HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

PGS TS TÔ VĂN BAN (Chủ biên), ThS Nguyễn Thị Thu Hương, ThS Phan Thu Hà

ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT BÀI GIẢNG

GIẢI TÍCH (Dùng cho hệ cao đẳng)

Hà nội, 9-2014

1

BỘ MÔN DUYỆT Chủ nhiệm Bộ môn Tô Văn Ban

ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT BÀI GIẢNG

(Dùng cho hệ Cao đẳng, 75 tiết giảng)

Học phần: GIẢI TÍCH (Cho Cao Đẳng) Nhóm môn học: Toán Cao cấp Bộ môn: Toán Khoa: Công nghệ thông tin

Thay mặt nhóm môn học

Tô Văn Ban

Thông tin về giáo viên TT Họ tên giáo viên Học hàm Học vị 1 Tô Văn Ban Phó giáo sư TS

2 Nguyễn Thị Thu Hương Giảng viên ThS 3 Phan Thu Hà Giảng viên ThS

Địa điểm làm việc: Bộ Môn Toán, P1301, Nhà S4, 236 Hoàng Quốc Việt Điện thoại, email: 069 515 330, bomontoan_hvktqs@yahoo.com

Bài giảng1: Giới hạn – Liên tục – Đạo hàm

Chương I: Giới hạn, liên tục, phép tính vi phân của hàm một biến Mục: §1.1 Giới hạn của dãy số (1t)

§1.2 Giới hạn của hàm số (1t) §1.3 Sự liên tục của hàm số (1t) §1.4. Đạo hàm và vi phân (1t) Bài tập Giới hạn của hàm số (1t)

Tiết thứ: 1-5, Tuần thứ: 1 - Mục đích, yêu cầu:

Nắm sơ lược về Học phần, các chính sách riêng của giáo viên, địa chỉ Giáo viên, bầu lớp trưởng Học phần. Nắm được các khái niệm về giới hạn dãy số, vài tính chất; Tìm giới hạn của một số dãy thông thường, dãy đơn điệu; Tìm giới hạn của một số hàm dùng các phép thay tương đương; Nắm được các tính chất của hàm liên tục, liên tục trên đoạn kín, giới nội. Nắm được những khái niệm căn bản về đạo hàm, tính đúng đạo hàm một số hàm số

- Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu

- Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t

2

- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính:

Giới thiệu môn học GIẢI TÍCH (Cho CĐ - 15 phút)

Giải tích toán học là bộ môn của toán học liên quan đến những vấn đề của biến đổi và chuyển động. Phương tiện chủ yếu của nó là nghiên cứu các đại lượng vô cùng bé. Nó đề cập đến chuyện những đại lượng nọ tiến đến những đại lượng kia. Hai nhánh chính của giải tích là phép tính vi phân và phép tính tích phân được liên hệ với nhau bởi định lý cơ bản của giải tích.

Ngày nay, giải tích dùng để tính toán quỹ đạo của các vệ tinh, dự báo kích cỡ quần thể, các chỉ số kinh tế, dự báo thời tiết, đo thông số tim mạch, tính toán phí bảo hiểm ...

Một số chứng minh định lý ... được lược giản. Chúng tôi chú trọng đến khía cạnh áp dụng của vấn đề. Những ví dụ, bài tập có tính ứng dụng cao trả lời cho người học câu hỏi học phần này, để làm gì, tác dụng ra sao với các môn học tiếp, với năng lực người kỹ sư tương lai.

Chúng ta sẽ thấy rất nhiều ví dụ, bài tập liên quan đến thực tiễn Các khái niệm, định lý, tính chất ... thường được phát biểu bằng

lời và kết hợp với công thức... Chính sách riêng

Mỗi lần lên bảng chữa bài tập đúng được ghi nhận, cộng vào điểm quá trình 0.5 điểm. Chữa bài tập sai không bị trừ điểm.

Không đi học hơn 4 buổi trở lên sẽ không được thi.

BÀI TẬP VỀ NHÀ Chữa trên lớp các bài sau

Chương 1: Giới hạn, liên tục … (tài liệu 1) 1(a,c), 2(a,c) 3(a,b), 4(b,d),

5(a,c), 6(a,b), 7(b), 8, 9(a), 10(b), 11(a,b), 12(a,b), 13, 14(a,b,c,d), 15(c,d,e), 16(b,c), 17(a,b), 18(a,b), 19(b,c), 20(a,b), 21, 22(b), 23(b,c). Chương 2: Tích phân (tài liệu 1)

1(b,c), 2(b), 3(a,b), 4(a,b), 5(b,c), 6(b,c,d), 7, 8, 9(a),

10(b,c,d,e), 11(a,b,c), 12(a,b,c), 13(a,b), 14(a), 15(b), Chương 3: Hàm nhiều biến (tài liệu 2)

3

1(a,b,c), 2(a,b), 3(c,d), 4(b,c), 5(b,c,d,e), 6(a), 7(a,b), 9, 10(a,b), 11(a,b), Chương 4: Tích phân bội – đường – mặt (tài liệu 2)

1(a,b,c,f,g), 2(a,b,c,d), 3(a,b,c), 4(a,b,c). Chương 5: Chuỗi (tài liệu 1)

1(a,b,c), 2(a,b), 3(a,b,c), 4(a,b,c), 5(a,b), 6(a,b,c,e), 7(b,c,d,e), 8(a,b,c,d). Chương 6: PTVP (tài liệu 2)

1(a,b,c,d), 2(a,b,c,d,h), 3(a,b,c,e), 4(a,b), 5(a,b,c), 6(a,b,c,d,e,g). (Khoảng trên 150 ý – Xem ở cuối tài liệu)

Tài liệu tham khảo TT Tên tài liệu Tác giả Nxb Năm xb 1 Giáo trình Giải tích I Tô Văn Ban Giáo dục 2012 2 Giáo trình Giải tích II Tô Văn Ban Giáo dục 2012 3 Toán học cao cấp

(T2,3) Nguyễn Đình Trí và

… Giáo dục 2007

4 Giải tích 1 Trần Bình KH và KT 2007 5 Bài tập giải tích Nguyễn Xuân Viên HVKTQS 2006 6 Bài tập Giải sẵn giải

tích I Trần Bình KH và KT 2007

7 Cho CĐ

CẤU TRÚC ĐỀ THI, CÁCH THỨC CHO ĐIỂM Câu số Về phần Số điểm tối đa Câu 1 Chương 1: Giới hạn, liên tục, đạo

hàm 1.5 đ

Câu 2 Chương 2: Tích phân 1.5 đ Câu 3 Chương 3: Hàm nhiều biến 2.0 đ Câu 4 Chương 4: Tích phân bội, tích

phân đường, tích phân mặt 2.0 đ

Câu 5 Chương 4: Chuỗi 1.5 đ Chương 6: Phương trình vi phân 1.5 đ

Điểm bài thi 10đ Điểm quá trình 10đ

Điểm chuyên cần 10đ Tổng điểm = điểm chuyên cần x 10%

+ điểm quá trình x 20% + điểm bài thi x 70% 10đ

Hình thức thi: Thi viết Bầu lớp trưởng lớp học phần. Kết quả: Số điện thoại giáo viên:

4

Địa chỉ Email cần: Webside cần: Danh sách SV (Ít nhất 7 cột kiểm tra sĩ số)

Cách đọc chữ cái Hy lạp

Chương 1 GIỚI HẠN, LIÊN TỤC, ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN

§ 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ (1 tiết) 1.1.1. Sự hội tụ - Phân kỳ a. Những khái niệm và kết quả mở đầu a.1. Dãy số Một ánh xạ xác định trên tập các số nguyên dương và nhận giá trị thực

u : , n u(n) được gọi là một dãy số.

1u u(1) : số hạng thứ nhất, …,

nu u(n) : số hạng thứ n hay số hạng tổng quát.

Ký hiệu dãy số bởi n{u ,n 1,2,...} hay n{u ,n 1} hay đơn giản n{u } . Dãy số cũng được viết dưới dạng khai triển: 1 2 nu ,u ,...,u ,...

Cũng hay xét các dãy n 0 0{u ,n n ,n 1,...} , chẳng hạn

1 1 1, n 1 , , n 3 , , n 1n 2 n 2 n 2

.

Chúng lần lượt là 1 1 1 1 1 1 1 1, , ,... , , , ,..., 1, , ,...3 4 5 5 6 7 2 3

a.2. Sự hội tụ, phân kỳ của dãy số Định nghĩa. Dãy n{u } được gọi là hội tụ đến giới hạn (hay có giới

hạn ) nếu với mọi số 0 , tồn tại N sao cho n| u | , n N . Khi đó ta viết n nn

lim u hay u (n ).

Hình ảnh trực quan của điều này là: Từ chỉ số N đủ lớn trở đi, nu sẽ "rơi" vào lân cận ( , ) .

Chú ý. Rất dễ dàng nhận được kết quả: n nn n

lim u lim | u | 0

.

5

a.3. Dãy bị chặn Ta nói dãy { nu } là bị chặn (tương ứng: bị chặn trên, bị chặn dưới) nếu

tập hợp n{u , n 1, 2, ...} là bị chặn (tương ứng: bị chặn trên, bị chặn dưới).

b. Tính chất về thứ tự của giới hạn Định lý 1.1. Giả sử n n{u }, {v } là hai dãy thỏa mãn điều kiện n nu v với n N nào đó

và tồn tại các giới hạn nnlim u u;

nnlim v v

. Khi đó u v .

Định lý 1.2 (Định lý kẹp). Cho n n n{u }, {v }, {w } là ba dãy. Nếu từ một chỉ số N nào đó trở đi xảy ra bất đẳng thức n n nu w v còn n n{u } và {v } cùng hội tụ đến giới hạn thì

n{w } cũng hội tụ đến .

n n nn

nn nn n

n N, u w v ;lim wlim u lim u

.

c. Các phép toán về giới hạn Định lý 1.3. Cho n n{u }, {v } là hai dãy, , , là ba số thực.

n n

n n

nn n

n

n n

(a ) u (n ) | u | | | (n ).(b) u 0 (n ) | u | | 0 | (n ).

u (n )(c) u v (n ).

v (n )(d) u (n ) u (n ).

nn n

n

nn n

n

u 0 (n )(e) u v 0 (n ).

{v }

u (n )(f ) u v (n ).

v (n )

bÞchÆn

n(g) u 0 (n ) thì n

1 1 (n )u

.

(h) n nu , v 0 (n ) thì nn n

ulim .v

d. Giới hạn vô hạn Ta nói dãy n{u } tiến đến + (hay n{u } có giới hạn + ) nếu: nL 0, N : n N, u L. Khi đó ta viết nn

lim u

hoặc nu (n ) .

Chúng ta dễ hiểu ý nghĩa của ký hiệu nu (n ) . Ta nói dãy n{u } tiến đến (hay n{u } có giới hạn , n{u } nhận

làm giới hạn) nếu: nL 0, N : n N, | u | L. Định lý 1.4. Cho hai dãy n n{u }, {v } .

6

n nn

nnn

N , n N, u vlim vlim u

.

Định lý 1.5. Cho hai dãy n n{u }, {v } .

nn n

n

nn n

n

nn n

n

* u (n )(a) u v (n )

v

* u (n )u v (n )

v (n )

* u (n )u v (n )

v (n )

bÞchÆn d­ í i

(b) nn n

n

u (n )u v (n )

C 0, N , n N, v C

(c) nu (n ) n

1 0 (n )u

.

(d) n

n n

u 0 (n ) 1 (n )N, n N, u 0 u

.

Như vậy, khi gặp các giới hạn dạng như ở Định lý trên, ta coi đấy là các giới hạn thông thường, không phải là dạng vô định, không cần phải "khử dạng vô định".

Ví dụ 1.1. Xét sự hội tụ của dãy n a , (a 0) .

Kết quả: nnlim a 1 (a 0).

(1.1)

Ngoài ra nnlim n 1

(Mạnh hơn!)

1.1.2. Dãy đơn điệu a. Định nghĩa. Dãy n{u } được gọi là tăng (giảm) nếu với mọi n

n n 1 n n 1u u (u u ) . Dãy tăng hoặc giảm gọi chung là dãy đơn điệu. Định lý 1.6. Dãy tăng (giảm), bị chặn trên (dưới) thì hội tụ. Hệ quả. Dãy tăng, không bị chặn trên thì hội tụ tới + , Dãy giảm, không bị chặn dưới thì hội tụ tới - . Ví dụ 1.2. Chứng minh được dãy sau đây tăng và bị chặn bởi 3:

n

nk 0

1 1 1 1u 1 ...k! 1! 2! n!

, n = 1, 2, . . .

Vậy dãy này có giới hạn, gọi là e. Ta biết e 2.718 281 828 .

(Một định nghĩa khác của số e là: n

n

1e lim 1n

). #

7

§ 1.2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (1 tiết) 1.2.1. Sơ lược về hàm số

Các phương pháp biểu diễn hàm số Hàm số được biểu diến theo một trong 4 cách:

Bằng biểu thức Bằng bảng số liệu Bằng đồ thị Bằng lời

1.2.2. Hàm số ngược a. Hàm số ngược Cho hàm số y f (x) với tập xác định là X, tập giá trị là Y. Giả sử

ánh xạ f : X Y

x X y f (x) Y

là một song ánh (đơn ánh và toàn ánh). Khi đó ánh xạ ngược 1x f (y) được gọi là hàm ngược của hàm y = f(x) đã cho.

Theo thói quen, ta dùng chữ x để chỉ đối số, chữ y để chỉ hàm số. Như vậy ta sẽ ký hiệu hàm ngược của hàm y f (x) là 1y f (x), x Y .

Tính chất. * Nếu hàm f(x) đồng biến (hay nghịch biến) thì hàm ngược cũng đồng biến (hay nghịch biến).

* Hàm f(x) là lẻ thì hàm ngược cũng lẻ; hàm chẵn không có hàm ngược.

* Đồ thị hàm ngược đối xứng với đồ thị hàm xuất phát qua phân giác của góc phần tư thứ nhất.

Ví dụ 1.3.1. 2y x , x 0 x y, y 0. Hàm ngược là y x .

Lưu ý rằng hàm 2y x , x không có hàm ngược. #

Ví dụ 1.4. Xét hàm số y sin x, x2 2

. Hàm số này đồng biến.

Vậy tồn tại hàm ngược, ký hiệu là arcsinx hay đầy đủ hơn y arcsin x, 1 x 1 . Đồ thị như Hình 2.1a. #

Ví dụ 1.5. Hàm số y tan x, x ;2 2

đồng biến, nó có hàm ngược, ký hiệu là

arc tan x - hay đầy đủ hơn - y arc tan x, x ( ; ) . Đây là hàm lẻ, đồng biến, và đồ thị của nó cho ở Hình 2.1b. Lưu ý rằng

x xarc tan( ) lim arc tan x ; arc tan( ) lim arc tan x .

2 2

#

8

Hình 1. 1. Hàm sinx và hàm arcsinx (a), và hàm arctan x (b)

b. Một số hàm sơ cấp cơ bản

Hàm lũy thừa: y x , x 0 ( ) .

Hàm số mũ: xy a (a 0) .

Hàm số logarit: ay log x, x 0 (0 a 1) .

Hàm lượng giác: y sin x, y cos x, y tan x, y cot x .

Hàm lượng giác ngược:

y arcsin x, x [ 1;1] là hàm ngược của hàm y sinx, x .2 2

y arccos x, x [ 1; 1] là hàm ngược của hàm y cosx, 0 x .

y arctan x, x ( ; ) là hàm ngược của hàm y tan x, x .2 2

y arccot x, x ( ; ) là hàm ngược của hàm y cot x, 0 x .

Hàm lượng giác hyperbolic: x xe ecosh x

2

: cos hyperbol;

x xe esinh x2

: sin hyperbol;

sinh xth xcosh x

: tan hyperlol;

cosh xcth xsinh x

: cotang hyperrbol.

Hàm sơ cấp: Gồm các hàm sơ cấp cơ bản, các hàm tạo bởi một số hữu hạn lần các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa và hợp các hàm sơ cấp cơ bản.

Lưu ý: Một số tài liệu dùng hàm: 1 1csc x , sec xsin x cosx

.

(b) (a)

9

1.2.4. Một số hàm số thông dụng khác a. Hàm bước nhảy đơn vị y (x)

d. Hàm dấu Hàm dấu sgn x (đọc là signum của x) (có thể viết sign x) cho bởi y ln x x ln y

Hình 1.2. Đồ thị của hàm bước nhảy đơn vị (trái) và hàm dấu (phải)

1.2.4. Giới hạn hàm số * Nếu giá trị của hàm số f(x) có thể làm cho gần số L một cách tùy ý

khi lấy x đủ gần a (nhưng khác a) thì ta nói rằng giới hạn của hàm f(x) khi x dần đến a bằng L, và ta viết

x alim f (x) L

.

(Chính xác là 0, 0, x : 0 x a thì f (x) L ).

* Nếu trong định nghĩa trên ta chỉ xét những giá trị của x bé hơn a, ta nhận được giới hạn trái của hàm f(x) khi x dần đến a, và ta viết

x alim f (x) L

.

Ta cũng nói, giới hạn của f(x) khi x dần đến a từ bên trái là L. * Chúng ta có thể định nghĩa tương tự cho giới hạn phải

x alim f (x) L

.

Mô tả giới hạn, giới hạn một phía cho ở Hình 2.2.

Hình 1.3. Giới hạn hàm số (a) 2 phía, (b) trái, (c) phải

Ví dụ 1.6. * x 1lim(2x 3) 5

. * x

1lim 0x

10

* 2

22x 0 x 0

2 51x 2x 5 x xlim lim 212x x 2

x

.

*

x 0 x 0

1 x 1 1 x 1 1 x 1lim lim2x 2x 1 x 1

x 0

1 x 1 1lim .42x 1 x 1

#

1.2.5. Giới hạn vô hạn + Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b) (có thể trừ ra tại

0x (a , b) ). Ta nói f(x) có giới hạn + khi x dần đến 0x (hoặc tại 0x x ) và viết

0x xlim f x

nếu giá trị của hàm số f(x) có thể làm cho lớn một

cách tùy ý khi lấy x đủ gần a (nhưng khác a). (Chính xác là

0A 0, 0, x (a, b) : 0 x x thì f x A).

Chúng ta hãy tự hiểu ý nghĩa của các ký hiệu

0 0 0x x x x x x xlim f x ; lim f x ; lim f (x) ; lim f (x) ...

Một số minh họa về giới hạn vô hạn thể hiện ở Hình 1.19

Hình 1.4. Giới hạn vô hạn

11

Định lý 1.7 (Định lý kẹp). Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên khoảng suy rộng I của . Giả sử

f (x) g(x) h(x), x I ;

x c x cc I , lim f (x) lim h(x)

.

Khi đó, tồn tại giới hạn của hàm g(x) tại x = c và x clim g(x)

.

Định lý 1.8. (Các phép toán về giới hạn hàm số)

Cho f (x), g(x), x I là hai hàm số trên khoảng mở rộng I; a I (bao đóng của I); , , là ba số thực. Khi đó

x a x a

x a x a

1. lim f (x) lim | f (x) | | | .

2. lim f (x) 0 lim | f (x) | 0.

x a x a

x a x a

lim f (x) lim (f (x) g(x))3.

lim g(x) lim f (x).g(x)) .

x ax a

x a

x ax a

lim f (x) 04. lim (f (x).g(x)) 0.

g(x) a

lim f (x) f (x)5. lim .lim g(x) 0 g(x)

bÞchÆn trong mét l©n cËn cña

Các giới hạn đặc biệt Khi tìm giới hạn, các giới hạn đặc biệt sau đây hay được sử dụng:

(a) x 0

sin xlim 1x

; (b) x 0

ln 1 xlim 1

x

;

(c) x

x

1lim 1 ex

; (d) 1/xx 0lim (1 x) e

;

Ví dụ 1.7. Tìm các giới hạn sau:

(i) x

1 sin 7xlim2x

.

Ta có x x

x

1 sin 7x 21 sin7x 1 sin7xlim 0 lim 01 2x 2xlim 0

| x |

.

(ii) x 0 x 0

sin mx sin mx nx mx mm,n 0, lim lim . . .sin nx mx sin nx nx n

(v) x a

f (x)limg (x)

12

§ 1.3. SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ (1 tiết) 1.3.1. Định nghĩa * Cho hàm số f (x), x (a, b) và điểm 0x (a, b) . Hàm f(x) được

gọi là liên tục tại 0x nếu 0

0x xlim f (x) f (x )

.

* Hàm f(x) được gọi là gián đoạn tại 0x nếu nó xác định tại một lân cận của 0x , có thể trừ ra tại chính điểm này, và không liên tục tại đó.

* Hàm f(x) được gọi là gián đoạn loại một tại 0x , (lúc đó ta nói 0x là điểm gián đoạn loại một của f(x)) nếu:

f(x) gián đoạn tại 0x ;

tồn tại các giới hạn 0x . * Nếu hàm f(x) gián đoạn tại 0x nhưng không gián đoạn loại một tại

đó thì f(x) được gọi là gián đoạn loại hai tại 0x ; 0x là điểm gián đoạn loại hai.

* Hàm f (x), x (a, b) được gọi là liên tục trong khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm 0x (a, b) .

* Hàm f (x), x [a, b] được gọi là liên tục trên đoạn [a, b] nếu nó liên tục tại mọi điểm x0 (a, b) và liên tục phải tại a, liên tục trái tại b, nghĩa là:

Nhận xét.* Đồ thị của hàm liên tục là đường cong liền nét; khi vẽ, ta không phải nhấc bút lên khỏi giấy (phấn lên khỏi bảng).

* Đặt 0 0x x x ( x x x) , 0 0 0f f (x) f (x ) f (x x) f (x ) . Từ định nghĩa, ta suy ngay ra rằng, f(x) liên tục tại 0x khi và chỉ khi

x 0lim f 0

. (1.2)

Ví dụ 1.8. (i) Hàm Sa(x). Xét hàm sin xyx

.

Hình 1.5. Đồ thị hàm Sa(x)

Hàm số sin x , x 0,

Sa(x) x1, x 0.

liên tục,

13

(ii) Hàm bước nhảy đơn vị 0, x 0

y u(x)1, 0 x.

Hình 1.6. Đồ thị hàm bước nhảy đơn vị

(iii) 1sin , x 0,

f (x) x0, x 0.

Hình 1.6. Đồ thị hàm sin (1/ x)

Ví dụ 1.9. Tìm hằng số a để hàm sau đây liên tục trên toàn trục số xe , x 1y

ax 1, x 1

Giải. Dễ thấy hàm đã cho liên tục trên các khoảng {x 1} và {x 1} . Tại

x

x 1 x 1 x 1 x 1x 1, lim f (x) lim (ax 1) a 1 f (1); lim f (x) lim e e

.

Vậy hàm liên tục tại x = 1 a 1 e hay a e 1 . # 1.3.2. Các phép toán với các hàm số liên tục Định lý 1.9. Nếu f(x) và g(x) là những hàm liên tục tại 0x (a; b) thì

(a) f (x) g(x); f (x)g(x); f (x) liên tục tại 0x .

(b) C , Cf(x) liên tục tại 0x .

(c) Nếu g(x0) 0 thì f (x)g(x)

liên tục tại 0x .

Định lý 1.10 ( Sự liên tục của hàm hợp) Cho u u(x) là hàm liên tục trong khoảng (a, b). Giả sử tập giá trị của hàm này được

chứa trong khoảng (c, d) và z f (u) là hàm liên tục trong (c, d). Khi đó hàm hợp z f (u(x)) liên tục trong (c, d).

14

Nói một cách ngắn gọn, hợp của hai hàm liên tục là một hàm liên tục.

Hệ quả Hàm sơ cấp liên tục trên tập xác định của chúng. Hàm sơ cấp xác định trong khoảng (a, b) thì liên tục trong khoảng

đó. Cũng vậy: Nếu trong một lân cận nào đó của điểm 0x , f (x) là hàm

sơ cấp thì f(x) liên tục tại 0x . 1.3.3. Các tính chất của hàm số liên tục trên đoạn kín Định lý 1.11 (Định lý về sự triệt tiêu của hàm liên tục) Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b] sao cho f(a) f(b) < 0. Khi đó có điểm

c trong khoảng (a, b) để f(c) = 0. Hệ quả (Định lý về các giá trị trung gian). Hàm f(x) liên tục trên đoạn đóng [a, b] sẽ

nhận mọi giá trị trung gian giữa f(a) và f(b).

Ví dụ 1.10. Chứng minh rằng phương trình xe 2 x có 2 nghiệm trên khoảng (-2, 2).

Giải. xPT g(x) e x 2 0 2

1 12

2 2

* g( 2) e 0, g(0) 1 0 x ( 2,0), g(x ) 0

* g(0) 1 0, g(2) e 4 0 x (0,2), g(x ) 0

Định lý 1.12 (Định lý Weierstrass). Cho f(x) liên tục trên đoạn đóng giới nội [a, b]. Khi đó nó bị chặn, đạt được giá trị lớn nhất

x [a, b]M Max f (x)

và giá trị nhỏ nhất x [a, b]

m Min f (x)

.

Định lý 1.13 (Sự liên tục của hàm ngược) Cho I là một khoảng suy rộng (chứa đầu mút hay không) và

y f (x), x I là hàm số liên tục và đơn điệu thực sự trên I.

Gọi J là tập giá trị của f. Tồn tại hàm ngược 1y f (x), x J liên tục, đơn điệu thực sự, biến thiên cùng chiều với f.

1.3.4. Liên tục đều Định nghĩa. Giả sử f(x) là hàm số xác định trên I là một khoảng mở rộng của . Ta nói

hàm số f(x) là liên tục đều trên I nếu: 0, 0; x ,x I, x x thì f (x ) f (x ) .

Nhận xét. i. Nếu ta tìm được số 0 và hai dãy n n{x }, {y } sao cho

n nnlim (x y ) 0

nhưng n n 0f (x ) f (y )

thì f(x) không liên tục đều trên I. ii. Nếu f(x) liên tục đều trên I thì liên tục trên I. ii. Nếu hàm f(x) liên tục đều trên I thì cũng liên tục đều trên mọi khoảng con J của nó. iii. Nếu hàm f(x) liên tục đều trên 2 khoảng I, J thì cũng liên tục đều trên I J .

Ví dụ 1.11. Chứng minh rằng hàm f (x) sinx

liên tục trong khoảng (0; 1) nhưng

không liên tục đều trong khoảng đó.

15

Thực vậy, f(x) là hàm sơ cấp trong khoảng (0, 1) nên nó liên tục trên khoảng này.

Ta chọn 2 dãy n n1 1x , t

2 n 2n 1 / 2

thì n nx , t (0, 1) , n nx t 0 , (n ) còn

n nf (x ) f (t ) 1 . Vậy f(x) liên tục không đều trong (0; 1). #

Định lý 1.14 (Định lý Heine-Cantor). Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [a,b] , a, b . Khi đó f(x) liên tục đều trên [a, b].

Nói cách khác, hàm liên tục trên đoạn kín, giới nội thì liên tục đều trên đó.

§1.4. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN (1 tiết)

1.4.1. Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a, b). Ta nói f(x) có đạo hàm

(còn gọi là khả vi) tại 0x (a, b) nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

0

0x x 0

f (x) f (x )limx x

.

Giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm f(x) tại 0x , và được kí hiệu

là 00 0

df (x ) dff (x ), hay , hay (x )dx dx

.

Ý nghĩa hình học

0f (x ) bằng hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị tại 0 0M(x , f (x )) .

Tính chất. f(x) có đạo hàm tại 0x x (a, b) thì f(x) liên tục tại 0x .

Lưu ý. Điều ngược lại không phải luôn đúng. Định nghĩa. Ta nói hàm số f(x) có đạo hàm trong khoảng (a, b) nếu

nó có đạo hàm tại mọi điểm 0x (a, b).

Khi đó ta có một hàm mới, f (x) , xác định tại mọi điểm x (a, b) , ký

hiệu bởi một trong các ký hiệu d dff (x), (f (x)), , ...dx dx

, được gọi là (hàm)

đạo hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b). 1.4.2. Đạo hàm của hàm hợp

[ f (u(x))] f (u(x)).u (x) hay df df du.dx du dx

. (1.3)

Dùng đạo hàm hàm hợp ta thu được công thức sau đây rất tiện lợi:

ax ax(e f (x)) e (f (x) af (x)) hay ax ax(e f ) e (f af ) .

Tổng quát g g(e f ) e (f g f ) . (1.4)

1.4.3. Các phép toán với đạo hàm

16

Định l ý 1.15. Cho hai hàm số f(x) và g(x) xác định trên (a; b), khả vi trên (a ; b) còn C là một số thực. Khi đó:

(u(x) v(x)) u (x) v (x) hay (u v) u v ,

u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v (x) hay (u v) u v u v ,

2u(x) u (x) v(x) u(x) v (x)v(x) v (x)

( v(x) 0 ) hay 2

u u v u vv v

,

1.4.4. Đạo hàm của hàm ngược Định lý 1.16. Giả sử hàm y y( x ) xác định trên khoảng (a, b) và có

tập giá trị là J {y(x) : x (a, b)} . Nếu y(x) là hàm đơn điệu thực sự, khả vi và y (x) 0 trên (a, b) thì tồn tại hàm ngược x x(y) xác định, khả vi trên J và

1x (y) , y Jy (x)

. (1.5)

Để tìm đạo hàm hàm ngược khi biết rằng nó tồn tại, ta viết đồng nhất thức

1f (f (x)) x hoặc 1f (f (x)) x

trên tập xác định rồi đạo hàm hai vế.

Ví dụ 1.12. Tìm đạo hàm của hàm số y arccos x .

Ta có cos(arccos x) x, x ( 1, 1) .

Vậy sin(arccosx).(arccos x) 1

2 2

1(arccosx)sin(arccos x)

1 1 , x ( 1; 1).1 cos (arccosx) 1 x

Tương tự, để tính đạo hàm hàm số y arcsin x , bằng cách xét x sin(arcsin x), x ( 1, 1) ta nhận được

2

1(arcsin x) , x ( 1, 1).1 x

#

17

Bảng 1.1. Đạo hàm một số hàm sơ cấp Đạo hàm Đạo hàm hàm hợp

1

2

2

x x

x x

a

2

2

2

2

(C) ' 0

(x ) ' x

( x ) ' 1 / (2 x )(sin x) ' cos x(cos x) ' sin x

1(tan x) 'cos x

1(cot x) 'sin x

(a ) ' a ln a

(e ) ' e1(log x)'

x ln a1(ln x) 'x

1(arcsin x)'1 x

1(arccos x)'1 x

1(arc tan x)'1 x

1(arccot x) '1 x

1

2

2

u u

u u

a

2

2

(C) ' 0

(u ) ' u u '

( u ) ' (1 / 2 u )u '(sin u) ' cosu. u '(cosu)' sin u. u '

1(tan u) ' u 'cos u

1(cot u) ' u 'sin u

(a ) ' a (ln a)u '

(e ) ' e u '1(log u) ' u '

u ln a1(ln u) ' u 'u

1(arcsin u) ' u '1 u

1(arccosu) ' u '1 u

1(arc tan u) '1 u

2

2

u '

1(arccot u) u '1 u

1.4.5. Đạo hàm một phía - Đạo hàm vô cùng

a. Định nghĩa

* Giả sử hàm số f(x) xác định trên [a; b) . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạnx a

f (x) f (a)limx a

thì hàm f(x) được gọi là khả vi (phía) phải tại a, giới hạn trên được gọi là đạo hàm (phía) phải tại a của hàm f(x), kí hiệu f a .

* Tương tự, chúng ta hãy tự hiểu ý nghĩa đạo hàm trái f (a) .

* Hàm số f(x) gọi là khả vi (có đạo hàm) trên đoạn [a; b] nếu nó khả vi trong khoảng (a;

b), khả vi phải tại a và khả vi trái tại b.

* Nếu x c

f (x) f (c)lim ,x c

ta nói f(x) có đạo hàm vô cùng tại c, và viết f (c) . Ngoài

ra, nếu hàm số liên tục tại x c thì tiếp tuyến tương ứng song song với trục Oy. Lưu ý rằng khi ấy hàm f(x) không có đạo hàm hữu hạn tại x c .

b.Tính chất

18

Hàm số f(x) có đạo hàm tại 0x (a; b) khi và chỉ khi

0 0 0 0f (x ), f (x ); f (x ) f (x ).

Khi đó, 0 0 0f (x ) f (x ) f (x ).

Ví dụ 1.13. i. Xét hàm số y | x | . Với hàm này thì

x 0 x 0

x 0 x 0y (0) lim 1; y (0) lim 1x 0 x 0

. Từ đó y (0)

ii. x 0

x 0y x, x 0 : lim y (0) .x 0

iv. Hàm số sin x , x 0

y Sa(x) x0, x 0

thể hiện dao động điều hòa.

Hình 1.7. Đồ thị hàm Sax

2x 0 x 0 x 0 x 0

sin x 1 sin x x cosx 1 sin xxy (0) lim lim lim lim 0x 0 2x 2x

.

Bài tập: Giới hạn của hàm số (1 tiết)

- Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc trước bài “Đạo hàm và vi phân”, (TL1, tr 95 -100), “Công thức Taylor”, TL1, tr 114 – 1160.

