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Hans Walser, Geometrie Würfelmodelle

Hans Walser, Geometrie - didmath.ewf.uni-erlangen.de · Sechs Origami-Blätter werden je wie ... Fusè, Tomoko: Unit Origami. Multidimensional ... Polyhedron Models. Cambridge University

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Hans Walser, Geometrie

Würfelmodelle

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Inhalt1 Flechtmodelle.................................................................................................................. 1

1.1 Flechttechnik ........................................................................................................... 11.2 Flechtmodell des Würfels........................................................................................ 1

1.2.1 Der Soma-Würfel.......................................................................................... 21.2.2 Flechtstruktur................................................................................................. 2

1.3 Drehsymmetrien...................................................................................................... 31.4 Schrägstreifen-Modell des Würfels......................................................................... 41.5 Kombinatorik .......................................................................................................... 5

2 Faltmodelle ..................................................................................................................... 62.1 Der Schiffchen-Würfel............................................................................................ 62.2 Origami ................................................................................................................... 7

2.2.1 Steckwürfel.................................................................................................... 72.2.1.1 Beispiel mit zwei Teilen........................................................................... 72.2.1.2 Beispiel mit sechs Teilen ......................................................................... 8

2.2.2 Der Puste-Würfel .......................................................................................... 9Literatur ............................................................................................................................. 9

Modul für die Vorlesung: Geometrie

2000 Erstausgabe2002 Neue Moduleinteilung, Ergänzungen und Fehlerkorrekturen2004 Grafische Überarbeitung

last modified: 28. Mai 2003

Hans WalserMathematisches Institut, Rheinsprung 21, 4051 Baselwww.math.unibas.ch/[email protected]

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Würfelmodelle

Zur Herstellung von Würfelmodellen gibt es unendlich viele Möglichkeiten und Techni-ken. Vgl. [Adam/Wyss 1994], [Cundy/Rollet 1961], [Hilton/Pedersen 1994],[Johnson/Walser 1997.1], [Johnson/Walser 1997.2], [Steibl 1996], [Zeier 1983].

1 Flechtmodelle

1.1 FlechttechnikDie Flecht- oder Webtechnik ist eine der ältesten Kulturtechniken [Gerdes 1990],[Pargeter 1959], [Pedersen 1981], [Walser 1987], [Walser 1994]. Für die Herstellungeines ebenen Geflechtes genügen zwei Scharen paralleler waagrechter und senkrechterStreifen.

Die Ausbildung der räumlichen Ecken eines quaderförmigen Korbes etwa benötigt hinge-gen drei Streifentypen.

1.2 Flechtmodell des WürfelsDas einfachste Flechtmodell des Würfels besteht aus drei Papierstreifen. Jeder Streifenbesteht aus sechs Feldern, welche fast Quadrate sind; aus flechttechnischen Gründen(Spielraum) muss die Streifenbreite etwas geringer als die Kantenlänge des Würfels sein.In der Praxis genügt eine Verminderung von ε ≈ 1 mm. Die beiden letzten (getönten)Felder der Streifen sind jeweils mit den beiden ersten zu überlappen; sie dienen zur Stabi-lisierung des Flechtmodells.

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1.2.1 Der Soma-WürfelMit 27 kleinen Würfelchen können die sieben Bauteile des Soma-Würfels zusammenge-baut werden.

1.2.2 FlechtstrukturDenken wir uns die Streifenbreite vermindert, erhalten wir Einblick in die FlechtstrukturDiese Flechtstruktur kann noch weiter abstrahiert werden durch ein Kugelmodell, das ausden drei Großkreisen Äquator, 0°/180°-Meridian und +90°/-90°-Meridian bei passenderInnen/Außenführung an den Treffpunkten gebaut werden kann. Die Flechtstruktur bestehttopologisch aus drei verschlungenen Ringen mit folgender Eigenschaft: Wird einer derdrei Ringe herausgenommen, so fallen auch die beiden restlichen auseinander. Diese Figurwar das Emblem der Familie der Borromeo. Zu diesem bis ins 13. Jahrhundert zurückge-henden italienischen Adelsgeschlecht gehörte auch der Kirchenfürst Carlo Borromeo(1538-1584), welcher in der Gegenreformation eine bedeutende Rolle spielte.

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1.3 DrehsymmetrienBeim Würfel sind verschiedene Drehungen möglich, die den Würfel in sich überführen:Viertelsdrehung, Drittelsdrehung und Halbdrehung.

