7/27/2019 hipb-fv

1/3

Hiperbolikus fuggvenyek es inverzeik

A szinuszhiperbolikusz-fuggveny

sh x :=ex ex

2(x R)

A sh fuggveny tulajdonsagai:paratlan [sh x = sh (x) (x R)];derivalhato R-en, es

sh x = ch x (x R),sh 0 = ch 0 = 1;

az R-en;konvex (0, +), konkav (, 0)-n;lim+

sh = +, lim

sh = ,Rsh = R;

y = x

x

y

A koszinuszhiperbolikusz-fuggveny

ch x :=ex + ex

2(x R)

A ch fuggveny tulajdonsagai:paros [ch x = ch (x) > 0 (x R)];derivalhato R-en, es

ch x = sh x (x R),ch 0 = sh 0 = 0;

(, 0)-n, (0, +)-n;konvex R-en;

lim+

ch = +, lim

ch = +,Rch = [1, +);

y = x1

x

y

A trigonometrikus fuggvenyek nevere utalast indokoljak az alabbi azonossagok.Tetel. Fennallnak a kovetkezo egyenlosegek:

(a) sh (x + y) = sh x ch y + ch x sh y (x, y R),(b) ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y (x, y R)

(addci os formulak),

(c) ch2x sh2x = 1 (x R)(negyzetes osszefugges).Bizonytas. Behelyettestessel

A hiperbolikus fuggvenyekre vonatkozo negyzetes osszefugges geometriai tartalma a kovetkezo:Minden t R valos szam eseten a (ch t, sh t) R2 pontok rajta vannak az x2 y2 = 1 (x > 0)egyenletu hiperbolaagon. A fuggvenyek neveben szereplo hiperbolikus jelzo erre a geometriai

kapcsolatra utal.

10

(ch t, sh t)

x

y

A trigonometrikus esethez hasonloan az (a), (b) es (c)-bol tovabbi azonossagok nyerhetok.Peldaul:

sh 2x = 2sh x ch x, sh x sh y = 2 sh x y2 ch x y2 (x, y R).Megjegyzes. A ch fuggveny kepet lancgorbenek is nevezik, mert egy homogen, hajlekony,nyulasmentes, ket vegen felfuggesztett fonal (lanc) ilyen alakot vesz fel.

1

7/27/2019 hipb-fv

2/3

Az area szinuszhiperbolikusz-fuggveny

Mivel a sh fuggveny szigoruan monotonnovo R-en, ezert invertalhato:

arsh := sh 1

Az arsh fuggveny tulajdonsagai:Darsh = Rsh = R, Rarsh = Dsh = R;paratlan [arsh x = arsh(x) (x R)];derivalhato R-en, es

arsh x =1

1 + x2(x R);

R-en;konkav (0, +)-en, konvex (, 0)-n;lim+

arsh = +, lim

arsh = ,az ln fuggvennyel gy fejezheto ki:

arsh x = ln(x +

x

2

+ 1) (x R

)

y = x

x

y

Az area koszinuszhiperbolikusz-fuggveny

A ch fuggveny nem, de peldaul az R+0 -ra valoleszuktese mar invertalhato. Legyen

arch := (ch|R+0

)1

Az arch fuggveny tulajdonsagai:Darch = [1, +), Rarch = [0, +);derivalhato (1, +)-en, es

arch x =1

x2 1 (x (1, +)); [1, +)-en;konkav [1, +)-en;lim+

arch = +;az ln fuggvennyel gy fejezheto ki:

arch x = ln(x + x2

1) (x [1, +))

e

y = x

x

y

Tetel. Az arsh fuggveny deriv alhato azR-en, es

arsh x = 11 + x2

(x R).

Bizonytas. Mivel a sh fuggveny differencialhato es sh x = ch x = 0 (x R), ezert az inverzfuggveny derivalasara vonatkozo tetel alap jan az arsh fuggveny is differencialhato, es

arsh x =1

sh (arsh x)=

1

ch (arsh x)(x R).

Legyen y := arsh x, azaz sh y = x. A negyzetes osszefugges alapjan ch y =

1 + sh 2y =

1 + x2

(y R), ezertarsh x =

1

ch y

=1

1 + x2

(x

R).

Tetel. Az arsh fuggveny az ln fuggvennyel gy fejezhet o ki:

arsh x = ln(x +

1 + x2) (x R).

Bizonytas. Legyen x R es y := arsh x, azaz x = sh y = ey ey

2. Bevezetve a t := ey jelolest t-re

a t2 2tx 1 = 0 masodfoku egyenletet kapjuk. Mivel t > 0, ezert t = ey = x + x2 + 1, azazy = arsh x = ln(x +

x2 + 1 (x R).

Az arch fuggvenyre vonatkozo analog alltasok hasonloan igazolhatok.

2

7/27/2019 hipb-fv

3/3

A tangenshiperbolikusz-fuggveny

th x :=sh x

ch x=

ex exex + ex

(x R)

A th fuggveny tulajdonsagai:

Dth = R;

paratlan [th x = th (x) (x R)];derivalhato az R-en, es

th x =1

ch2 x> 0 (x R),

th 0 = 1;

az R-en;konvex (, 0)-n, konkav (0, +)-n;lim

th = 1, lim+

th = 1;

Rth = (1, 1);

y = x

x

y

1

1

A kotangenshiperbolikusz-fuggveny

cth x :=ch x

sh x=

ex + ex

ex ex (x R \ {0})

A cth fuggveny tulajdonsagai:

Dcth = R

\ {0}

;

paratlan ;

derivalhato az R \ {0}-n, escth x = 1

sh2 x(x R \ {0});

(, 0)-n, (0, +)-n;konkav (, 0)-n, konvex (0, +)-n;lim

cth = 1, lim00

cth = ,lim+

cth = 1, lim0+0

cth = +,Rcth = (,1) (1, +);

1

1

x

y

Az area tangenshiperbolikusz-fuggveny

Mivel a th fuggveny szigoruan monoton novoR-en, ezert invertalhato. Legyen

arth := th1

A arth fuggveny tulajdonsagai:Darth = Rth = (1, 1), Rarth = Dth = R;paratlan;

derivalhato (1, 1)-en, esarth x =

1

1 x2 (x (1, 1)),arth 0 = 1;

az R-en;konkav (

1, 0)-n, konvex (0, 1)-en,

lim1+0 arth = , lim10 arth = +,arth x =

1

2 ln 1 + x

1 x (x (1, 1));

y = x

x

y

11

Az area kotangenshiperbolikusz-fuggveny

A cth fuggveny invertalhato.Legyen

arcth := cth1

A arcth fuggveny tulajdonsagai:Darcth = Rcth, Rarcth = Dcth;paratlan;

derivalhato, es

arcth x =1

1 x2 (|x| > 1); (,1)-en, (1, +)-en;konkav (,1)-en, konvex (1, +)-n;lim

arcth = 0, lim10

arcth =

,

lim+

arcth = 0, lim1+0

arth = +,

arcth x =1

2 ln x + 1

x 1 (|x| > 1);

x

y

11

3