Hidrologie Si Hidrogeologie II

8/11/2019 Hidrologie Si Hidrogeologie II

1/188

Giurma I., Craciun I., Giurma-Handley R.,

HIDROLOGIE SI HIDROGEOLOGIE 2

Statistica matematica in hidrologie

Hidrogeologie

Fizica atmosferica


2/188

204

3. BAZELE STATISTICO-MATEMATICE ALE HIDROLOGIEI

3.1. GENERALITI

A. STATISTICA MATEMATIC. DEFINIIE. SCOP

Prin teoria statisticii sau statistic matematic se nelege disciplinacare se ocup cu formularea i interpretarea legilor de comportare a

fenomenelor de mas (inaccesibile metodelor deterministe) sau afenomenelor aleatoare.

Legitile statistice trebuie interpretate ca tendine predominante alefenomenelor de mas i pot fi evideniate numai n condiiile unui numr

suficient de mare de observaii asupra ansamblului studiat.n domeniul hidrologiei, sarcina de a obine informaii primare asupra

mrimilor hidrologice revine n special hidrometriei, iar totalitatea datelor

privind rspndirea, cantitatea i variaia apelor de suprafa i subteraneconstituiefondul hidrologic.

Prin prelucrarea statistica datelor din fondul hidrologic este posibilobinerea unor parametri caracteristici necesari pentru dimensionarea iexploatarea lucrrilor hidrotehnice, ca i pentru elaborarea de prognozehidrologice.

Deci, informaiile referitoare la regimul hidrologic al surselor de appermit valorificarea potenialului pozitiv al apelor (apa constituind oimportant resurs natural i materie prim), precum i controlarea

potenialului negativ al acestora (care se manifest n special prin efectuldistructiv al excesului de ap) [Drobot R., 1997].

B. VARIABILE DETERMINISTE; VARIABILE ALEATOARE

n primul rnd, trebuie fcutdistincia ntre mrimile deterministe icele aleatoare sau stohastice. Dacun anumit fenomen depinde de un numrrestrns de cauze cunoscute, variabilele care definesc acest fenomen sunt detip determinist; caracteristic mrimilor deterministe este legtura directntre cauzi efect (n sensul mecanicii newtoniene).

n unele cazuri ns, fenomenul studiat depinde de o multitudine decauze, de multe ori greu de descifrat. n aceste condiii, fenomenul este

tratat independent de cauzele care l produc, iar variabilele care lcaracterizeazcaptun pronunat caracter aleator.


3/188

205

Deci, o variabil aleatoare este o mrime care, ca rezultat al unuiexperiment, poate lua o valoare oarecare din mulimea valorilor posibile frs se poat preciza dinainte care va fi aceast valoare. Realizarea uneianumite valori a variabilei aleatoare are un caracter pur ntmpltor;termenul sinonim de variabil stohastic pentru variabil aleatoareevideniaz tocmai acest aspect (n limba greac stohosis nseamn

presupunere sau conjunctur). De exemplu, prin aruncarea unui zar perfectomogen nu se poate anticipa care fava fi deasupra dupcdere. La fel nuse pot preciza dinainte debitele maxime anuale de pe un curs de ap, dinviitor.

n hidrologie snt utilizate att metode i modele deterministe, ct imetode i modele probabilistice, alegerea unei abordri sau a celeilaltedepinznd de cantitatea de informaii disponibile sau de gradul decunoatere a fenomenului analizat.

C. CLASIFICAREA VARIABILELOR ALEATOARE

Variabilele aleatoare sunt de tip discret, atunci cnd iau o mulimefinitsau cel mult numrabilde valori.

Variabilele aleatoare sunt continue, atunci cnd mulimea valorilor loreste nenumrabil; cu alte cuvinte o variabilaleatoare continu, poate luaorice valoare n intervalul ei de variaie sau la limit pe ntreaga dreaptreal(deci ntre - i +).

Variabilele aleatoare mai pot fi clasificate n variabile dependente iindependente. Din punct de vedere intuitiv, dou sau mai multe variabilealeatoare sunt independente dac repartiia valorilor oricreia dintrevariabile nu este influenatde valorile pe care le iau celelalte variabile. ncaz contrar, variabilele vor fi dependente.

D. POPULAIE STATISTIC. SELECIE

Prin populaie statistic se nelege orice colectivitate care faceobiectul unui studiu statistic. Populaia statisticpoate fi interpretatdreptmulimea tuturor valorilor posibileale unei variabile aleatoare. Elementelecomponente ale unei populaii se numesc uniti ale populaiei. NumrulNal unitilor unei populaii se numete volumul populaiei. n funcie devolumul populaiei, se disting populaii finite i populaii infinite.

n hidrologie se recurge la cercetarea unor eantioane sau selecii,

putndu-se trage concluzii referitoare la caracteristicile ntregii populaii,deoarece nu se dispune de ntreaga gam de valori posibile ale unorvariabile aleatoare ca: debite, niveluri, precipitaii, temperaturi. Cu alte


4/188


5/188

207

caracterizeaz prin frecvena absolutn1, valoarea x2 a variabilei prinfrecvena absolutn2etc. Evident suma frecvenelor absolute este egalcuvolumul seleciei:

1

n

i

i

n n=

= (3.1)

Raportnd frecvenele absolute la volumul seleciei (deci numrulcazurilor favorabile, de apariie a unei valori la numrul total de cazuri

posibile) se obinfrecvene relative.Frecvenele relative sunt deci definite astfel:

ii

nf

n= (3.(( 2) (3.2)

Dac experimentul se repet, considernd un volum n al seleciei

din ce n ce mai mare, se constat c frecvenele relative fi tind s sestabilizeze; aceste valori ctre care tind la limit frecvenele relative ncondiiile n care fenomenul ar fi supus n aceleai condiii unui numrnelimitat de probe, reprezint de fapt probabilitilepi de realizare alevalorilorxi(i= 1, 2, ,k).

Aceast lege statistic poart denumirea de legea numerelor mari iconstituie n fond o expresie a legturii dialectice dintre necesitate intmplare.

Legea numerelor mari permite ca n practic probabilitile s fieaproximate prin frecvene relative; deci:

lim i iin

n npn n

= (3.3)

Cu alte cuvinte, frecvenele relative obinute dupun numr mare deexperiene, pot fi folosite pentru aprecierea probabilitilor de producere aunui eveniment aleator; n hidrologie, numrul minim de observaii admis

pentru a obine concluzii statistice corecte este aa cum s-a mai notat de celpuin 25 30.

11

111

==== ===

n

nn

nn

np

k

i

i

k

i

ik

i

i (3.4)

adicsuma probabilitilor este unitar.


6/188

208

n continuare, vor fi prezentate cteva situaii particulare interesante.a) n cazul n care volumul seleciei nu este prea mare, se consider

pentru scopuri practice c probabilitile de apariie ale diverselor valorisunt egale ntre ele, avnd valoarea 1/n.

Aceast situaie, se ntlnete de altfel curent n prelucrarea datelorhidrologice i n ultim instan a curbei teoretice a probabilitilor de

depire. Se pot da ca exemple irul debitelor maxime sau minime anuale, aldebitelor medii lunare, al debitelor medii anuale, al precipitaiilor anuale, alevapotranspiraiei etc. n toate aceste cazuri se dispune de regul de unnumr de maximum 20 50 valori.

b) n cazul n care variabila aleatoare este continu, iar numrul n demsurtori este mare, se poate recurge la o grupare a acestor valori peintervale egale. Frecvena absolut n acest caz va prezenta numrul deapariii n cadrul fiecrui interval, iar probabilitatea raportul dintre frecvenaabsolut a intervalului i numrul total de probe. n hidrologie, acest

procedeu este utilizat la construirea practic a graficului de frecven alnivelurilor, plecnd de la hidrograful de nivel dintr-o seciune dat.

F. REPARTIII TEORETICE; REPARTIII EMPIRICE

Prin repartiia (sau distribuia) unei variabile aleatoare se nelegeexprimarea legii ei probabilistice, adic, a probabilitii cu care variabila

poate lua diverse valori din domeniul de variaie.S-a artat cstudiul unei colectiviti sau al unui fenomen de mas

se efectueaz, n general, folosind selecii de volum limitat. Din acest motiv,rezultatele investigaiei statistice conin un anumit grad de incertitudine,care nu poate fi eliminat dect prin cercetarea ntregii populaii statistice.Variabila aleatoare corespunztoare studierii ntregii colectiviti se numetevariabil teoretic i este evident diferit de variabila empiric,corespunztoare seleciei efectuate. Deci pe baza datelor obinute dinmsurtori se dispune de repartiia variabilei empirice (numiti repartiieempiric) i care este diferitde repartiia teoretic(necunoscutde altfel),corespunztoare ntregii populaii.

Pentru a extinde rezultatele cercetrii seleciei la ntreaga populaie,repartiiile empirice vor fi aproximate prin repartiii teoretice, care s

permitextrapolarea legitilor statistice (descifrate pe eantion) i n afara

domeniului valorilor msurate [Drobot R., 1997].


7/188

209

3.2. VARIABILE ALEATOARE DISCRETE

3.2.1. REPARTIIA UNEI VARIABILE ALEATOARE DISCRETE

n cazul unei variabile aleatoare xde tip discret, repartiia constn

enumerarea tuturor valorilor posibile ale variabilei, precum i a frecvenelor(probabilitilor) corespunztoare; reprezentarea rezultatelor se face subforma unui tablou, numit tabloul repartiiei (Tabelul 3.1).

Tabelul 3.1 Tabloul repartiieiValori xi x1 x2..... ...xi .....xnFrecvena fi f1 f2..... fi.. .....fn

sau sub una din formele:

= nfifff

nxixxx

X .........

........

21

21; (3.5)

( ) ni

f

x

xf

xX

i

i

i

i ,...,1;: =

=

(3.6)

n cazul repartiiilor empirice, fi sunt valori numerice i reprezintfrecvenele de apariie a valorilorxi.

n cazul variabilelor discrete teoretice tabloul repartiiei se scrie sub oformsimilar:

( ):

Prob.i i

i i

x xX

x p

= =

(3.7)

n acest caz, probabilitilepide realizare a valorilorxi (Prob (x=xi)au exprimri analitice (ex: repartiia Poisson, repartiia Bernoulli etc.).

Mrimile ( )ii xxp == Prob definesc mulimea valorilorfunciei deprobabilitate elementar; prin abuz de limbaj aceastdenumire este utilizati n cazul repartiiilor empirice.

Valorile funciei de probabilitate elementar reprezentnd frecvene

relative sau probabiliti, sunt cuprinse n intervalul [0,1].


8/188

210

Reprezentri similare ale repartiiei frecvenelor se utilizeaz i ncazul n care se dispune de un numr mare de valori discrete ale variabilei ieste necesargruparea lor. Alteori nregistrrile din msurtori sunt continue(de ex. cazul nivelurilor msurate cu un limnigraf), dar pentru prelucrare serecurge la discretizare, adic la aproximarea funciei continue prin valori

punctuale. i n aceste situaii se impun gruparea valorilor pe intervale.

Tabloul repartiiei frecvenelor conine de regul pe lng intervalul dediscretizare, att frecvenele absolute, ct i cele relative.

A. EXEMPLE DE REPARTIII DISCRETE

1) Distribuia discretuniform

n cazul n care funcia de probabilitate elementar f(xi) esteconstant, distribuia se numete uniform.

