Embed Size (px)
Citation preview
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN – TIN.
ĐỀ TÀI :
“ CÁC PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM VÀ CÁC PHÉP THẤU XẠ. THỂ HIỆN TRONG
MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN AFFINE”
GVHD: PGS.TS LÊ ANH VŨ.
SVTH: NHÓM 3 – TOÁN 2A
KHÓA 34.
NĂM HỌC: 2009 – 2010.
1
Tháng 5 / 2010
MỞ ĐẦU:
Felix Klein là người đầu tiên đưa ra cách phân loại hình học theo nhóm các biến
đổi trong nó, dựa vào cách phân loại này thì hình học xạ ảnh là môn hình học tổng quát
nhất trong tất cả các môn hình học cao cấp và sơ cấp sử dụng công cụ tuyến tính. Số
lượng khái niệm, định lí của hình học xạ ảnh không nhiều nhưng nó đúng cho mọi hình
học khác. Hơn thế từ một số khái niệm, định lí của hình học xạ ảnh có thể suy ra được
các khái niệm, định lí của hình học sơ cấp và affine. Thế mạnh của hình học xạ ảnh là có
thể giải quyết các bài toán về tính đồng qui và thẳng hàng (đặc biệt là hình học phẳng)
một cách tổng quát. Ngoài ra ta có thể sáng tạo các bài toán sơ cấp qua nguyên lý đối
ngẫu, phương pháp đưa điểm ra vô tận....
2
MỤC LỤC
Đề tài:
Các phép chiếu xuyên tâm và các phép thấu xạ. Thể hiện trong mô hình xạ ảnh của không gian Affine.
A. Mô hình xạ ảnh của không gian Affine.
I. Xây dựng mô hình.
II. Một số thể hiện trong mô hình.
B. Phép chiếu xuyên tâm.
I. Định nghĩa.
II. Các định lý.
III. Đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm.
IV. Phép chiếu xuyên tâm và đối ngẫu của nó trong P2.
V. Một số ứng dụng.
C. Phép thấu xạ.
I. Phép thấu xạ cặp.
II. Phép thấu xạ đơn.
III. Các phép thấu xạ trong không gian xạ ảnh P2 và P3 .
IV. Các phép biến đổi affine sinh ra bởi các phép thấu xạ .
V. Bài tập.
3
A. MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN AFFINE
I. XÂY DỰNG MÔ HÌNH:
Xuất phát từ không gian affine An ta đã biết cách xây dựng mô hình của không
gian xạ ảnh Pn bằng cách thêm vào An những điểm vô tận. Bây giờ ngược lại, từ không
gian xạ ảnh Pn ta hãy bỏ bớt đi một số điểm nào đó để xây dựng mô hình của không gian
affine.
Ta hãy chọn trong Pn một siêu phẳng bất kỳ và đặt
An = Pn \ là tập hợp những điểm thuộc Pn mà không thuộc . Ta sẽ chứng minh An là
một không gian affine
Gọi Vn+1 là không gian vecto nền của không gian xạ ảnh Pn .
Trang bị cho Vn+1 cấu trúc affine chính tắc:
Khi đó, là một
không gian affine, kí hiệu lại là và kí
hiệu là điểm .
Mỗi điểm (đại diện bởi
vectơ ) tương ứng với một không
gian vectơ con một chiều của Vn+1 . Xét đường
thẳng affine dX qua O có không gian phương là
( không gian vectơ 1 chiều sinh bởi ).
Đường thẳng affine này chỉ phụ thuộc điểm X
mà không phụ thuộc vectơ đại diện.
Cho siêu phẳng xạ ảnh
trong Pn[Vn+1] ( W là không gian vectơ con n chiều trong Vn+1 ). Đặt WA là siêu phẳng
affine qua O nhận W làm không gian phương.
4
Ta trang bị cho cấu trúc không gian affine liên kết với W như
sau:
Trong lấy một siêu phẳng affine song song (nhưng khác) với .
Khi đó, là một không gian affine n chiều nhận W làm không gian phương.
Lấy , tức là và . Khi đó vectơ đại diện của
X là . Suy ra .
Từ đó, ta có: , là duy nhất và ánh xạ
là song ánh.
An , W cùng với ánh xạ
là một không gian affine, thật vậy:
: ,( là song ánh).
Mặt khác do là không gian affine n chiều nhận W làm không gian phương nên tồn
tại duy nhất sao cho: . Lại vì là song ánh nên có duy nhất
(tương ứng với Y+ qua ) thỏa: .
Vậy
:
Vậy ta đã trang bị cho cấu trúc không gian affine liên kết với W.
II. MỘT SỐ THỂ HIỆN TRONG MÔ HÌNH:
5
1. Tọa độ và mục tiêu affine:
Xét mục tiêu xạ ảnh của không gian xạ ảnh Pn .
Chọn siêu phẳng làm siêu phẳng vô tận.
Gọi Ei là giao điểm của đường thẳng A0Ai với siêu phẳng chứa các đỉnh Ai còn lại
của mục tiêu và điểm E (i=1..n).
Đặt ei = (i=1..n), ta được hệ
vectơ {ei}i=1..n là các vectơ cơ sở trong không
gian vectơ Vn. Do đó ta có thể dùng bộ điểm
{A0; E1, E2,…, En} (1) làm mục tiêu affine
của không gian affine An = Pn \.
Một điểm X trong Pn có tọa độ xạ
ảnh là X(x0: x1:…: xn).(X ).
Do đó x0 0. Ta đặt Xi= (i=1..n).
Vậy tọa độ điểm X(1:X1: X2:…: Xn).
Với điểm O đã chọn (trong cách xây dựng mô hình affine ), ta có:
nên
= +X1. +…+Xn.
Suy ra =X1. +…+Xn.
Vậy trong không gian affine, điểm X có tọa độ đối với mục tiêu (1) là X(X1, X1,…, Xn).
