Diplomarbeit in MathematikStatistische Verfahren f�ur Di�usionsprozessemit Anwendung auf stochastische Zinsmodelleder Finanzmathematik

Marcus SchulmerichNordstra�e 167583 GuntersblumBetreuerin: Prof. Dr. Claudia Kl�uppelbergFachbereich MathematikJohannes Gutenberg{Universit�at MainzEingereicht am: 9. September 1997

InhaltsverzeichnisEinleitung iiiI Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen 11 Di�usionsprozesse in der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie 32 Einf�uhrung in die stochastische Analysis 153 Finanzmathematische Modelle 29Ornstein-Uhlenbeck-Proze� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Vasicek-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Cox-Ingersoll-Ross-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Verallgemeinertes Cox-Ingersoll-Ross-Modell . . . . . . . . . . . . . . . 35II Statistische Sch�atzverfahren f�ur Di�usionsprozesse 454 Sch�atzverfahren f�ur Volatilit�at und Drift bei Di�usionsprozessen 47Die Volatilit�atssch�atzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Maximum-Likelihood-Sch�atzer basierend auf dem kontinuierlichen An-satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Maximum-Likelihood-Sch�atzer basierend auf �Ubergangsdichten . . . . 575 Approximationsverfahren f�ur �Ubergangsdichten 61Di�usionsapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Kalman-Bucy Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676 Martingalsch�atzfunktionen 75Einfache Martingalsch�atzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Optimale Martingalsch�atzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83III Anwendung der statistischen Verfahren 917 Verbindung von Theorie und Praxis 93Modellkontrolle mittels Diskretisierung der SDE . . . . . . . . . . . . 93Modellkontrollverfahren von Pedersen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Programmbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99i

8 Untersuchung simulierter Datens�atze 103Sch�atzergebnisse beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze� . . . . . . . . . . . 104Sch�atzergebnisse beim Vasicek-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Sch�atzergebnisse beim CIR-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Sch�atzergebnisse beim verallgemeinerten CIR-Modell . . . . . . . . . . 112Simultane �- -Sch�atzung im verallgemeinerten CIR-Modell . . . . . . 1159 Untersuchung �nanzwirtschaftlicher Datens�atze 119Die Bedeutung des Beobachtungshorizonts T . . . . . . . . . . . . . . 120Vergleiche zwischen Vasicek- und CIR-Modell . . . . . . . . . . . . . . 125Renditewerte des REX bei 5-j�ahrigen Anleihen . . . . . . . . . 1256-Monats-LIBOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Swap-Satz f�ur 7-j�ahrige Anleihen . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Zusammenfassung und Ausblick 135A Stationarit�atsrechnungen zu Mean-Reverting-Prozessen 139B Simulationsverfahren f�ur Ito-Prozesse 143Euler-Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Milstein-Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Taylor-1.5-Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145C Tabellen aller Ergebnisse beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze� 147D Tabellen aller Ergebnisse beim Vasicek-Modell 155E Tabellen aller Ergebnisse beim Cox-Ingersoll-Ross-Modell 161F Tabellen aller Ergebnisse beim verallgemeinerten CIR-Modell 169G Tabellen aller Ergebnisse bei der simultanen �- -Sch�atzung im ver-allgemeinerten CIR-Modell 175H Sch�atzwerte f�ur �nanzwirtschaftliche Datens�atze 185Symbole und Abk�urzungen 189Abbildungsverzeichnis 191Tabellenverzeichnis 193Literaturverzeichnis 195Stichwortverzeichnis 197ii

EinleitungStatistische Verfahren f�ur �nanzmathematische Modelle sind eines der zur Zeit amintensivsten bearbeiteten Gebiete der angewandten Mathematik. Dies resultiert ins-besondere daraus, da� die Mathematisierung der Finanzwelt immer st�arker voran-schreitet und die Anwendung der Mathematik in der Praxis neue Fragen aufwirft,mit denen sich die Mathematiker in der Forschung dann wiederum besch�aftigen.Dieser Zusammenhang wird insbesondere deutlich bei der vorliegenden Diplomarbeit,die stochastische Zinsmodelle behandelt. Die grundlegenden theoretischen Arbeitenauf diesem Gebiet fanden in den siebziger und achtziger Jahren statt, wobei dieResultate seit Ende der achtziger Jahre in der �nanzwirtschaftlichen Praxis verwendetwerden. Es stellte sich dabei sehr schnell die Frage, wie man konkret Parameter inden theoretischen Modellen anhand des vorhandenen Datenmaterials sch�atzen kann.Mit dieser Thematik befa�ten sich seit Anfang der neunziger Jahre vor allem MichaelS�rensen, Michael Bibby und Asger Roer Pedersen an der Fakult�at f�ur theoretischeStatistik des Instituts f�ur Mathematik der Universit�at von Aarhus/D�anemark. Einigeihrer Arbeiten sind Grundlage dieser Diplomarbeit.| Entstehungsgeschichte der Diplomarbeit |Ausgangspunkt der Entstehung dieser Diplomarbeit war ein dreimonatiges Prakti-kum, das ich im Sommer 1996 bei der ADIG - Allgemeine Deutsche Investment Ge-sellschaft, Frankfurt/Main - absolviert habe. In dieser Zeit besch�aftigte ich mich mitder theoretischen Analyse und der anschlie�enden Simulation von Portfoliomanage-mentstrategien im Bereich Renten sowie mit ersten Untersuchungen zu dem Verlaufvon Kurswerten des Rentenbereichs �uber die letzten Jahre. Ein in der Finanzwirt-schaft bisher nicht eingehend untersuchter E�ekt hat dabei mein besonderes Interessegeweckt: Der E�ekt der Mean-Reversion in Rentenm�arkten, d.h. das Schwanken vonverschiedenen Kurs- und Renditewerten um ein Mittel. Das Interesse innerhalb derAbteilung Renten an eben dieser Fragestellung f�uhrte nach Abschlu� meiner Prak-tikantenzeit zu einem Angebot von Herrn Hallacker, Abteilungsleiter des BereichsRenten bei der ADIG, mich bei einer Diplomarbeit in Finanzmathematik �uber diesesThema zu begleiten. Diese Idee wurde auch von Frau Prof. Dr. Kl�uppelberg, derBetreuerin meiner Diplomarbeit, gerne aufgegri�en, so da� die vorliegende Arbeitzustande kommen konnte.| Ziele der Diplomarbeit |Das Ziel dieser Diplomarbeit ist es, die neuesten Sch�atzverfahren f�ur bestimmteKlassen von Di�usionsprozessen zu testen. Dabei geht es erstens um einen grundle-genden und systematischen Vergleich diverser Verfahren f�ur simulierte Prozesse undiii

die Abh�angigkeit der Verfahren von vorgegebenen proze�unabh�angigen Parametern.Zweitens wurden diese Verfahren so miteinander kombiniert, da� es m�oglich ist, allegesuchten Parameter von Di�usionsprozessen einer bestimmten Klasse zu sch�atzen.Dieses wurde in einem C-Programm realisiert, das ich f�ur die Diplomarbeit erstellthabe. Der dritte und letzte Zielaspekt - zugleich der wichtigste - ist die Anwendungdieser neuen Sch�atzverfahren auf reale Datens�atze der Finanzwelt, was in den bisherver�o�entlichten Arbeiten nicht gemacht wurde.| Aufbau der Diplomarbeit |Die Diplomarbeit besteht aus drei Teilen, wobei jeder Teil wiederum von drei Kapitelngebildet wird. Im folgenden ist eine inhaltliche Beschreibung jedes der drei Teilegegeben. Der genaue Inhalt des jeweiligen Kapitels und seine Einordnung in denZusammenhang der Diplomarbeit be�ndet sich am Anfang jeden Kapitels.Teil IDer erste Teil dieser Diplomarbeit widmet sich den stochastischen Grundlagen derDi�usionsprozesse. Spezielle Di�usionsprozesse, sogenannteMean-Reverting-Prozesse,sind geeignet, Datens�atze zu modellieren, bei denen Mean-Reversion auftritt. Kapi-tel 1 dient dabei der Einf�uhrung grundlegender Begri�e f�ur Di�usionsprozesse mitMitteln der \klassischen\ Wahrscheinlichkeitstheorie. In Kapitel 2 wird danach derIto-Kalk�ul eingef�uhrt. Durch die stochastische Analysis ist ein tieferer Einblick indie Struktur der Di�usionsprozesse m�oglich. Insbesondere basieren alle statistischenVerfahren auf der Beschreibung solcher Prozesse durch eine stochastische Di�erenti-algleichung. In Kapitel 3 schlie�lich werden die Mean-Reverting-Prozesse vorgestellt,die in dieser Diplomarbeit f�ur die Beschreibung des E�ekts der Mean-Reversion inRentenm�arkten verwendet werden. Teil IITeil II wendet sich den Sch�atzverfahren f�ur diejenigen Parameter zu, durch die einDi�usionsproze� eindeutig determiniert ist. Somit basiert Teil II auf Teil I der Diplom-arbeit. Es werden verschiedene Ans�atze betrachtet und die statistischen Methodensystematisch hergeleitet, so da� schlie�lich alle gesuchten Gr�o�en bestimmt werdenk�onnen. Insbesondere wird dabei ein neues Sch�atzverfahren vorgestellt, welches dasSch�atzen eines Parameters erlaubt, der bisher stets vorgegeben werden mu�te. InKapitel 4 widmen wir uns zuerst den Volatilit�atsparametern eines Di�usionsprozes-ses und nach dessen Sch�atzung der Drift des Prozesses. Dabei spielt die Maximum-Likelihood-Sch�atzung eine besondere Rolle, wobei wir zwei verschiedene Ans�atze un-tersuchen werden. Kapitel 5 dient der Sch�atzung von �Ubergangsdichten bei Di�usi-onsprozessen. Solche Dichten sind f�ur die Maximum-Likelihood-Sch�atzung von gro�erBedeutung. In Kapitel 6 werden dann die von Michael S�rensen und Michael Bibby1995 entwickelten Verfahren der Martingalsch�atzfunktionen untersucht, die f�ur diepraktische Anwendung sehr wichtig sind.iv

Teil IIIDer letzte Teil der Diplomarbeit dient ausschlie�lich der Praxis, d.h., es werden nundie in Teil II entwickelten statistischen Verfahren auf simulierte Di�usionsprozesseangewendet sowie auf Datens�atze der Finanzwirtschaft. Um Nachweism�oglichkeitenzu haben, da� das einem �nanzwirtschaftlichen Datensatz zugrundegelegte Modelltats�achlich richtig ist, werden zuerst Modellkontrollverfahren dargestellt. Dies ge-schieht in Kapitel 7. Im selben Kapitel wird anschlie�end das C-Programm, welchesich f�ur die Diplomarbeit geschrieben habe, ausf�uhrlich in seinen Funktionsweisenerkl�art. Es erm�oglicht die Simulation von Mean-Reverting-Prozessen sowie die Pa-rametersch�atzung f�ur Datens�atze aus der Praxis und mit simulierten Daten. Dieausf�uhrliche Untersuchung der Sch�atzwerte f�ur Simulationen ist Gegenstand von Ka-pitel 8. Das letzte Kapitel der Diplomarbeit ist dann dem wichtigsten Ziel gewidmet,der Analyse von Daten der �nanzwirtschaftlichen Praxis.|||||||Zum Abschlu� meiner Einleitung m�ochte ich allen danken, die zum Gelingen die-ser Diplomarbeit beigetragen haben. Besonders gro�er Dank geb�uhrt Frau Prof. Dr.Kl�uppelberg f�ur ihren Einsatz im Zusammenhang mit der Erstellung meiner Diplom-arbeit. Ebenso danke ich sehr Herrn Hallacker, der gemeinsam mit Frau Prof. Dr.Kl�uppelberg das Entstehen dieser Diplomarbeit erst erm�oglicht hat. Vielen Dankauch Herrn Dr. Rathjens, Senior-Fondsmanager bei der ADIG und zust�andig f�urden Bereich Research Renten, der mir bei aufgetretenen praxisrelevanten Fragen hilf-reich zur Seite stand und mir die n�otigen Datens�atze f�ur meine Untersuchungen zurVerf�ugung stellte. Ferner gilt mein gro�er Dank Herrn Milan Borkovec, wissenschaft-licher Mitarbeiter von Frau Prof. Dr. Kl�uppelberg. Die Diskussionen mit ihm �uberdie Ergebnisse meiner theoretischen Untersuchungen und seine Anregungen warensehr hilfreich.Des weiteren danke ich sehr Herrn Prof. Dr. K�uchler von der Humboldt-Universit�atin Berlin und Herrn Prof. Michael S�rensen von der Universit�at in Aarhus/D�ane-mark. Im Rahmen einer Einladung des Sonderforschungsbereichs Finanzmathematikder Humboldt-Universit�at Berlin hatte ich eine Woche lang Gelegenheit, an der vonProf. Michael S�rensen dort gehaltenen Vorlesungsreihe �uber Martingalsch�atzfunktio-nen bei Di�usionsprozessen teilzunehmen. Dar�uber hinaus konnte ich die Ergebnissemeiner Arbeit in einem Seminarvortrag pr�asentieren. Die sehr hilfreichen Anregun-gen w�ahrend den Besprechungen meiner Diplomarbeit und den Datenauswertungenmit Prof. S�rensen und Prof. K�uchler sind ma�geblich in Teil III der Diplomarbeitmiteinge ossen.Schlie�lich m�ochte ich ganz herzlich meinen Eltern danken f�ur ihre Motivation undUnterst�utzung nicht nur in der Zeit der Diplomarbeit, sondern w�ahrend des gesamtenStudiums. v

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Teil IWahrscheinlichkeitstheoretischeGrundlagen

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Kapitel 1Di�usionsprozesse in derklassischenWahrscheinlichkeitstheorie1.1 Einf�uhrungDas Ziel dieser Diplomarbeit ist es, anhand von aktuellem Datenmaterial den �nanz-wirtschaftlichen E�ekt der Mean-Reversion zu untersuchen und wichtige �nanzma-thematische Parameter zu sch�atzen. Das ad�aquate wahrscheinlichkeitstheoretischeModell ist der Di�usionsproze�. Die in der Literatur vorhandenen Sch�atzverfahrenbasieren auf der Beschreibung der Di�usionsprozesse mittels des Instruments derstochastischen Analysis. Dieses m�achtige Werkzeug erlaubt einen tiefen Einblick indie innere Struktur der Di�usionsprozesse, was allein mit Mitteln der klassischenWahrscheinlichkeitstheorie nur schwer m�oglich ist. Nichtsdestotrotz ist es ratsam, dieDi�usionsprozesse �uber die klassische Wahrscheinlichkeitstheorie einzuf�uhren, da sichhier gut die Parameter eines Di�usionsprozesses und ben�otigte Hilfsgr�o�en darstellenlassen. Daher dient Kapitel 1 der Vorstellung der Di�usionsprozesse im Sinne derklassischen Wahrscheinlichkeitstheorie.Wir setzen f�ur dieses Kapitel Kenntnisse �uber zeitstetige Markovprozesse voraus.Der Zustandsraum eines Prozesses sei im folgenden stets ein Intervall I mit lin-kem Endpunkt l und rechtem Endpunkt r. Das Intervall I hat damit die Gestalt(l; r); (l; r]; [l; r) oder [l; r] mit l; r 2 IR[f�1g. Diese Annahme wird nur dann nochangegeben, falls l bzw. r in den Aussagen des betre�enden Abschnitts explizit auf-treten. Nicht ausdr�ucklich eingef�uhrte Symbole und Abk�urzungen sind am Ende derDiplomarbeit zusammengestellt und erl�autert (siehe Seite 189/190).1.2 De�nitionEine Zufallsvariable TM hei�t Markovzeit bez�uglich eines stochastischen Prozesses(Xt)t�0, falls fTM � tg 2 �(Xsj0 � s � t) f�ur alle t � 0 gilt.1.3 De�nition (Standardproze�)Ein zeitstetigerMarkovproze� (Xt)t�0, der die starke Markoveigenschaft besitzt, hei�tStandardproze�, falls er folgende Regularit�atseigenschaften besitzt:3

(i) (Xt)t�0 ist rechtsseitig stetig, d.h.: limt#s Xt = Xs fast sicher 8 s � 0.(ii) (Xt)t�0 besitzt linksseitige Grenzwerte, d.h.:Der Grenzwert limt"s Xt existiert fast sicher f�ur alle s > 0.(iii) (Xt)t�0 ist linksseitig stetig bez�uglich Markovzeiten, d.h.:Falls T (1)M � T (2)M � : : : Markovzeiten mit limn!1T (n)M = T (1) < 1 sind, danngilt limn!1XT (n)M = XT (1) fast sicher (quasi linksseitige Stetigkeit ).1.4 De�nition (Di�usionsproze� - 1.Version)Ein zeitstetiger stochastischer Proze� (Xt)t�0, der die starke Markoveigenschaft be-sitzt, hei�t (eindimensionaler) Di�usionsproze�, wenn fast sicher alle Pfade des Pro-zesses stetige Funktionen in t sind.1.5 Satz (Dynkin-Bedingung)Sei " > 0 beliebig, aber fest, und sei (Xt)t�0 ein Standardproze�. Der Zustandsraumdes Prozesses sei ein Intervall mit linkem bzw. rechtem Endpunkt l bzw. r. Fallslimh#0 1hP (j�hXtj > " jXt = x) = 0; �hXt := Xt+h �Xt;( Dynkin-Bedingung )gleichm�a�ig bez�uglich x auf kompakten Intervallen in (l; r) gilt, wobei t beliebig, aberfest gew�ahlt sei, dann ist (Xt)t�0 ein Di�usionsproze�.Beweis: Siehe Karlin & Taylor [12], Seite 163-165. 21.6 Satz (Hinreichendes Kriterium f�ur die Dynkin-Bedingung)Sei p > 2 beliebig, aber fest, und sei (Xt)t�0 ein Standardproze�. Der Zustandsraumdes Prozesses sei ein Intervall mit linkem bzw. rechtem Endpunkt l bzw. r. Fallslimh#0 1hE(j�hXtjp jXt = x) = 0( Bedingung des in�nitesimalen Moments )gleichm�a�ig bez�uglich x auf kompakten Intervallen in (l; r) gilt, wobei t beliebig, aberfest gew�ahlt sei, dann ist die Dynkin-Bedingung erf�ullt.Beweis: Nach der Tschebyschev'schen Ungleichung gilt f�ur beliebiges, festes " > 0:1h P (j�hXtj > " jXt = x) � 1h "p E(j�hXtjp jXt = x):Mit 1.5 folgt dann die Behauptung. 24

1.7 De�nitionen (In�nitesimaler Erwartungswert und Varianz)Sei (Xt)t�0 ein Di�usionsproze� mit den reellen Grenzwertenlimh#0 1h E(�hXt jXt = x) =: �(x; t); (1)limh#0 1h E([�hXt]2 jXt = x) =: �2(x; t) (2)f�ur jedes l < x < r und t � 0, wobei l bzw. r der linke bzw. rechte Endpunktdes Zustandsraumes I des Prozesses seien. Die Funktionen �(x; t) und �2(x; t) sinddie in�nitesimalen Parameter des Di�usionsprozesses; �(x; t) hei�t in�nitesimalerErwartungswert, erwartete in�nitesimale Ver�anderung oder (in�nitesimale) Drift,�2(x; t) hei�t in�nitesimale Varianz oder Di�usionsparameter .1.8 Bemerkungen(i) Die Bezeichnungen in�nitesimaler Erwartungswert und Varianz ergeben sich(vergleiche Karlin & Taylor [12], Seite 160) aus (1) und (2) wegen:E(�hXt jXt = x) = �(x; t)h + o1(h); limh#0 o1(h)h = 0;V ar(�hXt jXt = x) = �2(x; t)h + o2(h); limh#0 o2(h)h = 0:oi; i = 1; 2, ist das Landau-Symbol.(ii) Im allgemeinen sind �(x; t) und �2(x; t) stetige Funktionen von x und t. Imfolgenden werden wir uns nur mit zeithomogenen Di�usionsprozessen befassen,d.h., �(x; t) = �(x) und �2(x; t) = �2(x) sind unabh�angig von t (vgl. Karlin &Taylor, [12], Seite 160). Ferner nehmen wir immer an, da� � und � stetig in xsind.(iii) Im folgenden beschr�anken wir uns stets auf den Fall I = (l; r) als Zustandsraumdes Di�usionsprozesses. Dies wird bei den S�atzen nur dann noch erw�ahnt, fallsl bzw. r in den Aussagen explizit auftreten.1.9 De�nitionen und Bemerkung (regul�ar, rekurrent, unerreichbar)Sei (Xt)t�0 ein Di�usionsproze� mit Zustandsraum I = (l; r) und Tz := infft �0 jXt = zg f�ur z 2 IR (Ersteintrittszeit in den Zustand fzg).(i) (Xt)t�0 hei�t regul�ar , falls P (Tz <1jX0 = x) > 0 8 l < x; z < r.(ii) (Xt)t�0 hei�t rekurrent , falls P (Tz <1jX0 = x) = 1 8 l < x; z < r.(iii) Die Grenze l hei�t unerreichbar , falls P (Tl < 1jX0 = x) = 0 8 x 2 (l; r).Analoges gilt f�ur die Grenze r.Wir betrachten im folgenden o.B.d.A. nur regul�are Di�usionsprozesse, ohne da� derBegri� regul�ar noch einmal explizit erw�ahnt wird, denn nach Rogers & Williams [23],Seite 272, (45.2) und (45.3), l�a�t sich jeder Di�usionsproze� in regul�are Teile zerlegen.5

1.10 Satz (Transformation eines Di�usionsprozesses )Sei (Xt)t�0 ein Di�usionsproze� mit Zustandsraum I. Die in�nitesimalen Parametervon (Xt)t�0 seien �(x) und �2(x). Ferner sei g : I �! IR eine streng monotoneC2-Funktion auf I. Dann ist Y = (Yt)t�0, de�niert durch Yt := g(Xt); t � 0; ein (re-gul�arer) Di�usionsproze� auf dem Intervall g(I) mit den in�nitesimalen Parametern�Y (y) = 12�2(g�1(y))g00(g�1(y)) + �(g�1(y))g0(g�1(y)) und�2Y (y) = �2(g�1(y))[g0(g�1(y))]2; y 2 g(I):Beweis: Siehe Karlin & Taylor [12], Seite 173-175. 21.11 De�nitionen (Grundlegende Begri�e f�ur Di�usionsprozesse)Sei (Xt)t�0 ein Di�usionsproze� mit den in�nitesimalen Parametern �(x) und �2(x),l < x < r, wobei I = (l; r) der Zustandsraum des Prozesses sei. Die durchS(x) := xZc exp8<:� �Z�0 2�(�)�2(�)d�9=; d�; l < x < r;de�nierte Funktion S : I �! IR hei�t scale function des Di�usionsprozesses. Dabeisind c und �0 beliebige Konstanten aus dem Zustandsraum I. Der IntegrandS0(�) = exp8<:� �Z�0 2�(�)�2(�)d�9=; ; l < � < r;wird mit s(�) bezeichnet. Die durchM(x) := xZ~c 2�2(�) s(�) d�; l < x < r;de�nierte Funktion M : I �! IR hei�t speed function des Di�usionsprozesses. Dabeisei ~c eine beliebige Konstante aus dem Zustandsraum I. In nat�urlicher Weise l�a�tsich daraus ein Ma� auf I de�nieren, welches wir (wie in der Literatur �ublich) wiedermit M bezeichnen, ohne da� Verwechselungen auftreten k�onnen:M((a; b]) := M(b) � M(a); l < a < b < r:Das Ma� M auf I hei�t speed measure des Di�usionsprozesses. Die durchm(x) := M 0(x) = 2�2(x)s(x) ; l < x < r;de�nierte Funktion m : I �! IR hei�t speed density des Di�usionsprozesses. DerBegri� Dichte ist hier im Sinne einer Radon-Nikodym-Dichte verwendet.Die Funktionen S und s sind nur eindeutig bis auf eine a�ne Transformation mitmonoton wachsender Transformationsfunktion (bei S) bzw. bis auf einen positivenmultiplikativen Faktor (bei s). Die speed densitym ist - bei gegebenem S - eindeutig.Ein Proze� mit einer scale function S der Form S(x) = C1 + C2x; x 2 I mitC1; C2 2 IR fest; hei�t in natural scale/canonical scale .6

1.12 Bemerkungen (Zur De�nition von scale function und speed density)Die soeben vorgestellte Einf�uhrung der scale function S und der speed density mfolgt Karlin & Taylor [12], Seite 194 �.. Dort wird nach deren Einf�uhrung der Zu-sammenhang zu der Wahrscheinlichkeit P (Tb < TajX0 = x) hergestellt sowie zu demErwartungswert E(Ta^bjX0 = x); a; b; x 2 I. Man kann allerdings auch umgekehrtvorgehen, vgl. Rogers & Williams [23], Seite 275 �.:Sei (Xt)t�0 ein Di�usionsproze� mit Zustandsraum I. Eine scale function zu (Xt)t�0ist eine stetige, streng monoton wachsende Funktion S : I �! IR, so da� f�ur jedesa < x < b mit a; x; b 2 I gilt:P (Tb < TajX0 = x) = S(x)� S(a)S(b) � S(a) :Insbesondere ist jede a�ne Transformation von S mit monoton wachsender Trans-formationsfunktion auch eine scale function. Es gilt folgender Satz:Jeder Di�usionsproze� (Xt)t�0 mit Zustandsraum I besitzt eine scale function S, diebis auf a�ne Transformation eindeutig bestimmt ist.Das speed measure M ist ein Ma� M : I �! IR, so da� f�ur jedes a < x < b mita; x; b 2 I gilt:E(Ta^bjX0 = x) = Z(a;b) GS(a);S(b) (S(x); S(y)) dM(y); wobei (3)Gq1;q2(u; v) := 8>><>>: [u� q1] [q2 � v]q2 � q1 ; q1 < u � v < q2[q2 � u] [v � q1]q2 � q1 ; q1 < v � u < q2 9>>=>>; (4)die Green'sche Funktion auf (q1; q2) � IR; q1 < q2; ist.Es gilt der folgende Satz:F�ur jeden Di�ussionsproze� (Xt)t�0 existiert ein eindeutig bestimmtes speed measureM auf I, so da� f�ur alle a; b 2 I mit a < b gelten:(i) E(Ta^bjX0 = x) = Z(a;b) GS(a);S(b) (S(x); S(y)) dM(y); x 2 (a; b);(ii) M( (a; b] ) > 0:Unter der Annahme �2(x) > 0 auf I kann man zeigen:S(x) = xZc exp8<:� �Z�0 2�(�)�2(�)d�9=;| {z }=S0(x)=:s(x) d�;m(x) = 2�2(x)S0(x) = 2�2(x) s(x) ; l < x < r:Hierbei sind c und �0 zwei beliebige Konstanten aus I.7

1.13 Bemerkung (Transformation auf Drift Null)Sei (Xt)t�0 ein Di�usionsproze� mit Zustandsraum I und den in�nitesimalen Para-metern �(x) und �2(x); x 2 I. In 1.10 seig(x) := S(x) 1:11= xZc exp8<:� �Z�0 2�(�)�2(�)d�9=; d�; x 2 I;mit beliebigen Konstanten c; �0 2 I. Mit 1.8(ii) ist g eine C2-Funktion, die o�ensicht-lich streng monoton steigend ist. Nach der Transformationsformel 1.10 ist dann derProze� Y = (Yt)t�0, de�niert durch Yt := g(Xt), ein Di�usionsproze� mit Zustands-raum S(I). Unter Verwendung der De�nition von S aus 1.11 ergeben sich dabei alsin�nitesimale Parameter �Y und �2Y des transformierten Prozesses:�Y (y) = 0 und �2Y (y) = �2(S�1(y)) s2(S�1(y)); y 2 S(I):Insbesondere gilt f�ur die scale-function SY des transformierten Prozesses Y : SY (y) =C1 + y 8 y 2 S(I); C1 2 IR fest, d.h. Y ist in natural scale.1.14 Praktische Bedeutung der speed densitySei (Xt)t�0 ein Di�usionsproze� mit Zustandsraum I, der sich in natural scale be�nde.Sei ferner x 2 I beliebig, aber fest, und sei " > 0 so klein, da� [x� "; x+ "] noch inI enthalten ist. Dann gilt:E(Tx�"^x+"jX0 = x)(3)= Z(x�";x+") GS(x�");S(x+") (S(x); S(y)) dM(y)Vor.= Z(x�";x+") Gx�";x+" (x; y) dM(y)= Z(x�";x) Gx�";x+" (x; y) dM(y) + Z[x;x+") Gx�";x+" (x; y) dM(y)(4)= xZx�" ([x+ "]� x)(y � [x� "])[x+ "]� [x� "] m(y) dy +x+"Zx (x� [x� "])([x+ "]� y)[x+ "]� [x� "] m(y) dy= 12 8<: xZx�" (y � x+ ")m(y) dy + x+"Zx (x+ "� y)m(y) dy9=; :Damit: 1"2 E(Tx�"^x+"jX0 = x)= 12 8<: 1"2 xZx�" (y � x+ ")m(y) dy + 1"2 x+"Zx (x+ "� y)m(y) dy9=;8

= 12 � 1"2 (x� �1(")"� x+ ")m(x� �1(")") (x� [x� "])+ 1"2 (x+ "� (x+ �2(")"))m(x+ �2(")") ([x+ "]� x)� ;�1(") und �2(") 2 [0; 1] geeignet, wobei �i �������!"! 0 0 (i = 1; 2)(Mittelwertsatz der Di�erentialrechnung)= 12 f(1� �1("))m(x� �1(")") + (1� �2("))m(x+ �2(")")g�������!"! 0 m(x); (m ist stetig, siehe 1.8(ii) und De�nition von m in 1.11):Daher kann man die speed density m(x) ansehen als die Geschwindigkeit, mit dersich der Proze� (Xt)t�0 bewegt, falls er sich im Punkt x 2 I be�ndet.1.15 Satz (Die Kolmogorov'sche R�uckw�arts- und Vorw�artsgleichung)(i) Sei (Xt)t�0 ein Di�usionsproze� mit Zustandsraum I = (l; r) und in�nitesima-len Parametern �(x) und �2(x); x 2 I. SeiP (t; x; y) := P (Xt � y jX0 = x); t > 0; x; y 2 I;die �Ubergangsverteilung von (Xt)t�0 mit AnfangsverteilungP (0; x; y) = 1(l;y](x).Ferner sei P (t; x; y) stetig di�erenzierbar nach y, d.h.p(t; x; y) := @P (t; x; y)@y ; t > 0; x 2 I;ist die zugeh�orige stetige Dichte (sogenannte �Ubergangsdichte). Schlie�lich seiu : IR+0 � I �! IR de�niert durch u(t; x) := E(g(Xt)jX0 = x); wobei g : I �!IR beschr�ankt und st�uckweise stetig sei. Unter geeigneten Bedingungen (sieheKarlin & Taylor [12], Kapitel 15.1) gilt dann:@u(t; x)@t = 12�2(x)@2u(t; x)@x2 + �(x)@u(t; x)@x ; t > 0; x; y 2 I;mit Anfangsbedingung u(0+; x) := limh#0 u(h; x) = g(x):( Kolmogorov'sche R�uckw�artsgleichung )F�ur g(x) := 1(l;y](x) ergibt sich speziell:@P (t; x; y)@t = 12�2(x)@2P (t; x; y)@x2 + �(x)@P (t; x; y)@x ; t > 0; x; y 2 I;mit Anfangsbedingung P (0+; x; y) = 1(l;y](x):Ferner gilt f�ur die �Ubergangsdichte p ebenfalls:@p(t; x; y)@t = 12�2(x)@2p(t; x; y)@x2 + �(x)@p(t; x; y)@x ; t > 0; x; y 2 I:9

(ii) Unter geeigneten Bedingungen und mit den Bezeichnungen aus (i) gilt:@p(t; x; y)@t = 12 @2@y2 [�2(y)p(t; x; y)] � @@y [�(y) p(t; x; y)]; t > 0; x; y 2 I:( Kolmogorov'sche Vorw�artsgleichung )Beweis: Die Aussage (i) ist bewiesen in Karlin & Taylor [12], Seite 214-216. F�ur dieAussage (ii) �ndet sich ebenfalls dort auf den Seiten 219-220 eine Beweisskizze.21.16 Satz (Station�are Verteilung eines Di�usionsprozesses )Sei (Xt)t�0 ein Di�usionsproze� mit Zustandsraum I = (l; r), wobei sich der Proze�in natural scale be�nde. Sei jmj := rZl m(x) dxdie Gesamtmasse der speed density m auf I. Falls jmj < 1 gilt, so existiert einestation�are Verteilung des Prozesses (Xt)t�0, die bez�uglich des Lebesgue-Ma�es dieDichte (x) = m(x)jmj ; x 2 I;besitzt. Da m bzw. jmj eindeutig sind bis auf die gleiche multiplikative Konstante(vgl. De�nition 1.11), ist eindeutig festgelegt.Beweis: Siehe Rogers & Williams [23], Seite 303, Theorem 54.5. 21.17 BemerkungIn 1.16 kann die einschr�ankende Bedingung \natural scale\ an den Di�usionsproze�weggelassen werden, wie folgende Rechnung zeigt:Sei (Xt)t�0 ein Di�usionsproze� mit Zustandsraum I = (l; r), scale function S, Ab-leitung s = S0, speed measure M und speed density m. Nach Bemerkung 1.13 istder durch Yt := S(Xt); t � 0; de�nierte Proze� Y := (Yt)t�0 ein Di�usionsproze� aufS(I) = (S(l); S(r)) mit Drift 0 und in�nitesimaler Varianz�2Y (y) := �2(S�1(y))s2(S�1(y)); y 2 S(I):Insbesondere be�ndet sich der Proze� Y in natural scale. Wir bezeichnen mit sY dieAbleitung der scale function SY des Prozesses Y und mit MY bzw. mY das speedmeasure bzw. die speed density von Y . Es gilt dann nach 1.16, falls jmY j <1: (y) = mY (y)jmY j ; wobei: (5)mY (y) := 2�2Y (y) sY (y) ; y 2 S(I);jmY j := S(r)ZS(l) mY (y) dy:10

Behauptung: P (Xt � x) = xZl m(�)jmj d�; x 2 I: (6)Beweis:Sei x 2 I beliebig, aber fest. Da S streng monoton wachsend ist (insbesondere inver-tierbar), folgt mit y := S(x):P (Xt � x) = P (S(Xt) � S(x)) = P (Yt � y) (5)= yZS(l) mY (�)jmY j d�= S�1(y)Zl mY (S(�))jmY j dS(�) (Transformation � = S(�) )= xZl mY (S(�))jmY j dS(�)d� d�= xZl mY (S(�))jmY j s(�) d�: (7)Wir zeigen:(i) mY (S(�)) = m(�)s(�) ; � 2 I,(ii) jmY j = jmj.F�ur x0 2 I gilt:Z(S(a);S(b)) GS(a);S(b)(S(x0); �) dM(S�1(�))= Z(a;b) GS(a);S(b)(S(x0); S(�)) dM(�) (Transformation � = S�1(�) )1:12= E(Ta^b jX0 = x0)1:9= E (inf ft � 0 jXt = a oder Xt = bg jX0 = x0)= E (inf ft � 0 jS(Xt) = S(a) oder S(Xt) = S(b)g jS(X0) = S(x0))= E (inf ft � 0 jYt = S(a) oder Yt = S(b)g jY0 = S(x0))1:12= Z(S(a);S(b)) GSY (S(a));SY (S(b))(SY (S(x0)); SY (�)) dMY (�)(4)= Z(S(a);S(b)) GS(a);S(b)(S(x0); �) dMY (�):11

Ein Vergleich zwischen der ersten und der letzten Zeile liefert nach dem Eindeutig-keitssatz f�ur Ma�e: MY (�) = M(S�1(�)); � 2 S(I): (8)Damit haben wir:mY (�) = dMY (�)d� (8)= dM(S�1(�))d�= dM(u)du dud� (u := S�1(�))= m(u) 1d�=du = m(u) 1dS(u)=du ( da � = S(u))= m(u)s(u)= m(S�1(�))s(S�1(�)) ( da u = S�1(�)):Also: mY (S(�)) = m(�)s(�) ; � 2 I;d.h.: (i) ist gezeigt. Damit ergibt sich aber sofort (ii), denn:jmY j = S(r)ZS(l) mY (�) d�= rZl mY (S(�)) dS(�)d� d� (Transformation � = S(�))= rZl mY (S(�)) s(�) d�(i)= rZl m(�) d�1:16= jmj:Wir haben also (i) und (ii) nun gezeigt. Somit ergibt sich:P (Xt � x) (7)= xZl mY (S(�))jmY j s(�) d� (i);(ii)= xZl m(�)jmj d�:Also ist (6) bewiesen. Damit haben wir insbesondere gezeigt, da� die einschr�ankendeBedingung natural scale an den Di�usionsproze� in 1.16 weggelassen werden kann.212

1.18 De�nition (Eindimensionale Brown'sche Bewegung)Ein stochastischer Proze� (Bt)t�0 mit B0 = 0 hei�t eindimensionale Brown'scheBewegung (oder Wiener Proze� ) mit Drift � 2 IR, wenn f�ur jede Wahl von 0 �t0 < t1 < : : : < tn�1 < tn; n 2 IN; die gemeinsame Verteilung von Bt0 ; Bt1 ; : : : ; Btndadurch bestimmt ist, da�(i) die (Btk �Btk�1); k = 1; : : : ; n; unabh�angig sind und(ii) (Btk�Btk�1) d= N([tk�tk�1]�; [tk�tk�1]�2); k = 1; : : : ; n, f�ur geeignete (feste)� 2 IR und �2 2 IR+ gilt.Sind � = 0 und �2 = 1, so spricht man von der Standard-Brown'schen Bewegung.1.19 Beispiele(i) Eindimensionale Brown'sche Bewegung:Die eindimensionale Brown'sche Bewegung (Bt)t�0 mit Drift 0 ist ein rekur-renter, zeithomogener Di�usionsproze� mit Zustandsraum I = (�1;1) undin�nitesimalen Parametern �(x) = 0 und �2(x) = �2 2 IR+; x 2 I.Die Brown'sche Bewegung mit Drift � 2 IR erh�alt man als Yt := Bt+�t; t � 0.Dabei bleiben die in�nitesimale Varianz und der Zustandsraum unver�andert.Die Geometrisch-Brown'sche Bewegung Z = (Zt)t�0 erh�alt man als Zt :=expfYtg; t � 0. Der Zustandsraum ist jetzt IR+, und es gelten nach der Trans-formationsformel 1.10 f�ur Di�usionsprozesse:�Z(z) = (�+ �22 )z und �2Z(z) = �2 z2; z 2 IR+:(ii) Ornstein-Uhlenbeck-Proze�:Ein Ornstein-Uhlenbeck-Proze� ist ein zeithomogener Di�usionsproze� mit Zu-standsraum I = (�1;1) und den in�nitesimalen Parametern �(x) = �x; � 2IR�, sowie �2(x) = �2 2 IR+; x 2 IR.1.20 Wichtige Funktionen und Dichten(i) Sei (Bt)t�0 eine Brown'sche Bewegung mit Drift �(x) = � 2 IR und in�nite-simaler Varianz �2(x) = �2 2 IR+; x 2 I = IR. Dann gilt nach Satz 1.11 f�urx 2 IR, falls � 6= 0 ist:s(x) = exp��2�x�2 � mit �0 := 0 2 I;S(x) = �22� �1� exp��2�x�2 �� ; wobei c := 0;M(x) = 1� �exp�2�x�2 � � 1� ; wobei ~c := 0;m(x) = 2�2 exp�2�x�2 � :13

Im Fall � = 0 ergeben sich mit der gleichen Wahl der Konstanten �0; c und ~cin Satz 1.11 f�ur x 2 IR: s(x) = 1;S(x) = x;M(x) = 2�2 x;m(x) = 2�2 :Nach der Kolmogorov'schen R�uckw�artsgleichung 1.15 erh�alt man f�ur die �Uber-gangsdichte p bei beliebigem � 2 IR:p(t; x; y) = '(�2t; x+ �t; y); t � 0; x; y 2 IR; wobei ' de�niert ist als:'(u; v; w) = 1p2�u exp��(w � v)22u � ; u > 0; v; w 2 IR;d.h.: ' ist die Dichte einer Normalverteilung mit Erwartungswert v und Varianzu. Eine station�are Verteilung existiert nicht, da jmj =1 ist.(ii) Betrachte einen Ornstein-Uhlenbeck-Proze� mit Drift �(x) = �x; � 2 IR�; undin�nitesimaler Varianz �2(x) = �2 2 IR+; x 2 IR. Nach der Kolmogorov'schenR�uckw�artsgleichung 1.15 ergibt sich als �Ubergangsdichte:p(t; x; y) = '��22� [e2�t � 1]; xe�t; y� ; t � 0; x; y 2 IR:Insbesondere ist der Ornstein-Uhlenbeck-Proze� ein Gau�-Proze�. Station�areVerteilung (exakte Herleitung in Kapitel 3): (x) = 1s2����22�� exp8>><>>:� x22���22��9>>=>>; ; x 2 IR:Also ist die Dichte einer Normalverteilung N(0;��22�).

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Kapitel 2Einf�uhrung in die stochastischeAnalysis2.1 Einf�uhrungNachdem in Kapitel 1 die grundlegenden Begri�e f�ur Di�usionsprozesse eingef�uhrtwurden, soll nun der Apparat der stochastischen Analysis entwickelt werden. Da dieAnwendung im Vordergrund steht, werden in diesem Kapitel haupts�achlich die re-chenrelevanten Aspekte der stochastischen Analysis aufgelistet, wie sie f�ur die sp�ate-ren Betrachtungen gebraucht werden. Mit Hilfe der stochastischen Analysis werdenin dem folgenden Kapitel die Mean-Reversion-Modelle beschrieben und in Teil II derDiplomarbeit statistische Sch�atzverfahren f�ur die Parameter der Di�usionsprozesseentwickelt.In Klammern zitierte Nummern von Gleichungen beziehen sich stets auf das aktu-elle Kapitel, falls das Kapitel nicht explizit angegeben ist. In der Einf�uhrung desstochastischen Integrals folgen wir �ksendal [15], Seite 18 �..2.2 De�nition und Satz (Ito-Integral)Sei (;F ; P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und B die Borel'sche �-Algebra auf IR+0 .(i) Sei fNtjt � 0g eine Familie von aufsteigenden �-Algebren �uber . Ein Proze�h : IR+0 � �! IR hei�t an (Nt)t�0 adaptiert , falls f�ur jedes t � 0 die Funktion! 7�! h(t; !) Nt-me�bar ist, ! 2 .(ii) Sei (Bs)s�0 eine eindimensionale Standard-Brown'sche Bewegung. V := V(S; T ),S; T 2 IR+0 mit S < T , sei die Klasse von Funktionen f : IR+0 � �! IR mitfolgenden Eigenschaften:(a): (t; !) 7�! f(t; !) ist B � F -me�bar, t � 0; ! 2 , d.h.: f ist progressivme�bar.(b): f ist Ft-adaptiert, wobei Ft := �(Bsj0 � s � t); t � 0.(c): E TRS f(t; !)2dt! <1. 15

(iii) F�ur S und T aus (ii) und ein festes n 2 IN sei t(n)j ; j 2 IN0, de�niert durcht(n)j := 8<: S; falls j 2�n < S;j 2�n; falls S � j 2�n � T;T; falls T < j 2�n:Eine Funktion �n : IR+0 � �! IR aus V hei�t Elementarfunktion, falls sie dieGestalt �n(t; !) = Xj2IN0 ej(!) 1[t(n)j ;t(n)j+1)(t); t � 0; ! 2 ;hat. Hierbei ist ej eine Zufallsvariable auf (;F ; P ), die wegen �n 2 V Ftj -me�bar sein mu�. 1[t(n)j ;t(n)j+1) ist die Indikatorfunktion zur Menge [t(n)j ; t(n)j+1),j 2 IN0.F�ur eine Elementarfunktion �n de�nieren wir das Ito-Integral TRS �n(t; !) dBt(!) f�urjedes ! 2 alsTZS �n(t; !) dBt(!) := Xj2IN0 ej(!)[Bt(n)j+1 � Bt(n)j ](!):Es gilt nach �ksendal [15], Seite 23 - 25:F�ur jedes f 2 V existieren Elementarfunktionen �n 2 V; n 2 IN, mitE0@ TZS jf � �nj2 dt1A �������!n!1 0:F�ur ein solches f sei das Ito-Integral TRS f(t; !)dBt(!); ! 2 ; de�niert durchTZS f(t; !) dBt(!) := limn!1 TZS �n(t; !) dBt(!):Dieser Grenzwert existiert als ein Element aus L2(; P ). Das Ito-Integral ist wohlde-�niert, d.h. unabh�angig von der Wahl der Folge von Elementarfunktionen (�n)n2IN.2.3 De�nition (Stetige Version eines Prozesses)Zwei stochastische Prozesse (Xt)t�0 und (Yt)t�0 auf demselben Wahrscheinlichkeits-raum (;F ; P ) hei�en Versionen voneinander, wenn gilt:P (Xt = Yt) = 1 f�ur alle t � 0:16

2.4 Satz (Eigenschaften des Ito-Integrals)F�ur ein Ito-Integral gilt:(i) E0@" TRS f dBt#21A = E TRS f2 dt! 8 f 2 V(S; T ) (Ito-Isometrie).(ii) F�ur f; g 2 V(0; T ) gilt mit 0 � S < U < T :(a) : TZS f dBt = UZS f dBt + TZU f dBt fast sicher.(b) : TZS (cf + g) dBt = c TZS f dBt + TZS g dBt fast sicher, c 2 IR:(c) : E0@ TZS f dBt1A = 0:(d) : 0@ TZS f dBt1AT�S ist ein Martingal :(e) : TZS f dBt ist FT -me�bar:(iii) F�ur jedes f 2 V(0; T ) existiert eine in t stetige Version des Ito-IntegralstZ0 f dBs; 0 � t � T;d.h., es existiert ein in t stetiger Proze� (Xt)t�0 auf (;F ; P ) mitP 0@Xt = tZ0 f dBs1A = 1 f�ur jedes 0 � t � T:Wir werden im folgenden nur solche in t stetigen Ito-Integrale betrachten!Beweis: Siehe �ksendal [15], Seite 26-30. 22.5 De�nition und Bemerkungen(i) Das Ito-Integral kann auch f�ur eine gr�o�ere Klasse von Integranden als V de-�niert werden: Sei W � V die Klasse von Funktionen g : IR+0 � �! IR mitfolgenden Eigenschaften:(a) g progressiv me�bar. 17

(b) Es existiert eine Familie (Ht)t�0 von aufsteigenden �-Algebren, so da�(Bt)t�0 bzgl. (Ht)t�0 ein Martingal ist und g(t; � ) an Ht adaptiert ist,t � 0.(c) P ��! 2 ���� tR0 g(s; !)2 ds < 1 8 t � 0�� = 1:Analog zu 2.2 kann das Ito-Integral auch f�ur Funktionen g 2 W de�niert wer-den, was in dieser Diplomarbeit nicht ausgef�uhrt werden soll. F�ur Details siehe�ksendal [15], Seite 31/32. Wir werden die dortige erweiterte De�nition im fol-genden benutzen. Beachte, da� die Eigenschaften aus 2.4 f�ur ein g 2 W nichtmehr alle erf�ullt sind (vgl. Karatzas & Shreve [11], Kapitel 3.2).(ii) Es ist auch m�oglich, das Ito-Integral aus 2.2 nicht nur bez�uglich der Standard-Brown' schen Bewegung (Bt)t�0 zu de�nieren wie in der urspr�unglichen Kon-struktion von Ito, sondern - unter geeigneten Bedingungen - auch bez�uglichjedem stochastischen Proze� (Mt)t�0, der ein stetiges, quadratisch integrierba-res Martingal ist. F�ur Teil II der Diplomarbeit ist es n�otig, das stochastischeIntegral allgemeiner zu formulieren. Da eine exakte Einf�uhrung des allgemeinenstochastischen Integrals im Hinblick auf die Zielstellung dieser Diplomarbeit zuweit f�uhren w�urde, wird an dieser Stelle auf Karatzas & Shreve [11], Seite 128-139, verwiesen und die dortige De�nition 2.9 verwendet.2.6 De�nition (Eindimensionaler Ito-Proze�)Sei (Bt)t�0 eine eindimensionale Standard-Brown'sche Bewegung auf einem Wahr-scheinlichkeitsraum (;F ; P ). Ein eindimensionaler Ito-Proze� oder stochastischesIntegral ist ein stochastischer Proze� (Xt)t�0 auf (;F ; P ) der FormXt(!) = X0(!) + tZ0 a(s; !)ds + tZ0 b(s; !)dBs(!); ! 2 und t � 0: (1)Hierbei sei b 2 W, und f�ur a gelte:P 0@8<:! 2 ����� tZ0 ja(s; !)j ds < 1 8 t � 09=;1A = 1:Ferner sei a adaptiert an (Ht)t�0, wobei (Ht)t�0 die Familie von aufsteigenden �-Algebren aus W ist. Di�erentielle Schreibweise f�ur (1):dXt(!) = a(t; !) dt + b(t; !) dBt(!); t � 0;oder kurz: dXt = a dt + b dBt; t � 0: (2)(2) hei�t stochastische Di�erentialgleichung (stochastic di�erential equation, SDE ).2.7 BemerkungDie Verwendung von f 2 V in 2.2 als Integrand im Ito-Integral ist spezieller als dieVerwendung von Zufallsvariablen Xt; t � 0. Jedes Element f 2 V ist insbesondere18

ein stochastischer Proze�. Die Umkehrung dieser Aussage ist nicht richtig, da nichtjeder stochastische Proze� die Bedingungen 2.2(ii)(a) und (b) erf�ullt. Es gilt abermit den Bezeichnungen aus De�nition 2.6: F�ur jeden stochastischen Proze� (Xt)t�0erf�ullen a(t;Xt) und b(t;Xt) die Bedingungen 2.2(ii)(a) und (b). Wir werden uns da-her im folgenden nur mit solchen stochastischen Di�erentialgleichungen besch�aftigen,bei denen a = a(t;Xt) und b = b(t;Xt); t � 0; sind, d.h.: Wir betrachten ab jetztstochastische Di�erentialgleichungen mit proze�abh�angiger Drift und Volatilit�at derForm dXt = a(t;Xt) dt + b(t;Xt) dBt; t � 0:2.8 Satz (Existenz und Eindeutigkeit der L�osung einer SDE)Sei T > 0 und seien a : [0; T ] � IR �! IR; b : [0; T ] � IR �! IR Lebesgue-me�bareFunktionen. Es gelte:(i) ja(t; x)j + jb(t; x)j � C (1 + jxj); x 2 IR; t 2 [0; T ]; C 2 IR+ geeignet.( Wachstumsbedingung )(ii) ja(t; x)� a(t; y)j + jb(t; x) � b(t; y)j � Djx� yj; x; y 2 IR;t 2 [0; T ]; D 2 IR+ geeignet.( Lipschitzbedingung )Sei (Bt)t�0 eine eindimensionale Standard-Brown'sche Bewegung und Z eine vonF1 := �(Bsjs � 0) unabh�angige Zufallsvariable mit E(jZj2) < 1. Dann hat diestochastische Di�erentialgleichungdXt = a(t;Xt) dt + b(t;Xt) dBt; 0 � t � T; X0 = Z; (3)eine eindeutige, in t stetige L�osung (Xt)t�0, die ein Element von V(0; T ) ist. Manbezeichnet (Xt)t�0 auch genauer als starke L�osung, da (Bt)t�0 vorgegeben und derL�osungsproze� Ft-adaptiert ist, t � 0. Von einer schwachen L�osung spricht man dann,wenn die Standard-Brown'sche Bewegung nicht vorgegeben wird, sondern ein Paar((Bt)t�0; (Xt)t�0) gesucht ist, das (3) erf�ullt.Eine starke L�osung (Xt)t�0 von (3) besitzt ferner die starke Markoveigenschaft underf�ullt E �jXtj2� < 1 8 t � 0: (4)Falls � und � nicht von t abh�angen, d.h., falls die stochastische Di�erentialgleichungdXt = a(Xt) dt + b(Xt) dBt; t � 0; X0 = Z;betrachtet wird, vereinfachen sich (i) und (ii) zu(iii) ja(x)� a(y)j + jb(x)� b(y)j � D jx� yj; x; y 2 IR:Beweis: Die Existenz einer eindeutigen (starken) L�osung (Xt)t�0 ist bewiesen in�ksendal [15], Seite 64-68, Theorem 5.5, oder in Karatzas & Shreve [11], Seite289/290, Theorem 2.9. Die starke Markoveigenschaft von (Xt)t�0 ergibt sichaus �ksendal [15], Bemerkung zu De�nition 7.1 in Verbindung mit Theorem7.2. Die Eigenschaft (4) ist bewiesen in Karatzas & Shreve [11], Seite 289/290,Theorem 2.9. 19

Zu zeigen bleibt noch die �Aquivalenz von (i) und (ii) zu (iii), falls � und � nichtvon t abh�angen. Dieser Beweis reduziert sich o�ensichtlich auf den Beweis (iii)=) (i). Dies aber ergibt sich durch die Betrachtung der folgenden Implikationvon (iii): 0 � ja(x)� a(y)jjx� yj + jb(x)� b(y)jjx� yj � D:Hieraus folgt insbesondere, da� a und b polynomiales Wachstums von maxi-malem Grad 1 haben, d.h. ja(x)j � C1(1 + jxj) und jb(x)j � C2(1 + jxj). MitC := C1 + C2 bedeutet dies dann gerade, da� (i) erf�ullt ist. 22.9 Bemerkung und De�nition (Koe�zienten eines Ito-Prozesses)Nach Karlin & Taylor [12], Seite 376, l�a�t sich zeigen: F�ur einen eindimensionalenIto-Proze� aus 2.6, der die Kriterien der De�nition 1.4 f�ur einen Di�usionsproze�erf�ullt, und der die Bedingungen 2.8(i),(ii) erf�ullt, sind a � � und b � � mit denBezeichnungen � und � aus De�nition 1.7. Wir werden daher im folgenden stets dieBezeichnungen � und � verwenden. � wird auch als Volatilit�at bezeichnet.2.10 Satz (Eindimensionale Ito-Formel)Sei (Xt)t�0 ein als L�osung der SDEdXt = �(t;Xt) dt + �(t;Xt) dBt; t � 0; (5)gegebener Ito-Proze�. Ferner sei g eine C1;2-Funktion von IR+0 � IR nach IR, und seiYt := g(t;Xt); t � 0. Dann ist (Yt)t�0 ebenfalls ein Ito-Proze�, und es gilt f�ur t � 0:dYt = @g@t (t;Xt)dt + @g@x(t;Xt)dXt + 12 @2g@x2 (t;Xt)(dXt)2(5)= �@g@t (t;Xt) + �(t;Xt) @g@x(t;Xt) + 12�2(t;Xt) @2g@x2 (t;Xt)� dt+ �(t;Xt) @g@x(t;Xt) dBt:Dabei kann man als Rechenregel formulieren:dt dt = dt dBt = dBt dt = 0; dBt dBt = dt.Beweis: Siehe �ksendal [15], Seite 43-45, oder Karatzas & Shreve [11], Seite 149-153.22.11 De�nition (Mehrdimensionale Brown'sche Bewegung)Ein r-dimensionaler Proze� (Bt)t�0 mit Bt = (B1t ; : : : ; Brt )T hei�t r-dimensionaleStandard-Brown'sche Bewegung, r 2 IN, falls (Bit)t�0 eine eindimensionale Standard-Brown'sche Bewegung ist f�ur jedes 1 � i � r und die Brown'schen Bewegungenvoneinander unabh�angig sind. Mit dem hochgestellten T bezeichnen wir dabei dasTransponieren.2.12 De�nition und Bemerkung (Mehrdimensionaler Ito-Proze�)Sei (Bt)t�0 eine r-dimensionale Standard-Brown'sche Bewegung. Jedes �i(t; x) � �iund �ij(t; x) � �ij gen�uge den entsprechenden Bedingungen des eindimensionalen20

Ito-Prozesses, 1 � i � d; 1 � j � r. Dann existieren die folgenden d Ito-Prozesse:dX1t = �1dt+ �11dB1t + : : :+ �1rdBrt ;...dXdt = �ddt+ �d1dB1t + : : :+ �drdBrt :In Matrizenschreibweise gilt kurz:dXt = �dt+ �dBt; t � 0; wobei:dXt := (dX1t ; : : : ; dXdt )T ; � := (�1; : : : ; �d)T ; dBt := (dB1t ; : : : ; dBrt )T ;� := 0B@ �11 : : : �1r... ...�d1 : : : �dr 1CA :Der so de�nierte d-dimensionale Proze� (Xt)t�0 mit Xt = (X1t ; : : : ;Xdt )T ; t � 0,hei�t d-dimensionaler Ito-Proze�. Der Satz 2.8 �uber die Existenz und Eindeutigkeitder L�osung einer stochastischen Di�erentialgleichung gilt unver�andert auch f�ur einemehrdimensionale SDE. Es ist dabei lediglich j�j alsj�j = dXi=1 rXj=1 j�ij jzu verwenden und j�j als euklidischen Abstand.2.13 Satz (Mehrdimensionale Ito-Formel)Der d-dimensionale Ito-Proze� (Xt)t�0 sei gegeben als L�osung der SDEdXt = �(t;Xt) dt + �(t;Xt) dBt; t � 0;wobei die Bezeichnungen aus 2.12 gelten. Sei g(t; x) = (g1(t; x); : : : ; gm(t; x))T eineC1;2-Funktion von IR+0 � IRd in IRm; m 2 IN. Dann ist der durch Yt := g(t;Xt) de�-nierte Proze� (Yt)t�0 ein m-dimensionaler Ito-Proze�, und mit Yt = (Y 1t ; : : : ; Y mt )Tgilt f�ur k 2 f1; : : : ;mg und t � 0:dY kt = @gk@t (t;Xt) dt + dXi=1 @gk@xi (t;Xt) dXit + 12 dXi;j=1 @2gk@xi @xj (t;Xt) dXit dXjt :Beweis: Siehe �ksendal [15], Seite 45, Theorem 4.6. 22.14 De�nition und Bemerkung (Di�usionsproze� - 2.Version)Ein d-dimensionaler Di�usionsproze� (Xt)t�0 ist eine stochastischer Proze�, der dieSDE dXt = �(t;Xt) dt + �(t;Xt) dBt; t � 0; X0 = x0 2 IRd fest;erf�ullt, wobei � : IR+0 �IRd �! IRd und � : IR+0 �IRd �! IRd;r die Bedingungen 2.8 (i),(ii) (im mehrdimensionalen Fall, siehe 2.12) erf�ullen und (Bt)t�0 eine r-dimensionaleStandard-Brown'sche Bewegung ist. Man bezeichnet (Xt)t�0 auch als Ito-Di�usionoder kurz Di�usion.Nach 2.8 ist ein Di�usionsproze� stetig und besitzt die starke Markoveigenschaft.Falls � und � von t unabh�angig sind, so liegt ein zeithomogener Di�usionsproze� vor,siehe �ksendal [15], Seite 104. 21

2.15 Bemerkung (Zusammenhang beider Di�usionsproze�-De�nitionen)In der De�nition 2.14 betrachten wir speziell den eindimensionalen Fall. Dann gilt:Die beiden De�nitionen eines Di�usionsprozesses 1.4 (Version 1) und 2.14 (Version2) sind nicht �aquivalent. Da ein Di�usionsproze� aus 2.14 insbesondere stetig ist unddie starke Markoveigenschaft besitzt, folgt o�ensichtlich:(Xt)t�0 ist Di�usion nach Version 2 =) (Xt)t�0 ist Di�usion nach Version 1.Die Umkehrung ist im allgemeinen nicht richtig, wie der Feller-McKean-Proze� alsGegenbeispiel zeigt, siehe Roger & Williams [23], Seite 271. Also gibt es \mehr\allgemeine Di�usionsprozesse (Version 1) als es Di�usionsprozesse gibt, die L�osungeiner SDE sind (Version 2).Wir bezeichnen im folgenden (wie in der Literatur �ublich) einen Proze� als Di�usi-onsproze�, wenn er die allgemeinere De�nition 1.4 erf�ullt.2.16 De�nition (Lineare stochastische Di�erentialgleichungen)Eine d-dimensionale stochastische Di�erentialgleichungdXt = �(t;Xt) dt + �(t;Xt) dBt; t � 0;hei�t linear, falls �(t; x) 2 IRd und �(t; x) 2 IRd;r lineare Funktionen in x 2 IR sind,d.h.: Es gibt A(t); Ck(t) 2 IRd�d; a(t); ck(t) 2 IRd; t � 0; 1 � k � r 2 IN, so da�gelten:(i) �(t; x) = A(t)x+ a(t); x 2 IRd; t � 0.(ii) �(t; x) = (C1(t)x+ c1(t); : : : ; Cr(t)x+ cr(t) ) ; x 2 IRd; t � 0.Damit hat eine lineare SDE die FormdXt = [A(t)Xt + a(t)] dt + rXi=1 (Ci(t)Xt + ci(t)) dBit ; t � 0;wobei die Bit die Komponenten einer r-dimensionalen Standard-Brown'schen Bewe-gung sind. Eine lineare SDE hei�t homogen , falls gilt a(t) = c1(t) = : : : = cr(t) = 0,t � 0. Sie hei�t linear im engeren Sinne , falls C1(t) = : : : = Cr(t) = 0; t � 0, ist.In den n�achsten drei Abschnitten werden explizite L�osungen von stochastischen Dif-ferentialgleichungen eines speziellen Typs vorgestellt.2.17 L�osungsformel f�ur eine lineare SDE im engeren SinneDer d-dimensionale Proze� (Xt)t�0 sei L�osung der folgenden in 2.16 eingef�uhrtenlinearen SDE im engeren Sinn:dXt = [A(t)Xt + a(t)] dt + rXi=1 ci(t) dBit ; t � 0:Es werden die Bezeichnungen und Dimensionen aus 2.16 benutzt. Mit der De�nitionvon � aus 2.16(ii) und der Bedeutung von �dBt aus 2.12 schreiben wir diese SDEkurz als: dXt = [A(t)Xt + a(t)] dt + �(t) dBt; t � 0: (6)22

X0 sei eine d-dimensionale Zufallsvariable, die von F1 (siehe 2.8) unabh�angig seiund f�ur die E(jX0j2) < 1 gelte. Wir nehmen A; a und � als stetig in t an. Dannsind A; a und � insbesondere Lebesgue-me�bar und f�ur jedes beliebige, feste T > 0sind 2.8(i),(ii) erf�ullt. Die SDE (6) besitzt also eine eindeutige (starke) L�osung. Diesewollen wir im folgenden herleiten.Um eine explizite Darstellung von (Xt)t�0 zu erhalten, betrachten wir zuerst die zu(6) geh�orige inhomogene DGL ohne den Di�usionsterm:(I) : dX(I)tdt = A(t)X(I)t + a(t); t � 0:Die zu (I) geh�orige homogene DGL lautet:(H) : dX(H)tdt = A(t)X(H)t ; t � 0:Dabei werden die Di�erentialgleichungen in (I) und (H) pfadweise betrachtet. Nachder Theorie der linearen Di�erentialgleichungen besitzt (H) d linear unabh�angigeL�osungen �1(t); �2(t); : : : ; �d(t), die als �(t) := ��1(t); �2(t); : : : ; �d(t)� eine Funda-mentalmatrix zu (H) bilden, und f�ur die insbesondere gilt:d�(t)dt = A(t)�(t); t � 0: (7)Dabei sei o.B.d.A. �(0) = Ed mit Ed als d-dimensionaler Einheitsmatrix �uber IR.Unter der VoraussetzungA(t) 0@ tZ0 A(u) du1A = 0@ tZ0 A(u) du1A A(t) 8 t � 0ergibt sich f�ur (7) die eindeutige L�osung�(t) = exp8<: tZ0 A(u) du9=; ; t � 0: (8)Damit lautet f�ur (I) die L�osung:X(I)t = �(t) 24X0 + tZ0 ��1(s)a(s) ds35 ; t � 0: (9)Behauptung:Die allgemeine L�osung der mehrdimensionalen SDE (6) lautet:Xt = �(t)24X0 + tZ0 ��1(s)a(s) ds + tZ0 ��1(s)�(s) dBs35 (10)(9)= X(I)t + �(t) tZ0 ��1(s)�(s) dBs; t � 0:� ist dabei nach (8) gegeben. 23

