heap di Fibonacci

heap di Fibonacci

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heap di Fibonacci

Una heap di Fibonacci é un insieme di alberi (non necessariamente binomiali) con l’ordinamento parziale a heap.

Gli alberi hanno una radice ma non sono ordinati.

Hanno una struttura meno vincolata delle heap binomiali, permettendo di differire il lavoro di riorganizzazione della struttura.

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heap di Fibonacci - Esempio

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18 52

323 7

41

38 30

17

35

26 46

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min(H)

I nodi rossi sono nodi marcati, cioè nodi che hanno perso un figlio dall’ultima volta in cui erano diventati loro stessi figli di un altro nodo.Si accede all’albero da un puntatore al nodo con chiave minima (il nodo minimo)

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heap di Fibonacci - Esempio

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18 52

323 7

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38 30

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26 46

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min(H)

Campi di ogni nodo:keydatadegpchildleftrightmark

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heap di Fibonacci – creazione

Make-Fib-Heap alloca e restituisce una heap di Fibonacci H, per la quale n[H]=0 e min[H]=NIL.

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inserimento di un nuovo nodo

inserisce un nodo x nella heap H

Fib-Heap-Insert(H,x)deg[x]=0p[x]=NILchild[x]=NILleft[x]=xright[x]=xmark[x]=FALSEconcatena la lista delle radici contenente x con la lista delle radici di Hif min[H] == NIL or key[x]<key[min[H]]then min[H] = xn[H]=n[H]+1

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heap di Fibonacci - Insert - Esempio

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18 52

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min(H)

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18 52

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min(H)

2

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18 52

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38 30

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26 46

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min(H)

2

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Estrazione del nodo minimo

E’ un’operazione complicata.Realizza la ristrutturazione dell’albero.Utilizza una procedure Consolidate per ristrutturare la lista delle radici di H, che itera i due passi seguenti fino a quando ogni radice nella lista delle radici ha grado diverso:1) trova due radici x e y nella lista delle radici con lo stesso grado, dove key[x] ≤ key[y]2) collega y a x: togli y dalla lista delle radici e fallo diventare figlio di x. deg[x] cresce e mark[y] va a false.

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Estrazione del nodo minimo

Fib-Heap-Extract-Min(H)z = min[H]if z ≠ NILthen foreach figlio x di z do

aggiungi x alla lista delle radici di Hp[x]=NIL

togli z dalla lista delle radici di Hif z == right[z]then min[H]=NILelse min[H] = right[z]

Consolidate(H)n[H] = n[H]-1

return z

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heap di Fibonacci - ExtractMin - Esempio

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18 52

323 7

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38 30

17

35

26 46

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min(H)

21

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18 5223 7

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30

17

35

26 46

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min(H)

21

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18 5223 7

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17

35

26 46

2421

0 1 2 3 4

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18 5223 7

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26 46

2421

0 1 2 3 4

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18 5223 7

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30

17

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0 1 2 3 4

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18 52

23

7

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0 1 2 3 4

18/36


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18 52

23

7

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0 1 2 3 4

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18 52

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18 52

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min(H)

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Decremento di una chiaveViene decrementata al valore k la chiave del nodo x della heap H.

Fib-Heap-Decrease-Key(H,x,k)key[x] = k; y = p[x]if y ≠ NIL and key[x] < key[y]then Cut(H,x,y), Cascading-Cut(H,y)if key[x] < key[min[H]] then min[H]=x

Cut(H,x,y)togli x dalla lista dei figli di y, decrementando deg[y]aggiungi x alla lista delle radici di Hp[x] = NIL; mark[x] = FALSE

Cascading-Cut(H,y)z = p[y]if z≠NIL then if not(mark[y])

then mark[y]=TRUEelse Cut(H,y,z),Cascading-Cut(H,z)

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Decremento di una chiave: Esempio

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18

52

23

7

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17

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26 46

24 21

min(H)

15

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Decremento di una chiave: Esempio

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23

7

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min(H)

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Decremento di una chiave: Esempio 2

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min(H)

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min(H)

5

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2615

24 21

min(H)

5

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18

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23

7

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2615 24

21

min(H)

5

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Limitazione al grado massimo

Sia D(n) il massimo grado possibile per un nodo in una heap di Fibonacci con n elementi

Se D(n) è O(lgn) allora il tempo ammortizzato di ExtractMin e Delete è O(lgn).

Per mostrarlo, l’idea è mostrare che size(x) – num. nodi contenuti nel sottoalbero radicato in x – cresce esponenzialmente in deg(x).

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Lemma

Sia x un nodo di una heap di Fibonacci con deg(x) = k. Siano y1, ..., yk i figli di x nell’ordine in cui erano stati collegati a x, dal meno recente al più recente. Allora deg(y1) 0 e deg(yi) i – 2 per i = 2, 3, ..., k.

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Numeri di Fibonacci

F0 = 0 F1 = 1 Fk = Fk – 1 + Fk – 2

Lemma

Per ogni k 0: Fk + 2 = 1 + i = 0...k Fi

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Lemma

Sia x un nodo in una heap di Fibonacci con deg(x) = k.Allora size(x) Fk + 2 k, dove = (1 + 5)/2.

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Corollario

Il massimo grado D(n) di qualsiasi nodo in una heap di Fibonacci con n nodi è O(lgn).

Dimostrazione

Sia x un nodo in una heap H con n nodi e sia k=deg[x]. Dal Lemma prec. si ha che n ≥ size[x] ≥ k. Utilizzando i logaritmi in base si ha k ≤ logn.Il grado massimo di un qualunque nodo è quindi O(lgn).

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heap di Fibonacci - Sommario

heap di Fibonacci

heap binomiali Heap

Min (1) (log n) or (1) (1)

ExtractMin (log n) (log n) (log n)

DecreaseKey (1) (log n) (log n)

Union (1) (log n) (n)

Insert (1) (log n) (log n)

Delete (log n) (log n) (log n)

MakeEmpty (1) (1) (1)

IsEmpty (1) (1) (1)

Documents

heap di Fibonacci