Hipercuadrice intr-un spatiu a�n euclidian. Invarianti a�ni si izometrici.Conice in E2. Clasi�carea izometrica a conicelor.

Hipercuadrice in spatii a�ne euclidiene. Clasi�careametrica a conicelor.

Oana Constantinescu

Oana Constantinescu Hipercuadrice in spatii a�ne euclidiene. Clasi�carea metrica a conicelor.

1 Hipercuadrice intr-un spatiu a�n euclidian. Invarianti a�ni si

izometrici.

2 Conice in E2. Clasi�carea izometrica a conicelor.

De�nitia hipercuadricei

Cadrul de lucru pentru prima parte a cursului este un K−spatiu a�n

n-dimensional A =(X ,−→X ,Φ

), K-corp comutativ cu CarK 6= 2.

De�nition

O submultime Γ ⊂ X se numeste hipercuadrica in A (sau

hipercuadrica a�na) daca Γ este locul geometric al punctelor

M ∈ X ale caror coordonate (x1, x2, · · · , xn) in raport cu un reper

cartezian R = {O; e1, · · · , en} veri�ca o ecuatie de tipul

H(M) := H(x1, · · · , xn) :=n∑

i=1

n∑j=1

aijxix j + 2

n∑i=1

ai0xi + a00 = 0,

(1)

unde coe�cientii aij ∈ K, i , j ∈ 1, n nu sunt toti nuli si

aij = aji , ∀i , j ∈ 1, n.

Ecuatia de gradul al II-lea (1) se numeste ecuatia hipercuadricei

a�ne in raport cu R.

De�nitia hipercuadricei a�neAltfel zis, o hipercuadrica este nucleul unei forme patratice a�ne

H : X → K,

H(M) = h(−−→OM) + f (

−−→OM) + a00, ∀M ∈ X ,

unde h :−→X → K este forma patratica ce se exprima in raport cu baza

reperului R prin

h(−−→OM) =

n∑i=1

n∑j=1

aijxix j

si f :−→X → K este forma liniara de�nita in raport cu baza {e1, · · · , en}

prin

f (−−→OM) =

n∑i=1

ai0xi .

Pentru simplitatea scrierii vom folosi notatia matriceala.Consideram A = (aij), matricea simetrica de ordinul n cu coe�cienti in K,A 6= On, B = (a10 · · · an0) ∈M1,n(K) si X =t (x1 · · · xn) ∈Mn,1(K)matricea coloana a coordonatelor unui punct arbitrar M ∈ X . Deci

M ∈ Γ⇔ H(X ) :=t XAX + 2BX + a00 = 0. (2)

Theorem

Proprietatea unei submultimi Γ ⊂ X de a � hipercuadrica a�na nu

depinde de reperul cartezian in raport cu care i se da ecuatia.

Intr-adevar, �e R′ ={O ′; f1, · · · , fn

}un alt reper cartezian in X .

Schimbarea de repere induce schimbarea de coordonate

X = SX ′ + S0, (3)

unde X ′ si X sunt matricele coloane ale coordonatele aceluiasi punct inraport cu R′, respectiv R, S este matricea de trecere de la baza reperuluiR la baza reperului R′ iar S0 este matricea coloana a coordonatelor luiO ′ in raport cu reperul R.Atunci, in raport cu R′, Γ are ecuatia

tX ′A′X ′ + 2B ′X ′ + a′00

= 0,

unde

A′ = tSAS , (4)

B ′ = tS0AS + BS ,

a′00

= H(S0).

Rezulta ca A′ 6= On si este simetrica.

Invarianti a�ni ai unei hipercuadrice

Fie matricea D =

(A tB

B a00

)∈Mn+1(K).

Notam detA = δ si detD = ∆. Folosind relatiile (4) se

demonstreaza:

Theorem

Rangurile matricelor A si D nu se schimba la schimbari de repere

carteziene. Daca δ 6= 0 atunci si ∆δ ramane acelasi la o schimbare de

repere carteziene.

De�nitions

Numim rangA := r rangul formei patratice h asociata formei patraticea�ne H si rangD := ρ rangul lui H sau rangul hipercuadricei Γ.Datorita teoremei anterioare spunem ca r , ρ si ∆

δ sunt invarianti a�ni aihipercuadricei Γ.O hipercuadrica se numeste degenerata daca rangH = rangD ≤ 2.

