PIOTR ŁUKOWSKI Uniwersytet Łódzki Katedra Logiki i Metodologii Nauk Hipoteza jod Przez wieki nieskończoność funkcjonowała w matematyce jako wartość potencjalna. Nieskończoność aktualna nie była znana. Wraz z pojawieniem się nieskończoności aktualnych, a zwłaszcza mnogości tych nieskończoności, okazało się możliwym rozważenie nieskończenie małych wielkości genero- wanych przez te nieskończoności. Można wręcz zaryzykować stwierdzenie, że istnienie nieskończonej ilości różnych, nieskończenie małych wielkości jest prostą konsekwencją istnienia nieskończenie wielu, różnych liczb nieskoń- czonych. W pracy została podjęta próba rozróżnienia nieskończonej ilości wartości potencjalnie zerowych, ktÓre dotychczas kryją się pod postacią jednej aktualnej wartości zera. Tradycyjnie, to jedno aktualne zero jest rozumiane jako odwrotność wszystkich liczb nieskończonych. Jednak każda liczba nieskończona jest różna od pozostałych, co oznacza, że odwrotności każdej z tych liczb winna odpowiadać inna, nieskończenie mała liczba. Idea niezerowych odwrotności liczb nieskończonych nie jest nowa. Pojawiła się wraz z teorią liczb nadrzeczywistych (ang. hyperreal numbers) będących ważnym, właściwym podzbiorem zbioru liczb surrealnych (ang. surreal numbers)!. Tak więc wydaje się, że nieskończona klasa wartości nieskoń- czonych powinna wymagać swoistego odpowiednika w postaci również nieskończonej klasy wartości odpowiadających ich odwrotnościom, czyli wartościom potencjalnie zerowym. Tak jak potencjalna nieskończoność została zastąpiona klasą aktualnych nieskończoności, tak aktualne zero powinno zostać zastąpione klasą potencjalnych zer, czyli klasą liczb in- finitezymalnych - liczb zarazem większych od zera i mniejszych od dowolnej liczby rzeczywistejZ. Celem tej pracy jest przedstawienie hipotezy zakładającej fraktalną strukturę osi liczbowej oraz wynikającą z tego założenia względność takich pojęć, jak "ciągłość" czy "gęstość". Istnienie wielkości infinitezymalnych wydaje się l Patrz Conway, Guy 1998; [1], [2]. Teoria liczb nadrzeczywistych poza wspomnianą niezerowością odwrotności liczb nieskończonych nie ma jednak związku z zaproponowaną w pracy hipotezą. 2 Patrz [1].
Hipoteza jod
Przez wieki nieskoczono funkcjonowaa w matematyce jako warto
potencjalna. Nieskoczono aktualna nie bya znana. Wraz z pojawieniem
si nieskoczonoci aktualnych, a zwaszcza mnogoci tych nieskoczonoci,
okazao si moliwym rozwaenie nieskoczenie maych wielkoci genero-
wanych przez te nieskoczonoci. Mona wrcz zaryzykowa stwierdzenie, e
istnienie nieskoczonej iloci rónych, nieskoczenie maych wielkoci
jest prost konsekwencj istnienia nieskoczenie wielu, rónych liczb
niesko- czonych. W pracy zostaa podjta próba rozrónienia
nieskoczonej iloci wartoci potencjalnie zerowych, ktÓre dotychczas
kryj si pod postaci jednej aktualnej wartoci zera. Tradycyjnie, to
jedno aktualne zero jest rozumiane jako odwrotno wszystkich liczb
nieskoczonych. Jednak kada liczba nieskoczona jest róna od
pozostaych, co oznacza, e odwrotnoci kadej z tych liczb winna
odpowiada inna, nieskoczenie maa liczba. Idea niezerowych
odwrotnoci liczb nieskoczonych nie jest nowa. Pojawia si wraz z
teori liczb nadrzeczywistych (ang. hyperreal numbers) bdcych wanym,
waciwym podzbiorem zbioru liczb surrealnych (ang. surreal
numbers)!. Tak wic wydaje si, e nieskoczona klasa wartoci niesko-
czonych powinna wymaga swoistego odpowiednika w postaci równie
nieskoczonej klasy wartoci odpowiadajcych ich odwrotnociom, czyli
wartociom potencjalnie zerowym. Tak jak potencjalna nieskoczono
zostaa zastpiona klas aktualnych nieskoczonoci, tak aktualne zero
powinno zosta zastpione klas potencjalnych zer, czyli klas liczb
in- finitezymalnych - liczb zarazem wikszych od zera i mniejszych
od dowolnej liczby rzeczywistejZ.
Celem tej pracy jest przedstawienie hipotezy zakadajcej fraktaln
struktur osi liczbowej oraz wynikajc z tego zaoenia wzgldno takich
poj, jak "cigo" czy "gsto". Istnienie wielkoci infinitezymalnych
wydaje si
l Patrz Conway, Guy 1998; [1], [2]. Teoria liczb nadrzeczywistych
poza wspomnian niezerowoci odwrotnoci liczb nieskoczonych nie ma
jednak zwizku z zaproponowan w pracy hipotez.
2 Patrz [1].
128 PIOTR UKOWSKI
by nie do pogodzenia z wiar zarówno w bezwzgldn cigo, jak i w
bezwzgldn gsto zbioru liczb rzeczywistych.
Ponadto w pracy jest postawione otwarte pytanie dotyczce
nieistnienia najmniejszej nieskoczonoci. Schodzenie w dó struktury
fraktalu, jakim jest o liczbowa, moe przecie zosta odwrócone i w
efekcie zastpione przez wspinanie si wzwy tej samej fraktalnej
struktury3. Proces ten nieuchronnie generuje nieskoczenie wiele
nieskoczonoci mniejszych od ~o· Naturalnie, pojmowanie osi
liczbowej jako fraktalu nie pociga za sob koniecznoci uznania klasy
nieskoczonoci mniejszych od ~o. Wystarczy bowiem przyj, e o
liczbowa jest fraktalem z nieskoczon co prawda iloci poziomów,
jednak wród nich istnieje poziom pierwszy, odpowiadajcy wanie
liczbie ~o.
1. Paradoks osi liczb rzeczywistych
Jedn z dajcych si sformuowa postaci paradoksu osi liczb
rzeczywistych jest nastpujce rozumowanie:
• Paradoks osi liczbowej
"Ilo liczb wymiernych to ~o' za niewymiernych c. Poniewa ~o < c,
wic liczb niewymiernych jest istotnie wicej ni liczb wymiernych.
Jak jest wic moliwe, aby midzy dowolnymi dwiema liczbami
niewymiernymi (zawsze) istniaa liczba wymierna?"
Naturalnie, mona stwierdzi, e w przypadku zbiorów nieskoczo- nych
tradycyjna intuicja zawodzi i w zwizku z tym istnieje wiele fak-
tów, które mog uchodzi za paradoksalne. Wydaje si jednak, e przy-
toczone wyej rozumowanie pozostaje paradoksalnym nawet w kontekcie
wszystkich istotnych "nieintuicyjnych" faktów dotyczcych zbiorów
nie- skoczonych.
