Historia Resumida de las Matemáticas.

Las matemáticas son el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.

Las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad.

Las matemáticas avanzadas y organizadas fueron desarrolladas en el tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto, las cuales estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos.

Los primeros libros egipcios, muestran un sistema de numeración decimal con símbolos diferentes para las potencias de 10, similar a los números romanos. Los números se representaban escribiendo 1 tantas veces como unidades tenía la cifra dada, el 10, tantas veces como decenas tenía, y así sucesivamente. Para sumar, se sumaban en secciones diferentes las unidades, las decenas, las centenas... de cada número para obtener el resultado correcto. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (ð), junto con la fracción, para expresar todas las fracciones. En geometría encontraron reglas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, pirámides. Para calcular el área de un círculo, utilizaron un cuadrado de lado ð del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando pi 3.1416.

Los babilonios tallaron tablillas con varias cuñas (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una en forma de flecha representaba al 10. Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como lo hacían los egipcios y los romanos. Pero el 60, era representado con el símbolo del 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en la cifra completa. Esta manera de expresar números, fue ampliado a la representación de fracciones. Posteriormente este sistema fue denominado sexagesimal.

Tiempo más tarde, los babilonios desarrollaron matemáticas más sofisticadas, lo cual les permitió encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. También lograron encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Fueron capaces de recopilar gran cantidad de tablas, como las de multiplicar, de dividir, de cuadrados y hasta las de interés compuesto. Calcularon la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, pero también de sucesiones de cuadrados. Aunque también obtuvieron una buena aproximación de la raíz cuadrada.

Uno de los grupos más innovadores en la historia de las matemáticas fueron los egipcios, quienes inventaron las matemáticas abstractas basadas en definiciones, axiomas y demostraciones. Los descubridores egipcios más importantes fueron Tales de Mileto y Pitágoras de Samos, quien explicó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo.

Uno de los principales interesados en la geometría fue Demócrito, quien encontró la fórmula para calcular el volumen de una pirámide, aunque Hipócrates, descubrió que el área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos, lo cual está relacionado con el problema de la cuadratura del círculo, que consiste en construir un cuadrado de área igual a un círculo. En ese tiempo también fue resuelto mediante diversos métodos y utilizando instrumentos diversos, entre los que se encuentran el compás en incluso la regla el problema de la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo que consiste en construir un cubo cuyo volumen es el cuadrado de el de un cubo dado).

A finales del siglo V a.C., descubrieron que no existe una unidad de longitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, puesto que una de las dos cantidades es inconmensurable, es decir, no existen dos números naturales cuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado y la diagonal. Pero como los griegos sólo utilizaban los números naturales, no pudieron expresar numéricamente dicho cociente, ya que es un número irracional. Por esta razón, fue abandonado la teoría Pitagórica de la proporción, basada en números, por lo que más tarde crearon una nueva teoría no numérica, la cual fue introducida por Eudoxo, quien descubrió un método para demostrar supuestos sobre áreas y volúmenes mediante aproximaciones sucesivas.

Euclides redactó trece libros que componen sus Elementos, los cuales contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente en el siglo IV a.C., trataba temas como la geometría de polígonos, del círculo, la teoría de números, la teoría de los inconmensurables, la geometría del espacio y la teoría elemental de áreas y volúmenes.

Mucho tiempo después, Arquímedes utilizó un nuevo método teórico para calcular las áreas y volúmenes de figuras obtenidas a partir de las cónicas. Apolonio, redactó un tratado en ocho tomos sobre las cónicas, y estableció sus nombres: elipse, parábola e hipérbola. Este tratado sirvió de base para el estudio de la geometría de estas curvas.

Después, Herón expuso cómo elementos de la tradición aritmética y de medidas de los babilonios y egipcios convivieron con las construcciones lógicas de los grandes geómetras.

En el siglo II a.C., los griegos adoptaron el sistema babilónico de almacenamiento de fracciones y recopilaron tablas de las cuerdas de un círculo, puesto que para un círculo de radio determinado, estas tablas daban la longitud de las cuerdas en función del ángulo central correspondiente, que crecía con un determinado incremento. Eran similares a las tablas de seno y coseno, y marcaron el comienzo de la trigonometría.

Mientras tanto, se desarrollaron otros métodos para resolver problemas con triángulos planos y se introdujo el teorema de Menéalo, que utilizaron para calcular las longitudes de arcos de esfera en función de otros arcos, son este conocimiento, les fue posible resolver problemas de astronomía esférica.

Después de un siglo de expansión de la religión musulmana, los árabes incorporaron a su propia ciencia los resultados de “ciencias extranjeras”.

Hacia el año 900, los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales.

Posteriormente, Jayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior. Pero el árabe Al-Jwârizmî (de su nombre procede la palabra algoritmo) desarrolló el álgebra de los polinomios; al-Karayi la completó para polinomios incluso con infinito número de términos. Ibrahim ibn Sinan, continuaron investigaciones sobre áreas y volúmenes. Los matemáticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon trigonometrías plana y esférica utilizando la función seno de los indios y el teorema de Menelao.

Pero fue siglos después cuando algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría de números, mientras otros crearon variedad de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones.

 Hasta el siglo XVI, descubrieron una fórmula para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por Cardano en su Ars magna. Esto llevó a los matemáticos a interesarse por números complejos y estimuló la búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior.

En el siglo XVI se utilizaron los signos matemáticos y algebraicos.

Durante el siglo XVII se comenzó con el descubrimiento de logaritmos por Neper, lo que llevó a Laplace a decir, dos siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les había duplicado la vida.

La ciencia de la teoría de números, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII basándose en los estudios de la antigüedad clásica. Su conjetura más destacada en este campo fue que no existen soluciones de la ecuación an + bn = cn con a, b y c enteros positivos si n es mayor que 2, lo que es famoso con el nombre de teorema de Fermat.

Tiempo después fue descubierto por Descartes, la geometría analítica, que mostraba cómo utilizar el álgebra para investigar la geometría de las curvas. Posteriormente, fue la publicación, por Desargues de su descubrimiento de la geometría proyectiva. Pero, a pesar de que este trabajo fue alabado por Descartes y Pascal, su terminología excéntrica y el gran entusiasmo que había causado la aparición de la geometría analítica retrasó el desarrollo de sus ideas hasta el siglo XIX, con los trabajos de Poncelet.

En el siglo XVII, apareció la teoría de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat sobre el problema de puntos, esto llevó a Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos con dados, que fue publicado por Bernoulli.

El acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue el descubrimiento por Newton de los cálculos diferencial e integral, para llegar a éstos, Newton se basó en los trabajos de John Wallis, Isaac Barrow, Descartes, Cavalieri, Hudde y Roberval. Pero ocho años más tarde, Leibniz descubrió también el cálculo pero el primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notación de Leibniz es el que se usa hoy en día en el cálculo.

A continuación, discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió crear nuevos campos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y Monge la geometría descriptiva. Lagrange, dio un tratamiento completa-mente analítico de la mecánica. Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades y el clásico Mecánica celeste, los cuales le valieron el sobrenombre de `el Newton francés'.

En el siglo XVIII, Euler aportó ideas sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra. La teoría de Newton estaba basada en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era algebraico y basado en el concepto de las series infinitas.

En 1821, Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo; basó su visión del cálculo en cantidades finitas y el concepto de límite. Pero, esta solución planteó elproblema de la definición lógica de número real. A pesar de que la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, Dedekind encontró una definición adecuada para los números reales, a partir de los números racionales.

A principios del siglo XIX, Gauss dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y Riemann. Otro importante avance del estudio, por parte de Fourier, fue el de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas, las que hoy en día se conocen como series de Fourier, y son herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Además, la investigación de funciones llevó a Cantor al estudio de los conjuntos infinitos y a una aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor fue considerada como demasiado abstracta y criticada como “enfermedad de la que las matemáticas se curarán pronto”, forma hoy parte de los fundamentos de las matemáticas y recientemente ha encontrado una nueva aplicación en el estudio de corrientes turbulentas en fluidos.

Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e inútil en su tiempo fue la geometría no euclídea, en la cual se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto que no pertenece a ésta. Aunque fue descubierta primero por Gauss, Lobachevski y Bolyai, lo publicaron primero porque Gauss tuvo miedo a la controversia que su publicación pudiera causar. Las geometrías no euclídeas fueron estudiadas por Riemann, con su descubrimiento de las múltiples paralelas.

Durante el siglo XIX, George Boole y Cantor dan su teoría de conjuntos. Pero, fue hasta finales del siglo cuando se descubrieron una serie de paradojas en la teoría de Cantor. Posteriormente, Russell encontró una paradojas, que afectó al concepto de conjunto.

Hilbert invento el ordenador o computadora digital programable, primordial en las matemáticas del futuro. Aunque los orígenes de las computadoras fueron las calculadoras de relojería de Pascal y Leibniz en el siglo XVII, fue Babbage quien, en la Inglaterra del siglo XIX, diseñó una máquina capaz de realizar operaciones matemáticas automáticamente siguiendo una lista de instrucciones escritas en tarjetas o cintas. La imaginación de Babbage sobrepasó la tecnología de su tiempo, construyendo el relé, la válvula de vacío y después la del transistor cuando la computación programable a gran escala se hizo realidad., lo cual ha dado un gran impulso a ciertas ramas de las

matemáticas, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y ha generado nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se ha convertido en una poderosa herramienta en campos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador ha permitido encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente, como el problema topológico de los cuatro colores propuesto a mediados del siglo XIX. El teorema dice que cuatro colores son suficientes para dibujar cualquier mapa, con la condición de que dos países limítrofes deben tener distintos colores.

Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros como las hipótesis de Riemann siguen sin solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.

Babilonia

Tres mil años antes de Cristo, los pobladores de los ríos Tigris y Eúfrates dejaron miles de tablillas de arcilla. En más de 500 de ellas aparecen manifestaciones matemáticas que describen su sistema de numeración en base 60 y sus conocimientos sobre el teorema de Pitágoras.

Eran grandes observadores del espacio, es decir de las posiciones de los planetas que llegaban a observar (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno), gracias a ellos, ahora tenemos dos conocimientos, de los cuales uno tiene importancia mayor a la del otro y son:

- El horóscopo. Bautizaron las doce constelaciones del zodíaco, dividiendo cada una de ellas en 30 partes iguales. Es decir, dividieron el círculo zodiacal en 12 x 30 = 360 partes.

- Afirmaron la división de la circunferencia en 360 grados y la de cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. 

 

Fueron capaces de calcular raíces cuadradas, fracciones, ecuaciones de primer y segundo grado y ecuaciones cúbicas de la forma n3 + n2 = a.

   

Tablilla con motivos geométricos

En el 2000 a.C., descubrieron un sistema posicional, en el que simbolizaban cualquier número con la T para el 1 y < para el 10. La base que utilizan es 60. Ejemplos:

24 = <<TTTT 93 = 60 + 30 + 3 = T<<<TTT

En la tablilla Plimpton 322, se puede deducir que los babilonios conocían el hecho de que si p y q son dos números enteros entonces los números b = p2 - q2 ; c = 2pq ; y a = p2 + q2 a, b y c son las medidas de los lados de un triángulo rectángulo. Lo que ahora es mejor conocido con el nombre de Teorema de Putágoras.

Egipto

Según Herodoto los egipcios son los padres de la Geometría, aunque también tenían un sofisticado sistema de numeración que les permitía trabajar con fracciones de una forma muy especial ya que el numerador siempre era la unidad. En los papiros de Rhind y de Moscú, aparece una colección de más de 100 problemas matemáticos egipcios. Su sistema de numeración era de base diez. Los símbolos para representar las potencias de 10 eran los siguientes:

 

Papiro de Moscú

Los egipcios sólo utilizaban fracciones con numerador uno (1), como: 1/3, 1/7, 1/15, 1/47...

El papiro de Rhind contiene una tabla de conversión de partes de la unidad a estas fracciones. Es el equivalente con más de 3000 años de antigüedad de nuestras tablas de multiplicar, sólo que para trabajar con fracciones.

Pitágoras

Introdujo la necesidad de demostrar las proposiciones matemáticas de manera inmaterial e intelectual, al margen de su sentido práctico. Los pitagóricos dividieron el saber científico en cuatro ramas: la aritmética o ciencia de los números - su lema era "todo es número" -, la geometría, la música y la astronomía.

 

Descubrió que existía una estrecha relación entre la armonía musical  y la armonía de los números, puesto que si jalamos una cuerda obtenemos una nota. Cuando la longitud de la cuerda se reduce a la mitad, (en relación 1:2) obtenemos una octava y así sucesivamente.

