HÖ thèng kiÕn thøc c¬ b¶n

M«n : H×nh Häc - THCSWebsite: http://quanghieu030778.violet.vn

1. §iÓm - §êng th¼ng- Ngêi ta dïng c¸c ch÷ c¸i in hoa A, B, C, ... ®Ó ®Æt tªn cho ®iÓm- BÊt cø h×nh nµo còng lµ mét tËp hîp c¸c ®iÓm. Mét ®iÓm còng lµ mét h×nh.

- Ngêi ta dïng c¸c ch÷ c¸i thêng a, b, c, ... m, p, ... ®Ó ®Æt tªn cho c¸c ®-êng th¼ng (hoÆc dïng hai ch÷ c¸i in hoa hoÆc dïng hai ch÷ c¸i thêng, vÝ dô ®êng th¼ng AB, xy, ... )- §iÓm C thuéc ®êng th¼ng a (®iÓm C n»m trªn ®êng th¼ng a hoÆc ®-êng th¼ng a ®i qua ®iÓm C), kÝ hiÖu lµ: - §iÓm M kh«ng thuéc ®êng th¼ng a (®iÓm M n»m ngoµi ®êng th¼ng a hoÆc ®êng th¼ng a kh«ng ®i qua ®iÓm M), kÝ hiÖu lµ:

2. Ba ®iÓm th¼ng hµng- Ba ®iÓm cïng thuéc mét ®êng th¼ng ta nãi chóng th¼ng hµng- Ba ®iÓm kh«ng cïng thuéc bÊt k× ®êng th¼ng nµo ta nãi chóng kh«ng th¼ng hµng.

3. §êng th¼ng trïng nhau, c¾t nhau, song song- Hai ®êng th¼ng AB vµ BC nh h×nh vÏ bªn lµ hai ®êng th¼ng trïng nhau.- Hai ®êng th¼ng chØ cã mét ®iÓm chung ta nãi chóng c¾t nhau, ®iÓm chung ®ã ®îc gäi lµ giao ®iÓm (®iÓm E lµ giao ®iÓm)- Hai ®êng th¼ng kh«ng cã ®iÓm chung nµo, ta nãi chóng song song víi nhau, kÝ hiÖu xy//zt4. Kh¸i niÖm vÒ tia, hai tia ®èi nhau, hai tia trïng nhau

- H×nh gåm ®iÓm O vµ mét phÇn ®êng th¼ng bÞ chia ra bëi ®iÓm O ®îc gäi lµ mét tia gèc O (cã hai tia Ox vµ Oy nh h×nh vÏ)- Hai tia chung gèc t¹o thµnh ®êng th¼ng ®îc gäi lµ hai tia ®èi nhau (hai tia Ox vµ Oy trong h×nh vÏ lµ hai tia ®èi nhau)

- Hai tia chung gèc vµ tia nµy n»m trªn tia kia ®îc gäi lµ hai tia trïng nhau- Hai tia AB vµ Ax lµ hai tia trïng nhau

5. §o¹n th¼ng, ®é dµi ®o¹n th¼ng- §o¹n th¼ng AB lµ h×nh gåm ®iÓm A, ®iÓm B vµ tÊt c¶ c¸c ®iÓm n»m gi÷a A vµ B- Hai ®iÓm A vµ B lµ hai mót (hoÆc hai ®Çu) cña ®o¹n th¼ng AB.

- Mçi ®o¹n th¼ng cã mét ®é dµi. §é dµi ®o¹n th¼ng lµ mét sè d¬ng

6. Khi nµo th× AM + MB = AB ?- NÕu ®iÓm M n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ B th× AM + MB = AB. Ngîc l¹i, nÕu AM + MB = AB th× ®iÓm M n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ B7. Trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng- Trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB lµ ®iÓm n»m gi÷a A, B vµ c¸ch ®Òu A, B (MA = MB)- Trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB cßn gäi lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña ®o¹n th¼ng AB8. Nöa mÆt ph¼ng bê a, hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau- H×nh gåm ®êng th¼ng a vµ mét phÇn mÆt ph¼ng bÞ chia ra bëi a ®îc gäi lµ mét nöa mÆt ph¼ng bê a- Hai nöa mÆt ph¼ng cã chung bê ®îc gäi lµ hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau (hai nöa mÆt ph¼ng (I) vµ (II) ®èi nhau)

9. Gãc, gãc bÑt- Gãc lµ h×nh gåm hai tia chung gèc, gèc chung cña hai tia gäi lµ ®Ønh cña gãc, hai tia lµ hai c¹nh cña gãc

- Gãc xOy kÝ hiÖu lµ hoÆc

hoÆc - §iÓm O lµ ®Ønh cña gãc- Hai c¹nh cña gãc : Ox, Oy- Gãc bÑt lµ gãc cã hai c¹nh lµ hai tia ®èi nhau

10. So s¸nh hai gãc, gãc vu«ng, gãc nhän, gãc tï.

- So s¸nh hai gãc b»ng c¸ch so s¸nh c¸c sè ®o cña chóng- Hai gãc xOy vµ uIv b»ng nhau ®îc

kÝ hiÖu lµ:

- Gãc xOy nhá h¬n gãc uIv, ta viÕt:

- Gãc cã sè ®o b»ng 900 = 1v, lµ gãc vu«ng- Gãc nhá h¬n gãc vu«ng lµ gãc nhän- Gãc lín h¬n gãc vu«ng nhng nhá h¬n gãc bÑt lµ gãc tï.

11. Khi nµo th× - NÕu tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox vµ

Oz th× .

- Ngîc l¹i, nÕu th×

tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox vµ Oz

12. Hai gãc kÒ nhau, phô nhau, bï nhau, kÒ bï- Hai gãc kÒ nhau lµ hai gãc cã mét c¹nh chung vµ hai c¹nh cßn l¹i n»m trªn hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau cã bê chøa c¹nh chung.- Hai gãc phô nhau lµ hai gãc cã tæng sè ®o b»ng 900

- Hai gãc bï nhau lµ hai gãc cã tæng sè ®o b»ng 1800

- Hai gãc võa kÒ nhau, võa bï nhau ®îc gäi lµ hai gãc kÒ bï

13. Tia ph©n gi¸c cña gãc

- Tia ph©n gi¸c cña mét gãc lµ tia n»m gi÷a hai c¹nh cña gãc vµ t¹o víi hai c¹nh Êy hai gãc b»ng nhau

- Khi:

=> tia Oz lµ tia ph©n gi¸c cña gãc xOy- §êng th¼ng chøa tia ph©n gi¸c cña mét gãc lµ ®êng ph©n gi¸c cña gãc ®ã (®êng th¼ng mn lµ ®êng ph©n gi¸c cña gãc xOy)