3 Fraktal jest zbiorem o szczególnie skomplikowanej budowie.
Dowolnie may jego fragment jest tak samo skomplikowany jak cao.
FraktaI jest konstrukcj wykazujc tak zwane "nieskoczone
samopodobiestwo". Oznacza to, e dowolnie may jego kawaek,
odpowiednio powikszony, przypomina do zudzenia cay zbiór lub jego
znaczn cz. Jednoczenie fraktaIe maj prosty opis i czsto s
otrzymywane przez powtarzanie nieskoczenie wiele razy tej samej
operacji. Teoria fraktali powstaa na pocztku XX w. jako skutek bada
matematycznych nad definicj wymiaru i definicj krzywej. Najbardziej
znanymi, a zarazem jednymi z najprostszych, fraktalami s: trójkt
Sierpiskiego, dywan Serpiskiego i piramida Sierpiskiego; patrz:
internetowa strona Wydziau Matematyki i Nauk Informacyjnych
Politechniki Warszawskiej, http://www.mini.pw.edu.pl.
Mogoby si na przykad wydawa, e paradoksalno wyzeJ przed- stawionego
rozumowania znika wraz z uwiadomieniem sobie faktu gstoci zbioru
liczb wymiernych:
"Dla dowolnych dwóch rónych liczb wymiernych a b istnieje liczba c
taka, e a<c<b".
Có jednak z tego, skoro zbiór liczb niewymiernych równie jest gsty
w tym samym znaczeniu sowa "gsty". Niewyobraalna wrcz rónica w
iloci liczb wymiernych i niewymiernych sugeruje, e zbiór liczb
niewymiernych powinien by "znacznie bardziej gsty" ni zbiór liczb
wymiernych. Z drugiej jednak strony, obowizuje twierdzenie goszce,
e midzy dowolnymi dwiema rónymi liczbami niewymiernymi zawsze
istnieje liczba wymierna. Jak wida, uwzgldnienie gstoci obu zbiorów
nie rozwizuje paradoksu osi liczbowej.
Propozycj rozwizania tego paradoksu poprzedmy analiz niezwykle
prostego problemu. Rozwamy dwa zbiory: A = {k: k = 5n, dla nEN}
oraz B = N\A, gdzie N jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych.
Przy mniej precyzyjnym zapisie zbiory te maj posta: A = {O, 5, lO,
15, ...} oraz B = {l, 2, 3, 4, 6, ... }. atwo zauway, e prawdziwe
jest:
ZDANIE l: "Dla dowolnych dwóch rónych liczb a i b nalecych do
zbioru A, jeli a <b, to istnieje taka liczba c naleca do zbioru
B, e a < c <b".
Nie jest natomiast prawd:
ZDANIE 2: "Dla dowolnych dwóch rónych liczb a i b nalecych do
zbioru B, jeli a < b, to istnieje taka liczba c naleca do zbioru
A, e a < c <b".
Jednoczesna prawdziwo obu zda wymagaaby tego, aby po kadej liczbie
jednego zbioru istniaa liczba drugiego zbioru. Brak tej
naprzemiennoci sprawia, e które ze zda l, 2 musi by faszywe.
Zauwamy bowiem, e jeli nastpn, ze wzgldu na wielko, po liczbie aEB
jest liczba bEB, to dla tych wanie liczb a i b nie istnieje w
zbiorze A liczba leca na osi liczbowej midzy nimi.
Bardzo dobrze znane s nastpujce twierdzenia dotyczce liczb
wymiernych i niewymiernych:
TWIERDZENIE l. Midzy dowolnymi dwiema rónymi liczbami niewymie-
rnymi istnieje liczba wymierna (istnieje nieskoczenie wiele liczb
wymier- nych). TWIERDZENIE 2. Midzy dowolnymi dwiema rónymi
liczbami wymiernymi istnieje liczba niewymierna (istnieje
nieskoczenie wiele liczb niewymiernych ).
130 PIOTR UKOWSKI
TWIERDZENIE 3. W dowolnie maym otoczeniu liczby niewymiernej
istnieje nieskoczenie wiele liczb wymiernych. TWIERDZENIE 4. W
dowolnie maym otoczeniu liczby wymiernej istnieje nieskoczenie
wiele liczb niewymiernych.
Doskonale wiemy, e zbiór wszystkich liczb wymiernych Q stanowi
dyskretny podzbiór zbioru wszystkich liczb rzeczywistych, za
liczebno zbioru liczb rzeczywistych R, a wic i niewymiernych NQ -
to tak zwane continuum c. Aby wic prawd byy twierdzenia 1 i 2,
powinna mie miejsce swoista naprzemienno liczb wymiernych i
niewymiernych na osi liczbowej. Porównujc liczebno obu zbiorów,
musimy jednak tak naprzemienno wykluczy. Co wicej, skoro moc zbioru
NQ jest c, za moc zbioru Q, to ~O> musz istnie takie dwie liczby
wymierne midzy, którymi powinien znajdowa si cay (cigy) przedzia
liczb niewymiernych. Przeczy to jednak prawdziwoci twierdze 1 i
3.
Istnieje wic sprzeczno midzy twierdzeniem 1 a wiedz dotyczc
liczebnoci zbiorów Q i NQ.
Wykorzystujc przedstawiony wyej przykad, warto spróbowa od-
powiedzie na pytanie:
Pod jakim warunkiem mamy zagwarantowan jednoczesn prawdziwo zda l i
2, mimo niezmienionej postaci zbiorów A i B?
Przyjmijmy, e z jakich powodów nie jestemy w stanie operowa
odlegociami mniejszymi ni 5. Wówczas, w zbiorze B jestemy w stanie
odróni liczb l dopiero od liczby 6. Odlego liczby l od liczb 2, 3,
4, 5 jest dla nas praktycznie równa zero. Tym samym, nie ma dla nas
sensu operowanie takim wyraeniem, jak na przykad: "midzy liczb l a
liczb 4". Jeli wic uywamy wyraenia "midzy liczb a, a liczb b", to
mamy na myli liczby odlege od siebie o co najmniej 5. W takiej
sytuacji zmianie ulego wyraenie stwierdzajce róno dwóch liczb. Od
liczby l róna nie jest ani liczba 2, ani 3, ani 4, ani 5. Od liczby
l róne s dopiero wszystkie liczby wiksze od liczby 5, a zatem 6, 7,
8, itd. Wida, e przy takim rozumieniu wyrae "midzy" oraz "róny"
prawdziwe s oba zdania- - tak 1, jak i 2. Zdanie 1 z oczywistych
powodów pozostaje prawd. Teraz jednak prawdziwe jest równie:
ZDANIE 2. "Dla dowolnych dwóch rónych liczb a i b nalecych do
zbioru B, jdli a < b, to istnieje taka liczba c naleca do zbioru
A, e a < c < b".