  El teorema de Pitágoras tiene gran cantidad de demostraciones, incluso el señor Scott Loomis recopiló información y publicó a principios del siglo XX que tenía 367 demostraciones, aunque obviamente existe un margen de error. El teorema de Pitágoras es el siguiente:

Los números poligonales estuvieron representados en la siguiente tabla:

Hipsicles de Alejandría (Siglo II a.C.) va a proporcionar la definición de número poligonal de d lados y orden n de una forma que algebraicamente equivale a la fórmula N (n,d) = n+ 1/2 n ( n -1) ( d -2 )

Euclides en el libro más famoso de la Historia de las Matemáticas recopiló gran parte de los conocimientos Pitagóricos sobre los números. Así mismo, definió los números primos y compuestos de forma geométrica: un número entero es compuesto cuando tiene divisores distintos de él mismo y de la unidad, es decir cuando se puede dibujar como un rectángulo numérico.

En el libro IX de los Elementos, Euclides nos deja perplejos con su proposición 36, que proporciona un método original para encontrar números perfectos, la cual es:

"Si tantos números como se quiera a partir de una unidad se disponen en proporción duplicada hasta que su total resulte primo, y el total multiplicado por el último produce algún número, el producto será perfecto" .

Lo que se refiere a "Si la suma de las n primeras potencias de 2 es un número primo, entonces el producto de la suma por la última potencia sumada es un número perfecto".

Si (1+2+22+...+2n) es primo, entonces (1+2+22+...+2n)·2n es perfecto.

 Nicómaco de Gerasa en su Introductio Arithmeticae incluye los 4 primeros números perfectos que son: 6, 28, 496, 8128. Nicómaco llegó a descubrir distintos resultados tales como el hecho de que el cubo de todo número entero n, es la suma de n números impares consecutivos: 13 = 1; 23 = 3+5; 33 = 7+9+11; ...

Pero fue hasta el siglo I, cuando se encontró la solución a uno de esos problemas: 13 + 23 + 33 + ... + n3 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 +...= (1+2+3+...+n)2. Su representación:

Apolonio es el padre de las cónicas

Arquímedes estudió círculos, esferas, espirales, parábolas, entre otras muchas formas geométricas.

El tornillo de Arquímedes

Diofanto La Aritmética constaba de 13 libros de los cuales sólo seis sobrevivieron a la invasión de la biblioteca de Alejandría por los cristianos y musulmanes. En ellos, Diofanto propone más de cien problemas numéricos y da soluciones a todos ellos. Pero, fue hasta 1621 cuando apareció en Francia una traducción al latín de estos seis libros, realizada por Bachet.

Números romanos

Sistema de numeración de los romanos, el problema es que no es una buena herramienta para el cálculo, puesto que utiliza letras del alfabeto para representar los números y no es posicional, es decir cada símbolo vale siempre lo mismo, no importa dónde esté colocado. Las cifras que son utilizadas son: I, V, X, L, C, D, M. El sistema se basa en la suma de los símbolos. Salvo en el caso en que un signo numérico menor preceda a uno mayor, en ese caso se utiliza la sustracción.

 El siglo XIX

Al igual que Arquímedes y Newton, Gauss es uno de los genios de la historia de las Matemáticas. Sus aportaciones fueron increíbles y precisamente por eso, algunos de ellos, esperaron más de un siglo para ser aceptados.

Las aportaciones de Gauss fueron tantas que llegaron a ser inestimables; algunas de ellas son la Teoría de números, Astronomía, Magnetismo, Geometría, Análisis. La gran mayoría, sino es que todos los descubrimientos en el siglo XIX, se deben a Gauss:

Las Disquisiciones Aritméticas, escritas en 1799 y publicadas en 1801, fueron la obra cumbre de la Teoría de Números de la época, la cual colocó a Gauss en la cumbre de la matemática, a sus 24 años. En el artículo 293 de la quinta sección Gauss demuestra que todo número entero es suma de, a lo sumo, tres números triangulares y de cuatro cuadrados. N = ð ð ð ð ð

  En la última proposición de las Disquisiciones Gauss nos brinda la relación de los polígonos regulares que se pueden construir con regla y compás.

Su Logro más grande fue el hecho de haber construido el polígono regular de 17 lados , lo cual nadie había logrado anteriormente.

Sus técnicas para el cálculo de órbitas planetarias aplicando el principio de mínimos cuadrados están recopiladas en su segundo libro "Teoría del movimiento de los cuerpos celestes", publicado en 1809.

De igual manera publicó los residuos cuadráticos y bicuadráticos, así como la ley de mínimos cuadrados.

Pero eso no le bastó, así que se dedicó de lleno al Teorema Fundamental del Álgebra, teniendo sólo 22 años en su tesis doctoral. Fue el primer matemático que demostró que cada ecuación tiene al menos una raíz compleja, consiguiendo la aceptación por los matemáticos de los números complejos, los cuales ya habían sido estudiados anteriormente por Wallis y Euller, pero se referían a ellos como números imposibles, con explicaciones muy poco convincentes para el resto de los matemáticos.

Medio siglo antes de que Bolyai y Lobatchesky descubriesen la geometría hiperbólica, Gauss ya le había comunicado a un amigo la existencia de geometrías no euclideas tan consistentes como ésta. Y fue así como en su Quinto Postulado de Euclides los esquematizó:

Principales Exponentes.

Arquímedes. Inició el estudio de la estática, anticipó métodos del cálculo infinitesimal y sentó las bases de la hidrostática. El espiral de Arquímedes era una curva cuyo radio vector es proporcional al ángulo girado. Mientras que en su postulado afirmó que dados dos segmentos sobre una recta, cualquiera de ellos puede ser recubierto con un número entero de segmentos iguales al otro. Pero en su Principio avaló que todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta un empuje hacia arriba igual que el peso del fluido que desaloja.

Galileo Galilei. Levó a la práctica el concepto de método científico de Bacon, extensible a toda ciencia experimental. Demostró que la caída libre de los graves se

produce según un movimiento uniformemente acelerado. Sufrió procesos inquisitorios por su libro “Diálogos acerca de los Sistemas Máximos”.

Galois. Afirmó que "Una ecuación irreducible de grado primo es resoluble por radicales si y solo si todas sus raíces son funciones racionales de dos cualesquiera de las raíces"

Abel. Declaró en su Memoria "Sobre la Resolución Algebraica de Ecuaciones", que "No existe una fórmula general expresada en términos de operaciones algebraicas explícitas entre los coeficientes que nos dé las raíces de la ecuación si el grado es mayor que 4"

Lobatchesky y Bolyai Eran dos jóvenes matemáticos, uno húngaro János Bolyai, y otro ruso Nokolai Lobachevsky, publicaron casi simultáneamente su descubrimiento de la geometría hiperbólica, a pesar de que veinte años antes, Gauss había llegado a esos mismos resultados, aunque nunca se atrevió a publicarlos.

Riemann Dio los fundamentos para una teoría general de las funciones de una variable compleja, afirmándolo en "Las Hipótesis que sirven de fundamento a la Geometría": Las geometrías no euclídeas son no elementales,

La conjetura de Riemann es : "Todos los ceros complejos de la función zeta tienen parte real igual a 1/2"

David Hilbert. En sus “Fundamentos de Geometría” abordó la cuestión de la independencia y coherencia lógica de los diversos sistemas de axiomas de la geometría.

Isaac Newton. Descubrió las leyes de la gravitación universal. Se le debe el cálculo infinitesimal e importantes descubrimientos en óptica. Construyó los anillos de Newton, que eran un fenómeno óptico que se observaba al poner en contacto una superficie plana con una cóncava de gran radio, ambas de vidrio.

Finalidad de las Matemáticas.

La finalidad fundamental de la enseñanza de las matemáticas es el desarrollo del razonamiento y la abstracción, así como su carácter instrumental.

Las matemáticas están vinculadas a los avances que la civilización ha ido alcanzando y contribuyen al desarrollo y a la formalización de las Ciencias Experimentales y Sociales.

Por otra parte, el lenguaje matemático, es un instrumento eficaz que nos ayuda a comprender mejor la realidad que nos rodea y adaptamos a un entorno cotidiano en continua evolución. En consecuencia, el aprendizaje de las matemáticas proporciona la oportunidad de descubrir las posibilidades de nuestro propio entendimiento y afianzar nuestra personalidad, además de un fondo cultural necesario para manejarse en aspectos prácticos de la vida diaria, así como para acceder a otras ramas de la ciencia.

La resolución de problemas debe contemplarse como una práctica habitual, que no puede tratarse de forma aislada, sino integrada en todas y cada una de las facetas que conforman el proceso de enseñanza y aprendizaje.

El ciudadano del siglo XXI no podrá ignorar el funcionamiento de una calculadora, con el fin de poder servirse de ella, pero debe dársele un trato racional que evite su indefensión ante la necesidad, por ejemplo, de realizar un cálculo sencillo mentalmente. El uso indiscriminado de la calculadora en los primeros años de la vida de las personas impedirá que los alumnos adquieran las destrezas de cálculo básicas que necesitan en cursos posteriores. Por otra parte, la calculadora y ciertos programas informáticos, resultan ser recursos investigadores de primer orden en el análisis de propiedades y relaciones numéricas y gráficas y en este sentido debe potenciarse su empleo.

OBJETIVOS DE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS.

1. Utilizar las formas de pensamiento lógico en los distintos ámbitos de la actividad humana.

2. Aplicar adecuadamente las herramientas matemáticas adquiridas a situaciones de la vida diaria.

3. Utilizar correctamente el lenguaje matemático con el fin de comunicarse de manera clara, concisa, precisa y rigurosa.

4. Utilizar con sentido crítico los distintos recursos tecnológicos (calculadoras, programas informáticos) de forma que supongan una ayuda en el aprendizaje y en la aplicaciones instrumentales de las Matemáticas.

5. Resolver problemas matemáticos utilizando diferentes estrategias, procedimientos y recursos, desde la intuición hasta los algoritmos.

6. Aplicar los conocimientos geométricos para comprender y analizar el mundo físico que nos rodea.

7. Utilizar los métodos y procedimientos estadísticos y probabilísticos para obtener conclusiones a partir de datos recogidos en el mundo de la información.

8. Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de discernimientos que el alumno debe adquirir a lo largo de su educación.

El ser humano va afrontando el vértigo que provoca reconocer el carácter "contraintuitivo", o contrario a la intuición, de la realidad. Nuestro pensamiento sobre las cosas es fundamentalmente intuitivo, pero si nuestra intuición yerra, si las cosas no son como pensamos que son, surge la posibilidad de incorporar lo contraintuitivo como parte de lo intuitivo. Un ejemplo: la intuición nos lleva a concluir que el sol gira alrededor de la tierra, pero una observación más minuciosa nos lleva a concluir que la

realidad en este caso sucede de modo contraintuitivo, y es la tierra la que gira alrededor del sol. En este artículo se aborda la etapa clásica de la historia de la ciencia.

INTRODUCCIÓN

Este ensayo es una breve crónica sobre el modo en que el ser humano comenzó a afrontar el desconcertante vértigo que provoca el carácter contraintuitivo, contrario a la intuición, de la realidad objetiva, a poco que se indaga sobre ella, mediante observación y/o experimentación (el método científico).

Nuestro pensamiento es fundamentalmente intuitivo. Por ejemplo: la intuición nos lleva a concluir que el Sol gira alrededor de la Tierra, pues es lo que se observa con un primer "golpe de vista". Una observación objetiva más minuciosa conlleva una conclusión contraintuitiva: es la Tierra la que gira alrededor del Sol. En este caso, lo contraintuitivo debe ser incorporado a nuestro pensamiento como parte del proceso intuitivo, por muy repugnante que por instinto resulte a priori.

El hombre ha afrontado este problema una y otra vez a lo largo de todas las épocas, y sigue haciéndolo. Aquí se hablará de este asunto en referencia a los primeros siglos del desarrollo de la ciencia como fenómeno cultural, surgido en el seno de la masa social a partir del esfuerzo individual. En esto la ciencia se diferencia ligeramente de los movimientos sociales que surgen de la masa irracional, con frecuencia sin un propósito claro, pero con el ilusorio aspecto de haber perseguido unos fines claros y racionales al observar los resultados con visión retrospectiva (como cuando las hormigas regulan la temperatura de su hormiguero con apariencia de racionalidad en ello). Se supone que, en este sentido, la ciencia tiende hacia el orden (orden=heterogeneidad local en el seno del homogeneizante y caótico desorden; caótico=complejo e impredecible).

La ciencia quizá no sea tan irracional como los logros sociales, entonces. No obstante, las incongruentes consecuencias perniciosas de la ciencia, pues no todo son beneficios, llevan a pensar que tal vez en el fondo sea tan irracional como el resto de los avances socioculturales (por ejemplo: se pretende afrontar racionalmente el problema del hipotético cambio climático, pero, ¿es la emisión de CO2 por el ser humano, que está siendo considerada un posible factor causante del cambio climático, fruto de la irracional y caótica corrupción tecnológica, o es un impulso instintivo irracional para calentar un planeta que se está enfriando, de modo similar al impulso instintivo irracional que lleva a las hormigas a calentar su hormiguero cuando se enfría sin que cada hormiga lo sepa individualmente?).

