Abdul Aziz Karim

SEKELOMP

OK

SEKAWANAN

SEDERETAN

HIMPUNAN

Hpn biasa Gugus

pendefinisian

Gugus

SETUMPUKSEKUMPULAN

Hpn 29-2

“Mahasiswa/wi Unlam yang suaranya merdu supaya berhadir pada Hari Suara Sedunia setiap tanggal 08 Juni di lapangan Meriang Banjarpura”

status mahasiswa/wi Unlam, jelas karena mempunyai KTM

suara merdu, ini tidak jelas !. Merdu menurut team penilai, tetapi belum tentu bagi team penilai yang lain atau orang lain di luar team.

Jadi sekumpulan mhs Unlam yang bersuara merdu, tidak dapat dinyatakan sebagai suatu gugus; himpunan biasa

Hpn 29-3

“Mahasiswa/wi yang telah terdaftar di Unlam pada tahun Akademik 2007/2008, resmi menjadi mahasiswa Unlam”

Jelas yang tidak terdaftar bukan merupakan mahasiswa Unlam.Karena agar terdaftar tentunya harus memenuhi semua

persyaratan yang telah tetapkanSebagai bukti diri (identitas) mempunyai KTM Unlam

Jadi seluruh mhs yang terdaftar tsb merupakan suatu gugus. Sedangkan individu mhsnya merupakan anggota/unsur gugusnya.

Hpn 29-4

Katakan “sekumpulan mahasiswa “ (G) terdiri dari : x = mhs yang terdaftar di Unlam

y = mhs yang tidak terdaftar di Unlam

Notasi gugusnya :

x G x di dalam (termasuk unsur/anggota) G εy G y di luar (bukan unsur/anggota) G ε

Hpn 29-5

Gugus terhingga : bila banyaknya unsur suatu gugus wajar untuk dihitung

Gugus tak hingga : bila banyaknya unsur suatu gugus tidak dapat dihitung atau mustahil atau tidak wajar untuk dihitung

“banyaknya bilangan habis dibagi dua dari sejuta bilangan”

“banyaknya butiran pasir seberat 1 ons”

Hpn 29-6

Metode senarai

Ciri Penentu suatu Gugus

Cara ini (Notasi Gugus) bermanfaat untuk satu atau lebih ciri penentu, apakah suatu unsur (anggota) termasuk atau tidak termasuk ke dalam suatu gugus

Hpn 29-7

Untuk membuat (menulis) Notasi suatu Gugus dilakukan dengan cara berikut :

Metode senarai

D = gugus banyaknya (nilai) mata sebuah dadu bersisi enam

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

B = gugus nilai suatu seri kartu Brigde

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

K = gugus nilai kembar kartu domino

K = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Secara umum, dinyatakan sebagai gugus X mengandung n unsur (anggota) sebanyak xi (i = 1, 2, 3, 4, 5, ……, n)

X = {x1, x2, x3, x4, x5, ……….., xn}

Bila X dinyatakan sebagai gugus tak hingga maka notasinya :

X = {x1, x2, x3, x4, x5, ……….., xn, ……}Hpn 29-8

Ciri Penentu suatu Gugus

Secara umum, bila :

x = suatu unsur gugus U tertentu (universum/semesta) c(x) = ciri untuk menentukan termasuk tidaknya suatu unsur

tertentu ke dalam suatu gugus X tertentu

X = {x ; x U, C(x)}ε

Hpn 29-9

A = gugus bilangan asli

A = {a ; a bilangan asli}

A = {1, 2, 3, 4, 5, ……} Metode senarai

Metode ciri penentuA = {x ; x A, x = n, n A}ε ε

Hpn 29-10

C = {x ; x C, x=n-1, n A}ε

B = gugus bilangan bulat

B = {….., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ……}

C = gugus bilangan cacah

C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ……}

ε

B = {x ; x B, x = n-1, n B}ε ε

CLHpn-01

X1 = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ……} bil. asli ganjil

X2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ……} bil. asli genap

Unsur2 gugus X1 merupakan pula unsur2 gugus A

Unsur2 gugus X2 merupakan pula unsur2 gugus A

A mencakup X1

A mencakup X2

A X1∩

A X2

∩

X1 dicakup A

X2 dicakup A

∩X1 A

∩X2 A

Kesimpulan : setiap unsur selalu dicakup oleh gugus semestanya

Gugus Induk & Anak-gugus

Hpn 29-11

Denah Venn

N B A

∩ ∩

A B N∩ ∩

Dalam bahasa matematika :

