Hidrostatica e Hidrodinamica.pdf

HIDROSTÁTICA E HIDRODINÁMICA

MASTER DE INGENIERIA DEL AGUA (MOD. ING. HIDRAULICA) 1

CAPÍTULO 2




2.1 HIDROSTÁTICA



CAPÍTULO 2.1. HIDROSTÁTICA

2.1 HidrostáticaPág.

2.1.1- Presión 5

2.1.2- Presión sobre una pared plana. 7

2.1.3- Flotación 12

2.2 Hidrodinámica 16



BIBLIOGRAFÍA

1. DOMINGO ESCRIBÁ BONAFÉ.- “Hidráulica para ingenieros”.- Ed

Bellisco-Librería editorial.

2. COUTINHO DE LENCASTRE, ARMANDO ROBLES GARCIA,

CAMILO. Manual de Ingeniería Hidráulica. Universidad Pública de

Navarra1998.



2.1- HIDROSTÁTICA

En el presente apartado se explicarán los conceptos básicos de la Hidrostática y en siguientes apartados se considerarán los mismos de manera que se demuestre su aplicabilidad en la ingeniería hidráulica.

2.1.1 Presión

Concepto de presión. Es el conciente o la relación entre una fuerza y una superficie (a la cual se aplica):

;superficiefuerzapresión =

SFp =

El concepto de presión hidrostática nace, intuitivamente, al considerar que el agua que hay en el fondo está soportando sobre sí el peso de la que tiene encima, ya que, por falta de cohesión, el agua circundante no puede sostener por flexión ni por tensión de corte, al agua adyacente.

Supóngase, una zona horizontal situada en cualquier punto del interior de un depósito con agua. La superficie de esta zona es S. La profundidad a que se halla es h. El volumen de agua que está aguantando esta zona valdrá:

ShV =

El peso de este prisma será:



ShP =

Donde es el peso específico del agua. Recuérdese que:

(Peso) = (volumen) x (peso específico).

La presión P sobre esta zona será igual al peso dividido por la superficie:

;γγ hSsh

SPp === γhp =

ésta fórmula es homogénea, por lo que, según sean las unidades adoptadas para h y γ, así serán las unidades de p. Si h se expresa en metros y γ en tn/ m3 p vendrá en tn/ m2.

En dicha fórmula (p = h γ, que es muy importante en Hidráulica), la presión hidrostática es independiente del valor de S considerada. El valor de la presión es, como se observa, el producto de la profundidad verticaldel agua, por el peso específico de la misma agua. Teniendo en cuenta que este peso específico es la unidad (1 kg/ dm3 o 1 tn/m3), la presión en un punto viene representada numéricamente por el mismo valor que laaltura de agua entre ese punto y la superficie libre. Esta altura suele representarse o manejarse en metros de agua. Es decir: no hay que olvidar que cuando decimos 7 metros de presión (lo que, en rigor, es incorrecto) nos referimos a la presión que ejerce sobre su base una columna de 7 metros de agua. Si se dice sólo 7 metros de presión es por brevedad y comodidad.

La presión expresada en Kg/cm2 es la décima parte de la misma presión expresada (aunque incorrectamente) en metros de agua. Ejemplo: 5 m de presión ≈0,5 kg/cm2. Una presión de 3,47 kg/cm2 se conseguiría con una columna de agua de 34,70 metros, prácticamente.

La presión depende exclusivamente de la profundidad h, tiene sus mismos valores (en tn/m2 si h viene en metros), y se transmite o actúa en todas las direcciones

Por tanto el valor de la presión en un punto depende exclusivamente de su profundidad vertical h, independientemente de la ubicación y de la magnitud de la superficie libre y del fondo, e independientemente de la forma del depósito.

El principio de Pascal dice que si se ejerce una presión cualquiera en la superficie de un líquido en equilibrio, esta presión se



transmite íntegramente en todos los sentidos es decir, a todas las moléculas del líquido.

2.1.2- Presión sobre una pared plana.

La presión que los líquidos ejercen contra una pared plana, es siempre normal a ella, cualquiera que sea su orientación. Esto es debido a la isotropía de los líquidos y al hecho de encontrarse en reposo.

Presión total o empuje: La fuerza total que está soportando una superficie de contorno, forma y dimensiones determinados, se llama presión total o empuje. Su dimensión es la de una fuerza: (presión) x (superficie).

Presión media. Se obtiene dividiendo la presión total o empuje, por el área de la superficie estudiada. Sus dimensiones son las de una presión: (fuerza) (área).

alerficietotalpresióntotipresiónmed

sup=

Se mide en Kg/cm2 o en tn/m2. Es cómoda la unidad tn/m2, porque numéricamente es el mismo valor que la altura de agua h que provoca dicha presión (para γ = 1 tn/m3)

Paredes planas soportando presión hidráulica

Si un cuerpo se halla totalmente sumergido, todos los puntos de su superficie externa estarán sometidos a la presión hidrostática y el cuerpo trabajará mecánicamente a compresión (estará comprimido). Si el cuerpo tiene dos superficies planas predominantes y un espesor pequeño (como el de la figura), ambas caras estarán sometidas sensiblemente a la misma presión.

Si debido a la disposición constructiva, el cuerpo plano sólo soporta presión por una cara (caso de las compuertas planas o muros en depósitos), la única presión actuante someterá a la compuerta a esfuerzos de flexión y corte: ha de resistir como una viga o como una placa.



Evaluación de la presión sobre una pared plana. Se supone dividida la superficie en muchas zonas o partes pequeñas, de modo que pueda considerarse que la presión media sobre cada una de ellas, sea la existente en el c. de g. de cada zona considerada.

El valor de la presión p existente en el c. de g. de la zona considerada (zona i, cuya área es Si y cuya profundidad es hi), será:

La presión total o empuje (de pequeño valor) existente sobre esta pequeña zona, será:

γihSSpE iiii ==

Como la pared es plana, todas las fuerzas-empujes elementales serán paralelas y se podrán sumar aritméticamente para conocer la presión o empuje E:

)()...(...