14. §êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng

a) §Þnh nghÜa: §êng th¼ng vu«ng gãc víi mét ®o¹n th¼ng t¹i trung ®iÓm cña nã ®îc gäi lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng Êyb) Tæng qu¸t:

a lµ ®êng trung trùc cña AB

15. C¸c gãc t¹o bëi mét ®êng th¼ng c¾t hai ®êng th¼ng

a) C¸c cÆp gãc so le trong:

; .

b) C¸c cÆp gãc ®ång vÞ:

; ;

; .

c) Khi a//b th×:

; gäi lµ c¸c cÆp

gãc trong cïng phÝa bï nhau

16. Hai ®êng th¼ng song songa) DÊu hiÖu nhËn biÕt- NÕu ®êng th¼ng c c¾t hai ®êng th¼ng a, b vµ trong c¸c gãc t¹o thµnh cã mét cÆp gãc so le trong b»ng nhau (hoÆc mét cÆp gãc ®ång vÞ b»ng nhau) th× a vµ b song song víi nhau

b) Tiªn ®Ò ¥_clÝt- Qua mét ®iÓm ë ngoµi mét ®êng th¼ng chØ cã mét ®êng th¼ng song song víi ®êng th¼ng ®ã

c, TÝnh chÊt hai ®êng th¼ng song song

a

I BA

14

23

43 2

1

b

a

B

A

c

b

a

b

a

M

- NÕu mét ®êng th¼ng c¾t hai ®êng th¼ng song song th×: Hai gãc so le trong b»ng nhau; Hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau; Hai gãc trong cïng phÝa bï nhau.

d) Quan hÖ gi÷a tÝnh vu«ng gãc víi tÝnh song song- Hai ®êng th¼ng ph©n biÖt cïng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng thø ba th× chóng song song víi nhau

- Mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mét trong hai ®êng th¼ng song song th× nã còng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng kia

e) Ba ®êng th¼ng song song- Hai ®êng th¼ng ph©n biÖt cïng song song víi mét ®êng th¼ng thø ba th× chóng song song víi nhau

a//c vµ b//c => a//b

17. Gãc ngoµi cña tam gi¸ca) §Þnh nghÜa: Gãc ngoµi cña mét tam gi¸c lµ gãc kÒ bï víi mét gãc cña tam gi¸c Êyb) TÝnh chÊt: Mçi gãc ngoµi cña tam gi¸c b»ng tæng hai gãc trong kh«ng kÒ víi nã

18. Hai tam gi¸c b»ng nhau

cb

a

cb

a

c

b

a

xCB

A

a) §Þnh nghÜa: Hai tam gi¸c b»ng nhau lµ hai tam gi¸c cã c¸c c¹nh t¬ng øng b»ng nhau, c¸c gãc t¬ng øng b»ng nhau

b) C¸c trêng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c*) Trêng hîp 1: C¹nh - C¹nh - C¹nh

(c.c.c)- NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy b»ng ba c¹nh cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau

*) Trêng hîp 2: C¹nh - Gãc - C¹nh(c.g.c)

- NÕu hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam gi¸c nµy b»ng hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau

*) Trêng hîp 3: Gãc - C¹nh - Gãc (g.c.g)

C'

B'

A'CB

C'

B'

A'CB

A

C'B'

A'CB

A

A

- NÕu mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam gi¸c nµy b»ng mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau

c) C¸c trêng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c vu«ng Trêng hîp 1: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng

hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.

Trêng hîp 2: NÕu mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.

Trêng hîp 3: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.

A

B CA'

B'

C'

C'

B'

A'C

B

A

C'

B'

A'C

B

A

Trêng hîp 4: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.

19. Quan hÖ gi÷a c¸c yÕu tè trong tam gi¸c (quan hÖ gi÷a gãc vµ c¹nh ®èi diÖn trong tam gi¸c)

- Trong mét tam gi¸c, gãc ®èi diÖn víi c¹nh lín h¬n lµ gãc lín h¬n

Trong mét tam gi¸c, c¹nh ®èi diÖn víi gãc lín h¬n th× lín h¬n

20. Quan hÖ gi÷a ®êng vu«ng gãc vµ ®êng xiªn, ®êng xiªn vµ h×nh chiÕu Kh¸i niÖm ®êng vu«ng gãc, ®êng xiªn, h×nh chiÕu cña ®êng

xiªn- :- §o¹n th¼ng AH gäi lµ ®êng vu«ng gãc kÎ tõ A ®Õn ®êng th¼ng d- §iÓm H gäi lµ h×nh chiÕu cña A trªn ®êng th¼ng d- §o¹n th¼ng AB gäi lµ mét ®êng xiªn kÎ tõ A ®Õn ®êng th¼ng d- §o¹n th¼ng HB gäi lµ h×nh chiÕu cña ®êng xiªn AB trªn ®.th¼ng d

Quan hÖ gi÷a ®êng xiªn vµ ®êng vu«ng gãc: Trong c¸c ®êng xiªn vµ ®êng vu«ng gãc kÎ tõ mét ®iÓm ë ngoµi mét ®êng th¼ng ®Õn ®êng th¼ng ®ã, ®êng vu«ng gãc lµ ®êng ng¾n nhÊt.

Quan hÖ gi÷a ®êng xiªn vµ h×nh chiÕu:

A

B

C A'

B'

C'

C'

B'

A'C

B

A

A

B C

dBH

A

Trong hai ®êng xiªn kÎ tõ mét ®iÓm n»m ngoµi mét ®êng th¼ng ®Õn ®êng th¼ng ®ã, th×:

§êng xiªn nµo cã h×nh chiÕu lín h¬n th× lín h¬n §êng xiªn nµo lín h¬n th× cã h×nh chiÕu lín h¬n NÕu hai ®êng xiªn b»ng nhau th× hai h×nh chiÕu b»ng nhau vµ ngîc

l¹i, nÕu hai h×nh chiÕu b»ng nhau th× hai ®êng xiªn b»ng nhau.

21. Quan hÖ gi÷a ba c¹nh cña mét tam gi¸c. BÊt ®¼ng thøc tam gi¸c

- Trong mét tam gi¸c, tæng ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng lín h¬n ®é dµi c¹nh cßn l¹i.

AB + AC > BCAB + BC > ACAC + BC > AB

- Trong mét tam gi¸c, hiÖu ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng nhá h¬n ®é dµi c¹nh cßn l¹i.

AC - BC < ABAB - BC < ACAC - AB < BC

- NhËn xÐt : Trong mét tam gi¸c, ®é dµi mét c¹nh bao giê còng lín h¬n hiÖu vµ nhá h¬n tæng ®é dµi hai c¹nh cßn l¹i.

