• Semua benda panas mengeluarkan radiasi

• Semakin tinggi suhu, puncak bergeser ke rendah

• Secara empiris ada:

• Hk. Stefan boltzman M=k.T4, M=energi radiasi/satuan luas permukaan

• Hk. Pergeseran Wien T. max = konstan

Radiasi benda hitam

• Representasi masalah radiasi ini adalah benda hitam (benda ideal yang dapat mengabsorpsi dan memancarkan radiasi di semua rentang spektrum dengan uniform)

Penjelasan Klasik

• Rayliegh dan Jeans yang melakukan

• Berdasarkan prinsip ekuipartisi, energi terserap sebagai kontinum

• Menghasilkan formula:

• Skandal UV

pd = 8kT-4d

Hipotesa Planck (Kuantum)

• Berdasarkan asumsi, energi terserap tidak sebagai kontinum, tapi paket.

• Menghasilkan ungkapan:

pd = 8kT-5(ehc/kT-1)-1

II. Gagal menjelaskan Efek Fotolistrik

Hasil Percobaan

• Tak ada elektron keluar, walau sebesar apapun intensitas, bila frekuensi ambang tak dilewati

• EK elektron yang dilepas naik dengan naiknya frekuensi, tetapi tak bergantung pada intensitas

• Pada intensitas serendah apapun, elektron tetap dilepaskan sepanjang frekuensi ambang dilewati.

Mekanika Klasik gagal

• Mekanika klasik meramalkan dengan naiknya intensitas energi elektron yang dilepas akan naik pula

• Secara klasik tak ada alasan mengapa EK harus bergantung pada frekuensi

• Sukar menjelaskan bagaimana energi dapat terkonsentrasi dalam ruang yang kecil.

Penjelasan Kuantum (Einstein)

• Melangkah lebih lanjut dari Planck: tidak hanya dalam proses penyerapan, dalam proses transportnya energi juga terkuantisasi

• Paket energi besarnya berbanding dengan frekuensi

Apa Yang Salah dengan M.Klasik ?

III. Gagal menjelaskan Spektrum Atom

• Sejak abad 1 telah diamati, bila gas diberi nyala akan diamati beragam warna

• Segera dikenali dengan prisma, spektrumnya bukan kontinu

• Beberapa unsur ditemukan dengan mengenali spektrumnya

Spektrum Atom H

• 1885 Balmer menemukan ada hubungan matematik antar garis di spektrum H:

• Balmer memprediksi ada deret lain, dengan mengganti 2 dengan 1, 3, 4

= b{n2/(n2-22)}

Spektrum Atom H

• Ternyata memang diamati daerah lain

• Total ada daerah:

• Lyman(uv)

• Balmer (tampak)

• Ritz (IR)

• Brackett (IR)

Mekanika Klasik Gagal

• Menurut Klasik, energi kontinum, sehingga spektrum garis dengan frekuensi tertentu tidak dapat dijelaskan

Penjelasan Kuantum (Bohr)

• Energi elektron tertentu, tercermin dengan momentum sudut yang tertentu.

• Didapat ungkapan:

• En = -13.6/n2

E = mc2

p

h

mc

hλ c = kecepatan cahaya

p = momentum

λ

c h hν mc 2

Dasar – Dasar Teori Kuantum

Radiasi cahaya memiliki sifat dualisme:

1. Berupa arus partikel / foton

2. Gerak gelombang

Sifat dualisme cahaya diterapkan oleh de Broglie (1923) terhadap elektron yang bergerak mengelilingi inti.

Menurut teori relativitas Einstein, energi suatu partikel adalah

Sedangkan E = h , maka didapat:

Sehingga untuk foton:

Demikian juga hal tersebut berlaku untuk elektron

p

h

m

hλ

= kecepatan elektron

Prinsip ketidaktentuan Heisenberg :

Nilai sepanjang pengamatan khas tak dapat ditentukan secara simultan dengan ketelitian tinggi. Contohnya: pasangan momentum dan kedudukan, pasangan energi dan waktu.

q . p ћ/2E . t ћ/2 2

h

Hal ini menunjukkan sifat gelombang dari materi.