2211

22

iinn

nnii

hShShShShShShSE

∑=+++==+++=γγγγγ

La suma (Si hi) representa el llamado momento estático de una superficie de valor total S. Según se sabe por Mecánica, llamando hg a la profundidad del c. de g. de la pared plana considerada (de área total S), se verifica la igualdad:

(Si hi) = S hg

Por consiguiente, en general tendremos:

Presión total = E = S hgE

Presión media = pm = = hgS



En general, cualquiera sea el método usado para calcular la presión total, la presión media siempre se puede calcular dividendo la presión total por el área de la superficie, según su definición.

Prisma de empuje: En las figuras puede verse que la presión total sobre una superficie pequeña es el peso de un prisma líquido de base Si y altura hi:

Empuje elemental (o peso) = Vi = Si hi

Siendo Vi el volumen de ese prisma liquido aludido, tal como se ha visto al hablar de presión hidrostática por vez primera.

De esto se deduce que si se concibe un cuerpo prismático imaginario cuya base sea la superficie estudiada (compuerta o pantalla vertical) y cuya cara opuesta AABB sea un plano de 45º que parte de la línea A-A de nivel libre junto a la pantalla (figuras 2.14), dicha prisma tendrá la propiedad de que la distancia desde cualquier punto de la pantalla a la cara AABB (en sentido horizontal, o sea, normal a la pantalla), será la misma que la profundidad h del punto considerado en la pantalla (esto debido al ángulo de 45º).

Calculo de la presión total o empuje: (equivale al volumen del prisma de empuje):

E = ½ H H b = ½ H2 b



(Nótese que se ha suprimido expresamente el peso especifico = 1, porque se esta suponiendo que las dimensiones serán en metros y el empuje obtenido en tn).

Calculo de la presión media:

pm = ½ (H2 b) / (b H) = H/2 [metros de agua]

Calculo del centro de presión

El empuje calculado es el peso del prisma ideal de empuje, en tn

Pero este peso puede suponerse actuando en el propio centro de gravedad G de dicho prisma en el mismo sentido (horizontal por ser vertical la compuerta) que todas las fuerzas de presión. El punto donde dicha fuerza–peso ficticio corta a la compuerta o pantalla, es el centro de presión.

En el caso del prisma ideal de empuje tiene su centro de gravedad G a la altura H/3 sobre el fondo (como se deduce geométricamente).Como la compuerta y el prisma de empuje tienen un plano de simetría A’B’C’ , en él se encontrará G.

Por consiguiente el centro de presión CP estará en la vertical media de la compuerta, a una altura H/3 sobre el fondo.



Calculo del empuje sobre superficies planas inclinadas:

Sea la figura que representa una pequeña zona de longitud a de una pared inclinada según un ánguloα. La zona a es suficientemente pequeña para poder considerar que la presión en su centro es la presión media: ésta será de valor h γ y de sentido normal a la pared (h es la profundidad el centro de la zona a).

La presión total sobre la zona a (siendo b el ancho en el sentido normal al papel), será:

γhabE21

=

Considérese ahora una presión horizontal auxiliar, también de valor hγ , y actuando sobre la proyección vertical de la zona a (esta proyección vertical vale a sen ; la superficie completa de la zona a, proyectada verticalmente, valdrá b a sen ). La presión total horizontal auxiliar aludida, será:

EH = (1/2) γ h b a sen α

Considérese ahora otra presión vertical auxiliar, también de valor h γ y actuando sobre la proyección horizontal de la zona a: por razones análogas, la presión total vertical auxiliar, vale:

Ev = (1/2) γ h b a cos α



Súmense ahora las fuerzas EH + Ev teniendo en cuenta que son perpendiculares entre sí.

=+=+= 22vhvh EEEEE

ρρρ

=+= αγαγ 2222222222 cos41

41 abhsenabh

hbasenhba γααγ21cos

21 22 =+=

E = γ h b a / 2

Este valor obtenido de E es igual al obtenido anteriormente se ve pues indiferente, en el caso de una pantalla inclinada, considerar el empuje normal verdadero o completo, que considerar por separado los empujes componentes horizontal y vertical; sumarlos, o no.

2.1.3 Flotación

Principio de Arquímedes

Enunció el siguiente principio: Todo cuerpo inmóvil sumergido total o parcialmente en un fluido, sufre un empuje de abajo arriba, equivalente al peso del fluido desalojado. Este empuje se aplica en el centro de gravedad del volumen del fluido desalojado.

Supongamos un cuerpo de forma cualquiera sumergido en un líquido, y ambos en reposo. Apliquemos el llamado principio de solidificación e imaginemos al líquido desalojado como si todavía ocupara su antiguo lugar, formando un cuerpo líquido-sólido de análoga forma al que se ha introducido en el seno del líquido.

Este cuerpo líquido solidificado se conservaba en equilibrio estable, de lo que se deduce que la resultante de todas las presiones que actuaban en su superficie-contorno (que, hay que admitir, son las mismas



que actúan ahora en la superficie-contorno del cuerpo introducido) equilibraba justamente el peso de este cuerpo líquido solidificado. Por tanto esta resultante equivale a una presión total o empuje de abajo arriba, aplicada en el centro de gravedad del cuerpo sumergido, de valor igual al peso del volumen del líquido desalojado.

Si este empuje resulta ser, respectivamente, mayor, menor o igual que el peso sumergido, éste tenderá a flotar, se hundirá o nadará entre dos aguas.

Esta presión total de abajo arriba se llama subpresión, y, aparentemente es el peso perdido por el cuerpo. Todos hemos observado que resulta más fácil elevar cuerpos dentro del agua, que al aire libre. Aparentemente la densidad de los cuerpos sumergidos disminuye en el valor de la del líquido. Si es agua, disminuye en una unidad: los cuerpos flotarán o se hundirán según que su peso específico sea menor o mayor que 1 Kg/dm3.

El principio de Arquímedes se aplica igualmente al caso de desalojar dos líquidos superpuestos, de distinta densidad.

Condiciones de equilibrio de los cuerpos flotantes.

Si se sumerge en el agua un cuerpo de densidad inferior a ella, dicho cuerpo se elevará hacia la superficie hasta quedar flotando en una posición de equilibrio. La subpresión (flotando) será igual al peso del líquido desplazado, y actuará en el centro de gravedad del volumen desplazado, punto llamado centro de carena.