Pentru exemplificare, fie cazul unui ir de debite maxime anuale pe operioadde 25 ani. Fiecare debit realizndu-se o singurdatn cei 25 ani,

probabilitatea sa de apariie se consider 1/25, iar repartiia variabileialeatoare va fi:

i

max anual

QQ : ;1

25

: i = 1, 2, ... , 25 (3.8)

n acest caz, funcia de probabilitate elementar ( ) 251=ixf .

2) DistribuiaBernoulli(binomial)

Repartiia binomialse aplicacelor variabile care au doar doustriposibile dar complementare, adic realizarea sau nerealizarea unuieveniment (zi ploioas zi frploaie, plus minus, zero mai mare dectzero etc).

Pentru un numr infinit de ncercri, se noteazcu pprobabilitatea derealizare a unui eveniment aleator i cu q= 1 pnerealizarea sa. Atunci

probabilitatea de realizare a evenimentului aleator de ori n nexperimenteeste datde termenul general al dezvoltrii binomului luiNewton:

( )n n n 0 n 1 n 1 1 n 0 0 n

n n n np q C p q C p q C p q C p q

+ = + + + + +K K (3.9)


9/188

211

n aceast formul( )!!

=

n

nCn . Evident p i qcomplementare,

p + q= 1.Legea de repartiie va fi deci de forma:

n n 1 n 1 1 n 0 nn n n

n n-1 ... ... ...0X : p C p q ...C p q ... ...C q

(3.10)

Deoarece 1=+q , rezultcsuma tuturor probabilitilor va fi deasemenea egalcu 1.

Prima valoare reprezintprobabilitatea ca variabilaXsia valoarea n,

adicevenimentul aleator sse realizeze n toate celenexperimente np . Se

observ c pentru n mare, 0np (p fiind subunitar), ceea ce era deateptat. Termenul general nnC p q

reprezint funcia de probabilitate

elementar ( )f i exprim valoarea probabilitii ca n cursul celor nexperimente, evenimentul s se realizeze de ori. Cele nexperimente aufost presupuse independente, dupmodelul urnei luiBernoulli.

B. REPREZENTAREA GRAFICA REPARTIIILOR DISCRETE

Un rol important ntr-o prim examinare a variabilelor de selecie ljoacgraficele care se pot ntocmi cu ajutorul lor (ele pot sugera tipul derepartiie teoreticcel mai adecvat pentru aproximarea repartiiei empirice).Cele mai uzuale reprezentri sunt urmtoarele:

1)Reprezentare sub formde batoane(figura 3.1)

Din dreptul fiecrei valori de seleciexi(i= 1, 2, , n) se ridicoperpendicular (un baton) de lungime egal cu frecvena relativ(probabilitatea) sau frecvena absolutcorespunztoare. Aceastmodalitatede reprezentare se utilizeazi n cazul repartiiilor teoretice, iar batoanelevor fi proporionale cu mrimea probabilitilor de realizare a diverselorvalori ale variabilei.

Fie repartiia discretempiric:

ni

ni

ffffxxxxX

2121: (3.11)


10/188

212

Reprezentarea repartiiei sub form de batoane se poate urmri nfigura 3.1.

Figura 3.1 Repartiia frecvenelor sub formde batoane i de poligon.a) variabile discrete cu numr redus de valori; b) variabile discrete grupate

n cazul variabilelor grupate, frecvenele absolute sau relative se vorreprezenta proporional cu valoarea lor n mijlocul fiecrui interval degrupare.

2) Poligonul frecvenelor(poligonul repartiiei probabilitilor)

Fiecare punct din reprezentarea sub formde batoane are coordonate

( )ii fx , n cazul repartiiilor empirice i ( )ii px , n cazul repartiiilorteoretice discrete.

Unind aceste puncte se obine o reprezentare mai expresiv (figura3.1 linia punctat) numit poligonul frecvenelor (n cazul repartiiilorempirice) sau poligonul repartiieiprobabilitilor (n cazul repartiiilorteoretice).

3) Histograma(reprezentarea sub formde dreptunghiuri).

Considernd c fiecare valoare xi a variabilei discrete de selecie

reprezint mijlocul bazei unui dreptunghi de nlime ni sau fi se obinereprezentarea sub formde histogram(figura 3.2).

(x)

x1 x2 xi xn x

1 2 fi n

(x)

xmin xmax x


11/188

213

Reprezentarea sub form de histogram sau de poligon alfrecvenelor (probabilitilor) se folosete i n cazul unei variabile aleatoarecontinue, dar discretizate pentru prelucrare.

n reprezentarea grafic, fiecare interval constituie baza unuidreptunghi al histogramei; considernd mijloacele laturilor de sus aleacestor dreptunghiuri i unindu-le prin segmente de dreapt se obine

poligonul repartiiei absolute sau relative.

Figura 3.2 Reprezentarea sub formde histogrami poligon al frecvenelor.

3.2.2 FUNCIA DE REPARTIIE A UNEI VARIABILE DISCRETE(FUNCIA CUMULATIVA PROBABILITILOR)

Notaiile utilizate n continuare sunt cele de la repartiiile discreteteoretice; consideraiile expuse sunt valabile i pentru repartiiile empirice(la care intervin frecvene relative i nu probabiliti). Din punct de vedereal terminologiei, noiunea de funcie de repartiie se utilizeazatt n cazulrepartiiilor empirice, ct i al celor teoretice. Singura difereniere ntre celedou categorii de repartiii se va face la reprezentarea grafic, cnd se vautiliza denumirea de poligon al frecvenelor sau al probabilitilor, dupcum este cazul. n mod obinuit, nu se insistprea mult asupra diferenelorde limbaj referitoare la cele dou categorii de repartiii, avnd n vederelegea numerelor mari (dei n hidrologie, n general nu se dispune de un

numr suficient de mare de msurtori).

(x)

fi

xi x

(x)

xi x

fi


12/188

214

O altmodalitate de a caracteriza repartiia unei variabile aleatoarediscrete o constituie utilizareafunciei de repartiie.

Fie variabila aleatoareX:

n

n

ppp

xxxX

21

21: (3.12)

Se reamintete c valorile x1, x2, ..., xn sunt ordonate cresctor:

nxxx


13/188

215

de repartiie se mai numete i funcia probabilitilor cumulate sau funciacumulativa probabilitilor [Drobot R., 1997].

A. PROPRIETI ALE FUNCIEI DE REPARTIIE

a) Deoarece funcia ( )xF reprezint o probabilitate, conformdefiniiei probabilitilor va avea valori cuprinse ntre 0 i 1 (sau 0 %i 100 %):

( )0 F x 1 (3.16)

b) Fie o serie de poziii particulare alei luix: x,x,xetc., acestevalori fiind situate ntre valorile discrete nxxx ,,, 21 .

nk

N

nk

IV

ppppp

xxxx

xxx

xx

x

X

321

321

''''''

: (3.17)

n acest caz vom avea:

( ) ( ) 0'Prob' =


14/188

216

Se observc: ( ) ( )'''''' xFxFxx


15/188

217

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 2

Prob Prob Prob

Prob 1

N N

n n

F x X x X x X x

X x p p p

= < = = + = +

+ = = + + + =

K

K (3.23)

Deci, 1=NxF , unde N este situat la dreapta celei mai marivalori posibile a luix.

De asemenea, ( ) 0' =xF , unde x este situat la stnga celei maimici valori posibile a luix.

Aceste observaii pot fi rezumate n urmtoarea regul: dacvariabila aleatoare poate lua valori doar n cadrul intervalului (a, b),

probabilitatea de nedepire este nul la stnga intervalului analizat i

unitarla dreapta lui:

[ ) ( )

>

=

bxdac

axdacxFbaX

1

0, (3.24)

Ca o consecin rezult ( ) 0=F i ( ) 1=+F (trebuiesubliniat c aceste relaii sunt valabile att n cazul n care domeniul de

definiie al variabilei aleatoare este ntreaga dreaptreal, ct i n cazul ncare este un interval mai restrns).

Rezumnd proprietile prezentate pn n prezent, rezult c fiinddato variabilaleatoare discretcu repartiia:

n

n

ppp

xxxX

,,

,,:

21

21

(3.25)

funcia sa de repartiie va fi definitastfel:

( )

1

1 1 2

1 2 2 3

k

i k k 1i 1

n 1

i n 1 ni 1

n

0 dac x xp dac x x x

p p dac x x x

F x p dac x x x

p dac x x x

1 dac x x

+=

=

< < + <

= <

< < <

(3.26)

Acest mod de definire al funciei de repartiie rmne valabil i n

cazul gruprii valorilor pe intervale, fiecare interval )1, +kk xx fiindcaracterizat de probabilitatea de realizare kp .


16/188

218

Funcia de repartiie poate fi scrisi sub altform. Se noteazprin( ) ( )00 += xFxFSx saltul funciei n punctulx.

Dac 0=xS , x este un punct de continuitate al funciei ( )xF (corespunde unui palier), iar dac 0>xS , atunci x este un punct dediscontinuitate (funcia are salt).

Funcia de repartiie poate fi deci definit ca suma salturilor dinpunctele ix situate la stnga punctuluix:

( ) =

n

n

ppp

xxx

X

21

21

: (3.43)

x1 x2 x3 x4. ..... . ........... x n-1 xn vechea numerotare xn xn-1 . ..... . ........... x3 x2 x1 nouanumerotare

f(x)

x


25/188

227

va fi definitprin:

( )( )

=

=

=

+

n

nn

ii

c

xxdacn

n

xxxdac

n

n

xxxdacn

i

xxxdacn

xxxdacn

xxdac

xX

xF

1

1

23

12

1

1

2

10

Prob

(3.45)

D.CALCULUL PROBABILITII DE DEPIRE AVALORILOR XI N HIDROLOGIE

n practica hidrologicintereseazde cele mai multe ori probabilitateacu care doar valorile ix obinute din msurtori sunt egale sau depite.

Considernd n relaia de calcul a funciei ( )xFc pe ixx= se va obine:


26/188

228

( )

( )

=

=

=

=

=

=

=

n

n

i

i

i

c

xxdacn

n

xxdacn

n

xxdacn

i

xxdacn

xxdacn

xX

xF

1

2

1

1

2

1

Prob (3.46)

Fie deocamdat exemplul banal al zarului perfect omogen, la careprobabilitile de apariie ale celor 6 fee sunt egale cu 1/6.

n figura 3.8 este construit att funcia de probabilitate elementarsub formde histogram, ct i histograma cumulativa probabilitilor dedepire.

Avnd n vedere faptul c, la reprezentarea sub form de poligon

probabilitile de depire sunt egale cu suma ariilor histogramei situate ladreapta punctului curent, rezultcprobabilitile de depire ( )i

c xF se vor

afla pe dreapta marcatcu linie continun figura 3.8 (dreapta care unetecolurile din stnga ale histogramei cumulative).

Figura 3.8 Funcia de probabilitate elementari probabilitatea dedepire n cazul zarului cu 6 fee

x

poziia reala funciei FC(x)

poziia deplasat

6/65/6

1/6

2/6

3/6

4/6

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

0 1 2 3 4 5 6x6 x5 x4 x3 x2 x1

FC(x)=1-F(x)

6/65/6

4/6

3/6

2/6

1/6


27/188

229

Probabilitile de depire calculate cu relaia:

6

i

n

ipi == (3.47)

unde ieste numrul de ordine din irul ordonat descresctor al celor 6 valoriposibile 61=x ; 52=x ; ; 16=x , sunt majorate n mod artificial, elesitundu-se pe linia ntreruptdecalat fade linia plincu valoarea 1/12(adic1/2 din probabilitatea de apariie a fiecrei valori).

n hidrologie, o problem frecvent ntlniteste aceea a determinriiprobabilitii de depire a debitelor maxime anuale; numrul nde valori decare se dispune este n general cuprins ntre 25 ... 40. Se admite analog ca ncazul zarului, c cele n debite maxime anuale au probabiliti egale deapariie (i anume 1/n).