Dengan adanya teori gelombang dari elektron, maka kedudukan elektron sekeliling inti tak tertentu.

Batas ketelitian pengukuran fisik dinyatakan oleh hubungan:

Persamaan Schrodinger:

1. Menggambarkan energi elektron

2. Kedudukan elektron digambarkan sebagai kebolehjadian

Untuk elektron yang berbentuk dalam satu dimensi

Sebagai f(x), panjang gelombang

2

2

2

2 4 -

dx

d…………………………………. (1)

Hal ini tidak berarti untuk benda besar tetapi sangat berarti untuk elektron, atom dari molekul.

Kedudukan dan momentum dari elektron memberikan informasi mengenai kebolehjadian menemukan elektron di sekeliling inti

Persamaan Schrodinger = mekanika kuantum/mekanika gelombang yang menggambarkan prilaku elektron

Persamaan gelombang:

Untuk 3 dimensi persamaan menjadi:

04

2

2

2

2

2

2

2

2

dz

d

dy

d

dx

d

= (x,y,z) = koordinat Cartes

Dapat juga dituliskan:

04

2

22

2

2

2

2

2

22

dz

d

dy

d

dx

d

= del

…………………………………. (2)

…………………………………. (3)

…………………………………. (4)

Dengan persamaan dimanap

Hubungan tersebut disubstitusikan ke persamaan (3) maka dihasilkan:

Persamaan gelombang ini dapat digunakan untuk menghitung tingkat energi atom hidrogen dengan energi kinetik = ½ mv2 = E-V

…………………………………. (5)04

2

2222

h

m

mpdanh

2

r

eV

4

2

Substitusi hubungan ke dalam persamaan (5) memberikan:)(2

2 VEm

V

0 )(8

2

22 VE

h

m

Persamaan Schrodinger

dapat diubah menjadi:

…………………………………. (6)

…………………………………. (7)

E 8

22

2

V

m

h

OPERATOR CONCEPT

IN

QUANTUM CHEMISTRY

An operator is a symbol for a certain mathematical procedure which transforms one function into another. For example, the operator of evaluating the derivative with respect to x is represented by the symbol d/dx. When this operator is applied to the function xn we obtain a new function as

A list of typical examples of different mathematical operations along with the results of the operations on the function, x3 is given in

1)( nnxxdx

d n

Operation OperatorResult of operation

on x3

Talking the square ( )2 x6

Talking the square root X3/2

Multiplication by a constant

k Kx3

Differentiation with respect to x

d/dx 3x2

Integration with respect to x

( ) dx X4/4 + c

(Operator) . (function) = (Another function)

Additional and Subtraction of Operators

If A and B are two different operators, then new operators A + B and A – B can be defined as

A + B = B + Â

A - B = -B + Â

(A + B) = Â + B

(A - B) = Â - B Where is an operand it is also true that

Multiplication of Operators

B1 = 1

Then 1 operated on by  to obtain the final function 11 as

Â1 = 11

So that

 B = 11

  = Â2

Linear Operator

Commutator

Were i, j, k are unit vectors along the x, y and z axes. Operating on a scalar function , this operator generates a vector called the gradient of .

Vector Operator

Laplacian

Eigenfunctions and Eigenvalues

= Eigenfunction = Eigenvalues

POSTULATE OF QUANTUM MECHANICS

Postulat I

• Setiap keadaan dari sistem dinamik H partikel digambarkan oleh fungsi (q1,,q2,…q3n, t)

• Besaran * sebanyak dengan kebolehjadian menentukan q1 antara q1 + q1 + q2 antara q2 + dq2,…

Postulat IIUntuk setiap sifat dari sistem yang teramati, ada operator Hermit.Operator Hermit didefinisikan dari hubungan:

seluruh ruang * j d = seluruh ruang i * *j d α α

Postulat III

Nilai yang dapat diukur dari besaran A diamati secara fisik adalah nilai eigen ai :

ii ψψ A ia

A = operator sesuai dengan yang diamati

nnE χ

Substitusi persamaan (3,7) ke dalam persamaan (1.64), didapat:

Evm

h 2

2

2

atau

0)(2

22

VEm

h

Postulat IV

Nilai rata-rata dari yang teramati yang berhubungan dengan A dinyatakan sebagai:

drAa ˆ*

= fungsi gelombang ternormalisasi untuk suatu keadaan.

