Handout Matematika 1 2014

LIMIT DAN KEKONTINUAN

PROGRAM STUDI TEKNOLOGI INFORMASI2014

Mata Kuliah : MATEMATIKA 1

SKS : 2

Pengajar : Hari Purwadi

ST, MT1

2

LIMIT DAN KEKONTINUAN

3

3.1 Limit Fungsi di Satu Titik

Pengertian limit secara intuisi

Perhatikan fungsi

1

1)(

2

x

xxf

Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1

Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1,seperti pada tabel berikut

x

f(x)

0.9 0.99 0.999 1.11.011.0010.9999 1.00011

21.9 1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1

4

1

º2

x x

f(x)

f(x)

Secara grafik

Dari tabel dan grafik disampingterlihat bahwa f(x) mendekati 2jika x mendekati 1

Secara matematis dapat dituliskanSebagai berikut

21

1lim

2

1

x

xx

Dibaca “ limit dari untuk x mendekati1 adalah 2 1

12

x

x

Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa berartibahwa

Lxfcx

)(lim

bilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L

5

853lim1

xx

Contoh

1.

2. 2

)2)(12(lim

2

232lim

2

2

2

x

xx

x

xxxx

512lim2

xx

3

3

3

9lim

3

9lim

99

x

x

x

x

x

xxx

9

)3)(9(lim

9

x

xxx

63lim9

xx

3.

4. )/1sin(lim0

xx

Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut

x

)/1sin( x

/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/2

1 0 -1 0 1 0 -1 0

0

?

Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju kesatu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada

6

Lxfcx

)(lim |)(|||00,0 Lxfcx

Definisi limit

jika

c

º

Untuk setiap 0

L

c

ºL

L

L

Terdapat sedemikian sehingga0

c

ºL

||0 cx |)(| Lxf

c c c

ºL

7

)(lim xfcx

Limit Kiri dan Limit Kanan

cx

Jika x menuju c dari arah kiri (dari arahbilangan yang lebih kecil dari c, limit disebutlimit kiri,

)(lim xfcx

Jika x menuju c dari arah kanan (dari arahbilangan yang lebih besar dari c, limit disebutlimit kanan,

c x

LxfLxfLxfcxcxcx

)(limdan)(lim)(lim

Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)

notasi

notasi

Jika )(lim xfcx

)(lim xfcx

maka tidak ada)(lim xfcx

8

1,2

10,

0,

)(2

2

xx

xx

xx

xf

)(lim0

xfx

)(lim1

xfx

Contoh Diketahui

a. Hitung

)(lim2

xfx

d. Gambarkan grafik f(x)

Jawab

a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x=0

c. Hitung

b. Hitung Jika ada

1.

9

)(lim0

xfx

0lim 2

0

x

x

)(lim0

xfx

0lim0

xx

0)(lim0

xfx

b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x=1

)(lim1

xfx

1lim1

x

x

)(lim1

xfx

32lim 2

1

x

x

)(lim)(lim11

xfxfxx

)(lim1

xfx

)(lim2

xfx

62lim 2

2

x

x

Karena Tidak ada

c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x=2

10

Untuk x 02)( xxf

Grafik: parabola

Untuk 0<x<1

f(x)=x

Grafik:garis lurus

Untuk x 1

22)( xxf

Grafik: parabola

1

3

º

di x=1 limit tidakada

Grafik f(x)

11

2. Tentukan konstanta c agar fungsi

1,

1,3)(

2 xcx

xcxxf

mempunyai limit di x=-1

Jawab

Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama denganlimit kanan

)(lim1

xfx

ccxx

33lim1

)(lim1

xfx

ccxx

1lim 2

1

Agar limit ada 3+ c=1-c

C=-1

12

)(lim3

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .

Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilaifungsi tidak ada.

f(-3)

f(-1)

f(1)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Soal Latihan

13

Soal Latihan

1,2

1,1)(

2

2

xxx

xxxf

)(lim1

xfx x

f x

1lim ( )

x

f x

1

lim ( )

xxxg 32)(

x

g x

2lim ( )

x

g x

2

lim ( )

xg x

2lim ( )

2

2)(

x

xxf

x

f x

2

lim ( )

x

f x

2

lim ( )x

f x2

lim ( )

1. Diketahui :

a.Hitung dan

b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya

2. Diketahui , hitung ( bila ada ) :

3. Diketahui , hitung ( bila ada )

a. b. c.

a. b. c.

B.

14

GxgLxfaxax

)(limdan)(lim

GLxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

Sifat limit fungsi

Misal

(limit dari f , g ada dan berhingga)

maka

LGxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

0,)(lim

)(lim

)(

)(lim

Gbila

G

L

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

2.

3.

4.n

ax

n

axxfxf ))(lim())((lim

,n bilangan bulat positif

nn

ax

n

axLxfxf

)(lim)(lim5. bila n genap L harus positif

1.

15

222 )1(1

1sin)1()1(

x

xxx

)()()( xhxgxf

LxhLxfcxcx

)(limserta)(lim

Lxgcx

)(lim

1

1sin)1(lim 2

1

xx

x

Prinsip Apit

Misal untuk x disekitar c dan

maka

Contoh Hitung

Karena 1)1

1sin(1

x

dan0)1(lim 2

1

x

x0)1(lim, 2

1

x

x

01

1sin)1(lim 2

1

xx

x

maka

16

Limit Fungsi Trigonometri

1sin

lim.10

x

xx

1coslim.20

xx

1tan

lim.30

x

xx

Contoh

2.2

2tan5

4.4

4sin3

lim2tan5

4sin3lim

00

x

xx

x

xx

xxxx

2.2

2tanlim5

4.4

4sinlim3

0

0

x

xx

x

x

x

3

7

2.2

2tanlim5

4.4

4sinlim3

02

04

x

xx

x

x

x

x 0 ekivalen dgn 4x 0

17

Soal Latihan

t

tt sin1

coslim

2

0

t

ttt sec2

sincotlim

0

t

tt 2

3tanlim

2

0

tt

ttt sec

43sinlim

0

Hitung

1.

2.

3.

4.

x

xx 2sin

tanlim

05.

18

Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga

Limit Tak Hingga

maka,0)(limdan0)(limMisal

xgLxfaxax

)(

)(lim

xg

xfax

atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLi

bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLii

bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLiii

atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLiv

Ctt : g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)positif.

g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)negatif.

19

Contoh Hitung

1

1lim

2

1

x

x

x

a.1

1lim

2

2

1

x

x

x x

x

x sinlim

b. c.

Jawab

a. 021lim 2

1

x

x,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karenax 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnyax-1 akan bernilai negatif

Sehingga

1

1lim

2

1 x

x

x

b. 021lim 2

1

x

x

akan menuju 0 dari arah atas, karenax -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapibilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadratkan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positif

1)( 2 xxg

12 x

Sehingga

1

1lim

2

2

1 x

x

x

20

c.

0lim

xx

dan

f(x)=sinx

x

Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arahbawah(arah nilai sinx negatif)

x

x

x sinlim

sehingga

Karena

21

Limit di Tak Hingga

Lxfx

)(lima. jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga

L

x

Contoh Hitung

42

52lim

2

2

x

xxx

Jawab

)2(

)1(lim

2

2

42

522

x

xx

x x

x

42

52lim

2

2

x

xxx

2

2

42

521

lim

x

xxx

= 1/2

22

Lxfx

)(lim jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga

b.

L

x

Contoh Hitung

42

52lim

2

x

xx

42

52lim

2

x

xx

Jawab

)2(

)(lim

2

2

42

522

x

xx

x x

x

)2(

)(lim

2

2

4

52

x

xx

x

= 0

23

Contoh Hitung

xxxx

3lim 2

Jawab :

Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )

xxxx

3lim 2)

3

3(3lim

2

22

xxx

xxxxxx

x

xxx

xxxx

3

3lim

2

22

xxx

xx

3

3lim

2

xx

x

xx

x

x

)1(

)1(lim

2312

3||2 xx

xx

x

xx

x

x

2

31

3

1

)1(lim

2

1

)11(

1lim

231

3

xx

x

x

24

Soal Latihan

limx

x

x

3

3

3

limx x 2

2

3

4

)1(lim xxx

limx

x

x 1 2

1

1lim

2

x

xx

limx

x x

x

2

1

.

Hitung

1.

2.

3.

4.

5.

6.

25

Kekontinuan Fungsi

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika

(i) f(a) ada

ada)(lim xfax

(ii)

(iii) )()(lim afxfax

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakantidak kontinu di x=a

a

(i)

ºf(a) tidak ada

f tidak kontinu di x=a

26

a

(ii)

1L2L

Karena limit kiri(L1) tidaksama dengan limit kanan(L2)maka f(x) tidak mempunyai limitdi x=a

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a

(iii)

a

●

º

f(a)f(a) ada

)(lim xfax

L ada

Tapi nilai fungsi tidak sama denganlimit fungsi

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a

27

(iv)

a

f(a)

f(a) ada

)(lim xfax

ada

)()(lim afxfax

f(x) kontinu di x=a

Ketakkontinuan terhapus

Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapusdengan cara mendefinisikan nilai fungsidititik tersebut = limit fungsia

º

28

contoh

Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkanalasannya

2

4)(

2

x

xxf

2,3

2,2

4)(

2

x

xx

xxfa. b.

2,1

2,1)(

2 xx

xxxfc.

Jawab :

a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinudi x=2

b. - f(2) = 3

42lim)2(

)2)(2(lim

2

4lim

22

2

2

xx

xx

x

xxxx

)2()(lim2

fxfx

-

-

Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidakkontinu di x=2

29

c. 312)2( 2 f-

- 31lim)(lim22

xxf

xx

31lim)(lim 2

22

xxf

xx

3)(lim2

xfx

)2()(lim2

fxfx

-

Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2

30

Kontinu kiri dan kontinu kanan

Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a

Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi

2,1

2,)(

2 xax

xaxxf

Kontinu di x=2

31

Jawab :Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah

f kontinu kiri di x=2

)2()(lim2

fxfx

aaxxfxx

2lim)(lim22

1412)2( 2 aaf

2 + a = 4a – 1-3a = -3

a = 1

f kontinu kanan di x=2

)2()(lim2

fxfx

1412)2( 2 aaf

141lim)(lim 2

22

aaxxf

xx

Selaludipenuhi

32

1. Diketahui

1,22

1,1)(

2

xx

xxxf

selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1

Soal Latihan

2. Agar fungsi

2,3

21,

1,1

)(

xx

xbax

xx

xf

kontinu pada R, maka berapakah a + 2b ?

3. Tentukan a dan b agar fungsi

2,42

2,2

4)(

2

xx

xx

bxaxxf

kontinu di x = 2

33

Kekontinuan pada interval

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bilaf(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.

Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ]bila :

1. f(x) kontinu pada ( a,b )

2. f(x) kontinu kanan di x = a

3. f(x) kontinu kiri di x = b

Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x R maka dikatakanf(x) kontinu ( dimana-mana ).

Diskontinu

Dicirikan dengan adanya loncatan/ “gap” padagrafik fungsi.

Terdapat 3 jenis diskontinuitas:

1. tak hingga di a jika limitnya (kiri dan kanan) takhingga (tidak ada);

2. loncat berhingga di a jika limit kiri dan kanannyaberhingga namun tak sama;

3. dapat dihapuskan / dihilangkan di a jika nilai

fungsi dan limitnya ada, tetapi tidak sama,

)()(lim afxfax

f(x) Diskontinu yg dapat dihapuskan di a

Jika ada fungsi F sedemikian sehingga

F(x) = f(x) untuk semua x a didalamdomain dari f

Fungsi baru F kontinu di a

Contoh

0jika0

0jikasin

)(x

xx

xxh

36

f xx x

x( )

2 3

3

f xx

x( )

2

3

4

8

f xx

x( )

| |

2

2

94

1)(

2

x

xxf

24)( xxxf

A. Carilah titik diskontinu dari fungsi

B. Tentukan dimana f(x) kontinu

Soal Latihan

1.

2.

3.

1.

2.

FUNGSI



SKS : 2


ST, MT1

FUNGSI

PENGERTIAN FUNGSI

Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong.Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkansetiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

ATURAN :

setiap anggota A harus habis terpasang dengananggota B.

tidak boleh membentuk cabang seperti ini.

A B

ILUSTRASI FUNGSI

A f B

Input Kotak hitam Output

Ditulis f : A → B, dibaca f adalah fungsi dari A ke B. A disebut domain,B disebut kodomain. Elemen a A disebut argumen dan f(a) B dise-

but bayangan(image) dari a.

Himpunan Rf:= { y B : y = f(x) untuk suatu x A } disebut daerahjelajah (range) fungsi f dalam B. Bila S A maka himpunanf(S) := { f(s) : s S } disebut bayangan (image) himp S oleh fungsi f.

ILUSTRASI FUNGSI (LANJ)

Fungsi

Bukan fungsi, sebab ada elemen A yangmempunyai 2 kawan.

Bukan fungsi, sebab ada elemen A yangtidak mempunyai kawan.

A B

GRAFIK FUNGSI

Misalkan f: A B. Grafik fungsi f adalahhimpunan pasangan terurut {(a,f(a) | a A}

Contoh: Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2}, fungsi f didef sbgf(1)=1, f(2)=2, f(3)=1. Maka grafik fungsi f dapat digambarkan sbb:

A

B

CONTOH FUNGSI1. Fungsi kuadrat f : R → R, dimana f(x) := x2+x+1.

2. Fungsi nilai mutlak f : R → R+ , dimana

fungsi ini ditulis juga f(x) := |x|.

3. Misalkan A = himpunan semua negara di dunia dan B = himpunan semua

kota di dunia, f : A → B dimana f(x) := ibukota negara x. Bila x = Malaysia

maka f(x) = Kuala Lumpur, f(Inggris) = London.

4. Misalkan A = himpunan semua buku di perpustakaan dan diberikan

perintah “diberikan buku b dan hitung banyak tanda koma pada buku btsb”. Ini mendef. fungsi f : A → Z+ dimana f(x) = banyak koma yang ada

pada buku x.

5. Misalkan A = himpunan semua string bit dan B = himpunan bil bulat positif

Fungsi f : A B dimana f(S) = banyaknya bit 1 pada string S.

Bila S = (1001101) maka f(S) = 4.

6. Bila f(S) = posisi bit 1 pada string S, apakah f merupakan fungsi ?

0jika

0jika:)(

xx

xxxf

• CONTOH: Data yang disimpan pada komputer biasanya dinayatakan dalamsuatu string byte. Tiap byte tersusun atas 8 bit. Berapa byte yang dibutuhkanuntuk menyimpan data dengan 100 bit.

PENYELESIAN: Karena satuan byte bilangan bulat maka harus dibulatkanke atas, yaitu dibuthkan 100/8 = 12.5 = 13 byte.

• CONTOH: Pada protokol komunikasi menggunakan backbone network, datadisusun dalam sel ATM yang terdiri dari 53 byte. Berapa sel ATM data yangdapat ditransmisikan dalam waktu 1 menit jika dengan kecepatan rata-rata 500kilobyte per detik.

PENYELESAIAN: Dalam 1 menit dapat ditransmisikan data sebesar

500,000 * 60 = 30,000,000 bit. Padahal tiap ATM memuat 53 byte, masing-masing ATM memuat 53 * 8 = 424 bit. Jadi banyak ATM yang dapatditransmisikan harus dibulatkan ke bawah, yaitu

300,000,000/424 = 70,754 ATM.

OPERASI ALJABAR FUNGSI

Misalkan f, g : A → B maka fungsi f + g , cf dan f g

didefinisikan oleh :

(f+g)(x):= f(x)+g(x), (cf)(x):=cf(x), (fg)(x):=f(x)g(x).

Contoh: misalkan f, g : R → R dimana f(x) = x2 dan

g(x) := x – x2. Diperoleh (f+g)(x) = x,

(fg)(x) = x3-x4.

Fungsi f dan g dikatakan sama jika domain dankodomainnya sama dan f(x) = g(x) untuk setiap xdalam domainnya.

Apakah fungsi f(x):=x-2 dan g(x):=(x2-4)/(x+2)sama ?

FUNGSI SATU-SATU (INJEKTIF)

Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif bila hanya bila[f(x) = f(y) → x = y ], atau [x y → f(x) f(y)].

Bila kita dapat menunjukkan bahwa kuantor berikut TRUE:x y [f(x) = f(y) x = y] atau x y [x y → f(x) f(y)]

maka fungsi f disimpulkan satu-satu.

Namun, bila ada x dan y dengan x y tetapi f(x) = f(y) maka f tidaksatu-satu.

A B A B

satu-satu tidak satu-satu

• CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} denganf(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif ?

PENYELESAIAN: karena tidak ada anggota B yang mempunyai pasanganganda pada A mk fungsi ini injektif.

• CONTOH: Apakah fungsi f: R R dengan f(x) = x2 satu-satu ?

PENYELESAIAN: Ambil x = 1 dan y = -1, diperoleh f(x) = f(y) = 1. Jadiada x, y dengan x ≠ y tetapi f(x) = f(y). Disimpulkan fungsi ini tidak satu-satu.

• CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif?

PENYELESAIAN: ambil sebarang x, y dengan x ≠ y , diperoleh

x + 5 ≠ y + 5 g(x)≠ fgy). Jadi g injektif.

FUNGSI KEPADA (SURJEKTIF)

Fungsi f : A → B dikatakan kepada atau surjektif jika setiap y B

terdapat x A sehingga y = f(x), yaitu semua anggota B habisterpasang dengan anggota A. Jadi bila kita dapat membuktikankebenaran kuantor berikut:

y B x A sehingga y = f(x)

maka f surjektif. Namun, bila ada y B sehingga setiap x A, f(x)≠ y

maka f tidak surjektif.

A B A B

kepada tidak kepada

• CONTOH: Apakah fungsi f(x) = x2 dari R ke Rsurjektif ?

PENYELESAIAN: Ambil y = -1 suatu bilanganreal. Maka untuk setiap bilangan real x, berlakux2 = f(x)≠ y. Jadi, f tidak surjektif.

• CONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3 dariR ke R surjektif?

PENYELESAIAN: Ambil seb bil real y, maka

y = x-3 x = y+3 memenuhi h(x) = y. Jadi hsurjektif.

FUNGSI BIJEKTIF• Fungsi f : A → B dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif.

Pada fungsi bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu pra-bayangan di A.

• CONTOH: Apakah fungsi f:{a,b,c,d} {1,2,3,4} dengan f(a)=4,f(b)=2, f(c)=1 dan f(d)=3 bijektif.

PENYELESAIAN: karena semua nilainya berbeda mk fungsi ini satu-satu. Karena semua anggota B habis terpasang maka ia surjektif.Jadi fungsi ini bijektif.

A B

fungsi bijektif

INVERS FUNGSI

Misalkan f : A → B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi

yang mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satuelemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 dimanaf -1 : B → A. DKL,

y = f(x) ↔ x = f -1 (y)

Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.

A B

b=f(a)

f(a)

f -1(b)

f -1(b)=a

• CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} denganaturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya,tentukan inversnya.

PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertibel

dengan f -1(1)=c, f -1(3)=b dan f -1(2)=a.

• CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x2.Apakah f invertibel.

PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektif

maka ia tidak invertibel. Jadi invresnya tidak ada.

KOMPOSISI FUNGSI

Misalkan g: A B dan f: B C. Komposisi fungsi fdan g, dinotasikan f ◦ g adalah fungsi f ◦ g: A Cdengan (f ◦ g)(x):= f(g(x)).

Bila f: A B dan g: D E maka fungsi komposisi

f ◦ g terdefinisi hanya bila f(A) D.

A B C

g f

f◦g

Barisan dan Deret



SKS : 2

Pengajar : Hari Purwadi ST,

MT1

12/09/2014 Matematika 2 2

Barisan

Barisan Tak Hingga

Kekonvergenan barisan tak hingga

Sifat – sifat barisan

Barisan Monoton

Matematika 2 3

Barisan Tak Hingga

Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari bilangan

−bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli.

Suatu barisan yang terdiri dari n suku biasanya dinyatakan dalam

bentuk a1,a2,…,an. a1 menyatakan suku ke–1, a2 menyatakan suku

ke–2 dan an menyatakan suku ke–n.

Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana

daerah asalnya adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga

adalah

1nna


Barisan Tak Hingga

Contoh − contoh barisan

Barisan

Bisa dituliskan dengan rumus

Barisan

Bisa dituliskan dengan rumus

Penentuan an tidak memiliki aturan khusus dan hanya bersifat coba

–coba.

...,8,6,4,2

1n

n2

...,6

4,

5

3,

4

2,

3

1

1nn2

n


Kekonvergenan barisantak hingga

Suatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menuju L, bila

atau

{ untuk setiap epsilon positif terdapat N positif sedemikian hingga

untuk n lebih besar atau sama dengan N, selisih antara dan

L akan kurang epsilon}

Lalimnn

La,Nn0N0n

na



Contoh 1Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut

Jawaban

Karena

maka divergen

1n

2

1n

n

1n

nlim

2

n

1n

2

1n

n




Jawaban

Karena merupakan bentuk tak tentu maka untuk

menyelesaikannya digunakan teorema berikut :

Misal ,bila maka

untuk x R.