Un aspect asupra cruia trebuie atras atenia, este faptul c n cazulzarului perfect omogen probabilitatea de apariie a unei fee (egalcu 1/6)

rezult n urma unui numr extrem de mare de experimente (teoretic unnumr infinit). n cazul irului debitelor maxime anuale se admite cvalorileacestora sunt egal probabile (dei fiecare valoare n sine nu s-a realizat decto singurdat).

Acest mod de evaluare a probabilitii de apariie a diverselor valoriare la bazdefiniia clasica probabilitii (aproximatprin raportul dintrenumrul cazurilor favorabile i numrul total de cazuri posibile); fiecarevaloare realizndu-se o singur dat, probabilitatea ei de realizare esteapreciatla 1/n. Evident, acest mod de abordare constituie o aproximare, dareste singura posibiln condiiile unei perioade de msurtori relativ reduse.

Calculul probabilitii de depire a debitelor maxime anuale cuformula:

n

ipi= (3.48)

ar conduce, urmnd un raionament similar ca n cazul zarului cu 6 fee, la oeroare egalcu 1/2n.

Probabilitatea realde depire a valorilor respective este deci:

n

i

nn

i

pi 2

12

2

1

== (3.49)


28/188

230

Aceast relaie pentru calculul probabilitii de depire a fostpropusdeHazenncdin anul 1930. Cea mai micvaloare a irului de dateordonat descresctor (deci valoarea cu rangul ni= ) are conform acesteirelaii probabilitatea de depire:

n

np

n 2

12 = (3.50)

Se observ c valoarea lui np este diferit de 100 %, cum ar fi

rezultat pentru ni= n cazul aplicrii relaiei necorectate de tip ni . Acestrezultat era de altfel de ateptat i din punct de vedere intuitiv. Cea mai micvaloare nregistratn perioada de msurtori nx nu este n mod obligatoriu

i cea mai mic valoare a populaiei statistice. Exist deci posibilitateanregistrrii n viitor chiar i a unor valori mai mici; ca atare, probabilitateade depire a lui nx este mai mic de 100 %, chiar dac este foarte

apropiatde aceastvaloare. Diferena de la 100 % pnla np reprezintprobabilitatea apariiei unor valori inferioare lui nx .

n afar de formula lui Hazen, pentru evaluarea probabilitilor dedepire se mai utilizeazi alte relaii, care au ca element comun faptul c

pentru ni= se obin probabiliti de depire subunitare.Dupcum s-a mai artat, n toate aceste relaii ireprezintnumrul de

ordine al valorii ix din irul ordonat descresctor

( )ni xxxx >>>> 21 .n hidrologie, pentru calculul probabilitii de depire se utilizeazpe

scarlargrelaia Weibull:

1+=

n

ipi (3.51)

n gospodrirea apelor este preferatformula lui Cegodaev:

0,3

0,4ii

pn

=

+ (3.52)

Formulele utilizate pentru calculul probabilitii empirice sunt

prezentate n tabelul 3.2 [Drobot R., 1997].


29/188

231

Tabelul 3.2 Formule utilizate pentru calculul probabilitii emprice

Formula Anul pi=Prob(X xi)

Hazen 19302 1

2

i

n

Weibull 19391

i

n +

Cegodaev 1955 0,30,4

i

n

+

Blum 19583/8

1/ 4

i

n

+

Tukey 19623 1

3 1

i

n

+

Gringorten 19630,44

0,12

i

n

+

3.2.4. MODUL DE REPREZENTARE A FUNCIILOR DE

REPARTIIE N HIDROLOGIE

n toate exemplele precedente variabila aleatoare X a fostconsiderat variabil independent, iar probabilitatea reprezenta variabiladependent. Ca atare, n reprezentrile grafice, valorile variabileiXau fostfigurate pe abscis, iar mrimea probabilitii (de realizare a unei valori, dedepire sau de nedepire a acelei valori a variabilei) pe ordonat.

n hidrologie ns, de cele mai multe ori intereseaz determinareavalorii variabilei care corespunde unei probabiliti prestabilite prinSTAS-urile n vigoare. Probabilitatea capt deci caracter de variabilindependent, iar mrimea corespunztoare acestei probabiliti estevariabila dependent, care trebuie evaluat.

Ca urmare, se procedeaz la o rotire i rsturnare a tuturorreprezentrilor uzuale n matematic, astfel nct abscisa sdevinordonati ordonata abscis.

n hidrologie, probabilitatea de nedepire intereseaz mai rar; caurmare, pe graficele hidrologice se reprezintnumai curba probabilitilorde depire. Deoarece variabila aleatoare notat n matematic prin X sereprezintacum pe ordonat, n continuare pentru a nu crea confuzii ea se vaindentifica prin Y, iar valorile ei particulare priny.

Valoarea variabilei Yce corespunde probabilitii de depirep% va

fi notatprin %py .


30/188

232

A. SEMNIFICAIA PROBABILITII DE DEPIREN HIDROLOGIE

n practic, pentru probabilitatea de depire se mai utilizeaz idenumirea de asigurare, denumire care cel puin n anumite cazuri estenejustificat.

Noiunea de asigurare a fost preluatdin gospodrirea apelor medii,domeniu n care se pune problema livrrii apei la beneficiari, cu oprobabilitate ridicat (95%, 97% etc). n aceste cazuri, probabilitateareprezintntr-adevr gradul de asigurare cu apal folosinei respective.n hidrologie n schimb, intereseaz n special probabiliti de depirefoarte mici (5%, 1%, 0,1% etc) n vederea dimensionrii la debitelecorespunztoare a unor lucrri hidrotehnice.

Fie de exemplu, debitul maxim anual cu probabilitatea de depirede 1 %; n acest caz, 1% reprezint probabilitatea ca ntr-un an oarecare(deci n oricare an) s se produc un debit mai mare dect %1Q .

Considernd, c s-au executat lucrri de combatere a inundaiilordimensionate la acest debit, gradul de siguranal sistemului este de 99%,iar 1% reprezint riscul anual de depire a capacitii sistemului i careevident, nu poate fi interpretat ca asigurare (el reprezentnd de fapt oneasigurare) [Giurma I., Giurma R., 2001].

Prin urmare, probabilitatea de depire p% captsemnificaia unuirisc anual 1R de depire a valorii %pQ .

n aceste condiii, ncepe s prezinte interes riscul de depire avalorii %pQ dintr-o perioad de n ani, corespunztoare duratei de

funcionare a lucrrii hidrotehnice. Dacp% reprezintun risc anual, autnci1-p% reprezint sigurana sistemului n decurs de 1 an. n cazul n carerealizarea valorii debitului maxim dintr-un anumit an poate fi consideratindependentde valorile din ceilali ani, gradul de sigurandintr-un numr

de nani poate fi apreciat cu relaia ( )np1 .Rezultatunci c, riscul hidrologic nR are o valoare complementar

siguranei sistemului pentru nani:

( )nn pR = 11 (3.53)

Cu ct neste mai mare, cu att nR tinde ctre 1 (sau 100%); deci,

ntr-o perioadfoarte mare riscul de a se produce debite superioare lui %pQ se apropie de certitudine.


31/188

233

Fie pentru exemplificare cazul n care p= 1%, iar n= 100.

( ) %6363,037,0101,011 100100 ====R (3.54)

Cu alte cuvinte, probabilitatea ca ntr-o sutde ani sse producun

debit egal cu %1Q nu este deloc neglijabil (deci dimensionareaevacuatorilor de ape mari, a ndiguirilor etc, trebuie fcut foarteatent, pentru c este posibil o solicitare a lucrrilor la acest debit). nacelai timp, riscul 100R este ncdeparte de certitudine, ceea ce nseamn

c n decurs de 100 de ani este foarte posibil ca debitul %1Q s nu se

produc[Giurma I., .a. 2001].De asemenea, pot exista intervale de 100 ani n care acest debit sse

producde dou, trei sau chiar de mai multe ori.

Figura 3.9 Realizarea valorilor %1Q n timp

n figura 3.9 este reprezentato situaie posibila realizrii debitelor

%1Q ntr-o perioadlungde timp. Ca medie, acest debit se produce o dat

la 100 de ani, fra exista nsnici o regularitate n realizarea sa (deci, dacdebitul %1Q s-a nregistrat ntr-un anumit an, nu nseamncel se va mai

realiza de abia dup100 de ani).Perioada de repetare T, definitprin raportul:

%

1

pT= (3.55)

trebuie neleasca o valoare medie, caracteristicunei perioade foarte lungide timp (de ordinul miilor sau zecilor de mii de ani).

n practic, se utilizeaz pentru 1%1 , QQ etc, n mod frecvent,formularea: "debitul care apare o datla 100 de ani", "o datla 1000 de ani"etc. Aceast exprimare trebuie neleas cu rezerva expus anterior.Mult mai indicat este cealalt formulare de risc anual de depirede 1%, 1 etc.

0 100 200 300 400 500 600 700 ani


32/188

234

3.3. VARIABILE ALEATOARE CONTINUE

A. DENSITATEA DE REPARTIIE. FUNCIA DE REPARTIIE

Variabila aleatoare X, fiind continu, poate lua orice valoare dindomeniul ei de variaie. n mod obinuit, n hidrologie acest interval este

semiaxa [ )+,0 sau chiar un interval mai restrns [ )ba, ; pentrugeneralitate, n continuare se va admite ca domeniu de variaie axanumerelor reale ( )+ , .

Acest domeniu este divizat n intervale infinitesimale de lungimedx.Probabilitatea elementarca variabilaleatoareXsia valori n cadrul

intervalului [ )dxxx +, este egal(figura 3.10) cu produsul dintre lungimeaintervalului i valoarea funciei f (denumit densitate de probabilitate saudensitate de repartiie) n punctulx.

[ )( ) ( )Pr ob X x, x dx f x dx + = (3.56)

Figura 3.10 Densitatea de repartiie a unei variabile aleatoare continue

Denumirea de densitate pentru funcia ( )xf este preluat din fizic(prin analogie cu densitatea ( )x a unei bare neomogene).

Se reamintete c repartiia unei variabile discrete X, se reprezintsimbolic prin:

( )

i

i

xf

xX : (3.57)

x x+dx x

f(x)

Prob (X [x,x+dx))


33/188

235

unde ( )ixf este probabilitatea elementar. n mod similar, n cazulvariabilei continue, la care probabilitatea elementar este dup cum s-aartat ( ) dxxf , ar trebui utilizatnotaia:

( )

dxxf

xX: (3.58)

n practicnsse folosete reprezentarea simplificat:

( )

xf

xX : (3.59)

unde, nsaa cum s-a mai artat ( )xf definete o densitate de probabilitatei nu o funcie de probabilitate:

( ) [ )( )x

xxxXxfx

+=

,Problim0

(3.60)

Cu alte cuvinte, ( ) ( )xXxf = Prob , care este de altfel nul;raionnd chiar intuitiv, probabilitatea aferent unei valori punctuale (ncondiiile n care variabila poate lua o infinitate de astfel de valori) estezero:

( ) 0Prob ==xX (3.61)

Densitatea de repartiie ( )xf reprezintdeci mrimea probabilitii peunitatea de lungime din intervalul: [ )xxx +, .

