HIDROLÓGIA II. - emkhk.bme.hu · Hidrológia II. BMEEOVVAI13 Hallgatói jegyzet 4 1 FEJEZET: Műszaki hidrológia és Hidrológiai statisztika. A Hidrológia I. tárgy a hidrológiai

HIDROLÓGIA II. Hallgatói jegyzet

Készítette:

Krizsán Zsolt

2012

Hidrológia II. BMEEOVVAI13 Hallgatói jegyzet

2

Tartalomjegyzék

1 FEJEZET: Műszaki hidrológia és Hidrológiai statisztika. .............................................. 4

1.1 A valószínűség számítás .......................................................................................... 4

1.2 A relatív gyakoriság és valószínűség ....................................................................... 4

1.3 A valószínűségi változó........................................................................................... 5

2 FEJEZET: Empirikus és elméleti sűrűség- és eloszlásfüggvény. .................................... 6

2.1 Empirikus sűrűség- és eloszlásfüggvény .................................................................. 6

2.2 A valószínűségi változók jellemzői ......................................................................... 9

2.2.1 A várható érték ................................................................................................ 9

2.2.2 A szórás ......................................................................................................... 10

2.3 A momentumok .................................................................................................... 10

3 FEJEZET: Elméleti eloszlásfüggvények a hidrológiában. ............................................ 12

3.1 A hidrológiában leggyakrabban használt eloszlásfüggvény típusok ....................... 12

3.1.1 Poisson eloszlás ............................................................................................. 12

3.1.2 Normál eloszlás.............................................................................................. 13

3.1.3 Lognormál eloszlás ........................................................................................ 14

3.1.4 Gamma-3 (Γ3) eloszlás .................................................................................. 14

3.1.5 Gamma-2 eloszlás .......................................................................................... 15

3.1.6 Pearson-III eloszlás ........................................................................................ 15

3.1.7 Exponenciális eloszlás ................................................................................... 16

3.1.8 Kettős exponenciális eloszlások ..................................................................... 16

4 FEJEZET: Eloszlásfüggvények hidrológiai alkalmazása. ............................................. 18

4.1 Illeszkedésvizsgálatok ........................................................................................... 18

4.1.1 A Kolmogorov-Szmirnov próba ..................................................................... 19

4.1.2 χ2-próba ......................................................................................................... 19

4.2 Reprezentativitás, egyöntetűség, függetlenség ....................................................... 19

4.2.1 Függetlenségvizsgálatok ................................................................................ 20

4.2.2 Egyöntetűség vagy homogenitás vizsgálatok .................................................. 21

4.3 A ξ valószínűségi változó eloszlásvizsgálatának áttekintése .................................. 22

5 FEJEZET: Két- vagy több valószínűségi változó együttes vizsgálata. .......................... 23

5.1 A korrelációs vizsgálat fő lépései .......................................................................... 23

5.2 A korrelációs kapcsolatok felhasználási területei ................................................... 23

5.3 A korreláció vizsgálatok menete ............................................................................ 23

6 FEJEZET: A kapcsolat szorossága lineáris és nemlineáris esetben. Többváltozós regressziós kapcsolatok. Háromváltozós lineáris kapcsolat. ................................................. 26


3

6.1 A korrelációs tényező ............................................................................................ 26

6.2 A regressziós együttható ....................................................................................... 26

6.3 A lineáris kapcsolat ábrázolása .............................................................................. 28

6.4 Nem lineáris kapcsolat szorosságának mérése ....................................................... 28

6.5 A korrelációs tényező megbízhatósága vagy stabilitása ......................................... 28

6.6 Többváltozós regresszív kapcsolatok ..................................................................... 29

6.7 Keresztkorreláció, autokorreláció, autokorrelációs függvény ................................. 30

6.8 Autokorrelációs függvény ..................................................................................... 30

7 FEJEZET: Idősoranalízis. ............................................................................................ 31

7.1 A trendkomponens számítása ................................................................................ 31

7.2 A periodikus komponens számítása ....................................................................... 32

7.3 A trendtől és periódustól mentes („maradék”) idősor A(i) számítása: ..................... 33

8 FEJEZET: Előrejelzés idősor modellekkel. .................................................................. 34

8.1 Egylépéses autoregresszív (AR) modell ................................................................ 34

8.2 Kétlépéses autoregresszív (AR) modell ................................................................. 34

8.3 Előrejelzés idősormodellekkel ............................................................................... 35

9 FEJEZET: Empirikus árvízszámítás............................................................................. 38

9.1 A mértékadó vízhozam számításának módszerei ................................................... 38

9.2 Tapasztalati (empirikus) árvízszámítás .................................................................. 39

9.2.1 A racionális módszer (A < 10 km2) ................................................................ 39

9.2.2 A Csermák-féle eljárás (A = 0 - 3000 km2)..................................................... 40

9.2.3 Kollár módszere (A = 0 - 500 km2) ................................................................ 42

9.2.4 A Ven Te Chow-Wisnovszky módszer (A = 0 - 50 km2) ................................ 43

10 FEJEZET: Árvízszámítás hidrológiai statisztikai módszerekkel. .................................. 45

10.1 Elméleti alap...................................................................................................... 45

10.2 A kettős exponenciális eloszlásfüggvények ........................................................ 47

11 FEJEZET: A víztározás alapfogalmai. ......................................................................... 49

11.1 A tározó teljesítőképességi görbéje .................................................................... 51

11.2 Tározóméretezési módszerek ............................................................................. 53

11.3 Az integrálgörbés tározóméretezési eljárás ........................................................ 54

IRODALOMJEGYZÉK ...................................................................................................... 56


4

1 FEJEZET: Műszaki hidrológia és Hidrológiai statisztika.

A Hidrológia I. tárgy a hidrológiai körfolyamat fizikai tárgyalásával foglalkozik, ezért fizikai hidrológiának is nevezik. Jelen Hidrológia II. a műszaki tervezés hidrológiai alapadatait állítja elő, ezért nevezik műszaki hidrológiának.

A műszaki hidrológia fő fejezetei a következők:

Árvízszámítás, Víztározás, Hidrológiai előrejelzések.

Valamennyi főfejezetben közös megoldási eszköz a hidrológiai statisztika, ami a valószínűség számításra és matematikai statisztikára támaszkodik.

A hidrológiában eseményeket vizsgálunk. Az események törvényszerűségeit az eseményalgebra írja le. Matematikai alapként a Boole-algebrákat említhetjük meg. Konkrét Boole-algebrák:

halmazalgebra, eseményalgebra, logikai algebra, kapcsolásalgebra.

1.1 A valószínűség számítás

A valószínűség számítás a természetben és a társadalomban előforduló véletlen tömegjelenségek vizsgálatával foglalkozik. Feladata a véletlen (sztochasztikus) tömegjelenségek objektív törvényszerűségeinek feltárása.

Véletlen jelenségről vagy eseményről akkor beszélünk, ha a ható tényezőket teljes körűen nem tudjuk figyelembe venni, mert azokat nem ismerjük, vagy, mert számuk igen nagy, vagy mindkettő. A véletlen jelenségeknél így a figyelembevett körülmények többféle kimenetelt engednek meg, nem határozzák meg az eseményt egyértelműen. (A véletlen eseménynek is persze vannak okai.)

Tömegjelenség: az olyan jelenségeket, amelyek nagy számban lépnek fel, vagy azonos körülmények mellett tetszés szerint többször megismételhetők (kísérlet).

A véletlen eseményekhez hozzárendelhető azok valószínűsége, melyet észlelések alapján, vagy kísérletek végzésével határozunk meg (pl. pénzfeldobás).

1.2 A relatív gyakoriság és valószínűség

A relatív gyakoriság eseményeknél (kísérleteknél, méréseknél):

푟 =푘푛 =

푘푒푑푣푒푧ő푒푠푒푚é푛푦푒푘푠푧á푚푎ö푠푠푧푒푠푒푠푒푚é푛푦푒푘푠푧á푚푎


5

A valószínűség az a számérték, amely körül valamely – meghatározott körülmények között vizsgált – véletlen esemény relatív gyakoriságának ingadozása viszonylagos stabilitást mutat. („Nagy számok törvénye”: a relatív gyakoriság konvergál a valószínűséghez). Más szavakkal: a valószínűség a relatív gyakoriság határértéke:

푃(퐴) = lim→∞

푘푛

Itt fontos megemlíteni a Kolmogorov-féle axiómákat, amik az események bekövetkezésének alapjait foglalják össze:

Egy (A) esemény bekövetkezésének valószínűsége:

0 ≤ 푃(퐴) ≤ 1

A lehetetlen O és biztos esemény I valószínűsége:

푃(푂) = 0; 푃(퐼) = 1

A és B egymást kizáró esemény, akkor:

푃(퐴 + 퐵) = 푃(퐴) + 푃(퐵)

1.3 A valószínűségi változó

A valószínűségi változó (ξ) az eseménytéren értelmezett olyan valós értékű függvény, melynél azon esemény, hogy a vizsgált változó értéke (azaz a vizsgált esemény) az a,b intervallumba esik (a < b), valószínűséggel rendelkezik. Más megfogalmazásban: ha valamely adatsor elemei véletlen tömegjelenséget reprezentálnak.

Reimann József: Az olyan mennyiségeket, amelyeknek értéke a véletlentől függ, véletlen mennyiségeknek, vagy valószínűségi változóknak nevezzük.


6

2 FEJEZET: Empirikus és elméleti sűrűség- és eloszlásfüggvény.

Mérések vagy kísérletek (események) értékelése szempontjából két esetet különböztetünk meg:

Egy valószínűségi változó vizsgálata: ξ(x1, x2, x3, …, xi, …, xn). o A valószínűségi változót eloszlásvizsgálatnak és idősor-analízisnek vethetjük

alá. Több valószínűségi változó együttes vizsgálata:

o ξ: x1, x2, x3, …, xi, …, xn

o η: x1, x2, x3, …, xi, …, xn

o Több valószínűségi változó együttes vizsgálatakor végezhetünk korreláció- és regresszió-analízist.

Egy valószínűségi változó eloszlásvizsgálatával a tervezés hidrológiai alapadatát jelentő mértékadó értékek meghatározására van mód. Ezzel szemben az idősor-analízisnek elsősorban operatív felhasználása van (pl. előrejelzések készítése). További célként jelenik meg a valószínűségi változók eloszlásának megismerése.

2.1 Empirikus sűrűség- és eloszlásfüggvény Ha az egyes adatok (vagy adatcsoportok) gyakoriságát az adatok (osztályközök) függvényében ábrázoljuk, a gyakorisági ábrát kapjuk. A relatív gyakorisági ábrát empirikus sűrűségfüggvénynek (egyes szerzők intervallum gyakorisági ábrának) nevezik. Az az alatti terület nagysága mindig 1. A sűrűségfüggvény integrálja az eloszlásfüggvény.

1. ábra: Empirikus sűrűségfüggvény

Nagy elemszám esetén a lépcsős sűrűségfüggvény jól közelíthető görbével. A sűrűségfüggvény egy ordinátája azt mutatja meg, hogy az illető osztályközbe hány adat esik (milyen „sűrűn” helyezkednek el az adatok).


