Upload
vuanh
View
273
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
Matematika SMA 73
HITUNG INTEGRAL
1.Integral tak tentu (tanpa batas)
a. Rumus-rumus
1) 11, 1
1
n nx dx x c nn
3) adx ax c
2) 1. , 11
n naa x dx x c n
n
4) 1 1
lnx dx dx x cx
b. Sifat-sifat Integral
1) . ( ) . ( )k f x dx k f x dx 2) ( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
Contoh :
1. 27(7 5) 5
2x dx x x c
2. 2 2 2 2( 2) ( 4 4)x x dx x x x dx = 4 3 2 5 4 31 4( 4 ) 4
5 3x x x dx x x x c
3. 3
12
1 3 5
2 2 21 2
.3 5
12
x xdx x x dx x dx x c x c
A. Pemakaian Integral tak tentu
Contoh :
Diketahui f(x) = 4x + 1 dan F(2) = 17 ; Tentukan fungsi F
f(x) = 4x + 1
2( ) ( ) (4 1) 2F x f x dx x dx x x c
F(2)=17 22(2) 2 17c
10 17 7c c Jadi F(x)= 22 7x x
b. Menentukan persamaan kurva y=f(x) jika diketahui dy
dx dan sebuah titik pada kurva.
Contoh :
Gradien garis singgung dari y=f(x0 disetiap titik (x,y) adalah 2x – 4 dan grafik dari y = f(x)
melalui titik ( 1 , 5 ). Tentukan persamaan dari fungsi tersebut.
Gradien garis singgung dari y = f(x) disetiap titik (x,y) adalah 2x – 4 , berarti
2 4 atau (2 4)dy
x dy x dxdx
didapat bahwa y = f(x) = (2 4)dy x dx = 2 4x x C
grafik melalui titik (1,5) maka 25 1 4(1) 8C C
Jadi fungsi tersebut adalah 2 4 8y x x
BAB 14
Matematika SMA 74
c. Penerapan pada Fisika
Jika diketahui persamaan kecepatan yang merupakanfungsi dari waktu (v(t)), maka
persamaan jaraknya (s) diperoleh dengan : ds
v s vdtdt
Jika diketahui persamaan percepatan merupakan fugsi waktu (a(t)) maka persamaan
kecepatannya (v(t)) diperoeh dengan : dv
a v a dtdt
Contoh :
Sebuah partikel bergerak sepanjang s meter setelah t detikdan v adalah kecepatan partikel
pada t detik. Jika v = 3 – t dan s = 0 untuk t = 4. Tentukan panjang lintasan partikel itu.
21(3 ) 3
2
dsv s vdt t dt t t c
dt
s = 0 untuk t = 4 210 3.4 .4
2c
c = - 4 Jadi , 213 4
2s t t
II. Integral Tertentu
Contoh :
Hitung integral tertentu 4
0
xdx
32
4
0
42
03xdx x
3 232
2 2 1(4 0 ) (8 0) 5
3 3 3
Jika diperhatikan bentuk ( ) ( )
b
a
bf x dx F x
a = F(b) – F(a)
= - F(a) – F(b) = ( )
a
b
f x dx
Untuk ( ) ( ) ( ) 0
a
a
f x dx F a F a
Sifat-sifat :
1. [ ( ) ( )] ( ) ( )b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
2. ( ) ( ) , k=konstanta
a a
b b
kf x dx k f x dx
3. ( ) ( ) ( ) , dengan a<c<b
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
Matematika SMA 75
y=f(x)
4. b
a
dx b a
Luas sebagai limit suatu jumlah
Secara umum Penggunaan integral sebagai berikut:
1. Menentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x0 dan sumbu X
a. Diatas sumbu X
b. Dibawah sumbu X
c. Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan y = g(x) ; pada interval x = a dan x =
b
Contoh :
Luas daerah dibatasi oleh parabola 2 2 dan 4y x y x adalah …
A. 8 2 B. 16 2
3 C. 4 2 D.
8 2
3 E. 2
Jawab :
Titik potong kedua parabola Cara cerdik :
2 2 24 2 4x x x 2
2; 4
6
D DL D b ac
a
2 2 2x x 2 24 2 4x x x
( )
b
a
L f x dx
a b
a b
y=f(x)
a
b
( ) atau L= ( )
b
a
L f x dx f x dx
a
1 ( )y f x
1 ( )y f x
2 ( )y g x
b
b
1 2
a
( ) atau L= { ( ) ( )}
b
a
L y y dx f x g x dx
Matematika SMA 76
22
2 323 2
2
(4 2 ) 4L x dx x x
D = 32 2
32 32 162
6.2 3L
8 163 3
8 2 2 2
Untuk bentuk :
4. .