Algo sorprendente de la historia de la ciencia es que no deja de ser una minuciosa muestra de cómo el ser humano se ha ido encontrando una y otra vez con un hecho: su intuición yerra una y otra vez, y su pensamiento ha de irse adecuando a una realidad objetiva, basada en hipótesis y pruebas, que se empeña también en ser contraintuitiva una y otra vez.

Es de suponer que los primeros descubrimientos humanos, el fuego, la rueda, etc., quizá hayan requerido un mínimo de método que vaya más allá del ensayo/error, así que podemos entrever una rudimentaria tendencia hacia una creciente capacidad de abstracción, que se adivina importante para que pueda surgir algo como la ciencia: el

empleo de la observación y la experimentación, para llegar al conocimiento y a partir de ahí modificar la realidad de un modo racional e  intencionado, supuestamente.

El lenguaje en palabras es fundamental para el desarrollo de la ciencia, pero también el lenguaje matemático, que con frecuencia es el único capaz de expresar contenidos con carácter científico excesivamente abstractos para la intuición basada en el lenguaje o las impresiones sensoriales, o para expresar  contenidos excesivamente limitados a datos cuantitativos sin demasiada descripción por medio.

Y es que una cosa es la descripción científica, que es el aspecto que en una determinada escala presenta un fenómeno para el observador compatible con esa escala (por ejemplo: el cerebro es un órgano dentro del cráneo, según descripción macroscópica), y otra cosa es la explicación científica del mismo fenómeno, que consiste también en otra descripción pero a una escala menor (por ejemplo: el cerebro a escala microscópica está formado por neuronas, cuyo funcionamiento descrito a escala microscópica a su vez explica el funcionamiento del cerebro descrito a escala macroscópica). En ciencia es importante, pues, entender qué es explicación y qué descripción.

El conocimiento no va a otorgar la inmortalidad del cuerpo en el futuro, y la inmortalidad de la mente ya ni se plantea, pues ni vive ni muere (esto es bastante contraintuitivo), al ser información (cierta forma de la materia, cierto "mensaje" en el cerebro) no una célula viva, y aun encima información abstracta. Por tanto, la búsqueda de la sabiduría no sirve para evitar la muerte, sino que es útil por si seguimos vivos mañana, para vivir mejor lo que corresponda vivir.

PRIMEROS PASOS RECONOCIBLES EN MATEMÁTICAS Y ASTRONOMÍA, EN SUMERIA Y BABILONIA, HACIA EL 1800 AC

¿Son las matemáticas un instinto? Los ovíparos cuentan sus huevos en el nido. Hacia el 1800 AC se da un primer gran salto cultural, al descubrirse súbitamente las matemáticas y la astronomía . Los sumerios y los babilonios introdujeron los primeros avances notables, hacia el 1800 AC, al utilizar un sistema sexagesimal de numeración, con el número 6 como base.

Es fácil no tener presente que usamos principalmente dos sistemas numéricos hoy: uno sexagesimal y otro decimal. Usamos el sexagesimal, por ejemplo, al medir el tiempo en horas de sesenta minutos, o los ángulos de arco al dividir la esfera en 360º de arco, que es 60 x 6. Puede que por convencionalismo no nos percatemos que en las manos tenemos 10 dedos, en vez de 14, porque los contamos usando un sistema decimal. Pero si utilizásemos un sistema sexagesimal, en las manos contaríamos 14 dedos, no diez, y estaríamos acostumbrados a afirmar que en nuestras manos tenemos 14 dedos, aunque esta contraintuitiva idea afrente a la intuición por nuestra costumbre convencional de usar un sistema decimal, pues aprendemos desde niños a hacer coincidir el signo 10 con el número de dedos de las manos, como si 10 fuese un significado absoluto, y no un convencionalismo. Y así, 10, ó 14, pueden significar a cantidades distintas, o a la misma, según el sistema empleado, pues, como acabamos de ver, en 2 manos tenemos tanto 10 como 14 dedos, dependiendo de si los contamos con un sistema decimal o con uno sexagesimal, respectivamente. De modo que incluso el sistema numérico es

importante para conformar nuestro poso cultural, y la manera en que percibimos intuitivamente la realidad.

En nuestras manos tenemos 14 dedos, no 10, si los contamos usando un sistema sexagesimal, de modo que nuestra percepción intuitiva de la realidad está condicionada por el lenguaje y sus signos, que nos impulsan a identificar una cantidad fija, los dedos de las dos manos, con un signo que parece ser idéntico a esa cantidad, y dicha identidad, aunque resulte contraintuitivo, es falsa.

Parece ser que la recurrencia por sumerios y babilonios al sistema sexagesimal (antes que al decimal, que es posterior, a pesar de tener 5 dedos en cada mano, no 6, que haría al decimal más intuitivo) podría basarse en que este sistema no precisa recurrir a fracciones para ciertos cálculos simples estereotipados propios de la época, como pudieran ser ciertas transacciones económicas al uso (recordemos que en aquella época no existían todavía los números reales, es decir, por ejemplo, los números decimales), ya que el sesenta, la base de este sistema, y como cuenta Asimov en su historia de la ciencia, es divisible por el 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15 y 30, con lo cual, los cálculos sobre las transacciones de tipo económico que se estuviesen haciendo podían llevarse a cabo automáticamente con gran velocidad a poco que se tuviese un poco de memoria.

En la actualidad perdura el sistema sexagesimal inventado por los sumerios (o por algún sumerio) en algunos de nuestros cálculos, como en el cálculo del tiempo (60 segundos cada minuto, en vez de 100) o el cálculo de los grados de circunferencia (en vez de 100, ó 1000, se usan 360 grados de circunferencia, que es divisible por 6).

EGIPCIOS, FENICIOS, HITITAS, ASIRIOS, LIDIOS, BABILONIOS. DESDE EL 1575 AC HASTA EL SIGLO 6 AC.

Hacia el 1575 AC, Akenatón, aquel faraón que parecía vivir sin demasiado sentido práctico de la vida, y que sin embargo de algún modo había conseguido seducir a la divina Nefertiti, inventó, parece ser, el monoteísmo, algo contraintuitivo en aquella época, y revolucionó el pensamiento y las relaciones humanas de manera radical. La historia no hubiera sido la misma sin este paso, ni los prejuicios. Estos cambios históricos influyeron mucho en la mentalidad de las gentes, en el moldeamiento de su idiosincrasia, y de sus tendencias intuitivas, y por tanto en la evolución de la ciencia (sin ir más lejos, muchos hallazgos fueron postergados por miedo de sus autores a ser quemados vivos por los hipócritas teócratas ateos de turno).

Hacia 1550 AC se escribió, posiblemente en Egipto, el papiro anónimo que descubrió Ebers en 1873 DC, que trae la primera compilación conocida de remedios médicos de todo tipo, desde mágicos hasta basados en la tradición cultural popular. El pensamiento mágico es intuitivo, surge de modo natural como fruto de la intuición de la gente. El pensamiento mágico consiste en establecer caprichosamente relaciones causales entre objetos entre los que no hay tal relación causal, basándose en su analogía. El pensamiento mágico ha ido siendo progresivamente sustituido por una interpretación más objetiva y contraintuitiva (anti-mágica) de la realidad, aunque sigue vigente en la actualidad en muchas circunstancias de la vida, por ejemplo, durante la infancia y en la adultez inmadura.

La cultura popular también es una importante y absolutista dictadora del pensamiento, de tal manera que se toma por interpretación intuitivamente objetiva lo tradicional, por mera costumbre, que más que infantilismo, parece indicar pereza mental y conformismo intelectual, así como gregarismo, y una malinterpretación del pragmatismo, dado que la realidad objetiva tiende a imponerse de manera implacable, al margen de la opinión tradicional, lo cual también acaba siendo contraintuitivo, y ha obligado al ser humano al replanteamiento una y otra vez del significado de la palabra "verdad". Y así tenemos dos fuentes de irracionalidad para añadir a la lista: el infantilismo y el gregarismo. Y esto es también incongruente, porque sin infantilismo no habría curiosidad (y juego), y sin gregarismo no habría trabajo en equipo, ambos fundamentales para que avance la ciencia, a pesar de la importancia del genio individual.

Hacia 1500 AC, a un fenicio de identidad desconocida le dio por inventar el alfabeto, un signo por sonido, para sustituir a la burocrática escritura jeroglífica. El primer signo fue el aleph, posteriormente conocido como letra alfa, o "a". Todos los alfabetos derivan de este. Nuestro alfabeto, como nuestra estirpe vital (a partir, parece ser, de una sola célula primordial), parece haber surgido una sola vez.

Hacia el 1000 AC los hititas descubrieron el hierro y dominaron el mundo (por la fuerza de las armas, no de la razón, matando, no convenciendo, es decir, no dominaron el mundo, sino que se autoconvencieron de estarlo dominando, ya que el dominio eficaz, el señorío digno de tal nombre, tal vez sea el dominio de uno mismo, no el dominio de los demás; el verdadero señorío posiblemente se defina así cuando se define bien: el señorío es el autocontrol (que como quedó claro en el artículo "Evolución y cerebración", podría ser también un importante signo de madurez mental), aunque resulte contraintuitivo para el común de los mortales, sobre todo para aquellos movidos por el miedo, la envidia y el odio, las bases para la intuición de tantas personas poco agraciadas.

El natural afán de dominar al prójimo es uno de los deportes favoritos del ser humano, sobre todo de los que, estando prácticamente vacía su mente, necesitan abrir el cráneo de los demás a golpes, para intentar convencerse de que los demás lo tienen tan vacío como ellos, y entonces dormir tranquilos tras haber masacrado a sus vecinos, robado sus propiedades y ocupado su sitio... y en la actualidad la cosa no parece haber variado mucho, pues en cuanto el ser humano logra suficiente impunidad y anonimato, vuelve a las andadas (incluso a pesar de no estar pasando hambre), utilizando para ello la más letal de las armas disponibles en la actualidad para las cohortes de advenedizos: la política. Y es que el ser humano, como decía Borges refiriéndose a los peronistas, no es ni bueno ni malo, sino incorregible.

El dominio de uno mismo, frente al dominio de los demás (como ridículo medio para poseer poder terrenal), también es algo contraintuitivo, que debió de irse abriendo camino en la sociedad desde siempre, influyendo en algunos de sus individuos, aunque no en los suficientes, tal vez, viendo la trágica existencia que ha llevado gran parte de la humanidad en todas las épocas.

Los acueductos datan del 700 AC, aproximadamente, parece ser que inventados en Asiria, donde por un lado masacraban y despellejaban a sus enemigos, y por otro, típica incongruencia del ser humano, llevaban a cabo mejoras de este calibre. Hacia el 700 AC

se inventó también en Egipto el reloj de Sol (en Egipto luce mucho el Sol). Y aquí tenemos por fin una medición sin un sentido estrictamente práctico, ni comercial, ni laboral, sino una medida porque sí, como un juego, tal vez un primer atisbo de un propósito científico de carácter físico, pues el objetivo de la Física es medir.

Entonces, la ciencia quizá no sería más que un juego en el fondo, el juego de los que no tienen la mente vacía. Otra cosa es que luego haya aplicaciones tecnológicas útiles (o inútiles), pero eso ya es otro cantar. El caso es que si la ciencia es un juego, quizá tenga que ver con el infantilismo (y la mayor cerebración) que parece caracterizar al ser humano, por su neotenia (de lo cual ya se habló, una vez más, en el artículo "Evolución y cerebración").

La moneda se inventó hacia el 613 AC, cuando, según parece, se emitieron en Asia menor las primeras monedas conocidas, con la efigie del rey Ardis, hijo del rey Giges, el fundador del reino de Lidia. La moneda es un ente abstracto, sin valor de por sí, sino en función de lo que representa simbólicamente, y esta demostración de esta nueva capacidad de comprender el valor abstracto de las cosas es un salto cualitativo importante, que hay que recalcar. El otorgar valor concreto a algo abstracto es, una vez más, contraintuitivo, pues la intuición habita en una realidad tomada por concreta, por lo que aquí el ser humano debió de volver a necesitar adaptar su intuición de nuevo, posiblemente. Quizá en este caso no le resultó tan difícil, habiendo dinero de por medio.

Otro hecho contraintuitivo que quizá se fue forjando por esas épocas fue por tanto el del desarrollo progresivo de ideas cada vez más abstractas, cuando lo intuitivo es tener una visión a ras de suelo de la realidad, tomando por concreto todo lo que ocurre. La moneda ejemplifica esta evolución de la mente humana (no todo lo que el dinero significa es peyorativo, entonces).