Invarianti ortogonali (izometrici)

Consideram acum ca studiem hipercuadricele unui spatiu a�n

euclidian E =(E ,−→E ,Φ

)si reperele carteziene in raport cu care

dam ecuatiile unei hipercuadrice sunt ortonormate.

Amintim ca doua hipercuadrice sunt congruente daca exista o

izometrie care transforma prima hipercuadrica in cea de a doua. Ne

intereseaza ce marimi (proprietati) raman invariante in aceeasi clasa

de echivalenta relativ la relatia de congruenta pe multimea

hipercuadricelor unui spatiu a�n euclidian.

Sau, altfel spus, ce marimi raman neschimbate la o schimbare de

repere ortonormate. Aceste marimi le vom numi invarianti

ortogonali sau izometrici ai unei hipercuadrice.

In cazul schimbarii de repere ortonormate matricea S a schimbarii

de baza este ortogonala, S ∈ O(n)⇔t S = S−1. Deci detS = ±1.Folosind aceste rezultate se demosntreaza ca δ si ∆ nu se schimba

la schimbarea de repere ortonormate.

Invarianti ortogonali

Mai mult, din (4) rezulta ca matricile A si A′ sunt asemenea, deci

au acelasi polinom caracteristic.Amintim ca polinomul caracteristic al unei matrice A ∈Mn(R)se scrie

p(λ) = det (A− λIn) = (−1)n`λn − δ1λ

n−1 + δ2λn−2 − · · · + (−1)nδn

´, (5)

unde δk este suma minorilor diagonali de ordinul k ai lui A,

k ∈ 1, n. In particular

δ1 = TraceA := I este urma matricei A iar δn = δ = detA.

Theorem

Coe�cientii polinomului caracteristic al matricei A (in particular I ,

δ) si ∆ = detD nu se schimba la o schimbare de repere

ortonormate, deci sunt invarianti ortogonali ai hipercuadricei.

Conice in E2

Cadrul de lucru al acestei sectiuni este un spatiu a�n euclidian de

dimensiune 2. O hipercuadrica in E2 se numeste conica.

Fie Γ o conica ce are in raport cu reperul ortonormat R ={O; i , j

}ecuatia:

Γ : H(x , y) := a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a10x + 2a20y + a00 = 0.(6)

Amintim ca A =

(a11 a12a21 a22

)∈ S2(R), B = (a10 a20),

D =

a11 a12 a10a21 a22 a20a10 a20 a00

∈ S3(R).

Mai mult, am demonstrat ca I := TraceA = a11 + a22,

δ = detA = a11a22 − a212 si ∆ = detD sunt invarianti ortogonali ai

conicei.

Invariant centro-ortogonal

Pe langa invariantii ortogonali amintiti deja mai introducem si un

invariant centro-ortogonal.

Proposition

Numarul real ∆1 =

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣+

∣∣∣∣ a11 a10a10 a00

∣∣∣∣+

∣∣∣∣ a22 a20a20 a00

∣∣∣∣,adica suma minorilor diagonali de ordinul 2 ai lui D, este un

invariant centro-ortogonal al lui Γ, adica ramane neschimbat la o

rotatie de repere carteziene ortonormate. Daca in plus δ = ∆ = 0,

atunci ∆1 este chiar un invariant ortogonal al conicei.

In continuare vom clasi�ca conicele spatiului a�n euclidian E2 in

functie de invariantii ortogonali si centro-ortogonali introdusi.

Teorema de clasi�care izometrica a conicelor

Nr. δ ∆ I∆ ∆1 Genul conicei Tipul conicei Denumirea

conicei

1 >0 6= 0 <0 eliptic nedegenerat elipsa

2 >0 6= 0 >0 eliptic nedegenerat elipsa

imaginara

3 >0 0 eliptic degenerat punct dublu

4 <0 6= 0 hiperbolic nedegenerat hiperbola

5 <0 0 hiperbolic degenerat drepte con-

curente

6 0 6= 0 parabolic nedegenerat parabola

7 0 0 <0 parabolic degenerat drepte

paralele

8 0 0 0 parabolic degenerat dreapta

dubla

9 0 0 >0 parabolic degenerat drepte

imaginare

paralele

In cazul δ 6= 0 observam ca obtinem conice cu centru unic de

simetrie si reperul canonic este format din:

originea este centrul de simetrie C

axele reperului sunt axele de simetrie, mai exact sunt drepte ce

trec prin C si au ca vectori directori vectori proprii ai lui A.

