Hilbert doplicher

Capitolo 7

SPAZI DI HILBERT E TEORIA DIFOURIER

In questo capitolo ci concentriamo sugli spazi di Hilbert: per questi spazi sipossono generalizzare molte nozioni geometriche valide negli spazi euclidei, adesempio i procedimenti di ortogonalizzazione, che forniscono i sistemi ortonor-mali completi: questi ultimi si inquadrano nella teoria di Fourier, della quale cioccuperemo in fondo al capitolo, e che costituisce il primo e principale esempiodi applicazione degli spazi di Hilbert

7.1 Basi ortonormali negli spazi di Hilbert

Uno spazio di Hilbert, come ogni spazio vettoriale, possiede delle basi, chetuttavia si dimostrano inadatte a descriverne la geometria, dato che \ignorano"l'esistenza del prodotto hilbertiano; il concetto \giusto" di base per uno spaziodi Hilbert e quello di sistema ortonormale completo.

7.1.1 Denizione Un sistema ortonormale in uno spazio di Hilbert H e unafamiglia feg2A di elementi di H di norma 1 (8 2 A jjejj = 1) tali che

8; 2 A (e; e) = A priori un sistema ortonormale puo essere del tutto insuciente a descrivere

la totalita degli elementi di uno spazio di Hilbert; per questo diamo la

7.1.2 Denizione Un sistema ortonormale feg2A si dice base ortonormale(b.o.) se il sottospazio

P eC (generato dalla famiglia feg2A) e denso in H.

7.1.3 Proposizione Se feg2A e un sistema ortonormale in uno spazio diHilbert H allora le seguenti proposizioni sono equivalenti:

210

7.1. Basi ortonormali negli spazi di Hilbert 211

feg2A e una base ortonormale. Se 8x 2H 8 2 A (e; x) = 0 allora x = 0. 8x 2H jjxjj2 =P j(e; x)j2 (identita di Parceval). 8x 2H x =P(e; x)e.

Dimostrazione: (1) () (2) e ovvio per denizione di densita.(1) () (4) Segue dal fatto che M = M??; infatti se B A e nito e N e

il sottospazio generato da feg2B, che e chiuso, allora per x 2H:

xN =X2B

(e; x)e

e, seM0 e il sottospazio (non chiuso!) generato da feg2A, si ha che, per x2M0:

x =X2A

(e; x)e

ejjxjj2 =

X2A

j(e; x)j2

(ove le somme sono estese ad un numero nito di termini non nulli). Consideriamoora il sottospazio N0 denso in l

2(A) denito come

N0 := ff : A ! C j Cardf 2 A j f() 6= 0g

212 Capitolo 7. Spazi di Hilbert e teoria di Fourier

da cui, per ogni x 2H: X2A

j(x; e)j2 jjxjj2

e quindi l'equivalenza (1) () (3).qed

Notiamo due conseguenze della dimostrazione:

7.1.4 Corollario Se feg2A e una base ortonormale in uno spazio di HilbertH allora H = l2(A).

Cioe spazi di Hilbert che ammettano basi della stessa cardinalita sono isomora l2(A) e quindi fra loro.

7.1.5 Corollario (Identita di Bessel)X2A

j(x; e)j2 jjxjj2

7.1.6 Teorema Uno spazio di Hilbert ha sempre una base ortonormale.

Dimostrazione: La famiglia S formata dai sistemi ortonormali in H e un in-sieme parzialmente ordinato dall'inclusione (e non vuoto, visto che un qualsiasivettore di norma 1 forma da solo un sistema ortonormale). Se e una catena inS (i.e. per ogni S; S 0 2 si ha S S 0 oppure S 0 S) allora l'insieme unione di: [

S2S

e un sistema ortonormale: se x; y2SS2 S allora esistono S; S 02 tali che x2S ey2S 0 e quindi, dato che e una catena, si ha x; y2S S 0 oppure x; y2S 0 S:in ogni caso x; y appartengono ad un medesimo sistema ortonormale (che sia So S 0) e quindi devono vericare la (x; y) = x;y.