Przykad analizowanych wyej dwóch zbiorów A i B pokazuje, e
jednoczesna prawdziwo dwóch twierdze goszcych wzajemnie, e
midzy
Hipoteza jod 131
dwiema dowolnymi rónymi liczbami jednego zbioru, zawsze istnieje
liczba drugiego zbioru, moe by niemoliwa do zaakceptowania nawet w
przypadku, gdy oba zbiory s tej samej mocy. Fakt ten jest oczywisty
i moe by bez najmniejszego trudu zilustrowany na wiele rónych
sposobów, np. A - zbiór liczb naturalnych parzystych, B - zbiór
liczb naturalnych nieparzystych bez liczby 7; A - zbiór liczb
pierwszych, B - zbiór liczb naturalnych nie-pierwszych; A - zbiór
liczb wymiernych, w których zapisie uproszczonych postaci uamkowych
nie wystpuje liczba 3 (np. 5/19, 27/11), B = (Q - A) - [1/555,
1/554] (np. 1/23, 3/77).
Skoro wic naprzemienno dwóch zbiorów jest czym wicej ni rów-
noliczno tych zbiorów, czy faktycznie moliwa jest do pomylenia na-
przemienno dwóch zbiorów, z których jeden jest w istotny sposób
liczniejszy od drugiego, nawet przy zaoeniu ich gstoci? Ponadto
pojawia si obawa, czy z zaoenia gstoci zbioru nie zwyklimy wyciga
zbyt daleko idcych wniosków? Czy fakt gstoci zbioru nie dostarcza
usprawiedliwienia, które uatwia akceptacj zbyt wielu twierdze. Moe
gsto zbioru znaczy mniej, ni przypuszczamy?
2. Paradoks liczb nieskoczonych
• Paradoks alefów
"Odwrotnoci dowolnych dwóch rónych liczb s liczbami rónymi. Wartoci
nieskoczone ~o' c, 2e, ••• s rónymi liczbami. Mimo to, wszystkie te
liczby maj wspóln odwrotno: zero".
Przyjmijmy zatem istnienie odpowiadajcej klasie wszystkich liczb
nie- skoczonych generowanych przez operacj potgowania klas jod,
wielkoci niewyobraalnie maych:
, 0= IW.o' ' I = l/c, '2= 1/(2 fe), '3 = 1/(2f(2fe)), '4 =
1/(2f(2f(2fe))), ... 4
Wybór hebrajskiej litery , (jod) nie jest przypadkowy i nawizuje do
dokonanego kiedy przez Georga Cantora wyboru innej hebrajskiej
litery ~
4 afb = ab.
132 PIOTR UKOWSKI
(alet) na okrelenie wartoci nieskoczonej. Poniewa rozwaania nasze
dotycz niezwykle maych wartoci, wród rónych liter hebrajskiego
alfabetu najlepszym kandydatem wydaje si by wanie joda, która w
europejskiej kulturze, od wieków jest symbolem czego bardzo
maego.
Naturalnie, skoro:
~o < e < 2fe < 2f(2fe) < 2f(2f(2fe)) <
2f(2f(2f(2fe))) < ..., wic
'0>' 1>'2>'3 >'4>'5> ...> O.
Zauwamy, e kada z jod, poczwszy od pierwszej jody zero, spenia
definicj wielkoci infinitezymalnych: jest jednoczenie liczb dodatni
(wiksz od zera) i zarazem mniejsz od dowolnej dodatniej liczby
rzeczywistej s. Istotnie, skoro dla dowolnej liczby rzeczywistej T,
T < ~o' wic l/r > 'o (z dowolnoci liczby rzeczywistej T
wynika, dowolno liczby rzeczywistej lir).
Wszystkie jody s liczbami rónymi od zera, jednak na tyle maymi, e
ich róno od zera jest niewyraalna za pomoc liczb wymiernych. Nie
moe przecie istnie uamek p/q taki, e p i q s liczbami cakowitymi
(nalecymi do zbioru C), q jest liczb niezerow oraz p/q ='k dla
jakie- gokolwiek kEN. Tak wic, z punktu widzenia liczb wymiernych,
'0 praktycznie jest zerem, naleaoby jednak rzec zerem potencjalnym.
Podobnie kada z pozostaych jod jest jedynie zerem potencjalnym, nie
za aktualnym.
Zaoenie rónoci od zera odwrotnoci wspomnianych liczb nieskoczonych
ma swoje istotne konsekwencje. Przyjmujc bowiem niezerowo jody
zero, naley uzna, e - dla przykadu - granic cigu {i/nt nie jest
zero, lecz wanie' o' Kada podstawiona w miejsce zmiennej n
niezerowa liczba naturalna jest przecie mniejsza od ~o' Oznacza to,
e bez wzgldu na liczb n, l/n zawsze przyjmuje warto wiksz od ' o.
Dlatego te,
Nie dysponujc jodami uwaamy, e granic tego cigu jest zero, chocia
tak naprawd granic t jest l/~o' Jeli l/~o byoby zerem, to tym
bardziej zerem byyby odwrotnoci wszystkich pozostaych liczb
nieskoczonych: l/e, 1/(2fe), ...
Inn konsekwencj hipotezy jod jest konieczno przyjcia, i warto uamka
okresowego 0,(9) nie jest równa 1. Naturalnie, argumentu za
podobnym rozrónieniem obu liczb nie dostarcza fakt, i obie liczby
róni si zapisem, i to w sposób do istotny: 0,99999... oraz
1,00000... Naley bowiem zauway, e liczba 0,(9) jest granic cigu
{i-l/lon}, który zgodnie
5 Liczba x 'ft O jest infinitezymalna (ang. infinitesimal) wtedy i
tylko wtedy, gdy dowolna skoczona suma lxi + ...+ lxi ma warto
mniejsz od 1, patrz Conway, Guy 1998.
Hipoteza jod 133
z hipotez jod nie jest zbieny do liczby 1, lecz do 1 - l/'c{o'
czyli do liczby 1 - ~o' Zatem:
Przypomnijmy, e ju od uczniów szkó podstawowych wymagana jest
umiejtno zamiany uamków okresowych na zwyke - zamiana uamków
zwykych na okresowe jest banalna. Tak wic, ucze koczcy szko
podstawow winien wiedzie, e na przykad:
0,(1) = 1/9 0,(2) = 2/9 0,(6) = 6/9 = 2/3 0,(7) = 7/9
0,(01) = 1/99 0,(30) = 30/99 = 10/33 0,(55) = 55/99 0,(81) = 81/99
= 9/11
0,(001) = 1/999 0,(030) = 30/999 = 10/333 0,(055) = 55/999 0,(810)
= 810/999 = 90/111
Problemem jest jednak kady uamek posiadajcy w okresie liczb 9.
Stosujc powyszy algorytm mona atwo obliczy, e:
0,(9) = 9/9 = 1.
o ile jednak kady z uamków okresowych, których okresem nie jest
liczba 9 daje si otrzyma jako wynik podzielenia licznika przez
mianownik odpowiedniego uamka zwykego, np. dzielc 1 przez 9
otrzymamy 0,1111111 ..., o tyle nie sposób w analogiczny sposób
otrzyma liczb 0,9999999 ... Trudno ta dotyczy kadego uamka
posiadajcego w okresie liczb 9, np. 5,(9); 14,5694(9); 0,000(9);
1,89898(9).