3L p q
2. Volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi : y = f(x) , sumbu X , x = a dan
x = b yang diputar mengelilingi sumbu X atau sumbu Y
(i) Diputar mengelilingi sumbu X
(ii) Diputar mengelilingi sumbu Y
2
d
c
V x dy
2( ( ))
d
a
g y dy
3. Volume benda putar yang terjadi jika yang dibatasi oleh kurva 1 ( )y f x dan 2 ( )y g x
diputar mengelilingi sumbu X atau sumbu Y
(i) Diputar mengelilingi sumbu X
y
(ii) Diputar mengelilingi sumbu Y
a b
X
c
b
1 ( )y f x
2 ( )y g x
X
2 2
1 2( )
b
a
V y y dx 2 2{( ( )) ( ( ) }
b
a
V f x g x dx
2 2
1 2( )
d
c
V x x dy 2 ( )x g y
1 ( )x f y
= 2 2(( ( )) ( ( ))
d
c
f y g y dy
2
b
a
V y dx
2( ( ))
b
a
f x dx
(p,q)
Matematika SMA 77
Contoh :
2 3y x diputar 360 o mengelilingi Tentukan volume benda putar jika
sumbu X
Cara cerdik : 3
. .
30.
D DV
a
2
3
.9 . 9 81
1030.1V
III. Aturan Rantai untuk mencari Turunan Fungsi
Ingat kembali rumus Deferensial fungsi
1. 1( ) '( )n nf x ax f x anx 5. ( ) sin '( ) cosf x x f x x
2. ( ) ( ). ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( )f x u x v x f x u x v x u x V x 6. ( ) cos '( ) sinf x x f x x
3.2
( ) '( ) ( ) ( ) '( )( ) '( )
( ) ( ( ))
u x u x v x u x v xf x f x
v x v x
7.
2
1( ) tan '( )
cosf x x f x
x
4. ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( )f x u x v x f x u x v x
Untuk mencari turunan/deferensial untuk fungsi yang lebih rumit (majemuk) tetapi dapat
dipandang sebagai hasil dari komposisi beberapa fungsi digunakan aturan rantai turunan
fungsi.
1. Jika F(x)=(fog)(x) dengan f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang dapat diturunkan , berlaku
F'(x)=f'(g(x)).g'(x)
2. Jika F(x)= (fogoho….), berlaku F'(x)=f'(h(h…..)).g'(h(..)).h'(…).
3. a. dalam notasi Leibniz:
Jika y = F(x)=fog)(x) dengan v = g(x); berlaku : .dy dy dv
dx dv dx
b. y = F(x) = (fogoho…), maka : ...
' . . .........
dy dy dv dwy
dx dv dw dx ( Dalil Rantai)
Pengertian fungsi komposisi ( majemuk ).
Jika fungsi f : A B dan g : B C maka fungsi F: A C yang melalui dua fungsi f dan g
dapat dinyatakan sebagai fungsi komposisi F : a ( )( ) ( ( ))g f a g f a
Contoh : 2( ) 3 2 dan ( ) cosf x x g x x maka :
2 2: ( )( ) ( ( )) (3 2) cos(3 2)F g f x g f x g f x g x x
X
g(f(a))
a F(a
)
A B C
Matematika SMA 78
Contoh :
Tentukan F'(x) jika diketahui F(x) = 31((2 3) )
2 3x
x
Jika F(x) = f(g(h(x))) = 3 31((2 3) ) maka ( )
2 3x f x x
x
,
1( )g x x
x , dan
( ) 2 3h x x
Sehingga F'(x) = f'(g(h(x))).g'(h(x)).h'(x)
= 2
2
1 13((2 3) ) .(1 .(2)
2 3 (2 3) ).x
x x
= 2
2
1 16((2 3) ) .(1
2 3 (2 3) )x
x x
Catatan :
Dalil rantai sering digunakan untuk menentukan nilai stasioner suatu fungsi.