Inoltre l'insiemeS

S2 S e evidentemente un conne superiore della famiglia rispetto all'ordine e quindi, per il lemma di Zorn, l'insieme S dei sistemiortonormali ammette un elemento massimale: per denizione di massimalita (eper la (2) della proposizione precedente) questo massimale deve essere una baseortonormale; infatti la massimalita di una base e ovvia, mentre un sistema or-tonormale massimale S che non sia una base e tale che S? 6= 0 e quindi deveesistere e 2 S? con jjejj = 1 in modo che S [ feg sia un sistema ortonormale,contro la massimalita di S.

qed

7.1. Basi ortonormali negli spazi di Hilbert 213

7.1.7 Denizione La cardinalita di una base ortonormale in uno spazio di Hil-bert si dice dimensione hilbertiana dello spazio.

Evidentemente se la dimensione di H come spazio vettoriale e nita alloraanche la dimensione hilbertiana lo e e questi due numeri coincidono. In generalequesto non sara vero: molti spazi di funzioni, ad esempio L2(R), avranno dimen-sione hilbertiana numerabile (lo vedremo fra breve rammentando che si trattadi uno spazio separabile): tuttavia L2(R), come spazio vettoriale, ha dimensionecontinua: i suoi punti sono parametrizzati dagli elementi di R.

Nel caso generale non e ovvio nemmeno che tutte le basi ortonormali abbianola stessa cardinalita.

7.1.8 Teorema Tutte le basi ortonormali in uno spazio di Hilbert hanno lastessa cardinalita, che e poi pari alla dimensione hilbertiana.

Dimostrazione: Siano feg2A e ffg2B basi ortonormali di H, allora

8 2 A e =X2B

(f; e)f

Ma l'insieme

G := f 2B j (f; e) 6= 0ge numerabile, quindi l'unione B =

S2AG e una unione di insiemi numerabili

indicizzata da A:

Card(B) Card(A) @0 = Card(A)(stiamo supponendo Card(A) innita, i.e. @0).

Viceversa, scrivendo gli elementi f in termini della base feg2A otteniamo

Card(A) Card(B)

e quindi, per il teorema di Cantor{Bernstein: Card(A) = Card(B).qed

7.1.9 Teorema Gli spazi di Hilbert di dimensione hilbertiana numerabile (onita) sono tutti e soli quelli separabili1.

Dimostrazione: Il caso di dimensione nita segue ovviamente da quello didimensione numerabile.

1Cioe che contengono una successione densa.


Sia la dimensione hilbertiana di H numerabile: allora esiste una base orto-normale fengn2N ed, evidentemente, il sottospazioX

n2N(Q+ iQ)en

e denso inP

n2NCen, la cui chiusura e H.Sia viceversa lo spazio H e separabile; dimostreremo che possiede una base

ortonormale indicizzata da N. Sia fxngn2N una successione di vettori totale2, chedeve esistere per l'ipotesi di separabilita: usando un procedimento alla Gram{Schmidt la renderemo ortonormale in modo da avere la base voluta.

Basta per questo osservare che il sottospazio Mn generato dall'insieme nitodi vettori fx1; :::; xng e chiuso (perche ha dimensione nita e quindi e completo)e ovviamente non contiene xn+1. Decomponiamo allora xn+1 secondo la sommadiretta Mn +M

?n e chiamiamo yn+1 la componente di xn+1 in M

?n . Ponendo per

ogni n 2 N:en :=

yn+1jjyn+1jj

otteniamo ovviamente un sistema ortonormale in Hqed

La seguente denizione e di fondamentale importanza:

7.1.10 Denizione Un operatore unitario fra due spazi di Hilbert H1 e H2 eun operatore U : H1 ! H2 lineare isometrico tale che