2.Các m_phẳng affine:
Xét một m_phẳng Pm nào đó của Pn mà không nằm trong siêu phẳng Pn-1 = ( Với
) . Đối với mục tiêu xạ ảnh đã chọn, có phương trình x0 = 0 và
Pm có phương trình là:
6
Trong đó ma trận A=(a)ij có hạng rank(A) = n – m .
Gọi Am là tập hợp những điểm X
thuộc Pm mà không thuộc tức là
Am= Pm An và có tọa độ X(x0: x1:
…: xn).
Ta có:
Do X không thuộc nên x0 ≠ 0 nên
chia 2 vế của phương trình m_phẳng
cho x0, ta được:
Ta thấy ma trận hệ số của hệ phương trình này cũng có hạng là n – m.
Thật vậy, ta hãy xét hệ phương trình sau:
.
Đặt
.
Ta có rank(B) = n – m + 1 vì Pm không thuộc .
Nếu rank(B1) < n – m thì rank(B) < n – m +1 (vô lý) nên rank(B1) = n – m.
7
Vậy hệ (I) xác định phương trình của một m_phẳng affine.
3. Các phép biến đổi affine:
Trong tập hợp tất cả những phép biến đổi xạ ảnh của Pn, ta xét những phép biến
đổi xạ ảnh biến siêu phẳng Pn-1 thành chính nó. Mỗi phép biến đổi như vậy biến mỗi
điểm có tọa độ xạ ảnh (x0: x1:…: xn) thành điểm có tọa độ xạ ảnh (x0’: x1
’:…: xn’) sao cho
nếu x0 = 0 thì x0’ = 0 và nếu x0 0 thì x0
’ 0. Muốn vậy phương trình của phép biến đổi
xạ ảnh cần phải có phương trình x0 = x0’.Do đó phương trình của phép biến đổi xạ ảnh có
dạng:
Trong đó ma trận A của phép biến đổi xạ ảnh là một ma trận vuôn cấp n+1 không suy
biến và có dạng:
A=
Khi đó phép biến đổi xạ ảnh nói trên của Pn sẽ sinh ra trên không gian affine An
một phép biến đổi affine. Thực vậy, ta hãy lấy một điểm X An có tọa độ xạ ảnh là (x0:
x1:…: xn), trong đó x0 0. Qua phép biến đổi xạ ảnh nói trên điểm X biến thành điểm X’
có tọa độ xạ ảnh là (x0’: x1
’:…: xn’). Chuyển tọa độ xạ ảnh của X và của X’ sang tọa độ
affine ta có phép biến đổi là:
(*) Với Xi= , X’i= (i=1..n).
Trong đó ma trận A’=(aij),( i,j=1..n) là ma trận vuông cấp n không suy biến nên ta
được phương trình (*) là phương trình một phép biến đổi affine.
4. Tỉ số kép:
8
a. Giả sử A,B,C,D là bốn điểm phân biệt nằm trên một đường thẳng xạ ảnh (d) của P n
nhưng không có điểm nào trong bốn điểm nằm trên siêu phẳng vô tận =Pn-1. Ta chọn
mục tiêu xạ ảnh {Ei;E}i=0..n sao cho E0 A, E1=(d) . Khi đó các điểm B,C,D có tọa độ
biểu thị tuyến tính qua E0 và E1.
Ta có: A E0(1:0:0:…:0), E1(0:1:
…:0).
Do đó tọa độ các điểm còn lại là:
B(1:b:0:…:0), C(1:c:0:…:0),
D(1:d:0:…:0).
Do A B nên b 0. Suy ra
=b 0.
Vậy ta có
(ABCD)= .
Nếu chuyển tọa độ các điểm xạ ảnh sang tọa độ affine ta có:
A(0,0,…,0), B(b,0,…,0), C(c,0,…,0), D(d,0,…,0).
Từ đó ta tính được tọa độ các vectơ sau:
=(-c,0,…,0), =(b-c,0,…,0) , =(-d,0,…,0), =(b-d,0,…,0)
Do đó (ABC)= và (ABD)=
Vậy ta được (ABCD)=
b. Nếu có một trong bốn điểm A,B,C,D là điểm vô tận, chẳng hạn là điểm D thì khi đó ta
có D E1 và ta có:
9
(d)
Pn-1
E0
E1
AB
C
D
(ABCD)= .
Vậy (ABCD )=(ABC).
A. PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂMI. Định nghĩa
Trong không gian xạ ảnh cho 2 siêu phẳng và và điểm
Và sao cho thành sao cho
Khi đó được gọi là phép chiếu xuyên tâm từ lên với tâm C.
Nhận xét:
- Phép chiếu xuyên tâm hoàn toàn
xác định bởi cặp siêu phẳng α , β và
tâm chiếu C.
- Phép chiếu xuyên tâm giữ bất động
tất cả những điểm giao của hai siêu
phẳng α và β.
II. Một số định lý
1.Định lý 1 :
Nếu coi 2 siêu phẳng và là 2 không gian xạ ảnh (n-1) - chiều thì phép chiếu xuyên
tâm là một đẳng cấu xạ ảnh.
Chứng minh:
Gọi và là 2 không gian vecto nền của và
Đặt là (n-2)-phẳng
10
Cho hệ điểm độc lập xạ ảnh của
Trong đó:
Ta có:
Hệ độc lập xạ ảnh.
Thật vậy: nếu phụ thuộc xạ ảnh
Thì (vô lý.!) ( Do độc lập xạ ảnh trong )
Gọi là vector đại diện của
là vector đại diện của
là vector đại diện của C
Ta có: thẳng hàng
Suy ra:
Nếu:
Vậy chọn a=1 suy ra:
Đặt là 2 cơ sở của và
Do suy ra tồn tại duy nhất đẳng cấu tuyến tính
sao cho
11
Ta sẽ chứng minh có vector đại diện thì sẽ có vector đại
diện là
Lấy có vector đại diện . Suy ra:
Do
Suy ra: phụ thuộc tuyến tính nên ba điểm mà đại diện thẳng
hàng, tức đại diện cho một điểm nào đó thuộc đường thẳng CX .