Beweis: Sei Yt := X0 + tZ0 ��1(s)a(s)ds + tZ0 ��1(s)�(s)dBs; t � 0; d.h.:dYt = ��1(t) fa(t)dt+ �(t)dBtg ; t � 0: (11)Mit g(t; y) := �(t) y = (g1(t; y); : : : ; gd(t; y))T ; y 2 IRd; (12)de�nieren wir Xt alsXt := g(t; Yt) (12)= (g1(t; Yt); : : : ; gd(t; Yt))T ; t � 0: (13)Es bleibt zu zeigen, da� der so de�nierte Proze� (Xt)t�0 L�osung der SDE (6)ist.Dazu gehen wir �uber zur Komponentenschreibweise:(7) =) @�kj(t)@t = dXl=1 Akl(t)�lj(t) ; 1 � k � d; 1 � j � d: (14)(11) =) dY it = dXl=1 ��1il (t)8<:al(t)dt+ rXq=1 �lq(t) dBqt9=; ; 1 � i � d: (15)(13) =) Xkt = gk(t; Yt) (12)= dXj=1�kj(t)Y jt ; 1 � k � d: (16)O�ensichtlich gilt gk 2 C1;2 f�ur jedes 1 � k � d, so da� die mehrdimensionaleIto-Formel 2.13 angewendet werden kann. F�ur jedes k 2 f1; : : : ; dg ergibt sichdann:dXkt = @gk@t (t; Yt) dt+ dXi=1 @gk@yi (t; Yt) dY it + 12 dXi;j=1 @2gk@yi @yj (t; Yt)| {z }(16)= 0 dY it dY jt(16)= @@t 0@ dXj=1�kj(t)Y jt 1A dt + dXi=1 @@yi 0@ dXj=1�kj(t)Y jt 1A dY it= 0@ dXj=1 @@t ��kj(t)Y jt �1A dt + dXi=1 dXj=1 @@yi ��kj(t)Y jt �| {z }= �ij �kj(t) dY it(15)= 0@ dXj=1 @@t ��kj(t)Y jt �1A dt +dXi=1 �ki(t) 0@ dXl=1 ��1il (t) 8<:al(t) dt + rXq=1 �lq(t) dBqt9=;1A24

(12)= 8<: dXj=1 @@t ��kj(t)� Y jt + dXi=1 �ki(t) dXl=1 ��1il (t) al(t)!9=; dt +8<: dXi=1 �ki(t) 0@ dXl=1 ��1il (t) 24 rXq=1 �lq(t) dBqt 351A9=;(14)= 8>>>><>>>>: dXj=1 dXl=1 Akl(t)�lj(t)Y jt + dXl=1 dXi=1 �ki(t)��1il (t)!| {z }= �kl al(t)9>>>>=>>>>; dt +dXl=1 dXi=1 �ki(t)��1il (t)!| {z }= �kl 0@ rXq=1 �lq(t) dBqt1A= 8>>>>>>><>>>>>>>: dXl=1 Akl(t)0@ dXj=1�lj(t)Y jt 1A| {z }(16)= Xlt + ak(t)9>>>>>>>=>>>>>>>; dt +dXl=1 �kl 0@ rXq=1 �lq(t) dBqt1A= ( dXl=1 Akl(t)X lt + ak(t)) dt + rXq=1 �kq(t) dBqt ; t � 0:In Matrizenschreibweise bedeutet dies:dXt = fA(t)Xt + a(t)g dt + �(t) dBt; t � 0: 22.18 Beispiel (Der Ornstein-Uhlenbeck-Proze�)Eine eindimensionale Anwendung von Satz 2.17 stellt der Ornstein-Uhlenbeck-Proze�dar, der beschrieben wird durch die folgende lineare SDE im engeren Sinn:dXt = �Xt dt + � dBt; t � 0; X0 = x0 2 IR fest; � 2 IR�; � 2 IR+:In 2.17 ist also A(t) = �; a(t) = 0 und �(t) = � f�ur alle t � 0. Nach (8) gilt�(t) = e�t; t � 0;25

so da� die explizite Darstellung des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses gem�a� (10) lautet:Xt = x0 e�t + � e�t tZ0 e��s dBs; t � 0:2.19 L�osungsformel f�ur eine eindimensionale, lineare SDEWir betrachten jetzt eine eindimensionale, lineare SDE der FormdXt = [A(t)Xt + a(t)] dt + [C(t)Xt + c(t)] dBt; t � 0; (17)wobei X0 eine von F1 (siehe 2.8) unabh�angige, eindimensionale Zufallsvariable seimit E(X20 ) < 1. A; a; C und c sind also reellwertig, und (Bt)t�0 ist eine eindimen-sionale Standard-Brown'sche Bewegung. Wir nehmen A; a; C und c als stetig in tan. Erneut sei mit � die Fundamentalmatrix bezeichnet, die im Eindimensionalenzu einer Fundamentall�osung degeneriert. Mit demselben Verfahren wie im Fall derlinearen SDE's im engeren Sinn l�a�t sich mittels Ito-Formel zeigen (vgl. G�oing [9],Seite 60-62):Die stochastische Di�erentialgleichung (17) hat die L�osungXt = �(t)24X0 + tZ0 ��1(s) [a(s)� C(s)c(s)] ds + tZ0 ��1(s) c(s) dBs35 ;wobei�(t) = exp8<: tZ0 [A(s)� 12C2(s)] ds + tZ0 C(s) dBs9=;; t � 0:Wir kehren zum Abschlu� von Kapitel 2 noch einmal zu dem in 2.17 betrachtetenDi�usionsproze� zur�uck f�ur den eindimensionalen Fall und werden im folgenden zweiAussagen herleiten, die f�ur das n�achste Kapitel von Bedeutung sind.2.20 SatzWir betrachten den eindimensionalen Proze� (Xt)t�0, der als L�osung der linearenSDE (im engeren Sinn)dXt = [A(t)Xt + a(t)] dt + �(t) dBt; t � 0; (18)X0 eindimensionale Zufallsvariable, aus 2.17 (mit d = 1) gegeben sei, und verwendendie dortigen Bezeichnungen und Voraussetzungen. Die Funktion � sei gegeben als�(t) = exp8<: tZ0 A(u) du9=; ; t � 0:Unter der Annahme E � tR0 ���1(u)�(u)�2 du� <1 8 t � 0 gelten dann:(i) E(Xt) = �(t) �E(X0) + tR0 ��1(u)a(u) du� ; t � 0.26

(ii) Cov(Xs;Xt) = �(s)"V ar(X0) + s^tR0 ���1(u)�(u)�2 du#�(t); s; t � 0.Beweis: Nach (10) lautet die eindeutige L�osung der SDE (18):Xt = �(t)24X0 + tZ0 ��1(u)a(u)du + tZ0 ��1(u)�(u)dBu35 ; t � 0: (19)(i):E(Xt)(19)= �(t) �E(X0) + tR0 ��1(u)a(u)du + E � tR0 ��1(u)�(u)dBu��= �(t) �E(X0) + tR0 ��1(u)a(u)du�, dennnach Bemerkung 2.7 und der Annahme sind die Voraussetzungen2.2(ii)(a), (b) und (c) zur Anwendung von 2.4(ii)(c) erf�ullt.(ii):Cov(Xs;Xt)(19);(i)= E"��(s)�X0 + sR0 ��1(u)a(u)du + sR0 ��1(u)�(u)dBu�� �(s)�E(X0) + sR0 ��1(u)a(u)du��� ��(t)�X0 + tR0 ��1(u)a(u)du + tR0 ��1(u)�(u)dBu�� �(t)�E(X0) + tR0 ��1(u)a(u)du��#= E ���(s) sR0 ��1(u)�(u)dBu���(t) tR0 ��1(u)�(u)dBu��+ �(s)E �[X0 �E(X0)]2��(t) nach der Annahme und 2.4(ii)(c)27

= �(s)E �� sR0 ��1(u)�(u)dBu�� tR0 ��1(u)�(u)dBu�� �(t)+ �(s)V ar(X0)�(t)= �(s)E"�s^tR0 ��1(u)�(u)dBu��s^tR0 ��1(u)�(u)dBu +s_tRs^t ��1(u)�(u)dBu�#�(t) + �(s)V ar(X0)�(t)= �(s)"E �s^tR0 ���1(u)�(u)�2 du� +E ��s^tR0 ��1(u)�(u)dBu��s_tRs^t ��1(u)�(u)dBu��#�(t)+ �(s)V ar(X0)�(t) (Ito-Isometrie)= �(s) �V ar(X0) + s^tR0 ���1(u)�(u)�2 du� �(t), denn:��1(u)�(u); u 2 [0; s _ t] ist deterministisch, und die Zuw�achseder Brown'schen Bewegung sind voneinander unabh�angig =)s^tR0 ��1(u)�(u)dBu und s_tRs^t ��1(u)�(u)dBu unabh�angig. 2

28

Kapitel 3Finanzmathematische Modelle3.1 Einf�uhrungDer in Kapitel 1 und 2 entwickelte Kalk�ul soll in Kapitel 3 nun auf Di�usionsprozesseangewendet werden, die f�ur die Beschreibung des Ph�anomens der Mean-Reversion inRentenm�arkten, d.h. das Schwanken von verschiedenen Kurs- und Renditewerten umein Mittel, geeignet sind. Daher beschr�anken wir uns bei den nachfolgenden wahr-scheinlichkeitstheoretischen Modellen auf diejenigen, die in der Finanzmathematikf�ur die Mean-Reversion-Modellierung verwendet werden. Im folgenden werden vierProzesse/Modelle eingef�uhrt: Der Ornstein-Uhlenbeck-Proze�, das Vasicek-Modell,das Cox-Ingersoll-Ross-Modell und das verallgemeinerte Cox-Ingersoll-Ross-Modell.Dabei ist der Ornstein-Uhlenbeck-Proze� ein Spezialfall im Vasicek-Modell und derCIR-Proze� ein Spezialfall des verallgemeinerten CIR-Modells. Sie werden dennochgetrennt eingef�uhrt, da f�ur die statistischen Sch�atzverfahren und die Untersuchungsimulierter bzw. �nanzwirtschaftlicher Datens�atze der Ornstein-Uhlenbeck-Proze�bzw. das CIR-Modell eine wichtige Rolle spielen werden. F�ur jedes dieser vier Modellewerden die relevanten Gr�o�en wie station�are Dichte und Erwartungswert hergeleitet.Den Abschlu� dieses Kapitels bildet eine �Ubersichtstabelle der in dieser Diplomarbeitbetrachteten Mean-Reverting-Prozesse.3.2 De�nition (Mean-Reverting-Proze�, Mean-Reversion-Modell)Sei (Xt)t�0 ein Di�usionsproze�, der als L�osung der SDEdXt = �(Xt)dt+ �(Xt)dBt; t � 0; X0 = x0 2 I; wobei�(x) = � + �x = (��) ���� � x� ; x 2 I; � 2 IR�; � 2 IR;�(x) > 0 8x 2 I; 9>>=>>; (1)gegeben sei. Dabei bezeichne I = (l; r) den Zustandsraum des Prozesses (vgl. Kapi-tel 1). Einen solchen Proze� bezeichnet man als Mean-Reverting-Proze�, wobei ��Mean-Reversion-Force und ��� Mean-Reversion-Level genannt wird. Diese Bezeich-nungen ergeben sich daraus, da� �� die \St�arke\ darstellt, mit der der Proze� zuseinem \Mittel\ ��� gezogen wird, siehe sp�ater. Das Modell hei�t Mean-Reversion-Modell.Bis auf spezielle Prozesse des verallgemeinerten Cox-Ingersoll-Ross-Modells stellenalle nachfolgend behandelten Modelle Mean-Reversion-Modelle dar.29

Der Ornstein-Uhlenbeck-Proze�Ein Ornstein-Uhlenbeck-Proze� ist gegeben als L�osung der SDE (1) mit der speziellenWahl � = 0 und konstantem � 2 IR+, d.h.:dXt = �(Xt)dt+ �(Xt)dBt; t � 0; X0 = x0 2 I; wobei�(x) = �x; x 2 I; � 2 IR�;�(x) � � 2 IR+; x 2 I:Man kann zeigen (vgl. Karlin & Taylor [12], Kapitel 15.6): Der Zustandsraum I einesOrnstein-Uhlenbeck-Prozesses ist ganz IR, wobei die Grenzen �1 und 1 unerreich-bar sind. Ferner ist der Proze� rekurrent. Da die hierzu n�otigen Rechnungen sehrumfangreich sind und zu weit vom Ziel der Diplomarbeit wegf�uhren, wurde auf dieBeweise verzichtet.Nach 2.18 lautet die explizite Darstellung eines Ornstein-Uhlenbeck-ProzessesXt = x0 e�t + �e�t tZ0 e��sdBs; t � 0: (2)Wegen E0@ tZ0 �2e�2�s ds1A < 1; t � 0;lautet der Erwartungswert von Xt gem�a� 2.20(i):E(Xt) = x0 e�t �������!t!1 0; denn � < 0:F�ur die Varianz eines Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses ergibt sich aus 2.20(ii):V ar(Xt) = Cov(Xt;Xt) = �2 e2�t � 12� ; t � 0:Stationarit�at im Grenzfall t!1:(i) Nach 1.11 lautet die Ableitung s = S0 der scale function S:s(x) = exp8<:�2 xZc �(u)�2(u)du9=; ; wobei x; c 2 I = (l; r); c beliebig, aber fest= exp8<:�2 xZc � u�2 du9=;= expn� ��2 x2o f�ur c := 0 2 I = IR:(ii) Als speed density ergibt sich daher mit (i):m(x) = 2�2(x)s(x) = 2�2 expn� ��2x2o = 2�2 expn ��2x2o ; x 2 IR:30

(iii) Gesamtmasse der speed density:jmj = rZl m(u)du= 1Z�1 2�2 expn ��2u2o du= 2�2 1Z�1 exp8>><>>:� u22���22��9>>=>>; du= 2�2 s2����22�� 1s2����22�� 1Z�1 exp8>>><>>>:� u22���22��9>>>=>>>; du| {z }= 1= 2�r��� < 1:Nach 1.16 in Verbindung mit 1.17 konvergiert daher Xt f�ur t ! 1 gegen einestation�are Verteilung mit Lebesgue-Dichte (x) = m(x)jmj= 2�2 expn ��2x2o �2 r���= 1s2����22�� exp8>><>>:� x22���22��9>>=>>; ; x 2 IR:Also ist die station�are Verteilung eines Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses N(0;��22�).Die folgende Abbildung zeigt die Simulation eines Pfades von einem Ornstein-Uhlen-beck-Proze�, der mittels des Taylor-1.5-Verfahrens f�ur starke Konvergenz der Ord-nung 1.5 erzeugt wurde (siehe Anhang B). Der Proze� wird dabei simuliert �uber einenZeitraum [0; T ], wobei �s die Simulationsschrittweite ist, d.h., es wurden T�s Punktesimuliert. Die Simulation erfolgte mit dem Programm, das ich zu der Diplomarbeitgeschrieben habe (Men�upunkt: Simulation eines Prozesses). In diesem Computerpro-gramm besteht au�erdem die M�oglichkeit, eine Proze�simulation mittels Euler- undMilstein-Schema vorzunehmen, deren Genauigkeit aber schlechter ist als beim Taylor-1.5-Verfahren. Zur ausf�uhrlichen Darstellung dieser drei Simulationsverfahren sowieder dabei auftretenden Gr�o�en T und �s siehe Anhang B. Das Programm selbst istausf�uhrlich in Kapitel 7 beschrieben. 31

Zeitpunkte

Wert

0 5000 10000 15000 20000 25000

-3-2

-10

12

3

Abbildung 3.1: Beispiel f�ur einen Pfad eines Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses (� = �3; � = 2; x0 =3; T = 25;�s = 0:001 mit Taylor-1.5-Simulationsverfahren).Das Vasicek-ModellDas Vasicek-Modell verallgemeinert den Ornstein-Uhlenbeck-Proze� durch die Ein-f�uhrung eines konstanten Drift-Terms. Wir betrachten also das Modell:dXt = �(Xt)dt+ �(Xt)dBt; t � 0; X0 = x0 2 I; wobei�(x) = � + �x; x 2 I; � 2 IR�; � 2 IR;�(x) � � 2 IR+ 8x 2 I: 9>=>; (3)Man kann zeigen: I = IR, wobei die Grenzen �1 und +1 unerreichbar sind. Fernerist der Proze� rekurrent.Die SDE (3) ist eine eindimensionale lineare SDE im engeren Sinn. Gem�a� 2.17 lautetihre L�osung:Xt = �(t)0@x0 + tZ0 ��1(s)� ds+ tZ0 ��1(s)� dBs1A ; t � 0:Dabei ist � L�osung der homogenen DGL d�(s)ds = ��(s) mit �(0) = 1, d.h.�(s) = e�s; s � 0. Also:Xt = e�t0@x0 + tZ0 e��s� ds+ tZ0 e��s� dBs1A= e�t0@x0 + �� �1� e��t�+ � tZ0 e��sdBs1A ; t � 0:F�ur den Erwartungswert im Vasicek-Modell ergibt sich:E(Xt) = x0 e�t � �� + �� e�t + � e�tE0@ tZ0 e��s dBs1A ; t � 0: (4)32

Der Erwartungswert auf der rechten Seite von (4) ist nach 2.4(ii)(c) gleich Null, d.h.:E(Xt) = x0 e�t � �� + �� e�t �������!t!1 � ��; denn � < 0:F�ur die Varianz V ar(Xt) im Vasicek-Modell erh�alt man nach 2.20(ii):V ar(Xt) = Cov(Xt;Xt)= �(t)�V ar(x0) + tZ0 ���1(u)�(u)�2 du��(t)= e2�t 0@�2 tZ0 e�2�u du1A ;da x0 eine Konstante ist= �22� �e2�t � 1� �������!t!1 � �22� wegen � < 0:Analog zum Ornstein-Uhlenbeck-Proze� zeigt man (siehe Anhang A):F�ur t!1 ist die station�are Verteilung im Vasicek-Modell N ����;��22��.

Zeitpunkte

Wert

0 5000 10000 15000 20000 25000

02

46

810

Abbildung 3.2: Beispiel f�ur einen Pfad eines Prozesses im Vasicek-Modell (� = �1; � = 5; � =3; x0 = 2; T = 25;�s = 0:001 mit Taylor-1.5-Simulationsverfahren).33

Das Cox-Ingersoll-Ross-Modell ( CIR )Ein Proze� des CIR-Modells wird beschrieben durch die SDEdXt = �(Xt)dt+ �(Xt)dBt; t � 0; X0 = x0 2 I; wobei�(x) = � + �x; x 2 I; � 2 IR�; � 2 IR+;�(x) = �pjxj 8x 2 I; � 2 IR+ mit 2� � �2: 9>=>; (5)Man kann zeigen: Der Proze� (Xt)t�0 ist rekurrent mit I = IR+, wobei die Grenzen0 und 1 unerreichbar sind. Daher werden wir f�ur die Volatilit�at stets �(x) = �pxschreiben.Es gilt (siehe Anhang A):F�ur t!1 lautet die station�are Verteilung im CIR-Modell ���2��2 ; 2��2 �.F�ur die SDE (5) k�onnen wir eine explizite Darstellung von (Xt)t�0 nicht angeben.Es kann aber eine implizite Darstellung von Xt hergeleitet werden, mit deren Hilfesich E(Xt) berechnen l�a�t. Dies wird f�ur den Fall des verallgemeinerten CIR-Modellsim n�achsten Abschnitt dieses Kapitels durchgef�uhrt. Das CIR-Modell wird dort alsSpezialfall auftreten. Aus diesem Grund sollen hier nur die Resultate f�ur Xt undE(Xt) angegeben werden, der allgemeine Beweis folgt im kommenden Abschnitt.Xt l�a�t sich implizit darstellen als:Xt = ��� + �x0 + ��� e�t + � e�t tZ0 e��spXs dBs; t � 0:Daraus ergibt sich f�ur den Erwartungswert:E(Xt) = � �� + �x0 + ��� e�t �������!t!1 � ��; da � < 0:

Zeitpunkte

Wert

0 5000 10000 15000 20000 25000

34

56

Abbildung 3.3: Beispiel f�ur einen Pfad eines Prozesses im CIR-Modell (� = �2; � = 10; � =0:5; x0 = 6; T = 25;�s = 0:001 mit Taylor-1.5-Simulationsverfahren).34

Das verallgemeinerte Cox-Ingersoll-Ross-ModellDas verallgemeinerte CIR-Modell wird beschrieben durch die SDEdXt = �(Xt)dt+ �(Xt)dBt; t � 0; X0 = x0 2 I; wobei�(x) = � + �x; x 2 I; �; � 2 IR;�(x) = �jxj 8x 2 I; � 2 IR+; 2 [12 ;1) : 9>=>; (6)Nach Borkovec & Kl�uppelberg [4], Seite 18, liegt genau dann Stationarit�at des Dif-fusionsprozesses (Xt)t�0 vor, wenn eine der vier folgenden Alternativen gilt: = 12 : 2� � �2; � < 0;12 < < 1 : � > 0; � � 0; = 1 : � > 0; � < �22 ; > 1 : � > 0; � 2 IR oder � = 0; � > 0: 9>>=>>; (7)Im folgenden gehen wir stets davon aus, da� bei vorgegebenem � 12 die entspre-chenden obigen Bedingungen an �; � und � erf�ullt sind. F�ur jedes � 12 ist derProze� (Xt)t�0 rekurrent1 mit I = IR+, wobei die Grenzen 0 und 1 unerreichbarsind. Aus diesem Grund werden wir f�ur die Volatilit�at stets �(x) = � x schreiben.3.3 Satz (Erwartungswert beim verallgemeinerten CIR-Modell f�ur � 1)F�ur einen Proze� (Xt)t�0 im verallgemeinerten CIR-Modell (6) mit 2 [12 ; 1] gilt:E(Xt) = 8><>: ��� + �x0 + ��� e�t; falls � 6= 0;x0 + � t; falls � = 0:Insbesondere: limt!1E(Xt) = 8<: ���; falls � < 0;1; falls � � 0:Beweis: Um den Erwartungswert berechnen zu k�onnen, ist es n�otig, eine impliziteDarstellung von Xt zu erhalten. Sei dazu Zt := Xt e��t; t � 0. Nach der Ito-Formel 2.10 folgt dann:dZt = ��Xt e��t dt + e��t dXt + 12 � 0(6)= ��Xt e��t dt + e��t f(� + �Xt) dt + �X t dBtg= � e��t dt + � e��tX t dBt; t � 0:In Integraldarstellung bedeutet dies wegen Z0 = X0 = x0:Zt = x0 + � tZ0 e��s ds + � tZ0 e��sX s dBs: (8)1Im hier nicht betrachteten Fall < 12 w�are der Proze� nicht mehr rekurrent.35

1. Fall: � 6= 0Nach der De�nition f�ur Zt ergibt sich:Xt = e�t x0 + �e�t tZ0 e��s ds + � e�t tZ0 e��sX s dBs= ��� + �x0 + ��� e�t + � e�t tZ0 e��sX s dBs:Als Erwartungswert erhalten wir somit f�ur t � 0:E(Xt) = ��� + (x0 + �� ) e�t + �e�t E0@ tZ0 e��sX s dBs1A : (9)Behauptung (�):Der Erwartungswert auf der rechten Seite von (9) ist gleich Null f�ur 2 [12 ; 1].Beweis:Um zu zeigen, da� der Erwartungswert auf der rechten Seite von (9) gleichNull ist f�ur 2 [12 ; 1], wollen wir Satz 2.4(ii)(c) anwenden. Dazu m�ussen wirzuerst zeigen, da� die Voraussetzungen 2.2(ii)(a), (b) und (c) zur Anwendungvon 2.4(ii)(c) erf�ullt sind. Unter Beachtung von Bemerkung 2.7 m�ussen wir nur2.2(ii)(c), d.h. E0@ tZ0 e�2�sX2 s ds1A <1f�ur t � 0 zeigen.Nun:Sei 2 [12 ; 1]. Es gilt dann nach Fubini wegen Xs > 0 8 s 2 [0; t]:E0@ tZ0 X2 s ds1A = tZ0 E �X2 s � ds� tZ0 E � sup0�s�tX2 s � ds: (10)Als Di�usionsproze� ist (Xt)t�0 insbesondere stetig, so da� das Supremum in(10) sogar ein Maximum ist. Wir zeigen:E�max0�s�tX2 s � < 1: (11)36

Es gilt:j�(t; x(t))j2 + j�(t; x(t))j2 (6)= j� + �x(t)j2 + j�x(t) j2� j2 max(�; �x(t))j2 + �2x(t)2 � 22 max(�2; (�x(t))2) + �2x(t)2 � 4 f�2 + �2x(t)2g + �2x(t)2 � 4 f�2 + �2( max0�s�tx(s))2g + �2x(t)2 =: A:Fall (i): x(t) � 1A � 4 f�2 + �2( max0�s�t x(s))2g + �2� C1 + C2( max0�s�tx(s))2; C1; C2 2 IR+ geeignet� C3 �1 + (max0�s�tx(s))2� ; C3 := C1 + C2:Fall (ii): x(t) > 1A � 4 f�2 + �2( max0�s�tx(s))2g + �2 ( max0�s�tx(s))2 � 4 f�2 + �2( max0�s�tx(s))2g + �2 ( max0�s�tx(s))2; denn:x(t) > 1 =) max0�s�tx(s) > 1 �1=) ( max0�s�t x(s))2 � ( max0�s�tx(s))2� C4 �1 + (max0�s�tx(s))2� ; C4 2 IR+ geeignet.Fall (i) und (ii) liefern somit die Existenz einer Konstanten C 2 IR+ mit:j�(t; x(t))j2 + j�(t; x(t))j2 � C �1 + (max0�s�tx(s))2� :Nach Karatzas & Shreve [11], Seite 306, Problem 3.15, gilt dann:E�max0�s�tX2 s � < 1;d.h. (11) ist gezeigt. Damit ergibt sich aber nach (10):E0@ tZ0 X2 s ds1A <1:Somit:E0@ tZ0 e�2�sX2 s ds1A � �max0�s�t e�2�s� E0@ tZ0 X2 s ds1A < 1:37

Also ist die Voraussetzung zur Anwendung von 2.4(ii)(c) erf�ullt, und es folgt:E0@ tZ0 e��sX s dBs1A = 0:Somit w�are Behauptung (�) bewiesen. F�ur den gesuchten Erwartungswert er-gibt sich damit nach (9):E(Xt) = ��� + (x0 + �� ) e�t �������!t!1 ( ��� f�ur � < 0;1 f�ur � > 0:2. Fall: � = 0F�ur den Fall � = 0 folgt aus (8):Zt = Xt = x0 + � t + � tZ0 X s dBs:Daraus folgt:E(Xt) = x0 + � t + � E0@ tZ0 X s dBs1A ; t � 0: (12)Der Beweis der Behauptung (�) aus dem ersten Fall bleibt auch bei � = 0richtig, d.h., der Erwartungswert auf der rechten Seite von (12) ist Null. Also:E(Xt) = x0 + � t �������!t!1 1 wegen � > 0: 2Wir unterscheiden bzgl. zwei F�alle bei der Untersuchung auf Stationarit�at im Grenz-fall t ! 1. Dabei beschr�anken wir uns auf > 12 , denn bei = 12 liegt das schonbehandelte CIR-Modell vor.Stationarit�at im Grenzfall t!1:Fall I: 6= 1(i) Ableitung s der scale function:s(x) = exp8<:�2 xZc �(u)�2(u)du9=; ; wobeix; c 2 I = IR+; c beliebig, aber fest= C�1 exp�� 2�2 � �1� 2 x1�2 + �2� 2 x2�2 �� ; wobeiC := exp�� 2�2 � �1� 2 c1�2 + �2� 2 c2�2 �� 6= 0:38

(ii) Speed density:m(x) = 2�2(x)s(x)= C 2�2 x2 exp� 2�2 � �1� 2 x1�2 + �2� 2 x2�2 �� :(iii) Gesamtmasse:jmj = 1Z0 m(u)du= C 2�2 1Z0 u�2 exp� 2�2 � �1� 2 u1�2 + �2� 2 u2�2 �� du (7)< 1:Nach 1.16 in Verbindung mit 1.17 konvergiert Xt f�ur t ! 1 gegen eine station�areVerteilung mit Dichte (x) = m(x)jmj , die unabh�angig von der Konstanten C ist, sichaber nicht mehr weiter vereinfachen l�a�t.

Zeitpunkte

Wert

0 5000 10000 15000 20000 25000

23

4

Abbildung 3.4: Beispiel f�ur einen Pfad eines Prozesses im verallgemeinerten CIR-Modell (� =�1; � = 3; � = 0:5; = 0:75; x0 = 2; T = 25;�s = 0:001 mit Taylor-1.5-Simulationsverfahren).Fall II: = 1(i) Ableitung s der scale function:s(x) = exp8<:�2 xZc �(u)�2(u)du9=; ; wobeix; c 2 I = IR+; c beliebig, aber fest39

= exp8<:� 2�2 xZc � + �uu2 du9=;= exp��2��2� exp� 2�x�2� x�2�=�2 f�ur c := 1 2 I:(ii) Speed density:m(x) = 2�2(x)s(x)= 1x2�2 exp�2��2� exp�� 2�x�2� x2�=�2 :(iii) Gesamtmasse:jmj = 1Z0 m(u)du= 1Z0 1u2�2 exp�2��2� exp�� 2�u�2� u2�=�2du (7)< 1:Xt konvergiert also gem�a� 1.16 in Verbindung mit 1.17 f�ur t!1 gegen eine stati-on�are Verteilung mit Lebesgue-Dichte (x) = m(x)jmj= exp�� 2�x�2� x(2�=�2)�21Z0 exp�� 2�u�2� u(2�=�2)�2du= x(2�=�2)�2 exp�� 2��2x��2��2�(2�=�2)�1 1Z0 v�� 2��2+1��1 e�v dv ( Transformation 2�u�2 = v )= �2��2��(2�=�2)+1 ����2��2 + 1���1 x(2�=�2)�2 exp�� 2��2x� ; x > 0:Somit ist die station�are Verteilung im verallgemeinerten CIR-Modell eine inverseGammaverteilung , d.h.: ist die Dichte einer Zufallsvariablen Z, f�ur die gilt:Z�1 d= ��2��2 ;�2��2 + 1� :

40

Zeitpunkte

Wert

0 5000 10000 15000 20000 25000

24

68

Abbildung 3.5: Beispiel f�ur einen Pfad eines Prozesses im verallgemeinerten CIR-Modell (� =�1; � = 3; � = 0:5; = 1; x0 = 2; T = 25;�s = 0:001 mit Taylor-1.5-Simulationsverfahren).

Zeitpunkte

Wert

0 5000 10000 15000 20000 25000

24

68

10

Abbildung 3.6: Beispiel f�ur einen Pfad eines Prozesses im verallgemeinerten CIR-Modell (� =�1; � = 3; � = 0:5; = 1:25; x0 = 2; T = 25;�s = 0:001 mit Taylor-1.5-Simulationsverfahren).

Zeitpunkte

Wert

0 5000 10000 15000 20000 25000

510

1520

Abbildung 3.7: Beispiel f�ur einen Pfad eines Prozesses im verallgemeinerten CIR-Modell (� =�1; � = 3; � = 0:5; = 1:5; x0 = 2; T = 25;�s = 0:001 mit Taylor-1.5-Simulationsverfahren).41

Da wir uns in dieser Diplomarbeit prim�ar der Untersuchung des �nanzwirtschaftlichenE�ekts der Mean-Reversion widmen, werden wir nur solche Prozesse des verallgemei-nerten CIR-Modells betrachten, die auch Mean-Reverting-Prozesse nach De�nition3.2 sind. Dies ist sinnvoll, da z.B. der f�ur 2 (12 ; 1] bei � � 0 sich ergebende Pro-ze� im Erwartungswert gegen 1 konvergiert, siehe Satz 3.3. Damit w�are ein solcherProze� zur Modellierung von Kurs- oder Renditewerten im Rentenmarkt nat�urlichungeeignet.Wir beschr�anken uns daher im folgenden beim verallgemeinerten CIR-Modell auf� 2 IR�, wobei � und � die f�ur entsprechende Bedingung aus (7) erf�ullen m�ussen.Insbesondere ist es in dem Computerprogramm zur Diplomarbeit nur m�oglich, einenPfad im verallgemeinerten CIR-Modell zu simulieren, wenn der Proze� auch einMean-Reverting-Proze� im Sinne von 3.2 ist. In der nachfolgenden Tabelle sind des-halb auch beim verallgemeinerten CIR-Modell nur die F�alle aufgef�uhrt, bei denen einstation�arer Mean-Reverting-Proze� vorliegt.

42

Tabelle 3.1: Zusammenstellung der Mean-Reverting-Prozesse aus Kapitel 3.Beschreibende SDE Parameterspezi�kation Station�are VerteilungMean-Reverting-Proze�dXt = �(Xt)dt+ �(Xt)dBtf�ur t � 0; X0 = x0 2 I�(x) = � + �x 8x 2 I � 2 IR�; � 2 IR siehe 1.16, 1.17�(x) > 0 8x 2 I Ornstein-Uhlenbeck-Proze�dXt = �(Xt)dt+ �(Xt)dBtf�ur t � 0; X0 = x0 2 IR�(x) = �x 8x 2 I = IR � 2 IR� N �0;��22���(x) � � � 2 IR+Vasicek-ModelldXt = �(Xt)dt+ �(Xt)dBtf�ur t � 0; X0 = x0 2 IR�(x) = � + �x 8x 2 I = IR � 2 IR�; � 2 IR N ����;��22���(x) � � � 2 IR+Cox-Ingersoll-Ross-Modell (CIR)dXt = �(Xt)dt+ �(Xt)dBtf�ur t � 0; X0 = x0 2 IR+�(x) = � + �x 8x 2 I = IR+ � 2 IR�; � 2 IR+ ���2��2 ; 2��2 ��(x) = �px 8x 2 IR+ � 2 IR+; 2� � �2Verallgemeinertes CIR-ModelldXt = �(Xt)dt+ �(Xt)dBt Station�arer Mean-Rever- Im Fall =1: Verteilungf�ur t � 0; X0 = x0 2 IR+ ting Proze�, falls gelten: einer Zufallsvariablen Z,f�ur die gilt:�(x) = � + �x 8x 2 I = IR+ = 12 : 2� � �2; � < 0�(x) = � x 8x 2 IR+ 12 < < 1 : � > 0; � < 0 Z�1 d= ��2��2 ;�2��2 + 1� � 1 : � > 0; � < 0Stets: � 2 IR+43

44

Teil IIStatistische Sch�atzverfahren f�urDi�usionsprozesse

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Kapitel 4Sch�atzverfahren f�ur Volatilit�atund Drift bei Di�usionsprozessen4.1 Einf�uhrungIn Teil I, Kapitel 1 und 2, der Diplomarbeit haben wir die wahrscheinlichkeitstheo-retischen Grundlagen der Di�usionsprozesse vorgestellt. In Kapitel 3 wurden dieseKenntnisse verwendet f�ur die Besprechung derjenigen Mean-Reversion-Modelle, dief�ur die Beschreibung des E�ekts der Mean-Reversion in Rentenm�arkten von Bedeu-tung sind. Allerdings sind in Teil I bei diesen Modellen die Parameter der proze�be-schreibenden SDE stets als bekannt vorausgesetzt, was bei Datens�atzen aus der �-nanzwirtschaftlichen Praxis nicht der Fall ist. Aus diesem Grund m�ussen wir uns nunstatistischen Verfahren f�ur Di�usionsprozesse zuwenden, mit deren Hilfe wir die Para-meter von solchen Di�usionen - insbesondere von unseren Mean-Reversion-Modellenaus Kapitel 3 - sch�atzen k�onnen. Dies ist Thema von Teil II der Diplomarbeit.In Kapitel 4 geht es zun�achst um die Sch�atzung der Volatilit�atsparameter f�ur die inKapitel 3 eingef�uhrten Mean-Reverting-Prozesse und um zwei Ans�atze zur Maxi-mum-Likelihood-Sch�atzung, mit deren Hilfe die Driftparameter gesch�atzt werdenk�onnen. Zuerst werden wir die Volatilit�atssch�atzung mittels der quadratischen Varia-tion behandeln. Ein wichtiger Abschnitt in diesem Kapitel ist danach einem neuenSch�atzverfahren gewidmet, das aus dem Verfahren der quadratischen Variation ent-wickelt wurde. Dieses Verfahren erm�oglicht, bei einem Proze� des verallgemeinertenCIR-Modells die Volatilit�atsparameter � und simultan zu sch�atzen (simultane �- -Sch�atzung). Da es bisher kein Sch�atzverfahren f�ur gibt, das bei annehmbarer Com-puterrechenzeit gute Sch�atzwerte liefert, kommt der simultanen �- -Sch�atzung einegro�e Bedeutung zu. Das wichtige Ergebnis dieser Volatilit�atsuntersuchungen wirdsein, da� wir bei den Mean-Reverting-Prozessen aus Kapitel 3 die Volatilit�atspara-meter unabh�angig von der Drift bestimmen und somit im folgenden stets als bekanntansehen k�onnen.Bei der sich anschlie�enden Maximum-Likelihood-Sch�atzung werden wir zwei ver-schiedene Ans�atze kennenlernen: Die Maximum-Likelihood-Sch�atzung basierend aufkontinuierlichen Beobachtungen (untersucht an einem speziellen Di�usionsproze�)und die Maximum-Likelihood-Sch�atzung basierend auf �Ubergangsdichten. Das Sch�at-zen von �Ubergangsdichten bei Di�usionsprozessen wird dann das Thema von Kapitel5 sein. 47

4.2 Das allgemeine ModellDas allgemeine Modell eines d-dimensionalen Di�usionsprozesses sei gegeben durchdie SDEdXt = �(t;Xt; �) dt+ �(t;Xt; �) dBt; t � 0; X0 = x0 2 IRd; d 2 IN;wobei:�( � ; � ; �) : IR+0 � IRd �! IRd;�( � ; � ; �) : IR+0 � IRd �! IRd;r; r 2 IN;� 2 � � IRp; p 2 IN; � sei der zu sch�atzende Parameter;(Bt)t�0 sei eine r-dimensionale Standard-Brown'sche Bewegung:9>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>; (1)

Wir nehmen die Existenz einer eindeutigen L�osung (Xt)t�0 von (1) an. Im folgendenwird - soweit erforderlich - dieses allgemeine Modell spezialisiert.Die Volatilit�atssch�atzungF�ur die meisten der in dieser Diplomarbeit untersuchten Sch�atzverfahren der Drift-parameter ist die Kenntnis der Volatilit�at die wichtigste Voraussetzung. Ausgehendvon einem bekannten Resultat der stochastischen Analysis werden wir im folgendenf�ur die in Kapitel 3 betrachteten Mean-Reverting-Prozesse die Sch�atzer f�ur die Vola-tilit�atskonstante � explizit angeben, was in der Literatur bisher f�ur Mean-Reverting-Prozesse noch nicht gemacht wurde. Diese Sch�atzer sind auch im Computerprogrammzur Diplomarbeit implementiert. In Teil III der Diplomarbeit werden diese Sch�atzerdann genau getestet an simulierten und �nanzwirtschaftlichen Datens�atzen.Wir m�ussen f�ur die folgenden Untersuchungen die Drift und Volatilit�at aus Modell(1) spezi�zieren. Wir gehen davon aus, da� Drift und Volatilit�at zeitunabh�angig sind,und da� ein eindimensionales Modell vorliegt.4.3 Sch�atzer f�ur die Volatilit�atskonstante �Wir spezi�zieren den Proze� (Xt)t�0 aus (1) f�ur den eindimensionalen Fall, d.h., wirw�ahlen in (1) d = r = 1, und nehmen an, da� der Di�usionsproze� zeithomogen ist.[0; T ] sei der Beobachtungszeitraum des Prozesses. Somit wird der als L�osung derSDE dXt = �(Xt; �) dt + �(Xt; �) dBt; t � 0; X0 = x0; (2)gegebene Di�usionsproze� (Xt)t�0 im Zeitintervall [0; T ] betrachtet. Zu jedem derBeobachtungszeitpunkte 0;�; 2�, : : : ; n� = T; � := Tn ; werden Beobachtungen desProzesses (Xt)t�0 gemacht. Nach Protter [21], Seite 59, Theorem 22, gilt:nXk=1 �Xk� �X(k�1)��2 P�������!n!1 TZ0 �2(Xs; �) ds: (3)48

Hierbei ist das Integral gleich der quadratischen Variation von (Xs)0�s�T , siehe Prot-ter [21], Seite 58. Mit der Trapezregel f�ur die numerische Quadratur erh�alt man:TZ0 �2(Xs; �) ds = �2 nXk=1n�2(Xk�; �) + �2(X(k�1)�; �)o + Rn(�): (4)Dabei sei Rn(�) das Restglied bei der Trapezregel. F�ur dieses gilt:jRn(�)j � �312 nXk=1 max�2[(k�1)�;k�]f�00(�; �)g :Beachte: Nach der Theorie der numerischen Quadratur mu� f�ur die Absch�atzungdes Restglieds der Trapezregel die Volatilit�at eine C2-Funktion sein, was bei allenin Kapitel 3 eingef�uhrten Mean-Reversion-Modellen der Fall ist. Wir werden unsdaher speziell mit diesen Mean-Reverting-Prozessen befassen, die Spezialf�alle derSDE (2) darstellen. F�ur diese Modelle lautet mit den Bezeichnungen aus Kapitel 3die Volatilit�at:�(x; �) = � x ; � 2 IR+; x 2 I = Zustandsraum des Prozesses:Dabei ist = 0 im Vasicek-Modell (insbesondere f�ur einen Ornstein-Uhlenbeck-Proze�), = 12 beim CIR-Modell und 2 [12 ;1) im Falle eines verallgemeinertenCIR-Modells. Der Parameter mu� f�ur die folgenden Sch�atzer stets bekannt sein. Da-mit ist � = (�; �) beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze� und � = (�; �; �) beim Vasicek-,CIR- und verallgemeinerten CIR-Modell, Bezeichnungen aus Kapitel 3. Nach (3) und(4) ergeben sich als Sch�atzer der Volatilit�atskonstanten � unter Vernachl�assigung desRestglied Rn die folgenden Formeln der quadratischen Variation:(i) Ornstein-Uhlenbeck-Proze� und Vasicek-Modell:� = vuut 1T nXk=1 �Xk� � X(k�1)��2: (5)(ii) CIR und verallgemeinertes CIR-Modell:� = vuuuuuuut nXk=1 �Xk� � X(k�1)��2�2 nXk=1�X2 k� + X2 (k�1)�� : (6)Der Nachteil der �-Sch�atzformel in (6) f�ur das verallgemeinerte CIR-Modell ist, da�der Parameter 2 [12 ;1) bei der Sch�atzung von � bekannt sein mu�. Ein auf dieserFormel basierendes neues Sch�atzverfahren erlaubt, auch den Parameter aus einemeinzigen Datensatz zusammen mit � zu sch�atzen. Dies ist insbesondere deshalb wich-tig, da es bisher f�ur die -Sch�atzung kein Sch�atzverfahren gibt, das bei akzeptablerComputerrechenzeit gute Sch�atzwerte f�ur liefert.49

4.4 Die simultane �- -Sch�atzungWir betrachten auf dem Zeitintervall [0; T ] den Mean-Reverting-Proze� (Xt)t�0 desverallgemeinerten CIR-Modells mit Parameter 2 [12 ;1), wobei jetzt unbekanntsei. Die beschreibende SDE lautet (vgl. Tabelle 3.1):dXt = (� + �Xt) dt + �X t dBt; t � 0; X0 = x0;wobei � 2 IR� und � 2 IR+ die beiden Driftparameter sind und � 2 IR+ sowie 2 [12 ;1) die beiden Parameter in der Volatilit�at. Damit ist hier � = (�; �; �; ).Die in (6) entwickelte Formel der quadratischen Variation zur Bestimmung von �kann damit hier nicht verwendet werden, da eine unbekannte Gr�o�e ist. Um diesesProblem zu l�osen und � und gleichzeitig zu sch�atzen, teilen wir den Proze� (Xt)t�0auf [0; T ] in zwei Teilprozesse auf, die durch die gleiche SDE beschrieben werden.Dies ist genau dann m�oglich, falls ein t1 2 (0; T ) existiert mit Xt1 = x0. Aufgrundder Markoveigenschaft eines Di�usionsprozesses sind dann die durchdXt = (� + �Xt) dt + �X t dBt; 0 � t < t1; X0 = x0; unddXt = (� + �Xt) dt + �X t dBt; t1 � t � T; Xt1 = x0;gegebenen beiden Teilprozesse voneinander unabh�angig (unabh�angige Kopien) undwerden durch die gleiche SDE beschrieben.F�ur die praktische Durchf�uhrung dieser Zerlegung im Computerprogramm wird derBeobachtungszeitraum [0; T ] des Ausgangsprozesses diskretisiert durch 0 < � <2� < : : : < T; � := Tn ; wobei n+1 die Anzahl der �aquidistanten Beobachtungen desProzesses sei. Die Existenz eines t1 2 (0; T ) mit Xt1 = x0 bedeutet im diskretisiertenFall die Existenz eines k1 2 f2; 3; : : : ; n� 1g mit Xk1� = x0.Da nach Kapitel 3 der Proze� (Xt)t�0 rekurrent ist, gilt:P (9 t1 > 0 : Xt1 = x0) = 1: (7)(7) gilt aber nicht mehr f�ur den auf [0; T ] eingeschr�ankten Proze� (Xt)0�t�T , ebensonicht f�ur die diskreten Beobachtungen. In der Praxis ist deshalb eine Toleranzgr�o�e� einzuf�uhren und ein k1 2 f2; 3; : : : ; n� 1g zu �nden mitXk1� 2 (x0 � �; x0 + �):Das � wurde in den entsprechenden Beispielen aus Kapitel 8 als 1100 gew�ahlt. Um zugew�ahrleisten, da� die beiden Zeitreihen fX0;X�; : : : ;X(k1�1)�g und fXk1�; : : : ;XT gnicht \extrem verschieden lang\ sind, wurden in dem Programm zur Diplomarbeitnur Pfade betrachtet, bei denen eine Zerlegung des Ausgangsdatensatzes in zwei nicht\extrem verschieden lange\ Teildatens�atzen m�oglich war. Genauer: Ausgehend vonden diskretisierten Daten fX0;X�; : : : ;XT g werden ein k0 und ein k1 gesucht mit(i) : Xk1� 2 (Xk0� � �;Xk0� + �);(ii) : k0 2 �0; 1; : : : ; �n6 � ;(iii) : k1 2 ��n2 � ; �n2 �+ 1; : : : ; �23 n� :[�] sei hierbei die Gau�-Klammer. Die Verallgemeinerung, da� k0 nicht notwendig 0sein mu�, erh�oht die Chance, eine Datensatzzerlegung durchf�uhren zu k�onnen. Klar50

ist, da� nicht bei jedem Datensatz eine solche Zerlegung m�oglich ist, aber die Zerle-gungschancen mit der Datensatzl�ange steigen. Bei den Simulationen wurde deshalbn � 5000 gew�ahlt. F�ur n = 5000 etwa hat das nach (ii) und (iii) zur Folge, da� jederTeildatensatz zwischen 1667 und 3333 Daten enth�alt.F�ur jeden der beiden Teildatens�atze erhalten wir nun die Formel (6) f�ur die Volati-lit�atskonstante �, allerdings mit jeweils verschiedenen Summationsgrenzen:� = vuut k1�1Xk=k0+1 �Xk� � X(k�1)��2 , �2 k1�1Xk=k0+1�X2 k� + X2 (k�1)��!; (8)� = vuut nXk=k1+1 �Xk� � X(k�1)��2 , �2 nXk=k1+1�X2 k� + X2 (k�1)��!: (9)Somit haben wir aus einem einzigen Datensatz zwei Gleichungen erhalten, die diebeiden unbekannten Parameter � (als �) und enthalten. Eine explizite Au �osungnach � und ist nicht m�oglich, so da� ein iteratives Verfahren zur simultanen L�osungvon (8) und (9) verwendet werden mu�.Wir k�onnen also bei unseren Mean-Reversion-Modellen aus Kapitel 3 stets die Vo-latilit�atskonstante � und den Volatilit�atsparameter (beim verallgemeinerten CIR-Modell) unabh�angig von den Driftparametern sch�atzen und somit im folgenden alsbekannt voraussetzen. Somit bleibt nur noch die Sch�atzung der Driftparameter zuuntersuchen. Hierzu sollen zwei Ans�atze vorgestellt werden, wobei beide auf der Ideedes Maximum-Likelihood-Sch�atzers beruhen.Maximum-Likelihood-Sch�atzer basierendauf dem kontinuierlichen AnsatzWir gehen im folgenden davon aus, da� eindimensionale kontinuierliche Beobachtun-gen �uber den Beobachtungszeitraum [0; T ] hinweg vorliegen. Es ist nicht m�oglich,den Maximum-Likelihood-Sch�atzer f�ur ein durch (1) gegebenes allgemeines Modellim eindimensionalen Fall zu bestimmen. Daher m�ussen wir auch hier (1) spezialisie-ren. Insbesondere wird der Drift-Term als zeitunabh�angig und linear in � vorausge-setzt und die Volatilit�at als konstant angenommen. Damit l�a�t sich die nachfolgendeTheorie f�ur kontinuierliche Beobachtungen bei unseren Mean-Reversion-Modellen ausKapitel 3 nur f�ur einen Ornstein-Uhlenbeck-Proze� anwenden. Mit MLS werde derMaximum-Likelihood-Sch�atzer abgek�urzt.51

4.5 Der MLS f�ur die Drift bei kontinuierlichen BeobachtungenWir spezi�zieren das allgemeine Modell (1) durch d := 1; r := 1 und p := 1, d.h.,alle betrachteten stochastischen Prozesse sind eindimensional, und der gesuchte Para-meter � ist reell. Zus�atzlich machen wir noch folgende Annahmen:�(t; x; �) = � 2 IR+ 8 t � 0; 8x 2 I; 8 � 2 �; (10)�(t; x; �) = � a(x) 8 t � 0; 8x 2 I; 8 � 2 �: (11)Dabei sei a eine bekannte, reellwertige Funktion. Wir besch�aftigen uns also mit fol-gendem Modell:dXt = �a(Xt) dt + � dBt; t � 0; X0 = x0 2 IR: (12)Durch Anwendung der Ito-Formel 2.10 auf Yt := g(Xt); t � 0; mit g(x) := x� ; x 2 IR,erhalten wir den Proze� (Yt)t�0, der folgende SDE erf�ullt:dYt = �aY (Yt) dt + dBt; t � 0; Y0 = x0� ; wobeiaY (y) := a(�y)� : 9>=>; (13)Sei (;F ; P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, auf dem der Proze� Y = (Yt)t�0 und eineStandard-Brown'sche Bewegung B = (Bt)t�0 de�niert seien. Mit PY bzw. PB sei dieVerteilung des Prozesses Y bzw. B bezeichnet. Nach Liptser [14], Theorem 7.19, giltdann f�ur den Beobachtungszeitraum [0; T ] des Prozesses:dPYdPB (Y; �; T ) = exp8<:� TZ0 aY (Yt) dYt � 12 �2 TZ0 a2Y (Yt) dt9=; ; � 2 �: (14)Die Radon-Nikodym-Dichte dPYdPB (Y; �; T ) wird mit LT (�) abgek�urzt und ist die Likeli-hood-Funktion zum Proze� Y (auch Likelihood-Proze�, Likelihood-Ratio oder Likeli-hood-Quotient genannt). Die Log-Likelihood-Funktion lT (�) := expfLT (�)g; � 2 �,lautet dann: lT (�) = � TZ0 aY (Yt) dYt � 12 �2 TZ0 a2Y (Yt) dt (15)(12);(13)= � TZ0 a(Xt)�2 dXt � 12 �2 TZ0 a2(Xt)�2 dt : (16)O�ensichtlich ist die Log-Likelihood-Funktion eine stetige, nach unten ge�o�nete Pa-rabel, so da� das Maximum von lT auf � existiert und eindeutig ist. Der MLS � aufder Grundlage kontinuierlicher Beobachtungen ist dann gegeben durch:52

lT (�) = max flT (�)j� 2 �g() 0 = dd� �lT (�)�(15)bzw.(16)() � = TZ0 aY (Yt) dYtTZ0 a2Y (Yt) dt = TZ0 a(Xt) dXtTZ0 a2(Xt) dt : (17)Wie schon oben erw�ahnt, ist der einzige Proze� aus Kapitel 3, der sich mit der SDE(12) beschreiben l�a�t, der Ornstein-Uhlenbeck-Proze�, da bei allen anderen Modellendie Drift nicht linear in � ist. Aus diesem Grund werden wir uns im folgenden speziellmit diesem Proze� besch�aftigen.4.6 Satz (Eigenschaften des MLS beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze�)In (12) w�ahlen wir a(x) = x f�ur alle x 2 IR sowie � = �, d.h.: Wir betrachten einenOrnstein-Uhlenbeck-Proze�, der L�osung der SDEdXt = �Xt dt + � dBt; t � 0; X0 = x0 2 IR;ist, wobei � 2 IR+ bekannt sei und � 2 IR� der gesuchte Parameter ist. Der Beob-achtungszeitraum sei [0; T ]. Dann ist der in 4.5 hergeleitete MLS � = �(T ) schwachkonsistent f�ur T !1.Beweis: Nach 2.18 lautet die explizite Darstellung eines Ornstein-Uhlenbeck-Pro-zesses: Xt = x0 e�t + � e�t tZ0 e��s dBs; t � 0:Daher folgt f�ur t � 0:E(X2t ) = E0B@x20e2�t + 2x0e2�t� tZ0 e��sdBs + �2e2�t0@ tZ0 e��sdBs1A21CA= x20e2�t + 2x0e2�t� E0@ tZ0 e��s dBs1A| {z }2:4(ii)(c)= 0 +�2e2�tE0B@24 tZ0 e��sdBs3521CA

= x20e2�t + �2e2�tE0@ tZ0 e�2�sds1A (Ito-Isometrie)= x20e2�t � �22� (1� e2�t): (18)53

Damit:E0@ TZ0 X2t dt1A = TZ0 E(X2t ) dt (Satz von Fubini, denn X2t � 0; t 2 [0; T ])(18)= TZ0 �x20e2�t � �22� (1� e2�t)� dt= x202� (e2�T � 1) � �22� T + �24�2 (e2�T � 1): (19)Dieses ergibt mit der Jensen'schen Ungleichung f�ur konkave Funktionen:E0@ 1T ����� TZ0 Xt dBt�����1A � 24E0@ 1T 2 ����� TZ0 Xt dBt�����21A35 12= 1T 24E0@����� TZ0 Xt dBt�����21A35 12= 1T 24E0@ TZ0 X2t dt1A35 12 (Ito-Isometrie)(19)= 1T � x02� (e2�T � 1)� �22� T + �24�2 (e2�T � 1)� 12| {z }�������!T !1 0; da � < 0:Also: E0@ 1T ����� TZ0 Xt dBt�����1A �������!T !1 0=) 1T TZ0 Xt dBt f:s:�������!T !1 0 : (20)Nach Kapitel 3 ist der Ornstein-Uhlenbeck-Proze� rekurrent, so da� mit Kloe-den & Platen [13], Seite 154, gilt:1T TZ0 X2t dt P�������!T !1 1Z�1 t2 (t) dt > 0; (21)wobei die station�are Dichte des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses (siehe 1.20(ii))ist. Also folgt f�ur den MLS � = �(T ) aus (17) beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze�(d.h. a(x) = x 8x 2 IR und � = � 2 IR� ) mit (20) und (21):54

�(T ) (17)= TZ0 Xt dXt, TZ0 X2t dt (12)= �0 + � TZ0 Xt dBt, TZ0 X2t dtP�������!T !1 �0; wobei �0 der wahre, unbekannte Wert von � sei: 2Beachte: Man kann sogar zeigen (siehe Kloeden & Platen [13], Seite 243):Bei einem Ornstein-Uhlenbeck-Proze� ist �(T ) asymptotisch normal f�ur T !1 mitErwartungswert 0 und Varianz0@ 1Z�1 t2 (t) dt1A�1 1:20(ii)= �2�0�20 ;wobei �0 der wahre, unbekannte Wert von � sei.Nachdem wir die theoretischen Eigenschaften des MLS beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze� n�aher untersucht haben, m�ussen wir angeben, wie im Programm zur Di-plomarbeit dieser Sch�atzer numerisch berechnet wird. Dies ist Thema des folgendenAbschnitts.4.7 Berechnung des kontinuierl. MLS beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze�Wir betrachten in diesem Abschnitt erneut das Modell eines Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses aus 4.6. Wir k�onnen die Volatilit�atskonstante � gem�a� des Abschnitts �uberdie Volatilit�atssch�atzung als bekannt voraussetzen. Es sollen nun zwei Verfahren an-gegeben werden, wie in der Praxis der kontinuierliche MLS f�ur den Driftparameter� eines Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses ermittelt wird. Insbesondere sind die folgen-den Formeln in dem Computerprogramm zu dieser Diplomarbeit implementiert. In(17) hatten wir (jetzt speziell mit a(x) = x; x 2 IR und � = � f�ur einen Ornstein-Uhlenbeck-Proze�) gezeigt: � = TZ0 Xt dXt, TZ0 X2t dt (22)= TZ0 Yt dYt, TZ0 Y 2t dt: (23)Dabei ist Y = (Yt)t�0 der Ornstein-Uhlenbeck-Proze� aus (13), der die Volatilit�ats-konstante 1 besitzt. Sei f0;�; : : : ; Tg;� := Tn ; eine �aquidistante Partition von [0; T ].55

(i) Approximation der Integrale durch Summen:Hier wird jedes Integral aus (22) diskretisiert bzgl. obiger Partition und dieIntegrale somit in Summen umgewandelt. Wir approximieren damit � durch�d := nXi=1 X(i�1)� (Xi� �X(i�1)�), � nXi=1 X2(i�1)�! ; (24)wobei n+ 1 die Anzahl der Beobachtungen in [0; T ] ist. Der Buchstabe d zeigtdabei an, da� eine Diskretisierung vorgenommen wurde zur Approximation deskontinuierlichen Sch�atzers (kurz: Diskretisierter MLS).(ii) Verwendung der Ito-Formel:Wir betrachten zuerst den in 4.5 behandelten Proze� (Yt)t�0 mit Volatilit�at 1.Wende hierauf die Ito-Formel 2.10 mit g(y) := y2 im Zeitintervall [u; v] � [0; T ]an. Es ergibt sich: dY 2t = 2Yt dYt + (dYt)2; t � 0:Integration von dY 2t �uber [u; v] liefert dann mit (13) unter Beachtung der Re-chenregeln dt dt = dt dBt = dBt dt = 0 und (dBt)2 = dt:vZu Yt dYt = 12 �Y 2v � Y 2u � (u� v) : (25)Hierbei wird ausgenutzt, da� der Proze� (Yt)t�0 die Volatilit�at 1 hat. UnterVerwendung der Trapezregel der numerischen Quadratur erhalten wir bei Ver-nachl�assigung des Restglieds:vZu Y 2t dt � 12 �Y 2v + Y 2u � (u� v): (26)Insgesamt ergibt sich somit:� (23)= TZ0 Yt dYtTZ0 Y 2t dt = nXi=1 i�Z(i�1)� Yt dYtnXi=1 i�Z(i�1)� Y 2t dt(25);(26)� Y 2T � Y 20 � T� nXi=1 �Y 2i� + Y 2(i�1)�� = X2T � X20 � T�2� nXi=1 �X2i� +X2(i�1)�� =: �g:Das letzte Gleichheitszeichen ergibt sich dabei aus der De�nition von Yt in4.5. Mit dem Index g beim Sch�atzer �g sei angedeutet, da� im Z�ahler desSch�atzers keine Diskretisierung vorgenommen wurde wie in (i), sondern derNenner mittels Ito-Formel exakt berechnet ist (kurz: Genauer MLS).56

Maximum-Likelihood-Sch�atzer basierendauf �UbergangsdichtenWir gehen jetzt davon aus, da� wir nicht kontinuierliche Beobachtungen zur Verf�ugunghaben, sondern nur zu diskreten Zeitpunkten 0 = t0 < t1 < : : : < tn = T; n 2 IN;des Beobachtungszeitraums [0; T ] auch tats�achlich Beobachtungen vorliegen. DieseBeobachtungszeitpunkte m�ussen nicht notwendigerweise �aquidistant sein. Das denBeobachtungen zugrundeliegende Modell ist (1), wir berechnen aber jetzt den MLSf�ur einen allgemeinen d-dimensionalen Di�usionsproze� f�ur n+ 1 diskrete Beobach-tungen. F�ur alle folgenden Untersuchungen werden wir die in 1.15 eingef�uhrte �Uber-gangsdichte p von Xs nach Xt; s < t; ben�otigen, die wir zuerst noch verallgemeinernm�ussen: In Kapitel 1 haben wir nur zeithomogene Di�usionsprozesse betrachtet (sie-he 1.8(ii)). Ebenso waren alle Mean-Reverting-Prozesse in Kapitel 3 zeithomogen.Da das auf �Ubergangsdichten basierende Maximum-Likelihood-Sch�atzverfahren al-lerdings auch f�ur Di�usionsprozesse (Xt)t�0 geeignet ist, die nicht zeithomogen sind,m�ussen wir die allgemeine �Ubergangsdichte p de�nieren alsp(s; x; t; y) := @@y P (Xt � yjXs = x); (27)wobei 0 � s < t gelten und x sowie y aus dem Zustandsraum des Di�usionsprozessesseien. Dies ergibt keine Verwechslung mit der in 1.15 de�nierten �Ubergangsdichte p,die dort nur von drei Parametern abh�angt, denn De�nition (27) ist im zeithomogenenFall gerade das p aus 1.15:p(s; x; t; y) (27)= @@y P (Xt � yjXs = x)= @@y P (Xt�s � yjX0 = x) (Zeithomogenit�at des Prozesses)= p(t � s; x; y) (aus 1.15):Im folgenden schreiben wir stets allgemein p(s; x; t; y) f�ur die �Ubergangsdichte undbeachten, da� dies bei zeithomogenen Di�usionsprozessen gerade p(t�s; x; y) aus Ka-pitel 1 ist. Da im Gegensatz zu Kapitel 1 ein unbekannter, zu sch�atzender Parameter� die Dichte p bestimmt, schreiben wir zus�atzlich den Parameter � als Argument.Nach Billingsley [3], Seite 4, gilt:Likelihood-Funktion: Ln(�) = nYi=1 p(ti�1; xti�1 ; ti; xti ; �): (28)Log-Likelihood-Funktion: ln(�) = nXi=1 log(p(ti�1; xti�1 ; ti; xti ; �)): (29)Hierbei sind die xti die Realisierungen der Zufallsvariablen Xti ; i = 0; : : : ; n. Gesuchtist dann dasjenige � 2 �, das (28) bzw. �aquivalent (29) bei gegebenen xti ; i = 0; : : : ; n;57

maximiert. Zwei m�ogliche F�alle sind nun zu unterscheiden:1. Fall: Die �Ubergangsdichten von (Xt)t�0 sind bekannt.2. Fall: Die �Ubergangsdichten von (Xt)t�0 sind nicht bekannt.1. Fall: �Ubergangsdichten sind bekannt:Es ist nur m�oglich, �Ubergangsdichten f�ur Gau�'sche Prozesse und wenige spezielleNicht-Gau�'sche Prozesse auszurechnen. F�ur die in dieser Diplomarbeit betrachtetenMean-Reverting-Prozesse ist nur beim Vasicek-Modell, insbesondere also f�ur einenOrnstein-Uhlenbeck-Proze�, das p explizit bekannt, sowie f�ur das Cox-Ingersoll-Ross-Modell. Beim verallgemeinerten Cox-Ingersoll-Ross-Modell mit > 12 k�onnen wir pnicht angeben. Aber auch schon beim CIR-Modell ist die �Ubergangsdichte sehr kom-pliziert, siehe Cox, Ingersoll & Ross [6], Seite 391: Um die �Ubergangsdichte im Com-puterprogramm zu erhalten, w�are die numerische Berechnung von Bessel-Funktionenn�otig. Wir werden dies im Programm zur Diplomarbeit aber nicht machen, sondernstattdessen ein alternatives Verfahren zur Approximation der �Ubergangsdichten ver-wenden (Verfahren der Di�usionsapproximation, siehe Kapitel 5). An dieser Stel-le wollen wir nur den MLS bei einem Ornstein-Uhlenbeck-Proze� ausrechnen. DerMLS des allgemeineren Vasicek-Modells kann erst berechnet werden, wenn dessen�Ubergangsdichte bekannt ist. Die Berechnung dieser Dichte werden wir in Kapitel 5durchf�uhren, da die hierbei auftretenden Gr�o�en Elemente der umfassenderen Theo-rie des Kalman-Bucy-Filters sind.4.8 MLS eines Ornstein-Uhlenbeck-ProzessesNach 1.20(ii) lautet die �Ubergangsdichte eines Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses unterBeachtung der Zeithomogenit�at des Prozesses:p(ti�1; xti�1 ; ti; xti ;�) = p(ti � ti�1; xti�1 ; xti ;�)= ���2� �e2�(ti�ti�1) � 1���1=2 � exp8><>:�� �xti � xti�1e�(ti�ti�1)�2�2 �e2�(ti�ti�1) � 1� 9>=>; :Mit �aquidistanten Beobachtungszeitpunkten ti = i�; i = 0; : : : ; n; erh�alt man hierausgem�a� (28):Ln(�) = nYi=1 p((i� 1)�; x(i�1)�; i�; xi�;�)= ���2� �e2�� � 1���n=2 exp(� ��2(e2�� � 1) nXi=1 �xi� � x(i�1)�e���2) :Der Ansatz 0 != @@�Ln(�) ist dann aber nicht mehr explizit nach � au �osbar, so da�man Iterationsverfahren verwenden mu�.58

4.9 BemerkungNach Billingsley [3], Theorem 2.1 und 2.2, ist der sich aus (28) bzw. (29) ergebendeMLS � = �(n) konsistent und asymptotisch normal f�ur n!1.2. Fall: �Ubergangsdichten sind nicht bekannt:F�ur die meisten Nicht-Gau�'schen Prozesse wie das verallgemeinerte CIR-Modell mit > 12 kann eine geschlossene Darstellung der �Ubergangsdichte p nicht gegeben wer-den. Wir sind daher auf Approximationsverfahren zur Berechnung der �Ubergangs-dichte angewiesen, wobei zwei Ans�atze im n�achsten Kapitel n�aher untersucht werdensollen:(i) Di�usionsapproximationApproximation des Di�usionsprozesses (Xt)t�0 durch eine Folge von Markov-Prozessen, deren �Ubergangsdichten bekannt sind. Die �Ubergangsdichten desMarkov-Prozesses k�onnen dann als Approximation f�ur die gesuchten �Uber-gangsdichten des Di�usionsprozesses verwendet werden.(ii) Kalman-Bucy-FilterDie Theorie des Kalman-Bucy-Filters liefert die M�oglichkeit, �Ubergangsdich-ten mit Hilfe eines Algorithmus iterativ zu berechnen. Dabei ergeben sich die�Ubergangsdichten als ein Nebenprodukt dieser Iteration.In Kapitel 6 werden wir schlie�lich die Martingalsch�atzfunktionen anstelle der Likeli-hood-Funktion betrachten und so das Problem der unbekannten �Ubergangsdichtenumgehen.