U = U1

Un operatore unitario e una realizzazione concreta di un isomorsmo fra spazidi Hilbert: in particolare

7.1.11 Teorema Se due spazi di Hilbert H1 e H2 hanno la stessa dimensionehilbertiana allora esiste un operatore unitario U : H1 ! H2.Dimostrazione: Possiamo per ipotesi scegliere due basi ortonormali feg2Ae ffg2A in H1 e H2 indicizzate dallo stesso insieme A. Quindi esistono gliisomorsmi di spazi di Hilbert

1 : H1 ! l2(A) e 2 : H2 ! l2(A)(per il corollario 7.1.4) e componendo l'uno con l'inverso dell'altro otteniamol'operatore unitario voluto.

qed

2Cioe gli fxng sono linearmente indipendenti ed il sottospazio vettoriale che generano edenso.

7.2. Operatori di proiezione negli spazi di Hilbert 215

Ad esempio, se H = l2(N), e se consideriamo come insieme di indici i numerinaturali pari 2N, allora esiste un operatore unitario in B(H) isometrico su unsottospazio proprio:

Uen := e2n

tale chejjUxjj2 = jjxjj2

e quindi (Ux; Ux) = (x; UUx) = (x; x) i.e. UU = I. Tuttavia U non e unitario,dato che non e suriettivo.

Osserviamo inoltre che se A = f1; 2; 3; 4; :::g = N n f0g allora esiste unoperatore

S : H ! L2(A)en 7! en+1

tale che im(S)? = Ce0 e che si dice shift unilatero. Si tratta di un operatoreisometrico.

7.2 Operatori di proiezione negli spazi di Hilbert

Consideriamo uno spazio di Hilbert H ed un suo sottospazio vettoriale chiusoM . Per il teorema di Riesz ogni elemento x2H si decompone come x = xM+xM? .Quindi la mappa

x 7! xMe lineare3 e suriettiva. Denotiamola EM .

Osserviamo che E2M = EM , cioe che l'operatore E : H ! H e idempotente:infatti E2M(x) = EM(xM) = xM . Questo e un fatto del tutto generale che siverica ogni qual volta uno spazio vettoriale X si decomponga in somma disottospazi e si considerino le proiezioni di X su questi suoi sottospazi.

Un altro fatto generale che probabilmente e ben noto al lettore e che, vicever-sa, se X e uno spazio vettoriale e E : X ! X un operatore lineare idempotente,X si decompone in somma diretta di due sottospazi, precisamente l'immagineM = im(E) di E ed il suo conucleo N = im(I E) (ove I e l'operatore identitasu X).

Nel caso di un sottospazio chiuso M di uno spazio di Hilbert H la proiezioneEM : X ! X e un operatore continuo:

jjxjj2 = jjxM jj2 + jjxM?jj23Se X e un qualsiasi spazio vettoriale che sia somma diretta di due sottospazi M e N allora

la decomposizione di un elemento x2X come somma di un elemento xM 2M ed un elementoxN 2N e unica, e quindi le mappe x 7! xM e x 7! xN sono lineari.


da cui segue jjEMxjj = jjxM jj jjxjj.Osserviamo esplicitamente che, E 6= 0 se e solo se im(E) 6= (0), il che avviene

se e solo se esiste un elemento x0 2 H non nullo tale che Ex0 = x0. DunquejjEjj = 1.

Naturalmente

(y; Ex) = (yM + yM? ; xM) = (yM ; xM) = (Ey;Ex) = (y; EEx)

e quindi un proiettore E e autoaggiunto. Dunque

E = EE ()(E = E2

E = E

sono condizioni equivalenti all'essere E un proiettore su un sottospazio chiuso.

7.2.1 Denizione Una isometria parziale in uno spazio di Hilbert H e un ele-mento W 2 B(H) tale che l'operatore

W jN (W )?

sia una isometria (si ricordi che N (A) e il nucleo dell'operatore A, i.e. l'insiemefx 2H jAx = 0g).