7

2. ábra: Empirikus eloszlásfüggvény

Az eloszlásfüggvény egy ordinátája azt mutatja meg, hogy az osztályközbe eső vagy annál kisebb érték hányszor, illetve milyen valószínűséggel fordul elő.

Nem minden esetben lehetséges osztályközöket képezni. De az eloszlásfüggvényt a sűrűségfüggvény nélkül is elő lehet állítani. Ilyen esetekben minden adatot egyedileg vizsgálunk. Ha például a ξ(x1, x2, x3, …, xi, …, xn) valószínűségi változó évi jellemző hidrológiai adat, annak száma nem több száz, hanem 30-50 (mivel gyakran 30-50 éves adatsorokkal dolgozunk). Ekkor minden adat azonos súlyú, a gyakoriság 1/n minden xi

értékre. Ekkor az empirikus eloszlásfüggvény meghatározásához nagyság szerinti sorrendbe állítjuk az xi értékeket a xmin legkisebb értéktől a xmax legnagyobb értékig. Ez a művelet az adatsor rendezését jelenti, amit kapunk: rendezett minta.

A rendezett minta alapján az i. adathoz tartozó pi valószínűség:

풑풊 =풊풏

ahol n az adatsor elemeinek a száma. Ekkor az F(x) eloszlásfüggvény a következő képlet szerint alakul:

퐹(푥) =

0, ℎ푎푥 < 푥푖푛 , ℎ푎푥 ≤ 푥 ≤ 푥

1, ℎ푎푥 < 푥


8

3. ábra: Példa empirikus eloszlásra

Az f(x) elméleti sűrűség- és az F(x) elméleti eloszlásfüggvényhez akkor jutunk el, ha a megfigyelések és ezzel párhuzamosan az osztályközök számát minden határon túl növeljük, ezzel egyidejűleg az osztályköz szélességét minden határon túl csökkentjük.

A sűrűségfüggvény alatti terület mindig egységnyi:

푓(푥)푑푥 = 1,0

Az f(x) sűrűségfüggvény az F(x) eloszlásfüggvény deriváltja, vagyis

푓(푥) = 퐹 (푥) =푑퐹(푋)푑푥

Az eloszlásfüggvény egy ordinátája azt mutatja meg, hogy mekkora annak a valószínűsége, hogy ξ értéke x vagy annál kisebb, azaz:

퐹(푥) = 푃(휉 ≤ 푥) = 푓(푥)푑푥

Ez alapján egy a-b tartományba esés valószínűsége:

푃(푎 ≤ 휉 < 푥) = 푓(푥)푑푥 = 퐹(푏) − 퐹(푎)

A sűrűségfüggvény természetesen lehet szimmetrikus és aszimmetrikus is.

A sűrűségfüggvényt jellemező paraméterek:

x0 modus: a legnagyobb sűrűségértékhez tartozó x0 változóérték (megfelel a diszkrét eloszlásnál értelmezhető legnagyobb valószínűségű, leggyakoribb értéknek),

xm medián: a sűrűségfüggvény alatti területet felező xm abszcissza érték (a nagyság szerint sorba állított értékek közül a középső),


9

x középpont (számtani közép): a sűrűségfüggvény alatti terület súlypontjához tartozó abszcissza érték (várhatóérték, középérték):

푥 =∫푥 ∙ 푓(푥)푑푥∫ 푓(푥)푑푥

d aszimmetria sugár: Minél nagyobb d értéke, a sűrűségfüggvény annál aszimmetrikusabb. Ha 푥 = 푥 akkor a görbe szimmetrikus, ellenkező esetben aszimmetrikus és a d aszimmetriatényező: 푑 = 푥–푥 .

4. ábra: Számtani közép, helyzeti közepek, aszimmetriasugár

Ha az aszimmetria nem „túl nagy”, a medián közelítőleg harmadolja a modus és a számtani közép közötti távolságot, az aszimmetriasugarat.

A modus, medián és várható érték között két sorrend lehetséges:

푥 ≤ 푥 ≤ 푥 푣푎푔푦푥 ≤ 푥 ≤ 푥

2.2 A valószínűségi változók jellemzői o A várható érték, o A szórás, o A momentumok.

2.2.1 A várható érték Legyen adott ξ diszkrét valószínűségi változó, melynek lehetséges értékei x1, x2, x3,…,xi,… ezeket p1, p2, p3,…,pi,… valószínűséggel veszi fel.

A várhatóérték definíciószerűen:

푀(휉) = 푥 푝


10

végtelen sor. M(ξ) akkor létezik, ha a végtelen sor abszolút konvergens.

Abban az esetben, ha ξ folytonos valószínűségi változó, és létezik az f(x) sűrűségfüggvénye, akkor 푀(휉) = ∫ 푥 ∙ 푓(푥)푑푥 integrál adja. Mivel ez egy improprius integrál, ezért a várhatóérték létezésének feltétele a megfelelő határérték létezése.

A várható érték a ξ valószínűségi változó „centrumát” adja meg.

2.2.2 A szórás A szórás várható érték körüli szóródás mértékét adja meg. Abban az esetben, ha létezik M(ξ) várhatóérték, akkor a szórás definíciószerűen:

퐷(휉) = + 푀 [휉 −푀(휉)]

Véges minta esetén:

A ξ valószínűségi változó helyébe → az x1, x2, x3, …, xi, …, xn véges adatsor lép.

Az M(ξ) várhatóérték helyébe → a középérték:

푥 =∑ 푥푛

A D(ξ) szórás helyébe pedig → a tapasztalati (empirikus) szórás lép:

휎 =∑ (푥 − 푥)

푛

Ezek a tapasztalati értékek a rendelkezésünkre álló véges minta alapján becsült számértékek.

2.3 A momentumok A momentumok a valószínűségi változó eloszlásának jellemző adatai. Lehetnek:

o Általános momentumok, o Kezdeti momentumok, o Centrális momentumok.

A kezdeti és a centrális momentumok az általános momentumok részhalmazát képezik.

A ξ valószínűségi változóhoz rendelt Mn általános n-ed rendű momentum alatt definíciószerűen az alábbi kifejezést értjük:

푀 = 푀[(휉 − 퐴) ]

Az x észlelési adatok alapján pedig a következő képpen definiáljuk:

푀 =∑ (푥 − 퐴)

푁

Abban az esetben, ha A= 0 kezdeti momentumokról beszélünk:

푚 = 푀[(휉 − 0) ] = 푀(휉 )


11

amit másképpen úgy is megfogalmazhatunk, hogy a koordináta-rendszer kezdőpontjára vett nyomaték:

푚 =∑푥푁

Abban az esetben pedig, ha A = 푥, akkor centrális momentumokról beszélünk:

푀 =∑(푥 − 푛)

푁

Folytonos valószínűségi változó (ξi) és végtelen elemszám esetén 푥 középérték helyett M(ξ) várható érték szerepel, így az előbbi összefüggés a következőképp alakul:

푀 = 푀[([휉 −푀(휉)] ]

Nevezetes, momentumokra vonatkozó azonosságok:

o a nulladrendű kezdeti momentum értéke egy: m0 = 1, o az elsőrendű kezdeti momentum értéke a várhatóérték (középérték): m1 =푥 , o a nulladrendű centrális momentum értéke egy: M0 = 1, o az elsőrendű centrális momentum értéke nulla: M1 = 0, o a másodrendű centrális momentum értéke a szórásnégyzet: M2 = σ2.

A fentiekből az következik, hogy a momentumok magukban foglalják a várható értéket és a szórást.

A momentumok ismeretében is meg lehet becsülni a helyzeti közepeket:

átlag: m1 =푥 szórás: 휎 = 푀

relatív szórás (variációs tényező): 푐 = =

aszimmetria sugár: 푐 = /


12

3 FEJEZET: Elméleti eloszlásfüggvények a hidrológiában.

Az eloszlásfüggvényeket több szempont szerint osztályozhatjuk. Megkülönböztetünk diszkrét és folytonos eloszlásfüggvényeket. A hidrológiában az alábbi eloszlásokat alkalmazzák leggyakrabban:

Diszkrét eloszlásfüggvény: Poisson Folytonos eloszlásfüggvények:

o Normál, o Transzformált normál típusok (log-, gyök- reciprok normál eloszlás), o Gamma-3 (Γ3) o Pearson-III, o Gamma-2 (Γ2), o Exponenciális eloszlás, o Kettős exponenciális eloszlások (Gumbel, Frèchet, Todorovics).

Csoportosíthatjuk az eloszlásokat a szimmetriaviszonyok szempontjából:

Szimmetrikus, Aszimmetrikus.

Megkülönböztetünk a paraméterek száma szerint:

Egyparaméteres (pl. exponenciális), Kétparaméteres (pl. normál, transzformált normál típusok) Háromparaméteres (pl. Gamma-2, Gamma-3, Pearson-III).

Az eloszlásfüggvények paraméterbecslésére alkalmas eljárások: a momentum módszer, maximum-likelihood módszer és a grafikus eloszlásvizsgálatok.

3.1 A hidrológiában leggyakrabban használt eloszlásfüggvény típusok

3.1.1 Poisson eloszlás Diszkrét valószínűségi változó leírására alkalmas, a binomiálisból eloszlásból származtatható eloszlásfüggvény. Ezt az eloszlást rövid ideig tartó, ritkán előforduló, szélsőségesen nagy vagy kicsiny értékek vizsgálatára használjuk. Az időegység alatt jelentkező esemény számának eloszlását írja le. A ξ valószínűségi változó lehetséges értékei: 0, 1, 2,…,i,…. Az eloszlásfüggvényt a következő összefüggés írja le:

퐹 (푥) = 푃(휉 = 푥) =휆푥! 푒

Az eloszlás várható értéke és szórásnégyzete is λ, azaz M(ξ) = D2(ξ) = λ.

Az eloszlás egyetlen λ paraméterét a középérték és a tapasztalati szórás alapján határozhatjuk meg: 휆 = 푥 = 휎 . Gyakorlatban az átlagértékkel becsüljük λ értékét, mivel pontosabb eredményt ad.


13

3.1.2 Normál eloszlás A normál (vagy normális) eloszlás folytonos, szimmetrikus eloszlás típus. Az eloszlásfüggvény analitikus alakja a következő:

퐹 (푥) =1

휎 ∙ √2휋∙ 푒

( )푑푡

ahol t = x (a valószínűségi változó vizsgált, konkrét értéke), 푥 a középérték, σ szórás. A normál eloszlás kétparaméteres eloszlás. A két paraméter: az 푥 középérték és a σ szórás. Mint azt korábban láttuk a középérték és a szórás a momentumokból meghatározható:

A középérték az elsőrendű kezdeti momentumból: 푥= m1 A szórásnégyzet a másodrendű centrális momentumból: σ2 =M2

A gyakorlati számításokhoz a következő transzformációs alakot használják:

푥 = 푥 ± 휎 · 푥

ahol xt = f(p) a standard normál eloszlás p valószínűséghez tartozó, táblázatból kiolvasható értéke, xp pedig a p valószínűséghez tartozó x érték. Ezt a módszert standardizálásnak hívjuk. A standard normál eloszlás paraméterei: 풙 = 0, σ = 1, szokásos jelölése: N(0,1).