Ecuatia conicei in raport cu reperul canonic este

λ1(x ′′)2 + λ2(y ′′)2 +∆

δ= 0, (7)

cu λ1, λ2 cele doua valori proprii nenule ale lui A.

In cazul δ = 0 conica �e nu are centru de simetrie, �e are o

in�nitate de centre de simetrie (cazul dreptelor paralele sau dreptei

duble).Daca δ = 0 si ∆ 6= 0 se obtine o parabola, de ecuatie canonica

(y ′′)2 ± 2px ′′ = 0, p =

√−∆

I 3.

Reperul canonic este dat de:

originea este varful parabolei V

Vx ′′ este axa de simetrie a parabolei; ea trece prin V si are ca

vector normal vectorul propriu al lui A corespunzator valorii

proprii nenule. Cealalta axa e perpendiculara in V pe Vx ′′ saueste tangenta in V la parabola.

In continuare vom exempli�ca ideea de demonstratie a teoremei de

clasi�care a conicelor, pentru cazul in care se obtin conice

nedegenerate.

Exemple

(1) In raport cu reperul ortonormat R ={O; i , j

}se da conica

Γ : 5x2 + 4xy + 8y2 − 32x − 56y + 80 = 0.

Aduceti aceasta conica la forma canonica si reprezentati-o gra�c.

Calculam invariantii ortogonali necesari determinarii conicei.

Avem A =

(5 2

2 8

), deci I = 13 si δ = 36. De asemenea

D =

5 2 −162 8 −28−16 −28 80

, deci ∆ = −1296. Deoarece δ > 0 si

I∆ < 0, rezulta ca Γ este o elipsa.

Polinomul caracteristic al lui A este

p(λ) = λ2 − Iλ+ δ = λ2 − 13λ+ 36, deci valorile proprii ale lui A

sunt λ1 = 4 si λ2 = 9.

Determinam acum directiile principale ale conicei, adica vectorii

proprii corespunzatori celor doua valori proprii. Rezolvand sistemul

scris matricial (A− 4I2)U = O, unde U =

(l

m

)6=(

0

0

)contine coordonatele unui vector propriu al lui A corespunzator lui

λ1, obtinem U(4) ={u = −2αi + αj | α ∈ R

}. Alegem

i ′ =√55

(2i − j). Stim ca vectorii proprii corespunzatori unor valori

proprii distincte ale unei matrice simetrice sunt ortogonali, de aceea

putem alege direct j ′ =√55

(i + 2j) un vector propriu corespunzator

lui λ2 = 9.

Baza reperului canonic este deci{i ′, j ′

}.

Facem rotatia de repere R ={O; i , j

}→ R′ =

{O; i ′, j ′

}, ce

determina schimbarea de coordonate

X =

√5

5

(2 1

−1 2

)X ′ ⇔

{x =

√55

(2x ′ + y ′),

y =√55

(−x ′ + 2y ′).(8)

Astfel, inlocuind pe x , y in functie de x ′, y ′ in ecuatia initiala a

conicei, obtinem ca ecuatia conicei in raport cu R′ este

4(x ′)2 + 9(y ′)2 − 8√5

5x ′ − 144

√5

5y ′ + 80 = 0⇔

4

(x ′ −

√5

5

)2

+ 9

(y ′ − 8

√5

5

)2

− 36 = 0.

Facem translatia de repere R′ ={O; i ′, j ′

}→ R′′ =

{C ; i ′, j ′

},{

x ′′ = x ′ −√55,

y ′′ = y ′ − 8√5

5.