Mặt khác: và
Dẫn đến: là vector đại diện của X’
Vậy ta đã chứng minh được cảm sinh từ đẳng cấu tuyến tính sao cho
có vector đại diện thì sẽ có vector đại diện là
. Do đó là một đẳng cấu xạ ảnh.
2.Định lý 2:
Cho 2 siêu phẳng trong thì ánh xạ xạ ảnh là một phép
chiếu xuyên tâm khi và chỉ khi mọi phần tử của là tự ứng. Tức là
Chứng minh:
Cách 1:
Rõ ràng phép chiếu xuyên tâm biến mọi điểm thành chính nó.
Ngược lại: giả sử là ánh xạ xạ ảnh mà
Nếu:
12
+ thì và f là phép chiếu xuyên tâm với tâm
+
Đặt W,W’ lần lượt là không gian vector nền của và
Và
Gọi: là đẳng cấu tuyến tính cảm sinh bởi φ với 1[ ]n nP V lúc đó:
Nhận xét:
( Giờ ta sẽ chứng minh với 3 điểm thẳng hàng
, thì với
và cũng đi qua điểm C. từ đó kết luận C là tâm chiếu ).
Lấy có làm vector đại diện
Suy ra: là vector đại diện của
Khi đó: , và {w,w’} độc lập tuyến tính.
Xét điểm có vector đại diện .
Lấy có vector đại diện là x
có vector đại diện là .
Ta có:
Điều này nói cho chúng ta biết: X, X’ đi qua C . Tức là f là phép chiếu xuyên tâm từ C
lên lên .
Cách 2:
Gọi Pn-2 = α ∩ β.
13
+) Chiều thuận: f là một phép chiếu xuyên tâm thì hiền nhiên nó giữ bất động những
điểm nằm trên Pn-2.
+) Chiều đảo: f là ánh xạ xạ ảnh có tính chất f(M) = M với mọi M thuộc Pn-2 cần chứng
minh f là phép chiếu xuyên tâm.
Trong α chọn một mục tiêu xạ ảnh là {A1, A2, …An-1,An, E} với A1, A2, …,An-1 thuộc
Pn-2, ta có An, E không thuộc Pn-2 , gọi A’n = f(An) và E’ = f(E).
Trên β ta có mục tiêu là {A1, A2, …An-1,A’n, E’} là ảnh của mục tiêu
{A1, A2, …An-1,An, E} qua f. Gọi M = AnE ∩ β thì M thuộc Pn-2 do f(M) = M nên
đường thẳng A’nE’ cũng qua M. Trong mặt phẳng xạ ảnh tạo bởi hai đường thẳng AnE và
A’nE’ gọi C là giao điểm của AnA’n và EE’. Gọi f ’ là phép chiếu xuyên tâm có cơ sở nền
là α và β với tâm chiếu là C. Ta có: f ’(A i) = Ai với i = 1,2,…,n-1 do Ai với i = 1,2,…,n-1
nằm trên Pn-2 và f ’(An) = A’n và f ’(E) = E’. Do sự xác định duy nhất của phép biến đổi xạ
ảnh xác định bởi {A1, A2, …An-1,An, E} và {A1, A2, …An-1,A’n, E’} nên f ≡ f ’.
Vậy f là phép chiếu xuyên tâm.
3.Định lý 3:
Trong với cho hai siêu phẳng và . Giả sử là một ánh xạ xạ ảnh,
không phải là phép chiếu xuyên tâm. Khi đó ta có thể phân tích f thành tích của m phép
chiếu xuyên tâm với
Chứng minh:
Xét trường hợp và trong có một p-phẳng mà mọi điểm
của đều tự ứng đối với f .
Vì f không phải là phép chiếu xuyên tâm nên .
Lấy một điểm nhưng , điểm , điểm B trên đường thẳng IA
mà không trùng với I, A.
Đặt A’=f(A), B’=f(B), thì A’B’ đi qua I.
Do đó AA’ và BB’ cắt nhau tại một điểm C nào đó.
Lấy một siêu phẳng chứa và A nhưng không chứa A’ thì chứa cả B.
Gọi là phép chiếu xuyên tâm bởi tâm C.
14
Khi đó, tích là một ánh xạ xạ ảnh,
(p+1)-phẳng tổng nằm trên giao và mọi điểm của (p+1)-phẳng tổng
đều bất động đối với (vì các điểm trên đều bất động khi qua f và g1
nên bất động qua và A qua f biến thành A’ mà A’ qua g1 biến thành giao điểm
của CA’ với α1 tức là điểm A vậy A bất biến qua , mọi điểm thuộc đều
biểu thị qua p+1 điểm độc lập trong β và A suy ra nó bất động ).
Nếu không phải là phếp chiếu xuyên tâm ( tức là ) thì cho
đóng vai trò như f ban đầu ta lại có phép chiếu xuyên tâm sao
cho giữ bất động mọi điểm của một (p+2)- phẳng nào đó nằm
trong .
Tiếp tục cách làm như thế sau một số hữu hạn bước ta có thể tìm được các phép chiếu
xuyên tâm sao cho tích
giữ bất động các điểm của một (n-2)-phẳng.
Do đó h là một phép chiếu xuyên tâm.
Suy ra là tích của q+1 phép chiếu xuyên tâm. Vì
nên
Xét trường hợp và trong không có điểm nào tự ứng dối
với f. Lấy một điểm , đặt C’=f(C) rồi lấy một siêu phẳng đi qua
C, không đi qua C’ mà . Gọi là phép chiếu xuyên tâm
bởi tâm là một điểm , thì là một ánh xạ xạ ảnh có
điểm tự ứng . Áp dụng trường hợp trên suy ra là tích của một
số phép chiếu xuyên tâm. Do đó f là tích của một số phép chiếu
xuyên tâm.
15
Cuối cùng xét trường hợp . Chỉ cần lấy một phép chiếu xuyên tâm
nào đó thì là một ánh xạ xạ ảnh rơi vào một
trong hai trường hợp trên. Suy ra f là tích của một số phép chiếu
xuyên tâm.