O repartiie continu poate fi privit i ca limit a unei repartiiidiscrete, care ia un numr din ce n ce mai mare de valori (n final o mulimede puterea continuului). Ca urmare, toate consideraiile expuse la variabilelediscrete se pstreaz, cu mici diferene. Una dintre aceste diferene estefaptul csemnul sumse va nlocui prin operatorul de integrare.

De exemplu, suma probabilitilor elementare la variabilele discreteeste unitar:

11 ==n

iip (3.62)


34/188

236

n cazul variabilelor continue relaia echivalenteste urmtoarea:

( ) 1=+

dxxf (3.63)

n mod similar, se va defini funcia de repartiie ( )xF .

n cazul variabilei discrete probabilitatea de nedepire a valoriiparticulare x rezult prin nsumarea probabilitilor aferente valorilorvariabilei mai mici dectx:

( ) ( ) 0,25 mm), numit i porozitatesupracapilar. Se mai disting urmtoarele categorii de poroziti:porozitateatotal(sau absolut) iporozitate efectiv(sau eficace).

Porozitatea total (sau absolut) a rocilor se exprim princoeficientul de porozitate care (considernd un anumit volum dintr-un

mediu poros) se definete ca raportul dintre volumul total al porilor(golurilor), Vpi volumul total al rocii Vr:

n =r

p

V

V sau n=

r

sr

V

VV [-] (4.1)

iar procentual:

n = 100r

p

V

V sau n= 100

r

sr

V

VV [%] (4.2)

unde: Vs este volumul fazei solide (substana mineral i substanaorganic).

Calculul coeficientului de porozitate se face obinuit cu formula:

n= 1-s

v

[-] sau n= 1001

s

v

[%] (4.3)

unde: veste greutatea unitii de volum a rocii uscate, n structura natural[N/m3]; iar sgreutatea unitii de volum real a rocii [N/m

3].Indiferent de natura lor, golurile din roci, intergranulare sau fisurale,

pot fi izolate sau n comunicaie. Volumului total al golurilor (izolate i ncomunicaie) i corespunde porozitatea total sau absolut n, iaransamblului golurilor n comunicaie, suficient de mari pentru a permite


98/188

300

circulaia unui fluid sub aciunea forelor gravitaionale (hidrostatice), icorespunde porozitatea efectiv ne. Rocile care au porozitate efectiv seconsidera fi permeabile.

Porozitatea efectiv (sau eficace), ne, reprezint raportul ntrevolumul porilor aflai n intercomunicaie, accesibili circulaiei apei duplegile hidrodinamicii i volumul total al rocii. Porozitatea efectiv

influeneaz direct asupra rezervei de ap utile dintr-un complex acvifer.Factorii care influeneaz porozitatea rocilor sunt: forma i dimensiunileparticulelor (granulelor), dispoziia (aranjamentul) i gradul de ndesare icimentare.

Forma granulelor determin forma i dimensiunile porilor. Formacubic (fa de forma sferic), n aceleai condiii de ndesare i aranjare,condiioneazun volum mai mare de goluri. Porozitatea totalcea mai mareo au pietriurile ascuite (unghiulare). Forma este neglijabil pentru

porozitatea fraciunilor fine.Dimensiunile fraciunilor: se remarco cretere a porozitii totale a

rocilor o datcu micorarea fraciunilor ce le alctuiesc. Porozitatea total

(absolut) este cu att mai mare cu ct dimensiunile fraciilor sunt maiuniforme.

Dispoziia (aranjamentul) granulelor: la diametru egal al granulelor,porozitatea totaleste funcie de modul de aranjare. Astfel, dupGraton iFraser, pentru ase tipuri de aranjri ale unor granule sferice de nisip,

porozitatea variazntre 47,64 % i 25,95 %.Gradul de ndesare i cimentare poate reduce foarte mult volumul

golurilor, deci i valoarea coeficientului de porozitate.Porozitatea rocilor sedimentare depinde de compoziia

granulometric i structur. Din aceast cauz valoarea porozitii estecuprinsntre limite foarte mari.

n general se remarco cretere a porozitii totale a rocilor o datcumicorarea diametrului fraciunilor ce le alctuiesc. n acelai sens crete ispaiul poros capilar i capacitatea de nmagazinare cu ap a solului.Porozitatea efectiv crete o dat cu dimensiunile i modul de aranjare a

particulelor.Nisipul i gresiile au o porozitate totalde aproximativ 30 %. Exist

i roci compactate (calcarul i dolomitele) care au o porozitate mare. Rocilecristaline i metamorfice au o porozitate de 15 %. Argilele constituie ocategorie special. Ele sunt constituite din formaiuni lamelare aproximativ

paralele, separate prin straturi variabile n care poate exista sau nu ap.

Argilele au proprietatea de umflare n prezena apei. Particulele de apsunt puternic legate de particulele solide argiloase. Procentajul porilor poateajunge pnla 90 %. n cazul rocilor compactate, pot exista fisuri sau falii


99/188

301

ce apar n general dup direcii pricipale, formndu-se astfel de blocuri.Aceste fisuri pot fi colmatate cu argile, calcite, cuaretc.

Porozitatea poate varia n timp datoritcimentrii rocilor granuloasesau tasrii.

Apa subteranse gsete n formlegat(cum ar fi apa pelicular),sau sub form liber (cum ar fi apa capilari apa gravitaional). Pentru

aplicaiile tehnice se studiazapa n regim gravitaional, care se gsete nanumite straturi ale rocilor poroase denumitestraturi freatice.Apa este legat de suprafaa particulelor prin fore de atracie

molecular. Aceste fore descresc cu distana dintre molecula de ap iparticula solid. Un prim strat adsorbit are o grosime de 0,1 icorespunde unei orientri a moleculelor de apcu structurdipolarH-OH,

perpendiculare pe suprafaa solidului. Forele de atracie care apar sunt deordinul 10000 bar i scad n raport cu distana.

n acest strat adsorbit proprietile apei sunt puternic modificate:viscozitatea foarte mare, densitatea foarte mare (1,5). Numeroi ioni, nspecial cationi, pot fi reinui prin atracia conjugata moleculelor de apale

solidului. ntre distanele de 0,1 i 0,5 exist o zon de tranziie careconine molecule de apimobile care suportatracii suficient de mari. Dela distana 0,5 forele de atracie sunt neglijabile, iar apa devine liber.Apa liber se poate deplasa sub aciunea gravitaiei i a gradienilor de

presiune.Porozitatea cinematica unui mediu poros saturat este:

nc=t

c

V

V (4.4)

unde: Vc este volumul de ap care poate circula; Vt, volumul total almediului poros.

Volumul porilor prin care poate circula apa este ntotdeauna mai micdect volumul total al porilor.

ntr-un mediu poros nesaturat exist trei faze: solid, lichid,gazoas.

Pentru un VERse poate defini coninutul volumic de umezealsauumiditatea ca fiind:

=V

Va (4.5)

unde: Va este volumul de ap coninut; V, volumul total i saturaiavolumicsau gradul de saturaieSw:


100/188

302

Sw=p

a

V

V (4.6)

unde: Vaeste volumul de apconinut; Vp,volumul total al porilor. poate varia de la 0 la n(porozitatea total), iarSwde la 0 la 1 (sau

de la 0 la 100 %). Gradul de saturaie este legat de umiditate prin relaia:

Sw=n

(4.7)

Se numete porozitate de drenaj partea din porozitate care poate fidrenatgravitaional nd, adicdiferena dintre coninutul de apal mediuluisaturat i cel obinut la saturaie de echilibru.

C.PERMEABILITATEA

Permeabilitatea este proprietatea rocilor de a permite trecerea apeicnd ele sunt saturate i aflate sub influena unei presiuni hidrostatice ncondiii subterane naturale. Expresia cantitativ a acestor stri se exprim

prin coeficientul de conductivitate hidraulic (coeficient de filtraie),reprezentnd debitul unui fluid la o temperaturdatcare trece prin unitateade seciune transversala unui mediu poros sub influena unitii de gradienthidraulic. Valoarea coeficientului de permeabilitate rezult din legea luiDarcy (1856), primul cercettor care a stabilit pentru micarea apeisubterane n regim permanent relaia dintre gradientul hidraulic i icaracteristicile cinematice: viteza de infiltraie vi debitul Q.

D. UMIDITATEA (GRADUL DE UMIDITATE)

Umiditatea, w, reprezintraportul, n procente, dintre greutatea apeicare poate fi ndeprtatdin roci prin nclzire la 105 C i greutatea rociiuscate:

w= 1000 rG

G [%] (4.8)

unde: G0 reprezintgreutatea apei din pori; Gr, greutatea rocii uscate.Umiditatea higroscopic, wh, reprezintumiditatea unei roci uscate

n aer pnajunge la greutatea constant. Se exprimn procente.Umiditatea de saturaie, wsat (umiditatea maxim wmax) este

umiditatea unei roci saturatde ap.


101/188

303

Gradul de saturaie al rocilor, s, sau de umiditate (coeficient desaturaie) este raportul, n procente, dintre umiditatea unei roci la unmoment dat wi umiditatea aceleiai roci n stare de saturaie wsat (pentruacelai grad de porozitate):

s= 100satw

w [%] (4.9)

Gradul de saturaie al rocilor, s, este un indiciu asupra cantitii deap pe care rocile o pot primi pentru a deveni saturate. Dup gradul desaturaie, rocile pot fi: uscate (s< 0,4), umede (s= 0,4...0,8), foarte umede(s= 0,8...1,0) sau saturate (s= 1,0).

E.HIGROSCOPICITATEA

Higroscopicitatea este proprietatea pe care o au unele roci de aabsorbi vaporii de apdin aer i de a reine apa. Aceastprorpietate depindede natura rocilor i de porozitatea lor. Higroscopicitatea poate fi foarte mare,cnd se produce pnla saturarea tuturor porilor sau mai redus, cnd apaeste reinut numai de forele de absorbie. Higroscopicitatea maximreprezint umiditatea absorbit de o roc, amplasat ntr-o atmosfersaturatde vapori de ap.

Coeficientul de higroscopicitate al unei roci reprezint greutatea apei(n grame) adsorbit de o roc pe unitatea de suprafa [cm2], n unitateade timp [s], n contact cu aerul, la 50 % umiditate relativi o temperaturde 25 C.

F.ABSORBIA

Absorbia este proprietatea rocilor de a se mbiba cu ap sau altelichide cu care vine n contact. Aceast proprietate se exprim princoeficientul de absorbie, ai [%], care reprezint raportul dintre masa apeireinutde o probde rocn stare naturali masa aceleiai roci, uscatla105 C [m, n g]:

ai= 100

m

mml (4.10)

Absorbia de apdepinde de modul de saturare al rocii i se exprimprin coeficientul de saturaie s, care reprezint raportul dintre absorbie lapresiunea normal,ai,i absorbia, a, la presiunea de 150 kgf/cm2:


102/188

304

S=a

ai (4.11)

Un profil obinuit al cantitii de apconinutn sol, n funcie decotare urmtorul aspect (figura 4.2) [de Marsily G., 1994].

Coninutul de ap este funcie de porozitatea i permeabilitatea

solului. Sub o cot N coninutul de ap nu mai crete cu adncimea.Aceastzonestesaturati o numimpnzfreatic. Zona aflatdeasuprapnzei freatice se numete nesaturat. n zona saturatapa este supus nprincipal forelor de greutate, n timp ce n zona nesaturat suntpreponderente forele de capilaritate.