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Kapitel 5Approximationsverfahren f�ur�Ubergangsdichten5.1 Einf�uhrungWir werden in diesem Kapitel die am Ende von Kapitel 4 vorgestellten Approxi-mationsm�oglichkeiten von �Ubergangsdichten untersuchen. Dabei geht es prim�ar umdie Entwicklung von Algorithmen, die in einem Computerprogramm umgesetzt wer-den k�onnen. Die Beweise der hierzu ben�otigten S�atze wurden zwar durchgearbeitet,k�onnen aber aus Platzgr�unden in die Diplomarbeit nicht mehr aufgenommen werden.Die beiden hier vorgestellten Approximationsm�oglichkeiten sind die Approximationdes Di�usionsprozesses durch eine Folge von Markovprozessen mit bekannten �Uber-gangsdichten (Di�usionsapproximation) und das Prinzip des Kalman-Bucy-Filters.Bei letzterem werden Gr�o�en auftreten, die zur expliziten Berechnung der �Uber-gangsdichten im Vasicek-Modell verwendet werden k�onnen. Dies wird dann am Endedieses Kapitels n�aher untersucht.Die Analyse der Ergebnisse dieser und anderer Sch�atzverfahren wird dann Gegen-stand von Teil III der Diplomarbeit sein. Soweit nicht speziell erw�ahnt, verwendenwir die gleichen Bezeichnungen wie im vorhergehenden Kapitel.Di�usionsapproximationSei 0 = t0 < t1 < : : : < tn = T eine Diskretisierung des Beobachtungszeitraumes[0; T ] eines Di�usionsprozesses (Xt)t�0. Die �Ubergangsdichte des Di�usionsprozessessei unbekannt. Ziel ist die Bestimmung einer approximierenden Folge von Markov-Prozessen mit bekannten �Ubergangsdichten (pN (s; x; t; y; �))1N=1, N = Nummer desFolgengliedes der Approximationsfolge, so da� gilt:Falls ln;N (�) := nXi=1 log(pN (ti�1; xti�1 ; ti; xti ; �)); � 2 �; (1)die zu dem N -ten Markovproze� geh�orige (bekannte) Log-Likelihood-Funktion ist61

und ln(�) (29);Kap:4= nXi=1 log(p(ti�1; xti�1 ; ti; xti ; �); � 2 �; (2)die (unbekannte) Log-Likelihood-Funktion des Di�usionsprozesses, so giltln;N (�) P�������!n!1 ln(�); � 2 �;unter der wahren Verteilung P�0 des Di�usionsprozesses. Mit xti sei wie im vorherigenKapitel die Realisierung der ZufallsvariablenXti bezeichnet, d.h. die Realisierung derBeobachtung des Prozesses zum Zeitpunkt ti; i = 0; : : : ; n.Die folgenden Darstellungen basieren auf den Ver�o�entlichungen von Pedersen [19]und [20].Ansatz:Wir gehen von unserem allgemeinen Modell (1) in Kapitel 4 aus:dXt = �(t;Xt; �) dt+ �(t;Xt; �) dBt; t � 0; X0 = x0 2 IRd; d 2 IN;wobei:�( � ; � ; �) : IR+0 � IRd �! IRd;�( � ; � ; �) : IR+0 � IRd �! IRd;r; r 2 IN;� 2 � � IRp; p 2 IN; � sei der zu sch�atzende Parameter;(Bt)t�0 sei eine r-dimensionale Standard-Brown'sche Bewegung:9>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>; (3)

Es existiere eine schwache L�osung (Xt)t�0 von (3) f�ur alle x0 und alle � mit P�1 6� P�2f�ur �1 6= �2 (�1; �2 2 �). Nach Rogers & Williams [23], Seite 132 und 151, ist dieserf�ullt, wenn f�ur jedes � 2 � (mit j � j als euklidischem Abstand) gilt:(I) : 8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:

Lokale Lipschitz-Bedingung: F�ur alle R 2 IR+ existiert ein KR 2 IR+ mitj�(t; x; �) � �(t; y; �)j � KR jx � yj undj�(t; x; �) � �(t; y; �)j � KR jx � yjf�ur alle 0 � t � R und x; y 2 IRd mit jxj � R; jyj � R:Wachstumsbedingung: F�ur alle S 2 IR+ existiert ein CS 2 IR+ mitj�(t; x; �)j + j�(t; x; �)j � CS (1 + jxj)f�ur alle 0 � t � S und alle x 2 IRd:Zus�atzlich tre�en wir noch folgende Annahme f�ur jedes � 2 �:(II) : �(t; x; �)�(t; x; �)T ist positiv de�nit f�ur jedes t � 0 und alle x 2 IRd:Mit s � 0 und x 2 IRd wird dann unter den Annahmen (I) und (II) f�ur jedes� 2 � durch die L�osung von (3) mit der Anfangsbedingung Xs = x eine Familie62

(P�;s;x)s�0;x2IRd von Wahrscheinlichkeitsma�en (=Verteilungen der L�osungsprozesse)induziert. F�ur jedes dieser Wahrscheinlichkeitsma�e gilt nach Pedersen [20], Seite 260:P�;s;x(Xt 2 A) = P�(Xt 2 A jXs = x); 0 � s < t; x 2 IRd; A 2 B(IRd); � 2 �:Um eine approximierende Folge von Markov-Prozessen zu erhalten, wenden wir dieEuler-Approximation (vgl. Anhang B, jetzt allerdings imMehrdimensionalen) an: F�urbeliebiges, festes N 2 IN sei folgender diskreter Proze� Y (N) auf [s; t]; 0 � s < t � T ,de�niert:�k := s+ k t�sN ; k = 0; 1; : : : ; N;Y (N)�0 := x;Y (N)�k := Y (N)�k�1 + t�sN �(�k�1; Y (N)�k�1 ; �) + (�(�k�1; Y (N)�k�1 ; �)��(�k�1; Y (N)�k�1 ; �)T )1=2 (B�;s�k �B�;s�k�1); k = 1; : : : ; N:9>>>>>>=>>>>>>; (4)Dabei ist B�;s�k �B�;s�k�1 eine N(0; �k � �k�1)-verteilte Zufallsvariable.5.2 SatzMit den obigen Bezeichnungen und den Annahmen (I) und (II) gilt f�ur das in (4)de�nierte Y (N)�N : Y (N)�N = Y (N)t L1(P�;s;x)�������!N !1 Xt:Beweis: Siehe Kloeden & Platen [13], Kapitel 10.2. 2Wir werden die Prozesse Y (N) = (Y (N)�k )Nk=0; N 2 IN; als approximierende Folge f�urden Di�usionsproze� auf dem Intervall [s; t] verwenden und m�ussen uns daher nunden �Ubergangsdichten von Y (N) widmen. Hier hilft uns folgender Satz:5.3 SatzSeien 0 � s < t; x 2 IRd, und � 2 � sowie N 2 IN. Dann hat die Verteilung vonY (N) unter P�;s;x eine Dichte pN (s; x; t; � ; �) bez�uglich des d-dimensionalen Lebesgue-Ma�es �d. Genauer:(i) p1(s; x; t; y; �) = [2�(t� s)]�d=2 [det(�(s; x; �)�(s; x; �)T )]�1=2 expn� 12(t� s)�[y � x� (t� s)�(s; x; �)]T (�(s; x; �)�(s; x; �)T )�1[y � x� (t� s)�(s; x; �)]o.(ii) pN (s; x; t; y; �) = EP�;s;x �p1(�N�1; Y (N)�N�1 ; t; y; �)� f�ur N 2 INnf1g.Beweis: Siehe Pedersen [19], Theorem 1. 2Wir kommen nun zum wichtigsten Satz im Abschnitt �uber die Di�usionsapproxi-mation. Dieser liefert die theoretische Begr�undung der Anwendbarkeit der soebenhergeleiteten Formeln der �Ubergangsdichten f�ur die Approximation von �Ubergangs-dichten bei Di�usionen unter geeigneten Voraussetzungen.63

5.4 SatzWir gehen aus von dem Modell (3). Zus�atzlich zu (I) und (II) m�ogen noch f�ur jedes� 2 � gelten:(III) : � ist stetig in t und in x; t � 0; x 2 IRd.(IV ) : �(t; x; �) = �(�); t � 0; x 2 IRd.Dann existiert f�ur alle 0 � s < t; x 2 IRd und � 2 � die �Ubergangsdichte p(s; x; t; y; �)des Di�usionsprozesses (Xt)t�0, und es gilt:(i) pN (s; x; t; � ; �) L1(�d)�������!N !1 p(s; x; t; � ; �).Insbesondere erh�alt man hieraus:(ii) ln;N (�) P�������!N !1 ln(�) unter P�0 f�ur jedes � 2 � und n 2 IN beliebig, aberfest, wobei �0 der wahre, unbekannte Wert des Parameters � sei.Beweis: (i) gilt nach Pedersen [19], Theorem 2, und (ii) folgt dann aus (i) gem�a�Pedersen [19], Theorem 4. 25.5 BemerkungNach Pedersen [19], Theorem 3 und 4, gilt unter geeigneten Voraussetzungen der Satz5.4 auch dann, wenn (Xt)t�0 ein zeithomogener Di�usionsproze� (d.h. � = �(x; �)und � = �(x; �) ) ist.Unter geeigneten Annahmen an einen Di�usionsproze� haben wir bisher f�ur ein fes-tes � 2 � eine Folge (ln;N(�))N2IN iterativ ermitteln k�onnen die in Wahrscheinlich-keit gegen den gesuchten Log-Likelihood-Funktionswert ln(�) des Di�usionsprozesses(Xt)t�0 konvergiert. Diese Folge l�a�t sich bestimmen mit Hilfe von �Ubergangsdichten,die gem�a� Satz 5.3 iterativ berechenbar sind bei einer gegebenen Beobachtungsfolgedes Di�usionsprozesses. Die numerische Berechnung dieser Gr�o�en wird im folgendenbehandelt.5.6 Berechnung von Werten der Log-Likelihood-Funktion in der PraxisWir werden jetzt darstellen, wie �Ubergangsdichten und Log-Likelihood-Funktions-werte praktisch berechnet werden k�onnen. Da dies in der Diplomarbeit nur bei ein-dimensionalen Di�usionen wichtig ist, beschr�anken wir uns im folgenden auf diesenFall:Nach Satz 5.3(i) ist p1 explizit bekannt. F�ur N � 2 stellt sich aber die Aufgabe, dieDichte pN des approximierenden Markov-Prozesses zu berechnen. Dazu gehen wirfolgenderma�en vor:Nach Satz 5.3(ii) gilt f�ur N � 2:pN (s; x; t; y; �) = EP�;s;x �p1(�N�1; Y (N)�N�1 ; t; y; �)� ; � 2 �; 0 � s < t � T: (5)64

Daher werden wir die Dichte pN des N -ten Gliedes der Markov-Proze�-Folge mittelseiner Approximation des Erwartungswertes auf der linken Seite von (5) ermitteln.Unter Verwendung der Euler-Approximation (siehe Anhang B) berechnet man f�urein festes � 2 � bei einem fest vorgegebenen M 2 IN:ym0 := x; m = 1; : : : ;M;ymk := ymk�1 + t�sN �(�k�1; ymk�1; �) + �(�k�1; ymk�1; �)�bmk ; wobeik = 1; : : : ; N � 1; m = 1; : : :M: 9>>=>>; (6)Hierbei sei �bmk die Realisierung einer N(0; t�sN )-verteilten Zufallsvariablen. Wir er-halten somit M Realisierungenym := ymN�1 (6)= ym�N�1 ( da �N�1 (4)= (N � 1) t� sN )der Zufallsvariablen Y (N)�N�1 . Man kann dann den Erwartungswert in (5) approximierendurch 1M MXm=1 p1(�N�1; ym; t; y; �);d.h. nach (5): Wir haben pN (s; x; t; y; �) approximiert f�ur das fest gew�ahlte �. Machtman das sukzessive f�ur s = ti�1 und t = ti; i = 1; : : : ; n; so erh�alt man (als Approxi-mation) pN (ti�1; xti�1 ; ti; xti ; �); i = 1; : : : ; n. Nach (1) ist somit ln;N(�) bekannt undkann wegen Satz 5.4 unter geeigneten Bedingungen bei hinreichend gro�em N alsApproximation f�ur den Log-Likelihood-Funktionswert ln(�) des Di�usionsprozesses(Xt)t�0 verwendet werden.Wir haben also f�ur unser festes � 2 � eine Approximation von ln(�) ermitteln k�onnen.Macht man das mit hinreichend vielen � 2 �, so kann man dasjenige �, f�ur das ln(�)maximal wird, als MLS � verwenden.In der praktischen Anwendung des entwickelten Algorithmus werden im Beobach-tungszeitraum [0; T ] n+1 �aquidistante BeobachtungenX0;X�;X2�; : : : ;XT ;� := Tn ,vorgenommen, wobei die Realisierungen dieser Beobachtungen mit x0; x�; x2�; : : : ; xTbezeichnet seien. Der Algorithmus ergibt das Struktogramm auf der n�achsten Seitezur approximativen Bestimmung des Log-Likelihood-Wertes.Bei dem in Kapitel 3 eingef�uhrten CIR- und verallgemeinerten CIR-Modell existiertf�ur jede Anfangsbedingung x0 und f�ur jedes � 2 � eine (schwache) L�osung der be-schreibenden SDE mit Verteilung P�, wobei P�1 6� P�2 f�ur �1 6= �2 (�1; �2 2 �)erf�ullt ist. Da jeder dieser Prozesse auch die Bedingung (II) f�ur die Volatilit�at aufseinem Zustandsraum IR+ erf�ullt, k�onnen in einer analogen Argumentation zu Pe-dersen [19], Seite 68 und 57, in der Praxis die approximierenden Log-Likelihood-Funktionen ln;N (�); N 2 IN; zur Sch�atzung von � verwendet werden. Wir werden dieDi�usionsapproximation bei diesen beiden Modellen verwenden zur Bestimmung der�Ubergangsdichten, so da� dann Werte der Log-Likelihood-Funktion (29) berechnetwerden k�onnen. 65

Mit den Bezeichungen � und � als die beiden Driftparameter beim CIR- und beimverallgemeinerten CIR-Modell (siehe Kapitel 3) ist dann � = (�; �) im nachfolgen-den Struktogramm. Beachte, da� die Volatilit�atsparameter � und (Bezeichnungenaus Kapitel 3) gem�a� des Abschnitts �uber die Volatilit�atssch�atzung (Kapitel 4) alsbekannt vorausgesetzt werden k�onnen. Dies hat f�ur den Algorithmus und die Compu-terrechenzeit erhebliche Auswirkungen, da man beim verallgemeinerten CIR-Modellmit > 0:5 ansonsten ein vierdimensionales Sch�atzproblem ( � = (�; �; �; ) ) zul�osen h�atte.Im Struktogramm bezeichne Nmax die Nummer des gr�o�ten Folgenglieds der appro-ximierenden Folge von Markov-Prozessen, das betrachtet werden soll.Struktogramm f�ur die Di�usionsapproximation

s := (i� 1)� x := x(i�1)� � := Tnt := i� y := xi�N = 1 (1)Nmax

ln(�) � ln;Nmax(�)ln;N (�) = ln;N (�) + log(pN (s; x; t; y; �))

i = 1 (1)nln;N(�) := 0@@@((((((((((((((((((N = 1ja neinp1nachSatz5:3be-rech-nen pN (s; x; t; y; �) 5:3= EP�;s;x(p1(�N�1; y(N)�N�1 ; t; y; �)� 1M MPm=1 p1(�N�1; ym; t; y; �)

m = 1 (1)Mk = 1 (1)N � 1�k�1 := (k � 1)�=Nym0 := x�bmk sei eine Realisierung einerN(0; �N )-verteilten Zufallsvariablenymk = ymk�1 + t� sN �(�k�1; ymk�1; �)+ �(�k�1; ymk�1; �)�bmkym = ymN�1

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Der Kalman-Bucy FilterZiel:Approximation der �Ubergangsdichten mittels eines Kalman-Bucy-Filters.5.7 Die Formulierung des Filter-ProblemsIn unserer Darstellung folgen wir �ksendal [15], Seite 75 �.. Wir betrachten einen alsL�osung der SDE dXt = �(t;Xt) dt + �(t;Xt) dB(1)t ; t � 0; (7)gegebenen d-dimensionalen stochastischen Proze� (Xt)t�0 mit � : IR+0 � IRd �!IRd; � : IR+0 � IRd �! IRd;r; d; r 2 IN. Die Koe�zienten m�ogen von einem Parameter� 2 � � IRp; p 2 IN; abh�angen, den wir aber im folgenden nicht explizit angeben. �und � sollen die Wachstums- und die Lipschitz-Bedingung 2.8(i),(ii) erf�ullen. Fernersei (B(1)t )t�0 eine r-dimensionale Standard-Brown'sche Bewegung undX0 unabh�angigvon (B(1)t )t�0, wobei die Verteilung von X0 bekannt sei.F�ur festes t � 0 enthalte die m-dimensionale Zufallsvariable Yt (m 2 IN mit m � d)die Beobachtungen von Xt und sei L�osung der SDEdYt = �(t;Xt) dt + %(t;Xt) dB(2)t ; t � 0; Y0 = 0; (8)wobei (B(2)t )t�0 eine p-dimensionale Standard-Brown'sche Bewegung sei, die von(B(1)t )t�0 und X0 unabh�angig sein soll. Ferner gelte � : IR+0 � IRd �! IRm und% : IR+0 �IRd �! IRm;p. (Yt)t�0 ist somit der Beobachtungsproze� zum Proze� (Xt)t�0,der nicht unbedingt vollst�andig beobachtet werden kann. �Uberdies enth�alt (Yt)t�0 inder Regel \verrauschte\ Beobachtungen. Auch in (8) seien die Koe�zienten von �abh�angig, was wir nicht explizit ausweisen. Wir nehmen im folgenden an, da� dieBeobachtungen stetig seien.Filter-Problem:Zu beliebigem, festen t � 0 seien Ys; 0 � s � t, durch (8) gegeben. Gesucht ist diebeste auf diesen Beobachtungen basierende Sch�atzung Xt von Xt des wahrscheinlich-keitstheoretischen Modells (7), wozu der Begri� bester Sch�atzer zuerst zu de�nierenist.5.8 De�nition (Bester Sch�atzer f�ur das Filter-Problem)Sei (;F ; P ) der Wahrscheinlichkeitsraum bez�uglich der (r+p)-dimensionalen Brown'schen Bewegung (B(1)t ; B(2)t )t�0. F�ur t � 0 de�nieren wir Gt := �(Ys j 0 � s � t) undKt := fZ : �! IRd jZ 2 L2(; P ) und Z Gt �me�barg. Xt hei�t bester Sch�atzerf�ur das Filter-Problem, falls gelten:(i) Xt ist me�bar bez�uglich Gt, d.h.: Die Sch�atzung Xt basiert auf den Informatio-nen, die in den gemachten Beobachtungen Ys; 0 � s � t; enthalten sind.(ii) E(jXt � Xtj2) = inf �E(jXt � Zj2) jZ 2 Kt, d.h.: Xt ist optimal in Kt.67

Es stellt sich nun die Frage der Existenz und Eindeutigkeit eines Sch�atzers Xt mitden Eigenschaften (i) und (ii). Ein solcher Sch�atzer existiert in der Tat. Genauer gilt:5.9 Satz (Bester Sch�atzer f�ur das Filter-Problem)Mit obigen Bezeichnungen ergibt sich als bester Sch�atzer f�ur das Filterproblem:Xt = E(XtjGt):Beweis: Siehe �ksendal [15], Seite 77, Theorem 6.2. 2Diese bisher allgemeine Formulierung soll nun spezialisiert werden auf den Fall einereindimensionalen SDE (d=1) im engeren Sinne (siehe De�nition 2.16), die zus�atzlicheinen bestimmten Drift-Term aufweist. In diesem Fall ist eine explizite Darstellungvon Xt als L�osung einer SDE m�oglich. (Xt)t�0 bezeichnet man als Kalman-Bucy-Filter.5.10 Satz (Eindimensionaler Kalman-Bucy-Filter)Wir spezialisieren (7) und (8) f�ur den eindimensionalen Fall:dXt = ~�(t)Xt dt+ �(t) dB(1)t (wahrscheinlichkeitstheoret:Modell); (9)dYt = ~�(t)Xt dt+ %(t) dB(2)t (Beobachtungsmodell): (10)Dabei m�ogen gelten:(i) ~�; ~�; � und % reellwertig sowie beschr�ankt auf beschr�ankten Intervallen.(ii) Y0 = 0.(iii) X0 normalverteilt und unabh�angig von (B(1)t )t�0 und (B(2)t )t�0.(iv) % ist von 0 weg beschr�ankt auf beschr�ankten Intervallen, d.h.: F�ur jedes be-schr�ankte Intervall existiert ein c > 0 mit 0 < c < %(t) f�ur jedes t aus demIntervall.Im Modell (9) mit den Beobachtungen (10) l�a�t sich dann der Sch�atzer Xt aus Satz5.9 berechnen als L�osung der SDEdXt = �~�(t) � ~�2(t)R(t)%2(t) � Xt dt + ~�(t)R(t)%2(t) dYt; t � 0; X0 = E(X0);wobei R(t) = E([Xt � Xt]2) wiederum L�osung der deterministischen Riccati-DGList: dR(t)dt = 2~�(t)R(t) � ~�2(t)%2(t) R2(t) + �2(t); t � 0; R(0) = V ar(X0):Beweis: Siehe �ksendal [15], Seite 78-91. 2Wir werden uns jetzt dem diskreten Fall zuwenden und ein Verfahren darstellen,durch das iterativ ein Kalman-Bucy-Filter berechnet werden kann. Die folgende Dar-stellung basiert auf Pedersen [16], [17]. 68

Sei 0 = t0 < t1 < : : : < tn = T eine Diskretisierung des Beobachtungszeitraums[0; T ]. Mit � 2 � � IRp; p 2 IN; als unbekanntem Parameter betrachten wir dasTheoretische ModellXi = DiXi�1 + Si + "i (i = 1; : : : ; n); wobei:Xi = Xi(�) 2 IRd; d 2 IN; Zufallsvektor (0 � i � n)= theoretischer Wert des Prozesses zum Zeitpunkt ti;Di = Di(�) 2 IRd;d; deterministisch (1 � i � n);Si = Si(�) 2 IRd; deterministisch (1 � i � n);X0 = X0(�) d= Nd(x0; V0);x0 = x0(�) 2 IRd : Erwartungswert von X0 zur Zeit t0 = 0;"i = "i(�) d= Nd(0; Vi) (1 � i � n);V0 = V0(�) 2 IRd;d : Covarianzmatrix bei t0 = 0; deterministisch;Vi = Vi(�) 2 IRd;d : Covarianzmatrix bei ti; determ. (1 � i � n):

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;(11)

Die dazugeh�origen Beobachtungen (Yi)ni=0 seien beschrieben durch dasBeobachtungsmodellYi = QiXi + Ii + ~"i (i = 0; : : : ; n); wobei:Yi = Yi(�) 2 IRm; d 2 IN mit m � d; Zufallsvektor (0 � i � n)= beobachteter Wert von Xi zum Zeitpunkt ti;Qi = Qi(�) 2 IRm;d; m 2 IN; deterministisch (0 � i � n);Ii = Ii(�) 2 IRm; deterministisch (0 � i � n);~"i = ~"i(�) d= Nm(0;Mi) (0 � i � n);Mi = Mi(�) 2 IRm;m; deterministisch (0 � i � n):9>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>; (12)

In den Modellen (11) und (12) m�ogen die Annahmen von Pedersen [17], Seite 7, erf�ulltsein. Beachte: In dem Modell (12) der Beobachtungen ist die M�oglichkeit erlaubt, da�man von den vorhandenen d Komponenten des ZufallsvektorsXi; 0 � i;� n, im theo-retischen Modell nur m � d tats�achlich (als Yi) beobachten kann. Somit kann mandie Matrix Qi als Spezi�kationsmatrix bezeichnen, die festlegt, welche Komponentenvon Xi direkt beobachtbar sind (und zwar �uber den gesamten Beobachtungszeitraumimmer die gleichen Komponenten). Die Matrix Ii gibt weitere Inputs an, z.B., fallseine Komponente nicht alleine, sondern nur unter Ein u� eines anderen Faktors be-obachtet werden kann. Mit ~"i sind die Me�fehler bezeichnet, die bei der Beobachtungauftreten. 69

5.11 SatzBetrachte den d-dimensionalen Proze� (Xt)t�0, der als L�osung der SDEdXt = (A(t)Xt + a(t)) dt+ �(t) dBt; t � 0; X0 = x0 2 IRd; (13)gegeben sei. Dabei gelte a : IR+0 �! IRd stetig, A : IR+0 �! IRd;d stetig und� : IR+0 �! IRd;r stetig, wobei (Bt)t�0 eine r-dimensionale Standard-Brown'scheBewegung sei. Beachte, da� A; a und � noch von � 2 � abh�angen, wir aber dieseAbh�angigkeit nicht explizit ausweisen. Ferner gelteA(t) 0@ tZ0 A(u) du1A = 0@ tZ0 A(u) du1A A(t) 8 t � 0: (14)Dann entsteht das theoretische Modell (11) bei der Diskretisierung des Modells(13). Insbesondere entsteht (11) bei der Diskretisierung eines Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses und des Vasicek-Modells. F�ur das CIR und das verallgemeinerte CIR-Modell kann dieser Satz nicht angewendet werden, da in (13) die Volatilit�at nichtproze�abh�angig sein darf.Beweis: Nach 2.17 lautet wegen (14) die eindeutige L�osung von (13):Xt = �(t) 24X0 + tZ0 ��1(u)a(u) du + tZ0 ��1(u)�(u) dBu35 ; (15)wobei�(t) = exp8<: tZ0 A(u) du9=; ; t � 0: (16)W�ahle in (15) sukzessive t = q und t = s, 0 � q < s, l�ose die Darstellung vonXq nach X0 auf und setze dies in die Darstellung von Xs ein. Damit erh�altman:Xs = �(s)��1(q)Xq + sZq �(s)��1(u)a(u) du + sZq �(s)��1(u)�(u) dBu:Speziell f�ur die Beobachtungszeitpunkte 0 = t0 < t1 < : : : < tn = T haben wir:Xti = �(ti)��1(ti�1)Xti�1 + tiZti�1 �(ti)��1(u)a(u) du + "i; i = 1; : : : ; n;wobei nach Arnold [1], Seite 91, Korollar 4.5.6, gilt:"i := tiZti�1 �(ti)��1(u)�(u) dBu d= Nd(0; Vi) mit (17)Vi = tiZti�1 ��(ti)��1(u)�(u)� ��(ti)��1(u)�(u)�T du: (18)70

Da die Voraussetzungen der Modelle (11) und (12) erf�ullt werden k�onnen, folgtmit Di := �(ti)��1(ti�1); (19)Si := tiZti�1 �(ti)��1(u)a(u) du; 1 � i � n; (20)und Xi := Xti ; 0 � i � n; die Behauptung. 2F�ur i 2 f1; : : : ; ng sind wir an dem besten Sch�atzer Xi f�ur Xi; i = 1; : : : ; n; interes-siert, den man aufgrund der Beobachtungen Y0; Y1; : : : ; Yi machen kann (vgl. 5.7, 5.8und 5.9). Dies bedeutet, da� wirXi = E(Xi jY0; Y1; : : : ; Yi); i = 0; : : : ; n; (21)berechnen m�ussen. Die somit errechnete Folge X0; X1; : : : ; Xn nennt man (analogzum kontinuierlichen Modell) Kalman-Bucy-Filter.5.12 Satz (Der Kalman-Bucy-Filter)Falls die in (11) und (12) aufgef�uhrten Gr�o�en die technischen Bedingungen ausPedersen [17], Seite 7, erf�ullen, gelten mitXi = Zufallsvektor im theoretischen Modell;Yi = beobachteter Zufallsvektor im Beobachtungsmodell;Y i := (Y T0 ; Y T1 ; : : : ; Y Ti )T ;xi := Realisierung von Xif�ur i = 0; : : : ; n:(i) XijY i =: yi d= Nd(�ii(yi) ; �ii).(ii) YijY i�1 d= Nm(Qi(Di�i�1i�1(yi�1) + Si) + Ii ; Qi �i�1i QTi +Mi).Dabei gilt f�ur i = 1; : : : ; n:(iii) �ii = �i�1i � �i�1i QTi (Qi�i�1i QTi +Mi)�1Qi�i�1i .(iv) �ii(yi) = Di�i�1i�1(yi�1) + Si +�i�1i QTi (Qi�i�1i QTi +Mi)�1(yi�Qi(Di�i�1i�1(yi�1) + Si) � Ii).(v) �i�1i = Di�i�1i�1DTi + Vi (positiv de�nit).(vi) �00(y0) = E(X0) + V0QT0 (Q0V0QT0 +M0)�1(y0 �Q0E(X0)� I0).(vii) �00 = V0 � V0QT0 (Q0V0QT0 +M0)�1Q0V0.71

Aus (i) kann dann der Kalman-Bucy-Filter (21) errechnet werden. Nach (ii) sindinsbesondere die �Ubergangsdichten p(ti�1; yi�1; ti; yi; �) des BeobachtungsprozessesY = (Yi)ni=0 bekannt.Beweis: Siehe Pedersen [17], Seite 7-9, und [16], Seite 4 �.. 25.13 Praktische Berechnung der �UbergangsdichtenNach 5.12 sind wir in der Lage, die �Ubergangsdichten f�ur den Beobachtungsproze�(Yi)ni=0, Y0 = y0 2 IRm fest, iterativ auszurechnen. Unser Ausgangspunkt war dieBerechnung der Log-Likelihood-Funktion f�ur X = (Xi)ni=0;X0 = x0 2 IRd fest, wiesie in (29), Kapitel 4, hergeleitet wurde:lXn (�) := ln(�) = nXi=1 log (p(ti�1; xi�1; ti; xi; �)) ; � 2 �: (22)Da der zu sch�atzende Parameter � sowohl im theoretischen Modell (11) als auch imBeobachtungsmodell (12) auftritt, werden wir anstelle von lXn f�ur den Proze� X dieLog-Likelihood-FunktionlYn (�) := nXi=1 log (p(ti�1; yi�1; ti; yi; �)) ; � 2 �; (23)des beobachteten Prozesses Y = (Yi)ni=0 betrachten und hieraus � bestimmen!Nach 5.13 sind folgende Schritte n�otig zur Berechnung der �Ubergangsdichten f�ur Y :1. Schritt:Berechne �00(y0) und �00 nach (vi) bzw. (vii) (i)=) Verteilung von X0jY 0ist bekannt.2. Schritt:Berechne �01 nach (v) (ii)=) Verteilung von Y1jY 0 ist bekannt unddamit die �Ubergangsdichte von Y1jY 0.3. Schritt:Berechne �11(y1) und �11 nach (iv) bzw. (iii) (i)=) Verteilung von X1jY 1 istdann bekannt.4. Schritt:Wiederhole Schritt 2 und 3 f�ur �ii(yi); �ii und �i�1i ; i = 2; 3; : : : ; n.72

5.14 BemerkungDer Kalman-Bucy-Filter �ndet vor allem in den F�allen Verwendung, bei denen von ei-nem mehrdimensionalen Vektor nicht alle Komponenten beobachtet werden k�onnen.Wie schon in Satz 5.11 bemerkt, ist der Algorithmus aus 5.13, der zum Modell (11)mit den Beobachtungen (12) entwickelt wurde, bei den in Kapitel 3 vorgestelltenMean-Reverting-Prozessen nur f�ur das Vasicek-Modell verwendbar. F�ur das eindi-mensionale Vasicek-Modell aber spezialisieren sich (11) und (12) zu Xi = Yi 2 IR;damit ist der soeben entwickelte Algorithmus f�ur diesen Spezialfall nicht mehr n�otig.Genauer: Man kann f�ur das Vasicek-Modell die �Ubergangsdichte explizit angeben,was im n�achsten Satz geschehen soll.5.15 Satz (�Ubergangsdichte im Vasicek-Modell)Die �Ubergangsdichte im Vasicek-Modell lautet mit � := (�; �) 2 � := IR� � IR undder Volatilit�atskonstanten � aus Kapitel 3:p(ti�1; xi�1; ti; xi;�; �) = 1p2�Vi exp��12 [xi �Dixi�1 � Si]2Vi � ;wobei:Vi = �22� �e2�(ti�ti�1) � 1� ;Di = e�(ti�ti�1);Si = �� �e�(ti�ti�1) � 1� :9>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>; (24)

Insbesondere ist ein Proze� des Vasicek-Modells ein Gau�-Proze�.Beweis: Im Vasicek-Modell gilt wegen Satz 5.11 f�ur (Xi)ni=0:P (Xi � xi jXi�1 = xi�1) (11)= P (DiXi�1 + Si + "i � xi jXi�1 = xi�1)= P ("i � xi �DiXi�1 � Si jXi�1 = xi�1)= P ("i � xi �Dixi�1 � Si)(17)= 1p2�Vi xi�Dixi�1�SiZ�1 exp�� �22Vi� d�:Folglich:p(ti�1; xi�1; ti; xi;�; �) = @@yP (Xi � y jXi�1 = xi�1)���y=xi= 1p2�Vi exp��12 [xi �Dixi�1 � Si]2Vi � :Im Vasicek-Modell ergeben sich Vi;Di und Si durch Ausrechnen der Formeln(18), (19) und (20) aus Satz 5.11 mit A � � und a � � sowie �(t) = � 8 t � 0.273

5.16 BemerkungMit der Wahl ti�1 = 0; x = yi�1; ti = t und y = yi folgt aus Satz 5.15 wegen derZeithomogenit�at eines Prozesses im Vasicek-Modell:p(t; x; y;�; �) (28);Kap. 4= p(0; y; t; x;�; �)(24)= 1r��2� (e2�t � 1) exp8>>><>>>:��y � xe�t � �� �e�t � 1��2�2� �e2�t � 1� 9>>>=>>>; :F�ur � = 0 erhalten wir die �Ubergangsdichte eines Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses alsSpezialfall des Vasicek-Modells:p(t; x; y;�) = 1s2� ��22� (e2�t � 1)� exp8>><>>:� �y � xe�t�22��22� �e2�t � 1��9>>=>>; :Dieses Ergebnis hatten wir auch schon in 1.20(ii) mit Hilfe der Kolmogoro�'schenR�uckw�artsgleichung 1.15(i) erhalten!

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Kapitel 6Martingalsch�atzfunktionen6.1 Einf�uhrungIn diesem Kapitel besch�aftigen wir uns mitMartingalsch�atzfunktionen zur Ermittlungderjenigen Parameter, die die Drift eines Di�usionsprozesses festlegen. Dieser Ansatzwurde von M. Bibby und M. S�rensen 1995 [2] vorgeschlagen, um Nachteile auszu-gleichen, die bei Verwendung der diskretisierten Log-Likelihood-Funktion bei konti-nuierlichen Beobachtungen auftreten. Es sollen in diesem Kapitel zwei Ans�atze zurMartingalsch�atzfunktion dargestellt werden: Die einfache und die optimale Martin-galsch�atzfunktion. Zuerst werden wir jeweils die Martingalsch�atzfunktion herleiten,falls alle auftretenden Gr�o�en eindimensional sind. Danach wird jeweils der mehrdi-mensionale Fall vorgestellt. Den Abschlu� bildet f�ur jeden der beiden Ans�atze zurMartingalsch�atzfunktion eine Angabe der Sch�atzer f�ur die in Kapitel 3 eingef�uhrtenMean-Reversion-Modelle. F�ur die sp�ateren Untersuchungen von simulierten und �-nanzwirtschaftlichen Datens�atzen werden die Martingalsch�atzfunktionen eine zentra-le Rolle spielen, da sie sehr gute Sch�atzwerte bei kurzer Computerrechenzeit liefern.6.2 Die Idee der Martingalsch�atzfunktionen� sei eine o�ene Teilmenge aus IR und � 2 � der gesuchte Parameter. Wir betrachteneinen eindimensionalen, zeithomogenen Di�usionsproze� (Xt)t�0 mit ZustandsraumI, der f�ur jedes � 2 � als L�osung der stochastischen Di�erentialgleichungdXt = �(Xt; �) dt + �(Xt; �) dBt; t � 0; X0 = x0 2 I; (1)gegeben sei. Die Drift � : IR � � �! IR sowie die Volatilit�at � : IR � � �! IR+seien C2;2-Funktionen. Dieser zeitstetige Proze� (Xt)t�0 werde im Zeitraum [0; T ]zu �aquidistanten Zeitpunkten i�; � := Tn ; i = 0; : : : ; n, beobachtet. Damit ergibtsich eine Folge (Xi�)ni=0 von Beobachtungen des Prozesses (Xt)t�0 in [0; T ]. Im fol-genden schreiben wir stets abk�urzend Xi f�ur Xi�; i = 0; : : : ; n. Falls die Volatilit�atnicht von dem zu sch�atzenden Parameter � abh�angt, lautet nach Liptser [14], Theo-rem 7.19, unter geeigneten Voraussetzungen die Log-Likelihood-Funktion lT (�) von(Xt)t�0 aufgrund der kontinuierlichen Beobachtungen in [0; T ]:lT (�) = TZ0 �(Xt; �)�2(Xt) dXt � 12 TZ0 �2(Xt; �)�2(Xt) dt; � 2 �: (2)75

Die Diskretisierung bez�uglich obiger Partition liefert:~ln(�) := nXi=1 �(Xi�1; �)�2(Xi�1) (Xi �Xi�1)� �2 nXi=1 �2(Xi�1; �)�2(Xi�1) : (3)Im folgenden sei mit dem Punkt �uber einer Funktion stets deren Ableitung nach demParameter � gemeint. Die Ableitung von (3) lautet (sogenannte Score-Funktion):_~ln(�) = nXi=1 _�(Xi�1; �)�2(Xi�1) (Xi �Xi�1)�� nXi=1 �(Xi�1; �) _�(Xi�1; �)�2(Xi�1) : (4)Problem:Nach Florens-Zmirou [7] sind die aus dem Maximum-Likelihood-Ansatz _~ln(�) = 0gewonnenen Sch�atzer nicht konsistent, falls � von 0 weg beschr�ankt ist. Wenn � abernicht klein genug ist, so kann nach Pedersen [19] der Sch�atzer sogar stark verzerrtsein. Ausf�uhrliche Beispiele f�ur solche Sch�atzwerte �ndet man in Bibby & S�rensen[2], Seite 32, 34 und 36. Wir werden daher diese Sch�atzer nicht weiter untersuchen.Um die soeben geschilderten Probleme zu umgehen, verwenden Bibby & S�rensen, de-ren Artikel [2] dem Kapitel 6 zugrunde liegt, nicht mehr die Score-Funktion, sondernmodi�zieren diese zu einer neuen Funktion Gn(�). Beachte: Die Formel (4) beruhtauf der Annahme, da� die Volatilit�at vom zu sch�atzenden Parameter unabh�angig ist.Nach Bibby & S�rensen [2], Seite 19, kann man aber auch im allgemeinen Fall derSDE (1) einer parameterabh�angigen Volatilit�atnXi=1 _�(Xi�1; �)�2(Xi�1; �) (Xi �Xi�1)�� nXi=1 �(Xi�1; �) _�(Xi�1; �)�2(Xi�1; �) (5)als Score-Funktion verwenden. Wir werden daher im folgenden diesen allgemeinenFall behandeln, bei dem (Xt)t�0 L�osung der SDE (1) ist. Bei den in dieser Diplomar-beit betrachteten Mean-Reverting-Prozessen spielt aber dieser allgemeine Fall keineRolle, da nach Kapitel 4 Sch�atzverfahren f�ur die Volatilit�atskonstante � und denVolatilit�atsparameter (beim verallgemeinerten CIR-Modell) existieren und diesesomit als bekannt angesehen werden k�onnen.Die von Bibby & S�rensen vorgeschlagene neue Funktion Gn(�) (sogenannte Martin-galsch�atzfunktion, auch mit MSF abgek�urzt) soll aus der Score-Funktion (5) durchSubtraktion eines geeigneten, von der Score-Funktion abh�angigen Terms entstehen,des sogenannten Kompensators K. Dadurch soll Gn(�) folgende Eigenschaften erhal-ten:(i) E� (Gn(�)) = 0; � 2 �; n 2 IN.(ii) (Gn(�))n2IN ist ein Martingal bez�uglich (Fn)n2IN; � 2 �, wobeiFn�1 := � (X0;X1;X2; : : : ;Xn�1) ; n 2 IN (F0 wird sp�ater ben�otigt).(iii) Die Gleichung Gn(�) = 0 liefert einen konsistenten und asymptotisch normalenSch�atzer � f�ur � unter der wahren, unbekannten Verteilung P�0 des Prozesses,wobei �0 der wahre, unbekannte Wert des Parameters � sei.76

Die Eigenschaft (i) motiviert den Ersatz der Score-Funktion durch die Martingal-sch�atzfunktion im Ansatz _~ln(�) = 0. Der Sinn von Forderung (ii) ergibt sich aus demfolgenden Satz, in dem f�ur eine Klasse von speziellen Martingalen die Eigenschaftenaus (iii) hergeleitet werden bez�uglich des Sch�atzers �, die sehr w�unschenswert sind.Dazu de�nieren wir nochF (x; �) := E� (Xi jXi�1 = x) = E�(X1jX0 = x); � 2 �; (6)als Abk�urzung f�ur die bedingte Erwartung in Abh�angigkeit von dem Parameter �.Das letzte Gleichheitszeichen gilt dabei wegen der Zeithomogenit�at des Prozesses.Wir betrachten im folgenden Sch�atzer, die sich aus dem neuen AnsatzGn(�) = 0 (7)ergeben, wobei Gn eine bestimmte Gestalt haben mu�. Diese spezielle Gestalt unddie Eigenschaften des sich aus dem Ansatz (7) ergebenden Sch�atzers behandelt dern�achste Satz.6.3 SatzSei n 2 IN beliebig, aber fest. F�ur Gn : � �! IR machen wir den folgenden allgemei-nen Ansatz: Gn(�) = nXi=1 g(Xi�1; �) (Xi � F (Xi�1; �)) ; � 2 �:Dabei seien g : IR � � �! IR und F : IR � � �! IR stetig di�erenzierbar in �f�ur alle x 2 IR. Dann erf�ullt Gn die Bedingungen 6.2(i) und (ii). Unter geeignetenVoraussetzungen (siehe Bibby & S�rensen [2], Seite 24/26, Bedingung 3.1 und 3.2)existiert ferner eine Menge Cn � �, so da� gelten:(i) F�ur jedes � = �(n) 2 Cn ist die Gleichung Gn(�) = 0 erf�ullt.(ii) P�0(Cn) �������!n!1 1.Dabei gelten f�ur jedes � = �(n) 2 Cn:(iii) � = �(n) P�������!n!1 �0 unter P�0 , d.h.: �(n) ist schwach konsistent.(iv) pn (�(n) � �0) d�������!n!1 N �0; �(�0)f2(�0)� unter P�0 , d.h.: �(n) ist asympto-tisch normal.Dabei gilt mit einer Zufallsvariablen Z, die die Dichte ��0 habe, wobei ��0 die stati-on�are Dichte des Prozesses aus (1) sei:f(�0) := �E��0 �g(Z; �0) _F (Z; �0)� ( 6= 0 );�(�0) := E��0 �g2(Z; �0)�(Z; �0)� (> 0 ); wobei�(x; �) := E� �[Xi � F (Xi�1; �)]2 ���Xi�1 = x� ; x 2 I; i = 1; : : : ; n; (8)= E� �[X1 � F (X0; �)]2 ���X0 = x� (Zeithomogenit�at des Prozesses)� ist die bedingte Varianz des Prozesses (Xt)t�0.77

Beweis: Es gilt f�ur jedes � 2 �:E� (Gn(�)) = E� nXi=1 g(Xi�1; �) (Xi � F (Xi�1; �))!= nXi=1 E� (g(Xi�1; �) (Xi � F (Xi�1; �)))= nXi=1 E��E�( g(Xi�1; �)| {z }me�bar bzgl. Xi�1 (Xi � F (Xi�1; �)) jXi�1)�= nXi=1 E��g(Xi�1; �)E�(Xi � F (Xi�1; �) jXi�1)�= nXi=1 E��g(Xi�1; �)�E�(XijXi�1)| {z }(6)=F (Xi�1;�) �F (Xi�1; �)��= 0; n 2 IN:Damit ist die Eigenschaft 6.2(i) gezeigt. Des weiteren gilt f�ur n 2 IN mit n � 2:E� (Gn(�)jFn�1) = E� nXi=1 g(Xi�1; �) (Xi � F (Xi�1; �)) ���Fn�1!= E� n�1Xi=1 g(Xi�1; �) (Xi � F (Xi�1; �))| {z }me�bar bzgl. Fn�1 ���Fn�1!+ E�( g(Xn�1; �)| {z }me�bar bzgl. Fn�1 (Xn � F (Xn�1; �)) j Fn�1)= n�1Xi=1 g(Xi�1; �) (Xi � F (Xi�1; �))+ g(Xn�1; �)nE�(XnjFn�1) � F (Xn�1; �)o= n�1Xi=1 g(Xi�1; �) (Xi � F (Xi�1; �))+ g(Xn�1; �)nE�(XnjXn�1)| {z }(6)= F (Xn�1;�) �F (Xn�1; �)o(nach der Markoveigenschaft eines Di�usionsprozesses)= n�1Xi=1 g(Xi�1; �) (Xi � F (Xi�1; �))= Gn�1(�) fast sicher:Damit ist auch die Eigenschaft 6.2(ii) nachgewiesen. F�ur den Rest des Beweisessiehe Bibby & S�rensen [2], Beweis von Theorem 3.2. 278

Einfache Martingalsch�atzfunktionen6.4 SatzDer Kompensator K von _~ln(�) (vgl. (4), (5)) sei de�niert alsK(_~ln(�)) := nXi=1 E� �_~li(�)� _~li�1(�) ���Fi�1� ; n 2 IN; � 2 �; _~l0 := 0:Behauptung:Die Funktion ~Gn(�) := _~ln(�)�K(_~ln(�)) hat die Form~Gn(�) = nXi=1 _�(Xi�1; �)�2(Xi�1; �) (Xi � F (Xi�1; �)) ; � 2 �; (9)und erf�ullt die Bedingungen 6.2(i), (ii) und (iii). Man nennt ~Gn einfache Martin-galsch�atzfunktion, d.h.: ~Gn ist ein spezieller Typ einer Martingalsch�atzfunktion.Beweis: Unter Verwendung der De�nition (6) rechnet man leicht nach:nXi=1 E� �_~li(�)� _~li�1(�) ���Fi�1� = nXi=1 _�(Xi�1; �)�2(Xi�1; �) (F (Xi�1; �)�Xi�1)�� nXi=1 �(Xi�1; �) _�(Xi�1; �)�2(Xi�1; �) :Mit der De�nition von K und ~Gn folgt dann (9). Die Eigenschaften 6.2(i), (ii)und (iii) folgen direkt aus Satz 6.3, da � und � als C2;2-Funktionen vorausge-setzt wurden (siehe 6.2). 26.5 Beispiel (Sch�atzer beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze�)Beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze� ist mit den Bezeichnungen aus Kapitel 3 der Para-meter � = � 2 � := IR�. Die Drift ist speziell �(x;�) = �x; x 2 IR; und die Volatilit�atist �(x) � � 2 IR+. Aus (9) folgt:~Gn(�) = nXi=1 Xi�1�2 (Xi � F (Xi�1;�)) : (10)Nach 1.20(ii) ist die �Ubergangsdichte eines Ornstein-Uhlenbeck-Prozessesp(�; xi�1; xi;�) = 1s2���22� (e2�� � 1)� exp8>><>>:� �xi � xi�1e���22��22� �e2�� � 1��9>>=>>; :Insbesondere folgt nach (6): F (Xi�1;�) = Xi�1 e��.79

Somit lautet der Ansatz 0 = ~Gn(�):0 = nXi=1 Xi�1�2 �Xi �Xi�1e��� () � = 1� log8>>>><>>>>: nXi=1 XiXi�1nXi=1 X2i�1 9>>>>=>>>>; :Es ist also nicht von Bedeutung, ob die Volatilit�atskonstante � bekannt ist oder nicht.Dies wird sich im folgenden bei allen Mean-Reverting-Prozessen und dem Ansatz dereinfachen Martingalsch�atzfunktion ergeben.6.6 Satz (Mehrdimensionale einfache Martingalsch�atzfunktion)F�ur die sp�atere Anwendung ist der Fall eines mehrdimensionalen Parameters � vonInteresse. Auch wenn es f�ur die Anwendungen in dieser Diplomarbeit nicht von Be-deutung ist, lassen wir einen mehrdimensionalen Proze� (Xt)t�0 zu. Wir werden hiernur die entsprechende Formel ohne Beweis gem�a� Bibby & S�rensen [2], Seite 21,angeben f�ur die k-dimensionale einfache Martingalsch�atzfunktion bei n+1 Beobach-tungen eines d-dimensionalen Prozesses im Zeitintervall [0; T ]:~Gn(�) = nXi=1 _�(Xi�1; �)T ��(Xi�1; �)�(Xi�1; �)T ��1 (Xi � F (Xi�1; �)) : (11)Dabei: � = (�1; : : : ; �k) 2 � � IRk(o�en); k 2 IN;Xi; �( � ; �) 2 IRd; d 2 IN; i = 0; : : : ; n;� 2 IRd;r; r 2 IN; und � �T positiv de�nit (Annahme);_� 2 IRd;k sei die totale Ableitung von � = (�1; : : : ; �d)bez�uglich den Komponenten von �:Im folgenden wollen wir die Sch�atzer f�ur � auch bei allen anderen Mean-Reverting-Prozessen herleiten, die in Kapitel 3 eingef�uhrt wurden. Dazu ist es n�otig, F f�urjedes betrachtete Modell zu kennen. Hierbei hilft uns folgender Satz, wobei wir dieBezeichnungen aus Kapitel 3 verwenden.6.7 Satz (Bedingter Erwartungswert eines Mean-Reverting-Prozesses)F�ur jeden Mean-Reverting-Proze� (Xt)t�0, der als L�osung der SDEdXt = �(Xt;�; �) dt + �(Xt) dBt; t � 0; X0 = x0 2 I; wobei�(x) = � + �x; x 2 I; � 2 IR�; � 2 IR;�(x) > 0 8x 2 I = Zustandsraum des Prozesses;gegeben sei, gilt: F (x;�; �) = x e�� + �� �e�� � 1� ; x 2 I: (12)Beweis: Siehe z.B. Bibby & S�rensen [2], Seite 22, f�ur die Formel bzw. G�oing [9],Seite 37/38, f�ur einen ausf�uhrlichen Beweis. 280

6.8 BemerkungVerwendet man F aus Satz 6.7 f�ur einen Ornstein-Uhlenbeck-Proze� (d.h. mit � = 0)im Ansatz (10), so erh�alt man wie in 6.50 = nXi=1 Xi�1�2 �Xi �Xi�1e��� () � = 1� log8>>>><>>>>: nXi=1 XiXi�1nXi=1 X2i�1 9>>>>=>>>>; ;ohne die �Ubergangsdichte aus 1.20(ii) verwenden zu m�ussen.6.9 Einfache Martingalsch�atzfunktion bei Mean-Reverting-ProzessenWir gehen davon aus, da� �(�) bekannt sei und da� das Mean-Reversion-Modellaus 6.7 einen von Null verschiedenen absoluten Drift-Term � hat. Wir m�ussen also� := (�; �) sch�atzen. Setzt man F aus (12) mit �(�) und �(�) eines Mean-Reverting-Prozesses aus 6.7 in den Ansatz (11) ein, so erh�alt man die folgende zweidimensionaleeinfache Martingalsch�atzfunktion:~Gn(�; �) = " nXi=1 Xi�1�2(Xi�1) �Xi �Xi�1 e�� � �� [e�� � 1]� ;nXi=1 1�2(Xi�1) �Xi �Xi�1 e�� � �� [e�� � 1]�#T :Au �osung des Ansatzes ~Gn(�) = (0; 0)T liefert:e�� = 24 nXi=1 Xi�1�2(Xi�1)!2 � nXi=1 X2i�1�2(Xi�1)! nXi=1 1�2(Xi�1)!35�1� " nXi=1 Xi�2(Xi�1)! nXi=1 Xi�1�2(Xi�1)! � nXi=1 XiXi�1�2(Xi�1)! nXi=1 1�2(Xi�1)!# ;sowie: � = �1� e�� e�� nXi=1 Xi�1�2(Xi�1)! � nXi=1 Xi�2(Xi�1)!nXi=1 1�2(Xi�1) :Nach den Ergebnissen aus Kapitel 4 ist beim Vasicek-Modell, beim CIR-Modell undbeim verallgemeinerten CIR-Modell die Volatilit�at bekannt. Damit kann man f�urdiese Modelle die Sch�atzerwerte � und � gem�a� obigen Formeln errechnen. Hier-bei erkennt man, da� bei diesen Modellen die Volatilit�atskonstante � nicht in denSch�atzern � und � auftritt, wohl aber der Volatilit�atsparameter beim verallgemei-nerten CIR-Modell. 81

Tabelle 6.1: Sch�atzer aus der einfachen Martingalsch�atzfunktion f�ur alle in Kapitel 3 eingef�uhrtenMean-Reverting-Prozesse. Ornstein-Uhlenbeck-Proze�� = 1� log(� nPi=1XiXi�1�,� nPi=1X2i�1�)Vasicek-Modell� = 1� log8>>>>><>>>>>: nXi=1 Xi! nXi=1 Xi�1! � n nXi=1 XiXi�1!" nXi=1 Xi�1#2 � n nXi=1 X2i�1!9>>>>>=>>>>>;� = �1� e�� 1n �e��� nPi=1Xi�1� � � nPi=1Xi��Cox-Ingersoll-Ross-Modell� = 1� log8>>>><>>>>:n nXi=1 XiX�1i�1! � nXi=1 Xi! nXi=1 X�1i�1!n2 � nXi=1 Xi�1! nXi=1 X�1i�1! 9>>>>=>>>>;� = �1� e�� �n e�� � � nPi=1XiX�1i�1��,� nPi=1X�1i�1�verallgemeinertes Cox-Ingersoll-Ross-Modell ( bekannt)� = 1� log8>>>>><>>>>>: nXi=1 XiX�2 i�1 ! nXi=1 X1�2 i�1 ! � nXi=1 XiX1�2 i�1 ! nXi=1 X�2 i�1 !" nXi=1 X1�2 i�1 #2 � nXi=1 X2�2 i�1 ! nXi=1 X�2 i�1 !