III.Đối Ngẫu Của Phép Chiếu Xuyên Tâm:
Cũng như nhiều các khái niệm, định lý trong hình học xạ ảnh thì phép chiếu xuyên tâm
cùng với các định lý bài tập về nó thì đều có đối ngẫu. Do tính đối ngẫu cho nên ở đây
chúng tôi chỉ nêu khái niệm và định lý mà không chứng minh lại. Và hãy xem như là một
bài tập
1 Định nghĩa:
Trong không gian xạ ảnh cho 2 điểm O và O’ và siêu phẳng
Gọi B là bó đường thẳng tâm O , B’ là bó đường thẳng tâm O’
Và theo quy tắc biến thành sao cho
Khi đó được gọi là phép chiếu xuyên siêu phẳng từ O lên O’ với cơ sở và 2 tâm
O,O’
n=2 phép chiếu xuyên siêu phẳng được gọi lại là phép chiếu xuyên trục.
2. Một số định lý:
Định lý 1: phép chiếu xuyên siêu phẳng là một ánh xạ xạ ảnh.
Định lý 2: Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh là phép chiếu xuyên siêu phẳng là
đường nối hai tâm phải tự ứng.
Định lý 3: Một ánh xạ xạ ảnh không phải là phép chiếu xuyên xạ ảnh đều có thể phân tích
thành không quá n+1 phép chiếu xuyên siêu phẳng.
3. Bài tập áp dụng.
Hãy phát biểu các bài tập ở mục 1.4 dưới dạng bài toán đối ngẫu rồi chứng minh bằng
phép chiếu xuyên siêu phẳng.
IV. Phép chiếu xuyên tâm và đối ngẫu của nó trong P 2 :
16
1. Định nghĩa :
a) Định nghĩa 1:
Trong mặt phẳng xạ ảnh, một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm gọi là phép chiếu
xuyên tâm (phép phối cảnh) nếu các đường thẳng nối các điểm tương ứng luôn đi qua
một điểm C cố định, điểm C được gọi là tâm phối cảnh.
b) Đối ngẫu của định nghĩa 1:
Trong mặt phẳng xạ ảnh, một ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng được gọi là
phép chiếu xuyên trục (phép phối cành) nếu giao điểm của các cặp đường thẳng tương
ứng luôn nằm trên một đường thẳng t cố định, đường thẳng t được gọi là trục phối cảnh.
2.Định lý:
a) Định lý 1:
Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh f giữa hai hàng điểm {m} và {m’} là
phép chiếu xuyên tâm là giao điểm O của hai giá tự ứng, tức f(O) = O.
17
b) Định lý đối ngẫu của định lý 1:
Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh f giữa hai chùm đường thẳng {S} và
{S’} là phép chiếu xuyên trục là đường thẳng nối S và S’ tự ứng, tức f(SS’) = SS’.
V. Một số áp dụng:
Áp dụng 1 : Chứng minh định lý papus bằng phép chiếu xuyên tâm
Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 2 đường thẳng phân biệt cắt nhau tại O. Trên d1 cho 3
điểm phân biệt . Trên d2 cho 3 điểm phân biệt A’, B’, C’ khác O . Gọi D,E,F
lần lượt là giao điểm của BC’ và B’C, CA’ và AC’ , AB’ và A’B. Khi đó D,E,F thẳng
hàng.
Chứng minh:
Gọi và
Xét các phép chiếu xuyên tâm
với tâm A’ và
với tâm C’
Đặt
f biến B’ thành B’ => f là phép
chiếu xuyên tâm từ AB’ đến B’C.
Ngoài ra, f lần lượt biến A,F,N lần
lượt thành M,D,C.
Vì vậy, AM ,DF, NC đồng quy tại tâm chiếu của f.
Mà suy ra D,E,F thẳng hàng.
Áp dụng 2: (Chứng minh định lý Desargues thứ I )
Trong mặt phẳng xạ ảnh cho hai tam đỉnh ABC và A’B’C’.
Chứng minh D,E,F thẳng hàng khi và chỉ khi AA’,BB’,CC’ đồng quy.
Chứng minh:
18
Chiều thuận:
Gọi .
Xét 2 phép chiếu xuyên tâm sau:
với tâm C biến A,B,D,P thành F,E,D,N
với tâm C’ biến F,E,D,N thành A’,B’,D,M
Đặt là phép chiếu xuyên tâm
(Do là tích của các phép chiếu xuyên tâm và f giữ bất động )
Do đó: AA’, BB’,MP phải đồng quy tại tâm chiếu O của f.
Suy ra: AA’, BB’, CC’ đồng quy.
Chiều đảo:
Xét hai tam đỉnh DBB’ và FCC’ có A = DB∩FC, A’ = DB’∩FC’, O = BB’∩CC’ do O,
A, A’ thẳng hàng (do AA’, BB’, CC’ đồng qui tại O ) nên áp dụng chiều thuận của định
lý Desargues thứ I thì BC, B’C’, DF đồng qui tại E, tức D, E, F thẳng hàng.
Bài Tập áp dụng:
Chứng minh các bài toán sau bằng phép chiếu xuyên tâm:
19
a) Định lý Menalaus
b) Trong , cho 2 đường thẳng phân biệt d và d’ và ba điểm phân biệt
A, B ,C không thuộc các đường thẳng đó. Một đường thẳng thay đổi đi
qua A cắt d tại M, cắt d’ tại M’. Gọi N’ là giao điểm của BM và d’, N là
giao điểm CM’ và d. Chứng minh rằng có điểm để I, N, N’
luôn thẳng hàng. Xét trường hợp đặc biệt khi B trùng với C.
c) Trong , cho 2 đường thẳng phân biệt d và d’ và ba điểm phân biệt
A, B ,C không thuộc các đường thẳng đó. Một đường thẳng thay đổi đi
qua A cắt d tại M, cắt d’ tại M’. Xác định tập hợp giao điểm của BM và
CM’. Chọn đường thẳng vô tận qua A,B,C từ đó suy ra một kết quả của
hình học affine phẳng bằng mô hình xạ ảnh của không gian affine.
