Hetero Ce Dasti Cidade Total

HeterocedasticidadeAula 23

Prof. Moisés A. Resende Filho

Introdução à Econometria (ECO 132497)

09 de junho de 2014

Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 1 / 33

Propriedades dos estimadores MQO

• RLM.1 (linear nos parâmetros): y = β0 + β1x1 + · · ·+ βkxk + u.• RLM.2 (amostragem aleatória): a amostra representa a população.• RLM.3 (colinearidade imperfeita): variação amostral e colinearidadeimperfeita.• RLM.4 (média condicional zero): E (u|x1, x2, . . . , xk ) = 0.

As hipóteses RLM.1 a RLM.4 são suficientes para garantirE (βj ) = βj , j = 0, ..., k (não enviesamento dos estimadores MQOem amostras de qualquer tamanho n < ∞) ep lim(βj ) = βj , j = 0, ..., k (consistência de MQO).RLM.1 a RLM.5 (hipóteses de Gauss-Markov) são suficientespara garantir que os estimadores MQO são os melhores estimadoreslineares não viesados (BLUE).


Heterocedasticidade

• RLM.5. Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = σ2 pode ser violada de várias formas.• Em geral, a violação se dá porque Var(u|x1, x2, . . . , xk ) depende dosvalores de x1, x2, . . . , xk .• Por exemplo: no modelo de consumo em função da renda dodomicílio.• Se a variância do consumo renda do domicílio, então,Var(consumo|renda) = Var(u|renda) = f (renda) 6= σ2.• É comum se assumir a forma constante multiplicativa deheterocedasticidade:

Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = σ2h(x1, x2, . . . , xk ), com a função h(.) > 0

• Por exemplo, poderia ser queVar(consumo|renda) = Var(u|renda) = σ2renda2, comh(renda) = renda2.


Heterocedasticidade

• Quais as consequências da violação de RLM.5?1 MQO permanece linear e não viesado (LUE) e consistente => MQOé ainda um bom estimador.

2 MQO deixa ser BLUE, pois deixam de ser os estimadores de menorvariância dentre os estimadores lineares não viesados => pode haverum estimador melhor que MQO.

3 ep(βj ) =√Var(βj ) =

√σ2

SQTj (1−R2j )deixa de ser um estimador

não viesado do dp(βj ), pois se baseia em σ2 (estimador da variânciaconstante de u).

4 Como não se tem certeza de que ep(βj ) são não viesados, asestatísticas t,F e LM usuais não necessariamente seguem asdistribuições t,F ,χ2 e deixam de ser válidas para inferência.


Heterocedasticidade

• Sob RLM.1 a RLM.4,

βj = βj +∑ni=1 rijui

∑ni=1 r

2ij

• Assumindo que Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = σ2i ,

Var(βj ) =∑ni=1 r

2ij σ

2i(

∑ni=1 r

2ij

)2 (1)

• No caso particular em que Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = σ2, como antes:

Var(βj ) =σ2

∑ni=1 r

2ij

=σ2

SQRj=

σ2

SQTj (1− R2j )

• QUESTÃO: Como estimar σ2i para qualquer forma deheterocedasticidade?Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 5 / 33

Heterocedasticidade

• White (1980) mostra que sob RLM.1 a RLM.4 e para qualquer formade heterocedasticidade, o estimador válido para Var(βj ) é


2ij u

2i

SQR2j(2)

onde rij é o i-ésimo resíduo da regressão auxiliar de xj sobre as demaisvariáveis independentes do modelo, SQRj ≡∑n

i=1 r2ij e ui são os resíduos

da regressão de interesse.• Os erros-padrão robustos em relação à heterocedasticidade ouWhite -Huber ou Eicher ou erros-padrão robustos são

ep(βj )robusto =

√√√√∑ni=1 r

2ij u

2i

SQR2j


Heterocedasticidade

• Às vezes, corrigi-se (2) para graus de liberdade, fazendo


2ij u

2i

SQR2j

(n

n− k − 1

)• Para n→ ∞ (ou assintoticamente) corrigir ou não para graus deliberdade são dois procedimentos equivalentes.• Estatísticas t robustas em relação à heterocedasticidade utilizamerros-padrão robustos, tal que

t =βj − βj

ep(βj )robusto

• O uso de erros-padrão robustos se justifica somente assintoticamente.• Em amostra pequenas, as estatísticas t e F robustas em relação àheterocedasticidade não seguem aproximadamente as distribuições t e F .