Nilai stasioner y = F(x) dicari dengan memperhatikan hal-hal sebagai berikut:
F(a) adalah nilai balik maksimum jika F'(a) = 0 dan F''(a) < 0
F(a) adalah nilai balik minimum jika F'(a) = 0 dan F''(a) > 0
F(a) adalah nilai balik horizontal jika F'(a) = 0 dan F''(a) = 0, dan F''(a) 0
Contoh :
Tentukan nilai stasioner dari 3( ) (2 1) 3 (2 1)f x x x dan sifatnya.
3 1
2 2( ) (2 1) 3(2 1)f x x x
1 1
2 23 1
'( ) (2 1) .2 3. (2 1) .22 2
f x x x
= 1 1
2 23(2 1) 3(2 1)x x
= 1
2
3(2 1) 3
(2 1)
x
x
f" (x) = 1 1
2 21 1
3. (2 1) .2 3( )(2 1) .22 2
x x
= 12
1
23(2 1) 3(2 1)x x
Syarat stasioner f'(x) = 0
Jadi , 3(2 2)
0 2 2 0(2 1)
xx
x
1x
Untuk x =1 maka :
F(1) = -2
F"(x) = 6 (positip)
Jadi , f(1) = -2 adalah nilai balik minimum
Matematika SMA 79
IV. Integral Fungsi Trigonometri
Rumus Integral Trigonometri
1. sin cosxdx x c
1sin( ) cos( )ax b dx ax b c
a
2. cos sinxdx x c 4. 2cos cotec xdx anx c
1cos( ) sin( )ax b dx ax b c
a 2 1
cos ( ) cot( )ec ax b dx ax b ca
3. 2sec tanxdx x c 5. tan sec secx xdx x c
2 1sec ( ) tan( )ax b dx ax b c
a 6. cot cos cosx ecxdx ecx c
Contoh :
3sin .cosx xdx
A. 414sin x c B. 41
2sin x c C. 21
4cos x c D. 1
3sin x c E. 41
3sin x c
Jawab :
3sin .cosx xdx 3cos (sin )x x dx Cara cerdik :
Misal : y = sin x 3 3sin .cos sin (sin )x xdx xd x
coscos
dy dy
dx xx dx 41
4sin x c
3
coscos ( )
dy
xx y
3 4 41 14 4
siny dy y c x c
V. Integral Substtitusi dan Integral parsial.
a. Integral Substitusi
a. 11
1
n nx dx x cn
11 dengan u=f(x),n -1
1
n nu du u cn
11( ) ( ) , 1
( 1)
n nax b dx ax b c na n
b. cos sinxdx x c
cos sin dengan ( )udu u c u f x
c. 11. .
' 1
n nvv u dx u c
u n
, u = f(x)
d. sin cos'
vv udx u c
u
cos ( ( )) ( ( ))'
nvv udx f x d f x
u
Matematika SMA 80
= 11( ( ))
1
nf x cn
Contoh :
Tentukan 2 5
dx
x
……misal u = 2x + 5 2
du
dx du = 2 dx dx =
1
2du
2 5
dx
x
12
1 112 2 2
1 1.2.
2 2
cduu du u
u
= 1
2 2 5u c x c
Catatan : Ciri suatu integral substitusi adalah jika integral tersebut merupakan integral hasil
kali dua fungsi yang satu merupakan kelipatan/turunan dari fungsi yang lain.
