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Hm-3 9Ws 19/20 16.12.19
1 Bestimmen Sie die Residuen der folgenden Funktionen.
a. z + 1z
b.1
z4(z2 + 1) c.1
cos zd.
sin zz
e.1 � cos z
z5
f.z
2 � 2zsin(⇡z)
Lösung Ò.Ò a. Res(f , 0) = 1 .
b. Res(f , i) = � i2
, Res(f , �i) = i2
, Res(f , 0) = 0 .c. Res(f , n⇡ + ⇡/2) = (�1)n für n 2 Z .d. Res(f , 0) = 0 . Tatsächlich ist die Funktion bei z = 0 analytisch.
e. Res(f , 0) = 14!
(1 � cos z)(4)���
0= � 1
24cos z
���0
= � 124
f. Res(f , n) = (�1)n n2 � 2n
⇡. /
2 Berechnen Sie die folgenden Kurvenintegrale.
a.
Z
|z�2|=1z
2 ln(z2) dz b.Z
|z|=⇡
tan zz
dz c.Z
|z|=3
e↵z
1 + z2 dz .
Lösung Ò.Ò
a. Der Integrand ist analytisch auf |z � 2| < 2 . Also ist das Integral 0 .b. Bei z = 0 liegt keine Polstelle vor, da der Integrand dort analytisch ist. Für
die beiden anderen Polstellen in |z| < ⇡ gilt
Res✓
tan zz
, ±⇡2
◆= sin z
z
1� sin z
����±⇡/2
= ⌥ 2⇡
.
Die Summe der Residuen ist Null. Also ist auch das Integral 0 .c. Es gibt zwei Residuen:
Res✓
e↵z
1 + z2 , ±i◆
= Res✓
e↵z
(z + i)(z � i) , ±i◆
= ± e±↵i
2i.
Das Integral ist somit
2⇡ i
e↵i
2i� e
�↵i
2i
!= ⇡(e↵i � e�↵i) = 2⇡ i sin ↵. /
3 Berechnen Sie:
a.
Z1
�1
eit
4 + t2 dt b.Z1
�1
x + 1x4 + 1 dx c.
Z 2⇡
0
sin z2 + cos z dz .
Lösung Ò.Ò a. Der Nenner hat eine einfache Nullstelle in der oberen Halbebenebei 2i , und
Res(f , 2i) = e�2
4i.
Somit giltZ1
�1
eit
4 + t2 dt = 2⇡ ie�2
4i= ⇡
2e2.
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Hm-3 9.2Ws 19/20 16.12.19
b. Der Nenner hat zwei einfache Nullstellen in der oberen Halbebene,
z0 = ei⇡/4, z1 = e3⇡ i/4.
Wegen z4k
= �1 ist dann
Res(f , zk) =zk + 1
4z3k
= �14
(z2k
+ zk) = �14
((�1)k + zk), k = 0, 1.
Der Beitrag von (�1)k in der Summe der beiden Residuen hebtsich auf, sodass
Z1
�1
x + 1x4 + 1 dx = �2⇡ i
14
(z0 + z1)
= �⇡ i2
2i sin(⇡/4) = ⇡2p
2.
Man kann auch bemerken, dass aus SymmetriegründenZ1
�1
x
x4 + 1 dx = 0.
Die Residuen des verbleidenden Integraden sind dann �zk/4 .c. Der Integrand ist eine ungerade Funktion, das Integral deshalb Null.
Rechnet man von Hand, so erhält man als zugeordnete Funktion
f (z) = 1z
· z � z�1
2i· 1
2 + (z + z�1)/2
= 1i
· z � z�1
4z + z2 + 1
= 1i
· z2 � 1
z(z2 + 4z + 1) Œ1i
r(z).
Es ist
Res(r , 0) = �1.
Der Nenner hat eine weitere Nullstelle innerhalb des Einheitskreises beiw = �2 +
p3 , das Residuum dort ist
Res(r , w) = w2 � 1
2w2 + 4w = 1,
denn w2 = 7 � 4p
3 , also
2w2 + 4w = 14 � 8p
3 � 8 + 4p
3 = 6 � 4p
3 = w2 � 1.
Die Summe der beiden Residuen im einheitskreis ist also Null. /
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