Apa care cade pe suprafaa solului umezete fraciunea superioarasolului (civa cm), profilul coninutului de ap din sol modificndu-se.Cnd coninutul de ap depete o valoare limit numit capacitate deretenie specific, apa se propag spre pnza freatic umezind o zonmai

profunda solului.

Figura 4.2 Profilul coninutului de apdin sol

n cazul precipitaiilor de lungdurat, umezirea solului este tot maiputernic, ceea ce determin infiltraia, adic deplasarea apei spre pnzafreatic. Acest fenomen este foarte lent, depinznd de permeabilitateasolului i de adncimea pnzei freatice.

Apa din zona nesaturaturcprin capilaritate spre suprafai aici seevapor. n cazul n care pnza freatic nu este la mare adncime,

evapotranspiraia puternic la suprafaa solului antreneaz o curgereascendenta pnzei freatice.

(coninutul de apdin sol)

Suprafaa pnzei freatice

Suprafaa soluluiz (cota)

Zonnesaturat

Zonsaturat

N


103/188

305

Apa infiltratpnla pnza freaticcirculn acvifer, spre ruri, pecare le alimenteazn absena ploii. Acest aport al apelor subterane pentruapele de suprafaformeazdebitul de bazal rurilor.

Cum se tie din studiul hidraulicii, micarea apei n cmpgravitaional terestru se realizeaz atunci cnd ntre dou puncte oarecareexisto diferende nivel, sau o diferende presiune hidraulic.

Regimul de scurgere al apelor superficiale naturale sau artificiale ncanale se desfoar liber, adic la presiune normal. n cazul apelorsubterane, circulaia acestora se poate efectua liber sau sub presiune,

parametrii hidraulici care caracterizeazcurgerea fiind:- panta hidraulic(longitudinal), i [-];- viteza de curgere, U [ms-1];- debitul de curgere, Q [m3s-1].

Aceti parametri mai depind de: aria de curgere (transversal), A[m2]; natura mediului de scurgere caracterizatprin porozitate (care depindede modul de aezare a granulelor i de forma lor).

Circulaia libera apei se realizeazcnd ea se efectueazavnd un

strat suport impermeabil i o diferen de nivel ntre dou seciuni decurgere, iar circulaia sub presiune este caracteristic n cazul pnzelorcaptive, cnd se creeazi o diferende presiune datoritalimentrii pe osingur parte i a imposibilitii ridicrii apei la nivelul respectiv. Acestlucru se datoreaz straturilor impermeabile care limiteaz seciunea descurgere i deci impun un regim de curgere hidraulic forat. Mai este deremarcat faptul cn timp ce printr-o conduct, curs de ap, sau canal, apasuperficial umple sau poate umple toat seciunea transversal, n cazulapelor subterane ea circulnumai prin pori.

n cele ce urmeazse va considera nscfenomenul se petrece ca laapele superficiale, adicn practicde obicei se vor determina panta, vitezai seciunea aparent, nu cele reale care ar fi foarte greu de determinat.Pe baza studiilor de teren se pot stabili corelaii ntre elementele aparente icele reale. Acest lucru este necesar pentru anumite aplicaii practice.

4.1.3. PNZE ACVIFERE

n mediul subteran apa ntlnete roci care datorit porozitii lorpermit curgerea i roci practic impermeabile prin care apa nu mai poatecurge. Rocile prin care apa poate curge se numesc roci acvifere, iar apaconinut n pori formeaz pze acvifere. Stratele acvifere se numesc

omogene cnd porii rocilor comunic ntre ei i se asigur o circulaie


104/188

306

continu i eterogene cnd apa subteran circul prin fisuri sau pori airocilor comunicnd neregulat dintr-o zonn alta.

Acviferele naturale sunt cantonate n depozite permeabile cu grosimei extindere spaialimportante, limitate la bazde un strat impermeabil (patimpermeabil) i uneori i n partea superioarprintr-un tavan impermeabil,saturate n parte sau n totalitate cu ap. n cazul cnd apa este n stare de

micare se formeazcureni acviferi naturali.Acviferele pot fi libere (cu nivel liber) sau captive (sub presiune).Acviferele cu nivel liber sunt limitate n partea superioar de o suprafaliber (de depresie) aflat n echilibru cu presiunea atmosferic patm(consideratnul ntr-un sistem de referin relativ) (figura 4.3). Suprafaaliberdelimiteazzona nesaturatde cea saturata mediului poros.

Dup modul de dispunere a rocilor acvifere n scoara pmntuluipnzele acvifere libere pot fi dinzonele aluvionaresau coninute nfisuri alerocilor .a.

Pnzele din zonele aluvionare se gsesc n vecintatea cursurilor deapla vrsarea unui afluent ntr-un curs superior, n conurile de dejecie ale

cursurilor de ap sau n vecintatea mrilor sau oceanelor. Rocile acvifererespective sunt formate din nisipuri, pietriuri, bolovniuri, formaiuni delss cu un coninut relativ mic de argil, roci marnoase, nicipoase etc. iar

pnza freaticare un nivel variabil, el fiind mai ales influenat de precipitaiii de nivelul apelor din ruri, oceane sau mri.

Figura 4.3 Strat acvifer cu nivel liber

Pnzele acvifere coninute n fisuri se pot forma n crpturi saufisuri numite litocloze, formate n rocile metamorfice prin rcirea magmei.Crpturile sau fisurile pot eventual comunica ntre ele. Atunci cnd sunt dedimensiuni mari, sub formde falii, se numesc paraclaze, iar dacnu suntdislocate se numesc diaclaze. Fisurile mici se numesc leptoclaze, ele putnd

fi puin profunde (sinclaze) sau neregulate (piezoclaze), aprute ca urmare avariaiei eforturilor mecanice exterioare.

zonnesaturat

zonsaturat(K1>0)pat impermeabil (K20)plan de referin

iezometru

Z H

e

curba de depresie


105/188

307

Aceste fisuri se pot forma i n rocile sedimentare calcaroase prindizolvarea lor de ctre apele pluviale sau de infiltraie, favoriznd formarea

peterilor sau chiar a cursurilor de ap subteran n masivele calcaroase.Astfel de zone se numesc carstice. Cnd se formeaz cursuri de apsubterane n astfel de roci, debitele acestora pot fi destul de importante. nastfel de zone carstice se cunosc cazuri cnd cursurile de suprafadispar

curgnd n subteran pe anumite poriuni.Acviferele sub presiune sunt situate ntre dousau mai multe straturiimpermeabile, alimentarea pnzelor freatice fcndu-se astfel nct s secreeze o cretere a presiunii hidraulice peste cea normal (atmosferic)(figura 4.4).

Figura 4.4 Strat acvifer captiv

Pnzele acvifere captive se gsesc denivelate fa de sursa dealimentare, ceea ce face s se creeze o presiune hidraulic care e captiv,deci nu se poate manifesta din cauza cel puin a unui strat impermeabil ce oseparde un alt strat acvifer. n momentul cnd s-ar executa un pun zonace cuprinde stratul de ap subteran captiv, nivelul pnzei freatice se va

ridica la nlimea corespunztoare de alimentare, la nlimea pizometric(figura 4.4). Cnd aceasta depete nivelul solului, nete vertical pnlanlimea la care energia hidraulic disponibil se anuleaz. Acest tip destrat acvifer se mai numete i artezian (dupdenumirea domeniului Artoisdin Frana unde s-au realizat puuri spate n astfel de straturi freatice)[Marinov A.N., 2000].

Suprafaa piezometric indic variaia nivelului piezometric pesuprafaa ocupat de acvifer. n cazul acviferului cu nivel liber suprafaa

piezometric exist fizic n natur, fiind identic cu suprafaa libera acviferului. n cazul acviferului sub presiune suprafaa piezometriceste o suprafa imaginar situat deasupra tavanului impermeabil.

Prin intersectarea suprafeei de depresie, respectiv a celei piezometrice, cu

tavan impermeabil (K10)

acvifer (K2>0)

pat impermeabil (K30)

plan de referin

nivelZ H

e

curba piezometric

H>Z

H

Z


106/188

308

un plan vertical, paralel cu direcia principalde curgere, se obine curba dedepresiune (figura 4.3) i curba piezometric(figura 4.4).

Pentru folosirea apelor subterane n diferite scopuri practice trebuiecunoscute elementele caracteristice care servesc ca date primare nelaborarea diferitelor studii sau proiecte. Aceste elemente se pot grupa nastfel:

- parametri cantitativi rezultai din structura geologic a rocilor (carefurnizeaz date n legtur cu porozitatea, compoziia chimic a rocilor,permind stabilirea permeabilitii rocii, adic circulaia apei i stabilireaunor proprieti ale apei etc.);- parametri legai de calitatea apeisubterane;- parametri geometrici i hidraulici, cum ar fi nlimea sau grosimeastratului acvifer, panta hidraulica apei subterane, sarcina hidraulic, vitezaapei subterane i debitul apei subterane.

Grosimea stratului acvifer liber reprezintdistana pe verticalde lastratul practic impermeabil pn la nivelul maxim al apei gravitaionale.Grosimea stratului acvifer captiv este distana pe verticalntre cele dou

strate impermeabile. n calculele inginereti se folosete de multe orinoiunea de nlime medie a unei pnze freatice care se determin ntr-ozon de interes, cunoscnd nlimile msurate sau determinate pe o

perioadde minim 10 ani (n foraje de studii i observaie) i efectund omedie statistica nlimilor din cteva puncte care sacopere uniform zonastudiat.

Pe baza cunoaterii nlimii stratului acvifer, raportat fa de unreper care se ia uneori chiar nivelul stratului impermeabil, se poatedetermina nivelul hidrodinamic al pnzei freatice. Acesta este n generalvariabil, fiind influenat de urmtorii parametri:- regimul de infiltraie-evaporare care depinde mai ales de regimul

precipitaiilor, de variaiile de temperatur a solului i aerului i deporozitatea rocilor, adicpermeabilizarea lor;- influena apelor de suprafa (ruri, fluvii, mri i oceane) care pot cedasau absorbi o parte din debitul apelor subterane i deci modific nivelul

pnzei freatice;- fluxul i refluxul care creeazprin circulaia masei apelor mari variaii ale

pnzei freatice pe distane de zeci de km;- micrile tectonicecare modificnatura i stabilitatea rocilor;- lucrrile artificiale (cu caracter hidrotehnic, cum ar fi crearea de marilacuri de acumulare, lucrri de hidroamelioraii, fundaii, lucrri de

alimentare cu apetc.).


107/188

309

4.1.4. SARCINA HIDRAULICI SARCINA PIEZOMETRICNTR-UN MEDIU POROS

n cazul unui mediu poros saturat, sarcina hidraulic(exprimat nmetri coloan de ap) n orice punct M al unui curent acvifer (fluidincompresibilsupus forelor gravitaionale) este datde relaia:

g

u

g

pzH

2

2

++=

[m] (4.12)

unde: zeste cota fade un plan de referin (axa Zorientat n sus) [m];p, presiunea fluidului n punctul considerat [kgm-1s-2]; , densitateafluidului [kgm-3]; g, acceleraia gravitaional [ms-2]; u, viteza real afluidului n punctul de cotz[ms-1].