1n

n

2

e

n

n

2

n e

nlim

nfan Lxflim

x

Lnflim

n



Jawaban (lanjutan)

Jadi dan dengan menggunakan dalil L’hopital maka

Berdasarkan teorema maka .

Karena nilai limitnya menuju 0, maka

Konvergen menuju 0.

xx e

x2lim

x

2

e

xxf

x

2

x e

xlim

0e

nlim

n

2

n

1n

n

2

e

n

0e

2lim

xx




Jawaban

Bentuk dari suku −suku barisannya merupakan bentuk ganti tanda

akibat dari nilai cos n, untuk n ganjil tandanya − , untuk n genap

tandanya +. Nilai tidak ada tetapi minimal bernilai –1 dan

maksimal bernilai 1. Sedangkan akibatnya untuk n nilai

, akan mendekati nol. Jadi deret konvergen menuju 0.

1n

ncosn

1

ncoslimn

0n

1limn

ncos.n

1

12/09/2014 Matematika 2 10

Sifat – sifat barisan

Misal {an} dan {bn} barisan-barisan yang konvergen, dan k suatu

konstanta, maka

1.

2.

3.

4.

5.

kklimn

nnnnalimkaklim

nnnnnnn

blimalimbalim

nnnnnnn

blimalimbalim

0blim,blim

alim

b

alim

nn

nn

nn

n

n

n

12/09/2014 Matematika 2 11

Barisan Monoton

Kemonotonan barisan {an} dapat dikelompokkan

menjadi 4 macam :

1. Monoton naik bila

2. Monoton turun bila

3. Monoton tidak turun bila

4. Monoton tidak naik bila

1nnaa

1nnaa

1nnaa

1nnaa

12/09/2014 Matematika 2 12

Deret Tak Hingga

Deret tak hingga merupakan jumlahan dari yaitu a1+a2+…+an .

Notasi deret tak hingga adalah .

Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenan

barisan jumlahan parsial yaitu , ,dimana :

Dan

1nn

a

1n na

nn

Slim

11aS

3213aaaS

n321n

a...aaaS

212aaS

....,S...,,S,SS k211nn

12/09/2014 Matematika 2 13

Deret Tak Hingga

Contoh

Selidiki apakah deret konvergen ?

Jawaban

Karena , maka adalah deret

konvergen yaitu konvergen menuju 1. Penentuan Sn dari suatu

deret juga tidak memiliki aturan khusus dan bersifat coba – coba.

1k

1

k

1

1k

1n

n

1n

11S

n

11n

nlimSlimnnn

1k

1

k

1

1k

12/09/2014 Matematika 2 14

Deret Suku Positif

Sebuah disebut deret suku positif, bila semua suku-

sukunya positif. Berikut ini adalah deret-deret suku positif yang

sering digunakan :

1. Deret geometri

2. Deret harmonis

3. Deret-p

Deret–p akan dibahas secara khusus dalam uji integral

1nn

a

12/09/2014 Matematika 2 15

Deret Suku Positif

Deret geometri

Bentuk umum :

Proses menentukan rumusan Sn adalah sebagai berikut :

Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa sehingga

. untuk r 1. Kekonvergenan dari deret geometri

bergantung pada nilai r.

....... 1321

1

nk

k

rarararaara

1n32

nra...rararaaS

n1n32

nrara...rararaSr

n

nn raaSrS

r1

r1aS

n

n

12/09/2014 Matematika 2 16

Deret Suku Positif

Deret geometri(lanjutan)

Ada 3 kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret

geometri :

–Bila r = 1, maka Sn= na sehingga , sehingga deret

divergen

–Bila | r |<1, maka , sehingga deret konvergen ke

–Bila | r | >1, maka , sehingga deret divergen

nalimn

0rlim n

n

r1

a

n

nrlim

12/09/2014 Matematika 2 17

Deret Suku Positif

Deret harmonis

Bentuk umum :

Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dari

Sn nya, yaitu

1n n

1

n

1....

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11Sn

.....16

1....

9

1

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11

12/09/2014 Matematika 2 18

Deret Suku Positif

Deret harmonis (lanjutan)

Karena, maka . Sehingga deret harmonis divergen.

2

1....

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

11

....16

1....

16

1

8

1

8

1

8

1

8

1

4

1

4

1

2

11S n2

2

n1lim

n

2

n1

12/09/2014 Matematika 2 19

KedivergenanDeret Tak Hingga

Bila deret konvergen, maka .

kontraposisinya (pernyataan lain yang sesuai ) adalah

Bila ,maka deret akan divergen.

Bila dalam perhitungan limit an–nya diperoleh nol,

maka deret belum tentu konvergen, sehingga perlu

dilakukan pengujian deret dengan uji-uji deret positif.

1nna 0alim n

n

0alim nn

1nna

12/09/2014 Matematika 2 20

KedivergenanDeret Tak Hingga

Contoh

Periksa apakah konvergen ?

Jawaban

Jadi divergen

n12

1lim

n

1n 1n2

n

1n2

nlimalim

nn

n

1n 1n2

n

02

1

12/09/2014 Matematika 2 21

Uji Deret Positif

1. Uji integral

2. Uji Banding

3. Uji Banding limit

4. Uji Rasio

5. Uji Akar

12/09/2014 Matematika 2 22

Uji Deret Positif

Uji integral

Misal merupakan deret suku positif dan monoton turun,

dimana , maka integral tak wajar dari f(x)

adalah .

Bila nilai limit dari integral tak wajar tersebut tak hingga atau tidak

ada, maka deret divergen.

Bila nilainya menuju suatu nilai tertentu(ada), maka deret

konvergen.

1nna

Bnnfan

dxxflimdxxfb

1b1

12/09/2014 Matematika 2 23

Deret Suku Positif

Contoh 1: Uji Integral Deret–p

Bentuk umum :

Kalau diperhatikan maka deret harmonis sebenarnya juga

merupakan deret–p dengan p=1. Kekonvergenan deret p akan

bergantung pada nilai p. Untuk menentukan pada nilai p berapa

deret konvergen atau divergen, digunakan integral tak wajar yaitu

Misal maka .

Selanjutnya nilai f(x) tersebut di integralkan dengan batas 1

sampai .

1npn

1

pn

n

1nfa

px

1xf

12/09/2014 Matematika 2 24

Deret Suku Positif

Deret–p (lanjutan)

Integral tak wajar dari f(x) adalah

Kekonvergenan deret–p ini akan tergantung dari nilai integral tak wajar

tersebut. Bila integralnya konvergen maka deretnya juga konvergen.

Sebaliknya bila integralnya tak hingga atau tidak ada maka deretnya juga

akan divergen.

dxx

1lim

b

1pb

dxx

1

1p

b

1

p1

b p1

xlim

p1

1

p1

blim

p1

b

12/09/2014 Matematika 2 25

Deret Suku Positif

Deret–p (lanjutan)

Nilai integral tak wajar tersebut bergantung pada nilai p berikut :

– Bila p = 1, maka deretnya harmonis, sehingga deret divergen

– Bila 0 p<1, maka ,sehingga deret

divergen

– Bila p>1, maka ,

sehingga deret konvergen.

1pb b1p

1

1p

1lim

p1

1

p1

blim

p1

b

p1

1

p1

blim

p1

b

1p

1

12/09/2014 Matematika 2 26

Uji Deret Positif

Contoh 2

Tentukan kekonvergenan deret

Jawaban

Deret tersebut monoton turun, sehingga dapat digunakan uji

integral yaitu :

Misal , maka

Perhitungan integral tak wajar :

dxxlnx

1lim

b

2b

2nnlnn

1

nlnn

1nfan

xlnx

1)x(f

dxxlnx

1

2

b2

bxlnlnlim

12/09/2014 Matematika 2 27

Uji Deret Positif

Karena nilai limitnya menuju tak hingga, maka integral

tak wajarnya divergen. Sehingga deret juga

divergen.

2nnlnn

1

12/09/2014 Matematika 2 28

Uji Deret Positif

Uji Banding

Bila untuk n N, berlaku bn an maka

a. Bila konvergen, maka juga konvergen

b. Bila divergen, maka juga divergen

Jadi pada uji banding ini, untuk menentukan kekonvergenan

suatu deret, bila menggunakan sifat a maka deret

pembandingnya adalah yang bersifat konvergen.

Sedangkan bila menggunakan sifat nomor 2 maka deret

pembandingnya adalah yang bersifat divergen.

1nnb

1nna

1nna

1nnb

12/09/2014 Matematika 2 29

Uji Deret Positif

Contoh 1

Uji kekonvergenan

Jawaban

Dalam uji banding, pemilihan deret pembanding adalah dipilih

yang paling mirip dengan deret yang akan diuji.

Dapat dipilh sebagai deret pembanding.

Karena dan merupakan deret

p yang divergen, maka disimpulkan deretnya juga divergen

1n 2n

1

1n n3

1

1n n3

1

n3

1

2n

1

12/09/2014 Matematika 2 30

Uji Deret Positif

Contoh 2

Uji kekonvergenan

Jawaban

Dengan uji banding, digunakan deret pembanding ,

dimana . Karena merupakan deret

konvergen, maka juga konvergen.

1n2 5n

3

1n2n

3

22 n

3

5n

3

1n2n

3

1n2 5n

3

12/09/2014 Matematika 2 31

Uji Deret Positif

Contoh 3

Uji kekonvergenan

Jawaban

Karena untuk , maka deret pembanding yang

digunakan adalah .Karena dan

merupakan deret konvergen, maka juga konvergen

12

1

n n

ntg

2, 1

ntgn

1n22

n

2

2

2

1

nn

ntg

1n22

n

12

1

n n

ntg

12/09/2014 Matematika 2 32

Uji Deret Positif

Uji Banding Limit

Misal dan , merupakan deret suku positif dan

, berlaku

– Bila 0 < L < , maka kedua deret bersama-sama konvergen

atau bersama-sama divergen

– Bila L = 0, dan adalah deret konvergen, maka .

juga konvergen

– Bila L = dan adalah deret divergen maka .

juga divergen

1nna

1nnb

n

n

n b

alimL

1nnb

1nna

1nnb

1nna

12/09/2014 Matematika 2 33

Uji Deret Positif

Contoh 1

Uji kekonvergenan deret

Jawaban

Deret pembanding yang digunakan adalah dan

diketahui sebagai deret divergen ( sebagai ).

Karena . dan deret pembandingnya

divergen, maka . juga divergen.

1n23

2

3nn5

n

1n1n

3

2

n5

1

n5

n

1nnb

13nn5

n5limL

23

3

n

1n23

2

3nn5

n

12/09/2014 Matematika 2 34

Uji Deret Positif

Contoh 2Uji kekonvergenan deret

Jawaban

Deret pembanding yang digunakan adalah dan

diketahui sebagai deret divergen (deret harmonis).

Karena . dan deret

pembandingnya divergen, maka kedua deret bersama-sama

divergen .

1i2 5n

1

1n1n

2 n

1

n

1

11n

nlim

5n

nlimL

2

2

n2

2

n

12/09/2014 Matematika 2 35

Uji Deret Positif

Uji Rasio

Misal merupakan deret suku positif dan

maka berlaku

– Bila <1, maka deret konvergen

– Bila >1, maka deret divergen

– Bila =1, maka uji gagal

1nna

n

1n

n a

alim

12/09/2014 Matematika 2 36

Uji Deret Positif

Contoh


Jawaban

Dengan uji rasio diperoleh

Karena = 0 < 1 , maka konvergen.

1

2

!i n

n

0n)1n(

)1n(lim

n

!n

!)1n(

)1n(lim

2

2

n2

2

n

n

1i

2

!n

n

12/09/2014 Matematika 2 37

Uji Deret Positif

Uji Akar

Misal merupakan deret suku positif dan ,

maka berlaku

– Bila r < 1, maka deret konvergen

– Bila r > 1, maka deret divergen

– Bila r = 1, maka uji gagal

1nna n

nn

alimr

1nna

1nna

12/09/2014 Matematika 2 38

Uji Deret Positif

Contoh


Jawaban

Dengan uji akar diperoleh

Karena , maka konvergen.

1

2

in

n

e

e

2

e

2limr n

n

n

n

n

1in

n

e

21

e

2r

12/09/2014 Matematika 2 39

Uji Deret Positif

Panduan Pemilihan uji deret

Bila deret suku berbentuk rasional (fungsi polinom) maka

dapat dipilih uji banding atau uji banding limit

Bila deret suku positif mengandung bentuk pangkat n dan

atau faktorial maka dipilih uji rasio atau uji akar pangkat n

Bila uji – uji diatas tidak dapat digunakan dan suku –

sukunya monoton turun maka dapat dipilih uji integral

12/09/2014 Matematika 2 40

Deret Ganti Tanda

Uji-uji kekonvergenan deret positif hanya digunakan untuk

menguji deret-deret positif. Sedangkan untuk deret-deret

yang suku-sukunya berganti-ganti tanda, yaitu berbentuk

. dengan an> 0 untuk semua n dilakukan uji

tersendiri.

Notasi deret ganti tanda adalah . atau .

Deret ganti tanda dikatakan konvergen, bila

a. (monoton tak naik)

b.

1

1)1(i

nn a

1

)1(i

nna

n1n aa0

0alim nn

...aaaa 4321

12/09/2014 Matematika 2 41

Deret Ganti Tanda

ContohTentukan kekonvergenan deret

Jawaban

merupakan deret ganti tanda

dengan rumus suku ke–nnya adalah .

Deret akan konvergen bila memenuhi dua syarat berikut :

a. .

b. Nilai

1n

1n

1nn

3n1

1n

1n

1nn

3n1

n1n aa0

1nn

3nan

0alim nn

12/09/2014 Matematika 2 42

Deret Ganti Tanda

a.

Karena jadi {an} adalah monoton tak naik.

b.

Karena kedua syarat dipenuhi maka deretnya konvergen.

1nn

3n

2n1n

4n0

16n5n

n4n

3n2n

4nn

a

a2

2

n

1n

1a

a

n

1n

0

1nn

3nlimalimn

nn

13n

1nn

2n1n

4n

a

a

n

1n

12/09/2014 Matematika 2 43

Konvergen Mutlak danKonvergen Bersyarat

Deret dikatakan konvergen

mutlak, bila deret mutlak konvergen

(suku an bisa berupa suku positif atau tidak).

Hal tersebut tidak berlaku sebaliknya. Tetapi bila

divergen, maka . juga divergen.

Kovergen bersyarat terjadi bila konvergen tetapi

divergen.

321

1nn aaaa

|a|aaa 3211n

n

1nna

1nna

1nna

1nna

12/09/2014 Matematika 2 44


Contoh 1

Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?

Jawaban

Deret mutlaknya adalah . Dengan menggunakan uji

banding, dimana deret pembandingnya adalah maka

diperoleh bahwa untuk semua nilai n.

Karena merupakan deret konvergen, maka

juga konvergen. Sehingga konvergen mutlak.

1n3n

ncos

1n3n

ncos

1n3n

1

33 n

1

n

ncos

1n3n

1

1n3n

ncos

1n3n

ncos

12/09/2014 Matematika 2 45


Contoh 2

Tentukan apakah konvergen mutlak atau

bersyarat ?

Jawaban

Deret mutlaknya adalah .

Dengan uji rasio diperoleh .

Karena =0<1, maka konvergen.

Sehingga konvergen mutlak.

1n

nn

!n

21

1n

n

!n

2

n

1n

n 2

!n

!1n

2lim

1n

n

!n

2

1n

nn

!n

21

01n

2lim

n

12/09/2014 Matematika 2 46


Contoh 3

Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?

Jawaban

Deret mutlaknya adalah yang merupakan deret divergen.

Pengujian kekonvergenan deret ganti tanda

a. (monoton tak naik)

Diperoleh bahwa benar

b. Jadi deret ganti tandanya konvergen.

Karena deret ganti tandanya konvergen sedangkan deret

mutlaknya divergen maka konvergen bersyarat .

1n

n

n

11

1n n

1

n1n aa0

n

1

1n

10

0n

1limalimn

nn

12/09/2014 Matematika 2 47

Uji rasio untukkekonvergenan mutlak

Misal deret dengan suku tak nol dan ,

tiga kondisi yang mungkin terjadi adalah :

• Bila r<1, maka konvergen mutlak

• Bila r>1, maka divergen

• Bila r=1, pengujian gagal ( tidak dapat disimpulkan)

Konvergen bersyarat tidak bisa ditentukan oleh uji rasio ini. .

1nna

n

1n

n a

alimr

1nna

1nna

12/09/2014 Matematika 2 48


Contoh 1

Tentukan apakah konvergen mutlak atau

divergen?

Jawaban

Dengan uji rasio mutlak diperoleh :

Karena , maka konvergen mutlak.

en

1nlim

3

3

n

1n

n

3n

e

n1

3

n

1n

3

n n

e

e

1nlimr

1n

n

3n

e

n11

e

1r

e

1

12/09/2014 Matematika 2 49


Contoh 2

Tentukan apakah konvergen mutlak atau divergen?

Jawaban

Dengan uji rasio mutlak diperoleh :

Karena r > 1, maka divergen .

2

1nlim

n

1n

n

n

2

!n1

!n

2

2

!1nlimr

n

1nn

1n

n

n

2

!n1

12/09/2014 Matematika 2 50

Deret Pangkat

Bentuk umum :

Contoh deret pangkat

1.

2.

3.

......2210

0

nn

n

nn xaxaxaaxa

......2

2100

n

n

n

nn bxabxabxaabxa

......1 2

0

n

n

n xxxx

...!6!4!2

1!2

1642

0

2

xxx

n

x

n

nn

...

5

1

4

1

2

1

2

12

0

xx

n

x

n

n

12/09/2014 Matematika 2 51

Deret Pangkat

Pada deret pangkat ini, kalau diperhatikan terdapat dua variabel,

yaitu n dan x. Untuk n , nilainya dari 0 sampai , sedangkan

nilai x dapat dicari dengan uji rasio untuk kekonvergenan mutlak,

yaitu pada saat r < 1.

Interval nilai x yang memenuhi kekonvergenan dari deret

maupun disebut interval kekonvergenan.

Bentuk interval kekonvergenan dari deret pangkat ini memiliki

ciri khusus dan hanya memiliki 3 variasi bentuk untuk masing –

masing deret.

n

0nn xa

n0n

n bxa

12/09/2014 Matematika 2 52

Deret Pangkat

Tiga kemungkinan untuk interval kekonvergenan deret adalah :

Selang konvergensi untuk deret

• Deret konvergen hanya di x = 0

• Deret konvergen mutlak di x R

• Deret konvergen mutlak pada interval buka (–r,r) atauditambah pada ujung – ujung intervalnya.

Selang konvergensi untuk deret

• Deret konvergen hanya di x = b

• Deret konvergen mutlak di x R

• Deret konvergen mutlak pada interval buka (b–r,b+r)atau ditambah pada ujung – ujung intervalnya.

n

0nn xa

n0n

n bxa

12/09/2014 Matematika 2 53

Deret Pangkat

Contoh 1

Tentukan interval kekonvergenan deret

Jawaban

Pengujian dengan uji rasio mutlak :

Deret akan konvergen untuk semua nilai x

Atau x R

01n

xlimn

0n

n

!n

x

n

1n

n x

!n

!1n

xlimr

12/09/2014 Matematika 2 54

Deret Pangkat

Contoh 2


Jawaban


Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi

adalah x = 0 agar r < 1. Jadi deret konvergen untuk x = 0

1nxlimn

0n

nx!n

n

1n

n x

!1n

!n

xlimr

12/09/2014 Matematika 2 55

Deret Pangkat

Contoh 3


Jawaban



adalah –3 < x < 3.

Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara

terpisah.

2n

1n

3

xlim

n

0nn

nn

1n3

x1

n

n

1n

1n

n x

1n3

2n3

xlimr

11.

3

x

12/09/2014 Matematika 2 56

Deret Pangkat

Pengujian deret pada saat x = 3 dan x = 3 adalah sebagai

berikut :

• Saat x = -3 deretnya menjadi Deret ini

diketahui sebagai deret harmonis yang divergen .

• Saat x = 3 deretnya menjadi dengan

uji deret ganti tanda diketahui bahwa deret ini konvergen.

Jadi interval kekonvergenan deret adalah

0n 1n

1

0n

n

1n

11

0nn

nn

1n3

x1

3x3

12/09/2014 Matematika 2 57

Deret Pangkat

Contoh 4


Jawaban



adalah 4 < x < 6.

Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara

terpisah.

1n2n

n5xlim

2

2

n

1n2

n

n

5x

n2

2

1n

n 5x

n

1n

5xlimr

11.5x

12/09/2014 Matematika 2 58

Deret Pangkat

Pengujian deret pada saat x = 4 dan x = 6 adalah sebagai

berikut :

• Saat x = 4 deretnya menjadi karena

. konvergen maka deret ganti tandanya juga

konvergen. .