Se representa por G y c. de g. del cuerpo flotante, y por C el c. de carena.



En todo caso ambos centros han de encontrarse en una misma vertical para que haya equilibrio estable, porque de no ser así se originarían pares o momentos (estabilizadores o de vuelco) que tenderían a conseguir esta misma vertical.

Reciproco del principio de Arquímedes.

Todo cuerpo sumergido en un líquido pesado, en equilibrio estático, ejerce sobre el líquido una presión vertical de arriba abajo, igual al peso del volumen de líquido desalojado.

Es fácil de comprobar experimentalmente, por medio de una balanza en equilibrio, en uno de cuyos platillos haya un vaso con agua: introduciendo en el líquido cualquier cuerpo (aun parcialmente y sosteniéndolo con la mano), la balanza acusa un mayor peso, tal como se ha dicho.

De hecho el nivel del vaso se eleva: así que también las paredes resisten ahora mayor presión.

Cuando un barco flota en una esclusa, por ejemplo, el peso del barco se transmite al fondo, a las paredes y a todo punto del líquido (por debajo del barco), según el principio de Pascal. Pero no hace falta considerar el propio peso del buque en los cálculos: basta considerar el nivel máximo que alcanzará el agua (cualquiera fueres la causa), y calcular en base a dicho nivel.

Hay muchos dispositivos hidráulicos automáticos resueltos a base de flotadores. Si el nivel sube, sube el flotador y acciona algún



mecanismo. Si el agua baja, deja de accionar sobre el anterior mecanismo o acciona sobre todo. Los flotadores suelen estar suspendidos en el otro extremo hay un contrapeso. Tal contrapeso puede estar en dimensiones y calados del flotador y del contrapeso) se realiza teniendo en cuenta todo lo dicho hasta ahora.



2.2 HIDRODINÁMICA



CAPÍTULO 2.2. HIDRODINÁMICA

2.3 HIDRODINÁMICAPág.

2.2.1. Introducción 19

2.2.2. Régimen permanente y régimen variable 21

2.2.3. Ecuación de la continuidad 23

2.2.4. Número de Reynolds 28

2.2.5. Teorema de Bernouilli 30

2.2.6. Carga hidráulica 34

2.2.7. Línea piezométrica 38

2.2.8. Línea de energía 41

2.2.9. Nivel freático 42

2.2.10. Gradiente hidráulico y permeabilidad 43

2.2.11. Ejemplos en aguas superficiales y subterráneas 47



BIBLIOGRAFÍA

3. ANTONIO OSUNA.- “Hidráulica técnica y mecánica de fluidos”.-

Servicio de Publicaciones del Colegio de Ingenieros de Caminos,

Canales y Puertos – Colección Escuelas

4. DOMINGO ESCRIBÁ BONAFÉ.- “Hidráulica para ingenieros”.- Ed

Bellisco-Librería editorial

5. EMILIO CUSTODIO GIMENA.- “Hidrología subterránea. Vol I”.-

Editorial Omega



2.2. HIDRODINÁMICA

2.2.1. Introducción

La hidrodinámica estudia el comportamiento mecánico de los líquidos en movimiento. En sentido más restringido estudia el comportamiento del agua en movimiento, en las obras y máquinas de ingeniería.

Esta rama de la hidráulica se caracteriza porque la mayor parte de los problemas que aparecen se resuelven acudiendo a la experimentación, o bien hay que corregir el resultado analítico obtenido mediante la experimentación.

Normalmente el movimiento del agua es debido a su propio peso, siguiendo las leyes dinámicas de Newton, aunque hay algunos casos, como las impulsiones, en las que el movimiento del agua se produce porque le aplicamos una fuerza con sentido contrario a la fuerza de la gravedad.

En el estudio de la hidrodinámica y por tanto del movimiento del agua, se considera el agua como un medio fluido, que bajo la acción de las fuerzas, se deforma continuadamente con una velocidad de deformación tanto mayor cuanto mayor sean la fuerzas aplicadas, pero sin romperse, manteniendo la continuidad material del mismo. Esta característica propia de los fluidos y por tanto del agua, se expresa redundantemente diciendo que los fluidos fluyen, pudiendo hablarse indistintamente del movimiento o del flujo de los fluidos.

Otra característica fundamental del agua y que sirve para el estudio de esta velocidad de deformación es su viscosidad, entendiendo la misma como la relación existente entre la fuerza aplicada a un fluido, y la velocidad con que se produce la deformación propia del proceso de fluir. Esta propiedad distintiva del medio fluido y por tanto el agua, se puede observar en el fenómeno del movimiento de un líquido sobre un cauce, donde puede verse que las partículas de arena que reposan sobre el fondo, se mueven arrastradas por el fluido, que ejerce por tanto sobre el fondo una fuerza de rozamiento expresable por unidad de superficie de dicho fondo, por una tensión tangencial o cortante. De hecho en toda la masa fluida en movimiento se presenta un estado de tensiones cortantes.



Como se puede observar en el gráfico, el fluido (agua en nuestro caso) situado por encima, ejerce una tensión cortante . Es decir, la zona de mayor velocidad produce un arrastre sobre la zona más lenta.

Otros conceptos que hay que considerar para el estudio dinámico del movimiento de cada partícula de agua son los siguientes:

• Fluidos perfectos, aquellos en los que la viscosidad es nula y por tanto en su movimiento sólo se encuentran sometidos a tensiones normales y las tensiones tangenciales pueden despreciarse.

• Fluidos reales, aquellos en los que movimiento las tensiones tangenciales no pueden despreciarse en su movimiento.

En el caso del agua, nos encontramos que es un fluido real y por tanto el movimiento se estudia considerando el tensor de tensiones que aparece, al igual que en la teoría del sólido elástico. Únicamente cuando se estudia el equilibrio del agua en reposo (hidrostática) coinciden las teorías de los fluidos perfectos y fluidos reales, pues cuando no existe movimiento, aún existiendo viscosidad el fluido no transmite tensiones tangenciales, por no presentarse deformaciones angulares.

En muchas ocasiones en el movimiento del agua se utilizarán conceptos como corriente, línea de corriente, superficie de corriente y tubo de corriente que se definirán a continuación:



• Corriente, es el estado del movimiento del agua. Las corrientes que aparecen se dividen en varios tipos, según distintos puntos de vista. En general no se excluyen entre sí cada uno de loa tipos de corrientes especificadas según los diversos criterios.