19

Bài giảng2: Đạo hàm - Ứng dụng Chương I: Giới hạn, liên tục, phép tính vi phân của hàm một biến

Mục § 1.4. Đạo hàm và vi phân (1t - tiếp) § 1.5. Công thức Taylor (1t) §1.6. Quy tắc L’Hospital - 1t Bài tập: Sự liên tục của hàm một biến số (1t) Đạo hàm và vi phân (1t)

Tiết thứ: 6-10, Tuần thứ: 2 - Mục đích, yêu cầu: Nắm được định nghĩa, vi phân, dùng vi phân tính giá trị gần đúng Hiểu và vận dụng công thức Taylor, tìm khai triển của vài hàm đơn

giản đến cấp 1, cấp 2. Nắm được cách áp dụng quy tắc L’Hospital để tìm các giới hạn vô

định - Hình thức tổ chức dạy học:

Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính:

§1.4. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN (1 tiết – Tiếp) 1.4.6. Vi phân a. Định nghĩa. Cho hàm số 0f (x), x (a, b) và x (a, b). Nếu số gia hàm số f được

viết dưới dạng

0 0f f (x x) f (x ) A. x o( x) ( x 0) (1.6)

trong đó A là hằng số, không phụ thuộc vào x , o( x) là VCB bậc cao hơn của x , thì hàm

f(x) được gọi là khả vi tại 0x , A. x được gọi là vi phân của hàm f(x) tại điểm 0x ứng với số

gia x của đối số x, ký hiệu là 0df (x ) .

Ví dụ 1.14. Xét hàm số y x . Như thường lệ, dy dx 1. x . Vậy dx x . #

Định lý 1.17. Hàm số y f (x), x (a, b) khả vi tại 0x (a, b) khi và chỉ khi f(x) có đạo hàm tại đó . Khi đó,

0 0 0df (x ) f (x ) x f (x )dx.

Nếu f(x) khả vi tại mọi điểm 0x (a, b) thì ta nói f(x) khả vi trong khoảng (a, b) và vi phân của f(x) tại x được tính theo công thức:

df (x) f (x)dx . (1.7)

Ta nhận được df (x)f (x)dx

, phù hợp với ký hiệu sử dụng ở đầu bài

này.

20

Ví dụ 1.15. Tìm vi phân của hàm 5y x tại x 10 và ứng với x 0,1 .

Giải. 4df (10) f (10) x 5.10 x 50000 x .

Với x 0,1: df (10) 5000.

Như vậy, tại x 10 , khi x biến thiến một đoạn 0,1 thì y biến thiên một đoạn cỡ 5 000 (!) #

b. Các phép toán về vi phân. Bằng cách đạo hàm, ta dễ dàng suy ra công thức sau đây với giả thiết f(x), u(x), v(x) là các hàm khả vi:

df (u) f (u)du

d(u v) du dv,d(uv) vdu udv,

2u vdu udvdv v

(nếu v(x) 0 ) (1.8)

c. Ứng dụng. Dùng vi phân, chúng ta có thể tính gần đúng giá trị của hàm số. Cho hàm số y f (x) sao cho có thể tính dễ dàng (hoặc biết trước) giá trị 0f (x ) cũng như đạo hàm 0f (x ) . Khi đó, giá trị gần đúng của hàm tại x gần 0x cho bởi

0 0 0

0 0 0 0

f (x) f (x x) f (x ) f (x ) x o( x)f (x ) f (x ) x f (x ) df (x ).

(1.9)

Để áp dụng công thức trên, chúng ta cần chỉ ra dạng hàm f(x), điểm

0x , số gia x phải đủ nhỏ.

Ví dụ 1.16. Tính giá trị gần đúng 5A 33 .

Giải. Nhận xét rằng 5A 32 1 , ta giải bài toán trên như sau.

Xét hàm 5f (x) x , với 0x 32, x 33 thì x 33 32 1 . Ta có 5A 33 f (32) f (32). x

4/5 4/51 1 1f (32) 2; f (x) f (32)

805x 5.32 .

Vậy A 2 1/ 80 2.0125 . (Bấm máy tính được 5 33 2.01235 ). # 1.4.7. Đạo hàm của hàm ẩn

Từ ràng buộc (x, y) 0 , có thể tồn tại một hoặc một số hàm iy y (x) mà khi thay vào phương trình (x, y) 0 ta sẽ nhận được đồng

21

nhất thức. Các hàm iy y (x) gọi là các hàm ẩn xác định từ ràng buộc (x, y) 0 .

Việc tính đạo hàm hàm ẩn rất thuận lợi, ta chỉ việc coi y là hàm của biến x: y y(x) ; thay vào phương trình ràng buộc, rồi lấy đạo hàm đồng nhất thức thu được (dùng các quy tắc đạo hàm hàm hợp), từ đó suy ra đạo hàm y (x) . Ta luôn giả thiết hàm ẩn như thế là khả vi để việc đạo hàm được dễ dàng.

Cách tính ĐH hàm ẩn Chỉ việc coi y là hàm của biến x: y y(x) ; thay vào

phương trình ràng buộc, rồi lấy đạo hàm hay vi phân đồng nhất thức thu được, từ đó suy ra y (x) hay dy(x).

Ví dụ 1.17. Lá Descartes có phương trình 3 3x y 6xy . Tìm y ; tìm phương trình tiếp tuyến tại điểm (3,3).

Hình 1.8. Lá Descartes

Giải. Đạo hàm 2 vế, lưu ý y = y(x) ta được 2

3 22

2y x3x 3y y 6y 6xy yy 2x

.

Tại x y 3 thì y ... 1 (d) : y 1(x 3) 3 y x 6 .# 1.4.8. Đạo hàm và vi phân cấp cao a. Đạo hàm cấp cao. Giả sử f(x) khả vi tại mọi điểm x (a; b) . Khi đó f (x) là một

hàm nào đó xác định trong khoảng (a; b).

Đạo hàm của đạo hàm cấp một, nếu tồn tại, được gọi là đạo hàm cấp hai:

f (x) (f (x)) .

Đạo hàm của đạo hàm cấp n - 1 gọi là đạo hàm cấp n và ký hiệu là (n)f (x) :

(n) (n 1)f (x) (f (x)) . (2.8)

Ví dụ 1.18. Chúng ta dễ dàng kiểm tra các đạo hàm cấp cao sau đây, chúng được chứng minh bằng quy nạp.

22

(n)

(n)

ni. (s in x) sin x2nii. (cos x) cos x2

ax (n) n axiii. (e ) a e . #

b) Quy tắc Leibniz (tính đạo hàm cấp cao của một tích)

Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số khả vi tới cấp n thì tích f (x)g(x) cũng khả vi tới cấp n và

nn k (k) (n k)

nk 0

(fg) C f g

(n) (0) (n 1) (1) (n 2) (2) (1) (n 1) (n)n(n 1)f g nf g f g ... nf g fg2!

.(1.10)

Ví dụ 1.19. 2 (100)(x sin x)

0 2 (100) 1 (99) 2 (98)100 100 100C x (sin x) C (2x)(sin x) C .2.(sin x)

2x sin x 200x cosx 9900sin x . #

c. Vi phân cấp cao

Vi phân cấp n của hàm f(x) được tính theo công thức sau

n n 1 (n) nd f (x) d(d f (x)) f (x)dx . (1.11)

Nhận xét. Nếu đường cong cho dưới dạng tham số x x(t), y y(t) thì hệ số góc tính bởi

dy y (t)kdx x (t)

với x (t) 0 (1.12)

Từ đây thấy ngay rằng tiếp tuyến nằm ngang nếu y (t) 0 (và x (t) 0 ) và tiếp tuyến

dốc đứng nếu x (t) 0 (và y(t) 0).

Thay y bởi dy/dx, ta tính được đạo hàm bậc hai

2

2

d y (t)d y d dy dtdx dx x (t)dx

. (1.13)

23

§1.5. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI (Tự đọc)

1.5.1. Định lý Rolle Định nghĩa. Hàm f(x) được gọi là có cực đại tại 0x x nếu trong một lân cận đủ nhỏ

của 0x xảy ra bất đẳng thức

0f (x) f (x ) .

Khi đó điểm 0x được gọi là điểm cực đại, 0f (x ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số,

điểm 0 0M(x ,f (x )) trên đồ thị được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số. Ta cũng nói hàm số

đạt được cực đại tại 0x .

Lưu ý rằng cụm từ “cực đại” chỉ có ý nghĩa cục bộ, địa phương. Ta cũng dễ dàng hiểu các khái niệm điểm cực tiểu, giá trị cực tiểu … Giá trị cực đại, cực tiểu gọi chung là cực trị.

Bổ đề (Định lý Ferma - Điều kiện cần của cực trị)

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a, b). Nếu f(x) đạt cực trị tại c (a, b) và khả vi

tại đó thì f (c) 0 .

Chứng minh. Giả sử c là điểm cực đại của hàm f(x).

f (x) f (c), x c , x đủ gần c 1x c

f (x) f (c)f (c) lim 0;x c

f (x) f (c), x c , x đủ gần c 2x c

f (x) f (c)f (c) lim 0.x c

Vì tồn tại đạo hàm f (c) nên 1 2 0 f (c) 0 . Tương tự cho trường hợp c là điểm cực tiểu. Định lý 1.18 (Định lý Rolle). Giả sử f(x) xác định, liên tục trên đoạn [a, b] hữu hạn,

khả vi trong khoảng (a, b) và f(a) = f(b). Khi đó, tồn tại điểm c (a, b) để f (c) 0 .

Ý nghĩa hình học. Khi các đòi hỏi ở giả thiết thỏa mãn, đặc biệt là f (a) f (b) , sẽ có ít ra 1 điểm C(c,f (c)) trên đồ thị để tiếp tuyến tại C || Ox (cũng vậy, tiếp tuyến tại C || dây cung AB).

Hình 1.9. Điểm trung gian c trong định lý Rolle

1.5.2. Định lý Lagrange Định lý 1.19 (Định lý Lagrange). Cho hàm f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b] ,

khả vi trong khoảng (a, b) . Khi đó, tồn tại điểm c (a, b) sao cho f (b) f (a)f (c)

b a

(1.14)

y C f (a) f (b) A B O a 1 2c c c b x

24

hay f (b) f (a) f (c)(b a) (1.15)

(công thức số gia giới nội).

Ý nghĩa hình học. Vế phải của (2.18) là hệ số góc của dây cung AB, vế trái là hệ số góc của tiếp tuyến tại C(c, f(c)). Vậy:

Với các giả thiết của Định lý, có điểm C trên đồ thị hàm số f(x) sao cho tiết tuyến tại đó song song với dây cung AB. (Xem Hình 2.11).

Ý nghĩa tổng quát: Vế phải của (2.18) là tốc độ biến thiên trung bình của hàm f(x) trên đoạn [a, b]. Vậy:

Với các giả thiết của Định lý, tốc độ biến thiên trung bình của hàm trên đoạn [a, b] bằng tốc độ biến thiên tức thời của hàm tại điểm trung gian c (a, b) nào đó.

Ta cũng có thể viết công thức số gia giới nội dưới dạng

f (x h) f (x) f (x h)h với 0 < < 1. (1.16)

Chứng minh. Ta hãy xây dựng một hàm số thoả mãn định lí Rolle, đó là hàm

f (b) f (a)(x) f (x) f (a) (x a), x [a, b]b a

.

Hàm này liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trong khoảng (a, b), (a) (b) 0 . Áp dụng định lý Rolle, tồn tại c (a, b) để (c) 0 .

Hình 1.10. Điểm trung gian c trong Định lý Lagrange

Từ đó f (b) f (a)f (c) 0b a

hay f (b) f (a)f (c)b a

.

Lưu ý. Có thể có nhiều điểm trung gian c như đòi hỏi (xem Hình 2.11). Hệ quả (i) f (x) 0 , x (a, b) f (x) tăng trên (a, b).

(ii) f (x) 0 , x (a, b) , dấu " " xảy ra chỉ tại một số hữu hạn điểm thì f(x) tăng thực sự trên (a; b).

(iii) f (x) 0 , x (a, b) f (x) là hằng số trên (a, b).

(iv) f(x) liên tục, f (x) đổi dấu khi x qua 0x (a; b) thì 0x x là một điểm cực trị của hàm f(x).

Ví dụ 1.20. Chứng minh rằng với 0 a b và n 1 thì

n 1 n n n 1na (b a) b a nb (b a). (*)

Thực vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

y B

C A

O a c b x

25

n nn 1 n 1b ana nb

b a

. (**)

Nhận xét rằng n n n nx b x ab (x ) , a (x ) . Vậy ta nên xét hàm số nf (x) x trên

đoạn [a, b] . Theo Định lý Lagrange, c (a, b) :

n nn 1f (b) f (a) b af (c) nc

b a b a

.

Rõ ràng n 1 n 1 n 1na nc nb . Nhận được (**). #

§1.6. CÔNG THỨC TAYLOR (1 tiết) 1.6.1. Công thức Taylor (Khai triển Taylor hữu hạn) Định lý 1.20. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trong (a; b). Khi

đó 0x (a, b) ta có:

(i) Nếu f(x) khả vi liên tục tới cấp n - 1 trên (a, b), khả vi cấp n tại 0x thì

0 00 0 0 0

(n)n nx x

x x x xf ( ) f ( )f (x) f ( ) (x ) ... (x ) o(x )

1! n!

. (1.17)

(Công thức Taylor với phần dư Peano). * Trong trường hợp 0x 0 , công thức có tên là công thức (khai triển)

Maclaurin:

n

(n) (n 1)n n 1

o(x )

f (0) f (0) f ( x)f (x) f (0) x ... x x (0 1)1! n! (n 1)!

(1.18)

Đánh giá sai số

Nếu hàm f(x) khả vi đến cấp n + 1 trên [a, b] thì

00 0

(k)nn 1k n 1

nk 0

xx x

f ( ) MR (x) f (x) (x ) xn! (n 1)!

(1.19)

với (n 1)n 1

x [a; b]M Sup f (x)

.

1.6.2. Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp

(i) m 2 k mm m(m 1) m(m 1)...(m k 1)(1 x) 1 x x ... x ... x .1! 2! k!

(ii) 2 n n( 1) ( 1)...( n 1)(1 x) 1 x x ... x o(x ).1! 2! n!

26

(iii) 2 n

x nx x xe 1 ... o(x ).1! 2! n!

(iv) 2 3 n

n nx x xln(1 x) x ... ( 1) o(x ).2 3 n

(v) 3 5 2n 1

n 1 2nx x xsinx x ... ( 1) o(x ).3! 5! (2n 1)!

(vi) 2 4 2n

n 2n 1x x xcos x 1 ... ( 1) o(x ).2! 4! (2n)!

(vii) 3 5 2n 1

(n 1) 2nx x xarctan x x ... ( 1) o(x )3 5 2n 1

.

§ 1.7. CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM (1 tiết) 1.7.1. Quy tắc L'Hospital

Định lý 1.21 (Quy tắc L'Hospital khử dạng vô định 0 ;0

)

Giả sử f(x), g(x) khả vi trong một lân cận nào đó của điểm a ( a ) có thể trừ ra tại điểm a, và g (x) 0 với mọi x trong lân cận đó có thể trừ ra tại a. Hơn nữa giả sử

x a x alim f (x) lim g(x) 0

(hoặc x a x alim f (x) lim g(x)

) .

Khi đó, nếu x a

f (x)limg (x)

(hữu hạn hoặc vô hạn) thì

x a

f (x)limg(x)

.

Chứng minh. (xem [1]) Lưu ý: (i) Quy tắc đúng cho cả trường hợp giới hạn trái, phải.

Chẳng hạn, ta có thể thay x a bởi x a với một chút thay đổi: Giả sử f(x), g(x) khả vi trong một lân phải của điểm a có thể trừ ra tại a, giả sử g (x) 0 với mọi x thuộc một lân cận phải của a có thể trừ ra tại a ...

Như vậy, khi x a, x a , x a , x , x , x mà

giới hạn có dạng vô định 0 ,0

ta có thể dùng quy tắc L'Hospital. Các dạng

27

vô định khác như 01 ; ; có thể dễ dàng chuyển về hai dạng vô định này.

(ii) Khi giải bài tập, chúng ta có thể phải dùng Qui tắc L'Hospital nhiều lần, và (hoặc) kết hợp với các phương pháp tìm giới hạn khác, chẳng hạn, phương pháp thay tương đương, và sau này là khai triển hữu hạn.

(iii) Quy tắc L'Hospital cho ta điều kiện đủ để có giới hạn

x a

f (x)limg(x)

mà không phải là điều kiện cần (xem Ví dụ 2.17).

Ví dụ 1.21. Tính các giới hạn

(i) x

ln xlim ( 0);x

) (ii)x 0lim x ln x

; (iii) x

x 0lim x ;

(iv) 3x 0

sin3x 3xlim ;x

(v) 26/x

x 0

sin xlimx

Ví dụ 1.22. Chúng ta thấy x x

sin x 2sin x 2x xlim lim 1cos xcos x 2x 2x

.

Tuy nhiên, giới hạn của thương hai đạo hàm x x

(sin x 2x) cos x 2lim lim(cos x 2x) sinx 2

lại không tồn tại.

Ví dụ 1.23. Chứng minh rằng

a) nnlim n a 1 ln a, (a 0)

; b) nnlim n( n 1)

.

Giải. Theo những nhận xét ở cuối Định lý 1.23, ta có thể tìm giới hạn dãy số thông qua giới hạn hàm số tương ứng.

a) Theo quy tắc L' Hospital ta có:

1/x t t

xx x t 0 t 0

a 1 a 1 a lnalim x a 1 lim lim lim ln a1 / x t 1

.

Vậy với a 0 , nnlim n a 1 ln a.

b) (1/x) ln x

xx x

e 1lim x x 1 lim(1 / x)

28

t ln tt ln t

t 0 t 0

e ln t 1e 1lim limt 1

.

Vậy dãy đã cho có giới hạn + . # 1.7.2. Khảo sát hàm số y f (x)

a. Sơ đồ khảo sát hàm số (1) Tìm tập xác định, các điểm gián đoạn của hàm số. Xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn, tìm

các đường tiệm cận (nếu có). Tìm các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, tìm toạ độ của các điểm đặc biệt.

(2) Chiều biến thiên: Cần tính đạo hàm cấp một, tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị (nếu có). Lập bảng biến thiên của hàm số.

(3) Tính đạo hàm bậc hai, khảo sát tính lồi, lõm, điểm uốn (nếu có). (4) Vẽ đồ thị hàm số. Tất nhiên, không cần đúng theo thứ tự này. Đồng thời chúng ta cũng có thể bỏ qua một

số khâu, như tính đạo hàm bậc hai, tính lồi lõm… khi điều này phức tạp, nhất là với các hàm vô tỷ. Đôi khi cũng bỏ qua việc tìm tiệm cận.

Ví dụ 1.24. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số xy xe . Giải. * Tập xác định là .

Giới hạn. x xx xx x x x

x 1lim xe ; lim x e lim lim 0e e

.

Vậy, tiệm cận ngang là trục Ox.

Chiều biến thiên. xf (x) e (x 1); f (x) 0 x 1 . xf (x) e (x 2); f (x) 0 x 2 .

Ta nhận được bảng x 2 1 0

y 0

y 0

y 2

0

2 / e 01 / e

Hàm số lõm trong khoảng ( , 2); lồi trong khoảng ( 2, ) ; điểm uốn tại x 2 . Đồ thị hàm số cho trên Hình 2.16.

Hình 1.11. Đồ thị hàm số xy xe

29

Ví dụ 1.25. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ln xf (x)x

.

Giải. Tập xác định: x 0 . 21 ln xy

x ; y 0 x e .

Tiệm cận. x 0

ln xlimx

nên (d) : x 0 là tiệm cận đứng.

xlim ln x / x 0

nên y 0 là tiệm cận ngang

x 0 e

y'

y

1 / e

0

Bài tập: Sự liên tục của hàm một biến số (1t)

Đạo hàm và vi phân (1t)

Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc thêm phần “Khảo sát đường cong …” (TL1, tr 137 -150) Làm bài tập theo kế hoạch Đọc trước bài “Tích phân bất đinh”, (TL1, tr 174 -180)

Bài giảng 3: Khảo sát đường cong – Tích phân bất định Chương I… Chương II: Tích phân

Mục § 1.7 Khảo sát hàm số: Trong tọa độ Đề các (tự đọc) - theo tham số - theo tọa độ cực (1t)

Bài tập: Các ứng dụng của phép tính vi phân (2t) Ôn tập (1t) § 2.1. Tích phân bất định (1t)

Tiết thứ: 11-15, Tuần thứ: 3 - Mục đích, yêu cầu:

Nắm được vài ứng dụng của đạo hàm như quy trình khảo sát hàm số; đặc biệt là khái niệm đường cong theo tham số, trong tọa độ cức, khảo sát và vẽ chúng;

Nắm được một số kỹ thuật để tính tích phân bất định của một số hàm đơn giản

30

- Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu

- Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính:

§ 1.7. CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM (tiếp - 1 tiết)

1.7.3. Khảo sát đường cong cho dưới dạng tham số Tọa độ x, y của chất điểm phụ thuộc

vào thời gian t, vậy vị trí của chất điểm có thể biểu diễn qua hệ hai phương trình

x x(t), y y(t). Tổng quát hiện tượng này dẫn đến

Hình 1.12. Đường cong thắt nút

a. Khái niệm. Cho hai hàm số x x(t)

t ( , ).y y(t),

(2.35)

Mỗi điểm t I ( , ) ứng với một điểm 2M(x(t), y(t)) . Khi t

biến thiên từ đến , điểm M vạch nên một đường cong (C) trong 2 . Hệ (2.35) được gọi là phương trình tham số của đường cong (C), t là tham số.

Bản thân tập xác định ( , ) và hệ (2.35) được gọi là một phép tham số hóa của (C). Cùng một đường cong (C) nhưng có thể có nhiều phép tham số hóa.

Thông thường tham số là thời gian, cũng có thể có ý nghĩa khác, và dùng ký hiệu khác như , , ... .

Ví dụ 1.26. Với A(a, b), B(c,d) , dễ thấy phương trình tham số của:

(i) đường thẳng AB: x mt a

(t )y nt c,

(m b a, n d c);

(ii) đoạn thẳng AB: x mt a

(t [0, 1]);y nt c,

(iii) đường tròn tâm O, bán kính R: x R cosy R sin , 0 2 ;

L

31

Hình 1.13. Đường (đoạn) thẳng AB (trái) và đường tròn tâm O, bán kính R

(iv) elip bán trục a, b: x a cos , y bsin , 0 2 . Tuy nhiên, điểm M (E) không phải ứng với góc như Hình 2.21

(trái), mà ứng với góc ở Hình 2.21 (phải)! #

Hình 1.14. Elíp bán trục a, b

b. Hệ số góc của tiếp tuyến

dy y (t)dx x (t)

với x (t) 0 . (1.20)

Từ đây thấy ngay rằng tiếp tuyến nằm ngang nếu y (t) 0 (và

x (t) 0 ) và tiếp tuyến dốc đứng nếu x (t) 0 (và y(t) 0).

Thay y bởi dy/dx, ta tính được đạo hàm bậc hai

2

2

d y (t)d y d dy dtdx dx x (t)dx

. (1.21)

(Cách nhớ: Xem dyydx

là hàm của t)

Ví dụ 1.27. Elip bán trục a, b cho bởi phương trình

x a cos ty bsin t, t [0, 2 ].

32

Khi đó dy bcos t b cot tdx asin t a

.

Đây là hệ số góc của tiếp tuyến với elip tại M(a cos t, bsin t) . #

c. Khảo sát Khi khảo sát đường cong cho dưới dạng tham số ta khảo sát như

thường lệ với hai hàm x(t), y(t) với một số lưu ý: * Ta cần lập bảng biến thiên đồng thời. * Trong bảng biến thiên nên có thêm dòng đạo hàm xy tính theo công

thức xy (t)yx (t)

. Đây là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong tại điểm

M(x(t), y(t)) . Ví dụ 1.28. Khảo sát và vẽ đường cong

t t /2x e t, y 4e , 8 t 3 . Giải. + Tập xác định: 8 t 3 (đã cho).

+ Chiều biến thiên. tx e 1, x 0 t 0 x 1, y 4 t /2y 2e 0 .

+ Bảng biến thiên

Đồ thị

33

Hình 1.15. Đường cong ở Ví dụ 1.27 (trái) và Ví dụ 1.28 (phải)

Ví dụ 1.29. Khảo sát và vẽ đường axtroit cho dưới dạng tham số:

3 3x a cos t; y asin t, t . (a 0) .

1.7.4. Khảo sát đường cong cho dưới dạng tọa độ cực

a. Tọa độ cực

Ta cho ứng mỗi điểm M(x, y) trong mặt phẳng Oxy với cặp số (r, )

như hình vẽ. Cặp số (r, ) được gọi là tọa độ cực của điểm M. Ta có:

x r cosM(x, y) (r, ); (r, ) (x, y) :

y rsin .

(1.22)

2 20 r x y ,y(x,y) (r, ) : tan , 0 2 ,x

sin y.

cï ng dÊu ví i

Điểm O gọi là gốc cực, trục Ox là trục cực;

r là bán kính cực, là góc cực của điểm M.

Khi không sợ lầm lẫn, ta có thể viết M(x,y) với ngụ ý rằng điểm M có tọa độ Descartes (x,y), hoặc M(r, ) với ngụ ý rằng điểm M có tọa độ cực

(r, ) .

34

Tọa độ cực suy rộng. Người ta còn xét tọa độ cực với r, bất kỳ:

r, ( ; ) ). Từ mỗi cặp số (r, ) như vậy, dùng (2.12) ta tính được x,y.

Điểm M với tọa độ Descartes (x,y) sẽ có tọa độ cực (suy rộng) ( r, ).

b. Đường cong trong tọa độ cực

Xét hàm số r r( ), ( , ). Khi góc cực biến thiến từ đến ,

điểm M với tọa độ cực (r( ), ) vạch nên một đường cong (C) trong mặt

phẳng. Ta nói đường cong (C) trong tọa độ cực có phương trình

r r( ), ( , ).

Rõ ràng là x r( )cos ,y r( )sin , ( , ).

Vậy dạng tọa độ cực r r ( ) là dạng tham số đặc biệt của đường

cong.

Tổng quát, với hàm hai biến f cho trước, tập các điểm có tọa độ cực

(r, ) thỏa mãn phương trình f (r, ) 0 được xem là một đường cong trong

tọa độ cực và f (r, ) 0 là phương trình của đường cong này.

Ví dụ 1.30. Viết phương trình dạng tọa độ cực của các đường tròn

bán kính a > 0 với tâm (i) O(0, 0); (ii) I(a, 0).

(i) Rõ ràng phương trình là r a .

(ii) 2 2 2(C) : (x a) y a .

Đặt x rcosy rsin

, thay vào phương trình đường tròn ta được

2 2 2(r cos a) (rsin ) a hay r 2a cos (a 0) .

35

Hình 1.17. Các đường tròn ở Ví dụ 2.35

Nhận xét. Đường tròn bên phải trục tung, tiếp xúc với trục tung tại gốc tọa độ, đường kính 2a có phương trình r 2a cos .

Tương tự, có thể thấy đường tròn nằm phía trên trục hoành, đường kính 2a, tiếp xúc với trục hoành tại gốc O có phương trình r 2a sin . #

c. Phương pháp khảo sát

Chúng ta tiến hành khảo sát như với hàm số thông thường.

Lưu ý. (i) Gọi V là góc lượng giác như hình vẽ thì r( )tan Vr ( )

.

Hình 1.16. Góc hợp bởi tiếp tuyến dương với véc tơ bán kính

(ii) Để khảo sát đường cong (L) cho trong tọa độ Descartes, đôi khi ta

đưa nó về dạng tọa độ cực lại dễ dàng hơn nhiều.

Đặt x rcos , y rsin ... r r( ) (L)

Ví dụ 1.31. Khảo sát và vẽ đồ thị đường xoắn ốc archimede r , 0

Hình 1.17. Đường xoắn ốc Archimede Ví dụ 1.32. Khảo sát và vẽ đồ thị hình hoa hồng 3 cánh r 3asin (a 0) .

Giải. Hàm r( ) tuần hoàn chu kỳ 2 / 3 nên ta chỉ cần khảo sát trong đoạn [0; 2 / 3] . Ta có r 3a cos3 0 / 6, / 2;

36

20, 0, ,r( ) tan 3 3 3tan Vr ( ) 3 , , .

6 2

Nhận được bảng biến thiên 2 3 40

6 6 6 6

3 30 22 2

r 3a 0 3a 0 3a

r a0 0 0

a

tan V 0 0 0

Đồ thị như hình vẽ. Sau khi được đồ thị

cho 1 chu kỳ, ta chỉ việc quay đường vừa vẽ một góc 2 / 3 , 4 / 3 sẽ nhận được đường cong đầy đủ (Hình 1.20). #

Hình 1.18. Đường hoa hồng 3 cánh

1.1.8. Ứng dụng trong kinh tế Lý thuyết đạo hàm cũng được ứng dụng trong vật lý, hóa học, sinh học ... Ở đâu có sự

biến đổi, ở đấy tìm thấy những ứng dụng của đạo hàm. Ta đưa ra ví dụ sau đây trong kinh tế.

Ví dụ 1.33. Giả sử C(x) là giá thành tổng cộng mà công ty tiêu tốn để sản xuất ra x sản phẩm một loại hàng nào đó. Hàm C(x) gọi là hàm giá. Đạo hàm hàm giá gọi là giá biên (giá hiện thời - marginal cost):

Giá biên = C (x) (*)

Đơn vị của nó là đơn vị tiền tệ/ đơn vị sản phẩm. Khi số sản phẩm x n lớn, có thể lấy x 1 , từ đó có thể dùng xấp xỉ

C (n) C(n 1) C(n) . (**)

Như vậy, giá biên của n sản phẩm xấp xỉ bằng giá của 1 sản phẩm làm ra tiếp theo.

Giả sử giá thành của x sản phẩm của một công ty là 2C(x) 20 0.1x 0.0002x (tiệu VNĐ).

37

a) Tính hàm giá biên.

(b) Tìm giá biên tại sản phẩm thứ 500 theo công thức (*) và (**), so sánh kết quả.

(c) Hàm giá trung bình là C(x)c(x)x

. Tìm số đơn vị sản phẩm 0x mà giá trung bình tại

đó thấp nhất.

(Hàm giá điển hình là hàm bậc ba. Tại nơi có giá trung bình 0x thấp nhất, giá trung bình bằng giá biên. Khi chưa sản xuất đủ 0x đơn vị sản phẩm, công ty có xu hướng sản xuất thật nhiều, nhanh để giá trung bình hạ xuống; khi đã vượt quá ngưỡng 0x , công ty có xu hướng giảm bớt sản xuất để giá trung bình không tăng nhanh quá).

HD. (a) C (x) 0.1 0.0004x .

(b) C (500) 0.3 ; C(501) C(500) 0.3002 .

(c) 2

20.0002x 20c (x) 0

x . Lập bảng biến thiên, được x 316 . #

Ví dụ 1.34. Khảo sát, vẽ đồ thị đường cong 2 2 2(x y )x a y (a const 0)

bằng cách đưa nó về dạng tọa độ cực.

HD. Đặt x rcos ; y r sin ta được r a tan .

Hình 1.19. Đường r a tan (với a = 1)

Ví dụ 1.35 ( Một số đường cong trong dưới dạng tọa độ cực)

Hình 1.20. Đường r arcsin (trái), và đường r 1 / , / 4 (phải)

TÓM TẮT CHƯƠNG 1 (tự đọc)

38

Giới hạn của dãy số nn

lim u

n0, N : n N, | u | .

Dãy tăng (giảm), bị chặn trên (dưới) thì hội tụ.

Hàm đã cho đơn điệu thì hàm ngược biến thiên cùng chiều với hàm xuôi.

Giới hạn của hàm số. 0x x

lim f (x)

:

00, 0, x (a;b): 0 x x thì f (x) .

VCB, VCL tương đương. Hai VCB (VCL) f(x), g(x) 0(x x )

được gọi là tương đương ( f (x) g (x)) nếu 0x x

f (x)lim 1g(x)

.

Sự liên tục. Hàm f(x) liên tục tại 0x nếu 0

0x xlim f (x) f (x )

:

f(x) liên tục trên đoạn [a, b], f (a)f (b) 0 c (a,b) để f(c) = 0.

Hàm f(x) liên tục trên đoạn đóng giới nội [a,b] thì bị chặn, đạt được GTLN

x [a, b]M Max f (x)

và GTNN

x [a, b]m Min f (x)

.

Hàm sơ cấp liên tục trên tập xác định của nó.

Định nghĩa đạo hàm. 0

0 00 x x 0

df (x ) f (x) f (x )f (x ) limdx x x

.

Đạo hàm một số hàm sơ cấp. Bảng 2.1.

Đạo hàm hàm hợp. df df duf f (u(x)) .dx du dx

.

Đạo hàm hàm ngược. 1x (y)y (x)

.

Vi phân. df (x) f (x)dx .