Tak wic, odrzucenie zaoenia, i odwrotno alefa zero jest wartoci
niezerow, jest równowane przyjciu, e 0,(9) = l. Co wicej, ju samo
dziaanie na liczbach wymiernych jest de facto odrzuceniem
niezerowoci odwrotnoci alefa zero - w wiecie liczb wymiernych
odwrotno alefa zero jest po prostu zerem.
3. Nastpnik liczby wymiernej
Hipoteza jod ma jednak znacznie bardziej zaskakujce konsekwencje.
Rozwaane w poprzednim paragrafie dwa cigi s, zgodnie z teori jod,
zbiene odpowiednio do liczb ~o oraz l - ~o' Spróbujmy wic znale
odpowiedzi na dwa nastpujce pytania:
Czy istnieje liczba wymierna wiksza ni O i mniejsza ni ~a? Czy
istnieje liczba wymierna wiksza ni l - ,o i mniejsza ni l?
134 PIOTR UKOWSKI
Naturalnie, odpowiedzi na kade z tych pyta, zgodn z zapropono- wan
tu hipotez, jest NlE. W pierwszym przypadku nie jest moliwe dodanie
do zera takiej liczby wymiernej, aby w konsekwencji otrzyma liczb
wiksz od O i mniejsz ni ~o' W drugim przypadku nie istnieje napis w
postaci rozwinicia dziesitnego reprezentujcy liczb wiksz od O, (9)
i mniejsz ni 1.
Zatem, w wietle powyszych rozwaa, mona przyj, e w wiecie liczb
wymiernych poszerzonym o niezerow jod zero, ~o jest nastpnikiem
liczby O, za 1 jest nastpnikiem liczby 0,(9). Co wicej, dla
dowolnej liczby wymiernej a, jej nie do koca "wymiernym"
nastpnikiem jest a + ' o. Naley bowiem podkreli, e poniewa liczba
~o nie jest wyraalna za pomoc uamka p/q, gdzie pEC, qEC-{O}, wic
liczba a+'o jest "wymiernym" nastpnikiem liczby a niewyraalnym w
wiecie liczb wymiernych - liczba ~o wyraa najwiksz odlego, w
promieniu której nie ma innej liczby wymiernej6.
Rozwamy zbiór wszystkich dodatnich liczb wymiernych Q +. Oczywicie,
zastpienie w naszych rozwaaniach zbioru Q zbiorem Q + nie ma innego
znaczenia jak tylko wygod i prostot zapisu. Poniewa liczebno zbioru
Q + to ~o moemy wic ustawi wszystkie elementy tego zbioru w
cig:
, ••• }.
speniajca nastpujcy warunek:
Vx. Y (jeli (x, YE{q], q2' q3' ... } i x#y), to (X=qi<qj=Y wtw
i<j))?
Skoro s wszystkie moliwe permutacje, to moe powinna by i ta jedna
szczególna. Jeli tak, to cig {q], q2' q3' ... } jest zbiorem
wszystkich dodatnich liczb wymiernych ustawionych w kolejnoci
wzrastania. Naturalnie q] = O. Ponadto, cig ten ma niezwyk
wasno:
"midzy dowolnymi dwiema kolejnymi liczbami wymiernymi cigu {q], q2'
q3' ... } nie ma innych liczb wymiernych".
6 Sowo "wymierny" w wyraeniu ,,«wymierny» nastpnik", ma sygnalizowa
wzgldno pojcia nastpnika. Jeli bowiem uwzgldnimy kolejne jody,
mniejsze od '0' to natychmiast okae si, e istnieje nieskoczenie
wiele liczb w otoczeniu dowolnej liczby wymiernej o promieniu
równym jod zero.
Hipoteza jod 135
Istotnie, skoro cig {ql' q2' q3' ... } zawiera wszystkie dodatnie
liczby wymierne, a qn+ l jest wiksze ni qn' to nie istnieje taka
liczba wymierna q, e
Dla kadej liczby wymiernej qn (nE{1, 2, 3, ...}), liczba qn+l jest
wic jej nastpnikiem. Ponadto, dla dowolnej liczby naturalnej
nEN:
albo qn+l - qn =' a' albo
Jeli przyjmiemy, e qn+l - qn = 'a' to jod zero okae si liczb wy-
miern niewyraaln w postaci uamka p/q, rónych od zera liczb na-
turalnych p, q. Dla prostoty dalszej analizy przyjmijmy t wanie ró-
wno?
4. Fraktal osi liczbowej, czyli wzgldno cigoci
Analizowany w pierwszym paragrafie przykad ilustrowa sytuacj pole-
gajc na tym, e uwzgldnianie jedynie takich odlegoci, które s wiksze
od pewnej danej wartoci, sprawia, i moliwe do udowodnienia staje
si, faszywe skdind, twierdzenie mówice, e midzy dwiema dowolnie wy-
branymi liczbami zbioru bardziej licznego zawsze istnieje liczba (a
nawet nieskoczenie wiele liczb) zbioru istotnie mniej licznego.
Jeli uwzgldnimy hipotez jod, ten paradoksalny fakt nie daje si ju
udowodni, przynajmniej w tak mocnej wersji.
Zaoylimy, e najmniejsza, w sensie wyraalnoci za pomoc liczb
wymiernych oraz jody zero, odlego midzy liczbami wymiernymi wynosi
'a. T odlego nazwiemy Q-pad-mierzaln; kad odlego wyraaln w liczbach
wymiernych lub nieskoczonych nazwiemy odlegoci Q-mierzaln; kad za
odlego mniejsz od Q-pod-mierzalnej bdziemy nazwa Q-
-niemierzaln·
Z perspektywy wielkoci wyraonej przez jod zero, o liczbowa jest
zbiorem przedziaów liczb niewymiernych, na kracach których znajduj
si (pojedyncze) liczby wymierne, oddalone od siebie o odlegoci
Q-pod-mierzalne wyraajce dugoci tych przedziaów. Innymi sowy, o
liczbowa jest dyskretnym zbiorem liczb wymiernych oddzielonych od
siebie przedziaami liczb niewymiernych:
1 Dalsze rozwaania s równie moliwe przy zaoeniu, e n + 1- n >
'o. Co wicej, z punktu widzenia poruszanych dalej kwestii, rónice
wynikajce z przyjcia tego lub drugiego z dwóch moliwych zaoe nie s
istotne.
136 PIOTR UKOWSKI
"Midzy dowolnymi dwiema rónymi liczbami niewymiernymi istnieje
liczba wymierna (istnieje nieskoczenie wiele liczb
wymiernych)";
prawdziwe jest natomiast:
midzy nimi jest Q-mierzalna istnieje nieskoczenie wiele liczb
wymie- rnych.
b) Istniej takie dwie róne liczby niewymierne oddalone od siebie o
odlego Q-nie-mierzaln, midzy którymi nie ma liczby wymiernej.