• Línea de corriente, es la tangente al vector velocidad en cada punto en el movimiento del agua.

• Superficie de corriente, aquella que une varias líneas de corriente.

• Tubo de corriente, cuando la superficie de corriente es cerrada.

2.2.2. Régimen permanente y régimen variable.

Si clasificamos la corriente de agua por su estabilidad nos encontramos con el régimen permanente y el régimen variable.

� Régimen permanente

Este se produce, ya sea la corriente laminar o turbulenta. En este régimen se conserva prácticamente su estado de movimiento en cualquier sección o punto determinado, independientemente del tiempo, aún cuando las partículas que pasan son cada vez distintas.

Si las condiciones de movimiento son las mismas en todas las secciones normales a la línea de corriente, es decir, la velocidad no varía en el tiempo ni en el espacio, se dice que el régimen es permanente uniforme. Como ejemplo de este régimen podemos poner el escurrimiento de un canal largo de características geométricas y constructivas constantes, en el cual el movimiento se ha estabilizado.

Si las condiciones de la línea de corriente son distintas al considerar una u otra sección, pero una sección determinada permanece invariable en el tiempo, el régimen se llama permanente variado, o sea la velocidad no varia en el tiempo pero si en espacio.

Como advertencia, se indica que tanto en el movimiento uniforme como en el variado, cada línea de corriente de una misma sección no tiene por qué tener la misma velocidad que la corriente vecina.



Como ejemplo del régimen permanente variado se pone el escurrimiento en un canal con movimiento estabilizado (caudal constante), pero en el que las características geométricas y constructivas cambian (por causa de un estrechamiento, un ensanchamiento, un cambio de pendiente, etc..)

El movimiento permanente variado se subdivide a su vez en gradualmente variado y en bruscamente variado, según que la variación sea paulatina o se produzca de súbito.

� Régimen variable, transitorio

Es aquel en el que cambian las características de movimiento de cada sección, no sólo al considerar dos secciones distintas, sino también al considerar una sola sección a través del tiempo, o sea la velocidad deja de ser constante en el tiempo..

Para el estudio del mismo aparecen dos conceptos bastante complejos de estudiar y que sólo mencionaremos como son el golpe de ariete y la oscilación en masa, que aparecen cuando se realizan cierres bruscos de compuertas.

A continuación se resume en un cuadro esta importante clasificación de las corrientes o regímenes:

• Régimen permanente (Q constante)

o Régimen permanente uniforme

o Régimen permanente variado

� Gradualmente variado

� Bruscamente variado

• Régimen variable o transitorio (Q variable)



2.2.3. Ecuación de la continuidad

Esta ecuación se obtiene de imponer que los fluidos y por tanto el agua, conservan su masa en el movimiento.

Para su estudio y mayor sencillez se considerará el caso de un fluido que se mueve dentro de un conducto, en el que puede definirse un eje y en el que las velocidades en todo punto son casi paralelas al eje.

Si realizamos cortes transversales al eje, en cada punto de la sección la velocidad es distinta y en un tiempo dt habrá atravesado cada elemento de superficie ds, un volumen de fluido igual a:

∆ Vol = V * ds * dt



El volumen total que atravesará la sección será la sumatoria de todos los puntos, por lo que integrando nos queda:

∫ dVol = ∫ (V * ds * dt)

Se sabe que la velocidad varía con la sección, por lo tanto se tiene que el volumen es:

Vol = dt * ∫ (V * ds)

Si se despeja el término ∫ (V * ds), se tiene que:

Vol / dt = ∫ (V * ds)

Éste volumen que atraviesa la superficie por unidad de tiempo es el denominado caudal, por tanto:

Q = Vol / dt = ∫ (V * ds)

Definiendo la velocidad media en una sección como:

W = ∫ (V * ds) / S

Sustituyendo en la expresión del caudal se obtiene que:

Q = W * S

A partir de ahora puede establecerse la ecuación de la continuidad, estudiando el balance de masa en el volumen comprendido entre las sección 11 y 22 distantes dx a lo largo del eje del tubo.

La masa de este volumen en un instante dado es:

Masa = densidad * volumen = * S * dx

Siendo S un valor medio entre las secciones S1 y S2. Al cabo del tiempo dt si el movimiento es variable la expresión de la masa vendrá dada por:



∂ ( * S)

masa = * S * dx + -------------- * dt * dx

∂ t

y por tanto habrá aumentado la masa en el movimiento variable la cantidad:

∂ ( * S)

∆ masa = -------------- * dt * dx

∂ t

Por otra parte también en el tiempo dt por la sección 1 ha entrado:

1 * W1 * S1 * dt

mientras que por la sección 2 habrá salido

2 * W2* S2 * dt

por tanto la masa de la rebanada habrá aumentado en la cantidad

∂ ( * W * S)

∆ masa = 1 * W1 * S1 * dt - 2 * W2* S2 * dt = - --------------------* dx * dt

∂ x

Estos dos valores de aumento de masa obtenidos han de ser idénticos puesto que expresan el mismo concepto, por lo que tenemos:

∂ ( * S) ∂ ( * W * S)

∆ masa = ----------------- * dt * dx = - --------------------- * dx * dt

∂ t ∂ x



Si despejamos obtenemos la ecuación de la continuidad:

∂ ( * S) ∂ ( * W * S)

------------ + ------------------- = 0

∂ t ∂ x

A continuación se interpretará esta ecuación para los siguientes casos:

� Movimiento permanente

En este movimiento las propiedades del fluido no cambian con el tiempo y por tanto la ecuación de la continuidad se reduce a:

∂ ( * W * S)------------------- = 0

∂ x

y por tanto * W * S permanece constante a lo largo del tubo, es decir, la cantidad de masa fluida que atraviesa cada sección por unidad de tiempo es constante.