Hacia el siglo 6 AC los astrónomos babilonios empezaron a ser capaces de predecir eclipses . Esto es algo fantástico: se usan mediciones objetivas, con carácter científico, a partir de observaciones (se trata de una ciencia observacional, que no experimental) para hacer algo sensacional: predicciones, una de las características más interesantes y divertidas de la ciencia: la capacidad de hacer predicciones a partir de hipótesis, algo prodigioso sobre todo si se aplican sobre algo no abarcable por la intuición, sobre algo contraintuitivo. Las predicciones son importantes para que las hipótesis sean falsables, y por tanto útiles para el avance científico.

Más adelante, en los siglos 17 a 20, los hallazgos serán tan contraintuitivos que esta habilidad de predecir a partir de ideas cada vez más abstractas será muy valiosa. De ahí la importancia del desarrollo de estos conceptos: abstracción y predicción , cruciales para la ciencia.

La primera biblioteca importante conocida fue la del asirio Asurbanipal, en Nínive. No todo consistía en despellejar a sus vecinos invadidos, razón por la que Asiria era legendaria; también dedicaban algún tiempo y espacio a la colección de libros, para dar una de cal y otra de arena, y así tal vez acallar a su conciencia por las noches. Los libros a veces iban en volúmenes (papiros enrollados, pues volumen viene de la palabra latina para enrollar). Por cierto, tras la muerte de Asurbanipal, rey asirio, en el 636 AC, el imperio asirio desapareció en pocos años, obteniendo entonces Babilonia la hegemonía

de la zona (Tigris y éufrates). Por esta época empezaban a tener importancia Atenas y Esparta también.

LLEGAN LOS GRIEGOS: PRIMERO LLEGAN TALES Y PITÁGORAS, DESDE EL 585 AC HASTA EL 500 AC.

Tales empieza a hacer de las suyas: empieza a racionalizar en oposición al pensamiento mágico, con sus predicciones astronómicas basadas en datos objetivos, y con sus nociones matemáticas, como la noción de prueba matemática (pruebas con carácter abstracto, algo importante en la evolución cultural de la mente humana), etc.

Con los conocimientos acumulados por los babilonios, Tales predijo el eclipse de Sol del 28 de mayo del 585 AC, lo cual dejó patidifusos a algunos de sus coetáneos, y convirtió a Tales en una eminencia, en una de las primeras figuras francamente conspicuas en la historia de la ciencia (y así hace entrada en escena Tales en la historia de la ciencia).

Tales entra en escena y predice el eclipse de Sol del 28 de mayo con acierto, y demuestra que la ciencia permite poner a la razón por delante de la naturaleza de maner apoteósica (en sentido figurado, por supuesto, pues, entre otras cosas, no hay que olvidar que la razón pertenece a la naturaleza), introduciendo así a codazos un nuevo elemento en la historia, uno de los ingredientes fundamentales del saber científico: la interpretación racional de la realidad y la capacidad de hacer predicciones en terrenos cada vez más abstractos, y esto frente a la clásica percepción irracional, basada en mitos, interpretaciones mágicas, creencias (saberes sin fundamento objetivo contrastado con pruebas fehacientes), supersticiones, argumentos de autoridad sin fundamento salvo la fuerza bruta irracional, instintos e impulsos emocionales, y demás arrebatos intuitivos caprichosos y poco objetivos.

Aparte de esto, Tales, con la posterior ayuda de Pitágoras, introdujo también la noción de prueba matemática, otro elemento importante en ciencia.

No debe de ser errado considerar que en esta época antigua se le daba gran importancia a las fórmulas tradicionales y mágicas para solucionar todo tipo de problemas, y que eso sería por entonces lo más intuitivo. La progresiva interpretación de los hechos lo más objetivamente que se pudiera, todo lo racionalmente que se pudiera, en su momento resultaría contraintuitivo. Tales ejemplifica esta zambullida en lo contraintuitivo.

Tales continúa con sus descubrimientos (descubre la posibilidad de la presencia de elementos como fundamento de la naturaleza). Y Pitágoras encuentra los números irracionales, y descubre así el carácter contraintuitivo de la realidad, que pone a prueba ese deseo de Tales de racionalizar el conocimiento. Además, Pitágoras piensa, con acierto, que la Tierra es esférica, otra idea contraintuitiva.

Tales fue el primero del que hay noticia que se interrogase por la naturaleza de los elementos (constituyentes fundamentales) del universo. Elemento = lo que es elemental, irreducible a otra cosa, indivisible, es decir, aquello que es lo que es y no es otra cosa aparte de lo que es, dicho de otro modo, que es concreto. Fundamental = que

da origen, fundamento, al resto (en este sentido, todo lo construido a partir de lo elemental y fundamental no es elemental, y por tanto no es concreto, así que todo lo que no es elemental debe ser abstracto por definición, aunque resulte contraintuitivo; esto implica que los seres humanos somos seres abstractos, no concretos, aunque a gran escala parezcamos concretos, por ejemplo, nuestra identidad individual parece concreta con un error despreciable, y es el hecho de ser despreciable ese error lo que hace posible que nuestra ficticia concreción resulte ser efectiva en la práctica, aunque ficticia).

En su búsqueda de respuestas, Tales fue el primero del que conste que dio más importancia a la razón que a los mitos de su cultura, algo contraintuitivo por entonces, posiblemente. La conclusión de Tales fue que todo provenía de un elemento: el agua, algo más absurdo aun que los mitos en uso, y sin embargo nadie abandonó entonces sus creencias en los mitos, lo cual da una idea de la fuerza de la tradición. Todo esto resulta continuamente contradictorio. La palabra elemento, por cierto, parece ser que no se sabe de dónde viene desde el punto de vista etimológico.

Tales medita intuitivamente acerca de los elementos fundamentales de la naturaleza, al margen de mitos y leyendas, culturales pero ficticios, inverificables, y continua anteponiendo el raciocinio maduro y objetivo a la intuición mágica, egocéntrica, infantil e inmadura previa, para llegar a una conclusión egocéntrica, infantil e inmadura posterior.

Hacia el 520 AC Pitágoras consideraba a los números enteros y las fracciones la base del Universo (también creía, como Galileo más adelante, que el Universo está "escrito" en lenguaje matemático). Las fracciones son razones de números enteros. Los números enteros y las fracciones son los números racionales (aquellos que se pueden expresar como razones, por ejemplo, 1, número entero, se puede expresar según la razón 1/1; por ejemplo: si se quiere repartir una tarta entre 4 personas, a cada una le tocará 1/4, que es una fracción o razón de números enteros).

Sin embargo Pitágoras dio con un problema que a simple vista suponía una contradicción y una incongruencia, y sin aparente solución, algo que le trastocó su idea intuitiva del universo: ninguna fracción multiplicada por sí misma es igual a dos, es decir, no hay solución racional para la raíz de 2. De modo que lo intuitivo (en este caso: que los números enteros y las fracciones son el fundamento del Universo) no explica el Universo, y así entra en juego lo contraintuitivo, irrumpiendo por primera vez con gran estruendo, naciendo así lo contraintuitivo como uno de los elementos fundamentales del saber científico, que, casualmente, reniega aparentemente de la intuición racional introducida (posiblemente) por Tales.

En cierto modo, en el Universo podría entonces estar ocurriendo lo aparentemente irracional también. Hay números que, como no son racionales, como raíz de 2, son irracionales, y son irracionales dos veces: una, porque no son racionales (no son enteros o fraccionarios), y dos, porque atentan contra la razón cuando ésta trata de ser objetiva, pues la raíz de 2 es, desde el punto de vista de la intuición racional, un absurdo, pues es un número con infinitos decimales, algo que es imposible escribir, ni aun escribiendo durante toda la "vida" del Universo desde el big bang hasta el hipotético big vacío helado final, así que no debería existir.

Esto quiere decir que aunque la propuesta de Tales, de racionalizar el conocimiento, quizá se dirigía mejor que la mitología hacia la posibilidad de la verificación del conocimiento sobre la naturaleza, esta misma naturaleza se empezaba a desvelar como un reto para la razón, por su carácter contraintuitivo, al ir en contra, nada menos, que de la propia razón objetiva, pues no hay modo de verificar una medición de la realidad con un número de infinitos decimales, y sin embargo los números de infinitos decimales forman parte de la realidad (por ejemplo, la trayectoria de un tío vivo es infinita, y sin embargo el número de vueltas que se da por viaje no, al no ser una estructura eterna), lo cual es irracional, absurdo, contraintuitivo y contradictorio, y sin embargo no impide a un niño subirse al tío vivo, lo cual es un reto para la razón.

Y a pesar de todo la raíz de 2 está ahí, ya en el propio teorema de Pitágoras (en el triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos; si los catetos miden 1 cada uno, como el cuadrado de 1 es 1, tenemos que la hipotenusa al cuadrado es igual a 2, de modo que la hipotenusa sería igual a la raíz de 2 en este ejemplo), y por tanto, raíz de 2 está en el propio Universo, de algún modo incomprensible con concreción. De modo que los números ocultan misterios contraintuitivos sobre lo concreto (lo elemental) en sus abstractas representaciones, significados que burlan a la razón, a la intuición natural que tenemos de las cosas percibidas a simple vista.

Y habrá que ver, además, cómo se refleja eso en el mundo físico concreto, es decir, si también la realidad física concreta es de algún modo irracional, absurda, como el tío vivo... y sí que lo es, como se demostró mucho después, aunque Pitágoras no llegó a contemplar toda esta locura contraintuitiva de la mecánica cuántica.

Pitágoras medita acerca del papel de los números enteros como forma de explicar la naturaleza, y da un paso adelante frente a Tales, al descubrir el carácter aparentemente irracional de la naturaleza en algunos de sus aspectos, abriendo así el camino para empezar a entender la posibilidad del carácter contraituitivo de la Física, contraintuitivo incluso para la razón intuitiva más penetrante. Por cierto: los números irracionales también son infinitos. Pitágoras se aturdió con estas cosas hacia el 500-580 AC.

En este siglo tremendo (tremendo = para echarse a temblar) también pulularon por el planeta: Siddharta Gautama (Buda, en la India), Zoroastro (en Persia), Lao-Tse en China (taoísmo).

El primer mapa geográfico del que se tiene noticia data del 510 AC, dibujado por Hecateo, otro griego. Es importante, porque es un primer paso hacia la invención de las coordenadas, fundamentales en ciencia.

En el 510 Atenas instituyó un primer modelo de democracia. En el 509 AC Roma instauró la República, que sustituyó a la monarquía. Los reyes suelen acabar mal, y los dictadores, y "sus" pueblos. A los príncipes (primeros entre iguales) suele irles mejor, en el absurdo juego de la política.

La primera disección metódica y dirigida de la que se tiene noticia (disección del cuerpo humano, se sobreentiende) la llevó a cabo el médico griego Alcmeón, hacia el

500 AC. Descubrió que arterias y venas no son lo mismo, y que los ojos se conectaban con el cerebro mediante cordones nerviosos. Seguro que esto le dio que pensar.

El ábaco era usado en Egipto hacia el 500 AC.

Por esta misma época hizo Pitágoras un descubrimiento astronómico: descubrió que la estrella del atardecer, Hesperos, y el lucero del alba, Phosphoros, eran el mismo planeta (llegó a tal conclusión por lógica: no aparecían a la vez), y lo rebautizó con un solo nombre: Afrodita, que los romanos rebautizaron como Venus.

Pitágoras llevó a cabo otras aportaciones, como su idea según la cual la Tierra es esférica, una idea también contraintuitiva, pues a simple vista parece un disco plano.

Pitágoras dio el primer paso de gigante hacia la comprensión de lo incomprensible al asumir que lo contraintuitivo está aquí para quedarse, al darse cuenta, tras descubrir los números irracionales, que el gran descubrimiento de Tales, la razón, era inútil por sí sola, ante la contraintuitiva irracionalidad de los números (y por entonces pensaban ya que los números tenían que ver de algún modo con la propia esencia del Universo). Pitágoras dio este paso al descubrir los números irracionales, y siguió por este camino con otros de sus hallazgos y propuestas.

HERÁCLITO, HIPÓCRATES, LEUCIPO Y DEMÓCRITO EN LA EDAD DE ORO DE GRECIA, HASTA EL 400 AC.

Se suceden una lista de aportaciones sensacionales: Heráclito e Hipócrates continúan aportando datos a favor de la idea de Tales y Pitágoras de intentar racionalizar el conocimiento de la realidad, a pesar de su irracionalidad fundamental; Leucipo enuncia el principio de causalidad para lo físico, evitando así utilizar el "más allá" para tratar de entender y comprender lo natural. Y continuando la estela de Tales, y su intuición sobre la reducibilidad de lo físico a unos elementos fundamentales, Leucipo, y después Demócrito, llegan a la conclusión intuitiva según la cual dichos elementos son átomos, partículas minúsculas, indivisibles, irreducibles, y por tanto individuales, elementales y fundamentales (y concretas).

