havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 8

Getallenverzamelingen

ℕ = positieve gehele getallen

ℤ = ℕ + 0 + negatieve gehele getallen

ℚ = ℤ + gebroken getallen

ℝ = ℚ + irrationele getallen zoals √11 en sin15°

ℂ = ℝ + complexe getallen ( i ).

8.1

De verzameling van de complexe getallenVoor het imaginaire getal i geldt i2 = -1.

vb. x2 = -3x2 = 3 · i2

x = √3 · i v x = -√3 · i x = i√3 v x = -i√3

Een getal van de vorm a + bi met a en b reële getallen enmet i2 = -1 heet een complex getal. ( ℂ )

Bij z = a + bi is het getal a het reële getal van z, notatie a = Re(z).Het getal b is het imaginaire deel van z, notatie Im(z).Het complexe getalz = a – bi heet de geconjugeerde van z.

8.1

Rekenregels voor complexe getallen

8.1

Complexe getallen op de GR

8.1

Vectoren en complexe getallenComplexe getallen worden getekend in het complexe vlak.De reële as is horizontaal en de imaginaire as is verticaal.

De modulus of absolute waarde van een complex getal z isde lengte van de vector die bij het complexe getal hoort.

z = a + bi =

z ·z = z2

z1 · z2 = z1 · z2

2 2a b

8.2

opgave 18

re

im

i

2i

3i

4i

-i

-2i

0

a) Re(z) = 4

(4,0i) , (4,1i)

b) Re(z) = Im(z)

(0,0i) , (1,1i)

c) Re(z) + Im(z) = 2

(0,2i) , (2,0i)

d) Re(z) – 2 Im(z) = 4

(0,-2i) , (4,0i)

a

b

c

d

8.2

opgave 23a

re

im

i

2i

3i

4i

-i

-2i

0

-30° ≤ Arg(z) ≤ 30°

∙

∙8.2

Vermenigvuldigen met poolcoördinatenz1 · z2 = z1 · z2 en

arg(z1 · z2) = arg(z1) + arg(z2)

Delen met poolcoördinaten

De formule van De Moivre(cos φ + i sin φ)n = cos nφ + i sin nφ

11

2 2

zz

z z

11 2

2

arg arg( ) arg( )z

z zz

8.3

De exacte-waarden-cirkel

8.3

De functies f(z) = z + a + bi en f(z) = a · zBij de functie f(z) = z + a + bi hoort de translatie (a, b)

Bij de functie f(z) = az met a een reëel getal hoort de vermenigvuldiging t.o.v. 0 met factor a.

Een nulpunt van de complexe functie f is een getal dat op z = 0 wordt afgebeeld.Je krijgt de nulpunten van f door de vergelijking f(z) = 0 op te lossen.

Een dekpunt van de complexe functie f is een getal dat opzichzelf wordt afgebeeld.Je krijgt de dekpunten van f door de vergelijking f(z) = z op te lossen.

8.4

opgave 49

f(z) = -1½ z + 3 + 2i

a) Teken

verm. met -1½ t.o.v. 0

gevolgd door translatie (3,2)

b) f(z) = 0

-1½ z + 3 + 2i = 0

-1½ z = -3 – 2i

z = 2 + 1⅓ i

Het nulpunt is 2 + 1⅓ i

c) f(z) = z

-1½ z + 3 + 2i = z

-2½ z = -3 – 2i

z = 1 4

15 5

i

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

5i

4i

3i

2i

i

im

-i

-2i

-3i

re

∙ ∙

∙

3+2i

2+4i

∙ ∙

∙

-3- i 3- i

-4i8.4

De functie f(z) = (a + bi)z

Bij de functie f(z) = (a + bi)z hoort de draaivermenigvuldigingdie bestaat uit de rotatie over arg(a + bi) en de vermenigvuldigingten opzichte van 0 met factor a + bi.

8.4

Krachten en complexe getallenBij het rekenen met krachten en snelheden is niet alleen de grootte,maar ook de richting van belang.Het is dan handig om gebruik te maken van vectoren.complex getal z vector in het platte vlakarg(z) richting van de vectorz lengte van de vector

Snelheden en complexe getallenOok van snelheden is vaak de grootte en de richting gegeven.Bij snelheid is het begrip koers van belang.

8.5

opgave 67

Bij de krachten horen de complexe getallen

z1 = 120(cos 0° + i sin 0°) = 120

z2 = 250(cos 35° + i sin 35°)

z3 = 200(cos 100° + i sin 100°)

z4 = 180(cos 170° + i sin 170°)

GR

z1 + z2 + z3 + z4 ≈ 388

arg(z1 + z2 + z3 + z4) ≈ 73°

De resultante heeft een grootte van 388 N en maakt een hoek van

73°.met de horizontale as.

8.5

opgave 71

Bij de snelheden horen de complexe getallen

z1 = 4(cos(-155°) + i sin(-155°))

z2 = 3i

GR

z1 + z2 ≈ 3,9

arg(z1 + z2) ≈ 160°

De resulterende snelheid maakt een hoek van 160° met de horizontale as.

De resulterende snelheid is 3,9 km/u en de koers is 290°.

>

290°

8.5