Poszukujc odlegoci wyraonej przez' l' rozwamy teraz przedzia
otwarty, którego kracami s dowolne dwie kolejne liczby wymierne: n
i n+l' Do tego zbioru nale wszystkie liczby niewymierne wiksze od n
i mniejsze od n+l, i nie naley adna liczba wymierna. Rozumujc
analogicznie do przypadku liczb wymiernych, dochodzimy do wniosku,
e odwrotnoci continuum c winna odpowiada warto potencjalnie zerowa
z punktu widzenia liczb rzeczywistych, których jest wanie c.
Aktualnie warto ta jest oczywicie róna od zera:
'l = l/c> O.
Jest to wic wielko bdca odlegoci midzy kolejnymi dwiema liczbami
niewymiernymi, któr konsekwentnie nazwiemy NQ-pod-mierzaln.
Oczywicie operowanie wielkociami wikszymi od NQ-pod-mierzalnych
sprawia, e nie dostrzegamy jakichkolwiek odlegoci midzy kolejnymi
liczbami niewymier- nymi, mówic cilej: nie jestemy w stanie nawet o
tych odlegociach pomyle. Nie tylko z punktu widzenia wielkoci
Q-mierzalnych, ale równie z perspektywy wielkoci Q-pod-mierzalnych,
'l jest zerem. Jeli jednak uwzgldnimy ten kolejny rodzaj wielkoci
potencjalnie zerowych, stwierdzimy, e midzy dowolnymi dwiema
kolejnymi liczbami niewymiernymi jest cay przedzia liczb nie bdcych
liczbami rzeczywistymi, a których ilo jest równa 2fc.
Hipoteza jod 137
'J 'J )
--1----1----+1-- ? i ?j ? s
Oczywicie pojcie cigu Wlze si cile ze zbiorami o mocy ~o' Jeli jest
wic mowa o kolejnoci liczb niewymiernych ri' rj, r" 000' nie jest
to kolejno rozumiana w sensie iteracji liczbami naturalnymi. Tym
bardziej pojcie cigu ulega zmianie na kadym rónym od wymiernego
poziomie.
Moc znanych nam zbiorów liczbowych, którymi zwyklimy operowa, nie
jest wiksza ni e. Liczby rzeczywiste stanowi najwikszy wiat liczb,
jakimi operujemy. Nie oznacza to jednak, e nie istnieje daleko
potniejszy wiat liczb pod-rzeczywistych. Zaproponowana tutaj
hipoteza jod zakada, i na o liczbow moemy spojrze jak na zbiór nie
tylko liczb naturalnych, wymiernych i rzeczywistych, ale jak na
zbiór zawierajcy w sobie kolejne nienazwane liczby ze zbiorów o
mocy 2fe, 2f(2fe), 2f(2f(2fc)), 2f(2f(2f(2fe))), ... Aby jednak
dostrzec kolejne nieznane nam liczby, naley "woy odpowiednie
okulary". Okulary te sprawi, i zaczniemy dostrzega odpowiednio mae,
a cilej mówic, nieskoczenie mae, infinitezymalne wartoci, wartoci
niewyraalne za pomoc liczb wymiernych B. Analiza matematyczna od
dawna operuje wartociami nieskoczenie maymi. Z punktu widzenia
naszego podejcia, wartoci te nie zasuguj jednak na swoj nazw· S to
bowiem wartoci bardzo mae, ale jednak wyraalne przy pomocy liczb
wymiernych, a wic nie nieskoczenie mae. Tylko wówczas, gdy
operujemy tak duymi wielkociami jak te, które s wyraalne liczbami
wymiernymi, moemy udowodni twierdzenia l oraz 3. Otoczenie liczby
niewymiernej jest wówczas na tyle wielkie, e mieci w sobie
nieskoczon ilo liczb wymiernych.
Aby wej w wiat kolejnych coraz to potniejszych zbiorów liczb
pod-rzeczywistych, naley operowa wielkociami nie dajcymi si wyrazi
za pomoc liczb wymiernych, czyli wielkociami mniejszymi ni
Q-pod-
8 Wielko nieskoczenie maa w analizie matematycznej to dowolnie maa
wielko wymierna. W tym sensie wielko infinitezymalna to nie to
sarno co wielko nieskoczenie maa. "Wielko nieskoczenie maa" jest
wic pojciem wzgldnym, zalenym od tego, na jakim poziomie fraktalu
si znajdujemy. Lepiej jest wic operowa pojciem "wielkoci
infmitezymalnej".
138 PIOTR UKOWSKI
-mierzalne. Z punktu widzenia wiata wielkoci Q-mierzalnych, czyli
tych dajcych si wyrazi liczbami wymiernymi lub nieskoczonymi,
wszystkie wielkoci mniejsze, czyli co najwyej Q-pod-mierzalne, s
postrzegane jako zera, cho nimi nie s.
Mona pokusi si o stwierdzenie natury ogólniejszej: z punktu
widzenia wiata liczb tworzcych zbiór o mocy m = 2f( ... (2fe», wiat
liczb tworzcych zbiór 2fm wydaje si by zbiorem cigym, a wic zbiorem
midzy liczbami którego nie ma niezerowych odlegoci. Odlegoci te
pojawi si, jeli tylko zejdziemy w gb osi liczbowej na kolejny niszy
stopie, poprzez zwikszenie zbioru niezerowych wielkoci o now,
kolejn jod.
Zgodnie z przedstawion koncepcj, o liczbowa jest wic fraktalem,
czyli struktur nieskoczenie samopodobn. Wielostopniowo tej
struktury ma t cech, i na kadym poziomie wyglda ona tak samo. Gdy
patrzymy na ni z perspektywy wielkoci Q-wymiernych, widzimy, e jest
ona cigym zbiorem liczb niewymiernych "od czasu do czasu
poprzerywanym" izolowanymi (pojedynczymi) liczbami wymiernymi.
Okazuje si jednak, e patrzc na o liczbow z perspektywy niezerowych
odlegoci midzy kolejnymi liczbami niewymiernymi, widzimy, e jest
ona cigym zbiorem jakich liczb pod- rzeczywistych poprzerywanym
izolowanymi (pojedynczymi) liczbami niewymier- nymi. Oznacza to, e
obraz osi liczbowej jest z obu perspektyw identyczny. W kolejnych
krokach schodzenia w wiat coraz to mniejszych wielkoci o liczbowa
staje si cigym zbiorem liczb podn+1-rzeczywistych poprzerywanym
pojedynczymi liczbami podn-rzeczywistymi. Tak wic, na kadym
poziomie o liczbowa wyglda tak samo.
Fraktalna struktura osi liczbowej wyklucza bezwzgldn cigo któ-
regokolwiek ze zbiorów liczbowych. O cigoci mona mówi jedynie w
kontekcie okrelonego poziomu fraktalu. Kady zbiór liczb mocy 2fm =
2f(2f( .. ·(2f~o))) jest cigy jedynie na tym poziomie, który jest
najwyszym sporód wszystkich tych poziomów, dla których l/m jest
wielkoci odrónialn od zera.
