Upload
others
View
86
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Haos determinist – elemente
introductive
Procesarea Semnalelor – Curs 7
introductive
Gasind sursa de semnal, il putem cunoaste si stapaniGasind sursa de semnal, il putem cunoaste si stapani1
Intuitie
• Ce este haosul determinist ?
�Dezordine aparenta in dimensiunile observabile
cu ochiul liber. De aceea 98% din persoane il
asimileaza cu ideea de nepredictibilitate (de obicei
in lumea in care traim, multe din semnalele carein lumea in care traim, multe din semnalele care
nu sunt intelese se confunda cu random walk fara
drift). GRESIT !
� Haosul determinist: ce vedem de fapt este
generat de o sursa caracterizata de ordine (functie
clara de evolutie) intr-un spatiu cu mai multe
dimensiuni decat cele observabile in mod direct.2
Ce este sursa de semnal ?
Este un sistem dinamic in timp cu traiectorie intr-un spatiu propriu
numit spatiul fazelor (PHASE SPACE).
Q: Ce vedem in dreapta?
A: Semnal = proiectia traiectoriei sursei pe o axa din phase space.
Aici phase space = planul 2D (stanga) si axa de proiectie este axa y. 5
Ce reprezinta de fapt un semnal ?
• Coordonatele sursei de semnal le masuram
pe o axa de proiectie aleasa din Phase Space,
le indexam dupa timp si obtinem un semnal
(discret).(discret).
• Axa de proiectie poate fi orice dreapta din
spatiul fazelor (Phase Space), indiferent de
dimensiunea acestuia.
6
..poate fi oricat. Atractorul Lorentz are Dim(Phase Space) = 3..poate fi oricat. Atractorul Lorentz are Dim(Phase Space) = 3
Dimensiunea PHASE SPACE…
Acum 3 slide-uri am ilustrat
proiectia 2D a traiectoriei
sursei de semnal...7
..poate fi oricat. Atractorul Lorentz are Dim(Phase Space) = 3..poate fi oricat. Atractorul Lorentz are Dim(Phase Space) = 3
… am
Dimensiunea PHASE SPACE…
… am
proiectat-o
din nou pe
aceasta
axa si am
numit-o
semnal !
8
Pana la sfarsitul cursului…
– Plecam de la observatii 1D (semnale discrete)
– Gasim dimensiunea spatiului fazelor
– Efectuam predictie in spatiul fazelor utilizand
elemente de geometrie analitica
– Ele reprezinta metode state-of-the-art de predictie– Ele reprezinta metode state-of-the-art de predictie
neliniara a seriilor de timp.
– De ce ? Se estimeaza traiectoria in phase space
si traiectoria estimata se proiecteaza pe aceeasi
axa
- rezulta estimarea (predictia) semnalului
10
• Definitie (HAOS DETERMINIST): Un sistem
este caracterizat de haos determinist daca:
1) starea prezenta a sistemului este
determinata de conditiile initiale x0 si de o
regula de evolutie f :
((surse de semnal continue)((surse de semnal continue)
sau
(surse discrete de semnal)
Vectorul pozitie in phase space Vectorul viteza instantanee, denumit si
camp de viteze generalizat
(Generalized Vector Field)
11
• si
2) Sistemul are exponent Lyapunov pozitiv siprezinta global mixing (haos):
a) Traiectorii care pleaca din 2 puncte dinphase space separate de distanta sedistanteaza in timp (sensibilitate la conditiileinitiale):initiale):
- λ = exponent Lyapunov. Pt. a exista
haos, trebuie sa fie > 0
b) Traiectoriile prezinta global mixing(apropierea periodica a traiectoriilor)
12
Global mixing – explicatii suplimentare
• Sistemul evolueaza intr-un volum finit din phasespace, unde traiectoria se auto-intersecteaza sauevolueaza dupa un numar crescator asimptotic deorbite distincte topologic:
• Numarul lor creste in timp cu o rata >= 0, numita• Numarul lor creste in timp cu o rata >= 0, numitaentropia topologica (h) dupa relatia:
(pentru sisteme discrete caracterizate de haosdeterminist)
13
Ce “forta” “tine” un sistem haotic
determinist in volum finit ?
• O multime din phase space numita
atractor.
– Intuitiv, exemple din realitate: – Intuitiv, exemple din realitate:
– Soarele – atractorul, planetele: sisteme
deterministe mentinute in echilibru de forta
centrifuga.
Phase space-ul = spatiul 3D in care soarele si
planetele exista
– Gaurile negre (colapseaza traiectoria sistemului)
16
Ce se intampla cand nu exista atractor ?
• Vorbim de sisteme disipative (versus sisteme
haotice deterministe)
atractor17
Ce concluzii se desprind ?
• Pentru ca un semnal sa poata fi estimat (prezis) eltrebuie generat de un sistem haotic cu ocomponenta determinista (poate contine sizgomot). In spatiul fazelor trebuie asadar sa existeun atractor (sa existe global mixing).un atractor (sa existe global mixing).
• Sursele de semnal caracterizate de haosdeterminist produc semnale stationare.
• Daca nu exista atractor nu exista haos deterministsi vorbim de sisteme disipative.
• Sistemele disipative produc semnale nestationare.
18
ATRACTOR - Definitie
Dimensiunea topologica a unei multimi atractor A este ≤ Dimensiunea multimii phase
space M deoarece A⊆M. Daca dim(A) nu este numar intreg, spunem ca atractorul este
straniu (strange attractor)
Dimensiunea topologica a unei multimi atractor A este ≤ Dimensiunea multimii phase
space M deoarece A⊆M. Daca dim(A) nu este numar intreg, spunem ca atractorul este
straniu (strange attractor)
19
Exemplu: Atractor straniu Intuitiv: “Fum intr-o cutie”
Global mixing
In centrul spatiului fazelor:
vector field divergent
Atractorul – la extremitatile
volumului (bounded
phase space)
21
Am pus pe site la
http://neuron.ro/PS/Documentatie%20implementare%20proiecte/Chaos_Theory_Book_-_complete.pdf
cartea “Classical and Quantum Chaos” (735 pagini despre haos)
Pentru mai multe detalii:
- In sectiunea 1.3.1 (pagina 19 din PDF) gasiti o explicatie mai
detaliata a notiunii de haos deterministdetaliata a notiunii de haos determinist
- Tot acolo gasiti si notiunea de entropie topologica
- Cautati “Lyapunov” in PDF, gasiti link in cuprins la sectiunea
8.3
22