Postulat V

Fungsi gelombang suatu sistem berubah dengan waktu menurut persamaan:

t

trihtr

),(

),(ˆ

= operator Hamilton untuk sistem

1. SYARAT – SYARAT FUNGSI GELOMBANG ψ

1τ|ψ| 2 d

1. Mempunyai nilai tunggal

2. Tidak mempunyai nilai tak terhingga

3. Fungsi gelombang dan turunannya harus kontinu

4. Fungsi normal yaitu memenuhi syarat :

2. Pembentukan Operator

• Berdasarkan sifat partikel dan gelombang• Fungsi gelombang bebas pada sumbu x

Atau

Turunan Pertama:

xp

h

dx

d

i

hpx 2ˆ

tetapanA 2π

sin A ψ x

tetapan C C ψx

2π

ie

xi

Cei

dx

d

22ψ

ψ2

i

ψ2ψ

xph

i

dx

d

3. Persamaan Operator Momentum Linier

dx

d

i

hpx 2ˆ

4. Operator Energi

Operator Energi Total Ĥ (Hamiltonian)

VmvH 2

2

1H = energi total

m = massa partikel

v = kecepatan

V = energi potensial

Ĥ = Operator Hamiltonian

(Operator Energi)

Vm

pH

2

2

p = momentum linier

Operator energi (satu dimensi) V

dx

d

m

hH

2

2

2

2

8ˆ

Operator energi tiga dimensi

Vdz

d

dy

d

dx

d

m

hH

2

2

2

2

2

2

2

2

8ˆ

Atau

LaplacianVm

hH 22

2

2

8

ˆ

5. Persamaan Operator

Energi Total

(fungsi waktu)

Momentum Sudut

Energi Total

(tiga dimensi)

Energi Total

(satu dimensi)