Ebből következik, hogy a standard normál eloszlás képlete a következő:

퐹 (푥) =1√2휋

∙ 푒 푑푡

A standardizálás során kiindulunk a véges adatsorunkból: x1, x2, …, xn 푥,σ

Majd minden elemből levonjuk a középértéket: x1 - 푥, x2 - 푥, x3 - 푥,…, xn - 푥 0, σ

Végül az így kapott adatsor elemeit elosztjuk a szórással: , , …, 0,1


14

5. ábra: Standard normál eloszlásfüggvény

Kihasználva a standard normál eloszlás szimmetrikus voltát a táblázatok általában csak 0-0,5 vagy a 0,5-1,0 valószínűségekhez tartozó értékeket tartalmazzák.

3.1.3 Lognormál eloszlás A lognormál eloszlás (ahogyan a később bemutatásra kerülő többi eloszlás is) folytonos eloszlás. A mért értékek helyett azok logaritmusait alapul véve határozzuk meg a momentumokat és paramétereket. A logaritmizálással követni lehet a kiugróan nagy értékeket. Természetesen a függvény alsó korlátja 0, így célszerű olyan adatok alkalmazásánál, amelyek fizikai jellegéből adódóan nem lehetnek negatívak. Az eloszlásfüggvény analitikus alakja a következő:

퐹 (푥) =1

휎′ ∙ √2휋∙ 푒

( )( ) 푑푡

ahol t = x (a valószínűségi változó vizsgált, konkrét értéke). A lognormál eloszlás is kétparaméteres eloszlás. A két paraméter:

푥′ =∑ 푙푛푥

푛 , 휎 =∑ (푙푛푥 − 푥 )

푛

3.1.4 Gamma-3 (Γ3) eloszlás Az Gamma-3 eloszlásfüggvény analitikus alakja:

퐹(푥) =휆Γ(푘) 푡 푒 ( )푑푡

ahol 푥 = 푥 − 2 az eloszlásfüggvény alsó korlátja, t = x (a valószínűségi változó vizsgált,

konkrét értéke), 휆 = , 푘 = ( ) , Γ(k), a másodrendű Euler-integrál. Hogy λ és k

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

való

szín

űség

(p)

valószínűségi változó (x)


15

kifejezésében x0 előjelétől megszabaduljunk, és hogy a már számított x0 felhasználásából származó hibahalmozódást elkerüljük, λ és k kifejezésébe behelyettesítjük x0-t:

휆 = 2푀푀 푖푙푙푒푡푣푒푘 = 4

푀푀

A gyakorlati számításoknál használt formula:

푥 = 푥 +푥2휆

ahol xt = f(p,k) a p valószínűséghez tartozó, táblázatban szereplő érték.

A Gamma-3 eloszlás háromparaméteres eloszlás. A három paraméter: x0, λ és k. Ha k > 15, a Gamma-3 eloszlásfüggvény helyett közelíthetjük azt normál eloszlásfüggvénnyel. A k = ∞ esetben a Gamma-3 eloszlásfüggvény értékei teljesen megegyeznek a normál eloszlásfüggvény értékeivel (vagyis mondhatjuk, hogy a normál eloszlás a Gamma-3 eloszlás egy speciális esete). Az x0 alsó korlát alkalmazása gyakran fizikailag indokolt (például vízhozam idősorok esetén).

3.1.5 Gamma-2 eloszlás Az eloszlásfüggvény matematikai alakja:

퐹(푥) =휆Γ(푘) 푡 푒 푑푡

Mint látható hasonlít a Gamma-3 eloszláshoz. Gyakorlati számításokhoz használt alakja:

푥 = 푥 ∙ 푘

ahol 푘 = 푓 푝, 푐 , . A cs / cv értékeire táblázatokat dolgoztak ki, így táblázatok közötti

interpolációra is szükség van, ami az alkalmazást nehézkessé teszi.

A Gamma-2 eloszlás háromparaméteres eloszlás. A három paraméter: az 푥 középérték, a variációs tényező, 푐 = , és a cs aszimmetria tényező, 푐 = / .

3.1.6 Pearson-III eloszlás Az eloszlásfüggvény analitikus alakja:

퐹 (푥) = 푦 ∙ 1 +푡푎

∙∙ 푒 ∙ 푑푡

ahol 푥 = 푥 1 − az eloszlásfüggvény alsó korlátja, t = x (a valószínűségi változó

vizsgált, konkrét értéke). Az előzőekhez hasonlóan a gyakorlati számításhoz nem ezt az alakot használjuk, hanem egy transzformációs formulát:


16

푥 = 푥(1+ Φ ∙ 푐 )

ahol cv a variációs tényező (relatív szórás), Φ= f(p, cs) a Foster-tényező (amit a Foster-Ribkin-táblázatból vehetünk ki), cs az aszimmetria tényező.

A Pearson-III eloszlás háromparaméteres eloszlás. A három paraméter: az 푥 középérték, a variációs tényező, 푐 = , és a cs aszimmetria tényező, 푐 = / . Mint látjuk, ezek a

paraméterek megegyeznek a Gamma-2 eloszlás paramétereivel.

3.1.7 Exponenciális eloszlás A várakozási idők, a követési idők és a használati tárgyak élettartama exponenciális eloszlást követ. Alkalmas például árhullámok közötti időszakok eloszlásának leírására, így a hidrológiai előrejelzésben lehet szerepe.

Az eloszlásfüggvényt a következő összefüggés írja le:

퐹 (푥) = 푃(휉 < 푥) = 1 − 푒

ahol λ pozitív állandó. Az eloszlás sűrűségfüggvényének matematikai alakja:

푓 (푥) = 휆푒

Ahogyan a lognormál eloszlás esetén, itt is csak pozitív x értékekre van az eloszlás és a sűrűségfüggvény értelmezve. Mint látjuk a Poisson eloszláshoz hasonlóan az exponenciális eloszlás is egyparaméteres. Könnyen belátható, hogy ennek az eloszlástípusnak a várható értéke M(ξ) = 1/λ, szórásnégyzete D2(ξ) = 1/λ2. Ennek megfelelően a paraméter értékének a meghatározása:

휆 =1푥 =

1휎 =

1푚 =

1푀

Mivel az exponenciális eloszlás várhatóértéke és szórása megegyezik, ezért csak akkor alkalmazható, ha a vizsgált adatsor középértéke és a tapasztalati szórása „közel” esik egymáshoz. Kis terjedelmű minták esetén a két érték ( é푠 ) nagyobb mértékben is eltérhet

egymástól, hiszen ekkor a tűrési sávok szélesek. Ekkor 휆 = értékkel célszerű számolni.

3.1.8 Kettős exponenciális eloszlások A kettős exponenciális eloszlások közül a hidrológiában leggyakrabban alkalmazott három:

Gumbel eloszlás, Frèchet eloszlás (tulajdonképpen log-Gumbel eloszlás), Todorovics eloszlás (általánosított kettős exponenciális eloszlás).

Ezekről az eloszlásokról a későbbi fejezetekben lesz szó részletesebben.

Példaként lássunk egy 30 éves évi középvízhozam adatsor empirikus eloszlására illesztett normál, Gamma-3 és Pearson-III eloszlásokat.


17

6. ábra: Eloszlásfüggvények

Látható, hogy a Gamma-3 és a Pearson-III. eloszlás között alig van eltérés. Az empirikus és elméleti eloszlások közelítésének mértékét az illeszkedésvizsgálatok írják le.


18

4 FEJEZET: Eloszlásfüggvények hidrológiai alkalmazása.

A hidrológiában alkalmazott eloszlásfüggvényekkel szembeni követelmények:

Folytonos ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye legyen folytonos és x változó minden pozitív értékére vonatkozóan határozott.

A görbe kezdeti szakasza valamely megadott pontból, legtöbbször valamilyen pozitív x értékből (x0) induljon ki (minimum érték legyen meghatározva).

A görbe felső szakasza elméleti meggondolásból ne legyen kötött és ezzel azonos tartalmú a következő követelmény:

o Az eloszlásfüggvény felső szakasza – x nagy értékeinél – aszimptotikusan simuljon a vízszintes tengelyhez.

A sűrűséggörbe közelítően haranggörbéhez legyen hasonló (unimodális sűrűségfüggvény = egy csúcsa legyen).

A függvényeket meghatározó paraméterek száma háromnál több ne legyen (elegendő az eloszlás jellemzéséhez 3 paraméter, és ez a 3 a rövid adatsorból még elég megbízhatóan becsülhető).

Az eloszlásfüggvények a ξ valószínűségi változó eloszlástípusát tekintve két csoportra oszthatjuk:

tényleges eloszlások (csak néhány esetben vezethetők le): o mérési hiba (normáleloszlás) o követési időközök (exponenciális eloszlás) o csapadékmentes időszakok (exponenciális eloszlás) o időtartam alatti események száma (Poisson-eloszlás) o árvízhozamok (normál eloszlás, kettős exponenciális eloszlás)

simuló eloszlások (nem ismerjük ξ eloszlás típusát, így tapasztalati eloszlás alapján illesztünk egy eloszlás típust):

o természetes készletváltozás o csapadékátlagok o vízhozamátlagok

A tényleges eloszlás konfidencia sávja szűk, ezzel szemben a simuló eloszlás konfidencia sávja igen széles (konfidencia sáv: megbízhatósági intervallum).

4.1 Illeszkedésvizsgálatok Az empirikus eloszlás és az elméleti eloszlás közelítésének vizsgálatát jelenti. A közelítés mértékének (szorosságának, megfelelőségének, jóságának) mérése.

Főbb illeszkedésvizsgálatok:

χ2-próba Kolmogorov-Szmirnov próba


19

4.1.1 A Kolmogorov-Szmirnov próba A módszer lényege, hogy a tapasztalati és elméleti eloszlásfüggvény közötti legnagyobb különbségből (dmax – abszolút értékben) számítjuk az illeszkedés valószínűségét.

Képezzünk egy valószínűségi változót: 풛 = 풅풎풂풙 ∙ √풏 (n = mintaelemszám), mely z Kolmogorov eloszlású valószínűségi változó, eloszlásfüggvénye: 푳(풛) = ∑ (−ퟏ)풌풆 ퟐ풌ퟐ ∙풛ퟐ A z változó eloszlása akkor L(z), ha n elegendően nagy. A döntés alapján képező valószínűség: 풑 = ퟏퟎퟎ[ퟏ − 푳(풛)] > 5% , az illeszkedés megfelelő.

4.1.2 χ2-próba A módszer során az adatsort az eloszlásfüggvény alapján egyenlő valószínűségű osztályközökre bontjuk. Ekkor:

휒 =(푛 −푚 )

푚

ahol:

k az osztályközök száma, ni az osztályközökbe eső adatok száma (az osztályköz gyakorisága), mi az osztályköz várható gyakorisága,

ill. átalakítás után:

휒 =푘푁 푛 − 푁

Az illeszkedés megfelelőségére jellemző valószínűségű értéket a χ2 eloszlás táblázatból olvashatjuk ki a szabadsági fok (f) függvényében.