Viteza real u fiind foarte mic, termenul gu 22 , reprezentndenergia cinetic specific, se neglijeaz. De exemplu, n cazul curenilor

acviferi n regim natural, considernd gradientul 1%, porozitatea efectiv30 % i conductivitatea hidraulic 300 m/zi, rezult o vitez efectiv de10 m/zi 10-4 m/s, ceea ce conduce la o energie cinetic specificneglijabil ( gu 22 510-10m) [Zamfirescu, F., 1997]. Astfel, expresia

sarcinii hidraulice (energie specific) devine:g

pzH

+= , deci se

aproximeazcu o precizie foarte ridicatprinsarcinpiezometric.n cazul mediului poros nesaturat (pZ(figura 4.4).

Dac se ine seama de compresibilitatea fluidului, sarcinapiezometriceste datde relaia:

H=z+ p

pgp

dp0

)( (4.14)


108/188

310

unde: p0este presiunea la originea axeiZ; p, presiunea n punctul aflat lacotaz[de Marsily, G., 1994].

Sarcina hidraulicdescrete n sensul curgerii sau este constant ncazul repausului.

Datele obinute din studii cu privire la nlimea/grosimea pnzei deap subteran sunt prelucrate, avnd drept finalitate executarea de hri n

care sunt marcate curbele care unesc punctele de egalsarcinpiezometric.Aceste curbe se numesc hidroizohipse n cazul acviferului cu nivel liber ihidroizopieze n cazul acviferului sub presiune. Datorit variaiei

permanente a nivelului pnzei freatice, hrile se ntocmesc pe bazadeterminrii unor valori medii de nlimi pe o perioadde civa ani (10 aniacceptabil, 20-40 ani suficient).

Direcia de curgere a curentului subteran se face ntotdeaunaperpendicularpe direcia curbelor de nivel, hidroizohipse sau hidroizopieze,ea schimbndu-se n funcie de variaia pnzei freatice.

Gradientul hidraulic de presiune sau panta apei subterane sedefinete ca raportul dintre diferenele de nlimi ale pnzei acvifere ntre

doupuncte raportate la distana (msuratpe direcia de curgere) dintre ele.n acvifere regimul de curgere este n general laminar. Viteza de curgereeste definit ca raportul dintre debit i seciunea transversal de curgere,dac regimul de curgere este i permanent. Debitul reprezintvolumul deap scurs n unitatea de timp. Cunoaterea vitezei i a debitului apelorsubterane are numeroase aplicaii n diferite domenii tehnice. Astfel, dacsecere s se asigure din surse subterane un anumit debit, va trebui s secunoascdebitul surselor subterane pentru a constata dacproblema admitesoluii. De asemenea trebuie s se cunoasc i viteza de curgere pentru a

putea calcula timpul de refacere a debitului extras. Permeabilitateareprezint, cum s-a mai artat, un factor important n asigurarea posibilitiide infiltrare. Ea determin chiar viteza apei i deci debitul posibil ce se

poate scurge printr-un strat acvifer [Drobot R., Giurma C.R., 2003].

4.1.5. TIPURI DE CURENI ACVIFERI

Curenii acviferi cu nivel liber, ct i cei sub presiune pot aveamicri staionare (permanente) uniforme sau neuniforme (gradual variatesau oarecare) i micri nestaionare (nepermanente) i neuniforme.Curgerea poate fi considerat staionar atunci cnd condiiile de margineale acviferului (condiiile de alimentare i descrcare) sunt constante cel

puin pentru o perioadde timp. Pentru aceastperioaddebitul acviferului


109/188

311

este constant ( tQ / = 0). n cazul micrilor nestaionare debitulacviferului este variabil n timp ( tQ / 0).

n funcie de condiiile de alimentare (sau descrcare) pe verticaldin infiltrare de la suprafaa terenului sau prin drenan din (sau spre)acviferele vecine, micarea staionarsau nestaionar, n acviferele cu nivelliber sau sub presiune, este consideratconservativsau neconservativ.

La acviferele cu micare staionari uniformliniile de curent suntrectilinii i paralele, viteza i seciunea de curgere rmnnd constante.

n cazul micrilor neuniforme suprafaa de depresiune (saupiezometric) este curb(figura 4.3 i figura 4.4); gradientul hidraulic estediferit de panta medie a patului impermeabil (Ii) i, ca urmare, seciunea de

curgere este variabil(x

0). n majoritatea situaiilor, prin schematizare

atent, curenii acviferi naturali pot fi considerai cu micare neuniformgradual variat. Micarea neuniformoarecare este asociat acviferelor cumare neuniformitate litologicpe verticalsau cu importante schimbri de

facies pe orizontal.

Figura 4.5 Exprimarea morfologiei suprafeelor piezometrice cu ajutorul hrilor cuhidroizopieze: a, c, cureni radiali; b, cureni plan verticali.

n funcie de raportul dintre gradientul mediu al profilului dedepresiune i panta patului impermeabil, curenii acviferi cu suprafaliberi micare neuniform gradual variat pot fi consecveni-descendeni,consecveni-ascendenii obsecveni.

Curenii acviferi naturali au n marea majoritatea a situaiilor dezvoltare mare n plan orizontal i extindere reduspe vertical, putnd fi

considerai plan-orizontali (liniile de curent sunt practic paralele n planeorizontale succesive). n situaiile n care liniile de curent sunt paralele ntre


110/188


111/188

313

nisipos, ca i cum toat seciunea masivului ar fi supus curgerii, numitvitezde filtraie.

Dacnotm cuL

hi = pierderea de sarcinpe unitatea de lungime

de mediu poros traversat, numit i gradient hidraulic, obinem cea maisimplexpresie a legii lui Darcy:

U=Ki [ms-1] (4.16)

A.EXPERIENA LUI DARCY

Pentru a pune n eviden legea de micare a unui lichid n mediulporos (subteran), Darcy a fcut un ir de experiene pe terenuri diferite,adicvariind parametrii ce pot influena scurgerea. Astfel el a constatat cscurgerea apelor subterane depinde de:- panta hidraulica scurgerii, i;

- coeficientul de filtraie, K, ce depinde la rndul su de caracteristicilemediului poros (granulometrie, porozitate, temperaturetc.).

Exprimarea matematica acestei legi este datde relaia:

U = Ki [ms-1] (4.17)

unde: U este viteza aparent (fictiv) a apei subterane [ms-1]; i, pantahidraulica apei subterane [-];K, coeficient de filtraie al rocii prin care s-ascurs apa subteran, ceea ce nseamn cviteza aparentvariaz liniar cu

panta hidraulic[ms-1].

n funcie de mediul de scurgere mai intervine coeficientul defiltraie care, dupcum se observ, are dimensiunile unei viteze.Pentru experien, Darcy s-a folosit de o instalaie de tipul celei din

figura 4.6 care se compune din dou rezervoare legate ntre ele printr-uncilindru umplut cu material (sol) poros, de exemplu nisip[de Marsily G., 1986].

Separaia ntre rezervoare i cilindru se face prin site care trebuie saibdimensiunea ochiurilor mai micdect cea mai micgranulde nisip.De asemenea, marginile sitei se chituiesc bine pentru a nu se permite creareade vine de ap, deci o circulaie turbulenta apei i care ar putea eventualantrena particule de nisip. Printr-o conduct, rezervorul (1) este permanent

alimentat astfel nct s se menin acelai nivel hidrostatic n el, iarrezervorul (2) se leagprintr-o conductla un vas etalonat. Att pe conducta


112/188

314

de alimentare, ct i pe conducta de evacuare se prevede cte un robinet.De asemenea, se mai prevd doupiezometre ce se monteaz n imediatavecintate a celor dou rezervoare. Distana dintre bazele celor dourezervoare se noteazcu L, iar aria seciunii cilindrului umplut cu sol este

A= d2/4(d diametrul seciunii aparente transversale de scurgere) [m2].

Figura 4.6 Experiena lui Darcy

Cu acest echipament, experiena se realizeazastfel: deschidem vanade alimentare i evacuare i se observ cum decurge scurgerea. Dupuniformizarea scurgerii, deci cnd micarea devinepermanenti uniform,se asigurun nivel constant n rezervorul 1. Dupuniformizarea micrii seobserv c ntre cele dou rezervoare se creeaz o denivelare

piezometrich.Cunoscnd acest element i considernd drept plan de referin

planul ce este paralel cu suportul rezervoarelor (figura 4.6), Darcy determinpanta aparent de scurgere prin mediul poros (panta hidraulic), pentruregimul de curgere laminar:

i=L

h [-] (4.18)

L

hhK

A

Q 12 =

1

2

plan de referinpentruzi h


113/188

315

Debitul ce s-a scurs ntr-un timp cunoscut t, se determin pe bazavolumului de apscurs V, n vasul etalonat:

Q=V

t [m3s-1] (4.19)

Rezultcviteza aparentde scurgere este:

U=A

Q [ms-1] (4.20)

Coeficientul de filtraie (conductivitatea hidraulic) se determindinlegea experimentala lui Darcy:

K=i

U [ms-1] (4.21)

Dac experiena se repet, variind diferena de nivel h, vom

constata c valoarea lui K rmne constant pentru acelai mediu poros,indiferent de diferena de nivel i variabil, dacschimbm mediul poros.Vom defini curgerea n mediul poros printr-un vector, fluxul de

curgere, care este debitul specific q=Q/A[ms-1] sau viteza medie Darcy U.Aceastmrime reprezintmedia globala fluxurilor microscopice ntr-unvolum de sol suficient de mare n comparaie cu dimensiunile porilor i cueterogenitile microscopice. Debitul specific, q (debit pe unitatea desuprafasau flux), reprezintvolumul de apscurs prin unitatea de timp.Acest flux are dimensiunile unei viteze (este viteza fictivpe care ar avea-oapa dacar traversa toatsuprafaa Aa solului).

Viteza medie real, microscopic, n pori va fi:CC nq

nUu == ,

nC fiind porozitatea cinematicsau eficace.Viteza lui Darcy se utilizeazn calculul debitelor, n timp ce viteza

realprin pori este utiln calculul timpilor de transfer.

4.1.7.VITEZA DE FILTRARE I VITEZA REALDE CURGERE

Pornindu-se de la observaiile rezultate din experiena lui Darcy, nhidraulica subterancurentul real, care circulprin spaiile corespunztoare

porozitii efective ne(

e= n

e

,suprafaa efectiva seciunii de curgere),cu o vitez u, urmnd un traseu sinuos prin spaiile intergranulare(figura 4.7) este nlocuit cu un curent fictiv, de filtrare, cu debit identic cu


114/188

316

cel real Q, care ocupntreaga seciune de curgere ( estesuprafaa totalaseciunii de curgere), incluznd golurile intergranulare i scheletul mineral,liniile de curent fiind perfect rectilinii.

Deoarece traiectoria real a liniilor de curent i viteza real suntgreu de determinat, n practica inginereasc se determin experimental ovitez fictiv U corespunztoare unui traseu rectiliniu ntre punctele de

msurare (viteza lui Darcy).

Figura 4.7 Liniile de curent corespunztoarevitezelor reale (1) i fictive (2) de curgere

Debitul acviferului poate fi exprimat prin:

Q = U= ue=une (4.22)

rezultnd c:

U= une i U


115/188

317

intiial), iar la rocile cu permeabilitate mare (pietriuri, bolovniuri,anrocamente, masive puternic fisurate sau carstifiate) pierderea de sarcinhidraulicpoate fi proporionalcu ptratul vitezei, regimul de curgere fiindturbulent.