Contoh :
2 3 32 (4 1)x x dx
A. 3 412(4 1)x c B. 3 21
8(4 1)x c C. 3 31
4(4 1)x c D. 51
16(4 1)x c E. 3 41
24(4 1)x c
Jawab :
Misal : 34 1y x Cara cerdik :
2
212
12
dy dyx dx
dx x 1( ) , 1
'( )( 1)
n naaf x dx f syarat n
f x n
2 3 3 2 3
22 (4 1) 2 ( )
12
dyx x dx x y
x 2 32 , ( ) 4 1, 3a x f x x n
= 3 41 1
6 24y dy y c Hasil = 3 41
(4 1)24
x c
23 4
2
3 4
2(4 1)
12 (3 1)
1(4 1)
24
xx c
x
x c
1( ) ln ( )'( )
aaf x f x c
f x
b. Integral Substitusi Trigonometri.
Suatu integral yang variabelnya memuat bentuk 2 2 2 2 2 2, atau a x a x x a diselesaikan
dengan merasionalkan dengan menggunakan substitusi variable trigonometri.
FUNGSI INTEGRAN SUBSTITUSI DENGAN HASIL SUBSTITUSI
2 2a x x = a sin t 21 sin cosa t a t
2 2a x x = a tan t 21 seca tg t a t
2 2x a x = a sec t 2sec 1 tana t a t
Matematika SMA 81
Contoh :
216 x
Misal x = 4 sin t 2 216sinx t
Jadi 2 2 2 216 16 16sin 16(1 sin ) 4 cos 4cosx t t t t
4sin 4cosx t dx tdt
2 2 1 116 4cos .4cos 16 cos 16 ( cos2 ) 8 8 cos2
2 2x t tdt tdt t dt dt tdt
= (2 )
8 8 cos2 8 4sin 2 8 8sin cos2
d tt t t t c t t t c
c. Integral Parsial
Jika dalam mengintegralkan dengan substitusi tidak membuahkan hasil maka digunakanlah
integral ganda/bagian demi bagian atau integral Parsial.
Dengan memisalkan bahwa u = f(x) dan v = g(x)
Didapat du = f'(x) dx dan dv = g'(x) dx
Sehingga didapat rumus integral Parsial : .udv uv vdu
Atau : ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) ( ). '( )f x g x d x f x g x g x f x dx
Jika f(x) mempunyai turunan ke-n=0, maka beraku :
( ). ( ) ( ) integral I ( )f x g x dx f x g x turunan I f(x) x integral II g(x) turunan II f(x) x
integral III g(x) …… (tanda selalu berselang-seling)
Contoh :
cos2 ...x x dx
u x du dx
1 12 2
cos2 sin 2 sin 2x x dx x x xdx
= 1 12 4
sin2 cos2x x x c
contoh :
Tentukan 2 cos2 ..x xdx
Turunan integral
2x cos 2x
2x 12sin 2x
2 1
cos24
x
1
sin 28
x
2 2 1 1 12 4 8
cos2 . sin 2 (2 . cos2 ) 2( sin 2 )x xdx x x x x x c
1cos2 sin 2
2dv xdx v x
Matematika SMA 82
= 21 1 12 2 4
sin 2 cos2 sin 2x x x x x c
Soal Latihan :
1.
2
4
( 2)xdx
x
adalah …
a. 43
2 3
1 2x x x
c d. 43
2 3
1 2x x x
c
b. 42
2 3
1 2x x x
c e. 43
2 3
1 2x x x
c
c. 43
2 3
1 2x x x
c
2. 21
2
2
x x xdx
x x
a. ln x x c d. ln 2x x c
b. ln x x c e. ln x x c
c. lnx x c
3. Persamaan kurva yang memenuhi persyaratan 2
26
d y
dx kurva melalui ( 1 , 2 ) san sejajar
8x – y + 10 = 0 adalah …
a. 2( ) 3 14 9f x x x d. 2( ) 4 3f x x x x
b. 2( ) 3 3 1f x x x e. 3( ) 2 4f x x
c. 2( ) 2f x x x x
4. Luas daerah yang dibatasi oleh grafik 29y x dan y = x + 3 adalah …
a. 9 b. 8 c. 34
d. 92
e. 83
5. 4
2
1
1...