푓 = 푘 − 1 − 푣

ahol v az eloszlásfüggvény paramétereinek száma (2 vagy 3). Az illeszkedés megfelelő, ha:

풑 > ퟓ%

Az osztályközök számát célszerűen 5 és 20 között kell megválasztani úgy, hogy az egyes osztályközökbe legalább 5 -10 adat essen.

4.2 Reprezentativitás, egyöntetűség, függetlenség A reprezentativitás, egyöntetűség és függetlenség az eloszlásvizsgálat alapvető követelménye.

Reprezentativitás: a vizsgált minta a vizsgálni kívánt jelenségre vonatkozzon. Függetlenség: valamely adat értéke nem függ az előzőtől, azaz az előző a következő

kialakulását nem befolyásolja. Egyöntetűség (homogenitás): egyöntetű az adatsor, ha két vagy több független

mintarész azonos típusú és paraméterű eloszlásból származik.

Néhány vizsgálati módszer:


20

Függetlenség:

Wald-Wolfowitz-próba χ2-statisztikus próba Előjel-próba Wilcoxon-próba Kétmintás próba

Egyöntetűség:

Kolmogorov-Szmirnov-próba Kolmogorov-Szmirnov féle kétmintás próba Előjel-próba Wilcoxon-próba Mann-Whitney-próba

4.2.1 Függetlenségvizsgálatok a) χ2(khi négyzet) - próba

Az adatokat xi – xi+1 koordináta rendszerben ábrázoljuk. Az ábrázolt ponthalmazt középértékük környékén (esetleg egész értéknél) 2 egyenessel 4 részre osztjuk, és meghatározzuk az egyes negyedekbe eső pontok számát (νij). Az egyenesek lehetőség szerint ne menjenek át egyik ponton sem. Ellenkező esetben fél-fél pontot számítsunk az egyes síknegyedekbe.

7. ábra: χ2 próba

χ2 számítása:

휒 = (푁 − 1)(휈 휈 − 휈 휈 )휈 . ∙ 휈 . ∙ 휈. ∙ 휈.

Az adatok függetlenek, ha χ2 < 3,84 (p > 5,0% a χ2 eloszlás f = 1 szabadsági fokánál).

b) Előjel-próba

xi értékét összehasonlítjuk xi+1 értékével. A xi nagyobb, akkor legyen az összehasonlítás eredménye (zi) 1, ellenkező esetben 0, illetve egyenlőség esetén 0,5.

A 푘 = ∑ 푧 jó közelítéssel normál eloszlást követ, melynek paraméterei:


21

푘 =푛2휎 =

푛4

A k standardizált értékének 푘∗ = megfelelően normál eloszlás táblázatából kiolvasható

a függetlenség valószínűsége. Amennyiben p > 5%, ill. ha k* < 1,96, az adatok függetlenek (a normál eloszlásfüggvény függvényértéke p = 2,5% - nál 1,96).

c) Wilcoxon-próba

Képezzük az észlelési sorrendben következő adatok 푑 = 푥 − 푥 különbségét. A kapott értékeket előjeltől függetlenül rangsoroljuk, majd egy tetszőlegesen választott előjel rangsorszámát (R) összegezzük. Ez (R) normál eloszlású valószínűségi változó.

푅 =(푁 + 1)푁

4 휎 =(2푁 + 1)푁(푁 + 1)

24

푧 = → 퐹(푧), a normál eloszlás táblázatából: 풑 = ퟐ[ퟏ − 푭(풛)] > 5%, az adatsor

független.

4.2.2 Egyöntetűség vagy homogenitás vizsgálatok a) Kolmogorov-Szmirnov-próba

A módszer azt a feltételt alkalmazza, hogy az adatsor egyes részei is ugyanolyan eloszlásúak, mint a teljes adatsor. Ezért az adatsort k és l mintákra bontjuk (a feltételezett inhomogenitási pontnál – észlelési hiány, törés vagy ugrás az idősor ábrában). A két eloszlás függőleges

maximális távolsága: dkl. Képezve a √푛 = ∙ értéket, a 푧 = 푑 ∙ √푛 → Kolmogorov

eloszlású valószínűségi változó, eloszlásfüggvénye: L(z).

Ebből a döntés alapját képező valószínűség: 풑 = ퟏퟎퟎ[ퟏ − 푭(풛)] > 5% az adatsor homogén. A módszer k < 20 és l < 20 esetén csak tájékoztató jellegű eredményt szolgáltat.

b) Előjel-próba

Az adatsort megfelezzük, így kapunk két fél adatsort (x1…xk, y1…yl). Ha az első fél adatsor azonos számú eleme nagyobb, zi = 1, ellenkező esetben 0 (vagy fordítva).

A módszer a továbbiakban megegyezik a függetlenségvizsgálatoknál leírtakkal.

c) Wilcoxon-próba

Az észlelési sorrendbe rakott adatsort középen k = l két részre bontjuk, majd képezzük az azonos sorszámú elemek 푑 = 푥 − 푥 különbségét. Ezeket előjeltől függetlenül rangsoroljuk, majd egy tetszőlegesen választott előjel rangsorszámait (R) összegezzük. Ez (R) normál eloszlású valószínűségi változó, melynek paraméterei:

푅 =푘(푘 + 1)

4 휎 =푘(푘 + 1)(2푘 + 1)

24


22

Az 푅 standardizált értékének megfelelően a normál eloszlás táblázatból vehető ki a

függetlenségre jellemző valószínűség: 푧 = → F(z) normál eloszlású. Ha 풑 =

ퟐ[ퟏ − 푭(풛)] > 5%, az adatsor homogén.

4.3 A ξ valószínűségi változó eloszlásvizsgálatának áttekintése

8. ábra: A hidrológiai statisztikai vizsgálatsor folyamatábrája


23

5 FEJEZET: Két- vagy több valószínűségi változó együttes vizsgálata.

Adott két valószínűségi változó:

ξ(x1, x2,…, xn)(csapadék)

η(y1, y2,…, yn)(lefolyás)

A feladat:

Meghatározni η értékét ξ valószínűségi változó adott értékei alapján. A kapcsolat nem y = f(x1, x2, …., xn) vagy egyszerűen y = f(x) függvénykapcsolat (mert η és ξ valószínűségi változók), hanem sztochasztikus kapcsolat. Ez azt jelenti, hogy a két valószínűségi változó nem független egymástól. Azaz az egyik befolyásolja a másikat, de azt teljes egyértelműen nem határozza meg (pl. csapadék – lefolyás kapcsolata).

korrelációs kapcsolat: η konkrét értékéhez ξ legvalószínűbb értékét rendeli hozzá. A kapcsolat jellegét (lineáris, nem lineáris) az ábrázolt adatok alapján célszerű felvenni.

Így az 푦 = 푦 = 푀(휂/휉 = 푥) feltételes várhatóérték függvénnyel dolgozunk. Ezt η valószínűségi változó ξ-re vonatkozó regressziójának nevezzük.

5.1 A korrelációs vizsgálat fő lépései [1] Az y = f(x) matematikai összefüggés azon formájának meghatározása, amely

legjobban megfelel a mérési adatsoroknak. A kapcsolat alakjának, jellegének önkényes, de az adatokhoz illeszkedő felvétele.

[2] A feltételezett függvénytípus paramétereinek meghatározása.

Pl.: y’ = a + bx a = ?, b = ?

y’ = a + bx + cx2 + dx3 a = ?, b = ?, c = ?, d = ?

[3] A kapcsolat szorosságának meghatározása.

r(η, ξ) = ? (korrelációs tényező)

5.2 A korrelációs kapcsolatok felhasználási területei Előrejelzés, Adat hiánypótlás, hiányzó észlelések pótlása, Egyes tényezők pontosságának vagy súlyának meghatározása, Egyöntetűség-, függetlenségvizsgálatok, Szimulációs vizsgálatok, Adatsor meghosszabbítás, adatgenerálás.

5.3 A korreláció vizsgálatok menete 1) A kapcsolat jellegének felvétele Lineáris: y’ = a +bx

η(ξ) (azonos időben és helyen!)


24

Az általános összefüggés paramétereit a legkisebb négyzetek módszerének alkalmazásával vezethetjük le. Úgy kell az x és y értékpárok alkotta pontokat legjobban közelítő kapcsolati vonalat (egyenest) felvenni, hogy a pontoknak az egyenestől vett távolságának négyzetösszege minimális legyen.

9. ábra: Az y(x) regressziós egyenes

Nemlineáris: hatványfüggvények o Parabolikus kapcsolatok

y’ = axb y’ = a + bx + cx2 y’ = a + bx + cx2 + dx3

o Egyéb kapcsolatok 푦’ = 푎 + 푏

푦’ = 푎 + 푏 + 푐

푦’ = ,푦 = Exponenciális: y’ = a*bx + c logaritmizálva linearizálható Logaritmikus: y’ = a + b*logx

2) A kapcsolat állandóinak meghatározása

Lineáris kapcsolat feltételezése esetén: y’ = a +bx

lineárisnak tűnik nem egyértelmű a kapcsolat jellege, pontfelhő esetén, első közelítésként, stb.

a és b = ?

1푦′ = 푤


25

A feladat megoldását a legkisebb négyzetek elve (Gauss) alapján oldjuk meg. Az a és b úgy választandó meg (n adat esetén), hogy:

(푦 − 푦 ) = 푚푖푛!

Ha a kapcsolat (feltételezés szerint) lineáris: y’ = a + bx, akkor:

(푦 − 푎 − 푏푥 ) = (푦 − 푎 − 푏푥 ) + (푦 − 푎 − 푏푥 ) + ⋯+ (푦 − 푎 − 푏푥 ) =

= 휑(푎, 푏) = 푚푖푛!

Most a és b állandókat változónak tekintve képezzük az elsőrendű parciális deriváltakat:

( , ) = 0 , azaz: ∑푦 = 푛 ∙ 푎 + 푏 ∑푥 I. normálegyenlet

( , ) = 0 , azaz: ∑푥푦 = 푎∑푥 + 푏∑푥 II. normálegyenlet

ahol n az x és y adatpárok száma.

A két normálegyenlet a-ra és b-re lineáris egyenletrendszer ad, melynek megoldása:

푎 =∑푥∑푥푦 − ∑푦∑푥(∑푥 ) − 푛∑푥

푏 =∑푥∑푦 − 푛∑푥푦(∑푥 ) − 푛∑푥

A fenti a és b állandók melletti lineáris kapcsolat átmegy az adatok 푺(풙, 풚) súlypontján, azaz kielégíti az 푦 = 푎 + 푏푥 egyenletet is. (푦 = 푀(휂/휉 = 푥)!)

Megjegyzések:

Az eljárás akkor is alkalmazható, ha nem normálkorrelációról van szó (ξ és η nem normál eloszlásúak),

Az eljárás nemlineáris kapcsolatok esetében is alkalmazható.