Sự bất biến dạng của vi phân cấp I. Vi phân cấp một của hàm f(x) luôn có dạng dy f (x)dx dù rằng x là biến độc lập hay x là biến phụ thuộc.

Phép toán với vi phân. d (uv) vdu u dv, 2u vdu udvdv v

.

Ứng dụng. 0 0 0f (x) f (x x) f (x ) f (x ) x.

39

Tính đạo hàm (vi phân) hàm ẩn Coi y y(x) là hàm của x Thay vào phương trình ràng buộc Lấy đạo hàm (vi phân) đồng nhất thức thu được Suy ra y (x) (dy(x)).

Vi phân cấp cao. n (n) nd f (x) f (x)dx .

Quy tắc L'Hospital khử dạng vô định 0 ;0

f(x), g(x) là VCB (VCL) tại lân cận a ... thì

x a x a

f (x) f (x)lim limg(x) g (x)

.

Công thức Maclaurin

n

(n) (n 1)n n 1

o(x )

f (0) f (0) f ( x)f (x) f (0) x ... x x (0 1)1! n! (n 1)!

.

Khảo sát đường cong không cần đúng theo thứ tự 4 bước. Cũng có thể bỏ qua khâu tìm tiệm cận, tính đạo hàm bậc hai, tính lồi lõm khi điều này phức tạp.

Khảo sát đường cong dưới dạng tham số Khảo sát như thường lệ với hai hàm x(t), y(t), nên lập bảng biến

thiên đồng thời, nên có thêm dòng đạo hàm xy (t)yx (t)

.

Toạ độ cực. Mối liên hệ x r cos , y rsin .

Đưa PT đường cong về dạng toạ độ cực Thay x r cos , y rsin vào PT đường cong Giải ra r r ( ) .

Đưa PT đường cong dạng toạ độ cực về dạng tham số

L: r r ( ), x r( )cos ,y r( )sin , ( , ).

Khảo sát đường cong dạng toạ độ cực

Khảo sát như thường lệ, nên có thêm dòng r( )tan Vr ( )

.

BÀI TẬP: Các ứng dụng của phép tính vi phân (2t) Ôn tập (1t)

Chương 2 TÍCH PHÂN

40

§ 2.1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (1 tiết) 2.1.1. Định nghĩa, tính chất

Định nghĩa. Cho hàm số f (x), x (a, b) . Ta nói hàm số F(x), x (a, b) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a, b) nếu F(x) khả vi trong khoảng này và

F (x) f (x), x (a, b). (2.1) Định lý 2.1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trong khoảng (a, b) thì: (i) Với C là hằng số tùy ý, F(x) C cũng là một nguyên hàm của f(x) trong khoảng (a,

b). (ii) Mọi nguyên hàm của f(x) trong khoảng (a, b) đều có dạng F(x) C , với C là hằng số

nào đó. Định nghĩa. Họ các hàm số F(x) C , trong đó C là hằng số tùy ý, F(x) là một nguyên

hàm bất kỳ của f(x) trong khoảng (a, b) được được gọi là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của f(x) trong khoảng (a, b) và được ký hiệu là f (x)dx .

Dễ dàng suy ra nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]

Tính chất. (i) F (x)dx F(x) C;

f (x)dx f (x), x (a, b).

Tích phân bất định và đạo hàm là hai phép toán ngược của nhau. Giả sử f(x) và g(x) là những hàm có nguyên hàm, khi đó:

(ii) a f (x)dx a f (x)dx, a .

(iii) [f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx.

Gộp lại:

(iii)' [a f (x) bg(x)]dx a f (x)dx b g(x)dx, a, b .

Định lý 3.2. Hàm số liên tục trên khoảng suy rộng thì có nguyên hàm trên khoảng này.

2.1.2. Phương pháp tính tích phân bất định a. Biến đổi hàm dưới dấu tích phân, đưa về tích phân cơ bản

Các phép biến đổi hay dùng là: thêm bớt, dùng hằng đẳng thức, tách

thành tổng, nhân liên hợp, nhân (chia) tử và mẫu với thừa số thích hợp.

Ví dụ 2.1. (i) 1/2 1/2 3/2 1/2x 1 2I dx (x x )dx x 2x 33x

.

(ii) 2 2

100 100x ((x 1) 1)dx dx

(1 x) (x 1)

.

97 98 991 2 1 C.

97.(x 1) 98.(x 1) 99.(x 1)

41

(iii) sin3xsin5xdx

1 1 1[cos2x cos8x]dx sin 2x sin8x C2 4 16

.

Bảng 2.1. Bảng các tích phân cơ bản Biến độc lập Biến phụ thuộc

1

2 2

2 2

xx

x x

2

2

0dx C

1dx dx x C

xx dx C ( 1)1

1 dx ln x Cx

1 1 xdx arc tan Ca aa x

1 xdx arcsin Caa x

aa dx Cln a

e dx e C

sin x dx cos x C

cosx dx sin x C

1 dx cot x Csin x

1 dx tan x Ccos x

1

2 2

2 2

uu

u u

2

2

0du C

1du du u C

uu du C ( 1)1

1 du ln u Cu

1 1 udu arc tan Ca aa u

1 udu arcsin Caa u

aa du Cln a

e du e C

sin u du cosu C

cosu du sin u C

1 du cot u Csin u

1 du tan u Ccos u

Bàng 2.2. Một số tích phân quan trọng ax

ax ee dx Ca

cosaxsin ax dx Ca

sin axcosax dx Ca

tan x dx ln | cos x | C

dx xln tan Csin x 2dx xln cot C

cos x 4 2

2 2

2 22 2

2

2

1 1 x adx ln C2a x ax a

1 dx ln x x a Cx a

sinh x dx cosh x C

cosh x dx sinh x C

1 dx tanh x Ccosh x

1 dx coth x Csinh x

Thực ra ta có thể tách thành tổng để tính các tích phân sau

42

sinax cosbx dx ; sinaxsin bx dx ; cosaxcosbx dx .

b. Đặt biến

Định lý 2.2. Cho : I K là hàm khả vi liên tục, g : L là hàm

liên tục, trong đó I, K, L là những khoảng suy rộng, K L .

Giả sử ta tính được g(u)du G(u) C . Khi đó

g( (x)) (x)dx G( (x)) C .

Một cách hình thức,

u (x)g( (x)) (x)dx g( (x))d (x) g(u)du .

Để sử dụng hiệu quả công thức này, khi tính tích phân f (x)dx ta

viết nó dưới dạng f (x)dx g( (x)) (x)dx g( (x))d (x) .

Nói cách khác, ta phải đưa "một thừa số của f(x)" vào trong dấu vi

phân d(.) sao cho có thể tính dễ dàng tính tích phân nhận được.

Ví dụ 2.2

3 4 4 3

tan x sin x d(cos x) 1(i) dx dx C.cos x cos x cos x 3cos x

dx d(ln x)(ii) ln ln x C.x ln x ln x

2 2 2 2cos x d(sin x) 1 sin x(iii) dx arc tan C.

a aa sin x a sin x

2

3 32 2

xdx d(x )(iv)1 3x 2 1 3x

2

2 233 2

1 d(1 3x ) 1 (1 3x ) C6 41 3x

.

2

2

sin x d(cos x)(v) dxcos2x 2cos x 1

1 d( 2cosx) 1 ln 2cos x cos2x C.2 2( 2 cosx) 1

43

(vi) x x

xx x 2

2 d(2 ) 1dx arcsin 2 Cln 21 4 ln 2 1 (2 )

. #

Ví dụ 2.3. Xét trường hợp khi f(x) là biểu thức đơn giản của tam thức

bậc hai

(i) 2dx dx ...

(x 2)(x 5)x 3x 10

1 x 2ln C.7 x 5

(ii) 2 2 2

d x 1 / 2dx 1 dx 14 44x 4x 5 x x 5 / 4 (x 1/ 2) 1

1 1 2x 1arc tan x 1 / 2 C arc tan C.4 4 2

(iii) 2 22

dx 1 dx 1 d(x 1 / 3)I3 32 22 6x 9x 1 1x x x9 3 3 3

1 x 1 / 3 1 3x 1arcsin C arcsin C.3 31/ 3 3

(iv)2 2

dx d(x 1)

x 2x 5 (x 1) 4

2ln x 1 x 2x 5 C. #

c. Đổi biến

Định lý 2.3. Giả sử x x(t) là hàm khả vi liên tục trên khoảng suy

rộng I, tập giá trị K; y f (x) là hàm liên tục trên khoảng suy rộng L chứa

K. Ngoài ra

(i) x (t) 0, t I.

(ii) Tồn tại hàm ngược t t(x) của hàm x(t).

Khi đó xảy ra đẳng thức

t t(x)f (x)dx f (x(t))x (t)dt . (2.2)

44

Ví dụ 2.4 (i) Tính tích phân 2

dxIx x 1

bằng cách đổi biến 1xt

.

Trước hết xét x 0 . Ta có 21 1dx dt, t 0

xt . Ta được

2 2 2

t dt dtI arcsin t Ct 1 / t 1 1 t

.

Trở về biến cũ, I arcsin(1/ x) C . Kết quả tương tự với x < 0.

d. Tích phân từng phần

i 1 i[x ; x ]

Muốn áp dụng thành công phương pháp này, điều quan trọng là phải

đưa một thừa số của hàm f(x) vào dấu vi phân d(.). Động tác này thực chất

là một phép lấy tích phân. Trong trường hợp dễ, ta có thể thực hiện ngay.

Trong trường hợp khó khăn hơn, ta phải tính v(x) v (x)dx nghiêm túc.

Ví dụ 2.5

(i) ln x dx x ln x x d(ln x) x ln x 1dx x ln x x C .

(ii) 2

2 2x 1 d(x 1)arctan x dx xarc tan x dx xarc tan x

21 x 1 x

21xarc tan x ln(1 x ) C2

.

(iii) 2 2x 2 2x 2 2x 2x1 1 1x e dx x d(e ) x e e .2xdx2 2 2

i 0x x ih, i 1, 2, ... , 2n . #

Có 6 dạng tích phân ở Bảng 3.3 dễ dàng dùng phương pháp từng phần.

45

Bảng 2.3. Các dạng tích phân dùng phương pháp từng phần thuận lợi

axnP (x)e dx Đưa axe vào d(.) TP từng phần n lần

nP (x)sin ax dx Đưa sin ax vào d(.) TP từng phần n lần

nP (x)cosax dx Đưa cosax vào d(.) TP từng phần n lần

mn aP (x) log x dx Đưa nP (x) vào d(.) TP từng phần m lần

xe sin x dx Đưa 1 trong 2 thừa số vào d(.) TP từng phần 2 lần

xe cos xdx Đưa 1 trong 2 thừa số vào d(.) TP từng phần 2 lần

Ví dụ 2.6. (i) 4x 4x1I e cos3x dx e d(sin3x)3

4x 4x 4x 4x1 1e sin3x sin3xd(e ) e sin3x 4 sin3xe dx3 3

4x 4x2

4x 4x 4x

4x 4x

1 4e sin3x e d(cos3x)3 31 4e sin3x e cos3x 4 cos3x e dx3 9

16 1 41 I e sin3x e cos3x C9 3 9

4x4cos3x 3sin3xI e C25

.

(ii) 2

2 22

x 1 1I x k dx x x k dxx k

2 22

2 2

1x x k x k dxx k

x x k I ln x x k C.

Ta nhận được công thức quan trọng

2 2 2x kx k dx x k ln x x k C2 2

. #

2.1.3. Tích phân bất định của một số lớp hàm sơ cấp

46

a. Tích phân các phân thức hữu tỷ n

m

P (x)Q (x)

a.1. Dùng các phương pháp thông thường đã biết

Ví dụ 2.7

(i) 2

28 4 4 4 4

xdx 1 d(x ) 1 1 1 d(x )2 4x 1 (x 1)(x 1) x 1 x 1

2 2 22

2 2 2 2 21 d(x ) d(x ) 1 x 1 1ln arc tan x C4 8 4(x ) 1 (x ) 1 x 1

.

a.2. Phương pháp hệ số bất định

Bước 1. Khai triển f(x) thành tổng các phân thức đơn giản

Nếu n

m

P (x)f (x)Q (x)

có bậc n của tử > bậc m của mẫu, thì phân thức

được gọi là không thực sự. Thực hiện phép chia đa thức để được một phần

nguyên (đa thức) và một phân thức thực sự có bậc của tử < bậc của mẫu.

Vậy ta có thể giả thiết rằng f(x) là phân thức thực sự, tức là n m .

1 2 1 2

ax b A B(x x )(x x ) x x x x

. (2.3)

2 2 2ax b A( ) B

x px q x px q x px q

MÉu . (2.4)

2

1 2 3 1 2 3

ax bx c A B C ;(x x )(x x )(x x ) x x x x x x

2

2 21 21 2 1

2

2 211

ax bx c A B C ;x x x x(x x ) (x x ) (x x )

ax bx c A Bx C ;x x(x x )(x px q) x px q

3 2

2 2 2 211 1

ax bx cx d A B Cx D ;x x(x x ) (x px q) (x x ) x px q

47

42 2 2 2 2

11

P (x) A Bx C Dx E ;x x(x x )(x px q) x px q (x px q)

........ 2(p 4q 0) . (2.5)

Đặc điểm: - Mẫu là luỹ thừa của nhị thức x – a : Tử là hằng.

- Mẫu là lũy thừa của tam thức không nghiệm 2x px q : Tử là nhị

thức.

Các hằng số A, B, C, … được tính theo phương pháp hệ số bất định.

Bước 2. Tích phân các phân thức đơn giản thu được

* Tích phân các phân thức n1

(x a) dễ dàng :

n 1

ndx dx (x a)ln x a C; C.

x a n 1(x a)

* Tích phân các phân thức 2 nAx B

(x px q)

theo công thức truy hồi.

Ví dụ 2.8. (i). 4

2 2x dx

x a (a > 0).

Chia đa thức rồi lấy tích phân ta được

4 32 2 2 3

2 2a x xF(x) x a dx a x a arc tan C.

3 ax a

(ii) 2

2 2(2x 1)dx

(x 1) (x 1)

. Ta có

2

2 2 2 22x 1 A B Cx Df (x)

x 1(x 1) (x 1) (x 1) x 1

.

Sau khi quy đồng mẫu số, hai tử thức ở hai vế phải bằng nhau. Vậy

2 21 3 xI dx

2(x 1) 2(x 1) 2(x 1)

48

21 3 1 1ln x 1 ln(x 1) C.2 2 x 1 4

Lưu ý. Ta có thể trình bày gọn hơn, không nêu quá trình tìm hệ số. #

b. Tích phân các hàm lượng giác

* Ba dạng sau có thể tách hàm dưới dấu tích phân thành tổng

cosaxcosbxdx; sin axsin bxdx; sin ax cosbxdx .

n n* cos xdx; sin xdx n 6 : Hạ bậc; n 6 : Dùng công thức truy hồi.

n* tan x dx : Viết n n 2 2tan x tan x((tan x 1) 1)

* R(sin x,cos x)dx (R(u, v) là biểu thức hữu tỷ của 2 biến u, v)

R(sinx,cos x) là hàm lẻ với sinx : Đặt t = cosx ;

R(sinx,cos x) là hàm lẻ với cos x : Đặt t = sinx;

R(sin x,cosx) chẵn với sinx và cosx : Đặt t = tan x.

Trường hợp tổng quát : Đặt xt tan2

.

Ví dụ 2.9. Tính các tích phân

i. 2 2sin x cos xdx , ii. 3

2cos x dxsin x ,

iii. 4tan xdx , iv. sin x ln(tan x)dx .

Giải. i 2 2 21 x sin 4xsin x cos x dx sin 2x dx C4 8 32

ii. 3 2

2 2cos x cos x cos xdx dxsin x sin x

2

2(1 sin x)d(sin x) 1 sin x C

sin xsin x

iii. 4 2 2tan xdx tan x (1 tan x) 1 dx

2 22

32

2

1= tan x dx ((1 tan x) 1)dxcos x

1 tan xtan x d(tan x) dx x tan x x C.3cos x

iv. sin x ln(tan x)dx ln(tan x)d(cosx)

49

21 1cosx ln(tan x) cosx dx

tan x cos x

dx xcosx ln(tan x) cosx ln(tan x) ln tan C.sin x 2

#

c. Tích phân các hàm vô tỷ

Ngoài các phép đổi biến thông dụng, ta còn có những nhận xét sau.

* Để khử căn thức, ta có thể đặt biến mới là căn thức có mặt: 1r rf (x) R(x, (ax b) , ... , (ax b) ) : Đặt 1/mt (ax b) .

1r rf (x) (x, x , ... , x ) : Đặt 1/mt x .

1 1 1 1r m / n ,..., r m / n , m BCNN(n ,...,n )

Ví dụ 2.10. 3dx

x x . Đặt 6 56t x 0 x t ; dx 6t dt.

53 6 6

3 2t dtI 6 ... 2 x 3 x 6 x 6ln( x 1) C

t t

. #

Bài tập về nhà cho Chương 2: Tích phân 1(b,c), 2(b), 3(a,b), 4(a,b), 5(b,c), 6(b,c,d), 7, 8, 9(a), 10(b,c,d,e), 11(a,b,c), 12(a,b,c), 13(a,b), 14(a), 15(b),

Yêu cầu SV chuẩn bị: Làm bài tập theo kế hoạch Đọc trước bài “Tích phân xác định”, (TL1, tr 193 -199)

50

Bài giảng4: Tích phân xác định - Ứng dụng Chương II: Tích phân

Mục: §2.2. Tích phân xác định (1t) §2.3. Ứng dụng của tích phân (1t) Bài tập: Tích phân bất định (1t) Tích phân xác định (2t)

Tiết thứ: 16 - 20, Tuần thứ: 4 - Mục đích, yêu cầu: Nắm được một vài tính chất ban đầu của tích phân xác định; Nắm được cách tính TPXĐ chủ yếu như sử dụng công thức

N-L, đặt, đổi biến, TP từng phần; Nắm được cách tính diện tích hình phẳng, độ dài đường cong, diện

tích mặt cong, thể tích vật thể. - Hình thức tổ chức dạy học:

Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính:

§2.2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (1t)

2.2.1. Định nghĩa và các tính chất mở đầu Định nghĩa. Cho f(x) xác định trên đoạn [a, b]. Xét phép phân hoạch đoạn [a, b] xác định

bởi các điểm chia liên tiếp 0 1 nx , x ,..., x với

0 1 na x x ... x b .

Đặt i i i 1x x x là độ dài của đoạn con thứ i i 1 ix , x . Trên mỗi đoạn con này lấy

một điểm i tùy ý. Tổng

n

n i ii 1

S f ( ) x

,

được gọi là một tổng tích phân của hàm f(x) ứng với phép phân hoạch và cách chọn các điểm trung gian ( i ) đã nêu.

Hình 2.1. Một tổng tích phân

51

Nếu khi n sao cho n i1 i n

Max x 0

mà nS có giới hạn I hữu hạn, không phụ

thuộc vào phép phân hoạch đoạn [a, b] và cách chọn các điểm ( i ) thì giới hạn I được gọi là

tích phân (xác định) của hàm f(x) trên [a, b] và được kí hiệu là b

a

f (x)dx hay a , b

f (x)dx.

Khi đó hàm f(x) được gọi là khả tích (Riemann) trên đoạn [a, b]; f(x) là hàm dưới dấu tích phân, x là biến lấy tích phân, a là cận dưới, b là cận trên của tích phân.

* Quy ước a a b

a b a

f (x)dx 0; f (x)dx f (x)dx.

Ý nghĩa hình học. Nếu f(x) là hàm liên tục và b

a

f (x) 0 thì f (x)dx là diện tích hình

thang cong giới hạn bởi đường cong y f (x) , trục Ox và 2 đường thẳng x a, x b.

Trường hợp tổng quát, diện tích miền cho bởi b

a

f (x) g(x) dx

Hình 2.2. Diện tích hình thang cong

Tính chất sơ bộ Nếu hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a, b] thì bị chặn trên đó. Định lý 2.4. Hàm số f(x) liên tục trên [a, b] thì khả tích trên đó. Định lý 2.5. Hàm số f(x) bị chặn trên [a, b] và có không quá một số hữu hạn điểm gián

đoạn trên đoạn này thì khả tích trên đó. Hàm số f(x) được gọi là liên tục từng khúc trên [a, b] nếu nó liên tục tại tất cả các điểm

trên [a, b] có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm, tại đó hàm có gián đoạn loại I. Hệ quả. Hàm liên tục từng khúc trên [a, b] thì khả tích trên đó. Định lý 2.6. Hai hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a, b] chỉ khác nhau một số hữu hạn điểm

thì chúng cùng khả tích hoặc không trên đoạn [a,b] . Nếu chúng khả tích thì tích phân của chúng bằng nhau:

b b

a a

f (x)dx g(x)dx .

Hệ quả. Tính khả tích và giá trị của tích phân (nếu có) của hàm số không thay đổi nếu ta thay đổi giá trị của hàm số tại một số hữu hạn điểm.

Định lý 2.7 (Tính khả tích của hàm hợp). Giả sử (i) y f (u) là hàm khả tích trên đoạn [A, B].

52

(ii) u u(x), x [a, b] là hàm liên tục và có tập giá trị chứa trong [A, B].

Khi đó hàm hợp y f (u(x)), x [a, b] khả tích.

Hệ quả. Nếu f(x) và g(x) là hai hàm khả tích trên [a, b] thì tích f (x)g(x) và hàm trị

tuyệt đối | f (x) | cũng khả tích trên [a, b].

2.2.2. Các tính chất của tích phân xác định Định lý 2.8 (Tính chất tuyến tính). Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm khả tích trên đoạn [a, b]

còn và là hai số thực tùy ý. Khi đó hàm f (x) g(x) cũng khả tích trên [a, b] và

b b b

a a a( f (x) g(x))dx f (x)dx g (x)dx . (2.6)

Hệ quả. Giả sử f(x) và g(x) là những hàm khả tích trên đoạn [a, b] còn C là một số thực. Khi đó:

b

ab b

a a

dx b a,

Cf (x)dx C f (x)dx;

f (x) g(x) khả tích và b b b

a a a

(f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx . (2.7)

Định lý 2.9 (Hệ thức Chasles). Hàm f(x) khả tích trên [a, b] khi và chỉ khi nó khả tích trên mỗi đoạn con bất kì. Khi đó

b c b

a a cc [a, b], f (x)dx f (x)dx f (x)dx . (2.8)

Mở rộng. Nếu hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a, b] còn 1 2 nc , c , ... , c là các điểm trên [a, b] thì

1 2

1 n

c cb b

a a c c

f (x)dx f (x)dx f (x)dx ... f (x)dx . (2.9)

Định lý 2.10 (Tính dương của tích phân)

Nếu f(x) không âm và khả tích trên đoạn [a, b] thì b

af (x)dx 0 .

Hệ quả. (i) Cho f(x) và g(x) khả tích trên [a; b], ngoài ra x [a, b], f (x) g(x) . Khi

đó

b b

a af (x)dx g (x)dx .

(ii) Cho f(x) khả tích [a, b]. Đặt x [a, b] x [a, b]

m Inf f (x) ; M Supf (x)

. Khi đó

b

am (b a) f (x)dx M (b a) . (2.10)

53

Định lý 2.11. Nếu hàm số f(x) khả tích trên [a, b] thì hàm số |f(x)| cũng khả tích trên đó và

b b

a a

f (x)dx | f (x) | dx

b b b

a a a

| f (x) | dx f (x)dx | f (x) | dx

. (2.11)

2.2.3. Cách tính tích phân xác định

a. Công thức Newton-Leibniz

Định lý 2.12 (Định lý cơ bản của giải tích)

(i) Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a, b] thì x

a

(x) f (t)dt là một

nguyên hàm của f(x) trên [a, b]: x

a

d(x) f (t)dt f (x)dx

, x [a, b] .

(2.12) (ii) Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và F(x) là một nguyên

hàm của nó trên đoạn này thì b

ba

a

f (x)dx F(b) F(a) F(x) . (2.13)

(Công thức Newton - Leibniz).

Ví dụ 2.12. (i). b

a

I x dx (a, b 0; 1).

b 1b 1 1a

a

x 1I x dx b a .1 1

(ii) 4 4

2 22 2

dx d(x 2)

x 4x 10 (x 2) 6

2 42

6 42ln x 2 x 4x 10 ln4 22

.

54

(iii) 2 0 2

3 3 0

x x xI dx dx dxx 4 x 4 x 4

.

Vì x 4dx 1 dx x 4ln | x 4 | Cx 4 x 4

nên

0 23 0I x 4ln | x 4 | x 4ln | x 4 | 2ln 4 ln 6 1 . #

Ví dụ 2.13. Chỉ ra sai lầm trong trính toán sau đây: 1

122

2

1 1 1 3dx 1x 2 2x

.

Giải. Trước hết, hàm dưới dấu tích phân dương, kết quả lại âm, điều không thể. Phân tích

kỹ hơn, hàm số 21 / x không liên tục trên đoạn [ 2, 1] nên ta không được áp dụng công thức

Newton-Leibniz. Thực tế, tích phân ở vế trái không tồn tại (xem Hệ quả của Định lý 3.20).

b. Phương pháp đổi biến Định lý 2.13. Giả sử : (i) Hàm số f(x) liên tục trên khoảng suy rộng J chứa hai điểm a, b. (ii) Hàm số x(t), t [ , ] có đạo hàm x (t) liên tục và giữ dấu (hoặc có

thể đổi dấu hữu hạn lần) trên [ , ] , tập giá trị x ([ , ]) của nó nằm trong J và x( ) a , x ( ) b. Khi đó

b

a

f (x)dx f (x(t))x (t)dt

. (2.14)

Như vậy, khi cần tính tích phân ở vế trái, ta tìm phép đổi biến

x x(t) phù hợp sao cho tích phân ở vế phải (3.21) tính thuận lợi.

Chúng ta sử dụng tất cả các phép đổi biến như khi tìm nguyên hàm; ngoài ra ta có phép

đổi biến "đảo cận" rất hiệu quả sau đây:

a

0

f (x)dx : Đặt x a t ( t a x);

a

a

f (x)dx : x t ( t x);

b

a

f (x)dx : x (a b) t ( t (a b) x);

0

1f (x)dx : x .t

55

Ví dụ 2.14. Cho hàm f(x) khả tích trên đoạn [ a, a] . Khi đó

aa

a0

0

f (x)dx2 f (x)dx

nÕu f(x) lÎ ,

nÕu f(x) ch½n.

(2.15)

Thực vậy, 0 a

1 2a 0

I f (x)dx f (x)dx I I

. Với tích phân đầu ta đặt

x t, dx dt , ta được 0 a

1a 0

I f ( t)( dt) f ( x)dx.

Nếu f(x) chẵn thì a

10

I f (x)dx; lẻ thì a

10

I f (x)dx (đpcm). #

Ví dụ 2.15. Chứng minh rằng /2 /2

n n

0 0

cos xdx sin xdx

.

Giải. Chỉ việc đặt x / 2 t . Nhận xét. Thực ra theo quy nạp có thể thấy rằng

/2 /2

n n

0 0

(n 1)!!. khi nn!! 2cos xdx sin x dx

(n 1)!! khin!!

ch½n

n lÎ . (2.16) #

c. Phương pháp đặt biến

Để tính tích phân b

af (x)dx , ta cố gắng biến đổi f(x) thành dạng g(u(x)) u (x) . Khi đó

theo Định lý 3.18, b b (b)

a a (a)f (x) dx g (u(x))u (x)dx g (u)du

.

Nếu G(u) là một nguyên hàm của g(u) thì vế phải là baG ( (x)) .

Một cách hình thức, người ta viết quá trình trên như sau: b b b b

aa a af (x) dx g (u(x))u (x)dx g (u(x))d(u(x)) G ( (x))

trong đó G(u) là một nguyên hàm của hàm g(u). Ta nhắc lại điều kiện là: + g(u) liên tục trên khoảng suy rộng J nào đó;

56

+ u (x) liên tục và giữ dấu, hoặc chỉ được phép đổi dấu hữu hạn lần trên đoạn [a, b];

+ Tập giá trị u([a, b]) của hàm u(x) chứa trong J.

Ví dụ 2.16. Tính các tích phân

(a) 2

2

1

xcos(x )dx ; (b)

1

21

dxI (0 )x 2xcos 1

.

Giải. (a) Cách I. 2 2 22 1 2

x x x

1 1 1

xe dx x e dx xe dx

2 22 4

x 2 x

1

21 1 e e0 e d(x ) e .12 2 2

Cách II. 2 2 22 2 4

x x 2 x

1 1

21 1 e exe dx e d(x ) e12 2 2

.

Nhận xét. Ở cách II, chúng ta đã dùng cách đặt biến 2u x có đạo hàm u 2x đổi dấu (một lần) trong đoạn [ 1, 2] . Phương pháp đặt biến vẫn cho phép chúng ta thực hiện điều này.

(b) 2Do (0; ) nên x 2xcos 1 0 . Vậy hàm dưới dấu tích phân liên tục trên [-1; 1].

11

12 21

d(x cos ) 1 x cosI arc tansin sin(x cos ) sin

1 1 cos 1 1 cosarc tan arc tansin sin sin sin 2sin

. #

d. Tích phân từng phần

Khi cần tính tích phân b

a

f (x)dx , ta cố gắng viết hàm f(x) dưới dạng

f (x) u(x)v (x) trong đó u(x), v(x) là những hàm khả vi liên tục. Khi đó b b

a a

u(x)v (x)dx (u(b)v(b) u(a)v(a)) v(x)u (x)dx ,

hay b b

ba

a a

udv uv vdu. (2.17)

57

Như thế, ở giai đoạn đầu của quá trình lấy tích phân, ta đã tìm cách đưa một thừa số của hàm dưới dấu tích phân vào dấu vi phân d(.). Thực tế, ta đã lấy tích phân của chỉ riêng thừa số này (một phần của hàm f(x)). Ý nghĩa của thuật ngữ "từng phần" là như vậy.

Ví dụ 2.17. Tính các tích phân sau

(i) e e

999 1000

1 1

1x ln x dx ln xdx1000

e 1 0001000 e 999

11

1 999e 1x ln x | x dx .1000 1 000 000

(ii) /3 /3

20 0

x sin x dx (x sin x)d(tan x)cos x

/3

/30

0

(x sin x) tan x tan x (1 cosx)dx

/3 /3

0 0

3 sin x 33 dx sin x dx ... 1 ln 2.3 2 cosx 3

Lưu ý. (i) Với tích phân bất định chúng ta có 6 dạng có thể tính tích phân từng phần thuận lợi (xem Bảng 3.3). Với tích phân xác định 6 dạng đã nêu cũng có thể tính theo phương pháp tích phân từng phần.

(ii) Có thể ta không phải đưa bất kì thừa số nào vào dấu d(.), nói cách khác, ta đặt u f (x), v x ; đôi khi điều này rất hiệu quả.

d. Sử dụng máy tính bỏ túi. Một số máy tính bỏ túi như CASIO fx-100MS, fx-570MS, ... có thể tính được tích phân. Muốn vậy, ta ấn phím như sau.

dx f (x) a b n ) , , ,

Máy sẽ tính tích phân b

a

f (x)dx theo phương pháp Simpson với số bước nN 2 . Lưu ý

rằng có thể chọn n tùy ý từ 1 đến 9. Cũng có thể bỏ qua, không bấm phím n , khi đó máy tự động chọn giá trị n phù hợp. Với các hàm lượng giác cần chọn đơn vị góc là Radian.

Ví dụ, để tính tích phân /2

4

0

I sin x dx

, với 6N 2 64 đoạn chia, ta ần phím như sau:

dx ( sin ALPHA X ) 4 0 ,

([SHIFT] [EXP]) 2 6 ) , ,

Ta nhận được I 0,589048622 ; giá trị đúng 0,589048622, rất chính xác!

58

e) Sử dụng phần mềm tính toán khoa học và bảng tích phân Nhiều phần mềm tính toán khoa học như MAPLE có thể giúp ta tính tích phân xác định

rất chính xác. Nhiều bảng tích phân cũng đưa ra những tích phân xác định, tích phân suy rộng (xem bài § 3.4) của nhiều hàm đặc biệt, có nhiều ứng dụng trong thực tiễn.

§ 2.3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (1 tiết) 2.3.1. Tính diện tích hình phẳng a. Trong tọa độ Descartes

Khi các hàm 1 2f (x), f (x), f (x) liên tục, diện tích hình phẳng ở các Hình 3.9a, 3.9b cho bởi công thức

Hình 2.3. Hình phẳng trong tọa độ Descartes

b b

(a) (b) 1 2a a

S f (x)dx; S f (x) f (x) dx .

(2.18) b. Đường cong dưới dạng tham số Khi cần tính diện tích hình phẳng ở Hình 3.9a mà đường cong (L) cho

dưới dạng tham số (L) : x x(t), y y(t), t , còn các hàm y(t), x (t) liên tục, x (t) giữ dấu.