Hacia el 480, Heráclito concluyó que los sueños carecen de significado mágico, algo contraintuitivo (Confucio falleció hacia el 479 AC).

En el siglo 5 AC, Leucipo enunció el principio de causalidad, otro paso importante en ciencia, al afirmar que lo que ocurre tiene su causa, y que está comprendida dentro del orden natural de las cosas. Este principio rechaza lo sobrenatural, fruto, a falta de pruebas, de la inagotable imaginación humana, creadora de innumerables ficciones reales pero inconcretas (algo que incluso es de por sí una industria, como forma de entretenimiento de masas en diversos formatos, novelas, cine, cómic, etc.).

El principio de causalidad es algo contraintuitivo, a pesar de lo cual sigue vigente en ciencia, aunque en permanente revisión en mecánica cuántica, que de tan contraintuitiva, parece sobrenatural. El caso peculiar de la mecánica cuántica obliga a replantearse la cuestión del principio de causalidad, pues no parece haber causa donde

en realidad no ocurre todo lo que puede ocurrir, todo lo posible sino sólo algo de lo que puede ocurrir, lo probable; y como debería ocurrir todo lo que puede ocurrir, falta causa, y si falta causa el principio se tambalea. La solución podría estar, no obstante, dentro de la propia naturaleza después de todo, no en lo sobrenatural, lo que pasa es que tal vez la naturaleza sea sumamente extraña, sumamente contraintuitiva. Vamos, que tal vez el principio de causalidad siga vigente a una escala de la realidad que nos parece virtual todavía, o quizá no, o quizá ninguna de las dos.

Leucipo enuncia el principio de causalidad, ahondando en el descubrimiento del carácter físico de los fenómenos físicos (y según él, todos los fenómenos serían físicos, incluidos los anteriormente interpretados como ajenos a la naturaleza, como los mágicos, los espirituales, etc.). Este principio sigue vigente en la actualidad, de modo que si A es la causa de B, A precede a B. Es un principio sumamente útil para interpretar la realidad tal como aparece en forma de medida. Existe una ley de causalidad también, pero en física se habla del principio de causalidad, no de ley de causalidad, que pertenece al terreno de la filosofía, parece ser.

Demócrito, discípulo de Leucipo, afirmó, como Leucipo, que la materia está compuesta de partículas elementales (muy pequeñas e indivisibles) o átomos. Se basaron en su intuición para llegar a esta conclusión. Se llevarían la impresión de su vida si hubieran llegado a saber que ellos eran los que iban por el camino acertado, y no sus numerosos rivales, cada uno con su propia conclusión intuitiva sobre la cuestión de la composición fundamental de la materia: que si un continuo, que si espíritus, que si agua, fuego, tierra e impuestos, que si suegras con mala uva, etc.

Hacia el 400 AC Hipócrates concluyó, de manera contraintuitiva, que las enfermedades, epilepsia incluida, tienen causas naturales, todas, excluyendo también a la magia, los dioses y demás. Caramba con los griegos. Hay que tener en cuenta algo importante: llegar a una conclusión contraintuitiva, contraria a la intuición natural que "traemos de fábrica", conlleva un enorme esfuerzo intelectual, y un riesgo desde el punto de vista político-religioso-social-económico.

Heráclito e Hipócrates descartan, quizá siguiendo en parte a Pitágoras, y sobre todo a Tales, un origen mágico para los fenómenos, abogando por un proceso natural, físico, en el caso de Heráclito en referencia al significado de lo sueños, y en el caso de Hipócrates en referencia al origen de las enfermedades. Esto implica la posibilidad de que la ciencia (la observación y la experimentación o puesta a prueba de lo que se opina sobre lo que se observa o se predice que se va a observar) se haga cargo del saber cada vez con más autoridad, frente a otras vías para interpretar la realidad, como la magia, la egolatría, etc. pues entonces, como en todas las épocas, sobraban autoridades y faltaba autoridad (la autoridad de las pruebas, claro).

PLATÓN, ARISTÓTELES, HERÁCLIDES, HASTA EL 335 AC.

Platón funda la Academia (la primera escuela de estudios superiores conocida). Aristóteles funda su propia escuela, el Liceo, donde acumula un saber enciclopédico que ha asombrado a eruditos durante siglos. Heráclides concibe un primer modelo

heliocéntrico para Mercurio y Venus, en oposición al geocéntrico vigente para todos los cuerpos celestes a la vista.

Hacia el 387 AC, Platón fundó en los suburbios occidentales de Atenas una escuela concebida para estar dedicada a "estudios superiores". Dicha escuela se instaló en unos terrenos que habían pertenecido al griego Academo, por lo que fue conocida como Academia, y podría ser considerada la primera universidad del mundo. Desde la Academia, Platón abogó por la objetividad de la ciencia.

Aristóteles fundó su propia escuela en Atenas (335 AC), a la que se llamó Liceo, pues el edificio utilizado para dicha escuela había sido dedicado previamente como templo para el culto a Apolo Licio, que parece ser que era el dios de los pastores.

Aristóteles (alumno de Platón), recopiló las materias impartidas en su escuela en una obra enciclopédica que incluía el saber previo y sus propios descubrimientos (por ejemplo: Aristóteles descubrió, entre otras muchas cosas, la partenogénesis). Al menos un tercio de dicha obra sobrevivió por un revés de la fortuna, al ser encontrada casualmente por los romanos en una de sus incursiones militares en Asia menor hacia el 80 AC.

El modelo astronómico predominante seguía considerando a la Tierra el centro del Universo (aunque había alguna que otra voz con ideas diferentes). Pero Heráclides del Ponto se dio cuenta, hacia el 350 AC, de un detalle curioso: mercurio y Venus permanecían durante todo el año relativamente cerca del sol, lo que le hizo sospechar que tal vez giraban alrededor del Sol, lo cual seguía sin sustituir a la Tierra como el centro del universo, pero le permitía compartir dicho centro con un cierto grado de heliocentrismo "parcial" para Mercurio y Venus.

Pues es destacable que a Heráclides se le ocurriera que la Tierra no fuera el centro del Universo, algo contraintutivo que daría en el futuro quebraderos de cabeza a más de un científico. Lo intuitivo es pensar que la Tierra es el centro, pues todo lo demás que hay en el cielo parece girar alrededor de esta. Pero la realidad objetiva se empeña, una y otra vez, en ser contraintuitiva.

El primer intento conocido de sistematizar el razonamiento de acuerdo con la Lógica (que viene de logos, palabra) proviene de Aristóteles, en particular de su libro Organon. La lógica también es importante en ciencia como base para el razonamiento.

Aristóteles también sistematizó las razones por las que la Tierra debería ser considerada esférica (algo que ya había sospechado Pitágoras), razones como que al alejarse un barco atravesando la línea del horizonte se pierde de vista antes el casco que el mástil y otras por el estilo (como la forma curva de la sombra de la Tierra sobre la Luna).

Aristóteles también sistematizó los elementos fundamentales en tierra, aire, agua y fuego (todavía sigue sin saberse a ciencia cierta cuáles son los elementos de la naturaleza, y menos ahora que se empieza a sospechar que lo que se ve no es todo lo que hay, pues podría haber materia oscura, energía oscura, y dimensiones ocultas, hiperespacio, etc.). Estos serían los cuatro elementos fundamentales en la Tierra. En el cielo habría según Aristóteles un quinto elemento (o quintaesencia) llamado éter, que se

suponía caliente y capaz de hacer brillar a los cuerpos celestes por tanto. Estas ideas de Aristóteles fueron muy influyentes desde el punto de vista intuitivo durante siglos, para bien o para mal.

Aristóteles, al observar que los cuerpos celestes flotaban sin fin, pero en la Tierra los cuerpos tendían a caer, desarrolló también el concepto de gravedad.

Aristóteles también desarrolló la idea de la perfección de lo celeste y la corruptibilidad de lo terrenal. Son ideas primitivas, pero la ciencia las ha ido desarrollando en siglos siguientes. La gravedad ha sido parte importante del trabajo de Newton y Einstein. Los elementos siguen presentes como objetivo de la investigación de la Física de partículas. La corruptibilidad de lo terrenal ha sido llevada al colmo en la Termodinámica, que por su parte llevó a comprobar que lo celeste también era "corruptible" y sometido al aumento de entropía. Como se puede comprobar, estas ideas de Aristóteles no sólo son parte del fundamento de la ciencia que se ha de desarrollar en los siglos siguientes, sino parte importante de nuestra base cultural, pues seguimos haciendo referencia a conceptos como el de quintaesencia y demás.

Aristóteles también sistematizó notablemente los comienzos de la zoología y la taxonomía, llevando a cabo un trabajo considerable, estudiando, disecando y categorizando cientos de animales.

EUDOXIO Y EUCLIDES, HASTA EL 300 AC.

Por la misma época en que Aristóteles curioseaba sin límite, Eudoxio, un matemático griego, tuvo la idea de hacer el mapa del cielo dibujando meridianos y paralelos para localizar a las estrellas.

Muchos animales tienen un rudimentario instinto matemático. Por ejemplo, muchos animales ovíparos cuentan los huevos de su nido. Por tanto, las matemáticas son una forma de contar lo que ocurre en la realidad, como si la propia realidad fueran matemáticas (huevos en un nido). El hombre ha descubierto una extensa forma de operar con los números, de muchas maneras variadas e imaginativas, pero al final cuando hace todo eso sigue haciendo lo mismo que su instinto le impulsa a hacer, cosas como contar huevos en un nido.

Algunas de esas operaciones nos resultan extrañas, marcadamente contraintuitivas, y sin embargo son las más extrañas las que nos permiten contar con mayor precisión los huevos del nido. Por ejemplo, la mecánica cuántica es la que permite contar con mayor precisión, la que permite obtener una medida de la realidad más precisa. Lo que pasa es que la medida de la realidad que obtenemos con la mecánica cuántica es tan extraña a nuestra intuición que no nos permite aproximarnos a la comprensión del Universo, sino que nos aleja de dicha comprensión mental del mismo, de una imagen mental intuitiva del mismo, así que habitualmente, en nuestra experiencia cotidiana, preferimos seguir contando huevos.

Una forma de contar huevos sin volverse loco, todavía comprensible, a pesar de su carácter abstracto, es la geometría, posiblemente tan antigua como el hombre, aunque desarrollada de modo espectacular por los griegos, por ejemplo, por Eudoxio.

De todos modos, la cumbre de la geometría, de esta forma de tratar los números (las cantidades) llegó con Euclides, hacia el 300 AC. La geometría euclidiana (tal vez sería más correcto decir euclideana, pero me parece más eufónico euclidiana) permite operar, gracias al uso de figuras geométricas, con números enteros y fraccionarios (aunque sin números negativos y sin el cero) sin necesidad de recurrir a números decimales, que dan lugar a problemas, porque algunas razones fraccionarias dan lugar a números con infinitos decimales (como el número Pi, la razón entre el perímetro y el diámetro de un círculo), con lo que la operación nunca avanzaría a partir de ese punto si hubiese que escribir infinitos decimales para proseguir con un cálculo. Las figuras geométricas solventan ese problema, y hacen lo contraintuitivo accesible a la intuición.

Euclides trabajaba en Alejandría, en la época de Ptolomeo I, que fue el rey que se quedó con Egipto tras la muerte de Alejandro. El libro de geometría que escribió se llamó Elementos. Se trata de la descripción de un sistema abstracto, siendo un sistema un grupo de objetos (elementales a ciertos efectos, es decir, a cierta escala) y las interacciones que son posibles entre ellos. Nótese la dificultad que habrá supuesto para Euclides tratar de definir qué es posible y qué no lo es en un sistema que se está descubriendo, y la enorme sorpresa al ir descubriendo que el sistema da la impresión de ir mostrando por sí mismo qué es o no posible, como si existiese de algún modo en un "más allá" antes de ser descubierto por el matemático en el "más acá" (por ejemplo, daría la impresión que durante toda la eternidad hubiera sido cierto el teorema de Pitágoras).

Algunas de estas ideas ciertas son tan evidentes que se consideran ciertas sin necesidad de comprobación, los axiomas (otro descubrimiento importante), y a partir de ellos se van desarrollando las posibilidades del sistema. De lo que se trata por tanto es de conocer las reglas, y después el sistema evoluciona por sí mismo en manos del matemático, así que el matemático es ese "más allá" de las matemáticas, y la complejidad de la realidad, su "más acá", o quizá al revés.

ERASÍSTRATO, ANAXÁGORAS, ARISTARCO, HASTA EL 270 AC.