Legea lui Darcy este valabil numai pentru regimurile de curgerelaminar, care au loc, de obicei, n nisipurile fine, siluri i argile.

n nisipurile grosiere i pietriuri, vitezele cresc i regimnul devineturbulent. n acest caz relaia dintre flux i gradientul sarcinii nu mai esteliniar, ci de forma:

grad H= U+U2 (4.24)

unde: U reprezint pierderile de sarcin datorate frecrii vscoase lapereii matricei solide, iar U2 pierderile datorate ineriei fluidului(disipaii de energie cinematic n pori asemntoare celor care apar langustarea unui tub).

Se definete un numr Reynolds al mediului poros, adimensional:

Re =

UdUdkU= (4.25)

unde: U este viteza de filtrare [ms-1]; k, permeabilitatea intrinsec [m2];, densitatea fluidului [kgm-3]; , vscozitatea dinamic a fluidului[kgm-1s-1]; , vscozitatea dinamica fluidului [m2s-1]; d, diametrul mediual particulelor sau diametrul eficace d10[mm].

n practic se admite c legea lui Darcy este valabilpentru valoriale numrului lui Reynolds mai mici dect o limitcuprins ntre 1 i 10.

n acest caz curgerea este pur laminarn interiorul porilor. ntre 10 i 100ncepe un regim de tranziie n care forele de inerie nu mai sunt neglijabilei unde legea lui Darcy nu se mai aplic. Pentru valori ale numrului luiReynolds mai mari dect 100, regimul devine turbulent, iar relaia lui Darcytrebuie nlocuitcu o relaie adecvat.

n practic curgerea rmne laminar n majoritatea cazurilor decurgere n medii poroase, excepie fcnd regimul carstic i zona dinimediata apropiere a lucrrilor de captare.

Pentru mediul poros subteran, diferii cercettori au stabilit zona deproducere a regimului laminar n funcie de numrul lui Reynolds. Se daucteva dintre aceste formule experimentale, astfel:

- dupPavlovski: Re =

dun

+ 23,075,01 8 (4.26)


116/188

318

- dupcercettorii Univ. Columbia: Re =3 n

du

6 (4.27)

- dupcercettorii Mint i Schubert: Re =)1(6 n

du

2 (4.28)

unde: u, este viteza de filtraie [ms-1]; d, diametrul eficace al particuleisolide [mm]; n, coeficientul de porozitate;, coeficientul cinematic deviscozitate; ,coeficient de form, =1,3... 1,4.

n regimul tranzitoriu, adic de trecere de la scurgerea laminar laregimul de scurgere turbulent (cnd 8 Re60), pierderea de sarcinhsedetermincu relaia:

i= c1u+c2u2 (4.29)

unde: i, panta hidraulic; c1 i c2, coeficieni dimensionali ce afecteazpanta, primul n cazul scurgerii laminare i al doilea n cazul micrii

turbulente; u, viteza de scurgere.Dac Re>60, micarea apei subterane este n regim turbulent.Elementele hidraulice se determin n acest caz corespunztor legilormicrii turbulente cunoscute din hidraulic.

Sichardt recomando valoare limitpentru gradientul hidraulic (pnla care este valabillegea lui Darcy):

i=K15

1 (4.30)

unde K este conductivitatea hidraulic.

Limita inferioar de valabilitate variaz mult cu tipul de argil.Astfel, cnd vitezele sunt foarte mici, ele nu mai sunt proporionale cugrandientul sarcinii. Forele de adsorbie sunt predominante i legea luiDarcy nu mai este valabil.

4.1.9.GENERALIZRI ALE LEGII LUI DARCY

Legea lui Darcy reprezint legea de micare a apei subterane nmedii poroase saturate, regim permanent. Vom rescrie vectorial ecuaiaalgebric:

U= -K lh

(4.31)


117/188


118/188

320

Se admite aceast generalizare pentru curgeri permanente inepermanente ale fluidelor compresibile.

Coeficientul de permeabilitate intrinsec, k, se referla mediul porosindependent de caracteristicile fluidului i nu e definit dect la scarmacroscopic. Dimensiunea sa este a unei suprafee.

[k] = ][]][[

]][[ 2222

1113L

TMLLTMLTL =

(4.35)

Coeficientul de permeabilitate intrinsec are importan n cazul ncare apele sunt situate la mare adncime, iar temperatura i salinitatearidicat influeneaz coeficientul de permeabilitate. Valorile coeficientuluide permeabilitate sunt determinate la 20C, fcnd corecii de temperatur.n condiiile apelor subterane obinuite, variaiile de vscozitate datorattemperaturii i variaiile de greutate specificsunt nensemnate i deci ceidoi coeficienti de permeabilitate sunt asimilai.

Ca unitate de permeabilitate n studiul apelor subterane obinuitese folosete cm/s. Pentru coeficientul de permeabilitate intrinsec sefolosesc unitile: DARCE=10-12 m2, DARCY=0,98710-12 m2 sauMILIDARCY= 10-3 DARCY, DARCY-ul (D) fiind permeabilitatea unuimediu care sub diferena de presiune de 1 atm (760 mm Hg) pe 1 cm, lasscurg printr-o suprafa de 1 cm2 un debit de 1 cm3/s, pentru un fluid cuvscozitatea dinamicde 1 centipoise (=10-3Pas) [de Marsily, G., 1994].

Pentru determinarea coeficientului de permeabilitate se pot folosimetode directe (de laborator, de teren) i metode indirecte (de calcul).

Pentru a stabili relaia ntre permeabilitatea intrinsec k iconductivitatea hidraulicK trebuie exprimat debitul n funcie de sarcina

hidraulic: hgradl

h = .

Presupunnd fluidul incompresibil (=const.), putem scrie o altformgenerala legii lui Darcy:

)( gzpgradk

U

+= (4.36)

Sarcina hidraulic fiind zg

ph +=

i scond g n factor de sub

gradient, relaia anterioardevine:


119/188

321

hgradgk

U

= (4.37)

Comparnd relaia U=Ki cu relaia de mai sus, deducem relaiadintre permeabilitatea intrinsecki conductivitatea hidraulicK:

gkK= (4.38)

Cele douforme ale legii lui Darcy

hgradKzgradgpgradk

U =+= )(

(4.39)

sunt echivalente dacdefinim sarcina hidraulicastfel: h=z+ p

g

dp

0

Conductivitatea hidraulicia valori cuprinse ntre 10

-9

i 10

-2

ms-1

.Experiena lui Darcy s-a realizat observnd o curgereunidirecional:

U=Ki (4.40)

n cazul scurgerii tridimensionale pentru mediile poroase omogene iizotrope, legea lui Darcy se poate scrie sub forma:

=

=

=

z

hKU

yhKU

x

hKU

z

y

x

sau hgradKU = (4.41)

unde:

hgrad = h = kz

hj

y

hi

x

hhk

zj

yi

x

+

+

=

+

+

(4.42)

Aceast lege arat c micarea se face n direcia forei motrice

reprezentatde gradientul hidraulic, fluxul q fiind un vector perpendicularpe liniile echipoteniale (h=constant).


120/188

322

Generalizarea tridimensionala legii lui Darcy s-a realizat admindimplicit c permeabilitatea intrinsec, k, respectiv conductivitateahidraulic, K, sunt proprieti izotrope ale mediului poros, independente dedirecia spaiului.

Se tie ns, a priori, c n realitate nu se ntmpl astfel. Deexemplu, straturile sedimentare nisipoase sau argiloase au, datorit

stratificrii lor, o permeabilitate orizontalmult superioar celei verticale.La fel se ntmpl i n cazul mediilor aluviale, formate n general dinstraturi sau lentile alternative de nisipuri i pietriuri i de scurte pasajeargiloase. Pentru aceste medii, direcia gradientului de sarcin i cel alvitezei de curgere nu se mai confund: curgerea va avea tendina de a urmadireciile cu cele mai mari permeabiliti.

Pentru mediile poroase neomogene i anizotrope, coeficientul deconductivitate hidraulicvariazatt n funcie de poziia punctului, ct ide direcia curgerii (figura 4.8).

Figura 4.8 Direcia vitezei i direcia gradientului de sarcin

Putem astfel considera permeabilitatea drept o proprietatetensorial, ca o traducerea simpl, matematica acestei observaii.

Definim un tensor de permeabilitate k, sau K

= k

gK

, pe

care-l vom admite ca un tensor de ordin 2 i simetric (Keste o matrice denoucoeficieni, simetricn raport cu diagonala).

Un tensor de ordinul 2 se definete prin regula de transformare acomponentelor tensorului n urma unei rotaii a reperului de coordonatecartezian: dac ntr-un reper (x1, x2, x3) componentele tensorului sunt Kij,componentele ijK ntr-un reper (x1, x2, x3) devin:

=l m

lmmjliij KK coscos , unde li este unghiul dintre axa Oxlcu axa

ixO . Astfel se transform componentele tensorului de permeabilitate,

plecnd de la un raionament asupra fluxului.

direcia vitezei

direcia gradientuluide sarcin


121/188

323

Se poate arta macroscopic csimetria acestui tensor este o condiiesuficient, cel puin pentru justificarea observaiilor. ntr-un mediustratificat, este ntr-adevr evident cdireciile paralele i perpendiculare custratificarea sunt direcii privilegiate de scurgere, pentru care gradientul desarcini viteza de curgere se confunddin nou. Altfel spus, componenteletensorului se reduc la componenta diagonal. Ori se tie c o matrice

simetriceste o condiie suficientpentru ca valorile sale sfie distincte idireciile proprii ortogonale. Dar pentru a arta c aceast condiie estenecesar, trebuie s facem apel la primul i al doilea principiu altermodinamicii.

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

KKK

KKK

KKK

K cu Kxy=Kyx;Kxz=Kzx;Kyz=Kzy (4.43)

Forma generala legii lui Darcy este:

hgradKU = sau ( )zgradgpgradkU

+= (4.44)

Explicitnd ultima relaie, obinem cea mai generalforma vitezeiU, de componente:

gz

pk

y

pk

x

pkU

gzpk

ypk

xpkU

gz

pk

y

pk

x

pkU

zzzyzxz

yzyyyxy

xzxyxxx

(4.45)

Se constat c aceast scriere tensorial permite ca, pentru ungradient ntr-o direcie zdat, sproduccomponentele curgerii pe direcii

perpendiculareyiz,ceea ce este conform cu experiena lui Darcy. Relaiaanterioara fost scrisutiliznd ase componente distincte, innd cont desimetria tensorului.

Aceast scriere puin greoaie poate fi simplificat cu ajutorul unuinou sistem ortogonal de coordonateX, Y,Z, deduse printr-o rotaie din cele


122/188

324

ale sistemului considerat iniial, astfel nct tensorul de permeabilitate ssereduc la componentele sale diagonale. Matematic X, Y, Z sunt direciile

pentru care curgerea este efectiv paralel cu gradientul de sarcin(n practic, o direcie ortogonalpe stratificare i doudirecii paralele cuaceasta i perpendiculare ntre ele): aceste direcii se numesc direcii

principale de anizotropie ale mediului. Cu aceste axe, tensorul kse reduce

la trei componente diagonale:

=

zz

yy

xx

k

k

k

k

00

00

00

(4.46)

iar relaiile anterioare devin (daczeste tot direcia vertical):

+

=

=

=

gz

pkU

y

pkU

x

pkU

zzz

yy

y

xxx

(4.47)

n practicdistingem, n medii sedimentare cu stratificaie mai multsau mai puin orizontal, doupermeabiliti: o permeabilitate vertical, kzz,

i una orizontal kxx=kyy. Raportul de anizotropiezz

xx

k

k este n general

cuprins ntre 1 i 100.