Nếu điểm (x( ), y( )) là đầu mút trái của (L) ( x (t) 0) thì:

S y(t) x (t)dt

Nếu điểm (x( ), y( )) là đầu mút phải của (L) ( x (t) 0) thì:

59

S y(t) x (t)dt

(2.19)

Có cách tính cho trường hợp tổng quát hơn. c. Đường cong cho dưới dạng tọa độ cực

Hình 2.4. Hình cong phẳng cho trong tọa độ cực

Chúng ta tìm diện tích miền phẳng cho ở Hình 3.10 (a). Cho một số gia d đủ nhỏ. Khi đó có thể coi bán kính r( ) không đổi trên đoạn [ , d ] . Vì vậy, diện tích S biến thiên

một lượng xấp xỉ bằng 2 2d 1dS r ( ) r ( )d2 2

.

Vậy diện tích miền phẳng ở Hình 3.10 (a) giới hạn bởi đường cong liên tục r r( ), và 2 tia ; cho bởi

21S r ( )d2

.

(2.20) Trường hợp tổng quát hơn ở Hình 3.10 (b) thì

2 22 1

1S r ( ) r ( ) d2

.

(2.21) Ví dụ 2.18. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi cung hình tim

(cardioid) r a(1 cos ) .

Giải. Do tính đối xứng, 2 2 21

0

1 3S 2S 2 a (1 cos ) d ... a2 2

. #

60

Hình 2.5. Cardioid khi a = 1

2.3.2. Tính độ dài đường cong Chúng ta dẫn ra sau đây các công thức tính độ dài của đường cong,

chúng dễ dàng nhận được bẳng lược đồ tích phân. a. Đường cong cho dưới dạng tọa độ Descartes Nếu đường cong (L) là đồ thị của hàm số y f (x), x [a, b] thì

b2

a

s 1 f (x) dx .

(2.22)

Hình 2.6. Đường cong dạng tọa độ Decates (a) và dạng tọa độ cực (b) b. Đường cong cho dưới dạng tham số

x x(t)(L) :

y y(t), t

thì 2 2s x (t) y (t) dt

. (2.23)

Trường hợp đường cong trong không gian cho dưới dạng tham số

x x(t)(L) : y y(t)

z z(t), t

2 2 2s x (t) y (t) z (t) dt

.

2.3.3. Tính thể tích vật thể

61

a. Trường hợp tổng quát. Giả sử vật thể giới hạn bởi mặt cong (P), hai mặt phẳng x = a, x = b sao cho một mặt phẳng bất kỳ vuông góc với trục Ox, cắt trục Ox tại điểm có hoành độ x thì cắt vật thể theo một thiết diện có diện tích bằng S(x) (Hình 3.14). Giả sử S(x) là hàm liên tục.

Cho x một số gia dx đủ nhỏ. Diện tích thiết diện S(x) coi như không đổi trên đoạn [x, x dx] . Do đó thể tích V biến thiên một lượng V xấp xỉ bẳng thể tích hình trụ, đáy có diện tích S(x) và chiều cao dx: V dV S(x)dx . Từ đó

Hình 2.7. Vật thể trong không gian với vi phân thể tích

b b

a a

V dV S(x)dx . (2.24)

b. Thể tích vật thể tròn xoay Cho miền phẳng D giới hạn bởi đường cong (L) với phương trình

y f (x), a x b, các đường thẳng x a; x b. Khi (L) quay quanh trục

Ox sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay, diện tích thiết diện S(x) bẳng 2f (x) .

Áp dụng (3.38), thể tích vật thể tròn xoay tạo thành là: b

2

a

V f (x)dx .

(2.25)

Hình 2.8. Hình thang cong tạo ra vật thể tròn xoay

62

2.3.4. Tính diện tích mặt tròn xoay

Giả sử (L) là đồ thị hàm số y f (x), a x b, với f (x), f (x) là những hàm liên tục trên đoạn [a, b]. Cho (L) quay xung quanh trục Ox ta được mặt tròn xoay.

Dùng lược đồ vi phân ta thu được công thức tính diện tích mặt tròn xoay: b

2

a

S 2 | f (x) | 1 f (x) dx . (2.26)

Ví dụ 2.19. Tính diện tích hình xuyến (hình vòng khuyên) sinh ra bởi đường tròn 2 2 2x (y b) a , (b a) quay quanh trục Ox.

Ta có

1 2

2 21

2 22

S S S

(S ) : y b a x ,

(S ) : y b a x .

Trong cả hai trường hợp thì 2

22 2xy

a x

. Vậy

a 22 2

2 2a

a 22 2

2 2a

xS 2 b a x 1 dxa x

x2 b a x 1 dxa x

aa 202 2

a

dx x4 ab 8 abarcsin 8 ab.aa x

#

Lưu ý. Nếu khối tròn xoay, mặt cong, ... nhận được do quay hình phẳng, đường cong ... quanh trục Oy thì cần chuyển sang biến y, hàm là x x(y) .

BÀI TẬP: Tích phân bất định (1t)

Tích phân xác định (2t) Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc thêm phần “Ứng dụng của TP (TL1, tr 223 - 226) Làm bài tập theo kế hoạch Đọc trước bài “Tích phân suy rộng”, (TL1, tr 226 - 232)

63

Bài giảng5: Tích phân suy rộng Chương II: Tích phân

Mục: § 2.4. Tích phân suy rộng (1t) Bài tập: Ứng dụng của TP xác định (1t) Tích phân suy rộng (1t) Ôn tập (2t)

Tiết thứ: 21-25, Tuần thứ: 5 - Mục đích, yêu cầu:

Nắm định nghĩa TP suy rộng loại I, một số tiêu chuẩn hội tụ.

Một số kết quả cho TP suy rộng loại II - Hình thức tổ chức dạy học:

Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính:

§2.4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG (1 tiết)

2.4.1. Tích phân với cận vô hạn (Tích phân suy rộng loại một)

a. Định nghĩa

(i) Cho hàm số f (x), x [a, ) . Biểu thức hình thức a

f (x)dx

được

gọi là tích phân suy rộng (loại một) của hàm f(x) trên [a, ) . Giả sử hàm f(x) khả tích trên [a, A], A a. Nếu tồn tại giới hạn hữu

hạn A

A a

I lim f (x)dx

thì ta nói tích phân suy rộng a

f (x)dx

hội tụ, có

giá trị bằng I, và ta viết a

f (x)dx I

.

Trái lại, khi không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn vô hạn, ta nói tích phân suy rộng phân kỳ.

64

Hình 2.9. Hình thang cong vô hạn như là giới hạn của hình thang cong hữu hạn

Ta dễ dàng hiểu ý nghĩa của tích phân suy rộng a

f (x)dx .

(ii) Nếu với a nào đó, cả hai tích phân suy rộnga

f (x)dx và

a

f (x)dx

hội tụ, ta nói tích phân f (x)dx

hội tụ và giá trị của nó được

tính bởi

a

a

f (x)dx f (x)dx f (x)dx

. (2.27)

Hình 2.10. Hình thang cong vô hạn hai phía

Trái lại, nếu ít nhất một trong hai tích phân a

f (x)dx hoặc

a

f (x)dx

phân kỳ, ta nói tích phân f (x)dx

phân kỳ. Định nghĩa này không phụ

thuộc vào việc chọn điểm trung gian a.

b. Công thức Newton Leibniz Công thức Newton Leibniz cho trường hợp cận hữu hạn vẫn giữ

nguyên giá trị, cụ thể là: Nếu f(x) liên tục trên [a, ) và F(x) là một nguyên hàm của nó thì

aa

f (x)dx F(x) | F( ) F(a)

, (2.28)

trong đó x

F( ) lim F(x)

.

Ví dụ 2.20. Tính tích phân x

0

I xe dx

.

65

Giải: Ta có

A A A

x x x A x0

0 0 0

xe dx x d(e ) x e e dx

A AAe 0 e 1 1 (khi A ) (Sử dụng quy tắc L'Hospital để tìm giới hạn). Vậy I 1 . Khi sử dụng công thức Newton Leibniz, ta có thể trình bày lại như

sau:

x x x x x0 0

0 0 0

xe dx x d(e ) xe e dx 0 0 e 1

. #

Ví dụ 2.21. Khảo sát sự hội tụ và tính giá trị (nếu có) của ptích phân

pa

dxIx

(a 0 ).

Giải: Với p 1 , tích phân trở thành aa

dx ln x |x

.

Với 1 p 1 pap

a

, p 1dx 1p 1, I x | a1 p , p 1x

p 1

Tóm lại:

p 1 : Tích phân pa

dxx

phân kỳ;

p 1 : Tích phân pa

dxx

hội tụ và 1 p

pa

dx ap 1x

. #

c. Tiêu chuẩn hội tụ Định lý 2.14 (Tiêu chuẩn so sánh). Cho f(x) và g(x) là hai hàm khả

tích trên [a, A], (a A) , ngoài ra 0 f (x) g(x) .

(i) Nếu a

g(x)dx

hội tụ thì a

f (x)dx

hội tụ.

(ii) Nếu a

f (x)dx

phân kỳ thì a

g(x)dx

phân kỳ.

66

Hình 2.11. So sánh diện tích 2 miền

Hệ quả. Nếu f(x), g(x) liên tục, không âm và

x

f (x)lim k, 0 kg(x)

thì các tích phân a

f (x)dx

và a

g(x)dx

cùng hội tụ hoặc cùng

phân kỳ. Lưu ý: (i) Vì sự hội tụ của tích phân suy rộng chỉ phụ thuộc vào dáng

điệu của hàm tại vô hạn, nên các giả thiết không âm hay bất đẳng thức 0 f (x) g(x) hai Định lý trên chỉ cần thoả mãn với x đủ lớn.

(iii) Vì p1

dxx

hội tụ p 1 , người ta hay so sánh f(x) với p1

x: Nếu

khi x , f(x) pAx

(A 0) thì a

f (x)dx

hội tụ p 1 .

Quy tắc (1.8) cuối mục 1.4.4 về thay tương đương với tích là rất có ích.

Ví dụ 2.22. Xét sự hội tụ các của tích phân:

a)3/2

2a

x dx1 x

; b)1

dxx 1 x

.

Giải: a) Khi x thì 3/2

2 2 1/2 1/2x 1 1 1 .

1 x (1 / x 1) x 2x

Vì 1p 12

nên tích phân phân kỳ.

b) Khi x thì 3/23/2

1 1 1 .x 1 x 1 xx 1

x

Vì 3p 12

nên tích phân hội tụ. #

67

d. Hội tụ tuyệt đối Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng của hàm có dấu bất kỳ (dấu

thay đổi) thường là khó khăn. Nếu có thể, ta hãy xét hàm trị tuyệt đối của nó. Có được điều này là do định lý sau đây.

Định lý 2.15. Giả sử f(x) khả tích trên đoạn [a, A], A > a. Nếu tích

phân a

f (x) dx

hội tụ thì a

f (x)dx

cũng hội tụ.

Chẳng hạn, để xét sự hội tụ của tích phân 22

cosx dxx

ta thấy

2 2cos x 10x x

, 22

1 dxx

hội tụ (vì p = 2 > 1).

Theo tiêu chuẩn so sánh tích phân 22

cosx dxx

hội tụ, từ đó tích

phân 2a

cosx dxx

hội tụ.

Định nghĩa. Đối với hàm f(x) khả tích trên đoạn [a, A] tuỳ ý, nếu tích

phân a

f (x) dx

hội tụ, ta nói tích phân a

f (x)dx

hội tụ tuyệt đối.

Trái lại, nếu tích phân a

f (x)dx

hội tụ, còn tích phân a

f (x) dx

không hội tụ, ta nói tích phân a

f (x)dx

là bán hội tụ hay hội tụ không

tuyệt đối, hay hội tụ có điều kiện.

2.4.2. Tích phân của hàm không bị chặn (Tích phân suy rộng loại hai)

Tương tự như trên, người ta định nghĩa tích phân suy rộng b

a

f (x)dx

cho hàm không bị chặn ở lân cận mút phải b, hay ở mút trái a, hay ở điểm trung gian c trong khoảng (a, b). Nhiều tính chất của TP suy rộng loại 1 như công thức Newton-leibniz, định lý so sánh, … vẫn bảo tồn.

Ví dụ 2.23. Tính diện tích miền nằm dưới đường 1y , 1 x 3

x 1

. (xem Hình (a)).

68

Giải: 3

31

1

1S dx 2 x 1x 1

2 2 2,83 (đvdt).

Ví dụ 2.24. Khảo sát sự hội tụ của p tích phân a

p0

dx (a 0).x

Giải: Tương tự như đã làm ở Ví dụ 3.33, ta thu được kết quả sau

p 1 : Tích phân a

p0

dxx hội tụ và

1 p

pa

dx a1 px

.

p 1 : Tích phân a

p0

dxx phân kỳ. #

Bài tập: Ứng dụng của TP xác định (1t) Tích phân suy rộng (1t)

Ôn tập (2t) Yêu cầu SV chuẩn bị: Làm bài tập theo kế hoạch Đọc trước bài “Giới hạn – Liên tục”, (TL2, tr 18 - 22)

72

Bài giảng 6: Hàm nhiều biến: Mở đầu – Cực trị Chương 3: hàm nhiều biến số

Mục: §3.1. Giới hạn, liên tục (tự đọc) § 3.2. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hai biến (2t) §3.2 Đạo hàm và vi phân cấp cao (1t) § 3.4. Cực trị (1t) Bài tập: Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hai biến (1t)

Tiết thứ: 26 - 30, Tuần thứ: 6 - Mục đích, yêu cầu:

Thấy được một số kết quả căn bản về giới hạn, liên tục của hàm nhiều biến, tương đồng với những khái niệm này ở hàm 1 biến.

Thuần thục tính đạo hàm riêng; ĐH hàm hợp Nắm được các khái niệm vi phân, ứng dụng; Tính được đạo hàm hàm ẩn; Nắm được ĐL Schwarz về đổi thứ tự lấy ĐH khi tính ĐH riêng

cấp cao Nắm được QT tìm cực trị của hàm 2 biến;

- Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu

- Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính:

Chương 3

HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

§ 3.1. GIỚI HẠN - LIÊN TỤC (tự đọc) 3.1.1. Hàm nhiều biến số

a. Định nghĩa. Cho nD . Ánh xạ f : D 1 n 1 nx (x ,..., x ) f (x) f (x ,..., x )

được gọi là hàm số trên D. D: tập xác định, f: hàm số; x: biến số (hay đối số). Lưu ý rằng biến số có n thành phần, mỗi thành phần xem như một biến độc lập (cho nên

hàm số trên n hay được gọi là hàm nhiều biến). 3.1.2. Giới hạn của hàm nhiều biến b. Giới hạn của hàm số

Định nghĩa. Cho hàm số f(u) xác định trên 2D và 0 0a (x ,y ) là một điểm giới hạn của D. Ta nói hàm f(u) có giới hạn khi u dần đến a nếu:

0, 0 , sao cho u D , 00 d(u,u ) f (u) . (3.1)

Khi đó ta viết u alim f (u)

hay f (u) khi u a .

Để đầy đủ, ta còn viết

73

0 00 0

(x,y) (x ,y )limf (x, y) ( hay f (x, y) khi (x,y) (x , y ))

(3.2)

Định lý 3.1. Hàm f(u) có giới hạn khi u dần đến a khi và chỉ khi

n n n nn n{u } D; u a; lim u a lim f (u )

. (3.3)

Hệ quả. Nếu u alim f (u)

thì với u (x, y) dần đến 0 0a (x , y ) theo một đường cong

tuỳ ý trong D, f(u) dần đến .

Hình 3.1. Điểm dần đến 0 0(x , y ) theo những đường khác nhau

Lưu ý. Các kết quả thông thường đối với giới hạn của hàm 1 biến như giới hạn của tổng, hiệu, định lý kẹp… vẫn còn đúng cho giới hạn của hàm nhiều biến.

Ví dụ 3.1. Tìm giới hạn

i) 2 22 2(x, y) (1,0)

1lim (x y )sinx y

; ii) 2 22 2(x, y) (0,0)

1lim (x y )sinx y

.

Giải. i)

2 22 2x,y 1,0

1lim (x y )sin sin1x y

.

ii) Hàm số xác định trên 2 /{(0,0)} . Ta có 2 20 f (x, y) x y 0 (khi (x, y) (0,0) .

Theo định lí kẹp, (x, y) (0,0) (x, y) (0,0)

lim f (x,y) 0 lim f (x, y) 0

.

Định nghĩa giới hạn vô hạn tương tự như với hàm một biến.

Chẳng hạn 2y

x khi (x,y) (0,3) ;

2x

2 2e 1y z

khi (x,y,z) (0,0,0). #

3.1.3. Sự liên tục của hàm số

Cho hàm số f (x,y), (x,y) D , trong đó D là tập tuỳ ý của 2 và 0 0(x , y ) D là điểm giới hạn của D. Ta nói f(x, y) liên tục tại 0 0(x ,y ) nếu

0 00 0(x, y) (x , y )

lim f (x, y) f (x , y )

. (3.4)

Giả sử 0 0 0 0a (x , y ) D, u (x, y) (x x,y y) D .

Đặt 0 0 0 0f f (x x, y y) f (x , y )

Khi đó hàm số f(u) liên tục tại 0 0(x ,y ) khi và chỉ khi

( x, y) (0,0)

lim f 0

. (3.5)

* Hàm f(x,y) được gọi là liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm 0 0(x , y ) D .

74

Lưu ý. Các định lí về tổng, hiệu, tích, thương, luỹ thừa, hợp hàm của các hàm liên tục, định nghĩa hàm sơ cấp và tính liên tục của chúng, các khái niệm và kết quả về sự liên tục đều đối với hàm một biến gần như vẫn còn bảo toàn cho trường hợp hàm nhiều biến.

§ 3.2. ĐẠO HÀM - VI PHÂN 3.2.1. Đạo hàm riêng (2 tiết)

Định nghĩa. Cho hàm số z f (x, y) xác định trong tập mở 2D , lấy điểm 0 0 0M (x , y ) D . Cố định 0y y thì 0f (x, y ) là hàm một biến x. Nếu hàm này có đạo hàm tại 0x x thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng của hàm z f (x,y) theo biến x (biến thứ nhất) tại điểm 0 0 0M (x , y ) , kí hiệu bởi một trong các cách sau:

0 0 0 0x 0 0 x 0 0

z(x , y ) f (x , y )z (x ,y ), f (x , y ), , .x x

Như vậy, cho x đủ nhỏ sao cho 0 0(x x, y ) D . Đặt: x 0 0 0 0z f (x x,y ) f (x , y )

gọi là số gia riêng của hàm số z f (x, y) đối với biến x tại 0 0(x , y ) . Khi đó

0 0 xx 0

f (x ,y ) zlimx x

.

Hình 3.2. Cách lập số gia riêng của hàm số

Đạo hàm riêng theo biến y tại 0 0(x , y ) , kí hiệu là

0 0 0 0y 0 0 y 0 0

f (x , y ) z (x , y )f (x , y ), z (x ,y ), hayy y

.

n 3 : định nghĩa tương tự. Quy tắc. Khi tính đạo hàm riêng theo biến nào đó, ta chỉ việc coi các

biến khác không đổi, rồi lấy đạo hàm theo biến đó như lấy đạo hàm với hàm một biến.

Ví dụ 3.2. Tính các đạo hàm riêng của hàm số

y y0 O 0 0x x x x

0 0 0 0(x , y ) (x x, y )

75

i. yz x , (x 0). ii. xz arctan , (y 0)y

.

Giải. i. y 1 yz zy x ; x ln x.x y

ii. 2 2 2 2 2 2 2z 1 1 y z 1 x x; .x y y1 (x / y) x y 1 (x / y) y x y

#

3.2.2. Vi phân của hàm nhiều biến Định nghĩa Cho hàm số z f (x, y) xác định trong tập mở D. Trong D lấy các

điểm 0 0 0 0(x , y ), (x, y) (x x, y y) . Biểu thức

0 0 0 0f f (x x, y y) f (x y ) được gọi là số gia toàn phần của hàm f(x,y) tại 0 0(x , y ) .

Nếu số gia f có thể biểu diễn dưới dạng f A x B y x y (3.6)

trong đó A, B là những hằng số không phụ thuộc vào x, y (chỉ phụ thuộc vào ), khi thì ta nói:

+ Hàm số f(x,y) khả vi tại 0 0(x , y ) ; + Biểu thức A x B y gọi là vi phân toàn phần của hàm z tại

0 0(x , y ) (ứng với số gia x, y của đối số x, y tương ứng), kí hiệu là 0 0dz(x , y ) hay 0 0df (x , y ) . Như vậy, 0 0dz(x , y ) A x B y . * Hàm số x r cos , y r sin gọi là khả vi trên D nếu nó khả vi tại

mọi điểm của D. Tính chất. Nếu f(x,y) khả vi tại 0 0(x , y ) thì liên tục tại đó.

CM: f A x B y x y 0 khi x, y 0 . Vậy hàm liên tục tại 0 0(x , y ) .

Định lí 3.2. Cho hàm f(x,y) xác định trong tập mở 2D và 0 0(x , y ) D .

(i) (Điều kiện cần để hàm khả vi). Nếu f(x,y) khả vi tại điểm 0 0(x , y ) thì tồn tại các đạo hàm riêng x 0 0 y 0 0f (x , y ), f (x , y ) . Các hằng số A, B trong định nghĩa vi phân cho bởi x 0 0 y 0 0A f (x , y ), B f (x , y ) ; nói cách khác,

0 0 x 0 0 y 0 0df (x , y ) f (x , y ) x f (x ,y ) y .

76

(ii) (Điều kiện đủ để hàm khả vi). Nếu hàm số z f (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục tại lân cận của điểm 0 0(x , y ) thì khả vi tại đó và

0 0 x 0 0 y 0 0dz(x , y ) f (x , y ) x f (x , y ) y . (3.7)

Chú ý. Giống như trường hợp một biến, nếu x, y là biến độc lập thì dx x; dy y . Từ đó,

0 0 x 0 0 y 0 0df (x , y ) f (x , y )dx f (x , y )dy .

Hệ quả. Nếu x yf (x, y), f (x, y) liên tục trong tập mở D thì

f (x,y) f (x, y)df (x, y) dx dyx y

. (3.8)

Ví dụ 3.3. Xét sự khả vi và tính vi phân dz(x,y), dz(0,1) (nếu có) của các hàm số 3 3z x y 3xy.

Giải. 2 2z z3x 3y, 3y 3xx y

, là những hàm liên tục trên 2 .

Vậy hàm số là khả vi trên 2 và 2 2dz 3[(x y)dx (y x)dy] . dz(0,1) 3dx 3dy 3( dx dy) . # Chú ý. Đối với hàm nhiều biến, sự tồn tại các đạo hàm riêng chưa

đảm bảo để hàm số khả vi. Ứng dụng vi phân để tính gần đúng. Nếu đặt 0 0 0 0x x x, y y y (hay x x x , y y y ) ,

từ định nghĩa vi phân ta có 2(S) : z f (x, y), (x, y) D

Dẫn đến công thức xấp xỉ

0 0 0 0 x 0 0 y 0 0f (x x, y y) f (x , y ) f (x ,y ) x f (x , y ) y

( 0 0 0 0f (x , y ) df (x , y ) ). (3.9) Công thức này cho phép tính giá trị gần đúng của hàm số dùng vi

phân. Vế phải là biểu thức tuyến tính của các biến x, y nên công thức cũng

có tên là xấp xỉ tuyến tính của hàm f tại lân cận điểm n . Giống như trường hợp một biến, khi áp dụng công thức (3.9) để tính

giá trị xấp xỉ của biểu thức A nào đó chúng ta phải: + Xác định dạng hàm f, + Xác định điểm 0 0(x , y ) , ở đó dễ tính (hoặc có sẵn) 0 0f (x , y ) , các đạo

hàm riêng x 0 0 y 0 0f (x , y ), f (x , y ) ,

+ Xác định các số gia x, y ; các số gia này phải đủ bé.

77

Ví dụ 3.4. Tính xấp xỉ 1,02A arctan0,95

.

Các bạn hãy trả lời câu hỏi “giá như?” 0 0(x , y )

Giá trị lẻ thứ nhất x Giá trị lẻ thứ hai y

} Dạng hàm f(x,y)

Giải. Xét hàm số yz arctanx

tại lân cận điểm (1,1).

x 2 2 2 21,1 1,1

1 y y 1z 1,1 ,2x x yy1

x

y 2 2 21,1 1,1

1 1 x 1z 1,1 .x 2x yy1

x

Suy ra A z 1 0,05;1 0,02 z 1,1 ( 1 / 2) 0,05 (1/ 2) 0,02

0,035 0,785 0,035 0,820.4

(Giá trị đúng A 0,8209 ). #

Công thức (3.9) được áp dụng hiệu quả để tính sai số của đại lượng đo.

3.2.3. Đạo hàm riêng của hàm hợp F(x, y) f (u(x, y),v(x,y)), (x, y) D .

Tính chất. Hợp của các hàm liên tục là hàm liên tục.

Định lí 3.3. Giả sử hàm f (u,v) có các đạo hàm riêng f f,u v

liên tục

trong , các hàm u(x, y), v(x, y) có các đạo hàm riêng u u v v, , ,x y x y

liên

tục trong D. Khi đó trong D tồn tại các đạo hàm riêng F F,x y

và

F F u F v ,x u x v xF F u F v .y u y v y

(3.10)

Để tiện kí hiệu, ta không phân biệt f và F khi tính đạo hàm riêng, vậy f f u f v f f u f v,x u x v x y u y v y

.

Xem CM trong [1].

78

Chú ý. i) Trường hợp z f (u(x,y)) thì z df (u(x, y)) u(x, y) z df (u(x,y)) u(x, y). ; . .x du x y du y

(3.11)

ii) Trường hợp z f (x,y), y y(x) z f (x,y(x)) (hàm một biến) thì

dz f f dydx x y dx

. (3.12)

iii) Trường hợp z f (x,y), x x(t), y y(t) z f (x(t), y(t)) thì dz f dx f dy. .dt x dt y dt

(3.13)

iii) Trường hợp z f (u,v,w) thì f f (u(x, y),v(x, y),w(x,y)) . Lúc đó

f f u f v f w ,x u x v x w xf f u f v f w .y u y v y w y

(3.14)

iv) Cho phép đổi biến u u(x, y)v v(x, y)

biến mỗi điểm (x, y) D thành

điểm (x, y) (u(x, y), v(x, y)) , ma trận

u vx xJu vy y

gọi là ma trận Jacobi của phép đổi biến u u(x, y), v v(x, y) . Định thức của ma trận J gọi là định thức Jacobi hay Jacobian của phép

đổi biến, ký hiệu là D(u,v)D(x, y)

:

u ux yD u,v

detv vD x, yx y

. (3.15)

Nhận xét ký hiệu: Các biến tham gia ở tử: Chỉ hàm số Các biến tham gia ở mẫu: Chỉ đối số

Ví dụ 3.5. Tính đạo hàm của hàm số hợp

i) 2 2z ln(u v ) với u xy, v x / y ;

79

ii) xy 2 2z e ln(x y ) .

Giải. i) 2 2 2 2z z u z v 2u 2v 1 2.y . ...x u x v x y xu v u v

;

4

2 2 2 2 2 4z z u z v 2u 2v x 2(y 1)x ...y u y v y u v u v y y(y 1)

ii) Thực ra, khi đạo hàm ta không cần viết ra các hàm trung gian u, v, w..., nên viết trực tiếp theo các biến cuối cùng x, y, z ... #

Sự bất biến dạng của vi phân Xét z f (u,v) , u, v là hai biến độc lập. Khi đó

OA

y 0 0. . (*)

Vẫn xét I 2 0 2 nhưng với u, v là biến phụ thuộc: AO .

z f (u(x, y),v(x,y)). Áp dụng (*): 2x 4cos , y 2sin 2 , 0 / 2. .

Từ chỗ f f u f vx u x v x

, ..., thay vào được

f u f v f u f vdz dx dyu x v x u y v y

f u f f v vdx dy dx dyu x y v x y

f fdu dvu v

. (**)

Như vậy công thức (**) cùng dạng với (*). Ta nói: Vi phân cấp một bất biến dạng (có cùng dạng (*) dù là biến độc lập

hay biến phụ thuộc). Áp dụng Nếu u u(x, y), v v(x, y) là các hàm khả vi thì

d u v du dv; d(uv) udv vdu;

2u vdu udvdv v

; df (u) f (u)du . (3.16)

Các công thức này đúng cho u, v là biến độc lập nên đúng cho u, v là biến phụ thuộc.

Ví dụ 3.6. Tính vi phân của các hàm số sau

i) 2yz arcsin ;

x ii) 2z arc tan (xy )

Giải.

80

i) 2 2

22 2 4 2 42

1 y x 2xydy y dx y( ydx 2x dy)dz dx xx y x x yy1

x

.

ii) 2 22 2 2 4

1 1dz d(xy ) (y dx 2xydy)1 (xy ) 1 x y

.

3.2.4. Đạo hàm hàm số ẩn a. Khái niệm (*). Cho trước một hệ thức giữa hai biến x và y:

F(x,y) = 0. (3.17) Nếu với mọi giá trị 0x trong một khoảng nào đó, có một (hoặc một số)

giá trị 0y sao cho

0 0F(x , y ) 0 thì ta nói rằng hệ thức (1.20) xác định một (hoặc một số) hàm ẩn y theo x: y y(x) trong khoảng ấy.

Vậy hàm số y f (x) được xác định một cách ẩn bởi hệ thức (3.17) nếu khi thế y f (x) vào (3.17), ta được đồng nhất thức: f (x,y(x)) 0 .

Ví dụ. 2 2

2 2x y 1a b

, 2 2ay a xb

và u x 1 x u 1v y 1 y v 1

,

x ( a, a) . Ta nói hệ thức 2 2

2 2x y 1a b

xác định 2 hàm ẩn trong khoảng

( a, a) . Không phải lúc nào cũng tìm được biểu thức tường minh. Chẳng hạn,

ta không thể giải x qua y hay y qua x từ biểu thức y xx y 1 (x, y 0) , mặc dầu tồn tại mối quan hệ hàm (ẩn) từ ràng buộc này.

Hàm ẩn vừa nói từ 1 ràng buộc, ràng buộc có 2 biến. Mở rộng: Từ 1 (2, 3...) ràng buộc, các ràng buộc có nhiều biến. Chẳng hạn * Hệ hai phương trình

F(x,y,z,u,v) 0G(x, y,z,u,v) 0

(3.18)

Nếu từ đây có thể giải ra được một (hoặc một số) cặp hàm u u(x,y, z)v v(x, y,z)

(3.19)

xác định trong một miền 2G nào đó, sao cho khi thay vào (3.18) ta nhận được những đồng nhất thức, thì ta nói (3.18) xác định một (hoặc một số) cặp hàm ẩn u, v của 3 biến x, y, z .

Nói chung, khi n biến độc lập được liên kết với nhau bởi m ràng buộc (z 2)dx 2(z 1)(dz dx) 0 2(z 1)dz zdx , thì có nhiều nhất m biến trong chúng là hàm của các biến còn lại.

81

b. Cách tính đạo hàm hàm ẩn Định lí 3.4. Định lý tồn tại và khả vi của hàm ẩn: Xem [1] Giả sử các điều kiện của Định lí 1.7 thoả mãn, thay y = f(x) vào (3.17)

thì F(x,y(x)) 0 với mọi x đủ gần 0x . Lấy đạo hàm 2 vế theo x:

x yF (x, y(x)) F (x, y(x))y (x) 0 x

y

F (x, y(x))y xF (x,y(x))

,

hay viết gọn: F

dy(x) xFdxy

. (3.20)

Định lí 3.5. Cho F(x,y,z) là hàm ba biến xác định trên tập mở 3G , 0 0 0(x , y ,z ) G sao cho 0 0 0F(x ,y ,z ) 0 . Giả sử rằng hàm F liên tục và có

các đạo hàm riêng x y zF , F , F liên tục tại lân cận 0 0 0(x , y ,z ) . Hơn nữa, giả sử rằng z 0 0 0F (x , y ,z ) 0 .

Khi đó từ hệ thức F(x, y, z) = 0, tồn tại hàm ẩn z z(x, y) tại một lân cận của 0 0(x , y ) , liên tục, khả vi liên tục tại lân cận 0 0(x , y ) và

0 0 0z(x , y ) z . Để tính các đạo hàm riêng của z(x,y), ta thay z z(x, y) vào (1.21):

F(x,y,z(x, y)) 0 với mọi (x,y) trong lân cận 0 0(x , y ) . Lấy đạo hàm hai vế theo biến x, rồi theo biến y ta được

F F z 0x z xF F z 0.y z y

.

Do zF 0 , điều này dẫn đến

FFz z yx , .F Fx y

z z

(3.21)

Ví dụ 3.7. Tính các đạo hàm riêng của hàm ẩn z z(x, y) xác định từ phương trình z 2 3F(x, y,z) e xy x z 1 0 .

Giải. xz

z

z F y 2xx F e 3z

, y

zz

Fz xx F e 3z

. #

CÁCH NHỚ!

CÁCH NHỚ!

