Upload
ricardo-azuara-ramirez
View
243
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Historia de Los Números y Sus Clasificaciones*realesnaturales, enteros, racionales, irracionales*imaginarios*complejos
Citation preview
Historia&
Clasificación de los números
Ricardo Azuara.Septiembre 2015.
Universidad Popular Autónoma de VeracruzIngeniera industrial.
Matemáticas 1
Resumen
El presente trabajo de investigación aborda la historia de los números a través del tiempo; las diferentes maneras que utilizaron diversas culturas y civilizaciones para poder dar solución al problema de contabilizar su entorno.
A través de los años, las culturas y grandes civilizaciones se han apoyado del uso de los números exactamente de la misma manera que lo hacemos hoy en nuestros días, lo único que ha cambiado con el paso del tiempo es la manera en que estos números son representados.
Una vez entendido esto nos adentraremos a definir y dar algunos ejemplos de las clasificaciones que se les da a los números actualmente.
Números reales: a) naturalesb) enteros c) racionalesd) irracionales
Números imaginarios.
Números complejos.
Todo esto con el fin de dar a conocer las clasificaciones en las que se dividen los números, conocer su definición, saber que números entran dentro de cada clasificación, y para que nos sirven cada una de ellas.
Tabla de Contenidos
Capítulo 1 Historia de los números.................................................................................................1
Los números a través del tiempo.................................................................................................1
Culturas, civilizaciones y los números........................................................................................1
Capítulo 2 Clasificación de los números........................................................................................4
Los números y sus clasificaciones...............................................................................................4
Los números reales......................................................................................................................4
Los números imaginarios.............................................................................................................8
Los números complejos.............................................................................................................10
Capítulo 4 Resultados y discusión................................................................................................11
Lista de referencias....................................................................................................................12
Apéndice....................................................................................................................................13
Lista de tablas
Tabla 1. Composicion de un numero complejo.................................................................10
Lista de figuras
Figura 1. Forma en que los egipcios representaban los números......................................2
Figura 2. Sistema de numeración maya. 2
Figura 3. Sistema de numeración china. 3
Figura 4. Números naturales expresados en recta real. 5
Figura 5. Números enteros expresados en recta real. 5
Figura 6. Números racionales representados en recta real. 5
Figura 7. Formula del número áureo. 6Figura 8. Los números reales y sus conjuntos....................................................................7
Capítulo 1
Historia de los números
Los números a través del tiempo
Aun en la actualidad, no podemos a ciencia cierta, decir que conocemos por que
empezamos a utilizar los números. Lo que si podemos hacer, es intuir que vino de la necesidad
de encontrar un método para contabilizar nuestro entorno; ya sea para saber cuántos integran una
familia o manada, o contar posesiones, etc.
Cuando la raza humana empieza a contar, lo hace asiéndose valer de piedras, dedos,
muescas en bastones, nudos en una cuerda, etc., de echo el significado de la palabra calcular es
contar con piedras, ya que viene de la palabra en latín “calculus” que significa piedra.
Pero, si la cantidad que se requiere representar es mayor va a ser necesario un método más
práctico.
¿Pero de qué forma se solucionó este problema? La solución radico en que al alcanzar
cierto número, este se representaba con una marca distinta que representaba a todos los
anteriores; a este número se le llama base, y la base que más se utilizó por diversas culturas fue
la base 10.
Desde hace miles de años las culturas han contado valiéndose de las unidades, decenas,
centenas, etc., de la misma manera que lo hacemos hoy en día, lo que ha cambiado es la forma en
que se representan los números.
Culturas, civilizaciones y los números
Han existido muchas formas de representar los números por los pueblos y civilizaciones:
Los egipcios usaban los números antes del 3000 A.C., estos fueron necesarios en sus
ciudades para sus negocios, ellos usaban los números en base diez y utilizaban un símbolo las
veces que fueran necesarias para representar el número, además podían escribirlos de izquierda a
derecha o de arriba hacia abajo; de cualquiera de las dos formas era aceptable.
Su interés tenía que ver mucho con el Nilo, cuando llegaban las inundaciones, estas
modificaban los tamaños de los campos de labor, el Faraón mandaba a medir para distribuir
equitativamente los terrenos entre los campesinos pero la cuerda que era utilizada para medir no
era exacta para medir el tamaño de los campos así que hallaron la solución inventando el número
que resultaba de la fracción de dos números naturales, habían descubierto las fracciones.
Figura 1. Forma en que los egipcios representaban los números.
Los mayas usaban un sistema de base veinte y cinco, en sus cuentas ellos usaban el cero
y contaban del cero al diecinueve utilizando los dedos de las manos y los pies; ellos también
representaban los números por medio de jeroglíficos. Para ellos los números eran importantes
para medir el tiempo, solo necesitaban tres símbolos para representar los números, el punto con
valor uno, la raya con valor cinco, y el caracol con valor cero.
Figura 2. Sistema de numeración maya.