• Saat x = 6 deretnya menjadi yang merupakan

deret-p yang diketahui konvergen.

Jadi interval kekonvergenan deret adalah

1n2

n

n

11

0n2n

1

1n2n

1

1n2

n

n

5x

6x4

12/09/2014 Matematika 2 59

Operasi-operasideret pangkat

1. Operasi aljabar, yaitu penjumlahan, pengurangan,

pembagian, dan substitusi

2. Turunan deret :

3. Integral deret :

1

1

0 n

nn

n

nnx xnaxaD

Cx1n

adxxadxxa 1n

0n

nn

0n 0nn

nn

12/09/2014 Matematika 2 60

Deret Pangkat

Deret geometri adalah contoh deret pangkat x dengan

an = 1 .

Dengan menggunakan rumus jumlah takhingga deret geometri,

maka diperoleh

Secara umum x bisa diganti dengan U dimana U adalah fungsi

yang memuat x.

1n

nx

...xxx1x1

1 32

1x

...uuu1u1

1 32

1u

12/09/2014 Matematika 2 61

Deret Pangkat

Contoh 1Nyatakan dalam deret pangkat

Jawaban

Dengan menggunakan deret geometri

x1

1

x1

1

x1

1

x1

1

x1

1

...xxx1 32

1xx

1x

12/09/2014 Matematika 2 62

Deret Pangkat

Contoh 2

Nyatakan dalam deret pangkat

Jawaban

Dengan menggunakan jawaban sebelumnya

x1

x

...xxxx...xxx1x

x1

x

x1

x 43232

12/09/2014 Matematika 2 63

Deret Pangkat


Jawaban

Jadi

x1

x1ln

x1lnx1lnx1

x1ln

...x3

1x

2

1xdx...xxx1dx

x1

1x1ln 3232

...x3

1x

2

1xdx...xxx1dx

x1

1x1ln 3232

...x5

2x

3

2x2x1lnx1ln

x1

x1ln 53

12/09/2014 Matematika 2 64

Deret Pangkat


Jawaban

adalah turunan dari sehingga

2x1

1

2x1

1

x1

1

...x4x3x21dx

...xxx1d

dx

x1

1d

x1

1 3232

2

12/09/2014 Matematika 2 65

Deret Taylor dan Maclaurin

Suatu fungsi yang terdifferensial sampai orde n di x = b dapat

digambarkan sebagai suatu deret pangkat dari (x–b) yaitu ,

dimana nilai-nilai a0,a1,a2,… diperoleh dari penurunan f(x) di

x = b sampai turunan ke-n, yaitu

33

2210 bxabxabxaaxf

!n

bfa

!2

bfa

bfa

bfa

n

n

''

2

'1

0

12/09/2014 Matematika 2 66


Atau f(x) bisa dituliskan sebagai

Bentuk yang diperoleh di atas dikenal dengan bentuk polinomial

taylor. Fungsi yang dapat diperderetkan dalam bentuk polinomial

taylor, dinamakan deret taylor.

Bila b = 0, maka fungsi diperderetkan dalam deret maclaurin,

yaitu

nn

3'''

2''

'

bx!n

bf

bx!3

bfbx

!2

bfbxbfbfxf

nn

3'''

2''

' x!n

0fx

!3

0fx

!2

0fx0f0fxf

12/09/2014 Matematika 2 67


Contoh 1Perderetkan ke dalam deret maclaurin

Jawaban

Sehingga

10fexf x

10fexf 'x'

10fexf ''x''

10fexf '''x'''

10fexf nxn

x,!n

x

!3

x

!2

xx1e

0n

n32x

xexf

12/09/2014 Matematika 2 68


Contoh 2

Perderetkan ke dalam deret Maclaurin / Taylor

Jawaban

Dari jawaban sebelumnya diperoleh bahwa

Dengan mengganti x dengan 2x–1 maka diperoleh

perderetannya adalah

1x2exf

x,

!n

x

!3

x

!2

xx1e

0n

n32x

!3

1x2

!2

1x21x21e

321x2

12/09/2014 Matematika 2 69


Berikut adalah fungsi-fungsi yang diperderetkan ke dalam

deret Maclaurin

x,!1n2

x1

!7

x

!5

x

!3

xxxsin

0n

1n2n

753

x,!n2

x1

!6

x

!4

x

!2

x1xcos

0n

n2n

642

1x1,1n

x1

4

x

3

x

2

xxx1ln

0n

1nn

432

1x1,1n2

x1

7

x

5

x

3

xxxtan

0n

1n2n

7531

1x,xxxxx1x1

1

0n

n432

12/09/2014 Matematika 2 70


Untuk memperderetkan suatu fungsi kedalam deret taylor atau

maclaurin, dapat digunakan operasi-operasi deret pangkat

seperti pada bagian sebelumnya, misal :

7

x

5

x

3

xx

753

xCos

xtan 1

dx

xSind

!6

x

!4

x

!2

x1

642

dxx1

12

dx

!7

x

!5

x

!3

xxd

753

dxxxx1 642

12/09/2014 Matematika 2 71

Soal Latihan

A. Tentukan barisan-barisan berikut konvergen atau divergen

1. 2.

3. 4.

5. 6.

1n

2 1n2

n

1n

2

nsin

1n2

n

1n2n

1nln

1n

nn

22

1

1n

n ncose

1n

2

!n

n

12/09/2014 Matematika 2 72

Soal Latihan

A (Lanjutan)

7. 8.

9. 10.

11. 12.

1nn2

nn2

6e

e2e

1nn

n

4

1n

n

n

2

e

1n

2n

n

1n

n

n

11

1nn n

12/09/2014 Matematika 2 73

Soal Latihan

A (Lanjutan)

13. 14.

B. Tentukan deret berikut konvergen atau divergen ?

1. 2.

3. 4.

1n2

1n

1n

11

1nn2

n

e

100

1n n

nln

1n3 n5n3

n

1n 1nn

1

1n3 6n

1n3

12/09/2014 Matematika 2 74

Soal Latihan

B. (lanjutan)

5. 6.

7. 8.

9. 10.

1n

n

!n

60

1n

n

!n

n25

1nn2e

nln

1nn e

1

1n3n

ncos

1n

n2

!2n2

2!n

12/09/2014 Matematika 2 75

Soal Latihan

B. (lanjutan)

11. 12.

13. 14.

15. 16.

1n

2

!n

nsin5

1n185n2

1

1n5 2n

n

1nn4!n!4

!4n

1n3

1

n

ntan

1n

1n

2n3

1n1

12/09/2014 Matematika 2 76

Soal Latihan

B. (lanjutan)

17. 18.

19. 20.

21. 22.

1n

nn e1

n

3

1n

1n

e

n1

1n5

2

n

5ncos

1n

n

3

1n

1n2 nn3

1

1n3 2 nn6

1

12/09/2014 Matematika 2 77

Soal Latihan

B. (lanjutan)

23. 24.

C. Uji kekonvergenan deret-deret berikut, dan tentukan

konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen

1. 3.

2. 4.

1n

n

1n2

2n3

1n 5n

1

1n

1n

n3

11

1n5

n

n

4

n

1n

1n

1n3

2n1

1n2 1n

ncosn

12/09/2014 Matematika 2 78

Soal Latihan

D. Cari interval kekonvergenan deret pangkat berikut

1. 4.

2. 5.

3. 6.

0n

nn

!n

x1

1n

n1n

n

1x1

0nn

n

2

3x

0n

1nn

1n

x2

2n

n

nln

x

n

0nn

x2

!n

12/09/2014 Matematika 2 79

Soal Latihan

D. (Lanjutan)

7. 8.

9. 10.

E. Perderetkan fungsi berikut dalam deret pangkat

1. 2.

4

x

3

x

2

xx

432

!6

x

!4

x

!2

x1

642

!3

3x

!2

3x3x1

32

6

3x8

5

3x4

4

3x2

3

1 32

xlnxf x3exf

12/09/2014 Matematika 2 80

Soal Latihan

E. (Lanjutan)

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

xexxf

2x41

1xf

2xsinxf

x31exf

x1

1xf

x1lnxxf

x31

xxf

2

x3lnxxf



SKS : 2

Pengajar : Hari Purwadi ST, MT

1

MENGAPA

BELAJAR

TRIGONOMETRI ?

MASALAH

SEHARI-HARI

TRIGONO

METRI

SOLUSI

MANFAAT

Menentukan tinggi

menara?

Menghitung lebar

sungai?

2

PROGRAM STUDI TEKNOLOGI INFORMASIPOLITEKNIK NEGERI SAMARINDA

2014

SILABUS

1. PENDAHULUAN

2. FUNGSI TRIGONOMETRI

3. RUMUS-RUMUS SEGITIGA

4. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

5. RUMUS PENJUMLAHAN/PENGURANGAN FUNGSI TRIGONOMETRI

6. PERSAMAAN DAN PERTAKSAMAAN TRIGONOMETRI

7. BENTUK a cos x + b sin x

3

Pendahuluan Istilah TrigonometriSudut

Istilah TrigonometriIstilah Trigonometri

Istilah trigonometri berasal dari dua kata bahasa, yakni

“trigonos” dan “metron”. Trigonos artinya segitiga dan metron

artinya ukuran.

Trigonometri berarti salah satu unit dari Matematika yang

menjelaskan tentang ukuran-ukuran segitiga meliputi besaran

sudut, besaran sisi, sudut, dan fungsi trigonometri.

4


SudutSudut

sudut sudut

Sudut sebagai bentuk (tidak berarah)

Dua sinar garis dengan titik pangkal yangberimpit membagi bidang menjadi duabagian, masing-masing dinamakan sudut

Arah positifArah negatif

Sudut sebagaigerak putar(berarah)

A

B

5


SudutSudut

Kedudukan Standar dariSudut

AOB=30°AOC=150°AOD=225°-360°=-135°

X

Y

BC

D

AO

6


SudutSudut

Ukuran Sudut : Derajat

1° = 1/360 putaran 360° = 1 putaran ¼ putaran = ¼ x 360°

7


SudutSudut

Ukuran Sudut : Derajat

Contoh Soal

Tentukan ukuran sudut berikut dalam satuan derajata. ½ putaranb. ¼ putaran

Jawab :a. ½ putaran = ½ x 360° = 180°b. ¼ putaran = ¼ x 360° = 90°

8


SudutSudut

Ukuran Sudut : Radian

POQ=Panjang PQ radianr

Besar sudut satu putaran penuh= keliling lingkaran radian

jari-jari=2 π r radian = 2π radian

rBesar sudut ½ putaran = π radianBesar sudut ¼ putaran = ½ π radianJika panjang busur PQ=r, maka besarsudut POQ = 1 radian.1 radian = besar sudut pusat lingkaranyang panjang busurnya r.

P

Q

O

r

r

r

9


SudutSudut

Hubungan Satuan Derajat dan radianJika Sudut satu putaran penuh = 360°= 2π radian,Maka 180°= π radian.

Contoh Soal1. Ubahlah 90° ke dalam satuan radian2. Ubahlah ½ π radian ke dalam satuan derajat3. Ubahlah ¼ radian ke dalam satuan derajat

Jawab :a. 90° = 90 x π/180 rad = ½ π radb. ½ π rad = ½ π x 180°/ π = 90°

c. ¼ rad = 1/4 x 180°/ π = 45°/ π

1°= π rad atau 1 rad = 180° = 57,3°180 π

10

Fungsi Trigonometri Perbandingan TrigonometriFungsi TrigonometriTanda tanda Fungsi TrigonometriRumus Trigonometri dari sudut yang berelasiKoordinat Kutub

Perbandingan Trigonometri

Perbandingan trigonometri segitigaABC dengan siku-siku di Cdidefinisikan sebagai :

Sin θ = sisi depan sudut A = asisi miring (hipotenusa) c

Cos θ = sisi samping sudut A = bsisi miring (hipotenusa) c

Tan θ = sisi depan sudut A = asisi samping sudut A b

A C

B

a

b

c

θ

11


Fungsi Trigonometri

B(x,y)

X

Y

oθ

r

X

y

2 2

1cosec

sin

1sec

cos

1ctg

tan

cos sin 1

r

y

r

x

x

y

sin

cos

sintan

cos

y

r

x

r

y

x

12


Fungsi Trigonometri

Contoh Soal

Tentukan nilai cos θ dan tan θ jika ditentukan sin θ=3/5 dantan θ > 0.

Jawab :

A B

C

35

θ

Cara 1 :

AB2 = AC2-BC2

= 52-32

= 16AB = 4cos θ = 4/5 dan tan θ = 3/4

13


Fungsi Trigonometri

Contoh Soal

Tentukan nilai cos θ dan tan θ jika ditentukan sin θ=3/5 dantan θ > 0.

Jawab :

A B

C

35

θ

Cara 2 : rumus cos2θ+sin2θ=1⇔ cos2θ=1- sin2θ⇔ cos2θ=1- (3/5)2

⇔ cos2θ=1- 9/25⇔ cos2θ=16/25⇔ cos θ = 4/5 atau cos θ = -4/5Karena tan θ > 0, maka ambil cosθ = 4/5 dan tan θ = 3/4

14


Fungsi Trigonometri

Soal

1. Pada segitiga ABC yang siku-sikunya di B berlaku sin A =3/5. Jika BC =6 cm, tentukan panjang sisi AC dan AB.(AC=10 cm dan AB = 8 cm)

2. Pada segitiga ABC dengan siku-siku di B berlaku sin A =12/13. Tentukan nilai cos A dan tan B. (cos A = 5/13 dan tanA=12/5)

3. Tentukan nilai sin α dan tan α jika cos α = 5/13 dan tan α < 0

15


Tanda Fungsi Trigonometri

o X

Y

I

All (+)

0<θ<1/2 π

II

Sin (+)

1/2 π<θ< π

III

Tan (+)

π<θ< 3/2π

IV

Cos (+)

3/2 π<θ< 2π

1. Sin 200° bernilaipositif/negatif ?

2. Cos 340° bernilaipositif/negatif ?

3. Tan 2/3 π bernilaipositif/negatif ?

(-)

(+)

(-)

16


Sudut Istimewa

0 30 45 60 90

Sin θ° 0 ½ ½ √2 ½ √3 1

Cos θ° 1 ½ √3 ½ √2 ½ 0

Tan θ° 0 1 √33

1 √3 tak terdefinisi

Hitung nilai dari1. sin 45°+cos 452. tan 30° + tan 60°3. sin245°+cos245°+tan45°4. sin245°sin260°+cos245°cos260°

tan30° tan60°

5. Tunjukkan bahwacos230°tan230°+cos245°tan245° =1

sec30° cot30°- tan45°

17


Sudut Istimewa 30° dan 60°

60°

30°

B C D

A

c cb

aa

∆ABC siku-siku di C dengan∠BAC=30° dan ∠ABC=60°. Jika

∆ABC dicerminkan terhadap sisi AC,maka didapatkan ∆ACD.

Gabungan ∆ABC dan ∆ACD, yaitu∆ABD merupakan segitiga sama sisidengan c=2a. Berdasarkan dalilPythagoras, ∆ABC berlaku :

c2 = a2+b2

(2a)2= a2+b2

b2 = 3a2

b = √3a2

18



60°

30°

B C D

A

c=2 c

b=√3

aa=1

c2 = a2+b2

(2a)2= a2+b2

b2 = 3a2

b = √3a2

sin 30°= a/c = a/2a = ½cos 30°= b/c = a√3/2a = ½√3tan 30°= a/b = a/a√3 = 1/√3 = 1√3

3sin 60°=cos 60°=tan 60°=

19



O

X

Y

P (a,0) O

X

Y

P (0,b)

Agar ∠XOP = 0°, maka titik Pterletak di sumbu X positif.Misal koordinat titik P adalah (a,0)P(a,0) maka x=a, y=0,r=√a2+02 = asin 0°=y/r =0/a=0cos 0°=x/r =a/a=1tan 0°=y/x =0/a=0

Agar ∠XOP = 90°, maka titik Pterletak di sumbu Y positif.Misal koordinat titik P adalah (0,b)P(0,b) maka x=0, y=b,r=√02+b2 = bsin 90°=y/r =b/b=1cos 90°=x/r =0/b=0tan 90°=y/x =b/0=tak terdefinisi

20


Rumus Trigonometri dari sudut yang berelasi

1. (π- θ) dan θ

P(x,y) dicerminkan terhadapsumbu Y.Bayangannya P1(-x,y).

XOP1 = (π- θ)

Didapat :cos (π- θ) = -cos θsin (π- θ) = sin θtan (π- θ) = -tan θ

Sin 120° = sin (π - 60°) = sin 60°= ½ √3

P(x,y)

X

Y

oθ

P1(-x,y)

(π- θ)

21



2. ( ½ π- θ) dan θ

P(x,y) dicerminkan terhadapGaris y=x.Bayangannya P2(y,x).

XOP2 = ( ½ π- θ)

Didapat :cos ( ½ π- θ) = sin θsin ( ½ π- θ) = cos θtan ( ½ π- θ) = cot θ

sin (½ π- 30°)= cos 30°= ½ √3

P(x,y)

X

Y

oθ

P2(y,x)

y=x

22



3. ( π+θ) dan θ

P(x,y) dicerminkan terhadap O.Bayangannya P3(-x,-y).

XOP3 = (π+θ)

Didapat :cos (π+θ) = -cos θsin (π+θ) = -sin θtan (π+θ) = tan θ

Cos 240°= cos (π + 60°)= -cos 60° = -½

P(x,y)

X

Y

oθ

P3(-x,-y)

23



4. -θ, 2π-θ dan θ

P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu X.Bayangannya P4(x,-y).

XOP4 = -θ atau 2π-θ

Didapat :cos (-θ) = cos θ = cos (2π-θ)sin (-θ) = -sin θ = sin (2π-θ)tan (-θ) = -tan θ = tan (2π-θ)

Cos (-45°) = cos 45° = ½ √2Tan 315°= tan (2π-45°) = - tan 45°=-1

X

P(x,y)

Y

P4(x,-y)

oθ

-θ

24



Contoh Soal

Tentukan nilai dari :a. Cos 135°b. Tan 150°c. Sin 180°d. Cos 210°e. Tan 225°f. Cot 300°g. Sec 330°

25


Koordinat Kutub

1. Koordinat CartesiusSuatu titik pada bidang datarditentukan oleh jarak titiktersebut ke sumbu mendatarX yang disebut ordinat, danjarak ke sumbu vertikal Ydisebut absis.

Contoh :Pasangan koordinat titik Aadalah (x,y) ditulis A(x,y).

A(x,y)

X

Y

o x

y

26


Koordinat Kutub

2. Koordinat Kutub (Polar)Letak suatu P ditentukanoleh jarak titik tersebut ketitik pangkal O dan besarsudut antara OX dan OP.

Contoh :Koordinat Kutub titik P(r,α),artinya jarak OP=r satuandan ∠XOP= α.

P(r,α)

X

Y

oα

27


Koordinat Kutub

3. Hubungan Koordinat Kutubdengan Koordinat Cartesius

didapatkan :cos α=x/r ⇔x=r cos αsin α=y/r ⇔y=r sin α

tan α=y/xr2=x2+y2 ⇔ r=√x2+y2

P(x,y)

X

Y

oα

Qx

r

y

28


Koordinat Kutub

Contoh Soal

1. Diketahui titik A(3,4). Tentukan koordinat polar titik A.Jawab :r = √x2+y2= √32+42= 5tan α = 4/3, maka α = 53,1°jadi, koordinat polar titik A adalah (5, 53,1°)

2. Diketahui titik B (7, ¾π). Tentukan koordinat Cartesius titik B.Jawab :x=r cos α = 7 x cos ¾π = -4,950y=r sin α = 7 x sin ¾π = 4,950Jadi, koordinat Cartesius titik B adalah (-4,950, -4,950)

29


Koordinat Kutub

Soal1. Tentukan koodinat kutub untuk titik-titik berikut dalam satuan

derajat dan radian.a. (3,-4)b. (5,6)c. (-8,5)d. (1/2, -5/4)

2. Tentukan koordinat Cartesius untuk titik-titik berikuta. (3, 45°)b. (8, 135°)c. (15, ½ π)d. (4, ¾ π)

30

Rumus-Rumus Segitiga Identitas TrigonometriAturan SinusAturan KosinusLuas daerah segitiga

Identitas Trigonometri

Perbandingan trigonometri :

31



32



33



34


Aturan Sinus

a

c

b

βα

γ

Sin α

Sin α

Sin β

Sinβ

Sin α Sin β

Sin α Sin β

35


Aturan Sinus

Sin β

Sin β

Sin γ

Sin γ

Sin β Sin γ

Sin β Sin γ

Sin β Sin γSin α

36


Aturan Sinus

Rumus Aturan Sinus :

C

A B

a

c

b

α

γ

β

Rumus Aturan sinus ini digunakan untukmenghitung unsur-unsur sebuahsegitiga yang belum diketahui denganterlebih dahulu diketahui ketiga unsurlainnya.

Misal :

Diketahui : sisi a (panjang BC) , sudut α(∠BAC), sudut β (∠ABC)

Ditanyakan : sisi b (panjang AC)

C

A B

ab ?