� Fluido incompresible en movimiento variable

En este caso permanece constante en el espacio y en el tiempo y por tanto la ecuación de la continuidad se reduce a:

∂ S ∂ (W * S)--------- + ------------------- = 0∂ t ∂ x

Si además el tubo fuese indeformable:

∂ S------- = 0∂ t



resultando que:∂ (W * S)-------------- = 0∂ x

lo que equivale a afirmar que el caudal Q = W * S en cada instante es idéntico en todas secciones, variando en todas ellas simultáneamente con el tiempo.

� Fluido incompresible en movimiento permanente

Además de verificarse todo lo del apartado anterior, el caudal es constante en el tiempo.



2.2.4. Número de Reynolds

Al clasificar las corrientes de agua generadas por el grado de turbulencia nos encontramos con las corrientes laminares y turbulentas o lo que es lo mismo el movimiento laminar y el movimiento turbulento.

� Movimiento laminar

Rara vez se presenta en ingeniería este movimiento, por lo que tiene poca importancia. Es un movimiento en el que las líneas de corriente son casi perfectas, donde las partículas del líquido recorren trayectorias rectas y paralelas entre sí. Se podría comparar este movimiento a una formación de soldados en perfecto desfile. En este caso las condiciones de movimiento son las mismas en cualquier sección transversal de la línea de corriente, que se considere, y, a su vez, se conservan también constantes en el tiempo en una sección determinada, aún cuando las partículas que están pasando cada vez sean distintas. Este tipo de movimiento no obliga sin embargo, a que las velocidades de todas las partículas sean iguales. Es decir, cada partícula puede llevar una velocidad de valor distinto a la de su lado (en magnitud).

MOVIMIENTO LAMINAR MOVIMIENTO TURBULENTO



� Movimiento turbulento

Este movimiento es muy frecuente en ingeniería y se caracteriza por el desigual movimiento desigual de cada partícula. Las moléculas chocan entre sí y contra las paredes del elemento conductor, rebotan y pierden energía en todos estos trámites (energía mecánica que se transforma en calor). Se podría comparar este movimiento al de un grupo numeroso de individuos apelotonados, caminando todos por la misma calle y con el mismo sentido, pero sin orden ni concierto. La trayectoria de cada partícula es más o menos caprichosa, y en algunos momentos está algo inclinada respecto de la dirección general de la corriente.

La distinción entre el movimiento laminar y turbulento se realiza mediante la velocidad crítica., de esta forma cuando la velocidad media enla sección es menor que la velocidad crítica el movimiento es laminar y si la velocidad media en la sección es mayor que la velocidad crítica el movimiento es turbulento. La velocidad crítica, a su vez, dependerá del diámetro del tubo y del valor de la densidad y viscosidad del fluido, habiéndose comprobado que cualquiera que sea el fluido se presentan las condiciones críticas cuando el llamado número de Reynolds, que es adimensional, supera a un valor experimental del orden de 2.300.

Re = * V * D /

= densidad en kg/m3

V = velocidad media de la sección en m/sg

D = diámetro del tubo en m

= viscosidad dinámica en Nw * sg / m2)

Esta expresión se puede también poner en función de la viscosidad cinemática que es:

= /

y tiene un valor de: = 10-6 m2/s

Sustituyendo en el número de Reynolds queda:Re = V * D /

Finalmente la velocidad crítica se consigue para

Re = 2.300 = Vc * Dc / υ



2.2.5. Teorema de Bernouilli

El agua, como todos los líquidos debido a la gravitación de la Tierra posee energía.

Al estudiar cierta masa o volumen de agua, puede que tenga distintas clases de energía acumulada:

• Energía potencial, por la altura sobre el nivel del mar

Ep = P * z

Expresión que equivale al trabajo que puede realizar una masa de peso P situada a la altura z respecto al plano de comparación.

• Energía cinética, por la velocidad de escurrimiento

Ec = m * v2 / 2

Siendo m la masa del cuerpo y v la velocidad que posee. Si se pone en función del peso P:

Ec = P* v2 / (2 * g)

Expresión que da la capacidad de producir trabajo de un cuerpo de peso P en virtud de su velocidad.

• Energía de presión, por el peso del agua que tiene encima, o sea, por su profundidad respecto del nivel libre superior

Para poner de manifiesto esta energía, se supone que se tiene un depósito con un tubo adicional, dentro del cual se halla un émbolo sin rozamiento alguno. h es la carga de agua que actúa sobre el émbolo cuya sección es S. El peso específico del agua es .



La fuerza que se ejerce contra el émbolo es:

Fuerza = presión total = presión * superficie = p * S

Esta es la fuerza que hay que ejercer hacia arriba desde el exterior sobre el émbolo, si no se quiere que éste deslice hacia abajo.

Si el émbolo se mueve a lo largo del tubo en una muy pequeña longitud o espacio e, es que ha cedido la presión del líquido, y el trabajo realizado tiene la expresión:

T = trabajo = fuerza * espacio = p * S * e

Al efectuar este trabajo mecánico, en el cilindro ha entrado un volumen de agua, cuyo peso es:

Peso = P = Volumen * peso específico = S * e *

El trabajo que se ha calculado es el realizado por el peso del agua cuya masa es conocida y además es la energía potencia potencial, de presión, que posee esta misma masa.



También se puede expresar la energía de presión en función del peso P, para lo que despejando S*e de la expresión del peso se tiene:

S * e = P /

Epresión = P * p /

• Energía calorífica o térmica, por su temperatura

• Energía elástica, por lo comprimida que se encuentre

La energía calorífica y elástica no se estudian en este Master, pues en hidrodinámica se suelen despreciar las dos.

De cada uno de estos tipos de energía, una masa de agua, en un instante determinado poseerá cierta cantidad. Sumando estas cantidades se obtendría la energía total que posee dicha masa. En otro instante determinado tendrá otra suma de energía distinta de la anterior, según la energía cedida o tomada del exterior del sistema, también puede ocurrir que el sistema sólo ceda energía y no tome ó que ni ceda ni tome energía, caso este último en el que la energía en el estado inicial será igual la energía en el estado final.