26

6 FEJEZET: A kapcsolat szorossága lineáris és nemlineáris esetben. Többváltozós regressziós kapcsolatok. Háromváltozós lineáris kapcsolat.

6.1 A korrelációs tényező A ξ és η valószínűségi változópár korrelációs együtthatója vagy tényezője definíciószerűen:

푟 = 푟(휉, 휂) =푐표푣(휉, 휂)퐷(휉) ∙ 퐷(휂) =

푀{[휉 − 푀(휉)][휂 −푀(휂)]}퐷(휉) ∙ 퐷(휂) (= 푟(휂, 휉))

Helyettesítve: 푀(휉) = 푥,푀(휂) = 푦,퐷(휉) = 휎 ,퐷(휂) = 휎

A korrelációs tényező empirikus (véges adatsorból becsült) formulája:

푟 = 푟(푥, 푦) =∑(푥 − 푥) ∙ (푦 − 푦)

푛 ∙ 휎 ∙ 휎 = 푟(푦, 푥)

Átalakítva:

푟 =∑(푥 − 푥) ∙ (푦 − 푦)

푛 ∙ ∑(푥 − 푥)푛 ∙ ∑(푦 − 푦)

푛

=∑(푥 − 푥) ∙ (푦 − 푦)∑(푥 − 푥) ∙ ∑(푦 − 푦)

Tulajdonságai: 0 ≤ |푟| ≤ 1 r = 0 (nincs kapcsolat, korrelálatlanok, ~ függetlenek)

r = 1 (a változók között függvénykapcsolat van)

Ha a korrelációs tényező negatív, az azt jelenti, hogy az egyik változó növekedésével a másik csökken (pl. nyáron a lefolyás és hőmérséklet kapcsolata).

10. ábra: A korrelációs tényező típusai

6.2 A regressziós együttható 푦 − 푦 = 휌 ( ) ∙ (푥 − 푥) ρy(x) - y-nak x-re vonatkozó regressziós együtthatója

푥 − 푥 = 휌 ( ) ∙ (푦 − 푦) ρx(y) - x-nek y-ra vonatkozó regressziós együtthatója


27

푦 − 푦 = Δ푦,푥 − 푥 = Δ푥

휌 ( ) = 푟 ∙휎휎 =

∑ΔxΔy푛휎 휎 ∙

휎휎 =

∑ΔxΔy푛휎 =

∑(푥 − 푥) ∙ (푦 − 푦)∑(푥 − 푥)

(= 푡푔훼)

Hasonlóképpen:

휌 ( ) = 푟 ∙휎휎 =

∑(푥 − 푥) ∙ (푦 − 푦)∑(푦 − 푦)

(= 푡푔훽)

11. ábra: Regressziós együtthatók értelmezése

Amennyiben:

훾 = 0° → 푟 = 푟 = 1

훾 = 90° → 푟 = 푟 = 0

Igazolható:

푟 = 푟 = 푟 = ± 휌 ( ) ∙ 휌 ( ) = ± 푡푔훼 ∙ 푡푔훽


28

6.3 A lineáris kapcsolat ábrázolása

12. ábra: Korrelációszámítás

y’ = a + bx - x-nek y-ra vonatkozó kapcsolati egyenese jelentősen eltér az:

x’ = c + dy - y-nak x-re vonatkozó kapcsolati egyenesétől. Ez utóbbi az úgynevezett fordított kapcsolat.

6.4 Nem lineáris kapcsolat szorosságának mérése

Korrelációs indexek: 푟∗ = ∑( )∑( )

,푟∗∗ = 1− ∑( )∑( )

푟∗ ≡ 푟∗∗ ≡ 푟

Elméleti alap: 푟 = é é é ó áé é ó á

6.5 A korrelációs tényező megbízhatósága vagy stabilitása Annak eldöntésére, hogy a korrelációs tényező véletlen hatására alakul-e adott nagyságúra, vagy szignifikánsan különbözik e 0-tól, két gyakran használt összefüggést alkalmaznak:

a. Fisher teszt: 푧 = 1,1513푙푔 √푛 − 3 normál eloszlású: F(x) → p

Ábrázolva n és r közötti összefüggést log-log koordináta rendszerben, egyenest kapunk. Amennyiben a korrelációs tényező az egyenes fölé esik, akkor stabil (szignifikánsan különbözik 0-tól).


29

13. ábra: Korrelációs tényező stabilitása Fisher-teszttel

b. Anderson:

퐶퐿(푟 ) = −1

푁 − 푘 ±√푁 − 푘 + 1푁 − 푘 ∙ 푡

Ezzel a módszerrel a biztonsági sáv szélességét, ill. a sáv határait (Confidencia limit) becsülhetjük meg, ha az eltérések normális eloszlásának feltételezését megtartjuk. tp, a p valószínűségi értékhez tartozó standard normál eloszlásfüggvény függvényértéke.

Szórás: 휎 =√

6.6 Többváltozós regresszív kapcsolatok Amikor egy érték több más mennyiség együttes hatására alakul ki, a kapcsolat szorosságát és a regressziós egyenleteket többváltozós korrelációszámítással határozzuk meg. A többszörös korrelációs tényező értéke attól függ, melyik a függő változó. Meghatározása páronkénti (kétváltozós) korrelációs tényezőkből történik.

η - függő valószínűségi változó

ξ1, ξ2,...ξk - „független” valószínűségi változó

(nem statisztikai értelemben)

Legegyszerűbb a háromváltozós lineáris kapcsolat (pl. lefolyás – csapadék – hőmérséklet):

푧 = 푎 + 푏 ∙ 푥 + 푐′ ∙ 푦

Így is írható: 푧 − 푧 = 푎(푥 − 푥) + 푏(푦 − 푦)

푎 =휎휎 ∙

푟 − 푟 ∙ 푟1 − 푟 푏 =

휎휎 ∙

푟 − 푟 ∙ 푟1 − 푟

η(ξ1, ξ2,…, ξk)


30

ahol: rxy, ryz, rzx a kétváltozós vagy parciális korrelációs tényezők.

푟 =∑Δ푥Δ푦푛휎 휎 ,푟 =

∑Δ푦Δ푧푛휎 휎 ,푟 =

∑Δ푧Δ푥푛휎 휎

A többszörös vagy totális korrelációs tényező:

푅 =푟 + 푟 − 2 ∙ 푟 ∙ 푟 ∙ 푟

1 − 푟 ,0 ≤ 푅 ≤ 1

6.7 Keresztkorreláció, autokorreláció, autokorrelációs függvény Két különböző valószínűségi változó között az eddigiekben értelmezett korreláció keresztkorreláció volt. Értelmezhetünk korrelációs tényezőt egy adatsoron belül is, ekkor az adatsor neve idősor, x(t) függvény. Az egyszerűség kedvéért 푥 = 0 várható értékű sorozat esetén az egymás melletti, egymástól két lépésre levő, stb. adatok közötti korrelációs tényezők:

푟 (1) = ∑ egylépéses autokorrelációs tényező

푟 (2) = ∑ kétlépéses autokorrelációs tényező

푟 (3) = ∑ háromlépéses autokorrelációs tényező, stb.

Az autokorrelációs tényezők az adatsoron belüli kapcsolatok szorosságát mérik.

6.8 Autokorrelációs függvény A k =1,2,3,… lépésközöket, mint független változókat felvéve, és az ezekhez számított r(k) értékek sorozatát tekintve az autokorrelációs függvényt kapjuk. Ez a függvény adatsor értékeinek belső kapcsolatát tárja fel (pl. előrejelzésben nagy haszna van).

14. ábra: Autokorrelációs függvény


31

7 FEJEZET: Idősoranalízis.

A hidrológiai észlelések időbeli sorozatát idősornak nevezzük. Legyen valamely idősor általános modellje:

15. ábra: A hidrológiai idősor általános modellje

Az idősor elemei komponensekre bonthatók:

Y(i) = T(i) + P(i) + A(i) (+V(t))

ahol: Y(i) az eredeti idősor elemei, T(i) a trend komponens elemei, P(i) a periodikus komponens elemei, A(i) a maradék komponens. T(i) és P(i) összetevők determinisztikus tagoknak hívjuk, A(i) az autoregresszív, V(t) pedig a véletlen összetevő. Ezt az utolsó kettőt általában együtt kezelik, és közösen sztochasztikus összetevőnek is nevezik.

Ezek külön-külön meghatározhatók.

7.1 A trendkomponens számítása lineáris: 푇(푖) = 푎 + 푎 ∙ 푖 nem lineáris: 푇(푖) = 푎 + 푎 ∙ 푖 + 푎 ∙ 푖

푇(푖) = 푎 + 푎 ∙ 푖 + 푎 ∙ 푖 + 푎 ∙ 푖

Az a0, a1, a2 stb. a trend egyenletek paraméterei, amiket a legkisebb négyzetek elve alapján számítani lehet. Harmadfokú trendnél bonyolultabbat nem szoktak feltételezni.

Lineáris trend számítása:

Formai analógia a kétváltozós korrelációszámítással, innen:

푎 =∑ 푖 ∙ ∑ 푌 − ∑ 푖 ∙ ∑ 푖푌푛 ∙ ∑ 푖 − (∑ 푖)


32

ahol ∑ 푖 = ∙( ) és ∑ 푖 = ∙( )∙( ) − ∙( )

푎 =푛 ∙ ∑ 푖푌 − ∑ 푖 ∙ ∑ 푌푛 ∙ ∑ 푖 − (∑ 푖)

A trendmentes idősor elemeinek a meghatározása:

푦(푖) = 푌(푖) − 푇(푖) = 푌 − 푎 − 푎 ∙ 푖

a0, a1 számítható:

∑푦 (푖) = ∑(푌 − 푎 − 푎 ∙ 푖) = 휑(푎 , 푎 ) → min! (legkisebb négyzetek elve)

Ábrázolva:

16. ábra: trendmentes idősor

A trendmentes adatsor szórása: 휎 = ∑푦 ≤ 휎 eredeti idősor szórása.

7.2 A periodikus komponens számítása A periodikus összetevő a trigonometrikus függvények alapján a Fourier-sorfejtésnek megfelelően különböző periódusidejű sinus és cosinus függvények összegeként állítható elő. y(i) - re egy periodikus függvényt illesztünk, periódusidő: T (pl. hónap, év).