α β

37


Aturan Sinus

Contoh 1Pada ∆ABC, panjang AC = 16 cm, BC =12 cm dan ∠BAC = 30°. Hitung besar∠ABC.Jawab :

BC = ACsin α sin β

⇔ 12 = 16sin 30° sin β

⇔ 12 = 16½ sin β

⇔ sin β = 16 x ½12

⇔ sin β = 0,67⇔ β = 42,07°

∴ besar ∠ABC adalah 42,07°.

C

A B

1216

30° ?

Contoh 2Pada ∆PQR, panjang PQ = 8 cm, ∠RPQ= 30° dan ∠PQR = 105°. Hitungpanjang QR.Jawab :∠PRQ=180°-(30°+105°) = 45°

QR = PQsin ∠RPQ sin ∠PRQ

⇔ QR = 8sin 30° sin 45°

⇔ QR = 8½ ½ √2

⇔ QR = 8 x ½½ √2

⇔ QR = 8 x √2 = 4√2√2 √2

∴ panjang QR adalah 4√2 cm.

R

P Q

?

8

30° 105°

38


Aturan Sinus

39


Aturan Sinus

40


Aturan Kosinus

c-bcosα

αααα α

α

α

41


Aturan Kosinus

α

β γ γ α

β

β γ

β

γ

α

42


Aturan Kosinus

αα

α

β

γ

β

β

γ

γ

43


Aturan Kosinus

C

A B

a

c

b

α

γ

β

Rumus Aturan kosinus ini digunakan untuk :1.Menghitung panjang sisi sebuah segitiga

apabila diketahui panjang dua sisi lainnyadan besar sudut yang di apitnya.

2.Menghitung besar sudut pada sebuahsegitiga jika diketahui panjang ketigasisinya.

44


Aturan Kosinus

Contoh 1Pada ∆ABC, panjang AC = 18 cm, BC =14 cm dan ∠ACB = 120°. Hitungpanjang AB.Jawab :

Misal BC=a, AC=b, makac2=a2+b2-2ab cos γ

=142+182-2(14)(18) cos 120°=196 + 324-504 (-0,5)=520+252=722

c =√722=27,78∴panjang c=AB adalah 27,78 cm.

C

A B

1418 120°

?

Contoh 2Pada ∆PQR, panjang PQ = 20 cm, QR= 16 cm dan PR=8 cm. Hitung ∠RPQ.Jawab :

Misal PQ=r, QR=p, PR=q , ∠RPQ = ∠θ makacos θ =q2+r2-p2

2qr⇔cos θ =82+202-162

2(8)(20)⇔cos θ =64+400-256=208=0,65

320 320∴ besar ∠θ adalah 49,46° cm.

R

P Q

168

?

20

45


Aturan Kosinus

46


Aturan Kosinus

47


Luas Daerah Segitiga

Rumus Luas Daerah Segitiga :1. Luas ∆ABC = ½ bc sin α

= ½ ac sin β= ½ ab sin γ

2. Luas ∆ABC = √s(s-a)(s-b)(s-c)dengan s= ½ (a+b+c)

C

A B

a

c

b

α

γ

β

Contoh :

1. Dalam ∆ABC, a(BC)=25 cm, b(AC)= 45

cm, dan γ( ACB)=30°. Hitung luas

daerah ∆ABC.

Jawab :

Luas ∆ABC = ½ ab sin γ

= ½ x 25 x 45 sin 30°

= ½ x 25 x 45 x 0,5 = 281,25

Luas daerah ∆ABC adalah 281,25 cm2

C

A B

254530°

48


Luas Daerah Segitiga

Latihan

1. Dalam ∆PQR, PQ=5 cm, PR= 6 cm,dan QPR=60°. Hitung luas daerah∆PQR.

2. Dalam ∆ABC, AB=10 cm, BC= 10 cm,dan ABC=45°. Hitung luas daerah∆ABC.

3. Hitung luas daerah ∆ABC jikadiketahui ketiga sisinya yaitu 11 cm,12 cm, 13 cm.

Contoh :

2. Hitung luas daerah ∆ABC jika

diketahui ketiga sisinya yaitu 3

cm, 4 cm, 5 cm.

Jawab :

s= ½ (a+b+c) = ½ (3+4+5) = 6

Luas ∆ABC = √s(s-a)(s-b)(s-c)

= √6(6-3)(6-4)(6-5)

= √6 x 3 x 2 x 1

= √36 = 6

Luas daerah ∆ABC adalah 6 cm2

49

Grafik Fungsi Trigonometri Periodisitas Fungsi TrigonometriGrafik

Periodisitas Fungsi Trigonometri

Periode fungsi Sinus dan Kosinus adalah

360°.

sin(θ°+k.360°)=sin θ°,k є { bil. bulat }

cos(θ°+k.360°)=cos θ°,k є { bil. bulat }

Periode fungsi tangen adalah 180°.

tan(θ°+k.180°)=tan θ°, k є { bil. bulat }

Contoh :

1. sin 430° = sin (70°+1.360°)= sin 70°2. cos 400° = cos (40°+1.360°)= cos 40°3. tan 950° = tan(50°+5.180°)= sin 50°

Nilai Maksimum dan minimum fungsi

sinus dan kosinus :

-1 ≤ sin θ° ≤ 1

-1 ≤ cos θ° ≤ 1

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

50


Grafik Fungsi Trigonometri

Cara menggambargrafik y=sin xdengan{x|0°≤x≤360°,xєR } :1. Buat tabel x dan

y=sin x2. Plot setiap

pasangankoordinat. Misal :(0,0), (30,1/2),dst

51



TRIK

a sin x :perbesar sebesar aperkecil sebesar 1/a

sin ax :a gelombang (rapat)1/a gelombang (regang)

sin (x±θ°) :sin (x+θ°) (geser ke kirisebesar θ°)sin (x-θ°) (geser ke kanansebesar θ°)

sin x ± b :sin x + b (geser ke atassebesar b)sin x - b (geser ke bawahsebesar b)

52



TRIK

a sin x :perbesar sebesar aperkecil sebesar 1/a

sin ax :a gelombang (rapat)1/a gelombang (regang)

sin (x±θ°) :sin (x+θ°) (geser ke kirisebesar θ°)sin (x-θ°) (geser ke kanansebesar θ°)

sin x ± b :sin x + b (geser ke atassebesar b)sin x - b (geser ke bawahsebesar b)

53



Cara menggambargrafik :1. Gambar grafik y

= sin x.2. Gunakan TRIK.

TRIK :a. Gambar y=sin x.b. Y=sin(x-30°)

(geser kanan 30)c. Y=2sin(x-30°)

(perbesar 2 kali)d. Y=2sin(x-30°)+2

(geser atas 2)

54



Cara menggambargrafik :1. Gambar grafik y

= sin x.2. Gunakan TRIK.

TRIK :a. Gambar y=sin x.b. Y=sin(x-30°)

(geser kanan 30)c. Y=2sin(x-30°)

(perbesar 2 kali)d. Y=2sin(x-30°)+2

(geser atas 2)

55



LatihanBuat Sketsa Grafik Fungsi berikut inidalam domain {x|0°≤x≤360°,xєR } :1. Y = ½ sin x2. Y = ½ sin 2x3. Y = ½ sin (x+30°)4. Y = ½ sin (x-30°) +4

56



Cara menggambargrafik y=cos xdengan{x|0°≤x≤360°,xєR } :1. Buat tabel x dan

y=cos x2. Plot setiap

pasangankoordinat. Misal :(0,1), (60,1/2),dst

57



Cara gambar :

a cos x :perbesar sebesar aperkecil sebesar 1/a

cos ax :a gelombang (rapat)1/a gelombang (regang)

cos (x±θ°) :cos (x+θ°) (geser ke kirisebesar θ°)cos (x-θ°) (geser ke kanansebesar θ°)

cos x ± b :cos x + b (geser ke atassebesar b)cos x - b (geser ke bawahsebesar b)

58



Cara gambar :

a cos x :perbesar sebesar aperkecil sebesar 1/a

cos ax :a gelombang (rapat)1/a gelombang (regang)

cos (x±θ°) :cos (x+θ°) (geser ke kirisebesar θ°)cos (x-θ°) (geser ke kanansebesar θ°)

cos x ± b :cos x + b (geser ke atassebesar b)cos x - b (geser ke bawahsebesar b)

59



Cara menggambargrafik :1. Gambar grafik y =

cos x.2. Gunakan TRIK.

TRIK :a. Gambar y=cos x.b. Y=cos (1/2 x)

( jadi ½gelombang,regang)

c. Y=cos(½x-30°)(geser kanan 30)

d. Y=1/2 cos(½x-30°)(perkecil ½).

e. Y=1/2cos(½x+30°)+2

(geser keatas 2)

60



Cara menggambargrafik :1. Gambar grafik y =

cos x.2. Gunakan TRIK.

TRIK :a. Gambar y=cos x.b. Y=cos (1/2 x)

( jadi ½gelombang,regang)

c. Y=cos(½x-30°)(geser kanan 30)

d. Y=1/2 cos(½x-30°)(perkecil ½).

e. Y=1/2cos(½x+30°)+2

(geser keatas 2)

61



LatihanBuat Sketsa Grafik Fungsi berikut inidalam domain {x|0°≤x≤360°,xєR } :1. Y = 4 cos x2. Y = 4 cos (x-30°)3. Y = 4 cos 2x4. Y = 4 cos 2x +25. Y = 4 cos (x-30°) + 2

62



X= ½ πX= 1 ½ π

x 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°

tan x 0 1 td -1 0 1 td -1 0

63

1. cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Contoh :

cos 15°

= cos (45° - 30°)

= cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°

= ½ √2 . ½ √3 + ½ √2 . ½

= ¼ √6 + ¼ √2

=1/4 (√6 + √2)

2. cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Bukti :

cos (α + β) = cos(α – (-β))

= cosα cos(-β)+sin α sin (-β)

= cos α cos β+ sin α sin β

Contoh :

cos 75°

= cos (45° + 30°)

= cos 45° cos 30° - sin 45° sin 30°

= ½ √2 . ½ √3 - ½ √2 . ½

= ¼ √6 - ¼ √2

=1/4 (√6 - √2)

V. RUMUS – RUMUS PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN

A. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH 2 SUDUT

64

4. sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

Bukti :

sin (α - β) = sin (α + (- β))

= sin α cos (-β) + cos α sin (-β)

= sin α cos β - cos α sin β

Contoh :

sin 15°

= sin (45° - 30°)

= sin 45° cos 30° - cos 45° sin 30°

= ½ √2 . ½ √3 - ½ √2 . ½

= ¼ √6 - ¼ √2

=1/4 (√6 - √2)

3. sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Bukti : Cos (90°-θ) = sin θ

Jadi, sin (α + β) = cos (90°-(α + β))

= cos ((90°-α) + β)

= cos (90°-α) cos β - sin (90°-α) sin β

= sin α cos β + cos α sin β

Contoh :

sin 75°

= sin (45° + 30°)

= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°

= ½ √2 . ½ √3 + ½ √2 . ½

= ¼ √6 + ¼ √2 =1/4 (√6 + √2)



65

5. tg (α + β) = tg α + tg β1 - tg α tg β

Bukti :

tg (α + β) = sin (α + β) =…..cos (α + β)

= tg α + tg β1 - tg α tg β

Contoh :

tg75° = tg (45° + 30°)

= tg 45° + tg 30°

1 - tg 45° tg 30°

= 1 + 1/3 √3

1 - 1 . 1/3 √3

= 2 + √3

6. tg (α - β) = tg α - tg β1 + tg α tg β

Bukti :

tg (α - β) = tg (α +(- β))

= tg α + tg (-β)1 - tg α tg (-β)

= tg α - tg β1 + tg α tg β

Contoh :

tg15° = tg (45° - 30°)

= tg 45° - tg 30°

1 + tg 45° tg 30°

= 1 - 1/3 √3

1 + 1 . 1/3 √3

= 2 - √3



66

Latihan

Hitung :

1. sin 165°

2. cos 165°

3. tg 165°

Buktikan bahwa :

4. sin (π – θ) = sin θ

5. cos (π + θ) = - cos θ

6. tg ( ½ π + θ) = - ctg θ

7. sin (α + β) sin (α - β) = sin2α- sin2 β

8. Nyatakan sin 2α dalam bentuk sin α

9. Nyatakan cos 3α dalam bentuk cos α



67

VI. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI

A. PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Y

X (dlm °)

y = sin x

y = cos x

sin θ = sin (π - θ)= sin (θ + k. 2π)

cos θ = cos (-θ)= cos (θ + k. 2π) 68



Persamaan dasar (dlm rad)sin θ = sin (π - θ)

= sin (θ + k. 2π)shgsin x = sin θ x = θ + k. 2π atau

x = (π – θ) + k. 2πdengan k є ℤ (bil. Bulat)

Contoh :Tentukan penyelesaian persamaansin x = sin ½ π dengan 0 ≤ x ≤ 2π.Jawab :sin x = sin ½ π⇔ x = ½ π + k. 2π…(pers 1)

atau x = (π – ½ π) + k. 2π….(pers 2)

Untuk x = ½ π + k. 2π…(pers 1)

k = 0 ⇒ x = ½ π + 0. 2π = ½ π

(memenuhi 0 ≤ x ≤ 2π )k = 1 ⇒ x = ½ π + 1. 2π = 2½ π

(tdk memenuhi 0 ≤ x ≤ 2π )

Untuk x = (π – ½ π) + k. 2π…(pers 2)

k = 0 ⇒ x = (π – ½ π) + 0. 2π = ½ π

(memenuhi 0 ≤ x ≤ 2π )k = 1 ⇒ x = (π – ½ π) + 1. 2π = 2½ π

(tdk memenuhi 0 ≤ x ≤ 2π )

nilai x yang memenuhi adalah ½ π.

69



Persamaan dasar (dlm rad)cos θ = cos (-θ)

= cos (θ + k. 2π)shgcos x = cos θ x = θ + k. 2π atau

x = (-θ) + k. 2πdengan k є ℤ (bil. Bulat)

Contoh :Tentukan penyelesaian persamaancos x = cos 1/9 π dgn - 2π ≤ x ≤ 2π.

Jawab :cos x = cos 1/9 π x = 1/9 π + k. 2π … (pers 1)atau x = (- 1/9 π) + k. 2π … (pers 2)

Untuk x = 1/9 π + k. 2π … (pers 1)k = 0 ⇒ x = 1/9 π + 0. 2π = 1/9 π

(memenuhi - 2π ≤ x ≤ 2π)k = 1 ⇒ x = 1/9 π + 1. 2π = 19/2 π

(tdk memenuhi - 2π ≤ x ≤ 2π)

Untuk x = (- 1/9 π) + k. 2π … (pers 2)

k = 0 ⇒ x = (- 1/9 π) + 0. 2π = - 1/9 π

(memenuhi - 2π ≤ x ≤ 2π )k = 1 ⇒ x = (- 1/9 π) + 1. 2π = 17/9 π

(memenuhi - 2π ≤ x ≤ 2π )

∴ nilai x yang memenuhi adalah

1/9 π ( 20°), -1/9 π (- 20°), 17/9 π(340°)

70



Persamaan dasar (dlm rad)

tg x = tg θ x = θ + k. πctg x = ctg θ x = θ + k. π

dengan k є ℤ (bil. Bulat)

Contoh :Tentukan penyelesaian persamaantg 2x = tg 1/3 π dgn 0 ≤ x ≤ π.

Jawab :tg x = cos 1/3 π2x = 1/3 π + k.π x = 1/6 π + k.π/2

Untuk x = 1/6 π + k.π/2k = 0 ⇒ x = 1/6 π + 0. π/2 = 1/6 π

(memenuhi 0 ≤ x ≤ π)k = 1 ⇒ x = 1/6 π + 1. π/2 = 2/3 π

(memenuhi 0 ≤ x ≤ π)k = 2 ⇒ x = 1/6 π + 2. π/2 = 7/6 π

(tdk memenuhi 0 ≤ x ≤ π)

nilai x yang memenuhi adalah 1/6π dan 2/3 π

71



Persamaan kuadratcara 1 :x2 - x - 2 = 0

(x - 2)(x + 1) = 0(x - 2) = 0 atau (x + 1) = 0

x = 2 x = -1

Cara 2 : rumusax2 + bx + c = 0dg a≠0 dan a,b,c bil riilMaka

Contoh :

x2 - x - 2 = 0a = 1, b = -1, c = -2Maka

X1,2 = - (-1) ± √ (-1)2 – 4. 1. (-2)2. 1

= 1 ± √ 92

= 1 ± 32

X1 = 1 + 3 = 22

X2 = 1 - 3 = -12

72



Persamaan kuadrat FungsiTrigonometri

contoh :Untuk -π ≤ x ≤ 2π , selesaikanpersamaan sin x2 – sin x - 2 = 0 .

Jawab :cara 1 :sin x2 – sin x - 2 = 0

(sin x - 2)(sin x + 1) = 0(sin x - 2) = 0 atau (sin x + 1) = 0

sin x = 2 sin x = -1(tdk ada nilai x) sin x = - sin ½ π

sin x = sin(- ½ π)

x = - ½ π + k. 2πk = 0 ⇒x = - ½ π + 0. 2π = - ½ π

(memenuhi)k = 1 ⇒x = - ½ π + 1. 2π = 3/2 π

(memenuhi)k = 2 ⇒x = - ½ π + 2. 2π = 7/2 π

(tdk memenuhi)

x = (π- (-½ π)) + k. 2πk = 0⇒x = (π+½ π) + 0. 2π = 3/2 π

(memenuhi)k = 1⇒x = (π+½ π) + 1. 2π = 7/2 π

(tdk memenuhi)

nilai x yang memenuhi adalah- ½ π dan 3/2 π.

73



cara 2 :sin x2 – sin x - 2 = 0a = 1, b = -1, c = -2Maka

sin x1,2 = - (-1) ± √ (-1)2 – 4. 1. (-2)2. 1

= 1 ± √ 92

= 1 ± 32

sin x1 = 1 + 3 = 2 (tdk ada nilai x)2

sin x2 = 1 - 3 = -12

sin x = - sin ½ πsin x = sin(- ½ π)

x = - ½ π + k. 2πk = 0 ⇒x = - ½ π + 0. 2π = - ½ π

(memenuhi)k = 1 ⇒x = - ½ π + 1. 2π = 3/2 π

(memenuhi)k = 2 ⇒x = - ½ π + 2. 2π = 7/2 π

(tdk memenuhi)

x = (π- (-½ π)) + k. 2πk = 0⇒x = (π+½ π) + 0. 2π = 3/2 π

(memenuhi)k = 1⇒x = (π+½ π) + 1. 2π = 7/2 π

(tdk memenuhi)

nilai x yang memenuhi adalah- ½ π dan 3/2 π.

74



Latihan

Tentukan penyelesaian persamaanberikut dengan - 2π ≤ x ≤ 2π.1. sin x = 02. sin x = 13. cos x = cos ¼ π4. cos x = cos 30°5. tg x = tg 1/9 π6. 6 sin2x– sin x - 3 = 07. 3 cos2x°– 5 cos x° - 2 = 0

Persamaan dasar (dlm derajat)sin x° = sin θ° x° = θ + k. 360° atau

x° = (180 – θ)° + k. 360°

cos x° = cos θ° x° = θ° + k. 360° atau

x° = -θ° + k. 360°

tg x° = tg θ° x° = θ° + k. 180°ctg x°= ctg θ° x° = θ° + k. 180°

dengan k є ℤ (bil. Bulat)

75

Integral Tertentu dan Tak Tertentu

2014

PROGRAM STUDI TEKNOLOGI INFORMASI

2014


SKS : 2


ST, MT1

Integral Tak Tentudan

Integral Tertentu

Pengertian Integral

• Jika F(x) adalah fungsi umum yangbersifat F’(x) = f(x),

• maka F(x) merupakan antiturunan atauintegral dari f(x).