Erasístrato, sucesor de Herófilo, categorizó a cerebro y cerebelo como dos órganos distintos, y asoció la mayor inteligencia humana al mayor número de circunvoluciones presentes en el cerebro humano en comparación con el cerebro de otros seres. Establece una correlación entre estructura y función verdaderamente intuitiva para su época, casi genial, pues la forma de las circunvoluciones no informa sobre su función de modo directo, por lo que es precisa una gran capacidad de abstracción para llegar a esta conclusión.

Estas investigaciones tienen toda la pinta de ser para ellos algo así como un pasatiempo (siguiendo la escuela aristotélica en ese sentido: conseguir una buena vida para disponer de tiempo libre para la filosofía). Los egipcios prohibieron en este punto la anatomía a los griegos, y dicha ciencia quedó ahí estancada durante 15 siglos a partir de entonces. Curioso, el ser humano, ¿dónde estaban entonces esas circunvoluciones a las que hacía referencia Erasístrato (hay algún complot secular contra los genios)?

En el siglo 5 AC Anaxágoras, al ocuparse del asunto del tamaño del Sol, había dicho que el Sol se veía pequeño porque estaba lejos, lo cual parece lógico (véase la utilidad de la lógica aristotélica, o quizá del sentido común de toda la vida) pero que era grande como Grecia al menos, y lo expulsaron de Atenas tras juzgarlo por impío (el fundamentalismo parece que tiene que ver mucho con el carácter antipático de la gente que se siente acomplejada por su carencia de virtudes y dedica su vida a intentar dominar al prójimo movidos por su odio y su envidia, y su incapacidad para el señorío de ley, es decir, el autodominio, el autocontrol, y Anaxágoras fue una más de las incontables víctimas de ese tipo de gente incontrolada pero, de nuevo de manera incongruente, socialmente integrada, y con poder para destruir, que siempre es más fácil).

Sin embargo, la osadía de Anaxágoras demostraba que existe algo más que el hortelano y sus perros, y así, llegó un día Aristarco, hacia el 270 AC, y empezó a tratar de averiguar también el tamaño de los objetos celestes: ¿son pequeños, o sólo lo parecen porque están muy lejos? A partir de la sombra de la Tierra en la Luna, estimó que la circunferencia de la Luna era más o menos la tercera parte de la circunferencia de la Tierra, y con trigonometría (midiendo ángulos), calculó que el Sol distaba de la Tierra 20 distancias lunares (20 veces la distancia de la Luna a la Tierra), y que el Sol era 7 veces más grande que la Tierra.

No importa que sus cálculos no fueran exactos, lo importante es que empezaba a obtener una visión realista objetiva del entorno celeste, y que dicho entorno presentaba unas magnitudes contraintuitivas. Aristarco incluso sostuvo que dado el tamaño del Sol, eran los planetas, la Tierra incluida, los que giraban alrededor del Sol, y no alrededor de la Tierra, un primer modelo heliocéntrico importante, por estar fundamentado. Visto lo que le hicieron a Anaxágoras, no se sabe hasta qué punto Aristarco tenía sentido común, a pesar de sus aportaciones en astronomía, algo no muy útil para llenar la tripa cada día, salvo para algunos astrónomos con suerte.

Aristarco con sus cálculos, y sus otras observaciones, aceleró esta nueva revolución hacia lo contraintuitivo, al desplazar cada vez más al hombre del centro del Universo, ideando un primer modelo heliocéntrico para todos los cuerpos celestes, la Tierra incluida, aportando así una nueva idea sumamente contraintuitiva, una de esas difícil de digerir para el común de los mortales en una primera intentona (sobre todo si se ganan el pan a partir de la idea del hombre como centro del Universo), y eso que no es de las más difíciles, ni mucho menos.

Aristarco da un nuevo paso de gigante al proponer un primer modelo heliocéntrico fundamentado en observaciones objetivas sometidas a una interpretación lo más correcta posible. Y este resultado resultó ser una vez más contraintuitivo, como suele ocurrir cuando se indaga la realidad con eficacia. También puso en un aprieto a la intuición al averiguar algo sobre los tamaños de los astros y las distancias, siguiendo los pasos de Anaxágoras, y descubrir que podría ser que fueran objetos físicos, y no algo indefinido, como "dioses", por ejemplo.

ARQUÍMEDES Y CTESIBIO, HASTA EL 260 AC.

Ley de oro de la palanca : potencia por brazo de la potencia igual a resistencia por brazo de la resistencia. O también: dadme un punto de apoyo y moveré el mundo. La descripción matemática de la palanca la dio Arquímedes en el 260 AC.

Ctesibio había inventado la clepsidra en el 270 AC, una máquina para medir (el tiempo), así que entre uno y otro la Física empezaba a dar sus pasos con carácter científico. El objetivo de la Física es medir, y el lenguaje utilizado para hablar en Física son las matemáticas.

Logros como la ley de oro de la palanca tienen la siguiente utilidad: se entiende el mecanismo (en este caso de la palanca) y por tanto, como se entiende cómo funciona, se puede utilizar la palanca con más eficiencia y eficacia y basando dicha mejora, en parte, en el hecho de conocer el mecanismo, la "maquinaria del reloj", para así predecir cómo se va a necesitar aplicar la palanca en un caso práctico dado. De modo que la Física teórica (casi un divertimento de por sí) tiene una aplicación práctica, de ahí su éxito (y supone además un paso adelante frente a planteamientos teóricos como la geometría euclidiana, más abstracta que las ideas de Arquímedes, que son más palpables y relacionadas con la vida cotidiana; en cierto modo, es también un avance importante hacia la madurez e independización de la ingeniería como rama de la ciencia).

Arquímedes no sólo desarrolló la Física y cimentó su éxito en vida gracias a su teoría sobre la palanca. Arquímedes también descubrió que todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta un empuje hacia arriba con una fuerza que es igual al peso del volumen de líquido desalojado, es decir, un cuerpo sumergido desplaza al hundirse un volumen igual al que ocupa.

El volumen de agua desplazada es el mismo a igual volumen pero distinta densidad del cuerpo sumergido, el agua desplazada es la misma independientemente de la densidad de cuerpo. Esto implica que el empuje, del que depende la flotabilidad, depende del volumen, y un mismo empuje tiene menos efecto si el cuerpo es más denso, que se hundirá más, y por tanto, Arquímedes explicó así el mecanismo físico de la flotabilidad, no qué es la flotabilidad, cómo se describe, que ya se sabía, sino cómo se explica el mecanismo físico de la flotabilidad.

La euforia que le produjo este hallazgo intuitivo genial es histórica. La euforia que hallazgos de este tipo provocan es bien conocida, pues hay relatos de este fenómeno a lo largo de la historia en boca de diversos científicos que han sentido la sensación que supone ser el primero en dar con éxito un salto al vacío en un terreno antes inexplorado, una vivencia intensa y placentera cuando se llega abajo ileso. En el caso de Arquímedes parte de la euforia se debía a que debía averiguar este principio porque se le había encargado que encontrase un método para detectar moneda falsa (de metales más ligeros, menos densos) y dio con el método: la moneda falsa se hundiría más lentamente que la auténtica de curso legal. Y en aquella época, cuando no se satisfacían los caprichos de los reyes, era fácil no resultar ileso, quizá de ahí parte de la euforia de Arquímedes.

Arquímedes hace entonces progresos importantes en física e ingeniería, en el sentido de conseguir explicar de modo correcto (con la facultad de hacer predicciones correctas) e inteligible (destripando el mecanismo en lo posible hasta entenderlo y comprenderlo) ciertos mecanismos, como el de la palanca, o el de la flotabilidad. Estos primeros

logros son de gran importancia pues no sólo van al qué (a la búsqueda de los elementos de un sistema físico categorizable de ese modo: como sistema de elementos) sino al descubrimiento del cómo (cómo funciona la maquinaria de la naturaleza, cómo interaccionan los elementos), lo cual provocó un primer caso conocido de euforia en relación con un hallazgo científico trabajoso y fructífero.

Son pequeños cambios cualitativos en relación con el estado previo de la ciencia, que no deben pasar desapercibidos, porque son el fundamento del futuro. Además estos hallazgos van alimentando la idea intuitiva según la cual el Universo es una maquinaria, tan importante en siglos posteriores, sea o no correcta, para el desarrollo de la ciencia, con el consecuente chasco que se habrían de llevar los científicos en el siglo 20 al comprobar con pasmo que la realidad es tan contraintuitiva que parece no tener ni siquiera "maquinaria", pues a pequeña escala, a escala cuántica, las piezas de la maquinaria de la realidad desaparecen de la vista pero siguen ahí de algún modo, algo incomprensible: desaparece el "qué" y sólo queda a la vista el "cómo", o quizá esto tampoco sea cierto.

ERATÓSTENES, HIPARCO, HASTA EL 134 AC.

Eratóstenes mide el perímetro terrestre, y elabora una cronología de la historia conocida. Volvamos con el asunto del tamaño de la Tierra: lo bueno fue que se dieron cuenta que podría ser que fuese esférica, y que como sabían trigonometría, tenían recursos para estimar su tamaño. Fue Eratóstenes, hacia el 240 AC, el primero conocido en dar con un método para medir el perímetro terrestre. El método consistía en algo de lo que se había dado cuenta: le habían dicho que, en pleno solsticio, en Asuán, al mediodía el Sol no proyectaba sombra (de un palo vertical, por ejemplo), mientras que en Alejandría (a 7º de Asuán) sí, y esto podría ser así por la curvatura de la superficie de la Tierra. Así que, dada la distancia entre Asuán y Alejandría, y los grados de diferencia entre la sombra proyectada en Asuán y la proyectada en Alejandría, calculó matemáticamente el perímetro terrestre, y halló que eran 40225 kilómetros, que es la que es, precisament e (con un error despreciable); fantástico. Este tamaño debió de resultarle a Eratóstenes contraintuitivo, por grande.

Bueno, ¿qué? ¿Cómo habrá hecho Eratóstenes para calcular el perímetro de la Tierra? Como no disponía del álgebra y tal vez tampoco de la regla de tres, en mi opinión quizá se le ocurrió hacerlo así: como en pleno mediodía (con el Sol en todo lo alto) en pleno solsticio en Asuán el Sol no proyectaba sombra (cero grados) y en Alejandría proyectaba en pleno mediodía una sombra con una inclinación respecto de la vertical de siete grados de arco (y en ningún momento dejaba de proyectar sombra, como en Asuán), dedujo que la Tierra era curva y de ahí que los rayos del Sol incidiesen con distinto ángulo en el mismo instante. Y tenía la distancia en metros entre Alejandría y Asuán, entre los dos palos, que supongamos que fuera 782 metros. Pues como sabía también que la esfera terráquea tenía 360 grados de arco, y que 7 grados correspondían a 780 metros, y como sabía que 7 grados eran la quincuagésima primera parte de 360 grados, pues sólo tuvo que multiplicar 52 (y pico) por la distancia entre Asuán y Alejandría para tener el total de metros del perímetro terrestre. Tal vez lo haya hecho así, lo cual está bien pensado.

Hiparco, hacia el 150 AC, inventó (o terminó de inventar, o reinventar) la trigonometría, al trabajar en serio con el seno, el coseno, la tangente y demás.

Téngase en cuenta que no tenían calculadora, de modo que los cálculos que hacían no podían ser excesivamente complejos, de modo que en vez de tomar una cantidad absoluta para medir un lado (de un triángulo, por ejemplo) era más práctico usar proporciones, razones entre lados, por ejemplo, para operar con números. Y de ahí que Hiparco elaborase las tablas de senos y cosenos, etc. correspondientes a cada ángulo, de ahí también que se le considere en la práctica el "inventor" de la trigonometría.

Basándose en sus conocimientos de trigonometría, y a partir del paralaje de la Luna respecto de las estrellas (el paralaje quiere decir que a igual ángulo, un objeto más lejano parece moverse más despacio sobre el fondo que uno más cercano) pudo trazar triángulos entre la Luna y la Tierra, y en función del paralaje y de dichos ángulos, y de las cifras que tenía sobre las proporciones entre los lados de los triángulos correspondientes a dichos ángulos, pudo calcular que el lado del triángulo que iba de la Luna a la Tierra correspondía proporcionalmente a unas 30 Lunas. Y como tenía la cifra de Eratóstenes, calculó la distancia entre la Tierra y la Luna, hallando que la Luna estaba a unos 386160 Km de distancia de la Tierra, una cifra bastante correcta, como se puede ver.

Esto indicaba que el cielo era mayor de lo que intuitivamente parecía ser a simple vista, su tamaño resultaba ser contraintuitivo por grande, porque además las distancias a las estrellas ya eran incalculabes en ese momento con los medios disponibles, los ojos (y no por lejanas, sino porque no había paralaje para ellas a simple vista, no había un "fondo fijo" desde el que medir los ángulos de sus movimientos y de ahí deducir los tamaños de sus lados de triángulo a partir de las proporciones correspondientes a dichos ángulos).

