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Mathematisches zur Sonnenreflexionsuhr
Hellmuth Stachel
[email protected] — http://www.geometrie.tuwien.ac.at/stachel
Zur Präsentation des Buches F. Mayrhofer, G. Liechtenstein (Hrsg.):Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz, Be&Be-Verlag, am 24. Februar 2017
Inhalt
1. Allgemeines über Sonnenuhren
2. Spiegelung und Schatten
3. Pläne für die Handwerker
4. Zur Genauigkeit der Sonnenuhren
Galileo Galilei:“ Wer die Geometrie begreift, vermag in dieser Welt alles zu verstehen”
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 1/21
Allgemeines über Sonnenuhren
Třeboň, Tschechien
Traditionelle Sonnenuhr mit Stunden-und Datumslinien
Endbahnhof der U2 in München
Nur bei Kenntnis des Datums kann dieUhrzeit abgelesen werden.
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 2/21
Allgemeines über Sonnenuhren
H
N
Äqua
tor
Erdkugel
23.4◦
23.4◦
48◦
21.06.
21.12.
18.6◦
65.4◦ Während der Bewegung der
Erde um die Sonne variiertder Erhebungswinkel der Sonnegegenüber der Äquatorebene um± = 23.44◦ (Schiefe der Ekliptik).
Das bedeutet für Heiligenkreuz(geogr. Breite 48.055◦) maximaleErhebungswinkel der Sonnezwischen 18.6◦ und 65.4◦.
Zu gleicher Tageszeit (‘Sonnen-zeit’) liegt die Sonne in derselbenMeridianebene der Erde.
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 3/21
Allgemeines über Sonnenuhren
H
N
Äqua
tor
Erdkugel
23.4◦
23.4◦
48◦
42◦
21.06.
21.12.
Der Schatten eines Stabes fälltgenau dann zur selben Tageszeitauf dieselbe Gerade, wenndie Schattenebene parallel zurzugehörigen Meridianebene ist.
=⇒ der Schattenstab mussparallel zur Erdachse sein.
Eine Parallele zur Erdachse ragt inHeiligenkreuz unter 42◦ aus einernach Süden weisenden Hauswand.
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 4/21
2. Spiegelung und Schatten
S S
Q
Q′ Ψ
µ
Jede Reflexion wirkt wie ein Schatten zuder an der Ost- bzw. Westwand gespiegeltenSonne.
Die zu gleicher Tageszeit (Sonnenzeit) gespiegeltenSonnenstrahlen liegen in derselben Ebene durch diegespiegelte Erdachse a.
Flanke des Gnomons
∼ 5.0◦
a
an
a
Die bestmögliche Näherung für die gespiegelteErdachse a innerhalb der Flanke des Gnomons ist derNormalriss an der Erdachse a in dieser Wand.
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 5/21
2. Spiegelung und Schatten
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
13
13
14
14
15
15
16
16
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17
7
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8
8
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10
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13
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15
15
16
16
17
17
21.2., 21.10. 21.5., 21.7.
Die Höhe der reflektierenden Streifen wurde derart gewählt, dass selbst zur Winter-und Sommersonnenwende die Reflexionen auf die Rundwand fallen.
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 6/21
07
08
09
10
11
Ein zur Erdachse annähernd paralleler Streifen auf Ost- und Westwand bewirkt helle Streifen auf derRundwand wie bei Sonnenuhr. Das Bild zeigt den Verlauf der Reflexionen über die Monate.
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 7/21
2. Spiegelung und Schatten
7
7
8
8
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9
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11
13
13
145
Fotomontage: Gnomon mitreflektierendem Streifen undden zugehörigen Reflexionenfür den 9. September.
(Foto aus 2011)
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 8/21
3. Pläne für die Handwerker
486
18
45.8
440.2
42.0
700
109
41.7◦
Aufriss des Gnomons mit dem spiegelndenStreifen (Maße in cm)
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 9/21
3. Pläne für die Handwerker
78910111314151617
112200275340399385326259182 92
26.121.816.310.75.15.911.517.222.526.6
91011131415
7
816
17
56204336311178 27
251
114
143
275
20.711.85.26.112.922.4
40.6
42.8
42.8
40.4
[-23.5]
[-28.8]
[-27.7]
[-22.8]
Plan für Stundenlinien (unter Berücksichtigung der geographischen Länge 16.049◦)
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 10/21
Die untere Hälften der Gnomonflanken sind herstellungs- und temperaturbedingtleicht gewölbt und stören die Zeitablesungen durch unregelmäßige Reflexionskaustiken
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 11/21
3. Pläne für die Handwerker
7
7
8
8
9
9
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10
11
11
13
13
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15
15
16
16
17
17
replacements
10111314
7
7
8
8
9
9
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15
16
16
17
17
0708091516
21.1., 21.11. 21.4., 21.8.
Eine Senkung der Abmattungsgrenze um 50 cm verbesserte die Situation etwas, aberbehinderte die Absicht des Künstlers, der Besucher möge sich durch die Spiegelung amGnomon inmitten der auf dem Mosaik dargestellten Menschenschar wiedererkennen.
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 12/21
4. Zur Genauigkeit der Sonnenuhren
Stadtturm in Innsbruck
Es gibt eine mittlere Zeit = Uhrzeit
und eine wahre Zeit = Sonnenzeit,
und diese unterscheiden sich im Laufe einesJahres um bis zu 15 Minuten !
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 13/21
4. Zur Genauigkeit der Sonnenuhren
SONNE
ε
ε
Schiefe der Ekliptik ε = 23.44◦
Präzession und Nutation vernachlässigt
(im Jahr 0: ε = 23.695◦)
21. 3.