82

§3.3. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO (1t)

Định nghĩa. Giả sử x yf (x, y), f (x, y) tồn tại trong tập mở

1 2(x,C ,C ) 0 . Như vậy, các đạo hàm riêng cấp một là những hàm số. Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một, nếu tồn tại, gọi là đạo hàm

riêng cấp hai. Có 4 đạo hàm riêng cấp hai: 2 2

xx yx2

2 2

xy yy2

f f f ff (x, y), f (x, y),x x x y y xx

f f f ff (x, y), f (x, y).y x x y y y y

Cứ thế ta định nghĩa cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn. Ví dụ 3.8. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số

2z x ln x y . 2 2

x yx xz 2x ln(x y) , z .

x y x y

2 2

xx xy yy2 2 23x x(x 2y) xz 2ln(x y) , z , z .

(x y) (x y) (x y)

#

Định lí 3.6 (Schwarz). Nếu trong một lân cận của điểm 0 0(x , y ) tồn tại các đạo hàm riêng hỗn hợp xy yxf (x, y), f (x, y) và các đạo hàm riêng này liên tục tại 0 0(x , y ) thì chúng bằng nhau tại 0 0(x , y ) :

xy 0 0 yx 0 0f (x , y ) f (x ,y ) . (3.22)

Như vậy, với các điều kiện của định lý, đạo hàm riêng hỗn hợp không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Định lý còn đúng cho trường hợp số biến n 3 cũng như cấp các đạo hàm riêng hỗn hợp 3 .

Vi phân cấp cao. Giả sử ta đã tính được vi phân cấp một x ydf f dx f dy .

Vi phân của df - khi coi dx, dy là những hằng số - nếu tồn tại, được gọi là vi phân cấp hai của z, kí hiệu 2d f :

2x xd f d(df ) d(f dx f dy) . (3.23)

Cứ như vậy, ta định nghĩa vi phân cấp cao hơn Công thức tính. Khi x, y là những biến độc lập, các số gia dx x,

dy y không phụ thuộc vào x, y. Giả sử tồn tại 2d f thì 2

x yd f d(df ) d(f dx f dy)

83

x y x x y y

2 2xx yx xy yy

(f dx f dy) dx (f dx f dy) dy

f (dx) (f f )dxdy f (dy) .

Giả sử xy yxf , f liên tục, khi đó chúng bằng nhau. Vậy 2 2 2

xx xy yyd f f (dx) 2f dx dy f (dy) . (3.24)

Công thức tượng trưng 2

2d f dx dy fx y

(3.25)

Tương tự n

nd f dx dy fx y

. (3.26)

Xảy ra công thức tương tự cho hàm nhiều biến hơn, 2

2d f (x, y,z) dx dy dz fx y z

2 22 2

2 2f fdx dy

x y

2 2 2 22

2f f f fdz 2 dxdy 2 dxdz 2 dydz

x y x z y zz

.

Nếu x, y không là biến độc lập thì giống trường hợp một biến, bất biến dạng không còn đối với vi phân cấp cao.

Ví dụ 3.9. Cho z là hàm của x, y xác định từ x zln 1z y . Tính

2dz,d z . Giải. Có thể tính các đạo hàm riêng rồi thay vào công thức tính vi

phân. Song cách sau đơn giản hơn. Giả sử yz 0 , vi phân 2 vế phương trình đã cho, dùng (1.19) thu được:

2 2zdx xdz y ydz zdy

zz y

2yzdx xydz yzdz z dy 0

z(ydx zdy)dz yz 0;x zy(x z)

(*)

Vi phân hai vế (*) rồi rút gọn dẫn đến: 2 2

22 3

z (ydx xdy)d zy (x z)

. #

84

§ 3.4. CỰC TRỊ (Phần đầu - 1t)

3.4.1. Cực trị địa phương của hàm nhiều biến

Định nghĩa. 2z f (x, y), (x, y) D , 0 0 0M (x , y ) là một điểm trong của D. Giả sử U là một lân cận đủ nhỏ của 0M .

* M U mà 0f (M) f (M ) thì:

0M gọi là điểm cực tiểu của hàm f(x,y); Hàm f(x,y) được gọi là đạt cực tiểu tại 0M ,

0f (M ) gọi là giá trị cực tiểu. * Tương tự với cực đại. Điểm cực tiểu, cực đại gọi chung là điểm cực trị; giá trị cực đại, giá trị

cực tiểu gọi chung là cực trị.

Hình 3.3. Cực trị địa phương của hàm 2 biến

Ví dụ 3.10. Xét cực trị hàm số 2 2z x 2x y 4y 7 .

G. 2 2z (x 1) (y 2) 2 2 . Dấu bằng đạt được x 1, y 2 . Vậy ( 1, 2) là đểm cực tiểu của hàm số đã cho, CTz z( 1,2) 2 . #

Định lí 3.7 (Điều kiện cần của cực trị). Giả sử hàm số z f (x, y) đạt cực trị tại 0 0 0M (x , y ) , và tại đó tồn tại các đạo hàm riêng

0 0f (M ) f (M ),x y

. Khi đó

0 0f (M ) f (M ) 0x y

. (3.27)

Chú ý. * Điều ngược lại không đúng. Cụ thể là: Có thể tại 0 0(x , y ) , cả hai đạo hàm riêng triệt tiêu ( x yf f 0 ), nhưng hàm số không đạt cực trị tại 0 0(x , y ) .

* Ta chỉ việc tìm cực trị tại những điểm tại đó:

z O 0y y 0x

D 0M

85

+ f f 0x y

: điểm dừng

+ Hoặc ít nhất một trong các đạo hàm riêng

} điểm tới hạn (nghi ngờ CT).

Định lí 3.8 (Điều kiện đủ của cực trị). Cho D là một tập mở của 2 . Giả sử hàm hai biến z f (x, y), (x,y) D có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của điểm dừng 0 0(x , y ) D . Coi vi phân cấp hai

2 2 22 2 20 0 0 0 0 0

o o 2 2f (x , y ) f (x ,y ) f (x ,y )d f (x , y ) dx 2 dx dy dy

x yx y

là dạng toàn phương của các biến dx, dy.

i) Nếu 2o od f (x , y ) xác định dương thì f đạt cực tiểu tại 0M .

ii) Nếu 2o od f (x , y ) xác định âm thì f đạt cực đại tại 0M .

iii) Nếu 2o od f (x ,y ) đổi dấu thì 0M không là điểm cực trị.

Lưu ý. Nếu 2o od f (x ,y ) suy biến (tồn tại dx, dy không đồng thời bằng 0 để

20 0 0d f (x , y , z ) 0 ) thì chưa có kết luận.

Nhận xét. Đặt 2 2 2

0 0 02 2

f (M ) f (M ) f (M )A , B , C ,x yx y

2B AC. (3.28)

Ma trận của dạng toàn phương 2o od f (x , y ) là

A BB C

.

Từ Đại số tuyến tính ta biết rằng dạng toàn phương xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính của nó dương; xác định âm khi và chỉ khi các định thức con chính đổi dấu, định thức con chính thứ nhất âm. Từ đó

Hình 3.4. Điểm yên ngựa

86

Định lý 3.8’. Giả sử xảy ra các giả thiết của Định lý 1.14. Khi đó i) Nếu 0; A 0 ( C 0) thì f đạt cực tiểu tại 0M .

ii) Nếu 0; A 0 ( C 0) thì f đạt cực đại tại 0M . iii) Nếu 0 thì 0M không là điểm cực trị.

Lưu ý. Khi 0, chưa có kết luận: Hàm f có thể đạt, cũng có thể không đạt cực trị tại 0M .

Để tiện lợi, người ta gọi điểm 0M ở trường hợp iii) là điểm yên ngựa (saddle point) (xem Hình 3.4a, b), dù rằng thực ra tình huống như ở Hình 3.4a mới đáng gọi là như thế.

Tổng quát cho trường hợp số biến lớn hơn 2.

Định lí 3.9. Cho D là một tập mở trong 3 . Giả sử hàm z f (x, y, z), (x, y, z) D có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của điểm dừng 0 0 0 0M (x , y ,z ) D , tại đó

0 0 0 0 0 0 0 0 0f (x , y ,z ) f (x ,y ,z ) f (x , y ,z ) 0x y z

. (3.29)

Xét dạng toàn phương của các biến dx, dy, dz 2

20 0 0 0 0 0d f (x , y ,z ) dx dy dz f (x , y ,z )

x y z

.

Khi đó,

Nếu 20 0 0d f (x ,y ,z ) xác định dương thì 0 0 0(x ,y , z ) là điểm cực tiểu;

Nếu 20 0 0d f (x ,y ,z ) xác định âm thì 0 0 0(x , y , z ) là điểm cực đại;

Nếu 20 0 0d f (x ,y ,z ) không xác định thì 0 0 0(x ,y , z ) không là điểm cực trị.

Bài tập sẽ chữa cho Chương 3: Hàm nhiều biến 1(a,b,c), 2(a,b), 3(c,d), 4(b,c),

5(b,c,d,e), 6(a), 7(a,b), 9, 10(a,b), 11(a,b), Bài tập: Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hai biến (1t) Yêu cầu sinh viên chuẩn bị: Xem lại bài “Cực trị Cực trị địa phương của hàm nhiều biến” (TL2, tr47 – 52); Làm bài tập theo kế hoạch; Xem trước bài “Giá trị lớn nhất, NN của hàm số” (TL2, tr 53-55)

87

Bài giảng 7: Cực trị - Giá trị Lớn nhất – Nhỏ nhất Chương 3: Hàm nhiều biến số

Mục: § 3.4. Cực trị (tiếp – 1t) § 3.5. Cực trị điều kiện (1t) § 3.6. Giá trị LN GTNN (1t) Bài tập: Đạo hàm và vi phân cấp cao (1t) Cực trị (1t)

Tiết thứ: 31- 35, Tuần thứ: 7 - Mục đích, yêu cầu:

Tìm được cực trị khi có thể đưa bài toán về ít biến hơn Tìm được GTLN, GTNN của một số hàm đơn giản.

- Hình thức tổ chức dạy học:

Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính:

§ 3.3. CỰC TRỊ (tiếp – 1t)

Ví dụ 3.11. Xét cực trị của hàm số 3 3z x y 3xy .

Giải. 2

x 02

1y

z 3x 3y 0 M (0,0)M (1,1)z 3y 3x 0

là các điểm dừng.

xx xy yyz 6x; z 3; z 6y.

+ Tại 0M : A 0; B 3; C 0 9 0 : Không đạt cực trị. + Tại 1M : A 6; B 3; C 6 9 36 25 0 . Vậy 1M là điểm cực tiểu của z (z đạt cực tiểu tại M1),

CTz z(1,1) 5 .#

Ví dụ 3.12. Tìm cực trị của hàm số 2 2y z 2u x (x, y,z 0)

4x y z .

Giải. Điểm dừng của hàm số xác định từ hệ 2

x 2

2

y 2

z 2

yu 1 04x

y z 1u 0 M ,1,12x 2y2z 2u 0y z

(điểm dừng duy nhất).

88

2 2

xx xy xz yy yz zz3 2 3 2 3y y 1 2z 2z 2 4u , u , u 0, u , u , u

2x y2x 2x y y z

Tính các đạo hàm riêng cấp hai này tại M, dẫn đến 2 2 2 2d u(M) 4dx 3dy 6dz 4dxdy 4dydz .

Đây là dạng toàn phương của các biến dx, dy, dz. Ma trận của dạng

toàn phương này là 4 2 0

A 2 3 20 2 6

.

Xét các định thức con chính của nó,

1 2 3

4 2 04 2

A 4 0, A 8 0, A 2 3 2 32 02 3

0 2 6

.

Vậy A là ma trận xác định dương, từ đó 2d u(M) xác định dương.

(Để chứng tỏ tính xác định dương của 2d u(M) ta còn có thể dùng cách sơ cấp hơn sau đây :

2 2 2 2

2 2 2 2 2

22 2

d u(M) 4dx 3dy 6dz 4dxdy 4dydz1 14(dx 2. dxdy dy ) 2(dy 2dydz dz ) 4dz2 4

14 dx dy 2(dy dz) 4dz 0.)2

Vì vậy hàm u đạt cực tiểu tại M, CTu u(M) 4 . # 3.4.2. Cực trị có điều kiện (1t) Baì toán1. Tìm cực trị của hàm u f (x, y,z) với điều kiện

F(x, y,z) 0 . Cách 1. Từ điều kiện F(x,y,z) = 0 giải ra z z(x, y) , thế vào hàm đã

cho ta được u f (x,y,z(x, y)) : Bài toán cực trị với hàm hai biến đã biết. Phải lưu ý giá trị hàm thu được trên biên của tập xác định (mới).

Ví dụ 3.13. Tìm cực trị của hàm số 2z 6x 2xy 1 với điều kiện 2x 2y 2 .

Giải. Từ điều kiện nhận thì 22y 2 x 0 x 2 . 2z 6x x(2 x) 1 x 4x 1 .

z 2x 4, z 0 x 2 .

89

x 2 2

z’ 0

z 5

11

y 2 0

Như vậy cực đại điều kiện là 5, đạt được tại ( 2, 2) ; Cực tiểu điều kiện là -11, đạt được tại (2, 0). Cách 2 (PP nhân tử Lagrange)(giới thiệu rất ngắn gọn – hoặc bỏ). 3.3.3. Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số (1t)

Định nghĩa. Cho hàm số 2f (x, y), (x,y) D . Nếu 0f (M) f (M ), M D , giá trị 0A f (M ) được gọi là giá trị

lớn nhất (GTLN) - hay cực đại toàn cục - của hàm f trên D. Tương tự, ta định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN) (cực tiểu toàn cục). Khi đã tìm được các điểm cực trị (địa phương), ta cần làm thêm các lí

luận phụ để kiểm tra xem đấy có phải là điểm cực trị toàn cục hay không. Trường hợp 1: miền đóng, giới nội Chúng ta biết rằng, nếu hàm f liên tục trên miền đóng, giới nội D thì

đạt GTLN - GTNN trên đó. Vậy nếu GTLN (GTNN) đạt tại một điểm trong của D thì điểm trong

đó phải là điểm tới hạn. Cũng có thể GTLN-GTNN đạt được trên biên. Dẫn đến quy tắc sau.

Quy tắc (Tìm GTLN - GTNN trên miền đóng, giới nội) Tìm những điểm tới hạn bên trong của D: 1 kM ,...,M ;

Tìm những điểm tới hạn trên biên của D: 1N ,..., N

Tính giá trị hàm số tại các điểm này: 1 k 1f (M );... ; f (M ); f (N );...; f (N ) ;

Kết luận: GTLN - GTNN của hàm là Max, Min các giá trị nhận được.

Hình 3.5. Các điểm tới hạn bên trong và trên biên của miền đóng, giới nội

90

Trường hợp 2: miền không giới nội (xem [1]) Ví dụ 3.14. Tìm GTLN - GTNN của hàm số

2 2z x y xy 3xy trong miền D {0 x 2, 0 y 2} .

Giải. 2

x1 2 3 42

z 2xy y 3y 0M (1,1), M (0,0), M (3,0), M (0,3)

z x 2xy 3x 0

.

Tuy nhiên chỉ có điểm 1M (1,1) là điểm trong của D, z(1,1) 1 . * y 0, x [0, 2] z 0 .

* 2y 2, x [0, 2] z 2x 2x, z 4x 2 ;

z 0 tại 1x2

, 1 1z , z(2) 4, z(0) 02 2

.

Vai trò x, y như nhau, so sánh mọi giá trị đã tính, ta thấy: Max z Max{ 1, 0, 4} 4 , đạt được tại (2,2) . Min z Min{ 1, 0, 4} 1 , đạt được tại (1,1). #

Ví dụ 3.15. Chứng tỏ rằng hàm số 2 3 4f (x, y) x (1 y) y

có một điểm dừng duy nhất, cũng là điểm cực tiểu địa phương, nhưng hàm số không đạt được giá trị nhỏ nhất.

Giải. Hệ ' 'x yf f 0 x = y = 0, vậy (0,0) là điểm dừng duy nhất.

2 3 4f (x, y) f (0,0) x (1 y) y 0, x và y 1 . Vậy (0,0) là điểm cực tiểu địa phương.

Mặt khác ,3

5x x

1 1lim f (x,x) lim x 1x x

nên f không có GTNN. Rõ ràng hàm f cũng không có GTLN. # TÓM TẮT CHƯƠNG 3

Các định lí về giới hạn, liên tục của tổng, hiệu, tích, thương, luỹ thừa, hợp hàm của các hàm, các hàm liên tục, định nghĩa hàm sơ cấp và tính liên tục của chúng, các khái niệm và kết quả về sự liên tục đều đối với hàm một biến vẫn còn bảo toàn cho trường hợp hàm nhiều biến.

Khi tính đạo hàm riêng theo biến nào đó, ta coi các biến khác không đổi, rồi lấy đạo hàm theo biến đó như lấy đạo hàm với hàm một biến.

Đạo hàm hàm hợp: F F(u(x, y),v(x, y)) F F u F vF F u F v ,y u y v yx u x v x

.

91

Đạo hàm hàm số ẩn: z z(x, y) xác định từ F(x, y,z) 0

yx

z z

Fz F z, .x F y F

Các phép toán về vi phân d (u v) du dv, d (uv) udv vdu,

2u vdu udvdv v

, df (u) f (u)du .

Dù u, v là biến độc lập hay biến phụ thuộc luôn có df (u) f (u)du .

Tính gần đúng 0 0 0 0 x 0 0 y 0 0f (x x, y y) f (x , y ) f (x , y ) x f (x , y ) y

Điều kiện cần của cực trị. f (x,y) khả vi, đạt cực trị tại 0M thì

0 0f (M ) f (M ) 0x y

.

Điều kiện đủ của cực trị Cho 0 0 0M (x , y ) là điểm dừng của hàm z f (x, y) . Đặt

2 2 20 0 0

2 2f (M ) f (M ) f (M )A , B , C ,

x yx y

2B AC.

i) Nếu 0; A 0 ( C 0) thì f đạt cực tiểu tại 0M .

ii) Nếu 0; A 0 ( C 0) thì f đạt cực đại tại 0M . iii) Nếu 0 thì 0M không là điểm cực trị.

Tìm GTLN - GTNN trên miền đóng, giới nội D + Tìm những điểm tới hạn bên trong của D: 1 kM ,...,M ; + Tìm những điểm tới hạn trên biên của D: 1N ,...,N ; + Tính: 1 k 1f (M );... ; f (M ); f (N );...; f (N ) ; + Kết luận: GTLN - GTNN của hàm là Max, Min các giá trị nhận

được. Cực trị có điều kiện Tìm cực trị của hàm f(x,y,z) với điều kiện F(x, y,z) 0 , ta có thể:

a) Đưa về trường hợp ít biến hơn b) Phương pháp nhân tử Lagrange

Yêu cầu sinh viên chuẩn bị: Làm bài tập theo kế hoạch; Xem trước bài “Tích phân bội” (TL2, tr 109 - 115)

92

Bài giảng 8: Tích phân kép Chương 4: Tích phân bội

Mục Bài tập: Cực trị, cực trị điều kiện (bỏ PP lagrange) (1t) GTLN, GTNN của hàm số (1t) Ôn tập (2t) §4.1. Tích phân bội (1t)

Tiết thứ: 36 - 40, Tuần thứ: 8

- Mục đích, yêu cầu: Nắm định nghĩa TP bội, cách xác định cận TP Bước đầu làm quen với đổi biến số khi tính tích phân bội

- Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu

- Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính:

Bài tập: Cực trị, cực trị điều kiện (bỏ PP lagrange) (1t) GTLN, GTNN của hàm số (1t) Ôn tập (2t)

CHƯƠNG IV - TÍCH PHÂN BỘI §4.1. TÍCH PHÂN KÉP (Phần đầu - 1t)

4.1.1. Mở đầu a. Định nghĩa Cho hàm số z f (x, y) , xác định trên D

là miền giới nội, có diện tích.

Chia D thành n mảnh nhỏ không dẫm lên nhau. Gọi các mảnh nhỏ đó là

1 n( S ),..., ( S ) và diện tích tương ứng của chúng là 1 nS ,..., S .

Trên mỗi mảnh ( iS ) lấy điểm iM tùy ý: i i i iM (x , y ) ( S ) . Lập tổng tích phân

Hình 4.1. Hình trụ cong

n

n i i ii 1

I f (x , y ) S

(4.1)

93

Gọi id là đường kính của mảnh ( iS ):

i i id d( S ) Sup{MN : M, N ( S )} .

Nếu khi n sao cho i nMax(d ) 0, I dần đến giới hạn hữu hạn I, không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn các điểm iM trên ( iS ) thì ta nói:

+ Hàm f(x,y) khả tích trên D;

+ I được gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trên D, ký hiệu là D

f (x, y) dxdy ;

+ D là miền lấy tích phân; f(x,y) là hàm dưới dấu tích phân.

Lưu ý. Ở trên ta dùng thuật ngữ miền có diện tích (hay cầu phương được).

Không cần quan tâm nhiều, đại thể đó là các tập thông thường.

b. Ý nghĩa hình học

Thể tích D

V f (x, y)dxdy . (4.2)

Cho f (x, y) 1 , được công thức tính diện tích miền phẳng:

D

dt(D) dxdy . (4.3)

c. Điều kiện tồn tại. Cho D là miền giới nội, (có diện tích).

* Nếu f(x,y) bị chặn, liên tục trên D thì khả tích trên D.

* Nếu f(x,y) bị chặn, liên tục từng mảnh trên D thì khả tích trên D.

d. Tính chất của tích phân kép Tích phân kép có các tính chất giống với tích phân xác định.

Định lý 4.1. Cho f(x,y), g(x,y) là các hàm khả tích trên miền (có diện tích) D nào đó, và a là một số thực. Khi đó

i) Các hàm f (x,y) g(x, y), af(x,y), f (x, y) khả tích trên D và

D D D

D D

(f (x, y) g(x, y))dxdy f (x, y)dxdy g(x,y)dxdy,

a f (x,y)dxdy a f (x, y)dxdy,

D D

f (x,y)dxdy f (x, y) dxdy . (4.4)

ii) Nếu D có thể tách thành hai miền (có diện tích) và không dẫm lên nhau (phần chung chỉ có thể là một phần biên của mỗi miền): 1 2D D D , thì

1 2D D D

f (x, y)dxdy f (x,y)dxdy f (x, y)dxdy . (4.5)

iii) Nếu f (x,y) g(x, y), (x, y) D thì

D D

f (x, y)dxdy g(x, y)dxdy . (4.6)

94

iv) Các hàm 2 2f (x,y)g(x, y), f (x, y), g (x, y) khả tích trên D và

2 2 2

D D D

f (x, y)g(x, y)dx dy f (x, y) dx dy g (x,y)dxdy (4.7)

(Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz).

Nghiệm đúng Định lý về giá trị trung bình.

4.1.2. Cách tính trong tọa độ Descates a. Miền lấy tích phân có dạng hình chữ nhật Định lý 4.2. Cho D {(x, y) : a x b, c y d} và giả sử f(x,y) là

hàm liên tục trên D. Khi đó tích phân d

c

f (x, y)dy xác định với mọi

x [a, b] và

b d b d

D a c a c

f (x, y)dxdy f (x, y)dy dx : dx f (x, y)dy

.

Đổi vai trò hai biến ta thu được d b

D c a

f (x,y)dxdy dy f (x, y)dx . (4.8)

Xét trường f (x, y) h(x).k(y) . Theo Định lý 2.2,

b d b d

D a c a c

h(x).k(y)dxdy dx h(x).k(y) dy h(x)dx . k(y)dy .

Hệ quả. b d

{a x b; c y d} a c

h(x).k(y)dxdy h(x)dx. k(y)dy

. (4.9)

Ví dụ 4.1. Tính i) 2

0 x,y 1

(x y )dxdy

,

ii) y

{0 x /2, 1 y 2}

sin 2x 2 dxdy

.

Giải. i) 1 1 1 3

y 12y 0

0 0 0

yI dx (x y )dy xy dx3

1

0

1 5x dx3 6

.

ii) /2 2 y

y /2 20 1

0 1

cos2x 2 3J sin 2x dx. 2 dy .2 ln 2 ln 2

. #

95

b. Miền lấy tích phân có dạng bất kỳ Nếu D là hình thang cong

1 2D {(x, y) : a x b, y (x) y y (x)} (Hình 2.2a), 1 2y (x), y (x) liên tục trên [a, b], hàm f(x,y) liên tục trên D thì

2 2

1 1

y (x) y (x)b b

D a y (x) a y (x)

f (x,y)dxdy dx f (x, y)dy f (x, y)dy dx.

(4.10)

D-hình thang cong đáy//Ox:

1 2D {(x, y) : c y d, x (y) x x (y)} f(x,y), 1 2x (y), x (y)

là những hàm liên tục thì

Hình 4.2. Một số miền lấy tích phân thông dụng trong 2

2 2

11

x (y) x (y)d d

D c x (y) c x (y)

f (x,y)dxdy dy f (x,y)dx f (x, y)dx dy.

(4.11)

D vừa có dạng ở Hình 4.2a, vừa có dạng ở Hình 4.2b (xem Hình 4.2c): Chọn một trong hai công thức (4.10) hoặc (4.11). Từ đó

2 2

1 1

y (x) x (y)b d

D a y (x) c x (y)

f (x,y)dxdy dx f (x,y)dy dy f (x, y)dx (4.12)

Dường như luôn có một thứ tự lấy tích phân thuận lợi hơn thứ tự kia! Hướng dẫn cách xác định cận TP (xem [1]). Để xác định các cận

tích phân ở công thức 2.11 một các thuận lợi, ta hãy lấy một đường thẳng Ox và cho dịch chuyển từ trái qua phải; lần đầu tiên đường này chạm vào

miền D sẽ cho ta cận dưới a, lần cuối cùng ra khỏi D sẽ cho ta cận trên b. Với x trung gian giữa a và b, biến tích phân y sẽ chạy từ cận dưới 1y (x) đến cận trên 2y (x) . Tương tự cho các trường hợp khác.

96

Ví dụ 4.2. Tính 2

D

I x (y x)dxdy , D là miền giới hạn bởi các

đường 2 2y x và x y .

Giải. 2x y 0 y x .

Giao điểm: 2 2y x , y x x 0, x 1.

22

1 x 1 2y x2 2 3y x

0 0x

y 1I dx x (y x)dy x x y dx ... .2 504

#

Ví dụ 4.3. Cho D là miền giới hạn bởi các đường

y x, y x 1, y 1, y 3 .

Tính 2 2

D

I (x y )dxdy .

Giải.

D {(x, y) :1 y 3, y 1 x y} .

y3 3 3

x y2 2 2x y 1

1 y 1 1

xI dy (x y )dx y x dy3

3 3 3

3 2

1

y (y 1)y y (y 1) dy ... 143 3

. #

Ví dụ 4.4. Tính tích phân 21 2

x

0 2y

dy e dx . (Không có nguyên hàm sơ cấp)

2 2 2 22 x/2 2 2x x x 2 x 2 4

00 0 0 0

1 1 1 1I dx e dy xe dx e d(x ) e e 12 4 4 4

.

4.1.3. Đổi biến số với tích phân kép

a. Công thức đổi biến tổng quát

Để tính tích phân kép nhiều khi ta dùng phép đổi biến

x x(u,v)y y(u,v), (u,v) D'

. (4.13)

+ x(u,v), y(u,v) là các hàm liên tục, có các đạo hàm riêng liên tục

trong miền đóng, giới nội D Oxy, ( D có diện tích);

y 3 1

O 1 3 x

97

+ (2.14) xác định một song ánh (đơn ánh và lên) từ D D Oxy ;

+ Định thức Jacobi

u v

u v

x xD(x, y)J det 0, (u,v) D'y yD(u,v)

;

(có thể trừ ra tại một số hữu hạn đường). Khi đó

D D '

f (x,y)dxdy f (x(u,v),y(u,v)) J dudv . (4.14)

Chú ý. i) Tính chất của định thức Jacobi là:

D(u,v) D(x, y) 10 D(u,v)D(x, y) D(u,v)D(x, y)

. (4.15)

Điều này có thể giúp ta tính định thức Jacobi J thuận lợi hơn.

ii) Bằng đổi biến u x, v y ta nhận được kết quả hữu ích sau:

* Cho D là miền đối xứng qua trục Ox, 1D là phần miền D phía trên

trục Ox (xem Hình 4.3a) thì

1DD

2 f (x, y)dxdy, f (x,y)f (x,y) dxdy

0, f (x,y)

ch½nví i biÕn y

lÎ ví i biÕn y (4.16)

(Hàm f(x,y) chẵn với biến y nếu f (x, y) f (x, y), (x,y) D

lẻ với biến y nếu f (x, y) f (x, y), (x, y) D ).

* Tương tự khi miền D đối xứng qua trục tung.

98

Hình 4.3. Miền đối xứng qua trục Ox (a) và qua trục Oy (b) Ví dụ 4.5. Tính tích phân 4 5

D

I (x y) (x 2y) dxdy .

trong đó D là miền giới hạn bởi các đường thẳng x y 2, x y 3, x 2y 1, x 2y 2.

Giải. D {(x, y) : 2 x y 3, 1 x 2y 2} . Đặt

2 1 2 1x u vu x y 13 3 3 3J det .v x 2y 1 1 1 1 3y u v

3 3 3 3

Khi đó miền D trở thành D {(v, v) : 2 u 3, 1 v 2} . 3 2 5 6

4 5 3 22 1

2 1

1 1 u vI du u v dv 147,73 3 5 6

.

Chú ý. Dùng tính chất (2.16) ta có cách thứ hai để tính J thuận lợi hơn:

1 1D(u,v) D(x,y) 1 13 J D(u,v)1 2D(x,y) D(u,v) 3

D(x, y)

. #

Bài tập sẽ chữa cho Chương 4: Tích phân bội - đường - Mặt 1(a,b,c,f,g), 2(a,b,c,d), 3(a,b,c), 4(a,b,c).

Yêu cầu sinh viên chuẩn bị: Làm bài tập theo kế hoạch; Xem trước bài “Đổi biến số với tích phân kép” (TL2, tr 116 - 122).

Bài giảng 9: Tích phân bội – Tích phân đường loại II Chương 4: Tích phân bội, TP đường – TP Mặt

Mục: § 4.1. Tích phân bội (tiếp -1t) § 4.2. Tích phân đường (3t) Bài tập: Tích phân bội (1t)

Tiết thứ: 41 - 45, Tuần thứ: 9

- Mục đích, yêu cầu: Thấy lợi ích của dùng đổi biến toạ độ cực khi tính tích phân

bội, thấy được khi nào nên dùng đổi biến tọa độ cực Nắm được các công thức tính TP đường loại II; Cách nhớ và áp dụng của công thức Green. Điều kiện TP độc lập với đường lấy TP.

99

- Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu

- Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính:

§4.1. TÍCH PHÂN KÉP (tiếp - 1t)

4.1.3. Đổi biến số với tích phân kép (tiếp)

b. Đổi biến tọa độ cực (1t)

Xét đổi biến tọa độ cực x rcosy rsin .

. Định thức Jacobi của phép biến

đổi là

r

r

x x cos rsinD(x,y)J det r 0y y sin r cosD(r, )

(trừ ra tại O(0,0)).

D D'

f (x,y)dxdy f (r cos ,rsin )rdrd . (4.17)

Đặc biệt, nếu miền D có dạng hình quạt như ở Hình 4.4 ta nhận được

1 2D { , r ( ) r r ( )} ,

2

1

r ( )

D r ( )

f (x,y)dxdy d f (r cos ,r sin )r dr

. (4.18)

Hình 4.4. Miền hình quạt

Cách xác định cận (Xem [1]). Để xác định các cận tích phân ở công thức (2.19) một cách thuận lợi, ta hãy quay tia Ot quanh O theo chiều ngược kim đồng hồ; lần đầu tiên tia này chạm vào miền D sẽ cho ta cận dưới , lần cuối cùng ra khỏi D sẽ cho ta cận trên . Khi góc trung gian

100

nằm giữa và , biến tích phân r sẽ chạy từ cận dưới AB

m (x, y,z)ds

đến cận trên 2r ( ) .

Ví dụ 4.6. i) Chứng minh rằng 2 2 2

42 2

{x y R }

R(x y )dxdy4

.

ii) Tính tích phân 22 2

D

1I sin(xy dxdy1 x y

,

với D là nửa trên hình tròn tâm O, bán kính 1. Giải. i) Đặt x r cos , y r sin thì J r , từ đó

2 R 4 42 R

00 0

r RI d r rdr 2 .4 2

.

ii) 21 22 2

D D

1I sin(xy )dxdy dxdy I I1 x y

x x(t), (lý do?)

y y(t), z z(t), a t b : đặt x rcos , y rsin , J r ,

1 1

2 2 2 2 2 20 0 0 0

r rI I d dr d dr1 r cos r sin 1 r

1 22 1

020 0

d(r 1)= d 1 r ( 2 1).2 1 r

#

Tọa độ cực co giãn (☼) (xem tài liệu [1]) x r cosx a r cos a

y b rsin y rsinb

(4.19)

Nhận xét. Hình dung tọa độ cực co giãn thuận lợi thông qua các đường đồng

mức. Các điểm trên trục tọa độ Ox, Oy có góc cực như nhau với tọa độ cực thông

thường cũng như tọa độ cực co giãn: Với cả hai loại tọa độ cực, các điểm trên tia Ox

đều có góc cực là 0, các điểm trên tia Oy đều có góc cực là / 2 ..., các đường đồng

mức 0, / 2, , 3 / 2, 2 ,... vẫn là các tia Ox, Oy,

Khi dùng tọa độ cực co giãn x a r cos , y b r sin , định thức Jacobi của

phép biến đổi là J ab r . Từ đó ta nhận được

101

D D'

f (x, y)dxdy ab f (ar cos ,brsin ) r drd . (4.20)

Ví dụ 4.7. Tính 2 2

2 3

D

x y( xy x y sin(y ))dxdy ; D 19 16

.