Bila setiap unsur gugus A juga menjadi unsur gugus B, maka dinyatakan gugus A merupakan anak gugus B

Bila gugus A merupakan anak gugus B, maka setiap unsur gugus A merupakan pula unsur gugus B

(mencakup)

(dicakup)

N

B

A

Hpn 29-12

Agar hubungan anak gugus tersebut berlaku, maka dalam pengertiannya “harus terjadi serempak atau bersamaan”, atau dengan kata lain “berlaku secara timbal-balik”

Ini berarti bahwa A dan B adalah gugus yang sama

Ungkapan pengertian tsb dilambangkan dengan dibaca “jika dan hanya jika”

A = B

Jadi setiap unsur gugusA adalah juga menjadi unsur gugus B, gugus A adalah anak gugus dari gugus B

A B

∩

A B∩ &

Hpn 29-13

Bila semua unsur gugus A yang dicakup oleh gugus B; tetapi tidak semua unsur gugus B dicakup oleh gugus A, maka ini dinyatakan gugus A merupakan anak gugus biasa dari gugus B

A B∩ B A

∩

atau

Hpn 29-14

N = {n1 , n2 , n3 , n4}

Bila dibentuk anak gugus berunsur 3 :

N31 = {n1 , n2 , n3}

N32 = {n1 , n2 , n4} N34 = {n2 , n3 , n4}

N33 = {n1 , n3 , n4}

N21 = {n1 , n2}

N22 = {n1 , n3}

N23 = {n1 , n4}

N24 = {n2 , n3}

N25 = {n2 , n4}

N26 = {n3 , n4}

Bila dibentuk anak gugus berunsur 2 :

(gugus induk)

Hpn 29-15

Bila dibentuk anak gugus berunsur 1 :

N11 = { n1 }

N12 = { n2 } N14 = { n4 }

N13 = { n3 }

Bila dibentuk anak gugus berunsur 0 nol) :

N0 = { }

= O

Gugus Kosong

Pengertian : { } ≠ { 0 }Gugus mengandung 1 unsur yaitu angka nol

Gugus tanpa unsur

Hpn 29-16

Semua anak-anak gugus dari gugus induk N dapat pula dihimpun menjadi “Gugus Kuasa” dari gugus induk N

2N = {N, N31, N32, N33, N34, N21, N22, N23, N24, N25, N26,

N11, N12, N13, N14, }O

Hpn 29-17

Penggunaan Persamaan Kombinasiuntuk menentukan

banyaknya anak-gugus Gugus Kuasa dari gugus Induk N

C(n,i) = n !

i ! (n-i) !

Untuk : n ! = 1, 2, ………., (n-1), n

i ! = 0, 1, 2, ………., (n-1), n

0 ! = 1

Hpn 29-18

Dari Gugus Induk N [di atas] diperoleh anak-gugus2 dari Gugus Kuasa untuk sejumlah unsur :

Jumlah unsur 4; C(4 , 4) = 4 !4! (4-4)!

= 1

Jumlah unsur 0; C(4 , 0) = 4 !0! (4-0)!

= 1

Jumlah unsur 3; C(4 , 3) = 4 !3! (4-3)!

= 4

Jumlah unsur 1; C(4 , 1) =4 !

1! (4-1)!= 4

Jumlah unsur 2; C(4 , 2) =4 !