Ad esempio, se M e N sono sottospazi chiusi di H della stessa dimensioneallora esiste un operatore unitario

W0 : M ! N

che possiamo comporre ad esempio con il proiettore EM ottenendo

W := W0EM

che e evidentemente una isometria parziale.

7.2.2 Proposizione Esiste una corrispondenza biunivoca

fM H jM = Mg ! fE 2 B(H) jE = EEg

Dimostrazione: Se E2B(H) e tale che E = EE allora prendiamoM = im(E)e N = im(I E). Ovviamente H = M + N . Inoltre M \ N = (0), dato cheM = N?: (Ey; (I E)x) = (y; (E EE)x) = 0, ed analogamente N = M?.

qed


Se M1 e M2 sono sottospazi chiusi di H, con proiettori E1, E2, allora

M1 M?2 () E1E2 = 0

Infatti 0 = (Ex; E2y) () (x;E1E2y) = 0 () E1E2 = 0 () E1E2 = 0(essendo i proiettori autoaggiunti). Ovviamente E1E2 = 0 () E2E1 = 0 eM1 M?2 () M2 M?1 .

Osserviamo che in generale la somma E1 + E2 non e necessariamente idem-potente, ma tuttavia, se M1?M2:

(E1 + E2)2 = E21 + E1E2 + E2E1 + E

22 = E1 + E2

e quindi E1 + E2 e in questo caso il proiettore di M1 +M2.qed

Questi fatti si estendono al caso di n proiettori, cos ad esempio, seM1; :::;Mnsono sottospazi chiusi mutuamente ortogonali, allora

PEi e il proiettore dello

spazioP

Mi. In particolare la somma di sottospazi chiusi e chiuso.Ancora piu in generale, se fMg e una famiglia qualsiasi di sottospazi vetto-

riali chiusi di H mutuamente ortogonali:

8 6= M?Mallora lo spazio

PM puo non essere aatto chiuso. Bisogna considerare espli-

citamente la sua chiusura in H.Ad esempio, si noti che se fEigi2N sono idempotenti autoaggiunti (non nulli!)

e tali che8i 6= j EiEh = 0

alloraP

i2NEi non converge in norma. Se cos non fosse si avrebbe infatti, perogni " > 0 e per n;m > n": nX

i=1

Eijj < "

il che e assurdo, visto che l'idempotente autoaggiuntoP

Ei ha norma 1.Questo esempio mostra come sia necessario considerare topologie alternative

sullo spazio degli operatori lineari.

7.2.3 Denizione Se X e uno spazio di Banach e fAng B(X) allora si diceche la successione fAng converge fortemente a A, e si scrive

Anf // A

se per ogni x 2X: limnAnx = Ax.


Osserviamo che se jjAnAjj ! 0 allora supjjxjj=1 jAnxAxj ! 0 e quindi(scriviamo An

jjjj! A per la convergenza in norma):

Anjjjj! A () An f! A uniformemente sulla palla unitaria in H

Ricordando la denizione di topologia debole su uno spazio topologico (deni-zione 2.1.22), diamo la

7.2.4 Denizione La topologia forte sullo spazio B(X) e la topologia deboledenita dalla famiglia di funzioni

ff : B(X) ! X j 8A 2 B(X) f(A) = Axgx2X

Per capire meglio la denizione, scriviamo come sono fatti gli intorni di unoperatore A nella topologia forte:

Ux1;:::;xn(A) = fB 2 B(X) j 8k = 1; :::; n jj(B A)xkjj 1g

(l'intorno U dipende da A e da n elementi x1; :::; xn 2X).Evidentemente questa topologia non possiede una base numerabile di intorni,

e non puo dunque caratterizzarsi semplicemente con i limiti di successioni, benscon i limiti di successioni generalizzate.