9>>>>>=>>>>>;� = �1� e�� e�� nXi=1 X1�2 i�1 ! � nXi=1 XiX�2 i�1 !nXi=1 X�2 i�182

Optimale Martingalsch�atzfunktionenEine optimale Martingalsch�atzfunktion ist eine Martingalsch�atzfunktion einer be-stimmten Klasse von Funktionen, die eine Optimalit�atseigenschaft erf�ullen. Gem�a�Kapitel 4 k�onnen wir im folgenden die Volatilit�atsparameter � und als bekanntvoraussetzen bei allen in Kapitel 3 vorgestellten Mean-Reverting-Prozessen. Wir ver-wenden dieselben Bezeichnungen wie bisher. Insbesondere ist n + 1 die Anzahl der�aquidistanten Beobachtungszeitpunkte in [0; T ].6.10 De�nitionen und BemerkungSei � 2 � der gesuchte Parameter, wobei � eine o�ene Teilmenge in IR ist, und(Xt)t�0 der reellwertige Di�usionsproze� aus (1).(i) Wir de�nieren die Klasse G von Funktionen durch:G := (Gm(�) := mXi=1 gi�1(�) (Xi � F (Xi�1; �)) ���� gi�1 : � �! IRFi�1 �me�bar und stetig di�erenzierbar in �; i = 1; : : : ;m;m 2 IN):(ii) Seien Gj;Hj 2 G; j = 1; : : : ; n; gegeben durch:Gj(�) := jXi=1 gi�1(�) (Xi � F (Xi�1; �)) ;Hj(�) := jXi=1 hi�1(�) (Xi � F (Xi�1; �)) :Die quadratische Charakteristik < �; � > auf G � G sei de�niert durch:< Gn(�);Hn(�) > := nXj=1 E([Gj(�) � Gj�1(�)] [Hj(�) � Hj�1(�)] j Fj�1):Insbesondere gilt wegen der Me�barkeit von gi�1 bez�uglich Fi�1; i = 1; : : : ; n:< Gn(�); Gn(�) > = nXi=1 g2i�1(�)�(Xi�1; �):(iii) Optimalit�atsbegri� nach Godambe & Heyde [8], Seite 232:G�n 2 G hei�t optimal in G, falls < G�n(�); G�n(�) > � < Gn(�); Gn(�) > giltf�ur alle Gn 2 G; � 2 �.Im folgenden nehmen wir an, da� F bzgl. � eine C2-Funktion und � stetig di�eren-zierbar in � ist. Sei nunG�n(�) := nXi=1 g�i�1(�) (Xi � F (Xi�1; �)) 2 G: (13)83

Dann gilt:_G�n(�) := dG�n(�)d�= nXi=1 _g�i�1(�) (Xi � F (Xi�1; �)) � nXi=1 g�i�1(�) _F (Xi�1; �):F�ur den Kompensator K(G�i (�)) von G�n ergibt sich mit _G�0 := 0:K( _G�n(�)) := nXi=1 E � _G�i (�)� _G�i�1(�) ���Fi�1�= � nXi=1 g�i�1(�) _F (Xi�1; �): (14)Eine analoge Formel erh�alt man f�ur K( _Gn(�)). Nach Heyde [10] kann man dannzeigen:Genau dann ist G�n optimal in G, falls f�ur jedes n 2 IN und f�ur alle Gn 2 G gilt:< Gn(�); G�n(�) >K( _Gn(�)) = < G�n(�); G�n(�) >K( _G�n(�))(14);6:10(ii)() nXi=1 gi�1(�)g�i�1(�)�(Xi�1; �)� nXi=1 gi�1(�) _F (Xi�1; �) = nXi=1 g�i�1(�)2�(Xi�1; �)� nXi=1 g�i�1(�) _F (Xi�1; �)() g�i�1(�) = C(�) _F (Xi�1; �)�(Xi�1; �) ; � 2 �: (15)Dabei ist C(�) eine beliebige, nur von � abh�angige reelle Funktion, die wir o.B.d.A.auf 1 festsetzen. Somit ergibt sich aus (13) und (15) folgende optimale Sch�atzfunktionin der Klasse G im Sinne des Optimalit�atsbegri�s 6.10(iii):G�n(�) = nXi=1 _F (Xi�1; �)�(Xi�1; �) (Xi � F (Xi�1; �)) ; � 2 �: (16)Die Eigenschaften 6.2(i), (ii) und (iii) f�ur G�n folgen aus Satz 6.3, da _F ( � ; �)�( � ; �) stetigdi�erenzierbar in � ist wegen den Voraussetzungen an F und �.84

6.11 Optimale Martingalsch�atzfunktion beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze�F�ur einen Ornstein-Uhlenbeck-Proze� sei � := � 2 � := IR�. Der Ansatz G�n(�) = 0liefert mit der bedingten Varianz �, die direkt an der �Ubergangsdichte in 1.20(ii)ersichtlich ist, und mit F aus 6.7:0 = nXi=1 Xi�1�22� �e2�� � 1 �Xi �Xi�1e��� () � = 1� log8>>>><>>>>: nXi=1 XiXi�1nXi=1 X2i�1 9>>>>=>>>>; :Bei einem Ornstein-Uhlenbeck-Proze� ist also der Sch�atzer aus der optimalen Mar-tingalsch�atzfunktion gleich dem Sch�atzer aus der einfachen Martingalsch�atzfunktion!6.12 Satz (Mehrdimensionale optimale Martingalsch�atzfunktionen)Analog zu 6.6 werden wir die Formeln f�ur ein k-dimensionales � und einen d-dimensio-nalen Proze� (Xt)t�0 mit Beobachtungen Xi 2 IRd; 0 � i � n, ohne Beweis angeben,vgl. Bibby & S�rensen [2], Seite 21. Die Anzahl der Beobachtungen des Prozesses in[0; T ] sei n+ 1.G�n(�) = nXi=1 _F (Xi�1; �)T �(Xi�1; �)�1 (Xi � F (Xi�1; �)) : (17)Dabei: � = (�1; : : : ; �k) 2 � � IRk(o�en); k 2 IN;F ( � ; �) = (F1( � ; �); : : : ; Fd( � ; �)) 2 IRd; d 2 IN;G�n(�) 2 IRk;� 2 IRd;d sei positiv de�nit;_F 2 IRd;k sei die totale Ableitung von F = (F1; : : : ; Fd)bez�uglich den Komponenten von �:Wir wollen im folgenden die Sch�atzer aus der optimalen Martingalsch�atzfunktionbeim Vasicek- und beim CIR-Modell bestimmen. Hierzu ist nach 6.12 die Kenntnisder bedingten Varianz � f�ur das betre�ende Modell n�otig. Diese soll im n�achsten Satzhergeleitet werden.6.13 Satz (Bedingte Varianz beim Vasicek- und CIR-Modell)(i) Im Vasicek-Modell gilt f�ur beliebiges x 2 IR:�(x;�; �) = �22� �e2�� � 1 :Insbesondere ist die bedingte Varianz � unabh�angig von dem Zustand x desProzesses und von �.(ii) Im Cox-Ingersoll-Ross-Modell gilt f�ur beliebiges x 2 IR+:�(x;�; �) = �22�2 �e2�� (� + 2�x) � 2 (� + �x) e�� + � :85

Beweis:(i):Die Behauptung (i) ergibt sich direkt aus Satz 5.15: Dort war f�ur das Vasicek-Modell (unter Beachtung der Zeithomogenit�at dieses Prozesses) die �Ubergangs-dichte p von Xi�1 = x nach Xi = y explizit ausgerechnet worden alsp(�; x; y;�; �) = 1s2� �22� (e2�� � 1) exp8>>><>>>:� [y � xe�� � �� �e�� � 1�]22 ��22� �e2�� � 1�� 9>>>=>>>; ;wobei t � 0 und x; y 2 IR sind. Insbesondere ist die bedingte Varianz �(x;�; �)gerade gleich �22� �e2�� � 1�.(i):Im CIR-Modell betrachten wir einen Proze� (Xt)t�0, der als L�osung der SDEdXt = (� + �Xt) dt + �pXt dBt; t � 0; X0 = x0 2 IR; (18)gegeben ist. (Xt)t�0 erreiche den Zustand x 2 IR+ zum Zeitpunkt Tx (vgl.De�nition 1.9). Beachte dabei, da� der CIR-Proze� rekurrent ist und folglichP (Tx < 1jX0 = x0) = 1 gilt. Aufgrund der starken Markoveigenschaft einesDi�usionsprozesses ist f�ur t � Tx dann (Xt)t�Tx gegeben durch dieselbe SDE,jetzt allerdings mit der Anfangsbedingung XTx = x. Man kann daher o.B.d.A.X0 = x in (18) setzen. Wende auf (18) mit X0 = x nun die Ito-Formel mitg(z) := z2 an. Es folgt:X2t = x2 + tZ0 2 (� + �Xs)Xs ds + tZ0 �2Xs ds + tZ0 2�X3=2s dBs; t � 0:Da Xs > 0 8 s � 0 gilt nach Kapitel 3, kann der Satz von Fubini angewendetwerden, so da� f�ur t � 0 folgt:E�;�(X2t jX0 = x) = x2 + tZ0 �(2� + �2)E�;�(Xs jX0 = x)+ 2�E�;�(X2s jX0 = x)� ds + 2� E�;�� tZ0 X3=2s dBs ����� X0 = x�: (19)Wir wollen zeigen: E�;�0@ tZ0 X3=2s dBs1A = 0; t � 0: (20)86

Dazu soll 2.4(ii)(c) angewendet werden, wozu nach 2.2(ii)(c) zuerst zu zeigenist: E�;�0@ tZ0 X3s ds1A < 1 8 t � 0: (21)Nun:Wir werden (21) analog beweisen wie in der Behauptung (�) aus 3.3, wobei dieRechnungen gr�o�tenteils dieselben sind. Daher werden wir auf sie verzichtenund verweisen auf die entsprechenden Stellen in 3.3. Es gilt nach dem Satz vonFubini, da der CIR-Proze� nur positive Werte annimmt:E�;�0@ tZ0 X3s ds1A = tZ0 E�;� �X3s � ds � tZ0 E�;� � sup0�s�tX3s� ds= tZ0 E�;� �max0�s�tX3s� ds (da (Xs)s�0 stetig): (22)Wie in 3.3 zeigt man die Existenz einer Konstanten C 2 IR+ mit:j�(t; x(t))j2 + j�(t; x(t))j2 � C �1 + (max0�s�tx(s))2� :Mit Karatzas & Shreve [11], Seite 306, Problem 3.15, folgt dann:E�;� �max0�s�tX3s� < 1:Unter der Verwendung von (22) ist (21) damit nachgewiesen. Also ist 2.2(ii)(c)erf�ullt, so da� 2.4(ii)(c) dann (20) liefert.Da der Proze� (Xs)s�0 o.B.d.A. in X0 = x startet (vgl. vorne), haben wir alsogezeigt:E�;�0@ tZ0 X3=2s dBs �����X0 = x1A = E�;�0@ tZ0 X3=2s dBs1A (20)= 0; t � 0:Dieses Ergebnis k�onnen wir nun in (19) verwenden und erhalten:E�;�(X2t jX0 = x) = x2 + tZ0 �(2� + �2)E�;�(XsjX0 = x)+ 2�E�;�(X2s jX0 = x)� ds; t � 0:Mit f(t) := E�;�(X2t jX0 = x) folgt durch Di�erentiation nach t:f 0(t) = (2� + �2)E�;�(XtjX0 = x) + 2�f(t); t � 0: (23)87

Mit zwei reellwertigen Funktionen g und h machen wir den Ansatz f(t) =g(t)h(t), t � 0; und betrachten, um die DGL (23) zu l�osen, zuerst folgendegew�ohnliche DGL: h0(t) = 2�h(t); t � 0: (24)Als allgemeine L�osung ergibt sich o�ensichtlich:h(t) = C1 e2�t; t � 0; C1 2 IR: (25)W�are C1 = 0 in (25), so h�atte man f(t) � 0 nach dem Ansatz von f . Insbeson-dere w�are E�;�(X20 jX0 = x) = 0 nach De�nition von f , was aber wegen x 2 IRbeliebig nicht sein kann. Daher kann C1 = 0 ausgeschlossen werden. Der Ansatzf(t) = g(t)h(t) liefert f�ur jedes t � 0:g0(t)h(t) + 2�g(t)h(t) (24)= g0(t)h(t) + g(t)h0(t) Def. von f= f 0(t)(23)= (2� + �2)E�;�(XtjX0 = x) + 2�f(t)Def. von f= (2� + �2)E�;�(XtjX0 = x) + 2�g(t)h(t):Au �osung dieser Gleichung nach g0(t) liefert mit einer Konstanten C2 2 IR:g0(t) = (2� + �2)E�;�(XtjX0 = x)C1 e2�t() g(t) = tZ0 (2� + �2)E�;�(XsjX0 = x)C1 e2�s ds + C2: (26)Wegen g(0) = f(0)h(0) = x2C1 folgt aus (26), da� C2 = x2C1 ist. Mit dem Ansatz vonf ergibt sich daher:f(t) = e2�t tZ0 (2� + �2)E�;�(XsjX0 = x)e2�s ds + x2 e2�t; t � 0: (27)Mit t := � erh�alt man unter Beachtung der zu 6.7 analog hergeleiteten FormelE�;�(XsjX0 = x) = x e�s + �� (e�s � 1) ; 0 � s � �;und der De�nition von f :E�;�(X2�jX0 = x) = f(�) = e2���� 2�x� (e��� � 1) � 2�2�2 (e��� � 1)+ �2�2 (e�2�� � 1) � �2x� (e��� � 1)� �2��2 (e��� � 1) + �2�2�2 (e�2�� � 1) + x2�:Damit ergibt sich als bedingte Varianz �(x;�; �) = V ar�;�(X�jX0 = x):�(x;�; �) = E�;�(X2�jX0 = x) � �E�;�(X�jX0 = x)�2= �22�2 �e2�� (� + 2�x) � 2 (� + �x) e�� + � ; x 2 IR:288

6.14 Vasicek- und CIR-ModellSetzt man F aus 6.7 in die Formel (17) f�ur die optimale Martingalsch�atzfunktion ein,so ergibt der Ansatz G�n(�) = 0 folgendes Gleichungssystem mit den beiden gesuchtenParametern � und �, wobei � := (�; �):G�n(�; �) =2664 nXi=1 �e���Xi�1 + ���� ��2 �e�� � 1��(Xi�1;�; �) �Xi �Xi�1 e�� � �� [e�� � 1]� ;nXi=1 e�� � 1��(Xi�1;�; �) �Xi �Xi�1 e�� � �� [e�� � 1]�#T : (28)Mit der speziellen Wahl f�ur die bedingte Varianz � im Vasicek- bzw. im CIR-Modellerh�alt man gem�a� 6.13 folgende Ans�atze der optimalen Martingalsch�atzfunktion:Vasicek-Modell:0 = nXi=1 ��e���Xi�1 + ���� ��2 �e�� � 1�� �Xi �Xi�1 e�� � �� (e�� � 1)��22� �e2�� � 1 ;0 = nXi=1 �e�� � 1� �Xi �Xi�1 e�� � ��(e�� � 1)����22� �e2�� � 1� :Da wir den Ornstein-Uhlenbeck-Proze� schon in 6.11 behandelt haben, k�onnen wiruns beim Vasicek-Modell auf den Fall � 6= 0 beschr�anken. Diese beiden Gleichungensind explizit nach � und � au �osbar. Es ergeben sich:� = 1� log8>>>>><>>>>>:

nXi=1 Xi! nXi=1 Xi�1! � n nXi=1 XiXi�1!" nXi=1 Xi�1#2 � n nXi=1 X2i�1!9>>>>>=>>>>>; ;

� = �1� e�� 1n (e�� nXi=1 Xi�1! � nXi=1 Xi!) :Wir erhalten also die gleichen Sch�atzer wie bei der einfachen Martingalsch�atzfunkti-on, siehe Tabelle 6.1. 89

CIR-Modell:0 = nXi=1 �� e�� �Xi�1 + ���� ��2 �e�� � 1���Xi �Xi�1 e�� � �� (e�� � 1)��22�2 �e2�� (� + 2�Xi�1) � 2 (� + �Xi�1) e�� + � ;0 = nXi=1 �e�� � 1��Xi �Xi�1 e�� � �� (e�� � 1)��� �22�2 �e2�� (� + 2�Xi�1) � 2 (� + �Xi�1) e�� + �� :Im CIR-Modell kann man eine explizite L�osung f�ur � und � nicht mehr angeben. Esist somit ein iteratives Verfahren n�otig, wobei in dem Programm zur Diplomarbeitdas zweidimensionale verallgemeinerte Newton-Verfahren verwendet wurde1. Hiermitsind in wenigen Iterationsschritten die Sch�atzwerte � und � errechenbar.6.15 Verallgemeinertes CIR-ModellBeim verallgemeinerten CIR-Modell kann f�ur ein beliebiges, aber fest vorgegebenes � 12 die bedingte Varianz � allgemein nicht angegeben werden. Daher sind wir (vgl.Bibby & S�rensen [2], Formel (4.2)) auf die Approximation�(x;�; �) := 1m mXj=1(yj�(x;�; �) � F (x;�; �))2 (29)f�ur � angewiesen, m 2 IN hinreichend gro� (im Programm zur Diplomarbeit istm = 500). F ist dabei nach 6.7 bekannt, und yj�(x) ist der erste simulierte Punkt,den man mit Hilfe des Taylor-1.5-Schemas (siehe Anhang B) bei Startwert x undSchrittweite � erh�alt. Der Ansatz lautet dann:0 = nXi=1 � e�� �Xi�1 + ���� ��2 �e�� � 1��(Xi�1;�; �) �Xi �Xi�1 e�� � ��(e�� � 1)� ;0 = nXi=1 e�� � 1� �(Xi�1;�; �) �Xi �Xi�1 e�� � ��(e�� � 1)� :Im verallgemeinerten CIR-Modell kann man eine explizite L�osung f�ur � und � nichtmehr angeben. Wie beim CIR-Modell verwenden wir auch hier das zweidimensionaleverallgemeinerte Newton-Verfahren zur iterativen L�osung dieses Gleichungssystems.

1F�ur den Algorithmus siehe: Reverchon & Ducamp [22], Seite 313 �..90

Teil IIIAnwendung der statistischenVerfahren

91

Kapitel 7Verbindung von Theorie undPraxis7.1 Einf�uhrungIn Teil I wurden die wahrscheinlichkeitstheoretischen Grundlagen dargestellt f�urdie in dieser Diplomarbeit betrachteten Mean-Reverting-Prozesse. Aufbauend daraufwurden in Teil II f�ur jedes hier betrachtete Mean-Reversion-Modell Sch�atzverfahrenf�ur die Volatilit�ats- und die Driftparameter entwickelt.Es ist bei den Sch�atzungen von grundlegender Bedeutung, welches Modell dem Mean-Reverting-Proze� zugrunde liegt. Genau dies ist aber bei Datens�atzen aus der Pra-xis unbekannt. Es ist daher au�erordentlich wichtig,Modellauswahlverfahren/Modell-kontrollverfahren zur Verf�ugung zu haben. Mit deren Hilfe kann man testen, ob einf�ur einen Datensatz angenommenes Mean-Reversion-Modell tats�achlich den Datenauch zugrunde liegt. Wir werden in diesem Kapitel solche Verfahren kennenlernen:Das erste Testverfahren basiert auf einer Analyse der Zuw�achse der Brown'schen Be-wegung des diskretisierten Modells. Ein zweites Kontrollverfahren wurde 1994 vonA.R. Pedersen entwickelt, siehe Pedersen [18], und basiert auf der Betrachtung vonResiduen.Zum Abschlu� von Kapitel 7 erfolgt eine detaillierte Beschreibung des von mir ge-schriebenen C-Programms zur Diplomarbeit, in dem alle in Teil II beschriebenenSch�atzverfahren, die Simulationsverfahren aus Anhang B sowie beide Modellkon-trollverfahren implementiert sind. Es ist auf CD-ROM verf�ugbar. Der Quellcode (ca.4800 Zeilen) ist als Datei programm.cpp ebenfalls auf der CD-ROM gespeichert. DasProgramm bildet die Grundlage aller Untersuchungen in Kapitel 8 und 9.Modellkontrolle mittels Diskretisierung der SDESei (Xt)t�0 ein Mean-Reverting-Proze�, der L�osung der SDEdXt = �(Xt)dt+ �(Xt)dBt; t � 0; X0 = x0 2 I; wobei�(x) = � + �x; x 2 I; � 2 IR�; � 2 IR;�(x) > 0 8x 2 I; 9>=>; (1)ist (siehe De�nition 3.2). Hierbei sei I = (l; r) der Zustandsraum des Prozesses. Alle93

in Kapitel 3 eingef�uhrten speziellen Mean-Reverting-Prozesse lassen sich durch dieSDE (1) beschreiben, wobei Volatilit�at und Drift f�ur jedes der Modelle entsprechendzu spezi�zieren sind. Der Beobachtungszeitraum des Prozesses sei [0; T ] und n+1 dieAnzahl der �aquidistanten Beobachtungen in [0; T ]. Die Diskretisierung von (1) lautetdann f�ur i = 1; : : : ; n:�Xi = Xi � Xi�1 = (� + �Xi�1)� + �(Xi�1)p�Ni(0; 1) ; � := Tn ;wobei Ni(0; 1) eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist. L�ost man obige Glei-chung nach dieser Zufallsvariablen auf, so erh�alt man:Ni := Ni(0; 1) = Xi �Xi�1 � (� + �Xi�1)��(Xi�1)p� ; i = 1; : : : ; n: (2)Wir nennen die Zufallsvariablen Ni Zuw�achse. Falls das Modell das Richtige ist, sinddie Ni ungef�ahr i.i.d. standardnormalverteilt.Man kann nun bei allen der in Kapitel 3 vorgestellten Modelle diese Tatsache zumNachweis nutzen, da� ein f�ur einen Datensatz angenommenes Modell demjenigenModell entspricht, das den Daten auch tats�achlich zugrunde liegt (Modellveri�kation,Modellfalsi�kation):F�ur einen Datensatz und ein spezi�sches Modell errechnet man Sch�atzwerte f�urdie Modellparameter und setzt diese f�ur die entsprechenden Koe�zienten in dieGleichung (2) ein. Man erh�alt dann eine auf diesen Sch�atzwerten basierende Fol-ge der gesch�atzten Zuw�achse (Ni)ni=1, die standardnormalverteilt und voneinanderunabh�angig sind, falls das f�ur den Datensatz bei der Parametersch�atzung angenom-mene Modell das Richtige war. Mit der Spezi�zierung der Volatilit�at in (1) bzw. (2)ist dieses Diskretisierungskontrollverfahren f�ur alle Modelle aus Kapitel 3 anwendbar.Bei diesem Verfahren ist allerdings zu beachten, da� � klein sein mu�. Es stellt sichdann sofort die Frage, was klein f�ur die Anwendung bedeutet. Diese Frage ist nichtgenerell zu beantworten und abh�angig von dem untersuchten Datensatz. Um diesesProblem zu umgehen, hat A.R. Pedersen 1994 ein Verfahren entwickelt, bei dem dieWahl von � nicht mehr diese entscheidende Rolle spielt.Das Modellkontrollverfahren von PedersenWir betrachten n+1 beliebige Zufallsvariable X0;X1; : : : ;Xn; n 2 IN; mit Werten imIRd; d 2 IN; und eine Familie P := fP� j � 2 � � IRpg; p 2 IN; von Wahrscheinlich-keitsma�en, d.h., P ist ein statistisches Modell. Die k-te Komponente von Xi sei mitX(k)i ; k 2 f1; : : : ; dg; bezeichnet und mitF (k)i ( � jx0; : : : ; xi�1; �); � 2 �; (3)die bedingte Verteilungsfunktion von X(k)i unter P�, gegeben die Realisierungen X0 =x0; : : : ;Xi�1 = xi�1. Wir nehmen an, da� F (k)i ( � jx0; : : : ; xi�1; �) stetig ist f�ur allexj 2 IRd; j = 0; : : : ; i� 1; und alle k = 1; : : : ; d sowie i = 1; : : : ; n.94

7.2 SatzUnter obigen Voraussetzungen sind f�ur jedes k 2 f1; : : : ; dg die ZufallsvariablenU (k)i (�) := F (k)i (X(k)i jX0; : : : ;Xi�1; �); i = 1; : : : ; n; (4)stochastisch unabh�angig und auf [0; 1] gleichverteilt unter P�; � 2 �.Beweis: Seien k 2 f1; : : : ; dg; i 2 f1; : : : ; ng und � 2 � beliebig, aber fest. F�ury 2 [0; 1] gilt:P� �U (k)i (�) � y�(4)= P� �F (k)i (X(k)i jX0; : : : ;Xi�1; �) � y�= P� �X(k)i � (F (k)i )�1(yjX0; : : : ;Xi�1; �)�= E� �1nX(k)i � (F (k)i )�1(yjX0;:::;Xi�1;�)o�= E��E� �1nX(k)i � (F (k)i )�1(yjX0;:::;Xi�1;�)o ��� X0; : : : ;Xi�1��= E� nP� �X(k)i � (F (k)i )�1(yjX0; : : : ;Xi�1; �) ��� X0; : : : ;Xi�1�o= E� nF (k)i �(F (k)i )�1(yjX0; : : : ;Xi�1; �) ��� X0; : : : ;Xi�1; ��o= E�(y) = y; da y konstant ist:Also: U (k)i (�) ist unter P� gleichverteilt auf [0; 1]. Ferner ist U (k)i (�) unter P�stochastisch unabh�angig von X0, : : :, Xi�1 , so da� die U (k)i (�) f�ur jedes i 2f1; : : : ; ng stochastisch unabh�angig von U (k)1 (�), : : :, U (k)i�1(�) sind unter P�. 2Die Zufallsvariablen U (k)i nennen wir Residuen. Man kann diesen Satz nun ausnutzenzur Kontrolle, ob die �uber einen (�nanzwirtschaftlichen) Datensatz gemachte Mo-dellannahme richtig war: Wir betrachten einen Datensatz (xi)ni=0 als Realisierungder d-dimensionalen Zufallsvektoren X0; : : : ;Xn. � sei der gesuchte Parameter, derdurch � gesch�atzt werde auf der Grundlage einer Modellannahme. Berechne danngem�a� (4) die Folge (U (k)i )ni=1 := (U (k)i (�))ni=1; k = 1; : : : ; d, der Residuen unter Ver-wendung des Sch�atzwertes �. Diese Berechnung kann explizit erfolgen bei bekannten�Ubergangsdichten eines Prozesses, durch die man zuerst die bedingten Verteilungs-funktionen erh�alt und nach (4) damit die Residuen. Falls die �Ubergangsdichten abernicht bekannt sind, mu� man die Residuen mittels Simulationen approximieren (siehe7.3). Nach Satz 7.2 war die der Sch�atzung zugrundeliegende Modellannahme f�ur denDatensatz nicht abzulehnen, falls die Residuen (U (k)i )ni=1 gleichverteilt sind auf [0; 1]f�ur alle k 2 f1; : : : ; dg.In den meisten praxisrelevanten F�allen ist die station�are Verteilung eines stochasti-schen Prozesses unbekannt. Beim Vasicek-Modell (insbesondere bei einem Ornstein-Uhlenbeck-Proze�) und bei einem CIR-Modell sind die �Ubergangsdichten explizitbekannt, sie m�u�ten aber beim CIR-Modell mittels Bessel-Funktionen approximiert95

werden. Daher werden wir nur bei der Modellkontrolle im Vasicek-Modell die expli-zite Formel f�ur die �Ubergangsdichte benutzen und beim CIR-Modell einen anderenWeg einschlagen. Da im Rahmen dieser Diplomarbeit nur der Fall eines eindimensio-nalen Di�usionsprozesses von Bedeutung ist, kann in Satz 7.2 speziell k = 1 gew�ahltwerden, was bei den bedingten Verteilungsfunktionen und den Residuen im folgendenstets weggelassen wird (also Fi anstelle von F (1)i und Ui anstelle von U (1)i ). Ein aufeinem Vorschlag von Pedersen [18] basierender Algorithmus zur Approximation derResiduen Ui(�); 1 = 1; : : : ; n; wird im n�achsten Abschnitt vorgestellt.7.3 Algorithmus zur Berechnung der ResiduenWir betrachten im Zeitraum [0; T ] einen eindimensionalen Di�usionsproze� (Xt)t�0,der die Voraussetzungen von Satz 5.2 erf�ulle. In [0; T ] werden zu n + 1 �aquidistan-ten Zeitpunkten i�;� := Tn ; i = 0; : : : ; n; Beobachtungen Xi := Xi� des Prozessesgemacht. Sei nun i 2 f1; : : : ; ng beliebig, aber fest. Ferner sei �N := �N , wobeiN 2 IN hinreichend gro� sein mu�, und �k := (i � 1)� + k�N ; k = 1; : : : ; N . Mitdem Startwert xi�1 als Realisierung von Xi�1 zum Zeitpunkt (i � 1)� f�uhre mannun eine Euler-Simulation mit Schrittweite �N durch, wobei N Punkte Y N�k zu denZeitpunkten �k; k = 1; : : : N; simuliert werden f�ur den Zeitraum [(i� 1)�; i�]. UnterVerwendung von P�;(i�1)�;xi�1 aus Kapitel 5, Abschnitt �uber die Di�usionsapproxi-mation, gilt nach 5.2: Y Nt L1(P�;(i�1)�;xi)�������!N !1 Xt:Daraus folgt f�ur ein beliebiges y 2 IR:P�;(i�1)�;xi�1(Y Nt � y) f:s:�������!N !1 P�;(i�1)�;xi�1(Xt � y)= Fi(y jx0; : : : ; xi�1; �): (5)Das Gleichheitszeichen ergibt sich dabei aus der De�nition von P�;(i�1)�;xi�1 und derMarkoveigenschaft eines Di�usionsprozesses. Wir m�ussen also P�;(i�1)�;xi�1(Y Nt �y) berechnen. Dazu f�uhre man obiges Simulationsverfahren m mal durch, wobeim 2 IN hinreichend gro� sein mu� - im Programm zur Diplomarbeit ist m = 1000gew�ahlt. Man erh�alt somit m verschiedene Realisierungen y1; y2; : : : ; ym von Y Nt f�urden Zeitpunkt i�. Unter Verwendung des Glivenko-Cantelli-Theorems (siehe Em-brechts, Kl�uppelberg & Mikosch [5], Seite 62, Beispiel 2.1.4) kann man1m mXj=1 1(l;xi](yj) =: Fi;N (m) (6)als empirischen Wert f�ur P�;(i�1)�;xi�1(Y Nt � xi) verwenden. Damit ist nach (5) dasFi;N (m) eine Approximation f�ur Fi(xijx0; : : : ; xi�1; �) (4)= Ui(�) =: Ui. Also l�a�t sichdas i-te Residuum Ui approximativ berechnen als Ui mitUi = Fi;N (m) (6)= 1m mXj=1 1(�1;xi](yj): (7)96

Bemerkung:Wir wollen den Algorithmus 7.3 auf das CIR- und das verallgemeinerte CIR-Modell(jeweils Zustandsraum IR+) anwenden. Dabei ist von Bedeutung, da� diese Prozessein der Simulation nicht unter eine feste untere positive Grenze fallen k�onnen. Eben-sowenig k�onnen sie bei der Simulation eine feste positive obere Grenze �ubersteigen.Dies hat zur Folge, da� in der Praxis bei Simulationen die Voraussetzungen zur An-wendung von Algorithmus 7.3 beim CIR- und verallgemeinerten CIR-Modell erf�ulltwerden, wobei wir uns bewu�t sind, da� in der Theorie dies nicht immer so sein mu�.Letzteres bereitet aber bei praktischen Untersuchungen keine Probleme, siehe etwaBibby & S�rensen [2], Seite 31. Eine analoge Argumentation erlaubt die Anwendungdes Algorithmus auf Datens�atze, die aus der Praxis vorgegeben sind.Im folgenden wird f�ur alle in Kapitel 3 vorgestellten Mean-Reverting-Prozesse explizitangegeben, wie in dem Programm zur Diplomarbeit diese Residuen berechnet werden.7.4 Anwendung der Residuen zur ModellkontrolleWir gehen aus von dem allgemeinen Mean-Reverting-Proze� (Xt)t�0 aus (1), der jenach Spezi�kation von Drift und Volatilit�at einen der speziellen in Kapitel 3 vor-gestellten Mean-Reverting-Prozesse ergibt. �Uber den Zeitraum [0; T ] werden n + 1�aquidistante Beobachtungen des Prozesses vorgenommen, d.h., wir betrachten dieDiskretisierung 0 < � < 2� < : : : < T; � := Tn , wobei die Beobachtungen mitX0;X1;X2; : : : ;Xn bezeichnet seien. Bevor wir Sch�atzverfahren anwenden k�onnen,m�ussen wir das den Daten zugrundeliegende Modell ausw�ahlen: Vasicek-Modell (ins-besondere Ornstein-Uhlenbeck-Proze�) oder verallgemeinertes CIR-Modell (insbe-sondere CIR-Modell). Anschlie�end kann der in Teil II entwickelte statistische Ap-parat zur Sch�atzung von Volatilit�ats- und Driftparametern verwendet werden.Vasicek-Modell (Spezialfall: Ornstein-Uhlenbeck-Proze�)Beim Vasicek-Modell ist in (1) �(x) = � 2 IR+; x 2 IR, wobei beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze� speziell � gleich Null in der Drift sein mu�. Nach Pedersen [18],Beispiel 3, gilt dann:Ri := Xi � E(Xi)pV ar(Xi) = pVi (Xi �DiXi�1 � Si) d= N(0; 1); i = 1; : : : ; n; (8)wobei die Bezeichnungen f�ur Vi;Di und Si aus 5.11 verwendet werden. Vi;Di und Sisind gem�a� (24), Kapitel 5, bekannt, jetzt mit den Sch�atzwerten f�ur die unbekanntenParameter. Die auf diesen Sch�atzwerten basierenden Ri lauten dann:Ri = s �22�(e2�� � 1) Xi �Xi�1 e�� � �� �e�� � 1�! ; i = 1; : : : ; n: (9)Da beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze� der Parameter � gleich Null ist, folgt Si = 0 in(8), weshalb wir dann in (9) � = 0 w�ahlen m�ussen. Die Ui schreiben sich gem�a� Peder-sen [18], Beispiel 3, als Ui = �N(0;1)(Ri); i = 1; : : : ; n, wobei �N(0;1) die Verteilungs-funktion der Standardnormalverteilung sei. Sollte das den Daten zugrundeliegendeModell tats�achlich ein Vasicek-Modell gewesen sein (bzw. ein Ornstein-Uhlenbeck-Proze� als Spezialfall), so m�ussen gem�a� 7.2 die (Ui)ni=1 aus (9) auf [0,1] gleichverteiltsein. 97

Cox-Ingersoll-Ross-Modell und verallgemeinertes Cox-Ingersoll-Ross-ModellIn (1) ist nun �(x) = �x ; � 2 IR+; x 2 IR+, wobei 2 [12 ;1) fest sei und speziell = 12 gilt im CIR-Modell. Bei diesen Modellen werden die Ui direkt ausgerech-net, wozu der Algorithmus aus 7.3 benutzt werden mu� mit den Sch�atzwerten f�urdie auftretenden Parameter. Die �Ubergangsdichte beim CIR-Modell ist stetig (sie-he die explizite Formel f�ur die �Ubergangsdichte in Cox, Ingersoll & Ross [6], Seite391/392), so da� die bedingten Verteilungsfunktionen aus Satz 7.2 ebenfalls stetigsind. Also sind beim CIR-Modell die Voraussetzungen f�ur die Anwendung des Satzes7.2 erf�ullt. Analog k�onnen wir im verallgemeinerten CIR-Modell Satz 7.2 anwenden.Die Folge (Ui)ni=1 dieser gesch�atzten Residuen aus (7) mu� dann nach Satz 7.2 auf[0,1] gleichverteilt sein, falls das den Daten zugrundeliegende Modell tats�achlich einverallgemeinertes CIR-Modell mit Parameter ist.Wir m�ussen nun noch ein Hilfsmittel vorstellen, das graphisch anzeigt, ob vorgegebeneDaten mit einer bestimmten Verteilung vertr�aglich sind.7.5 Der QQ-PlotBeim QQ-Plot tr�agt man in einem Diagramm die Quantile einer empirischen Vertei-lung gegen die Quantile einer bekannten Verteilung auf. Werden in einem QQ-Plotzwei gleiche Verteilungen gegeneinander aufgetragen, so ergibt sich o�ensichtlich dieHauptdiagonale. Diese wird im folgenden als Orientierung in jedem QQ-Plot ein-gezeichnet sein. Je \n�aher\ der QQ-Plot f�ur eine empirische Verteilung bei einer\vern�unftigen\ Stichprobengr�o�e (d.h. hinreichend viele Daten) an der Hauptdiago-nalen liegt, desto \n�aher\ liegt die empirische Verteilung bei der bekannten Vertei-lung.Wir betrachten in dieser Diplomarbeit zwei Arten von QQ-Plots: Bei der ersten wer-den gem�a� dem ersten vorgestellten Modellkontrollverfahren (Diskretisierungskon-trollverfahren) im QQ-Plot die gesch�atzten Zuw�achse Ni; i = 1; : : : ; n; bei der Dis-kretisierung der SDE betrachtet und deren (empirischen) Quantile gegen die Quantileder Standardnormalverteilung aufgetragen. Bei der zweiten Art (Modellkontrollver-fahren von Pedersen) tr�agt man die (empirischen) Quantile der gesch�atzten ResiduenUi; i = 1; : : : ; n; gegen die Quantile der Gleichverteilung auf [0,1] auf. Sollte bei ei-nem Datensatz das gew�ahlte Mean-Reversion-Modell tats�achlich den Daten zugrundeliegen, so liefern beide QQ-Plots Graphen, die nahe der Hauptdiagonalen verlaufen.Solche QQ-Plots sind f�ur die in Kapitel 8 betrachteten simulierten Datens�atze unddie in Kapitel 9 untersuchten �nanzwirtschaftlichen Datens�atze erstellt.Als Beispiel wurde ein Pfad im CIR-Modell simuliert und die Sch�atzwerte mittels dereinfachen Martingalsch�atzfunktion bestimmt. Anschlie�end wurden die beiden Mo-dellkontrollverfahren durchgef�uhrt unter der Annahme, da� dem simulierten Daten-satz ein CIR-Modell zugrunde lag, und die QQ-Plots erstellt. Da dies ja auch der Fallist, konnte man auch sehr gute QQ-Plots erwarten. Die f�ur die Taylor-1.5-Simulationvorgegebenen Gr�o�en waren � = �2; � = 10; � = 0:5; x0 = 0:01; T = 50; �s =0:0001 und n = 5001. Bei der Erstellung des QQ-Plots wurden die ersten 1000 Wertevon Ni bzw. Ui weggelassen, um Fehler auszuschlie�en, die dadurch entstehen, da�zu Beginn der Proze� noch nicht station�ar ist. Als Sch�atzwerte unter Verwendungder quadratischen Variation (f�ur �) und der einfachen Martingalsch�atzfunktion (f�ur� und �) wurden � = 0:4950; � = �2:1685 und � = 10:6479 ermittelt.98

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empirische Quantile der geschaetzten Zuwaechse

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-2 0 2-2

02

Abbildung 7.1: Diskretisierungskontrollverfahren: QQ-Plot zu einem Pfad im CIR-Modell.•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

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empirische Quantile der geschaetzten Residuen

Quant

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Gleic

hverte

ilung a

uf [0,1

]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.2

0.40.6

0.81.0

Abbildung 7.2: Pedersen-Kontrollverfahren: QQ-Plot zu einem Pfad im CIR-Modell.ProgrammbeschreibungIn diesem Abschnitt wird das C-Programm, das ich als Teil der Diplomarbeit ge-schrieben habe, erl�autert. Das Programm sowie die ben�otigten Datens�atze sind aufAnfrage erh�altlich1. Alle im Programm verwendeten mathematischen Verfahren sindin dieser Diplomarbeit beschrieben.Nach der Programmanfangsmeldung sind 3 Men�upunkte anw�ahlbar:� Parametersch�atzung:Hier k�onnen mittels der in Teil II erl�auterten Sch�atzverfahren die Parameter�; �; � und f�ur einen Datensatz gesch�atzt werden.� Simulation eines Prozesses:Jeder der in Kapitel 3 betrachteten Mean-Reverting-Prozesse kann nach Ein-gabe der n�otigen Proze�parameter sowie weiterer Simulationsgr�o�en simuliertund in einer Datei unter beliebigem Namen gespeichert werden.� Programmende1Prof. Dr. Claudia Kl�uppelberg: cklu@mathematik.tu-muenchen.deMarcus Schulmerich: Marcus.Schulmerich@t-online.de99

Das Programm ist so geschrieben, da� es sowohl unter UNIX als auch unter MS-DOS l�auft. Der einzige Unterschied zwischen beiden Betriebssystemversionen liegtdarin, da� die DOS-Version nur f�ur Datens�atze mit maximaler L�ange 2601 konzipiertist2, und da� alle Dateien im gleichen Verzeichnis wie das Hauptprogramm liegen.Wir werden uns im folgenden auf die UNIX-Version des Programms beziehen, daalle Untersuchungen auf den UNIX-Workstations des Fachbereichs Mathematik derUniversit�at Mainz vorgenommen wurden.Parametersch�atzung:Die Parameter k�onnen gesch�atzt werden f�ur einen �nanzwirtschaftlichen Datensatz,einen oder mehrere simulierte Datens�atze oder einen beliebigen, vom Benutzer ein-gebbaren Datensatz:(i) �nanzwirtschaftlicher Datensatz:In dem Verzeichnis f daten sind diejenigen Daten abgelegt, die von der ADIGInvestment Gesellschaft Frankfurt zur Verf�ugung gestellt wurden. Es handeltsich dabei um:- REX (Rentenindex): Kurswerte (ab 1.1.88) und Renditewerte (ab 12.6.91)- Deutsche Pfandbriefe: Renditewerte (ab 30.12.87)- PEX (Deutscher Pfandbrie�ndex): Renditewerte (ab 30.12.87)Nach der Auswahl der Art des Datensatzes (REX, PEX, Dt. Pfandbrief) sindnoch (falls wie beim REX erforderlich) die Art der Zahlen (Renditewerte oderKurswerte) und die Laufzeit (1 bis 10 Jahre) einzugeben.(ii) eigener Datensatz:Alle Datens�atze, die nicht im Programm schon von vorneherein eingebaut sind,k�onnen in das Verzeichnis e daten kopiert werden und mittels Angabe ihres Da-teinames ebenfalls untersucht werden. Hier be�nden sich die LIBOR-Zinss�atze(ab 13.5.93) und die Swap-Zinss�atze (ab 1.1.88).(iii) simulierter Datensatz:Unter diesem Men�upunkt besteht die M�oglichkeit, einen oder mehrere Pfadeeines Mean-Reverting-Prozesses aus Kapitel 3 zu simulieren und anschlie�enddie Parameter zu sch�atzen. Dieser Men�upunkt dient insbesondere der systema-tischen Untersuchung der Sch�atzverfahren aus Teil II, die im Rahmen dieserDiplomarbeit durchgef�uhrt wurden und in Kapitel 8 dargestellt sind. Alle si-mulierten Datens�atze werden im Verzeichnis s daten abgelegt.Einzugeben sind zuerst die Parameter des zuvor ausgew�ahlten Mean-Reverting-Prozesses (�; �; � und ). Ferner sind folgende Gr�o�en einzugeben:(a) Startpunkt x0 des Prozesses,(b) Ende T des Beobachtungszeitraums [0; T ],2Der Grund hierf�ur liegt in der Hauptspeicherbeschr�ankung der DOS-Rechnerarchitektur.100

(c) Schrittweite �s f�ur die Simulation (siehe Anhang B),(d) Anzahl n+ 1 der in [0; T ] beobachteten Punkte des Prozesses,(e) Simulationsart (siehe Anhang B),(f) Anzahl der zu simulierenden Pfade.Die so erhaltenen Datens�atze werden in dem Verzeichnis s daten unter denNamen pfad1.dat, pfad2.dat, : : : gespeichert.Nachdem der/die Datens�atze f�ur die Parametersch�atzung bekannt sind, kann manausw�ahlen, welches Sch�atzverfahren aus Teil II ausgef�uhrt werden soll. Eventuellm�ussen dann noch verfahrensabh�angige Gr�o�en eingegeben werden; dies ist aber imProgramm erl�autert.Die Ausgabe besteht f�ur jedes Verfahren mindestens aus dem Sch�atzwert. Werdenmehrere Pfade untersucht, so ist der Sch�atzwert das arithmetische Mittel der Sch�atz-werte jedes einzelnen Pfades; ferner werden dann Varianz und Standarderror (= mitt-lerer quadratischer Fehler) angegeben. Wurde nur ein einziger Datensatz untersucht,so besteht au�erdem die M�oglichkeit, zwei Modellkontrollverfahren durchzuf�uhren,wie es zu Anfang dieses Kapitels beschrieben wurde. Der f�ur das Diskretisierungskon-trollverfahren erzeugte Datensatz wird unter dresiduen.dat gespeichert, und der beidem Pedersen-Verfahren erzeugte Datensatz unter presiduen.dat, jeweils in dem glei-chen Verzeichnis, wo sich auch das Programm be�ndet. In dem Statistikprogramm S+kann anschlie�end der QQ-Plot dazu angeschaut werden, was in meinem Programmgenau beschrieben ist.Parallel zum Programm kann in S+ ein Datensatz mittels folgender Befehle darge-stellt werden:� bild(\dateiname\)Der Graph eines simulierten Pfades von einem Proze�, dessen Daten in derDatei dateiname gespeichert sind, wird erzeugt. In dateiname mu� auch dasVerzeichnis des entsprechenden Pfades angegeben werden, falls die Datei da-teiname nicht im gleichen Verzeichnis wie das Programm abgelegt ist.Beispiel: bild(\s daten/pfad1.dat\)� bild.r(\dateiname\)Gleiche Funktion wie bei bild, jedoch speziell f�ur die Darstellung eines Daten-satzes, der Renditewerte enth�alt.Beispiel: bild.r(\f daten/r rex5.dat\)� bild.k(\dateiname\)Gleiche Funktion wie bei bild, jedoch speziell f�ur die Darstellung eines Daten-satzes, der Kurswerte enth�alt.Beispiel: bild.k(\f daten/k rex7.dat\)101

Durch die Eingabe vonhisto(\dateiname\, anzahl, \art\), wobei anzahl 2 IN; art 2 fa; rg;kann ferner ein Histogramm zu dem in dateiname enthaltenen Datensatz erzeugtwerden. Die Variable anzahl gibt dabei die Anzahl der Unterteilungen in dem Hi-stogramm an und art, ob im Histogramm absolute (\a\) oder relative (\r\) Werteaufgetragen werden sollen. Beispiel: histo(\dresiduen.dat\, 50, \r\)Spezielle Sch�atzverfahren:Der auf dem Ansatz der �Ubergangsdichten basierende MLS wird bei den in Kapitel3 behandelten Modellen auf zwei verschiedene Arten berechnet:� Ornstein-Uhlenbeck-Proze� und Vasicek-Modell:�Ubergangsdichte ist als explizite Formel bekannt (siehe 5.15, 5.16).� CIR- und verallgemeinertes CIR-Modell:�Ubergangsdichte wird approximiert (Di�usionsapproximation, siehe Kapitel 5).Allen diesen Verfahren ist gemeinsam, da� ein Suchintervall f�ur den zu sch�atzen-den Parameter einzugeben ist. Innerhalb dieses Intervalls werden die Log-Likelihood-Funktionswerte f�ur ein Gitter von Parameterwerten berechnet. Dabei ist der Abstandzwischen zwei benachbarten Punkten (bei zweidimensionalem Gitter ist es der senk-rechte Abstand) als Genauigkeit f�ur den Sch�atzwert einzugeben. Der Sch�atzwert istdann derjenige Gitterwert, f�ur den der Log-Likelihood-Funktionswert aller Gitter-punkte am gr�o�ten ist.Bei einigen Verfahren ist nur mittels eines iterativen Algorithmus eine Berechnungder Sch�atzwerte m�oglich. F�ur einen solchen Algorithmus (zweidimensionales verall-gemeinertes Newton-Verfahren, siehe Reverchon & Ducamp [22], Seite 313 �.) sinddie Startwerte f�ur die beiden zu berechnenden Parameter und - wie beim Newton-Verfahren �ublich - die Abbruchgenauigkeit des Algorithmus anzugeben (genaueres istim Anhang den Einf�uhrungen zu den jeweiligen Tabellen zu entnehmen).Die einzelnen Sch�atzwerte f�ur jeden Pfad/Datensatz einer Sch�atzung der Parameter�; �; � bzw. werden in den entspechenden Dateien ergeb a.dat, ergeb b.dat, er-geb s.dat bzw. ergeb g.dat im Verzeichnis ergebnisse gespeichert. Die bei einigen Sch�atz-verfahren angelegte Hilfsdatei l n.dat enth�alt f�ur den Anwender keine wichtige Infor-mation, sie ist nur programmintern von Bedeutung.Simulation eines Prozesses:Dieser Men�upunkt ist gleichgestaltet wie der Simulationsvorgang unter dem Men�u-punkt Parametersch�atzung. Der einzige Unterschied besteht darin, da� hier nur einDatensatz allein simuliert wird und da� keine Anzahl n+ 1 von Beobachtungen desProzesses eingegeben werden kann. Der Name, unter dem die simulierten Proze�datenim Verzeichnis s daten gespeichert werden, ist frei w�ahlbar.102

Kapitel 8Untersuchung simulierterDatens�atze8.1 Einf�uhrungMit diesem Kapitel beginnt die praktische Anwendung der bisher entwickelten Theo-rie auf Datens�atze, wobei in Kapitel 8 simulierte Daten betrachtet werden. Dazu wur-den zuerst Beispieldatens�atze gem�a� dem Taylor-1.5-Schema (siehe Anhang B) f�urjedes der in Kapitel 3 vorgestellten Mean-Reversion-Modelle erzeugt. Grundlage f�uralle Untersuchungen in diesem und dem folgenden Kapitel bildet das C-Programm,das ich f�ur die Diplomarbeit geschrieben habe. In ihm sind alle Sch�atz- und Simu-lationsverfahren realisiert, die in Teil II bzw. Anhang B vorgestellt sind und diejetzt getestet werden. Ferner wird in diesem Kapitel das Verfahren der simultanen�- -Sch�atzung untersucht, das in dieser Diplomarbeit neu entwickelt wurde.Um verl�a�liche Aussagen �uber die Qualit�at der Sch�atzverfahren machen zu k�onnen,wurden f�ur ein Sch�atzbeispiel stets 100 Pfade mit den gleichen Parametern simu-liert. F�ur jeden einzelnen Pfad wurden dann die Parameter gesch�atzt und aus diesenEinzelsch�atzwerten der im Programm angegebene Sch�atzwert als arithmetisches Mit-tel berechnet. Ferner wurden dabei die Varianz und der Standarderror (= mittlererquadratischer Fehler) berechnet. Alle diese Werte sind in den Anh�angen C, D, Eund F jeweils f�ur die Modelle zusammengefa�t. Dort be�ndet sich eine detaillierteBeschreibung, wie die Sch�atzwerte ermittelt wurden. Die Ergebnisse der simultanen�- -Sch�atzung sind in Anhang G dokumentiert.Bei den Tabellen im Anhang stand die Interdependenz von Sch�atzwert, Simulati-onsschrittweite �s und dem Quotienten Tn =: � (T = Beobachtungshorizont, n+ 1= Anzahl der Beobachtungen) f�ur die Sch�atzverfahren im Vordergrund. In Kapitel8 hingegen sollen nun den Auswirkungen der Parameter T und n das Augenmerkgelten. Alle in den Tabellen von Kapitel 8 enthaltenen Werte stammen aus den Ta-bellen im Anhang, jetzt allerdings zweckorientiert geordnet. Kapitel 8 wird zeigen,wie gut die Sch�atzwerte sind und welche Verfahren bei der sp�ateren Anwendung auf�nanzwirtschaftliche Datens�atze bevorzugt werden sollten.Ein weiterer Aspekt dieses Kapitels ist, die beiden im vorhergehenden Kapitel vorge-stellten Modellkontrollverfahren an simulierten Daten zu testen. Da man bei diesenDatens�atzen das zugrundeliegende Modell kennt, sind f�ur die QQ-Plots gute Ergeb-nisse auf der Basis eben diesen Modells zu erwarten. Wir werden f�ur einige Beispieledie QQ-Plots erzeugen, wobei diese nat�urlich nur auf einem einzigen Pfad beruhen.103

Sch�atzergebnisse beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze�Wir betrachten in diesem Abschnitt einen Ornstein-Uhlenbeck-Proze� mit den Pa-rametern � = �3; � = 2 und dem Startwert x0 = 0. Die einen solchen Proze�beschreibende SDE lautet:dXt = �Xt dt + � dBt; t � 0; X0 = x0:Der Beobachtungshorizont sei [0; T ] und n+1 die Anzahl an Beobachtungen. Gem�a�der in Teil II entwickelten Theorie mu� - bis auf den Sch�atzer der einfachen Martin-galsch�atzfunktion - die Volatilit�atskonstante � zuerst gesch�atzt werden. Daher wirddie �-Sch�atzung im Programm auch als prim�are Sch�atzung bezeichnet. Das hierf�ur in4.3 entwickelte Sch�atzverfahren der quadratischen Variation erweist sich in der Pra-xis als sehr gut, da es schon bei geringer Anzahl von Beobachtungen hervorragendeSch�atzwerte liefert. Bei der ersten Tabelle wurde f�ur jedes Beispiel die gleiche Anzahlvon Punkten simuliert (T=�s ist konstant, d.h., der gleiche Proze� liegt vor) unddann verschiedene Werte f�ur den Beobachtungshorizont T gew�ahlt.Tabelle 8.1: Links: n = 1000; rechts: n = 2000.T �s � Varianz Std-error T �s � Varianz Std-error1000 0.1 1.1103 0.0009 0.7924 2000 0.1 1.1131 0.0004 0.7869100 0.01 1.8620 0.0015 0.0205 200 0.01 1.8592 0.0008 0.020610 0.001 1.9836 0.0015 0.0018 20 0.001 1.9844 0.0009 0.00111 0.0001 2.0012 0.0020 0.0020 2 0.0001 1.9999 0.0009 0.0009F�ur die Genauigkeit der Sch�atzwerte ist insbesondere die Wahl von � = Tn wichtig:Je kleiner bei der �-Sch�atzung das � ist, desto besser ist der Sch�atzwert. DieserZusammenhang ist neu und kann nicht aus 4.3 abgeleitet werden, da dort die Kon-vergenz in Wahrscheinlichkeit f�ur n! 1 gilt. Dieses Ergebnis wird f�ur die Analysevon �nanzwirtschaftlichen Datens�atzen eine wichtige Rolle spielen, da wir uns dortdie Bedeutung von T in der Praxis �uberlegen m�ussen.Nachdem die Volatilit�at nun bekannt ist, k�onnen wir mit der Sch�atzung der Drift be-ginnen (im Programm als sekund�are Sch�atzung bezeichnet), d.h., wir wollen Sch�atz-werte f�ur � erhalten. Dazu gibt es nach Teil II beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze�verschiedene M�oglichkeiten:� MLS basierend auf bekannten �Ubergangsdichten (siehe (28) in Kap. 4 und 5.16).� MLS basierend auf dem kontinuierlichen Ansatz, wobei es zwei Berechnungs-verfahren gibt: Der diskretisierte MLS �d und der genaue MLS �g (vgl. 4.7).� Sch�atzer aus der einfachen Martingalsch�atzfunktion 6:11= Sch�atzer aus der opti-malen Martingalsch�atzfunktion (siehe Tabelle 6.1).Im folgenden sind f�ur jedes der obigen Sch�atzverfahren Sch�atzwerte mit Varianz undStandarderror zusammengestellt. Die Bedeutung einer Varianz von Null ist in derEinf�uhrung zu Anhang C erl�autert.MLS basierend auf �Ubergangsdichten:Die nachfolgende Tabelle zeigt deutlich, da� die Wahl des Beobachtungshorizonts Teinen gro�en Ein u� auf die Sch�atzung hat:104

Tabelle 8.2: Links: n = 1500; rechts: n = 2500.T �s � Varianz Std-error T �s � Varianz Std-error1500 0.1 -2.7600 0 0.0576 2500 0.1 -2.7600 0 0.0576150 0.01 -2.7857 0.0031 0.0490 250 0.01 -2.7700 0.0010 0.053915 0.001 -3.0020 0.0472 0.0472 25 0.001 -3.0033 0.0433 0.04331.5 0.0001 -3.0417 0.0550 0.0567 2.5 0.0001 -3.0291 0.0525 0.0534Ist T zu gro� oder allzu klein, so ist der Sch�atzwert relativ schlecht. Ebenso f�allt auf,da� die empirische Varianz des Sch�atzers mit kleiner werdendem T immer gr�o�er wird,was ein sehr negativer E�ekt ist. F�ur die Praxis ist dieses Verfahren nicht zu empfeh-len, zumal es lange dauert und stets ein Intervall angegeben werden mu�, innerhalbdessen nach dem MLS gesucht werden soll. Bei �nanzwirtschaftlichen Datens�atzenist aber nicht bekannt, wo der wahre Parameterwert liegt, so da� das Suchintervallgro� zu w�ahlen w�are, was den Zeitaufwand erheblich erh�oht.Tabelle 8.3: Links: �s = � = 0:001; rechts: �s = � = 0:01.n � Varianz Std-error n � Varianz Std-error500 -3.1246 0.0468 0.0623 500 -3.0499 0.0528 0.05531000 -3.0565 0.0560 0.0592 1000 -3.0151 0.0494 0.04961500 -3.0777 0.0526 0.0586 1500 -3.0284 0.0449 0.04572000 -3.0443 0.0583 0.0603 2000 -2.9909 0.0328 0.04502500 -3.0273 0.0535 0.0542 2500 -2.9967 0.0469 0.04693000 -3.0336 0.0505 0.0517 3000 -2.9825 0.0440 0.04433500 -3.0493 0.0560 0.0584 3500 -2.9979 0.0446 0.04464000 -3.0395 0.0557 0.0572 4000 -3.0154 0.0470 0.04194500 -3.0284 0.0549 0.0550 4500 -3.0148 0.0433 0.04355000 -3.0221 0.0511 0.0516 5000 -3.0034 0.0462 0.0463Man erkennt bei dieser Tabelle, da� Konvergenz des Sch�atzwertes gegen den wahrenParameterwert vorliegt, wobei sich bei gr�o�erem � eine etwas schnellere Konvergenzzeigt. Aber auch in dieser �Ubersicht f�allt die gro�e Varianz auf, die sich auch beigr�o�erem n nicht verringert.MLS basierend auf dem kontinuierlichen Ansatz:Tabelle 8.4: Diskretisierter MLS �d und genauer MLS �g f�ur � = �s = 0:01.n �d Varianz Std-error �g Varianz Std-error500 -3.5785 1.8321 2.1667 -3.5839 1.8272 2.16671000 -3.1383 0.6054 0.6246 -3.1327 0.5688 0.58641500 -3.1300 0.5081 0.5250 -3.1298 0.5011 0.51802000 -3.0593 0.2905 0.2940 -3.0587 0.2857 0.28922500 -3.0616 0.2830 0.2868 -3.0610 0.2803 0.28403000 -3.0307 0.2606 0.2615 -3.0305 0.2606 0.26163500 -3.0179 0.1747 0.1750 -3.0183 0.1787 0.17914000 -3.0371 0.1276 0.1290 -3.0355 0.1179 0.11924500 -3.0460 0.1417 0.1439 -2.9996 0.1333 0.13335000 -3.0305 0.1094 0.1103 -3.0308 0.1117 0.1126Man sieht, da� bei gro�er Anzahl von Beobachtungen die Sch�atzwerte sowie dieVarianzen sehr gut sind. Der Unterschied zwischen beiden Sch�atzern �d und �g ist nurminimal, was sich aus den Formel in 4.7 ergibt. Im Vergleich mit der nachfolgendenTabelle sieht man ferner: Die Konvergenz gegen den wahren Parameterwert ist f�urkleines � langsamer als f�ur gr�o�ere Werte von �. Dies hatten wir auch schon beidem ersten Ansatz f�ur den MLS (�Ubergangsdichten) festgestellt.105

Tabelle 8.5: Diskretisierter MLS �d und genauer MLS �g f�ur � = �s = 0:001.n �d Varianz Std-error �g Varianz Std-error500 -6.7631 44.3540 58.5149 -6.7646 44.8331 59.00511000 -4.8431 17.7346 21.1315 -4.8602 18.1105 21.57101500 -3.9710 6.4800 7.4229 -3.9813 6.5673 7.53032000 -4.1746 5.6979 7.0776 -4.1655 5.4636 6.82202500 -3.7708 3.9946 4.5888 -3.7632 3.9369 4.51943000 -3.5451 3.0395 3.3367 -3.5472 3.0868 3.38623500 -3.2225 1.5206 1.5701 -3.2202 1.4959 1.54444000 -3.5674 2.4285 2.7504 -3.5672 2.4284 2.74784500 -3.5991 1.9354 2.2944 -3.5976 1.9288 2.28605000 -3.5348 1.3586 1.6446 -3.5350 1.3675 1.6537Sch�atzer aus der einfachen/optimalen Martingalsch�atzfunktion:Tabelle 8.6: Links: � = �s = 0:1; rechts: � = �s = 0:01.n � Varianz Std-error n � Varianz Std-error500 -2.9830 0.1502 0.1505 500 -3.6537 1.9907 2.41811000 -2.9751 0.0762 0.0762 1000 -3.1982 0.6900 0.72931500 -2.9580 0.0553 0.0570 1500 -3.2110 0.4045 0.44902000 -2.9469 0.0405 0.0433 2000 -3.1102 0.3328 0.34502500 -2.9475 0.0327 0.0355 2500 -3.0671 0.2783 0.28283000 -2.9491 0.0227 0.0227 3000 -3.0704 0.2164 0.22133500 -2.9512 0.0251 0.0275 3500 -3.0653 0.1863 0.19054000 -2.9459 0.0197 0.0226 4000 -3.0773 0.1733 0.17934500 -2.9460 0.0161 0.0191 4500 -3.0746 0.1612 0.16685000 -2.9508 0.0149 0.0173 5000 -3.0515 0.1666 0.1692Die Tabellen zeigen deutlich den Ein u� von n auf den Sch�atzwert und die Vari-anz bei ansonst konstanten Gr�o�en, was wir auch schon beim MLS gesehen hatten.Dar�uber hinaus ist bei kleinem � eine Konvergenz dieses Verfahrens f�ur n!1 gutzu beobachten, wobei sich bei unseren Untersuchungen im Hinblick auf die �nanzwirt-schaftlichen Datens�atze bei Ver�anderung von n auch das T entsprechend mit�andernmu�.Zum Abschlu� dieses Abschnitts sind die QQ-Plots zu einem Beispielpfad einesOrnstein-Uhlenbeck-Prozesses auf Grundlage der Sch�atzwerte aus einer einfachenMartingalsch�atzfunktion erstellt. Speziell wurden gew�ahlt: � = �3; � = 2; x0 =0; T = 100;�s = 0:01 und n = 2500. Dabei wurden die ersten 500 Werte bei derErstellung der QQ-Plots weggelassen, da hier der Proze� im allgemeinen noch nichtstation�ar ist. Als Sch�atzwerte haben sich � = 1:9014 und � = �2:7191 ergeben. Daf�ur die Modellkontrollverfahren auch ein Ornstein-Uhlenbeck-Proze� angenommenwurde, m�ussen die Graphen sehr nahe bei der Hauptdiagonale liegen, die (vgl. 7.5)die \Zielgerade\ ist.•

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empirische Quantile der geschaetzten Zuwaechse

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Stand

ardnor

malve

rteilun

g

-2 0 2

-3-2

-10

12

3

Abbildung 8.1: Diskretisierungskontrollverfahren: QQ-Plot zu einem Pfad bei einem Ornstein-Uhlenbeck-Proze�. 106

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empirische Quantile der geschaetzten Residuen

Quant

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Gleic

hvertei

lung a

uf [0,1

]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.2

0.40.6

0.81.0

Abbildung 8.2: Pedersen-Kontrollverfahren: QQ-Plot zu einem Pfad bei einem Ornstein-Uhlenbeck-Proze�.Sch�atzergebnisse beim Vasicek-ModellBeim Vasicek-Modell, das als L�osung der SDEdXt = (� + �Xt) dt + � dBt; t � 0; X0 = x0;gegeben ist, wurde das Beispiel � = �1; � = 5; � = 3 und x0 = 0 behandelt. Auchhier ist zuerst die Bestimmung der Volatilit�atskonstante � mittels des Verfahrens derquadratischen Variation n�otig, siehe 4.3:Tabelle 8.7: Links: n = 1500; rechts: n = 2500.T �s � Varianz Std-error T �s � Varianz Std-error1500 0.1 2.3786 0.0022 0.3884 2500 0.1 2.3755 0.0016 0.3915150 0.01 2.9332 0.0024 0.0068 250 0.01 2.9305 0.0019 0.006715 0.001 2.9999 0.0025 0.0025 25 0.001 2.9962 0.0015 0.00151.5 0.0001 2.9995 0.0026 0.0026 2.5 0.0001 3.0016 0.0023 0.0023Die Sch�atzwerte sind f�ur � auch bei diesem Vasicek-Beispiel sehr gut. Dabei sinddie empirischen Varianzen des Sch�atzers sehr klein, was wichtig ist f�ur die Praxis,da dort jeweils nur ein einziger Datensatz zur Analyse vorliegt. Nach Sch�atzung derVolatilit�atskonstanten � k�onnen wir die Sch�atzung des zweidimensionalen Parameters� = (�; �) vornehmen. Hierzu gibt es gem�a� Teil II folgende Sch�atzverfahren:� MLS basierend auf bekannten �Ubergangsdichten (siehe (28) in Kap. 4 und 5.15).� Sch�atzer aus der einfachen Martingalsch�atzfunktion 6:14= Sch�atzer aus der opti-malen Martingalsch�atzfunktion (siehe Tabelle 6.1).Bei den nachfolgenden Tabellen dieses Kapitels, die die Driftparameter betre�en (au-�er der bei der simultanen �- -Sch�atzung), ist stets die Spalte ��=� angef�ugt. Diesist der Mean-Reversion-Level, der (siehe Kapitel 3) bei allen in Kapitel 8 analysiertenModellen der Grenzwert von E(Xt) f�ur t!1 ist.MLS basierend auf �Ubergangsdichten:Da dieses Sch�atzverfahren im Zweidimensionalen und bei jeweils 100 betrachtetenPfaden pro Sch�atzbeispiel sehr lange dauert (mehrere Stunden auf den UNIX-Rech-nern des Fachbereichs Mathematik), wurden nur einige Beispiele durchgerechnet. F�ur107

die Praxis ist dieses Verfahren wegen des hohen Zeitaufwands und insbesondere derschlechten Ergebnisse f�ur die empirische Varianz des Sch�atzers (bei sehr kleinem T )nicht geeignet, wie die nachfolgende Tabelle zeigt. Ebenso ist ersichtlich, da� manbeim Vasicek-Modell - wie schon im Spezialfall eines Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses -den Beobachtungshorizont T weder zu gro� noch zu klein w�ahlen darf.Tabelle 8.8: MLS basierend auf �Ubergangsdichten.MLS - basierend auf �UbergangsdichtenT n �s Pfade | � | | � |� Varianz Std-error � Varianz Std-error ��=�1500 1500 0.1 100 -0.9121 0.0002 0.0079 4.7500 0 0.0625 5.2077150 1500 0.01 100 -0.9856 0.0039 0.0041 4.9533 0.0476 0.0498 5.025715 1500 0.001 100 -1.0424 0.0191 0.0209 5.0800 0.0486 0.0550 4.87341.5 1500 0.0001 100 -1.0655 0.0512 0.0555 5.0033 0.0553 0.0553 4.69572000 2000 0.1 100 -0.9129 0.0001 0.0077 4.7500 0 0.0625 5.2032200 2000 0.01 100 -0.9853 0.0029 0.0031 4.9450 0.0436 0.0466 5.018820 2000 0.001 100 -1.0439 0.0150 0.0170 5.0850 0.0469 0.0541 4.87122 2000 0.0001 100 -1.0926 0.0419 0.0505 5.0223 0.0535 0.0540 4.59672500 2500 0.1 100 -0.9122 0.0001 0.0078 4.7500 0 0.0625 5.2072250 2500 0.01 100 -0.9790 0.0027 0.0032 4.9139 0.0385 0.0459 5.019325 2500 0.001 100 -1.0275 0.0134 0.0141 5.0576 0.0504 0.0537 4.92222.5 2500 0.0001 100 -1.0758 0.0403 0.0460 5.0528 0.0537 0.0565 4.6968Sch�atzer aus der einfachen/optimalen Martingalsch�atzfunktion:Tabelle 8.9: � = �s = 0:1.n � Varianz Std-error � Varianz Std-error ��=�500 -1.1058 0.0485 0.0597 5.4569 1.3841 1.5929 4.93481000 -1.0427 0.0196 0.0214 5.2567 0.5504 0.6163 5.04141500 -1.0217 0.0136 0.0141 5.1158 0.3905 0.4039 5.00712000 -1.0091 0.0117 0.0118 5.0227 0.3041 0.3046 4.97742500 -1.0054 0.0082 0.0082 5.0274 0.2373 0.2381 5.00043000 -1.0129 0.0056 0.0058 5.0837 0.1758 0.1828 5.01903500 -1.0101 0.0073 0.0074 5.0657 0.1937 0.1980 5.01504000 -1.0211 0.0070 0.0075 5.1170 0.1919 0.2056 5.01134500 -1.0075 0.0044 0.0044 5.0481 0.1350 0.1373 5.01055000 -1.0000 0.0048 0.0048 5.0146 0.1170 0.1188 5.0146Man erkennt sehr gut, da� die Sch�atzwerte umso besser werden, je mehr Beobach-tungen vorliegen. Von allen f�ur das Vasicek-Modell im Rahmen der Diplomarbeituntersuchten Verfahren liefert der Sch�atzer aus der einfachen Martingalsch�atzfunk-tion das beste Resultat, sowohl bez�uglich der Genauigkeit der Sch�atzung, als auchbez�uglich ihrer Geschwindigkeit. Die n�achste Tabelle zeigt aber im Vergleich mit Ta-belle 8.9, da� es bei kleinem � l�anger dauert, bis der Sch�atzwert (sowohl bei � alsauch bei �) nahe dem wahren Wert des Parameters liegt. Auch dieser E�ekt warbeim Ornstein-Uhlenbeck-Proze� schon aufgetreten.Tabelle 8.10: � = �s = 0:01.n � Varianz Std-error � Varianz Std-error ��=�500 -1.7024 0.6442 1.1375 7.5575 15.1732 21.7139 4.43931000 -1.3435 0.2782 0.3962 6.5622 7.4867 9.9270 4.88441500 -1.1974 0.1819 0.2208 6.0375 5.2319 6.3083 5.04282000 -1.1925 0.1547 0.1917 5.9864 4.6191 5.5921 5.02002500 -1.1062 0.0822 0.0934 5.6336 2.5470 2.9484 5.09273000 -1.0957 0.0550 0.0641 5.4724 1.4950 1.7182 4.99443500 -1.1089 0.0657 0.0775 5.5491 1.7771 2.0786 5.00414000 -1.0869 0.0558 0.0633 5.3773 1.7098 1.8521 4.94744500 -1.0888 0.0489 0.0568 5.4450 1.4201 1.5517 5.00465000 -1.0850 0.0500 0.0573 5.4310 1.2666 1.4523 5.0055108