Momentum linier

x

Mekanika KuantumMekanika Kuantum

Pers. OperatorOperatorVariabel

x x

xp

yp

zp

dx

d

i

h

2

dy

d

i

h

2

dz

d

i

h

2

ΗE ˆatau ˆ Vdx

d

m

h

2

2

2

2

8

ΗE ˆatau ˆ Vm

h 2

2

2

8

xL

yL

zL

dx

dy

dy

dx

i

h

2

dz

dx

dx

dz

i

h

2

dy

dz

dz

dy

i

h

2

H

2ih

6. Sistem Kuantum Sederhana

I. Sistem Energi Potensial Tetap

- Kotak satu dimensi

- Kotak tiga dimensi

- Partikel dalam lingkaran- Bidang perintang potensial

- Rotator kaku

II. Sistem Energi Potensial Berubah

- Osilator Harmonik

- Atom hidrogen dan atom-atom yang menyerupainya

7. Kotak Satu Dimensi

Sebuah elektron bermassa m bergerak dalam arah sumbu x dari x=0 sampai x=a

I & III = energi potensial tak

terhingga V = ~

II = energi potensial nol

V = 0

Permasalahan

1. Fungsi gelombang

2. Energi elektron

I III

x=0 x=a

II

V

e

8. Solusi

Sumbu x satu dimensiPersamaan gelombang

Ĥ = Operator Hamiltonian

E = Energi

ψ = Fungsi gelombang

ψψˆ EH

ψψψ

8 2

2

2

2

EVxm

h

0ψ)(8ψ

2

2

2

2

VEh

m

x

Daerah I & III

Daerah II

22

28kE

h

m

Y = C cos kx + D sin kx

0ψ)(8ψ

2

2

2

2

Eh

m

x

0ψ0ψ2

2

x

0ψ8ψ

2

2

2

2

Eh

m

x

0ψψ 22

2

kx

9. Pada x = 0 ψ I = ψ II

0 = C cos 0 + D sin 0jadi

C = 0

Pada x = a ψ II = ψ III

C cos k a + D sin k a = 0

C = 0} D sin k a = 0

Sin k a = 0

k = a

n

Jadi fungsi gelombang

utama) kuantum(bilangan ....3,2,1

sinψ

n

tetapanD

xa

nDn

10. Normalisasi Fungsi Gelombang

1sin0

22 dxa

nD

a

θ)2cos1(2

1 θsin 2

Maka:1

2cos

2

1

2

1

0 0

2

a a

xdxa

ndxD

102

2

a

D

aD

2

a xsampai 0 x batas sinψ xa

nDn

1|ψ|0

2 dxa

n

Jadi fungsi gelombang normal untuk elektron dalam kotak satu dimensi

11. Fungsi gelombang normal pada bilangan kuantum yang berbeda (nnl)

Fungsi gelombang pada n dan nl bersifat ortogonal

Transisi elektron

ψ nI ψ n

22

22

8

)'(h

ma

nnE

xa

n

an

sin

2ψ

0ψψ0

' dxa

nn

Frekuensi transisi diperoleh melalui hubungan

h

E

hma

nn2

22

8

)'(

Panjang gelombang

hnn

Cma

}.)'{(

822

2

12. Tingkat-tingkat Energi Elektron

22

28kE

h

m

a

nk

Jadi 2

22

8ma

hnE

2

2

8

h E 1n

mauntuk

2

2

8

4h E 2n

ma

2

2

8

9h E 3n

ma

2

2

8

16h E 4n

ma

dst En ~ n2

n=4

n=3

n=2

n=1

E4

E3

E2

E1E0

Jarak antara tingkat energi, semakin besar

• Energi terkecil dari elektron adalah 2

2

8ma

hEl

• Karena energi potensial = 0 merupakan energi

kinetik

2

2

8ma

hEl

• Elektron selalu bergerak

13. Karakteristik Fungsi Gelombang

Fungsi gelombang ψ bergantian simetrik dan antisimetrik

ψ1 : Simetrik

ψ2 : Antisimetrik

ψ3 : Simetrik

ψ4 : Antisimetrik

dst

|ψ|2 = ψ*ψ adalah kebolehjadian |Peluang| mendapatkan elektron

ψ4

ψ2

ψ3

ψ1

KOTAK TIGA DIMENSI

Elektron dalam kubus sisi kubus a, energi potensial V dalam kubus = 0 dan energi potensial V luar kubus =

Kedudukan Elektron : (x,y,z) = f(x) f(y) f(z)

za

πnsiny

a

πnsinx

a

πnsin

a

8 z)y,ψ(x, zyx

3

2

2222

8

)(

ma

hnnnEEEE zyx

zyx

Operator energi Ĥ = Vzyxm

h

2

2

2

2

2

2

2

2

8

nx = 1,2,3,…ny = 1,2,3,…nz = 1,2,3,…

} Bilangan kuantum utama arah x,y dan z

Ada tiga keadaaan elektron dengan energi yang sama yaitu pada:

nx, ny, nz (2, 1, 1)

(1, 2, 1)

(1, 1, 2)} 2

2

8

6

ma

hE

Jika dimensi kotak tidak sama (a, b dan c)

Fungsi Gelombang

2

2

2

2

2

22

8 c

n

b

n

a

n

m

hE zyx

Energi

zyxnx

c

πnsin

b

πnsin

a

πsin

abc

8 z)y,ψ(x, zy

Elektron dalam Lingkaran

(x=0)

• Gerakan elektron dibatasi sepanjang bidang yang berbentuk lingkaran

• x adalah titik yang berubah-ubah pada lingkaran (x=0 samapai x=c, dimana c adalah panjang dari lingkaran

e-

• Fungsi gelombang harus mempunyai nilai tunggal, sehingga

(x) = (x+c)

Persamaan Gelombang

0V)ψ(Eh

m8π

x

ψ2

2

2

2

Karena V=0 dan 22

28kE

h

m

kx cos Bkxsin A ψ Maka

Pada x=0 (0) = (c)