xdx
x
a. 3 4 b. 1 4 c. 1 2 d. 4 5 e. 4 6
6. Luas daerah yang dibatasi oeh grafik 4 2 24 dan 5y x x y x adalah
a. 34
64 b. 54
21 c. 56
20 d. 56
50 e. 65
56
7. Volume daerah yang dibatasi oleh 2 2 dan 2y x y x diputar pada sumbu x adalah
a. 12
25 b. 34
20 c. 25
23 d. 35
6 e. 13
5
8. Gradien garis singgung kurva dititik (x,y) sama dengan 2x – 5. Jika kurva melalui ( 4 , 7 )
memotong sumbu y di :
a. ( 0 , 11 ) b. ( 0 , 10 ) c. ( 0 , 9 ) d. ( 0 , 8 ) e. ( 0 , 7 )
9. 8cos(2 )x dx
a. 8 (2 )tg x c d. 4sin(2 )x c
b. 8cos(2 )x c e. 4cos(2 )x c
Matematika SMA 83
c. 8sin(4 )x c
10. 3 sec3 cot(2 )cos (2 ) ..tg x x x ec x dx
a. 4
cot(3 ) sin(2 )3
x x c d. 1 1
(3 ) ( ) (2 )3 2
tg x tg x c
b. 1 1
cos 3 ( )cos (2 )3 2
ec x ec x c e. 2 1
sec(3 ) ( )cos (2 )3 2
x x ec x c
c. 1 1
sec(3 ) ( )cos(2 )3 2
x x c
11. 28sin 7 .sin ...x xdx
a. 1 2
sin8 sin 64 3
x x c d. 1 2
sin8 sin 62 3
x x c
b. 1 2
sin8 sin 62 3
x x c e. 1 2
sin8 sin 62 3
x x c
c. 1 2
sin8 sin 62 3
x x c
12. 6sin cos ,x xdx adalah
a. 1
sin 78
x c b. 1
sin 76
x c c. 1
cos77
x c d. 1
sin 77
x c e. 1
sin 75
x c
13. 2/3(2 1) , ...x dx adalah
a. 33(2 1) 2 1
10x x c d. 32
(2 1) 2 110
x x c
b. 32(2 1) 2 1
10x x c e. 32
(2 1) 2 110
x x c c. 33(2 1) 2 1
10x x c
14. sin ...x xdx
a. –x cos x + sin x + c d. –x tg x - sin x + c
b. x sin x - sin x + c e. –x cos x + tg x + c
c. –x cos x + sin x + c
15. 1 ...x x dx
a. 22 4( 1) 1 ( 1) 1
3 15x x x x x c
b. 23 4( 1) 1 ( 1) 1
2 15x x x x x c
c. 22 4( 1) 1 ( 1) 1
3 15x x x x x c
d. 22 4( 1) 1 ( 1) 1
3 15x x x x x c
e. 22 4( 1) 1 ( 1) 1
3 15x x x x x c
Matematika SMA 84
Soal – soal Integral Ujian Nasional
Materi pokok : Integral tentu dan Teknik pengintegralan
1. Diketahui
3
2 .25)123(a
dxxx Nilai a2
1
=…. a. – 4 b. – 2 c. – 1 d. 1 e. 2
2. Nilai
0
.... dx cos.2sin xx
a. 3
4
b. 3
1
c. 3
1
d. 3
2
e. 3
4
3. Hasil dari
1
0
2 .... dx 13.3 xx
a. 2
7
b. 3
8
c. 3
7
d. 3
4
e. 3
2
4. Hasil dari ....cos5 xdx
a. Cxx sin.cos6
1 6
b. Cxx sin.cos6
1 6
c. Cxxx 53 sin5
1sin
3
2sin
d. Cxxx 53 sin5
1sin
3
2sin
e. Cxxx 53 sin5
1sin
3
2sin
5. Hasil dari ....cos).1( 2 xdxx
a. x2 sin x + 2x cos x + C b. ( x2 – 1 )sin x + 2x cos x + C c. ( x2 + 3 )sin x – 2x cos x + C d. 2x2 cos x + 2x2 sin x + C e. 2x sin x – ( x2 – 1 )cos x + C
6. Diketahui
3
2 .40)223(p
dxxx Nilai p2
1
=…. a. 2 b. 1 c. – 1
d. – 2 e. – 4
7. Hasil dari 2
0
....5cos.3sin
xdxx
a. 16
10
b. 16
8
c. 16
5
d. 16
4
e. 0
8.