Pengintegralan fungsi f(x) terhadap xdinotasikan sebagai berikut :

• notasi integral (yang diperkenalkan olehLeibniz, seorang matematikawan Jerman)

• f(x) fungsi integran

• F(x) fungsi integral umum yang bersifatF’(x) f(x)

• c konstanta pengintegralan

cxFdxxf

• Jika f ‘(x) = xn, maka , n≠ -1, dengan c sebagai konstanta

cxn

xf n

1

1

1

Integral Tak Tentu

• apabila terdapat fungsi F(x) yang dapatdidiferensialkan pada interval sedemikianhingga maka antiturunan dari f(x) adalahF(x) + c

• Secara matematis, ditulis

cxFdxxf

• di mana

• Lambang integral yangmenyatakan operasi antiturunan

• f(x) Fungsi integran, yaitu fungsi yangdicari antiturunannya

• c Konstanta

dx

Teorema 1

• Jika n bilangan rasional dan n ≠ 1, maka

, c adalah konstanta.cxn

dxx nn

1

1

1

Teorema 2

• Jika f fungsi yang terintegralkan dan ksuatu konstanta, maka

dxxfkdxxkf

Teorema 3

• Jika f dan g fungsi-fungsi yangterintegralkan, maka

dxxgdxxfdxxgxf

Teorema 4

• Jika f dan g fungsi-fungsi yangterintegralkan, maka

dxxgdxxfdxxgxf

Teorema 5

• Aturan integral substitusi

• Jika u suatu fungsi yang dapatdidiferensialkan dan r suatu bilanganrasional tak nol maka

, dimana c adalah konstanta dan r≠ -1.

cxur

dxxuxutr 1

1

1'

Teorema 6

• Aturan integral parsial

• Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapatdidiferensialkan, maka

vduuvudv

Teorema 7

• Aturan integral trigonometri

• dimana c adalah konstanta.

cxx

cxxdx

cxxdx

tancos

1

cossin

sincos

2

...)4(2.1 52 dxxx

x

dudx

2

cxcuduu 62655 )4(6

1

6

1

2x

du2xu

)...(1

2.2

3

2

latihanbuatx

dxx

METODE SUBTITUSI

Dalam menyelesaikan masalah integrasi pertama - tama kita

mengusahakan mengubahnya menjadi bentuk rumus dasar

dengan menggunakan variabel lain ( subtitusi )

Contoh :

Jawab :u = x2 + 4 du = 2x dx

duvvuddvu .).(.

duvvudvu ...

duv dvu.

INTEGRAL PARSIAL

Misalkan u dan v fungsi yang differensiabel

terhadap x, maka :

d(u.v) = v.du + u.dv

u.dv = d(u.v) – v.du

harus lebih mudah dari

yang perlu diperhatikan pada metode ini adalah :

(1). Bagian yang terpilih sebagai dv harus mudah diintegral.

(2).

dxxln dvu.

ln xu dxdux

1

dxxln dx

Contoh :

=

Jawab :

dv = dx v = x

Jadi :

= xln x -

= x ln x – x + c

nnnnn axaxaxaxa

12

21

10 ......

)(

)()(

xQ

xPxH

22

22)(

23

2

xxx

xxxH

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

Sebuah polinom dalam x adalah sebuah fungsi berbentuk :

Fungsi H(x) disebut fungsi rasional jika :

dimana P(x) dan Q(x) adalah polinom

Jika derajat P(x) lebih rendah dari derajat Q(x), maka H(x)disebut “Rasional Sejati”Contoh :

Sedangkan jika derajat P(x) lebih tinggi dari derajat Q(x),

maka H(x) disebut “Rasional Tidak Sejati”

Contoh :

4

2336

4

1310)(

2

2

2

24

x

xx

x

xxxxH

Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk fungsi rasional,

)(

)(

xQ

xP: ditulis sebagai jumlah dari bagian yang lebih

sederhana dengan menguraikan Q(x) dalam hasil

kali faktor-faktor linier atau kuadratis, yaitu :

)).....()(()( 21 naxaxaxxQ

)(.....

)()()(

)(

2

2

1

1

n

n

ax

A

ax

A

ax

A

xQ

xP

naxxQ )()(

n

n

ax

A

ax

A

ax

A

xQ

xP

)(.....

)()()(

)(2

21

))(()( 22 fexdxcbxaxxQ

)()()(

)(22 fexdx

DCx

cbxax

BAx

xQ

xP

1. Faktor Q(x) semua linier dan tak berulang,

, maka :

2. Faktor Q(x) semua linier berulang,

, maka :

3. Q(x) adalah kuadratis,

, maka :

....

2

)1(.1

2dx

xx

x

)1)(2(

)2()1(

12)1)(2(

1

xx

xBxA

x

B

x

A

xx

x

dx

xx

x

2

)1(2 23

1

x

dx 13

2

x

dx

cxx |1|ln3

2|2|ln

3

1

contoh :

jawab :

x = 2 2 – 1 = A(2+1)

1 = 3A A = 1/3x = -1 -1 – 1 = B(-1-2)

-2= -3B B = 2/3Jadi,

+

=

....

12

)1(.2

2dx

xx

x

222 )1(

)1(

)1(1)1(

1

x

BxA

x

B

x

A

x

x

dx

xx

x

12

)1(2 1x

dx 2)1(

2x

dx

cx

x

)1(

2|1|ln

x = 1 1 + 1 = B B = 2

mis, x = 0 0 +1 = A(0 – 1) + B1 = - A + 2 A = 1

Jadi,

+

,222 xba atauxba ,222 222 axb

222 xba zb

ax sin zaxba cos222

222 xba ztg

b

ax zaxba sec222

222 axb zb

ax sec ztgaaxb 222

SUBTITUSI TRIGONOMETRI

Jika Integran mengandung salah satu dari bentuk :,

dan tidak memiliki faktor irrasional lainnya, maka dapatditransformasikan ke dalam fungsi trigonometri denganmenggunakan variabel baru :

Bentuk Subtitusi Memperoleh

....49

.12

dxx

x

zx sin2

3 zdzdx cos

2

3 cos349 2 zx

dzz

zdzz

z

zdx

x

x

sin

cos3)cos

2

3(

sin2

3

cos349 22

dzzdzzec sin3cos3

cxx

x

2

2

49|2

493|ln3

contoh :

jawab :

,

Jadi,

= 3 ln |cosec z – ctg z| + 3 cos z + c

dzz

z

sin

sin13

2

....4

.222 xx

dx

ztgx 2 zdzdx 2sec2 sec24 2 zx

22 4 xx

dx dz

zztg

z

)sec2)(4(

sec22

2

dzz

z2sin4

cos

z

zd2sin

)(sin

4

1c

z

sin4

1c

x

x

4

4 2

jawab :

,

Jadi,

• Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang

nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas)

tertentu.

• Jika fungsi terdefinisi pada interval tertutup [a,b] , maka

integral tertentu dari a ke b dinyatakan oleh :

• Dimana :

• f(x) : integran

a : batas bawah

b : batas atas

Integral TerTentu

b

a

dxxf )(

KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU

)()()()( aFbFxFdxxf

b

a

b

a

6,6183231255

1

255

1

5

1

5555

25

5

2

5

2

54

x

xdxx

a

a

dxxf 0)(

032325

1

225

1

5

1

5552

25

2

2

2

2

54

x

xdxx

b

a

a

b

dxxfdxxf )()(

6,6183125325

1

525

1

5

1

5552

55

2

5

2

5

54

x

xdxx

KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU

b

a

b

a

dxxfkdxxkf )()(

3093323125

5

1.5

555

5

25

5

2

5

2

54

x

xdxx

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

6,7111.330936,618

555

2

5

2

5

2

4444

dxxdxxdxxx

c

a

b

c

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()( 6,6183

2

5

3

5

2

444 dxxdxxdxx

Luas dan Volume Benda Putar



SKS : 2


1

PENGGUNAAN INTEGRAL

1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dansumbu-sumbu koordinat.

2. Menghitung volume benda putar.

9

2xy

Luas daerah di bawahkurva

Volume benda putar yang diputarmengelilingi sumbu Y

=

= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2]

= 16 – 8 + 2 + 2 = 12

2

1

2 dx46 xx 2123 22 xx

Integral Tentu Luas DaerahLuas Daerah

Hitunglah nilai dari

2

1

2 dx46 xx

Contoh 1 :

Jawab

NextBackHome

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan

misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka

berlaku :

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai

Teorema Dasar Kalkulus

)(F)(F)( abdxxfb

a

bax)(F

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai

luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].

y

x

0 a bx

y

a

x

0 b

b

a

dxxf )(

Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral

Tentukan limitnya

n

)(xf

n

iii xxf

1)(

)(xf

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

i

n

ii

n

b

a

xxfdxxfL 1

)()( lim

NextBackHome

Kegiatan pokok dalam menghitung luas

daerah dengan integral tentu adalah:

1. Gambar daerahnya.

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luas sebuah partisi

Li f(xi) xi

4. Jumlahkan luas partisi

L f(xi) xi

5. Ambil limitnya L = lim f(xi) xi

6. Nyatakan dalam integral

x

0

y)(xfy

a

xi

xi

)( ixfLi


a

dxxf0

)(L

NextBackHome

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3

Contoh 1.

Langkah penyelesaian :

1. Gambarlah daerahnya


3. Aproksimasi luasnya Li xi2 xi

4. Jumlahkan luasnya L xi2 xi

5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim xi2 xi

6. Nyatakan dalam integral dan

hitung nilainya

y

0

x

3

2)( xxf

dxx3

0

2L

903

333

03

3L

x

Li

xi

xi

2ix


Jawab

NextBackHome

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu Y, dan garis y = 4

Contoh 2.

Langkah penyelesaian :



3. Aproksimasi luasnya L xi.y

4. Jumlahkan luasnya L y. y

5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim y. y

6. Nyatakan dalam integral dan

hitung nilainya

y

0

x

4

dyy4

0

.L

3

168.

3

2

3

2L

4

0

2

3

y


Jawab

NextBackHome

xi

2)( xxf

y

y

Langkah penyelesaian:

1. Gambar dan Partisi daerahnya

2. Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan

Aj -(4xj - xj2)xj

3. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi dan A

-(4xj - xj2)xj

4. Ambil limitnya L = lim (4xi - xi2)xi

dan A = lim -(4xj - xj2)xj

5. Nyatakan dalam integral

y

0x64

24)( xxxf

dxxx 4

0

2 )4(L dxxx 6

4

2 )4(A

xi

Li

xi

xj

Aj

xj

24 ii xx

)4(0 2xx


Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x,

dan garis x = 6

Contoh 3.

Jawab

NextBackHome

dxxx 4

0

2 )4(L

dxxx 6

4

2 )4(A

y

0x64

24)( xxxf

xi

Li

xi

xj

Aj

xj

24 ii xx

)4(0 2xx

40

33122L xx

3643

312 320)4()4(2L

64

33122A xx

33123

312 )4()4(2)6()6(2A

364

3216 3272A

40A 3152

3

1214032daerahLuas 3

1523

64


NextBackHome


NextBackHome

Kesimpulan :

b

a

dyxL .b

a

dxyL .

y

0

x

y

y

x

0

)(xfy xi

xi

)( ixf

y

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA

Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang

[a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi,

jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas

daerah antara dua kurva tersebut.



2. Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ] x

4. Jumlahkan : L [ f(x) – g(x) ] x

5. Ambil limitnya :

L = lim [ f(x) – g(x) ] x

6. Nyatakan dalam integral tertentu

y

ba

)(xfy

)(xgy

0

xLi

x

x

)()( xgxf


NextBackHome

dxxgxfb

a )()(L

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x

Contoh 4.


1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0

diperoleh x = -2 dan x = 1


4. Aproksimasi luasnya

Li (2 - x - x2)x


dxxx

1

2

2 )2(L 0

x

1 2-1-2-3

2xy

xy 2y

1

2

3

4

5

Li

x

x

2)2( xx


Jawab

NextBackHome

dxxx

1

2

2 )2(L

0

x

1 2-1-2-3

2xy

xy 2y

1

2

3

4

5

Li

x

x

2)2( xx

1

232

32

2L

xxx

3

3)2(

2

2)2(

3

312

21 )2(2)1(2L

38

31

21 242L

38

31

21 242L

21

21 45L


NextBackHome

Untuk kasus tertentu pemartisian

secara vertikal menyebabkan ada

dua bentuk integral. Akibatnya

diperlukan waktu lebih lama untuk

menghitungnya.

)(xfy

y

a b

Lix

x

)()( xgxf

)(2 xf

Ai

0

x

)(xgy

Luas daerah = a

dxxf0

)(2 b

a

dxxgxf )()(


NextBackHome

Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh

satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga

penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.

)()( yfxxfy y

0

x

)()( ygxxgy

Luas daerah = d

c

dyyfyg )()(

Li y

c

d

)()( yfyg


NextBackHome

Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6,

dan sumbu x

Contoh 5.


1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

y2 = 6 – y y2 + y – 6 = 0 (y + 3)(y – 2) = 0

diperoleh y = - 3 dan y = 2


4. Aproksimasi luasnya

Li (6 - y - y2)y


Luas daerah = 2

0

26 dyyy

2yx

yx 6

2

y

6

x

0

6

Liy

y

2)6( yy


Jawab

NextBackHome

Luas daerah = 2

0

26 dyyy

2yx

yx 6

2

y

6

x

0

6

Li yy

2)6( yy

Luas daerah =

2

03

3

2

26

yyy

Luas daerah = 03

3224)2(6

Luas daerah =

38212

Luas daerah =3

22


Home Back Next

Pendahuluan

Bola lampu di samping dapat

dipandang sebagai benda

putar jika kurva di atasnya

diputar menurut garis

horisontal. Pada pokok

bahasan ini akan dipelajari

juga penggunaan integral

untuk menghitung volume

benda putar.

Volume Benda Putar

Pendahuluan Volume Benda PutarVolume Benda Putar

Suatu daerah jika di putar

mengelilingi garis tertentu sejauh

360º, maka akan terbentuk suatu

benda putar. Kegiatan pokok dalam

menghitung volume benda putar

dengan integral adalah: partisi,

aproksimasi, penjumlahan,

pengambilan limit, dan menyatakan

dalam integral tentu. Gb. 4

Home NextBack

Pendahuluan Volume Benda PutarVolume Benda Putar

Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah

bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi

tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda

putar dibagi menjadi :

1. Metode cakram

2. Metode cincin

3. Metode kulit tabung

y

0 x

y

x

0x

1 2-2

-1

y

1

2

3

4

NextBackHome

Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar

Metode cakram yang digunakan dalam

menentukan volume benda putar dapat

dianalogikan seperti menentukan volume

mentimun dengan memotong-motongnya

sehingga tiap potongan berbentuk cakram.

NextBackHome


Bentuk cakram di samping dapat

dianggap sebagai tabung dengan jari-jari

r = f(x), tinggi h = x. Sehingga

volumenya dapat diaproksimasi sebagai

V r2h atau V f(x)2x.

Dengan cara jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam integral

diperoleh:

V f(x)2 x

V = lim f(x)2 x

dxxfa0

2)]([v

x

h=x

x

x

y

0 x

y

xa

)(xf

)(xfr

NextBackHome


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1,

sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.

Contoh 7.



2. Buat sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi

yang diputar, jumlahkan,

ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk

integral.

y

2x

12 x

x

12 xy

1

y

h=x

x

x

12 xr

x

Jawab

NextBackHome


y

h=x

x

x

12 xr

V r2h

V (x2 + 1)2 x

V (x2 + 1)2 x

V = lim (x2 + 1)2 x

dxxV 2

0

22 )1(

dxxxV 2

0

24 )12(

20

3325

51 xxxV

1511

316

532 13)02( V

NextBackHome


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2,

sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Contoh 8.



2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk

partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang

diputar, jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam

bentuk integral.

2

y

y

2xy

x

y

y

x

y

h=y

y

yr

Jawab

NextBackHome


V r2h

V (y)2 y

V y y

V = lim y y

dyyV 2

0

2

0

221 yV

)04(21 V

x

y

h=y

y

yr

2

dyyV 2

0

2V

NextBackHome

Metode Cincin Volume Benda PutarVolume Benda Putar

Metode cincin yang digunakan dalam

menentukan volume benda putar

dapat dianalogikan seperti

menentukan volume bawang bombay

dengan memotong-motongnya yang

potongannya berbentuk cincin.

NextBackHome


Menghitung volume benda putar

dengan menggunakan metode

cincin dilakukan dengan

memanfaatkan rumus volume

cincin seperti gambar di samping,

yaitu V= (R2 – r2)h

hr

R

Gb. 5

NextBackHome


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva

y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.

Contoh 9.



2. Buat sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi

yang diputar, jumlahkan,

ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk

integral.

4

y

y = 2x

2

2xy

x

x

x

x2

2x

y

x

Jawab

NextBackHome


y

x

4

y

y = 2x

2

2xy

x

x

x

r=x2

R=2x

V (R2 – r2) h

V [ (2x)2 – (x2)2 ] x

V (4x2 – x4) x

V (4x2 – x4) x

V = lim (4x2 – x4) x

dxxxV 2

0

42 )4(

20

5513

34 xxV

)(5

323

32 V

)(15

96160 V

1564V

NextBackHome

Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar

Metode kulit tabung yang digunakan

untuk menentukan volume benda putar

dapat dianalogikan seperti menentukan

volume roti pada gambar disamping.

NextBackHome


rr

h

h

2rΔr

V = 2rhΔr

NextBackHome


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva

y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Contoh 10.



2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.

4. Aproksimasi volume partisi yang

diputar, jumlahkan, ambil limitnya,

dan nyatakan dalam bentuk integral. 0

x

1 2x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

Jawab

NextBackHome


0

x

1 2x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

r = x

x

h = x2

0

x

1 21 2

y

1

2

3

4

V 2rhx

V 2(x)(x2)x

V 2x3x

V = lim 2x3x

dxxV 2

0

32

2

0

4412 xV

8V

NextBackHome


Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan

sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut

membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode

cincin adalah sebagai berikut.

0

x

1 2-2 -1

y

1

2

3

4

V (R2 – r2)y

V (4 - x2)y

V (4 – y)y

V = lim (4 – y)y

dxyV 4

0

4

4

0

2214 yyV

)816( V

8V

0

x

1 2x

2xy

y

1

2

3

4

yr=x

R = 2

Home Back Next

Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali

Latihan (6 soal)

Home NextBack


Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk

integral sebagai ....

0X

Y 2xy

2

4dxx

2

0

2

dyy4

0

dxx4

0

2

dxx 2

0

2)4(

dxx 4

0

2)4(

Soal 1.

A

B

C

D

E

Home Back Next




Soal 1.

0X

Y 2xy

2

4dxx

2

0

2

dyy4

0

dxx4

0

2

dxx 2

0

2)4(

dxx 4

0

2)4(

A

B

C

D

E

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

0

2 ( Jawaban D )

Jawaban Anda Benar

Home NextBack




Soal 1.

dxx2

0

2

dyy4

0

dxx4

0

2

dxx 2

0

2)4(

dxx 4

0

2)4(

A

B

C

D

E

0X

Y 2xy

2

4

x

x

4 - x2

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

0

2 ( Jawaban D )

Jawaban Anda Salah

Home NextBack


Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A

B

C

D

E

Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0X

Y

24 xy

Home Back Next



A

B

C

D

E

Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0X

Y

24 xy

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

2

2

( Jawaban E )

2

2

3314L

xx

)8()8(L 38

38

3210L

3

32

Jawaban Anda Benar

Home NextBack



A

B

C

D

E

Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0X

Y

24 xy

2-2

x

x

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

2

2

( Jawaban E )

2

2

3314L

xx

)8()8(L 38

38

3210L

3

32

Jawaban Anda Salah

Home NextBack



A

B

C

D

E

Soal 3.

5 satuan luas

7 2/3 satuan luas

8 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 1/3 satuan luas

0X

Y

28 xy

xy 2

Home Back Next



A

B

C

D

E

Soal 3.

5 satuan luas

7 2/3 satuan luas

8 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 1/3 satuan luas

L (8 – x2 -2x) x

dxxx )28(L2

0

2

( Jawaban D )319L

3

28

2

0

23318L xxx

416L 38

0X

Y

28 xy

xy 2

2

Jawaban Anda Benar

Home NextBack



A

B

C

D

E

Soal 3.

5 satuan luas

7 2/3 satuan luas

8 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 1/3 satuan luas

0X

Y

28 xy

xy 2

2

L (8 – x2 -2x) x

dxxx )28(L2

0

2

( Jawaban D )319L

3

28

2

0

23318L xxx

416L 38

Jawaban Anda Salah

Home NextBack


Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah ….

A

B

C

D

E

Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

10 2/3 satuan luas

20 5/6 satuan luas

Home Back Next



A

B

C

D

E

Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

10 2/3 satuan luas

20 5/6 satuan luas

( Jawaban B )

L [(2 – y ) – y2 ] y

dyxy )2(L1

2

2

5,42

9L

1

2

3312

212L

yyy

)24()2(L 38

31

21

0X

Y

2yx

yx 2

-2

1

Jawaban Anda Benar

Home NextBack


( Jawaban B )

L [(2 – y ) – y2 ] y

dyxy )2(L1

2

2

5,42

9L

1

2

3312

212L

yyy

)24()2(L 38

31

21


A

B

C

D

E

Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

10 2/3 satuan luas

20 5/6 satuan luas0

X

Y

2yx

yx 2

-2

1

Jawaban Anda Salah

Home NextBack


Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y

sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang

menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....

A

B

C

D

E

Soal 5.

4

0dxxv

4

0

2 dxxv

4

02 dxxxv

2

0)16(2 dyyv

2

0dyyv

0 X

Y

Xy

4

2

Home Back Next





A

B

C

D

E

Soal 5.

4

0dxxv

4

0

2 dxxv

4

02 dxxxv

2

0)16(2 dyyv

2

0dyyv

0 X

Y

Xy

4

2

( Jawaban D )

V 2xx x

dxxx4

02V

Jawaban Anda Benar

Home NextBack


( Jawaban D )

V 2xx x

dxxx4

02V




A

B

C

D

E

Soal 5.