20
B - CÁC PHÉP THẤU XẠ
I. Phép thấu xạ cặp:
a) Định nghĩa:
- Trong Pn cho m – phẳng (α) và (n – m – 1) – phẳng (β) bù nhau, tức là
ta bảo α và β là (m, n – m – 1) – cặp.
- Cho f là một phép biến đổi xạ ảnh của Pn , ta nói f là thấu xạ cặp ( thấu xạ (m,n –
m – 1) – cặp ) với (α , β) là cặp nền nếu f giữ bất động mọi điểm nằm trên α và β. Tức là:
.
- Trong trường hợp m = 0 thì thấu xạ
( 0, n – 1 ) – cặp được gọi là thấu xạ tâm với tâm là α = O
và cơ sở thấu xạ là siêu phẳng β.
b) Định lý:
Cho f là thấu xạ (m,n – m – 1) – cặp nền là (α , β)
mà
khi đó tồn tại duy nhất sao cho
thì đường thẳng nối X và X’ cắt α tại A và cắt β tại B đều
có tỷ số kép của hàng 4 điểm (ABXX’) = k.
Chứng minh:
Gọi f là phép thấu xạ (m,n – m – 1) – cặp nền là (α , β) với α là cái phẳng m – chiều
(m < n) và β là cái phẳng (n – m – 1) – chiều bù với α và hai cái phẳng này chứa toàn
những điểm kép của f. Vì dim α = m nên có thể chọn trong đó m+1 điểm độc lập xạ ảnh
là . Vì dim β = n – m – 1 nên ta có thể chọn trong đó n – m điểm
độc lập xạ ảnh là . Chọn thêm một điểm E không nằm trên α
và β ( điều này có thể làm được vì α và β là hai phẳng chéo nhau ) ta được một mục tiêu
21
xạ ảnh trong Pn là . Gọi
là cơ sở nền của mục tiêu R. Đối với mục tiêu
trên thì m - phẳng α có phương trình là còn (n –
m – 1 ) – phẳng β có phương trình là . Qua phép thấu
xạ f các điểm thuộc α và β đều kép nên ta suy ra biểu thức tọa độ của f đối với mục tiêu
đã chọn có dạng :
Ma trận A của f có (m + 1) số p và có (n – m) số q trên đường chéo chính, các phần
tử khác đều bằng 0, tức:
Nếu p = q thì f là ánh xạ đồng nhất.
Nếu X và X’ là hai điểm tương ứng của f ( tức là X’ = f (X) ) với X không là điểm
kép của f. Giả sử X = (x0 :x1 :…:xm :xm+1 :….:xn ) vì X không thuộc β (do X không là
điểm kép của f ) nên trong các số x0 ,x1 ,…,xm phải có ít nhất một số khác 0 và trong các
số xm+1 ,….,xn phải có ít nhất một số khác 0 (do X không thuộc α ). Ta có X’ = (px 0 :px1 :
…:pxm :qxm+1 :….:qxn). Giả sử đường thẳng nối X và X’ cắt α tại A và cắt β tại B. Điểm
A thuộc đường thẳng XX’ nên A có tọa độ là:
, mặt khác A thuộc α nên tọa độ của A thỏa phương
trình của α.
Giả sử thì
.
22
Ta có: . Vì có ít nhất
một xj ≠0 nên , ta lấy khi đó
Tương tự đường thẳng XX’ cắt β tại B có tọa độ là
Do X = (x0 :x1 :…:xm :xm+1 :….:xn ) có xi ≠0 với 0≤ i ≤ m và xj ≠0 với m +1≤ j ≤ n nên
Ta có:
Và k ≠ 0 vì p và q đều khác 0; k ≠ 1 vì p ≠ q (do f khác ánh xạ đồng nhất). Vậy tỷ số kép
không phụ thuộc vào điểm X.
II. Phép thấu xạ đơn:
a) Định nghĩa:
- Phép biến đổi xạ ảnh được gọi là phép thấu xạ đơn
nếu có một siêu phẳng α mà mọi đểm của nó đều là điểm bất động.
- Siêu phẳng α được gọi là cơ sở nền hay nền thấu xạ.
- Nhận xét rằng phép đồng nhất là một trường hợp đặc biệt của phép thấu xạ đơn,
lúc đó siêu phẳng bất kỳ nào của P đều là cơ sở nền của phép thấu xạ.
b) Định lý:
Nếu f là một thấu xạ đơn khác phép đồng nhất thì có duy nhất một điểm bất động O
sao cho mọi đường thẳng qua O đều biến thành chính nó ( bất biến ) nhưng nói chung
không bất động ( tức là một điểm bất kỳ của đường thẳng có thể biến thành một điểm
khác cũng thuộc đường thẳng đó ) điểm đó gọi là tâm thấu xạ.
Nhận xét:
- Nếu tâm thấu xạ O không nằm trên nền thấu xạ α thì phép thấu xạ đơn chính là
phép thấu xạ tâm O và cơ sở thấu xạ là siêu phẳng α.
23
- Nếu tâm thấu xạ O thuộc siêu phẳng α thì thấu xạ f được gọi là thấu xạ đơn đặc
biệt.
Chứng minh:
- Giả sử f là phép thấu xạ đơn, khác phép đồng nhất và có cơ sở nền là α. Do α là
siêu phẳng nên có thể chọn trong α hệ n điểm độc lập xạ ảnh là và
có các vectơ đại diện là . Gọi d là đường thẳng bất kỳ không nằm trong α
và cắt α tại A. Lấy ta có và A0 , A, A0’ thẳng hàng. Ta có
thể tìm được các vectơ e0 , a, e’0 là đại diện cho A0 , A, A0’ mà e’0 = e0 + a ( điều này có
thể làm được vì giả sử x, y, z là ba vectơ đại diện cho A 0 , A, A0’ thì do ba điểm A0 , A,
A0’ thẳng hàng nên có một vectơ biểu thị tuyến tính qua hai vecto còn lại, tức: z = mx +
ny, đặt e’0 = z, e0 = mx, a = ny cũng là ba vectơ đại diện cho A0’, A0, A mà e’0 = e0 + a ).