Heterocedasticidade

No Stata, basta adicionar a opção robust, por exemplo:

ssc install bcuse

bcuse wage1, clear

drop wage nonwhite numdep smsa northcen south west construc ndurman trcommpu trade services profserv profocc clerocc

servocc

rename female feminino

rename tenure perm

rename married casado

rename lwage lsalarioh

rename tenursq permsq

*Gera as variáveis binárias

gen hcasados=(1-feminino)*casado

gen hsolteiros=(1-feminino)*(1-casado)

gen msolteiras=feminino*(1-casado)

gen mcasadas=feminino*casado


Heterocedasticidade

*Estima o modelo

reg lsalarioh hcasados mcasadas msolteiras educ exper expersq perm permsq

eststo modelo1

reg lsalarioh hcasados mcasadas msolteiras educ exper expersq perm permsq, robust

eststo modelo2

esttab modelo1 modelo2, star(* 0.10 ** 0.05 *** 0.01) se label


Heterocedasticidade

* p<0.10, ** p<0.05, *** p<0.01Standard errors in parentheses

Observations 526 526

(0.100) (0.109)Constant 0.321*** 0.321***

(0.000231) (0.000244)permsq 0.000533** 0.000533**

(0.00676) (0.00694)perm 0.0291*** 0.0291***

(0.000110) (0.000106)expersq 0.000535*** 0.000535***

(0.00524) (0.00514)exper 0.0268*** 0.0268***

(0.00669) (0.00741)educ 0.0789*** 0.0789***

(0.0557) (0.0571)msolteiras 0.110** 0.110*

(0.0578) (0.0588)mcasadas 0.198*** 0.198***

(0.0554) (0.0571)hcasados 0.213*** 0.213***

lsalarioh lsalarioh (1) (2)

• Note que não necessariamente os ep(βj )robusto são maiores que os ep(βj )usuais.


Testes para homocedasticidade

• Por que testar para homocedasticidade?1 Utilizar erros-padrão usuais é preferível se RLM.1 a RLM.5 e RLM.6(normalidade) forem válidas, pois as estatísticas seguirão exatamenteas distribuições preconizadas (t,F ,χ2), independentemente dotamanho da amostra. Os ep(βj )robusto são válidos apenasassintoticamente.

2 Pode-se utilizar os resultados dos testes na construção de umestimador com menor variância (melhor) que MQO.

• Focaremos os testes da hipótese

H0 : Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = σ2

que, sob RLM.4, é equivalente a

H0 : E (u2|x1, x2, . . . , xk ) = σ2

contra H1 : Var(u|x1, x2, . . . , xk ) depende dos níveis das variáveisindependentes do modelo.Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 11 / 33

Teste Breusch-Pagan e Godfrey

• Assume que se há heterocedasticidade, esta é da forma

u2 = δ0 + δ1x1 + δ2x2 + · · ·+ δkxk + v (3)

• Assim, teste o conjunto de restrições

H0 : δ1 = δ2 = · · · = δk = 0 (4)

• Passos na implementação do teste BP:1 Estime a regressão y = β0 + β1x1 + · · ·+ βkxk + u e armazene asérie dos resíduos u.

2 Estime o modelo (3) utilizando a série u2 e armazene o seu R2,R2u2 ;

3 Calcule a estatística F =R 2u2

/k(1−R 2

u2)/(n−k−1) ∼ Fk ,n−k−1 ou

LM = nR2u2 ∼ χ2k .


Teste Breusch-Pagan e Godfrey

• No Stata, utilizando o exemplo anterior:quietly reg lsalarioh hcasados mcasadas msolteiras educ exper expersq perm permsq

estat hettest, rhs

Prob > chi2 = 0.0068 chi2(8) = 21.14

Variables: hcasados mcasadas msolteiras educ exper expersq perm permsq Ho: Constant varianceBreuschPagan / CookWeisberg test for heteroskedasticity

• Como Prob > ch2 = 0.0068 < 0.05, ao nível de 5%, rejeita-seH0 : Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = σ2.