푃(푖) = 푘 ∙ 푠푖푛 2휋푖푇 + 푘 ∙ 푐표푠 2휋

푖푇

legtöbbször: T = 12 hónap,

vagyis:

푦(푖) = 푃(푖) + 퐴(푖) = 푘 ∙ 푠푖푛 2휋푖푇 + 푘 ∙ 푐표푠 2휋

푖푇 + 퐴(푖)

퐴(푖) = 푦(푖) − 푃(푖)

A legkisebb négyzetek módszere felhasználásával:


33

퐴 (푖) = [푦(푖) − 푃(푖)] = 푦(푖) − 푘 ∙ 푠푖푛 2휋푖푇 + 푘 ∙ 푐표푠 2휋

푖푇 =

= 휑(푘 , 푘 ) → 푚푖푛!

a megoldás:

푘 =2푛 푦 ∙ 푠푖푛 2휋

푖푇

푘 =2푛 푦 ∙ 푐표푠 2휋

푖푇

A P(i) periodikus függvény előállítható egyetlen cos függvény segítségével is:

푃(푖) = 푘 ∙ 푠푖푛 2휋푖푇 + 푘 ∙ 푐표푠 2휋

푖푇 = 퐾 ∙ 푐표푠

2휋푇 ∙ (푖 − Φ)

ahol: 퐾 = 푘 + 푘 az amplitúdó és Φ = 푎푟푐푡푔 a fázisszög

P(i) – t ábrázolva:

17. ábra: P(i) ábrázolása

7.3 A trendtől és periódustól mentes („maradék”) idősor A(i) számítása:

퐴(푖) = 푦(푖) − 푃(푖) = 푌 − 푇 − 푃 = 푌 − 푎 − 푎 ∙ 푖 − 푘 ∙ 푠푖푛 2휋푖푇 − 푘 ∙ 푐표푠 2휋

푖푇

Várható értéke zérus. Szórása:

휎 =1푛 퐴 ≤ 휎 ≤ 휎

Még tartalmazhat belső összefüggést, azaz autoregresszió fennállhat.


34

8 FEJEZET: Előrejelzés idősor modellekkel.

Az idősoranalízis az Y(i) sorozat összetevőkre bontásából és az összetevők meghatározásából áll. Az idősor felbontás egyenlete:

Y(i) = T(i) + P(i) + A(i) + V(i)

ahol T(i) és P(i) a determinisztikus összetevők, A(i) és V(i) a sztochasztikus komponensek. Az előző fejezet számításaiban az A(i) autoregresszív, és V(i) véletlen tagot együtt kezeltük. Ezt tesszük most is, tehát az autoregresszív (és véletlen) tag:

A(i) = Y(i) – T(i) – P(i) = y(i) – P(i)

Erre az autoregresszív tagra az alábbi modelleket számítjuk.

8.1 Egylépéses autoregresszív (AR) modell Az egymás melletti adatok lineáris kapcsolatát alapul véve a modell:

Ai = bo’ + b1

’·Ai-1

A bo’ és b1

’ állandók a legkisebb négyzetek elve alapján számíthatók:

Vi = Ai - bo’ - b1

’Ai-1

Σ V2i = Σ[A(i) - bo

’ - b1’Ai-1]2 = φ(bo

’ , b1’) → min!

Miután 퐴(푖) = 0, ezért bo’ = 0, és:

푏 = 푟 (1) =1

푛 − 1퐴 ∙ 퐴휎

Tehát a szorzóállandó nem más, mint az egylépéses autoregresszív tényező.

Azaz az egylépéses AR-modell:

Ai = rA(1)·Ai-1

8.2 Kétlépéses autoregresszív (AR) modell A modell két elő érték figyelembevételén alapul:

Ai = bo’’ + b1

’’·Ai-1 + b2’’·Ai-2

Miután 퐴(푖) = 0, ezért bo’’ = 0, és:

푏 =푟 (1) − 푟 (1)푟 (2)

1 − 푟 (1)

푏 =푟 (2) − 푟 (1)1 − 푟 (1)


35

A képletekben: 푟 (2) = ∙ ∑ ∙ , a kétlépéses autoregresszív tényező.

Használhatók még az autoregresszív komponens modellezésre:

mozgóátlag (MA) modellek, vagy autoregresszív mozgóátlag (ARMA) modellek is.

8.3 Előrejelzés idősormodellekkel Az idősorfelbontást és komplett idősormodellt elsősorban előrejelzésre lehet használni. A legteljesebb idősormodell:

푌(푖) = 푎 +푎 · 푖 + 퐾 · 푐표푠2휋12

(푖 − 훷) +푏 ’’ · 퐴(푖 − 1) +푏 ’’ · 퐴(푖 − 2) +(푉(푖)’’) =

= Ŷ(푖)

18. ábra: Idősoranalízis

ahol Ŷ(i) az előre jelzett értéket jelöli. A véletlen maradék σV szórásának felhasználásával az előrejelzés hibahatárai:

Ŷ(i) ± σV környezetében 68,3%,

Ŷ(i) ± 2σV környezetében 95,6%,

Ŷ(i) ± 3σV környezetében 99,7%,

a valószínűsége annak, hogy a bekövetkező érték a megjelölt sávon belül lesz.

Előrejelzés során célszerű figyelembe venni az előrejelzés időelőnyét (azaz az előrejelzés kiadása és az előrejelzett érték időpontja közötti értéket). Ez elvileg lehet:

rövidtávú (1 – 2 – 3 nap),


36

középtávú (1 hónap), hosszútávú (1 év).

Példa a talajvíz előrejelzése:

19. ábra: Talajvíz előrejelzés

A fenti előrejelzési példa is azt mutatja, hogy a korlátlan időelőnyű (túl hosszútávú) előrejelzésektől tartózkodjunk. Idősor modellel előre jelezni maximum a rendelkezésre álló észlelési sorozat (n) harmadrészéig lehet: max. n/3 hónapra vagy évre előre. Célszerűbb az észlelt legfrissebb adatokkal újraszámolni a modell paramétereit, és a frissített modellel előre jelezni. Ezt az eljárást dinamikus előrejelzésnek, illetve modellt dinamikus modellnek nevezzük. A modellekben és így az előrejelzésekben is fontos szerepet játszik a T-periódusidő ismerete (vagy nem ismerete). Tapasztalatból ismert periódusidők:

T = 12 hónap (1 év), T = 11 év (napfolttevékenység periódusa), T = 14 év (egy száraz-nedves periódus)

A perióduskutatás egyik statisztikai eszköze az autokorrelációs függvény. Ott lehetséges periódus az idősorban, ahol az r(k) - autokorrelációs függvénynek pozitív csúcsai vannak.


37

20. ábra: Autokorrelációs függvény


38

9 FEJEZET: Empirikus árvízszámítás.

Az árvízszámítás feladata a tervezés számára szükséges mértékadó vízhozam, illetőleg vízállás meghatározása. Feladat lehet még a mértékadó árhullámkép meghatározása is.

Műszaki létesítmények tervezésénél használt legfontosabb hidrológiai alapadat, a mértékadó vízhozam:

Qm (m3/s)

Qm - a vízgyűjtőről jövő hidrológiai terhelést jelenti.

A hazai tervezési gyakorlatban:

Qm = Qp%

Ahol p(%) az előírt előfordulási valószínűséget (meghaladási valószínűséget) jelenti. Ennek értékét előírások, segédletek rögzítik. Ez visszatérési idővel is jellemezhető:

푇 =1푝(é푣) =

100푝%

(é푣)푝푙. :1001% = 100év

Néhány előírt valószínűségi, illetve visszatérési idő:

9.1 A mértékadó vízhozam számításának módszerei A rendelkezésre álló hidrológiai adatok megléte, vagy hiánya a döntő. A hidrológiai adatot a vízállásidősor - vízhozamgörbe együttese, vagy vízhozamidősor jelenti.

[1] Teljes (hidrológiai) adathiány esetén: empirikus vagy tapasztalati módszerek, [2] Hosszúidejű hidrológiai (vízhozam) adatsor: Hidrológiai statisztikai módszerek, [3] Rövid adatsor: analitikus vagy szintetikus hidrológiai módszerek, hidrológiai

modellek, illetve hidrológiai analógia (vízgyűjtő karakterisztika, egységárhullámkép, csapadék-lefolyás kapcsolatok, hidrológiai analógia, szimuláció, hidrológiai modellek, stb.)

Ebben a fejezetben a tapasztalati, a következő fejezetben a statisztikai árvízszámítással foglalkozunk részletesebben.


39

9.2 Tapasztalati (empirikus) árvízszámítás Hidrológiai adat (H(t), Q = f(H), Q(t)) nincs, de minden egyéb van: térkép, fedettség, talajtani adatok, geológiai adatok, meteorológiai adatok, helyszíni bejárás adatai, és: hidrológiai analógia!

Alapelvek:

Magyarországon csak hazai eljárásokat alkalmazzunk, és fordítva; azokat közvetlenül ne használjuk külföldön,

Több eljárás használata esetén a végeredményeket ne átlagoljuk, hanem a legmegfelelőbbet válasszuk ki azok közül.

Külön kell választani a hegy – és dombvidéki vízgyűjtőket, és a síkvidéki vízgyűjtőket, mert a számítás elvei e két típusnál jelentősen különböznek.

A műtárgyak méretezésénél a szabványok által előírt gyakoriságú mértékadó vízhozamokat számítsuk.

Az alábbiakban a következő módszereket ismertetjük:

racionális módszer, Csermák eljárása, Kollár módszere, Ven Te Chow - Wisnovszky-féle eljárás.

Ezeken kívül még számos hazai eljárás ismeretes.

9.2.1 A racionális módszer (A < 10 km2) Első alkalmazója T. J. Mulvaney (1847), aki egy városi vízgyűjtőről levonuló maximális vízhozamot a következő formulával számította: Q = c·i·A , ahol c állandó, i a 24 órás maximális csapadékintenzitás, A a vízgyűjtőterület nagysága.

A módszer lényege az az elv, hogy a vízfolyás vizsgált szelvényének mértékadó vízhozamát az a csapadék szolgáltatja, amelynek időtartama megegyezik a vizsgált szelvényhez tartozó összegyülekezési idővel.

[1] A mértékadó csapadék időtartama: T = τ

A τ összegyülekezési idő a Wisnovszky - formulával számítható:

휏 =퐿

√퐴 ∙ 푆(푚푖푛)

ahol: L a völgy hossza (km), S a völgy átlagos esése (-), A a vízgyűjtő nagysága (km2). Ha a völgy nem jellemezhető egyetlen eséssel, úgy a hossz-szelvényi töréspontok közötti szakaszok összegyülekezési idejét külön-külön kell megállapítani, az egyes szakaszokhoz tartozó részvízgyűjtők figyelembe vételével. A teljes összegyülekezési idő így a számított részvízgyűjtők összege lesz.

[2] A mértékadó csapadékintenzitást a csapadékmaximum függvény adja:

ip% = f(T,p%)


40

[3] A Qp% vízhozam az ip% csapadékintenzitásból keletkezik (a csapadék és vízhozam valószínűsége egyenlő):

pQ = pi

[4] Az α lefolyási tényezőt, vagy az 훼 súlyozott lefolyási tényezőt a Kenessey - féle táblázatokból írhatjuk ki.

훼 =훼 ∙ 퐴 + 훼 ∙ 퐴 +⋯+ 훼 퐴

퐴 =∑ 훼 ∙ 퐴

퐴

퐴 = 퐴 + 퐴 +⋯+ 퐴

ahol A a teljes vízgyűjtő terület, és α1, α2, …, αn és A1, A2, …, An részvízgyűjtőhöz tartozó lefolyási tényezők.