F�ur einen Pfad eines Vasicek-Modells wurden auf Grundlage der Sch�atzwerte ausder einfachen Martingalsch�atzfunktion die QQ-Plots f�ur die beiden Modellkontroll-verfahren erstellt. Das den Modellkontrollverfahren zugrundeliegende Modell ist dasVasicek-Modell, so da� eine gute �Ubereinstimmung des Graphen mit der Hauptdia-gonale erwartet werden kann. Es wurden speziell gew�ahlt: � = �1; � = 5; � = 3; x0 =0; T = 100;�s = 0:01 und n = 2500, wobei sich als Sch�atzwerte � = 2:9981; � =�0:9787 und � = 5:0703 ergeben haben. Erneut wurden f�ur die Erstellung der QQ-Plots die ersten 500 Werte weggelassen, um im station�aren Fall des Prozesses zusein.••

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Abbildung 8.3: Diskretisierungskontrollverfahren: QQ-Plot zu einem Pfad im Vasicek-Modell.••••••••••••••••••••••••••••••••••••

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empirische Quantile der geschaetzten Residuen

Quant

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Gleic

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lung a

uf [0,1

]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.2

0.40.6

0.81.0

Abbildung 8.4: Pedersen-Kontrollverfahren: QQ-Plot zu einem Pfad im Vasicek-Modell.Sch�atzergebnisse beim CIR-ModellDas CIR-Modell ist gegeben als L�osung der SDEdXt = (� + �Xt) dt + �pXt dBt; t � 0; X0 = x0:Bei unserem Testbeispiel sind � = �2; � = 10; � = 0:5 und x0 = 0:01. Hier haben wirerstmals ein Mean-Reversion-Modell, bei dem die Volatilit�at nicht mehr konstant,sondern proze�abh�angig ist. Das f�uhrt dann (vgl. 6.14) auch dazu, da� der Sch�atzeraus der optimalen Martingalsch�atzfunktion ein anderer ist als der Sch�atzer aus dereinfachen Martingalsch�atzfunktion: Bei der einfachen Martingalsch�atzfunktion wirddie Volatilit�atskonstante � nicht ben�otigt, jedoch bei der optimalen Martingalsch�atz-funktion, da gem�a� 6.13(ii) die bedingte Varianz �-abh�angig ist. Aus diesem Grundwird zuerst � gesch�atzt mittels der quadratischen Variation:109

Tabelle 8.11: Links: n = 1500; rechts: n = 2500.T �s � Varianz Std-error T �s � Varianz Std-error1500 0.1 0.3308 0.00004 0.02866 2500 0.1 0.3291 0.00003 0.02923150 0.01 0.4806 0.00007 0.00045 250 0.01 0.4784 0.00005 0.0005215 0.001 0.5013 0.00007 0.00007 25 0.001 0.4993 0.00004 0.000051.5 0.0001 0.5042 0.00008 0.00010 2.5 0.0001 0.5028 0.00005 0.00006Auch bei proze�abh�angiger Drift ist die Genauigkeit des Sch�atzers selbst bei wenigenBeobachtungen sehr gut, wenn � = Tn nicht allzu gro� ist. F�ur den Driftparameter� = (�; �) haben wir in Teil II drei verschiedene Sch�atzverfahren kennengelernt:� Sch�atzer aus der einfachen Martingalsch�atzfunktion (siehe Tabelle 6.1).� Sch�atzer aus der optimalen Martingalsch�atzfunktion (siehe 6.14).� MLS basierend auf approximierten �Ubergangsdichten (Di�usionsapproximati-on, siehe Struktogramm hierzu in Kapitel 5 sowie die Formel (28), Kapitel 4,f�ur die Likelihood-Funktion).Sch�atzer aus der einfachen Martingalsch�atzfunktion:Tabelle 8.12: �s = � = 0:01.n � Varianz Std-error � Varianz Std-error ��=�500 -2.0736 0.1151 0.1205 10.2225 1.8960 1.9455 4.92981000 -2.0746 0.0987 0.1043 10.3320 2.2254 2.3356 4.98021500 -2.0313 0.0971 0.0981 10.1443 2.2741 2.2949 4.99402000 -1.9744 0.0717 0.0723 9.8909 1.7175 1.7294 5.00962500 -2.0477 0.0900 0.0923 10.2102 2.1505 2.1947 4.98623000 -2.0195 0.0725 0.0729 10.1135 1.6367 1.6496 5.00803500 -2.0258 0.0717 0.0724 10.1251 1.6412 1.6569 4.99814000 -2.0201 0.0969 0.0973 10.0948 2.2676 2.2766 4.99724500 -2.0072 0.0731 0.0731 10.0508 1.7646 1.7672 5.00745000 -1.9924 0.0657 0.0658 9.9628 1.5322 1.5336 5.0004Tabelle 8.13: �s = � = 0:001.n � Varianz Std-error � Varianz Std-error ��=�500 -2.0702 0.5817 0.5866 10.1240 0.5304 0.5457 4.89031000 -2.0175 0.1611 0.1644 10.0847 0.6292 0.6364 4.99861500 -2.0380 0.0944 0.0959 10.1482 0.6131 0.6351 4.97952000 -2.0771 0.0842 0.0902 10.1996 0.5047 0.5446 4.91052500 -2.0222 0.0589 0.0594 10.1030 0.5310 0.5416 4.99603000 -2.0000 0.0452 0.0452 10.0072 0.3978 0.3978 5.00363500 -1.9978 0.0581 0.0582 10.0165 0.6854 0.6857 5.01384000 -2.0272 0.0511 0.0518 10.1303 0.5905 0.6074 4.99724500 -2.0257 0.0411 0.0417 10.0724 0.5059 0.5281 4.97235000 -2.0070 0.0303 0.0304 10.0255 0.4592 0.4599 4.9953Auch beim CIR-Modell stellen sich sehr gute Sch�atzwerte bei der einfachen Mar-tingalsch�atzfunktion ein. Daher wird bei den �nanzwirtschaftlichen Datens�atzen inKapitel 9 f�ur das CIR-Modell stets dieser Sch�atzer verwendet.Sch�atzer aus der optimalen Martingalsch�atzfunktion:Bei der optimalen Martingalsch�atzfunktion mu� ein zweidimensionales Iterationsver-fahren1 verwendet werden, um die Sch�atzwerte � und � zu ermitteln, da die expliziteAngabe der Sch�atzer f�ur � und � nicht m�oglich ist (siehe 6.14).1Zweidimensionales verallgem. Newtonverfahren, siehe Reverchon & Ducamp [22], Seite 313 �..110

Tabelle 8.14: �s = � = 0:1.n � Varianz Std-error � Varianz Std-error ��=�500 -1.9792 0.3626 0.3630 9.9030 9.0893 9.0987 5.00351000 -1.9474 0.4305 0.4333 9.7387 10.6928 10.7610 5.00091500 -1.9862 0.1043 0.1044 9.9160 2.5533 2.5604 4.99242000 -2.0459 0.0889 0.0910 10.2351 2.1966 2.2519 5.00272500 -2.0395 0.0773 0.0789 10.1960 1.9271 1.9655 4.99933000 -1.9708 0.0413 0.0422 9.8583 1.0249 1.0450 5.00223500 -2.0057 0.0399 0.0399 10.0337 0.9862 0.9874 5.00264000 -1.9973 0.0269 0.0269 9.9919 0.6670 0.6671 5.00284500 -1.9924 0.0276 0.0277 9.9589 0.6870 0.6887 4.99845000 -1.9823 0.0283 0.0296 9.9140 0.7246 0.7320 5.0013Tabelle 8.15: �s = � = 0:01.n � Varianz Std-error � Varianz Std-error ��=�500 -2.0683 0.0571 1.9455 10.2013 0.7647 0.8052 4.93221000 -2.0567 0.0378 0.0410 10.2452 0.8460 0.9061 4.98141500 -2.0417 0.0353 0.0370 10.1920 0.8015 0.8383 4.99192000 -2.0048 0.0272 0.0723 10.0368 0.6165 0.6178 5.00642500 -2.0464 0.0308 0.0330 10.2027 0.7185 0.7596 4.98573000 -1.9952 0.0271 0.0272 9.9853 0.5919 0.5921 5.00473500 -2.0204 0.0353 0.0358 10.1043 0.8048 0.8157 5.00114000 -2.0253 0.0233 0.0240 10.1411 0.5732 0.5931 5.00724500 -2.0216 0.0307 0.0311 10.0936 0.6959 0.7047 4.99295000 -2.0149 0.0290 0.0292 10.0588 0.6669 0.6703 4.9922Im Vergleich zwischen beiden Ans�atzen der Martingalsch�atzfunktion sind die Er-gebnisse in ihrer Qualit�at nicht sehr verschieden. Allerdings ist die Konvergenz beiSch�atzwerten aus der optimalen Martingalsch�atzfunktion nicht immer ganz deutlichzu erkennen, wie es bei der einfachen Martingalsch�atzfunktion der Fall ist. Der Grundhierf�ur ist darin zu sehen, da� bei der optimalen Martingalsch�atzfunktion eine ite-rative Berechnung f�ur die Sch�atzwerte n�otig ist, was nat�urlich eine Fehlerquelle dar-stellt. Bei der einfachen Martingalsch�atzfunktion hingegen sind die Sch�atzer explizitbekannt. Aus diesem Grund ist die einfache Martingalsch�atzfunktion zu bevorzugen,zumal die Berechnung der Sch�atzwerte auf den UNIX-Workstations des FachbereichsMathematik nur wenige Sekunden dauert. Der iterative Algorithmus bei der optima-len Martingalsch�atzfunktion verlangsamt dieses Verfahren sehr, was ein zus�atzlicherPunkt ist, der (insbesondere bei gro�en Datens�atzen) gegen die Verwendung der op-timalen Martingalsch�atzfunktion spricht.MLS basierend auf approximierten �Ubergangsdichten:Tabelle 8.16: MLS (Di�usionsapproximation f�ur die �Ubergangsdichten).MLS (Di�usionsapproximation f�ur �Ubergangsdichten)T n �s Pfade | � | | � |� Varianz Std-error � Varianz Std-error � �=�1500 1500 0.1 100 -2.0570 0.0181 0.0213 9.7931 0.0049 0.0477 4.7609150 1500 0.01 100 -2.0228 0.0055 0.0060 9.9565 0.0126 0.0145 4.922115 1500 0.001 100 -1.9759 0.0125 0.0131 10.0031 0.0218 0.0218 5.06261.5 1500 0.0001 100 -1.9805 0.0181 0.0184 10.0026 0.0206 0.0207 5.05052000 2000 0.1 100 -1.9671 0.0005 0.0016 9.8477 0.0080 0.0312 5.0062200 2000 0.01 100 -1.9836 0.0019 0.0022 9.9974 0.0228 0.0228 5.040020 2000 0.001 100 -1.9851 0.0132 0.0134 9.9954 0.0210 0.0210 5.03522 2000 0.0001 100 -1.9907 0.0201 0.0202 9.9877 0.0196 0.0197 5.01722500 2500 0.1 100 -1.9652 0.0003 0.0015 9.8428 0.0061 0.0309 5.0085250 2500 0.01 100 -1.9799 0.0024 0.0028 9.9739 0.0173 0.0180 5.037625 2500 0.001 100 -1.9939 0.0096 0.0097 9.9958 0.0185 0.0186 5.01232.5 2500 0.0001 100 -2.0082 0.0184 0.0185 9.9914 0.0199 0.0200 4.9753111

F�ur einen Pfad im CIR-Modell wurden auf Grundlage der Sch�atzwerte aus dereinfachen Martingalsch�atzfunktion die QQ-Plots f�ur die beiden Modellkontrollver-fahren erstellt. Das den Modellkontrollverfahren zugrundeliegende Modell ist dasCIR-Modell, so da� eine gute �Ubereinstimmung des Graphen mit der Hauptdia-gonale erwartet werden kann. Es wurden speziell gew�ahlt: � = �2; � = 10; � =0:5; x0 = 0:01; T = 100;�s = 0:01 und n = 2500, wobei sich als Sch�atzwerte� = 0:4954; � = �2:0637 und � = 10:3108 ergeben haben. Erneut wurden f�ur dieErstellung der QQ-Plots die ersten 500 Werte weggelassen, um im station�aren Falldes Prozesses zu sein.•

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empirische Quantile der geschaetzten Zuwaechse

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malve

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-2 0 2

-4-2

02

Abbildung 8.5: Diskretisierungskontrollverfahren: QQ-Plot zu einem Pfad im CIR-Modell.••••••••••••••••••••••••••••••••••••

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empirische Quantile der geschaetzten Residuen

Quant

ile der

Gleic

hvertei

lung a

uf [0,1

]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.2

0.40.6

0.81.0

Abbildung 8.6: Pedersen-Kontrollverfahren: QQ-Plot zu einem Pfad im CIR-Modell.Sch�atzergebnisse beim verallgemeinerten CIR-ModellDas verallgemeinerte CIR-Modell ist gegeben als L�osung der SDEdXt = (� + �Xt) dt + �X t dBt; t � 0; X0 = x0;wobei 2 [12 ;1) bekannt sein mu�. Unsere Sch�atzverfahren werden am Beispiel = 0:65; � = �0:5; � = 5; � = 2; x0 = 8 getestet. Wir gehen davon aus, da� derVolatilit�atsparameter f�ur die Bestimmung von � mittels quadratischer Variationvorgegeben werden mu�. Der allgemeine Fall, da� auch gesch�atzt werden kann zu-sammen mit � (simultane �- -Sch�atzung), ist Gegenstand des n�achsten Abschnitts.Zuerst sch�atzen wir die Volatilit�atskonstante � mittels des Verfahrens der quadrati-schen Variation: 112

Tabelle 8.17: Links: n = 500; rechts: n = 2000.T �s � Varianz Std-error T �s � Varianz Std-error500 0.1 1.7678 0.0084 0.0623 2000 0.1 1.7800 0.0017 0.050150 0.01 1.9755 0.0368 0.0435 200 0.01 1.9788 0.0029 0.00335 0.001 2.0067 0.0065 0.0066 20 0.001 1.9923 0.0017 0.00180.5 0.0001 1.9984 0.0050 0.0050 2 0.0001 1.9974 0.0013 0.0013Auch hier sind die Ergebnisse wie bei allen zuvor betrachtenen Modellen sehr gut.Ebenso ist bei (aus Platzgr�unden nicht weiter dokumentierten) Beispielen mit gr�o�e-ren Werten f�ur das �-Sch�atzverfahren hervorragend. Dies ist sehr erfreulich, daman dies beim verallgemeinerten CIR-Modell bei hohen Werten f�ur (etwa > 1)nicht erwarten konnte: Ein hoher -Wert in der Volatilit�at bedeutet hohe Kopplungder Volatilit�at an den momentanen Zustand des Prozesses, was sich bei dem Sch�atz-verfahren der quadratischen Variation f�ur � allerdings nicht negativ auswirkt.Ist � gesch�atzt, so gibt es - wie beim CIR-Modell - drei Sch�atzverfahren f�ur dieDriftparameter � und �:� Sch�atzer aus der einfachen Martingalsch�atzfunktion (siehe Tabelle 6.1).� Sch�atzer aus der optimalen Martingalsch�atzfunktion (siehe 6.15).� MLS basierend auf approximierte �Ubergangsdichten (Di�usionsapproximation,siehe Struktogramm hierzu in Kapitel 5 sowie die Formel (28), Kapitel 4, f�urdie Likelihood-Funktion).Sch�atzwerte aus der einfachen Martingalsch�atzfunktion:Tabelle 8.18: �s = � = 0:01.n � Varianz Std-error � Varianz Std-error ��=�500 -1.5406 1.0304 2.1133 13.6933 100.4332 176.0060 8.88831000 -1.0367 0.4082 0.6962 8.8184 30.4934 45.0737 8.50621500 -0.8030 0.1709 0.2627 6.9809 6.8913 10.8153 8.69352000 -0.7316 0.1868 0.2404 6.2899 5.0155 6.6793 8.59752500 -0.7162 0.0826 0.1293 6.3426 3.1485 4.9512 8.85593000 -0.6560 0.0724 0.0967 5.6635 1.7579 2.1981 8.63343500 -0.6344 0.0503 0.0684 5.8098 1.9718 2.6277 9.15794000 -0.6203 0.0537 0.0682 5.7688 2.3722 2.9632 9.30004500 -0.5827 0.0452 0.0521 5.4879 1.4778 1.7159 9.41815000 -0.5555 0.0264 0.0294 5.1529 0.6506 0.6740 9.2761Tabelle 8.19: �s = � = 0:1.n � Varianz Std-error � Varianz Std-error ��=�500 -0.6054 0.0477 0.0588 5.7034 1.3516 1.8465 9.42081000 -0.5729 0.0196 0.0249 5.4041 0.7721 0.9354 9.43291500 -0.5403 0.0152 0.0168 5.2295 0.4742 0.5268 9.67892000 -0.5257 0.0113 0.0120 5.1159 0.3714 0.3848 9.73162500 -0.5051 0.0128 0.0128 5.0968 0.6095 0.6189 10.09073000 -0.5130 0.0070 0.0071 5.0507 0.1836 0.1862 9.84543500 -0.5137 0.0073 0.0075 5.0832 0.2772 0.2841 9.89534000 -0.5155 0.0169 0.0171 5.1446 0.9617 0.9826 9.97984500 -0.5106 0.0069 0.0070 5.0668 0.3197 0.3241 9.92325000 -0.4955 0.0076 0.0077 5.0035 0.3594 0.3594 10.0979Die Sch�atzwerte bei der einfachen Martingalsch�atzfunktion sind sehr stark abh�angigvon der Wahl von n und T . Je gr�o�er n ist, desto besser ist erwartungsgem�a� auch derSch�atzwert. Der Ein u� von T ist aber beim verallgemeinerten CIR-Modell stark, dabei im Vergleich zu n kleinem T (d.h. kleinem �) der Sch�atzwert und die empirische113

Varianz des Sch�atzers schlecht sind, vor allem bei geringer Beobachtungsanzahl. Aberauch bei kleinem � werden mit zunehmendem n die Sch�atzwerte immer besser, wasTabelle 8.18 deutlich zeigt.Sch�atzwerte aus der optimalen Martingalsch�atzfunktion:Die Sch�atzwerte aus der optimalen Martingalsch�atzfunktion wurden f�ur das verall-gemeinerte CIR-Modell nicht untersucht, da eine explizite Formel f�ur die bedingteVarianz unbekannt ist. Eine Simulation von � gem�a� (29) ist sehr zeitaufwendig (vie-le Tage pro Pfad auf den UNIX-Rechnern des Fachbereichs Mathematik) und wirddaher nicht systematisch untersucht. Die von mir getesteten Beispiele waren zudemvon der Qualit�at der Sch�atzung zu unterschiedlich, als da� sich eine Dokumentationund ausf�uhrliche Behandlung rechtfertigen lie�e. Da die Sch�atzwerte aus der einfa-chen Martingalsch�atzfunktion schon sehr gute Ergebnisse in kurzer Rechenzeit liefern,w�urde man in der praktischen Anwendung ohnehin diesen Sch�atzer verwenden.MLS basierend auf approximierten �Ubergangsdichten:Tabelle 8.20: MLS (Di�usionsapproximation f�ur die �Ubergangsdichten).MLS (Di�usionsapproximation f�ur �Ubergangsdichten)T n �s Pfade | � | | � |� Varianz Std-error � Varianz Std-error � �=�1500 1500 0.1 100 -0.7500 0 0.0625 4.7500 0 0.0625 6.3333150 1500 0.01 100 -0.5142 0.0267 0.0269 4.9680 0.0293 0.0303 9.661615 1500 0.001 100 -0.4688 0.0177 0.0187 5.0011 0.0213 0.0213 10.66791.5 1500 0.0001 100 -0.4674 0.0181 0.0192 4.9932 0.0215 0.0216 10.68292000 2000 0.1 100 -0.7500 0 0.0625 4.7500 0 0.0625 6.3333200 2000 0.01 100 -0.4763 0.0260 0.0265 4.9648 0.0230 0.0242 10.423720 2000 0.001 100 -0.4861 0.0177 0.0179 4.9858 0.0193 0.0195 10.25672 2000 0.0001 100 -0.4871 0.0198 0.0200 4.9868 0.0205 0.0207 10.23772500 2500 0.1 100 -0.7500 0 0.0625 4.7500 0 0.0625 6.3333250 2500 0.01 100 -0.5135 0.0261 0.0263 4.9657 0.0274 0.0285 9.670325 2500 0.001 100 -0.4890 0.0173 0.0174 5.0108 0.0205 0.0206 10.24702.5 2500 0.0001 100 -0.5085 0.0187 0.0188 5.0002 0.0189 0.0189 9.83324Bei T = n (d.h. � = 1) ist der Sch�atzwert schlecht, sowohl f�ur � als auch f�ur �.F�ur � < 1 werden die Sch�atzwerte zwar besser, allerdings ist die empirische Varianzder Sch�atzer nicht gut. Dieses Verfahren ist daher f�ur die Praxis nicht zu empfehlen,zumal es extrem langsam ist (viele Tage auf den UNIX-Rechnern des FachbereichsMathematik pro Beispiel).Im folgenden sind f�ur einen Pfad des betrachteten verallgemeinerten CIR-Modellsdie beiden QQ-Plots gezeichnet unter Verwendung der Sch�atzwerte aus der einfachenMartingalsch�atzfunktion. Die ersten 500 Werte wurden, um im station�aren Fall desProzesses zu sein, bei der Erstellung der QQ-Plots weggelassen. Es wurden gew�ahlt:� = �0:5; � = 5; � = 2; = 0:65; x0 = 8; T = 100;�s = 0:001 und n = 2501. AlsSch�atzwerte haben sich � = 2:0386; � = �0:5418 und � = 4:5720 ergeben.114

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empirische Quantile der geschaetzten Zuwaechse

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ardnor

malve

rteilun

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-2 0 2

-20

24

Abbildung 8.7: Diskretisierungskontrollverfahren: QQ-Plot zu einem Pfad im verallgemeinertenCIR-Modell.•••••••••••••••••••••••••••••••••

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empirische Quantile der geschaetzten Residuen

Quant

ile der

Gleic

hvertei

lung a

uf [0,1

]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.2

0.40.6

0.81.0

Abbildung 8.8: Pedersen-Kontrollverfahren: QQ-Plot zu einem Pfad im verallgemeinerten CIR-Modell.F�ur gr�o�er werdende Werte von und � ist der QQ-Plot nach dem Diskretisie-rungskontrollverfahren immer st�arker konvex gekr�ummt, nicht allerdings bei demPedersen-Kontrollverfahren. Daher ist bei solchen verallgemeinerten CIR-Modellendas Modellkontrollverfahren von Pedersen zu bevorzugen. Bei allen zuvor betrachte-ten Mean-Reversion-Modellen sind beide Verfahren gleich gut geeignet.Simultane �- -Sch�atzung im verallgemeinerten CIR-ModellAnhand von verschiedenen Beispielen wurde das in 4.4 neu entwickelte Verfahren dersimultanen �- -Sch�atzung getestet. F�ur die Simulation der jeweils 100 Pfade wurdendie Parameter � = �3; � = 2 und der Startwert x0 = 1 des Prozesses vorgegebenund f�ur � und vier Beispiele getestet: � = 1:5 mit = 1:5 (Beispiel 1), � = 1:5mit = 0:75 (Beispiel 2), � = 0:5 mit = 1:5 (Beispiel 3) und � = 0:5 mit = 0:75(Beispiel 4).F�ur die Sch�atzung der Driftparameter � und � wurden dann diese Sch�atzwerte inder einfachen Martingalsch�atzfunktion verwendet. Hierbei geht entscheidend ein,wohingegen � in den Sch�atzern von � und � nicht auftritt (siehe Tabelle 6.1).Die Spalte Pfade in der Tabelle f�ur die Sch�atzwerte von � und gibt an, wievielePfade zur Berechnung von � und verwendet werden konnten. Falls keine weitereZahl (in Klammern) angegeben ist, ist dies gleichzeitig diejenige Zahl von Pfaden,bei denen eine Zerlegung in Teildatens�atze vorgenommen werden konnte. Da in 4.4die Formeln (8) und (9) der simultanen �- -Sch�atzung nicht explizit nach � und 115

aufgel�ost werden k�onnen, ist ein Iterationsverfahren n�otig. Wir verwenden hier denverallgemeinerten, zweidimensionalen Newton-Algorithmus (siehe Reverchon & Du-camp [22], Seite 313 �.). Eine in der Spalte Pfade zus�atzlich in Klammern angegebeneZahl zeigt an, da� f�ur diese zus�atzliche Anzahl der 100 Pfade zwar eine Zerlegungin Teildatens�atze vorgenommen werden konnte, das Iterationsverfahren allerdings in100 Schritten nicht (mit einer Genauigkeit von 0.001) die L�osungen f�ur � und er-mitteln konnte. Ein solcher Pfad wurde dann f�ur die Bestimmung der Sch�atzwerte �und weggelassen, auch wenn eine Datensatzzerlegung m�oglich war.In der Tabelle mit den Sch�atzwerten f�ur � und � zeigt die Spalte Pfade an, f�ur wie-viele der 100 simulierten Pfade mittels der einfachen Martingalsch�atzfunktion Werte� und � ermittelt werden konnten. Bei der ersten Tabelle wurde f�ur jedes Beispieldie gleiche Anzahl von Punkten mittels des Taylor-1.5-Verfahrens (siehe Anhang B)simuliert (immer T=�s = 100000 Punkte) und dann verschiedene Werte f�ur denBeobachtungshorizont T gew�ahlt; die Anzahl der beobachteten Punkte dieses so si-mulierten Prozesses war 10001. Der in der Tabelle auftretende Stern � zeigt an, da�der Wert an dieser Stelle im Millionenbereich lag und aus diesem Grunde nicht notiertwurde.Tabelle 8.21: Beispiel 1: Sch�atzwerte f�ur � und (oben) sowie � und � (unten) bei � = �3; � =2; � = 1:5; = 1:5 und n = 10000.T �s Pfade � Varianz Std-error Varianz Std-error10000 0.1 11 2.9048 2.9356 4.9091 0.7661 0.0093 0.54801000 0.01 75 1.3884 0.1368 0.1493 1.5833 1.9492 1.9520100 0.001 72(2) 1.3842 0.1605 0.1739 1.9196 3.3949 3.571010 0.0001 77 1.4789 0.0072 0.0077 1.4826 0.0356 0.0359T �s Pfade � Varianz Std-error � Varianz Std-error10000 0.1 100 1.8628 4.5243 28.1709 � � �1000 0.01 100 2.9994 0.0364 0.0364 1.9996 0.0091 0.0091100 0.001 100 2.9986 0.1995 0.1995 2.0037 0.0433 0.043310 0.0001 100 3.2447 1.3474 1.4073 2.1415 0.2956 0.3157Man erkennt, da� f�ur kleines T = 10 (d.h. kleinem � = Tn ) die Sch�atzwerte von � und sehr gut bei dem wahren Wert liegen, wobei die Varianz und der Standarderror auchsehr gut sind. Eine Verbesserung der Sch�atzwerte � und ist f�ur kleiner werdendesT gut zu erkennen. Die Sch�atzwerte f�ur � und � sind bei T = n sehr schlecht,insbesondere f�ur �, wo sie im Millionenbereich lagen. Bei kleiner werdendem T abersind � und � sehr gut, werden nur bei T = 10 wieder etwas schlechter. Anhand dieserTabelle zeigt sich also der gro�e Ein u� von � auf die Sch�atzwerte.Tabelle 8.22: Beispiele 1: Sch�atzwerte f�ur � und (oben) sowie � und � (unten) bei � = �3; � =2; � = 1:5; = 1:5;�s = 0:0001.T n Pfade � Varianz Std-error Varianz Std-error5 5000 58 1.4708 0.0100 0.0109 1.4659 0.0372 0.03847.5 7500 63(1) 1.5061 0.0020 0.0021 1.5225 0.0291 0.029610 10000 77 1.4789 0.0072 0.0077 1.4826 0.0356 0.035912.5 12500 87 1.4715 0.0306 0.0314 1.5676 0.8244 0.829015 15000 89 1.4736 0.0355 0.0362 1.5634 0.5303 0.5344T n Pfade � Varianz Std-error � Varianz Std-error5 5000 100 -3.7970 3.7408 4.3760 2.4405 0.9063 1.10037.5 7500 100 -3.3989 2.2140 2.3732 2.2287 0.5371 0.589410 10000 100 -3.2447 1.3474 1.4073 2.1415 0.2956 0.315712.5 12500 100 -3.2324 1.1398 1.1938 2.1284 0.2408 0.257315 15000 100 -3.1914 1.0547 1.1179 2.1074 0.2282 0.2470116

Tabelle 8.23: Beispiele 2: Sch�atzwerte f�ur � und (oben) sowie � und � (unten) bei � = �3; � =2; � = 1:5; = 0:75;�s = 0:0001.T n Pfade � Varianz Std-error Varianz Std-error50 5000 65 1.4339 0.1161 0.1205 0.8418 0.0523 0.060775 7500 74(2) 1.4261 0.0430 0.0485 0.9867 0.9641 1.0201100 10000 79(3) 1.4568 0.0208 0.0227 0.8410 0.0931 0.1014125 12500 79 1.4500 0.0075 0.0100 0.8524 0.0555 0.0660150 15000 82 1.4700 0.0022 0.0031 0.8139 0.0311 0.0352T n Pfade � Varianz Std-error � Varianz Std-error50 5000 100 -3.1126 0.2310 0.2437 2.0572 0.0368 0.040175 7500 100 -3.0194 0.1372 0.1376 1.9959 0.0286 0.0286100 10000 100 -3.0275 0.0903 0.0910 2.0056 0.0192 0.0192125 12500 100 -3.0330 0.0945 0.0956 2.0146 0.0136 0.0138150 15000 100 -2.9957 0.0639 0.0639 2.0059 0.0147 0.0147Die beiden Tabellen 8.22 und 8.23 dokumentieren die Abh�angigkeit der Sch�atzwertevon der Anzahl n an Beobachtungen: Man erkennt (insbesondere in Tabelle 8.23) beiallen Sch�atzwerten �, , � und � eine sehr deutliche Konvergenz f�ur wachsendes n.Sehr wichtig ist dabei auch, da� f�ur gr�o�ere n die empirische Varianz jedes Sch�atzersimmer kleiner wird. Des weiteren erkennt man anhand der Spalte Pfade bei der�- -Sch�atzung, da� f�ur gr�o�ere Anzahl n von Beobachtungen die Chance auf eineDatensatzzerlegung steigt, siehe hierzu auch 4.4.Es zeigt sich bei der simultanen �- -Sch�atzung ein sehr bemerkenswerter E�ekt:Auch wenn wie in Beispiel 1, Tabelle 8.21 mit T = 100, der Parameter mit 1.9196(Vorgabe: 1.5) schlecht gesch�atzt wurde, sind die Sch�atzwerte f�ur � und � sehr nahebei den Vorgabewerten (� = �2:9986 bei Vorgabe �3 sowie � = 2:0037 bei Vorgabe2). �Ahnliche Ergebnisse treten auch in den Beispielen 2, 3 und 4 auf:Tabelle 8.24: Beispiele f�ur sehr gute Sch�atzwerte f�ur � und � (Vorgaben f�ur die Simulation: � =�3; � = 2) bei schlechten Sch�atzwerten f�ur .T n �s Pfade � � Pfade � �125 12500 0.001 74 1.5 1.4318 1.5 1.8464 100 -3.0052 2.0058150 15000 0.0001 79 1.5 1.3685 1.5 1.9846 100 -2.9965 1.9965500 5000 0.001 75(2) 1.5 1.3037 0.75 0.9937 100 -2.9986 2.0005100 10000 0.01 83(2) 1.5 1.3878 0.75 1.0972 100 -3.0093 2.01105000 5000 0.1 47(1) 0.5 0.3672 1.5 2.5129 99 -2.9952 1.99691250 12500 0.01 57 0.5 0.5295 1.5 1.9262 100 -3.0250 2.0160750 7500 0.001 51(2) 0.5 0.5994 0.75 1.6721 100 -3.0054 2.00181500 15000 0.01 70 0.5 0.5802 0.75 1.9282 100 -2.9827 1.9902Selbst bei extrem schlechten Sch�atzungen f�ur werden mit der einfachen Martin-galsch�atzfunktion sehr gute Sch�atzwerte von � und � ermittelt, obwohl in die Sch�atzeraus der einfachen Martingalsch�atzfunktion der Sch�atzwert von stark ein ie�t (sieheTabelle 6.1). Man kann damit sagen, da� die Sch�atzer f�ur � und � aus der einfa-chen Martingalsch�atzfunktion beim verallgemeinerten CIR-Modell sehr robust sindgegen�uber schlechten Sch�atzwerten von .117

Tabelle 8.25: Beispiel 2: Sch�atzwerte f�ur � und (oben) sowie � und � (unten) bei � = �3; � =2; � = 1:5; = 0:75 und n = 5000.T �s Pfade � Varianz Std-error Varianz Std-error5000 0.1 74 0.7057 0.0276 0.6585 1.2842 0.0803 0.3656500 0.01 63(1) 1.3361 0.0101 0.0370 0.9620 0.0748 0.119850 0.001 83 1.4649 0.0085 0.0097 0.8417 0.0912 0.09965 0.0001 67 1.5024 0.0028 0.0028 0.7942 0.0286 0.0306T �s Pfade � Varianz Std-error � Varianz Std-error5000 0.1 68 -1.2749 1.0431 4.0192 0.9959 0.3397 1.3480500 0.01 100 -2.9417 0.0356 0.0390 1.9713 0.0087 0.009550 0.001 100 -3.0540 0.1611 0.1640 2.0309 0.0360 0.03705 0.0001 100 -3.6104 1.9250 2.2976 2.3453 0.5321 0.6513Tabelle 8.26: Beispiel 3: Sch�atzwerte f�ur � und (oben) sowie � und � (unten) bei � = �3; � =2; � = 0:5; = 1:5 und n = 10000.T �s Pfade � Varianz Std-error Varianz Std-error10000 0.01 54 0.3688 0.0051 0.0223 2.5112 0.8018 1.82441000 0.001 64 0.5328 0.0118 0.0129 2.0062 0.8885 1.1448100 0.0001 63 0.4999 0.0041 0.0041 1.5195 0.1561 0.1565T �s Pfade � Varianz Std-error � Varianz Std-error10000 0.01 100 -3.0769 0.1492 0.1551 2.0517 0.0657 0.06841000 0.001 100 -3.0084 0.0109 0.0109 2.0047 0.0043 0.0043100 0.0001 100 -3.0423 0.0705 0.0723 2.0295 0.0264 0.0272Tabelle 8.27: Beispiel 4: Sch�atzwerte f�ur � und (oben) sowie � und � (unten) bei � = �3; � =2; � = 0:5; = 0:75 und n = 7500.T �s Pfade � Varianz Std-error Varianz Std-error7500 0.1 55 0.4280 0.0055 0.0107 2.4815 1.0725 4.0705750 0.01 51 0.6326 0.0138 0.0314 1.8668 0.9755 2.222875 0.001 63(1) 0.5571 0.0090 0.0123 1.1092 0.3193 0.44847.5 0.0001 29(1) 0.5126 0.0006 0.0008 0.8385 0.0279 0.0358T �s Pfade � Varianz Std-error � Varianz Std-error7500 0.1 95 -3.0153 0.4286 0.4288 2.0111 0.1843 0.1844750 0.01 100 -3.0075 0.0217 0.0217 2.0054 0.0082 0.008375 0.001 100 -3.0377 0.0800 0.0814 2.0213 0.0328 0.03337.5 0.0001 100 -3.5354 0.8942 1.1808 2.3548 0.3753 0.5011Bei diesen Tabellen ergeben sich die gleichen Interpretationen wie bei Tabelle 8.21.Es ist bei allen drei obigen Tabellen au��allig, da� sich f�ur kleineres � (d.h. kleineresT = n�) trotz einer Verbesserung des Sch�atzwertes die Sch�atzwerte f�ur � und �verschlechtern. Dies zeigt noch einmal deutlich den starken Ein u� von � bei denSch�atzern aus der einfachen Martingalsch�atzfunktion.

118

Kapitel 9Untersuchung�nanzwirtschaftlicher Datens�atze9.1 Einf�uhrungIm letzten Kapitel der Diplomarbeit kommen wir zur Untersuchung von Datens�atzenaus der �nanzwirtschaftlichen Praxis, dem wichtigsten Ziel meiner Arbeit. Die zurVerf�ugung stehenden Datens�atze sind:� Rentenindex REX: Kurswerte (ab 1.1.88) und Renditewerte (ab 12.6.91)Der Rentenindex REX ist ein synthetischer Index, d.h. ein Index, der nicht (wieetwa der DAX) aus realen Werten gebildet wird: Aus den Renditen bzw. Kurs-werten f�ur �o�entliche Anleihen werden Renditestrukturkurven (zeitliche Rendi-teverl�aufe f�ur verschiedene Laufzeiten von Anleihen) gesch�atzt und hieraus dieREX-Werte errechnet. Wir betrachten die Subindices, d.h. den REX f�ur jeweilseine bestimmte Laufzeit, da beim allgemeinen REX die einzelnen E�ekte derverschiedenen Laufzeiten den Mean-Reversion-E�ekt verwischen.� Deutsche Pfandbriefe: Renditewerte (ab 30.12.87)Pfandbriefe sind normale Anleihen, wobei die Emmitenten Banken sind (z.B.bei Kommunal- oder Hypothekendarlehen). Auch hier werden nur die Subindi-ces betrachtet f�ur die verschiedenen Laufzeiten.� Deutscher Pfandbrie�ndex PEX: Renditewerte (ab 30.12.87)Der PEX ist ein synthetischer Index, wobei seine Erstellung (basierend aufPfandbriefen) aber komplizierter ist als beim REX und hier nicht beschriebenwerden soll. Auch beim PEX m�ussen wir die Subindices betrachten.� LIBOR-Satz: Renditewerte (ab 13.5.93)Der LIBOR (London interbank o�ered rate) ist der Zinssatz f�ur Euro-Anleihenund damit der wichtigste Referenzzinssatz f�ur Finanzierungsinstrumente ameurop�aischen Finanzmarkt.� Swap-S�atze: Renditewerte (ab 1.1.88)Swaps sind Finanzierungsinstrumente, die zur Begrenzung von W�ahrungs- undZins�anderungsrisiken herangezogen werden. Es handelt sich dabei um Tausch-gesch�afte, durch die Kostenvorteile an internationalen Finanzm�arkten ausge-nutzt werden. Insbesondere Banken nutzen Swaps zum aktiven Zinsmanage-ment von Rentenportfolios. 119

Jeder Datensatz besteht dabei aus t�aglichen Notierungen, d.h. ein Datenwert proHandelstag. Da eine ausf�uhrliche Untersuchung aller zur Verf�ugung stehenden Da-tens�atze aus zeitlichen Gr�unden nicht m�oglich ist, habe ich mich auf die wichtigstenbeschr�ankt. F�ur den REX, den PEX und den Deutschen Pfandbrief bedeutet dasz.B., da� nur die Laufzeiten 1, 5 und 10 Jahre untersucht wurden.F�ur jeden der in diesem Kapitel betrachteten Datens�atze wurde zuerst mit Hilfe desVerfahrens der quadratischen Variation Sch�atzwerte f�ur die Volatilit�atskonstante �errechnet unter der Annahme eines Vasicek- bzw. CIR-Modells. Da sich die einfacheMartingalsch�atzfunktion in Kapitel 8 als das Beste der in dieser Diplomarbeit vorge-stellten Sch�atzverfahren erwiesen hat, wurden mit ihrer Hilfe die Sch�atzwerte � und� f�ur die Driftparameter auf Basis des Vasicek- und des CIR-Modells ermittelt. AlsBeobachtungszeitraum [0; T ] wurden f�ur T die Anzahl der Handelstage (250 Handels-tage pro Jahr), die Anzahl der Monate sowie die Anzahl der Jahre betrachtet. Beiden Untersuchungen war folgende Frage zu beantworten:Welches theoretische Modell (Vasicek- oder CIR-Modell) liegteinem betrachteten Datensatz zugrunde?Der Fall eines vorliegenden Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses ist dabei im Vasicek-Modellenthalten. Ein Test auf ein verallgemeinertes CIR-Modell wurde nicht vorgenommen.Man wird sehen, da� keines der Modelle die betrachteten Datens�atze sehr gut be-schreibt. Allerdings zeigen die Daten keinesfalls die gro�en Fluktuationen, die ein ver-allgemeinertes CIR-Modell rechtfertigen w�urden (siehe Borkovec & Kl�uppelberg [4]).Auch wenn in Kapitel 9 nur exemplarisch einige Datensatzuntersuchungen ausf�uhrlichvorgestellt werden k�onnen, so liegen doch alle Sch�atzwerte f�ur die m�oglichen T -Werteund das Vasicek bzw. CIR-Modell vor (siehe Anhang H), soweit ich sie bei meinenUntersuchungen ermittelt habe. Die entsprechenden QQ-Plots der beiden Modellkon-trollverfahren aus Kapitel 7 sind alle auf CD-ROM dokumentiert und auf Anfrageerh�altlich.Die Bedeutung des Beobachtungshorizonts T :Der Wahl des Beobachtungszeitraums T kommt insbesondere bei den Sch�atzern ausder einfachen Martingalsch�atzfunktion eine gro�e Bedeutung zu. Dort tritt, vgl. Ta-belle 6.1, das T in Form von � = Tn in den Sch�atzern auf. Die Bedeutung des Sch�atz-werts ist damit direkt mit T gekoppelt, was bei der Interpretation der Sch�atzwertezu beachten ist. Der �nanzwirtschaftliche Hintergrund der Daten f�uhrt auf eine Wahlvon T als Anzahl der Jahre, der Monate oder der Tage. Konkret bedeutet das z.B.f�ur einen Datensatz mit 1501 Daten, da� T = 6 [Jahre], 72 [Monate] oder 1500 [Tage]sein kann. Da das � und die Sch�atzwerte in die Modellkontrollverfahren eingehen,ist bei den QQ-Plots deren Abh�angigkeit von T zu pr�ufen.Es hat sich bei allen Untersuchungen der �nanzwirtschaftlichen Datens�atze gezeigt,da� sich �, � und � stark in Abh�angigkeit von T ver�andern, der Quotient ��=�aber nahezu konstant ist. Dieses Ergebnis ist aufgrund der Formeln in 4.3 f�ur � undin Tabelle 6.1 f�ur � sowie � klar, denn Nachrechnen zeigt: Sind T1 und T2 zwei120

Beobachtungshorizonte, so gelten f�ur die Sch�atzwerte �i; �i und �i; i = 1; 2:�2 = sT1T2 �1; �2 = T1T2 �1; �2 = T1T2 �1:Diese Abh�angkeiten entsprechen qualitativ auch der �nanzwirtschaftlichen Erfah-rung: Da � ein Ma� f�ur die Kursschwankungen ist, bedeutet ein gr�o�eres T einekleinere Schwankung in den Kurswerten als ein kleineres T , d.h.: Je gr�o�er T ist,desto kleiner ist die Volatilit�atskonstante �. Gibt T etwa die Anzahl der Tage an,so sind innerhalb eines Tages die Kursschwankungen geringer als wenn T die Anzahlder Jahre angeben w�urde. F�ur die Interpretation von �� und ��=� m�ussen wir dieSDE f�ur einen Mean-Reverting-Proze� (siehe De�nition 3.2) betrachten:dXt = (� + �Xt) dt + �(Xt) dBt= (��) ���� � Xt�| {z }=:�(Xt;�;�) dt + �(Xt) dBt; t � 0; X0 = x0; � 2 IR�; � 2 IR:�� gibt als Mean-Reversion-Force die Intensit�at an, mit der der Proze� zum Mean-Reversion-Level ��� gezogen wird. Dieses Ziehen ist schon aus obiger SDE ersichtlich,wobei �� > 0 im Vasicek- und CIR-Modell zu beachten ist:Xt > ��� =) �(Xt;�; �) < 0; d.h.: Der Proze� bewegt sich \nach unten\.Xt < ��� =) �(Xt;�; �) > 0; d.h.: Der Proze� bewegt sich \nach oben\.F�ur gr�o�eres T mu� �� umso kleiner sein, denn bei kleineren Zeitintervallen ist dieMean-Reversion-Force geringer als bei gro�en Zeitintervallen. Da der Grenzwertlimt!1E(Xt) = ��� (im Vasicek- und CIR-Modell, siehe Kapitel 3)ist (unabh�angig von T ), bedeutet ein kleineres �� auch ein kleineres �. Insgesamthaben wir also: Je gr�o�er T ist, umso kleiner sind �, �� und �. Alle die soebenbeschriebenen �nanzwirtschaftlichen E�ekte zeigen sich nat�urlich in den Sch�atzwer-ten, wobei allerdings auch kleinere Ausrei�er auftreten k�onnen (siehe z.B. KurswertREX/5-j�ahrige Anleihen, T = Anzahl der Tage).Beispiele: Tabelle 9.1: Sch�atzwerte des REX/Kurswerte mit 5-j�ahriger Laufzeit.T Modell � � � - �=�9.532 [Jahre] Vasicek 3.013492 -0.013601 1.899075 139.627601114.384 [Monate] Vasicek 0.869920 -0.001133 0.158256 139.6787292383 [Tage] Vasicek 0.190590 -0.000054 0.007596 140.6666679.532 [Jahre] CIR 0.297989 -0.013601 1.899086 139.628410114.384 [Monate] CIR 0.086022 -0.001133 0.158257 139.6796112383 [Tage] CIR 0.018846 -0.000054 0.007596 140.666667121

Tabelle 9.2: Sch�atzwerte des PEX mit 10-j�ahriger Laufzeit.T Modell � � � - �=�7.412 [Jahre] Vasicek 3.350666 -0.258542 24.707370 95.56424188.944 [Monate] Vasicek 0.967254 -0.021545 2.058947 95.5649571853 [Tage] Vasicek 0.211915 -0.001034 0.098829 95.5793047.412 [Jahre] CIR 0.339087 -0.256177 24.476450 95.54507288.944 [Monate] CIR 0.097886 -0.021348 2.039704 95.5454381853 [Tage] CIR 0.021446 -0.001025 0.097906 95.518049Tabelle 9.3: Sch�atzwerte des Dt. Pfandbriefs mit 1-j�ahriger Laufzeit.T Modell � � � - �=�7.4 [Jahre] Vasicek 0.627145 -0.159237 1.269705 7.97368188.8 [Monate] Vasicek 0.181041 -0.013270 0.105809 7.9735491850 [Tage] Vasicek 0.039664 -0.000637 0.005079 7.9733127.4 [Jahre] CIR 0.232878 -0.185292 1.458664 7.87224588.8 [Monate] CIR 0.067226 -0.015441 0.121555 7.8722231850 [Tage] CIR 0.014729 -0.000741 0.005835 7.874494Betrachten wir die QQ-Plots aus den beiden Modellkontrollverfahren (n�ahere Erl�aute-rungen in Kapitel 7), so zeigt sich hier, da� f�ur einen festen Datensatz der QQ-Plot, sowohl f�ur das Diskretisierungskontrollverfahren, als auch f�ur das Pedersen-Kontrollverfahren von der Wahl von T unabh�angig ist. Diese Eigenschaft entsprichtunserer Erwartung, da� T keinen Ein u� auf die Modellauswahl haben sollte, undl�a�t sich auch mathematisch begr�unden:Bei dem Diskretisierungskontrollverfahren schreiben sich die relevanten Zuw�achse Nigem�a� (2), Kapitel 7, beim Vasicek-Modell alsNi = Xi �Xi�1 � (� + �Xi�1)��p� ; i = 1; : : : ; n; (1)und beim CIR-Modell alsNi = Xi �Xi�1 � (� + �Xi�1)��pXi�1p� ; i = 1; : : : ; n: (2)n + 1 sei dabei die L�ange des untersuchten Datensatzes und � := Tn . Setzt man �aus 4.3 sowie � und � aus Tabelle 6.1 in (1) bzw. (2) ein, so sieht man, da� auf derrechten Seite von (1) bzw. (2) T nicht mehr auftritt, sondern nur noch die DatenXi und das n, die beide durch den Datensatz festgelegt sind. Insbesondere sind dieQQ-Plots f�ur jede Wahl von T gleich.Beim Pedersen-Kontrollverfahren f�ur das Vasicek-Modell lauten (mit der Bezeichnung�N(0;1) als Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung) die relevanten Gr�o�enUi = �N(0;1)(Ri), wobei die Ri nach (9), Kapitel 7, gegeben sind durch:122

Ri = s �22�(e2�� � 1) Xi �Xi�1 e�� � �� �e�� � 1�! ; i = 1; : : : ; n: (3)Setzt man auch hier � aus 4.3 sowie � und � aus Tabelle 6.1 (f�ur das Vasicek-Modell)ein, so sieht man: Auf der rechten Seite von (3) treten beim Vasicek-Modell nur dieDaten Xi und das n auf, die vom Datensatz fest vorgegeben sind, nicht jedoch T . Alsosind insbesondere die QQ-Plots beim Pedersen-Kontrollverfahren im Vasicek-Modellf�ur jede Wahl von T identisch.Gleiches scheint f�ur das Pedersen-Kontrollverfahren auch im CIR-Modell zu gelten,siehe die Abbildungen 9.2. Da aber (vgl. Kapitel 7) f�ur das Pedersen-Kontrollverfahrenim CIR-Modell keine explizite Formel verwendet wird, sondern der Algorithmus 7.3,ist ein Nachweis dieser Vermutung im Rahmen der Diplomarbeit nicht m�oglich.Beispiele:•

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Abbildung 9.1: T -Abh�angigkeit beim 5-j�ahrigen REX (Rendite) im Vasicek-Modell mit dem Dis-kretisierungskontrollverfahren: Oben: T = 5.94 = Anzahl der Jahre; Mitte: T = 71.28 = Anzahlder Monate; unten: T = 1485 = Anzahl der Tage.123

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empirische Quantile der geschaetzten Residuen

Quant

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Gleic

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.2

0.40.6

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Abbildung 9.2: T -Abh�angigkeit beim 7-j�ahrigen Swap im CIR-Modell mit dem Pedersen-Kontrollverfahren: Oben: T = 10.376 = Anzahl der Jahre; Mitte: T = 124.512 = Anzahl derMonate; unten: T = 2594 = Anzahl der Tage.Ergebnisse der Untersuchungen:Die Wahl der Gr�o�e T kann weder aus den QQ-Plots noch aus dem Wert ��� de-terminiert werden. Eine Festlegung der Bedeutung von T kann letztlich nur aus der�nanzwirtschaftlichen Praxis heraus erfolgen, z.B. durch einen Vergleich von Wertenf�ur �, � und � aus der Praxis mit den Sch�atzwerten dieser Diplomarbeit. Ein inder Praxis �ubliches Verfahren ist die Wahl von T als Anzahl der Jahre, wobei 250Handelstage pro Jahr verwendet werden. Dies bedeutet, da� � = Tn = 1250 ist, alsosehr klein. Aus den Simulationsauswertungen von Kapitel 8 ist dann bekannt, da�die Genauigkeit des Sch�atzwertes � au�erordentlich gut ist. Allerdings ist auch einanderer Wert f�ur T denkbar (z.B. Monate) oder man verwendet T als Anzahl derJahre mit mehr als 250 Handelstage pro Jahr.124

Vergleiche zwischen Vasicek- und CIR-Modell:Die auf Grundlage der einfachen Martingalsch�atzfunktion ermittelten Sch�atzwertef�ur � und � sind - wie wir im vorhergehende Abschnitt gesehen haben - direkt vonder Wahl von T abh�angig und von der Annahme, welches Modell dem Datensatzzugrunde liegt. Gleiches gilt f�ur die Sch�atzwerte �, die mittels der quadratischenVariation gesch�atzt wurden. Ob das angenommene Modell tats�achlich den Datenzugrunde liegt, l�a�t sich nach Ermittlung der Sch�atzwerte durch die beiden Modell-kontrollverfahren feststellen, die in Kapitel 7 eingef�uhrt wurden. Wir m�ussen alsobei der Untersuchung eines �nanzwirtschaftlichen Datensatzes die Sch�atzungen so-wohl f�ur das Vasicek- als auch f�ur das CIR-Modell durchf�uhren und anschlie�end dieModellkontrollverfahren verwenden.Renditewerte des REX bei 5-j�ahrigen Anleihen:Wir betrachten zuerst den Renditeverlauf des REX mit 5-j�ahriger Laufzeit:Zeitpunkte

Rendi

te (in %

)

0 500 1000 1500

56

78

9

Abbildung 9.3: Renditen des REX ab 12.6.91 auf Tagesbasis, Laufzeiten 5 Jahre.Die L�ange des Datensatzes ist 1486 (also n=1485). Als Sch�atzwerte haben sich erge-ben in Abh�angigkeit von T :Tabelle 9.4: Untersuchung des REX-Renditewerts mit 5-j�ahriger Laufzeit.T Modell � � � ��=�5.94 [Jahre] Vasicek 0.782045 -0.171508 0.444080 2.58926771.28 [Monate] Vasicek 0.225757 -0.014292 0.037007 2.5893511485 [Tage] Vasicek 0.049461 -0.000686 0.001776 2.5889215.94 [Jahre] CIR 0.305137 -0.214263 0.724921 3.38332371.28 [Monate] CIR 0.088085 -0.017855 0.060410 3.3833661485 [Tage] CIR 0.019299 -0.000857 0.002900 3.383897Anschlie�end wurden f�ur jedes der beiden Modelle die beiden Modellkontrollverfahrenangewendet und der entsprechende QQ-Plot erstellt, wobei wir uns - wie in der Praxis�ublich - f�ur T als Anzahl der Jahre entschieden haben. Zus�atzlich wurden zu denResiduen bzw. Zuw�achse aus den Modellkontrollverfahren die Histogramme erstelltmit den theoretischen Dichten (siehe Kapitel 7).125

Vasicek-Modell:Diskretisierungskontrollverfahren:Beim Diskretisierungskontrollverfahren ist an den Enden des QQ-Plots eine deutlicheAbweichung des Graphen von der Hauptdiagonalen zu erkennen. F�ur die aufgetra-genen Zuw�achse bedeutet dies, da� sie in den tails ihrer Verteilung \schwerer\ sindals bei der Standardnormalverteilung, die theoretisch bei richtiger Modellwahl h�atteentstehen m�ussen. Bis zum Nullpunkt haben wir dann weniger Daten als es im Ver-gleich mit der Standardnormalverteilung n�otig w�are. Der Abfall des QQ-Plots umden Nullpunkt herum zeigt an, da� hier mehr Daten vorliegen als es bei einer Stan-dardnormalverteilung der Fall w�are. Bei dem QQ-Plot f�allt des weiteren auf, da� errecht symmetrisch ist um den Nullpunkt, was sich auch in dem dazugeh�origen Histo-gramm zeigt, das unsere Interpretation best�atigt. Ein solcher Verlauf von QQ-Plotund Histogramm ist typisch f�ur �nanzmathematische Datens�atze.•

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empirische Quantile der geschaetzten Zuwaechse

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-4-2

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-4 -2 0 2 4 6 8

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Histogramm

Werte der Zuwaechse

empiri

sche u

nd the

oretisc

he Dic

hte

Abbildung 9.4: QQ-Plot und Histogramm f�ur 5-j�ahrigen REX mit Renditewerten beim Vasicek-Modell, erstellt mit dem Diskretisierungskontrollverfahren; T = 5:94 = Anzahl der Jahre.Pedersen-Kontrollverfahren:Betrachtet man das Pedersen-Kontrollverfahren, so ergibt sich die gleiche Interpre-tation wie beim Diskretisierungskontrollverfahren, jetzt allerdings bezogen auf dieResiduen, die bei Richtigkeit der Modellannahme gleichverteilt auf [0; 1] sein m�ussen.Der konvexe Verlauf des QQ-Plots auf [0; 12 ] unterhalb der Hauptdiagonalen zeigt an,da� im Vergleich zur Gleichverteilung auf [0; 1] weniger Daten vorhanden sind. Daallerdings f�ur den Wert 12 der QQ-Plot die Hauptdiagonale schneidet, m�ussen um 12herum mehr Daten f�ur die empirische Verteilung vorliegen als bei der Gleichvertei-lung. Wie schon im QQ-Plot beim Diskretisierungskontrollverfahren liegt auch hier126

Symmetrie vor, jetzt nat�urlich um den Punkt 12 . Unsere Interpretation �ndet sich imdazugeh�origen Histogramm best�atigt:•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

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empirische Quantile der geschaetzten Residuen

Quant

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Gleic

hverte

ilung a

uf [0,1

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.2

0.40.6

0.81.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

01

23

4

Histogramm

Werte der Residuen

empiri

sche u

nd the

oretisc

he Dic

hte

Abbildung 9.5: QQ-Plot und Histogramm f�ur 5-j�ahrigen REX mit Renditewerten beim Vasicek-Modell, erstellt mit dem Pedersen-Kontrollverfahren; T = 5:94 = Anzahl der Jahre.CIR-Modell:Es ergibt sich beim Diskretisierungskontrollverfahren und beim Pedersen-Kontroll-verfahren ein �ahnliches Bild und die gleiche Interpretation wie beim Vasicek-Modell,jedoch sind die \W�olbungen\ im QQ-Plot f�ur das CIR-Modell etwas st�arker ausge-pr�agt als beim QQ-Plot des Vasicek-Modells. Das entsprechende Ergebnis zeigt sichauch bei den Histogrammen:Diskretisierungskontrollverfahren:

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empirische Quantile der geschaetzten Zuwaechse

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-4-2

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-4 -2 0 2 4 6 80.0

0.20.4

0.60.8

1.0

Histogramm

Werte der Zuwaechse

empiri

sche u

nd the

oretisc

he Dic

hte

Abbildung 9.6: QQ-Plot und Histogramm f�ur 5-j�ahrigen REX mit Renditewerten beim CIR-Modell,erstellt mit dem Diskretisierungskontrollverfahren; T = 5:94 = Anzahl der Jahre.Pedersen-Kontrollverfahren:•••••••••••••••••••••••••

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empirische Quantile der geschaetzten Residuen

Quant

ile der

Gleic

hverte

ilung a

uf [0,1

]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.2

0.40.6

0.81.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.5

1.01.5

2.02.5

Histogramm

Werte der Residuen

empiri

sche u

nd the

oretisc

he Dic

hte

Abbildung 9.7: QQ-Plot und Histogramm f�ur 5-j�ahrigen REX mit Renditewerten beim CIR-Modell,erstellt mit dem Pedersen-Kontrollverfahren; T = 5:94 = Anzahl der Jahre.Als Ergebnis der Untersuchungen zum REX mit Renditewerten bei 5-j�ahriger Laufzeit erhalten wir:Das Vasicek-Modell ist zur Modellierung dieses Renditeverlaufs besser geeignet alsdas CIR-Modell. Allerdings ist - wie schon festgestellt - auch das Vasicek-Modell nichtideal f�ur die Beschreibung des REX. Eine Schlu�folgerung dieser Tatsache auf die\Qualit�at\ der Sch�atzwerte im Hinblick auf deren Brauchbarkeit ist schwer m�oglich.Wie gut die Sch�atzwerte tats�achlich sind, kann sich erst in der �nanzwirtschaftlichenPraxis zeigen. Mathematisch m�u�te man dies untersuchen durch Betrachtung derSch�atzwerte und ihre Robustheit gegen Nichteinhaltung der Modellannahme. DieserAspekt w�urde allerdings den Rahmen dieser Diplomarbeit sprengen. Beim Vergleich128

der Mean-Reversion-Levels ��� (siehe Tabelle 9.4) unter der Annahme eines Vasicek-bzw. CIR-Modells zeigt sich, da� hier gro�e Unterschiede bestehen: Die Wahl desModells hat auf diesen Wert erheblichen Ein u�. Somit w�are bei diesem Beispiel auchdie praktische Erfahrung eines Finanzwirtschaftlers n�otig, um eine Modellauswahl inAbh�angigkeit der Qualit�at von ��� tre�en zu k�onnen.6-Monats-LIBORNachdem wir in dem vorangegangenen Beispiel gesehen haben, wie wir mittels Mo-dellkontrollverfahren zwischen Vasicek- und CIR-Modell als das dem �nanzwirt-schaftlichen Datensatz zugrundeliegende Modell unterscheiden konnten, ist im fol-genden ein Beispiel aufgef�uhrt, bei dem dies nicht mehr der Fall ist. Es handelt sichdabei um die Zinss�atze des LIBOR f�ur 1, 3, 6 und 12 Monate. Exemplarisch wurdeder 6-Monats-LIBOR-Satz herausgegri�en, aber bei allen anderen Laufzeiten ergebensich �ahnliche Ergebnisse.Zeitpunkte