VD: AB - AC < BC < AB + AC

21. TÝnh chÊt ba ®êng trung tuyÕn cña tam gi¸c- Ba ®êng trung tuyÕn cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm ®ã c¸ch mçi ®Ønh

mét kho¶ng b»ng ®é dµi ®êng trung

tuyÕn ®i qua ®Ønh Êy:

G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC

22. TÝnh chÊt ba ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c- Ba ®êng ph©n gi¸c cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm nµy c¸ch ®Òu ba c¹nh cña tam gi¸c ®ã

- §iÓm O lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC

23. TÝnh chÊt ba ®êng trung trùc cña tam gi¸c

CB

A

G

D

F E

CB

A

O

CB

A

- Ba ®êng trung trùc cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm nµy c¸ch ®Òu ba ®Ønh cña tam gi¸c ®ã

- §iÓm O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC

24. Ph¬ng ph¸p chøng minh mét sè bµi to¸n c¬ b¶n (sö dông mét trong c¸c c¸ch sau ®©y)

a) Chøng minh tam gi¸c c©n1. Chøng minh tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng nhau2. Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau3. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®êng trung tuyÕn võa lµ ®êng cao4. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®êng cao võa lµ ®êng ph©n gi¸c ë

®Ønhb) Chøng minh tam gi¸c ®Òu

1. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba c¹nh b»ng nhau2. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba gãc b»ng nhau3. Chøng minh tam gi¸c c©n cã mét gãc lµ 600

c) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh b×nh hµnh1. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi song song lµ h×nh b×nh hµnh2. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh3. Tø gi¸c cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau lµ h×nh b×nh

hµnh4. Tø gi¸c cã c¸c gãc ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh5. Tø gi¸c cã hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng

lµ h×nh b×nh hµnhd) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thang: Ta chøng minh tø gi¸c ®ã cã hai c¹nh ®èi song songe) Chøng minh mét h×nh thang lµ h×nh thang c©n

1. Chøng minh h×nh thang cã hai gãc kÒ mét ®¸y b»ng nhau2. Chøng minh h×nh thang cã hai ®êng chÐo b»ng nhau

f) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh ch÷ nhËt1. Tø gi¸c cã ba gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt2. H×nh thanh c©n cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt3. H×nh b×nh hµnh cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt4. H×nh b×nh hµnh cã hai ®êng chÐo b»ng nhau lµ h×nh ch÷ nhËt

g) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thoi1. Tø gi¸c cã bèn c¹nh b»ng nhau2. H×nh b×nh hµnh cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau3. H×nh b×nh hµnh cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau4. H×nh b×nh hµnh cã mét ®êng chÐo lµ ®êng ph©n gi¸c cña mét

gãch) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh vu«ng

1. H×nh ch÷ nhËt cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau2. H×nh ch÷ nhËt cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc3. H×nh ch÷ nhËt cã mét ®êng chÐo lµ ®êng ph©n gi¸c cña mét

gãc4. H×nh thoi cã mét gãc vu«ng

O

CB

A

5. H×nh thoi cã hai ®êng chÐo b»ng nhau25. §êng trung b×nh cña tam gi¸c, cña h×nh thanga) §êng trung b×nh cña tam gi¸c

§Þnh nghÜa: §êng trung b×nh cña tam gi¸c lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh cña tam gi¸c

§Þnh lÝ: §êng trung b×nh cña tam gi¸c th× song song víi c¹nh thø ba vµ b»ng nöa c¹nh Êy

DE lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c

b) §êng trung b×nh cña h×nh thang §Þnh nghÜa: §êng trung b×nh cña h×nh thang lµ ®o¹n th¼ng nèi

trung ®iÓm hai c¹nh bªn cña h×nh thang §Þnh lÝ: §êng trung b×nh cña h×nh thang th× song song víi hai ®¸y

vµ b»ng nöa tæng hai ®¸yEF lµ ®êng trung b×nh cña

h×nh thang ABCD

EF//AB, EF//CD,

26. Tam gi¸c ®ång d¹nga) §Þnh lÝ Ta_lÐt trong tam gi¸c: - NÕu mét ®êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c vµ c¾t hai c¹nh cßn l¹i th× nã ®Þnh ra trªn hai c¹nh ®ã nh÷ng ®o¹n th¼ng t¬ng øng tØ lÖ

b) §Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Ta_lÐt: - NÕu mét ®êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ ®Þnh ra trªn hai c¹nh nµy nh÷ng ®o¹n th¼ng t¬ng øng tØ lÖ th× ®êng th¼ng ®ã song song víi c¹nh cßn l¹i cña tam gi¸c

VÝ dô: ; C¸c trêng hîp kh¸c t¬ng tù

c) HÖ qu¶ cña ®Þnh lÝ Ta_lÐt- NÕu mét ®êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ song song víi c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thµnh mét tam gi¸c míi cã ba c¹nh t¬ng øng tØ lÖ víi ba c¹nh cña tam gi¸c ®· cho. HÖ qu¶ cßn ®óng trong trêng hîp ®êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c

E

CB

D

A

FE

D C

BA

C'B' a

CB

A

vµ c¾t phÇn kÐo dµi cña hai c¹nh cßn l¹i (

)

d) TÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c: - §êng ph©n gi¸c trong (hoÆc ngoµi) cña mét tam gi¸c chia c¹nh ®èi diÖn thµnh hai ®o¹n tØ lÖ víi hai c¹nh kÒ cña hai ®o¹n ®ã

e) §Þnh nghÜa hai tam gi¸c ®ång d¹ng : - Hai tam gi¸c ®ång d¹ng lµ hai tam gi¸c cã c¸c gãc t¬ng øng b»ng nhau vµ c¸c c¹nh t¬ng øng tØ lÖ

f) §Þnh lÝ vÒ hai tam gi¸c ®ång d¹ng: - NÕu mét ®êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ song song víi c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thµnh mét tam gi¸c míi ®ång d¹ng víi tam gi¸c ®· cho

*) Lu ý: §Þnh lÝ còng ®óng ®èi víi trêng hîp ®êng th¼ng c¾t phÇn kÐo dµi hai c¹nh cña tam gi¸c vµ song song víi c¹nh cßn l¹i

g) C¸c trêng hîp ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c*)Trêng hîp 1: NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy tØ lÖ víi ba c¹nh cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång d¹ng.

C'B'a

CB

A

C' B'a

CB

A

D'CB

A

D CB

A

aNM

CB

A

S

S

*)Trêng hîp 2: NÕu hai c¹nh cña tam gi¸c nµy tØ lÖ víi hai c¹nh cña tam gi¸c kia vµ hai gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®ã b»ng nhau th× hai tam gi¸c ®ång d¹ng

*)Trêng hîp 3: NÕu hai gãc cña tam gi¸c nµy lÇn lît b»ng hai gãc cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ång d¹ng;

h) C¸c trêng hîp ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c vu«ng*)Trêng hîp 1: NÕu hai tam gi¸c vu«ng cã mét gãc nhän b»ng nhau th× chóng ®ång d¹ng.

