Hlektrotexnia-Hlektrikes Egkatastaseis

Μ ά θ η μ αΗλεκτροτεχνία - Ηλεκτρικές

Εγκαταστάσεις

ΔιδάσκωνΔρ. Γ. Περαντζάκης

Ηλεκτρολόγος Μηχανικός

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Ισχύς σε Μονοφασικά Κυκλώματα Σκοπός των ηλεκτρικών κυκλωμάτων και

γενικότερα των ηλεκτρικών δικτύων είναι ημεταφορά ενέργειας/ισχύος από την πηγή στηνκατανάλωση (φορτίο).

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 3, Γ. Περαντζάκης 2

Τα κυκλώματα διεγείρονται από μονοφασικέςπηγές (μονοφασικά κυκλώματα) ή απότριφασικές πηγές (τριφασικά κυκλώματα).

Τα κυκλώματα διεγείρονται από μονοφασικέςπηγές (μονοφασικά κυκλώματα) ή από τριφασικέςπηγές (τριφασικά κυκλώματα).

Το θέμα της ισχύος παρουσιάζεται πρώτα στοπεδίο του χρόνου και στη συνέχεια στο πεδίο τηςσυχνότητας.

Ισχύς στο Πεδίο του Χρόνου


Ηλεκτρική ισχύς σε μονοφασικό δίκτυο μεημιτονοειδή διέγερση.

0 cos 2 cosV Vv t V t V t

0 cos 2 cosI Ii t I t I t



Η ηλεκτρική ισχύς ρέει από το κύκλωμα Κ1 προςτο κύκλωμα Κ2 όταν είναι

0,p t v t i t και από το κύκλωμα Κ2 προς το κύκλωμα Κ1,όταν είναι

0p t v t i t Στιγμιαία ηλεκτρική ισχύς:

0 0

0 0 0 0

( ) ( ) cos cos1 1cos cos 22 2

cos cos 2

V I

V I V I

V I V I

p t v t i t V I t t

p t V I V I t

p t V I V I t



Η στιγμιαία ισχύς έχει δύο όρους. Τη μέση ισχύ(πρώτος όρος) ανεξάρτητη από το χρόνο και τηνάεργη εναλλασσόμενη ισχύ (δεύτερος όρος).

P

i(t)

wt

p(t)

phiv - phii

v(t)p, v, i, P

0

(1) (2)



Η μέση ισχύς (Ρ, Watt) ονομάζεται και πραγματικήισχύς ή ενεργός ή δρώσα ισχύς και είναι η ισχύς πουπαράγει ή καταναλώνει πραγματικό έργο σε ένακύκλωμα.

0 01 cos cos2 V I V Ip t P V I V I

Η πραγματική ισχύς είναι θετική ποσότητα:

0 cos 1 ( ) 02 2V I V I p t P

Ο όρος: cos ,V I ονομάζεται συντελεστής ισχύος(ΣΙ).

Ο ΣΙ έχει ιδιαίτερο πρακτικό και οικονομικό ενδιαφέρον στη μεταφορά και διανομή ηλεκτρικής ενέργειας στις καταναλώσεις.



Η εναλλασσόμενη ισχύς μεταβάλλεται ημιτονοειδώς μεδιπλάσια συχνότητα, δεν εκφράζει μια πραγματικάκαταναλισκόμενη ισχύ και ονομάζεται άεργη ισχύς.

Η άεργη ισχύς αλλάζει πρόσημο και επομένωςεκφράζει μια ανταλλαγή ισχύος μεταξύ τωνκυκλωμάτων Κ1 και Κ2.

Εάν είναι p(t)<0 (αρνητική ημιπερίοδος), η ισχύςρέει από το κύκλωμα Κ2 προς το κύκλωμα Κ1.

Εάν είναι p(t)>0 (θετική ημιπερίοδος), η ισχύςρέει από το κύκλωμα Κ1 προς το κύκλωμα Κ2.

Ισχύς στα Παθητικά Στοιχεία R-L-C


Συμπεριφορά ωμικού φορτίου στη ροή ισχύος

v(t)

p(t)

i(t)wt

0

Το ρεύμα και η τάση είναι συμφασικάμεγέθη 0, 0V I

Υπάρχει μόνο πραγματική ισχύς (Watts):2

20 0

12R

VP V I V I R IR



Συμπεριφορά επαγωγικού φορτίου στη ροή ισχύος

Το ρεύμα καθυστερεί της τάσης κατά 900 0, 90V I

p(t)v(t)

i(t)

wt0

Είναι: cos 0 0( )V I P W Ανταλλάσσεται μόνο άεργη ισχύς μεταξύ πηγής και

πηνίου κατά τη δημιουργία και καταστροφή τουμαγνητικού πεδίου του πηνίου.



Συμπεριφορά χωρητικού φορτίου στη ροή ισχύος

Το ρεύμα προπορεύεται της τάσης κατά 900

0, 90V I Είναι: cos 0 0( )V I P W Ανταλλάσσεται μόνο άεργη ισχύς μεταξύ πηγής και

πυκνωτή κατά τη δημιουργία και καταστροφή τουηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή.

p(t)

v(t)i(t)

wt0

Ισχύς στο Πεδίο της Συχνότητας


Μιγαδική ισχύς0 2V VV V V

0 2I II I I

0 2I II I I

0 0

0 0

1 12 212

V I

V I V I

S V I V I

S V I V I

0 012

S V I V I

V IS



Μιγαδική ισχύς σε ορθογωνική μορφή:

0 0 0 01 1cos sin2 2cos sin

V I V I

V I V I

S V I j V I

S V I j V I

Είναι:

0 01 cos cos :2 V I V IP V I V I

0 01 sin sin2 V I V IQ V I V I

2 2 1tan QS P jQ P QP

πραγματική ισχύς

άεργη ισχύς

φαινόμενη ισχύς



Μιγαδική ισχύς σε ορθογωνική μορφή:

2 2

cos :V IP PPFS P Q

συντελεστής ισχύς

Τρίγωνο ισχύων για γραμμικά κυκλώματα:

0 :Q Επαγωγικό φορτίο, καταναλώνει άεργη ισχύ.0 :Q Χωρητικό φορτίο, παράγει άεργη ισχύ.



Μονάδες μέτρησης ισχύωνΦαινόμενη ισχύς σε (VA), (KVA), (MVA)

Άεργη ισχύς σε (VAR), (KVAR), (MVAR)Πραγματική ισχύς σε (W), (KW), (MW)

Το μη γραμμικό φορτίο απορροφά από την πηγή ΕΡ ένα περιοδικό μεν όχι όμως ημιτονοειδές εναλλασσόμενο ρεύμα, το οποίο αναλύεται κατά Fourier στη θεμελιώδη αρμονική και σε ένα άπειρο πλήθος από ανώτερες αρμονικές. Το αποτέλεσμα είναι περαιτέρω μείωση του πραγματικού συντελεστή ισχύος του φορτίου.



Σύνδεση της μιγαδικής ισχύος που προσφέρεταιστο φορτίο με τη σύνθετη αντίσταση φορτίου:

cos sin

VV I

I

V I V I

V V VZI I IV VZ j R j XI I

Όπου:

cos , sinV I V IV VR XI I

το πραγματικό και φανταστικό μέρος αντίστοιχα της σύνθετης αντίστασης φορτίου.