Bei unserem Flechtmodell sind nicht alle diese Drehungen (auch abgesehen von den ver-schiedenen Streifenfarben) möglich. Zulässig sind nur noch folgende Drehungen: Halb-drehung und Drittelsdrehung. Die Halbdrehung lässt Flecht- und Farbstruktur invariant,die Drittelsdrehung führt zu einer zyklischen Vertauschung der Farben.

Frage: Gibt es ein Flechtmodell des Würfels mit denselben Drehmöglichkeiten wie beimWürfel selbst?

Zwischenfrage: Wie kann ein würfelförmiges Paket verschnürt werden?

Die drei Streifen unseres Flechtmodells laufen so um den Würfel, wie ein würfelförmigesGeschenkpaket in der Regel verschnürt wird, wobei noch eine dritte Schnur als"Äquatorschnur" dazu gedacht werden muss.

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1.4 Schrägstreifen-Modell des WürfelsNun gibt es aber auch Schrägverschnürungen. Eine solche schräge geschlossene Schnurliefert ein regelmäßiges Sechseck.

Da jedes dieser Sechsecke eine Würfeldiagonale als Achse besitzt, gibt es insgesamt viersolcher Sechsecke. Daraus lässt sich ein Flechtmodell mit vier Schrägstreifen ableiten. Dereinzelne Flechtstreifen hat folgendes Schnittmuster:

Bei diesem Flechtmodell sind (abgesehen von den Streifenfarben) dieselben Drehungenwie beim Würfel möglich.

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Die Flechtstruktur besteht topologisch aus vier Ringen.

1.5 KombinatorikVerwenden wir für die vier Streifen vier verschiedene Farben, ergibt sich ein kombinatori-

sches Farbspiel: Für vier verschiedene Elemente gibt es 4! = 24 lineare und 4!4= 6 zykli-

sche Anordnungsmöglichkeiten, da bei der zyklischen Anordnung die vier Möglichkeiten,die sich durch Drehungen um Vielfache von 90° ergeben, zu identifizieren sind.

Nun ist es so, dass auf den sechs Würfelseiten im Schrägstreifenmodell jede dieser sechszyklischen Anordnungen genau einmal auftritt.

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2 Faltmodelle

2.1 Der Schiffchen-WürfelWir bauen vier Schiffchen aus rechteckigem Papier, zum Beispiel DIN A4 Papier, legendas Segel auf den Boden und stecken je zwei Schiffchen zu einem Körbchen zusammen.

Die beiden Körbchen stecken wir nun als Boden und Deckel zu einem Würfel zusammen.Beim Zusammenstecken ist ein wechselseitiger Innen- Außen- Rhythmus zu beachten.

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2.2 OrigamiDie japanische Origami-Technik basiert auf quadratischem Papier. Über Origami vgl.[Chatani 1986], [Chatani 1989], [Fusè 1990], [Fusè 1993], [Kneißler 1996], [Kneißler1999].

2.2.1 Steckwürfel

2.2.1.1 Beispiel mit zwei TeilenZwei Origami-Blätter werden gemäß Muster gefaltet und je zu einem Körbchen aufgebo-gen. Das getönte Quadrat in der Mitte wird dabei zum Körbchenboden. Die beidenKörbchen stecken wir nun als Boden und Deckel zu einem Würfel zusammen. Beim Zu-sammenstecken ist ein wechselseitiger Innen- Außen- Rhythmus zu beachten.

Talfalt

Bergfalt

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2.2.1.2 Beispiel mit sechs TeilenSechs Origami-Blätter werden je wie folgt gefaltet:

(1) (2) (3) (4)

(5) (6) (7) (8)

(1) Drei parallele Talfalte

(2) Kleine Ecken rechts oben und links unten einbiegen

(3) Unterstes Viertel hinaufklappen

(4) Große Ecke rechts unten einbiegen

(5) Oberstes Viertel darüberklappen

(6) Große Ecke links oben einbiegen und unter heraufgeklapptes unterstes Viertel schie-ben

(7) Umdrehen

(8) Spitze Ecken einbiegen

Anschließend werden die Dreiecke mit den spitzen Ecken von (8) wieder aufgebogen, bissie mit dem verbleibenden Quadrat einen rechten Winkel bilden. Dies ist ein Bauteil.

Wir brauchen sechs solcher Bauteile. Jedes Bauteil ergibt eine Seitenfläche des Würfels.Die spitzen Ecken werden jeweils in die Laschen auf den Außenseiten der Quadrate derbenachbarten Bauteile gesteckt.