Afirmaiile anterioare se transpun i pentru tensorul K, egal cu kmultiplicat cu un factor scalar fixat. Ne vom referi n continuare ntotdeaunala un sistem de axe paralele cu direciile principale ale tensorului de

permeabilitate, z fiind verticala (altfel, termenul zgradg n ar fi distribuitn cele trei ecuaii n X, Y, Z, ngreunnd exprimarea). Aceastdificultatedispare dacfluidul este incompresibil, cci putem utiliza sarcina h.

Observm cdacanizotropia este uniform(acceai n orice punctal spaiului), putem considera mediul ca fiind izotrop prin anamorfoz

asupra coordonatelor [Drobot R., Giurma C.R., 2003].


123/188

325

B. TRANSMISIVITATEA T

Legea lui Darcy d expresia debitului care se scurge n micarepermanent printr-o suprafa de filtrare A, funcie de conductivitateahidraulicKi de panta hidraulic i:

AiKQ = (4.48)Pentru o suprafa de filtrare de lungime L i nlime e, egal cu

grosimea stratului acvifer, vom avea:

LieKQ = (4.49)

ProdusulKea fost denumit de Theis n 1938 transmisivitate (notatcu T [m2s-1]) sau de E. Gelis transmisibilitate: T=Ke.Cu aceastnoiune,legea lui Darcy captforma:

LiTQ = [m3s-1] (4.50)

Debitul specific (debitul pe o suprafaunitar) se obine prin relaia:

iTq = [ms-1] (4.51)

4.2. DINAMICA APELOR SUBTERANE. ECUAIA DEDIFUZIVITATE

4.2.1. CONSIDERENTE TEORETICE. TIPURI DE CURGERI

n fiecare moment, putem desena n fiecare punct al spaiului un

vector reprezentnd viteza n acel punct, n acel moment. Ansamblul acestorvectori este numit cmp de viteze. Curgerea unui fluid este deci caracterizat

printr-un cmp de viteze, prin presiune i prin anumite proprieti ale acestuifluid, cum ar fi masa volumic i vscozitatea, aceasta din urm avnd oimportandeosebitn studiul curgerilor [Giurma C.R., Popescu St., 2003].

A. CURGEREA LAMINARI CURGEREA TURBULENT

Curgerea unui fluid poate fi laminarsau turbulent. ntr-o curgerelaminar, fiecare particul a fluidului se deplaseaz formnd lame saustraturi ntre care nu exist amestecuri. Dimpotriv, n cazul curgerii

turbulente, particulele se deplaseaz formnd turbioane (vrtejuri) demrimi diferite nsoite de un amestec intensiv de particule fluide. Viteza i


124/188

326

presiunea ntr-un punct dat prezintn acest caz fluctuaii aleatorii n jurulunei valori medii.

B. CURGEREA UNIFORM

Se spune despre curgere c este uniform dac acceleraiaconvectiv este nul; viteza nu depinde deci de poziia n spaiu. n

consecin, ntr-o curgere uniform, vectorii vitezsunt paraleli i egali norice punct.

C. CURGEREA PERMANENTI CURGEREA TRANZITORIE

Dac ntr-un punct dat al mediului viteza de curgere rmneconstant n orice moment (ca valoare i ca direcie), adicacceleraia estnul, se spune despre curgere c este permanent. Viteza nu depinde detimp dar poate varia de la un punct la altul al spaiului. Dac sarcinahidraulicnu se schimbn timp, curgerea naturaleste n mod necesar nregim permanent. Dimpotriv, acest echilibru poate fi ntrerupt de ctre

factori naturali sau artificiali, cum ar fi alimentarea prin infiltrare aprecipitaiilor atmosferice, pierderile prin evaporaie, sau pomparea dinpuuri. Aceste condiii de non-echilibru induc atunci o curgere tranzitorie, ncare viteza de curgere ntr-un punct dat i schimbvaloarea i/sau direcian timp.

De exemplu, dacpompm dintr-o pnz, curgerea naturala acesteipnze este perturbat; curgerea ctre pu se schimb n timp i dezvoltcondiii de curgere tranzitorie. Dacse pompeazcontinuu din pu, starea deechilibru poate fi atinsi curgerea permanentse poate reinstala. n acestcaz, starea permanent reprezint o condiie teoretic de ultim instan(la captul unui timp finit) i poate fi deci considerat ca un caz particular decurgere tranzitorie.

Curgerea tranzitorie poate fi laminar sau turbulent, n funcie devitezele de curgere i caracteristicile mediului.

D. CURGEREA TRI-, BI- I MONODIMENSIONAL

Curgerea care depinde n general de trei variabile spaiale x, yi z,este n acest caz calificatdrept curgere tridimensional. Existtotui cazuri

particulare n care variabilele sunt sau pot fi reduse la dou; vorbimatunci de o curgere bidimensionalsau n plan. Dactoi parametrii curgeriidepind de o singurvariabil, curgerea este de tip monodimensional.


125/188

327

E. CURGEREA CU POTENIAL DE VITEZ

Cea mai general form de micare a unei particule de fluid secompune dintr-o translaie, n care componentele vitezei sunt Ux, Uyi Uz,dintr-o rotaie i dintr-o deformare. Dacrotaia particulei este nul, vorbimdespre curgere nerotaional. n curgerile nerotaionale, vectorul vitez V

poate fi exprimat cu ajutorul unei funcii (x,y,z) [m2s-1], numitpotenialde viteze, astfel cV=grad , componentele sale fiind:

zU

yU

xU zyx

=

=

=

,, (4.52)

Considerm cazul bidimensional. Dacexisto funcie (x,y),astfel

nct sputem avea n fiecare punct al planuluiy

Ux

= ix

Uy

= ,

atunci:

yx =i

xy = (4.53)

Aceste relaii sunt ecuaiile Cauchy-Riemann. Plecnd de la acestedouecuaii difereniale putem determina dacse cunoate . Ecuaia de

curgere a liniilor de curentyx U

dy

U

dx= devine atunci:

0=

+

dyy

dxx

(4.54)

Funcia se numetefuncie de curent. Ecuaia precendentaratceste constantde- a lungul liniilor de curent. Funcia de curent poate decifi utilizatpentru a calcula debitul cuprins ntre doulinii de curent. Acestdebit rmne constant ntre cele doulinii deoarece nici o curgere nu poatetrece de aceste linii de curent, orice curgere fiind n mod necesar subparalelcu fiecare dintre aceste linii.

4.2.2.MICAREA UNUI FLUID

Doumetode sunt luate n considerare n studiul micrii unui fluid:metoda Lagrange i metoda Euler[Drobot R., Giurma C.R., 2003].

Metoda Lagrange const n a urmri o particul ntr-o micare.Poziia acestei particole, trecnd de la punctul Pt0(x0, y0, z0) n punctul


126/188

328

Pt(x,y,z)n timp, este definitplecnd de la variabilele independentex0,y0,z0 i t. Poziiile succesive ale acestei particule de fluid n cursul timpuluidescriu o traiectorie. Componentele Ux, Uz, Uzale vitezelor i acceleraiileax, ay, azcorespunztoare sunt determinate prin relaiile urmtoare:

t

zU

t

yU

t

xU

zyx

=

=

= ,, (4.55)

2

2

2

2

2

2

,,t

z

t

Ua

t

y

t

Ua

t

x

t

Ua zz

y

yx

x

=

=

=

=

=

= (4.56)

Metoda lui Euler cost n a determina, n funcie de timp, vitezaU(x,y,z) a particulelor de fluid care trec succesiv printr-un punct M(x,y,z)situat n interiorul unei mase de fluid n micare. Variaia totalde vitez,dupdireciaxde exemplu, este datde:

dzz

Udy

y

Udx

x

Udt

t

UdU xxxxx

+

+

+

= (4.57)

cu dx = Uxdt, dy = Uydt, dz = Uzdt. Acceleraia dupdirecia xdevine:

z

UU

y

UU

x

UU

t

U

dt

dU xz

xy

xx

xx

+

+

+

= (5.58)

Acceleraia total este deci suma unei acceleraii locale cu oacceleraie convectiv.

4.2.3. ECUAIILE DE BAZA ALE CURGERII

A. ECUAIA DE CONTINUITATE (CONSERVAREA MASEI)

Pentru stabilirea ecuaiilor micrii unui fluid, trebuie determinatrelaia ce exist ntre diferitele fore care acioneazasupra unui volum defluid. n general, ne ocupm de efectul forelor dominante, de gravitaie ivscozitate i/sau elasticitate, care nu sunt ntotdeauna simultane. Celelaltefore au efecte neglijabile sau compensatoare [Giurma C.R., 1999;Drobot R., Giurma C.R., 2003].

Aplicnd principiile generale ale mecanicii i termodinamicii pentru

un volum de fluid, obinem trei legi principale de conservare care permitdescrierea micrilor unui fluid:


127/188

329

- 1 legea conservrii masei (principiul de continuitate) ecuaia decontinuitate;- 2legea conservrii energiei (primiul pricipiu al termodinamicii) ecuaialui Bernoulli;- 3 legea conservrii cantitii de micare (principiu fundamental aldinamicii) ecuaiile Navier-Stokes (ecuaiile generale ale dinamicii

fluidelor reale).Ecuaiile Navier-Stokes, mpreun cu ecuaia de continuitate sunt

cele patru ecuaii simultane necesare n rezolvarea problemelor de mecanicafluidelor cu patru necunoscute, i anume componentele Ux, Uy, Uz alevitezei i presiunea p. Soluia acestui sistem de ecuaii necesitcunoatereacondiiilor de contur ale domeniului considerat.

Ecuaia de continuitate, care este o ecuaie fundamentala mecaniciifluidelor, exprimpricipiul conservrii masei. Ea stipuleaz c ntr-unvolum nchis fixat, variaia masei de fluid n cursul unui anumit interval de

timp este egal cu suma algebrica fluxurilor masice traversnd suprafaa

nchisce delimiteazvolumul considerat.

Considerm un volum elementar (paralelipipedul [dx dy dz]) n carecircul un fluid de vector vitez ( )zyx UUUU ,,= n cele trei direciiOx, Oy, Oz (figura 4.9).

Masa fluidconinutn acest volum, care la timpul teste egalcudxdydz, devine, dupun anumit interval de timp dt,egalcu:

(+t

dt)dxdydz (4.59)

Existdeci o variaie de masegalcu:

dtdzdydxt

(4.60)

Pe de alt parte, diferena, dup axa Ox, a maselor fluide intrndprintr-o seciune (I)i ieind prin seciunea opus(O) este:

dxdydzdtx

Udydzdtdx

x

UUdydzdtU xxxx

=

+

)()()(

(4.61)


128/188

330

Figura 4.9 Schema de stabilire a ecuaiei de continuitate

Efectund aceeai operaie pentru celelalte direcii (Oy, respectiv

Oz), obinem o sumalgebricde diferene de mase fluide care intrn i iesdin paralelipiped:

dxdydzdtz

U

y

U

x

U zyx

+

+

)()()( (4.62)

Pentru a avea ndeplinit conservarea masei, trebuie ca sumavariaiilor de debite masice sfie egalcu variaia masei:

dxdydzdt

z

U

y

U

x

U zyx

+

+

)()()( = dtdzdydx

t

(4.63)

Obinem astfel ecuaia de continuitate (n cazul tridimensional)pentru regimul nepermanent (tranzitoriu) de curgere a unui fluidcompresibil (const.):

+

+

z

U

y

U

x

U zyx )()()( =t

(4.64)

Pentru regimul de curgerepermanent, variaia densitii

Documents

Hidrologie Si Hidrogeologie II