[5] A mértékadó vízhozam, Qmax = Qmértékadó = Qp% értéke a vízgyűjtő karakterisztika módszerből ismert:

Qp% = α·ip%·A

9.2.2 A Csermák-féle eljárás (A = 0 - 3000 km2) Az eljárás alapelve az amerikai Myer (1879) elgondolásán alapszik, mely szerint: Qp = f(A). A p(%) előfordulási valószínűségű árvízhozam (meghaladási valószínűség):

푄 % = 푟 · 퐵 % · √퐴(푚 /푠)

ahol A a vízgyűjtő terület nagysága (km2), B3%-a 3%-os nagyvízi vagy árvízi tényező, ennek értékét Magyarország hegy - és dombvidéki területeire kidolgozott izovonalas térkép tünteti fel, r a valószínűségtől függő, segédgrafikonról leolvasható szorzótényező.


41

21. ábra: A B3 % árvízi tényező izometrikus térképe

22. ábra: A valószínűség szorzótényezője

Az eljárás kisebb vízgyűjtőkre az alábbi képleteket adja meg:

A = 10 - 25 km2: Qp%=r·B3%·A2/3

A = 5 - 10 km2: Qp%=r·B3%·A3/4

A < 5 km2: Qp%=r·B3%·A


42

9.2.3 Kollár módszere (A = 0 - 500 km2) A módszer a 10%-os valószínűségű fajlagos nagyvízhozamból indul ki, ennek meghatározását a:

q10%=f(A, lefolyási viszonyok)

kapcsolat alapján készült grafikon szolgáltatja.

23. ábra: 10%-os valószínűségű fajlagos árvízhozam meghatározása

A lefolyási viszonyok felvétele a tervező döntésén alapszik, de ezt segíti számos táblázat és leírás, a vízgyűjtő térképi adatainak függvényében. A q10% (m3/s km2) alapján a p =10 %-os valószínűségű árvízhozam:

Q10% = q10%·A

és a tetszőleges p(%) valószínűségű árvízhozam:

Qp% = ap%·Q10%

Itt ap% valószínűségi szorzó, mely az ap% = f(A, p%) kapcsolat alapján grafikonról olvasható le.


43

24. ábra: Különböző valószínűségű árvízhozamok meghatározása

9.2.4 A Ven Te Chow-Wisnovszky módszer (A = 0 - 50 km2) Az alapmodellt Ven Te Chow dolgozta ki az Egyesült Államok néhány államára, Wisnovszky I. pedig átdolgozta hazai viszonyokra. A módszer azért különleges, mert nemcsak egyetlen mértékadó vízhozam, hanem a teljes mértékadó árhullámkép meghatározására alkalmas.

Az empirikus eljárás lépései a következők:

A lefolyási tényező számítása: 훼 = ∑ ∙∑

formulával, azaz a súlyozott lefolyási

tényező képletével számítható (vigyázat: ezek más lefolyási tényezők, mint a racionális módszernél – ezeket Ven Te Chow határozta meg)

Az árhullám késleltetési idő számítása (hasonló, mint τ):

휏 = 0,00505퐿√푆

,

ahol: L a lefolyási úthossz, S a völgy átlagos esése.

A csapadékviszonyok tényezőjének meghatározása: Y = f(p%, tájegység), ábráról határozható meg az előfordulási valószínűség függvényében.

Számítjuk a t[h] értékhez tartozó t/τk hányadosokat. A t[h] értékhez tartozó, a lefolyási viszonyokra jellemző tényező meghatározása: X =

f(α, p%), grafikonról adódik, a lefolyási tényező és a gyakoriság függvényében.

A csúcsredukciós tényező számítása: 푍 = 푓 , ugyancsak grafikonról olvasható le.


44

A vízhozamordináták, illetve az árhullámkép:

Qip = X·Y·Z · A (m3/s)

ahol A (km2) a vízgyűjtőterület nagysága.

A mértékadó vízhozam az árhullámcsúcs:

Qp% = max Qip (m3/s)

Végül megemlítjük, hogy az ismertebbek között vannak még az alábbi módszerek is:

Az aránybecslés módszere, A Markó-féle eljárás, Kovács - Takács eljárása, Az OVF-2001-es eljárás.


45

10 FEJEZET: Árvízszámítás hidrológiai statisztikai módszerekkel.

Évi maximális vízállások, vízhozamok alapján vizsgáljuk azok eloszlását és szélső értékeiket.

Régen: simulóeloszlásokat alkalmaztak (Γ2, Γ3, Pearson-III), ez alkalmatlan közelítést jelent.

Ma: normál, Gumbel, Frèchet, Todorovics eloszlásokat használják.

10.1 Elméleti alap a) Centrális (központi) határeloszlás tétele

Ha a ξ1, ξ2,…,ξn azonos eloszlású, független valószínűségi változók, létezik véges várható értékük és szórásuk (létezik másodrendű momentumuk), összegük normál eloszlású.

푥 ≠ 0, 휎 ≠ 0, 푣푎푛푀

b) Laplace – Ljapunov tétel

Ha a ξ1, ξ2,…,ξn nem azonos eloszlású, független valószínűségi változók (harmadrendű momentumaik léteznek), összegük normál eloszlású.

c) Moivre – Laplace tétel

Ha a ξ1, ξ2,…,ξn összege binomiális eloszlású valószínűségi változó n → ∞ esetén az összegeloszlás normál eloszlásba megy át.

Nagyobb folyókra, folyamokra a fenti tételek érvényesek, maximális vízhozamaik eloszlása: normál eloszlás.

Pl.: Duna – Budapesti szelvényének árvízhozam számítása:

25. ábra: Budapesti Duna szelvény árvízhozamának számítása

휉 = 휉 ő + 휉 + 휉 + ⋯


46

A különböző valószínűségű árvízhozamok vizsgálatánál a meghaladási valószínűségeket használjuk, azaz:

퐹(푥) = 푃(푄 ≥ 푥) = 퐹 (푥), 푎ℎ표푙푄 − é푣푖푚푎푥푖푚á푙푖푠푣í푧ℎ표푧푎푚

Gyakorlatilag a nagy folyók árvízhozamai A ≥ 100000 km2 vízgyűjtőnagyság esetén normál eloszlást követnek.

Kisvízfolyásokra, kisebb folyók árvízhozamai kettős exponenciális eloszlásokat követnek. Ezek fő típusai:

Gumbel, Frèchet, Todorovics.

Elméleti háttér: véletlen eseményfolyamatok (sztochasztikus folyamatok)

Markov folyamatok (független növekményű eseményfolyamat, pl.: Wiener ill. Poisson-folyamatok)

Stacionárius folyamatok (stacionárius növekményű folyamatok)

A mintavételezés módjai

26. ábra: Minden év legnagyobb vízhozamának figyelembe vétele

27. ábra: Valamely Q0 küszöbérték feletti vízhozamok figyelembe vétele


47

10.2 A kettős exponenciális eloszlásfüggvények 1. A Gumbel eloszlásfüggvény: Fisher és Tippett vezették be:

퐹 (푥) = 푃(푄 < 푥) = 푒 ,푦 = 푎(푥 + 푏)

ahol az eloszlás paraméterei: 푎 = ( ) , 푏 = ( ) − 푥

(ε(n) és y(n) az adatszámtól függő, táblázatos értékek)

푥 – várható érték, σ – szórás

2. A Frèchet eloszlásfüggvény (loggumbel eloszlás):

퐹 (푥) = 푒 ,푦 = 퐴(푙푔푥 + 퐵)

ahol az eloszlás paraméterei: 퐴 = ( ) , 퐵 = ( )− 푥′

푥′ – a logaritmizált adatok várható értéke, σ’ – a logaritmizált adatok szórása

3. A Todorovics eloszlásfüggvény: Todorovics – Zelenhasics, 1970

Általánosított kettős exponenciális eloszlás:

퐹 (푥) = 푃 푄é < 푥 = 푒 ( )

푄é – évi maximális vízhozam 휆 = (m – árhullámok száma, n – évek száma) évi átlagos árhullám szám

푄 – küszöbszint

훽 =1

(푄 − 푄 ),(푄 − 푄 ) =

1푚 푄 , −푄

Itt a küszöbszint feletti mintavételezési elvet választjuk, így gyakorlati statisztikai előnyökhöz jutunk:

adatszám megnő bővizű évek több árhullámát nem kell elhagyni, sok információ nem vész így el az árvízi eloszlásfüggvény rövid, néhány éves, de bővizű év adataiból is becsülhető

A megoldás grafikus úton, Todorovics hálózattal (Zsuffa, 1975)


48

28. ábra: A Todorovics eloszlás valószínűségi hálózata

Ha az illeszkedés nem jó, a Todorovics eloszlás két alaphipotézise nem teljesül:

az időegység alatti árhullámok száma Poisson eloszlású (퐹 (푥) =!푒 ), vagy ami

ugyanaz: az árhullámok követési időtartamai exponenciális eloszlásúak (퐹 (푥) = 1 − 푒 )

a (푄 , −푄 ) árvízi csúcsvízhozamok exponenciális eloszlásúak (퐹 (푥) = 1 − 푒 )

Ha a hipotézisek egyike nem teljesül, a Q0 küszöbszintet kell változtatni, emelni, hogy illeszkedő eloszlásfüggvényhez jussunk.


49

11 FEJEZET: A víztározás alapfogalmai.

A tározókat funkciójuk szerint három nagy csoportba sorolhatjuk:

vízhasznosítási tározók (valamilyen vízfogyasztás céljára létesített tározók), o M = const. o ivóvíz o öntözővíz o ipari víz o energiatermelő o vízpótló, hígító o rekreációs

árvízcsökkentő tározók (záportározók), komplex üzemű tározók.

Az ún. komplex tározók mind vízhasznosítási és árvízcsökkentési funkció betöltésére létesültek. A vízhasznosítási tározóteret a minimális és maximális üzemvízszintek határolják le. Ezt nevezzük a tározó hasznos térfogatának (Kh). A hidrológiai méretezési eljárások ezt adják meg (melyben a veszteségekből számítható többlettérfogat rész is szerepel). A minimális üzemvízszintet legtöbbször az üzemvízkivételi műtárgy helyzete szabja meg (értéke 0 is lehet, ez ugyanis vízminőségi szempontból előnyös), míg a maximális üzemvízszint a Kh és Ká (árvízcsökkentő tározótér) arányától függ. A mértékadó árvízi túlduzzasztási szintnél nagyobb vízállás a tározóban elvileg nem lehetséges. A mértékadó árvízi túlduzzasztási szint felett a megfelelő biztonsági magasságot hozzáadva kapjuk a gát koronaszintjét. A biztonsági magasságot a hullámzás, vízszintlengés és a vízfelszín kilendülése miatt kell felvenni.

A túlfolyó bukókat az alábbi mértékadó valószínűségekre kell méretezni:

p = 2% (50 éves gyakoriság): kis tározó és alacsony vagy középmagas gát p = 1% (100 éves gyakoriság): közepes tározó és alacsony vagy középmagas gát p = 0,5% (200 éves gyakoriság): közepes tározó és magas gát vagy nagy tározó és

középmagas gát p = 0,1% (1000 éves gyakoriság): nagy tározó és magas gát

A fenékleürítőt úgy kell méretezni, hogy a tározót 15 – 18 nap alatt le lehessen üríteni. A méretezés során állandó hozzáfolyásként a sokévi középvízhozam 50%-át kell feltételezni.