5. Czy frak tal osi liczbowej ma poziom pierwszy?
Z perspektywy teorii jod, o liczbowa jest fraktalem. Nie jest
jednak przesdzone, czy fraktal ten ma poziom pierwszy, czy te nie.
Mona wic przyj zarówno to zaoenie, które zakada, i poziom liczb
wymiernych jest pierwszym i zarazem najwyszym poziomem fraktalu osi
liczbowej, jak i zaoenie, zgodnie z którym, fraktal osi liczbowej
nie ma poziomu pierwszego - kady poziom jest jednoczenie "nad"
nieskoczon liczb jednych i "pod" nieskoczon liczb innych
poziomów.
Hipoteza jod 139
Odrzucajc zaoenie, e fraktal ma poziom pierwszy, przyjmujemy
istnienie takiego poziomu, na którym zbiór liczb wymiernych jest
zbiorem cigym poprzerywanym izolowanymi liczbami nad-wymiernymi. Z
perspektywy tego poziomu liczby niewymierne s niedostrzegalne.
Pogld odrzucajcy istnienie poziomu pierwszego fraktalu osi
liczbowej jest o tyle uzasadniony, i nie istnieje taki skoczony
zbiór, którego np. zbiór potgowy byby równoliczny ze zbiorem liczb
wymiernych: zbiór potgowy jakiegokolwiek zbioru sko- czonego nie ma
mocy nieskoczonej, choby tej najmniejszej ze znanych. Co wicej, nie
ma operacji, która wykonana na zbiorach skoczonych dawaaby zbiór
nieskoczony. Innymi sowy, istnieje przepa midzy wiatem wartoci
skoczonych a wiatem wartoci nieskoczonych. Tymczasem przejcie na
wyszy poziom fraktalu jest równoznaczne z wejciem w wiat jakich
liczb nad-wymiernych tworzcych zbiór nieskoczony o mocy mniejszej
ni ~o. T now moc zbiorów nieskoczonych oznaczmy Kl' Wprost z
przyjtych zaoe wynika, e:
u _ 2t{-I~'o- .
Oznacza to, e liczb nad-wymiernych jest nieskoczenie wiele, ale
istotnie mniej ni liczb wymiernych. Stosunek iloci liczb
nad-wymiernych do iloci liczb wymiernych ma si tak jak stosunek
liczb wymiernych do liczb niewymiernych, czyli równie tak jak liczb
podn-rzeczywistych do liczb podn+I-rzeczywistych. Proces odwrotny
do potgowania zbiorów moemy wic kontynuowa dalej, uzyskujc w
efekcie cig malejcych wartoci nieskoczonych:
...< ~-5 < ~--4 < ~-3 < ~-2 < ~-I <K{)
takich, e dla n EN,
~-n = 2K-t>-I.
Naturalnie i te nieskoczonoci winny mie swoje, wzajemnie róne od
siebie odwrotnoci:
Jednak z perspektywy liczb wymiernych trudno byoby liczby te
zaliczy do wielkoci infinitezymalnych. Jak wic wielkoci z punktu
widzenia wiata liczb wymiernych jest '-l jod a minus jeden? Czy
jest ona wartoci skoczon, czy moe ju nieskoczon? Czy jody nie
przechodz w wielkoci nieskoczone, a wielkoci nieskoczone w jody? By
moe to, e pewne liczby zaliczamy do liczb nieskoczonych, inne za do
jadów, wynika wycznie z naszej perspektywy liczb wymiernych?
140 PIOTR UKOWSKI
Nieskoczono nieraz ju pokazaa, i intuicje z ni zwizane s mylce i
znacznie upraszczajce to, co si za jej pojciem kryje. Czy jest wic
wykluczone, aby w zbiorze liczb nieskoczonych nie tylko nie byo
wielkoci najwikszej, ale aby nie byo równie wielkoci
najmniejszej
...< ~-5 < ~-4 < ~-3 < ~-2 < ~-1 < ~-O <c <
2fc < 2f(2fc) < 2f(2f(2fc)) < ...?
6. Konstrukcja liczb pod-rzeczywistych
Konstrukcja dodatnich liczb pod-rzeczywistych zostanie poprzedzona
konstrukcj dodatnich liczb rzeczywistych w postaci uamków
dziesitnych. Niech Z* bdzie zbiorem indeksów. Zaómy, e Z* = N.
Niech ponadto kademu niezerowemu elementowi k EZ* odpowiada
dziesicioelementowy zbiór Zk = {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Liczbie k = OEZ* odpowiada zbiór wszystkich liczb naturalnych: Zo =
N.
Dodatni liczb pod-rzeczywist w systemie dziesitkowym dan w postaci
uamka dziesitnego jest nieskoczony "cig" liczb naturalnych, taki, e
kady jego k-ty element naley do zbioru Zk' Pierwszy element z
indeksem zero oddzielmy od drugiego elementu posiadajcego indeks
dwa przecinkiem. Przykadem tak otrzymanej liczby jest
12,3874092551 ...
gdzie: ko = 12; kI = 3; k] = 8; k3 = 7; k4 = 4; kj = O; k6 = 2; k7
= 5; ks = 5; k9 = 1; ...
z*
Hipoteza jod 141
Oczywistym faktem jest to, e w wyzeJ przedstawiony sposób mona
zbudowa dowoln dodatni liczb rzeczywist w systemie dziesitkowym dan
w postaci uamka dziesitnego. Ich ilo wyraa si wzorem:
Moliwa jest równie konstrukcja liczb w systemie innym ni
dziesitkowy. Jeli, dla przykadu: Zk = {O, 1}, dla k ~ l oraz Zo =
{O, l, 10, 11, 100, 101, 110, Ill, ...}, to liczby konstruowane w
sposób analogiczny do wyej przedstawionego s liczbami rzeczywistymi
w systemie dwójkowym danymi w postaci uamka dziesitnego. Zbiór
wszystkich takich liczb stanowi mnogo równoliczn ze zbiorem liczb
rzeczywistych w systemie dziesit- kowym:
Zaproponowana konstrukcja daje si z niewielkimi zmianami powtórzy
tak, aby w jej efekcie powstaway liczby pod-rzeczywiste w danym
systemie i w postaci uamka dziesitnego. Ograniczmy si do systemu
dziesit- kowego.
Dostosowujc do tego zadania wczeniejsz konstrukcj, wystarczy przyj,
e zbiór indeksów Z* jest zbiorem wszystkich dodatnich liczb
rzeczywistych R +. Pozostae elementy konstrukcji s niezmienione.
Niech wic kademu niezerowemu elementowi TEZ* odpowiada
dziesicioelementowy zbiór Zr = {O, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Liczbie T = OEZ* odpowiada zbiór wszystkich liczb naturalnych: Zo =
N.
Dodatni liczb pod-rzeczywist w systemie dziesitkowym dan w postaci
uamka dziesitnego jest nieskoczony "cig" liczb naturalnych taki, e
kady jego T-ty element naley do zbioru Zk9. Pierwszy element z
indeksem zero oddzielmy od pozostaych elementów tego "cigu"
przecinkiem. Przy- kadem tak otrzymanej liczby jest
9 Naturalnie, pojcie "cigu" wystpujce w opisie konstrukcji liczby
pod-rzeczywistej jest niestandardowe. Kolejno ustalana przez tego
typu "cig" jest wyznaczona przez relacj wikszoci okrelon na
liczbach rzeczywistych.