Zinssa

tz (in %

)

0 200 400 600 800 1000

34

56

7

Abbildung 9.8: 6-Monats-Libor ab 13.5.93 auf Tagesbasis.Tabelle 9.5: Sch�atzwerte des 6-Monats-LIBOR-Satzes bei T = Anzahl der Jahre.T Modell � � � - �=�4 [Jahre] Vasicek 0.732259 -0.503559 1.444762 2.8691024 [Jahre] CIR 0.338264 -0.580511 1.805368 3.109963Vasicek-Modell:Diskretisierungskontrollverfahren:••

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empirische Quantile der geschaetzten Zuwaechse

Quant

ile der

Stand

ardnor

malve

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g

-2 0 2

-4-2

02

4

129

-4 -2 0 2 40

12

3

Histogramm

Werte der Zuwaechse

empiri

sche u

nd the

oretisc

he Dic

hte

Abbildung 9.9: QQ-Plot und Histogramm f�ur den 6-Monats-LIBOR beim Vasicek-Modell, erstelltmit dem Diskretisierungskontrollverfahren; T = 4 = Anzahl der Jahre.In diesem Fall sieht man, da� das Vasicek-Modell h�ochst ungeeignet ist, den Verlaufvom LIBOR-Satz zu beschreiben. Allerdings ist hierbei zu sagen, da� der steile An-stieg in der Mitte des QQ-Plots und die \B�undelungen\ auf eine Clusterung der Datenzur�uckzuf�uhren ist, was sich dann auch entsprechend in dem Histogramm auswirkt.Diese Clusterung entsteht z.B. dadurch, da� �uber l�angere Zeitr�aume die Daten beimLIBOR-Datensatz fast konstant bleiben. Mathematisch w�are hier eine Entclusterungm�oglich durch geschickte Ver�anderung der LIBOR-Ausgangsdaten, ohne die Daten-struktur zu ver�andern. Diese Theorie ist aber sehr weiterf�uhrend und kann daher hiernicht mehr untersucht werden.Pedersen-Kontrollverfahren:••••••••••••••••••••••••••• •••• •• ••••••••••••••••••••

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empirische Quantile der geschaetzten Residuen

Quant

ile der

Gleic

hverte

ilung a

uf [0,1

]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.2

0.40.6

0.81.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

05

1015

20

Histogramm

Werte der Residuen

empiri

sche u

nd the

oretisc

he Dic

hte

Abbildung 9.10: QQ-Plot und Histogramm f�ur den 6-Monats-LIBOR beim Vasicek-Modell, erstelltmit dem Pedersen-Kontrollverfahren; T = 4 = Anzahl der Jahre.130

CIR-Modell:Auch hier betrachten wir zuerst das Kontrollverfahren �uber die Diskretisierung derproze�beschreibenden SDE und danach das von Pedersen entwickelte Modell-Kon-trollverfahren.Diskretisierungskontrollverfahren:••

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empirische Quantile der geschaetzten Zuwaechse

Quant

ile der

Stand

ardnor

malve

rteilun

g

-2 0 2

-6-4

-20

24

-6 -4 -2 0 2 4

01

23

Histogramm

Werte der Zuwaechse

empiri

sche u

nd the

oretisc

he Dic

hte

Abbildung 9.11: QQ-Plot und Histogramm f�ur den 6-Monats-LIBOR beim CIR-Modell, erstellt mitdem Diskretisierungskontrollverfahren; T = 4 = Anzahl der Jahre.Pedersen-Kontrollverfahren:••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

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empirische Quantile der geschaetzten Residuen

Quant

ile der

Gleic

hverte

ilung a

uf [0,1

]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.2

0.40.6

0.81.0

131

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

24

68

10

Histogramm

Werte der Residuen

empiri

sche u

nd the

oretisc

he Dic

hte

Abbildung 9.12: QQ-Plot und Histogramm f�ur den 6-Monats-LIBOR beim CIR-Modell, erstellt mitdem Pedersen-Kontrollverfahren; T = 4 = Anzahl der Jahre.Beim CIR-Modell sind die Plots nur geringf�ugig \besser\ (insbesondere die Histo-gramme) als beim Vasicek-Modell. Jedoch zeigt sich auch hier, da� das CIR-Modellnicht geeignet ist zur Modellierung des LIBOR-Satzes. Auch tritt hier das Ph�anomender Clusterung der Daten auf, was das Ergebnis verf�alscht.Als Ergebnis der Untersuchungen zum 6-Monats-LIBOR erhalten wir:Vasicek-Modell und CIR-Modell sind beide nicht geeignet, den Verlauf des 6-Monats-LIBOR-Satzes zu modellieren. Wenn man sich allerdings f�ur eines dieser beiden Mo-delle entscheiden m�u�te, dann w�are das CIR-Modell zu bevorzugen. Es zeigt sichallerdings auch, da� die ermittelten Sch�atzwerte �; � und � sowie der resultierendeMean-Reversion-Level��=� f�ur den Datensatz plausibel sind. Also sind diese Sch�atz-werte aus der Diplomarbeit in der �nanzmathematischen Praxis verwendbar, auchwenn das zugrundeliegende Modell nicht das Richtige ist.Swap-Satz f�ur 7-j�ahrige AnleihenZum Abschlu� der Untersuchungen wird der Swap-Satz f�ur 7-j�ahrige Anleihen be-trachtet. Auf eine ausf�uhrliche Interpretation sei hier verzichtet, da sie analog denBisherigen verl�auft. Der Verlauf des 7-j�ahrigen Swap-Satzes ist:

Zeitpunkte

Zinssa

tz (in %

)

0 500 1000 1500 2000 2500

67

89

Abbildung 9.13: 7-j�ahriger Swap-Satz ab 1.1.88 auf Tagesbasis.132

Als Sch�atzwerte haben sich ergeben:Tabelle 9.6: Sch�atzwerte des 7-Jahre-Swapsatzes bei T = Anzahl der Jahre.T Modell � � � - �=�10.376 [Jahre] Vasicek 0.744469 -0.172178 1.191835 6.92211010.376 [Jahre] CIR 0.278276 -0.177676 1.231181 6.929360Bei den beiden Modellkontrollverfahren zeigten sich folgende QQ-Plots, wobei aufdie Histogramme hier verzichtet wurde:QQ-Plot beim Vasicek-Modell nach dem Diskretisierungskontrollverfahren:

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-20

24

6

Abbildung 9.14: QQ-Plot f�ur den 7-j�ahrigen Swap beim Vasicek-Modell, erstellt mit dem Diskreti-sierungskontrollverfahren; T = 10:376 = Anzahl der Jahre.QQ-Plot beim CIR-Modell nach dem Diskretisierungskontrollverfahren:•

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Quant

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ardnor

malve

rteilun

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-2 0 2

-4-2

02

4

Abbildung 9.15: QQ-Plot f�ur den 7-j�ahrigen Swap beim CIR-Modell, erstellt mit dem Diskretisie-rungskontrollverfahren; T = 10:376 = Anzahl der Jahre.133

QQ-Plot beim Vasicek-Modell nach dem Pedersen-Kontrollverfahren:•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

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empirische Quantile der geschaetzten Residuen

Quant

ile der

Gleic

hverte

ilung a

uf [0,1

]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.2

0.40.6

0.81.0

Abbildung 9.16: QQ-Plot f�ur den 7-j�ahrigen Swap beim Vasicek-Modell, erstellt mit dem Pedersen-Kontrollverfahren; T = 10:376 = Anzahl der Jahre.QQ-Plot beim CIR-Modell nach dem Pedersen-Kontrollverfahren:••••••••••••••••••••••••••••••••••

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empirische Quantile der geschaetzten Residuen

Quant

ile der

Gleic

hverte

ilung a

uf [0,1

]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.2

0.40.6

0.81.0

Abbildung 9.17: QQ-Plot f�ur den 7-j�ahrigen Swap beim CIR-Modell, erstellt mit dem Pedersen-Kontrollverfahren; T = 10:376 = Anzahl der Jahre.Es f�allt auf, da� die QQ-Plots (beim jeweils entsprechenden Modellkontrollverfahren)f�ur das Vasicek- und das CIR-Modell sehr �ahnliche Verl�aufe haben. Dies o�enbartein schwieriges Problem: F�ur kleine Datenwerte - wie dies bei den im Prozentbereichliegenden Renditen der Fall ist - sind die Verl�aufe bei einem Vasicek-Modell undeinem CIR-Modell sehr �ahnlich. Signi�kante Unterschiede treten erst bei gr�o�erenDatenwerten auf. Aus diesem Grund sind bei den vorliegenden Swap-S�atzen beideModelle gleich gut geeignet, den Swap-Verlauf zu modellieren. Allerdings zeigt dieWellenbewegung in den QQ-Plots auch hier, da� das Modell die Realit�at nicht idealbeschreibt.134

Zusammenfassung und AusblickMit dieser Arbeit sollte ein vergleichender �Uberblick �uber die neuesten Sch�atzver-fahren f�ur wichtige Mean-Reverting-Prozesse gegeben und der E�ekt der Mean-Reversion in Rentenm�arkten untersucht werden. Dabei wurden die Theorie (Teil Iund II) und ihre praktische Anwendung (Teil III, C-Programm und Tabellen im An-hang) gleichrangig behandelt, denn ein theoretisches Verfahren ist nur dann vern�unf-tig, wenn es in der Praxis gute Sch�atzwerte in akzeptabler Computerrechenzeit liefert.|||||||Ausgangspunkt aller praktischen Untersuchungen war das Sch�atzverfahren der qua-dratischen Variation zur Bestimmung der Volatilit�atskonstanten �. Die quadratischeVariation wurde - obwohl theoretisch naheliegend - bisher auf diese Weise noch nichtf�ur Volatilit�atssch�atzungen verwendet. Dieses Verfahren hat sich bei simulierten Da-tens�atzen f�ur kleine Werte � = Tn als sehr gut erwiesen, da die Sch�atzwerte au�eror-dentlich genau und die empirische Varianz des Sch�atzers sehr klein waren. Letzteresist insbesondere wichtig bei der Untersuchung eines einzelnen Datensatzes, wie esin Kapitel 9 f�ur die �nanzwirtschaftlichen Daten der Fall war. Aufgrund der Erfah-rungen aus Kapitel 8 k�onnen die Sch�atzwerte f�ur T als Anzahl der Jahre bei den�nanzwirtschaftlichen Datens�atzen als sehr genau angesehen werden im Vergleichzum wahren, unbekannten Paramater �0.|||||||Beim verallgemeinerten CIR-Modell haben wir ein neues Sch�atzverfahren f�ur die Be-stimmung des Parameters in der Volatilit�at vorgestellt. Die Volatilit�atskonstante �und der Parameter werden dabei simultan gesch�atzt, wobei der Datensatz hinrei-chend gro� sein mu�. Dieses neue Verfahren ist insbesondere deshalb wichtig, da esf�ur nur wenige Verfahren zur Sch�atzung gibt und die simultane �- -Sch�atzung inakzeptabler Zeit sehr gute Ergebnisse liefert bei geeigneter Wahl von �.|||||||Bei der Untersuchung der Sch�atzverfahren f�ur die Driftparameter � und � habensich f�ur simulierte Datens�atze interessante Ergebnisse gezeigt, insbesondere bei derAbh�angigkeit der Sch�atzgenauigkeit/Konvergenzgeschwindigkeit von der Wahl vonT . Ebenso haben sich einige Verfahren (z.B. der Maximum-Likelihood-Sch�atzer mitapproximierten �Ubergangsdichten) als wenig praxistauglich erwiesen: Die Compu-terrechenzeit ist sehr lang (viele Stunden auf den UNIX-Workstations des Fachbe-reichs Mathematik), die Sch�atzwerte sind nicht gut und die empirische Varianz des135

Sch�atzers ist recht gro�. Als sehr gut haben sich dagegen diejenigen Sch�atzwerte er-wiesen, die mit Hilfe der Martingalsch�atzfunktionen errechnet wurden. Dieses 1995von Michael S�rensen entwickelte Sch�atzverfahren stellt ein v�ollig neues Konzept zurParametersch�atzung bei stochastischen Prozessen dar. Dieses Konzept liefert schonbei geringer Datensatzl�ange ausgezeichnete Sch�atzwerte und ist dadurch dasjenigeVerfahren, das sich bei der Untersuchung �nanzwirtschaftlicher Datens�atze anbietet.|||||||Bei den Modellkontrollverfahren wurden zwei M�oglichkeiten vorgestellt: Das Verfah-ren �uber die Diskretisierung der SDE und das 1994 von Asger Roer Pedersen ent-wickelte Residuenkontrollverfahren. Eine Analyse von simulierten Datens�atzen hatergeben, da� f�ur das Vasicek-Modell (insbesondere den Ornstein-Uhlenbeck-Proze�)und f�ur das CIR-Modell beide Verfahren gleichgut geeignet sind. Beim verallgemei-nerten CIR-Modell allerdings ist das Diskretisierungskontrollverfahren umso schlech-ter, je gr�o�er � und sind. Das Pedersen-Kontrollverfahren liefert dagegen auch beigro�em � und eine sehr gute Modellkontrollm�oglichkeit.In Kapitel 9 haben sich bei der Untersuchung der �nanzwirtschaftlichen Datens�atzebzgl. der Sch�atzwerte f�ur die Driftparameter � und � sowie f�ur die QQ-Plots sehrunterschiedliche Ergebnisse gezeigt. Als Beispiel sei hier der REX erw�ahnt (sowohlRenditewerte als auch Kurswerte): F�ur geringe Laufzeiten (z.B. 1 Jahr) ist der Sch�atz-wert � positiv und nicht mehr negativ, wie es im theoretischen Modell vorausgesetztist. Erst bei gr�o�eren Laufzeiten (z.B. 5 Jahre) sind die Modellvoraussetzungen wie-der erf�ullt und es ergeben sich gute Sch�atzwerte. Bei den LIBOR-S�atzen konnte diein der Praxis oft gemachte Annahme eines Vasicek-Modells nicht best�atigt werden.Vielmehr w�are das CIR-Modell etwas besser geeignet, wie z.B. bei dem 6-Monats-LIBOR, auch wenn dieses Modell die Realit�at nicht gut beschreibt.Es zeigt sich bei allen im Rahmen dieser Diplomarbeit von mir untersuchten �nanz-wirtschaftlichen Datens�atzen, da� die Modelle Vasicek und CIR nicht gut auf die Fi-nanzdaten passen. Bei den in Kapitel 9 vorgenommenen Betrachtungen der Zuw�achsedes Diskretisierungskontrollverfahrens haben sich die heavy tails bei der Verteilungund �uberproportional viele Daten um den Nullpunkt herum als charakteristisch er-wiesen im Vergleich zur Standardnormalverteilung, die bei Richtigkeit der Modellan-nahme zu erwarten ist. Dies liegt aber auch unter anderem daran, da� alle diese Mean-Reverting-Prozesse einen Mean-Reversion-Level ��� besitzen, der sich nicht �uber dieZeit hinweg �andert. Genau das w�are aber seitens der Praxis ein Kritikpunkt f�ur dieModellauswahl, da �au�ere Rahmenbedingungen (z.B. Politik, gesamtwirtschaftlichesKlima) starke Auswirkungen auf die Finanzm�arkte haben. Somit wird sich der Mean-Reversion-Level �uber einen l�angeren Zeitraum gesehen �andern, was aber weder dasVasicek- noch das CIR-Modell ber�ucksichtigt.|||||||136

Man sollte sich daher anderen Modellen zuwenden (z.B. dem hyperbolischen Di�u-sionsproze�, siehe Bibby & S�rensen [2], Beispiel 2.3, und Seite 36 �.), die eventuelldie langschw�anzigen Verteilungen der Finanzdaten besser abbilden. Es k�onnen aberauch die sich bei den Histogrammen ergebenden typischen empirischen Dichten derFinanzdaten als Ausgangspunkt f�ur eine Verbesserung der Modelle aus Kapitel 3 ge-nommen werden. Als erstes bietet sich eine �Uberpr�ufung der Drift � an. Hierzu eignetsich der durch (�) : (Xi�1; Xi �Xi�1 ���(Xi�1; �; �) )ni=1gegebene Plot. Nach 1.8(i) gilt:E(Xi �Xi�1 jXi�1 = xi�1) = ��(xi�1;�; �) + o1(�):Damit: E(Xi �Xi�1 ���(Xi�1;�; �) jXi�1 = xi�1) = o1(�):Der sich durch (�) ergebende Graph m�u�te daher Werte um die Null herum anneh-men, falls der aufgrund der Modellannahme gesch�atzte Wert f�ur die Drift korrektwar. Ein systematischer Fehler in der Driftsch�atzung w�are also hier erkennbar.F�ur die Untersuchung der Volatilit�at w�urde sich der Plot(��) : (Xi�1; (Xi �Xi�1 ���(Xi�1; �; �))2 ���(Xi�1; �; �) )ni=1anbieten, da mit 1.8(i) gilt:E((Xi�Xi�1���(Xi�1;�; �))2���(Xi�1;�; �) jXi�1 = xi�1) = [o1(�)]2+o2(�):Auch bei diesem Plot m�u�te sich bei korrekter Drift und Volatilit�at ein Graph erge-ben, der fast identisch 0 ist. Mit Hilfe dieses Plots kann man dann die Modellierungder Volatilit�at f�ur ein neues, besseres Modell vornehmen.|||||||Die in (�) und (��) angedeuteten M�oglichkeiten zur Modellkorrektur sind daherein Punkt, an dem weitergehende Untersuchungen ansetzen k�onnen. Ein andererAspekt ist die in Kapitel 9 angesprochene Clusterung der Daten, insbesondere beiden LIBOR-S�atzen. Durch diese Anh�aufung von identischen Werten im Datensatzwird eine Untersuchung des Modells mittels QQ-Plot und Histogramm deutlich er-schwert. Man m�u�te bei einer solchen Zeitreihe zuerst die Clusterungen beseitigen,ohne allerdings die Struktur der Daten zu ver�andern. Dies hat dann unmittelbarAuswirkungen auf den QQ-Plot und das Histogramm. Alternativ kann man auchversuchen, die Cluster zu modellieren. Inwieweit dann die Modelle besser passenauf die LIBOR-S�atze, m�u�te dann in einer erneuten Untersuchung gekl�art werden.Schlie�lich w�are auch eine Untersuchung bez�uglich der Robustheit der Sch�atzer ge-gen�uber einer Nichterf�ullung der Modellvoraussetzungen interessant: Falls das Modellauch nicht exakt stimmt, so w�urde diese Analyse Aufschlu� dar�uber geben, ob dieermittelten Sch�atzwerte brauchbar sind.137

138

Anhang AStationarit�atsrechnungen zuMean-Reverting-ProzessenVasicek-ModellEin Proze� des Vasicek-Modells ist gegeben als L�osung der SDEdXt = �(Xt)dt+ �(Xt)dBt; t � 0; X0 = x0 2 I = IR; wobei�(x) = � + �x; x 2 IR; � 2 IR�; � 2 IR;�(x) = � 2 IR+ 8x 2 IR:Stationarit�at im Grenzfall t!1:(i) Ableitung s der scale function:s(x) = exp8<:�2 xZc �(u)�2(u)du9=; wobeix; c 2 I = (l; r) = IR; c beliebig, aber festexp8<:�2 xZ0 � + �u�2 du9=; ; c := 0 2 I= exp�� 2�2 h�x+ �2 x2i� :(ii) Speed density:m(x) = 2�2(x)s(x) = 2�2 exp� 2�2 h�x + �2 x2i� :(iii) Gesamtmasse:jmj = rZl m(u)du 139

= 1Z�1 2�2 exp� 2�2 h�u+ �2 u2i�du�6=0= 2�2 1Z�1 exp� ��2 �u2 + 2��u�� du= 2�2 exp�� �2��2�s2����22��1s2����22�� 1Z�1 exp8>>><>>>:��u� ������22���22�� 9>>>=>>>; du| {z }= 1= 2� r��� exp�� �2��2� < 1:Also konvergiert nach 1.16 in Verbindung mit 1.17 der Proze� (Xt)t�0 im Vasicek-Modell f�ur t!1 gegen eine station�are Verteilung mit Lebesgue-Dichte (x) = m(x)jmj= 2�2 exp� 2�2 h�x+ �2 x2i� �2 r��� exp� �2��2�= 1s2����22�� exp8>>><>>>:��x� ������22���22�� 9>>>=>>>; :Somit ist die station�are Verteilung im Vasicek-Modell N ����;��22��.Cox-Ingersoll-Ross-ModellDer Proze� im CIR-Modell wird beschrieben durch die SDEdXt = �(Xt)dt+ �(Xt)dBt; t � 0; X0 = x0 2 I = IR+; wobei�(x) = � + �x; x 2 IR+; � 2 IR�; � 2 IR+;�(x) = �px 8x 2 IR+; � 2 IR+ mit 2� � �2:

140

Stationarit�at im Grenzfall t!1:(i) Ableitung s der scale function:s(x) = exp8<:�2 xZc �(u)�2(u)du9=; ; wobeix; c 2 I = IR+; c beliebig, aber fest= exp8<:�2 xZc � + �u�2u du9=;= x�2�=�2 c2�=�2 exp��2��2 (x� c)� :(ii) Speed density:m(x) = 2�2(x)s(x)= 2�2 x�1 x2�=�2 c�2�=�2 exp�2��2 (x� c)�= 2�2 x(2�=�2)�1 exp�2��2 (x� 1)� c := 1 2 I:(iii) Gesamtmasse:jmj = 1Z0 m(u)du= 2�2 exp��2��2� 1Z0 u(2�=�2)�1 exp�2��2 u� du 2���2;�<0< 1:Nach 1.16 in Verbindung mit 1.17 konvergiert dann (Xt)t�0 f�ur t ! 1 gegen einestation�are Verteilung mit Lebesgue-Dichte (x) = m(x)jmj= 2�2x(2�=�2)�1 exp�2��2 (x� 1)�2�2 exp��2��2� 1Z0 u(2�=�2)�1 exp�2��2 u� du= x(2�=�2)�1 exp�2��2 x����22��2�=�2 1Z0 v(2�=�2)�1 e�v dv ( Transformation 2��2 u = �v ).Also ist die station�are Verteilung im CIR-Modell ���2��2 ; 2��2 �.141

142

Anhang BSimulationsverfahren f�urIto-ProzesseIm folgenden werden drei Simulationsverfahren f�ur einen eindimensionalen Ito-Proze�vorgestellt, wie sie im Programm zur Diplomarbeit implementiert sind. Des weiterenwerden diese drei Verfahren miteinander verglichen mittels des Begri�s der starkenKonvergenz mit Ordung �, � 2 IR+. Grundlage der folgenden Darstellungen ist Kloe-den & Platen [13], Kapitel 5.5, 9.6, 10.2, 10.3 und 10.4.Betrachte den eindimensionalen Ito-Proze� (Xt)0�t�T , gegeben als L�osung der SDEdXt = �(t;Xt) dt + �(t;Xt) dBt; 0 < t � T; X0 2 IR:Dabei sei (Bt)t�0 eine eindimensionale Standard-Brown'sche Bewegung. Um den zeit-stetigen Proze� (Xt)0�t�T zu simulieren, betrachten wir die Simulationszeitpunkte0 = �0 < �1 < : : : < �N = Tdes Beobachtungszeitraums [0; T ]. T bezeichnet man als Beobachtungshorizont. Seiferner �is := �i+1 � �i; 0 � i � N � 1. �is ist die i-te Simulationsschrittweite. Dadie im Programm zur Diplomarbeit verwendeten Simulationszeitpunkte �aquidistantsind, d.h. �i = i�s; i = 0; : : : N; mit �s := TN , werden wir uns bei den folgenden dreiSimulationsverfahren darauf beschr�anken.Es sei ausdr�ucklich darauf hingewiesen, da� das f�ur die Simulation verwendete Delta�s (s = Simulation) nicht das gleiche Delta sein mu�, das bei der Entwicklung derSch�atzverfahren in Teil II verwendet wird. �s bezieht sich auf die Simulation desProzesses und ist im Programm mit Schrittweite f�ur die Simulation bezeichnet. DieAnzahl der simulierten Punkte ist dann N = T�s , so da� der erzeugte Datensatz N+1Punkte enth�alt (einschlie�lich des vorgegebenen Startpunktes x0 des Prozesses). Das�, das in Teil II der Diplomarbeit verwendet wird, ist hingegen Tn , wobei n+ 1 dieAnzahl der �aquidistanten Beobachtungen ist, die von dem simulierten Proze� gemachtwerden. O�ensichtlich mu� dann gelten: n � N , und n mu� ein Teiler von N sein.Grundlage f�ur unsere Simulationsverfahren ist die in Kloeden & Platen [13], x5.5,beschriebene Ito-Taylor-Darstellung des Prozesses (Xt)0�t�T , das stochastische Ana-logon zur Taylor-Formel der reellen Analysis. Je nachdem, wieviele Glieder der Ito-Taylor-Formel zur Simulation von (Xt)0�t�T verwendet werden, erh�alt man ein ande-res Simulationsverfahren. Eine genaue Darstellung der Ito-Taylor-Formel erfolgt hiernicht. 143

Euler-SchemaDe�niere die Folge (Yi)Ni=0 � (Y�i)Ni=0 iterativ durch die drei ersten Glieder der Ito-Taylor-Formel des zeitstetigen Prozesses (Xt)0�t�T :Y0 := x0;Yi+1 := Yi + �(�i; Yi)�s + �(�i; Yi)�B(1)i ; i = 0; : : : ; N � 1; 9=; (1)wobei �B(1)i d= N(0;�s) f�ur i = 0; : : : N � 1. (Yi)Ni=0 ist die Euler-Approximationdes zeitstetigen Prozesses (Xt)0�t�T im Zeitintervall [0; T ]. (1) wird Euler-Schemagenannt.In einem Computerprogramm berechnet man eine Realisierung von �B(1)i mittelseines Zufallsgenerators und des folgenden leicht zu beweisenden Lemmas:B.1 Lemma (Box-Muller-Methode)Seien Z1 und Z2 zwei auf (0; 1) gleichverteilte, unabh�angige Zufallsvariablen. Dannsind N1 := p�2 ln(Z1) cos(2�Z2);N2 := p�2 ln(Z1) sin(2�Z2); 9=; (2)zwei unabh�angige, standardnormalverteilte Zufallsvariablen. Insbesondere gilt, da�p�sN1 d= N(0;�s) unabh�angig ist von p�sN2 d= N(0;�s). Man kann f�ur jedesi 2 f0; : : : ; N � 1g eine Realisierung von p�sN1 als Realisierung von �B(1)i ver-wenden. Konkrete Werte f�ur Z1 und Z2 werden im Computerprogramm mittels einesZufallsgenerators berechnet, der auf (0; 1)-gleichverteilte Werte liefert.Milstein-SchemaIm Gegensatz zum Euler-Schema wird beim Milstein-Schema ein weiteres Glied derIto-Taylor-Formel verwendet. Im folgenden sei mit einem Strich �uber einer Funktionstets deren partielle Ableitung nach der Ortskomponenten (= zweite Komponente)gemeint. Wir de�nieren iterativ die Folge (Yi)Ni=0 � (Y�i)Ni=0 durch:Y0 := x0;Yi+1 := Yi + �(�i; Yi)�s + �(�i; Yi)�B(1)i+ 12�(�i; Yi)�0(�i; Yi) n(�B(1)i )2 ��so ; i = 0; : : : ; N � 1:

9>>>>>=>>>>>; (3)(3) wird Milstein-Schema genannt. 144

Taylor-1.5-SchemaWir nehmen jetzt zus�atzlich zum Milstein-Schema noch weitere Glieder der Ito-Taylor-Darstellung hinzu. Mit dem oben eingef�uhrten �B(2)i de�nieren wir iterativdie Folge (Yi)Ni=0 � (Y�i)Ni=0 durch:Y0 := x0;Yi+1 := Yi + �(�i; Yi)�s + �(�i; Yi)�B(1)i + 12�(�i; Yi)�0(�i; Yi)n(�B(1)i )2 ��so + �0(�i; Yi)�(�i; Yi)�B(2)i+ 12 ��(�i; Yi)�0(�i; Yi) + 12�2(�i; Yi)�00(�i; Yi)� �s+ ��(�i; Yi)�0(�i; Yi) + 12�2(�i; Yi)�00(�i; Yi)�n�B(1)i �s � �B(2)i o + 12�(�i; Yi) (�(�i; Yi)�00(�i; Yi)+ [�0(�i; Yi)]2� n13 [�B(1)i ]2 ��so �B(1)i ; i = 0; : : : ; N � 1:

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>;(4)

Hierbei sei �B(2)i d= N(0;�s) f�ur jedes i 2 f0; : : : ; N�1g eine von �B(1)i unabh�angigeZufallsvariable. Nach B.1 kann dann f�ur jedes i 2 f0; : : : ; N � 1g eine Realisierungvon p�sN2 als Realisierung von �B(2)i verwendet werden.Die Bezeichnung des Simulationsverfahrens (4) in der Diplomarbeit als Taylor-1.5-Verfahren ergibt sich aus der n�achsten De�nition, der Einf�uhrung des Begri�s derstarken Konvergenz mit Ordnung �, wobei � 2 IR+ ist. Hiermit k�onnen die dreivorgestellten Simultionsverfahren miteinander verglichen werden.B.2 De�nition (Starke Konvergenz mit Ordnung �)Sei (Xt)t�0 ein Ito-Proze�, der als L�osung der SDEdXt = �(t;Xt) dt + �(t;Xt) dBt; t � 0; X0 = x0;gegeben sei. Ferner seien 0 = �0 < �1 < : : : < �N = T die (jetzt nicht mehr notwen-digerweise �aquidistanten) Simulationszeitpunkte im Zeitintervall [0; T ] mit maximalerSchrittweite � := maxf�i+1 � �i j i = 0; : : : ; N � 1gsowie (Y �i )Ni=0 eine zeitdiskrete Approximation von (Xt)t�0 auf [0; T ] bez�uglich derSimulationszeitpunkte f�0; : : : ; �Ng. Die Approximation (Y �i )Ni=0 konvergiert stark mitOrdnung � > 0 gegen (Xt)t�0 zum Zeitpunkt T , falls ein C > 0 existiert, das von �unabh�angig ist, sowie ein �0 > 0 mitE �jXT � Y �T j� � C �� 8 � 2 (0; �0):145

Unter geeigneten Voraussetzungen (siehe Kloeden & Platen [13], Seite 323 �., Seite345 �. und Seite 351 �.) kann man zeigen:(i) Das Euler-Schema ist stark konvergent mit Ordnung � = 0:5.(ii) Das Milstein-Schema ist stark konvergent mit Ordnung � = 1.(iii) Das Taylor-1.5-Verfahren ist stark konvergent mit Ordnung � = 1:5.In diesem Sinne ist das Taylor-1.5-Verfahren besser zur Simulation eines Ito-Prozessesgeeignet als die beiden anderen Schemata. Deshalb basieren alle in der Diplomar-beit simulierten Prozesse auf dem Taylor-1.5-Verfahren, wobei im Programm zurDiplomarbeit aber alle drei Verfahren zur Proze�simulation eingebaut sind, soferndie Verfahren bei einem Modell aus Kapitel 3 verschieden sind. So ist beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze� das Milstein-Schema identisch mit dem Euler-Schema, wohingegenbeim verallgemeinerten CIR-Modell alle drei Simulationsverfahren verschieden sind.

146

Anhang CTabellen aller Ergebnisse beimOrnstein-Uhlenbeck-Proze�Die nachfolgenden Tabellen des Anhangs C f�ur die Sch�atzungen bei einem Ornstein-Uhlenbeck-Proze� sind entstanden auf der Grundlage von jeweils 100 simuliertenPfaden pro Beispiel, wobei die Simulationen mit dem Taylor-1.5-Verfahren durch-gef�uhrt wurden - siehe Anhang B. Die Anzahl von 100 simulierten Pfaden pro Bei-spiel wurde auch bei allen anderen Modellen (Anhang D, E, F und G) beibehalten,um eine Aussage �uber die Qualit�at des Sch�atzers tre�en zu k�onnen durch Angabedes Sch�atzwertes als arithmetischem Mittel, sowie durch die Angabe der Varianz unddes Standarderrors (=mittlerer quadratischer Fehler).Die Parameter der SDE f�ur den untersuchten Ornstein-Uhlenbeck-Proze� sind mitden Bezeichungen aus Kapitel 3: � = �3 und � = 2. Als Startwert des Prozesseswurde x0 = 0 gew�ahlt. Die Simulationsschrittweite sei wie im Anhang B mit �sbezeichnet. Bei den betrachteten �aquidistanten Beobachtungen der Anzahl n+ 1 imZeitraum [0; T ] sei der Quotient Tn =: � die Zeitdi�erenz zwischen zwei aufeinander-folgenden Beobachtungen. O�ensichtlich gilt stets �s � �.Der Anordnung aller Tabellen des Anhangs lag das Ziel zugrunde, den Ein u� derSimulationsschrittweite �s auf die Sch�atzwerte zu dokumentieren. In Kapitel 8 derDiplomarbeit sind dagegen die Sch�atzwerte anders geordnet, da man dort untersu-chen will, wie die Sch�atzwerte bei ansonsten gleichen Gr�o�en auf eine Ver�anderungdes Beobachtungshorizonts T reagieren. Da die in Kapitel 9 untersuchten �nanzwirt-schaftlichen Datens�atze stets nie mehr als ca. 2500 Daten enthalten, wurde eine sehrausf�uhrliche Untersuchung aller Beispiele des Anhangs nur f�ur n � 2500 durchgef�uhrt.F�ur gr�o�ere n habe ich mich auf den Fall �s = � beschr�ankt.Bei der Berechnung des auf den �Ubergangsdichten basierenden MLS (siehe (28)in Kapitel 4 und 5.16) ist das Suchintervall [�3:25;�2:76]. Die Genauigkeit desSch�atzwertes betr�agt 0.01, d.h: Wurde � gesch�atzt, so liegt der wahre Wert �0 in(� � 0:01; � + 0:01). Ein Sch�atzwert, der gleich einer Intervallgrenze des Suchinter-valls ist, mit einer Varianz von 0 zeigt an, da� der tats�achliche MLS au�erhalb desIntervalls liegt. Eine Vergr�o�erung des Suchintervalls ist zwar m�oglich, jedoch nurbei einer Erh�ohung der Rechenzeit, die bei diesem Verfahren ohnehin schon gro� ist.Daher wurde das Suchintervall nicht allzu lang gew�ahlt.147

Beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze� ist der Sch�atzer aus der einfachen Martingalsch�atz-funktion identisch mit dem Sch�atzer aus der optimalen Martingalsch�atzfunktion (sie-he 6.11). Gem�a� der Formel in Tabelle 6.1 kann es dabei vorkommen, da� aufgrundder Daten der Logarithmus aus einer nicht positiven Zahl gezogen werden mu�. Ineinem solchen Fall kann f�ur den betre�enden Pfad kein Sch�atzwert ermittelt werden.Die Spalte Pfad bei den Sch�atzwerten aus der einfachen/optimalen Martingalsch�atz-funktion (in den Tabellen kurz: MSF) gibt daher an, bei wievielen der 100 Pfade eineParametersch�atzung m�oglich ist. Entsprechendes gilt auch bei allen anderen Modellenf�ur den Sch�atwert aus der einfachen Martingalsch�atzfunktion.Im folgenden sind die Beobachtungen eines Beispielpfads dargestellt f�ur den in denfolgenden Tabellen untersuchten Ornstein-Uhlenbeck-Proze�.Beobachtungen eines simulierten Prozesses

Beobachtungspunkte

Wer

t

0 500 1000 1500

-3-2

-10

12

Abbildung C.1: Beobachtungen eines Beispielpfads des untersuchten Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses(� = �3; � = 2; x0 = 0; T = 150;�s = 0:01; n = 1500 mit Taylor-1.5-Simulationsverfahren).

148

Tabelle C.1: Sch�atzergebnisse beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze�.�-Sch�atzung MLS (�Ubergangsdichten)T n �s Pfade |||||||||||| ||||||||||||� Varianz Std-error � Varianz Std-error500 500 0.1 100 1.1178 0.0017 0.7800 -2.7600 0 0.057650 500 0.1 100 1.8353 0.0038 0.0309 -2.8129 0.0161 0.0511500 500 0.01 100 1.1270 0.0013 0.7635 -2.7600 0 0.057650 500 0.01 100 1.8641 0.0035 0.0220 -2.8497 0.0214 0.04405 500 0.01 100 1.9914 0.0039 0.0039 -3.0499 0.0528 0.0553500 500 0.001 100 1.1247 0.0018 0.7679 -2.7600 0 0.057650 500 0.001 100 1.8601 0.0040 0.0235 -2.8400 0.0202 0.04585 500 0.001 100 1.9900 0.0036 0.0037 -3.0185 0.0492 0.04950.5 500 0.001 100 2.0044 0.0039 0.0039 -3.1246 0.0468 0.0623500 500 0.0001 100 1.1205 0.0019 0.7754 -3.0864 0.0509 0.058450 500 0.0001 100 1.8578 0.0032 0.0234 -2.8506 0.0217 0.04415 500 0.0001 100 1.9858 0.0043 0.0045 -3.0349 0.0535 0.05470.5 500 0.0001 100 2.0035 0.0036 0.0036 -3.0864 0.0509 0.05841000 1000 0.1 100 1.1103 0.0009 0.7924 -2.7600 0 0.0576100 1000 0.1 100 1.8389 0.0015 0.0275 -2.7855 0.0077 0.05371000 1000 0.01 100 1.1260 0.0007 0.7646 -2.7600 0 0.0576100 1000 0.01 100 1.8620 0.0015 0.0205 -2.7930 0.0064 0.049210 1000 0.01 100 1.9819 0.0017 0.0021 -3.0151 0.0494 0.04961000 1000 0.001 100 1.1239 0.0008 0.7683 -2.7600 0 0.0576100 1000 0.001 100 1.8625 0.0019 0.0208 -2.7901 0.0051 0.049110 1000 0.001 100 1.9836 0.0015 0.0018 -3.0037 0.0519 0.05191 1000 0.001 100 2.0079 0.0018 0.0019 -3.0565 0.0560 0.05921000 1000 0.0001 100 1.1215 0.0008 0.7726 -2.7600 0 0.0576100 1000 0.0001 100 1.8596 0.0016 0.0213 -2.8020 0.0088 0.048010 1000 0.0001 100 1.9880 0.0020 0.0021 -2.9785 0.0467 0.04721 1000 0.0001 100 2.0012 0.0020 0.0020 -3.1292 0.0404 0.05711500 1500 0.1 100 1.1141 0.0040 0.7853 -2.7600 0 0.0576150 1500 0.1 100 1.8268 0.0013 0.0313 -2.7701 0.0033 0.05621500 1500 0.01 100 1.1232 0.0006 0.7694 -2.7600 0 0.0576150 1500 0.01 100 1.8637 0.0014 0.0200 -2.7857 0.0031 0.049015 1500 0.01 100 1.9853 0.0015 0.0018 -3.0284 0.0449 0.04571500 1500 0.001 100 1.1259 0.0006 0.7646 -2.7600 0 0.0576150 1500 0.001 100 1.8610 0.0014 0.0207 -2.8017 0.0078 0.047115 1500 0.001 100 1.9889 0.0011 0.0012 -3.0020 0.0472 0.04721.5 1500 0.001 100 1.9987 0.0016 0.0016 -3.0777 0.0526 0.05861500 1500 0.0001 100 1.1224 0.0005 0.7706 -2.7600 0 0.0576150 1500 0.0001 100 1.8564 0.0013 0.0219 -2.7865 0.0045 0.050015 1500 0.0001 100 1.9914 0.0011 0.0012 -2.9821 0.0460 0.04631.5 1500 0.0001 100 1.9967 0.0012 0.0012 -3.0417 0.0550 0.0567149

�-Sch�atzung MLS (�Ubergangsdichten)T n �s Pfade |||||||||||| ||||||||||||� Varianz Std-error � Varianz Std-error2000 2000 0.1 100 1.1131 0.0004 0.7869 -2.7600 0 0.7869200 2000 0.1 100 1.8325 0.0009 0.0290 -2.7627 0.0015 0.05782000 2000 0.01 100 1.1250 0.0004 0.7660 -2.7600 0 0.0576200 2000 0.01 100 1.8592 0.0008 0.0206 -2.7800 0.0027 0.051120 2000 0.01 100 1.9890 0.0010 0.0012 -2.9909 0.0328 0.04502000 2000 0.001 100 1.1274 0.0004 0.7619 -2.7600 0 0.0576200 2000 0.001 100 1.8534 0.0009 0.0224 -2.7705 0.0011 0.053820 2000 0.001 100 1.9844 0.0009 0.0011 -3.0083 0.0481 0.04822 2000 0.001 100 2.0027 0.0011 0.0011 -3.0443 0.0583 0.06032000 2000 0.0001 100 1.1203 0.0004 0.7743 -2.7600 0 0.0576200 2000 0.0001 100 1.8653 0.0009 0.0191 -2.7769 0.0020 0.051820 2000 0.0001 100 1.9852 0.0011 0.0013 -3.0138 0.0448 0.04502 2000 0.0001 100 1.9999 0.0009 0.0009 -3.0470 0.0561 0.05832500 2500 0.1 100 1.1145 0.0003 0.7845 -2.7600 0 0.0576250 2500 0.1 100 1.8318 0.0008 0.0291 -2.7588 0.0008 0.05902500 2500 0.01 100 1.1143 0.0004 0.7847 -2.7600 0 0.0576250 2500 0.01 100 1.8586 0.0006 0.0206 -2.7700 0.0010 0.053925 2500 0.01 100 1.9860 0.0007 0.0009 -2.9967 0.0469 0.04692500 2500 0.001 100 1.1256 0.0004 0.7651 -2.7600 0 0.0576250 2500 0.001 100 1.8623 0.0007 0.0197 -2.7747 0.0017 0.054225 2500 0.001 100 1.9868 0.0009 0.0011 -3.0033 0.0433 0.04332.5 2500 0.001 100 1.9989 0.0007 0.0007 -3.0273 0.0535 0.05422500 2500 0.0001 100 1.1215 0.0003 0.7722 -2.7600 0 0.0576250 2500 0.0001 100 1.8598 0.0006 0.0203 -2.7718 0.0018 0.053925 2500 0.0001 100 1.9806 0.0008 0.0012 -2.9767 0.0422 0.04272.5 2500 0.0001 100 2.0037 0.0008 0.0008 -3.0291 0.0525 0.0534300 3000 0.1 100 1.8309 0.0005 0.0291 -2.7531 0.0003 0.061330 3000 0.01 100 1.9868 0.0006 0.0008 -2.9825 0.0440 0.04433 3000 0.001 100 1.9984 0.0006 0.0006 -3.0336 0.0505 0.0517350 3500 0.1 100 1.8312 0.0005 0.0290 -2.7559 0.0006 0.060235 3500 0.01 100 1.9871 0.0006 0.0007 -2.9979 0.0446 0.04463.5 3500 0.001 100 2.0007 0.0006 0.0006 -3.0493 0.0560 0.0584400 4000 0.1 100 1.8320 0.0004 0.0286 -2.7524 0.0002 0.061540 4000 0.01 100 1.9881 0.0004 0.0005 -3.0154 0.0470 0.04194 4000 0.001 100 2.0017 0.0004 0.0004 -3.0395 0.0557 0.0572450 4500 0.1 100 1.8322 0.0003 0.0285 -2.7519 0.0001 0.061745 4500 0.01 100 1.9842 0.0004 0.0006 -3.0148 0.0433 0.04354.5 4500 0.001 100 1.9979 0.0004 0.0004 -3.0284 0.0549 0.0550500 5000 0.1 100 2.1697 0.0005 0.0293 -3.0421 0.0106 0.012450 5000 0.01 100 1.9878 0.0004 0.0006 -3.0034 0.0462 0.04635 5000 0.001 100 2.0016 0.0004 0.0516 -3.0221 0.0511 0.0516150

Diskretisierter MLS Genauer MLST n �s Pfade |||||||||||| ||||||||||||�d Varianz Std-error �g Varianz Std-error500 500 0.1 100 -0.9480 0.0019 4.2126 -0.9493 0.0039 4.212650 500 0.1 100 -2.6173 0.0859 0.2323 -2.6204 0.0985 0.2426500 500 0.01 100 -0.9480 0.0021 4.2126 -0.9484 0.0031 4.212150 500 0.01 100 -2.6425 0.1312 0.2589 -2.6398 0.1182 0.24795 500 0.01 100 -3.5785 1.8321 2.1667 -3.5839 1.8272 2.1667500 500 0.001 100 -0.9562 0.0018 4.1789 -0.9578 0.0041 4.178950 500 0.001 100 -2.6259 0.0975 0.2375 -2.6259 0.0975 0.23755 500 0.001 100 -3.3917 1.4321 1.5855 -3.2927 1.4595 1.61370.5 500 0.001 100 -6.7631 44.3540 58.5149 -6.7646 44.8331 59.0051500 500 0.0001 100 -0.9427 0.0018 4.2344 -0.9438 0.0034 4.231450 500 0.0001 100 -2.6495 0.1107 0.2335 -2.6487 0.1032 0.22665 500 0.0001 100 -3.4522 1.8427 2.0472 -3.4609 1.9507 2.16310.5 500 0.0001 100 -6.9330 47.1510 62.6192 -6.9992 48.9837 64.97751000 1000 0.1 100 -0.9464 0.0010 4.2184 -0.9469 0.0017 4.2168100 1000 0.1 100 -2.5760 0.0421 0.2219 -2.5761 0.0424 0.22211000 1000 0.01 100 -0.9520 0.0008 4.1952 -0.9525 0.0016 4.1939100 1000 0.01 100 -2.6191 0.0556 0.2006 -2.6176 0.0480 0.194210 1000 0.01 100 -3.1383 0.6054 0.6246 -3.1327 0.5688 0.58641000 1000 0.001 100 -0.9520 0.0010 4.1953 -0.9524 0.0016 4.1943100 1000 0.001 100 -2.5891 0.0516 0.2204 -2.5875 0.0416 0.211810 1000 0.001 100 -3.2178 0.7624 0.8098 -3.2246 0.8324 0.88291 1000 0.001 100 -4.8431 17.7346 21.1315 -4.8602 18.1105 21.57101000 1000 0.0001 100 -0.9447 0.0010 4.2251 -0.9451 0.0014 4.2241100 1000 0.0001 100 -2.6191 0.0427 0.1878 -2.6184 0.0401 0.185810 1000 0.0001 100 -3.2968 0.7746 0.8627 -3.2960 0.7686 0.85621 1000 0.0001 100 -5.4143 17.1535 22.9826 -5.4333 17.5787 23.49981500 1500 0.1 100 -0.9446 0.0006 4.2254 -0.9450 0.0011 4.2240150 1500 0.1 100 -2.5655 0.0319 0.2207 -2.5657 0.0326 0.22121500 1500 0.01 100 -0.9513 0.0005 4.1977 -0.9516 0.0011 4.1971150 1500 0.01 100 -2.5795 0.0312 0.2080 -2.5793 0.0316 0.208715 1500 0.01 100 -3.1300 0.5081 0.5250 -3.1298 0.5011 0.51801500 1500 0.001 100 -0.9526 0.0007 4.1923 -0.9529 0.0011 4.1917150 1500 0.001 100 -2.6099 0.0310 0.1832 -2.6104 0.0329 0.184715 1500 0.001 100 -3.1270 0.4976 0.5137 -3.1260 0.4888 0.50471.5 1500 0.001 100 -3.9710 6.4800 7.4229 -3.9813 6.5673 7.53031500 1500 0.0001 100 -0.9450 0.0007 4.2236 -0.9452 0.0009 4.2229150 1500 0.0001 100 -2.6115 0.0231 0.1741 -2.6115 0.0243 0.175215 1500 0.0001 100 -3.0934 0.3922 0.4009 -3.0946 0.4065 0.41541.5 1500 0.0001 100 -4.1015 5.9963 7.2097 -4.0924 5.9589 7.1522151

Diskretisierter MLS Genauer MLST n �s Pfade |||||||||||| ||||||||||||�d Varianz Std-error �g Varianz Std-error2000 2000 0.1 100 -0.9477 0.0005 4.2125 -0.9479 0.0008 4.2119200 2000 0.1 100 -2.5591 0.0182 0.2126 -2.5596 0.0204 0.21442000 2000 0.01 100 -0.9474 0.0005 4.2137 -0.9476 0.0007 4.2130200 2000 0.01 100 -2.5862 0.0239 0.1951 -2.5863 0.0237 0.194920 2000 0.01 100 -3.0593 0.2905 0.2940 -3.0587 0.2857 0.28922000 2000 0.001 100 -0.9508 0.0005 4.1998 -0.9512 0.0008 4.1989200 2000 0.001 100 -2.5965 0.0205 0.1833 -2.5972 0.0248 0.187020 2000 0.001 100 -3.0272 0.2256 0.2263 -3.0265 0.2207 0.22142 2000 0.001 100 -4.1746 5.6979 7.0776 -4.1655 5.4636 6.82202000 2000 0.0001 100 -0.9454 0.0005 4.2221 -0.9455 0.0007 4.2215200 2000 0.0001 100 -2.5990 0.0227 0.1834 -2.5985 0.0193 0.180620 2000 0.0001 100 -3.0873 0.3650 0.3840 -3.0874 0.3440 0.35162 2000 0.0001 100 -3.9381 4.0167 4.8968 -3.9405 4.0482 4.93282500 2500 0.1 100 -0.9486 0.0004 4.2088 -0.9487 0.0006 4.2082250 2500 0.1 100 -2.5799 0.0241 0.2006 -2.5796 0.0230 0.19962500 2500 0.01 100 -0.9452 0.0003 4.2225 -0.9454 0.0006 4.2220250 2500 0.01 100 -2.5821 0.0168 0.1915 -2.5818 0.0161 0.191025 2500 0.01 100 -3.0616 0.2830 0.2868 -3.0610 0.2803 0.28402500 2500 0.001 100 -0.9522 0.0005 4.1949 -0.9524 0.0007 4.1935250 2500 0.001 100 -2.5998 0.0139 0.1740 -2.5991 0.0104 0.171125 2500 0.001 100 -2.9291 0.2412 0.2463 -2.9308 0.2470 0.25182.5 2500 0.001 100 -3.7708 3.9946 4.5888 -3.7632 3.9369 4.51942500 2500 0.0001 100 -0.9473 0.0004 4.2139 -0.9475 0.0006 4.2135250 2500 0.0001 100 -2.6015 0.0162 0.1751 -2.6011 0.0150 0.174125 2500 0.0001 100 -3.0398 0.2339 0.2355 -3.0388 0.2288 0.23042.5 2500 0.0001 100 -3.9367 3.6954 4.5728 -3.9367 3.6954 4.5728300 3000 0.1 100 -2.5419 0.0165 0.2263 -2.5419 0.0165 0.226330 3000 0.01 100 -3.0307 0.2606 0.2615 -3.0305 0.2606 0.26163 3000 0.001 100 -3.5451 3.0395 3.3367 -3.5472 3.0868 3.3862350 3500 0.1 100 -2.5550 0.0117 0.2097 -2.5552 0.0128 0.210635 3500 0.01 100 -3.0179 0.1747 0.1750 -3.0183 0.1787 0.17913.5 3500 0.001 100 -3.2225 1.5206 1.5701 -3.2202 1.4959 1.5444400 4000 0.1 100 -2.5564 0.0073 0.2040 -2.5571 0.0108 0.207040 4000 0.01 100 -3.0371 0.1276 0.1290 -3.0355 0.1179 0.11924 4000 0.001 100 -3.5674 2.4285 2.7504 -3.5652 2.4284 2.7478450 4500 0.1 100 -2.5470 0.0085 0.2136 -2.5472 0.0095 0.214545 4500 0.01 100 -3.0460 0.1417 0.1439 -2.9996 0.1333 0.13334.5 4500 0.001 100 -3.5991 1.9354 2.2944 -3.5976 1.9288 2.2860500 5000 0.1 100 -2.5680 0.0099 0.1965 -2.5678 0.0089 0.195750 5000 0.01 100 -3.0305 0.1094 0.1103 -3.0308 0.1117 0.11265 5000 0.001 100 -3.5348 1.3586 1.6446 -3.5350 1.3675 1.6537152

Einfache/Optimale MSFT n �s Pfade ||||||||||||-� Varianz Std-error500 500 0.1 85 -2.9734 0.7629 0.763650 500 0.1 100 -2.9830 0.1502 0.1505500 500 0.01 100 -3.0106 0.7318 0.731950 500 0.01 100 -3.0809 0.2460 0.25255 500 0.01 100 -3.6537 1.9907 2.4181500 500 0.001 100 -3.6480 0.8265 1.246450 500 0.001 100 -3.0552 0.1809 0.18395 500 0.001 100 -3.4937 2.3201 2.56390.5 500 0.001 100 -8.5603 80.2720 111.1890500 500 0.0001 100 -2.9063 0.4846 0.493450 500 0.0001 100 -3.0934 0.2052 0.21405 500 0.0001 100 -3.5243 2.1766 2.45150.5 500 0.0001 100 -6.8963 48.5992 63.78011000 1000 0.1 100 -3.0431 0.1968 0.1987100 1000 0.1 100 -2.9751 0.0762 0.07621000 1000 0.01 97 -2.9787 0.3811 0.3815100 1000 0.01 100 -3.0474 0.0911 0.093310 1000 0.01 100 -3.1982 0.6900 0.72931000 1000 0.001 96 -3.2360 0.7614 0.8171100 1000 0.001 100 -3.0259 0.0647 0.065410 1000 0.001 100 -3.2073 0.7970 0.84001 1000 0.001 100 -5.3584 25.2078 30.76991000 1000 0.0001 96 -2.9789 0.3584 0.3588100 1000 0.0001 100 -3.0550 0.0713 0.074310 1000 0.0001 100 -3.0634 0.5479 0.55191 1000 0.0001 100 -5.0642 11.1228 15.38351500 1500 0.1 100 -3.0497 0.6079 0.6103150 1500 0.1 100 -2.9580 0.0553 0.05701500 1500 0.01 97 -3.0930 0.2817 0.2903150 1500 0.01 100 -3.0063 0.0526 0.052715 1500 0.01 100 -3.2110 0.4045 0.44901500 1500 0.001 96 -3.1949 0.6546 0.6926150 1500 0.001 100 -3.0280 0.0699 0.070715 1500 0.001 100 -3.1431 0.4862 0.50661.5 1500 0.001 100 -4.7101 9.0524 11.97691500 1500 0.0001 98 -3.0020 0.3034 0.3034150 1500 0.0001 100 -2.9766 0.0604 0.060915 1500 0.0001 100 -3.0911 0.5148 0.52311.5 1500 0.0001 100 -4.1130 6.0602 7.2989153

Einfache/Optimale MSFT n �s Pfade ||||||||||||� Varianz Std-error2000 2000 0.1 100 -3.1185 0.4231 0.4371200 2000 0.1 100 -2.9469 0.0405 0.04332000 2000 0.01 100 -3.0890 0.3787 0.3867200 2000 0.01 100 -2.9885 0.0428 0.042920 2000 0.01 100 -3.1102 0.3328 0.34502000 2000 0.001 99 -3.1419 0.3154 0.3355200 2000 0.001 100 -2.9803 0.0315 0.031920 2000 0.001 100 -3.1006 0.3273 0.32992 2000 0.001 100 -3.8327 4.5995 5.29292000 2000 0.0001 99 -3.0142 0.3423 0.3425200 2000 0.0001 100 -3.0057 0.0407 0.040720 2000 0.0001 100 -3.1048 0.3170 0.32802 2000 0.0001 100 -3.0204 0.0209 0.02132500 2500 0.1 100 -3.0977 0.4161 0.4257250 2500 0.1 100 -2.9475 0.0327 0.03552500 2500 0.01 100 -3.1129 0.2468 0.2595250 2500 0.01 100 -3.0183 0.0272 0.027625 2500 0.01 100 -3.0671 0.2783 0.28282500 2500 0.001 100 -3.0507 0.1863 0.1888250 2500 0.001 100 -3.0215 0.0351 0.035625 2500 0.001 100 -3.0099 0.2400 0.24012.5 2500 0.001 100 -3.5368 3.2869 3.57502500 2500 0.0001 100 -3.0413 0.2528 0.2545250 2500 0.0001 100 -3.0146 0.0299 0.030225 2500 0.0001 100 -2.9841 0.2249 0.22522.5 2500 0.0001 100 -3.7416 3.6300 4.1799300 3000 0.1 100 -2.9491 0.0227 0.022730 3000 0.01 100 -3.0704 0.2164 0.22133 3000 0.001 100 -3.7904 4.2546 4.8794350 3500 0.1 100 -2.9512 0.0251 0.027535 3500 0.01 100 -3.0653 0.1863 0.19053.5 3500 0.001 100 -3.5378 2.3854 2.6747400 4000 0.1 100 -2.9459 0.0197 0.022640 4000 0.01 100 -3.0773 0.1733 0.17934 4000 0.001 100 -3.5377 2.3395 2.6286450 4500 0.1 100 -2.9460 0.0161 0.019145 4500 0.01 100 -3.0746 0.1612 1.55174.5 4500 0.001 100 -3.4862 2.3023 2.5387500 5000 0.1 100 -2.9508 0.0149 0.017350 5000 0.01 100 -3.0515 0.1666 0.16925 5000 0.001 100 -3.4730 2.2028 2.4265154

Anhang DTabellen aller Ergebnisse beimVasicek-ModellIm Vasicek-Modell wurden Beispiele untersucht mit den Parametern � = �1; � = 5und � = 3. Der Startwert x0 jedes Pfades ist 0, wobei zur Proze�simulation dasTaylor-1.5-Verfahren verwendet wurde. Bei diesem Modell sind zwei Drift-Parameter(� und �) zu sch�atzen, so da� der auf den �Ubergangsdichten basierende MLS (siehe(28) in Kapitel 4 und 5.15) mittels eines zweidimensionalen Algorithmus ermitteltwerden mu�, der die Eingabe von zwei Suchintervallen (f�ur � und �) erfordert. Diesewaren [�1:25;�0:76] f�ur � und [4:75; 5:24] f�ur � bei einer Genauigkeit von 0.01 f�urjeden Sch�atzwert. Ein Sch�atzwert, der gleich einer Intervallgrenze ist, mit einer Va-rianz von 0 zeigt an, da� der tats�achliche MLS au�erhalb des Intervalls liegt. EineVergr�o�erung des Suchintervalls ist aus Gr�unden der Rechenzeit schlecht m�oglich, dajedes der in Anhang D aufgef�uhrten Ergebnisse zum MLS schon mehrere StundenRechenzeit ben�otigte.Beobachtungen eines simulierten Prozesses

Beobachtungspunkte

Wert

0 500 1000 1500

-20

24

68

1012

Abbildung D.1: Beobachtungen eines Beispielpfads des untersuchten Vasicek-Modells (� = �1; � =5; � = 3; x0 = 0; T = 150;�s = 0:01; n = 1500 mit Taylor-1.5-Simulationsverfahren).155

Tabelle D.1: Sch�atzergebnisse im Vasicek-Modell.�-Sch�atzungT n �s Pfade |||||||||||||{� Varianz Std-error500 500 0.1 100 2.3955 0.0067 0.372150 500 0.1 100 2.9362 0.0084 0.0125500 500 0.01 100 2.3893 0.0063 0.013450 500 0.01 100 2.9382 0.0079 0.01175 500 0.01 100 3.0060 0.0087 0.0088500 500 0.001 100 2.3888 0.0058 0.379450 500 0.001 100 2.9329 0.0095 0.06175 500 0.001 100 3.0047 0.0081 0.00810.5 500 0.001 100 3.0104 0.0088 0.0089500 500 0.0001 100 2.3889 0.0065 0.379950 500 0.0001 100 2.9291 0.0074 0.01245 500 0.0001 100 2.9977 0.0096 0.00960.5 500 0.0001 100 3.0100 0.0080 0.00811000 1000 0.1 100 2.3913 0.0026 0.3732100 1000 0.1 100 2.9383 0.0038 0.00761000 1000 0.01 100 2.3894 0.0032 0.3761100 1000 0.01 100 2.9386 0.0035 0.007310 1000 0.01 100 3.0086 0.0040 0.00411000 1000 0.001 100 2.3870 0.0024 0.3782100 1000 0.001 100 2.9321 0.0049 0.009510 1000 0.001 100 2.9979 0.0053 0.00531 1000 0.001 100 3.0147 0.0041 0.00421000 1000 0.0001 100 2.3842 0.0027 0.3818100 1000 0.0001 100 2.9272 0.0232 0.024110 1000 0.0001 100 2.9984 0.0051 0.00511 1000 0.0001 100 3.0127 0.0037 0.00391500 1500 0.1 100 2.3786 0.0022 0.3884150 1500 0.1 100 2.9292 0.0033 0.00831500 1500 0.01 100 2.3892 0.0022 0.3753150 1500 0.01 100 2.9332 0.0024 0.006815 1500 0.01 100 3.0005 0.0033 0.00331500 1500 0.001 100 2.3893 0.0019 0.3749150 1500 0.001 100 2.9313 0.0036 0.008315 1500 0.001 100 2.9999 0.0025 0.00251.5 1500 0.001 100 3.0070 0.0033 0.00341500 1500 0.0001 100 2.3861 0.0019 0.3788150 1500 0.0001 100 2.9295 0.0027 0.007715 1500 0.0001 100 2.9885 0.0021 0.00231.5 1500 0.0001 100 2.9995 0.0026 0.0026156

�-Sch�atzungT n �s Pfade ||||||||||||� Varianz Std-error2000 2000 0.1 100 2.3829 0.0013 0.3822200 2000 0.1 100 2.9271 0.0023 0.00742000 2000 0.01 100 2.3853 0.0018 0.3799200 2000 0.01 100 2.9295 0.0019 0.006920 2000 0.01 100 2.9983 0.0025 0.00252000 2000 0.001 100 2.3877 0.0014 0.3764200 2000 0.001 100 2.9244 0.0016 0.007320 2000 0.001 100 2.9927 0.0019 0.00202 2000 0.001 100 3.0065 0.0025 0.00252000 2000 0.0001 100 2.3803 0.0017 0.3858200 2000 0.0001 100 2.9283 0.0020 0.007120 2000 0.0001 100 2.9963 0.0023 0.00232 2000 0.0001 100 3.0007 0.0028 0.00282500 2500 0.1 100 2.3755 0.0016 0.3915250 2500 0.1 100 2.9251 0.0019 0.00722500 2500 0.01 100 2.9262 0.0017 0.0072250 2500 0.01 100 2.9305 0.0019 0.006725 2500 0.01 100 2.9961 0.0020 0.00202500 2500 0.001 100 2.3882 0.0012 0.3755250 2500 0.001 100 2.9307 0.0019 0.006725 2500 0.001 100 2.9962 0.0015 0.00152.5 2500 0.001 100 3.0013 0.0016 0.00162500 2500 0.0001 100 2.3812 0.0013 0.3841250 2500 0.0001 100 2.9284 0.0015 0.006725 2500 0.0001 100 2.9971 0.0020 0.00202.5 2500 0.0001 100 3.0016 0.0023 0.0023300 3000 0.1 100 2.9251 0.0014 0.007030 3000 0.01 100 2.9961 0.0015 0.00153 3000 0.001 100 3.0030 0.0015 0.0015350 3500 0.1 100 2.9255 0.0012 0.006835 3500 0.01 100 2.9965 0.0013 0.00133.5 3500 0.001 100 3.0033 0.0013 0.0013400 4000 0.1 100 2.9269 0.0011 0.006140 4000 0.01 100 2.9979 0.0009 0.00094 4000 0.001 100 3.0046 0.0009 0.0010450 4500 0.1 100 2.9268 0.0008 0.006145 4500 0.01 100 2.9978 0.0008 0.00084.5 4500 0.001 100 3.0045 0.0008 0.0008500 5000 0.1 100 2.9265 0.0009 0.006350 5000 0.01 100 2.9974 0.0010 0.00105 5000 0.001 100 3.0043 0.0009 0.0010157