Supponiamo quindi di avere una famiglia di proiettori fEg2A con fMg2Arelativi sottospazi e consideriamo l'insieme

B := f A j Card()


Dimostrazione: Dobbiamo dimostrare che per ogni x2H esiste un 02B taleche se 0 allora

jjFx Exjj < 1Sia x 2M con

M :=X2A

M

Dato che M e chiuso deve esistere x0 2P20 M arbitrariamente vicino a x (innorma) i.e. x0 =

P2AEx. Dunque

xX2

Ex = xX2

E Ea(x x0) +X2

Ex0 = x x0 + F(x x0)

i.e.jjx

X2

Exjj jjx x0jj+ jjF(x x0)jj ! 0

per jjx x0jj ! 0. Dunque, se x 2M allora x =P2AEx.Se ora x 2 H e qualsiasi, Ex 2 M e quindi, applicando il ragionamento

precedente (tenendo conto che EEx = Ex, avendosi M M) si trova

Ex =X2A

EEx =X2A

Ex

qed

Osserviamo che, se A (con Card()


S2AM e un sottoinsieme totale in H. (S2AM)? = 0 (S e totale se e solo se S? = 0).Non appena una di esse sia vericata allora ha luogo l'isomorsmo di spazi

di HilbertH =

M2A

M

realizzato dalla mappa x 7! f 2 A 7! () = Ex 2Mg. Si noti cheX

jj()jj2 = jjxjj2

e si osservi che, se ciascuno degli spazi M e di dimensione 1, allora la teoria cheabbiamo svolto e semplicemente quella delle basi ortonormali in H.

Concludiamo la nostra analisi di B(H) indagandone alcune particolarita dellastruttura algebrica. Prima svolgiamo qualche semplice osservazione sui proiettorie sui loro sottospazi associati:

7.2.6 Proposizione (x;Ex) = (x; x) () x 2M .Dimostrazione: Basta osservare che

(Ex;Ex) = (x;Ex) = (x; x) = (Ex;Ex) + ((I E)x; (I E)x)e che (I E)x = 0 () x = Ex.

qed

Se M e N sono sottospazi chiusi, allora

M N () EMEN = EMMa EF e autoaggiunto se e solo se EF = FE i.e. EMEN = EM () ENEM =EM :

M N ) EMEN = ENEMInoltre

M?M ) EMEN = ENEMSe poi M = M1 + M2 allora E1 + E2 = EM := E e dunque, se F := EN ,EF = FE.

In B(H) c'e una relazione di ordine parziale che possiamo determinare stabi-lendo quali sono gli elementi positivi:

B(H)+ := fB 2 B(H) j 8x 2H (x;Bx) 0gEvidentemente, per l'identita di polarizzazione:

B 2 B(H)+ ) B = BAd esempio per ogni A2B(H) l'operatore AA e semi-denito positivo: AA 0.

In particolare, un autoaggiunto idempotente E e positivo.


7.2.7 Proposizione M N () EMEN = EM () EM EN .Dimostrazione: Dato che N = M + (M? \ N) si ha EN = EM + EM?\N equindi:

(x;ENx) = (x;EMx) + (x;EM?\Nx)

quindi, dato che il secondo addendo del secondo membro e 0, troviamo (x;ENx) (x;EMx).

Viceversa, x 2M () (x;EMx) = (x; x). Ma se EM EN allora(x; x) = (x;EMx) (x;ENx) = (ENx;ENx) jjxjj2 = (x; x)

(dato che EN e un proiettore). Quindi, per la proposizione precedente:

M Nqed

7.2.8 Teorema Se E e F sono idempotenti autoaggiunti in B(H) (e quindi esi-stono i sottospazi chiusi M e N in modo che E = EM e F = EN) allora leseguenti proposizioni sono equivalenti:

EF = FE. EF = EM\N . N = (N \N) + (N \M?).