Συνδυάζοντας τις προηγούμενες σχέσεις,προκύπτει η μιγαδική ισχύς που προσφέρεται στοφορτίο:

2 2 2 20 0

1 12 2

S P jQ R I j X I R I j X I

Η πραγματική ισχύς, P = R I2, σχετίζεται αποκλειστικά με το ωμικό τμήμα της σύνθετης αντίστασης φορτίου.

Η άεργη ισχύς, Q = X I2, σχετίζεται αποκλειστικά με το φανταστικό τμήμα της σύνθετης αντίστασης φορτίου.

Για επαγωγικό φορτίο: Q > 0.Για χωρητικό φορτίο: Q < 0.

Βελτίωση του Συντελεστή Ισχύος


Από οικονομικής πλευράς, είναι επιθυμητό οκαταναλωτής (φορτίο) να απορροφά ηλεκτρικήενέργεια από το δίκτυο (πηγή) υπό υψηλό ΣΙ.Ένταση ρεύματος καταναλωτή:

cos cosV I

P PI IV V

Για σταθερή πραγματική ισχύ καταναλωτή και σταθερή τάση δικτύου, το μέτρο του ρεύματος του καταναλωτή είναι αντιστρόφως ανάλογο του ΣΙ.Μικρός ΣΙ (ισχυρά επαγωγικά φορτία) σημαίνει: αύξηση του ρεύματος γραμμής, υψηλές απώλειεςστη γραμμή μεταφοράς και υψηλό κόστος διάθεσης ηλεκτρικής ισχύος στον καταναλωτή.



Βελτίωση ΣΙ = Αύξηση σε μια επιθυμητή τιμή του ΣΙΗ βελτίωση του ΣΙ επιτυγχάνεται με παράλληλη σύνδεσηπρος το φορτίο πυκνωτών κατάλληλης χωρητικότητας. Η όλη διαδικασία ονομάζεται αντιστάθμιση άεργης ισχύος.

Πριν την αντιστάθμιση:

1cosp LI I

1cos cosL V I L pP V I V I V I

1sinq LI I 1sin sinL L V I L qQ V I V I V I



Βελτίωση ΣΙ = Αύξηση σε μια επιθυμητή τιμή του ΣΙΜετά την αντιστάθμιση:

2 1cos cos 'q L CI I I

Με την αντιστάθμιση ο καταναλωτής απορροφά από το δίκτυο μικρότερη ένταση ρεύματος και μικρότερη άεργη ισχύ υπό την ίδια πραγματική ισχύ.



Το ζητούμενο στα προβλήματα αντιστάθμισης άεργηςισχύος είναι η εύρεση της αναγκαίας χωρητικότηταςτων πυκνωτών αντιστάθμισης.

Άεργη ισχύς πυκνωτών αντιστάθμισης:

21 2tan tanCQ P CV

Αναγκαία χωρητικότητα πυκνωτών:

1 22 tan tanPCV


Παράδειγμα 1ο

Δεδομένα: 15 30 ,loadZ j 230 2sin ,Sv t t V

1,5 4 ,lineZ j

Ζητούνται:50( )f Hz

( ) ; ; ,load L LI I V

( ) ; ; ,L LP Q ( ) ( ); ; ,l line lP P Q( ) ; ; ,S SP Q (ε) Οι ΣΙ στο φορτίο και στην πηγή,(στ) Η χωρητικότητα του πυκνωτή για (ΣΙ)S = 1,0

Χωρίς αντιστάθμιση Με αντιστάθμιση



Λύσηa) Με εφαρμογή του νόμου των τάσεων του Kirchhoff,

υπολογίζεται το ρεύμα του κυκλώματος:

0S L l L l LV I R R j X X

0 0 0

0

0

230 0 230 0 230 01,5 15 4 30 16,5 34 37,79 64,11

2,66 5,48 6,09 64,11 ( )

SL

l L l L

L

L

VIR R j X X

Ij j

I j A



Η τάση στα άκρα του φορτίου υπολογίζεται με εφαρμογή του νόμου του Ohm:

0 0

0

6,09 64,11 33,54 63,43

204,11 2,42 204,13 0,68 ( )

L L L L L L

L

V I Z I R j X

V j V

b) Η μιγαδική, η πραγματική και η άεργη ισχύς που απορροφά το φορτίο από την πηγή:

0 0

0 0

1 12 2204,18 6,086 [0,68 64,11 ] 555,7 1.111,1( )

555,7 ( )

1.111,1( )

L L L V I

L

L

L

S V I V I

S j VA

P W

Q VAR



c) Η μιγαδική, η πραγματική και η άεργη ισχύς που καταναλώνεται στη γραμμή μεταφοράς:

2 2 2

37,038 1,5 4 55,56 148,15( )l l l l L l L L l l

l

S P jQ R I j X I I R j X

S j j VA

55,56( ) ,lP W 148,15( )lQ VA

d) Λαμβάνοντας υπόψη τις συζευγμένες φορές αναφοράς, η μιγαδική, η πραγματική και η άεργη ισχύς της πηγής είναι:

0 0

12230 6,0859 64,11 1399,757 64,11

611,13 1.259,3( )

S S L S L V I

S

S

S V I V I

S

S j VA



e) Συντελεστής ισχύος στην πηγή και στο φορτίο αντίστοιχα:

611,13( ) ,SP W 1.259,3( )SQ VAR

Επαλήθευση ενεργού και άεργης ισχύος. Ισχύει:0, 0S L l S L lP P P Q Q Q

0 00 64,11 64,11S V I S

0cos

cos 64,11 0,4366

V IS S

S

pf

pf

0 0 00,68 64,11 63,43V I load

0cos

cos 63,43 0,447

V Iload

load

pf

pf



f) Για να λειτουργεί η πηγή με (ΣΙ)S = 1,0 πρέπει την άεργη ισχύ που προσφέρει η πηγή να την δίνει ο πυκνωτής αντιστάθμισης. Η χωρητικότητα του πυκνωτή πρέπει να είναι:

2 2

62

21.259,3 75,77 10 ( )

2 50 230

75,77( )

C C

S S

Q QCV f V

C F

C F



Δεδομένα:

Ζητούνται: (α) Η ενεργός και η άεργη ισχύς των κλάδων, (β) η ενεργός και η άεργη ισχύς της πηγής, (γ) οι συντελεστές ισχύος των κλάδων και της πηγής

Στο πεδίο της συχνότητας

1 1

2 2

100 2cos ( ), 3 , 35 ,7 , 400 , 50

Si t t A R L mHR C F f Hz

Στο πεδίο του χρόνου



Λύση

a) Σύνθετες αντιστάσεις των κλάδων:3

1 1 1

01

3 2 50 35 10

3 10,9956 11,40 74,74 ( )

Z R j L j

Z j

2 2 2 62 2

02

1 1 172 2 50 400 10

7 7,9577 10,60 48,66

Z R j R j jC f C

Z j



Τα ρεύματα στους κλάδους υπολογίζονται με τονκανόνα του διαιρέτη ρεύματος στο πεδίο τηςσυχνότητας:

002

11 2

01

10,60 48,66100 03 11,00 7 7,96

41,95 92,32 101,41 65,56 ( )