Los hindúes contaban con los dedos de las manos con ellas contaban del cero al nueve, su
sistema era decimal igual al nuestro hoy en día. Cada pueblo tenía sus particularidades con los
números, aunque todos apreciaron su necesidad, y muchos fueron aportando mejoras que hoy
utilizamos.
En la antigüedad cuando las operaciones matemáticas daban un resultado negativo decían
que eran soluciones imposibles. Sin embargo los chinos (comerciantes) usaban dos colores para
llevar las cuentas de sus negocios las deudas las registraban en color rojo y las que no lo eran en
color negro.
Figura 3. Sistema de numeración china
El sistema que usamos actualmente es invención de los hindúes, de ahí lo aprendieron los
árabes que lo introdujeron en Europa, posiblemente desde Italia. Este sistema nos permite
actualmente, que con solo diez símbolos pueda representarse cualquier número por muy grande
que sea.
Capítulo 2
Clasificación de los números.
Los números y sus clasificaciones
Para abordar este tema vamos a separar los números en tres grupos que vamos a dejar de
la siguiente manera:
1. Números reales:
a) Naturales
b) Enteros
c) Racionales
d) Irracionales
2. Números imaginarios.
3. Números complejos.
A continuación vamos a definir cada grupo y subgrupo; a establecer que números entran
dentro de cada uno de ellos y conocer y/o identificar para que nos sirven cada uno de ellos.
Los números reales
Los números reales se definen como todos los números que pueden expresarse en una
línea continua, ya que a todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la
recta le corresponde un número real, dicho de otra manera es el conjunto de los números
naturales, enteros, racionales, e irracionales.
En matemáticas se representan por el símbolo o de otra forma R (la letra R en negrita).
A continuación se define y describe cada subgrupo de los números reales:
Los números naturales están representados por “N” y son todos los números mayores de
cero incluyendo el mismo cero, que sirven para contar. No pueden tener parte decimal,
fraccionaria, ni imaginaria. N = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…] (saberes practico.com, 2014)
Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (numero cardinal). O
bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).
Figura 4. Números naturales expresados en recta real
Los números enteros “Z” incluyen al conjunto de los números naturales, y a sus opuestos
los números negativos. Es decir: Z = […-2, -1, 0, 1, 2…]
Figura 5. Números enteros expresados en recta real
¿Pero para que nos sirven? Bueno pues este grupo de números aparte de lo que ya nos
permiten los números naturales nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo
cero, las profundidades con respecto al nivel del mar, etc. (ditutor.com, 2015)
Los números racionales “Q” se llaman números racionales a todos los números que
pueden representarse como el cociente (resultado de la división) de dos enteros. Por
ejemplo: Q = [¼, ¾, etc.] (ditutor.com, 2015)
Figura 6. Números racionales representados en recta real
Los números decimales como los decimales exactos, periódico puro y periódico mixto;
también son números racionales; pero los números decimales ilimitados no. Pero vamos a dejar
en claro los tipos de decimal definiéndoles brevemente:
Decimal exacto: es aquel que tiene un número definido de decimales. Ej. 1.1234
Periódico puro: es aquel que tiene una o más cifras decimales que se repiten
indefinidamente desde el propio punto decimal. Ej. 1.12121212…12 o 1.3333…33
Periódico mixto: número con decimales que se repiten periódicamente después de un
grupo de decimales que no forma parte de la repetición. Ej. 1.234121212…12
Todos estos números y los anteriores entran en el conjunto de los números racionales.
Los números irracionales “I” son aquellos que poseen infinitas cifras decimales no
periódicas, por lo tanto no es posible expresarlos en forma de fracción. El número irracional más
conocido es que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su
diámetro. = 3.141592653589...
Otros números irracionales son:
El numero e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la
fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.
e = 2.718281828459...
El número áureo, utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci,
Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.
Figura 7. Formula del número áureo.
Con los números reales podemos realizar casi todas las operaciones matemáticas, las
excepciones que se encuentran son: la radicación de índice par y radicando negativo; y la
división por cero.
Los números imaginarios
Los números imaginarios son un tipo de número cuyo origen gira en torno a la raíz
cuadrada de menos 1. Para entender este concepto hay que explicar un poco qué son las raíces
cuadradas.
Ahora sabemos qué; con los números reales, cualquier número elevado por sí mismo (a
excepción del cero) nos arroja un resultado positivo; a esta operación se le llama elevar al
cuadrado, por ejemplo elevar dos al cuadrado sería: 2 · 2 = 2² = 4.
La raíz cuadrada es precisamente el proceso matemático opuesto a elevar al cuadrado, es
decir: √4 = √2² = 2.
Tomando en cuenta esto, podemos decir que; cuando elevamos al cuadrado un número y
a ese resultado le sacamos la raíz cuadrada, lo que vamos a obtener es el número original:
3 –> 3² –> √3² –> 3.
Viendo esto de manera lógica tomando en cuenta el razonamiento anterior, si la raíz
cuadrada es la operación inversa a elevar el cuadrado de cualquier número y como resultado de
estos tenemos siempre resultados positivos, las raíces cuadradas solo pueden realizarse en
números positivos.