2! (4-2)!= 6

Hpn 29-19

CL Hpn-02

Mhs Fakultas Kehutanan Unlam yang tergabung dalam “Himpun-an Mhs Peduli Lingkungan” (HIMAPELI) sebanyak 9 orang yang terdiri dari :

a. 5 orang laki-laki (k1, k3, k5, k7 dan k9)

b. k1, k6 dan k8 merupakan mhs S1reg

c. k2, k5 dan k7 merupakan mhs S1eks

d. sisanya merupakan mhs S03rege. selain itu ada pula yang berstatus :

pegawai yaitu k1 dan k9

mahasiswa murni yaitu k3, k4, k5, k6 dan k8

sisanya berwiraswasta

SL Hpn-02

Hpn 29-20

(1). Tentukan notasi gugus dari pernyataan tsb(2). Tentukan gugus kuasanya JCL

Hpn-02A

(3). Tentukan gugus : mahasiswa perempuan, mahasiswa S1 & mahasiswa reguler.

Ditanyakan :

Dinyatakan bahwa :

I = {x; x B, 1 ≤ x < 4}ε J = {x; x B, (x-1)(x-2)(x-3)}εdan

Tentukan apakah “I = J”, bila B = gugus bilangan bulatJCL

Hpn-02B

Hpn 29-21

Bilangan Kardinal

Dari sebuah dadu bersisi enam disusun anak gugus masing-masing :

D = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}

D5 = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}

D4 = {1 , 2 , 3 , 4}

D3 = {1 , 2 , 3}

D2 = {1 , 2}

D1 = { 1 }

“nilai yang menunjukkan banyaknya unsur dari suatu anak gugus”

Berarti bilangan kardinal merupakan bilangan asli yang terhingga; sehingga disebut pula sebagai gugus-gugus terhingga.

Hpn 29-22

Bilangan kardinal suatu gugus dilambangkan dengan n(G), sehingga bilangan kardinal untuk gugus-gugus D1, D2, …,

D6 adalah

n(D5) = 5

n(D4) = 4

n(D3) = 3

n(D2) = 2

n(D1) = 1

n(D6) = 6

Misalkan ada dua buah gugus terhingga berupa sebuah dadu dan hari kerja

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

H = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu}

(nilai mata dadu)

Hpn 29-23

Hubungan “nilai mata dadu” (D) dengan “hari kerja” (H)

1

2

3

4

5

6

Senin

Selasa

Rabu

Kamis

Jumat

Sabtu

n(D) = 6 n(H) = 6

Hpn 29-24

Keduanya mempunyai bilangan kardinal yang sama yaitu

n(D) = n(H) = 6

Karena setiap unsur pada gugus “mata dadu” (D) berpa-danan tepat satu unsur terhadap setiap unsur gugus “hari kerja” (H), sehingga dikatakan :

“gugus D setara dengan gugus H”

Hubungan kesetaraan ini tidak terjadi, bila ditemukan ada minimal satu unsur yang tidak mempunyai padanannya.

Misal gugus nilai kembar kartu domino dengan gugus hari pasaran (Jawa).

D ≈ H

Hpn 29-25

Hubungan “nilai kembar kartu domino” (K) dengan “hari pasaran” (P)

Pon

Wage

Kliwon

Legi

Pahing

1 2

3 4

5 6

0

n(K) = 7 n(P) = 5

Keduanya tidak mempunyai perpadanan, maka kesetaraan antara gugus “nilai kembar kartu domino” (K) dan gugus “hari pasaran” (P) tidak terjadi.

D ≈ HHpn 29-26

CL Hpn-03

Tentukan bilangan kardinal dari gugus :

{ x | x bilangan bulat dan 1 ≤ x < 23}

Dari gugus-gugus berikut :

A = {a,b,c,d,e,f,g}

B = { x | x adalah sila-sila Pancasila}

C = { x | x adalah hari-hari dalam seminggu}

D = {Pahing, Pon, Wage, Kliwon, Legi}

E = {ungu, biru, hijau, kuning, jingga, merah}

adakan pengelompkan gugus-gugus yang setara !

JCLHpn-03A

SL Hpn-03

JCLHpn-03B

Hpn 29-27