SZI I

Z Z j j

I j A

001

21 2

02

11,40 74,74100 03 11,00 7 7,96

58,05 92,32 109,05 57,84 ( )

SZI I

Z Z j j

I j A


Παράδειγμα 2ο Η μιγαδική, η πραγματική και η άεργη ισχύς κάθε

κλάδου του κυκλώματος είναι:

2 2 2 21 1 1 1,0 1,0 1 1

2 21 1 1 1

01

1 1

1 12 2

101,41 3 11,00

30.851 113.070 117.210 74,74 ( )

30.851( ), 113.070( )

S P j Q R I j X I R I j X I

S I R j L j

S j VA

P W Q VAR

2 2 2 22 2 2 2,0 2,0 2 2

2 22 2 2

2

22

2 2

1 12 21 109,05 7 7,96

83.249 94.640 126.040 48,66 ( )

83.249( ), 94.640( )

S P j Q R I j X I R I j X I

S I R j jC

S j VA

P W Q VAR



b) Η μιγαδική, η πραγματική και η άεργος ισχύς της πηγής είναι:

1 2 1 1 2 2

01 2 1.141,00 184,34 1.155,80 9,18 ( )

V I Z I Z

V j V

1 2 1 2

0

0

121.155,80 100 9,18 0

115.580 9,18 114.100 18.434( )

114.100( ), 18.434

S S S V I

S

S

S S

S V I V I

S

S j VA

P W Q VAR



c) Οι συντελεστές ισχύος των κλάδων και της πηγής αντίστοιχα είναι:

0 0_12 11

01

cos cos 9,18 65,56

cos 74,74 0,2632

V Ipf

pf

0 0_12 22

02

cos cos 9,18 57,84

cos 48,66 0,6605

V Ipf

pf

0 0_12

0

cos cos 9,18 0

cos 9,18 0,9872

V ISS

S

pf

pf


Παράδειγμα 3οΔεδομένα:

Ζητούνται: (α) Τα ρεύματα των κινητήρων, το ρεύμα της πηγής και και το ρεύμα της γραμμής πριν την αντιστάθμιση.

1 2 1

2

230 2cos ( ), 50( ),25( ), 40( ), ( ) 80%,

( ) 70%, 0,02 0,05( )

S

M M M

M l

v t t V f HzP kW P kW pfpf Z j

(β) Τα ίδια μεγέθη του ερωτήματος (α) και επιπλέον να υπολογιστεί η χωρητικότητα και το ρεύμα των πυκνωτών αντιστάθμισης.

(γ) Η μιγαδική ισχύς των κινητήρων, της πηγής, των απωλειών γραμμής και να σχεδιαστούν τα διανυσματικά διαγράμματα των ρευμάτων και των ισχύων για τα ερωτήματα (α) και (β).


Παράδειγμα 3οΧωρίς αντιστάθμιση

Με αντιστάθμιση


Παράδειγμα 3οΛύση

a) Το φορτίο της πηγής είναι η γραμμή μεταφοράς και οι ηλεκτρικοί κινητήρες.Για την επίλυση του προβλήματος θα γίνει η παραδοχή ότι η τάση λειτουργίας των κινητήρων είναι ίση με την τάση της πηγής, δηλαδή θα αγνοηθεί η πτώση τάσης στη γραμμή.Κινητήρας Μ1:

11 1

1

01

01

cos25.000 36,87

230 cos 0 36,87

135,87 36,87 ( )

MM M

S V M

M

M

PIV

I

I A



Κινητήρας Μ1:, 1 1 1

, 1

cos

135,87 0,8 108,70( )p M M M

p M

I I

I A

2, 1 1 1 1 1

2, 1

sin 1 cos

135,87 1 0,8 81,52( )

q M M M M M

q M

I I I

I A

1 ,0 1,0 1 1 1

1

1 sin sin2230 135,87 0,6 18.750( )

M S M VS M S M M

M

Q V I V I

Q VAR


Παράδειγμα 3οΚινητήρας Μ1:

2 2 1 11 1 1 1 1

1

2 2 11

01

tan

18.75025.000 18.750 tan25.000

31.250 36,87 ( )

MM M M M M

M

M

M

QS P j Q P QP

S

S VA

Κινητήρας Μ2:

22 2

2

01 0 0

02

cos40.000 45,57

230 cos 0 45,57

248,45 45,57 ( )

MM M

S V M

M

M

PIV

I

I A



, 2 2 2

, 2

cos

248,45 0,7 173,92( )p M M M

p M

I I

I A

2, 2 2 2 2 2

2, 2

sin 1 cos

248,45 1 0,7 177,43( )

q M M M M M

q M

I I I

I A

2 ,0 2,0 2 2 2

2

1 sin sin2230 248,45 0,714 40.800( )

M S M VS M S M M

M

Q V I V I

Q VAR



2 2 1 22 2 2 2 2

2

2 2 12

02

tan

40.80040.000 40.800 tan40.000

57.137 45,57 ( )

MM M M M M

M

M

M

QS P j Q P QP

S

S VA

Κινητήρες Μ1 και Μ2:

Το συνολικό ρεύμα που απορροφούν οι κινητήρεςαπό τη γραμμή κατά την ταυτόχρονη λειτουργία τουςισούται με το διανυσματικό άθροισμα των ρευμάτωντων δύο κινητήρων.


Παράδειγμα 3οΚινητήρες Μ1 και Μ2:

2 21,2 , 1 , 2 , 1 , 2

2 21,2 1,2 1,2

2 21,2

2 21,2

1,21 1 01,2

1,2

1,2

108,70 173,92 81,52 177,43

282,62 258,95 383,31( )

258,95tan tan 42,50282,62

M p M p M q M q M

M p M q M

M

M

q MM

p M

M M

I I I I I

I I I

I

I A

II

I I

01,2 1,2 383,31 42,50 ( )M A



2 21,2 1 2 1 2

2 21,2 1,2 1,2

2 21,2

2 21,2

1,2

1,2

1,2

25.000 40.000 18.750 40.800

65.000 59.550 88.155( )

65.000( )

59.550( )

65.000 59.550( )

M M M M M

M M M

M

M

M

M

M

S P P Q Q

S P Q

S

S VA

P W

Q VAR

S j VA



Διανυσματικό διάγραμμα ρευμάτων κινητήρων


Παράδειγμα 3οΓραμμή Μεταφοράς

Το ρεύμα γραμμής είναι ίσο με το ρεύμα της πηγήςκαι το συνολικό ρεύμα των κινητήρων.