En todos los casos se ha considerado la energía de los líquidos en dimensiones del trabajo (ML2T-2), ya que es la energía que posee un líquido de peso P. No obstante se puede expresar la energía de un cuerpo (en este caso agua) por cada unidad de peso, dividiendo por el peso P, siendo en este caso las dimensiones (L) y se obtiene:

Energía de cierto cuerpo de peso P

Energía por unidad de peso = ---------------------------------------

Peso P del mismo cuerpo

• Energía potencial por unidad de peso P:

Ep = P * z

E = z



• Energía cinética por unidad de peso P

Ec = P* v2 / (2 * g)

E = v2 / (2 * g)

• Energía de presión por unidad de peso P

Epresión = P * p /

E = p /

Una vez analizados los distintos tipos de energía que se aplican en hidrodinámica pasaremos a ver el Teorema de Bernouilli, que a su vez es el más importante de la hidráulica. El resultado de este teorema es una relación matemática de las condiciones energéticas que definen una corriente permanente de un líquido.

Para llegar al teorema se partirá del principio de la conservación de la energía mecánica en un sistema cerrado, utilizándose en este caso el concepto de energía por unidad de peso.

Energía inicial = energía en cualquier instante = cte

Como se sabe que los únicos tipo de energía que intervienen son los debidos a la altura, la presión y la velocidad, se tiene el Teorema de Bernouilli:

zo + po / + vo2 / (2 * g) = zn + pn / + vn2 / (2 * g) = constante

zo = cota correspondiente al punto inicial

po = presión correspondiente al punto inicial

vo = velocidad correspondiente al punto inicial

zn = cota correspondiente a un punto cualquiera

pn = presión correspondiente a un punto cualquiera

vn = velocidad correspondiente a un punto cualquiera



2.2.6. Carga hidráulica

La carga hidráulica es una energía por unidad de peso y se encuentra definida por la expresión:

Carga hidráulica = h = z + p / + v2 / (2 * g)

A continuación se analizará el teorema de Benouilli en dos puntos cualesquiera de un conducto de agua, como el que se refleja en la figura para ver que ocurre con el valor de la carga hidráulica en el desplazamiento del agua:

Aplicando el teorema de Bernoulli a los puntos A y B de la corriente de agua en régimen permanente se tiene:



za + pa / + va2 / (2 * g) = zb + pb / + vb2 / (2 * g) = constante

Como se puede apreciar la suma de los tres factores que aparecen es constante, aunque puede variar de un punto a otro. Este valor constante, es la diferencia de alturas entre un plano superior de energía, denominado plano de carga, y el plano horizontal inferior tomado como plano de comparación. Esta cantidad constante, que se mide en metros, suele llamarse algunas veces suma de Bernouilli o simplemente Bernouilli, y se representa por HB o simplemente H.

El plano de carga o carga hidráulica aquí definido es el nivel de energía más alto de la conducción, el cual se encuentra siempre en el origen, debido a las pérdidas de carga que sufre el agua en su desplazamiento,

Por otro lado, si bien la suma de los tres factores se conserva constante, cada uno de ellos puede variar de un punto a otro. Esta propiedad es debida, como se sabe, al principio universal de la conservación de la energía.. La única energía aquí considerada es la energía mecánica, porque los otros tipos de energía o no merece la pena considerarlos por su escasa importancia, o se conservan constantes en toda posición o estado.

Así, en una conducción horizontal donde zA = zB, cuando aumente la presión, disminuirá la velocidad, que a su vez obliga a que la sección aumente, debido al régimen permanente.

Hasta el momento todo el estudio que se ha realizado del teorema de Bernouilli y de la carga hidráulica se ha realizado suponiendo que el agua es un líquido perfecto o lo que es lo mismo en su desplazamiento no sufre pérdidas de energía o carga (concepto que se define más adelante), pero el agua es un líquido viscoso, por lo que las distintas velocidades de las venas líquidas (entre sí) junto con las presiones existentes, provocan fuerzas de frotamiento debidas precisamente a la viscosidad propia del agua. A su vez, la presión contra las paredes del elemento conductor, junto con la velocidad del agua respecto de tales paredes, hacen aparecer componentes de rozamiento (fuerzas), siempre de sentido contrario al desplazamiento del agua y el propio movimiento, con su turbulencia, provoca choques entre las moléculas, lo que también es causa de pérdida de energía.

En realidad todas estas causas no producen pérdida de energía porque esto es imposible: lo que ocurre es que parte de la energía mecánica del líquido se ha transformado en calor, y la temperatura dela



agua y de la canalización aumenta, aunque en la práctica no puede observarse tal aumento de temperatura, dada su insignificacia.

Con todas estas consideraciones la ecuación energética real que resulta es:

Energía mecánica inicial

=

energía mecánica en un estado posterior

+

energía cedida o perdida hasta ese estado posterior

Aplicando el teorema de Bernouilli nos queda:

zo + po / + vo2 / (2 * g) = zn + pn / + vn2 / (2 * g) + energía cedida/perdida hasta estado n = constante

Esta energía cedida o perdida hasta el estado n, se conoce como pérdida de carga y se representa por ∆h y la expresión final de Bernouilli se transforma en la ecuación de Bernouilli generalizada:

za + pa / + va2 / (2 * g) = zb + pb / + vb2 / (2 * g) + ∆h = constante

Con esta generalización de la ecuación de Bernouilli se puede concluir que el plano de carga o carga hidráulica aquí definido es el nivel de energía más alto de la conducción, el cual se encuentra siempre en el origen, debido a las pérdidas de carga que sufre el agua en su desplazamiento.

A continuación se definirán los distintos tipos de pérdida de carga hidráulica que se emplean en hidráulica:



• Pérdidas de carga debidas al rozamiento ordinario a lo largo de la conducción

• Pérdidas de carga producidas en las singularidades

La suma de todas las pérdidas de carga que se producen, ya sea por rozamiento ordinario o por singularidades es la pérdida de carga total y se mide en metros.

Por otro lado las pérdidas de carga que se producen por el rozamiento a lo largo de la conducción también se pueden medir porunidad de longitud y tendríamos:

J = pérdida de carga total, en metros / longitud real entre los dos puntos considerados de la conducción

J = hB / L

Como ejemplo práctico supongamos una conducción con varios tramos distintos (puede variar la pendiente, la sección o el tipo de material), en este caso las pérdidas de carga que se producen entre dos puntos son debidas al rozamiento ordinario a lo largo de la conducción y las producidas por singularidades (cambio de sección, codos,..):

hB = J1 * L1 + J2 * L2 + ……+ Jn * Ln + hsingularidad = ∑ (J * L) + hsingularidad

Jn * Ln = son debidas a cambios de pendiente y de material, por rozamiento ordinario en desplazamiento

hsingularidad = son debidas al cambio de sección, codos, embocaduras,...