4

0dxxv

4

0

2 dxxv

4

02 dxxxv

2

0)16(2 dyyv

2

0dyyv

0 X

Y

Xy

4

2

x

x

Jawaban Anda Salah

Home NextBack


Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X

sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

A

B

C

D

E

Soal 6.

4 satuan volum

6 satuan volum

8 satuan volum

12 satuan volum

15 satuan volum

0 X

Y

Xy

4

2

Home Back Next




A

B

C

D

E

Soal 6.

4 satuan volum

6 satuan volum

8 satuan volum

12 satuan volum

15 satuan volum

0 X

Y

Xy

4

2

( Jawaban C )

V (x)2 x

4

0V dxx

4

0

221V x

8V

Jawaban Anda Benar

Home Back Next


( Jawaban C )

V (x)2 x

4

0V dxx

4

0

221V x

8V



A

B

C

D

E

Soal 6.

4 satuan volum

6 satuan volum

8 satuan volum

12 satuan volum

15 satuan volum

0 X

Y

Xy

4

2

x

x

Jawaban Anda Salah

Home Back Next

Integral Tak Wajar



SKS : 2


1

Integral Tak Wajar

Integral Tak Wajar

Dalam mendefinisikan integral tentu sebagai limit jumlahreiman ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu :

b

a

dxxf )(

a. Batas pengintegralan berhingga

b. Integran(f(x)) berhingga pada selang [a,b]

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi makaintegral tentu disebut integral tak wajar

Jenis-jenis integral tak wajar

a. Integral tak wajar dengan batas pengintegralan tak hingga

b. Integral tak wajar dengan integran tak hingga

a. Integral Tak Wajar , Batas Pengintegralan Tak Hingga

Definisi :

b

a

b

adxxfdxxf )(lim)(

b

aab

dxxfdxxf )(lim)(

Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, integral tak wajardisebut konvergen, sebaliknya disebut divergen

(i)

(ii)

(iii)

c

c

dx)x(fdx)x(fdx)x(f

b

cb

c

aadx)x(flimdx)x(flim

c

dx)x(f

c

dx)x(f

dx)x(fJika dan konvergen,maka konvergen

Contoh Periksa kekonvergenan ITW

0

212 )x(

dxdxxxe

4

2

)xx(

dx

522a. b. c.

Jawab :

dxxedxxxeb

x

b

4

2

lim4

2

42

1lim

2 be x

ba.

2

1

)12(2

1

2

1lim

bb

Jadi integral tak wajar konvergen ke

b.

bxb

0

)12(2

1lim

1616

2

1

2

1 2

eeelim b

b

Jadi integral tak wajar konvergen ke 1/2

16

2

1 e

0

2)12(lim

0

2)12( b x

dx

x

dxb

12

1

2 5252522 xx

dx

xx

dx

)xx(

dx

1

1

22 52lim

52lim

a

b

ba xx

dx

xx

dx

b

x

ba

x

a1

211

1

211 tan

2

1limtan

2

1lim

1tantan2

1limtan1tan

2

1lim 1

211

2111

b

b

a

a

422

1

242

1

c.

2

2

Jadi integral tak wajar konvergen ke

Soal-soal latihan

Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut

024 x

dx

04 dxxe

1 x

dx

1

2

1

x

dxe x

a. b. c. d.

2

22 )1( x

dxxe. f.

)162(x

dx

2xe

xdxg.

1722 xx

dxh.

b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak Hingga

(i) Integran Tak Hingga di Ujung Selang

Jika kontinu pada [a,b) dan maka

)x(flimbx

t

abt

b

a

dx)x(flimdx)x(f

Jika kontinu pada (a,b] dan maka

)x(flimax

b

sas

b

a

dx)x(flimdx)x(f

Jika limit ruas kanan ada, maka Integral tak wajar dikatakankonvergen, sebaliknya dikatakan divergen

(ii) Integran Tak Hingga di Titik Dalam Selang Pengintegralan

Jika f(x) kontinu pada [a,b], kecuali di c dengan a < c < b dan

)(lim xfcx

maka

b

cdxxf

c

adxxf

b

adxxf )()()(

b

s

dxxft

a cs

dxxf

ct

)(lim)(lim

I II

Jika I dan II ada dan berhingga maka integral tak wajar b

a

dxxf )(

konvergen.

Contoh Periksa kekonvergenan Integral Tak Wajar

1

0

dxx

xln

Jawab :

x

xln)x(f Karena fungsi tidak kontinu di x=0 dan

x

xlnlim

x 0

maka

1

0

1

0

lnlim

ln

tt

dxx

xdx

x

x

tx

t

1)(ln

2

1lim 2

0

22

0)()(ln0

2

1lim tt

Integral tak wajar divergen

dxx

x

2

0 1

Contoh Periksa kekonvergenan integral tak wajar

Jawab

Fungsi diskontinu di x=1 danx

xxf

1)(

x

x

x 1lim

1

2

1

1

0

2

0111

dxx

xdx

x

xdx

x

x

s

tts

dxx

xdx

x

x

0

2

11 1lim

1lim

0|1|lnlim1

sss

ss

ssxxdx

x

x

0011

|1|lnlim1

lim

Karena

maka integral tak wajar divergendxx

x

2

01

Integral takwajar bisa juga muncul dalam bentuk gabungandari dua jenis diatas, yaitu batas pengintegralan takhingga danintegran tak hingga pada batas pengintegralan seperti contohberikut

Contoh Periksa kekonvergenan integral tak wajar

0 1dx

x

x

Jawab :Integral diatas merupakan integral tak wajar karena

- batas atas integral tak hingga- integran tak hingga di x = 1 yang terletak didalam selangpengintegralan

sehingga

0 1dx

x

x

1

0

2

1 2111

dxx

xdx

x

xdx

x

x

2

2

101 111 limlimlim dxx

xdx

x

xdx

x

x

btt

s

s

Karena

0|1|lnlim|1|lnlim

1lim

10

011ssxxdx

x

x

s

ss

ss

Maka integral tak wajar divergen

0 1dx

x

x

Soal-soal latihan


1

13

1

x

dx

1

1dxxxe

1

1 x

dx

1

0 21 x

dxa. b. c. d.

0

2

2 107xx

dxxe.

1

2

2 1x

dxx

1

2

2 1x

dxxf. g.

3

0ln xx

dxh.

Soal-soal latihan


1

13

1

x

dx

1

1dxxxe

1

1 x

dx

1

0 21 x

dx

g.

b. c. d.

0

2

2 107xx

dxxe.

1

2

2 1x

dxx

1

2

2 1x

dxx

f.

a.

3

0ln xx

dxh.

Integral RangkapIntegral Rangkap



SKS : 2


1

INTEGRAL GANDA

Integral untuk fungsi satu variable, kitamembentuk suatu partisi dari interval [a,b] menjadiinterval-interval yang panjangnya Δxk , k = 1, 2, 3, ….n

Dengan cara yang sama, Kita definisikan integraluntuk fungsi dua variable.

Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatudaerah tertutup R di bidang xoy. Kemudian daerah inidibagi atas n buah sub daerah yang masing-masingluasnya A1 , A2 , A3 …… An

n

k

b

a

dxxf1

kkn

x)f(xlim)(

Dalam setiap sub daerah, pilih suatu titik Pk(xk, yk )

dan bentuklah jumlah :

Jika jumlah sub daerah makin besar (n→∞), makaintegral rangkap (lipat dua) dari fungsi f(x,y) atasdaerah R didefinisikan :

AyxfAyxfAyxfAyxf nnn

n

kkkk

),(.......),(),(),( 2221

111

n

kkkk

nR

AyxfdAyxf1

),(lim),(

Untuk menghitung integral lipat dua dapatdigunakan integral berulang yang ditulis dalambentuk :

a.

dimana integral yang ada dalam kurung harusdihitung terlebih dahulu dengan menganggapvariabel y konstanta, kemudian hasilnya diintegralkembali terhadap y.

),(),( RR

dxdyyxfdAyxf

b

a

yfy

yfy

dydxyxf)(

)(

2

1

),(

b.

dimana integral yang ada dalam kurung harusdihitung terlebih dahulu dengan menganggapvariable x konstanta, kemudian hasilnya diintegralkembali terhadap x.

Jika integral lipat dua diatas ada, maka (a) dan (b)secara umum akan memberikan hasil yang sama.

RR

dydxyxfdAyxf ),(),(

b

a

yfy

yfy

dxdyyxf)(

)(

2

1

),(

INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS PERSEGI PANJANG

Bentuk umum :

dimana : R = { (x,y) ; a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }

a,b,c dan d adalah konstanta

d

R

c

a b

dxdyyxfdAyxfR

),(),(

Contoh

Contoh :

1.

2.

3.

4.

1

0

2

1

dxdy

4

2

2

1

22 )( dxdyyx

4

2

2

1

2 )3( dydxyxy

4

2

2

0

)2cos(sin

drdr

INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS BUKAN PERSEGI PANJANG

dimana :

R = { (x,y) ; f1(x) ≤ y ≤ f2(x) ,a ≤ x ≤ b }

)(f

)(

2

1

dx),(),(.x

xfy

b

axR

dyyxfdAyxfa

dimana :

R = { (x,y) ; f1(y) ≤ x ≤ f2(y) ,c ≤ y ≤ d }

)(f

)(

2

1

dy),(),(.y

yfx

d

cyR

dxyxfdAyxfb

Contoh

1 1

0

2

2

x

x

dydxxy

2

1

3

)(.2y

y

dxdyyx

1

0 2

2

2

.3xx

x

dydxx

2 2sin

2cos

2.4

drd

APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA Aplikasi integral lipat dua yang bentuk umumnya :

dapat dijelaskan sbb :

1. LUAS

Luas bidang dapat dipandang sebagai integral lipatdua jika f(x,y) = 1 , sehingga integral lipat duamenjadi :

R

dAyxf ),(

RR

dydxdxdyAatauR

dAA

Dalam koordinat polar :

contoh :

1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh y = 0, x + y = 2

dan 2y = x + 4

2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh

parabola-parabola : y2 = 4 – x dan y2 = 4 – 4x

3. Hitung :

dengan R adalah daerah dikuadran pertama yang

berada diluar lingkaran r=2 dan di dalam

kardioda r = 2(1+cos ѳ)

2

1

2

1

dd

R

dAA

R

dAA

2. VOLUME

Jika z=f(x,y) adalah persamaan permukaan , maka:

adalah volume benda antara permukaan dan bidangxoy.

Contoh :

Hitung volume benda yang dibatasi oleh selinder

x2 + y2 = 4 dan bidang-bidang y + z = 4 dan z = 0

R

dxdyyxfV ),(

3. MassaJika f(x,y) dipandang sebagai massa jenis (massapersatuan luas ), maka :

merupakan massa dari benda itu.

contoh :

Sebuah lamina (pelat tipis) dengan kerapatan f(x,y)=xydibatasi oleh sumbu x, garis x = 2 dan kurva y=x3

Tentukan massa totalnya.

R

dxdyyxf ),(

4. Pusat Massa

Jika f(x,y) merupakan massa jenis dari lamina (pelat

tipis), maka pusat massanya : (x,y) adalah sbb :

,

Contoh :

Tentukan pusat massa dari lamina yang mempunyai

Kerapatan f(x,y) = xy dan dibatasi oleh sumbu x , garis

x = 2 dan kurva y = x3

S

SY

dAyxf

dAyxfx

M

Mx

),(

),(

S

SX

dAyxf

dAyxfy

M

My

),(

),(

5. Momen InersiaMomen Inersia dari pelat tipis yang mempunyai

Kerapatan f(x,y) terhadap sumbu x dan sumbu y

adalah :

,

Sedangkan momen inersia terhadap sumbu z ( titik

asal ) :

Contoh :

Tentukan momen inersia terhadap sumbu x, y dan z

Untuk lamina yang mempunyai kerapatan xy dan

dibatasi sumbu x , garis = 2 dan kurva y = x3

R

x dAyxfyI )..,(2

R

y dAyxfxI )..,(2

R

yxZ dAyxfyxIII )..,()( 22

INTEGRAL LIPAT TIGAIntegral lipat tiga dari suatu fungsi tiga

variabel bebas thd. daerah R, dimana fungsi bernilai

tunggal dan kontinu, merupakan suatu pengembangan

dari integral tunggal dan integral lipat dua.

Jika f(x,y,z) = 1, maka integral menjadi :

dapat diartikan pengukuran

volume daerah R

R

dVzyxf ),,(

dVdVzyxfR

),,(

Dalam koordinat tegak lurus , integral tersebut dapat

dinyatakan dalam bentuk :

dimana :

x1 ≤ x ≤ x2

y1 (x) ≤ y ≤ y2(x)

z1 (x,y) ≤ z ≤ z2(x,y)

2

1

2

1

2

1

)(

)(y

),(

),(

z)dzdydxy,f(x,),,(x

x

xy

x

yxz

yxzR

dVzyxf

Contoh :

2

1

3

2

4

3

dzdydxxyz.1

1

0 x 02

dzdydx2z.2x xy

1

0 2-x 0

2

dzdydx2xz.3x yx

1

0

2

x

2

0

dzdydx2z)(x.4x yx

LUAS BIDANG ANTARA 2 KURVA

y=f1(x)

y=f2(x)

a b x

y

a

b

x

y

x=f1(y)

x=f2(y)

b

a

yf

yf

yxyxf)(2

)(1

),(

Volume dari benda

Dan jika

Akan menjadi

ContohTentukan luas area antara 2 kurva y1=(x-1)2 dan kurva y2= 4- (x-3)2

Tentukan titik potong kedua kurva

Titik potong kurva

Satuan luas

contohSuatu plat segiempat dibatasi oleh sumbu x dan y dan garis x=6 dan y=4.Ketebalan dari plat berbanding lurus dengan jarak terhadap kuadrat titikke titik asal. Tentukan volume dari plat tersebut.

kxxk

xxk

xyyxkV

x

x

x

x

416)]3

643

4(

3

644

)]3

1(

60

3

6

0

2

6

0

40

32

Volume elemen padaPTotal volume V

contoh

Volume elemen

Volume kolom

Volume potongan

Volume benda padat

ContohTentukan volume tetrahedron yang dibatasi oleh bidang bidang koordinat danBidang 3x+6y+4z-12=0

Z=0 maka 3x+6y-12=0 atau x+2y-4=0 pada bidang xyY=0 maka 3x +4z-12=0 pada bidang xzX=0 maka 6y+4z -12=0 pada bidang yz

z

y

x

2

4

3

Z=(12-3x-6y)/4

AyxR

244

3

RBidang xy maka y=2-x/2 dan x=4-2y daerah R

R={(x,y)|0≤x≤4,0≤y≤2-x/2}AtauR={(x,y)|0≤x≤4-2y,0≤y≤2}

2

0

24

0

4

0

2/2

0

4244

3

4244

3

y

x

yxyxV

atau

xyyxV

LATIHAN

AdaptifMatrik


2013


SKS : 2


1

Konsep Matriks

AdaptifHal.: 3 Matriks

Macam-macam Matriks

Kompetensi Dasar :

Mendeskripsikan macam-macam matriks

Indikator :

1. Matriks ditentukan unsur dan notasinya

2. Matriks dibedakan menurut jenis dan relasinya


Kinds of Matrix

Basic Competences :

Describing the kinds of matrix

Indicators :

1. Matrix is determined by its elements andnotations

2. Matriks matrix is distinguished by its kinds andrelations


Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom.

a11 a12…….a1j ……a1n

a21 a22 ……a2j…….a2n

: : : :ai1 ai2 ……aij…….. ain

: : : :am1 am2……amj……. amn

A =baris

kolom

Notasi:

Matriks: A = [aij]

Elemen: (A)ij = aij

Ordo A: m x n

Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen.Ordo (ukuran) matriks adalah jumlah baris kali jumlah kolom.

Macam – macam Matriks


Definition of Matrix

Matrix is the arrangement of numbers whichconsists of rows and columns.

a11 a12…….a1j ……a1n

a21 a22 ……a2j…….a2n

: : : :ai1 ai2 ……aij…….. ain

: : : :am1 am2……amj……. amn

A =rows

column

Notation:

Matrix: A = [aij]

Element: (A)ij = aij

Order A: m x n

Each of the numbers in matrix is called as entry or element. Order(size) of matrix is the value of the row number multiplied by thenumber of column.

Kinds of Matrix


Macam-macam Matriks

Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris.

21A 2 5

31 xB

41xC

1 -8 25

-2 0 14 8

1. Matriks Baris


Kinds of Matrix

Row matrix is a matrix which consists of one row.

21A 2 5

31 xB

41xC

1 -8 25

-2 0 14 8

1. Row matrix


Macam-macam Matriks

12P

2. Matriks Kolom

Matriks Kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom

2

-7

13Q9

2

1


Kinds of Matrix

12P

2. Column matrix

Column matrix is a matrix which consists of one column.

2

-7

13Q9

2

1


1 2 4

2 2 2

3 3 3

3. Matriks Persegi

Matriks persegi (bujur sangkar) adalah matriks yang jumlah barisdan jumlah kolom sama.

Trace(A) = 1 + 2 + 3

Trace dari matriks adalah jumlahan elemen-elemen diagonal utama

diagonal utama



1 2 4

2 2 2

3 3 3

3. Square matrix

Square matrix is a matrix which has the same numbers of rows andcolumns.

Trace(A) = 1 + 2 + 3

Trace from matrix is the total numbers from the main diagonalelements.

Main diagonal

Kinds of Matrix


4. Matriks Nol

Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol

0 000 0

0 0

1 0

0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I2I3 I4

Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen diagonalutamanya 1 dan elemen lainnya 0

Macam- macam Matriks


4. Zero matrix

zero matrix is a matrix which all of its elements are zero.

0 000 0

0 0

1 0

0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I2I3 I4

Matrix identity is a square matrix which its main diagonalelement is 1 and the other element is 0.

Kinds of Matrix


5. Matriks ortogonal

Matriks A orthogonal jika dan hanya jika AT = A –1

0 -1

1 0A =

0 1

-1 0AT=

B = ½√2 -½√2

½√2 ½√2

BT= ½√2 ½√2

-½√2 ½√2

Jika A adalah matriks orthogonal, maka (A-1)T = (AT)-1

= A-1

= B-1

(A-1)T = (AT)-1A-1 AT

Macam-macam Matriks


5. Orthogonal Matrix

Matrix A is orthogonal if and only if AT = A –1

0 -1

1 0A =

0 1

-1 0AT=

B = ½√2 -½√2

½√2 ½√2

BT= ½√2 ½√2

-½√2 ½√2

If A is orthogonal matrix, so (A-1)T = (AT)-1

= A-1

= B-1

(A-1)T = (AT)-1A-1 AT

Kinds of Matrix



Definisi:

Transpose matriks A adalah matriks AT, kolom-kolomnya adalahbaris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A.

4 2 6 7

5 3 -9 7

A = AT = A’ =

4 5

2 3

6 -9

7 7

Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran………..

[AT]ij = [A]ji

n x m


Kinds of Matrix

Definisi:

Transpose matrix A is matrix AT, its columns are rows of A, its rowsis columns of A.

4 2 6 7

5 3 -9 7

A = AT = A’ =

4 5

2 3

6 -9

7 7

if A is matrix m x n, so matrix transpose AT should be ………..

[AT]ij = [A]ji

n x m


Kesamaan dua matriks

Dua matriks sama jika ukuran sama dan setiap entri yang bersesuaian sama.

1 2 4

2 1 3A =

1 2 4

2 1 3B =

1 2 2

2 1 3C =

2 1 2

2 1 3D =

1 2 4

2 2 2E =

x 2 4

2 2 2F =

2 2 2

4 5 6

9 0 7

G = H =

? ? ?

? ? ?

? ? ?

A = B

C ≠ D

E = F jika x = 1

G = H

2 2 2

4 5 6

9 0 7



Similarity of two matrixes

Two matrix are similar if its size is similar and each symmetrical entry is similar

1 2 4

2 1 3A =

1 2 4

2 1 3B =

1 2 2

2 1 3C =

2 1 2

2 1 3D =

1 2 4

2 2 2E =

x 2 4

2 2 2F =

2 2 2

4 5 6

9 0 7

G = H =

? ? ?

? ? ?

? ? ?