01,2 383,31 42,50 ( )S l MI I I A

2 2,0 ,0

2 2 2

2

1 12 2

383,31 0,02 0,05

2.939 7.346( )

2.939( )

7.346( )

l l l l l l l

l l l l l l l l

l

l

l

l

S P j Q R I j X I

S R I j X I I R j X

S j

S j VA

P W

Q VAR


Παράδειγμα 3οΓραμμή Μεταφοράς

,2.939 12,78( )230

lp l

S

PI AV

,7.346 31,94( )230

lq l

S

QI AV

Πηγή ΕΡ

Λαμβάνοντας υπόψη τις επιμέρους συνιστώσες Ip-M1,2,Iq-M1,2 και Ip-l, Iq-l , στις οποίες οφείλεται η μεταφοράτης πραγματικής και άεργης ισχύος στους κινητήρεςκαι τη γραμμή μεταφοράς αντίστοιχα, το ρεύμα και οιισχείς που παρέχει η πηγή χωρίς αντιστάθμιση είναι:



Πηγή ΕΡ

2 21,2 , 1,2 ,

2 2, ,

2 2

2 2

,1 1 0

,

0

282,62 12,78 258,95 31,94

295,40 290,89 414,58( )

290,89tan tan 44,55295,40

414,58 44,55 295,4

S p M p l q M q l

S p S q S

S

S

q SS

p S

S S S

S

I I I I I

I I I

I

I A

II

I I

I

5 290,85( )j A



Πηγή ΕΡ

, 1 2 1,2

,

0,

65.000 59.550 2.939 7.346

67.939 66.846 95.311 45,54 ( )

S S S M M l M l

S

S

S P j Q S S S S S

S j j

S j VA

Για να λειτουργεί η πηγή ΕΡ με (pf)S = 1,0 πρέπει ηάεργη ισχύς της πηγής (66.846 VAR) να παρέχεταιεξολοκλήρου από τους πυκνωτές αντιστάθμισης,δηλαδή η πηγή να προσφέρει μόνο την πραγματικήισχύ (67.939 W).


Παράδειγμα 3οΠηγή ΕΡ

Διανυσματικό διάγραμμα ισχύων πριν την αντιστάθμιση



b) Ρεύματα στο κύκλωμα με αντιστάθμιση άεργης ισχύος και χωρητικότητα πυκνωτών :

1,2 7.346 59.550 66.896( )C l MQ Q Q VAR

2 2 2

6

66.8962 2 50 230

4.025,3 10 ( ) 4.025,3( )

C C

S S

Q QCV f V

C F F

6

0

2 50 4.025,3 10 230

290,85 290,85 90 ( )

SC S

C

C

VI j j CV jX

I j A


Παράδειγμα 3ο Επαλήθευση: Για να είναι (pf)S = 1,0 πρέπει το

ρεύμα των πυκνωτών να είναι ίσο με τοαριθμητικό άθροισμα των άεργων ρευμάτων πουοφείλονται στους κινητήρες και τη γραμμή.Πράγματι, είναι:

1,2 , 258,95 31,94 290,89( )C q M q lI I I A

, 1 2 1,2

,

,

0 0

65.000 2.939 ( )

67.939( ) 67.939( )

S S M M l M l

S S

S S

S P j P P P j P P

S P VA

S P VA W

0 0 0,

67.9390 0 295,4 0 ( )230

SS

S

PI AV



Διανυσματικό διάγραμμα ρευμάτων μετά την αντιστάθμιση



c) Η μιγαδική ισχύς των κινητήρων και η μιγαδική ισχύς απωλειών της γραμμής παραμένουν ίδιες και μετά την αντιστάθμιση, επειδή η συστοιχία των πυκνωτών συνδέεται αμέσως μετά την πηγή. Αλλάζει μόνο η μιγαδική ισχύς της πηγής. Είναι:

01 31.250 36,87 25.000 18.750( )MS j VA

02 57.137 45,57 40.000 40.800( )MS j VA

1,2 65.000 59.550( )MS j VA

2.939 7.346( )lS j VA



, 1 2 1,2

,

0,

65.000 59.550 2.939 7.346

67.939 66.846 95.311 45,54 ( )

S S S M M l M l

S

S

S P j Q S S S S S

S j j

S j VA

, 1 2 1,2

,

0 0

65.000 2.939 ( ) 67.939( )

S S M M l M l

S

S P j P P P j P P

S VA W

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 3, Γ. Περαντζάκης53


Διανυσματικό διάγραμμα ισχύων μετά την αντιστάθμιση

Ισχύς σε Τριφασικά Κυκλώματα Μια τριφασική πηγή τάσης αποτελείται από τρεις

μονοφασικές πηγές τάσης, κατάλληλασυνδεδεμένες μεταξύ τους, οι οποίες έχουν το ίδιοπλάτος τάσης και την ίδια συχνότητα, διαφέρουνόμως στην αρχική τους φάση κατά 1200 η μία μετην άλλη.


Τα τριφασικά δίκτυα χρησιμοποιούνται για τημεταφορά μεγάλων ποσοτήτων ηλεκτρικήςισχύος.

Ανάλογα με τον τρόπο σύνδεσης τωνμονοφασικών πηγών, διακρίνουμε τησυνδεσμολογία τριφασικής πηγής τάσης σεαστέρα (Υ) και σε τρίγωνο (Δ).

Ισχύς σε Τριφασικά Κυκλώματα


Συνδεσμολογία τριφασικής πηγής σε αστέρα (Υ)

vi(t): Φασικές τάσεις, i =A, B, C.

vAB(t), vBC(t), vCA(t):Πολικές τάσεις ή τάσειςγραμμής.

A, B, C: Τα άκρασύνδεσης της τριφασικήςπηγής με το εξωτερικόκύκλωμα.

Ν: Κοινό σημείο σύνδεσης των τριών μονοφασικώνπηγών. Ονομάζεται ουδέτερος κόμβος.



Φασικές τάσεις στο πεδίο του χρόνου: 0 cosAv t V t

00 02cos cos 1203Bv t V t V t

00 04cos cos 2403Cv t V t V t

Φασικές τάσεις στο πεδίο του χρόνου:0 0

0 0 2 0AV V V

0 00 0

2 120 2 1203BV V V V

0 00 0

4 240 2 2403CV V V



Στη συνδεσμολογία αστέρα (Υ), τα διανύσματα τωνπολικών τάσεων προπορεύονται από τα αντίστοιχαφασικά διανύσματα κατά 300. Επομένως, οι πολικέςτάσεις στο πεδίο της συχνότητας είναι:

03 30

AB A B

AB ph

V V V

V V

03 90

BC B C

BC ph

V V V

V V

03 210

CA C A

CA ph

V V V

V V

3l l phV V



Θετική σειρά διαδοχής των φάσεων: Τα στρεφόμεναδιανύσματα των φασικών τάσεων με γωνιακήσυχνότητα ω και με φορά αντίθετη από τη φοράπεριστροφής των δεικτών του ρολογιού, συναντούντον άξονα αναφοράς με τη σειρά .A B CV V V

Αρνητική σειρά διαδοχής των φάσεων: Ταστρεφόμενα διανύσματα συναντούν τον άξονααναφοράς με τη σειρά .A C BV V V

Με την αλλαγή διαδοχής των τριών φάσεωνεπιτυγχάνεται η αλλαγή φοράς περιστροφής τωντριφασικών κινητήρων.



Συνδεσμολογία τριφασικής πηγής σε τρίγωνο (Δ)

(Μέτρο πολικής τάσης) = (Μέτρο φασικής τάσης)

(Μέτρο Ρεύματος γραμμής) > (Μέτρο φασικούρεύματος)

Δημιουργούνται τρεις κόμβοι,από τους οποίους εξέρχονται οιτρεις ακροδέκτες (A, B, C) τηςπηγής προς το εξωτερικόκύκλωμα.