¿Entonces como darle solución a la siguiente ecuación: x² = -1? Siguiendo las reglas de
los números reales no se puede resolver ya que x sería igual a √-1. Una operación que hemos
visto que no puede existir; para enfrentar esta situación, se propuso como solución sustituir ese
valor por un número: el número i. (en algunas ocasiones donde se resuelvan problemas donde
alguno de los símbolos que se incluyan también sea i, se puede representar con la letra “j”)
¿Y estos números imaginarios para que nos sirven?
En primer lugar para dar solución a la problemática de las raíces cuadradas negativas
x² = -1, en la que x = √-1
Para dar solución a determinados problemas cotidianos en los que aparecen
intermediarios con raíces negativas. Estos casos aunque no lo parezca son muy
frecuentes en los campo de la electricidad y la temática; aunque también aparecen
menudo en la mecánica cuántica. (saberespráctico.com, 2012)
Vamos a ejemplificar esto en una ecuación de tres incógnitas en la que se ha conseguido
llegar a los siguientes resultados: (X = √-9); (Y = √-4): (X · Y) + 7 = Z
Mediante operaciones reales, esta ecuación no se podría resolver por el simple hecho de
que las raíces negativas no existen. Ahora bien, haciendo uso del número i, la ecuación quedaría
de la siguiente manera:
[(√9 · √-1) · (√4 · √-1)] + 7 = Z
Sustituyendo √-1 por i:
(3i · 2i) + 7 = Z
6i² + 7 = Z
Sustituyendo i² por -1:
-6 + 7 = Z
Z= 1
Los números complejos
Un número complejo es una combinación de un número real y un número imaginario.
(Rod Pierce, 2011). Ejemplos:
1 + I 12 - 3.1i -0.85 - 2i π + πi √2 + i/2
Aunque suene un poco descabellado así es; la combinación de dos números, da como
resultado un número complejo, siempre y cuando se combinen un número real y uno imaginario.
Entonces un número complejo tiene una parte real y una imaginaria. Pero cualquiera de
las dos puede ser cero, así que los números reales y los imaginarios son también números
complejos.
Tabla 1. Composición de un número complejo
Número complejo
Parte realParte
imaginaria
3 + 2i 3 2
5 5 0
-6i 0 -6
Pero veamos ahora algunos ejemplos de cómo sumar y multiplicar estos números
complejos.
Para sumar; se suman los dos partes por separado: (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
Ejemplo: (3 + 2i) + (1 + 7i) = (4 + 9i)
Pero para multiplicar seguimos la siguiente regla: (a,b)(c,d) = (ac-bd, ad+bc)
Ejemplo: (3 + 2i) (1 + 7i) = ((3×1 - 2×7) + (3×7 + 2×1) i) = -11 + 23i
Capítulo 4
Resultados y discusión.
Después de llevar a cabo todo este viaje, a través de cómo se fue desarrollando a lo largo
de la historia el sistema que utilizamos actualmente; y de cómo se le fueron sumando mejoras
hasta llegar a estar como lo conocemos actualmente, podemos deducir que precisamente fue la
necesidad de registrar lo que sucede a nuestro alrededor, lo que ocasionó la invención de los
números.
Clasificarlos en los diferentes conjuntos que existen actualmente es una manera de
simplificar su estudio. Ya que al final se puede deducir que todos son parte de un todo donde se
encierran todas las características de los números.
A manera personal; el delimitar cada grupo, definirlo y ver para que sirve cada conjunto,
me ha servido en gran manera para entender mejor el mundo de las matemáticas.
Lista de referencias
CNMV y Banco de España. (2011). Portal educativo para la educación financiera en educación secundaria obligatoria. España. Gepeese. Recuperado de: http://www.finanzasparatodos.es/gepeese/es/inicio/laEconomiaEn/laHistoria/historia_numeros.html
Saber es práctico. Tipos de números (clasificación). Recuperado de: http://www.saberespractico.com/estudios/secundaria-bachiller/matematicas-secundaria-bachiller/tipos-de-numeros-clasificacion/
Diccionario de matemáticas. Clasificación de los números. Recuperado de: http://www.ditutor.com/numeros_naturales/clasificacion_numeros.html
Saber es práctico. Los números imaginarios (utilidad). Recuperado de: http://www.saberespractico.com/estudios/secundaria-bachiller/matematicas-secundaria-bachiller/los-numeros-imaginarios-utilidad/
Rod Pierce. (2011). Disfruta las matemáticas. E. U. Rod Pierce. Recuperado de: http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-complejos.html
Apéndice
Figura 1. Forma en que los egipcios representaban los números.
Figura 2. Sistema de numeración maya.
Figura 3. Sistema de numeración china
Figura 4. Números naturales expresados en recta real
Figura 5. Números enteros expresados en recta real
Figura 6. Números racionales representados en recta real
Figura 7. Formula del número áureo.