A sin k.o + B cos k.o = A sin k.c + B cos k.c

B = A sin k.c + B cos k.c

k xsin k B -k x cosAk x

ψ

cx0x x

ψ

x

ψ

Ak = Ak Cos k c – B k sin k c

B = A sin k c + B cos k c} c

2nπk

dari 22

2

kEh

m8π

2

22

2mc

hnE

C = panjang lingkaran

Jadi fungsi gelombang

xC

2nπcos Bx

C

2nπsinA ψ

Normalisasi

1 c

2ncos B

c

2nsin A 2

dxxx

c

o

12

cos2

sin22

cosB 2

sin00

22

0

22 xdxc

nx

c

nABxdx

c

nxdx

c

nA

ccc

Fungsi Gelombang

α x

c

2nπsin

c

2 ψ

xc

2nπcossinα

c

2 x

c

2nπsin cosα

c

2ψ

12

)( 22 C

BAC

BA222

osC

A C 2

Sin 2

CA

SISTEM DENGAN BIDANG POTENSIAL BERUBAH

V=VO

V=0 E

X=0

I II

X

Elektron (masa =m) bergerak dalam arah sumbu x positif dalam suatu bidang potensial

V=0 untuk x<0

V=Vo untuk x>0

Persamaan Schrodinger

0)ψV-(E8

II.

0Eψ8

I.

II02

2

2

2

I2

2

2

2

h

mπ

x

ψ

h

mπ

x

ψ

II

I

Jika 0<E<Vo maka :

0)ψV-(E8

II. II02

2

2

2

h

mπ

x

ψ II

0Eψ8

I. I2

2

2

2

h

mπ

x

ψ I

konstanta B A,

xikxik BA 11Iψ

0E)ψ-(V8

II02

2

2

2

h

mπ

x

ψ II xkxk DC 22IIψ

: berarti kontinu, x

ψdan ψ :Syarat

0 xpada ,ψ

x

ψdan ψ ψ III

III

x

0

BA 211 xikxik

x

C xk } A + B =C1.

2.0

B,ikA ik, 2112

xikxik

x

Ck xk } ik,A - ik,B = -k2C

A-B = - 1

2

ik

Ck

2

)/1( 2 likkcA

2

)/1( 2 likkcB

}

l

l

ikk

ikk

2

2

)(

2

2

l

l

ikk

ikk

2

2 kik

kik

l

l

l

l

ikk

ikk

A

B

/1

/1

2

2

21

22

l22

2 )ik(k

||

||

kkA

B

Intensitas elektron yang dipantulkan

Kemungkinan adanya partikel-partikel elektron yang ditransmisikan

dalam daerah II dinyatakan dengan koefisien transmisi dalam

mekanika klasik koefisien transmisi ini tidak dapat diramalkan

dianggap =0

2

A

C

lll kkkikkikA

C

2

2

2l

2

l

2

l

24k

2ik

2ik

Substitusi: E)-(Voh

m8πkdan E

h

m8πk

2

22

22

22

l

Maka: transmisiKoef. , 0 Vo

4E

2

A

C

Tidak nol kecuali energi potensial dari rintangan tidak terbatas. Besarnya koef. transmisi tergantung pada energi potensial dari rintangan dan masa partikel jadi elektron/partikel jika dalam gerakannya dihalangi suatu perintang yang mempunyai energi potensial tertentu ia dapat meneruskan gerakannya. Hal ini ditemukan dalam desintegrasi radioaktif dari inti atom oleh partikel alfa.

ROTATOR KAKU

Misal rotasi molekul diatonik dalam ruang dimana panjang rantai tidak berubah selama perputaran.

Molekul diatonik dengan masa masing-masing m1 dan m2 dan jaraknya R.