Dimostrazione: (3)) (1) e gia stato dimostrato.(1) ) (2): EF = FE ) EF = (EF ) e ) (EF )2 = E2F 2 = EF . Quindi

EF e un proiettore se EF = FE.Ma, se x 2M \ N allora Ex = x = Fx e quindi EFx = x, cioe M \ N

im(EF ). Inoltre, se x 2 im(EF ) allora x = EFx e Ex = E(EF )x = E2Fx = x.Scambiando il ruolo di E e F si ottiene anche Fx = x e quindiM\N = im(EF ).

(2)) (1) e banale.(2)) (3): Se EF = EM\N allora:

F = (F EF ) + EF = F (I E) + EFMa vale (1) (perche vale (2)) e quindi F e I E commutano:

F (I E) = EN\M?e EF = EN\M , sicche

F = EN\M? + EN\M ) N =M? \N +M \Nqed

Possiamo formulare quanto n qui ottenuto dicendo che il reticolo dei sotto-spazi chiusi (o equivalentemente degli idempotenti autoaggiunti) di uno spazio diHilbert e un'algebra di Boole.


7.3 Serie di Fourier

Corrediamo ora la teoria con gli esempi fondamentali: le serie e l'integrale diFourier5.

Vogliamo considerare funzioni f : R ! C periodiche, di periodo 2 (comele classiche funzioni trigonometriche): f(t) = f(t + 2); il modo piu naturale diprocedere non e considerare queste funzioni denite sulla retta reale ma sullacirconferenza T = fjzj = 1g C. Osserviamo che T e lo spazio topologico(compatto) ottenuto dall'intervallo [0; 2] identicandone gli estremi 0 2,ovvero e il quoziente R=2Z (via la mappa t 7! eit).

Consideriamo dunque lo spazio T, con la misura di Lebesgue: ricordiamo chela misura di Lebesgue e invariante per traslazioni:Z

Tf(t s)dt =

ZTf(t)dt

per ogni 0 s < 2 (integrare su T e come integrare sull'intervallo (0; 2)).Consideriamo lo spazio L1(T) con la norma di Banach

jjf jj1 = 12

ZTjf(t)jdt

(supponiamo che le funzioni abbiano valori complessi).Ad esempio sia

p(t) =NX

n=Nane

int

(una tale funzione si dice polinomio trigonometrico). I coecienti an del poli-nomio sono tutto cio che dobbiamo conoscere per determinarlo completamente;inoltre si possono ricavare dal polinomio stesso, per mezzo della formula

an =1

2

ZTp(t)eintdt

Questa formula segue direttamente dalle relazioni di ortogonalita

1

2

ZTeintdt = n0

5Si tratta degli esempi che storicamente hanno dato impulso sia alla teoria della misura diLebesgue che alla teoria degli spazi di Hilbert.

7.3. Serie di Fourier 223

7.3.1 Denizione Una serie trigonometrica e una espressione formale

S =1X

n=1ane

int

con an 2 C.Notiamo che si tratta di una serie formale, nel senso che puo benissimo

non convergere; tuttavia, motivati dall'esempio dei polinomi trigonometrici, cichiediamo se una tale serie non possa rappresentare una funzione.

Sia f 2 L1(T) e deniamo l'n-simo coeciente di Fourier di f comebf(n) := 1

2

ZTf(t)eintdt

Se f e un polinomio otteniamo esattamente il suo coeciente in grado n; ingenerale abbiamo non un polinomio ma una serie trigonometrica

Sf :=1X

n=1bf(n)eint

che si dice serie di Fourier associata alla funzione f . Si vericano immediata-mente le seguenti proprieta:

7.3.2 Proposizione Siano f; g 2 L1(T); [f + g(n) = bf(n) + bg(n). 8z 2 C czf(n) = z bf(n). Se la traslata di t 2 T della funzione f e la funzione

ft(s) := f(s t)allora bft(n) = bf(n)eint.

j bf(n)j jjf jj1

Forse solo la (4) merita un commento:

j bf(n)j = 12

ZTf(t)eintdt

1

2

ZTjf(t)jdt = jjf jj1

(ricordiamo che eit e un numero complesso di modulo 1, se t2R). Evidentemente,se ffng e una successione convergente in L1(T) allora bfn converge uniformemente.