Teste de White

• O teste Breusch-Pagan detecta apenas formas lineares deheterocedasticidade.• O teste de White permite não-linearidades e apenas altera o passo 2do teste de Breusch-Pagan.• No passo 2 do teste de White estime o modelo incluindo os quadradosdas variáveis e todos as interações entre variáveis.• Por exemplo, no caso de y = β0 + β1x1 + β2x2 + u, no passo 2, estimeu2 = δ0 + δ1x1 + δ2x2 + δ3x21 + δ4x22 + δ5x1x2 + v


Teste de White


whitetst

White's general test statistic : 45.68725 Chisq(36) Pvalue = .1293

• Como P-value= .1293 > 0.05, ao nível de 5%, aceita-seH0 : Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = σ2 pelo teste de White.• Problema: perde muitos graus de liberdade, diminuindo o poder doteste (rejeita quando deve rejeitar).


Teste de White

• Wooldridge propõe uma versão alternativa do teste de White.1 Estime a regressão y = β0 + β1x1 + · · ·+ βkxk + u e armazene asérie dos resíduos u e dos valores estimados y .

2 Estime o modelo u2 = δ0 + δ1y + δ2y2 + v e armazene o seu R2,rotudala como R2u2 .

3 Calcule a estatística F =R 2u2

/2(1−R 2

u2)/(n−2−1) ∼ F2,n−2−1 ou

LM = nR2u2 ∼ χ22.

• Vantagem: mais fácil de implementar que o teste de White usual eimpõe a perda de menos graus de liberdade.


Teste de White modificado por Wooldridge


predict yhat, xb

predict uhat, residuals

gen uhat2=uhat^2

gen yhat2=yhat^2

reg uhat2 yhat yhat2

scalar r2u2 = e(r2)

scalar n = e(N)

scalar Festatistica = (r2u2/2)/((1-r2u2)/(n-3))

scalar Fcrit5 = invFtail(2,n-3,.05)

scalar Fpvalor = Ftail(2,n-3,Festatistica)

scalar Qestatistica=n*r2u2

scalar Qcrit5 = invchi2(n,.05)

scalar Qpvalor = chi2tail(n,Qestatistica)

scalar list Festatistica Fcrit5 Fpvalor Qestatistica Qcrit5 Qpvalor



• No Stata, utilizando o exemplo anterior:

Qpvalor = 1 Qcrit5 = 473.8109Qestatistica = 4.155769 Fpvalor = .12565211 Fcrit5 = 3.0129575Festatistica = 2.0824865

• Como os p-valores > 0.05, ao nível de 5%, aceita-seH0 : Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = σ2.


Heterocedasticidade

• Consequências da violação de RML.5 - SumárioMQO permanece linear e não viesado (LUE) e consistente.

MQO deixa ser "Best"e, portanto, BLUE, pois deixa de ser oestimador de menor variância dentre os estimadores lineares nãoviesados.

ep(βj ) =√Var(βj ) =

√σ2

SQTj (1−R2j )deixa de ser um estimador não

viesado do dp(βj ), pois se baseia em σ2 (estimador da variânciaconstante de u).

Como não se tem certeza de que ep(βj ) são não viesados, então, asestatísticas t,F e LM não necessariamente seguem as distribuiçõest,F ,χ2 e, assim, deixam de ser válidas para inferência.


Heterocedasticidade

• Potenciais correções para heterocedasticidade:1 Utilizar MQO com procedimentos robustos àheterocedasticidade.

2 Utilizar um estimador não viesado, mas melhor (com menor variância)que MQO: MQG/MQP.

3 Utilizar um outro estimador não viesado, mas, para garantir validadeda inferência no modelo, utilizar procedimentos robustos àheterocedasticidade: MQG/MQP juntamente com procedimentosrobustos à heterocedasticidade.

4 Utilizar um outro estimador provavelmente viesado, mas consistente eassintoticamente mais eficiente que MQO juntamente comprocedimentos robustos à heterocedasticidade: MQGF juntamentecom procedimentos robustos à heterocedasticidade.


Mínimos Quadrados Ponderados (MQP)

• Idéia: utilizar a informação sobre a forma específica daheterocedasticidade para se obter um estimador eficiente e BLUE, aindafazendo com que as estatíticas t,F e χ2 passem a seguir exatamentesestas distribuições.• Presumimos a forma constante multiplicativa de heterocedasticidade

Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = σ2h(x1, x2, . . . , xk ) (5)

onde h(.) > 0 é uma função em x1, x2, . . . , xk e que deve gerar apenasvalores estritamente positivos; σ2 é um parâmetro populacionaldesconhecido.• Lembre-se de que, sob RLM.4,Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = E (u2|x1, x2, . . . , xk ).