2.2.7. Línea piezométrica

Es una línea ideal representativa de la altura o nivel de presión existente en cada punto de la conducción.

Cuando la conducción es abierta (canal), la línea piezométrica es el propio nivel libre o el eje hidráulico

Cuando la conducción es cerrada (tubería a presión), la línea piezométrica representa el nivel libre (ficticio o no presente) necesario para, con su carga, producir la presión existente en cada punto de la corriente. Se obtienen añadiendo en cada punto del eje de la tubería o eje hidráulico, una altura vertical equivalente al sumando p/ correspondiente al punto considerado.

La línea piezométrica se define como.

h = z + p /



En conducciones que funcionan por lámina libre, la energía de

presión es cero, por no haber peso de agua encima, siendo la presión de

la lámina de agua libre la atmosférica y por tanto:

h = z

En conducciones forzadas, la presión de la lámina de agua

es superior a la atmosférica y por tanto la línea piezométrica es:

h = z + p / γ



2.2.8. Línea de energía

Es una línea ideal que representa el nivel de energía real, es decir, el plano de carga particular que existe en cada punto. Se obtiene restando del plano de carga inicial, el valor de las pérdidas de carga habidas por toda causa entre el origen y el punto considerado.

Entre la línea piezométrica y la línea de energía, queda, en cualquier punto, una distancia o altura vertical correspondiente a la velocidad con que fluye el punto líquido considerado: es el sumando

V2 / (2 * g)

de la suma de Bernouilli.

Es de notar que en toda corriente en régimen permanente, en tanto no cambien las características geométricas de la conducción, es decir, se conserva constante la sección, las líneas piezométricas y de energía son paralelas, porque las separa en todo momento la altura representativa de una velocidad constante.

Cuando existe una singularidad en la cual la sección permanezca constante (curva, codo, llave), ambas líneas bajan bruscamente una altura igual, que equivale a la pérdida de carga prácticamente instantánea debida a la singularidad.

Cuando la singularidad consiste en una disminución de sección, la línea piezométrica baja mucho más que la de energía. Ello es debido a que esta última sólo ha bajado la altura correspondiente a la pérdida por singularidad; en cambio la línea piezométrica ha tenido que bajr esta misma altura más la necesaria para incrementar la velocidad.

Llamando hB a la pérdida de carga singular y v1 y v2 a las velocidades pequeña y grande, anterior y posterior, se tiene:

Descenso de la línea de energía = hB

Descenso de la línea piezométrica = hB + (v22 / 2g – v12 / 2g)



Si la singularidad consiste en un ensanchamiento, al pasar el agua de una velocidad grande a otra lenta, la presión sufre un aumento, en cambio, la línea de energía, que aumenta nunca puede subir por sus propios recursos, habrá bajado de lo equivalente a la pérdida singular. Tendremos:

Descenso de la línea de energía = hB

Elevación de la línea piezométrica = (v12 / 2g – v22 / 2g) - hB

Siendo v1 la velocidad grande de aguas arriba y v2 la velocidad pequeña de aguas abajo.

El eje hidráulico de una conducción cerrada da las alturas geométricas o cotas z de cada punto representativo de la conducción. El eje hidráulico de una corriente abierta (canal), es de muy distinta naturaleza porque equivale a la línea piezométrica (nivel libre).

La coincidencia entre la línea piezométrica y la línea de energía sólo se produce en condiciones hidrostáticas y además es el mismo en todos sus puntos.

zA + pA / γ = zB + pB / γ



2.2.9. Nivel freático

Este es un concepto ligado a las aguas subterráneas y por tanto a la hidráulica subterránea.

El nivel freático es superficie que separa la zona saturada de agua de la no satura de agua en un medio poroso y por tanto se encuentra siempre a la presión atmosférica, por lo que el nivel piezométrico en estos casos es idéntico al nivel piezométrico de las conducciones que funcionan por gravedad:

h = z

Cabe indicar que este concepto sólo se utiliza cuando nos encontramos con acuíferos libres, pues son los únicos en los que la presión de este nivel es la atmosférica. Si nos encontramos con otro tipo de almacenamiento de aguas subterráneas se tiene que hablar de nivel piezométrico y no freático, pues la presión de la superficie libre es distinta de la atmosférica.



2.2.10. Gradiente hidráulico y permeabilidad

Hasta el momento sólo se ha estudiado el movimiento del agua en superficie, pero el agua también se desplaza por el interior del terreno por lo que nos encontraremos con la hidrodinámica de aguas subterráneas que a su vez se encuentra dentro de la hidrogeología. Por ello en este punto se hablará de la teoría elemental del flujo del agua en los medios porosos saturados, especialmente los acuíferos, considerándose para su estudio que se trata de un flujo en el que sólo existe una fase fluida homogénea que es el agua.

En el estudio, normalmente se considera el medio poroso como un medio continuo con unas propiedades medias bien definidas, considerándose para ello tres parámetros fundamentales: permeabilidad, porosidad y coeficiente de almacenamiento.

� Porosidad

Es la relación existente entre el volumen de poros en el terreno y el volumen total del terreno:

n = Vporos / Vtotal terreno

definiéndose por poros, los espacios vacíos que hay entre los granos de un suelo y que pueden ser ocupados por un fluido y que por tanto facilitan el almacenamiento del agua en el terreno.

� Coeficiente de almacenamiento

Se define como la relación existente entre el volumen de agua que cede o almacena un acuífero y la superficie del acuífero y variación de carga hidráulica, siendo el mismo adimensional y su expresión es:



S = VH2O / (A * ∆h)

S = coeficiente de almacenamiento

VH2O = volumen de agua que el acuífero cede o almacena

A = superficie del acuífero

∆h = variación de carga hidráulica

� Permeabilidad

El agua en el terreno se mueve con una velocidad variable según el tamaño y orientación de los poros; sin embargo, considerando un volumen medio suficientemente grande, puede definirse una velocidad media en una dirección media, llamándose a esta velocidad de filtración, velocidad intergranular o velocidad real del flujo.