Deniamo ora una operazione sullo spazio L1(T) che riette il fatto che T eun gruppo rispetto alla somma (modulo 2).


7.3.3 Lemma Se f; g 2 L1(T) allora, per quasi ogni s 2 T, la funzione t 7!f(t)g(s t) e integrabile.

Dimostrazione: La funzione di due variabili (s; t) 7! f(t)g(s t) e misurabile(e prodotto di funzioni misurabili!) e quindi, per quasi ogni t, la funzione s 7!f(t)g(s t) e multiplo costante di gt e quindi e integrabile e

1

2

ZT

1

2

ZTjf(t)g(s t)jdsdt = 1

2

ZTjf(t)j jjgjj1dt = jjf jj1jjgjj1

Quindi f(t)g(s t) e integrabile (per il teorema di Fubini) come funzione di t,per quasi ogni s.

qed

Abbiamo quindi, per ogni f; g 2 L1(T) la loro convoluzione f g 2 L1(T)denita come

f g(s) = 12

ZTf(t)g(s t)dt

Ovviamente

jjf gjj1 jjf jj1jjgjj1dato che

1

2

Zjf g(s)jds = 1

2

Z1

2

Zjf(t)g(s t)jdtds

142

ZZjf(t)g(s t)dt ds = jjf jj1jjgjj1

7.3.4 Proposizione [f g(n) = bf(n)bg(n)Dimostrazione: Si tratta di un semplice cambiamento di variabile nell'integralecombinato col teorema di Fubini:

[f g(n) = 12

Zf g(s)einsds = 1

42

ZZf(t)eintg(s t)ein(st)dsdt

=1

2

Zf(t)eintdt

1

2

Zg(s)einsds = bf(n)bg(n)

qed

A questo punto, usando calcoli analoghi a quelli n qui svolti, e un facileesercizio dimostrare la


7.3.5 Proposizione Rispetto alla convoluzione, lo spazio L1(T) diviene un'al-gebra associativa e commutativa.

7.3.6 Esempio Calcoliamo la convoluzione di una funzione f 2 L1(G) con unpolinomio trigonometrico p:

f p(t) = 12

Zf(s)

NXn=N

anei(ts)nds =

NXn=N

aneint 1

2

Zf(s)einsds

=NX

n=Nan bf(n)eint

Consideriamo ora una successione di funzioni in L1(T) (si tratta di polinomitrigonometrici) nota come nucleo di sommabilita di Fejer :

(y) KN(t) :=NX

n=N

1 jnj

N + 1

eint

7.3.7 Proposizione Il nucleo di Fejer soddisfa alle proprieta seguenti:

Per ogni N 2 N:1

2

ZKN(t)dt = 1

Esiste una costante c tale che1

2

ZjKN(t)jdt c

Se 0 < < :lim

N!1

Z 2

jKN(t)jdt = 0

KN(t) 0.

Dimostrazione: La (2) e la (4) sono ovvie, dato che jeintj = 1. La (1) seguedal fatto che

Reint = n0:

1

2

ZKM(t)dt =

NXn=N

1 jnj

1 +N

1

2

Zeint =

NXn=N

1 jnj

1 +N

n0 = 1


La (3) segue dalla formula

KN(t) =1

1 +N

sin N+1

2t

sin t2

!2che si dimostra osservando che

14eit +

1

2 1

4eit NX

n=N

1 jnj

1 +N

eint =

=1

1 +N

14ei(N+1)t +

1

2 1

4ei(N+1)t

ed utilizzando l'identita trigonometrica

sin2t

2=

1 cos2 t2

= 14eit +

1

2 1

4eit

qed

Una successione di funzioni che verichi queste proprieta si dice nucleo (po-sitivo) di sommabilita. Notiamo che, per la (y):

f KN(t) =NX

n=N

1 jnj

N + 1

bf(n)eintIl nucleo di Fejer e di fondamentale utilita: ad esempio possiamo dimostrare permezzo di esso6 il