A = B

C ≠ D

E = F jika x = 1

G = H

2 2 2

4 5 6

9 0 7

Kind of Matrix


Matriks Simetri

Matriks A disebut simetris jika dan hanya jika A = AT

4 2

2 3A =

4 2

2 3A’ = A simetri

1 2 3 42 5 7 03 7 8 24 0 2 9

A = = AT

Macam-macam Matriks


Symmetrical matrix

Matrix A is called symmetric if and only if A = AT

4 2

2 3A =

4 2

2 3A’ = A symmetric

1 2 3 42 5 7 03 7 8 24 0 2 9

A = = AT

Kinds of Matrix


Sifat-sifat transpose matriks

A AT (AT)T

(AT )T = A1. Transpose dari A transpose adalah A:

4 2 6 7

5 3 -9 7

4 5

2 3

6 -9

7 7

4 5

2 3

6 -9

7 7

= A

Contoh:

Macam-macam Matriks


properties of transpose matrix

A AT (AT)T

(AT )T = A1. Transpose of A transpose is A:

4 2 6 7

5 3 -9 7

4 5

2 3

6 -9

7 7

4 5

2 3

6 -9

7 7

= A

Example:

Kinds of Matrix


Macam-macam Matriks

2. (A+B)T = AT + BT

A+B

(A+B)T

T

BT

B

T

A

T

AT

=

=

+

+


Kinds of Matrix

2. (A+B)T = AT + BT

A+B

(A+B)T

T

BT

B

T

A

T

AT

=

=

+

+


Macam-macam Matriks

3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k

kA

(kA)T = k(A)T

A

T T

k


Kinds of Matrix

3. (kA)T = k(A) T for scalar k

kA

(kA)T = k(A)T

A

T T

k


Macam-macam Matriks

4. (AB)T = BT AT

(AB)T

AB

T T

AB

T

=

AB = BTAT


Kinds of Matrix

4. (AB)T = BT AT

(AB)T

AB

T T

AB

T

=

AB = BTAT


Macam-macam Matriks

Isilah titik-titik di bawah ini

1. A simetri maka A + AT= ……..

2. ((AT)T)T = …….

3. (ABC)T = …….

4. ((k+a)A)T = ….....

5. (A + B + C)T = ……….

Kunci:1. 2A2. AT

3. CTBTAT

4. (k+a)AT

5. AT + BT + CT

Soal :


Kind of Matrix

Fill in the blanks bellow

1. A symmetric then A + AT= ……..

2. ((AT)T)T = …….

3. (ABC)T = …….

4. ((k+a)A)T = ….....

5. (A + B + C)T = ……….

Answer keys:1. 2A2. AT

3. CTBTAT

4. (k+a)AT

5. AT + BT + CT

Quiz :


OPERASI MATRIKS

Kompetesi Dasar

Menyelesaikan Operasi Matriks

Indikator1. Dua matriks atau lebih ditentukan hasil

penjumlahan atau pengurangannya

2. Dua matriks atau lebih ditentukan hasil kalinya


OPERATION OF MATRIX

Basic competence

Finishing operation matrix

Indicator1. Two or more matrixes is defined by the result of

their addition or subtraction

2. Two or more matrixes is defined by the result oftheir multiplication


Penjumlahan dan pengurangan dua matriks

Contoh :

10 22

1 -1

A = 2 6

7 5B =

10+2 22+6

1+7 -1+5A + B =

12 28

8 4=

8 16

-6 -6

=A - B = 10-2 22-6

1-7 -1-5

OPERASI MATRIKS


Addition and subtraction of two matixes

Example:

10 22

1 -1

A = 2 6

7 5B =

10+2 22+6

1+7 -1+5A + B =

12 28

8 4=

8 16

-6 -6

=A - B = 10-2 22-6

1-7 -1-5

OPERATION OF MATRIX


OPERASI MATRIKS

Apa syarat agar dua matriks dapatdijumlahkan?

Jawab:

Ordo dua matriks tersebut sama

A = [aij] dan B = [bij] berukuran sama,

A + B didefinisikan: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij


OPERATION OF MATRIX

What is the condition so that two matrixescan be added?

Answer:

The ordo of the two matrixes are the same

A = [aij] dan B = [bij] have the same size,

A + B is defined: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij


Jumlah dua matriks

5 6 1

7 2 3C =

25 30 5

35 10 15D =

C + D =? ? ?

? ? ?

1 4 -93 7 05 9 -13

K =7 3 1-2 4 -59 -4 3

L =

K + L =

? ? ?

? ? ?

? ? ?

D + C =

L + K =

Apa kesimpulanmu? Apakah jumlahan matriks bersifat komutatif?

OPERASI MATRIKS


The quantity of two matrixes

5 6 1

7 2 3C =

25 30 5

35 10 15D =

C + D =? ? ?

? ? ?

1 4 -93 7 05 9 -13

K =7 3 1-2 4 -59 -4 3

L =

K + L =

? ? ?

? ? ?

? ? ?

D + C =

L + K =

What is your conclusion? Is the addition of matrixes commutative?

OPERATION OF MATRIX


Soal:

C + D =…

C + E = …

A + B = …

3 -8 0

4 7 2

-1 8 4

C = D =

3 7 2

5 2 6

-1 8 4

E =2 7 2

5 2 6

0 0 0

0 0 0A =

0 0 0

0 0 0B =

6 -1 2

9 9 8

-2 16 8

C +D =Feedback:

OPERASI MATRIKS


Exercise:

C + D =…

C + E = …

A + B = …

3 -8 0

4 7 2

-1 8 4

C = D =

3 7 2

5 2 6

-1 8 4

E =2 7 2

5 2 6

0 0 0

0 0 0A =

0 0 0

0 0 0B =

6 -1 2

9 9 8

-2 16 8

C +D =Feedback:

OPERATION OF MATRIX


Hasil kali skalar dengan matriks

5 6 1

7 2 3A = 5A = =

250 300 50

350 100 150H = H =

Diberikan matriks A = [aij] dan skalar c, perkalian skalar cAmempunyai entri-entri sebagai berikut:

(cA)ij = c.(A)ij = caij

Apa hubungan H dengan A?

5x5

5x5

5x6

5x2

5x1

5x3

25

35

30

10

5

15

Catatan: Pada himpunan Mmxn, perkalian matriks dengan skalar bersifattertutup (menghasilkan matriks dengan ordo yang sama)

50A

OPERASI MATRIKS


The multiplication result of scalar matrix

5 6 1

7 2 3A = 5A = =

250 300 50

350 100 150H = H =

Given matrix A = [aij] aand scalar c, the multiplication of scalar cAhave the following entries:

(cA)ij = c.(A)ij = caij

What is the relation between H and A?

5x5

5x5

5x6

5x2

5x1

5x3

25

35

30

10

5

15

Note: In the set of Mmxn, the matrix multiplication with scalar have closedproperties (it will have matrix with the same orrdo)

50A

OPERATION OF MATRIX


OPERASI MATRIKS

K 3 x 3

1 4 -93 7 05 9 -13

K =

5 20 -4515 35 025 45 -655K =

4 16 -3612 28 020 36 -52

4K =


OPERATION OF MATRIX

K 3 x 3

1 4 -93 7 05 9 -13

K =

5 20 -4515 35 025 45 -655K =

4 16 -3612 28 020 36 -52

4K =


OPERASI MATRIKS

Diketahui bahwa cA adalah matriks nol. Apa kesimpulan Andatentang A dan c?

0 0 0

0 0 0A =A =

2 7 2

5 2 6c = 0c = 7

cA =0*2 0*7 0*2

0*5 0*2 0*6

0 0 0

0 0 0=cA =

7*0 7*0 7*0

7*0 7*0 7*0

Kasus 1: c = 0 dan A matriks sembarang.Kasus 2: A matriks nol dan c bisa berapa saja.

Contoh:

kesimpulan


OPERATION OF MATRIX

Known that cA is zero matrix. What is your conclusion aboutA and c?

0 0 0

0 0 0A =A =

2 7 2

5 2 6c = 0c = 7

cA =0*2 0*7 0*2

0*5 0*2 0*6

0 0 0

0 0 0=cA =

7*0 7*0 7*0

7*0 7*0 7*0

Case 1: c = 0 and A is any matrixCase 2: A is zero matrix and c can be anynumber

Example:

Conclusion


OPERASI MATRIKS

Definisi:

Jika A = [aij] berukuran m x r , dan B = [bij] berukuran r x n,maka matriks hasil kali A dan B, yaitu C = AB mempunyai elemen-elemen yang didefinisikan sebagai berikut:

∑ aikbkj = ai1b1j +ai2b2j+………airbrj

k = 1

(C)ij = (AB)ij =

2 3 4 5

8 -7 9 -4

1 -5 7 -8

A =

1 2

7 -6

4 -9

B = Tentukan AB dan BA

A B AB

m x r r x n m x n• Syarat:

r

Perkalian matriks dengan matriks


OPERATION OF MATRIX

Definition: If A = [aij] have size m x r , and B = [bij] have size r x n, then the

matrix which is from the multiplication result between A and B,yaitu is C = AB has elements that defined as follows:

∑ aikbkj = ai1b1j +ai2b2j+………airbrj

k = 1

(C)ij = (AB)ij =

2 3 4 5

8 -7 9 -4

1 -5 7 -8

A =

1 2

7 -6

4 -9

B = Define AB and BA

A B AB

m x r r x n m x n• Condition:

r

Multiplication between matrix


Perkalian matriks dengan matriks

2 3 4 5

8 -7 9 -4

1 -5 7 -8

A =

1 2

7 -6

4 -9

11 3

B =

A B =2.1 +3.7+4.4+5.11 -35

-49 -35

-94 -55

94 -35

-49 -35

-94 -55

=

OPERASI MATRIKS

=

Contoh :

BA tidak didefinisikan


The multiplication between matrixes

2 3 4 5

8 -7 9 -4

1 -5 7 -8

A =

1 2

7 -6

4 -9

11 3

B =

A B =2.1 +3.7+4.4+5.11 -35

-49 -35

-94 -55

94 -35

-49 -35

-94 -55

=

OPERATION OF MATRIX

=

Example:

BA is not define


OPERASI MATRIKS

1. Diberikan A dan B, AB dan BA terdefinisi. Apa kesimpulanmu?

2. AB = O matriks nol, apakah salah satu dari A atau B pasti matriks nol?

2 32 3

A =3 -3-2 2

B =0 00 0

AB =

B A

n x k m x n

m = k

ABmxm ABnxn

AB dan BAmatriks persegi

AB matriks nol, belum tentu A atau B matriks nol

A B

n x km x n


OPERATION OF MATRIX

1. Given A and B, AB and BA is defined. What is your conclusion?

2. AB = O is zero matrix, is one of (A or B) is zero matrix?

2 32 3

A =3 -3-2 2

B =0 00 0

AB =

B A

n x k m x n

m = k

ABmxm ABnxn

AB and BAsquare matricx

AB is zero matrix. Matrix A and B is not certainzero matrix

A B

n x km x n


Tentukan hasil kalinya jika terdefinisi.

• A B = ??• AC = ??• BD = ??• CD = ??• DB = ??

OPERASI MATRIKS

2 3 4 54 7 9 02 3 5 6

A =

1 2-9 08 05 6

B =

7 -11 43 5 -6

C = 1 8 9 5 62 5 6 -9 00 -4 7 8 9

D =

Contoh 1:


Define the multiplication result if it defined:

• A B = ??• AC = ??• BD = ??• CD = ??• DB = ??

OPERATION OF MATRIX

2 3 4 54 7 9 02 3 5 6

A =

1 2-9 08 05 6

B =

7 -11 43 5 -6

C = 1 8 9 5 62 5 6 -9 00 -4 7 8 9

D =

Example 1:


OPERASI MATRIKS

Contoh 2:2 31 2

A =

A2 =2 31 2

2 31 2

A3 = A x A2 =2 31 2

2 31 2

2 31 2

A0 = IAn =

n faktor

An+m = An Am

A A A …A


OPERATION OF MATRIX

Example 2:2 31 2

A =

A2 =2 31 2

2 31 2

A3 = A x A2 =2 31 2

2 31 2

2 31 2

A0 = IAn =

n factor

An+m = An Am

A A A …A


DETERMINAN DAN INVERS

Kompetensi Dasar:

Menentukan determinan dan invers

Indikator :

1. Matriks ditentukan determinannya

2. Matriks ditentukan inversnya


DETERMINANT AND INVERSE

Basic Competence:

Define the determinant and inverse

Indicator :

1. Matrix is defined by its determinant

2. Matrix is defined by its inverse



Determinan Matriks ordo 2 x 2

Nilai determinan suatu matriks ordo 2 x 2 adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen pada diagonal kedua.

Misalkan diketahui matriks A berordo 2 x 2, A =

Determinan A adalah

det A =

dc

ba

dc

ba= ad - bc



Determinant Matrix ordo 2 x 2

Determinant value of a matrix ordo 2 x 2 is the multiplication result of themain diagonal elements and subtract by the multiplication result of thesecond diagonal.

For example, known matrix A ordo 2 x 2, A =

Determinant A is

det A =

dc

ba

dc

ba= ad - bc


Contoh: Invers matriks 2x2

3 2

4 1A =

I=

1 -23.1-4.2 3.1-4.2

3-43.1-4.2 3.1-4.2

=A-1

1 25 5

345 5



Example: Matrix inverse 2x2

3 2

4 1A =

I=

1 -23.1-4.2 3.1-4.2

3-43.1-4.2 3.1-4.2

=A-1

1 25 5

345 5



DETERMINANT DAN INVERSE

1. Kapan matriks TIDAK mempunyai invers?a b

c d

2. Tentukan invers matriks berikut ini

1 0

0 1d.

5 1

1 2a.

0 1

0 2b.

0 0

4 1c.

1 0

0 1d.

2/3 -1/5

-1/5 5/3a.

ad-bc = 0

b. tidak mempunyai invers

c. tidak mempunyai invers

Contoh :



1. When matrix Doesn’t have inverse?a b

c d

2. Define the following matrix inverse

1 0

0 1d.

5 1

1 2a.

0 1

0 2b.

0 0

4 1c.

1 0

0 1d.

2/3 -1/5

-1/5 5/3a.

ad-bc = 0

b. Doesn’t have inverse

c. Doesn’t have inverse

Example :



B adalah invers dari matriks A, jika AB = BA = I matriksidentitas, ditulis B = A-1

dc

ba

A IA-1A-1 A= =

Jika A = , maka

ac

bd

bcadA

11

0 bcadAdengan



B is inverse of matrix A, if AB = BA = I matrix identities,it is written B = A-1

dc

ba

A IA-1A-1 A= =

If A = , then

ac

bd

bcadA

11

0 bcadAwith



Contoh 1 :

Tentukan invers dari matriks

27

517

5.717.2

11

ac

bd

AA

42

105

177

52danBA

Jawab :

27

517

det B = (-5) . (-4) – (-2) . (-10) = 20 – 20 = 0 , sehingga matriks B

tidak memiliki invers



Example 1 :

Defined the inverse of matrix

27

517

5.717.2

11

ac

bd

AA

42

105

177

52danBA

Answer :

27

517

det B = (-5) . (-4) – (-2) . (-10) = 20 – 20 = 0 , So, matrix B doesn’t

have inverse



1 0 0

0 1 0

0 0 1

4 2

2 2

½ -½

-½ 1

4 2 1

2 2 1

3 3 1

½ -½ 1

-½ -½ 1

0 3 -2

1 0

0 1

Contoh 2 :

4 2

2 2

½ -½

-½ 1= =

A A-1 A-1 A I

4 2 1

2 2 1

3 3 1

½ -½ 1

-½ -½ 1

0 3 -2

= =

B B-1 B-1 B I

Diketahui matriks

Tunjukkan bahwa A.A-1 = A-1.A = I dan B.B-1 = B-1. B = I

133

122

124

22

24danBA



1 0 0

0 1 0

0 0 1

4 2

2 2

½ -½

-½ 1

4 2 1

2 2 1

3 3 1

½ -½ 1

-½ -½ 1

0 3 -2

1 0

0 1

Example 2 :

4 2

2 2

½ -½

-½ 1= =

A A-1 A-1 A I

4 2 1

2 2 1

3 3 1

½ -½ 1

-½ -½ 1

0 3 -2

= =

B B-1 B-1 B I

Known matrix

Show that A.A-1 = A-1.A = I and B.B-1 = B-1. B = I

133

122

124

22

24danBA



Matriks ordo 3 x 3

.

ihg

fed

cba

MisalkanA

Determinan Matriks Ordo 3 x 3

Dengan aturan Sarrus, determinan A adalah sebagai berikut.

hg

ed

ba

ihg

fed

cba

A

_ _ _ + + +

bdiafhcegcdhbfgaei

)()( bdiafhcegcdhbfgaei



Matrix ordo 3 x 3

.

ihg

fed

cba

exampleA

Matrix Determinant Ordo 3 x 3

With Sarrus rule, determinant A is as follows

hg

ed

ba

ihg

fed

cba

A

_ _ _ + + +

bdiafhcegcdhbfgaei

)()( bdiafhcegcdhbfgaei



Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Menggunakan Matriks

Misal SPL111 cybxa

222 cybxa

Persamaan tersebut dapat di ubah menjadi bentuk matriks

berikut

2

1

22

11

c

c

y

x

ba

ba



The equation of linear with two variable using matrix

For example SPL111 cybxa

222 cybxa

The equation can be changed into the following matrix

2

1

22

11

c

c

y

x

ba

ba



Misalkan ,,2

1

22

11

C

CdanB

y

xP

ba

baA maka dapat ditulis

2

1

22

11

c

c

y

x

ba

ba

BAP

BAP 1



Example ,,2

1

22

11

C

CandB

y

xP

ba

baA Then can be write

as

2

1

22

11

c

c

y

x

ba

ba

BAP

BAP 1



Contoh :

1632 yx

Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear

134 yx

134 yxJawab :

Sistem persamaan 1632 yx

Jika dibuat dalam bentuk matriks menjadi

13

16

41

32

y

x



Example:

1632 yx

Define the value of x and y that fulfill the equation of linear system

134 yx

134 yxanswer :

Equation system 1632 yx

If in matrix

13

16

41

32

y

x



Perkalian matriks berbentuk AP = B dengan

13

16,

41

32danB

y

xPA

21

34

5

1

21

34

3.14.2

11A

BAP

BAP 1

13

16

21

34

5

1

y

x

2

5

10

25

5

1

2616

3964

5

1

Jadi nilai x = 5 dan y = 2



The matrix multiplication in the form of AP =B with

13

16,

41

32danB

y

xPA

21

34

5

1

21

34

3.14.2

11A

BAP

BAP 1

13

16

21

34

5

1

y

x

2

5

10

25

5

1

2616

3964

5

1

So, the value of x = 5 and y = 2



Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel denganmenggunakan determinan atau aturan Cramer.

cbyax Misal SPL

rqypx

Maka dengan aturan Cramer, diperoleh

,

qp

ba

qr

bc

x

qp

ba

rp

ca

y dan



The solution of linear equation system with two variablesusing determinant or Cramer rule

cbyax For example

SPLrqypx

Then, with Cramer rule, we get

,

qp

ba

qr

bc

x

qp

ba

rp

ca

y dan



Contoh :Gunakan aturan Cramer untuk menentukan himpunan penyelesaiansistem persamaan linear

543 yx

42 yx

111

11

)4.(21.3

)4.(41).5(

12

43

14

45

x

Jawab :

Dengan aturan Cramer diperoleh

211

22

)4.(21.3

)5.(24.3

12

43

42

53

y

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,2)}.



Example :Use the Cramer rule to define the solution set of linear equationsystem

543 yx

42 yx

111

11

)4.(21.3

)4.(41).5(

12

43

14

45

x

answer :

With cramer Rule, we get

211

22

)4.(21.3

)5.(24.3

12

43

42

53

y

So, the solution set is {(1,2)}.



Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel denganmenggunakan Matriks

SPL dalam bentuk:

Dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks:

a11x1 + a12x2 + a13x3 +….. ..a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 +…….a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + am3x3 + ……amnxn = bm

a11 a12……...a1n

a21 a22 ……..a2n

: : :am1 am2…… amn

x1

x2

:xn

=b1

b2

:bn

A: matriks koefisien

Ax = b

x b



Finishing the equation of linear system with three variablesusing matrix

SPL in the form of:

It can be written in the form of matrix equation:

a11x1 + a12x2 + a13x3 +….. ..a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 +…….a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + am3x3 + ……amnxn = bm

a11 a12……...a1n

a21 a22 ……..a2n

: : :am1 am2…… amn

x1

x2

:xn

=b1

b2

:bn

A: matrix coefficient

Ax = b

x b



x1 + 2x2 + x3 = 6

-x2 + x3 = 1

4x1 + 2x2 + x3 = 4

SPL

1 2 1

0 -1 1

4 2 1

x1

x2

x3

=

6

1

4

1.x1 +2.x2 + 1.x3

0.x1 + -1.x2 + 1.x3

4.x1 +2.x2 + 1.x3

=

6

1

4

Dapat disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut

Contoh :



x1 + 2x2 + x3 = 6

-x2 + x3 = 1

4x1 + 2x2 + x3 = 4

SPL

1 2 1

0 -1 1

4 2 1

x1

x2

x3

=

6

1

4

1.x1 +2.x2 + 1.x3

0.x1 + -1.x2 + 1.x3

4.x1 +2.x2 + 1.x3

=

6

1

4

It can be written in the form of the following matrix

Example :


Perkalian dengan matriks identitas

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A=1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

A.I =

1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I.A ==

1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

X


X


The multiplication of identity matrix

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A=1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

A.I =

1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I.A ==

1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

X


X



AB = A dan BA = A, apa kesimpulanmu?