C'

B'

A'

CB

A

C'B'

A'

CB

A

C'

B'

A'

CB

A

S

S

S

*)Trêng hîp 2: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy tØ lÖ víi hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång d¹ng.

*)Trêng hîp 3: NÕu c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng nµy tØ lÖ víi c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai gi¸c ®ã ®ång d¹ng.

27. TØ sè hai ®êng cao, tØ sè diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng

- TØ sè hai ®êng cao t¬ng øng cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng tØ sè ®ång d¹ng

- TØ s« diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng b×nh ph¬ng tØ sè ®ång d¹ng

- Cô thÓ :

=>

28. DiÖn tÝch c¸c h×nh

C'

B'

A’C

B

A

C'

B'

A'

C

B

A

S

SS

S

29. Häc sinh cÇn n¾m v÷ng c¸c bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n (dïng thíc th¼ng, thíc ®o ®é, thíc cã chia kho¶ng, compa, ªke)

a) Dùng mét ®o¹n th¼ng b»ng mét ®o¹n th¼ng cho tríc;b) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tríc;c) Dùng ®êng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng cho tríc, dùng trung ®iÓm cña mét ®o¹n th¼ng cho tríc;d) Dùng tia ph©n gi¸c cña mét gãc cho tríc;e) Qua mét ®iÓm cho tríc, dùng ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mét ®êng th¼ng cho tríc;f) Qua mét ®iÓm n»m ngoµi mét ®êng th¼ng cho tríc, dùng ®êng th¼ng song song víi mét ®êng th¼ng cho tríc;g) Dùng tam gi¸c biÕt ba c¹nh, hoÆc biÕt hai c¹nh kÒ vµ gãc xen gi÷a, hoÆc biÕt mét c¹nh vµ hai gãc kÒ.

30. HÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng (líp 9)

a) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng

ah

a

ha

FE

b

ha

ha

d1

d2

ab h

a

(Pi_ta_go) bc = ah

b) TØ sè lîng gi¸c cña gãc nhän

§Þnh nghÜa c¸c tØ sè lîng gi¸c cña gãc nhän

Mét sè tÝnh chÊt cña c¸c tØ sè lîng gi¸c+) §Þnh lÝ vÒ tØ sè lîng gi¸c cña hai gãc phô nhau Cho hai gãc α vµ β phô nhau. Khi ®ã: sinα = cosβ; tgα = cotgβ; cosα = sinβ; cotgα = tgβ.+) Cho . Ta cã:

So s¸nh c¸c tØ sè lîng gi¸c

c) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng

b = a.sinB; c = a.sinCb = a.cosC; c = a.cosBb = c.tgB; c = b.tgCb = c.cotgC; c = b.cotgB

=> a =

31. §êng trßn, h×nh trßn, gãc ë t©m, sè ®o cung

aH

hb'

b

c'

c

CB

A

α

- §êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R lµ h×nh gåm c¸c ®iÓm c¸ch O mét kho¶ng b»ng R, kÝ hiÖu (O ; R).- H×nh trßn lµ h×nh gåm c¸c ®iÓm n»m trªn ®êng trßn vµ c¸c ®iÓm n»m bªn trong ®êng trßn ®ã.- Trªn h×nh vÏ:+) C¸c ®iÓm A, B, C, D n»m trªn (thuéc) ®êng trßn; OA = OB = OC = OD = R. +) M n»m bªn trong ®êng trßn; OM < R+) N n»m bªn ngoµi ®êng trßn; ON > R+) §o¹n th¼ng AB lµ d©y cung (d©y)+) CD = 2R, lµ ®êng kÝnh (d©y cung lín nhÊt, d©y ®i qua t©m)+) lµ cung nhá ( )

+) lµ cung lín +) Hai ®iÓm A, B lµ hai mót cña cung- Gãc cã ®Ønh trïng víi t©m ®êng trßn ®îc gäi lµ gãc ë t©m ( lµ gãc ë t©m ch¾n cung nhá AmB)- Gãc bÑt COD ch¾n nöa ®êng trßn- Sè ®o cung:

+) Sè ®o cña cung nhá b»ng sè ®o cña gãc ë t©m ch¾n cung ®ã

( )+) Sè ®o cña cung lín b»ng hiÖu gi÷a 3600 vµ sè ®o cña cung nhá (cã chung hai mót víi cung lín)

+) Sè ®o cña nöa ®êng trßn b»ng 1800, sè ®o cña c¶ ®êng trßn b»ng 3600

32. Quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®êng kÝnh vµ d©y- Trong mét ®êng trßn, ®êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy

AB t¹i H => HC = HD- Trong mét ®êng trßn, ®êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy

33. Liªn hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y

§Þnh lÝ 1: Trong mét ®êng trßna) Hai d©y b»ng nhau th× c¸ch ®Òu t©mb) Hai d©y c¸ch ®Òu t©m th× b»ng nhau

AB = CD => OH = OKOH = OK => AB = CD

§Þnh lÝ 2: Trong hai d©y cña mét ®êng trßn a) D©y nµo lín h¬n th× d©y ®ã gÇn t©m h¬nb) D©y nµo gÇn t©m h¬n th× d©y ®ã lín h¬n

AB < CD => OH > OKOH > OK => AB < CD

34. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ ®êng trßna) §êng th¼ng vµ ®êng trßn c¾t nhau (cã hai ®iÓm chung)

- §êng th¼ng a gäi lµ c¸t tuyÕn cña (O)

d = OH < R vµ HA = HB =

b) §êng th¼ng vµ ®êng trßn tiÕp xóc nhau (cã mét ®iÓm chung)- §êng th¼ng a lµ tiÕp tuyÕn cña (O)- §iÓm chung H lµ tiÕp ®iÓm

d = OH = R*) TÝnh chÊt tiÕp tuyÕn: NÕu mét ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn th× nã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm.

a lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i H => a c) §êng th¼ng vµ ®êng trßn kh«ng giao nhau (kh«ng cã ®iÓm chung)

d = OH > R

35. DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn- §Ó nhËn biÕt mét ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn ta cã hai dÊu hiÖu sau:

DÊu hiÖu 1: §êng th¼ng vµ ®êng trßn chØ cã mét ®iÓm chung (®Þnh nghÜa tiÕp tuyÕn)

DÊu hiÖu 2: §êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña ®êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua ®iÓm ®ã

36. TÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau; ®êng trßn néi tiÕp, bµng tiÕp tam gi¸ca) §Þnh lÝ: NÕu hai tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn c¾t nhau t¹i mét ®iÓm th×:

§iÓm ®ã c¸ch ®Òu hai tiÕp ®iÓm

Tia kÎ tõ ®iÓm ®ã ®i qua t©m lµ tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai tiÕp tuyÕn