0
....sin. xdxx
a. 4
b. 3
c. 2
d.
e. 2
3
9. Nilai
2
1
0
.....sin2 dxxx
a. 14
1 2
b. 2
4
1
c. 14
1 2
d. 12
1 2
e. 12
1 2
10. Nilai ....)1sin(. 2 dxxx
a. – cos ( x2 + 1 ) + C b. cos ( x2 + 1 ) + C c. –½ cos ( x2 + 1 ) + C d. ½ cos ( x2 + 1 ) + C e. – 2cos ( x2 + 1 ) + C
11. ....2sin. xdxx
a. Cxxx 2cos2
12sin
4
1
b. Cxxx 2cos2
12sin
4
1
c. Cxx 2cos2
12sin
4
1
d. Cxxx 2sin2
12cos
4
1
e. Cxxx 2sin2
12cos
4
1
Matematika SMA 90
12. 2
0
22 ....)cos(sin
dxxx
a. –½
b. 2
1
c. 0 d. ½
e. 2
1
13. Hasil ....2
1cos.2 xdxx
a. 4x sin ½ x + 8 cos ½ x + C b. 4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C c. 4x sin ½ x + 4 cos ½ x + C d. 4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C e. 4x sin ½ x + 2 cos ½ x + C
14. Hasil ....9 2 dxxx
a. Cxx 22 9)9(3
1
b. Cxx 22 9)9(3
2
c. Cxx 22 9)9(3
2
d. Cxxxx 2222 9)9(9
29)9(
3
2
e. Cxxx 222 99
19)9(
3
1
15. Nilai
1
0
6 ....)1(5 dxxx
a. 56
75
b. 56
10
c. 56
5
d. 56
7
e. 56
10
16. Hasil dari .....4cos.cos dxxx
a. Cxx 3sin3
15sin
5
1
b. Cxx 3sin6
15sin
10
1
c. Cxx 3sin3
25sin
5
2
d. Cxx 3cos2
15cos
2
1
e. Cxx 3sin2
15sin
2
1
Materi pokok : Luas Daerah 17. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2
dan garis x + y = 6 adalah …satuan luas. a. 54 b. 32
c. 6
520
d. 18
e. 3
210
18. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas.
a. 2/3 b. 3
c. 3
15
d. 3
26
e. 9 19. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah
…satuan luas.
a.
2
14
b. 6
15
c. 6
55
d. 6
113
e. 6
130
20. Luas daerah arsiran pada gambar di bawah ini adalah …satuan luas.
a. 5
Matematika SMA 91
b. 3
27
c. 8
d. 3
19
e. 3
110
21. Jika f(x) = ( x – 2 )2 – 4 dan g(x) = –f (x) , maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g adalah … satuan luas.
a. 3
210
b. 3
121
c. 3
222
d. 3
242
e. 3
145
22. Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola y = x2 dikuadran I, garis x + y = 2, dan garis y = 4 adalah …satuan luas
a. 6
14
b. 5 c. 6
d. 6
16
e. 2
17
23. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x3 – 1, sumbu x , x = –1 , dan x = 2 adalah … satuan luas.
a. 4
3
b. 2
c. 4
32
d. 4
13
e. 4
34
Materi pokok : Volume Benda Putar 24. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi
kurva y = – x2 + 4 dan y = – 2x + 4 diputar 3600 mengelilingi sumbu y adalah … satuan volume. a. 8
b. 2
13
c. 4
d. 3
8
e. 4
5
25. Volume benda putar yang terjadi, jika daerah antara kurva y = x2 + 1 dan y = x + 3, diputar mengelilingi sumbu x adalah …satuan volum.
a. 5
67
b. 5
107
c. 5
117
d. 5
133
e. 5
183
26. Volume benda putar yang terjadi jika daerah
yang dibatasi oleh kurva y = 2
1
2x , garis y =
x2
1 dan garis x = 4 diputar 3600 terhadap
sumbu x adalah ….satuan volume.