7.3.8 Teorema di Approssimazione (Weierstrass) Ogni funzione f2C(T)e limite uniforme di polinomi trigonometrici.

Dimostrazione: Osserviamo che una funzione continua e in L1(T) e che

jjf jj1 jjf jj0ove jj:jj0 e la norma dello spazio di Banach C(T):

jjf jj0 = maxt2T

jf(t)j

Infatti

jjf jj1 = 12

Zjf(t)jdt 1

2

Zjjf jj0dt = 1

2

jjf jj02

= jjf jj06Questo teorema seguira immediatamente da un risultato generale, il teorema di Stone{

Weierstrass 9.2.9, che daremo in seguito: ci sembra interessante darne comunque unadimostrazione particolare in questa sede.


Quindi la convergenza in L1 implica la convergenza uniforme; ora se f 2C(T) L1(T) dimostriamo che si puo approssimare con i polinomi trigonometrici f KN .Dobbiamo dimostrare che jjf f KN jj1 ! 0, il che faremo in due passi: primadimostreremo che, se k 2 C(T) e f 2 L1(T) allora

() 12

Zk(t)ftdt = f k

e poi dimostreremo che

() f = limN!1

1

2

ZKN(t)ftdt

(limite nella norma jj:jj1). Da (*) e (**) segue la tesi.Dimostriamo (*): se f 2 C(T) scriviamo l'integrale alla Riemann:

1

2

Zk(t)ftdt =

1

2limXn

(tn+1 tn)k(tn)ftn

per una partizione ftng di [0; 2): ma

1

2limXn

(tn+1 tn)k(tn)f(t tn) = f k(t)

(limite nella norma uniforme) sempre per denizione di integrale di Riemann:quindi per funzioni continue il teorema e dimostrato. Ma le funzioni continueapprossimano le funzioni L1(T), e, se f 2L1(T) e g2C(T) e tale che jjf gjj "allora, dato che la (*) vale per le funzioni continue:

1

2

Zk(t)ftt f k = 1

2

Zk(t)(f g)tdt (f g) k

da cui 1

2

Zk(t)ftdt f k

1

2"jjkjj1

Questo dimostra la (*); passiamo alla (**): ricordiamo che f e continua su uncompatto (T), quindi uniformemente continua. Cioe, per ogni " > 0 esiste " taleche se js tj < " allora jf(s) f(t)j < ". Allora, ricordando le proprieta del


nucleo di Fejer (proposizione 7.3.7), se 0 < < :

jf KN(s) f(s)j =1

2

ZKn(t)f(t s)dt 1

2

Zf(s)KN(t)dt

12

Zjf(t s) f(s)jKN(t)dt

=1

2

Z 0

jf(t s) f(s)jKN(t)dt+

+

Z 2

jf(t s) f(s)jKN(t)dt+

+

Z 22

jf(t s) f(s)jKN(t)dt!

0:lim

y!1

Zjxj>

jKy(x)jdx = 0

Dimostrazione: Calcoliamo la norma jj:jj1 di K(x), usando la nostra conoscen-za del nucleo di Fejer per le serie trigonometriche: sappiamo che

limN!1

1

2

Z

1

N + 1

sin (n+1)x

2

sin x2

!2dx = 1

Dato cheRKy(x)dx =

RyK(yx)dx =

RK(yx)d(yx) =

RK(x)dx possiamo

prendere y = N + 1, ottenendo

Ky(x) =1

2(N + 1)

sin (n+1)x

2x2

!2e quindi

sin

21

2

Z

1

N + 1

sin (n+1)x

2

sin x2

!2dx

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