Giải. 2 31 2 3

D D D

I ( xy y )dxdy x dxdy sin (y )dxdy I I I .

D là miền đối xứng qua trục Oy, hàm f(x,y) = x lẻ với biến x, vậy 2I 0 . Tương tự, D đối xứng qua Ox, 3sin (y ) lẻ với biến y nên 3I 0 . Từ đó

1

2 21

D D

I I xy y dxdy 4 (xy y )dxdy

trong đó 2 2

1x yD 1, x, y 09 16

.

Đặt F(x, y, y ) 0 , ta được y

/24

10

0

r4,12 (6sin 2 8(1 cos2 ))d 24(3 2 ).4

#

Chú ý. i) Để thuận lợi, người ta còn dùng phép đổi trục

0 0

0 0

x X x X x xy Y y Y y y

để đưa gốc về 0 0(x , y ) ; tiếp theo dùng đổi biến X rcos , Y rsin .

Việc xác định cận của các biến r, nhiều khi khá dễ.

Thực chất của hai lần đổi biến trên là sử dụng phép đổi biến tọa độ cực dịch chuyển

0 0

0 0

x r cos x x x r cosy rsin y y y r sin

, với J r .

ii) Nhiều khi miền lấy tích phân cho phép ta sử dụng cả tọa độ cực thông thường và tọa độ cực dịch chuyển. Tuy nhiên khi thực hiện lấy tích phân lặp với loại tọa độ này thì dễ, với loại khác lại khó hơn nhiều. Không có một gợi ý cho điều này.

iii) Đôi khi, người ta còn dùng đổi biến tọa độ cực co giãn dịch chuyển

0

0

x x a r cosy y b r sin

, với J ab r .

4.1.4. Ứng dụng của tích phân kép a. Ứng dụng hình học

Diện tích mảnh phẳng + Thể tích vật thể (đã biết)

Diện tích mặt cong 2(S) : z f (x, y), (x, y) D

102

2 2x y

D

dt(S) 1 (f ) (f ) dxdy . (4.21)

Để áp dụng (4.21), D: Hình chiếu của S lên Oxy. Ví dụ 4.8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường Lemniscat

(L): 2 2 2 2 2 2(x y ) a (x y ) (a 0).

Giải. x rcos , y rsin , dẫn đến 2 2 2 2 2 2 2(r ) a (r cos r sin ) r a cos2 .

Từ tính đối xứng,

1

a cos 2/4 /4 2r a cos 2

1 r 0S 0 0 0

rS 4S 4 dxdy 4 d rdr 4 d2

/4

2 2 /4 20

0

2 a cos2 d a sin 2 a .

#

b. Một số ứng dụng cơ học * Khối lượng bản phẳng D:

D

m (x, y)dxdy; (4.22)

* Trọng tâm G GG(x , y ) :

G GD D

1 1x x (x, y)dxdy, y y (x,y)dxdy.m m

(4.23)

Đặc biệt, nếu vật đồng chất thì (x, y) const , công thức trên trở thành

G GD D

1 1x x dxdy, y y dxdyS S

(4.24)

trong đó S là diện tích miền D.

§ 4.2. TÍCH PHÂN BỘI BA (Tự đọc)

4.2.1. Mở đầu

a. Định nghĩa

Cho 3u f (x, y,z), (x,y,z) V , V: miền giới nội, có thể tích.

Chia V thành n mảnh nhỏ không dẫm lên nhau. Gọi các mảnh nhỏ đó là 1 n( V ),...,( V ) và thể tích tương ứng của chúng là 1 nV ,..., V .

Trên mỗi mảnh ( iV ) lấy điểm iM tùy ý: i i i i iM (x , y ,z ) ( V ) .

103

Lập tổng TP n

n i i i ii 1

I f (x , y ,z ) V

, (4.26)

Gọi nE là đường kính của mảnh ( iV ):

i i id d( V ) Sup{MN : M, N V } .

Nếu khi n sao cho 1 n nMax(d ,...,d ) 0, I dần đến giới hạn I hữu hạn, không phụ

thuộc vào cách chia miền V và cách chọn các điểm iM trên ( yux

) thì ta nói:

+ Hàm f(x,y,z) khả tích trên V;

+ I được gọi là tích phân bội ba của hàm f(x,y,z) trên V, ký hiệu là y u x u f (u) u x f (u) u (hay

V

f dxdydz hay f (u) u 0 …);

+ V là miền lấy tích phân; f(x,y,z) là hàm dưới dấu tích phân.

Lưu ý. Ở trên ta dùng thuật ngữ miền có thể tích. Đại thể, đó là miền không quá "lạ lùng"; miền ta xét thông thường luôn có thể tích.

b. Điều kiện tồn tại. Cho V là miền giới nội, (có thể tích).

* f(x,y,z) liên tục trên V thì khả tích trên V;

* f(x,y,z) bị chặn, liên tục từng mảnh trên V thì khả tích trên V.

c. Tính chất của tích phân bội ba

Giống với tích phân xác định.

4.2.2. Cách tính trong tọa độ Descates

a. Miền lấy tích phân là hình hộp

V = {(x, y,z) : a x b, c y d, e z f}

b d f

V a c e

f (x, y,z)dV dx dy f (x, y,z)dz

(Có thể đổi sang một thứ tự khác).

b. Miền lấy tích phân có dạng hình trụ cong 2

1 2V {(x, y, z) : (x, y) D , z (x, y) z z (x,y)} .

2 2

1 1

z (x,y) z (x,y)

V D z (x,y) D z (x,y)

I f (x,y,z)dxdydz f (x, y, z)dz dxdy : dxdy f (x,y, z)dz.

Hơn nữa, nếu miền D là hình thang cong có đáy // Oy (xem Hình 4.5)

1 2D {(x,y): a x b, y (x) y y (x)},

2 2

1 1

y (x) z (x,y)b

V a y (x) z (x,y)

I f (x, y,z)dxdydz dx dy f (x, y,z)dz. (4.27)

104

Hình 4.5. Miền hình trụ cong

Lưu ý. (ii) Miền D chính là hình chiếu của vật thể V lên mặt Oxy.

(iii) Để xác định các cận tích phân: Xem [1].

Nếu vật thể có dạng hình trụ cong, với đường sinh song song với trục Ox (hoặc Oy) thì cần điều chỉnh thủ tục đi ít nhiều; chẳng hạn để tìm miền D ta phải chiếu vật thể V lên các mặt Oyz (hoặc Ozx).

Ví dụ 4.9. Tính tích phân bội ba

3V

1I dxdydz(1 x y z)

,

V là vật thể giới hạn bởi các mặt tọa độ và mặt phẳng x y z 1 .

G. x y z 1 z 1 (x y) .

Chiếu V xuống mặt phẳng Oxy ta nhận được tam giác OAB. Vậy

Hình 4.6. Vật thể ở Ví dụ 4.9

1 x y1 1 x

30 0 0

1I dx dy dz(1 x y z)

1 1 x 2

z 1 x yz 0

0 0

(1 x y z)dx dy2

1 1 x

20 0

1 1 1 1 5dx dy ... ln 2 .2 4 2 16(1 x y)

#

105

TÓM TẮT TÍCH PHÂN BỘI (TP kép)

TP kép

Cách tính

b d

[a,b] [c,d] a c

h(x).k(y)dx dy h(x)dx . k(y)dy

2

2 11

y (x)b

{a x b, y (x) y y (x)} a y (x)

f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy

Đổi biến tổng quát

x x(u,v), y y(u,v), (u,v) D , D D thì

D D'

f (x, y)dxdy f (x(u,v), y(u,v)) J dudv

D đối xứng qua Ox thì

1DD

2 f dxdy, f (x, y)f dxdy

0, f (x, y)

ch½nví i biÕn y

lÎ ví i biÕn y

Đổi biến toạ độ cực

D là hình quạt: x r cos , y rsin

2

1

r ( )

D r ( )

f (x, y)dxdy d f (r cos , rsin ) rdr

D là một phần của ellip: Dùng toạ độ cực co giãn

Ứng dụng

DT mảnh phẳng: D

dt(D) dx dy

KL: D

m (x, y)dxdy

Trọng tâm: G GG(x , y ) , GD

1x x (x, y)dxdym

, …

DT mặt cong: y y(x) TT hình trụ cong:

D

V f (x, y)dxdy

106

§ 4.3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT (xem [1]) § 4.4. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI (3t) 4.4.1. Mở đầu a. Bài toán công của lực biến đổi Ta biết rằng, nếu chất điểm di chuyển trên đoạn thẳng AB dưới tác

động của lực không đổi F

thì công của lực sinh ra là AB F .

Tổng quát hiện tượng này (xem [1]) cùng nhiều hiện tượng vật lý khác người ta dẫn đến khái niệm TP đường loại II sau đây.

b. Định nghĩa. Trong mặt phẳng Oxy xét đường cong định hướng L AB (chiều đường cong đi từ A đến B). Cho P(x,y), Q(x,y) là những

hàm xác định trên AB . Lập hàm véc tơ F P(x,y)i Q(x, y) j

. Chia AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia liên tiếp 0 1 nA A, A ,..., A B .

Gọi hình chiếu lên các trục Ox, Oy của véc tơ i 1 iA A

lần lượt là

i ix , y . Lấy điểm iM tùy ý trên cung i 1 iA A . Lập tổng tích phân

n n

n i i 1 i i i i ii 1 i 1

I F(M ) A A P(M ) x Q(M ) y

,

Nếu khi n sao cho i ii 1,...,n i 1,...,nMax x , Max y 0

mà tổng nI dần

đến giới hạn I hữu hạn xác định, không phụ thuộc vào cách chia cung AB , cách chọn các điểm iM thì:

+ Giới hạn I được gọi là tích phân đường loại hai của các hàm P(x,y), Q(x,y) (hay của trường véc tơ F(x, y) P(x,y) i Q(x,y) j

) trên cung AB

và ký hiệu là

AB

P(x, y)dx Q(x, y)dy hay LAB

Pdx Qdy hay Pdx Qdy ;

+ Các hàm P(x,y), Q(x,y) được gọi là khả tích trên AB . Chú ý. Tích phân được viết đơn giản hơn khi thành phần P (hoặc Q)

triệt tiêu, cũng như khi có thừa số chung:

AB

Qdy (hoặc AB

Pdx );

AB AB

HPdx HQdy H Pdx Qdy .

c. Điều kiện tồn tại

Nếu AB là đường cong liên tục, trơn từng khúc, các hàm P(x,y), Q(x,y) liên tục hoặc liên tục từng khúc và bị chặn thì tích phân đường loại hai

AB

Pdx Qdy tồn tại.

107

d. Tính chất. + Chiều đường cong có vai trò quan trọng: Nếu đường cong được lấy theo chiều ngược lại thì tích phân đường loại hai cùng trị tuyệt đối nhưng đổi dấu:

AB BA

Pdx Qdy Pdx Qdy .

+ Ngoài ra, TP đường loại hai cũng có các tính chất khác của TP xác định thông thường.

e. Ý nghĩa cơ học. Công của lực F P(x,y)i Q(x, y) j

tác động trên đường cong (định hướng) trơn từng khúc AB cho bởi

AB

W Pdx Qdy .

4.4.2. Mối liên hệ giữa tích phân đường loại một và loại hai

Giả sử đường cong định hướng L trơn từng khúc và tại điểm M(x,y) có véc tơ tiếp tuyến đơn vị (M) ( (M), (M))

. Khi đó

L L

P(x,y)dx Q(x,y)dy P(x,y) (x,y) Q(x,y) (x,y) ds

hay một cách tương đương:

L L L

P(x,y)dx Q(x,y)dy F(x,y) (x,y)ds F ds

.

Một số tài liệu dùng vế phải của PT này làm định nghĩa (và ký hiệu) của tích phân đường loại II.

4.4.3. Cách tính

a. Đường cong cho dưới dạng tham số. Nếu đường cong L AB cho dưới dạng tham số: x x(t), y y(t), a t b , ( t a ứng với điểm đầu A, t b ứng với điểm cuối B), các hàm x(t), y(t) liên tục, khả vi từng khúc, P(x,y), Q(x,y) là những hàm liên tục trên L thì

L

I P(x, y)dx Q(x, y)dy

b

a

P(x(t), y(t))x (t) Q(x(t), y(t))y (t) dt . (*)

b. Đường cong cho dưới dạng phương trình hiện.

+ L AB : y y(x), a x b , y(x) là hàm liên tục, khả vi từng khúc, x = a ứng với điểm đầu A, x = b ứng với điểm cuối B của đường;

+ P(x,y), Q(x,y) liên tục trên L thì

108

b

L a

I P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y(x)) Q(x, y(x))y (x) dx .

Chú ý. * Nếu đường cong chưa có dạng tham số thì khi lấy tích phân đường loại hai ta phải tham số hóa đường cong.

* Trong không gian, cũng ĐN TP đường loại hai của các hàm P(M), Q(M), R(M) (hay của trường véc tơ F(M) P(M) i Q(M) j R(M)k

) lấy

trên đường cong định hướng L:

L

I Pdx Qdy Rdz .

Các tính chất, cách tính ... tương tự với trường hợp đường cong phẳng, chẳng hạn:

Lb

a

P dx Qdy Rdz

P(x(t), y(t),z(t))x (t) Q(x(t), y(t),z(t))y (t) R(x(t), y(t), z(t))z (t) dt.

Ví dụ 4.10. Cho tích phân L

I (x y)dx xydy .

(a) Vẽ một số véc tơ của trường F

. (b) Tích phân mang dấu gì khi L là cung nối O(0,0) với A(1, 1) theo:

(i) cung parabol 2y x ; (i) đoạn thẳng AB?

Hãy tính giá trị của I để khẳng định nhận xét vừa đưa ra.

Giải. (a) F (x y, xy)

(Hình 4.7- Độ dài các véc tơ đã được co 5 lần).

(b) Ta thấy toàn bộ chuyển động đều xuôi theo trường, vậy I 0 . Cụ thể: Tiếp tuyến của đường cong đều tạo với véc tơ của trường một góc nhọn. Mọi số hạng i i 1 iF(M ) A A

trong tổng tích phân đều dương; tổng

tích phân cũng vậy, và do đó tích phân sẽ dương.

(i) Trên cung AB thì 2y x , vậy

109

12 2

0

27I (x x x.x .2x)dx30

.

(ii) Trên đoạn AB thì y x , vậy

1

0

4I (x x x.x)dx3

. #

Nhận xét. Đối với trường đã cho, TP trên hai đường cong nối O với A cho ra hai kết quả khác nhau.

Hình 4.7. Trường ở Ví dụ 3.2

4.4.4. Công thức Green Ta đưa ra vài khái niệm phụ trợ. * Miền liên thông. Miền nE được gọi là liên thông (liên thông

đường) nếu ta có thể nối hai điểm bất kì của nó bằng một đường gãy khúc nằm hoàn toàn trong E.

Nếu E mở thì có thể thay cụm từ “đường gãy khúc” bằng “đường cong trơn từng khúc”.

* Miền đơn liên. Miền liên thông U trong 2 được gọi là một miền đơn liên nếu mọi đường cong kín, có độ dài (đo được Jordan) đều bao bọc một miền nằm hoàn toàn trong U. Nói cách đơn giản, miền đơn liên là miền "không có lố thủng" và không thể chứa hai mẩu riêng biệt. Miền không đơn liên (miền có "lỗ thủng") là miền đa liên.

Hình 4.8. Miền liên thông(a,b) - không liên thông (c)

đơn liên (a), nhị liên (b) trong 2 * Hướng dương của biên của miền liên thông D - đơn liên cũng như

đa liên - là hướng mà một người đi theo hướng đó sẽ thấy phần miền D gần nhất luôn ở bên trái. (Xem Hình vẽ)

.

(b) (c) (a)

110

Hình 4.9. Hướng dương của biên của miền đơn liên (a) và nhị liên (b) Định lý 4.3 (Công thức Green). Cho D là miền đóng, bị chặn, liên

thông, có biên L gồm một số hữu hạn đường cong kín, trơn từng khúc, rời nhau đôi một và có hướng dương. Giả sử P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp một của chúng là những hàm liên tục trên D. Khi đó ta có công thức

L D

Q PPdx Qdy dxdyx y

.

Chứng minh. * Giả sử D là miền đơn giản, ở đó mọi đường thẳng song song với trục Ox hoặc Oy sẽ cắt biên L của nó tại không quá 2 điểm (Hình 4.10a).

Áp dụng công thức chuyển tích phân kép sang tích phân lặp ta được

221

1

y (x)b by y (x)y y (x)

D a y (x) a

b b

2 1a a

P PI dxdy dx dy P(x, y) | dxy y

P(x, y (x))dx P(x, y (x))dx.

Theo cách tính tích phân đường loại hai, vế phải là

LAmB AnB AmBnA

P(x, y)dx P(x,y)dx P(x, y)dx P(x, y)dx

CÁCH NHỚ!

111

Hình 4.10. Miền đơn giản (a), hình thang cong (b), và miền đa liên (c)

Tương tự, D L

QJ dxdy Q(x, y)dyx

Suy ra D L

Q PJ I dxdy Pdx Qdyx y

.

* D là hình thang cong có đáy // Oy, tức là mọi đường thẳng đi qua điểm trong của miền và // Oy sẽ cắt biên L của nó tại đúng hai điểm, ta thêm vào tích phân trên 2 đoạn CB và AD, ta nhận được kết quả tương tự.

* Các trường hợp khác: Bỏ qua chứng minh (xem [1])

Ví dụ 4.11. Tính

x x

AO

I (e sin y y)dx (e cos y 1)dy với AO là

nửa đường tròn 2 2x y 4x (y 0) , chạy từ A(4,0) đến O(0,0).

Giải. 2 2 2 2x y 4x (x 2) y 4 . ĐT C tâm (2,0), bán kính 2.

AO chưa kín, ta thêm vào đoạn thẳng OA để được đường kín. Từ đó,

OA OA L OAAO AO

I

L: biên của nửa trên của hình tròn (theo hướng dương). Vậy, x x

L D

(e cos y e cos y 1)dxdy 2 .

Trên OA thì OA

y 0 0. Tóm lại I 2 0 2 .

Nhận xét. Phương trình tọa độ cực của AO là r 4cos , do đó dạng

tham số của nó là 2x 4cos , y 2sin 2 , 0 / 2. Tuy nhiên, tính trực tiếp tích phân I dùng công thức (*) theo tham số sẽ khó khăn. #

112

4.4.5. Sự độc lập của tích phân đối với đường lấy tích phân

Nói chung, TP AB

Pdx Qdy phụ thuộc vào A, B cũng như vào bản

thân đường cong nối A với B (xem Ví dụ 4.10). Trong một số trường hợp, tích phân này chỉ phụ thuộc vào các mút A, B của đường mà không phụ thuộc vào đường nối A với B.

Định lý 4.4. Cho D là một tập mở, đơn liên trong 2 . Giả sử P(x,y), Q(x,y) cùng các đạo hàm riêng của chúng là các hàm liên tục trong D. Khi đó bốn mệnh đề sau là tương đương với nhau:

a) Q(x, y) P(x, y)x y

với mọi (x, y) D .

b) L

Pdx Qdy 0 với mọi đường cong L kín, không tự cắt, trơn

từng khúc nằm hoàn toàn trong D.

c) Tích phân AB

Pdx Qdy , trong đó AB là cung trơn từng khúc,

không tự cắt, nằm hoàn toàn trong D, chỉ phụ thuộc vào điểm đầu A, điểm cuối B mà không phụ thuộc vào đường cong trơn từng khúc, không tự cắt, nằm hoàn toàn trong D nối A với B.

d) Biểu thức Pdx Qdy là vi phân toàn phần, tức là tồn tại hàm u(x,y) có các đạo hàm riêng (cấp hai) liên tục trong D và du Pdx Qdy .

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh theo sơ đồ a) b) c) d) a) .

* a) b) . Giả sử L là đường cong kín bất kỳ, không tự cắt, trơn từng khúc, nằm trong D. Vì D là miền đơn liên nên miền (hữu hạn) G có biên là L cũng nằm trong D. Theo công thức Green ta có

L G

Q PPdx Qdy dxdy 0x y

.

* b) c) . Giả sử AmB, AnB là hai cung bất kỳ trơn từng khúc, có hai điểm chung duy

nhất là A và B, nằm hoàn toàn trong D. Khi đó AmBnA là đường cong kín trong D. Từ chỗ mệnh đề b) là đúng, ta có

AmBnA AmB BnA

AmB AnB

0 Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy

Pdx Qdy Pdx Qdy

113

Hình 4.11. Những cung nối A với B (a): Không cắt nhau, (b): Cắt nhau

Chú ý. i) Giả thiết đơn liên của miến D không bỏ qua được. Nếu D không đơn liên thì từ khẳng định a) ta không thể suy ra các khẳng định còn lại. Muốn nhận được các khẳng định còn lại, ta phải hạn chế xét trong miền đơn liên con D nào đó chứa trong D.

ii) Nếu tồn tại hàm u(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục trong miền D nói trên sao cho du Pdx Qdy thì F (P,Q)

gọi là trường thế, hàm

u(x,y) gọi là hàm thế (hàm thế năng, hàm thế vị) của trường, và có thể chứng minh rằng

BA

AB

Pdx Qdy u(B) u(A) u(M) . (4.28)

iii) Nếu D mở, đơn liên và một trong 4 khẳng định nêu trong Định lý 4.4 thỏa mãn, (Khẳng định (a) dễ kiểm tra hơn cả!) có thể tính hàm thế u(x,y):

AM

u(x, y) Pdx Qdy + C (4.29)

trong đó AM là đường cong tùy ý trơn từng khúc, không tự cắt, nằm trong D nối A với M.

Đặc biệt, nếu đường gấp khúc ACM (mỗi khúc của nó song song với một trong hai trục tọa độ) nằm trong D. Vậy

AC CM

u(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x,y)dx Q(x, y)dy C

0 0

yx

0x y

P(x,y )dx Q(x, y)dy C.

Tương tự cho trường hợp khi đường gấp khúc ABM nằm trong D.

Như vậy, nếu đường gấp khúc ACM (hoặc ABM) nằm trong D thì

114

u(x, y)

(chỉ số “0” đính vào biến một lần,

đính vào biến này ở tích phân lấy theo biến kia).

Hình 4.12. Đường gấp khúc mà mỗi khúc // trục tọa độ nối A với M

Ví dụ 4.12. Tính tích phân

xy 2

AO

I e y dx (1 xy)dy , với AO là

cung 2y xsin x đi từ A( ,0) O(0,0) .

Giải. xy 2 xy 2yP(x, y) e y P e (xy 2y) ;

xy xy 2xQ(x, y) e (1 xy) Q e (2y xy ).

Vậy y xP Q . Các hàm P, Q, y xP , Q liên tục. Từ đó, tích phân không phụ thuộc vào đường lấy tích phân, ta chọn đoạn thẳng AO nối A với O.

Trên AO, y = 0 nên 0

AO AO a

I Pdx Qdy Pdx 0dx 0. #

Ví dụ 4.13. Chứng tỏ rằng biểu thức y 2 y6x(e x)dx (3x y 2)e dy

là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Tìm hàm u(x,y) đó.

y y y0

O x0 x x

B M(x,y)

A(x0,y0) C

115

Áp dụng: Tính tích phân y 2 y

L

I 6x(e x)dx (3x y 2)e dy trong

đó L là đường 3 3y 3x 4x 0 đi từ điểm O(0,0) tới điểm A(1,1) .

Giải. * Vì yQ P6x ex y

, các hàm P, Q, Q P,

x y

liên tục (trên 2 )

nên theo Định lý 3.2 biểu thức đã cho là vi phân toàn phần. Chọn 0 0(x , y ) (0,0) , áp dụng công thức (3.17),

y xy y

0 0

u(x, y) (3.0 y 2)e dy 6x(e x)dx C

y 2 3y y x y 2 3

00

x x(y 2)de 6 e C e (y 3 3x ) 2x C2 3

.

* Theo (3.15), I u(1,1) u(0,0) e 5.

Nhận xét. Theo ngôn ngữ của lý thuyết trường , Ví dụ trên nghĩa là: Chứng tỏ y 2 yF 6x(e x) i (3x y 2)e j

là trường thế; tìm hàm thế.

Tìm lưu số của trường khi một chất điểm di chuyển từ O(0,0) tới A(1,1) ).

Vì F

là trường thế, tích phân đã cho bằng hiệu hai giá trị của hàm thế tại A và O: I u(1,1) u(0,0) e 5. #

Bài tập: Tích phân bội (1t)

Yêu cầu sinh viên chuẩn bị: Xem lại bài Tích phân đường loại II, đặc biệt là công thức Green và 4 mệnh đề tương đương; Làm bài tập theo kế hoạch;

116

Bài giảng 10: Tích phân mặt Chương 4: Tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt

Mục: §4.3. Tích phân mặt (1t) Bài tập: Tích phân đường (2t) Ôn tập (2t)

Tiết thứ: 46 - 50, Tuần thứ: 10 - Mục đích, yêu cầu:

Nắm sơ lược về tích phân mặt loại I, ứng dụng của nó. - Hình thức tổ chức dạy học:

Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính:

§ 4.5. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT (1t) 4.5.1. Mở đầu a. Định nghĩa. S: mặt hữu hạn, (có diện tích), Hàm số f (M) f (x, y, z) xác định trên S. Chia S thành n mảnh nhỏ, gọi các mảnh này là 1 n( S ),..., ( S ) và diện

tích của chúng lần lượt là 1 nS ,..., S . Trên mảnh iS lấy điểm i i i iM (x ,y ,z ) tùy ý. Lập tổng n

n i ii 1

I f (M ) S

.

Gọi id là đường kính của mảnh iS . Nếu khi n sao cho

ii 1,..., nMax d 0

mà các tổng nI dần đến một giới hạn I hữu hạn xác định,

không phụ thuộc vào cách chia mặt S cũng như cách chọn các điểm iM thì giới hạn đó được gọi là tích phân mặt loại một của hàm f(x,y,z) trên S và ký hiệu là

S S S

f (x,y,z)dS hay f (M)dS hay f dS.

Nếu mặt S kín thì ký hiệu là S

f (M)dS .

b. Điều kiện tồn tại. Giả sử rằng: i) Mặt S liên tục, giới nội, (có diện tích), trơn từng mảnh; ii) Hàm f(x,y,z) liên tục hoặc bị chặn và liên tục tùng mảnh trên

S. Khi đó tồn tại tích phân mặt loại một của hàm f(x,y,z) trên S. c. Tính chất. Giống tính chất của TP xác định.

117

4.5.2. Ý nghĩa a. Ý nghĩa hình học. Nếu mặt S liên tục, giới nội, trơn từng mảnh thì

diện tích S của nó có thể tính theo công thức

S

dt(S) dS . (4.30)

b. Ý nghĩa cơ học. Nếu khối lượng riêng của mặt tại mỗi điểm M(x,y,z) của nó là (x, y, z) thì:

i) Khối lượng của mặt cho bởi

S

m (x, y,z)dS ; (4.31)

ii) Trọng tâm G G GG(x , y ,z ) có các tọa độ được tính theo công thức

GS

GS

GS

1x x (x, y,z)dS,m

1y y (x, y,z)dS,m

1z z (x,y,z)dS.m

(4.32)

4.5.3. Cách tính + S: z z(x, y), (x, y) D (D miền đóng, giới nội) + z(x,y) cùng các đạo hàm riêng cấp một x yz , z liên tục trên D.

Khi đó 2 2

x yS D

f (x,y,z)dS f (x, y,z(x, y)) 1 z z dxdy . (4.33)

Tự đặt ra công thức tương tự cho các trường hợp khác.

118

Hình 4.13. Mặt cho bởi phương trình hiện (a) và mặt ở Ví dụ 3.9 (b)

Ví dụ 4.14. Tính tích phân 2

S

I z dS , trong đó S là một phần tám

mặt cầu 2 2 2 2x y z a (a 0); x, y,z 0.

Giải. Trên S thì 2 2 2z a (x y ), (x, y) D với D là phần hình tròn tâm O, bán kính a nằm ở góc phần tư thứ nhất. Ta có

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

z x z y,x ya (x y ) a (x y )

z z a1 .x y a (x y )

22 2 2

2 2 2D

2 2 2 2

D

aI (a (x y )) dxdya (x y )

a a (x y ) dxdy.

/2 a 42 2 2

0 0

aI a d a r rdr .6

(Tọa độ cực). #

§ 4.6. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI HAI (xem [1])

119

TÓM TẮT TÍCH PHÂN ĐƯỜNG - MẶT

TP đường loại hai

Cách tính

L: x x(t), y y(t), a t b ,

b

L a

Pdx Qdy P(x(t), y(t))x (t) Q(x(t), y(t))y (t) dt L: y y(x), a x b ,

b

L a

Pdx Qdy P(x, y(x)) Q(x,y(x))y (x) dx

Công thức Gree

n L D

Q PPdx Qdy dxdyx y

Độc lập với

đường

lấy TP

D mở, đơn liên, Q(x, y) P(x, y)x y

(x, y) D

thì: AB

Pdx Qdy không phụ thuộc vào đường nối A

với B, hàm thế u(x,y),du Pdx Qdy :

0 0

yx

0x y

u(x, y) P(x,y )dx Q(x,y)dy C

TP mặt loại một

Cách tính

2 2x y

S D

f (x,y,z)dS f (x, y,z(x, y)) 1 z z dxdy

Ứng dụng

Diện tích mặt cong:

S

dt(S) dS Khối lượng mặt cong:

S

m (x, y,z)dS

Trọng tâm: G G GG(x , y ,z ) ,

GS

1x x (x, y,z)dSm

…

Bài tập: Tích phân đường (2t) Ôn tập (2t)

Yêu cầu sinh viên chuẩn bị: Ôn tập toàn bộ cho tốt để kiểm tra giữa kỳ, lấy điểm quá trình; Làm bài tập theo kế hoạch; Xem trước bài “Chuỗi số” (TL1, tr. 263 – 267)

120

Bài giảng 11: Chuỗi số Chương 5: Chuỗi

Mục: Ôn tập (2t) Kiểm tra (1t) §5.1. Chuỗi số (1t) §5.2. Chuỗi số dương (1t)

Tiết thứ: 51 - 55, Tuần thứ: 11 - Mục đích, yêu cầu: Khái niệm hội tụ của chuỗi số Nắm được 3 tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương

- Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu

- Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính:

Ôn tập chương 4 (2t) Kiểm tra (1t)

CHƯƠNG V – CHUỖI §5.1. CHUỖI SỐ (1t)

5.1.1. Định nghĩa * Cho n{u } là một dãy số. Tổng hình thức

n 1 2n 1

u u u ...

(5.1)

được gọi là một chuỗi số.

1 2u ,u , ... : các số hạng; un: số hạng thứ n hay số hạng tổng quát.

Đặt 1 1S u

2 1 2

n

n i 1 2 ni 1

S u u. . . . . . . . . .

S u u u ... u

. . . . . . . . . .

nS gọi là tổng riêng thứ n. Dãy n{S } gọi là dãy tổng riêng.

121

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn nnlim S S

ta nói chuỗi hội tụ, có tổng

S (số S gọi là tổng của chuỗi) và viết 1 2 nS u u ... u ... hay

nn 1

S u

. Trái lại, ta nói chuỗi phân kì.

Nhận xét. * Sự hội tụ hay phân kì của chuỗi không thay đổi khi ta thêm, hoặc bớt, hoặc thay đổi một số hữu hạn số hạng của chuỗi.

* Đôi khi cần thiết hoặc thuận lợi nếu chuỗi bắt đầu tại một chỉ số khác 1:

* n ii n 1

R u

được gọi là phần dư thứ n của chuỗi. Chuỗi hội tụ khi

và chỉ khi chuỗi phần dư ii n 1

u

hội tụ. Rõ ràng khi đó nR 0 (n ) .

Ví dụ 5.1. Chứng tỏ rằng chuỗi n 1

1n(n 1)

hội tụ và tính tổng của nó.

Giải. n

ni 1

1 1 1 1 1S ...i(i 1) 1.2 2.3 (n 1)n n(n 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1... 11 2 2 3 n 1 n n n 1 n 1

.

Suy ra nnlim S 1

. Vậy chuỗi HT, có tổng bằng 1: n 1

1 1n(n 1)

. #

Ví dụ 5.2 (Chuỗi hình học (chuỗi ''cấp số nhân")).

n 2

n 0q 1 q q ...

(5.2)

Với n 1

nn

1 qq 1: S 1 q ... q1 q

.

nn

n n

1| q | 1: lim q 0 lim S1 q

.

nnn n

n

| q | 1: lim q lim S .

q 1: S n (n ).

122

2n 2n 1q 1: S 1, S 0 . Vậy không tồn tại giới hạn nnlim S

,

chuỗi phân kỳ.