Στη συνδεσμολογία Δ:



Στη συνδεσμολογία τριγώνου (Δ), τα διανύσματα τωνρευμάτων γραμμής καθυστερούν ως προς τααντίστοιχα διανύσματα των φασικών ρευμάτων κατά-300. Επομένως, τα ρεύματα γραμμής στο πεδίο τηςσυχνότητας είναι:

03 30

A BA AC

A ph

I I I

I I

03 150

B CB BA

B ph

I I I

I I

03 270

C AC CB

C ph

I I I

I I

3A phI I



Λόγω της συμμετρίας των φασικών και πολικώνδιανυσμάτων των ρευμάτων και των τάσεων στοπεδίο της συχνότητας των τριφασικών πηγών, ισχύει:

0A B CV V V

0BA CB ACI I I

0AB BC CAV V V

0A B CI I I

Τριφασικό Συμμετρικό Φορτίο


Το φορτίο μιας τριφασικής πηγής αποτελείται απότρία μονοφασικά φορτία, τα οποία συνδέονται μεταξύτους σε αστέρα ή τρίγωνο.

Εάν τα τρία μονοφασικά φορτία έχουν την ίδιασύνθετη αντίσταση, το τριφασικό φορτίο ονομάζεταισυμμετρικό φορτίο.

Εάν τα τρία μονοφασικά φορτία έχουν διαφορετικήσύνθετη αντίσταση, το τριφασικό φορτίο ονομάζεταιασύμμετρο φορτίο.

Εδώ εξετάζονται μόνο συμμετρικά φορτία (π.χ.τριφασικός κινητήρας, τριφασικός φούρνος κ.λ.π.)

Συνδεσμολογίες Τριφασικών Φορτίων


Συνδεσμολογία Υ Συνδεσμολογία Δ

Ισχύουν οι ίδιες σχέσεις μεταξύ φασικών και πολικών μεγεθών με αυτές που ισχύουν για τις αντίστοιχες συνδεσμολογίες των τριφασικών πηγών.

Μετατροπή Τριφασικών Φορτίων από Υ σε Δ


1 2 2 3 3 1

2A

Z Z Z Z Z ZZZ

1 2 2 3 3 1

1B

Z Z Z Z Z ZZZ

1 2 2 3 3 1

3C

Z Z Z Z Z ZZZ

Για συμμετρικό φορτίο:

3 YZ Z

Μετατροπή Τριφασικών Φορτίων από Δ σε Υ


Για συμμετρικό φορτίο:

1B C

A B C

Z ZZZ Z Z

2A C

A B C

Z ZZZ Z Z

3A B

A B C

Z ZZZ Z Z

13YZ Z

Συμμετρικό Τριφασικό Σύστημα Υ-Υ


Αποτελείται από την τριφασική πηγή σε συνδεσμολογία Υ, την τριφασική γραμμή 4 αγωγών και το τριφασικό συμμετρικό φορτίο σε συνδεσμολογία Υ.

Y YZ Z



Σε ένα τριφασικό συμμετρικό σύστημα 4 αγωγών τορεύμα στον ουδέτερο αγωγό είναι μηδενικό καιεπομένως ο ουδέτερος αγωγός, ΝΝ΄, μπορεί ναπαραληφθεί. Πράγματι, με εφαρμογή του πρώτουνόμου του Kirchhoff και του νόμου του Ohm:

00ph phA NA

Y Y Y

V VVIZ Z Z

0

0120120ph phB N

BY Y Y

V VVIZ Z Z

0

0240240ph phC N

CY Y Y

V VVIZ Z Z



0A B C NI I I I

1A B C A N B N C N

Y

I I I V V VZ

Επειδή είναι:

0A N B N C N AN BN CNV V V V V V

0A B CI I I

0NI

Οικονομία υλικού!



Τα ρεύματα σε ένα τριφασικό συμμετρικό σύστημα Υ-Υ συνιστούν ένα συμμετρικό τριφασικό σύστημαρευμάτων, τα οποία έχουν το ίδιο πλάτος (Vph/ZY) καιδιαφορά φάσης μεταξύ τους 1200.

Η ανάλυση ενός συμμετρικού τριφασικούσυστήματος Υ-Υ ανάγεται, τελικώς, στην ανάλυσηενός εκ των τριών μονοφασικών κυκλωμάτων που τοαποτελούν. Στη συνέχεια, τα αποτελέσματα από τομονοφασικό κύκλωμα επεκτείνονται και στοτριφασικό κύκλωμα.



Διανυσματικό διάγραμμα τάσεων και εντάσεων συμμετρικού τριφασικού συστήματος Υ-Υ



Δεδομένα: 2 125cos ( )Av t t V

02 125cos 120 ( )Bv t t V

02 125cos 240 ( )Cv t t V

0,5 1 ,SZ j

3 1 , 30 15lZ j Z j

Ζητούνται: (α) Τα ρεύματα γραμμής, πηγής και φορτίου.

(β) Οι φασικές και οι πολικές τάσεις στο φορτίο.

(γ) Η μιγαδική ισχύς που καταναλώνεται στο φορτίο, στη γραμμή, στην εσωτερική αντίσταση της πηγής και η μιγαδική ισχύς που παράγει η πηγή(γ) Να σχεδιαστούν τα διανυσματικά διαγράμματα των τάσεων και των ρευμάτων στο φορτίο.

Τριφασικό συμμετρικό σύστημα Υ-Δ



a) Το φορτίο είναι σε συνδεσμολογία Δ και πρέπει ναμετατραπεί σε Υ, ώστε να προκύψει ένα συμμετρικότριφασικό σύστημα Υ-Υ.

Λύση


Παράδειγμα 4οΣύνθετη αντίσταση σε κάθε φάση του μετασχηματισμένου Υ:

0

1 1 30 153 310 5 11,18 26,57

Y

Y

Z Z j

Z j

Μετασχηματισμός φορτίου από Δ σε Υ


Παράδειγμα 4οΑνάλυση στο μονοφασικό κύκλωμα, π.χ. της φάσης Α, του τριφασικού συμμετρικού συστήματος Υ-Υ στο πεδίο της συχνότητας

, ,

, , ,

0

0

S A Zs l A N S A Zs l ph

S A S A S l l A N Y Y

V V V V V V V V

V I Z I Z I Z

Εξίσωση βρόχου:


Παράδειγμα 4οΡεύμα βρόχου:

, , ,S A l A N Y ph YI I I I

, ,

0,

,

0,

0

125 00,5 1 3 1 10 5

9,04 12,53 ( )

S A ph Y S l Y

S Aph Y

S l Y

ph Y

V I Z Z Z

VI

Z Z Z j j j

I A

Ρεύματα στις τρεις φάσεις του συστήματος:

0, , , ,

0 0 0, , , ,

0 0 0, , , ,

9,04 12,53 ( )

9,04 12,53 120 9,04 107,47 ( )

9,04 12,53 240 9,04 227,47 ( )

S A l A A N Y ph Y

S B l B B N Y ph Y

S C l C C N Y ph Y

I I I I A

I I I I A

I I I I A


Παράδειγμα 4οb) Οι φασικές στο φορτίο είναι:

,

09,04 12,53 11,18 26,57

101,07 14,04( )

A N ph A N Y Y

A N

A N

V V I Z

V

V V

,

0 0

0

,

0 0

0

9,04 107,47 11,18 26,57

101,07 134,04 ( )