Tia kÎ tõ t©m ®i qua ®iÓm ®ã lµ tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai b¸n kÝnh ®i qua c¸c tiÕp ®iÓm. ;

b) §êng trßn nét tiÕp tam gi¸c- §êng trßn tiÕp xóc víi ba c¹nh cña tam gi¸c ®îc gäi lµ ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c, khi ®ã tam gi¸c gäi lµ tam gi¸c ngo¹i tiÕp ®êng trßn- T©m cña ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña c¸c ®êng ph©n gi¸c c¸c gãc trong cña tam gi¸cc) §êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c- §êng trßn tiÕp xóc víi mét c¹nh cña mét tam gi¸c vµ tiÕp xóc víi c¸c phÇn kÐo dµi cña hai c¹nh kia gäi lµ ®êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c- T©m cña ®êng trßn bµng tiÕp lµ giao ®iÓm cña hai ®êng ph©n gi¸c c¸c gãc ngoµi t¹i hai ®Ønh nµo ®ã hoÆc lµ giao ®iÓm cña mét ®êng ph©n gi¸c gãc trong vµ mét ®êng ph©n gi¸c gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh

- Víi mét tam gi¸c cã ba ®êng trßn bµng tiÕp (h×nh vÏ lµ ®êng trßn bµng tiÕp trong gãc A)

37. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng trßn, tiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn.a) Hai ®êng trßn c¾t nhau

(cã hai ®iÓm chung)- Hai ®iÓm A, B lµ hai giao ®iÓm- §o¹n th¼ng AB lµ d©y chung

- §êng th¼ng OO’ lµ ®êng nèi t©m, ®o¹n th¼ng OO’ lµ ®o¹n nèi t©m*) TÝnh chÊt ® êng nèi t©m : §êng nèi t©m lµ ®êng trung trùc cña d©y chungb) Hai ®êng trßn tiÕp xóc nhau

(cã mét ®iÓm chung)- §iÓm chung A gäi lµ tiÕp ®iÓm

+) TiÕp xóc ngoµi t¹i A:

+) TiÕp xóc trong t¹i A:

c) Hai ®êng trßn kh«ng giao nhau(kh«ng cã ®iÓm chung)

+) ë ngoµi nhau:

+) §ùng nhau:

+) §Æc biÖt (O) vµ (O’) ®ång t©m:

d) TiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn- TiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn lµ ®êng th¼ng tiÕp xóc víi c¶ hai ®êng trßn ®ã

- TiÕp tuyÕn chung ngoµi kh«ng c¾t ®o¹n nèi t©m- TiÕp tuyÕn chung trong c¾t ®o¹n nèi t©m

38. So s¸nh hai cung trong mét ®êng trßn hay trong hai ®êng trßn b»ng nhau.- Hai cung ®îc gäi lµ b»ng nhau nÕu chóng cã sè ®o b»ng nhau- Trong hai cung, cung nµo cã sè ®o lín h¬n ®îc gäi lµ cung lín h¬n

- KÝ hiÖu:

39. Liªn hÖ gi÷a cung vµ d©y.*) §Þnh lÝ 1: Víi hai cung nhá trong mét ®êng trßn hay trong hai ®êng trßn b»ng nhau:

a) Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhaub) Hai d©y b»ng nhau c¨ng hai cung b»ng nhau

*) §Þnh lÝ 2: Víi hai cung nhá trong mét ®êng trßn hay trong hai ®êng trßn b»ng nhau:

a) Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬nb) D©y lín h¬n c¨ng cung lín h¬n

40. Gãc néi tiÕpa) §Þnh nghÜa:- Gãc néi tiÕp lµ gãc cã ®Ønh n»m trªn ®-êng trßn vµ hai c¹nh chøa hai d©y cung cña ®êng trßn ®ã. - Cung n»m bªn trong gãc ®îc gäi lµ cung bÞ ch¾nb) §Þnh lÝ:Trong mét ®êng trßn, sè ®o cña gãc néi tiÕp b»ng nöa sè ®o cña cung bÞ ch¾n

lµ gãc néi tiÕp ch¾n cung nhá BC(h×nh a) vµ ch¾n cung lín BC(h×nh b)

s®

c) HÖ qu¶: Trong mét ®¬ng trßn+) C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n c¸c cung b»ng nhau+) C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n c¸c cung b»ng nhau th× b»ng nhau+) Gãc néi tiÕp (nhá h¬n hoÆc b»ng 900) cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung+) Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn lµ gãc vu«ng.

41. Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung

a) Kh¸i niÖm:- Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung lµ gãc cã ®Ønh n»m trªn ®êng trßn, mét c¹nh lµ mét tia tiÕp tuyÕn cßn c¹nh kia chøa d©y cung cña ®êng trßn- Cung n»m bªn trong gãc lµ cung bÞ ch¾n- H×nh vÏ:

ch¾n cung nhá AmB

ch¾n cung lín AnB

b) §Þnh lÝ:- Sè ®o cña gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung b»ng nöa sè ®o cña cung bÞ ch¾nc) HÖ qu¶:Trong mét ®êng trßn, gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau.

s®

42. Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®êng trßn. Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®-êng trßn.a) Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®êng trßn.- Gãc cã ®Ønh n»m bªn trong ®êng trßn ®îc gäi lµ gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®êng trßn- H×nh vÏ: lµ gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®-

êng trßn ch¾n hai cung lµ

- Sè ®o cña gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®êng trßn b»ng nöa tæng sè ®o hai cung bÞ ch¾n

n

m

o

e

c

b

ad

b) Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®êng trßn.- Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®êng trßn lµ gãc cã ®Ønh n»m ngoµi ®êng trßn vµ c¸c c¹nh ®Òu cã ®iÓm chung víi ®êng trßn- Hai cung bÞ ch¾n lµ hai cung n»m bªn trong gãc, h×nh vÏ bªn: lµ gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®êng trßn, cã hai cung bÞ ch¾n lµ

- Sè ®o cña gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®êng trßn b»ng nöa hiÖu sè ®o hai cung bÞ ch¾n

E

O

D

B

C

A m

n

43. KÕt qu¶ bµi to¸n quü tÝch cung chøa gãca) Bµi to¸n: Víi ®o¹n th¼ng AB vµ gãc (

) cho tríc th× quü tÝch c¸c ®iÓm

M tháa m·n lµ hai cung chøa gãc dùng trªn ®o¹n th¼ng AB

- Hai cung chøa gãc dùng trªn ®o¹n th¼ng AB ®èi xøng víi nhau qua AB

- Khi α = 900 th× hai cung chøa gãc lµ hai nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB, suy ra: Quü tÝch c¸c ®iÓm nh×n ®o¹n th¼ng AB cho tríc díi mét gãc vu«ng lµ ®êng trßn ®êng kÝnh AB (¸p dông kiÕn thøc nµy ®Ó chøng minh tø gi¸c néi tiÕp)

b) C¸ch vÏ cung chøa gãc α- VÏ ®êng trung trùc d cña ®o¹n th¼ng AB.- VÏ tia Ax t¹o víi AB mét gãc ( = )- VÏ tia Ay vu«ng gãc víi tia Ax . Gäi O lµ giao ®iÓm cña Ay víi d - VÏ cung AmB, t©m O b¸n kÝnh OA sao cho cung nµy n»m ë nöa mÆt ph¼ng bê AB kh«ng chøa tia Ax.