Tóm lại, chuỗi n

n 0q

hội tụ khi | q | 1 ,

phân kỳ khi | q | 1 . #

5.1.2. Điều kiện cần để chuỗi hội tụ

Định lý 5.1. Nếu chuỗi nn 1

u

hội tụ thì nn

lim u 0

.

Chứng minh. Từ chỗ nn 1

u

hội tụ suy ra tồn tại giới hạn nn

lim S S

.

Từ đó n n n 1n nlim u lim (S S ) S S 0

.

Nhận xét. Mệnh đề phản đảo của Định lý trên cho ta một phương pháp rất tốt để chứng minh một chuỗi phân kỳ. Xét ví dụ sau.

Ví dụ 5.4. Xét sự hội tụ của chuỗi n 1

sin n.

Từ Ví dụ oqr Chương I ta biết rằng, không tồn tại giới hạn nlim sin n

.

Vậy chuỗi đã cho không hội tụ. #

5.1.3. Tiêu chuẩn Cauchy

Định lý 5.2 (Tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi số nn 1

u

hội tụ khi và chỉ

khi

n p n0, N , n,p , n N, p 0: S S . (5.3)

Ví dụ 5.4 Xét chuỗi điều hòa n 1

1 1 11 ...n 2 3

Ta thấy với 1 / 2 , với n nguyên dương bất kỳ thì

2n n1 1 1 1 1S S ... ...

n 1 2n 2n 2n 2

.

Vậy chuỗi điều hòa không hội tụ.

123

Lưu ý. Có thể chứng minh rằng

n1 11 ... C ln n2 n

( 5.4)

với C 0,5772... là hằng số Euler, n 0 (n ). #

5.1.4. Các tính chất về phép toán

Định lý 5.3. Nếu các chuỗi n nn 1 n 1

u , v

hội tụ còn a là số thực bất kỳ thì

các chuỗi n n nn 1 n 1

(a u ), (u v )

cũng hội tụ và

n n n n n nn 1 n 1 n 1 n 1 n 1

(a u ) a u ; (u v ) u v

.

§ 5.2. CHUỖI SỐ DƯƠNG ( 1 tiết)

5.2.1. Các tính chất mở đầu

Khi nu 0 n , chuỗi nn 1

u

được gọi là chuỗi số dương.

Với chuỗi số dương, dãy tổng riêng không giảm, thực vậy:

n 1 1 n n 1 n n 1 nS a ... a a S a S ,

Ta có ngay định lý:

Định lý 5.4. Chuỗi số dương nn 1

u

hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng

riêng n{S } bị chặn, tức là tồn tại một số M 0 sao cho với mỗi n 1 ,

n 1 2 nS u u ... u M .

Hệ quả. Chuỗi số dương nn 1

u

phân kỳ khi và chỉ khi nó phân kỳ

tới vô cùng, tức là nnlim S

.

Định lý 5.5 (Định lý so sánh). Cho hai chuỗi số dương nn 1

u ,

n

n 1v

sao cho n n0 u v . Khi đó

124

(i) Nếu nn 1

v

hội tụ thì n

n 1u

hội tụ;

(ii) Nếu nn 1

u

phân kì thì n

n 1v

phân kì;

(iii) Nếu nn n

ulim k, (0 k )v

thì hai chuỗi nn 1

u

và n

n 1v

cùng hội tụ hoặc cùng phân kì.

Ví dụ 5.5. Xét sự hội tụ của các chuỗi

(i) n 1

ln nn

; (ii) n

n 1sin ;

2

(iii) n 1

1ln 1n

.

Giải. (i) ln n 1 khi n 3n n

; chuỗi n 1

1n

phân kỳ. Vậy chuỗi

n 1

ln nn

phân kỳ.

(ii) n nsin (n );2 2

chuỗi nn 1 2

hội tụ. Vậy chuỗi đã cho HT.

(iii) 1 1ln 1 (n );n n

chuỗi n 1

1n

phân kỳ. Vậy chuỗi đã cho

phân kỳ.

Lưu ý. Nếu bỏ đi điều kiện chuỗi dương thì hệ quả trên không còn đúng. Ví dụ ở [1].

5.2.2. Các quy tắc khảo sát sự hội tụ

Định lý 5.6 (Tiêu chuẩn D’Alembert (Kiểm định tỷ số)). Giả sử đối

với chuỗi số dương nn 1

u

với nu 0 , tồn tại giới hạn n 1

n n

ulimu

.

Nếu 1 thì chuỗi nn 1

u

hội tụ;

Nếu 1 thì nnlim u

và chuỗi nn 1

u

phân kì.

Chứng minh.

125

Ví dụ 5.6. Xét sự hội tụ của chuỗi số nn 1

n 12

.

Giải. Đây là chuỗi số dương. Lại có n 1n nn

a n 1 1lim lim 1a 2(n 2) 2

.

Vậy chuỗi đã cho hội tụ. # Định lý 5.7 (Tiêu chuẩn Cauchy (Kiểm định căn)). Cho chuỗi số

dương nn 1

u

sao cho n nn

lim u

.

Nếu 1 thì chuỗi nn 1

u

hội tụ;

Nếu 1 thì nnlim u

và chuỗi nn 1

u

phân kì.

Nhận xét. * Nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hay Cauchy mà ta nhận

được 1 thì số hạng tổng quát của chuỗi dần ra vô hạn: nnlim u

; từ

đó chuỗi nn 1

u

phân kỳ.

* Trường hợp 1 , cả hai tiêu chuẩn D’Alembert và Cauchy đều

chưa có kết luận: Thực tế, chuỗi có thể hội tụ, có thể phân kỳ.

Ví dụ 5.7. Xét sự hội tụ của chuỗi số nn 1

n3

.

Giải. Đây là chuỗi số dương vớin

n nn n

n 1lim a lim 13 3

. Theo tiêu

chuẩn Cauchy, chuỗi đã cho hội tụ. # Ví dụ 5.8. Xét sự hội tụ của chuỗi số

2 (n 1)/2 2 2 4 4 6 6

n 1q q q q q q q ...

trong đó 0 q 1 và (n 1) / 2 là phần nguyên của số (n + 1)/2.

Giải. n 1 12 .

2 nn nn nlim a lim q q 1

.

126

Vậy chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy. Lưu ý rằng nếu ta áp dụng tiêu chuẩn D’Alembert thì chưa có kết

luận. # Định lý 5.8 (Tiêu chuẩn (so sánh với) tích phân). Cho hàm f(x) liên

tục, không âm, đơn điệu giảm trên [a, ) . Khi đó tích phân suy rộng

a

f (x)dx

và tổng nn 1

u

với nu f (n) cùng hội tụ hoặc cùng phân kì.

Chứng minh. Lưu ý. Thực ra chỉ cần đẳng thức nu f (n) xảy ra với n đủ lớn.

Ví dụ 5.9. Xét sự hội tụ của chuỗi pn 1

1 , pn

(Chuỗi Riemann hay p-chuỗi).

Với pn

1p 0, lim 0n

nên chuỗi không hội tụ.

Với p 0 , xét hàm số pf (x) 1/ x . Hàm này đơn điệu giảm đến 0 khi

n , pf (n) 1 / n .

Hơn nữa p1

dxx

hội tụ khi p 1 , phân kỳ khi p 1 . Vậy

pn 1

p>11p 1n

héi tô khiph©n kúkhi

Đặc biệt, chuỗi n 1

1n

phân kỳ, chuỗi 2

n 1

1n

hội tụ. (L. Euler chỉ ra

rằng 2

2n 1

16n

, xem Ví dụ 4.29). #

Ví dụ 5.10. Xét sự hội tụ của các chuỗi sau

(i) nn 1

(n!) , ( );n

(ii)

n2n

2n 1

2 sin , 02n

.

Giải. (i) Ta có n

n 1n 1

n

u ((n 1)!) n.u (n 1) (n!)

1n1 1(n 1) . 1 .

n

* n 1n n

u1: lim :u

Chuỗi phân kỳ.

127

* n 1n n

u 11: lim 1:u e

Chuỗi hội tụ.

* n 1n n

u1: lim 0 1u

: Chuỗi hội tụ.

Tóm lại, chuỗi hội tụ 1 .

(ii) Ta có 2 2nn 2/n

2u sin 2sin (n ).n

2 1* sin :2 4 2

Chuỗi phân kỳ

2 1* sin 0 :2 4

Chuỗi hội tụ.

2 1* sin .2 4

Chuỗi trở thành

n

2 n 2n 1 n 1

2 1 1. ,n 2 n

là chuỗi

hội tụ (p-chuỗi với p 2 1 ).

Tóm lại, chuỗi hội tụ 04

. #

Bài tập sẽ chữa cho Chương 5: Chuỗi 1(a,b,c), 2(a,b), 3(a,b,c), 4(a,b,c), 5(a,b), 6(a,b,c,e), 7(b,c,d,e), 8(a,b,c,d).

Yêu cầu sinh viên chuẩn bị: Xem lại bài “Chuỗi số dương” (TL1, tr 267 – 274) Làm bài tập theo kế hoạch; Xem trước bài “Chuỗi có dấu bất kỳ” 9TL1, tr 275 – 278).

128

Bài giảng 12: Chuỗi đan dấu – Chuỗi hàm số Chương 5: Chuỗi

Mục: § 5.3 Chuỗi có dấu bất kỳ (1t) § 5.4. Chuỗi hàm số (1t) Bài tập: Chuỗi số (1t) Chuỗi số dương (1t) Chuỗi có dấu bất kỳ (1t)

Tiết thứ: 56 – 60 Tuần thứ: 12 - Mục đích, yêu cầu:

Vận dụng được tiêu chuẩn Leibniz

Thấy mối quan hệ giữa hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ

Nắm được khái niệm miền hội tụ của chuỗi hàm số - Hình thức tổ chức dạy học:

Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính:

§ 5.3. CHUỖI CÓ SỐ HẠNG VỚI DẤU BẤT KỲ (1 tiết) 5.3.1. Chuỗi đan dấu Định nghĩa. Với nu 0 , các chuỗi

n 11 2 3 4 n

n 1u u u u ... ( 1) u

,

n1 2 3 4 n

n 1u u u u ... ( 1) u

(5.5)

gọi là các chuỗi đan dấu. Định lý 5.9 (Định lý Leibniz) Cho chuỗi đan dấu 1 2 3 nu u u ... (u 0) . Nếu n{u } là dãy đơn điệu giảm đến 0 thì chuỗi hội tụ đến tổng S. Chứng minh. 2k 1 2 3 4 2k 1 2kS (u u ) (u u ) ... (u u ) 0 . Vậy 2n{S , n 1,2,...} là dãy tăng, dương.

2k 1 2 3 2k 2 2k 1 2n 1S u (u u ) ... (u u ) u u (5.6)

Vậy 2k{S } là dãy bị chặn trên. Từ đó nó hội tụ. Đặt 2kkS lim S

.

129

2k 1 2k 2k 1 2k 2k 1k k k klim S lim (S u ) lim S lim u S

.

nnlim S S

. Vậy chuỗi đã cho hội tụ.

Ví dụ 5.11 (Chuỗi điều hòa đan dấu). Đó là chuỗi

n 1

n 1

1 1 1 1( 1) 1 ...n 2 3 4

Tất nhiên, đây là chuỗi đan dấu. Lại có 1 0 (n )n ; theo tiêu

chuẩn Leibniz, chuỗi hội tụ.

Số hạng tổng quát n 1na ( 1) / n và các tổng riêng nS của chuỗi thể

hiện ở Hình 4.3. [1]. Dãy n{S } có dạng zig - zag dần đến giới hạn khoảng 0.7. Sau này ta biết, tổng chính xác của chuỗi là ln 2 0.693 .

Tương tự, ta thấy chuỗi n

n 1

1( 1)n

hội tụ với 0. #

5.3.2. Hội tụ tuyệt đối Định lý 5.10. Nếu chuỗi

n 1 2 3n 1

| u | | u | | u | | u | ...

hội tụ thì chuỗi nn 1

u

hội tụ.

Chứng minh. Theo tiêu chuẩn Cauchy với chuỗi nn 1

| u |

thì

n p n p

n p n n ni n 1 i n 1

S S u | u | 0 (n ).

Lại theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi nn 1

u

hội tụ.

Ví dụ 5.12. Xét sự hội tụ của chuỗi 2n 1

cosnn

.

Ta có 2 2cosn 1n n

. 2n 1

1n

là chuỗi hội tụ, vậy chuỗi 2

n 1

| cosn |n

hội

tụ. Từ đó chuỗi 2n 1

cosnn

hội tụ. #

130

Định nghĩa. Chuỗi nn 1

u

được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi

nn 1

| u |

hội tụ, được gọi là hội tụ không tuyệt đối hay bán hội tụ (hay hội

tụ điều kiện) nếu nó hội tụ nhưng chuỗi nn 1

| u |

không hội tụ.

Từ Định lý (5.10), hội tụ tuyệt đối là tính chất mạnh hơn: Một chuỗi hội tụ tuyệt đối sẽ hội tụ; trái lại, có những chuỗi hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối.

Như đã thấy ở Ví dụ 5.11, chuỗi điều hòa đan dấu hội tụ. Mặt khác, n

n 1 n 1

1 1( 1)n n

là chuỗi phân kỳ. Vậy chuỗi điều hòa đan dấu bán hội

tụ. Từ tiêu chuẩn D'Alembert và tiêu chuẩn Cauchy cho chuỗi số dương,

ta nhận được định lý sau đây để khảo sát sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi.

Định lý 5.11. Giả sử rằng n 1n n

ulimu

hoặc n

nnlim u

.

Nếu 1 thì chuỗi nn 1

u

hội tụ tuyệt đối,

Nếu 1 thì chuỗi nn 1

u

phân kỳ.

(Lưu ý rằng, với 1 thì chưa có kết luận). Về sự hội tụ tuyệt đối, ta có định lý đặc sắc sau đây: Định lý 4.12 (Định lý Riemann). Nếu chuỗi hội tụ tuyệt đối và có tổng bằng S thì khi

thay đổi thứ tự các số hạng của nó một cách tùy ý, và (hoặc) nhóm một cách tùy ý các số hạng của chuỗi ta sẽ luôn luôn nhận được chuỗi hội tụ tuyệt đối và có tổng bằng S.

Nếu chuỗi đã cho bán hội tụ thì có thể thay đổi thứ tự các số hạng của nó để nhận được chuỗi hội tụ và có tổng bằng một số bất kỳ cho trước; hay được một chuỗi phân kỳ; thậm chí, được một chuỗi phân kỳ ra vô hạn.

Như vậy, chuỗi hội tụ tuyệt đối có tính chất giống với tổng hữu hạn: Có thể hoán vị thứ tự các số hạng. Tính hội tụ tuyệt đối còn đảm bảo một số tính chất khác nữa giống với tổng hữu hạn như tính tích 2 chuỗi, thương 2 chuỗi ...

131

§ 5.4. CHUỖI HÀM SỐ (1 tiết) 5.4.1. Sự hội tụ, miền hội tụ Định nghĩa. Cho dãy hàm số n 1 2{u (x)}: u (x); u (x); ... xác định trên

tập X . Tổng hình thức

n 1 2n 1

u (x) u (x) u (x) ...

(5.7)

được gọi là chuỗi hàm số, X: tập xác định,

1u (x) : số hạng thứ nhất, 2u (x) : số hạng thứ hai, ... ,

nu (x) : số hạng thứ n hay số hạng tổng quát. Nếu không cho trước tập xác định, ta hiểu tập xác định X của chuỗi

(5.7) là giao của tất cả các tập xác định của các số hạng nu (x) .

Nếu 0x X mà chuỗi số n 0n 1

u (x )

hội tụ thì 0x được gọi là điểm

hội tụ của chuỗi hàm (5.7). Tập các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là

miền hội tụ (hay tập hội tụ) của nó. Trái lại, nếu chuỗi số n 0n 1

u (x )

phân

kỳ thì 0x được gọi là điểm phân kỳ.

Giá trị của tổng của chuỗi nn 1

u (x)

với x nằm trên miền hội tụ được

gọi là tổng của chuỗi.

Ví dụ 5.13. Xét chuỗi hàm n 2

n 0x 1 x x ...

Nếu n

n 0

1| x | 1: x1 x

: Chuỗi hội tụ

| x | 1 : Chuỗi phân kỳ.

Vậy, miền hội tụ của chuỗi đã cho là ( 1, 1) và n

n 0

1x1 x

. #

Ví dụ 5.14. Xét chuỗi hàm xn 1

1n

.

Chúng ta nhớ lại rằng khi dùng tiêu chuẩn tích phân ở Ví dụ 5.9 (p-chuỗi) ta đã thấy với x 1 thì chuỗi hội tụ, với x 1 thì chuỗi phân kỳ. Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là x 1 . Khi ấy, chuỗi hội tụ đến hàm

(x) , gọi là hàm Riemann. #

132

5.4.2. Hội tụ đều

Chuỗi hàm số nn 1

u (x), x X

được gọi là hội tụ đều trên tập D X

đến hàm số S(x) nếu

n0, N N( ), n N : S (x) S(x) , x D. (5.8) Như vậy, nếu chuỗi hội tụ đều thì dù cho trước có bé thế nào chăng

nữa, tổng riêng nS (x) sẽ gần tổng S(x) của chuỗi một cách tùy ý, tại tất cả mọi điểm của D, nếu chỉ số n đủ lớn.

Ví dụ 5.15. Xét chuỗi n

2n 1

( 1)x n

.

Đây là chuỗi đan dấu. Hơn nữa n 21u (x) 0, (n )

x n

x .

Vậy nó hội tụ. Chuỗi phần dư k

2k n 1

( 1)x k

của chuỗi này cũng là chuỗi đan

dấu, lại có, 21/ (x k) 0 (khi k ) . Theo Định lý 4.9,

k

n n 12 2k n 1

( 1) 1 1S (x) S(x) u (x)nx k x (n 1)

.

Nếu 1 1nn

thì nS (x) S(x) : Chuỗi hội tụ đều trên . #

Định lý 5.12 (Tiêu chuẩn Weierstrass)

Nếu *n nu (x) a , n , x D và chuỗi số n

n 1a

hội tụ thì chuỗi

hàm

nn 1

u (x)

hội tụ tuyệt đối và đều trên D.

Ví dụ 5.16. Cho chuỗi hàm 2 2n 1

cosnxn x

.

Ta có 2 2 2cosnx 1

n x n

. Chuỗi số 2

n 1

1n

hội tụ. Vậy chuỗi đã cho hội tụ

đều trên . # 5.4.3. Tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều Định lý 5.13. Giả sử với mọi n nguyên dương thì hàm nu (x) liên tục trên khoảng suy

rộng D và chuỗi hàm nn 1

u (x)

hội tụ đều trên D. Khi đó tổng S(x) của chuỗi hàm n

n 1u (x)

là

hàm số liên tục trên D.

133

Định lý 5.14. Giả sử với mọi n thì hàm nu (x) liên tục trên đoạn [a, b] và chuỗi hàm

nn 1

u (x)

hội tụ đều trên [a, b] . Khi đó tổng S(x) của chuỗi hàm n

n 1u (x)

là hàm số khả tích

trên [a, b] và ta có b b b

n nn 1 n 1a a a

S(x)dx u (x) dx u (x)dx

. (5.9)

Nói ngắn gọn, nếu chuỗi của các hàm số liên tục là hội tụ đều thì ta có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi.

Định lý 5.15. Cho nu (x), n 1, 2, ... là các hàm liên tục cùng các đạo hàm nu (x) của

chúng trên khoảng (a, b). Hơn nữa, giả sử rằng chuỗi hàm nn 1

u (x)

hội tụ và có tổng bằng S(x)

trên (a, b), còn chuỗi đạo hàm nn 1

u (x)

hội tụ đều trên (a, b). Khi đó S(x) là hàm khả vi và

n nn 1 n 1

S (x) u (x) u (x), x (a, b).

(5.10)

Yêu cầu sinh viên chuẩn bị: Xem lại bài “Chuỗi hàm số” Làm bài tập theo kế hoạch; Xem trước bài “Chuỗi lũy thừa” (TL1, tr 283 - 287)

Bài giảng 13: Chuỗi lũy thừa Chương 5: Chuỗi

Mục: §5.5. Chuỗi lũy thừa (1t)

Bài tập: Chuỗi hàm số (1t)

Chuỗi lũy thừa (1t)

Ôn tập (1t) Tiết thứ: 61 - 65, Tuần thứ: 13

- Mục đích, yêu cầu: Tìm được bán kính hội tụ - miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

- Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu

- Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính:

134

§ 5.5. CHUỖI LŨY THỪA (1 tiết) 5.5.1. Khái niệm chuỗi lũy thừa, bán kính hội tụ Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số dạng

n 2 nn 0 1 2 n n

n 0a x a a x a x ... a x ..., a

(5.11)

trong đó x là biến, hằng số na là hệ số của nx . Tổng quát, cho trước 0 nx , a , chuỗi hàm số

n 2n 0 0 1 0 2 0

n 0a (x x ) a a (x x ) a (x x ) ...

(5.12)

được gọi là chuỗi lũy thừa của 0x x (hay chuỗi lũy thừa tại 0x x ).

Đặt 0X x x , chuỗi (5.12) trở thành nn

n 0a X

, lại có dạng (5.11).

Vì thế chúng ta chỉ cần xét chuỗi lũy thừa dạng (5.11). Chuỗi (5.11) luôn hội tụ tại x 0 . Về sự hội tụ của nó, chúng ta có:

Định lý 5.16 (Abel). Nếu chuỗi lũy thừa nn

n 0a x

hội tụ tại 0x 0 thì

nó hội tụ tuyệt đối tại mọi điểm x mà 0| x | | x | .

Chứng minh. Do chuỗi (5.11) hội tụ tại x = x0 nên số hạng tổng quát của nó có giới hạn 0. Vậy tồn tại số dương M sao cho n

n 0a x M, n . Từ

đó n n

n nn n 0

0 0

x xa x a x M , nx x

.

Lại thấy chuỗi n

0n 1

xx

hội tụ với 0| x | | x | . Áp dụng tiêu chuẩn so

sánh, nhận được đpcm.

Hệ quả. Nếu chuỗi lũy thừa nn

n 0a x

phân kỳ tại 1x thì nó cũng phân

kỳ tại x mà 1| x | | x | .

135

Hệ quả. Tồn tại số R 0 để chuỗi nn

n 0a x

hội tụ trong khoảng (-R,

R); phân kỳ trong ( , R) và (R, ) .

R như thế được gọi là bán kính hội tụ; khoảng (-R, R) gọi là khoảng hội tụ.

Nhận xét. Từ Hệ quả, miền hội tụ của chuỗi lũy thừa có một trong 4

dạng

(-R, R); (-R, R]; [-R, R); [-R, R].

5.5.2. Quy tắc tìm bán kính hội tụ Định lý 5.17. Nếu

n 1n n

alima

hoặc n nn

lim a

(5.13)

thì bán kính hội tụ R của chuỗi lũy thừa nn

n 0a x

xác định bởi

1 / , 0R 0,

, 0.

(5.14)

Phương pháp tìm miên hội tụ của chuỗi lũy thừa

Tìm bán kính hội tụ theo quy tắc trên;

Xét sự hội tụ của chuỗi tại đầu mút –R và R;

Kết luận.

Tính chất sau cũng rất có ích khi tìm miền hội tụ.

Tính chất. Hai chuỗi lũy thừa

n 2n 0 1 2

n 0a x a a x a x ...

, (5.15)

136

n m m m 1 m 2n 0 1 2

n 0a x a x a x a x ... m

(5.16)

cùng hội tụ hay phân kỳ, có thể trừ ra tại điểm x = 0.

(Nhân hay chia chuỗi lũy thừa với lũy thừa của biến x được chuỗi có

cùng miền hội tụ, có thể trừ ra tại x = 0).

Phương pháp tìm miền hội tụ của chuỗi tùy ý

Cách I: “Lũy thừa hóa”, đưa chuỗi đã cho về chuỗi lũy thừa.

Cách II: Coi x là tham số, x cố định thuộc tập xác định, chuỗi hàm trở

thành chuỗi số. Dùng các tiêu chuẩn so sánh, tiêu chuẩn D'Alembert,

Cauchy ... với chuỗi số để xét sự hội tụ (phải biện luận).

Nhận xét. Nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hay Cauchy với chuỗi số

nn 1

u (x)

(x là tham số) mà ta nhận được 1 thì nn

lim | u (x) |

. Từ

đó, chuỗi nn 1

u (x)

phân kỳ.

Ví dụ 5.17. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau:

(i) n n

n 1

2 xn

, (ii)

n2n

n 1

n 1 x 22n 1

, (iii)

n

2nn 1

x1 x

.

(i) Đây là chuỗi lũy thừa, hơn nữa n 1

n

a 2n 2 (n ).a n 1

Vậy R 1/ 2 và khoảng hội tụ của chuỗi là ( 1 / 2; 1 / 2) .

Tại x 1 / 2 , chuỗi trở thành 1 1 11 ...2 3 4

Đây là chuỗi điều

hòa đan dấu nên nó hội tụ.

Tại x 1 /2, chuỗi trở thành 1 1 11 ...2 3 4

, là chuỗi phân kỳ.

Tóm lại, miền hội tụ của chuỗi đã cho là [ 1/2, 1 / 2) .

(ii) n 2

2nn nnn n

n 1 (x 2)lim u (x) lim (x 2)2n 1 2

.

Theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi phân kỳ khi 2(x 2) 1

2

, hội tụ khi

137

2(x 2) 12

, 2 x 2 2 2 2 x 2 2 .

* Tại x 2 2 chuỗi trở thành n n

n

n 1 n 1

n 1 2n 222n 1 2n 1

.

Ta không thể dùng tiêu chuẩn D'Alembert cũng như Cauchy cho chuỗi này vì đều nhận được 1 , song nhận thấy rằng

n2n 1 2n 1

1/2nn n

1lim a lim 1 e 02n 1

: Chuỗi phân kỳ.

ĐS: 2 2 x 2 2 .

Cách II. Đặt 2t (x 2) 0 được chuỗi n

n

n 1

n 1 t2n 1

và khảo sát

như thông thường. (Tuy nhiên với chuỗi lũy thừa này, ta không cần xét tại mút trái t 2 của khoảng hội tụ (-2, 2) vì t 0 ).

(iii) Rõ ràng không thể lũy thừa hóa được chuỗi này. Ta có

2nn 1

2n 2n nn

x 1 x x khi x 1u xlim lim

u x 1 / x khi x 11 x

Vậy với x 1 thì 1 : Chuỗi hội tụ.

* Xét tại x 1 được chuỗi n

n 1

12

, chuỗi phân kì vì nn

lim a 0

.

ĐS: ( , 1) ( 1, 1) (1, ) . # 5.5.3. Tính chất của chuỗi lũy thừa Cho chuỗi lũy thừa (4.12) với khoảng hội tụ (-R, R) và tổng của chuỗi là hàm S(x) trên (-

R, R). Định lý 5.18. Chuỗi (4.12) hội tụ tuyệt đối trên khoảng hội tụ (-R, R). Định lý 5.19. Với [a, b] ( R, R) tùy ý, chuỗi (4.12) hội tụ đều trên [a, b] . (Chuỗi lũy thừa hội tụ đều trên đoạn tùy ý nằm trong khoảng hội tụ của nó). Định lý 5.20. Tổng S(x) của chuỗi lũy thừa (5.11) là hàm số liên tục trên khoảng hội tụ

( R, R) của nó. Nếu chuỗi hội tụ tại mút trái (phải) của khoảng hội tụ thì tổng S(x) liên tục phía phải (trái) tại mút ấy.

Định lý 5.21. Có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi lũy thừa (5.11) trên mọi đoạn [a; b] nằm trong khoảng hội tụ (-R, R) của nó:

b bn n

n nn 0 n 0a a

a x dx a x dx

. (5.17)

Đặc biệt, x ( R,R) ,

138

xn 2 n 11 n

n 0n 00

a aa t dt a x x ... x ...2 n 1

(5.18)

Một cách tương đương,

n 2 n 11 nn 0

n 0

a aa x dx C a x x ... x ...2 n 1

(5.19)

Chuỗi ở vế phải của (5.18), (5.19) cũng có khoảng hội tụ là (-R, R). Định lý 5.22. Có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi lũy thừa (5.11) tại mọi điểm

trong khoảng hội tụ của nó: x ( R, R) thì

n n 1n 1 2 n

n 0a x a 2a x ... na x ...

(5.20)

Chuỗi ở vế phải của (5.20) cũng có khoảng hội tụ là (-R, R). Hệ quả. Có thể lấy đạo hàm (hoặc lấy nguyên hàm) một số tùy ý lần chuỗi lũy thừa trong

khoảng hội tụ của nó; các chuỗi thu được có cùng khoảng hội tụ với khoảng hội tụ của chuỗi đã cho.

5.5.4. Khai triển một hàm thành chuỗi lũy thừa a. Vấn đề khải triển hàm thành chuỗi lũy thừa (xem [1]) Định nghĩa. * Cho hàm số f(x) xác định tại điểm 0x và lân cận và có đạo hàm mọi cấp

tại 0x . Chuỗi hàm (n)

n0 00 0 0

f (x ) f (x )f (x ) (x x ) ... (x x ) ...1! n!

(5.21)

được gọi là chuỗi Taylor của hàm f(x) tại 0x .

* Nếu 0x 0 , chuỗi Taylor trở thành (n)

nf (0) f (0)f (0) x ... x ...1! n!

(5.22)

được gọi là chuỗi Maclaurin của hàm f(x). * Nếu chuỗi Taylor (4.24) hội tụ tại một lân cận 0 0I (x , x ) của điểm 0x và hội

tụ đến f(x) trong lân cận này:

(n)

1 n0 00 0 0

f (x ) f (x )f (x) f (x ) (x x ) ... (x x ) ... , x I1! n!

thì ta nói hàm f(x) khai triển được thành chuỗi Taylor tại lân cận đã nêu của 0x . Từ phân tích trên ta nhận được định lý sau đây: Định lý 5.23 (Tính duy nhất của khai triển). Nếu f(x) có thể khai triển thành chuỗi Taylor

trong một lân cận nào đó của điểm 0x : 2

0 1 0 2 0 0 0f (x) a a (x x ) a (x x ) ... x (x , x ) thì f(x) khả vi vô hạn tại lân cận này và chuỗi ở vế phải chính là chuỗi (5.21).

b. Điều kiện để hàm số khai triển thành chuỗi Taylor c. Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp

139

2 nx

3 5 2n 1n 1

2 4 2nn

n

x x xe 1 ... .... x ( , )1! 2! n!

x x xsin x x ... ( 1) ... x ( , )3! 5! (2n 1)!

x x xcos x 1 ... ( 1) ... x ( , )2! 4! (2n)!

( 1)...( n 1)(1 x) 1 x ... x ... x ( 1,1)n!

2 n

2 3 nn 1

3 5 2n 1(n 1)

1 1 x x ... x ... x ( 1,1)1 x

x x xln(1 x) x ... ( 1) .... x ( 1,1]2 3 n

x x xarctan x x ... ( 1) ... x [ 1,1].3 5 2n 1

Dùng các khai triển Maclaurin ở trên, đôi khi ta nhanh chóng nhận được khai triển của hàm số. Xét ví dụ sau.

Ví dụ 5.18. Tìm khai triển Maclaurin của hàm số 3xy

3 x

.

Giải. 3 3

2x 1 xy 1 (x / 3) (x / 3) ...3 (1 (x / 3)) 3

3 4 5 n 1 n 22 3 n

n 1

1 1 1 1x x x ... ( 1) x3 3 3 3

. #

TÓM TẮT CHUỖI

n 2

n 0q 1 q q ...

: Chuỗi hình học, hội tụ | q | 1 .

n 1

1 1 11 ...n 2 3

: Chuỗi điều hoà, phân kỳ

n 11 1 11 ... ( 1) ...2 3 n

: Chuỗi điều hoà đan dấu, hội tụ.

pp p p

n 1

1 1 11 ...n 2 3

: p – chuỗi, hội tụ p 1 .

Chuỗi số dương phân kỳ thì phân kỳ tới vô cùng. Tiêu chuẩn so sánh

n n n nv u , u , v 0 thì nn 1

u

, n

n 1v

cùng hội tụ hoặc phân kỳ.

Tiêu chuẩn D’Alembert.

140

nn 1

u

là chuỗi số dương, n 1

n n

ulimu

.

1 thì chuỗi nn 1

u

hội tụ; 1 thì n

n 1u

phân kì.

Tiêu chuẩn Cauchy. nn 1

u

là chuỗi số dương, n

nnlim u

.

1 thì nn 1

u

hội tụ; 1 thì n

n 1u

phân kì.

Tiêu chuẩn tích phân.

f(x) 0 liên tục, đơn điệu giảm trên [a, ) .

a

f (x)dx

và nn 1

u

( nu f (n) ) cùng hội tụ hoặc cùng phân kì.

Tiêu chuẩn Leibniz. nu 0 thì chuỗi đan dấu 1 2 3u u u ... HT

Hội tụ tuyệt đối

nn 1

| u |

hội tụ n

n 1u

hội tụ; n

n 1u

được gọi là hội tụ tuyệt đối.