- Lấy E là điểm có vecto đại diện là e = e0 + e1 + … +en thì ta được
là mục tiêu của Pn.
Do A thuộc α nên vecto đại diện của nó biểu thị
tuyến tính qua hệ vecto , tức:
a = a1.e1 + a2.e2 + … + an.en , vậy A = (0 : a1 :
a2 : … : an ) và
A’0 = A + A0 = ( 1 : a1 : a2 : … : an ).
Xét E0 = A1+A2+…+An = (0:1:1:…:1) do các
A1, A2,….,An bất động nên E0 bất động. Gọi φ là phép biến đổi tuyến tính liên kết với f .
Do và A1, A2,….,An bất động, f(E0)=E0 nên ta có:
Ma trận của f là :
24
Nhận thấy là một điểm bất
động của f. Bây giờ chứng minh một đường thẳng d bất kỳ qua O bất động. Lấy X = ( x 0 :
x1 : x2 :….: xn ) thuộc d và
X’ = f(X) = ( k0.x0 : k0.a1.x0 + x1 : k0.a2.x0 + x2 : …. : k0.an.x0 + xn )
= X + x0.O tức là f(X) thuộc đường thẳng nối O với X ( là d ). Vậy d là đường
thẳng bất động. (đpcm)
Nhận xét:
Vậy một phép thấu xạ nào giữ bất động một siêu phẳng thì hoặc đó là thấu xạ tâm
hoặc là thấu xạ đặc biệt.
III. Các phép thấu xạ trong không gian xạ ảnh P 2 và P 3 :
1. Trong không gian P 2 :
- Thấu xạ ( 0, 1) – cặp nền là ( O ,d ) với O là một điểm và d là đường thẳng không
qua O. Với mỗi điểm đường thẳng OM cắt d tại A và nếu M’ = f(M) thì
(OAMM’) = k ( với k là một số cho trước ).
25
- Thấu xạ đơn đặc biệt có tâm O và có cơ sở nền là đường thẳng đi qua O. Nếu ta
biết một cặp điểm tương ứng M và M’ = f(M) thì ảnh N’ của điểm N được xác định :
+) O, N, N’ thẳng hàng.
+) Đường thẳng MN cắt đường thẳng M’N’ tại một điểm nằm trên d.
2. Trong không gian P 3 :
- Thấu xạ ( 0, 2 ) – cặp nền là ( O, P ) với O là một điểm, P là mặt phẳng không qua
O. Với đường thẳng OM cắt P tại A và M’ = f(M) được xác định:
+) M, M’, O, A thẳng hàng.
+) ( OAMM’ ) = k ( với k là một số cho trước ).
26
- Thấu’ xạ ( 1, 1 ) – cặp nền là ( d, d’ ) với d và d’ là 2 đường thẳng chéo nhau.
Phép thấu xạ trên được gọi là phép thấu xạ song trục với trục là d và d’ . Ảnh M’ của
điểm M không thuộc d và d’ được xác định:
+) Đường thẳng MM’ cắt d và d’ tại hai điểm A và B.
+) (ABMM’) = k ( với k là một số cho trước ).
- Thấu xạ đơn đặc biệt tâm O và có nền là mặt phẳng P chứa điểm O. Nếu biết một
cặp điểm tương ứng M và M’ = f(M) thì ảnh N’ của điểm N được xác định :
+) O, N, N’ thẳng hàng.
+) Đường thẳng MN cắt M’N’ tại một điểm nằm trên P.
27
IV. Các phép biến đổi affine sinh ra bởi các phép thấu xạ :
Ta biết rằng mỗi phép biến đổi xạ ảnh bảo tồn siêu phẳng vô tận W của P n và đều
sinh ra một phép biến đổi affine trong không gian affine An = Pn \W. Sau đây, ta xét một
vài trường hợp khi f là một phép thấu xạ nào đó.
1. Giả sử f là phép thấu xạ ( 0, n – 1 ) – cặp với nền là ( O, α ) và hệ số thấu xạ là k.
Với mỗi điểm M không là điểm bất động ( i.e
) ảnh của nó là M’ = f(M) được xác định sao cho (OAMM’) = k ( k≠0
và k≠1 ) trong đó A là giao điểm của đường thẳng OM với siêu phẳng α .
+) Nếu chọn α là siêu phẳng vô tận và xét không gian affine
An = Pn \ α thì A là điểm vô tận nên ta có tỷ số đơn
. Như vậy: . Vậy f
sinh ra phép vị tự tâm O tỷ số .
+) Nếu chọn siêu phẳng W nào đó đi qua O làm siêu phẳng vô tận thì O là điểm vô
tận nên: . Ngoài ra các đường thẳng MM’ luôn song song với
nhau ( phương l của chúng được xác định bằng phương của điểm vô tận O ). Vậy f sinh ra
trên
An = Pn \W một phép thấu xạ affine có cơ sở là W, phương thấu xạ là l, tỷ số thấu xạ là k.
2. Giả sử f là phép thấu xạ đơn đặc biệt có tâm O nằm trên nền α . Nếu lấy hai cặp
điểm M, M’ = f(M) và N, N’ = f(N) thì MM’ và NN’ đều qua O và MN giao với M’N’ tại
một điểm thuộc α . Nếu lấy α là siêu phẳng vô tận thì trong An = Pn \W ta có: MN song
song M’N’ và MM’ song song với NN’, suy ra: MM’ = NN’.
Vậy f sinh ra trong An một phép tịnh tiến.
V. Bài tập:
Bài 1: Trong P2 cho biến đổi xạ ảnh có biểu thức tọa độ:
Chứng minh f là phép thấu xạ tâm. Tìm tâm, nền , tỷ số thấu xạ.
28
Giải:
Tìm các điểm kép của f:
- Phương trình tìm các điểm kép của f là:
Xét
Ta có hai giá trị riêng là λ = 2 và λ = - 1(bội 2).
- Với λ = 2 thay vào (1) ta được:
Vậy ta có điểm kép là: A = (1: 1: 1).