Einfache / Optimale Martingalsch�atzfunktionT n �s Pfade |||{�|||{ |||{�|||{� Varianz Std-error � Varianz Std-error500 500 0.1 100 -1.0235 0.0148 0.0154 5.1205 0.3673 0.381850 500 0.1 100 -1.1058 0.0485 0.0597 5.4569 1.3841 1.5929500 500 0.01 100 -1.0070 0.0134 0.0134 5.0391 0.3481 0.349650 500 0.01 100 -1.0947 0.0578 0.0668 5.4774 1.4459 1.67375 500 0.01 100 -1.7024 0.6442 1.1375 7.5575 15.1732 21.7139500 500 0.001 100 -1.0341 0.0145 0.0157 5.1788 0.3791 0.411050 500 0.001 100 -1.0937 0.0529 0.0617 5.4849 1.5964 1.83155 500 0.001 100 -1.8036 0.9203 1.5660 8.2639 19.8179 30.47130.5 500 0.001 100 -9.0850 61.3027 126.6697 12.2754 177.2421 230.1741500 500 0.0001 100 -1.0066 0.0111 0.0111 5.0342 0.3011 0.302250 500 0.0001 100 -1.1003 0.0530 0.0631 5.5079 1.3759 1.63385 500 0.0001 100 -1.7217 1.0148 1.5357 8.0310 22.2857 31.47280.5 500 0.0001 100 -9.4744 82.4899 154.3057 12.7478 165.4315 225.46061000 1000 0.1 100 -1.0081 0.0073 0.0074 5.0498 0.1905 0.1930100 1000 0.1 100 -1.0427 0.0196 0.0214 5.2567 0.5504 0.61631000 1000 0.01 100 -1.0046 0.0061 0.0061 5.0237 0.1593 0.1599100 1000 0.01 100 -1.4431 0.3219 0.5182 6.9256 7.6132 11.321310 1000 0.01 100 -1.3435 0.2782 0.3962 6.5622 7.4867 9.92701000 1000 0.001 100 -1.0172 0.0066 0.0069 5.0989 0.1705 0.1803100 1000 0.001 100 -1.0412 0.0197 0.0214 5.2087 0.5619 0.605510 1000 0.001 100 -1.3239 0.2624 0.3673 6.4187 5.0654 7.07811 1000 0.001 100 -4.1023 12.4279 22.0521 9.7673 70.1393 92.86641000 1000 0.0001 100 -0.9960 0.0054 0.0054 4.9927 0.1497 0.1498100 1000 0.0001 100 -1.0296 0.0232 0.0241 5.1814 0.6957 0.728610 1000 0.0001 100 -1.4128 0.3205 0.4910 6.8188 7.1721 10.48011 1000 0.0001 100 -4.4741 12.3125 24.3819 12.0165 77.1023 126.33321500 1500 0.1 100 -1.0011 0.0051 0.0051 5.0078 0.1337 0.1338150 1500 0.1 100 -1.0217 0.0136 0.0141 5.1158 0.3905 0.40391500 1500 0.01 100 -1.0042 0.0037 0.0037 5.0180 0.0988 0.0991150 1500 0.01 100 -1.0227 0.0156 0.0162 5.1285 0.4692 0.485715 1500 0.01 100 -1.1974 0.1819 0.2208 6.0375 5.2319 6.30831500 1500 0.001 100 -1.0127 0.0036 0.0038 5.0629 0.0928 0.0967150 1500 0.001 100 -1.0348 0.0178 0.0190 5.1806 0.4718 0.504415 1500 0.001 100 -1.2937 0.2149 0.3012 6.4438 6.2588 8.34321.5 1500 0.001 100 -3.1855 6.0553 10.8316 10.6026 43.2573 74.64631500 1500 0.0001 100 -0.9972 0.0035 0.0035 4.9923 0.0946 0.0947150 1500 0.0001 100 -1.0203 0.0132 0.0136 5.0938 0.3898 0.398615 1500 0.0001 100 -1.2801 0.2124 0.2909 6.3494 6.3469 8.16791.5 1500 0.0001 100 -2.8990 5.1800 8.7862 9.8184 54.1124 77.3297158

Einfache / optimale Martingalsch�atzfunktionT n �s Pfade |||{�|||{ |||{�|||{� Varianz Std-error � Varianz Std-error2000 2000 0.1 100 -0.9930 0.0036 0.0037 4.9646 0.0943 0.0955200 2000 0.1 100 -1.0091 0.0117 0.0118 5.0227 0.3041 0.30462000 2000 0.01 100 -1.0009 0.0030 0.0030 5.0033 0.0805 0.0805200 2000 0.01 100 -1.0186 0.0115 0.0118 5.0961 0.3255 0.334720 2000 0.01 100 -1.1925 0.1547 0.1917 5.9864 4.6191 5.59212000 2000 0.001 100 -1.0061 0.0034 0.0035 5.0300 0.0850 0.0859200 2000 0.001 100 -1.0190 0.0110 0.0113 5.1186 0.3139 0.328020 2000 0.001 100 -1.1977 0.1238 0.1629 5.9342 3.4395 4.31222 2000 0.001 100 -2.8272 4.0867 7.4255 9.6709 44.5987 66.41642000 2000 0.0001 100 -0.9964 0.0031 0.0031 4.9933 0.0820 0.0820200 2000 0.0001 100 -1.0102 0.0116 0.0117 5.0508 0.3415 0.344120 2000 0.0001 100 -1.1763 0.1060 0.1371 5.8472 2.9970 3.71472 2000 0.0001 100 -2.6554 2.8893 5.6297 9.1017 27.2424 44.06622500 2500 0.1 100 -1.0007 0.0023 0.0023 5.0172 0.0636 0.0639250 2500 0.1 100 -1.0054 0.0082 0.0082 5.0274 0.2373 0.23812500 2500 0.01 100 -1.0137 0.0098 0.0099 5.0755 0.2882 0.2939250 2500 0.01 100 -1.0152 0.0097 0.0099 5.0911 0.3088 0.317125 2500 0.01 100 -1.1062 0.0822 0.0934 5.6336 2.5470 2.94842500 2500 0.001 100 -1.0078 0.0024 0.0024 5.0395 0.0601 0.0617250 2500 0.001 100 -1.0217 0.0096 0.0100 5.1138 0.2454 0.258325 2500 0.001 100 -1.1151 0.0901 0.1033 5.6371 2.7381 3.14402.5 2500 0.001 100 -2.2155 2.3652 3.8316 8.8021 26.9012 41.35732500 2500 0.0001 100 -0.9980 0.0024 0.0024 4.9963 0.0621 0.0622250 2500 0.0001 100 -1.0153 0.0086 0.0089 5.0762 0.2613 0.267125 2500 0.0001 100 -1.1561 0.0926 0.1170 5.7612 2.2584 2.83782.5 2500 0.0001 100 -2.0806 1.6506 2.8183 8.2941 21.9868 32.8381300 3000 0.1 100 -1.0129 0.0056 0.0058 5.0837 0.1758 0.182830 3000 0.01 100 -1.0957 0.0550 0.0641 5.4724 1.4950 1.71823 3000 0.001 100 -2.0662 1.2790 2.4158 8.6386 17.6465 30.8860350 3500 0.1 100 -1.0101 0.0073 0.0074 5.0657 0.1937 0.198035 3500 0.01 100 -1.1089 0.0657 0.0775 5.5491 1.7771 2.07863.5 3500 0.001 100 -2.0695 1.6353 2.7792 8.2485 18.0438 28.5964400 4000 0.1 100 -1.0211 0.0070 0.0075 5.1170 0.1919 0.205640 4000 0.01 100 -1.0869 0.0558 0.0633 5.3773 1.7098 1.85214 4000 0.001 100 -1.8604 1.0103 1.7506 8.0334 16.4524 25.6540450 4500 0.1 100 -1.0075 0.0044 0.0044 5.0481 0.1350 0.137345 4500 0.01 100 -1.0888 0.0489 0.0568 5.4450 1.4201 0.16684.5 4500 0.001 100 -1.9579 1.2599 2.1745 8.5628 20.5644 1.6181500 5000 0.1 100 -1.0000 0.0048 0.0048 5.0146 0.1170 0.118850 5000 0.01 100 -1.0850 0.0500 0.0573 5.4310 1.2666 1.45235 5000 0.001 100 -1.7495 0.9464 1.5081 8.1709 17.3261 27.3805159

MLS basierend auf �UbergangsdichtenT n �s Pfade | � | | � |� Varianz Std-error � Varianz Std-error1500 1500 0.1 100 -0.9121 0.0002 0.0079 4.7500 0 0.0625150 1500 0.01 100 -0.9856 0.0039 0.0041 4.9533 0.0476 0.049815 1500 0.001 100 -1.0424 0.0191 0.0209 5.0800 0.0486 0.05501.5 1500 0.0001 100 -1.0655 0.0512 0.0555 5.0033 0.0553 0.05532000 2000 0.1 100 -0.9129 0.0001 0.0077 4.7500 0 0.0625200 2000 0.01 100 -0.9853 0.0029 0.0031 4.9450 0.0436 0.046620 2000 0.001 100 -1.0439 0.0150 0.0170 5.0850 0.0469 0.05412 2000 0.0001 100 -1.0926 0.0419 0.0505 5.0223 0.0535 0.05402500 2500 0.1 100 -0.9122 0.0001 0.0078 4.7500 0 0.0625250 2500 0.01 100 -0.9790 0.0027 0.0032 4.9139 0.0385 0.045925 2500 0.001 100 -1.0275 0.0134 0.0141 5.0576 0.0504 0.05372.5 2500 0.0001 100 -1.0758 0.0403 0.0460 5.0528 0.0537 0.0565

160

Anhang ETabellen aller Ergebnisse beimCox-Ingersoll-Ross-ModellBeim CIR-Modell wurden Beispiele getestet mit den Parametern � = �2; � = 10 und� = 0:5 sowie dem Startwert x0 = 0:01. In diesem Modell ist der Sch�atzer aus der op-timalen Martingalsch�atzfunktion ein anderer als der Sch�atzer aus der einfachen Mar-tingalsch�atzfunktion (siehe 6.14). Bei der optimalen Martingalsch�atzfunktion k�onnendie beiden entsprechenden Gleichungen in 6.14 nicht nach � und � aufgel�ost werden,sondern es mu� ein Iterationsverfahren verwendet werden (zweidimensionales verall-gemeinertes Newtonverfahren, siehe Reverchon & Ducamp [22], Seite 313 �.). DieStartwerte hierzu waren �0 = �1:5 und �0 = 10:5, wobei der Algorithmus bei einerGenauigkeit von 0.001 f�ur jeden der Sch�atzwerte abbricht (d.h.: Zwei aufeinanderfol-gende Iterationswerte unterscheiden sich um weniger als 0.001). Die maximale Anzahlder Iterationen betrug 100. Falls die Genauigkeit 0.001 nicht innerhalb von 100 Itera-tionen erreicht wurde, so wurde der Pfad bei der Berechnung der Sch�atzwerte nichtverwendet. Man vergleiche hierzu die entsprechende Spalte Pfade.Der auf den �Ubergangsdichten basierende MLS wurde mittels des in Kapitel 5 be-schriebenen Verfahrens der Di�usionsapproximation ermittelt. Dieses Verfahren istsehr langsam, so da� jede einzelne dieser Di�usionsapproximationsrechnungen meh-rere Tage dauerte. F�ur den Parameter � war das Suchintervall [�2:25;�1:76], dasSuchintervall f�ur � war [9:75; 10:24] und die Genauigkeit des Sch�atzers 0.01. EinSch�atzwert, der gleich einer Intervallgrenze ist, mit einer Varianz von 0 zeigt an, da�der tats�achliche MLS nicht im Intervall liegt.Beobachtungen eines simulierten Prozesses

Beobachtungspunkte

Wert

0 500 1000 1500

02

46

Abbildung E.1: Beobachtungen eines Beispielpfads des untersuchten CIR-Modells (� = �2; � =10; � = 0:5; x0 = 0:01; T = 150;�s = 0:01; n = 1500 mit Taylor-1.5-Simulationsverfahren).161

Tabelle E.1: Sch�atzergebnisse beim CIR-Modell.�-Sch�atzungT n �s Pfade ||||||||||||� Varianz Std-error500 500 0.1 100 0.3375 0.00015 0.0265750 500 0.1 100 0.4843 0.00028 0.00052500 500 0.01 100 0.3392 0.00014 0.0259850 500 0.01 100 0.4881 0.00022 0.000365 500 0.01 100 0.5104 0.00027 0.00030500 500 0.001 100 0.3397 0.00012 0.0258150 500 0.001 100 0.4861 0.00024 0.000445 500 0.001 100 0.5113 0.00026 0.000390.5 500 0.001 100 0.5214 0.00032 0.00078500 500 0.0001 100 0.3390 0.00015 0.0260650 500 0.0001 100 0.4862 0.00020 0.000395 500 0.0001 100 0.5089 0.00025 0.000330.5 500 0.0001 100 0.5237 0.00029 0.000851000 1000 0.1 100 0.3314 0.00007 0.02850100 1000 0.1 100 0.4765 0.00011 0.000661000 1000 0.01 100 0.3346 0.00006 0.02742100 1000 0.01 100 0.4793 0.00011 0.0005310 1000 0.01 100 0.5033 0.00013 0.000141000 1000 0.001 100 0.3344 0.00008 0.02750100 1000 0.001 100 0.4809 0.00014 0.0005110 1000 0.001 100 0.5049 0.00011 0.000131 1000 0.001 100 0.5085 0.00014 0.000211000 1000 0.0001 100 0.3335 0.00006 0.02780100 1000 0.0001 100 0.4809 0.00009 0.0004610 1000 0.0001 100 0.5036 0.00013 0.000151 1000 0.0001 100 0.5079 0.00013 0.000191500 1500 0.1 100 0.3308 0.00004 0.02866150 1500 0.1 100 0.4774 0.00009 0.000601500 1500 0.01 100 0.3325 0.00004 0.02810150 1500 0.01 100 0.4806 0.00007 0.0004515 1500 0.01 100 0.5001 0.00008 0.000081500 1500 0.001 100 0.3328 0.00005 0.02800150 1500 0.001 100 0.4796 0.00008 0.0004915 1500 0.001 100 0.5013 0.00007 0.000071.5 1500 0.001 100 0.5055 0.00009 0.000121500 1500 0.0001 100 0.3321 0.00004 0.02824150 1500 0.0001 100 0.4795 0.00007 0.0004915 1500 0.0001 100 0.5014 0.00010 0.000101.5 1500 0.0001 100 0.5042 0.00008 0.00010162

�-Sch�atzungT n �s Pfade ||||||||||||� Varianz Std-error2000 2000 0.1 100 0.3301 0.00004 0.02889200 2000 0.1 100 0.4743 0.00007 0.000722000 2000 0.01 100 0.3315 0.00003 0.02843200 2000 0.01 100 0.4786 0.00008 0.0005320 2000 0.01 100 0.5000 0.00006 0.000062000 2000 0.001 100 0.3318 0.00003 0.02832200 2000 0.001 100 0.4789 0.00007 0.0005120 2000 0.001 100 0.5007 0.00006 0.000062 2000 0.001 100 0.5026 0.00006 0.000072000 2000 0.0001 100 0.3303 0.00004 0.02882200 2000 0.0001 100 0.4786 0.00005 0.0005120 2000 0.0001 100 0.5004 0.00006 0.000062 2000 0.0001 100 0.5034 0.00005 0.000062500 2500 0.1 100 0.3291 0.00003 0.02923250 2500 0.1 100 0.4756 0.00005 0.000642500 2500 0.01 100 0.3309 0.00003 0.02861250 2500 0.01 100 0.4784 0.00005 0.0005225 2500 0.01 100 0.4991 0.00004 0.000052500 2500 0.001 100 0.3315 0.00003 0.02841250 2500 0.001 100 0.4787 0.00006 0.0005125 2500 0.001 100 0.4993 0.00004 0.000052.5 2500 0.001 100 0.5017 0.00005 0.000052500 2500 0.0001 100 0.3387 0.00006 0.02861250 2500 0.0001 100 0.4781 0.00004 0.0005225 2500 0.0001 100 0.5001 0.00006 0.000062.5 2500 0.0001 100 0.5028 0.00005 0.00006300 3000 0.1 100 0.4750 0.00003 0.0007330 3000 0.01 100 0.4997 0.00003 0.000013 3000 0.001 100 0.5023 0.00004 0.00004350 3500 0.1 100 0.4749 0.00003 0.0007435 3500 0.01 100 0.4998 0.00005 0.000013.5 3500 0.001 100 0.5013 0.00004 0.00004400 4000 0.1 100 0.4749 0.00002 0.0006640 4000 0.01 100 0.4988 0.00004 0.000044 4000 0.001 100 0.5020 0.00003 0.00003450 4500 0.1 100 0.4741 0.00002 0.0006945 4500 0.01 100 0.4989 0.00003 0.000044.5 4500 0.001 100 0.5012 0.00003 0.00003500 5000 0.1 100 0.4740 0.00002 0.0007050 5000 0.01 100 0.4982 0.00003 0.000035 5000 0.001 100 0.5017 0.00003 0.00003163

Einfache Martingalsch�atzfunktionT n �s Pfade |||{�|||{ |||{�|||{� Varianz Std-error � Varianz Std-error500 500 0.1 91 -2.0588 0.6260 0.6294 10.3082 15.6605 15.755550 500 0.1 100 -2.0564 0.9574 0.9606 10.2973 23.9364 24.0247500 500 0.01 93 -2.1759 1.1068 1.1377 10.8753 27.7223 28.488550 500 0.01 100 -2.0454 0.0607 0.0628 10.2332 1.5113 1.56565 500 0.01 100 -2.0736 0.1151 0.1205 10.2225 1.8960 1.9455500 500 0.001 93 -1.9752 0.4385 0.4391 9.8857 11.0708 11.083950 500 0.001 100 -1.9933 0.0485 0.0486 9.9805 1.1614 1.16185 500 0.001 100 -2.0388 0.0767 0.0782 10.0716 1.1462 1.15130.5 500 0.001 100 -2.0702 0.5817 0.5866 10.1240 0.5304 0.5457500 500 0.0001 92 -2.0218 0.4783 0.4788 10.1056 11.9260 11.937150 500 0.0001 100 -1.9648 0.0593 0.0606 9.8332 1.4950 1.52285 500 0.0001 100 -1.9885 0.0414 0.0415 9.9479 0.7018 0.70450.5 500 0.0001 100 -2.1355 0.4451 0.4634 10.2255 0.5198 0.57061000 1000 0.1 95 -2.0882 0.6781 0.6859 10.4433 17.0211 17.2176100 1000 0.1 100 -2.0238 1.0207 1.0213 10.1212 25.2964 25.31111000 1000 0.01 95 -2.0128 0.4244 0.4245 10.0614 10.5445 10.5483100 1000 0.01 100 -1.9901 0.0639 0.0640 9.9582 1.5275 1.529210 1000 0.01 100 -2.0746 0.0987 0.1043 10.3320 2.2254 2.33561000 1000 0.001 92 -2.0908 0.4570 0.4653 10.4480 11.4004 11.6012100 1000 0.001 100 -1.9895 0.0702 0.0703 9.9425 1.7491 1.752410 1000 0.001 100 -2.0444 0.0368 0.0387 10.2418 0.7322 0.79071 1000 0.001 100 -2.0175 0.1611 0.1614 10.0847 0.6292 0.63641000 1000 0.0001 96 -2.0650 0.8015 0.8057 10.3286 20.0196 20.1275100 1000 0.0001 100 -1.9674 0.0584 0.0594 9.8494 1.4388 1.461510 1000 0.0001 100 -1.9961 0.0427 0.0427 9.9800 0.7802 0.78061 1000 0.0001 100 -2.0142 0.1442 0.1444 10.0210 0.4996 0.50001500 1500 0.1 90 -2.0759 0.8198 0.8256 10.3783 20.5282 20.6713150 1500 0.1 100 -1.9946 0.9626 0.9627 9.9566 23.8528 23.85471500 1500 0.01 95 -2.1218 0.6521 0.6669 10.6090 16.2210 16.5918150 1500 0.01 100 -2.0617 0.0702 0.0740 10.3143 1.7176 1.816415 1500 0.01 100 -2.0313 0.0971 0.0981 10.1443 2.2741 2.29491500 1500 0.001 100 -1.8989 0.1238 0.1340 9.4875 3.0363 3.2989150 1500 0.001 100 -1.9956 0.0592 0.0592 9.9818 1.5200 1.520315 1500 0.001 100 -2.0194 0.0392 0.0396 10.1127 0.8495 0.86221.5 1500 0.001 100 -2.0380 0.0944 0.0959 10.1482 0.6131 0.63511500 1500 0.0001 93 -2.1351 1.0092 1.0275 10.6769 25.2107 25.6689150 1500 0.0001 100 -2.0079 0.0562 0.0563 10.0371 1.4078 1.409215 1500 0.0001 100 -2.0253 0.0479 0.0485 10.1299 1.0620 1.07891.5 1500 0.0001 100 -2.0503 0.1042 0.1068 10.1229 0.6384 0.6535164

Einfache Martingalsch�atzfunktionT n �s Pfade |||{�|||{ |||{�|||{� Varianz Std-error � Varianz Std-error2000 2000 0.1 93 -2.0627 0.5835 0.5874 10.3104 14.5336 14.6299200 2000 0.1 100 -2.1712 1.4247 1.4540 10.8565 35.5455 36.27912000 2000 0.01 93 -2.0015 0.4755 0.4755 10.0062 11.8484 11.8484200 2000 0.01 100 -2.0022 0.0522 0.0522 10.0041 1.2520 1.252020 2000 0.01 100 -1.9744 0.0717 0.0723 9.8909 1.7175 1.72942000 2000 0.001 100 -2.2982 0.0490 0.1379 11.4832 1.1756 3.3755200 2000 0.001 100 -2.0110 0.0660 0.0661 10.0505 1.6137 1.616220 2000 0.001 100 -2.0267 0.0341 0.0348 10.1273 0.7768 0.79312 2000 0.001 100 -2.0771 0.0842 0.0902 10.1996 0.5047 0.54462000 2000 0.0001 93 -2.0951 0.6744 0.6835 10.4823 16.9342 17.1668200 2000 0.0001 100 -1.9987 0.0552 0.0552 9.9926 1.3575 1.357520 2000 0.0001 100 -1.9938 0.0375 0.0376 9.9648 0.0375 0.03762 2000 0.0001 100 -2.0256 0.0613 0.0619 10.1140 0.4906 0.50362500 2500 0.1 91 -2.0498 0.6097 0.6121 10.2497 15.2456 15.3080250 2500 0.1 100 -2.0369 1.1678 1.1692 10.1824 29.0541 29.08742500 2500 0.01 90 -2.0241 0.4067 0.4073 10.1223 10.1875 10.2025250 2500 0.01 100 -1.9989 0.0479 0.0479 10.0018 1.1873 1.187325 2500 0.01 100 -2.0477 0.0900 0.0923 10.2102 2.1505 2.19472500 2500 0.001 89 -2.0364 0.3931 0.3944 10.1817 9.8150 9.8480250 2500 0.001 100 -2.0155 0.0598 0.0601 10.0797 1.4563 1.462725 2500 0.001 100 -1.9813 0.0313 0.0317 9.9130 0.6909 0.69842.5 2500 0.001 100 -2.0222 0.0589 0.0594 10.1030 0.5310 0.54162500 2500 0.0001 100 -2.2976 1.0648 1.1534 11.4966 26.8558 29.0958250 2500 0.0001 100 -2.0152 0.0501 0.0503 10.0750 1.2478 1.253425 2500 0.0001 100 -2.0055 0.0355 0.0356 10.0323 0.8649 0.86592.5 2500 0.0001 100 -2.0513 0.0483 0.0509 10.1685 0.4253 0.4537300 3000 0.1 100 -2.1358 1.0843 1.1027 10.6742 26.8868 27.341430 3000 0.01 100 -2.0195 0.0725 0.0729 10.1135 1.6367 1.64963 3000 0.001 100 -2.0000 0.0452 0.0452 10.0072 0.3978 0.3978350 3500 0.1 100 -1.9319 0.7159 0.7205 9.6654 17.7621 17.874035 3500 0.01 100 -2.0258 0.0717 0.0724 10.1251 1.6412 1.65693.5 3500 0.001 100 -1.9978 0.0581 0.0582 10.0165 0.6854 0.6857400 4000 0.1 100 -1.8841 0.8061 0.8195 9.4284 20.1452 20.471940 4000 0.01 100 -2.0201 0.0969 0.0973 10.0948 2.2676 2.27664 4000 0.001 100 -2.0272 0.0511 0.0518 10.1303 0.5905 0.6074450 4500 0.1 100 -2.2047 0.8922 0.9341 11.0220 22.3487 23.393245 4500 0.01 100 -2.0072 0.0731 0.0731 10.0508 1.7646 1.76724.5 4500 0.001 100 -2.0257 0.0411 0.0417 10.0724 0.5059 0.5281500 5000 0.1 100 -2.2680 0.9729 1.0448 11.3309 24.2477 26.019150 5000 0.01 100 -1.9924 0.0657 0.0658 9.9628 1.5322 1.53365 5000 0.001 100 -2.0070 0.0303 0.0304 10.0255 0.4592 0.4599165

Optimale Martingalsch�atzfunktionT n �s Pfade |||{�|||{ |||{�|||{� Varianz Std-error � Varianz Std-error500 500 0.1 100 0.1345 0.4486 5.0046 -0.6624 11.2155 124.902150 500 0.1 100 -1.9792 0.3626 0.3630 9.9030 9.0893 9.0987500 500 0.01 100 0.1836 0.2983 5.0664 -0.9058 7.4491 126.386550 500 0.01 100 -2.0549 0.0317 0.0347 10.2769 0.7257 0.80235 500 0.01 100 -2.0683 0.0571 1.9455 10.2013 0.7647 0.8052500 500 0.001 99 0.0584 0.6270 4.8639 -0.2809 15.6835 121.381350 500 0.001 100 -1.9928 0.0214 0.0214 9.9775 0.4871 0.48765 500 0.001 100 -2.0627 0.0479 0.0518 10.1838 0.6873 0.72110.5 500 0.001 100 -2.0775 0.5894 0.5954 10.1377 0.5247 0.5436500 500 0.0001 100 0.1276 0.4220 4.9489 -0.6275 10.5212 123.464450 500 0.0001 100 -2.0336 0.0291 0.0302 10.1709 0.7045 0.73375 500 0.0001 100 -2.0104 0.0335 0.0336 10.0456 0.5028 0.50480.5 500 0.0001 100 -2.1314 0.4489 0.4662 10.2185 0.5109 0.55871000 1000 0.1 100 -0.5752 1.1428 3.1729 2.8734 28.4793 79.2680100 1000 0.1 100 -1.9474 0.4305 0.4333 9.7387 10.6928 10.76101000 1000 0.01 100 -0.5033 1.0929 3.3332 2.5149 27.2265 83.2539100 1000 0.01 100 -2.0293 0.0245 0.0253 10.1550 0.5822 0.606310 1000 0.01 100 -2.0567 0.0378 0.0410 10.2452 0.8460 0.90611000 1000 0.001 100 -0.7841 1.2628 2.7413 3.9160 31.4382 68.4530100 1000 0.001 100 -2.0095 0.0261 0.0262 10.0410 0.6214 0.623110 1000 0.001 100 -2.0487 0.0225 0.0249 10.2630 0.4202 0.48941 1000 0.001 100 -2.0201 0.1675 0.1679 10.0928 0.6669 0.67551000 1000 0.0001 100 -0.5115 1.0742 3.2899 2.5549 26.7607 82.1900100 1000 0.0001 100 -2.0034 0.0222 0.0222 10.0284 0.5418 0.542610 1000 0.0001 100 -2.0267 0.0317 0.0324 10.1257 0.5408 0.55661 1000 0.0001 100 -2.0197 0.1500 0.1509 10.0362 0.5199 0.52121500 1500 0.1 100 -0.7870 1.1662 2.6375 3.9360 29.1230 65.8947150 1500 0.1 100 -1.9862 0.1043 0.1044 9.9160 2.5533 2.56041500 1500 0.01 100 -0.7996 0.1590 2.5999 3.9957 28.9022 64.9539150 1500 0.01 100 -2.0214 0.0200 0.0204 10.1149 0.4967 0.509915 1500 0.01 100 -2.0417 0.0353 0.0370 10.1920 0.8015 0.83831500 1500 0.001 100 -1.1393 1.2481 1.9889 5.6930 31.1487 49.6987150 1500 0.001 100 -2.0053 0.0164 0.0164 10.0280 0.4177 0.418515 1500 0.001 100 -2.0381 0.0246 0.0260 10.2035 0.4979 0.53941.5 1500 0.001 100 -2.0345 0.0925 0.0937 10.1367 0.5932 0.61191500 1500 0.0001 100 -0.8106 1.1845 2.5991 4.0538 29.5842 64.9419150 1500 0.0001 100 -2.0141 0.0168 0.0170 10.0671 0.4098 0.414415 1500 0.0001 100 -2.0231 0.0283 0.0288 10.1179 0.5740 0.58791.5 1500 0.0001 100 -2.0539 0.1034 0.1063 10.1360 0.6327 0.6511166

Optimale Martingalsch�atzfunktionT n �s Pfade |||{�|||{ |||{�|||{� Varianz Std-error � Varianz Std-error2000 2000 0.1 100 -1.0538 1.1214 2.0167 5.2659 27.9818 50.3933200 2000 0.1 100 -2.0459 0.0889 0.0910 10.2351 2.1966 2.25192000 2000 0.01 100 -1.0796 1.1240 1.9712 5.3968 28.0655 49.2550200 2000 0.01 100 -2.0186 0.0150 0.0154 10.0877 0.3674 0.375120 2000 0.01 100 -2.0048 0.0272 0.0723 10.0368 0.6165 0.61782000 2000 0.001 100 -1.2984 1.0521 1.5444 6.4910 26.2734 38.5865200 2000 0.001 100 -2.0034 0.0190 0.0190 10.0135 0.4644 0.464620 2000 0.001 100 -2.0411 0.0224 0.0241 10.1972 0.4870 0.52592 2000 0.001 100 -2.0728 0.0842 0.0873 10.1848 0.4878 0.52192000 2000 0.0001 100 -1.0114 1.1254 2.1027 5.0573 28.1113 52.5418200 2000 0.0001 100 -2.0051 0.0185 0.0185 10.0250 0.4502 0.450920 2000 0.0001 100 -2.0088 0.0226 0.0227 10.0377 0.4807 0.48212 2000 0.0001 100 -2.0209 0.0607 0.0611 10.0961 0.4770 0.48632500 2500 0.1 100 -1.1531 1.0068 1.7242 5.7652 25.1582 43.0918250 2500 0.1 100 -2.0395 0.0773 0.0789 10.1960 1.9271 1.96552500 2500 0.01 100 -1.4763 0.8582 1.1325 7.3817 21.4418 28.2973250 2500 0.01 100 -2.0078 0.0134 0.0135 10.0462 0.3300 0.332125 2500 0.01 100 -2.0464 0.0308 0.0330 10.2027 0.7185 0.75962500 2500 0.001 100 -1.3390 1.0342 1.4712 6.6965 25.8523 36.7652250 2500 0.001 100 -2.0078 0.0160 0.0161 10.0424 0.3901 0.391925 2500 0.001 100 -2.0069 0.0196 0.0196 10.0391 0.4118 0.41332.5 2500 0.001 100 -2.0247 0.0577 0.0583 10.1146 0.5351 0.54822500 2500 0.0001 100 -1.2846 1.0008 1.5126 6.4235 25.0113 37.8024250 2500 0.0001 100 -2.0149 0.0123 0.0125 10.0738 0.3014 0.306825 2500 0.0001 100 -2.0216 0.0221 0.0225 10.1110 0.5292 0.54162.5 2500 0.0001 100 -2.0533 0.0471 0.0500 10.1779 0.4303 0.4620300 3000 0.1 100 -1.9708 0.0413 0.0422 9.8583 1.0249 1.045030 3000 0.01 100 -1.9952 0.0271 0.0272 9.9853 0.5919 0.59213 3000 0.001 100 -2.0034 0.0448 0.0448 10.0213 0.3858 0.3862350 3500 0.1 100 -2.0057 0.0399 0.0399 10.0337 0.9862 0.987435 3500 0.01 100 -2.0204 0.0353 0.0358 10.1043 0.8048 0.81573.5 3500 0.001 100 -2.0330 0.0468 0.0479 10.1298 0.5252 0.5421400 4000 0.1 100 -1.9973 0.0269 0.0269 9.9919 0.6670 0.667140 4000 0.01 100 -2.0253 0.0233 0.0240 10.1411 0.5732 0.59314 4000 0.001 100 -2.0358 0.0543 0.0556 10.1956 0.9876 1.0258450 4500 0.1 100 -1.9924 0.0276 0.0277 9.9589 0.6870 0.688745 4500 0.01 100 -2.0216 0.0307 0.0311 10.0936 0.6959 0.70474.5 4500 0.001 100 -2.0403 0.0450 0.0467 10.1205 0.5461 0.5607500 5000 0.1 100 -1.9823 0.0293 0.0296 9.9140 0.7246 0.732050 5000 0.01 100 -2.0149 0.0290 0.0292 10.0588 0.6669 0.67035 5000 0.001 100 -2.0475 0.0406 0.0429 10.1490 0.5214 0.5436167

MLS (Di�usionsapprox. f�ur �Ubergangsdichten)T n �s Pfade | � | | � |� Varianz Std-error � Varianz Std-error1500 1500 0.1 100 -2.0570 0.0181 0.0213 9.7931 0.0049 0.0477150 1500 0.01 100 -2.0228 0.0055 0.0060 9.9565 0.0126 0.014515 1500 0.001 100 -1.9759 0.0125 0.0131 10.0031 0.0218 0.02181.5 1500 0.0001 100 -1.9805 0.0181 0.0184 10.0026 0.0206 0.02072000 2000 0.1 100 -1.9671 0.0005 0.0016 9.8477 0.0080 0.0312200 2000 0.01 100 -1.9836 0.0019 0.0022 9.9974 0.0228 0.022820 2000 0.001 100 -1.9851 0.0132 0.0134 9.9954 0.0210 0.02102 2000 0.0001 100 -1.9907 0.0201 0.0202 9.9877 0.0196 0.01972500 2500 0.1 100 -1.9652 0.0003 0.0015 9.8428 0.0061 0.0309250 2500 0.01 100 -1.9799 0.0024 0.0028 9.9739 0.0173 0.018025 2500 0.001 100 -1.9939 0.0096 0.0097 9.9958 0.0185 0.01862.5 2500 0.0001 100 -2.0082 0.0184 0.0185 9.9914 0.0199 0.0200

168

Anhang FTabellen aller Ergebnisse beimverallgemeinerten CIR-ModellIm verallgemeinerten CIR-Modell wurde der Fall � = �0:5; � = 5; � = 2 und =0:65 getestet. Auch hier wurden f�ur jedes Beispiel 100 Pfade nach dem Taylor-1.5-Verfahren erzeugt, wobei der Startwert x0 f�ur einen Pfad stets 8 war.F�ur > 0:5 kann die beim Sch�atzer aus der optimalen Martingalsch�atzfunktionben�otigte bedingte Varianz als geschlossene Formel nicht angegeben werden. Wirsind daher auf Simulationen angewiesen f�ur die bedingte Varianz (siehe (29) in Ka-pitel 6). Da beim verallgemeinerten CIR-Modell eine Au �osung der optimalen Mar-tingalsch�atzfunktion nach � und � nicht m�oglich ist (vgl. 6.14), mu� auch hier einIterationsverfahren angewendet werden (siehe Reverchon & Ducamp, Seite 313 �.).Der Zeitaufwand f�ur diese \doppelte Approximation\ ist aber sehr gro� (mehrere Ta-ge pro Beipiel), und die Genauigkeit ist schlechter als beim Sch�atzer aus der einfachenMartingalsch�atzfunktion (teilweise sogar extrem schlecht), so da� auf eine Untersu-chung der Daten mittels optimaler Martingalsch�atzfunktion verzichtet wurde.Beim MLS, der auf der Approximation der �Ubergangsdichten beruht (Di�usionsap-proximation, siehe Kapitel 5), wurde f�ur � das Suchintervall [�0:75;�0:26] und f�ur� das Suchintervall [4:75; 5:24] verwendet bei einer Genauigkeit des Sch�atzers von0.01. Auch bei diesem Modell gilt: Ein Sch�atzwert, der gleich einer Intervallgrenzeist, mit einer Varianz von 0 zeigt an, da� der tats�achliche MLS au�erhalb des Inter-valls liegt. Eine Vergr�o�erung des Suchintervalls w�are zwar m�oglich, jedoch nur beieiner Erh�ohung der Rechenzeit von mehreren Tagen auf mehrere Wochen.Beobachtungen eines simulierten Prozesses

Beobachtungspunkte

Wert

0 500 1000 1500

010

2030

4050

60

Abbildung F.1: Beobachtungen eines Beispielpfads des untersuchten verallgemeinerten CIR-Modells(� = �0:5; � = 5; � = 2; = 0:65; x0 = 8; T = 150;�s = 0:01; n = 1500 mit Taylor-1.5-Simulationsverfahren). 169

Tabelle F.1: Sch�atzergebnisse beim verallgemeinerten CIR-Modell.�-Sch�atzungT n �s Pfade ||||||||||||� Varianz Std-error500 500 0.1 100 1.7678 0.0084 0.062350 500 0.1 100 1.9589 0.0088 0.0105500 500 0.01 100 1.7726 0.0081 0.059950 500 0.01 100 1.9755 0.0368 0.04355 500 0.01 100 1.9957 0.0066 0.0066500 500 0.001 100 1.7542 0.0108 0.071250 500 0.001 100 1.9744 0.0060 0.00675 500 0.001 100 2.0067 0.0065 0.00660.5 500 0.001 100 1.9926 0.0030 0.0031500 500 0.0001 100 1.7702 0.0089 0.061750 500 0.0001 100 1.9987 0.0395 0.04415 500 0.0001 100 1.9929 0.0055 0.00550.5 500 0.0001 100 1.9984 0.0050 0.00501000 1000 0.1 100 1.7776 0.0054 0.0549100 1000 0.1 100 1.9634 0.0067 0.00801000 1000 0.01 100 1.7736 0.0056 0.0568100 1000 0.01 100 1.9693 0.0062 0.007110 1000 0.01 100 1.9818 0.0036 0.00391000 1000 0.001 100 1.7633 0.0045 0.0605100 1000 0.001 100 1.4831 0.0021 0.269310 1000 0.001 100 2.0034 0.0037 0.00371 1000 0.001 100 1.9988 0.0023 0.00231000 1000 0.0001 100 1.7707 0.0034 0.0560100 1000 0.0001 100 1.9720 0.0049 0.005710 1000 0.0001 100 1.9897 0.0040 0.00411 1000 0.0001 100 2.0015 0.0028 0.00281500 1500 0.1 100 1.7797 0.0031 0.0517150 1500 0.1 100 1.9738 0.0030 0.00361500 1500 0.01 100 1.7753 0.0026 0.0531150 1500 0.01 100 1.9868 0.0035 0.003715 1500 0.01 100 1.9964 0.0022 0.00221500 1500 0.001 100 1.7649 0.0033 0.0585150 1500 0.001 100 1.9808 0.0034 0.003815 1500 0.001 100 1.9961 0.0024 0.00241.5 1500 0.001 100 1.9957 0.0017 0.00171500 1500 0.0001 100 1.7789 0.0029 0.0501150 1500 0.0001 100 1.9716 0.0028 0.003615 1500 0.0001 100 1.9956 0.0032 0.00321.5 1500 0.0001 100 2.0049 0.0016 0.0017170

�-Sch�atzungT n �s Pfade ||||||||||||� Varianz Std-error2000 2000 0.1 100 1.7800 0.0017 0.0501200 2000 0.1 100 1.9811 0.0024 0.00282000 2000 0.01 100 1.7818 0.0020 0.0495200 2000 0.01 100 1.9788 0.0029 0.003320 2000 0.01 100 1.9861 0.0020 0.00222000 2000 0.001 100 1.7648 0.0024 0.0578200 2000 0.001 100 1.9694 0.0025 0.003420 2000 0.001 100 1.9923 0.0017 0.00182 2000 0.001 100 2.0004 0.0015 0.00152000 2000 0.0001 100 1.7735 0.0021 0.0535200 2000 0.0001 100 1.9749 0.0027 0.003320 2000 0.0001 100 1.9964 0.0022 0.00222 2000 0.0001 100 1.9974 0.0013 0.00132500 2500 0.1 100 1.7793 0.0018 0.0506250 2500 0.1 100 1.9809 0.0025 0.00292500 2500 0.01 100 1.7717 0.0019 0.0535250 2500 0.01 100 1.9810 0.0022 0.002625 2500 0.01 100 2.0022 0.0017 0.00172500 2500 0.001 100 1.7649 0.0022 0.0574250 2500 0.001 100 1.9719 0.0015 0.002325 2500 0.001 100 1.9999 0.0014 0.00142.5 2500 0.001 100 2.0001 0.0010 0.00102500 2500 0.0001 100 1.7722 0.0018 0.0537250 2500 0.0001 100 1.9671 0.0021 0.003225 2500 0.0001 100 1.9969 0.0018 0.00182.5 2500 0.0001 100 2.0025 0.0010 0.0010300 3000 0.1 100 1.9746 0.0019 0.002630 3000 0.01 100 1.9963 0.0014 0.00143 3000 0.001 100 2.0021 0.0009 0.0009350 3500 0.1 100 1.9796 0.0015 0.002035 3500 0.01 100 1.9956 0.0016 0.00163.5 3500 0.001 100 2.0027 0.0009 0.0009400 4000 0.1 100 1.9750 0.0016 0.002240 4000 0.01 100 1.9941 0.0012 0.00124 4000 0.001 100 2.0003 0.0009 0.0009450 4500 0.1 100 1.9794 0.0011 0.001545 4500 0.01 100 1.9961 0.0011 0.00114.5 4500 0.001 100 2.0002 0.0006 0.0006500 5000 0.1 100 1.9700 0.0011 0.002050 5000 0.01 100 1.9987 0.0009 0.00095 5000 0.001 100 2.0016 0.0006 0.0006171

Einfache Martingalsch�atzfunktion f�ur jeweils 100 PfadeT n �s |||{�|||{ |||{�|||{� Varianz Std-error � Varianz Std-error500 500 0.1 -0.5071 0.0076 0.0076 5.0330 0.4865 0.487650 500 0.1 -0.6054 0.0477 0.0588 5.7034 1.3516 1.8465500 500 0.01 -0.4998 0.0120 0.0120 5.0089 0.8778 0.877850 500 0.01 -0.5818 0.0368 0.0435 5.4885 1.0998 1.33845 500 0.01 -1.5406 1.0304 2.1133 13.6933 100.4332 176.0060500 500 0.001 -0.5338 0.0131 0.0142 5.1748 0.7393 0.769950 500 0.001 -0.6030 0.0431 0.0537 5.5825 1.6539 1.99315 500 0.001 -1.3593 0.9552 1.6935 11.8071 67.3909 113.72820.5 500 0.001 -12.0878 106.1405 240.4166 107.7473 9641.8742 2098.8823500 500 0.0001 -0.4945 0.0112 0.0113 4.9638 0.6384 0.639750 500 0.0001 -0.5677 0.0395 0.0441 5.5025 1.7363 1.98885 500 0.0001 -1.5881 1.4130 2.5970 13.3525 116.4703 186.23530.5 500 0.0001 -10.8682 61.7172 169.2161 82.1532 4363.7969 10316.40771000 1000 0.1 -0.5162 0.0098 0.0101 5.1532 0.6562 0.6797100 1000 0.1 -0.5729 0.0196 0.0249 5.4041 0.7721 0.93541000 1000 0.01 -0.4951 0.0055 0.0055 4.9854 0.3554 0.3556100 1000 0.01 -0.5350 0.0194 0.0207 5.2937 0.7670 0.853310 1000 0.01 -1.0367 0.4082 0.6962 8.8184 30.4934 45.07371000 1000 0.001 -0.5058 0.0066 0.0066 5.0603 0.3980 0.4016100 1000 0.001 -0.5410 0.0105 0.0122 5.4462 0.7402 0.939310 1000 0.001 -0.8669 0.2521 0.3867 7.0993 11.0882 15.49531 1000 0.001 -5.2581 19.2718 41.9110 47.1171 1698.5588 3472.40871000 1000 0.0001 -0.4964 0.0054 0.0054 4.9920 0.3232 0.3233100 1000 0.0001 -0.5209 0.0168 0.0172 5.1662 0.6027 0.630310 1000 0.0001 -0.9369 0.3899 0.5808 7.9536 19.9230 28.64681 1000 0.0001 -5.3595 18.5778 42.1921 42.6881 1947.7804 3368.16971500 1500 0.1 -0.4931 0.0034 0.0034 4.9468 0.2401 0.2430150 1500 0.1 -0.5403 0.0152 0.0168 5.2295 0.4742 0.52681500 1500 0.01 -0.5097 0.0048 0.0049 5.0591 0.2952 0.2987150 1500 0.01 -0.5169 0.0122 0.0125 5.1230 0.4546 0.469715 1500 0.01 -0.8030 0.1709 0.2627 6.9809 6.8913 10.81531500 1500 0.001 -0.5059 0.0035 0.0035 5.0388 0.2048 0.2063150 1500 0.001 -0.5175 0.0125 0.0128 5.1500 0.4796 0.502115 1500 0.001 -0.8196 0.1408 0.2430 7.2041 16.3629 21.22111.5 1500 0.001 -4.0297 9.0274 21.4859 32.9558 772.6625 1554.18941500 1500 0.0001 -0.4934 0.0047 0.0048 4.9701 0.3060 0.3069150 1500 0.0001 -0.5225 0.0137 0.0142 5.1511 0.3946 0.417415 1500 0.0001 -0.7905 0.1647 0.2491 6.7858 6.9002 10.08931.5 1500 0.0001 -4.4267 8.5434 23.9624 33.9438 842.9084 1680.6498172

Einfache Martingalsch�atzfunktion f�ur jeweils 100 PfadeT n �s |||{�|||{ |||{�|||{� Varianz Std-error � Varianz Std-error2000 2000 0.1 -0.4963 0.0052 0.0052 4.9726 0.3442 0.3449200 2000 0.1 -0.5257 0.0113 0.0120 5.1159 0.3714 0.38482000 2000 0.01 -0.4970 0.0034 0.0034 5.0185 0.2009 0.2013200 2000 0.01 -0.4962 0.0069 0.0069 5.0208 0.2683 0.268720 2000 0.01 -0.7316 0.1868 0.2404 6.2899 5.0155 6.67932000 2000 0.001 -0.5009 0.0034 0.0034 5.0022 0.2018 0.2018200 2000 0.001 -0.5256 0.0073 0.0080 5.1532 0.2151 0.238520 2000 0.001 -0.7896 0.1349 0.2187 6.8408 5.5440 8.93232 2000 0.001 -3.2171 4.9006 12.2835 22.7156 313.7893 627.63182000 2000 0.0001 -0.4919 0.0025 0.0026 4.9519 0.1280 0.1303200 2000 0.0001 -0.5175 0.0085 0.0088 5.1261 0.3116 0.327520 2000 0.0001 -0.7215 0.1234 0.1725 6.4670 5.7586 7.91062 2000 0.0001 -3.2279 5.1725 12.6137 26.7855 750.3242 1224.93392500 2500 0.1 -0.4958 0.0046 0.0046 4.9739 0.2994 0.3001250 2500 0.1 -0.5051 0.0128 0.0128 5.0968 0.6095 0.61892500 2500 0.01 -0.4954 0.0026 0.0026 4.9612 0.1526 0.1541250 2500 0.01 -0.5136 0.0083 0.0085 5.0840 0.2914 0.298425 2500 0.01 -0.7162 0.0826 0.1293 6.3426 3.1485 4.95122500 2500 0.001 -0.5013 0.0025 0.0025 5.0071 0.1485 0.1486250 2500 0.001 -0.5148 0.0069 0.0071 5.0710 0.2326 0.237725 2500 0.001 -0.6808 0.0855 0.1182 6.2704 4.1461 5.76012.5 2500 0.001 -2.7474 3.7869 8.8376 25.4479 502.5865 920.70392500 2500 0.0001 -0.4916 0.0022 0.0022 4.9436 0.1153 0.1185250 2500 0.0001 -0.5170 0.0067 0.0070 5.1070 0.2271 0.238525 2500 0.0001 -0.6703 0.0834 0.1124 6.1035 2.6870 3.90472.5 2500 0.0001 -2.6110 3.4853 7.9417 23.0339 365.4117 690.6342300 3000 0.1 -0.5130 0.0070 0.0071 5.0507 0.1836 0.186230 3000 0.01 -0.6560 0.0724 0.0967 5.6635 1.7579 2.19813 3000 0.001 -2.1040 2.2284 4.8012 16.9710 200.4771 343.7815350 3500 0.1 -0.5137 0.0073 0.0075 5.0832 0.2772 0.284135 3500 0.01 -0.6344 0.0503 0.0684 5.8098 1.9718 2.62773.5 3500 0.001 -2.2079 2.0663 4.9833 18.5212 311.6226 494.4457400 4000 0.1 -0.5155 0.0169 0.0171 5.1446 0.9617 0.982640 4000 0.01 -0.6203 0.0537 0.0682 5.7688 2.3722 2.96324 4000 0.001 -1.7411 1.4239 2.9643 15.3715 208.4377 316.0048450 4500 0.1 -0.5106 0.0069 0.0070 5.0668 0.3197 0.324145 4500 0.01 -0.5827 0.0452 0.0521 5.4879 1.4778 1.71594.5 4500 0.001 -1.7536 2.2164 3.7879 13.5913 144.7377 218.5482500 5000 0.1 -0.4955 0.0076 0.0077 5.0035 0.3594 0.359450 5000 0.01 -0.5555 0.0264 0.0294 5.1529 0.6506 0.67405 5000 0.001 -1.4664 0.8580 1.7919 11.3199 76.5345 116.4752173

MLS (Di�usionsapprox. f�ur �Ubergangsdichten)T n �s Pfade | � | | � |� Varianz Std-error � Varianz Std-error1500 1500 0.1 100 -0.7500 0 0.0625 4.7500 0 0.0625150 1500 0.01 100 -0.5142 0.0267 0.0269 4.9680 0.0293 0.030315 1500 0.001 100 -0.4688 0.0177 0.0187 5.0011 0.0213 0.02131.5 1500 0.0001 100 -0.4674 0.0181 0.0192 4.9932 0.0215 0.02162000 2000 0.1 100 -0.7500 0 0.0625 4.7500 0 0.0625200 2000 0.01 100 -0.4763 0.0260 0.0265 4.9648 0.0230 0.024220 2000 0.001 100 -0.4861 0.0177 0.0179 4.9858 0.0193 0.01952 2000 0.0001 100 -0.4871 0.0198 0.0200 4.9868 0.0205 0.02072500 2500 0.1 100 -0.7500 0 0.0625 4.7500 0 0.0625250 2500 0.01 100 -0.5135 0.0261 0.0263 4.9657 0.0274 0.028525 2500 0.001 100 -0.4890 0.0173 0.0174 5.0108 0.0205 0.02062.5 2500 0.0001 100 -0.5085 0.0187 0.0188 5.0002 0.0189 0.0189

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Anhang GTabellen aller Ergebnisse bei dersimultanen �- -Sch�atzung imverallgemeinerten CIR-ModellIn Anhang G sind alle Sch�atzwerte dokumentiert, die f�ur verschiedene Beispiele mit-tels der simultanen �- -Sch�atzung (siehe 4.4) ermittelt wurden. Allen Beispielen ge-meinsam war die Wahl von � = �3 und � = 2 bei den Driftparametern sowie x0 = 1als Startwert des Prozesses. Durch verschiedene Wahl der Volatilit�atsparameter wur-den vier Beispiele untersucht: � = 1:5 mit = 1:5 (Beispiel 1), � = 1:5 mit = 0:75(Beispiel 2), � = 0:5 mit = 1:5 (Beispiel 3) und � = 0:5 mit = 0:75 (Bei-spiel 4). Der zweidimensionale Algorithmus zur Bestimmung von � und war - wieschon bei der optimalen Martingalsch�atzfunktion in Anhang E - der verallgemeinerteNewton-Algorithmus, siehe Reverchon & Ducamp [22], Seite 313 �.. Die hierbei ver-wendeten Startwerte waren stets �0 = 1 und 0 = 1 bei einer Genauigkeit von 0.001als Abbruchkriterium und einer maximalen Anzahl der Iterationsschritte von 100.Wie in Kapitel 8 schon beschrieben, gilt auch hier: Die Spalte Pfade in der Tabellemit den Sch�atzwerten � und gibt an, wieviele Pfade zur Berechnung von � und verwendet werden konnten. Falls keine weitere Zahl (in Klammern) angegeben ist,ist dies gleichzeitig diejenige Zahl von Pfaden, bei denen eine Zerlegung in Teilda-tens�atzen vorgenommen werden konnte. Eine zus�atzlich in Klammern angegebeneZahl zeigt an, da� f�ur diese zus�atzliche Anzahl der 100 Pfade zwar eine Zerlegungin Teildatens�atze vorgenommen werden konnte, das Iterationsverfahren allerdings in100 Schritten nicht (mit einer Genauigkeit von 0.001) die L�osungen f�ur � und er-mitteln konnte. Ein solcher Pfad wurde dann f�ur die Bestimmung der Sch�atzwerte� und weggelassen, auch wenn eine Datensatzzerlegung m�oglich war. In der Ta-belle mit den Sch�atzwerten f�ur � und � zeigt die Spalte Pfade an, f�ur wieviele der100 simulierten Pfade mittels der einfachen Martingalsch�atzfunktion Werte � und �ermittelt werden konnten.Falls in den Tabellen anstelle einer Zahl ein Stern � eingetragen ist, so war hier derZahlenwert im Millionenbereich und wurde aus diesem Grund nicht notiert.175

Tabelle G.1: Beispiel 1 f�ur die simultane �- -Sch�atzung mit den Simulationsparametern � = 1:5; =1:5; � = �3 und � = 2. Simultane �- -Sch�atzungT n �s Pfade |||{�|||{ |||{ |||{� Varianz Std-error Varianz Std-error5000 5000 0.1 27 2.4680 51.7047 52.6417 0.9655 0.0251 0.3108500 5000 0.1 69 1.6998 0.4907 0.5294 1.4434 1.6070 1.61025000 5000 0.01 76 0.6732 0.0159 0.6995 1.4148 1.2046 1.2118500 5000 0.01 69 1.3106 0.1055 0.1414 1.5259 1.3533 1.353950 5000 0.01 76(1) 1.4356 0.0825 0.0867 1.5812 0.9172 0.92385000 5000 0.001 97 0.6984 0.0151 0.6577 1.2968 0.3592 0.4005500 5000 0.001 83(1) 1.2456 0.1594 0.2242 1.7394 2.8731 2.930450 5000 0.001 82 1.4710 0.0297 0.0305 1.4395 0.1298 0.13345 5000 0.001 59 1.4919 0.0072 0.0073 1.5147 0.0778 0.078050 5000 0.0001 86 1.4559 0.0047 0.0466 1.4953 0.7936 0.79365 5000 0.0001 58 1.4708 0.0100 0.0109 1.4659 0.0372 0.03847500 7500 0.1 14 2.3542 6.7606 7.4902 0.8530 0.0277 0.4463750 7500 0.1 70 2.1125 0.9591 1.3343 1.2907 0.6780 0.72187500 7500 0.01 74(1) 0.3980 0.0660 1.2804 1.6904 0.4538 0.4900750 7500 0.01 82 1.2442 0.1369 0.2033 1.7115 2.4469 2.491675 7500 0.01 75(1) 1.4252 0.1296 0.1352 1.6124 1.3063 1.31897500 7500 0.001 89 0.7123 0.0102 0.6307 1.2865 0.6196 0.6652750 7500 0.001 70 1.5478 0.4267 0.4290 1.8123 3.6243 3.721975 7500 0.001 78 1.3830 0.2235 0.2372 1.9079 2.8040 2.97047.5 7500 0.001 59 1.5030 0.0046 0.0046 1.4866 0.0265 0.026775 7500 0.0001 88 1.4411 0.1080 0.1114 1.5237 0.5451 0.54567.5 7500 0.0001 63(1) 1.5061 0.0020 0.0021 1.5225 0.0291 0.029610000 10000 0.1 11 2.9048 2.9356 4.9091 0.7661 0.0093 0.54801000 10000 0.1 63 2.3575 1.1979 1.9331 1.3522 1.9892 2.011110000 10000 0.01 79 0.7317 0.0114 0.6017 1.1487 0.0399 0.16331000 10000 0.01 75 1.3884 0.1368 0.1493 1.5833 1.9492 1.9562100 10000 0.01 72 1.4089 0.1280 0.1363 1.7289 2.3503 2.402710000 10000 0.001 90 0.7120 0.0153 0.6362 1.2746 0.4230 0.47381000 10000 0.001 77 1.2924 0.1285 0.1716 1.5832 1.7266 1.7335100 10000 0.001 72(2) 1.3842 0.1605 0.1739 1.9196 3.3949 3.571010 10000 0.001 93 1.5092 0.0025 0.0026 1.5122 0.0068 0.0069100 10000 0.0001 81 1.3953 0.1788 0.1897 1.9456 3.7822 3.980810 10000 0.0001 77 1.4789 0.0072 0.0077 1.4826 0.0356 0.035912500 12500 0.1 3 10.8358 164.7626 251.9194 0.7648 0.0070 0.54751250 12500 0.1 57 2.5139 1.1836 2.2116 1.2041 0.6970 0.784612500 12500 0.01 69 0.7219 0.0128 0.6182 1.2224 0.4008 0.47781250 12500 0.01 74 1.3081 0.2393 0.2761 1.6989 2.4728 2.5123125 12500 0.01 74 1.3620 0.2241 0.2431 2.0881 4.5267 4.872512500 12500 0.001 93(1) 0.7168 0.0329 0.6463 1.3046 0.4480 0.48621250 12500 0.001 78 1.3535 0.0990 0.1205 1.4555 0.8949 0.8969125 12500 0.001 74 1.4318 0.2102 0.2148 1.8464 2.8802 3.000212.5 12500 0.001 80 1.4905 0.0061 0.0062 1.4539 0.0367 0.0389125 12500 0.0001 74 1.4036 0.1519 0.1612 1.8348 3.0407 3.152812.5 12500 0.0001 87 1.4715 0.0306 0.0314 1.5676 0.8244 0.829015000 15000 0.1 3 20.0233 381.5599 724.6719 0.6870 0.0067 0.66761500 15000 0.1 40 2.6338 0.9028 2.1883 1.2241 1.4387 1.514815000 15000 0.01 84 0.7896 0.1363 0.6409 1.1161 0.0771 0.22451500 15000 0.01 78(2) 1.2715 0.2680 0.3202 1.9806 4.3788 4.6078150 15000 0.01 62 1.2929 0.4362 0.4791 2.3719 5.2603 6.020515000 15000 0.001 94(1) 0.7227 0.0095 0.6137 1.2379 0.3511 0.41981500 15000 0.001 79 1.2232 0.2049 0.2815 1.8170 2.8358 2.9363150 15000 0.001 68 1.3611 0.3129 0.3321 1.9616 3.0662 3.279315 15000 0.001 84(1) 1.4673 0.0353 0.0364 1.5955 0.7569 0.7660150 15000 0.0001 79 1.3685 0.1988 0.2161 1.9846 4.0246 4.259415 15000 0.0001 89 1.4736 0.0355 0.0362 1.5634 0.5303 0.5344176

Einfache Martingalsch�atzfunktion f�ur � und �T �s Pfade |||{�|||{ |||{�|||{� Varianz Std-error � Varianz Std-error5000 0.1 97 7.8985 34.4407 153.2172 110.2280 163291 175004500 0.1 100 -2.1848 23.2595 23.9241 1.4979 12.8482 13.10035000 0.01 74 -0.6875 23.3350 28.6828 0.9514 4.3054 5.4049500 0.01 100 -2.6288 8.8586 8.9964 1.8340 1.7524 1.780050 0.01 100 -3.0847 0.3708 0.3779 2.0482 0.0723 0.07465000 0.001 100 -3.2196 1.6498 1.6980 2.1105 0.5839 0.5961500 0.001 100 -2.9873 0.0687 0.0689 1.9945 0.0158 0.015850 0.001 100 -3.0255 0.2546 0.2552 2.0183 0.0563 0.05675 0.001 100 -3.8675 3.0826 3.8351 2.4526 0.6703 0.875250 0.0001 100 -3.0533 0.3679 0.3707 2.0344 0.0714 0.07265 0.0001 100 -3.7970 3.7408 4.3760 2.4405 0.9063 1.10037500 0.1 96 4.5010 13.8095 70.0745 � � �750 0.1 100 -2.3016 4.3602 4.8479 1.8549 0.2146 0.23567500 0.01 83 -0.0916 12.5191 20.9778 0.5696 3.9240 5.9702750 0.01 100 -2.4903 34.2272 34.2272 1.7817 6.5034 6.551075 0.01 100 -3.1278 0.2093 0.2256 2.0553 0.0383 0.04147500 0.001 100 -3.2171 4.7856 4.8327 2.1425 1.3310 1.3513750 0.001 89 -3.3731 1114.1695 1114.3086 4.9492 211.1786 219.876275 0.001 100 -3.0142 0.2525 0.2527 2.0119 0.0560 0.05617.5 0.001 100 -3.5042 2.7722 3.0265 2.2754 0.5996 0.675575 0.0001 100 -3.0361 0.2157 0.2170 2.0237 0.0391 0.03967.5 0.0001 100 -3.3989 2.2140 2.3732 2.2287 0.5371 0.589410000 0.1 100 1.8628 4.5243 28.1709 � � �1000 0.1 100 -0.4521 85.8610 92.3529 0.7553 35.8460 37.395210000 0.01 80 2.1466 52.1533 78.6404 -0.1796 11.1311 15.88191000 0.01 100 -2.9994 0.0364 0.0364 1.9996 0.0091 0.0091100 0.01 100 -3.0424 0.1400 0.1418 2.0146 0.0285 0.028710000 0.001 81 -2.8454 6.2133 6.2372 1.9334 1.6171 1.62161000 0.001 100 -2.9930 0.0290 0.0291 1.9972 0.0071 0.0071100 0.001 100 -2.9986 0.1995 0.1995 2.0037 0.0433 0.043310 0.001 100 -3.3263 1.4573 1.5638 2.1796 0.3032 0.3355100 0.0001 100 -3.0008 0.2291 0.2291 2.0009 0.0445 0.044510 0.0001 100 -3.2447 1.3474 1.4073 2.1415 0.2956 0.315712500 0.1 99 1.5287 3.9264 24.4356 � � �1250 0.1 100 2.2880 141.5184 169.4813 0.7341 19.7991 21.401612500 0.01 84 1.6390 48.5547 70.0750 0.1250 9.8739 13.38951250 0.01 100 -3.0195 0.0938 0.0942 2.0111 0.0234 0.0235125 0.01 100 -3.0500 0.1133 0.1158 2.0259 0.0239 0.024612500 0.001 87 -2.8730 8.3926 8.4087 1.9723 2.1841 2.18491250 0.001 100 -3.0314 0.0271 0.0281 2.0146 0.0069 0.0072125 0.001 100 -3.0052 0.1562 0.1562 2.0058 0.0338 0.033812.5 0.001 100 -3.2313 1.2416 1.2950 2.1276 0.2606 0.2768125 0.0001 100 -3.0229 0.1711 0.1716 2.0125 0.0318 0.031912.5 0.0001 100 -3.2324 1.1398 1.1938 2.1284 0.2408 0.257315000 0.1 100 0.1809 0.1481 10.2661 � � �1500 0.1 100 2.3399 187.2741 215.7890 0.5179 31.3743 33.570915000 0.01 80 1.5980 48.9141 70.0557 0.2986 9.3560 12.25071500 0.01 100 -1.6620 60.5087 62.2989 1.4406 10.4938 10.8067150 0.01 100 -3.0305 0.1643 0.1653 2.0199 0.0303 0.030715000 0.001 87 -2.8120 7.7990 7.8343 1.9282 1.9560 1.96111500 0.001 79 -2.8689 1.2771 1.2943 1.9392 0.2515 0.2552150 0.001 100 -3.0163 0.1172 0.1174 2.0117 0.0255 0.025615 0.001 100 -3.2320 1.0095 1.0634 2.1327 0.2241 0.2417150 0.0001 100 -2.9965 0.1408 0.1408 1.9965 0.0269 0.026915 0.0001 100 -3.1914 1.0547 1.1179 2.1074 0.2282 0.2470177