Este salto hacia lo contraintuitivo es parecido al que aportó Helmholtz en el siglo 19, cuando midió con exactitud la velocidad de conducción nerviosa, demostrando que era mucho más lenta de lo previsto intuitivamente. Como el pensamiento nos parece instantáneo, a priori intuitivamente tendemos a pensar que la conducción nerviosa ha de ocurrir en cientos o miles de metros por segundo, o incluso que la mente es cuántica (no local) de manera concreta y actúa al margen del tiempo por ello, instantáneamente, o que es instantánea porque es un espíritu atemporal que anima a un cuerpo, y no es así, sino que al medirla comprobó que ocurre entre 30 y 100 m/s "solamente". Helmholtz dejó boquiabiertos a sus colegas por este motivo.

Hiparco hizo lo propio con sus colegas, que no pudieron negar su demostración, así que tampoco pudieron negarle a Hiparco, dado su prestigio y autoridad, que colocase a la Tierra en el centro del Universo, recuperando el geocentrismo. Pero de nuevo la intuición sería puesta en jaque acerca de esta posición de la Tierra en el eje del Universo, ya que no es así. Es más, según parece, no hay algo así como un "centro del Universo", por la isotropía del mismo, lo cual inevitablemente también es contraintuitivo.

De todos modos la isotropía del Universo ha sido puesta en duda recientemente, tras unas recientes mediciones en el fondo de microondas (no en el fondo del horno de la cocina, sino en el vacío del espacio) pero de momento no ha sido puesto en duda que eso implique que haya un centro geométrico, de todos modos, que parece difícil que lo haya (entre otras cosas, quizá fluctuaría entre varios estados cuánticos, con lo que no existiría como centro fijo absoluto).

Hacia el 134 AC, Hiparco vio en el cielo una estrella de la que no tenía noticia previa, lo cual de nuevo supuso una posible afrenta a las intuiciones que de modo natural se estilaban por su época, otro hecho contraintuitivo: creían, daban por sabido porque sí, que el cielo era infinito e inmutable, e Hiparco pensó que tal vez el cielo no era infinito e inmutable, puro y perfecto (signifique esto lo que signifique), sino corruptible, como la Tierra. Si tenía la sospecha de una no inmutabilidad, tal vez de nuevo se vería obligado a un cambio del paradigma que fundamentaba su visión intuitiva de la realidad, como cuando fue consciente de la magnitud verdadera de las distancias entre astros (en el caso de la distancia Tierra-Luna, que resultó ser mucho mayor de lo imaginado intuitivamente). Véase que la ciencia aportaba una y otra vez información contraintuitiva.

El caso es que movido por estas inquietudes, Hiparco decidió elaborar un mapa estelar, para tener una medida objetiva de lo que hay ahí arriba, y así poder valorar objetivamente (la objetividad que pedía Platón) la mutabilidad o inmutabilidad de lo presuntamente eterno a priori. Elaboró su mapa estelar utilizando coordenadas (latitud y longitud), siguiendo el método de Eudoxio (350 AC). Hiparco localizó un millar de objetos estelares, lo cual le convierte en un tipo muy metódico y exhaustivo.

Hiparco tuvo luego una inspiración genial: trasladó el sistema de coordenadas a la superficie terrestre, para localizar puntos en la Tierra del mismo modo que en el cielo, método de localización que a día de hoy se sigue usando.

Hiparco también descubrió que todas las estrellas se movían por el cielo juntas mediante un movimiento de rotación aparente de la esfera celeste alrededor de la Tierra con una duración de 26700 años, es decir, no estaban fijas en el cielo, movimiento conocido como precesión de los equinoccios, parece ser.

Hiparco también tuvo una enésima inspiración: la de clasificar a las estrellas según su brillo en clases (hoy en día conocidas como magnitudes). Desconozco si Hiparco consideraba al Sol una estrella más, o no.

Platón pedía objetividad, y objetividad estaba obteniendo. Pues eso es ciencia, como se está viendo. Apuntemos entonces a la objetividad como otra característica importante de la ciencia que sumar a las ya citadas hasta ahora.

Es interesante destacar que Hiparco, a pesar de sus notables aportaciones, también volvió al sistema geocéntrico, ilustrando así algo importante: lo contraintuitivo y lo intuitivo pueden ir y venir a lo largo de la historia, y permutarse, y este hecho se verá una y otra vez a lo largo de los siglos (por ejemplo, recuérdese el caso del éter).

EL FIN DEL CLASICISMO A LA GRIEGA, PTOLOMEO, GALENO, ZÓSIMO Y DIOFANTO, HASTA EL 529 DC.

Ptolomeo (hacia el 140 DC) compiló el saber astronómico en una obra recuperada por los árabes con el título de Almagesto. En esta obra la Tierra era el centro del Universo (centro intuitivo, podríamos llamarlo), por lo que defendía el modelo geocéntrico. Ptolomeo desarrolló un complejo sistema matemático para predecir los movimientos

de cuerpos celestes por el cielo, que fue completado después por Apolonio en el siglo 3, utilizando los epiciclos que inventó a tal efecto (o líneas circulares imaginarias en el cielo con un punto central alrededor del cual supuestamente girarían los cuerpos celestes). Ptolomeo hacía sus cálculos con un astrolabio , que por tanto ya había sido inventado por entonces. De manera que el sistema geocéntrico seguía siendo el preponderante, a pesar de existir ya algún modelo heliocéntrico para el sistema planetario.

Galeno era griego también, y era médico nada menos que en una escuela de gladiadores en Pérgamo (donde se había inventado el pergamino, como paso siguiente al papiro). Pudo llevar a cabo disecciones en Roma desde más o menos el 161, pero sólo a animales. Hizo dos aportaciones curiosas a la anatomía funcional: describió la existencia de grupos musculares para explicar algunos movimientos (por tanto, descubrió el concepto de grupo muscular, de sinergia muscular, un concepto importante en clínica a la hora de afrontar el diagnóstico y tratamiento de ciertos síndromes y enfermedades).

También descubrió la importancia de la médula espinal en la parálisis, y lo hizo mediante una investigación científica : cortaba la médula de ciertos animales a distinta altura, comprobando que según el nivel de sección las características de la parálisis variaban de un nivel a otro pero eran similares para un mismo nivel. Téngase en cuenta que esta aportación de Galeno supone un salto gigantesco hacia el desarrollo de la ciencia experimental, la última gran aportación de los griegos a la ciencia, y que la proyectó hacia el futuro en espera de relevistas en esta carrera por la pista de lo contraintuitivo.

Galeno reinventa y hace avanzar el método de experimentación científica como manera de comprobar si se sabe lo que se afirma que se sabe, para basarse en pruebas objetivas comprobables, y no en creencias o saberes sin fundamento.

Los griegos, al carecer de computadoras y calculadoras, tendían a investigar sistemas matemáticos que les permitiesen resolver problemas sin cálculos numéricos excesivamente laboriosos. De este modo, tendían a centrarse en la geometría, que podían investigar en un suelo de arena fina, un taburete y un palo largo. De todos modos, otros números también les interesaban, interés creciente que halló su primer punto candente (que no álgido) con otro griego, Diofanto, que en el siglo 3 escribió lo que podría considerarse el primer texto de álgebra propiamente dicho. Una de sus aportaciones consistió en considerar, por ejemplo, a una fracción, como un todo en ciertas operaciones, para solventar el problema que supone el que la solución de una fracción tenga infinitos decimales, un detalle que bloquea ciertos caminos numéricos (porque simplemente no da tiempo a escribir dichos decimales).

De Diofanto proceden las célebres ecuaciones diofánticas, una de esas situaciones que demuestran que todo no es posible, algo, una vez más, contraintuitivo (uno de esos tópicos folklóricos erróneos que son vox populi, como todo es posible o todo es relativo, afirmaciones incorrectas, ya que, por ejemplo, como dijo Russell, si todo fuese relativo, nada sería relativo a ese todo) ya que son las ecuaciones que sólo admiten soluciones dentro del sistema de los números enteros (y naturales).

Egipto era un crisol del conocimiento de la época. Euclides compiló allí el saber de su época sobre geometría, y Ptolomeo el disponible acerca de astronomía. Del mismo modo, allí sumó Zósimo el saber sobre alquimia que se tenía en dicha zona de influencia fundamentalmente griego-egipcia (muchos siglos de tradición a sus espaldas, no dejo de admirarme ante la sensación de vértigo que le produciría a estos sabios el disponer de siglos y siglos de tradición cultural a sus espaldas, y conservados además en sus bibliotecas). Gran parte de la obra sobre alquimia de Zósimo (hacia el 300) tenía un carácter esotérico, o mágico, o místico, pero por el medio se iban colando perlas que empezaban a dejar entrever el futuro nacimiento de la química.

La invasión del imperio romano seguía adelante, a la par que su decadencia (por la incapacidad de las familias importantes de Roma para tomar las riendas del estado). En el 313 Constantino 1 permitió el cristianismo y fundó Constantinopla en Bizancio, con lo que la preponderancia de las sobre todo decadentes familias romana supervivientes desplazó su foco de influencia a oriente, la capital del imperio, de hecho. En el 395 los hijos de Teodosio se repartieron la capitalidad: Roma para Honorio (que gobernó desde Rávena, no desde Roma ya) y Constantinopla para Arcadio, lo cual dividió sin remedio a lo que quedaba del imperio. En el 476 fue derrocado el último emperador romano de occidente y, aparentemente (pero sólo aparentemente) terminó una época sorprendente y fascinante, e irrepetible, con luces y sombras, pero llena de pasión por la vida en el fondo, aunque todavía no por la vida de los demás, asignatura todavía pendiente en la humanidad: la consideración. Y la importancia de lo contraintuitivo, o antiintuitivo, como se ve, desde luego es considerable.

En estas épocas, como en todas, el comercio ha sido un eslabón importante en el fluir de la historia. Uno de los productos más apreciados era la seda, que se valoraba mucho, era un lujo del que los romanos no querían privarse, de modo que se las ingeniaban para conseguirla como fuera (esto es lo que hay). Por ejemplo, Justiniano (emperador oriental) envió a dos monjes persas a China a hacerse con gusanos de seda, que trajeron de vuelta escondidos en sus bastones de bambú, gracias a lo cual, hacia el 552 Constantinopla pudo por fin comenzar su propia industria productora de seda, que ya ha estado en occidente desde entonces. Ah, el viejo y entrañable espionaje industrial . Justiniano también es "célebre" por haber ordenado, en el 529, el cierre de la Academia (aquella escuela que había sido fundada por Platón y que tenía una antigüedad de 9 siglos por entonces). La razón aducida: Platón no era cristiano, y Justiniano, sí (la vieja y consuetudinaria hipocresía social, que tanto influye en las interacciones personales). El cierre de la Academia fue un acto poco contraintuitivo, y bastante predecible.

Justiniano, con el cierre de la Academia en el año 529 DC, dio un enésimo golpe mortal a la ciencia y a la razón, imponiendo la inmadurez mental, el pensamiento mágico, lo mítico y lo legendario, la rigidez cultural y la mera fuerza bruta y el dictatorial egoísmo, y el acomplejamiento, disfrazado de intereses políticos presuntamente pragmáticos, y de falso señorío, algo peor que la decadencia, y símbolo del fin de una época, y del previsible triunfo final de los duros de entendederas, a pesar del esfuerzo de esos pocos científicos geniales con auténtica autoridad, tan vilipendiados incluso por el resto de las autoridades científicas menos dotadas, genios incomprendidos e infravalorados incluso en su medio natural, el ámbito científico, y es que la entropía ha de aumentar inevitablemente. Pero a pesar de tanta mediocridad, tanto aburrimiento, surge de vez en cuando un espíritu libre y divertido, y genial,

dispuesto a congelar el tiempo en un ahora eterno de euforia infinita, y capaz de hacer soñar a los espíritus sensibles con el enseñoramiento de la inasible realidad, tan sólo con un socarrón: Eppur si muove.

 

 

 

 

 

Autor:

Dr. Manuel Fontoira Lombos

Un paseo por la historia de las matemáticasPor :Covadonga Escandón Martínez

Desde el conteo y sus representaciones iniciales hasta la calculadora de bolsillo.

Las matemáticas empiezan con el conteo. Sin embargo, no es razonable sugerir que el conteo de la antigüedad era matemáticas. Se puede decir que las matemáticas empiezan solamente cuando se empezó a llevar un registro de ese conteo y, por ello, se tuvo alguna representación de los números.