142 PIOTR UKOWSKI
<b cb cDc~. . .(.) ..
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... N
Tak jak w przypadku liczby rzeczywistej, na pozycji r = O mamy
liczb ao = 12, na pozycji r = 1 liczb al = 3, na pozycji r = 2
liczb aJ = 8, na pozycji r = 3 liczb a3 = 7, itd. Tym, co róni
liczb pod-rzeczywist od liczby rzeczywistej, jest wystpowanie
nieskoczenie wielu liczb ar zbioru Nw = {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
9} na pozycjach r. Oczywicie pozycje te s wyraone liczbami spoza
zbioru liczb naturalnych N. Liczby wystpujce na nowych pozycjach
znajdujcych si midzy dwiema pozycjami odpowia- dajcymi kolejnym
liczbom naturalnym tworz wic przedziay (aj, aj+l), dla iEN. W
przypadku pod-rzeczywistej liczby podanej jako przykad ao = 12. al
= 3, aJ = 8, a3 = 7, a4 = 4. a5 = O, a6 = 9. a7 = 2, aB= 5...
Zatem, posta dowolnej liczby pod-rzeczywistej jest nastpujca:
gdzie aoEN; al' az' a3, a4, a6, a7, as'" ENlO oraz kade r, bdce
indeksem liczby z przedziau (aj, aj+ l) dla iE N (a wic i< r
< i+ 1), jest dodatni liczb rzeczywist. atwo zauway, e ilo
wszystkich liczb pod-rzeczywistych w systemie dziesitkowym wyraa si
wzorem:
~o' (lO/c) = ~o(2/e) = 21e.
Kady przedzia (aj, aj+l) taki, e kada liczba ar z przedziau (aj,
aj+l) jest równa zero, oznaczymy symbolem (= O). Jeli natomiast
pewna liczba ar z przedziau (ai' aj+l) jest róna od zera, to (aj,
aj+l) = (# O). Gdy dla kadego iEN, (aj, aj+l) = (= O), wówczas
liczba pod-rzeczywista:
Hipoteza jod 143
jest liczb rzeczywist:
ao'(= O)al = O)ai = O)ai = O)al..= O)asC= 0)a6(= 0)a7(= 0)a8·.. = =
aO,a]a2ap4a5a6a~8'"
Podobnie, dowolna liczba naturalna n ma w wiecie liczb
pod-rzeczywistych posta:
n = n,( = O)O(= O)O(= O)O(= O)O(= O)O(= O)O(= O)O(= 0)0 ...
Fraktalna struktura osi liczbowej oznacza, e wszystkie liczby pod-
-rzeczywiste maj na tej osi swoje miejsce. Porzdek liczb
pod-rzeczywistych jest generowany przez porzdek liczb
rzeczywistych:
Zaómy, e JrT] =
ao,(ao,a])ala],a2)aia2,a3)aia3,a4)aia4,a5)asCa5,a6)aia6'a7)ala7,a8)a8
..· JrT2 =
ao,(ao,a])a](a],a2)aia2,a3)aia3,a4)aia4,a5)a5(a5,a6)aia6,a7)ala7,a8)a8'"
s dwiema liczbami pod-rzeczywistymi. Niech ponadto dla iE {1, 2},
TiE R +(s;E R +) oznacza liczb naturaln przypisan T-tej (s-tej)
pozycji w liczbie p-Ti• Jeli dla dowolnej T::::; S, T] = r2, to z
dwóch pod-rzeczywistych liczb Jrr] i JrT2 wiksza jest ta, która ma
wiksz liczb naturaln przypisan pozycji s.
o niezwykej mocy zbioru wszystkich liczb pod-rzeczywistych moe
wiadczy nastpujcy przykad. Rozwamy dwie liczby wymierne 1,1 oraz
1,2. Naturalnie,
1,1 = 1,(= O)l( = 0)0(= 0)0(= O) . 1,2 = 1,( = 0)2( = O)O(= O)O(=
O) .
Wród liczb wikszych od 1,1 i mniejszych ni 1,2 s nastpujce klasy
liczb:
1,( = O)l( =1=O)ai = O)ai = O)ai = 0)a5..· 1,( = O)l( = O)ai
=1=O)ai = O)ai = 0)a5..· 1,( = O)l( = O)ai = O)ai =1=O)ai = 0)a5..·
1,(= 0)1(= O)ai= O)ai= O)ak;i= O)aj'oo
1,( = O)l( =1=O)al =1=0)a3(= O)ai = 0)a5· ••
1,( = O)l( = O)ai =1=O)ai =1=O)ai = 0)a5• ••
1,( = O)l( = O)ai = O)ai =1=O)ai =1=O)aj''' 1,(= 0)1(= O)ai= O)ai=
O)ai=l= O)aj'''
144 PIOTR UKOWSKI
1,(= 0)1(= O)ai = O)al =1= O)ai =1= 0)a5 •••
1,(= 0)1( = O)ai = O)al = O)ai =1= 0)a5 •••
1,(= 0)1( =1= O)ai =1= O)al =1= O)ai =1= 0)a5 •••
1,(= 0)1( = O)ai =1= O)al =1= O)ai =1= 0)a5 ••.
1,(= 0)1( = O)azC= O)al =1= O)ai =1= 0)a5 •••
1,(= 0)1( = O)ai = O)al = O)ai =1= 0)a5 •••
dla ao' al' a2, al' a4, a5EN. Naturalnie, kade wystpienie symbolu
(=1= O) wyraa 2fc przypadków pod-rzeczywistych liczb.
Wykonywanie dziaa na wielu liczbach pod-rzeczywistych jest tak samo
niemoliwe, jak wykonywanie tych dziaa na wielu liczbach
niewymiernych. Precyzyjne i pene okrelenie dziaa arytmetycznych
jest, w praktyce, ograniczone do zbioru liczb wymiernych. Sporód
wszystkich liczb niewymier- nych dostpne dla dziaa s bowiem tylko
te liczby, które posiadaj nazwy. Jedynie nadanie specjalnych nazw
niektórym liczbom niewymiernym np. "J2", "JJ", "n", "e", umoliwia
wykonywanie na tych liczbach dziaa tak, jak gdyby byy one liczbami
wymiernymi. Brak nazw dla wielu liczb niewymiernych sprawia, e
dziaania na nich s niewykonalne, bo ju samo wyraenie wartoci tej
liczby jest niemoliwe. Poszerzenie zbioru liczb wymiernych o
pewien, niekoniecznie skoczony chocia przeliczalny, zbiór
podstawowych liczb niewymiernych, takich jak wyej wspomniane, ma
robi wraenie, e dziaania na dowolnych liczbach rzeczywistych s
wykonalne. Tymczasem, dysponujc liczb e, mamy jedynie e/2, 3e/4,
itd. Traktujemy tym samym "e" jak nowy element dodany do zbioru
liczb cakowitych, który mona stosowa w konstrukcji nazw liczb
wymiernych, tak jak to si czyni z innymi symbolami liczb
cakowitych, a wic na przykad z symbo- lem ,,2"10.