• Com base em (5), multiplica-se o modelo orginal

y = β0 + β1x1 + · · ·+ βkxk + u.

por 1/√hi , transformando-o para

yi√hi

=1√hi(β0 + β1xi1 + · · ·+ βkxik + ui )

=β0√hi+ β1

xi1√hi+ · · ·+ βk

xik√hi+

ui√hi

(6)

ou, sinteticamente,

y ∗i = β0x∗i0 + β1x

∗i1 + · · ·+ βkx

∗ik + u

∗i

onde y ∗i = yi/√hi ; x∗i0 = 1/

√hi ; x∗ij = xij/

√hi , j = 1, ..., k; e

hi ≡ h(xi1, xi2, . . . , xik ).



• ComoVar(u∗i |xi1, xi2, . . . , xik ) = E (u∗2i |xi1, xi2, . . . , xik )

então

E (u∗2i |xi1, xi2, . . . , xik ) = E ((ui/√hi)2|xi1, xi2, . . . , xik )

= (1/hi )E (u2i |xi1, xi2, . . . , xik )

=1hi

σ2h(xi1, xi2, . . . , xik )

= σ2 (u∗2 é homocedástico)

utilizando-se hi ≡ h(xi1, xi2, . . . , xik ) e a presumida forma constantemultiplicativa de heterocedasticidade,E (u2i |xi1, xi2, . . . , xik ) = σ2h(xi1, xi2, . . . , xik ).



• Os estimadores de MQO aplicados ao modelo transformado são um casoparticular de Mínimos Quadrados Generalizados (MQG).• No caso de MQG para heterocedasticidade, os estimadores sãochamados de Mínimos Quadrados Ponderados (MQP), uma vez que osestimadores MQP consistema da aplicação de MQO aos dadosponderados: y ∗i = yi/

√hi ; x∗i0 = 1/

√hi ; e x∗ij = xij/

√hi , j = 1, ..., k.

• A magnitude dos dados que constituem cada observação será tantomenor quanto maior for

√hi .

• MQO constitui um caso especial de MQP quando√hi = 1 para todo

i = 1, ..., n• E (u∗i |xi1, xi2, . . . , xik ) = E ( ui√hi |xi1, xi2, . . . , xik ) =1hi(ui |xi1, xi2, . . . , xik ) = 0 : se o modelo satisfaz RLM.1 a RLM.4,

então, também o modelo transformado satisfará.• Assim, se o erro do modelo transformado atender RLM.5(homocedásticidade), os estimadores MQG/MQP serão BLUE.


Exemplo de MQP

• Modelo econométrico

poupi = β0 + β1rendai + ui (7)

• Admita que sabe-se com certeza que

Var(ui |rendai ) = σ2rendai

ou seja, neste caso hi = h(xi1, xi2, . . . , xik ) = rendai ;• O modelo transformado é

poupi√rendai

= β01√rendai

+ β1rendai1√rendai

+ ui1√rendai

= β0renda−1/2i + β1renda

1/2i + u∗i

onde u∗i = ui1√rendai

; e Var(u∗i |rendai ) = σ2 (erro homocedástico).


MQP no STATA

ssc install bcuse

bcuse saving, clear

rename sav poup

rename inc renda

*Estima o modelo por MQOreg poup renda

eststo modelo1

*Estima o modelo por MQP, utilizando weight=1/hireg poup renda [aw = 1/renda]

eststo modelo2

esttab modelo1 modelo2, star(* 0.10 ** 0.05 *** 0.01) se r2 ar2 label


MQP no STATA


Adjusted Rsquared 0.053 0.076Rsquared 0.062 0.085Observations 100 100

(655.4) (480.9)Constant 124.8 125.0

(0.0575) (0.0568)renda 0.147** 0.172***

poup poup (1) (2)

• Note que tanto as estimativas como os erros-padrão se alteram.• Aparentemente o modelo (2) é preferível.