Jika O: pusat gaya berat dan

O- m1 = r1 m1r1 = m2r2

O- m2 = r2 r1 + r2 = R}

21

21 mm

Rmr

&

21

12 mm

Rmr

Energi kinetik perputaran atom:

222

211 2

1

2

1vmvmEk

Dimana V1= kecepatan linear m1

V2= kecepatan linear m2

Jika w = kecepatan sudut maka:

22

22

21

21 ω

2

1ω

2

1rmrmEk

I adalah kelembaman I momen inersial momen sudut total dari rotasi , maka energi kimia dapat ditulis:

I

LIEk

2ω

2

1 22

ωILdan )r(rmm

mmI 2

2121

21

Jika energi potensial rotator V=0 dan perator Hamiltonian

adalah:I

LH

2ˆ

2

L2 dinyatakan dalam koordinat bola dimana:

L = iLx + jLy +kLz &

L = L.L = Lx2 + Ly2 + Lz2

Operator momentum sudut ditransformasikan ke koordinat bola sbb:

z

x

y

y

zr

x = r sin cos

y = r sin sin

z = r cos

z2 + y2 + x2 = r2 cos2 + r2 sin2 sin2 + r2 sin2 cos2

z2 + y2 + z2 = r2

= r2 (cos2 + sin2 )

= r2 (cos2 + sin2 (sin2 cos2 ))

= r2 (cos2 + sin2 sin2 + sin2 cos2 )

Fungsi gelombang dalam koordinat bola

= f ( r, , )

dddr

r

xxx

r

rx

yyy

r

ry

r2 = x2 + y2 + z2

cossin)zy(x

x

2.)(2

1

1/2222

2/1222

r

x

xzyxx

r

r = ( x2 + y2 + z2 )1/2

cos

r

z

z

r

x

yy

xi

hzL

2ˆ

Momentum-momentum sudut dinyatakan dalam koordinator bola

sinsin

r

y

y

r

y

zz

yi

hxL

2ˆ

z

xx

zi

hyL

2ˆ

2

2

22

22

sin

1sin

sin

1

4ˆ

2ˆ

sincotgcos2

ˆ

coscotgsin2

ˆ

hL

i

hzL

i

hyL

i

hxL

Persamaan Schrodinger untuk rotator kaku: Ĥ=E dimana

maka :I

LH

2ˆ

2

E

I

h

2

2

2

2

sin

1sin

sin

1

28

08

sin

1sin

sin

12

2

2

2

2

E

h

I

Persamaan ini terdiri dari 2 variable sudut dan . Hal ini dapat diselesaikan dengan metoda pemisahan variable = ()()

Metoda ini menghasilkan suatu bentuk fungsi gelombang total dari rotator kaku, dinyatakan oleh:

)m(θ,rmm(θ, θ)ψ (θ, ,)()

dimana:

,...),3,2,1,0(2

1)( mm im

)(cos|||)!|(2

|)!|(12)(,)( mP

m

mm

Sehingga fungsi gelombang rotator kaku dapat dinyatakan dengan:

immm P

m

m

)(cos|)!|(2

|)!|(12

2

1),( ||

,

Polinom Legendre

dimana:

1

!2

1)( 2 x

dx

dxP

)()1()( 2||

2 xPdx

dxxP

m

mmm

11!2

1)( 2

||

||2

||2||

xdx

dxxP

m

mmm

dan m = bilangan kuantum rotasi

= 0,1,2,… dan m = - , , …0, …

1 ,1

Beberapa fungsi polimer Legendre untuk beberapa nilai dan m

)(|| xp m

1)()( 00

0 xPxP

xxxPxP )2(2

1)()( 1

01

2/1211 )1()( xxP

)13(2

1)( 20

2 xxP

xxxP 3)1()( 2/1212

222 )1(3)( xxP

)1(15)( 223 xxxP

Contoh:

Fungsi gelombang untuk =1 dan m= ± 1 m,

i

2

12 )cos1(

2.2

12

2

1),(1,1

i sin22

3

i sin22

3

Besarnya energi kinetik rotasi:

Dimana I=momen kelembaman/mersia. Energi suatu rotator kaku tidak tergantung pada bilangan kuantum m dan keadaan paling dasar berlaku pada =0 dan m=0

I

hE

2

2

8

)1(