10 O charakterze tego poszerzenia wiadczy chociaby to, e jest ono
przeprowadzane na wzór konstrukcji liczb urojonych aj+b, dla a, bER
oraz i=)-l, z t rónic, e dziaania w przypadku obu cia liczbowych s
rónie okrelone. Nie jest przecie trudnym zadaniem sprawdzi, e zbiór
liczb {aJ2 + b: a, b E Q} z dobrze znanymi dziaaniami jest ciaem
liczbowym, podobnie jak ciaem liczbowym jest zbiór liczb urojonych.
Symbol ,,)2" nie jest zastpowalny adnym innym symbolem liczby
wymiernej tak samo jak symbol "i". W podobnym zreszt sensie nie
jest zastpowalny symbol dowolnej liczby naturalnej, np. ,,2".
Dostpny dla nas zbiór liczb rzeczywistych przypomina wic zbiór
okrelony nastpujco:
{p/q: p, qENu{1', 2', 3', ...} i q 'i' O},
Hipoteza jod 145
7. Podsumowanie
Hipoteza jod bazuje na obowizujcym ju w niektórych teoriach
matematycznych zaoeniu niezerowoci odwrotnoci liczb nieskoczonych.
Przyjcie tej hipotezy oznacza zaoenie istnienia nieskoczenie wielu
wartoci nieskoczenie maych. Pojcie "wielkoci nieskoczenie maej"
jest jednak rozumiane w inny sposób, ni ma to miejsce w tradycyjnej
analizie matematycz- nej. Wielkoci nieskoczenie mae reprezentowane
w przedstawionej tu hipotezie przez jody s wielkociami wikszymi od
zera i mniejszymi od dowolnej dodatniej liczby wymiernej, a wic
mniejszymi równie od dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej. S wic
wielkociami niewyraalnymi w postaci uamka p/q, gdzie p i q s
liczbami cakowitymi, za q jest dodatkowo liczb rón od zera.
Istnieje jednak moliwo innego wyraenia za pomoc liczb wymiernych
najwikszej sporód jod, jako granicy cigu:
Nie istnieje jednak jakakolwiek moliwo wyraenia pozostaych jod za
pomoc liczb wymiernych.
Wszystkie jody bdce odwrotnociami generowanych przez operacj
potgowania wartoci nieskoczonych tworz cig nieskoczony liczb in-
finitezymalnych zbieny do zera. Naturalnie, liczba zero nie moe by
elementem tego cigu, gdy w przeciwnym razie oznaczaoby to zaoenie,
i w cigu liczb nieskoczonych
~o c, 2/,c, 2/'(2/,c), 2/'(2/'(2/,c)), 2/'(2/'(2/'(2/,c))),
gdzie {l', 2', 3', ...} jest przeliczalnym zbiorem nowych symboli
zarezerwowanych dla pewnych niewymiernych wielkoci. To rozszerzenie
ciaa liczb wymiernych o pewn przeliczaln ilo liczb rzeczywistych
sprawia, e okrelenie dziaa na liczbach rzeczywistych jest
ograniczone jedynie do przeliczalnego podzbioru zbioru R. Mona wic
przyj, e wszystkie znane w ciele liczb wymiernych dziaania s
okrelone jedynie na przeliczalnym podzbiorze zbioru R. Oznacza to,
e nawet tak proste dziaanie jak dodawanie nie jest na zbiorze R
okrelone.
146 PIOTR UKOWSKI
istnieje liczba najwiksza. Wiadomo jednak, e zaoenie istnienia
zbioru wszystkich zbiorów, jak równie zaoenie istnienia zbioru o
najwikszej mocy, prowadzi do sprzecznoci, co oznacza, e ukryty w
liczbach Bóg Georga Cantora jest nieosigalny równie na gruncie
matematyki. Wielkoci nieskoczone d do Tej Jednej Nieskoczonoci,
lecz jej nie osigaj
~o < c < 2fc < 2f(2fc) < 2f(2f(2fc)) <
2f(2f(2f(2fc))) < ...< OJ,
W pewnym sensie nieosigalno Tej Jednej Nieskoczonoci wpywa na
charakter zera. N aturainie, jest ono wynikiem odejmowania dowolnej
liczby a od siebie samej, jednak jedynym cigiem zbienym do zera
jest cig jod. Kady konstruowalny za pomoc liczb wymiernych i bez
uycia operacji odejmowania cig zbiega do wielkoci rónej od zera.
Fakt, i jody s odwrotnociami liczb nieskoczonych, oznacza, e
wartoci nieskoczone s odwrotnociami jod. Tymczasem, odwrotno zera
1/0 jest wartoci nie- okrelon, tak jak nieokrelon jest Nieskoczono
OJ. Jest to kolejny argument za istnieniem wielkoci
infinidezymalnych. Skoro nieskoczonoci postaci:
2f( ... (2f~o) )
s definiowalne, a wic tym samym s okrelone, ich odwrotnoci równie
winny by okrelone, których z kolei odwrotnoci take powinny by
wielkociami okrelonymi. Jeli wic odwrotnoci definiowalnej liczby
nieskoczonej 2f (. .. (2f~o)) ma by zero, to odwrotno zera, bdc
wielkoci nie okrelon, nie powinno by równe 2f( ... (2f ~o) ).
Ponadto - jak ju zostao to wczeniej zauwaone - jedna liczba, w tym
wypadku zero, nie powinna by odwrotnoci wielu rónych liczb.
Zgodnie z hipotez jod, z punktu widzenia wiata liczb wymiernych,
wszystkie jody s wartociami zerowymi. S to jednak zera potencjalne,
nie za aktualne. Dotychczasowy zakres nazwy "zero" zosta podzielony
na zakresy nazw ,,joda zero", ,,joda jeden", ,,joda dwa", ... oraz
"zero w wszym rozumieniu". Zero w wszym rozumieniu jest wic zerem
aktualnym, odpowiadajcym odwrotnoci jednej jedynej i niewyraalnej,
najwikszej Nieskoczonoci ograniczajcej cig wszystkich znanych nam
nieskoczonoci, o ile ograniczenie to w ogóle istnieje. Istnienie za
tego Ograniczenia wydaje si pozostawa kwesti wiary.
Hipoteza jod 147
Aczel A. D., 2002, Tajemnica Alefów, matematyka, kabala i
poszukiwania nieskoczonoci (The Mystery of the Aleph), Dom Wyd.
Rebis, Pozna.
Conway J. H., Guy R. K., 1998, Ksiga liczb, Wyd.
Naukowo-Techniczne, Warszawa. [1]
http://www.campusprogram.com/reference/en/wikipedia/i/in/infinitesima1.html
[2] http:j
/www.campusprogram.comjreferencejenjwikipediajsjsujsurreal_number.html
Page 3
Images
Images