Tabelle G.2: Beispiel 2 f�ur die simultane �- -Sch�atzung mit den Simulationsparametern � = 1:5; =0:75; � = �3 und � = 2. Simultane �- -Sch�atzungT n �s Pfade |||{�|||{ |||{ |||{� Varianz Std-error Varianz Std-error5000 5000 0.1 74 0.7057 0.0276 0.6585 1.2842 0.0803 0.3656500 5000 0.1 73 1.2910 0.0354 0.0791 1.1027 1.0184 1.14285000 5000 0.01 80(1) 0.7107 0.0246 0.6476 1.2964 0.0580 0.3566500 5000 0.01 63(1) 1.3361 0.0101 0.0370 0.9620 0.0748 0.119850 5000 0.01 79 1.4301 0.0867 0.0916 0.8729 0.2352 0.25035000 5000 0.001 80 0.7234 0.0063 0.6095 1.2972 0.0687 0.3682500 5000 0.001 75(2) 1.3037 0.0156 0.0541 0.9937 0.1062 0.165650 5000 0.001 83 1.4649 0.0085 0.0097 0.8417 0.0912 0.09965 5000 0.001 69(1) 1.5049 0.0025 0.0026 0.7984 0.0298 0.032250 5000 0.0001 65 1.4339 0.1161 0.1205 0.8418 0.0523 0.06075 5000 0.0001 67 1.5024 0.0028 0.0028 0.7942 0.0286 0.03067500 7500 0.1 73 0.6816 0.0383 0.7080 1.3755 0.1396 0.5309750 7500 0.1 67 1.3157 0.0103 0.0443 0.9590 0.0816 0.12537500 7500 0.01 72 0.7276 0.0081 0.6046 1.2749 0.0775 0.3530750 7500 0.01 73 1.2738 0.0362 0.0874 1.0734 0.1726 0.277275 7500 0.01 74(4) 1.4791 0.0011 0.0015 0.7958 0.0195 0.02167500 7500 0.001 75(1) 0.7036 0.0222 0.6565 1.5121 1.7774 2.3582750 7500 0.001 70(1) 1.2805 0.0646 0.1127 1.1083 0.6555 0.783975 7500 0.001 78(2) 1.4610 0.0155 0.0170 0.8411 0.0753 0.08367.5 7500 0.001 72 1.5009 0.0021 0.0021 0.7902 0.0149 0.016575 7500 0.0001 74(2) 1.4261 0.0430 0.0485 0.9867 0.9641 1.02017.5 7500 0.0001 79(2) 1.4583 0.0931 0.0948 0.8238 0.1006 0.106110000 10000 0.1 86 0.7191 0.0100 0.6198 1.3065 0.0930 0.40271000 10000 0.1 70(3) 1.2899 0.0294 0.0735 1.0671 0.1541 0.254610000 10000 0.01 73 0.7272 0.0058 0.6030 1.2634 0.0745 0.33801000 10000 0.01 69(1) 1.2958 0.0580 0.0997 1.0975 1.2762 1.3970100 10000 0.01 83(2) 1.3878 0.1026 0.1152 1.0972 1.5224 1.643010000 10000 0.001 76 0.7038 0.0128 0.6467 1.3638 0.1061 0.48291000 10000 0.001 55(1) 1.3321 0.0064 0.0346 0.9539 0.0695 0.1111100 10000 0.001 78 1.4385 0.0713 0.0751 0.8280 0.0561 0.062210 10000 0.001 77 1.5017 0.0020 0.0020 0.8082 0.0181 0.0215100 10000 0.0001 79(3) 1.4568 0.0208 0.0227 0.8410 0.0931 0.101410 10000 0.0001 80(4) 1.4999 0.0029 0.0029 0.7995 0.0226 0.025112500 12500 0.1 84 0.6944 0.0258 0.6748 1.4429 1.0371 1.51721250 12500 0.1 80(2) 1.2657 0.0640 0.1189 1.0898 0.5609 0.676312500 12500 0.01 85 0.7096 0.0150 0.6397 1.3442 0.3476 0.70071250 12500 0.01 75(2) 1.3076 0.0478 0.0848 0.9810 0.2008 0.2542125 12500 0.01 81(4) 1.4716 0.0030 0.0038 0.7927 0.0247 0.026512500 12500 0.001 79(2) 0.7049 0.0286 0.6607 1.3840 0.8175 1.21951250 12500 0.001 65 1.2908 0.0234 0.0671 1.0648 0.1088 0.2079125 12500 0.001 81 1.4442 0.0226 0.0257 0.8765 0.0963 0.112212.5 12500 0.001 87(3) 1.4879 0.0116 0.0118 0.7968 0.1027 0.1049125 12500 0.0001 79 1.4500 0.0075 0.0100 0.8524 0.0555 0.066012.5 12500 0.0001 89 1.4831 0.0047 0.0049 0.8213 0.1381 0.143215000 15000 0.1 81(2) 0.7303 0.0080 0.6005 1.2619 0.0763 0.33831500 15000 0.1 68(1) 1.3287 0.0053 0.0346 0.9540 0.0511 0.092715000 15000 0.01 82(1) 0.7309 0.0121 0.6035 1.3247 0.6620 0.99231500 15000 0.01 73 1.2806 0.0510 0.0991 1.0760 0.2656 0.3719150 15000 0.01 83(1) 1.4450 0.0537 0.0567 0.8312 0.0600 0.066615000 15000 0.001 79(1) 0.7051 0.0261 0.6580 1.5523 2.5050 3.14881500 15000 0.001 74 1.2761 0.0851 0.1352 1.0487 0.3203 0.4095150 15000 0.001 77(1) 1.4726 0.0012 0.0020 0.8056 0.0285 0.031615 15000 0.001 86(1) 1.4862 0.0316 0.0318 0.8193 0.1504 0.1552150 15000 0.0001 82 1.4700 0.0022 0.0031 0.8139 0.0311 0.035215 15000 0.0001 89 1.4850 0.0036 0.0038 0.8130 0.0959 0.0999178

Einfache Martingalsch�atzfunktion f�ur � und �T �s Pfade |||{�|||{ |||{�|||{� Varianz Std-error � Varianz Std-error5000 0.1 68 -1.2749 1.0431 4.0192 0.9959 0.3397 1.3480500 0.1 100 -3.2259 8.2973 8.3483 2.0998 1.6280 1.63805000 0.01 71 -2.8960 3.0521 3.0629 1.9531 1.2771 1.2793500 0.01 100 -2.9417 0.0356 0.0390 1.9713 0.0087 0.009550 0.01 100 -3.1006 0.2632 0.2733 2.0548 0.0421 0.04515000 0.001 76 -2.5012 0.9128 1.1616 1.7024 0.3636 0.4522500 0.001 100 -2.9986 0.0507 0.0507 2.0005 0.0115 0.011550 0.001 100 -3.0540 0.1611 0.1640 2.0309 0.0360 0.03705 0.001 100 -3.7134 1.9476 2.4565 2.4347 0.5478 0.736850 0.0001 100 -3.1126 0.2310 0.2437 2.0572 0.0368 0.04015 0.0001 100 -3.6104 1.9250 2.2976 2.3453 0.5321 0.65137500 0.1 63 -0.8539 1.1789 5.7846 0.7858 0.3751 1.8495750 0.1 100 -3.1095 1.6770 1.6890 2.0472 0.3863 0.38857500 0.01 71 -2.7887 1.4520 1.4967 1.8755 0.5685 0.5840750 0.01 100 -3.0141 0.0446 0.0448 2.0066 0.0093 0.009475 0.01 100 -3.0550 0.1207 0.1237 2.0186 0.0232 0.02357500 0.001 100 -2.4341 0.9552 1.2754 1.6711 0.3592 0.4674750 0.001 100 -2.9870 0.0522 0.0524 1.9929 0.0122 0.012375 0.001 100 -3.0273 0.1372 0.1379 2.0184 0.0302 0.03067.5 0.001 100 -3.5818 1.8137 2.1521 2.2986 0.3585 0.447775 0.0001 100 -3.0194 0.1372 0.1376 1.9959 0.0286 0.02867.5 0.0001 100 -3.6136 1.4719 1.8485 2.2886 0.2364 0.319710000 0.1 60 -1.1977 0.8543 4.1025 0.9559 0.2846 1.37461000 0.1 100 -3.6404 7.0771 7.4872 2.2818 1.4761 1.555510000 0.01 77 -2.7792 0.7817 0.8304 1.8685 0.3079 0.32521000 0.01 100 -2.9560 0.0394 0.0413 1.9811 0.0088 0.0092100 0.01 100 -3.0093 0.1359 0.1360 2.0110 0.0250 0.025110000 0.001 77 -2.5712 0.8607 1.0446 1.7449 0.3343 0.39941000 0.001 100 -2.9904 0.0232 0.0233 1.9972 0.0056 0.0056100 0.001 100 -3.0129 0.0998 0.1000 2.0109 0.0209 0.021010 0.001 100 -3.6064 1.2284 1.5961 2.2620 0.3129 0.3815100 0.0001 100 -3.0275 0.0903 0.0910 2.0056 0.0192 0.019210 0.0001 100 -3.5316 0.9722 1.2598 2.2392 0.1915 0.248812500 0.1 60 -0.7433 0.4553 5.5481 0.7280 0.1275 1.74551250 0.1 99 -3.1704 2.6246 2.6536 2.0652 0.5184 0.522712500 0.01 69 -2.6736 1.5161 1.6227 1.8048 0.6047 0.64281250 0.01 100 -2.9766 0.0204 0.0210 1.9900 0.0048 0.0049125 0.01 100 -3.0127 0.0747 0.0749 2.0125 0.0151 0.015212500 0.001 68 -2.7038 1.0469 1.1347 1.8255 0.4026 0.43311250 0.001 100 -2.9858 0.0280 0.0282 1.9931 0.0062 0.0062125 0.001 100 -3.0185 0.0587 0.0591 2.0140 0.0150 0.015212.5 0.001 100 -3.4272 0.7537 0.9362 2.1863 0.1585 0.1932125 0.0001 100 -3.0330 0.0945 0.0956 2.0146 0.0136 0.013812.5 0.0001 100 -3.2651 0.7440 0.8143 2.1346 0.1416 0.159715000 0.1 65 -1.1500 0.6653 4.0877 0.9170 0.2121 1.38491500 0.1 100 -3.2201 5.1509 5.1993 2.1013 1.2679 1.278115000 0.01 78 -2.7670 0.8758 0.9301 1.8603 0.3430 0.36261500 0.01 100 -2.9734 0.0248 0.0255 1.9839 0.0060 0.0063150 0.01 100 -3.0203 0.0688 0.0692 2.0091 0.0129 0.013015000 0.001 65 -2.4694 1.1328 1.4143 1.6917 0.4259 0.52101500 0.001 100 -2.9807 0.0204 0.0208 1.9885 0.0049 0.0050150 0.001 100 -3.0123 0.0567 0.0569 2.0051 0.0095 0.009515 0.001 100 -3.2587 0.6041 0.6710 2.1442 0.1400 0.1608150 0.0001 100 -2.9957 0.0639 0.0639 2.0059 0.0147 0.014715 0.0001 100 -3.2153 0.6442 0.6906 2.1216 0.1364 0.1512179

Tabelle G.3: Beispiel 3 f�ur die simultane �- -Sch�atzung mit den Simulationsparametern � = 0:5; =1:5; � = �3 und � = 2. Simultane �- -Sch�atzungT n �s Pfade |||{�|||{ |||{ |||{� Varianz Std-error Varianz Std-error5000 5000 0.1 47(1) 0.3672 0.0046 0.0222 2.5129 0.6442 1.6703500 5000 0.1 53(1) 0.5281 0.0126 0.0133 1.9430 0.5508 0.74715000 5000 0.01 55 0.3651 0.0047 0.0229 2.4691 0.7051 1.6444500 5000 0.01 53(1) 0.5539 0.0493 0.0522 2.1772 0.8133 1.417450 5000 0.01 48(1) 0.5035 0.0074 0.0074 1.5468 0.3317 0.33395000 5000 0.001 53 0.3788 0.0048 0.0195 2.6338 0.8494 2.1349500 5000 0.001 59(1) 0.5046 0.0370 0.0370 1.9218 0.5164 0.694350 5000 0.001 49(1) 0.5018 0.0395 0.0395 1.7000 0.6198 0.65985 5000 0.001 14 0.4914 0.0005 0.0006 1.4555 0.0317 0.033750 5000 0.0001 49 0.5319 0.0074 0.0085 1.7217 0.3194 0.36855 5000 0.0001 9(1) 0.5055 0.0012 0.0012 1.5352 0.0540 0.05527500 7500 0.1 64 0.3670 0.0041 0.0218 2.4982 0.5801 1.5765750 7500 0.1 58 0.5076 0.0081 0.0082 1.8737 0.6719 0.81167500 7500 0.01 57(2) 0.3812 0.0037 0.0179 2.7006 0.7719 2.2133750 7500 0.01 63 0.5107 0.0370 0.0371 2.0044 0.7632 1.017675 7500 0.01 67 0.5032 0.0073 0.0073 1.5656 0.4967 0.50107500 7500 0.001 78 0.7256 0.0090 0.6088 1.2840 0.0830 0.3681750 7500 0.001 55(1) 0.5223 0.0089 0.0094 1.8753 0.4065 0.547475 7500 0.001 68 0.5034 0.0062 0.0062 1.5280 0.2216 0.22247.5 7500 0.001 12 0.4988 0.0008 0.0008 1.5009 0.0341 0.034175 7500 0.0001 54 0.5113 0.0062 0.0062 1.5280 0.2216 0.22247.5 7500 0.0001 19 0.5023 0.0007 0.0007 1.5443 0.0528 0.054710000 10000 0.1 58 0.3634 0.0048 0.0235 2.4569 0.6824 1.59811000 10000 0.1 61(1) 0.5427 0.0079 0.0097 2.0685 0.3929 0.716210000 10000 0.01 54 0.3688 0.0051 0.0223 2.5112 0.8018 1.82441000 10000 0.01 67 0.5154 0.0120 0.0122 1.8251 0.5595 0.6652100 10000 0.01 67 0.5041 0.0318 0.0318 1.6660 0.6494 0.677010000 10000 0.001 56 0.3793 0.0033 0.0179 2.5855 0.4564 1.63481000 10000 0.001 64 0.5328 0.0118 0.0129 2.0062 0.8885 1.1448100 10000 0.001 66 0.5153 0.0070 0.0072 1.6175 0.3024 0.316310 10000 0.001 19 0.4882 0.0021 0.0023 1.4164 0.1117 0.1186100 10000 0.0001 63 0.4999 0.0041 0.0041 1.5195 0.1561 0.156510 10000 0.0001 30(1) 0.4891 0.0017 0.0018 1.4261 0.0837 0.089112500 12500 0.1 57 0.3606 0.0033 0.0228 2.4146 0.4574 1.29381250 12500 0.1 70 0.5237 0.0078 0.0083 1.9367 0.3865 0.577212500 12500 0.01 65(1) 0.3689 0.0049 0.0221 2.6632 1.2587 2.61171250 12500 0.01 57 0.5295 0.0102 0.0111 1.9292 0.4654 0.6496125 12500 0.01 64(1) 0.5077 0.0056 0.0056 1.5619 0.2070 0.210912500 12500 0.001 56(1) 0.3775 0.0054 0.0204 2.5946 0.7940 1.99211250 12500 0.001 59 0.5387 0.0133 0.0148 2.0578 0.9153 1.2265125 12500 0.001 68 0.5316 0.0107 0.0117 1.7017 0.4187 0.459412.5 12500 0.001 30 0.4974 0.0044 0.0044 1.4769 0.1724 0.1730125 12500 0.0001 76(1) 0.5183 0.0133 0.0136 1.6491 0.6491 0.669412.5 12500 0.0001 31 0.4970 0.0009 0.0009 1.4673 0.0523 0.053315000 15000 0.1 60 0.3681 0.0044 0.0218 2.5139 0.6521 1.68021500 15000 0.1 63(1) 0.5176 0.0083 0.0086 1.8912 0.3835 0.536515000 15000 0.01 68 0.3565 0.0131 0.0337 2.5918 1.0831 2.27511500 15000 0.01 61 0.5291 0.0112 0.0121 1.9378 0.6182 0.8099150 15000 0.01 79(1) 0.5177 0.0063 0.0066 1.6427 0.3288 0.349215000 15000 0.001 64 0.3661 0.0049 0.0229 2.6366 1.3188 2.61071500 15000 0.001 64 0.5159 0.0249 0.0251 2.0387 1.1527 1.4428150 15000 0.001 76(2) 0.5080 0.0049 0.0050 1.5617 0.1893 0.193115 15000 0.001 35 0.5187 0.0073 0.0077 1.5909 0.2497 0.2579150 15000 0.0001 83 0.5094 0.0085 0.0086 1.5743 0.3390 0.344515 15000 0.0001 38 0.5025 0.0014 0.0014 1.5209 0.0599 0.0603180

Einfache Martingalsch�atzfunktion f�ur � und �T �s Pfade |||{�|||{ |||{�|||{� Varianz Std-error � Varianz Std-error5000 0.1 99 -2.9952 0.2758 0.2758 1.9969 0.1213 0.1213500 0.1 100 -2.9691 0.0215 0.0225 1.9774 0.0085 0.00905000 0.01 100 -3.0737 0.4938 0.4992 2.0492 0.2185 0.2210500 0.01 100 -3.0553 0.0225 0.0256 2.0360 0.0090 0.010350 0.01 100 -3.0486 0.1392 0.1415 2.0337 0.0576 0.05875000 0.001 100 -3.1362 0.5392 0.5578 2.0915 0.2379 0.2463500 0.001 100 -2.9992 0.0201 0.0201 2.0004 0.0085 0.008550 0.001 100 -3.0340 0.1274 0.1286 2.0216 0.0527 0.05315 0.001 100 -3.8708 1.7028 2.4612 2.5796 0.7202 1.056250 0.0001 100 -3.0393 0.1510 0.1525 2.0252 0.0599 0.06055 0.0001 100 -3.7769 2.4837 3.0872 2.5090 1.1442 1.40337500 0.1 100 -3.0199 0.1449 0.1453 2.0130 0.0633 0.0635750 0.1 100 -2.9396 0.0145 0.0182 1.9606 0.0058 0.00737500 0.01 100 -3.1824 0.5864 0.6197 2.1211 0.2581 0.2728750 0.01 100 -2.9859 0.0124 0.0126 1.9916 0.0050 0.005075 0.01 100 -3.0516 0.0980 0.1007 2.0348 0.0366 0.03787500 0.001 78 -2.7553 1.1138 1.1737 1.8575 0.4449 0.4652750 0.001 100 -2.9999 0.0139 0.0139 2.0002 0.0058 0.005875 0.001 100 -3.0317 0.0819 0.0829 2.0205 0.0332 0.03377.5 0.001 100 -3.6422 1.0433 1.4558 2.4262 0.4309 0.612575 0.0001 100 -3.0123 0.0957 0.0959 2.0081 0.0392 0.03937.5 0.0001 100 -3.3601 0.8414 0.9711 2.2459 0.3497 0.410210000 0.1 100 -2.9807 0.1542 0.1546 1.9872 0.0679 0.06801000 0.1 100 -2.9308 0.0104 0.0152 1.9554 0.0041 0.006110000 0.01 100 -3.0769 0.1492 0.1551 2.0517 0.0657 0.06841000 0.01 100 -2.9858 0.0199 0.0121 1.9915 0.0048 0.0048100 0.01 100 -3.0256 0.0768 0.0775 2.0139 0.0302 0.030410000 0.001 99 -2.9981 0.1221 0.1221 1.9995 0.0537 0.05371000 0.001 100 -3.0084 0.0109 0.0109 2.0047 0.0043 0.0043100 0.001 100 -3.0567 0.0795 0.0827 2.0337 0.0329 0.034010 0.001 100 -3.3042 0.7492 0.8417 2.2085 0.3014 0.3449100 0.0001 100 -3.0423 0.0705 0.0723 2.0295 0.0264 0.027210 0.0001 100 -3.3465 0.6943 0.8143 2.2279 0.2749 0.326912500 0.1 100 -3.0098 0.1016 0.1017 2.0067 0.0446 0.04471250 0.1 100 -2.9349 0.0083 0.0125 1.9561 0.0033 0.005212500 0.01 100 -3.0767 0.2146 0.2205 2.0515 0.0941 0.09671250 0.01 100 -3.0250 0.0087 0.0093 2.0160 0.0036 0.0038125 0.01 100 -2.9791 0.0593 0.0598 1.9834 0.0239 0.024212500 0.001 100 -3.0234 0.1217 0.1223 2.0157 0.0532 0.05351250 0.001 100 -2.9952 0.0100 0.0100 1.9970 0.0038 0.0038125 0.001 100 -3.0228 0.0521 0.0526 2.0163 0.0219 0.022212.5 0.001 100 -3.4192 0.9257 1.1015 2.2666 0.3613 0.4323125 0.0001 100 -3.0370 0.0616 0.0630 2.0236 0.0221 0.022712.5 0.0001 100 -3.1870 0.4934 0.5284 2.1277 0.1977 0.214015000 0.1 100 -3.0184 0.0884 0.0888 2.0122 0.0390 0.03911500 0.1 100 -2.9556 0.0074 0.0094 1.9694 0.0030 0.004015000 0.01 100 -3.0484 0.1237 0.1260 2.0318 0.0546 0.05561500 0.01 100 -3.0145 0.0073 0.0075 2.0100 0.0029 0.0030150 0.01 100 -3.0007 0.0514 0.0514 2.0020 0.0201 0.020115000 0.001 100 -3.0219 0.1170 0.1174 2.0147 0.0514 0.05161500 0.001 100 -2.9990 0.0077 0.0077 2.0001 0.0032 0.0032150 0.001 100 -2.9969 0.0411 0.0411 1.9978 0.0160 0.016015 0.001 100 -3.2039 0.4371 0.4787 2.1284 0.1735 0.1900150 0.0001 100 -3.0207 0.0416 0.0420 2.0123 0.0153 0.015415 0.0001 100 -3.2827 0.5146 0.5946 2.1823 0.1951 0.2283181

Tabelle G.4: Beispiel 4 f�ur die simultane �- -Sch�atzung mit den Simulationsparametern � = 0:5; =0:75; � = �3 und � = 2. Simultane �- -Sch�atzungT n �s Pfade |||{�|||{ |||{ |||{� Varianz Std-error Varianz Std-error5000 5000 0.1 62 0.4236 0.0165 0.0223 2.5742 0.9351 4.2628500 5000 0.1 56 0.6008 0.0136 0.0238 1.6867 0.7167 1.59415000 5000 0.01 60 0.4269 0.0050 0.0104 2.5564 1.4619 4.7250500 5000 0.01 39 0.6195 0.0149 0.0292 1.9487 1.9666 3.403650 5000 0.01 54 0.5121 0.0513 0.0514 1.0469 0.2420 0.33025000 5000 0.001 54(1) 0.4316 0.0055 0.0102 2.4290 0.8657 3.6848500 5000 0.001 58 0.6175 0.0178 0.0316 1.8816 1.6544 2.934950 5000 0.001 49 0.5441 0.0070 0.0090 1.0284 0.2712 0.34875 5000 0.001 29 0.5151 0.0012 0.0014 0.8590 0.0547 0.066550 5000 0.0001 50 0.5395 0.0331 0.0347 1.0874 0.3388 0.45265 5000 0.0001 24(1) 0.5110 0.0013 0.0014 0.8549 0.0942 0.10527500 7500 0.1 55 0.4280 0.0055 0.0107 2.4815 1.0725 4.0705750 7500 0.1 57 0.5912 0.0149 0.0232 1.7248 1.1990 2.14937500 7500 0.01 48(1) 0.4265 0.0059 0.0113 2.4076 1.0361 3.7839750 7500 0.01 51 0.6326 0.0138 0.0314 1.8668 0.9755 2.222875 7500 0.01 55 0.5714 0.0099 0.0150 1.3213 1.1363 1.46277500 7500 0.001 57(1) 0.4282 0.0047 0.0098 2.3970 0.8652 3.5779750 7500 0.001 51(2) 0.5994 0.0110 0.0208 1.6721 0.8628 1.713175 7500 0.001 63(1) 0.5571 0.0090 0.0123 1.1092 0.3193 0.44847.5 7500 0.001 40(2) 0.5094 0.0020 0.0021 0.8031 0.0631 0.065975 7500 0.0001 55 0.5356 0.0053 0.0065 0.9783 0.1733 0.22547.5 7500 0.0001 29(1) 0.5126 0.0006 0.0008 0.8385 0.0279 0.035810000 10000 0.1 56 0.4130 0.0056 0.0132 2.2278 0.8171 3.00091000 10000 0.1 53(1) 0.5914 0.0088 0.0172 1.5760 0.3536 1.035810000 10000 0.01 59 0.4249 0.0049 0.0106 2.3615 0.8505 3.44751000 10000 0.01 52(1) 0.5913 0.0116 0.0199 1.5598 0.5636 1.2194100 10000 0.01 62 0.5572 0.0071 0.0104 1.0991 0.2387 0.360610000 10000 0.001 63(1) 0.4017 0.0246 0.0343 2.4606 1.3360 4.26221000 10000 0.001 50 0.5908 0.0494 0.0577 1.7972 0.8354 1.9320100 10000 0.001 51 0.5317 0.0039 0.0049 0.9485 0.1190 0.158410 10000 0.001 34 0.5292 0.0025 0.0034 0.9286 0.1164 0.1483100 10000 0.0001 56 0.5432 0.0059 0.0077 1.0137 0.1817 0.251210 10000 0.0001 45 0.5162 0.0019 0.0022 0.8501 0.0635 0.073612500 12500 0.1 53 0.4084 0.0163 0.0247 2.4545 1.2793 4.18451250 12500 0.1 54 0.5862 0.0127 0.0202 1.5684 0.5750 1.244812500 12500 0.01 55 0.4316 0.0041 0.0087 2.4584 0.8469 3.76561250 12500 0.01 47 0.5735 0.0136 0.0190 1.4379 0.6179 1.0910125 12500 0.01 62(3) 0.5335 0.0055 0.0066 0.9782 0.2386 0.290612500 12500 0.001 50 0.4317 0.0055 0.0102 2.5595 1.2990 4.57321250 12500 0.001 58 0.6056 0.0127 0.0238 1.6585 0.6593 1.4846125 12500 0.001 70 0.5723 0.0131 0.0183 1.2079 0.5847 0.794412.5 12500 0.001 38 0.5114 0.0025 0.0026 0.8046 0.0689 0.0718125 12500 0.0001 59(3) 0.5387 0.0440 0.0455 1.2363 0.7844 0.794412.5 12500 0.0001 46 0.5345 0.0053 0.0065 0.9310 0.1530 0.185815000 15000 0.1 57(1) 0.4114 0.0050 0.0128 2.2031 0.7524 2.86391500 15000 0.1 56 0.5910 0.0114 0.0197 1.7002 1.0276 1.930415000 15000 0.01 52 0.4308 0.0048 0.0096 2.4292 0.8217 3.64141500 15000 0.01 70 0.5802 0.0402 0.0467 1.9282 2.4224 3.8107150 15000 0.01 66(1) 0.5688 0.0103 0.0150 1.1887 0.4299 0.622415000 15000 0.001 56 0.4179 0.0127 0.0194 2.5792 1.7651 5.11121500 15000 0.001 54 0.6127 0.0158 0.0285 1.9586 2.1798 3.6404150 15000 0.001 63(1) 0.5513 0.0056 0.0082 1.0537 0.1685 0.260715 15000 0.001 45(1) 0.5374 0.0103 0.0117 1.0137 0.5228 0.5923150 15000 0.0001 62 0.5541 0.0068 0.0097 1.0854 0.2308 0.343315 15000 0.0001 49 0.5217 0.0021 0.0026 0.8689 0.0541 0.0682182

Einfache Martingalsch�atzfunktion f�ur � und �T �s Pfade |||{�|||{ |||{�|||{� Varianz Std-error � Varianz Std-error5000 0.1 98 -3.0770 0.8229 0.8289 2.0511 0.3529 0.3555500 0.1 100 -2.9450 0.0278 0.0309 1.9653 0.0120 0.01325000 0.01 93 -3.0219 0.6961 0.6965 2.0166 0.3033 0.3036500 0.01 100 -2.9502 0.0266 0.0291 1.9698 0.0104 0.011350 0.01 100 -3.0950 0.1843 0.1933 2.0633 0.0688 0.07285000 0.001 91 -2.9462 0.4519 0.4548 1.9659 0.1947 0.1958500 0.001 100 -2.9913 0.0276 0.0277 1.9948 0.0112 0.011250 0.001 100 -3.0718 0.1293 0.1344 2.0487 0.0556 0.05805 0.001 100 -3.8346 2.6335 3.3301 2.5640 1.1595 1.477550 0.0001 100 -3.0879 0.1327 0.1404 2.0519 0.0529 0.05565 0.0001 100 -4.0433 1.7094 2.7980 2.6908 0.7284 1.20567500 0.1 95 -3.0153 0.4286 0.4288 2.0111 0.1843 0.1844750 0.1 100 -2.9379 0.0218 0.0257 1.9595 0.0092 0.01087500 0.01 95 -3.1567 0.6452 0.6697 2.1036 0.2800 0.2907750 0.01 100 -3.0075 0.0217 0.0217 2.0054 0.0082 0.008375 0.01 100 -3.0244 0.0914 0.0920 2.0179 0.0390 0.03947500 0.001 100 -3.2704 1.1499 1.2230 2.1789 0.5029 0.5349750 0.001 100 -3.0054 0.0184 0.0184 2.0018 0.0068 0.006875 0.001 100 -3.0377 0.0800 0.0814 2.0213 0.0328 0.03337.5 0.001 100 -3.2333 0.7838 0.8383 2.1685 0.3940 0.422475 0.0001 100 -3.0493 0.0734 0.0758 2.0345 0.0258 0.02697.5 0.0001 100 -3.5354 0.8942 1.1808 2.3548 0.3753 0.501110000 0.1 98 -3.0540 0.3743 0.3772 2.0362 0.1636 0.16491000 0.1 100 -2.9611 0.0163 0.0179 1.9734 0.0067 0.007410000 0.01 96 -3.0431 0.4083 0.4102 2.0285 0.1781 0.17891000 0.01 100 -3.0097 0.0115 0.0116 2.0065 0.0043 0.0044100 0.01 100 -3.0558 0.0762 0.0793 2.0399 0.0299 0.031510000 0.001 97 -3.2137 0.5313 0.5769 2.1410 0.2299 0.24971000 0.001 100 -3.0108 0.0184 0.0186 2.0082 0.0074 0.0075100 0.001 100 -3.0528 0.0719 0.0747 2.0350 0.0282 0.029410 0.001 100 -3.5292 0.7314 1.0114 2.3342 0.3049 0.4166100 0.0001 100 -3.0091 0.0693 0.0694 2.0017 0.0285 0.028510 0.0001 100 -3.2882 0.7247 0.8077 2.2054 0.3094 0.351612500 0.1 99 -3.0210 0.2540 0.2545 2.0135 0.1097 0.10991250 0.1 100 -2.9357 0.0107 0.0148 1.9577 0.0044 0.006212500 0.01 100 -3.1831 0.5116 0.5451 2.1209 0.2213 0.23601250 0.01 100 -3.0080 0.0100 0.0101 2.0054 0.0039 0.0039125 0.01 100 -3.0198 0.0574 0.0578 2.0154 0.0237 0.024012500 0.001 99 -3.1176 0.3545 0.3684 2.0776 0.1521 0.15811250 0.001 100 -3.0068 0.0084 0.0084 2.0053 0.0033 0.0034125 0.001 100 -3.0218 0.0684 0.0689 2.0140 0.0276 0.027812.5 0.001 100 -3.3832 0.4678 0.6146 2.2327 0.1958 0.2500125 0.0001 100 -3.0367 0.0606 0.0619 2.0231 0.0211 0.021712.5 0.0001 100 -3.3691 0.5102 0.6464 2.2440 0.2127 0.272315000 0.1 100 -3.0460 0.1571 0.1592 2.0305 0.0681 0.06901500 0.1 100 -2.9361 0.0106 0.0147 1.9583 0.0044 0.006215000 0.01 98 -3.1179 0.3642 0.3781 2.0769 0.1569 0.16281500 0.01 100 -2.9827 0.0090 0.0093 1.9902 0.0036 0.0036150 0.01 100 -3.0107 0.0425 0.0426 2.0162 0.0173 0.017615000 0.001 97 -3.0953 0.4358 0.4448 2.0632 0.1868 0.19081500 0.001 100 -2.9894 0.0102 0.0103 1.9933 0.0038 0.0039150 0.001 100 -3.0302 0.0567 0.0576 2.0205 0.0228 0.023215 0.001 100 -3.3545 0.5491 0.6748 2.2224 0.2236 0.2731150 0.0001 100 -3.0182 0.0399 0.0403 2.0102 0.0146 0.014715 0.0001 100 -3.3157 0.4204 0.5200 2.1989 0.1615 0.2011183

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Anhang HSch�atzwerte f�ur�nanzwirtschaftliche Datens�atzeIm folgenden sind alle Sch�atzwerte f�ur diejenigen Datens�atze aus der Praxis auf-gelistet, die im Rahmen der Untersuchung von �nanzwirtschaftlichen Datens�atzenermittelt wurden. Ein �nanzwirtschaftlicher Datensatz wurde dabei sowohl unter derAnnahme eines Vasicek-Modells als auch unter der Annahme eines CIR-Modells un-tersucht. Bez�uglich jeder Laufzeit wurden drei verschiedene T -Werte getestet. Derkleinste T -Wert gibt die Anzahl der Jahre des Beobachtungszeitraums an, das mitt-lere T die Anzahl der Monate und das gr�o�te T die Anzahl der Tage (also gerade n).Tabelle H.1: Untersuchung des REX/Renditewerte f�ur das Vasicek-Modell, n = 1485.Laufzeit (Jahre) T � � � ��=�1 5.94 0.589984 -0.045024 -0.675804 -15.0098611 71.28 0.170314 -0.003752 -0.056317 -15.0098611 1485 0.037314 -0.000180 -0.002703 -15.0166675 5.94 0.782045 -0.171508 0.444080 2.5892675 71.28 0.225757 -0.014292 0.037007 2.5893515 1485 0.049461 -0.000686 0.001776 2.58892110 5.94 0.846743 -0.522856 3.172294 6.06724210 71.28 0.244434 -0.043571 0.264358 6.06729210 1485 0.053553 -0.002091 0.012689 6.068388Tabelle H.2: Untersuchung des REX/Renditewerte f�ur das CIR-Modell, n = 1485.Laufzeit (Jahre) T � � � ��=�1 5.94 0.241359 -0.106097 -0.310879 -2.9301391 71.28 0.069674 -0.008841 -0.025907 -2.9303251 1485 0.015265 -0.000424 -0.001244 -2.9339625 5.94 0.305137 -0.214263 0.724921 3.3833235 71.28 0.088085 -0.017855 0.060410 3.3833665 1485 0.019299 -0.000857 0.002900 3.38389710 5.94 0.320451 -0.549178 3.356071 6.11108110 71.28 0.092506 -0.045765 0.279673 6.11106710 1485 0.020267 -0.002197 0.013424 6.110150185

Tabelle H.3: Untersuchung des REX/Kurswerte f�ur das Vasicek-Modell, n = 2383.Laufzeit (Jahre) T � � � ��=�1 9.532 0.583364 0.004691 -0.405629 86.4696231 114.384 0.168403 0.000391 -0.033802 86.4501281 2383 0.036895 0.000019 -0.001623 85.4210535 9.532 3.013492 -0.013601 1.899075 139.6276015 114.384 0.869920 -0.001133 0.158256 139.6787295 2383 0.190590 -0.000054 0.007596 140.66666710 9.532 5.754870 -0.256119 26.556780 103.68922310 114.384 1.661288 -0.021343 2.213065 103.69043710 2383 0.363970 -0.001024 0.106227 103.737305Tabelle H.4: Untersuchung des REX/Kurswerte f�ur das CIR-Modell, n = 2383.Laufzeit (Jahre) T � � � ��=�1 9.532 0.058048 0.004172 -0.353228 84.6663471 114.384 0.016757 0.000348 -0.029436 84.5862071 2383 0.003671 0.000017 -0.001413 83.1176475 9.532 0.297989 -0.013601 1.899086 139.6284105 114.384 0.086022 -0.001133 0.158257 139.6796115 2383 0.018846 -0.000054 0.007596 140.66666710 9.532 0.574188 -0.259624 26.908800 103.64522710 114.384 0.165754 -0.021635 2.242400 103.64686610 2383 0.036315 -0.001038 0.107635 103.694605Tabelle H.5: Untersuchung des Dt. Pfandbriefs/Renditewerte f�ur das Vasicek-Modell, n = 1850.Laufzeit (Jahre) T � � � ��=�1 7.4 0.627145 -0.159237 1.269705 7.9736811 88.8 0.181041 -0.013270 0.105809 7.9735491 1850 0.039664 -0.000637 0.005079 7.9733125 7.4 0.578792 -0.227524 1.799254 7.9079755 88.8 0.167083 -0.018960 0.149938 7.9081225 1850 0.036606 -0.000910 0.007197 7.90879110 7.4 0.491949 -0.249922 1.973656 7.89708810 88.8 0.142013 -0.020827 0.164471 7.89700910 1850 0.031114 -0.001000 0.007895 7.895000Tabelle H.6: Untersuchung des Dt. Pfandbriefs/Renditewerte f�ur das CIR-Modell, n = 1850.Laufzeit (Jahre) T � � � ��=�1 7.4 0.232878 -0.185292 1.458664 7.8722451 88.8 0.067226 -0.015441 0.121555 7.8722231 1850 0.014729 -0.000741 0.005835 7.8744945 7.4 0.213323 -0.234598 1.851323 7.8914705 88.8 0.061581 -0.019550 0.154277 7.8914075 1850 0.013492 -0.000938 0.007405 7.89445610 7.4 0.178707 -0.252849 1.995832 7.89337510 88.8 0.051588 -0.021071 0.166319 7.89326610 1850 0.011302 -0.001011 0.007983 7.896142186

Tabelle H.7: Untersuchung des PEX/Kurswerte f�ur das Vasicek-Modell, n = 1853.Laufzeit (Jahre) T � � � ��=�1 7.412 0.588093 -0.156523 15.575340 99.5083151 88.944 0.169768 -0.013044 1.297945 99.5051361 1853 0.037194 -0.000626 0.062301 99.5223645 7.412 2.377533 -0.234102 22.974840 98.1402985 88.944 0.686335 -0.019508 1.914570 98.1428135 1853 0.150368 -0.000936 0.091899 98.18269210 7.412 3.350666 -0.258542 24.707370 95.56424110 88.944 0.967254 -0.021545 2.058947 95.56495710 1853 0.211915 -0.001034 0.098829 95.579304Tabelle H.8: Untersuchung des PEX/Kurswerte f�ur das CIR-Modell, n = 1853.Laufzeit (Jahre) T � � � ��=�1 7.412 0.058762 -0.155197 15.442570 99.5030191 88.944 0.016963 -0.012933 1.286880 99.5035951 1853 0.003716 -0.000621 0.061770 99.4685995 7.412 0.237373 -0.231572 22.721010 98.1163965 88.944 0.068523 -0.019298 1.893417 98.1146755 1853 0.015013 -0.000926 0.090884 98.14686810 7.412 0.339087 -0.256177 24.476450 95.54507210 88.944 0.097886 -0.021348 2.039704 95.54543810 1853 0.021446 -0.001025 0.097906 95.518049

Tabelle H.9: Untersuchung des LIBOR-Zinssatzes f�ur das Vasicek-Modell, n = 1000.Laufzeit (Monate) T � � � ��=�1 4 0.745619 -0.549687 1.580094 2.8745341 48 0.215242 -0.045807 0.131674 2.8745391 1000 0.047157 -0.002199 0.006320 2.8740343 4 0.704122 -0.508278 1.422743 2.7991433 48 0.203263 -0.042357 0.118562 2.7991123 1000 0.044533 -0.002033 0.005691 2.7993116 4 0.732259 -0.503559 1.444762 2.8691026 48 0.211385 -0.041963 0.120397 2.8704916 1000 0.046312 -0.002014 0.005779 2.86941412 4 0.795192 -0.439171 1.302772 2.96643412 48 0.229552 -0.036598 0.108564 2.96639212 1000 0.050292 -0.001757 0.005211 2.965851187

Tabelle H.10: Untersuchung des LIBOR-Zinssatzes f�ur das CIR-Modell, n = 1000.Laufzeit (Monate) T � � � ��=�1 4 0.341520 -0.618020 1.905802 3.0837221 48 0.098588 -0.051502 0.158817 3.0837051 1000 0.021600 -0.002472 0.007623 3.0837383 4 0.324020 -0.571696 1.722217 3.0124703 48 0.093536 -0.047641 0.143518 3.0124893 1000 0.020493 -0.002287 0.006889 3.0122436 4 0.338264 -0.580511 1.805368 3.1099636 48 0.097648 -0.048376 0.150447 3.1099516 1000 0.021394 -0.002322 0.007221 3.10981912 4 0.366469 -0.500081 1.589558 3.17860112 48 0.105790 -0.041673 0.132463 3.17862912 1000 0.023178 -0.002000 0.006358 3.179000Tabelle H.11: Untersuchung des Swap-Zinssatzes f�ur das Vasicek-Modell, n = 2594.Laufzeit (Jahre) T � � � ��=�2 10.376 0.847558 -0.059365 0.333786 5.6226062 124.512 0.244669 -0.004947 0.027816 5.6228022 2594 0.053604 -0.000237 0.001335 5.6329114 10.376 0.809673 -0.097952 0.615685 6.2855794 124.512 0.233733 -0.008163 0.051307 6.2853124 2594 0.051208 -0.000392 0.002463 6.2831637 10.376 0.744469 -0.172178 1.191835 6.9221107 124.512 0.214910 -0.014348 0.099320 6.9222197 2594 0.047084 -0.000689 0.004767 6.91872310 10.376 0.736825 -0.265170 1.916176 7.22621710 124.512 0.212703 -0.022097 0.159681 7.22636610 2594 0.046601 -0.001061 0.007665 7.224317Tabelle H.12: Untersuchung des Swap-Zinssatzes f�ur das CIR-Modell, n = 2594.Laufzeit (Jahre) T � � � ��=�2 10.376 0.332044 -0.058749 0.329772 5.6132362 124.512 0.095853 -0.004896 0.027481 5.6129292 2594 0.021000 -0.000235 0.001319 5.6127664 10.376 0.310110 -0.106022 0.670695 6.3260004 124.512 0.089521 -0.008835 0.055891 6.3260894 2594 0.019613 -0.000424 0.002683 6.3278307 10.376 0.278276 -0.177676 1.231181 6.9293607 124.512 0.080331 -0.014806 0.102598 6.9294897 2594 0.017600 -0.000711 0.004925 6.92686410 10.376 0.271786 -0.272713 1.971621 7.22965610 124.512 0.078458 -0.022726 0.164302 7.22969310 2594 0.017189 -0.001091 0.007886 7.228231188

Symbole und Abk�urzungenIN Menge der nat�urlichen ZahlenIN0 Menge der nat�urlichen Zahlen einschlie�lich der NullIR Menge der reellen ZahlenIR+ Menge der positiven reellen ZahlenIR+0 Menge der positiven reellen Zahlen einschlie�lich der NullIR� Menge der negativen reellen ZahlenIRd d-dimensionaler euklidischer Raum, d 2 INIRd;r Menge aller (d� r)-Matrizen mit reellen Eintr�agendet(M) Determinate der quadratischen Matrix MMT das Transponierte der Matrix MEd d-dimensionale Einheitsmatrixjxj euklidischer Abstand f�ur x = (x1; x2; : : : ; xd)T 2 IRd=s dPi=1x2i (= Betrag im eindimensionalen Fall)a ^ b min(a; b)a _ b max(a; b)C1 Menge der stetig di�erenzierbaren Funktionen ineiner VariablenC2 Menge der zweimal stetig di�erenzierbaren Funktionen ineiner VariablenC1;2 Menge der Funktionen in zwei Variablen, die bez�uglich derersten Variablen stetig di�erenzierbar und bez�uglich derzweiten Variablen zweimal stetig di�erenzierbar sindC2;2 Menge der Funktionen in zwei Variablen, die bez�uglich jederder beiden Variablen zweimal stetig di�erenzierbar sind�ij Kronecker-Delta (i; j 2 IN)= � 1 falls i = j0 falls i 6= j1A Indikatorfunktion zur Menge A, d.h.:1A(x) = � 1 falls x 2 A0 falls x =2 AL2(; P ) = �f : �! IRd ��� R jf(!)j2 dP (!) < 1�

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�(Xsj0 � s � t) die von den Zufallsvariablen Xs; 0 � s � t,erzeugte �-AlgebraB eindimensionale Borel'sche �-AlgebraB(IRd) d-dimensionale Borel'sche �-Algebra�d d-dimensionales Lebesgue-Ma�P ( � ) WahrscheinlichkeitP�( � ) Wahrscheinlichkeit in Abh�angigkeit eines Parameters �P ( � j � ) bedingte WahrscheinlichkeitP�( � j � ) bedingte Wahrscheinlichkeit in Abh�angigkeit einesParameters �E( � ) ErwartungswertE�( � ) Erwartungswert in Abh�angigkeit eines Parameters �E( � j � ) bedingter ErwartungswertE�( � j � ) bedingter Erwartungswert in Abh�angigkeit eines Parameters �E��( � j � ) bedingter Erwartungswert bzgl. der Dichte ��V ar( � ) VarianzV ar( � j � ) bedingte VarianzV ar�( � j � ) bedingte Varianz in Abh�angigkeit eines Parameters �N(�; �2) Normalverteilung mit Erwartungswert � und Varianz �2Nd(�;�) d-dimensionale Normalverteilung mit Erwartungsvektor �und Kovarianzmatrix ��(x) Wert der Gamma-Funktion an der Stelle x�(b; p) Gamma-Verteilung mit den Parametern b und p:Eine Zufallsvariable X ist �(b; p)-verteilt, falls sichihre Dichte fX schreiben l�a�t alsfX(x) = bp�(p) e�bx xp�1; x 2 IR+.d= ist verteilt wied�������! Konvergenz in Verteilungf:s:�������! fast sichere KonvergenzP�������! Konvergenz in WahrscheinlichkeitL1( � )�������! L1-Konvergenz bzgl. des in Klammern angegebenen Ma�es190

Abbildungsverzeichnis3.1 Beispiel f�ur einen Pfad eines Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses . . . . . . 323.2 Beispiel f�ur einen Pfad eines Prozesses im Vasicek-Modell . . . . . . . 333.3 Beispiel f�ur einen Pfad eines Prozesses im CIR-Modell . . . . . . . . . 343.4 Beispiel f�ur einen Pfad eines Prozesses im verallgem. CIR-Modell ( = 34) 393.5 Beispiel f�ur einen Pfad eines Prozesses im verallgem. CIR-Modell ( = 1) 413.6 Beispiel f�ur einen Pfad eines Prozesses im verallgem. CIR-Modell ( = 54) 413.7 Beispiel f�ur einen Pfad eines Prozesses im verallgem. CIR-Modell ( = 32) 417.1 Diskretisierungskontrollverfahren: QQ-Plot zu einem Pfad im CIR-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.2 Pedersen-Kontrollverfahren: QQ-Plot zu einem Pfad im CIR-Modell . 998.1 Diskretisierungskontrollverfahren: QQ-Plot zu einem Pfad bei einemOrnstein-Uhlenbeck-Proze� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.2 Pedersen-Kontrollverfahren: QQ-Plot zu einem Pfad bei einem Ornstein-Uhlenbeck-Proze� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.3 Diskretisierungskontrollverfahren: QQ-Plot zu einem Pfad im Vasicek-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.4 Pedersen-Kontrollverfahren: QQ-Plot zu einem Pfad im Vasicek-Modell 1098.5 Diskretisierungskontrollverfahren: QQ-Plot zu einem Pfad im CIR-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.6 Pedersen-Kontrollverfahren: QQ-Plot zu einem Pfad im CIR-Modell . 1128.7 Diskretisierungskontrollverfahren: QQ-Plot zu einem Pfad im verall-gemeinerten CIR-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158.8 Pedersen-Kontrollverfahren: QQ-Plot zu einem Pfad im verallgemei-nerten CIR-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159.1 T -Abh�angigkeit beim 5-j�ahrigen REX mit Renditewerten im Vasicek-Modell mit dem Diskretisierungskontrollverfahren . . . . . . . . . . . . 1239.2 T -Abh�angigkeit beim 7-j�ahrigen Swap im CIR-Modell mit dem Pedersen-Kontrollverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.3 Renditen des REX ab 12.6.91 auf Tagesbasis . . . . . . . . . . . . . . 1259.4 QQ-Plot und Histogramm f�ur 5-j�ahrigen REX mit Renditewerten beimVasicek-Modell, erstellt mit dem Diskretisierungskontrollverfahren . . 1269.5 QQ-Plot und Histogramm f�ur 5-j�ahrigen REX mit Renditewerten beimVasicek-Modell, erstellt mit dem Pedersen-Kontrollverfahren . . . . . . 1279.6 QQ-Plot und Histogramm f�ur 5-j�ahrigen REX mit Renditewerten beimCIR-Modell, erstellt mit dem Diskretisierungskontrollverfahren . . . . 128191

9.7 QQ-Plot und Histogramm f�ur 5-j�ahrigen REX mit Renditewerten beimCIR-Modell, erstellt mit dem Pedersen-Kontrollverfahren . . . . . . . 1289.8 6-Monats-LIBOR ab 13.5.93 auf Tagesbasis . . . . . . . . . . . . . . . 1299.9 QQ-Plot und Histogramm f�ur den 6-Monats-LIBOR beim Vasicek-Modell, erstellt mit dem Diskretisierungskontrollverfahren . . . . . . . 1309.10 QQ-Plot und Histogramm f�ur den 6-Monats-LIBOR beim Vasicek-Modell, erstellt mit dem Pedersen-Kontrollverfahren . . . . . . . . . . 1309.11 QQ-Plot und Histogramm f�ur den 6-Monats-LIBOR beim CIR-Modell,erstellt mit dem Diskretisierungskontrollverfahren . . . . . . . . . . . . 1319.12 QQ-Plot und Histogramm f�ur den 6-Monats-LIBOR beim CIR-Modell,erstellt mit dem Pedersen-Kontrollverfahren . . . . . . . . . . . . . . . 1329.13 7-j�ahriger Swap-Satz ab 1.1.88 auf Tagesbasis . . . . . . . . . . . . . . 1329.14 QQ-Plot f�ur den 7-j�ahrigen Swap beim Vasicek-Modell, erstellt mitdem Diskretisierungskontrollverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.15 QQ-Plot f�ur den 7-j�ahrigen Swap beim CIR-Modell, erstellt mit demDiskretisierungskontrollverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.16 QQ-Plot f�ur den 7-j�ahrigen Swap beim Vasicek-Modell, erstellt mitdem Pedersen-Kontrollverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.17 QQ-Plot f�ur den 7-j�ahrigen Swap beim CIR-Modell, erstellt mit demPedersen-Kontrollverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134C.1 Beobachtungen eines Beispielpfads des untersuchten Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148D.1 Beobachtungen eines Beispielpfads des untersuchten Vasicek-Modells . 155E.1 Beobachtungen eines Beispielpfads des untersuchten CIR-Modells . . . 161F.1 Beobachtungen eines Beispielpfads des untersuchten verallgemeinertenCIR-Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

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Tabellenverzeichnis3.1 Zusammenstellung der Mean-Reverting-Prozesse aus Kapitel 3 . . . . 436.1 Sch�atzer aus dem Ansatz der einfachen Martingalsch�atzfunktion f�urspezielle Mean-Reverting-Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828.1 �-Sch�atzung beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze� . . . . . . . . . . . . . . 1048.2 MLS (�Ubergangsdichte) beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze�, Tab. 1 . . . 1058.3 MLS (�Ubergangsdichte) beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze�, Tab. 2 . . . 1058.4 MLS (kontinuierl. Ansatz) beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze�, Tab. 3 . 1058.5 MLS (kontinuierl. Ansatz) beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze�, Tab. 4 . 1068.6 Einfache/optimale MSF beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze� . . . . . . . 1068.7 �-Sch�atzung im Vasicek-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.8 MLS (�Ubergangsdichte) beim Vasicek-Modell . . . . . . . . . . . . . . 1088.9 Einfache/optimale MSF im Vasicek-Modell, Tab. 1 . . . . . . . . . . . 1088.10 Einfache/optimale MSF im Vasicek-Modell, Tab. 2 . . . . . . . . . . . 1088.11 �-Sch�atzung im CIR-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.12 Einfache MSF im CIR-Modell, Tab. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.13 Einfache MSF im CIR-Modell, Tab. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.14 Optimale MSF im CIR-Modell, Tab. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.15 Optimale MSF im CIR-Modell, Tab. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.16 MLS (Di�usionsapproximation) im CIR-Modell . . . . . . . . . . . . . 1118.17 �-Sch�atzung im verallgemeinerten CIR-Modell . . . . . . . . . . . . . 1138.18 Einfache MSF im verallgemeinerten CIR-Modell, Tab. 1 . . . . . . . . 1138.19 Einfache MSF im verallgemeinerten CIR-Modell, Tab. 2 . . . . . . . . 1138.20 MLS (Di�usionsapproximation) im verallgem. CIR-Modell . . . . . . . 1148.21 Simultane �- -Sch�atzung im verallgem. CIR-Modell, Beispiel 1, Tab. 1 1168.22 Simultane �- -Sch�atzung im verallgem. CIR-Modell, Beispiel 1, Tab. 2 1168.23 Simultane �- -Sch�atzung im verallgem. CIR-Modell, Beispiel 2, Tab. 1 1178.24 Simultane �- -Sch�atzung im verallgem. CIR-Modell, extreme Beispiele 1178.25 Simultane �- -Sch�atzung im verallgem. CIR-Modell, Beispiel 2, Tab. 2 1188.26 Simultane �- -Sch�atzung im verallgem. CIR-Modell, Beispiel 3 . . . . 1188.27 Simultane �- -Sch�atzung im verallgem. CIR-Modell, Beispiel 4 . . . . 1189.1 Sch�atzwerte des REX/Kurswerte mit 5-j�ahriger Laufzeit . . . . . . . . 1219.2 Sch�atzwerte des PEX mit 10-j�ahriger Laufzeit . . . . . . . . . . . . . . 1229.3 Sch�atzwerte des Dt. Pfandbriefs mit 1-j�ahriger Laufzeit . . . . . . . . 1229.4 Sch�atzwerte des REX mit Renditewerten mit 5-j�ahriger Laufzeit . . . 1259.5 Sch�atzwerte des 6-Monats-LIBOR-Satzes . . . . . . . . . . . . . . . . 1299.6 Sch�atzwerte des 7-Jahre-Swapsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133193

C.1 Sch�atzergebnisse beim Ornstein-Uhlenbeck-Proze� . . . . . . . . . . . 149D.1 Sch�atzergebnisse beim Vasicek-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156E.1 Sch�atzergebnisse beim Cox-Ingersoll-Ross-Modell . . . . . . . . . . . . 162F.1 Sch�atzergebnisse beim verallgemeinerten CIR-Modell . . . . . . . . . . 170G.1 Sch�atzwerte der simultanen �- -Sch�atzung, Beispiel 1 . . . . . . . . . 176G.2 Sch�atzwerte der simultanen �- -Sch�atzung, Beispiel 2 . . . . . . . . . 178G.3 Sch�atzwerte der simultanen �- -Sch�atzung, Beispiel 3 . . . . . . . . . 180G.4 Sch�atzwerte der simultanen �- -Sch�atzung, Beispiel 4 . . . . . . . . . 182H.1 Untersuchung des REX/Renditewerte f�ur das Vasicek-Modell . . . . . 185H.2 Untersuchung des REX/Renditewerte f�ur das CIR-Modell . . . . . . . 185H.3 Untersuchung des REX/Kurswerte f�ur das Vasicek-Modell . . . . . . . 186H.4 Untersuchung des REX/Kurswerte f�ur das CIR-Modell . . . . . . . . . 186H.5 Untersuchung des Dt. Pfandbriefs/Renditewerte f�ur das Vasicek-Modell186H.6 Untersuchung des Dt. Pfandbriefs/Renditewerte f�ur das CIR-Modell . 186H.7 Untersuchung des PEX/Kurswerte f�ur das Vasicek-Modell . . . . . . . 187H.8 Untersuchung des PEX/Kurswerte f�ur das CIR-Modell . . . . . . . . . 187H.9 Untersuchung des LIBOR-Zinssatzes f�ur das Vasicek-Modell . . . . . . 187H.10 Untersuchung des LIBOR-Zinssatzes f�ur das CIR-Modell . . . . . . . . 188H.11 Untersuchung des Swap-Zinssatzes f�ur das Vasicek-Modell . . . . . . . 188H.12 Untersuchung des Swap-Zinssatzes f�ur das CIR-Modell . . . . . . . . . 188

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Indexadaptiert, 15aktives Zinsmanagement, 119Anfangsverteilung, 9bedingte Verteilungsfunktion, 94Bedingung des in�nitesimalen Moments,4Beobachtungshorizont, 143Beobachtungszeitpunkte, 48Beobachtungszeitraum, 48, 143Bester Sch�atzer f�ur das Filter-Problem,67Borel'sche �-Algebra, 15Brown'sche Bewegung, 13canonical scale, 6CIR, 34Clusterung, 130Cox-Ingersoll-Ross-Modell, 34Di�usion, 21Di�usionsapproximation, 61Di�usionsparameter, 5Di�usionsproze� - 1. Version, 4Di�usionsproze� - 2. Version, 21Diskretisierungskontrollverfahren, 94Drift, 5Dynkin-Bedingung, 4e daten, 100eindimensionaler Ito-Proze�, 18einfache Martingalsch�atzfunktion, 79Elementarfunktion, 16Entclusterung, 130Ersteintrittszeit, 5erwartete in�nitesimale Ver�anderung,5Euler-Approximation, 144Euler-Schema, 144Euro-Anleihen, 119f daten, 100

Feller-McKean-Proze�, 22Filter-Problem, 67Gamma-Verteilung, 190Gau�-Klammer, 50Gau�-Proze�, 14gesch�atzte Zuw�achse, 94Glivenko-Cantelli-Theorem, 96Green'sche Funktion, 7homogene SDE, 22hyperbolischer Di�usionsproze�, 137in�nitesimale Drift, 5in�nitesimale Varianz, 5in�nitesimaler Erwartungswert, 5inverse Gammaverteilung, 40Ito-Di�usion, 21Ito-Integral, 16Ito-Isometrie, 17Ito-Taylor-Formel, 143Kolmogorov'sche R�uckw�artsgleichung,9Kolmogorov'sche Vorw�artsgleichung, 10Kompensator, 76Landau-Symbol, 5langschw�anzige Verteilung, 137Laufzeit, 100Lebesgue-Ma�, 63LIBOR, 119Likelihood-Proze�, 52Likelihood-Quotient, 52Likelihood-Ratio, 52lineare SDE, 22lineare SDE im engeren Sinn, 22Lipschitzbedingung, 19lokale Lipschitz-Bedingung, 62London interbank o�ered rate, 119Markovproze�, 3197

Markovzeit, 3Martingalsch�atzfunktion, 75Maximum-Likelihood-Sch�atzer, 51Mean-Reversion-Force, 29Mean-Reversion-Level, 29Mean-Reversion-Modell, 29Mean-Reverting-Proze�, 29mehrdimensionale Brown'sche Bewegung,20mehrdimensionaler Ito-Proze�, 21Milstein-Schema, 144MLS, 51Modellauswahlverfahren, 93Modellfalsi�kation, 94Modellkontrollverfahren, 93Modellveri�kation, 94MSF, 76natural scale, 6optimale Martingalsch�atzfunktion, 83Ornstein-Uhlenbeck-Proze�, 30Pedersen-Kontrollverfahren, 94PEX, 119Pfandbrief, 119Pfandbrie�ndex, 119prim�are Sch�atzung, 104Programmbeschreibung, 99progressiv me�bar, 15quadratische Charakteristik, 83quadratische Variation, 49quasi linksseitige Stetigkeit, 4Radon-Nikodym-Dichte, 6Referenzzinssatz, 119regul�ar, 5Regularit�atseigenschaften, 3rekurrent, 5Rentenindex, 119Rentenportfolio, 119Residuen, 95REX, 119s daten, 100scale function, 6schwache L�osung, 19Score-Funktion, 76SDE, 18

sekund�are Sch�atzung, 104Simulationsschrittweite, 143Simulationszeitpunkte, 143simultane �- -Sch�atzung, 50speed density, 6speed function, 6speed measure, 6Standard-Brown'sche Bewegung, 13Standardproze�, 3starke Konvergenz mit Ordnung �, 143starke L�osung, 19station�are Verteilung, 10statistisches Modell, 94stetige Version, 16stochastic di�erential equation, 18stochastische Di�erentialgleichung, 18stochastisches Integral, 18Subindex, 119Swap, 119tail, 126Taylor-1.5-Schema, 145Transformation eines Di�usionsprozes-ses, 6Tschebyschev'sche Ungleichung, 4�Ubergangsdichte, 9�Ubergangsverteilung, 9unabh�angige Kopien, 50unerreichbar, 5Vasicek-Modell, 32verallgemeinertes CIR-Modell, 35Volatilit�at, 20Wachstumsbedingung, 19Wiener Proze�, 13zeithomogen, 5Zuw�achse, 94

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Eidesstattliche Erkl�arungHiermit versichere ich, da� ich die vorliegende Arbeit selbst�andig und ohne Benutzunganderer als der angegebenen Hilfsmittel angefertigt habe. Alle Stellen, die w�ortlichoder sinngem�a� aus anderen Schriften entnommen wurden, sind als solche kenntlichgemacht.Guntersblum, den 9. September 1997

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