- Với λ = -1 thay vào (1) ta được:
Vậy tập hợp các điểm kép lập thành một đường thẳng
có phương trình . Nhận xét A không thuộc d nên f là thấu xạ tâm A và
có nền là đường thẳng .
Tính tỷ số thấu xạ k:
Lấy B = (1: 0 : -1) thuộc d. Lấy C = A + B = (2: 1 : 0) thì f(C) = D = (1: 2: 3) thì k =
(ABCD) =
Bài 2: Trong P2 cho mục tiêu . Viết biểu thức tọa độ của phép thấu xạ
f : P2 → P2 trong các trường hợp sau:
a) f là thấu xạ tâm, có tâm là điểm S0 = (1: 0: 0), trục thấu xạ là đường thẳng S1S2 , tỷ
số thấu xạ k.
29
b) f là thấu xạ tâm, có tâm là điểm E = (1: 1: 1), trục là đường thẳng
tỷ số thấu xạ là k = 2.
c) f là thấu xạ đặc biệt, có trục là đường thẳng tâm là điểm S =
(1: 0: 1), biến điểm E = (1: 1:1) thành điểm E’ = (2: 1: 2).
Giải:
Gọi e0 , e1 , e2 , e lần lượt là các vecto đại diện cho S0 , S1 , S2 , S và φ là phép biến đổi
tuyến tính liên kết với f.
a) Lấy G = S1 + S2 = (0: 1: 1) thuộc S1S2 thì E = S0 + G. Đặt E’ = f(E) thì E’ thuộc
S0E tức E’ = a.S0 + b.E = (a+b : b: b) và gọi e’ là vecto đại diện cho E’. Do f là thấu xạ
đơn nên (S0GEE’) = k.
Ta có:
Chọn b = 1 thì a+b = k. Suy ra:
E’ = (k: 1: 1).
Ta có: f(S0)=S0 , f(S1)=S1 , f(S2)=S2
, f(E)=E’ nên suy ra:
Chọn l = 1 thì l0 = k , l1 = l2 =1. Suy ra ma trận của f
là:
.
Biểu thức của f là:
30
b) Lấy A = (1: 0: -1) , B = (1: 1: -2) và D =B - A = (0: 1: -1) thuộc đường thẳng d.
Lấy X = E + D = (1: 2: 0) và X’ = f(X) thì X’ thuộc đường thẳng ED tức X’ = a.E+b.D =
(a: a+b: a-b).
Lúc đó: m=e0–e2 là vecto đại diện cho A; n=e0+e1–2e2 là vecto đại diện cho B; p=e1–e2 là
vecto đại diện cho D; x=e0+2e1 là vecto đại diện cho X, x’=ae0+(a+b)e1+(a-b)e2 là vecto
đại diện cho X’.
Do f là phép thấu xạ tâm với tỷ số k nên: (EDXX’) = k.
Ta có:
Chọn b = 1 thì a = k , lúc đó: X’ = (k: k+1: k-1).
Ta có: f(A)=A, f(B)=B, f(E)=E, f(X)=X’ suy ra:
Ta có:
Lúc đó:
31
Biểu thức của f là:
Thay k=2 ta có:
c) Ta có: E = (1: 1: 1) và E’ = f(E) = (2: 1: 2), tâm là S = (1: 0: 1). Xét S 0 = (1: 0: 0)
thì S0 không thuộc và S0 không thuộc đường thẳng EE’ vì tọa độ của
đường thẳng EE’ là: . Tọa
độ của đường thẳng ES0 là , gọi A
là giao điểm của ES0 với suy ra: A = (0: 1:
1).
Tọa độ của đường thẳng SS0 là: . Tọa
độ của đường thẳng AE’ là: , Gọi
S’0 = f(S0) thì S’0 là giao điểm của SS0 với
AE’ suy ra S’0 = (2: 0: 1).
Lấy B = (1: 1: 2) và C = (1: -1: 0) thuộc , ta
có:
f(B) = B, f(C) = C, f(E) = E’, f(S0) = S’0
32
Tacó:
Ta có: Vậy biểu thức của f là:
Bài 3: Chứng minh rằng trong P2 một phép biến đổi xạ ảnh f có 3 điểm bất động thẳng
hàng là một phép thấu xạ tâm hay thấu xạ đặc biệt.
Giải.
Gọi d là đường thẳng đi qua 3 điểm bất động thẳng hàng của f.
Do f bảo toàn tỉ số kép của hàng 4 điểm; nên lấy điểm M bất kì thuộc d thì f (M) = M.
Do đó, d là đường thẳng ( đóng vai trò siêu phẳng trong P2 ) bất động đối với f.
Ta xét 3 trường hợp:
TH 1: Nếu không có điểm bất động nào của f nằm ngoài d thì f là phép thấu xạ đặc biệt
với nền là d và tâm là một điểm nằm trên d.
TH 2: Nếu có 1 điểm bất động của f nằm ngoài d thì f là phép thấu xạ tâm.
33
TH 3: Nếu có hơn 1 điểm bất động của f nằm ngoài d thì f là phép đồng nhất. Vì lấy X
bất kỳ không thuộc d và những điểm bất động ngoài d thì mọi đường thẳng qua X đều bất
động nên X là điểm kép. Khi đó có thể xem f là phép thấu xạ đặc biệt hay phép thấu xạ
tâm bất kì.
Bài 4: Trong P2 cho phép biến đổi xạ ảnh f có phương trình:
Chứng minh rằng f là một phép thấu xạ . Xác định tâm và nền của phép thấu xạ.
Giải:
Phương trình tìm điểm kép của f:
(*)
Xét
Do đó k = 1 là giá trị riêng duy nhất bội ba .
Thay k = 1 vào (*) và giải hệ tương ứng ta được:
Như vậy, d: là đường thẳng chứa tất cả các điểm kép của f, tức là
f (X) = X , .
Do đó, f là phép thấu xạ với nền thấu xạ là d (đpcm).
Hơn nữa, tâm O của f phải thuộc d. Nên f là thấu xạ đặc biệt.