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2.2.2 Der Puste-WürfelFür den Puste-Würfel (Aufblas-Würfel) benötigen wir ein einziges Orgami-Blatt. Wirfalten wie folgt:

(1) (2) (3)

(4) (5) (6) (7)

(1) Mittellinien Bergfalt, Diagonalen Talfalt

(2) Waagrechte Mittellinie senkrecht hereinklappen, ober Hälfte kommt nach unten.

(3) Spitze Ecke rechts unten heraufklappen

(4) Ecke auf halber Höhe rechts in Mittellinien hineinklappen

(5) Spickel oben in Lasche hineinschieben

(6) Schritte (3) bis (5) zyklisch für die drei anderen spitzen Ecken wiederholen

(7) Oberes und unteres Dreieck nach hinten und nach vorne biegen, am Schluss aber wie-der gerade biegen.

Unten aufblasen. Nicht erschrecken. Ein Würfel entsteht.

Literatur

[Adam/Wyss 1994] Paul Adam / Arnold Wyss: Platonische und Archimedische Kör-per, ihre Sternformen und polaren Gebilde. 2. Auflage. Bern: Ver-lag Paul Haupt 1994. ISBN 3-258-04943-2

[Chatani 1986] Chatani, Masahiro: Kunstwerke aus Papier. Band 1 und 2. Zürich:Orell Füssli 1986 und 1988. ISBN 3-280-01669-X und 3-280-01834-X

[Chatani 1989] Chatani, Masahiro: Papierkunst. Dreidimensionales Falten. Stutt-gart 1989.

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[Cundy/Rollet 1961] Cundy, H.M. / Rollet, A.P.: Mathematical Models. Oxford: Claren-don Press 1961.

[Fusè 1990] Fusè, Tokomo: Kunstwerke aus Papier. Band 3. Zürich: OrellFüssli 1990. ISBN 3-280-02002-6

[Fusè 1993] Fusè, Tomoko: Unit Origami. Multidimensional Transformations.Tokyo: Japan Publications 1993. ISBN 0-87040-852-6

[Gerdes 1990] Gerdes, Paulus: Ethnogeometrie. Kulturanthropologische Beiträgezur Genese und Didaktik der Geometrie. Bad Salzdetfurth: Franz-becker 1990. ISBN 3-88120-189-0

[Hilton/Pedersen 1994] Hilton, Peter / Pedersen, Jean: Build Your Own Polyhedra. MenloPark: Addison-Wesley 1994. ISBN 0-201-49096-X

[Johnson/Walser 1997.1] Scott Johnson and Hans Walser: Collapsible cubes and othercuriosities. The Australian Mathematics Teacher (vol. 53, no 1,1997), 34-37

[Johnson/Walser 1997.2] Scott Johnson and Hans Walser: Pop-Up Polyhedra. The Ma-thematical Gazette. Vol. 81, November 1997, 364-380

[Kneißler 1996] Kneißler, Irmgard. Kreatives Origami. Ravensburg: RavensburgerBuchverlag 1996. ISBN 3-473-42573-7

[Kneißler 1999] Kneißler, Irmgard: Einfaches Origami. Berlin: Urania-Ravensburger 1999. ISBN 3-332-00731-9

[Lörcher/Rümmele] Lörcher, G. A. / H. Rümmele: Körper falten. Hauptstelle RAA,Heßlerstr. 208-210, D-45329 Essen, 1995

[Pargeter 1959] Pargeter, A.R.: Plaited Polyhedra. The mathematical gazette 43,1959, p. 88-101.

[Pedersen 1981] Pedersen, J.J.: Some Isonemal Fabrics on Polyhedral Surfaces. TheGeometric Vein (The Coxeter Festschrift), ed. by C. Davis, B.Grünbaum and F.A. Sherk. New York, Heidelberg, Berlin: Springer1981, p. 99-122. ISBN 0-387-90587-1

[Steibl 1996] Steibl, Horst: Geometrie aus dem Zettelkasten. Hildesheim: Franz-becker 1996. ISBN 3-88120-269-2

[Walser 1987] Walser, Hans: Flechtmodelle. Didaktik der Mathematik (15), 1-17

[Walser 1994] Walser, Hans: Geometrie zum Anfassen. Mathematik Lehren, Heft65, August 1994, S. 56-59.

[Wenninger 1971] Wenninger, Magnus J.: Polyhedron Models. Cambridge UniversityPress 1971. ISBN 0-521-09859-9

[Zeier 1983] Zeier, Franz: Papier. Versuche zwischen Geometrie und Spiel.Bern: Haupt 1983. ISBN 3-258-03309-9