(9)

In raport cu reperul canonic R′′ ={C ; i ′, j ′

}elipsa are ecuatia

(x ′′)2

9+

(y ′′)2

4− 1 = 0 (10)

Pentru a reprezenta gra�c aceasta elipsa, in sistemul de axe

ortogonale (xOy) asociate reperului R, vom determina

coordonatele lui C si ecuatiile axelor reperului canonic in raport cu

reperul initial R.Astfel, centrul de simetrie al elipsei are, in raport cu R′′,coordonatele x ′′C = y ′′C = 0. Folosind formulele schimbarilor de

coordonate (9) si (8), obtinem x ′C =√55, y ′C = 8

√5

5si in �nal

xC = 2 si yC = 3. Astfel, am obtinut C (2, 3) in raport cu R.In cursurile urmatoare vom a�a si alta metoda de determinare a

centrului de simetrie al unei conice.

Axele reperului canonic au, in raport cu R′′, ecuatiile Cx ′′ : y ′′ = 0

si Cy ′′ : x ′′ = 0. Putem folosi aceleasi formule (9), (8) pentru a

obtine ecuatiile acestora in raport cu reperul initial sau, mai simplu,

observam ca Cx ′′ trece prin C si are ca vector director vectorul

propriu i ′, iar Cy ′′ trece prin C si are ca vector director pe j ′.Obtinem

Cx ′′ : x + 2y − 8 = 0, Cy ′′ : 2x − y − 1 = 0.

Pentru o reprezentare gra�ca cat mai riguroasa, putem sa ne

folosim si de intersectiile elipsei cu axele reperului initial, Ox si Oy .

Obtinem Γ ∩ Oy = {P(0, 2), Q(0, 5)} si Γ ∩ Ox = ∅.

De asemenea, elipsa are varfurile A(3, 0), A′(−3, 0) si B(0, 2),B ′(0,−2), in raport cu R′′. Folosindu-ne de cele doua schimbari de

coordonate succesive, calculam xA = 2 + 6√5

5si yA = 3− 3

√5

5.

Analog procedam cu celelalte trei varfuri ale elipsei.

De asemenea, focarele elipsei au in raport cu reperul canonic

coordonatele x ′′F =√5, y ′′F = 0 si x ′′F ′ = −

√5, y ′′F ′ = 0, iar in

raport cu reperul initial obtinem F (4, 2) si F ′(0, 4).

Reprezentarea gra�ca a elipsei

(2) In raport cu reperul ortonormat R ={O; i , j

}se da conica

Γ : 6xy + 8y2 − 12x − 26y + 11 = 0.

Aduceti aceasta conica la forma canonica si reprezentati-o gra�c.

Determinam A =

(0 3

3 8

)si D =

0 3 −63 8 −13−6 −13 11

, deci

I = 8, δ = −9, ∆ = 81. Deoarece δ < 0 si ∆ 6= 0 rezulta ca Γ este

o hiperbola.

Polinomul caracteristic al lui A este p(λ) = λ2 − 8λ− 9, deci

λ1 = −1 si λ2 = 9 sunt valorile proprii ale lui A.

Ca si in exemplul precedent determinam subspatiul liniar al

vectorilor proprii corespunzatori lui λ1 = −1,U(−1) =

{−3αi + αj | α ∈ R

}si alegem i ′ =

√1010

(3i − j). Fie

j ′ =√1010

(i + 3j) ⊥ i ′ un vector propriu corespunzator lui λ2 = 9.

Facem rotatia de repere R ={O; i , j

}→ R′ =

{O; i ′, j ′

}, ce

determina schimbarea de coordonate

X =

√10

10

(3 1

−1 3

)X ′ ⇔

{x =

√1010

(3x ′ + y ′),

y =√1010

(−x ′ + 3y ′).(11)

In raport cu R′, hiperbola are ecuatia

−(x ′)2 + 9(y ′)2 −√10x ′ − 9

√10y ′ + 11 = 0⇔

−

(x ′ +

√10

2

)2

+ 9

(y ′ −

√10

2

)2

− 9 = 0.

Consideram acum translatia de repere

R′ ={O; i ′, j ′

}→ R′′ =

{C ; i ′, j ′

},{

x ′′ = x ′ +√102,

y ′′ = y ′ −√102.

(12)

In raport cu reperul canonic R′′ ={C ; i ′, j ′

}hiperbola are ecuatia

−(x ′′)2

9+

(y ′′)2

1− 1 = 0 (13)

Observam ca hiperbola are focarele si varfurile pe axa Cy ′′.Procedand ca in exemplul anterior, folosindu-ne de formulele (11),

(12), obtinem centrul de simetrie al hiperbolei C (−1, 2) in raport

cu R.