9,04 227,47 11,18 26,57

101,07 254,04 ( )

B N ph B N Y Y

B N

B N

C N ph C N Y Y

C N

C N

V V I Z

V

V V

V V I Z

V

V V


Παράδειγμα 4ο Οι πολικές τάσεις στο φορτίο είναι:

0 0

0

0 0

0

0 0

0

3 14,04 30 3 101,07 15,96

174,85 15,96 ( )

3 15,96 120

174,85 104,04 ( )

3 15,96 240

174,85 224,04 ( )

A B A N

A B

B C A N

B C

C A A N

C A

V V

V V

V V

V V

V V

V V

Με γνωστές τις πολικές τάσεις στο φορτίο και με εφαρμογή του νόμου του Ohm στο πεδίο της συχνότητας, υπολογίζονται τα φασικά ρεύματα στο πραγματικό φορτίο συνδεσμολογίας τριγώνου:



0 0

, 0

0,

0

, 0

0,

0

,

174,85 15,96 174,85 15,9630 15 33,54 26,57

5,22 42,53 ( )

174,85 104,0433,54 26,57

5,22 77,47 ( )

174,85 224,0433,54

A BA B

A B

B CB C

B C

C AC A

VIZ j

I A

VIZ

I A

VIZ

0

0,

26,57

5,22 197,47 ( )C AI A



Οι φασικές τάσεις στο πραγματικό φορτίο μεσυνδεσμολογία Δ είναι ίσες με τις πολικές τάσεις, οιοποίες υπολογίστηκαν προηγουμένως:

0 0

0

0 0

0

0 0

0

3 14,04 30 3 101,07 15,96

174,85 15,96 ( )

3 15,96 120

174,85 104,04 ( )

3 15,96 240

174,85 224,04 ( )

ph A B A N

ph A B

ph B C A N

ph B C

ph C A A N

ph C A

V V V

V V V

V V V

V V V

V V V

V V V



c) Μιγαδική ισχύς που καταναλώνεται στη φάση Α΄Β΄ τουτριγωνικού φορτίου:

, , ,

0 0,

,

,

,

,

12174,85 5,22 15,96 42,53

816,33 408,25( )

912,72( )

816,33( )408,25( )

A B A B A B A B A B V I

A B

A B

A B

A B

A B

S V I V I

S

S j VA

S VA

P WQ VAR



, , ,

0 0,

,

,

,

,

12174,85 5,22 104,04 77,47

816,33 408,25( )

912,72( )

816,33( )408,25( )

B C B C B C B C B C V I

B C

B C

B C

B C

B C

S V I V I

S

S j VA

S VA

P WQ VAR

Μιγαδική ισχύς που καταναλώνεται στη φάση Β΄C΄του τριγωνικού φορτίου:



Μιγαδική ισχύς που καταναλώνεται στη φάση C΄Α΄του τριγωνικού φορτίου:

, , ,

0 0,

,

,

,

,

12174,85 5,22 224,04 197,47

816,33 408,25( )

912,72( )

816,33( )408,25( )

C A C A C A C A C A V I

C A

C A

C A

C A

C A

S V I V I

S

S j VA

S VA

P WQ VAR


Παράδειγμα 4ο Μέτρα της φαινόμενης, πραγματικής και άεργης

ισχύος στο τριγωνικό φορτίο:,

,

,

3 912,72 2.738,16( )3 816,33 2.449( )3 408,25 1.224,75( )

L

L

C A

S VAP WQ VAR

Μιγαδική ισχύς που καταναλώνεται σε κάθεφάση της γραμμής:

2 2 2 2 2, , , 0, 0,

2 0,

, , ,

, , ,

, , ,

1 12 2

9,04 3 1 245,16 81,73 258,42 18,44

258,42( )245,16( ) , , ,81,73( )

l i l i l i l l l l l l l l l l l

l i

L i L B L C

L i L B L C

L i L B L C

S P j Q R I j X I R I j X I I R j X

S j j

S S S VAP P P W i A B CQ Q Q VAR



Μιγαδική ισχύς που καταναλώνεται στηνεσωτερική αντίσταση της πηγής:

Μέτρα της φαινόμενης, πραγματικής και άεργηςισχύος που καταναλώνεται στη γραμμή:

3 258,42 775,26( )3 245,16 735,48( )3 81,73 245,19( )

l

l

l

S VAP WQ VAR

2 2 2, , , 0,

2 0,

, , ,

, , ,

, , ,

9,04 0,5 1 40,86 81,73 91,37 63,44

91,37( )40,86( )81,73( )

Zs A Zs A Zs A S l S l l S S

Zs A

Zs A Zs B Zs C

Zs A Zs B Zs C

Zs A Zs B Zs C

S P j Q R I j X I I R j X

S j j

S S S VAP P P WQ Q Q VAR



Φασική μιγαδική ισχύς που παράγεται από την πηγή:

Μέτρα της φαινόμενης, πραγματικής και άεργηςισχύος που καταναλώνεται στην εσωτερικήαντίσταση της πηγής:

3 91,37 274,11( )3 40,86 122,58( )3 81,73 245,19( )

Zs

Zs

Zs

S VAP WQ VAR

, , ,

0 0,

, , ,

, , ,

, , ,

12125 9,04 0 12,53 1.130 12,53 ( )

1.130( )1.103,1( )245,15( )

S A A S A A S A V I

S A

S A S B S C

S A S B S C

S A S B S C

S V I V I

S VA

S S S VAP P P WQ Q Q VAR



Μέτρα της φαινόμενης, πραγματικής και άεργηςισχύος που παράγεται από τη τριφασικήσυμμετρική πηγή:

3 1.130 3.390( )3 1.103,1 3.309,3( )3 245,15 735,45( )

S

S

S

S VAP WQ VAR


Παράδειγμα 4οd) Διανυσματικό διάγραμμα τάσεων και ρευμάτων

στο φορτίο:

Χωρητική συμπεριφορά του φορτίου

Συμμετρικό Τριφασικό Σύστημα Δ-Δ


Αποτελείται από την τριφασική πηγή σε συνδεσμολογία Δ, την τριφασική γραμμή 3 αγωγών και το τριφασικό συμμετρικό φορτίο σε συνδεσμολογία Δ.