A tározás a vízkészlet-gazdálkodás leghatékonyabb módszere.


50

29. ábra: A tározó helyszínrajza és hossz-szelvénye

Hazai viszonyok mellett a tározókat több szempont alapján lehet csoportosítani.

A. A tározott víz mennyisége alapján: kis tározók: 100 000 – 500 000 m3 közepes tározók: 3 000 000 m3 nagy tározók: 3 000 000 m3 felett.

B. A gát magassága alapján: alacsony gátas tározók: 2 – 5 m vízoszlop között, középmagas gátas tározók: 5 -10 m vízoszlop között, magas gátas tározók: 10 m vízoszlop felett.

C. Gátanyag szerint: föld, kő, beton, vagy ezek kombinációi.

Hazánkban a föld anyagú völgyzárógátak a legelterjedtebbek.

Mind a tavaknál, mind a tározóknál igen fontos a morfológiai görbék ismerete (meghatározása geodéziai feladat):

K = f(H), mely a víztérfogat – vízállás(vagy vízmélység), illetve a A = f(H), vízfelszín – vízállás(vízmélység) összefüggés.


51

30. ábra: Morfológiai jelleggörbék

A morfológiai jellemzőkhöz tartoznak még természetesen a hossz – és keresztszelvények is.

11.1 A tározó teljesítőképességi görbéje A teljesítőképességi görbe fogalma: a tározó teljesítőképességi görbéjének a tározóból folyamatosan kiszolgáltatható állandó vízhozamoknak (M = const.) és az ahhoz szükséges tározótérnek (K) a kapcsolatát nevezzük, az

M = f(K)

függvényt pedig a teljesítőképességi görbe egyenlete.

31. ábra: A vízhasznosítási tározó teljesítőképességi görbéje.


52

A görbe jellegzetes pontjai a következők:

I. A teljesítőképességi görbe alsó végpontja a legkisebb vízhozam (LKQ) és a hozzá tartozó K = 0 tározótérfogat által meghatározott pont. A legkisebb vízhozam tározás nélkül is folyamatosan biztosítható.

II. Az éves középhozamok legkisebbike (KÖQmin) és a hozzá tartozó Kéves tározótérfogat által meghatározott pont az éves tározó (vagy éves kiegyenlítésű tározó) helyét jelöli a görbén.

III.- IV.- V. Ezek a pontok a többéves (nem teljes) kiegyenlítésű tározókat jelölik. MIII, MIV, MV a folyamatosan kiszolgáltatható állandó vízhozamok, míg 퐾 ö é , 퐾 ö é , 퐾 ö é a hozzájuk tartozó (többéves) tározótérfogatok.

VI. A sokéves átlagos vízhozam (퐾Ö푄) és a hozzá tartozó tározótérfogat által meghatározott pont jelöli ki a teljes kiegyenlítésű tározót. Ez a teljesítőképességi görbe

legfelső pontja. Így a teljesítőképességi görbe korlátos az LKQ ≤ M ≤ 퐾Ö푄 vízhozamokra, illetve a hozzájuk tartozó 0 ≤ K ≤ Kteljes tározótérfogatokra. Megjegyezzük, hogy a sokéves átlagos vízhozamnál nagyobb vízhozam folyamatosan nem szolgáltatható ki, így a teljes kiegyenlítésű tározó Kteljes térfogata kijelöli a tározás felső határát.

VII. Külön említést érdemel a leggazdaságosabb tározó (vagy gazdaságos tározó), amelyet a gazdaságos tározótérfogat (Kgazd) és az abból folyamatosan kiszolgáltatható (gazdaságos) vízhozam (Mgazd) kapcsolata által meghatározott pont jelöl. Ez a tározó, amint az nevéből is kiderül, gazdaságossági szempontok alapján kijelöli a leggazdaságosabbnak adódó kiépítési állapotot.

A tározó teljesítőképességi görbének az a nagy jelentősége, hogy determinisztikus összefüggést ad a kiszolgáltatandó vízhozam és tározószükséglete között. Ez fölírható valamilyen α kihasználási jellemző és a megfelelő térfogati jellemző β között is, ahol

훼 =푀

퐾Ö푄

훽 =푀

퐾Ö푄 ∙ ∆푡

A második kifejezésben Δt az alapul választott időszak (rendszerint év) másodperceinek száma. Az α tényezőt szokás relatív vízfogyasztásnak, illetve szabályozási vagy kiegyenlítési tényezőnek is nevezni. α–ra nyilván érvényes, hogy értéke: 0 ≤ α ≤ 1.

A tározó teljesítőképességi görbe a tározó elzárási szelvényére vonatkozó vízhozamidősor segítségével készíthető el. A teljesítőképességi görbének valószínűségi értelmezést is adhatunk, ehhez azonban definiálni kell a vízszolgáltatás biztonságának fogalmát. A vízszolgáltatás biztonságát a folyamatos vízszolgáltatás biztosításának p[%] valószínűsége jelenti, mely kifejezi az adott időszak alatt a folyamatos vízfogyasztás biztosíthatóságának időtartamát a teljes időszak tartamához viszonyítva.


53

A vízszolgáltatás p biztonságának felhasználásával a tározó teljesítőképessége görbesereggel írható le, ahol a görbesereg paramétere a p valószínűség. Eszerint a tározó teljesítőképességi görbeseregét az:

푀 = 푓(퐾, 푝)

훼 = 푓(훽, 푝)

függvények írják le, így tehát a görbesereg összefüggés a folyamatos állandó vízfogyasztás (M), a tározó térfogata (K) és a vízszolgáltatás biztonsága (p) között.

32. ábra: A vízhasznosítási tározó teljesítőképességi görbeserege

A vízszolgáltatás biztonságának ismeretében a teljesítőképességi görbe p valószínűségére is tudunk következtetni. Miután a vizsgált tározót a vonatkozó múltbeli vízhozamidősor felhasználásával méretezzük, a tározó a múltban üzemzavar nélkül működött volna, azaz minden számított vízigényt ki tudott volna elégíteni. Ezért a tározó teljesítőképességi görbéje a p = 100%-os vízszolgáltatási biztonságnak felel meg. Ha a vízhozamidősor statisztikai viselkedése a jövőben sem változik, azaz az idősor stacionárius, akkor a tározó a jövőben is üzemzavar nélkül, azaz p = 100%-os vízszolgáltatási biztonsággal fog működni.

Megjegyezzük, hogy az árvízcsökkentő tározók esetén is definiálunk teljesítőképességi görbét és görbesereget. Ezek jelentősen különböznek az előzőekben tárgyaltaktól. A komplex tározók esetében is léteznek teljesítőképességi görbék és görbeseregek, ezek úgyszintén eltérnek az előzőktől.

11.2 Tározóméretezési módszerek A vízhasznosítási tározó méretezését a következő módszerekkel lehet elvégezni:

Klasszikus módszerek, Statisztikus módszerek, Sztochasztikus módszerek.

A klasszikus módszerek a következők:


54

Integrálgörbés módszer. Puskás-féle eljárás, Zsuffa-féle eljárás.

11.3 Az integrálgörbés tározóméretezési eljárás Az eljárást az osztrák W. Rippl (1883) alkalmazta először. Hazai alkalmazása és elterjedése Mosonyi E. (1948), Lászlóffy W., Szesztay K. és Puskás T. nevéhez fűződik.

Legyen Q(t) egy folyó vízhozamidősora egy adott szelvényben. A t1 és t2 időpontok között a szelvényen átfolyó vízmennyiség a Q(t) felhasználásával:

푉 = 푄(푡)푑푡

Eszerint valamennyi t időponthoz tartozó Vt víztömegek a V = V(t) függvényt határozzák meg, melyet tehát vízhozamösszegző vonalnak vagy integrálgörbének nevezzük.

33. ábra: A vízhozamösszegző vonal ábrázolása folytonos esetben

Látható, hogy a vízhozamösszegző vonal monoton nem csökkenő (sőt szigorúan monoton) függvény, melynek csak pozitív ordinátái vannak.

Feladat az észlelési szelvényben létesítendő azon tározó K térfogatának meghatározása, melynek segítségével a vízigény, az M vízhozam folyamatosan kiszolgáltatható a t1 - t2

időpontok között.

Első lépés a Q(t) és az M vízhozamösszegző vonalainak meghatározása. A fogyasztás felvételénél egyrészt az igényeket tekintjük, másrészt a hidrológiailag maximális értéket vesszük legtöbbször figyelembe.

Ha tehát M = Q, a feladat megoldása a következő ábrán látható, melyek alapján a vízfogyasztás kielégítéséhez szükséges tározótérfogat:


55

퐾 = 퐾( ) + 퐾( )

34. ábra: Adott időszak alatt maximálisan kiszolgáltatható vízmennyiség és a szükséges tározótérfogat meghatározása

A fenti esetben:

푀 =퐹푡 =

푉푡 =

∫ 푄(푡)푑푡푡 − 푡 = 푄(푡),푎푧푎푧:푀 = 푀

Két dolgot kiemelünk:

Az integrálgörbés módszer alkalmazása esetén a vízszolgáltatás biztonsága p = 100% lesz.

A tározó normális üzemmenetéhez a legnagyobb vízfelesleg és vízhiány összegének megfelelő vízmennyiséget a tározónak be kell tudni fogadnia, továbbá induló vízkészletnek a legnagyobb vízhiány vízmennyiségét kell felvenni.

Az integrálgörbés módszerrel a tározó teljesítőképességi görbéjének valamennyi pontja, így maga a görbe is meghatározható.


56

IRODALOMJEGYZÉK

[1] Kontur I.-Koris K.-Winter J.: Hidrológiai számítások. Linográf Kiadó, 2003. [2] Zsuffa I.: Műszaki hidrológia III.-IV. Műegyetemi Kiadó, 1999. [3] Hidrológia II. Oktatási segédlet (HEFOP) [4] Németh E.: Hidrológia és hidrometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 1959. [5] V. Nagy I.: Hidrológiai statisztikai számítások, M. 211. Mérnöki Továbbképző Intézet

kiadványa, Tankönyvkiadó, Budapest, 1969. [6] V. Nagy. I.: Hidrológia II-III., Tankönyvkiadó, Budapest, 1968. [7] Reimann J.: Valószínűségszámítás. A matematikai statisztika elemei. Tankönyvkiadó,

Budapest, 1970. [8] Reimann J. – V. Nagy I.: Hidrológiai statisztika. Tankönyvkiadó, Budapest, 1984.

Documents

HIDROLÓGIA II. - emkhk.bme.hu · Hidrológia II. BMEEOVVAI13 Hallgatói jegyzet 4 1 FEJEZET: Műszaki hidrológia és Hidrológiai statisztika. A Hidrológia I. tárgy a hidrológiai