Heterocedasticidade

• Problema com o uso de MQG/MQP: quase nunca teremoscerteza sobre a verdadeira forma da heterocedasticidade. Neste caso,MQO pode ser mais eficiente que MQP.• Potenciais soluções:

1 Utilize MQP (que é não viesado) junto com estatísticas robustas àheterocedasticidade.

2 Utilize Mínimos Quadrados Generalizados Factíveis (MQG factível)com estatísticas robustas à heterocedasticidade.


MQG Factível (MQGF)

• Consiste em utilizar no lugar de hi suas estimativas hi , i = 1, ..., n, porexemplo:

1 Assuma que

Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = σ2 exp(δ0 + δ1x1 + · · ·+ δkxk ) (8)

2 Estime o modelo y = β0 + β1x1 + · · ·+ βkxk + u e armazene a sériedos resíduos u.

3 Estime o modelo log(u2) = α0 + δ1x1 + · · ·+ δkxk + v , obtendo

hi = exp(

α0 + δ1xi1 + · · ·+ δkxk)

4 Finalmente, estime o modeloyi√hi=

β0√hi+ β1

xi1√hi+ · · ·+ βk

xik√hi+ ui√

hi.

• Alternativamente, pode-se substituir no passo 3, no lugar de(x1, x2, . . . , xk ), y e y2.Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 29 / 33

MQG Factível (MQGF)

• Estimar hi utilizando os mesmos dados do modelo original implica queMQGF é viesado e, portanto, não pode ser BLUE.• No entanto, MQGF é consistente e assintoticamente mais eficienteque MQO, o que torna MQGF uma alternativa atrativa para MQO,quando se está trabalhando com amostras grandes.• Se não se tem certeza sobre a forma verdadeira da Var(u|x1, x2, . . . , xk ):deve-se combinar MQGF ou MQP com procedimentos robustos àheterocedasticidade.• É natural que as estimativas de MQO e MQGF sejam diferentes.• Contudo, deve-se desconfiar se forem estatisticamente significantes emuito diferentes, por exemplo, com sinais diferentes.• Neste caso, provavelmente, além de RLM.5, outras hipóteses deGauss-Markov (RLM.1 a RLM.5) também foram violadas.• Vide exemplo a seguir.


Exemplo no STATA

ssc install estout, replacessc install bcusebcuse saving, clearrename sav pouprename inc renda*Estima o modelo por MQOreg poup renda size educ age blackeststo modelo1reg poup renda size educ age black, robustpredict uhat, residualspredict yhat, xbeststo modelo2*Estima o modelo por MQP, utilizando weight=1/hireg poup renda size educ age black [aw = 1/renda]eststo modelo3reg poup renda size educ age black [aw = 1/renda], robusteststo modelo4Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, cap. 8) 09/06/2014 31 / 33


*Estima o modelo por MQP Factível, utilizando weight=1/higen uhat2=uhat^2gen yhat2=yhat^2gen lnuhat2=ln(uhat2)quietly reg lnuhat2 yhat yhat2predict yhat0, xbgen hhat=exp(yhat0)reg poup renda size educ age black [aw = 1/hhat], robusteststo modelo5esttab modelo1 modelo2 modelo3 modelo4 modelo5, star(* 0.10 ** 0.05 ***0.01) se r2 ar2 label


Exemplo no STATA


Adjusted Rsquared 0.034 0.034 0.057 0.057 0.050Rsquared 0.083 0.083 0.104 0.104 0.098Observations 100 100 100 100 100

(2830.7) (2931.6) (2351.8) (2126.8) (1751.0)Constant 1605.4 1605.4 1854.8 1854.8 1728.4

(1308.1) (861.1) (844.6) (560.4) (498.6)black 518.4 518.4 137.3 137.3 219.4

(50.03) (43.27) (41.31) (34.20) (32.33)age 0.286 0.286 21.75 21.75 24.55

(117.2) (170.5) (100.5) (111.1) (85.97)educ 151.8 151.8 139.5 139.5 109.9

(223.0) (214.4) (168.4) (121.3) (109.9)size 67.66 67.66 6.869 6.869 5.776

(0.0714) (0.0869) (0.0773) (0.0551) (0.0490)renda 0.109 0.109 0.101 0.101* 0.106**

poup poup poup poup poup (1) (2) (3) (4) (5)

• Provavelmente, além de RLM.5, outras hipóteses de Gauss-Markovforam violadas, em especial a hipótese de média condicional zero do erro.


Documents

Hetero Ce Dasti Cidade Total