A B B C C A l l phV V V V V

Z Z



Τα ρεύματα στις φάσεις του τριγωνικού φορτίουπροκύπτουν με εφαρμογή του νόμου του Ohm στοπεδίο της συχνότητας:

A B A BA B

V VIZ Z

0120B C B CB C

V VIZ Z

0240C A C AC A

V VIZ Z



Τα ρεύματα γραμμής προκύπτουν με εφαρμογή τουπρώτου νόμου του Kirchhoff στους κόμβους τουτριφασικού φορτίου στο πεδίο της συχνότητας:

, ,l A C A A B l A A B C AI I I I I I

, ,l B A B B C l B B C A BI I I I I I

, ,l C B C C A l C C A B CI I I I I I

Με βάση τις παραπάνω εξισώσεις σχεδιάζεται τοδιανυσματικό διάγραμμα των φασικών ρευμάτωνκαι των ρευμάτων γραμμής. Στο ίδιο διάγραμμαέχουν σχεδιαστεί και τα διανύσματα των τάσεων



Από τη γεωμετρία του διανυσματικούδιαγράμματος προκύπτει η σχέση μεταξύ τωνμέτρων του φασικού ρεύματος και του ρεύματοςγραμμής. Είναι:

3A B B C C A ph

A B C l l ph

I I I I

I I I I I

Και τα ρεύματα γραμμής στο πεδίο της συχνότητας: 0, , 30l A l AI I

0, , 150l B l BI I

0, , 270l C l CI I

, , , 0l A l B l CI I I

Ισχύει:

Ισχύς σε Τριφασικό Σύστημα


Η ανάλυση που ακολουθεί αναφέρεται σετριφασικό συμμετρικό σύστημα Υ-Υ. Όμως, τασυμπεράσματα που θα εξαχθούν ισχύουν καιτριφασικό συμμετρικό σύστημα Δ-Δ. Φασικές τάσεις συμμετρικής πηγής:

0 cos 2 cosAv t V t V t

0 00 cos 120 2 cos 120Bv t V t V t

0 00 cos 240 2 cos 240Cv t V t V t

Σύνθετη αντίσταση κάθε φάσης του συμμετρικούτριφασικού φορτίου:

L LZ Z



Ρεύματα στις τρεις φάσεις του συμμετρικού φορτίου: 2 cosAi t I t

02 cos 120Bi t I t

02 cos 240Ci t I t

Η στιγμιαία ισχύς του τριφασικού συστήματοςείναι ίση με το άθροισμα των στιγμιαίων ισχύωντων τριών φάσεων. A B C A A B B C Cp t p t p t p t v t i t v t i t v t i t

0 0

0 0

2 cos cos 2 cos 120 cos 120

2 cos 240 cos 240

p t V I t t V I t t

V I t t



Λαμβάνοντας υπόψη τη τριγωνομετρική σχέση: 1cos cos cos cos ,

2A B A B A B

η στιγμιαία τριφασική ισχύς είναι:

0

0

cos 2 cos cos 2 240 cos

cos 2 120 cos 3 cos 0

3 cos ( )

p t V I t V I t

V I t V I

p t P V I W

Αντίστοιχα, τα μέτρα της άεργης και τηςφαινόμενης ισχύος στο τριφασικό σύστημα είναι:

3 sin ( )Q V I VAR

3 ( )S S V I VA



Οι ισχείς εκφρασμένες σε μεγέθη γραμμής είναι:3 cosl l lP V I

3 sinl l lQ V I

3 l l lS S V I

Για συνδεσμολογία Υ είναι: ,3

l lph ph l

VV I I

Για συνδεσμολογία Δ είναι: ,3l

ph ph l lII V V

Συντελεστής ισχύος: P PpfSS

Σύγκριση Τριφασικών και Μονοφασικών Συστημάτων


Βασικά πλεονεκτήματα τριφασικών συμμετρικώνσυστημάτων έναντι των μονοφασικών συστημάτων: Οικονομία στη μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας. Σταθερότητα στιγμιαίας ισχύος στο φορτίο.

Για την ανάλυση του θέματος, υποθέτουμε ότι δύοφορτία με την ίδια πραγματική ισχύ και τον ίδιοσυντελεστή ισχύος συνδέονται το ένα σεμονοφασική πηγή και το άλλο σε τριφασικήσυμμετρική πηγή. Η μονοφασική τάση είναι ίση μετην πολική τάση.



1 cosl l

PIV

3 3 cosl l

PIV

2

2,1 1 1 12 2

coslossl l

PP R I RV

2

2,3 3 3 33 3

3 coslossl l

PP R I RV

Μονοφασικό σύστημα Τριφασικό σύστημα



,3 3

,1 1

12

loss

loss

P RP R

Διαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις απωλειών ισχύος,προκύπτει:

Συμπεράσματα:1. Εάν R1=R3 οι απώλειες του τριφασικού

συστήματος είναι οι μισές από τις απώλειες τουμονοφασικού συστήματος.

2. Εάν Ploss,1=Ploss,2, η αντίσταση της τριφασικήςγραμμής μπορεί να είναι διπλάσια από τηναντίσταση της μονοφασικής γραμμής.



Σχετικά με το 2ο συμπέρασμα, διαφορετικάδιατυπωμένο, η διατομή των αγωγών τουτριφασικού συστήματος είναι η μισή από τηδιατομή των αγωγών του μονοφασικούσυστήματος. Δηλαδή, ο λόγος του όγκου τουαπαιτούμενου υλικού των δύο συστημάτων είναι:

3

1

. . 3 1 3

. . 2 2 4Cond VolCond Vol

Το τριφασικό σύστημα απαιτεί τα 3/4 του υλικού πουχρειάζεται το μονοφασικό σύστημα και ο υπόλοιποςηλεκτρομηχανολογικός εξοπλισμός.



Το τριφασικό συμμετρικό σύστημα παρέχει σταθερήστιγμιαία ισχύ στο φορτίο, ενώ αντίθετα τομονοφασικό σύστημα παρέχει ισχύ με έντονηκυμάτωση με συχνότητα διπλάσια της πηγής.

Αποτελέσματα:1. Οι τριφασικοί κινητήρες εξασφαλίζουν σταθερή

ροπή στο φορτίο.2. Οι μονοφασικοί κινητήρες δεν παράγουν σταθερή

ροπή, αλλά με έντονη κυμάτωση, με αποτέλεσμανα εμφανίζονται μηχανικά προβλήματα έδρασηςκαι κραδασμών.



Δεδομένα:

Ζητούνται: (α) Τα φασικά ρεύματα και τα ρεύματα γραμμής των δύο φορτίων, καθώς και το ρεύμα της πηγής.(β) Οι ισχείς που απορροφούν τα δύο φορτία και ο συντελεστής ισχύος κάθε φορτίου.(γ) Η χωρητικότητα των πυκνωτών αντιστάθμισης, ώστε ο συντελεστής ισχύος της πηγής να βελτιωθεί στο 95 %. Να εξεταστούν και οι δύο περιπτώσεις σύνδεσης των πυκνωτών, σε Υ και Δ.(δ) Το ρεύμα και η μιγαδική ισχύς της πηγής μετά την αντιστάθμιση.

Τροφοδοσία συμμετρικών τριφασικών φορτίων 3 30 ,Z j

10( ),R 400( , ),l lV V RMS

50( )f Hz

(ε) Τα ρεύματα στους πυκνωτές για σύνδεση Υ και Δ.



Τροφοδοσία συμμετρικών τριφασικών φορτίων



a) Για τον υπολογισμό των ρευμάτων, μετασχηματίζουμετο τριγωνικό φορτίο σε συνδεσμολογία αστέρος καιεργαζόμαστε στη μια φάση.