1 4 -93 7 05 9 -13

1 4 -93 7 05 9 -13

AB = A dan BA = A, maka B = I

(I matriks identitas)

1 0 00 1 00 0 1

1 0 00 1 00 0 1

=

=

1 4 -93 7 05 9 -13

1 4 -93 7 05 9 -13

A AII A= =



AB = A and BA = A, what is your conclusion?

1 4 -93 7 05 9 -13

1 4 -93 7 05 9 -13

AB = A and BA = A, then B = I

(I identity matrix )

1 0 00 1 00 0 1

1 0 00 1 00 0 1

=

=

1 4 -93 7 05 9 -13

1 4 -93 7 05 9 -13

A AII A= =


d -bab-cd ab-cd

-c aab-cd ab-cd


4 2

2 2

½ -½

-½ 1

1 0

0 1

d -b

-c a

1

ad - bc

Jika ad –bc = 0 maka A TIDAK mempunyai invers.

=

A IA-1

a b

c dA-1

1 0

0 1=

A-1 = =


d -bab-cd ab-cd

-c aab-cd ab-cd


4 2

2 2

½ -½

-½ 1

1 0

0 1

d -b

-c a

1

ad - bc

If ad –bc = 0 then A doesn’t have inverse

=

A IA-1

a b

c dA-1

1 0

0 1=

A-1 = =



1. Invers dari matriks jika ada adalah tunggal:

Jika B = A-1 dan C = A-1, maka B = C

4 2

2 2A =

½ -½

-½ 1A-1

4 2

2 2

1 0

0 1

2. (A-1)-1 = A

?

(A-1)-1

=½ -½

-½ 1

A-1 =

A



1. If there is inverse of matrix is only one:

If B = A-1 and C = A-1, then B = C

4 2

2 2A =

½ -½

-½ 1A-1

4 2

2 2

1 0

0 1

2. (A-1)-1 = A

?

(A-1)-1

=½ -½

-½ 1

A-1 =

A



3. Jika A mempunyai invers maka An mempunyai invers dan

(An)-1 = (A-1)n, n = 0, 1, 2, 3,…

4 2

2 2A =

4 2

2 2A3 =

4 2

2 2

4 2

2 2

½ -½

-½ 1A-1 =

=104 64

64 40

(A3)-1 =0.625 -1

-1 1.625

(A-1)3 = 0.625 -1

-1 1.625

½ -½

-½ 1

½ -½

-½ 1

½ -½

-½ 1=

sama



3. If A have inverse then An have inverse and

(An)-1 = (A-1)n, n = 0, 1, 2, 3,…

4 2

2 2A =

4 2

2 2A3 =

4 2

2 2

4 2

2 2

½ -½

-½ 1A-1 =

=104 64

64 40

(A3)-1 =0.625 -1

-1 1.625

(A-1)3 = 0.625 -1

-1 1.625

½ -½

-½ 1

½ -½

-½ 1

½ -½

-½ 1=

The same

with



4. (AB)-1 = B-1 A-1

4 2

2 2A =

3 5

2 2B = B-1 =

½ 5/4

½ - ¾

(AB)-1 = 16 24

10 14

-1

=-0.875 1.50.625 -1

A-1 B-1 = ½ 5/4

½ - ¾

½ -½

-½ 1=

-0.5 10.75 -1.375

B-1 A-1 = ½ 5/4

½ - ¾

½ -½

-½ 1=

-0.875 1.50.625 -1



4. (AB)-1 = B-1 A-1

4 2

2 2A =

3 5

2 2B = B-1 =

½ 5/4

½ - ¾

(AB)-1 = 16 24

10 14

-1

=-0.875 1.50.625 -1

A-1 B-1 = ½ 5/4

½ - ¾

½ -½

-½ 1=

-0.5 10.75 -1.375

B-1 A-1 = ½ 5/4

½ - ¾

½ -½

-½ 1=

-0.875 1.50.625 -1

Bilangan komplek



SKS : 2


1


DASARBILANGANKOMPLEKS

TUJUAN

33

Mahasiswa diharapkan mampu :• Memahami bilangan kompleks• Menggambarkan kurva pada bilangan kompleks• Menuliskan bilangan kompleks dalam bentuk

polar

Apakah Tujuan Pertemuan ini ?

PENDAHULUAN

44

Bilangan Kompleks adalah gabungan dari bilangannyata (Riil) dengan bilangan imajiner

Apakah Bilangan Kompleks itu ?

PENDAHULUAN

55

PENDAHULUAN

66

Apakah Bilangan Imajiner itu ?

Bilangan yang merupakan akar kuadrat dari suatubilangan negatif

Contoh :

Definisi 1 : dan

Jadi dapat ditulis

13,7,5

1i

5 55*1 i

12 i

PENDAHULUAN

77

Bilangan kompleks dinotasikan dalambentuk a + bj dimana a dan b merupakanbilangan real dan j merupakan bilanganimajiner

Jika nilai a ≠ 0 dan b = 0 maka a+bimerupakan bilangan kompleks yang real

Jika nilai a = 0 dan b ≠ 0 maka a+bi merupakanbilangan imajiner murni

MACAM BIL KOMPLEKS

88

1. Bilangan Kompleks Sekawancontoh: a+bi dan a-bi

contoh: a+bi dan –(a+bi)

2.Bilangan Kompleks Berlawanan

ASAL BILANGAN KOMPLEKS

99

Mengapa bisa muncul bilangan tersebut ?

Bilangan tersebut berasal dari akar-akar persamaankuadrat yang diperoleh dengan menggunakan rumusABC

1

Masih ingatkah Anda dengan Rumus ABC ?

a

cabbxx

.2

..4,

2

21

RUMUS ABC

1010

Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat berikut :x² - 4x + 5 = 0

Jawab :1. Cari nilai diskriminan D nya.

D = b² - 4ac= (-4)² - 4(1)(5)= 16 – 20= -4 D < 0

apabila D < 0 maka persamaan tersebut tidak memilikiakar real

2. Gunakan rumus ABC

RUMUS ABC

1111

Akar-akar ini merupakan akar imajiner dan apabila digunakanlambang i maka dapat ditulis :

x1 = 2 + ix2 = 2 - i

a

cabbxx

.2

..4,

2

21

.2

44, 21

xx

.2

124, 21

xx

121 x 122 x

LATIHAN 1

1212

Tentukan akar – akar dari persamaan kuadrat berikut :

0522 xx

0123 2 xx

0842 xx

072 xx

0322 xx

BILANGAN KOMPLEKS

1313

Penulisan bilangan kompleks z =a+bj sering disingkat sebagaipasangan terurut (a,b), olehkarena itu bilangan kompleksdapat dinyatakan dalam suatubidang datar seperti halnyakoordinat titik dalam sistemkoordinat kartesius

Bidang yang digunakan untukmenggambarkan bilangankompleks disebut bidangkompleks atau bidang argand

BILANGAN KOMPLEKS

1414

Buatlah grafik bilangan kompleks berikut :x = 4 + 6j dimana :4 merupakan bilangan real positif6j merupakan bilangan imajiner positif

Latihan 2

1515

Buatlah grafik bilangan kompleks berikut :x = -4 + 3j dimana :-4 merupakan bilangan real negatif3j merupakan bilangan imajiner positif

Latihan 2

1616

berapa nilai bilangan kompleks dari grafis berikut:

x = - 6 – j 2

Latihan 3

1717

Buatkan kedalam bentuk grafis bilangan kompleks berikut:x =4 – j 6x = -7x = - 6 – j 13x =j11

Bentuk-bentuk Bilangan Kompleks

1818

Ada beberapa bentuk penulisan bilangan kompleksyaitu : Bentuk Polar Bentuk Rectangular Bentuk Exponensial

BENTUK REKTANGULAR

1919

Bentuk bilangan kompleks a + jbdisebut juga bilangan kompleks bentukrektangular

Gambar grafik bilangan kompleksbentuk rektangular :

Dari gambar di atas titik A mempunyaikoordinat (a,jb). Artinya titik Amempunyai absis a dan ordinat b.

BENTUK POLAR

2020

Bilangan kompleks bentuk rektangulara+ jb dapat juga dinyatakan dalambentuk polar, dengan menggunakansuatu jarak (r) terhadap suatu titikpolar

Jika OA = r, maka letak (kedudukan)titik A dapat ditentukan terhadap r dan .

BENTUK POLAR

2121

Sehingga rumus yang didapatkan untuk mengubah suatu bilangankompleks dari bentuk rektangular ke bentuk polar adalah:

r adalah sisi miring, yang nilainya adalah :

Besar sudut kemiringan

dengan θ :

BENTUK EKSPONENSIAL

2222

Bentuk eksponensial diperoleh daribentuk polar.

Harga r dalam kedua bentuk itu samadan sudut dalam kedua bentuk itu jugasama, tetapi untuk bentukeksponensial harus dinyatakan dalamradian.

KUADRAN

2323

Selain itu, perlu diketahui pula letak posisi sudut berada kuadranberapa dari garis bilangan. Dimana :

Kuadran I berada pada sudut ke 0 - 90

Kuadran II berada pada sudut ke 90 - 180

Kuadran III berada pada sudut ke 180 – 270 atau (-90) – (-180)

Kuadran IV berada pada sudut ke 270 – 360 atau 0 – (-90)

CONTOH SOAL

2424

Perhatian persamaan bilangan kompleks berikut z = 3 – j8bentuk umum bilangan kompleks diatas dapat dirubah kedalam bentuk bentuk penulisan yang lain.

Sudut yang dibentuk adalah di kuadran IV

Bentuk Polar nya :z = r(cos + j sin) = 8.54(cos(-69.44) + j sin(-69.44))Bentuk Exponensialnya :

44,69..54,8. jj eerz

LATIHAN SOAL

2525

Dapatkan bentuk polar dan bentuk exponensial dari bilangankompleks z = -3 + 3i dan terletak di kuadran berapa sudut nya ?

JAWABAN

2626

Persamaan bilangan kompleks z = -3 + j3

Dimana : Sin =

Cos = di kuadran II

Bentuk Polar nya :z = r(cos + j sin) = 3 (cos(135) + j sin(135))Bentuk Exponensialnya :

135..23. jj eerz

233)3( 22 r

135)1()3/3( arctgarctg

22

1

22

1

2

PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN

2727

Operasinal matematika penjumlahan dan penguranganmerupakan konsep yang umum dan sederhana. Namunbagian ini merupakan bagian yang terpenting danmendasar.

Prinsip penjumlahan dan pengurangan adalah sama,memenuhi sifat-sifat aljabar penjumlahan dan pengurangan

CONTOH SOAL

2828

x1 = 2- j3x2 = 5+ j4

Jawab :xt = (2-j3) + (5+j4)

= (2+5) +j(-3+4)= 7+j

CONTOH SOAL

2929

x1 = 2- j3x2 = 5+ j4

Jawab :x1 + x2= (2-j3) + (5+j4)

= (2+5) +j(-3+4)= 7+j

x1-x2 = (2-j3) - (5+j4)= (2-5) +j(-3-4)= -3-j7

LATIHAN MATEMATIKA 1Klas IE dan IF

Teknologi Informasi POLNESTeknologi Informasi POLNES

1. Tentukan akar – akar dari persamaan kuadrat berikut :

0522 xx 0123 2 xx

0842 xx 072 xx

0322 xx

2. Gambarkan dalam bentuk kartesian, bentuk polar danbentuk exponensial dari bilangan kompleks z = -3 + 3idan terletak di kuadran berapa sudut nya ?

Aplikasi bilangan komplek



SKS : 2


1

2

Aplikasi Bilangan Kompleks,Phasor,Impedans,admitans

3

BILANGAN KOMPLEKS

Definisi:

Satuan bilangan khayal (imajiner) adalah bilangan 1

yang umumnya dinyatakan dengan simbol 1jatau1i

Penyelesaian persamaan 0565 2 xx adalah 8,06,0 j

Penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks

79)36()43( jjj

jjj 3)36()43(

12

j

4

BILANGAN KOMPLEKS

Perkalian bilangan kompleks

jjjjj 336)1224918()36()43(

jjjjj 1530)1224918()36()43(

25)1612129()43()43( jjjj

Pembagian bilangan kompleks

22 36

1530

)36()36(

)36()43(

36

43

j

jj

jj

j

j

)36( j )36( jadalah Konjugat dari

)36( jZ )36( jZ

Konjugatnya adalah

5

BILANGAN KOMPLEKS

Bentuk kutub bilangan kompleks

a

b

x

y

jjba )sin(cos jr

r

a

barctan 22 bar

Bentuk-bentuk kompleks

jyxz

Polar atau steinmetz: zzExponensial: jrezTrigonometri: )sin(cos jrz

Rectangular

6

BILANGAN KOMPLEKS

Perkalian bilangan kompleks dalam bentuk polar

)sin(cos 1111 jrjbaz

)sin(cos 2222 jrjdcz

)]sin(cos)][sin(cos[))((. 22211121 jrjrjdcjbazz

)]sin()[cos(. 21212121 jrrzz

)(... 2121221121 rrrrzz

Andaikan:

7

BILANGAN KOMPLEKS

Perkalian bilangan kompleks dalam bentuk polar

)sin(cos 1111 jrjbaz

)sin(cos 2222 jrjdcz

)]sin(cos)][sin(cos[))((. 22211121 jrjrjdcjbazz

)]sin()[cos(. 21212121 jrrzz

)(... 2121221121 rrrrzz

Andaikan:

Pembagian bilangan komplek

)]sin()[cos()sin(cos

)sin(cos2121

2

1

222

111

2

1

j

r

r

jr

jr

z

z

8

Sumber gelombang sinusoidal

9

Gelombang Sinusoidal

10

Sumber tegangan dan arus

sinusoidal;satuan sudut(Derajat dan radian)

(a) Sumber tegangan ac sinusoidal

(b) Sumber arus sinusoidal

2 rad = 360o

1 rad = 57,3o

r

r

57.296o

1 radian

dl=rd

11

Perioda,frekuensi,kecepatan sudut

Satuan frekuensi : Hertz (Hz)

1 Hz = 1 cycle per second (c/s)

t

)(det

)(kecepatan

dant

ikwaktu

radianatauderajatjaraksudut

f2

(rad/s)2

)(det

1T

1

T

sikT

Hzf

fdan

Tf

12

Sinyal sinusoidal bisa dinyatakan dalam bentuk matematis :

Am sin

Atau

Am sin t

Bentuk Umum Sinyal Sinusoidal

13

Pergeseran Gelombang• Jika sinyal sinusoidal digeser ke kanan atau

kiri dari titik 0, bentuknya menjadi :

Am sin (t + )

dengan adalah sudut geser dalam derajatatau radian

• Jika gelombang melalui sumbu horisontaldan slope ke arah negatif (naik seiringwaktu) terjadi sebelum 0o (gambar a),maka bentuk matematis gelombangnya :

Am sin (t + )

• Jika gelombang melalui sumbu horisontaldan slope ke arah positif terjadi setelahsumbu 0o (gambar b), maka bentukmatematis gelombangnya :

Am sin (t - )

(a)

(b) t di mana

14

Jika gelombang melewati sumbu horizontal dengan slope ke arah kiriartinya lebih cepat 90o (/2) seperti pada gambar di bawah,makadisebut gelombang cosinus

2tcos)90-tcos(sin

atau

tcos2

sin)90sin(

o

o

t

tt

Pergeseran Gelombang

15

Bagaimana respons paksa ( arus yang diakibatkan mengalirdalam rangkaian ) jika masukan fungsi sinusoidal diberikanpada rangkaian RL seri ?

tVRidt

diL m cos

tBtAi f sincos

tVtBtARtBtAL m cossincoscossin

mVLBRA 0 RBLA

222 LR

RVA m

222 LR

LVB m

tm

V cosDengan tabel trial solutionakan diperoleh:

16

tLR

LVt

LR

RVi mm

f

sincos

222222

R

Lt

LR

Vi m

f

1

222tancos

tIi mf cos

222 LR

VI m

m

R

L 1tan

tL

R

n eAi

1dimana

L

R

2

2L

R

17

R

Lt

LR

Vi m

1

222tancos

Solusi nya dalam keadaan mantap

tZ

Vi m cos

18

Contoh berikut adalah rangkaian R//Cdicatu oleh sumber arus sinusoidal atauforcing functionnya sinusoidal

Tentukan v dan i di kapasitor C dalamkeadaan mantap

19

RC

V

dt

dV

C

tI cCm cos

tBtAVCf sincos

)sincos(1

cossincos

tBtARC

tBtAC

tIm

tBRC

AtARC

BC

tIm

sin1

cos1cos

CRAB

RC

ACRA

RCCRAA

RCB

C

Im2

2 )(111

Dari Trial Solution

R

VitI ccm cos

01

RC

A

20

CR

1

t

CR

CRt

CRCR

RIV m

Cf

sin

1cos

1

1

1222

sinsincoscos

12

ttCR

RIV m

Cf

t

CR

RIV m

Cf cos1

2

21 CR

RIA m

22

211 CR

CRIR

CR

RICRB mm

ACRRIm2)(1

21

Solusi nya adalah :

t

CR

RIV m

C cos1

2

dt

dvCi c

c

t

CR

CRIi mc sin

12

90cos

12

t

CR

CRIi mc

Cara penyelesaian dengan menggunaakantrial solution ,adalah cara kuno dan tidakmenarik buat calon sarjana Teknik Elektro.Cara lain lebih elegan adalah denganmenggunakan Phasor

22

PHASOR

)cos( tVv m

maka )( )( tjmeVev

Jika kecepatan sudut dari fungsi tersebut diketahui,dan fungsi tsb dapat ditentukan oleh nilai mV dan

maka ditulis mm VV

90sin

0cos

)cos(

phasordomaintime

mmm

mmm

mmm

VVtV

VVtV

VVtV

Jika terdapat suatu fungsi

Pemahaman Phasor dalam dimensi ranah waktu danbidang komplek

Phasor dalam arah maju ( leading )dan mundur ( lagging)

25

Hitunglah amplituda dan phasa dari fungsi sinusberikut (Beca 10.1.2)

)602cos()433()302cos()334()

2sin42cos3)

00

ttb

tta 00 9.36;5)1.53;5) ba

Tentukan frekuensi fungsi sinusberikut ( Beca 10.1.3)

tb

ta

377sin4)

)106cos(3) 0 Hzba 60);3)

Jawab 10.1.2

26

Pada R

PHASOR

Contoh penggunaan:

iR

tVm cosiRtVm cos

RIVm 0

0R

VI m

VVm 0

II m 0

Diagram phasor

27

Pada L

PHASOR

Contoh penggunaan:

fi

LtVm cos

tVdt

diLv mL cos

Lj

V

j

jjx

L

V

L

V

L

VI mmmm

00

0

90900

maka ILjLIVL 090

induktansReaktansi LXLjX LL

V

I

tL

VttdV

Li m

m

sincos1

)90cos( tL

Vi m

28

Pada C

PHASOR

Contoh penggunaan:fi

CtVm cos

))90cos((sincos

tVCtCVdt

tdVC

dt

dVCi mm

m

mmm CVjCVCVI 000 90900

09011

CCj

XC

kapasitifreaktansi1

C

X C

I

V

29

PHASOR

Dari sini diperoleh:

RRZ R 00

LL XLLjZ 090

CC XCCj

Z

09011

Animasi phasor

Animasi Phasor 2

1 10 50cos( )v t 2 12 10sin( )v t dan

Hitunglah sudut antara V1 dan V2

32

IMPEDANSI

Z

I

V

Jika:

VV II

I

V

I

V

I

VZ

dan

maka

Jika111111

jXRZZ ZZ

1X

1Z

1R

Z

33

IMPEDANSI

Jika2220

2jXRZZ 2X

2Z2R

ADMITANSI Y

RjX

jBGjXRZ

Y

11

G = konduktansi, B= suseptansi

2222;

XR

XB

XR

RG

34

R jX

jXRZ

111

IMPEDANSI SERI

jGY G

B Y

nT ZZZZ ....21

V

1Z 2ZI

nZ

35

IMPEDANSI PARALEL

V 1Z 2ZnZ

1I 2

I nI

nT Z

V

Z

V

Z

V

Z

V ...

21

nT ZZZZ

1...

111

21

nT YYYY ...21

Y = admitansi

36

Tentukan impedans dari rangkaian jika diketahuidalam domain waktu yang direpresentasikan olehphasor

IdanV Adalah: (Beca 10.15)

Ampti

voltttva

)202cos(7.1

2sin162cos30)0

mAeji

voltjevb

tj

tj

)302(

2

0

)1(

)

09.17120

k0152

1

Jawab 10.15

37

Dari gambar tentukan v1 dan gunakanuntuk mencari v1 bila tegangan masuk34cos4t ( Beca 10.9)

Jawab 10.9

volttvAmpev tj )1.284cos(1010 0)1.284(1

0

Bab VI 39

21 2

1 2 3

xs s

x

Z ZV V V V

Z Z Z

22 3 1

1 2 3

xx

x

Z ZZ Z Z Z

Z Z Z

32

1

x

ZZ Z

Z

1

2

x s

RC C

R

42

2

1

x s

RL L

R

Documents

Handout Matematika 1 2014