Matematika: Himpunan 10/18/2011

Syawaludin A. Harahap 1

HIMPUNANHIMPUNANHIMPUNANHIMPUNANHIMPUNANHIMPUNANHIMPUNANHIMPUNAN

Matematika: Himpunan 10/18/2011

Syawaludin A. Harahap 2

Dikembangkan oleh matematikawan Jerman bernama GeorgeGeorgeCantorCantor (1845-1918), dan dikenal sebagai bapak dari teori himpunan.

Himpunan didefinisikan sebagai suatu kumpulan/koleksi dari objek-objek sebarang.

Cara pengumpulan objek-objek itu biasanya berdasarkansifat/keadaan mereka yang sama, ataupun berdasarkan aturantertentu/yang ditentukan.

Contoh 1.1:

Himpunan yang terdiri dari mahasiswa-mahasiswa perikanan danilmu kelautan.

Himpunan dari semua bilangan asli yang lebih besar dari 6.

Himpunan yang terdiri dari ikan, bivalva dan crustacea.

Nama himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar, misalnya A,B, C,…,P, Q,…, atau yang lainnya.

Setiap objek dalam suatu himpunan disebut elemen (unsur anggota)himpunan dan biasanya diyatakan dengan huruf kecil, misalnya a, b,p, x,…, dan sebagainya.

Jika aa merupakan elemen dari himpunan AA, maka kita dapatmenuliskannya sebagai aa ∈ AA.

Jika bb bukan elemen dari himpunan AA, maka dapat dituliskan sebagaibb ∉ AA.

Ada 2 bentuk penulisan suatu himpunan, yaitu:

1)Bentuk pendaftaran (tabular-form), yaitu dengan menuliskan semuaelemen himpunan tersebut di dalam kurung kurawal. Contoh 1.2:

Himpunan A={lele, patin, baung}

Himpunan B={…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}

Matematika: Himpunan 10/18/2011

Syawaludin A. Harahap 3

2) Bentuk pencirian (set-builder form), yaitu dengan menuliskansifat/ketentuan mengenai elemen himpunan tersebut.

Contoh 1.3:

Himpunan A={x|x adalah ikan cat fish}.

Himpunan B={x|x adalah bilangan bulat}.

Banyaknya elemen suatu himpunan dilambangkan dengan suatu hurufnn. Untuk menghitung banyak elemen suatu himpunan, harus ditulisterlebih dahulu dengan cara pendaftaran. Contoh 1.4:

Himpunan A, bila ditulis dengan menyatakan sifatnya A={x|x adalahbilangan Asli, x ≤9} atau bila dituliskan dengan cara pendaftaranA={1,2,3,4,5,6,7,8,9} , maka n(A) = 9.

Himpunan C, bila dituliskan dengan cara mendaftar C={0,1,2,3,4} atau bila ditulis dengan menyatakan sifatnya C={x|x bilangan Bulat, 0≤x≤4 }, maka n(C)=5.

Jika suatu himpunan banyak anggotanya tak berhingga disebuthimpunan tak berhingga.

Contoh1.5:

Himpunan B, bila dituliskan dengan cara pendaftaran B={..., -3,-2,-1,1,2} atau bila ditulis dengan menyatakan sifatnya B={x|xbilangan Bulat, x < 3}, maka n(B)=∞

Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut dengan himpunanhampa (kosong), dinyatakan dengan: ∅∅∅∅ atau { }.

Contoh 1.6:

Himpunan ∅∅∅∅:A={x|x2=9, x genap}.

Himpunan AA dan BB dikatakan sama (AA=BB), jika kedua himpunantersebut mempunyai anggota-anggota yang sama.