Λύση



Ισοδύναμη αντίσταση στο μετασχηματισμένο Υ:1 3 303 31 10( )

Y

Y

jZ Z

Z j

Ρεύματα στο φορτίο συνδεσμολογίας Υ:0

,

0,

230 010

23 0 23 0( )

ANY A

Y A

VIR

I j A

0

,

0,

230 12010

23 120 11,5 19,92( )

BNY B

Y B

VIR

I j A


Παράδειγμα 5ο0

,

0,

230 24010

23 240 11,5 19,92( )

BNY C

Y C

VIR

I j A

Ρεύματα στο μετασχηματισμένο φορτίο από Δ σε Υ:0 0

, , 0

0,

0

, , 0

0,

230 0 230 01 10 10,05 84,29

22,89 84,29 2,28 22,77( )

230 12010,05 84,29

22,89 204,29 20,82 9,39( )

ANY AN A

Y

Y AN

BNY BN B

Y

Y BN

VI IZ j

I j A

VI IZ

I j A



Ενεργός τιμή φασικού ρεύματος στο τριγωνικό φορτίο:

0

, , 0

0,

230 24010,05 84,29

22,89 324,29 18,55 13,33( )

CNY CN C

Y

Y CN

VI IZ

I j A

, , , ,22,89 13,23( )3AB BC CA phI I I I A

Το ρεύμα γραμμής για τη φάση Α προκύπτει μεεφαρμογή του νόμου των ρευμάτων του Kirchhoff στοπεδίο της συχνότητας στον κόμβο του αντίστοιχουισοδύναμου μονοφασικού κυκλώματος για τη φάση Α:


Παράδειγμα 5οΙσοδύναμο κύκλωμα φάσης Α

, , ,

,

0,

23 0 2,28 22,77

25,28 22,77 34,02 42 ( )

l A Y A A

l A

l A

I I I

I j j

I j A



, , ,

0,

, , ,

0,

34,02 162 33,35 10,51( )

34,02 282 7,07 33,27( )

l B Y B B

l B

l C Y C C

l C

I I I

I j A

I I I

I j A

Και αντίστοιχα για τις φάσεις B και C:

Τα ρεύματα της πηγής συμπίπτουν με τα ρεύματατης γραμμής:

0, ,

0, ,

0, ,

34,02 42

34,02 162

34,02 282

S A l A

S B l B

S C l C

I I

I I

I I



b) Μιγαδική ισχύς στη μία φάση του φορτίου σεσυνδεσμολογία Υ (ωμικό φορτίο):

,1 , ,

0 0,1

0,1

,1

,1

12230 23 0 0

5920 0 5920 0( )5920( )0( )

R AN Y A AN Y A V I

R

R

R

R

S V I V I

S

S j VAP WQ VAR

,3

,1

0,3

3 5920 17.760( )0( )

17.760 0 17.760 0 ( )

R

R

R

P WQ VAR

S j VA

Και αντίστοιχα για τις τρεις φάσεις του φορτίου:


Παράδειγμα 5ο Μιγαδική ισχύς για τη μία φάση του φορτίου σε

συνδεσμολογία Δ (ωμικό-επαγωγικό φορτίο):

,1 , ,

0 0,1

0,1

,1

,1

12230 22,89 0 84,29

5.264,7 84,29 523,8 5238,6( )

523,8( )

5.238,6( )

Y

Y

Y

Y

Y

Z AN A AN A V I

Z

Z

Z

Z

S V I V I

S

S j VA

P W

Q VAR

,3

,1

0,3

3 523,8 1571,4( )

3 5.238,6 15.715,8( )

1571,4 15.715,8 15.794,17 84,29 ( )

Y

Y

Y

Z

Z

Z

P W

Q VAR

S j VA

Και αντίστοιχα για τις τρεις φάσεις του φορτίου:



Μιγαδική ισχύς για τη μία φάση της πηγής:

,3

,3

,3 ,1 ,1

0,3

3 6.443,8 19.331,4( )3 5238,6 15.715,8( )

19.331,4 15.715,8

24.913,64 39,11 ( )

S

S

S S S

S

P WQ VAR

S P j Q j

S VA

,1 ,1 ,1

,1 ,1 ,1

,1 ,1 ,1

0,1

5920 523,8 6.443,8( )

0 5238,6 5238,6( )

6.443,8 5238,6

8.304,55 39,11 ( )

Y

Y

S R Z

S R Z

S S S

S

P P P W

Q Q Q VAR

S P j Q j

S VA

Και αντίστοιχα για τις τρεις φάσεις της πηγής:



Οι συντελεστές ισχύος του ωμικού φορτίου, τουωμικού-επαγωγικού φορτίου και της πηγής (πριν τηναντιστάθμιση) είναι:

0cos0 1,0Rpf Για το ωμικό φορτίο:

Για το ωμικό-επαγωγικό φορτίο: 0cos84,29 0,099R Lpf

Για την πηγή: 0cos39,11 0,776Spf


Παράδειγμα 5οc) Υπολογισμός πυκνωτών αντιστάθμισης. Τριφασικό

συμμετρικό σύστημα με αντιστάθμιση.



Αναγκαία ισχύς αντιστάθμισης για τη μία φάση τωνπυκνωτών:

,1 ,1 1 2

0 01 ,1 1

1 0 02 2

,1

,1

tan tan

39,11 tan tan39,11 0,776

cos 0,95 18,19 tan tan18,19 0,3296.443,8 0,776 0,329

2.880,38( )

C S

S

C

C

Q P

S

Q

Q VAR

Η χωρητικότητα των πυκνωτών εξαρτάται από τηντάση στα άκρα τους, δηλαδή από τον τρόποσύνδεσής τους σε ένα τριφασικό δίκτυο.


Παράδειγμα 5ο Συνδεσμολογία των πυκνωτών σε Υ:

,1 62 2

2.880,38 173,41 10 ( )314 230

173,41( )

CY

AN

Y

QC F

V

C F

Συνδεσμολογία των πυκνωτών σε Δ:,1 62 2

2.880,38 57,33 10 ( )314 400

57,33( )

C

AB

QC F

V

C F

,1

22 2 2

2,12

3 3

C

Y AN AB AB

C AN AN

AB

QC V V V

QC V VV

‼Ισχύει:



d) Η μιγαδική ισχύς της μιας φάσης της πηγής μεαντιστάθμιση:

,1, . . ,1 ,1 ,1

0,1, . .

6.443,8 5.238,6 2.880,38

6.443,8 2358,22 6.861,76 18,19 ( )

S S S C

S

S P j Q Q j

S j VA

Και η μιγαδική ισχύς των τριών φάσεων της πηγής:

,3, . . ,1 ,1 ,1

0,3, . .

3 3 3 6.443,8 3 2.358,22

20.585,28 18,19 ( )

S S S C

S

S P j Q Q j

S VA



Το ρεύμα της πηγής με αντιστάθμιση:0

,1, . . 0, , . . 0

0, , . .

, , . . , , . .

6.861,76 18,19 29,83 18,19 ( )230 0

29,83 18,19 ( )

29,83( )

SS A

AN

S A

S A S A

SI A

V

I A

I I A

e) Συνολική άεργη ισχύς πυκνωτών:

,3 ,1

,3

3 3 2.880,38

8.641,14( )C C

C

Q Q

Q VAR



Ενεργός τιμή του ρεύματος στη γραμμή σύνδεσηςτων πυκνωτών με το δίκτυο:

,3, , , ,

,

8641,14 12,49( )3 3 400

12,49( )

CC A C B C C l C

l l

l C

QI I I I A

V

I A

Ενεργός τιμή του ρεύματος των πυκνωτών γιασυνδεσμολογία Υ και Δ:

, , 12,49( )C Y l CI I A

,,

12,49 7,22( )3 3

l CC

II A

Documents

Hlektrotexnia-Hlektrikes Egkatastaseis