c) C¸ch gi¶i bµi to¸n quü tÝchMuèn chøng minh quü tÝch (hay tËp hîp) c¸c ®iÓm M tháa m·n tÝnh chÊt T lµ mét h×nh H nµo ®ã, ta chøng minh hai phÇn:PhÇn thuËn: Mäi ®iÓm cã tÝnh chÊt T ®Òu thuéc h×nh H PhÇn ®¶o: Mäi ®iÓm thuéc h×nh H ®Òu cã tÝnh chÊt T KÕt luËn: Quü tÝch (hay tËp hîp) c¸c ®iÓm M cã tÝnh chÊt T lµ h×nh H44. Tø gi¸c néi tiÕp

1

23

a) Kh¸i niÖm tø gi¸c néi tiÕp- Mét tø gi¸c cã bèn ®Ønh n»m trªn mét ®êng trßn ®îc gäi lµ tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn (gäi t¾t lµ tø gi¸c néi tiÕp)

b) §Þnh lÝ:- Trong mét tø gi¸c néi tiÕp, tæng sè ®o hai gãc ®èi diÖn b»ng 1800

Tø gi¸c ABCD néi tiÕp (O), suy ra:

c) DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800

Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn

Tø gi¸c cã bèn ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm (mµ ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®îc). §iÓm ®ã lµ t©m cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c

Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i díi mét gãc α

L u ý: §Ó chøng minh mét tø gi¸c lµ tø gi¸c néi tiÕp ta cã thÓ chøng minh tø gi¸c ®ã lµ mét trong c¸c h×nh : H×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng, h×nh thang c©n.45. §êng trßn ngo¹i tiÕp. §êng trßn néi tiÕp- §êng trßn ®i qua tÊt c¶ c¸c ®Ønh cña mét ®a gi¸c ®îc gäi lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp ®a gi¸c vµ ®a gi¸c ®îc gäi lµ ®a gi¸c néi tiÕp ®-êng trßn- §êng trßn tiÕp xóc víi tÊt c¶ c¸c c¹nh cña mét ®a gi¸c ®îc gäi lµ ®êng trßn néi tiÕp ®a gi¸c vµ ®a gi¸c ®îc gäi lµ ®a gi¸c ngo¹i tiÕp ®êng trßn

- BÊt k× ®a gi¸c ®Òu nµo còng cã mét vµ chØ mét ®êng trßn ngo¹i tiÕp, cã mét vµ chØ mét ®êng trßn néi tiÕp.

- Trong ®a gi¸c ®Òu, t©m cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp trïng víi t©m cña ®êng trßn néi tiÕp vµ ®îc gäi lµ t©m cña ®a gi¸c ®Òu.

46. Mét sè ®Þnh lÝ ®îc ¸p dông : (kh«ng cÇn chøng minh)a) §Þnh lÝ 1:

+) T©m cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c vu«ng lµ trung ®iÓm cña c¹nh huyÒn+) NÕu mét tam gi¸c cã mét c¹nh lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp th× tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c vu«ng

b) §Þnh lÝ 2:

I

Trong mét ®êng trßn, hai cung bÞ ch¾n gi÷a hai d©y song song th× b»ng nhau

c) §Þnh lÝ 3:Trong mét ®êng trßn, ®êng kÝnh ®i qua ®iÓm chÝnh gi÷a cña mét cung th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y c¨ng cung Êy.

d) §Þnh lÝ 4: Trong mét ®êng trßn, ®êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y cung (kh«ng ph¶i lµ ®êng kÝnh) th× chia cung c¨ng d©y Êy thµnh hai cung b»ng nhau

e) §Þnh lÝ 5:Trong mét ®êng trßn, ®êng kÝnh ®i qua ®iÓm chÝnh gi÷a cña mét cung th× vu«ng gãc víi d©y c¨ng cung Êy vµ ngîc l¹i, ®êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung c¨ng d©y Êy.

47. §é dµi ®êng trßn, ®é dµi cung trßn, diÖn tÝch h×nh trßn, diÖn tÝch h×nh qu¹t trßna) §é dµi ®êng trßnC«ng thøc tÝnh ®é dµi ®êng trßn (chu vi h×nh trßn) b¸n kÝnh R lµ: HoÆc Trong ®ã: C : lµ ®é dµi ®êng trßn R: lµ b¸n kÝnh ®êng trßn d: lµ ®êng kÝnh ®êng trßn

lµ sè v« tØ.

b) §é dµi cung trßn

§é dµi cung trßn n0 lµ:

Trong ®ã: l : lµ ®é dµi cung trßn n0

R: lµ b¸n kÝnh ®êng trßn n: lµ sè ®o ®é cña gãc ë t©m

c) DiÖn tÝch h×nh trßn

Trong ®ã: S : lµ diÖn tÝch h×nh trßn . R : lµ b¸n kÝnh h×nh trßn .

3 , 14

d) DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn

HoÆc

Trong ®ã: S lµ diÖn tÝch h×nh qu¹t trßn cung n0

R lµ b¸n kÝnh lµ ®é dµi cung n0 cña h×nh qu¹t

trßn 3 , 14

48. Ph¬ng ph¸p chøng minh mét sè bµi to¸n h×nh häc thêng gÆp khi «n thi vµo THPT a) Chøng minh tam gi¸c c©n

1. Chøng minh tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng nhau2. Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau3. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®êng trung tuyÕn võa lµ ®êng cao4. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®êng cao võa lµ ®êng ph©n gi¸c ë

®Ønhb) Chøng minh tam gi¸c ®Òu

1. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba c¹nh b»ng nhau2. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba gãc b»ng nhau3. Chøng minh tam gi¸c c©n cã mét gãc lµ 600

c) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh b×nh hµnh1. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi song song lµ h×nh b×nh hµnh2. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh3. Tø gi¸c cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau lµ h×nh b×nh

hµnh4. Tø gi¸c cã c¸c gãc ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh5. Tø gi¸c cã hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng

lµ h×nh b×nh hµnhd) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thang: Ta chøng minh tø gi¸c ®ã cã hai c¹nh ®èi song songe) Chøng minh mét h×nh thang lµ h×nh thang c©n