23. 9.
Wir projizieren die Bahn der Erde orthogonal in eine Äquatorebene, um dieDrehung der Erde um ihre Achse in wahrer Größe zu sehen.
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 14/21
ψψ
ε
12:00 Uhr
360◦ später
EkliptikSONNE Von einem Sonnenhöchst-
stand zum nächsten musssich die Erde durch 360◦+ψum ihre Achse drehen =⇒
Tage (gemäß Sonnenzeit)sind verschieden lang (bzgl.mittlerer Zeit)!
(Bild nicht maßstabstreu)
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 15/21
ψψ
ε
12:00 Uhr
360◦ später
EkliptikSONNE
Von einem Sonnenhöchst-stand zum nächsten musssich die Erde durch 360◦+ψum ihre Achse drehen =⇒
Tage (gemäß Sonnenzeit)sind verschieden lang (bzgl.mittlerer Zeit)!
Selbst bei einer Kreisbahn ändertsich der in 24 Stunden über-strichene Zentriwinkel ψ ständigwegen der verzerrten Ansicht.
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 15/21
1.Jan
21.M
ar
21.Jun
23.S
ep
21.Dez
147 098 000 km152 098 000 km
Frühling
Sommer
Herbst
Winter
Die Bahn der Erde um dieSonne ist eine Ellipse, die mitkonstanter Flächengeschwin-digkeit durchlaufen wird.
(2 Tage Zeitintervall zwischen den
Teilungsstrichen).
Bahndaten:
a = 149.598 106 kmb = 149.577 106 kme = 2.500 106 kmε = e/a = 0.01671
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 16/21
Das ist die Projection der ellip-tischen Erdbahn. Auch diesewird mit konstanter Flächenge-schwindigkeit durchlaufen.
3 Tage Zeitintervall zwischen den
Teilungsstrichen (mittlerer Zeit).
Die Abweichungen der Zentri-winkel vom Durchschnittswert360/365.2425◦ sind dieUrsache für die Zeitgleichung. 1.J
an
21.Mar
21.Jun
23.Sep21.D
ez
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 17/21
4. Zur Genauigkeit der Sonnenuhren
−15
−5
5
15
z(t) [min]
t
1.Ja
n
1.Fe
b
1.M
ar
1.A
pr
1.M
ai
1.Ju
n
1.Ju
l
1.A
ug
1.Sep
1.O
kt
1.N
ov
1.D
ez
31.D
ez
Zeitgleichung: wahre Zeit = Sonnenzeit = mittlere Zeit + z(t)
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 18/21
4. Zur Genauigkeit der Sonnenuhren
−15
−5
5
15
z(t) [min]
t
1.Ja
n
1.Fe
b
1.M
ar
1.A
pr
1.M
ai
1.Ju
n
1.Ju
l
1.A
ug
1.Sep
1.O
kt
1.N
ov
1.D
ez
31.D
ez
Zeitgleichung: wahre Zeit = Sonnenzeit = mittlere Zeit + z(t)
· · · · · · · · · Zeitgleichung im Falle einer Kreisbahn (e = 0)
- - - - - - - Zeitgleichung ohne Schiefe der Ekliptik (ε = 0)
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 18/21
Stadtturm ’Alter Michel’ in München:Diese Sonnenuhr berücksichtigt die Zeit-gleichung. Nicht der Schatten des Stabes,sondern nur jener des Stabendes zeigt diegenaue (mittlere) Zeit.
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 19/21
4. Zur Genauigkeit der Sonnenuhren
Zeitgleichung:
1.A
ug
16.A
ug
1.Sep
0 min
15 min
-15 min
Ablesebeispiel, 15. August: Die Reflexion zeigt ∼ 8:05 ; es ist Sommerzeit, die Zeitgleichungergibt z = −5min = (Sonnenzeit – mittl. Zeit) =⇒ Resultat: ∼ 9:10 Uhr
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 20/21
Es war mir eine besondere Ehre, bei derRealisierung dieses beeindruckenden Denkmalsmitwirken zu dürfen.
Danke für IhreAufmerksamkeit!
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 21/21
Literatur
• G. Glaeser: Geometry and its Applications in Arts, Nature and Technology. SpringerWien, New York, 2012.
• G. Glaeser G., W. Hofmann: About minute-precise sundials for mean time. IBDG(Informationsblätter der Geometrie) 23/2, 40–46 (2004).
• F. Hohenberg: Konstruktive Geometrie in der Technik. 3. Aufl., Springer-Verlag,Wien 1966.
• F. Mayrhofer, G. Liechtenstein (Hrsg.): Die Sonnenreflexionsuhr im StiftHeiligenkreuz, als Denkmal für Gewissens und Religionsfreiheit. Be&Be-Verlag,Heiligenkreuz 2016.
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 22/21
• K. Schwarzinger: Katalog der ortsfesten Sonnenuhren in Österreich. CD,Österreichischer Astronomischer Verein, 2011.
• H. Stachel: Spiegelung und Brechnung im DG-Unterricht. Informationsblätter derGeometrie 2/1, 23–29 (1983).
• H. Stachel: The Design of the New Sun-Reflection-Dial in Heiligenkreuz/Austria.Proceedings moNGeometrija 2014 (ISBN 978-86-88601-13-9), Vlasina/Serbia,pp. 285–296.
• S. Wetzel: Die Heiligenkreuz-Reflex-Sonnenuhr. <http://www.swetzel.ch/
sonnenuhren/heilkreu/heilkreu.html>, 2016.
24. Februar 2017: Buchpräsentation “Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz” 23/21
• FELIX MAYRHOFER
HEILIGEN KREUZ
•