Contoh 1.7:

A={2, 1, 4}, B={4, 1, 2}, maka A=B

P={x|x2-3x=-2}, Q={2, 1}, R={1, 2, 2, 1}, maka P=Q=R

Matematika: Himpunan 10/18/2011

Syawaludin A. Harahap 4

Himpunan AA dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan BB, apabila setiap anggota dari A juga merupakan anggota dari BB. DitulisA A ⊂ BB (atau BB merupakan himpunan super/superset dari AA, B B ⊃ AA.

Contoh 1.8:

P={1, 2, 4}, Q={1, 4, 5, 2}, maka P ⊂ Q

G={x|x bilangan genap}, H={x|x bilangan bulat, maka G ⊂ H.

Cara lain untuk mengenali himpunan adalah dengan caramenggambarkan. Dikenal dengan sebutan diagramdiagramVennVenn.

DiagramDiagram VennVenn diperkenalkan oleh John Venn [1834 – 1923],seorang ahli logikawan berkebangsaan Inggris.

Venn membuat himpunan semesta sebagai persegi panjang.Himpunan-himpunan sebagai lingkaran.

Pada diagram Venn akan digambarkan komplemen dari suatuhimpunan. Dan hubungan antara 2 himpunan atau lebih.

Contoh 1.9:A⊂B dan A≠∅ dapat kita gambarkan sebagai berikut:

UU

Bb.

Aa.

A ⊂ Ba ∈ A, b ∉ Ab ∈ B

Matematika: Himpunan 10/18/2011

Syawaludin A. Harahap 5

1. Gabunagan (Union), dinotasikan dengan ∪. A ∪ B={x | x ∈ A atau x ∈ B. Dalam diagram Venn:

Sifat-sifat operasi gabungan:

i. A ∪ B= B ∪ A

ii. A ⊂ (A ∪ B); B ⊂ (A ∪ B)

iii.Bila A ⊂ B, maka A ∪ B=B

iv.A ∪ U=U

UUUU

Bp.

r.

Aa.b.

A={a, b}B={p, r}Maka A ∪ B={a, b, p, r}

2. Irisan (Intersection), dinotasikan dengan ∩. A ∩ B={x | x ∈ A dan x ∈ A}

Sifat-sifat operasi irisan:

i. A ∩ B= B ∩ A

ii. (A ∩ B) ⊂ A; (A ∩ B) ⊂ B

iii.Bila A ⊂ B, maka A ∩ B=Aiv.A ∩ ∅= ∅, A ∩ U= A

A={ a, p, r}B={p, r, q}Maka A ∩ B={p, r}

UUUUBBp.r.q.

AAa.p.r.

A ∩ B

Matematika: Himpunan 10/18/2011

Syawaludin A. Harahap 6

3. Selisih (Difference), dinotasikan dengan −−−−−−−−A −B={x | x ∈ A dan x∉ B

Sifat-sifat selisih antar himpunan:

i.(A − B)⊂ A

ii.A − B ≠ B − A, bila A ≠ B

iii.Jika A ⊂ B, maka A − B=∅ dan (B −A) ⊂ B

UUUU

A B

A={a, b, c, d}B={f, b, d, g}Maka A −−−−−−−− B={a,c}, dan B −−−−−−−− A={f, g}

4. Komplemen dari A, dinotasikan A′ atau atau Ac

A′={x|x∉A, x∈ U}= U−A

Sifat-sifat komplemen:i.A ∩ A′=∅ii.A∪ A′=U

iii.U′= ∅, ∅′= U

iv.(A′)′=A

v.A−B=A ∩ B′

∀∀∀∀

UU

A

Misal U={x| huruf latin} danT={x |x konsonan} makaT={x | x vokal}= {a, i, u, e, o}

Matematika: Himpunan 10/18/2011

Syawaludin A. Harahap 7

5. Operasi Selisih simetri, dinotasikan dengan “∆”

A ∆ B= (A ∪ B)− (A ∩ B)=(A − B) ∪ (B − A)

UUUU

A B

Jika A={2, 3, 4, 6}, B={1, 3, 4, 5, 6}, makaA ∆ B={1, 2, 5}