a. 3
123
b. 3
224
c. 3
226
d. 3
127
e. 3
227
27. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan x + y – 2 = 0, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600. Volume benda putar yang terjadi adalah …satuan volum.
a. 3
215
b. 5
215
c. 5
314
d. 5
214
e. 5
310
28. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = 2x2 + 1, x = 1 , sumbu x, dan sumbu y diputar 3600 mengelilingi sumbu x adalah … satuan volum.
a. 15
12
b. 2
c. 15
27
d. 15
47
e. 4
29. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = 9 – x2 dan y = 5 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 3600 adalah …. a. 4
b. 3
16
c. 8
d. 16
e. 3
92
Matematika SMA 92
30. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 1 dan sumbu x dari x=1, x = –1, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 adalah ….
a. 15
4
b. 15
8
c. 15
16
d. 15
24
e. 15
32
31. Volume benda putar yang terjadi bila daerah pada kuadran pertama yang
dibatasi oleh kurva 4
12x
y , sumbu x,
sumbu y diputar mengelilingi sumbu x adalah … satuan volume.
a. 15
52
b. 12
16
c. 15
16
d.
e. 15
12
Kunci Jawaban Integral
1. D 2. E 3. C 4. D 5. B 6. C 7. D 8. D 9. C 10. C 11. A 12. A
13. A 14. A 15. C 16. B 17. C 18. D 19. C 20. D 21. B 22. A 23. E 24. D
25. B 26. C 27. D 28. D 29. D 30. C 31. C
Matematika SMA 90
1. Diketahui
3
2 25123a
dxxx , nilai a2
1
3
23
2
2
3
3
a
xxx
=25
252
2
3
333
2
23
3
3 2323
aaa
253927 23 aaa
2539 23 aaa
1423 aaa
01423 aaa
2 1 1 1 -14 2a
2 6 14 1
2
1a
1 3 7 0 ( D )
2. Nilai
2
0
cos.2sin xx dx=
=
0
sin3sin2
1xx dx
0
cos2
13cos
6
1
xx
0cos
2
103cos
6
1cos
2
13cos
6
1
0000 0cos
2
10cos
6
1180cos
2
1540cos
6
1
1
2
11
6
11
2
11
6
1
2
1
6
1
2
1
6
1
3
4
6
8
6
3131
( E )
3. Hasil x5cos dx
= 4cos.cos x dx
= 22cos.cos xx dx
= 22sin1.cos xx dx
= dxxxx sinsin21cos 2
= xxxxx 42 sincossincos2cos
= xxx 53 sin5
1sin
3
2sin C
Matematika SMA 91
= xxx 53 sin5
1sin
3
2sin C ( D )
4. xx cos12 dx
)(
2 1 x xcos
x2 xsin
2(+) xcos
0 xsin
= xxxxxx sin2cos2sinsin2 +C
= Cxxxxx cos2sinsin2
= Cxxxx cos2sin12 ( B )
5.
3
2 40223p
dxxx
4022332 dxxx p
4022
2
3
33
23
dxxxx
p
40232332323
ppp
4026927 23 ppp
40224 23 ppp
016223 ppp
-2 -1 1 -2 -16 2 p
2 -6 16
-1 3 -8 0 12
1p
( C )
6.
Hasil dari 2
5cos.3sin
o
xdxx …
2
0
53sin53sin2
1dx
2
0
2sin8sin2
1dxxx
2
0
2sin2
18sin
2
1xdxx
90
0
2cos4
18cos
16
1xx
0cos
4
10cos
16
1180cos
4
1720cos
16
1
1
4
11
16
11
4
11
16
1
16
41
16
41
16
55
Matematika SMA 92
16
10 ( A )
7. Nilai
21
0
...sin2 xdxx
2
1
2
1
0 0
sin2 xdxxdx
xx cos0
2 21
0cos090cos2
1 2
2
14
1 2 ( C )
8. Nilai ...1sin 2 dxxx
x
xdxx
2
11sin
22
11sin2
1 22 xdx
cx 1cos2
1 2 ( C )
9. ...2sin xdxx
x
x
xx
2sin4
10
2cos2
11
2sin
cxxxjadi 2cos2
12sin
4
1 ( C )
10.