En Babilonia, las matemáticas se desarrollaron a partir del 2000 a. C. Antes de esto, durante un largo periodo había evolucionado un sistema numérico posicional con base 60. Esto permitió representar números arbitrariamente grandes y fracciones y se convirtió en los cimientos de un desarrollo matemático más fuerte y dinámico.

Problemas numéricos tales como el de las tripletas pitagóricas (a,b,c) con a2 + b2 = c2 fueron estudiados desde al menos el 1700 a. C. Los sistemas de ecuaciones lineales fueron estudiados en el contexto de resolver problemas numéricos. Las ecuaciones cuadráticas también fueron estudiadas y estos ejemplos llevaron a una especie de álgebra numérica.

También se estudiaron problemas geométricos relacionados con figuras similares, área y volumen y se obtuvieron valores para π.

La base matemática babilónica fue heredada a los griegos y el desarrollo independiente de las matemáticas griegas empezó alrededor del 450 a. C. Las paradojas de Zenón de Elea condujeron a la teoría atómica de Demócrito. Una formulación más precisa de conceptos los llevó a darse cuenta de que los números racionales no bastaban para medir todas las longitudes. Surgió entonces una formulación geométrica de los números irracionales. Estudios sobre áreas condujeron a una forma de integración. La teoría de las secciones cónicas muestra una cima en el estudio de las matemáticas puras de Apolonio. Muchos otros descubrimientos matemáticos surgieron de la astronomía, por ejemplo, el estudio de a trigonometría.

El mayor progreso griego en las matemáticas se dio entre el 200 a. C. y el 200 d. C. Después de esa época el progreso continuó en los países islámicos. Las matemáticas florecieron en especial en Irán, Siria e India. Este trabajo no igualó los avances hechos por los griegos pero además de los suyos propios, preservó las matemáticas griegas. Desde alrededor del siglo XI, Abelardo de Bath, y después Fibonacci, llevaron las matemáticas islámicas y sus conocimientos de las matemáticas griegas de regreso a Europa.

Los grandes adelantos matemáticos en Europa reiniciaron a principios del siglo XVI con Pacioli y después Cardán, Tartaglia y Ferari con la solución algebraica de ecuaciones cúbicas y cuárticas. Copérnico y Galileo revolucionaron las aplicaciones de las matemáticas en el estudio del universo.

El progreso en el álgebra tuvo un importante efecto psicológico y el entusiasmo por la investigación matemática, en particular del álgebra, se extendió desde Italia a Stevin en Bélgica y Viète en Francia.

El siglo XVII vio a Napier, Briggs y otros ampliar enormemente el poder de las matemáticas como una ciencia para calcular con el descubrimiento de los logaritmos. Cavaliere hizo progresos hacia el cálculo con sus métodos infinitesimales y Descartes añadió el poder de los métodos algebraicos a la geometría.

El avance hacia el cálculo continuó con Fermat, quien, junto con Pascal, inició el estudio matemático de la probabilidad. Sin embargo, el cálculo sería el tema de mayor relevancia que evolucionó en el siglo XVII.

Newton, edificando sobre el trabajo de muchos matemáticos anteriores a él, tales como su maestro Barrow, convirtió al cálculo en una herramienta que impulsó el estudio de la naturaleza. Su trabajo era rico en nuevos descubrimiento que mostraban la interacción entre las matemáticas, la física y la astronomía. La teoría de la gravedad de Newton así como su teoría de la luz, nos llevan hasta el siglo XVIII.

Sin embargo, debemos mencionar también a Leibniz, cuyo acercamiento mucho más riguroso al cálculo (a pesar de no ser aún totalmente satisfactorio) puso las condiciones para la labor matemática del siglo XVIII más que el de Newton. La influencia de Leibniz sobre los muchos miembros de la familia Bernoulli fue importante para hacer crecer la fuerza del cálculo y la variedad de sus aplicaciones.

El matemático más importante del siglo XVIII fue Euler quien, además de trabajar en toda una gama de ramas de las matemáticas, inventó dos nuevas: el cálculo de variaciones y la geometría diferencial. Euler también impulsó la investigación sobre la teoría de números que había iniciado tan eficazmente Fermat.

Hacia finales del siglo XVIII, Lagrange iniciaría una rigurosa teoría de funciones y de la mecánica. Ese periodo vio la gran obra de Laplace sobre mecánica celeste así como grandes progresos de Monge y Carnot en la geometría sintética.

El siglo XIX vio rápidos avances. El trabajo de Fourier sobre el calor tuvo fundamental importancia. En geometría, Plücker produjo obras importantes sobre geometría analítica y Steiner sobre geometría sintética.

La geometría no-euclidiana desarrollada por Lobachevsky y Bolyai condujo a la caracterización de la geometría por Riemann. Gauss, considerado por algunos como el mejor matemático de todos los tiempos, estudió la reciprocidad cuadrática y las congruencias de enteros. Su trabajo sobre geometría diferencial revolucionaría la materia. También hizo grandes contribuciones a la astronomía y el magnetismo.

El siglo XIX vio el trabajo de Galois sobre ecuaciones y su visión sobre el camino que seguirían las matemáticas en el estudio de las operaciones fundamentales. La introducción de Galois al concepto de grupo anunciaría una nueva dirección para la investigación en matemáticas la cual ha continuado desde entonces.

Cauchy, construyendo sobre el trabajo sobre funciones de Lagrange, empezó un análisis riguroso y comenzó el estudio de la teoría de funciones de una variable compleja. Esta labor la continuarían Weierstrass y Riemann.

La geometría algebraica fue impulsada por Cayley, cuyo trabajo sobre matrices y álgebra lineal complementó el de Hamilton y Grassmann. El término del siglo XIX vio a Cantor inventar la teoría de conjuntos casi sin ayuda mientras que su análisis del concepto de número se sumó al importante trabajo de Dedekind y Weierstrass sobre los número irracionales. El análisis fue conducido por los requerimientos de la física matemática y la astronomía. La obra de Lie sobre ecuaciones diferenciales llevó al estudio de los grupos topológicos y la topología diferencial. Maxwell revolucionaría la aplicación del análisis a la física matemática. La mecánica estadística fue desarrollada por Maxwell, Boltsmann y Gibbs y condujo a la teoría ergódica.

El estudio de las ecuaciones integrales fue impulsado por el estudio de la electrostática y la teoría potencial. El trabajo de Fredholm llevó a Hilbert a desarrollar el análisis funcional.

Notación y comunicación

Hay muchos descubrimientos matemáticos importantes pero solamente aquellos que pueden ser comprendidos por otras personas conducen al progreso. Sin embargo, la facilidad de uso y

de comprensión de los conceptos matemáticos depende de su notación.

Por ejemplo, es muy claro cómo el trabajo con números se entorpece con una notación pobre. Intenta multiplicar dos cifras usando notación en números romanos. ¿Cuánto da MLXXXIV por MMLLLXIX? La suma, por supuesto, es otra cuestión y, en ese caso los números romanos alcanzan todo su potencial; los mercaderes, quienes hacían la mayor parte de sus cuentas sumando cifras, se mostraron reacios a dejar de usar los números romanos.

Hay otros ejemplos de problemas con la notación. El más conocido probablemente sea la notación para el cálculo usada por Leibniz y Newton. La de Leibniz llevó con mayor facilidad hacia la extensión de las ideas del cálculo mientras que la de Newton, aunque buena para describir velocidad y aceleración, tenía mucho menor potencial cuando se consideran funciones con dos variables. Los matemáticos británicos que muy patrióticamente usaban la notación de Newton, se colocaron en desventaja respecto a los matemáticos de la Europa continental que siguieron a Leibniz.

Pensemos por un momento sobre cuánto dependemos de la notación matemática y de las convenciones. Pídele a cualquier matemático que resuelva ax = b y obtendrás como respuesta x = b/a. Me sorprendería mucho que recibieras la respuesta a = b/x pero no hay realmente razón para que no sea así. Estamos usando, muchas veces sin darnos cuenta, la convención de que las últimas letras del alfabeto representan las incógnitas mientras que las del principio representan cantidades conocidas.

No siempre fue así: Harriot usó a como su incógnita, lo mismo que otros de sus contemporáneos. La convención que empleamos (las letras finales del alfabeto como incógnitas) fue iniciada por Descartes en 1637. Otras convenciones han caído en desgracia; por ejemplo la notación de Viète, quien usó las vocales como incógnitas y las consonantes como cantidades conocidas.

Por supuesto que ax = b contiene otras convenciones de notación que utilizamos sin notarlo. Por ejemplo, el signo de igual ('=') fue usado por primera vez por Recorde en 1557. También tenemos que ax se usa para denotar el producto de a por x, ¡la notación más eficiente de todas ya que no requiere escribir nada para denotar el producto!

¿Descubrimientos brillantes?

Es muy difícil comprender la brillantez de los descubrimientos matemáticos más importantes. Por un lado, muchas veces aparecen como destellos aislados aunque de hecho son la culminación de la obra de muchos matemáticos, con frecuencia menos hábiles, durante un largo periodo de tiempo.

Por ejemplo, la controversia de si el cálculo fue descubierto por Newton o por Leibniz puede ser resuelta fácilmente. Ninguno de ellos lo hizo ya que no hay duda que Newton lo aprendió de su maestro, Barrow. Claro que no estoy sugiriendo que Barrow deba recibir el crédito de haber descubierto el cálculo; simplemente estoy señalando que el cálculo surge de un largo

periodo de progreso que empieza con las matemáticas griegas.

Ahora estamos en peligro de reducir los más importantes descubrimientos matemáticos a la simple suerte de alguien que estaba trabajando sobre un tema en 'el momento idóneo'. Esto también sería totalmente injusto (aunque algo ayuda a explicar por qué tantas veces dos o más personas descubrieron lo mismo de manera independiente más o menos al mismo tiempo). Todavía existe el destello de genio en los descubrimientos, muchas veces proveniente de un entendimiento más profundo o de poder ver la importancia de ciertas ideas con mayor claridad.

Cómo vemos la historia

Vemos la historia de las matemáticas desde nuestra propia posición de entendimiento y sofisticación. No puede ser de otro modo pero aún así tenemos que tratar de comprender la diferencia entre nuestro punto de vista y el de los matemáticos de hace siglos. Muchas veces la manera en que se enseñan las matemáticas hoy en día hace que cueste trabajo que entendamos las dificultades del pasado. No hay razón alguna para que alguien introdujera los números negativos nada más para resolver ecuaciones como x + 3 = 0. De hecho, no hay una verdadera razón para introducir los números negativos. Nadie tenía -2 libros. Podemos pensar en el 2 como una propiedad abstracta que posee todo conjunto con dos elementos. Esto en sí mismo es una idea muy profunda. Añadir dos manzanas a tres manzanas es una cosa. Darse cuenta de que hay propiedades abstractas 2 y 3 que se aplican a cada conjunto con 2 y 3 elementos y de que 2 + 3 = 5 es un teorema general que aplica ya sea que los conjuntos tengan manzanas, libros o árboles, es dar el paso de contar hacia el mundo de las matemáticas.

Los números negativos no tienen este tipo de representación concreta sobre la cual construir la abstracción. No debe sorprendernos que su uso empezó solamente después de una larga lucha. Entender estas dificultades sería beneficioso para cualquier profesor que esté tratando de enseñar a niños de primaria. Hasta los enteros, a los cuales consideramos el concepto más básico, tienen una sofisticación que nada más puede ser comprendida adecuadamente si se examina su contexto histórico.

Un reto

Si crees que el descubrimiento matemático es fácil, entonces aquí hay un reto para hacerte pensar. Napier, Briggs y otros presentaron los logaritmos al mundo hace casi 400 años. Estos fueron usados durante 350 años como la principal herramienta en los cálculos aritméticos. Un increíble esfuerzo se ahorró usando logaritmos: de qué otra forma podrían haberse hecho los pesados cálculos necesarios para las ciencias sin los logaritmos.

Entonces el mundo cambió. Apareció la calculadora de bolsillo. El logaritmo sigue siendo una importante función matemática pero su uso para hacer cálculos se ha ido para siempre. Aquí está el reto. ¿Qué reemplazará a la calculadora? Podrías decir que esta es una pregunta injusta. Sin embargo déjame recordarte que Napier inventó los conceptos básicos de una computadora mecánica al mismo tiempo que los logaritmos. Las ideas básicas que nos llevarán

a reemplazar a la calculadora de bolsillo están sin duda entre nosotros.

Podemos pensar en calculadoras más rápidas, más pequeñas o mejores pero lo que estoy pidiendo es algo que sea tan diferente de una calculadora como la calculadora misma lo es de las tablas de logaritmos. Yo tengo una respuesta a mi propia pregunta pero decirla echaría a perder el reto. Piensa en ello y date cuenta qué tan difícil fue inventar las geometría no-euclidianas, los grupos, la relatividad general, la teoría de conjuntos, ... .