Ta đi tìm tọa độ của tâm O.
Lấy (tùy ý). Khi đó OM là đường thẳng bất biến.
34
Chọn M = ( 0: 0: 1 ). Thay vào phương trình của f ta được :
f(M) = M’ = ( 1: -1 : -3 )
Phương trình đường thẳng MM’: x1 + x2 = 0
Khi đó: =
Bài 5: Trong P2 với mục tiêu {Ai;E} cho phép biến đổi xạ ảnh f xác định bởi:
f(A1) = A3; f(A3) = A1; f(A2) = E; f(E) = A2
a) Viết phương trình của f đối với mục tiêu đã chọn
b) Tìm các điểm kép của f
c) Chứng minh rằng f là phép thấu xạ đối hợp
Giải.
a) Viết phương trình f:
Ta có :
Gọi là AXTT liên kết của f
Gọi {e1, e2, e3}là cơ sở nền của mục tiêu đã chọn
Và e = e1+ e2,+e3. Khi đó:
(e1), (e2), (e3) lần lượt là vectơ đại diện của A3, E, A1, A2
Ta có (*)
Ta tìm k, g, h
Ta có (e) = (e1) + (e2) + (e3)
35
Từ (*) suy ra
Ma trận của f trong mục tiêu đã chọn là:
Phương trình của f :
b) Tìm điểm kép của f
Phương trình tìm điểm kép của f :
(**)
Xét = 2 (1- ) - (1- )
Do đó các giá trị riêng là = 1( bội 2 ) và = -1 ( bội 1 )
Thay = 1 vào (**) và giải hệ tương úng ta được :
36
Tập hợp các điểm kép của f là đường thằng d có phương trình
Thay =- 1 vào (**) và giải hệ tương úng ta được :
Ta có điểm kép của f là I (1:0:1)
c) Cách 1:
Cho M là một điểm tùy ý trong P2, gọi N là ảnh của M
Gọi [x] là ma trận tọa độ của M
[x’] là ma trận tọa độ của N
Theo đề bài [x’] = M [ x]
[x] = M-1 [ x’] = M [x’] ( Vì M-1 = M )
Suy ra M là ành của N
Do đó f là phép thấu xạ đối hợp.
Cách 2:
Ta thấy f là phép thấu xạ tâm với tâm thấu xạ là điểm I (1:0:1)
và trục thấu xạ là đường thẳng d :
Lấy A (1:2:0 ) thì và
A’ = f (A) = (2:2:1)
Khi đó
Ta có nên
37
Do đó f có hệ số thấu xạ là -1. Nên f là phép thấu xạ đối hợp.
Bài 6: Trong P2 cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt M, M’ không thuộc d.
Chứng minh rằng:
a) Có một phép thấu xạ đặc biệt duy nhất f của P2 nhận d làm nền thấu xạ và biến M
thành M’. Hãy dựng ảnh của một điểm bất kì N qua f.
b) Cho tùy ý một số k khác 0. CMR có một và chỉ một phép thấu xạ tâm f của P2
nhận d làm nền thấu xạ, k là hễ số thấu xạ và biến thành M thành M’. Hãy dựng
ảnh của một điểm bất kì N qua f.
Giải :
a) Gọi . Ta xây dựng một phép biến đổi xạ ảnh như sau :
Lấy
Xét:
+ f là phép biến đổi xạ ảnh giữ bất động đường thẳng d.
+ Mặt khác, : X, f(X), S thẳng hàng hay f giữ bất biến mọi đường
thẳng qua S.
Suy ra f là phép thấu xạ đặc biệt tâm S, nền là đường thẳng d..
* Sự duy nhất :
F được xây dựng như trên là duy nhất vì không phụ thuộc vào điểm X; tức là với
điểm X bất kì đều cho ta cùng một kết quả xây dựng .
Điểm là xác định duy nhất.
Vậy tồn tại duy nhất phép thấu xạ đặc biệt f nhận d làm nền và biến M thành M’.
38
* Dựng ảnh của N qua f:
Cách dựng:
TA được N’ là điểm cần dựng.
X0
Chứng minh:
Ta có:
Do M, N, X0 thẳng hang nên M’, f (N), X0 thẳng hang ( Do f bảo toàn 3 điểm thẳng
hàng ).
Do f giữ bất biến mọi đường thẳng qua S nên N, f (N), S thẳng hàng.
Vậy là điểm cần dựng.
b) Ta xây dựng tương tự câu a.
* Dựng ảnh của N qua f:
Dựng A xác định duy nhất sao cho (ASMM’) = k
39
X0
Bài 7: Trong P1 cho thấu xạ cặp f với cơ sở (P,Q) có ma trận biểu diễn trong một mục tiêu
nào đó là . Hãy tính hệ số thấu xạ k.
Giải:
Gọi {A0,A1,E} là mục tiêu của P1 mà trong đó ma trận của f là .
Gọi ta có:
do P , Q bất động nên ta có:
. Đặt ta được:
. Do P và Q phân biệt nên α ≠ β. Vậy α và β
là hai nghiệm của phương trình .
40
Gọi A’0 = f(A0) = (a:c) và do P và Q phân biệt nên
thì hệ số thấu xạ là:
Đặt
Ta có:
Ta có:
Vậy k và là nghiệm của phương trình
41
Danh sách sinh viên nhóm 3:
1) Đinh Văn Dương. ( Nhóm trưởng )
2) Trần Tuấn Anh.
3) Cao Văn Hoàng.
4) Huỳnh Phương Nam.
5) Lư Tấn Cường.
6) Lê Khắc Hiếu.
7) Bùi Thị Thanh An.
8) Đỗ Hồng Hiệp.
9) Nguyễn Hoàng Khôi.
10) Võ Thanh Hải.
11) Phạm Nguyễn Trà My.
12) Trần Huỳnh Thảo Ly.
13) Lưu Quốc Anh.
14) Lương Hoàng Khương.
15) Hà Thị Nguyệt.
16) Nguyễn Văn Hào.
17) Nguyễn Hữu Lợi. (K33.101.062)
42