2
0
22 ...cossin dxxx
2
0
2cos xdx
2
02
)2(2cos
xdx
2
0
)2(2cos2
1xxd
90
0
2sin2
1
x
0.2sin
2
190.2sin
2
1
0
0.2
10.
2
1
( C )
Matematika SMA 93
11. Hasil ...
2
1cos2 xdxx
x2 x
2
1cos
2 x
2
1sin2
0 x
2
1cos4
cxxx
2
1cos8
2
1sin4 ( A )
12. Hasil ...9 2 dxxx
dxxx 2
129
x
xdxx
2
99
22 2
1
22 992
12
1
xdx
2
329
3
2.
2
1x
cxx 22 993
1 ( A )
13. Nilai
1
0
6...15 dxxx
5x 61 x
5 717
1x
0 81
56
1x
1
0
871
56
51
7
5
xxx
878701
56
5010
7
511
56
5111
7
5
6
5000
56
5 ( C )
14. Hasil dari ...4coscos xdxx
dxxx 3cos5cos2
1
xdxx 3cos2
15cos
2
1
cxx 3sin6
15sin
10
1 ( B )
15. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva2xy dan garis 6 yx adalah . . satuan
luas.
Jawab:
Matematika SMA 94
xyyx 66
2xy
26 xx
6,1,1
60 2
cba
xx
25
6.1.41
4
2
2
D
D
acbD
6
520
6
125
6
5.25
1.6
2525
6 2
L
L
L
L
a
DDL
( C )
16. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas.
x=3
Jawab:
dxxxxx
3
1
22 3456
3
1
2 8102 dxxx
31853
2 23
xxx
8)1(5
3
224)9(5)27.(
3
2
85
3
2244518
3
233
3
26 ( D )
562 xxy
342 xxy
Matematika SMA 95
17. Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola
y= x2 dikuadran I, garis x + y = 2, dan garis
y = 4 adalah …satuan luas.
Jawab:
xy
xy
xy
2
2
2
12
120
20 2
atauxx
xx
xx
6
14
6
25
6
116
6
)2163(6
2
14
3
88
2
12
3
14
3
880
2
12
3
14
2
12
4)2(4
1
0
2
1
0
2
1
2
L
L
L
L
L
L
xxL
dxxdxxL
( A ) 18. Volume benda putar bila daerah yang
dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4
diputar 360o mengelilingi sumbu y
adalah….satuan volume.
Jawab:
y = -x2 + 4 y = -2x + 4
x2 = 4 – y 2x = 4 – y
x = 2 – ½y
y
y
4
2
42
y-4 2
)y 8y - (16 2
yyy 416816 2
40
0)4(
042
atauyy
yy
yy
Matematika SMA 96
3
8
3
168
12
648
12
1
2
1
4
1
4
1244
4
1244
2
124
4
0
32
4
0
2
4
0
2
4
0
2
4
0
2
V
V
V
yyV
dyyyV
dyyyyV
dyyyyV
dyyyV
( D )
19. Volume benda putar yang terjadi jika
daerah yang dibatasi oleh kurva 2
1
2xy ,
garis xy2
1 dan garis x = 4 diputar 360
o
terhadap sumbu x adalah …satuan volume.
Jawab:
xy 2 xy2
1
xx
xx
xx
44
10
4
14
2
12
2
160
44
10
atauxx
xx
3
226
12
1632
12
12
4
14
2
12
4
0
32
4
0
2
4
0
22
V
V
xxV
dxxxV
dxxxV
Matematika SMA 97
( C )
20. Volume benda putar yang terjadi bila darah
yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 1 dan
sumbu x dari x = 1, x = -1, diputar
mengelilingi sumbu x sejauh 360o adalah…
Jawab:
15
16
13
2
5
11
3
2
5
1
13
2
5
11
3
2
5
1
3
2
5
1
12
1
1
1
35
1
1
24
1
1
22
V
V
V
xxxV
dxxxV
dxxV
( C )