1. Chøng minh h×nh thang cã hai gãc kÒ mét ®¸y b»ng nhau2. Chøng minh h×nh thang cã hai ®êng chÐo b»ng nhau

f) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh ch÷ nhËt1. Tø gi¸c cã ba gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt2. H×nh thanh c©n cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt3. H×nh b×nh hµnh cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt4. H×nh b×nh hµnh cã hai ®êng chÐo b»ng nhau lµ h×nh ch÷ nhËt

g) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thoi1. Tø gi¸c cã bèn c¹nh b»ng nhau2. H×nh b×nh hµnh cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau3. H×nh b×nh hµnh cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau4. H×nh b×nh hµnh cã mét ®êng chÐo lµ ®êng ph©n gi¸c cña mét

gãch) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh vu«ng

1. H×nh ch÷ nhËt cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau2. H×nh ch÷ nhËt cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc3. H×nh ch÷ nhËt cã mét ®êng chÐo lµ ®êng ph©n gi¸c cña mét

gãc4. H×nh thoi cã mét gãc vu«ng

5. H×nh thoi cã hai ®êng chÐo b»ng nhaui) Chøng minh hai ®êng th¼ng vu«ng gãc

Ph ¬ng ph¸p 1 : NÕu hai gãc cña mét tam gi¸c cã tæng b»ng 900 th× tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c vu«ng => gãc cßn l¹i b»ng 900 => hai ®êng th¼ng chøa hai c¹nh gãc vu«ng lµ vu«ng gãc víi nhau.

Ph ¬ng ph¸p 2 : NÕu mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mét trong hai ®-êng th¼ng song song th× nã còng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng kia

Ph ¬ng ph¸p 3 : VËn dông tÝnh chÊt, nÕu mét tam gi¸c cã mét ®êng trung tuyÕn øng víi mét c¹nh b»ng nöa c¹nh Êy th× tam gi¸c ®ã lµ

tam gi¸c vu«ng => hai ®êng th¼ng chøa hai c¹nh gãc vu«ng lµ vu«ng gãc víi nhau.

Ph ¬ng ph¸p 4: VËn dông tÝnh chÊt ba ®êng cao cña tam gi¸c Ph ¬ng ph¸p 5 : VËn dông hai gãc kÒ phô nhau (hai gãc kÒ cã tæng

b»ng 900) Ph ¬ng ph¸p 6 : VËn dông tÝnh chÊt hai c¹nh kÒ cña h×nh ch÷ nhËt,

h×nh vu«ng th× vu«ng gãc víi nhau Ph ¬ng ph¸p 7 : VËn dông tÝnh chÊt cña tam gi¸c c©n

Trong tam gi¸c c©n, ®êng ph©n gi¸c, ®êng trung tuyÕn xuÊt ph¸t tõ ®Ønh ®ång thêi lµ ®êng cao

Ph ¬ng ph¸p 8 : VËn dông tÝnh chÊt hai ®êng chÐo cña h×nh thoi vu«ng gãc víi nhau

Ph ¬ng ph¸p 9 : VËn dông hai tam gi¸c ®ång d¹ng víi nhau (hoÆc hai tam gi¸c b»ng nhau), trong ®ã cã mét tam gi¸c vu«ng.

Ph ¬ng ph¸p 10 : VËn dông tÝnh chÊt hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï th× vu«ng gãc víi nhau

Ph ¬ng ph¸p 11 : Dùa vµo ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Py - ta - go Ph ¬ng ph¸p 12 : Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp cã mét gãc b»ng 900,

suy ra gãc ®èi diÖn còng b»ng 900 => hai ®êng th¼ng chøa hai c¹nh cña gãc lµ vu«ng gãc víi nhau.

Ph ¬ng ph¸p 13 : VËn dông tÝnh chÊt ®êng nèi t©m Ph ¬ng ph¸p 14 : VËn dông ®Þnh nghÜa ®êng trung trùc.

k) Chøng minh hai ®êng th¼ng song song víi nhau Ph ¬ng ph¸p 1 : Chøng minh hai ®êng th¼ng chøa hai c¹nh ®èi cña

h×nh b×nh hµnh (hoÆc h×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng, h×nh thoi) Ph ¬ng ph¸p 2 : Dùa vµo dÊu hiÖu nhËn biÕt hai ®êng th¼ng song

song: NÕu ®êng th¼ng c c¾t hai ®êng th¼ng a, b vµ trong c¸c gãc t¹o thµnh cã mét cÆp gãc so le trong b»ng nhau (hoÆc mét cÆp gãc ®ång vÞ b»ng nhau) th× a vµ b song song víi nhau

Ph ¬ng ph¸p 3 : Hai ®êng th¼ng cïng song song víi ®êng th¼ng thø ba th× song song víi nhau.

Ph ¬ng ph¸p 4 : Hai ®êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng thø ba th× song song víi nhau.

Ph ¬ng ph¸p 5 : ¸p dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Ta - lÐtm) Chøng minh hai gãc b»ng nhau

Ph ¬ng ph¸p 1 : Chøng minh hai gãc ®ã lµ hai gãc t¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau

Ph ¬ng ph¸p 2 : Chøng minh hai gãc ®ã lµ hai gãc t¬ng øng cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng

Ph ¬ng ph¸p 3 : Chøng minh hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh Ph ¬ng ph¸p 4 : NÕu hai ®êng th¼ng song song => hai gãc so le

trong b»ng nhau, hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau. Ph ¬ng ph¸p 5 : Chøng minh hai gãc cña cïng mét tam gi¸c c©n Ph ¬ng ph¸p 6 : Chøng minh hai gãc cña cïng mét tam gi¸c ®Òu Ph ¬ng ph¸p 7 : Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba Ph ¬ng ph¸p 8 : Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau kh¸c Ph ¬ng ph¸p 9 : Chøng minh hai gãc cïng phô hoÆc cïng bï víi mét

gãc thø ba Ph ¬ng ph¸p 10 : Chøng minh hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung

hoÆc ch¾n hai cung b»ng nhau Ph ¬ng ph¸p 11 : Chøng minh hai gãc cã sè ®o b»ng nhau.

n) Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau

Ph ¬ng ph¸p 1 : Chøng minh hai ®o¹n th¼ng lµ hai c¹nh t¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau

Ph ¬ng ph¸p 2 : Sö dông tÝnh chÊt hai ®êng chÐo cña h×nh b×nh hµnh, h×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng

Ph ¬ng ph¸p 3 : VËn dông tÝnh chÊt hai c¹nh bªn cña tam gi¸c c©n b»ng nhau

Ph ¬ng ph¸p 4 : VËn dông tÝnh chÊt ba c¹nh cña tam gi¸c ®Òu b»ng nhau

Ph ¬ng ph¸p 5 : VËn dông sù b»ng nhau cña c¸c c¹nh ®èi cña h×nh b×nh hµnh, h×nh ch÷ nhËt, h×nh thoi , h×nh vu«ng.