Axele reperului canonic sunt Cx ′′ = C + [i ′] si Cy ′′ = C + [j ′′], deecuatii

Cx ′′ : x + 3y − 5 = 0, Cy ′′ : 3x − y + 5 = 0.

Asimptotele hiperbolei au, in raport cu reperul R′′, ecuatiilea1 : y ′′ = 1

3x ′′ si a2 : y ′′ = −1

3x ′′. Aplicand formulele schimbarilor

de repere obtinem

a1 : y = 2, a2 : 3x + 4y − 5 = 0.

Intersectiile hiperbolei cu axele Ox , Oy sunt Γ ∩ Ox ={P(11

12, 0)}

si Γ ∩ Oy ={Q(0, 11

4), R(0, 1

2)}.

Varfurile hiperbolei, in raport cu reperul canonic R′′, aucoordonatele A(0, 1) si A′(0,−1). Pentru o reprezentare gra�ca

riguroasa determinati coordonatele acestora in raport cu reperul

initial R. De asemenea focarele hiperbolei au, in raport cu reperul

initial, coordonatele F (0, 5) si F ′(−2,−1).

Reprezentare gra�ca a hiperbolei

(3) In raport cu reperul ortonormat R ={O; i , j

}se da conica

Γ : 9x2 − 6xy + y2 + 20x = 0.

Aduceti aceasta conica la forma canonica si reprezentati-o gra�c.

A =

(9 −3−3 1

)si D =

9 −3 10

−3 1 0

10 0 0

. Rezulta ca I = 10.

δ = 0, ∆ = −100. Deoarece δ = 0 si ∆ 6= 0, Γ este o parabola.

Valorile proprii ale lui A sunt λ1 = 0 si λ2 = 10.

Determinam U(0) ={αi + 3αj | α ∈ R

}si alegem de exemplu

i ′ =√1010

(i + 3j) si j ′ =√1010

(−3i + j) ⊥ i ′.

Rotatia de repere ortonormate

R ={O; i , j

}→ R′ =

{O; i ′, j ′

}determina schimbarea de

coordonate

X =

√10

10

(1 −33 1

)X ′ ⇔

{x =

√1010

(x ′ − 3y ′),

y =√1010

(−3x ′ + y ′).(14)

In raport cu R′, parabola are ecuatia

(y ′)2 +2√10

10x ′ − 6

√10

10y ′ = 0⇔

(y ′ − 3

√10

10

)2

+2√10

10x ′ − 9

10= 0⇔

(y ′ − 3

√10

10

)2

+2√10

10

(x ′ − 9

√10

20

)= 0.

Consideram acum translatia de repere

R′ ={O; i ′, j ′

}→ R′′ =

{V ; i ′, j ′

},{

x ′′ = x ′ − 9√10

20,

y ′′ = y ′ − 3√10

10.

(15)

In raport cu reperul canonic R′′ ={V ; i ′, j ′

}parabola are ecuatia

(y ′′)2 +2√10

10x ′′ = 0.

Reamintim ca parabola nu are centru de simetrie, iar originea

reperului canonic este varful parabolei. Acesta are in raport cu R′′coordonatele x ′′V = y ′′V = 0, iar din (14) si (15) obtinem xV = − 9

20

si yV = 3320. Deci V (− 9

20, 3320

) in raport cu reperul initial.

Vx ′′ = V + [i ′], deci Vx ′′ : 3x − y + 3 = 0. Sau putem considera

ca Vx ′′ trece prin V si are ca vector normal j ′.Vy ′′ = V + [j ′], sau e perpendiculara pe Vx ′′ in V . Obtinem

Vy ′′ : x + 3y − 92

= 0.

Determinam si Γ ∩ Ox ={O,P(−20

9, 0)}si Γ taie Oy in punctul

dublu O. Deci parabola este tangenta axei Oy in O.

Focarul parabolei are coordonatele F (−√1020, 0) in raport cu reperul

canonic si F (−12, 32

) in raport cu reperul R. Ecuatia directoarei in

raport cu reperul canonic este d : x ′′ =√1020

, iar in raport cu

reperul initial avem d : x + 3y − 5 = 0.

Reprezentarea gra�ca a parabolei