Sin embargo es usual considerar como velocidad la que se obtiene al dividir el caudal que pasa por una cierta superficie perpendicular al flujo por el área total de la misma, llamándose a esta velocidad de flujo, velocidad de Darcy o flujo específico.

La velocidad de flujo o de Darcy nos lleva a definir la ley de Darcy, que fue experimentada en cilindros rellenos de material poroso y se expresa mediante la ecuación:

V = k * i = - k * grad h

k = permeabilidad

i = - grad h = gradiente hidráulico

Donde k es la permeabilidad o conductividad hidráulica, el cual es un coeficiente de proporcionalidad cuyas dimensiones son las mismas que la de la velocidad (L / T) y los parámetros que influyen el valor de la misma son: naturaleza del terreno, densidad y la viscosidad del fluido.

El otro valor del que depende la velocidad de Darcy, que facilita el flujo del agua en medios porosos, es el gradiente hidráulico que pasaremos a estudiar aplicando para ello la ecuación de Bernouilli entre dos puntos A y B de la sección siguiente, entre los que hay un movimiento



del fluido y se encuentran separados entre sí una distancia ∆s en la dirección del flujo:

pA / γA + zA + vA*2 / (2*g) = pB / γB + zB + vB*2 / (2*g) + ∆h

p = presión hidrostática

v* = velocidad real

∆h = pérdida de carga total entre el punto A y el punto B, debido a los

frotamientos

= * g = peso específico del fluido

Normalmente el valor de la velocidad real (v*) es tan pequeño que

el término se puede despreciar, quedando:

pA / A + zA = pB / B + zB + ∆h



de esta forma en cada punto se obtiene la energía por unidad de peso

del agua o lo que es lo mismo el nivel piezométrico en cada punto, que

viene definido por:

h = z + p /

Por tanto los fluidos se ponen en movimiento cuando existen variaciones del nivel piezométrico y las partículas de agua circulan de los puntos de mayor nivel piezométrico a menor.

Finalmente el gradiente hidráulico viene de definido por:

i = - lim∆s��0 (∆h / ∆s) = - dh /ds = - grad h

∆s = distancia entre los puntos en la dirección del flujo

i = gradiente hidráulico = representa el valor máximo de la derivada



2.2.11. Ejemplos en aguas superficiales y subterráneas

� Ejemplo en aguas superficiales

Calcular el caudal que pasa por la sección B sabiendo que:

Distancia entre 1 y 2 = 25,00 m

Nivel piezomético en 1 = 60 m

Nivel piezométrico en 2 = 59,84 m

Diámetro sección 1 = 400 mm

Diámetro sección 2 = 300 mm

Se desprecian las pérdidas de carga



Planteando Bernouilli entre la sección 1 y 2

z1 + p1 / + v12 / (2 * g) = z2 + p2 / + v22 / (2 * g) + ∆h

∆h = 0

h 1 = z1 + p1 / = 60,00 m

h2 = z2 + p2 / = 59, 84 m

Aplicando la ecuación de la continuidad:

Q = cte = v1 * s1 = v2 * s2

s1 = π * R12 = π * (0,30/2)2 = 0,071 m2

s2 = * R22 = * (0,40/2)2 = 0,126 m2

despejando la velocidad en el punto 1 y sustituyendo los valores de la

sección se tiene:

v1 = v2 * s2 / s1 = 0,56 * v2

Sustituyendo todos los valores en la ecuación de Bernouilli planteada,

resulta:

z1 + p1 / + v12 / (2 * g) = z2 + p2 / + v22 / (2 * g) + ∆h

60 + (0,56 * v2)2 / (2 * g) = 59,84 + v22 / (2 * g)

0,16 = 0,686 v22 / (2 * g)

v22 = 4,571

v2 = 2,14 m/s



Sustituyendo en la expresión del caudal se tiene:

Q = s2 * v2 = 0,071 m2 * 2,14 m/s = 0,152 m3/s

� Ejemplo en aguas subterráneas

Nos encontramos con un acuífero confinado en el que se hacen dos pozos separados entre sí 100 metros en la dirección del flujo. En el pozo 1 la cota piezométrica es 65 m y en el pozo 2 la cota piezométrica es 64,5 m. La permeabilidad del material es 0,15 m/día y tiene una potencia (espesor) de 15 m. Calcular el cual que circula entre una sección y otra en m3/día y en l/s.

En régimen permanente y uniforme el caudal es:

Q = s * v

s es la sección de paso del agua y supondremos que el corte tiene una

profundidad de 1 metro, es este caso:

s = sección de paso del agua = 15,00 m * 1,00 m = 15,00 m2

v es la velocidad con la que circula el agua que aplicando la ley de Darcy

se tiene:

v = - k * i

La permeabilidad k es conocida y tiene un valor de 0,15 m/día

i, es el gradiente hidráulico y tiene el valor:

i = Pérdida de carga hidráulica entre los pozos / distancia entre los pozos

= ∆h / ∆d



La distancia entre los dos pozos es:

∆d = 100,00 m

La pérdida de carga hidráulica entre los dos pozos es:

∆h = h2 – h1 = 64,50 m – 65,00 m = -0,50 m

Sustituyendo el gradiente hidráulico es:

i = -5,00 / 100,00 = -0,005

Sustituyendo en la expresión de Darcy:

V = -k * i = -0,15 m/día* (-0,005) = 0,00075 m/día

Finalmente el caudal de paso es:

Q = s * v = 15,00 m2 * 0,00075 m/día = 0,01125 m3/día

Q = 0,01125 m3/día = 1,3 * 10-4 l/s

Indicar que el cálculo de caudal se ha realizado por metro de profundidad

de sección si la profundidad fuera de 1.000,00 metros, basta con

multiplicar por 1.000 el caudal en m3/día.



� Problema a resolver

Por el conducto de la figura circula un caudal desde A hasta B de 370

l/s en régimen permanente. Si la presión en A es de 6,6 m de

columna de agua y se desprecian las pérdidas entre A y B, se pide:

• Calcular velocidad y presión en B

• Dibujar las líneas piezométrica y de carga entre A y B

Documents

Hidrostatica e Hidrodinamica.pdf