Ph ¬ng ph¸p 6 : Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng mét ®o¹n th¼ng thø ba

Ph ¬ng ph¸p 7 : Chøng minh hai ®o¹n th¼ng lµ hai c¹nh bªn cña h×nh thang c©n

Ph ¬ng ph¸p 8 : Trong mét ®êng trßn hoÆc trong hai ®êng trßn b»ng nhau, hai d©y c¨ng hai cung b»ng nhau th× b»ng nhau

Ph ¬ng ph¸p 9 : Trong mét ®êng trßn hoÆc trong hai ®êng trßn b»ng nhau, hai d©y c¸ch ®Òu t©m th× b»ng nhau

Ph ¬ng ph¸p 10 : VËn dông ®Þnh lÝ, nÕu mét ®êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm mét c¹nh cña tam gi¸c vµ song song víi c¹nh thø hai th× nã sÏ ®i qua trung ®iÓm cña c¹nh thø ba

Ph ¬ng ph¸p 11 : VËn dông ®Þnh nghÜa ®êng trung trùc.o) Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng

Ph ¬ng ph¸p 1 : Lîi dông hai gãc kÒ bï Ph ¬ng ph¸p 2 : VËn dông tiªn ®Ò ¬-clÝt

Qua mét ®iÓm ë ngoµi mét ®êng th¼ng, chØ cã mét ®êng th¼ng song song víi ®êng th¼ng ®· cho

Ph ¬ng ph¸p 3 : VËn dông tÝnh chÊt:Qua mét ®iÓm ë ngoµi mét ®êng th¼ng, chØ cã mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng ®· cho

Ph ¬ng ph¸p 4 : Chøng minh ®êng th¼ng vÏ qua hai ®iÓm ®i qua ®iÓm cßn l¹i.

Ph ¬ng ph¸p 5 : VËn dông tÝnh chÊt cña h×nh b×nh hµnh lµ hai ®êng chÐo cña chóng c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng.

p) Chøng minh ba ®êng th¼ng ®ång quy Ph ¬ng ph¸p 1 : Dùa vµo tÝnh chÊt c¸c ®êng ®ång quy trong tam

gi¸c: Ba ®êng cao, ba ®êng trung tuyÕn, ba ®êng ph©n gi¸c, ba ®-êng trung trùc.

Ph ¬ng ph¸p 2 : Chøng minh giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng n»m trªn ®êng th¼ng thø ba.

Ph ¬ng ph¸p 3 : Chøng minh c¸c ®êng cïng ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.

L u ý : C¸c ph¬ng ph¸p trªn cã thÓ ®îc vËn dông bëi nh÷ng kÜ n¨ng kh¸c nhau.q) Chøng minh c¸c ®iÓm cïng thuéc mét ®êng trßn

Ph ¬ng ph¸p 1 : Chøng minh c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu mét ®iÓm cè ®Þnh, kho¶ng c¸ch ®ã lµ b¸n kÝnh cña ®êng trßn.

Ph ¬ng ph¸p 2 : NÕu mét ®iÓm nh×n mét ®o¹n th¼ng díi gãc , th× theo quü tÝch cung chøa gãc, ®iÓm ®ã thuéc ®êng trßn nhËn ®o¹n th¼ng Êy lµ ®êng kÝnh

Ph ¬ng ph¸p 3 : NÕu chøng minh bèn ®iÓm cïng thuéc mét ®êng trßn, ta cã thÓ chøng minh tø gi¸c néi tiÕp

Ph ¬ng ph¸p 4 : NÕu chøng minh bèn ®iÓm cïng thuéc mét ®êng trßn, ta cã thÓ chøng minh bèn ®iÓm ®ã lµ bèn ®Ønh cña h×nh vu«ng, h×nh ch÷ nhËt, h×nh thang c©n.

r) Chøng minh quü tÝch cña ®iÓm lµ ®êng trßn B íc 1 : T×m ®iÓm cè ®Þnh B íc 2 : Chøng minh kho¶ng c¸ch cña ®iÓm chuyÓn ®éng víi ®iÓm

cè ®Þnh kh«ng ®æi. B íc 3 : KÕt luËn.

§iÓm chuyÓn ®éng trªn ®êng trßn, nhËn ®iÓm cè ®Þnh lµm t©m, kho¶ng c¸ch kh«ng ®æi lµ b¸n kÝnh.

s) Chøng minh mét tø gi¸c lµ tø gi¸c néi tiÕp Ph ¬ng ph¸p 1: Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800

Ph ¬ng ph¸p 2: Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn

Ph ¬ng ph¸p 3: Tø gi¸c cã bèn ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm (mµ ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®îc). §iÓm ®ã lµ t©m cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c

Ph ¬ng ph¸p 4: Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i díi mét gãc α

Ph ¬ng ph¸p 5: §Ó chøng minh mét tø gi¸c lµ tø gi¸c néi tiÕp ta cã thÓ chøng minh tø gi¸c ®ã lµ mét trong c¸c h×nh : H×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng, h×nh thang c©n.

t) Chøng minh mét ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn; chøng minh mét ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn

Ph ¬ng ph¸p 1 : Chøng minh ®êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña ®-êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua ®iÓm ®ã.

Ph ¬ng ph¸p 2 : §§Ó chøng minh ®êng th¼ng d tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i ®iÓm A ta chøng minh gãc t¹o bëi ®êng th¼ng d víi d©y AB nµo ®ã b»ng gãc néi tiÕp ch¾n cung AB.Cho h×nh vÏ:NÕu th× d lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn

Ph ¬ng ph¸p 3 : Sö dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ vÒ gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung

Cho h×nh vÏ:

NÕu th× Ax lµ mét tia

tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn

u) Ph¬ng ph¸p chøng minh mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c ®o¹n th¼ng, c¸c c¹nh cña hai tam gi¸c, c¸c ®o¹n th¼ng víi b¸n kÝnh cña ®êng trßn , ... Ph ¬ng ph¸p 1 : ¸p dông hÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng Ph ¬ng ph¸p 2 : Chøng hai tam gi¸c ®ång d¹ng Ph ¬ng ph¸p 3 : VËn dông hai cÆp tam gi¸c ®ång d¹ng ®Ó cã

tØ sè trung gian (nguyªn t¾c b¾c cÇu)

Ph ¬ng ph¸p 4 : VËn dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c Ph ¬ng ph¸p 5 : VËn dông ®Þnh lÝ Py - ta - go Ph ¬ng ph¸p 6 : Ph¬ng ph¸p ®Þnh lîng (tÝnh to¸n hai vÕ) Ph ¬ng ph¸p 7 : VËn dông tÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c trong tam

gi¸c ®Ó cã tØ sè trung gian