Tiêu chuẩn Weierstrass

n nu (x) a , nn 1

a

hội tụ n

n 1u (x)

hội tụ tuyệt đối, đều trên D.

Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa. Một trong 4 dạng ( R, R),

( R, R], [ R, R), [ R, R ] ; R: bán kính hội tụ, ( R, R) : khoảng hội tụ.

n 1n n

alima

hoặc n nn

lim a

1R

.

Có thể lấy đạo hàm (hoặc lấy nguyên hàm) một số tùy ý lần chuỗi lũy thừa trong khoảng hội tụ của nó; các chuỗi thu được có cùng khoảng hội tụ với khoảng hội tụ của chuỗi đã cho.

Khai triển Taylor

(n)

1 n0 00 0 0

f (x ) f (x )f (x) f (x ) (x x ) ... (x x ) ...1! n!

Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp

141

Bài tập: Chuỗi hàm số (1t) Chuỗi lũy thừa (1t)

Ôn tập (1t)

Yêu cầu sinh viên chuẩn bị: Xem lại bài “Chuỗi lũy thừa” Làm bài tập theo kế hoạch; Xem trước bài “Các khái niệm mở đầu”, “dạng tổng quát của PTVP cấp I” (TL2, tr 267 - 270)

Bài giảng 14: Phương trình vi phân cấp I – cấp cao

Chương 6: Phương trình vi phân Mục: Bài tập: Ôn tập chuỗi (1t)

§6.1. Các khái niệm cơ bản (1t) §6.2. Các dạng đặc biệt của PTVP cấp một (2t) §6. Phương trình vi phân cấp cao (1t)

Tiết thứ: 66 - 70, Tuần thứ: 14 - Mục đích, yêu cầu:

Nắm được các khái niệm căn bản về PTVP, cấp, các loại nghiệm, giải được các dạng cơ bản của PTVP cấp một.

Thấy được một số ứng dụng thực tiễn của PTVP, PTVP cấp một.

Nắm được các khái niệm căn bản về PTVP cấp II, cấu trúc nghiệm PTTT,

- Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu

- Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính:

Bài tập: Ôn tập chuỗi (1t)

§ 6.1. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT (1t) 6.1.1. Các khái niệm cơ bản về PTVP (1t)

Dạng: (n)F(x, y, y ,..., y ) 0 (6.1)

x: biến độc lập, y: hàm phải tìm, (n)y , ... , y :đạo hàm các cấp của y, F: hàm nào đó của n + 1 biến. Cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong PT được gọi là cấp của PTVP,

142

3 xy xln y y xe : cấp I, 8y 4y x : cấp II.

Nghiệm của PTVP (6.1) trong khoảng (a, b) là mỗi hàm số xác định trên (a, b) sao cho khi thay vào phương trình ta được đồng nhất thức:

(n)F(x, y(x), y (x), ... , y (x)) 0 với x (a,b) . Ví dụ 6.1. y 9y 0 . Các hàm Ccos3x; Dsin3x , C, D - hằng số tùy ý là những nghiệm

của PT đã cho (trên ). Nói chung, PTVP có vô số nghiệm. # Giải một PTVP trên (a, b) là tìm tất cả các nghiệm của nó trên khoảng

này. Nghiệm có thể tìm dưới dạng hiển y = f(x), có thể dưới dạng ẩn - tức

là chỉ ra một biểu thức (x, y) liên hệ biến độc lập x với hàm phải tìm y - cũng như có thể cho nghiệm dưới dạng tham số: x x(t); y y(t) . Các đường cong tương ứng biểu diễn nghiệm gọi là các đường cong tích phân của PT.

6.1.2. Dạng tổng quát của PTVP cấp một a. Định nghĩa. PTVP cấp I dạng tổng quát:

F(x, y, y ) 0 (6.2) x: biến độc lập, y: hàm phải tìm, y :đạo hàm của y, F là hàm của ba biến

x, y, y trong tập D mở nào đó của 3 . Nếu có thể giải y qua các biến còn lại:

y f (x, y) : dạng giải ra với đạo hàm. b. Bài toán Cauchy. Cho PTVP cấp I

y f (x, y) (6.3) 2

0 0(x, y) D , (x ,y ) D, D mở Hãy tìm hàm y = y(x) xác định trong một lân cận nào đó của điểm 0x ,

thỏa mãn phương trình (6.3) và thỏa mãn điều kiện ban đầu:

0 0y(x ) y (6.4) Hàm y(x), như vậy gọi là nghiệm của bài toán Cauchy (hay bài toán

giá trị ban đầu) (6.3) – (6.4). Định lý 6.1 (Định lý tồn tại duy nhất nghiệm)

Cho PT (6.3), f(x,y) - liên tục trên 2D , D mở, 0 0(x , y ) D . Khi đó:

i) nghiệm y y(x) xác định trên một lân cận nào đó của 0x , thỏa mãn (6.4).

ii) Ngoài ra, nếu f (x, y)y

liên tục trên D Nghiệm thỏa mãn (6.4) là duy nhất trên lân

cận vừa nêu.

143

c. Ý nghĩa hình học

Hình 6.1. Đường cong tích phân qua điểm 0 0(x ,y ) có hệ số góc f 0 0(x ,y )

d. Các loại nghiệm Nghiệm tổng quát. Nghiệm tổng quát của PTVP (6.3) là biểu thức

y (x,C) , C – hằng tuỳ ý sao cho: i) Với mỗi hằng số C tùy ý, hàm số y (x,C) là một nghiệm của

(6.3). ii) Với mọi điểm 0 0(x , y ) trong miền D, tại đó điều kiện tồn tại duy

nhất nghiệm ở Định lý 6.1 được thỏa mãn, có thể giải ra 0C C sao cho hàm số 0y (x,C ) thỏa mãn điều kiện ban đầu

0x x 0y y .

Tích phân tổng quát. Nếu hệ thức (x, y,C) 0 (6.5)

: biểu thức liên hệ giữa biến độc lập x, hàm phải tìm y, C là hằng tùy ý xác định nghiệm thì nó gọi là tích phân tổng quát của PT đã cho.

Nghiệm riêng - tích phân riêng. Thay hằng số tùy ý C bởi giá trị cụ thể 0C vào nghiệm tổng quát, ta được 0y (x,C ) , gọi là nghiệm riêng.

Thay hằng số tùy ý C bởi giá trị cụ thể 0C vào tích phân tổng quát (6.5), ta được 0(x,y,C ) 0 , gọi là tích phân riêng.

§ 6.2. CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA PTVP CẤP MỘT 6.2.1. Phương trình với biến số phân ly (PT tách biến)

Dạng: f (x)dx g(y)dy . (6.6) Coi y là hàm của x: y y(x) ta được dy y (x)dx . Thay vào PT:

f(x)dx g(y(x)) y (x)dx . Tích phân hai vế:

y y0 M0 O x0 x

144

f(x)dx g(y(x)) y (x)dx g(y)dy.

Như vậy, để giải PT với biến số phân ly, ta chỉ việc tích phân hai vế: f (x)dx g(y)dy C . (6.7)

Chú ý. Các phương trình u(x)dx v(y)dy 0 (6.8) y g(x)h(y) . (6.9)

có thể chuyển về dạng (6.7) dễ dàng. Chẳng hạn, PT (6.9) chuyển thành dy dyg(x)h(y) g(x)dx (khi h(y) 0)dx h(y)

.

(Một số tài liệu coi (6.8) hay (6.9') là PT với biến phân ly). Ví dụ 6.2. Giải phương trình (1 x)ydx (1 y)xdy 0 . Xét x 0, y 0 , phương trình trở thành

1 x 1 ydx dyx y

1 x 1 ydx dy C

x y

ln x x y ln y C ln xy x y C : Tích phân tổng quát. Còn có 2 nghiệm x 0 và y 0 : nghiệm kỳ dị. Nhận xét. Nhiều khi cần chia hai vế PT cho y, thường ta phải kiểm

tra xem hàm hằng số y 0 có là nghiệm hay không. Cũng rất nhiều khi cần chia hai vế cho x, ta mặc nhiên đặt điều kiện

x 0 rồi thực hiện phép chia. Thực ra vấn đề phức tạp hơn nhiều, cần "ghép nối" nghiệm. #

6.2.2. Phương trình thuần nhất a. Dạng: y g(x, y) , g - hàm thuần nhất

g(x, y)- hàm thuần nhất: g(kx,ky) g(x, y) k 0. (6.10)

y y yg(x, y) g x.1, x. g 1, fx x x

, x 0,

Vậy ta luôn có thể viết PT thuần nhất dưới dạng yy fx

.

Giải. Ta hãy tìm hàm u u(x) để y u(x).x u.x yux

là

nghiệm. Thay vào phương trình ta được y u x u f (u) u x f (u) u .

Trường hợp f (u) u 0 , chia hai vế cho f (u) u 0 :

145

du dxf (u) u x

: PT phân ly

du dx duhay ln x C g(u) Cf (u) u x f (u) u

g(u) g(y/x)x Ce Ce . Đây là tích phân tổng quát. Trường hợp PT f (u) u 0 có nghiệm 0u u thì rõ ràng

0 0y u y u xx cũng là một nghiệm.

Ví dụ 6.3. x yyx y

.

Với x 0, x y 1 (y / x)x y 1 (y / x)

: hàm thuần nhất.

Đặt y u x y u x u . 21 u 1 uu x u u x

1 u 1 u 2

1 u dxdux1 u

.

Lấy tích phân hai vế, 2

21 u 1ln x du arctan u ln(1 u ) ln C

21 u

yarctan .arctan u 2 2 x2

Cx e x y Ce1 u

. #

6.2.3. Phương trình tuyến tính Dạng: y p(x)y q(x) (6.11)

p(x), q(x) -liên tục trên khoảng (a, b) nào đó. Sự tồn tại, duy nhất nghiệm. (6.11) được viết lại dưới dạng

y f (x, y) với f (x, y) p(x)y q(x) .

Các hàm f (x, y)f (x,y), p(x)y

liên tục trên

D {a x b, y } . Theo Định lý 6.1, D là miền tồn tại duy nhất nghiệm của PT này.

Nếu vế phải bằng không, (6.11) trở thành y p(x)y 0 (6.12)

được gọi là PT tuyến tính thuần nhất. Nó cũng được gọi là PT thuần nhất tương ứng với PT không thuần nhất (6.11).

Giải PT TT (xem [1])

146

Nhận được nghiệm tổng quát p(x)dx p(x)dxy e C q(x)e dx , C - hằng tùy ý. (6.13)

CÁCH NHỚ! Lưu ý. * Các ký hiệu tích phân bất định ở (6.13) được hiểu là một

nguyên hàm bất kỳ của hàm dưới dấu tích phân; thường chúng ta chọn hằng số tùy ý bằng 0 khi sử dụng các nguyên hàm cơ bản.

* Ở đây ( 1)p(x)dx p(x)dxe e

. (6.14) * Nên áp dụng trực tiếp (6.13) để tính nghiệm của PT tuyến tính. Ví dụ 6.4. Giải phương trình

i) 2(x 1)y xy 1 , thỏa mãn điều kiện ban đầu x 0y 2 ;

ii) y ye dx (xe 1)dy 0 .

Giải. i) 2 2x 1PT y y

x 1 x 1

.

Theo (4.14), nghiệm tổng quát là

2 2

2 2

x xdx dxx 1 x 1

2

1 1ln(x 1) ln(x 1) 22 22 2

1y e C e dxx 1

1 1e C e dx C ln(x x 1 .x 1 x 1

Từ điều kiện ban đầu suy ra C ln1y(0) C 21

. Thay vào ta được

22

1y 2 ln(x x 1x 1

: nghiệm riêng.

ii) Khi coi y là ẩn hàm, x là biến độc lập, ta được y yy (xe 1) e 0 , là PT không có dạng quen thuộc. Bây giờ coi y là biến độc lập, x là ẩn hàm,

ydxPT x edy

: PT TT

NTQ: 1dy1dy y yx e C e e dy e C y .

(là tích phân tổng quát của PT đã cho). # 6.2.4. Phương trình Bernoulli.

Dạng: y p(x)y q(x)y (6.14) p(x), q(x) - liên tục trên (a, b) nào đó, .

* 0 : PT TT, * 1 : PT phân ly, (đã biết cách giải).

147

* 0 và 1 . Rõ ràng y 0 là một nghiệm.

Xét y 0 . Chia hai vế cho y NHỚ! 1y y p(x)y q(x) .

Đặt 1z y z (1 )y y y y z / (1 ) , được NHỚ! z / (1 ) p(x)z q(x)

z (1 )p(x)z (1 )q(x) : PTTT.

Ví dụ 6.5. Giải PT 3 22y y (x 1) y 0x 1

.

Giải. 3 22PT y y (x 1) yx 1

.

* Xét trường hợp y 0 , chia hai vế cho 2y được

32

y 2 1 (x 1)x 1 yy

.

Đặt 1z , ...y

, PT trở thành

32z z (x 1)x 1

4 21z ... (x 1) C(x 1)2

hay 4 22y

(x 1) C(x 1)

. Đây là nghiệm tổng quát.

* Rõ ràng y 0 là nghiệm; đó là nghiệm kỳ dị. # Lưu ý. Giống như với PTTT, (Có thể), coi y: biến độc lập, x: ẩn hàm PT Bernoulli! 6.2.5. Phương trình vi phân toàn phần (PTVPTP)

Dạng: P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 (6.15) P(x,y)dx Q(x, y)dy : vi phân toàn phần của một hàm u nào đó, tức là trong tập mở D nào đó tồn tại hàm u u(x, y) để du(x, y) P(x, y)dx Q(x,y)dy, (x,y) D.

Theo Định lý 4.4, nếu P(x,y), Q(x,y) là hai hàm liên tục cùng các đạo hàm riêng của chúng trên tập mở, đơn liên 2D và thỏa mãn điều kiện

Q(x, y) P(x, y) , (x, y) Dx y

.

thì vế trái của (6.15) là vi phân toàn phần, hàm u(x,y) được tính theo công thức

148

0 0

yx

0x y

u(x,y) P(x, y )dx Q(x, y)dy

hoặc: 0 0

yx

0x y

u(x,y) P(x, y)dx Q(x , y)dy

TPTQ: u(x,y) = C.

Ví dụ 6.6. Giải PT x y x y[(1 x y)e e ] dx [e xe ]dy 0 . Giải. P, Q cùng các đạo hàm riêng là liên tục.

x yQ P e ex y

. Chọn 0 0(x , y ) (0,0)

yx

x x y

0 0

u(x, y) (1 x)e 1 dx e xe dy

y yx x x x y x yx 0 y 0(xe x) (e y xe ) (x y)e xe .

TPTQ: x y(x y)e xe C . # * Thừa số tích phân (TSTP). (xem [1])

§ 6.3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI (Phần đầu - 1 tiết)

6.3.1. Mở đầu a. Định nghĩa. Dạng tổng quát của PTVP cấp II

F(x,y, y , y ) 0 (phải có mặt y'') (6.16) Nếu có thể giải ra y'' qua các biến còn lại:

y f (x, y,y ) : PTVP cấp hai dạng giải ra với đạo hàm (6.17) Định lý 6.2 (Định lý tồn tại duy nhất nghiệm)

Xét PTVP (6.17), f (x, y, y ) f (x,y, y )f (x, y,y ), ,y y

: liên tục của ba

biến (x, y, y ) trong tập mở 3D .

0 0 0(x , y , y ) D , ! y = y(x) trong một lân cận của 0x thỏa mãn

0

0

x 0

x 0

y y ,

y y .

(6.18)

b. Nghiệm tổng quát. NTQ của PT (6.17) là họ hàm số 1 2y (x,C ,C ) , 1 2C ,C - hằng số tùy ý:

i) 1 2C ,C , hàm số 1 2y (x,C ,C ) là nghiệm của (6.17).

149

ii) 0 0 0(x , y , y ) D , D: điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của PT (6.17) thỏa mãn, giải ra được

0 01 1 2 2C C , C C : 0 0

1 2y (x,C ,C ) : 0 0x 0 x 0y y ; y y .

c. Tích phân tổng quát. Nếu hệ thức 1 2(x,C ,C ) 0 , trong đó

1 2C ,C là hai hằng tùy ý cho phép xác định NTQ, thì hệ thức đó gọi là TPTQ của PT.

d. Nghiệm riêng, tích phân riêng. Khi thay các hằng số 1 2C ,C một

giá trị cụ thể 0 01 2C , C nào đó vào NTQ, ta được hàm số 0 0

1 2y (x,C , C ) : NR.

Tương tự, khi thay các hằng số 1 2C ,C một giá trị cụ thể 0 01 2C , C nào

đó vào TPTQ, được hệ thức 0 01 2(x,C ,C ) 0 : TPR.

e. Bài toán giá trị ban đầu, bài toán biên Điều kiện (6.18): điều kiện ban đầu. Bài toán tìm nghiệm của PT

(6.17) thỏa mãn ĐKBĐ (6.18) gọi là bài toán giá trị ban đầu. Bài toán biên: Tìm nghiệm y y(x) của PT (6.18) trên đoạn 1 2[x , x ]

và thỏa mãn

1 1 2 1y(x ) y ; y(x ) y : Điều kiện biên (6.19)

1 2 1 2 1 2x , x , y , y (x x ) : các giá trị cho trước. Bài toán biên: Không phải luôn có nghiệm. 6.3.2. Phương trình tuyến tính Phương trình vi phân tuyến tính (PTVPTT) cấp hai có dạng

y p(x)y q(x)y f (x) (6.20) p(x), q(x), f(x) -liên tục trên (a, b).

Nếu f (x) 0 PT thuần nhất y p(x)y q(x)y 0 . (6.21)

PT (6.21) cũng được gọi là PT TN tương ứng với PT không TN (6.20).

Cấu trúc nghiệm: Định lý 6.3. Nếu 1 2y (x) và y (x) là 2 nghiệm của PT TN (6.21) thì

1 2C , C , hàm số 1 1 2 2C y (x) C y (x) cũng là 1 nghiệm của (6.21). Chứng minh. Thay 1 1 2 2y C y (x) C y (x) vào PT đã cho ta được

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2(C y ) C y ) p(x)(C y C y ) q(x)(C y C y ) 1 1 1 1 2 2 2 2C (y p(x)y q(x)y ) C (y p(x)y q(x)y ) 0 .

150

Định nghĩa. Hai hàm số 1 2y (x), y (x) được gọi là độc lập tuyến tính (đltt) trên khoảng (a, b) nếu đẳng thức 1 1 2 2C y (x) C y (x) 0, x (a,b) , trong đó 1 2C ,C là hai hằng số thực nào đó, xảy ra chỉ khi 1 2C C 0 .

Trái lại, nếu tồn tại hai hằng số 1 2C ,C không đồng thời bằng 0 để

1 1 2 2C y (x) C y (x) 0, x (a,b) . thì hai hàm số 1 2y (x), y (x) gọi là phụ thuộc tuyến tính (pttt) trên (a, b) .

Sự độc lập, phụ thuộc cũng được định nghĩa tương tự cho hệ n hàm số.

Định lý 6.4. Nếu 1 2y (x), y (x) là hai nghiệm đltt của PT thuần nhất (6.21) thì nghiệm tổng quát của PT thuần nhất đó là

1 1 2 2y C y (x) C y (x) , 1 2C , C -hằng số tùy ý. Định lý 6.5. Nếu 1y (x) 0 là một nghiệm riêng của PT thuần nhất

(6.21) thì ta có thể tìm nghiệm riêng thứ hai đltt với 1y (x) dưới dạng

2 1y (x) y (x).u(x) . Cụ thể hơn, p(x)dx

2 1 21

ey (x) y (x). dxy (x)

. (6.22)

Định lý 6.6. NTQ của PT không TN (6.20) bằng tổng của NTQ của PTTN (6.21) với một nghiệm riêng của PT không TN (6.20):

1 1 2 2y C y (x) C y (x) y(x)

1 2C , C - hằng số tùy ý, 1 2y (x), y (x) là 2 nghiệm đltt của PTTN (6.21), y(x) là một nghiệm riêng của PT (6.20).

Định lý 6.7 (Nguyên lý xếp chồng (chồng chất) nghiệm). Cho PT

1 2y p(x)y q(x)y f (x) f (x) (6.23)

1 2p(x), q(x), f (x), f (x) : hàm liên tục. Giả sử

1y (x) là một nghiệm riêng của PT 1y p(x)y q(x)y f (x) ,

2y (x) là một nghiệm riêng của PT 2y p(x)y q(x)y f (x). Khi đó, 1 2y y (x) y (x) là một nghiệm riêng của PT (6.23). *CÔNG BỐ KẾT QUẢ điểm Quá trình, điểm thường xuyên

Học viên thắc mắc – Giáo viên trả lời về điểm Quá trình – Thường xuyên

Bài tập sẽ chữa cho Chương 6: PTVP 1(a,b,c,d), 2(a,b,c,d,h), 3(a,b,c,e), 4(a,b), 5(a,b,c), 6(a,b,c,d,e,g).

Yêu cầu sinh viên chuẩn bị:

151

Xem lại bài các dạng của PTVP cấp I Làm bài tập theo kế hoạch; Xem trước bài “Phương trình vi phân tuyến tính cấp II” (TL2, tr 291 - 293)

Bài giảng 15: PTVP cấp 2 hệ số hằng số, vế phải đặc biệt Chương 6: Phương trình vi phân

Mục: §6. 4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng

số, vế phải dạng xne P (x) (1t)

Bài tập: Các dạng đặc biệt của PTVP cấp một (1t) PTVP tuyến tính cấp cao hệ số hằng số … (1t) Ôn tập (2t)

Tiết thứ: 71 - 75, Tuần thứ: 15

- Mục đích, yêu cầu:

Giải được các dạng cơ bản của PTVP hệ số hằng, vế phải đặc biệt.

Thấy được một số ứng dụng thực tiễn của PTVP, PTVP cấp hai

Củng cố những bài tập cũ

Sẵn sàng để thi cuối học kỳ

- Hình thức tổ chức dạy học: Hình thức chủ yếu: Lý thuyết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu

- Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 7t - Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công. - Nội dung chính:

§ 6.3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI (tiếp - 1 tiết)

6.3.3. PT tuyến tính với hệ số hằng số và vế phải đặc biệt (1t) a. Phương trình thuần nhất

Dạng: y py qy 0 , p, q (6.24)

Chỉ cần tìm hai NR độc lập tuyến tính. Ta tìm NR dạng kxy e , k là

hằng số. Đạo hàm hai lần ta được kx 2 kxy ke ; y k e . Thay vào PT đã cho

2 kx kx kx kx 2k e pk e qe e (k pk q) 0

2k pk q 0. PTĐT (6.25)

152

Hai nghiệm 1 2k , k thực, phân biệt

Rõ ràng, 1 2k x k x1 2y e ; y e là hai nghiệm (thực). Chúng đltt vì

2 1(k k )x1

2

y e consty

. NTQ của (4.34) 1 2k x k x1 2y C e C e .

Hai nghiệm thực trùng nhau: 1 2k k 1k x

1y e là NR. Dễ thấy nghiệm riêng thứ hai là 1k x2y x e ; rõ ràng

hai nghiệm riêng này đltt. Vậy NTQ của (4.34) là 1k x1 2y e (C C x) .

Hai nghiệm phức liên hợp 12k i

Khi xét trong tập số phức, ( i )x ( i )xe và e là hai nghiệm. Từ đó,

( i )x ( i )x x1

( i )x ( i )x x2

1Y e e e cos x21Y e e e sin x2

cũng là hai nghiệm. Tuy nhiên, đây là hai nghiệm thực và đltt. Vậy nghiệm tổng quát của PTTN là x

1 2y e (C cos x C sin x) . Bảng6.1. Giải PT thuần nhất hệ số hằng số y py y 0

PTĐT k2 + pk + q = 0 Nghiệm tổng quát

Có 2 nghiệm thực 1 2k k 1 2k x k x1 2C e C e

Có nghiệm kép 1 2k k 1k x1 2e (C C x)

Có nghiệm phức liên hợp i

x1 2e (C cos x C sin x)

Ví dụ 6.7. Tìm nghiệm tổng quát của các PT i) y 2y 3y 0; ii) y 6y 9y 0.

Giải. i) PTĐT: 21 2k 2k 3 0 k 1, k 3

x 3x1 2NTQ : y C e C e .

ii) PTĐT: 21 2k 6k 9 0 k k 3 3x

1 2NTQ : y (C C x)e . # Ví dụ 6.8. Tìm nghiệm của PT y 2y 5y 0 và thỏa mãn

i) Điều kiện ban đầu y(0) 1, y (0) 3 ; ii) Điều kiện biên y(0) 0, y( ) 1.

Giải. PTĐT 212k 2k 5 0 k 1 2i .

153

NTQ: x1 2y e (C cos2x C sin 2x) .

i) Từ điều kiện suy ra xy e (cos2x sin 2x) .

ii) Từ điều kiện thì 1 1C 0 và e C 1 : vô lý; bài toán vô nghiệm. # b. Phương trình với vế phải đặc biệt

y py qy f (x) (6.26) trong đó p, q là hai hằng số cho trước, f(x) là hàm liên tục.

PT 2k pk q 0 : PT đặc trưng của (6.26). Ở phần a) chúng ta đã biết cách tìm nghiệm tổng quát của PTTN. Ta

chỉ cần tìm một NR; cộng hai nghiệm này lại ta sẽ được NTQ của PT (6.26). Chúng ta tìm NR của PT không TN (6.26) khi vế phải f(x) có dạng đặc biệt.

Bảng 6.2. Tìm nghiệm riêng PT hệ số hằng số y’’ + py’ + q = f(x)

Vế phải f(x)

So sánh với nghiệm PTĐT

2k pk q 0

Dạng nghiệm riêng

xne P (x)

không là nghiệm xne Q (x)

là nghiệm đơn xnxe Q (x)

là nghiệm kép 2 xnx e Q (x)

xm

n

e [P (x)cos xQ (x)sin x]

i

không là nghiệm x

s se H (x)cos x K (x)sin x

i

là nghiệm x

s sxe H (x)cos x K (x)sin x

(s Max(m,n) )

Công thức đạo hàm sau rất có ích ax ax(e f (x)) e (f (x) af (x)) .

Ví dụ 6.9. Giải PT y 2y y 1 x .

PTĐT: 21 2k 2k 1 0 k k 1 .

NTQ PTTN x1 2y e (C C x) .

Thấy rằng 0x1 x e P(x) 0 không là nghiệm PTĐT.

154

Tìm NR dạng 0xy y e (A Bx) A Bx . Thay vào PT, đồng nhất hệ số hai vế ta được

A 3, B 1 NR y 3 x .

NTQ x1 2y e (C C x) 3 x . #

Ví dụ 6.10. Giải PT xy 3y 2y e (3 4x) .

PTĐT: 21 2k 3k 2 0 k 1, k 2 .

NTQ PTTN x 2x1 2y C e C e .

* x 1x1f (x) e (3 4x) e P (x) 1 là nghiệm của PTĐT, tìm NR

dạng x x 2y y x e (A Bx) e (Ax Bx ) .

x 2y e [A (A 2B)x Bx ], x 2y e [2A (A 4B)x Bx ].

Thay vào PT đã cho, đồng nhất hệ số 2 vế ta được A 1, B 2 . x x 2x x

1 2NR : y xe (1 2x) NTQ : y C e C e xe (1 2x). #

Ví dụ 6.11. Giải PT 2xy 4y 4y 4e .

PTĐT: 21 2k 4k 4 0 k k 2 .

NTQ PTTN: 2x1 2y (C C x)e .

2x 2x0f (x) 4e e .P (x) 2 nghiệm kép của PTĐT. NR dạng

2 2x 2x 2 2x 2y y x e A Ae x y 2Ae (x x );

2x 2y 2Ae (1 4x x ) . Thay vào PT đã cho, đồng nhất hệ số 2 vế ta được A 2 .

2x 2 2 2x1 2NR : y 2e x NTQ : y (C C x 2x )e . #

Ví dụ 6.12. Giải PT x xy y xe 2e .

PTĐT: 2k 1 0 k i 0 i .

NTQ PTTN 0x1 2 1 2y e (C cos1x C sin1x) C cos x C sin x .

Thấy rằng x x1 2 1 2f (x) f (x) f (x), f (x) xe , f (x) 2e .

* Xét PT x1y y f (x) xe .

x 1x1 1f (x) xe e P (x) 1 không là nghiệm PTĐT, tìm nghiệm

riêng

155

x x x1y y e (A Bx); y e (A B Bx); y e (A 2B Bx).

Thay vào PT ta được x

1A 1/ 2; B 1/ 2 NR : y e ( 1 x) / 2 .

* Bây giờ xét PT x2y y f (x) 2e .

1 không không là nghiệm PTĐT, tìm nghiệm riêng dạng x x x

2y y e C y e C, y e C .

Thay vào PT được x2C 1 NR : y e .

x x1 2NTQ : y C cos x C sin x e (x 1) / 2 e . #

Ví dụ 6.13. Giải PT y 9y 4xsin x .

PTĐT: 2k 9 0 k 3i . NTQ PTTN 1 2y C cos3x C sin3x .

Ta thấy 0xf (x) 4xsin x e (0.cosx 4xsin x) i 0 i không là nghiệm PTĐT, s Max(0, 1) 1 . Vậy ta tìm nghiệm riêng dạng

0xy y e [(A Bx)cos x (C Dx)sin x](A Bx)cosx (C Dx)sin x,

y Bcos x ( A Bx)sin x(C Dx)cos x Dsin x

(B C Dx)cosx ( A D Bx)sin x,y Dcos x ( B C Dx)sin x

( A D Bx)cos x Bsin x( A 2D Bx)cosx ( 2B C Dx)sin x.

Thay vào PT, hằng đẳng hai vế ta được: (8A 2D 8Bx)cos x ( 2B Cc 8Dx)sin x 4xsin x

8A 2D 0 A 1/ 88A 2D 8Bx 0 8B 0 B 0

2B 8C 8Dx 4x 2B 8C 0 C 08D 4 D 1/ 2

NR 1 1y cosx xsin x8 2

.

NTQ 1 21 1y cos x xsin x C cos3x C sin3x8 2

. #

156

TÓM TẮT CHƯƠNG 6

PTVP cấp một

PT phân ly

Dạng: f (x)dx g(y)dy f (x)dx g(y)dy C

PT thuần Nhất

Dạng: yy fx

Đặt y u(x).x , y u x u , đưa về PT phân ly

PT tuyến tính

Dạng: y p(x)y q(x)

NTQ: p(x)dx p(x)dxy e C q(x)e dx

PT Bernoulli

Dạng: y p(x)y q(x)y ( 0 và 1 )

Chia hai vế cho y , đặt 1z y đưa về PTTT

PTVP toàn phần

Dạng: P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 Q Px y

TPTQ: 0 0

yx

0x y

u(x,y) P(x, y )dx Q(x, y)dy C

PTVP cấp hai

PT tuyến tính

Dạng: y p(x) y q (x) y f (x) Thuần nhất: y p(x) y q(x) y 0 Cấu trúc nghiệm: 1 1 2 2y C y (x) C y (x) y

Hệ số hằng

Thuần nhất: Bảng 6.1 Vế phải đặc biệt: Bảng 6.2

Bài tập: Các dạng đặc biệt của PTVP cấp một (1t) Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng số … (1t)

Ôn tập (2t): Chữa các bài chưa có điều kiện chữa Làm lại các ví dụ chưa kịp giới thiệu

(Giáo viên làm là chính) Chuẩn bị thi:

Một số kinh nghiệm khi thi Nhắc lại tinh thần nghiêm túc trong thi cử Nhắc nhở SV nhớ thời gian, địa điểm thi

Nhắc một số quy đinh trong kỳ thi Động viên tinh thần SV thi tốt

157

BÀI TẬP CHƯƠNG I: GIỚI HẠN, LIÊN TỤC, PHÉP TÍNH VI PHÂN

CỦA HÀM MỘT BIẾN

I. Giới hạn của hàm số

1. Tìm các giới hạn sau:

a) 2 3 4

x 1

x x x x 4limx 1

b) 100

50x 1

x 2x 1limx 2x 1

c) x a

sin x sinalimx a

ĐS: a) 6; b) 9848

; c) cosa.

2. Tìm các giới hạn sau:

a)

x 12 x 1

2x

x 1limx 1

; b) tgx

x /2lim sin x

; c) x x

x 0

e elimsin x sin x

Đáp số: a) 1; b) 0; c) 1

3. Tìm các giới hạn sau:

a) x 0

arcsin axlim ;(a 0)x

b) x 0

arctgaxlim , a 0x

.

Đáp số: a) a; b) a

4. Tìm các giới hạn một phía sau đây:

a) 1x 0

x

1lim

1 e

b) 1x 0

x

1lim

1 e

c) 1x 3 0x 3

1lim

x 2

d) 1x 3 0x 3

1lim

x 2

Đáp số: a) 1; b) 0; c) 0; d) 13

.

II. Sự liên tục của hàm số một biến số

5) Xét tính liên tục của hàm số

158

a) sin x v i x 0

xf (x)1 v i x 0

í

í b)

1x.sin n u x 0f (x) x

0 n u x 0

Õ

Õ

c) 2x n u 0 x 1f (x)

2 x n u1 x 2

ÕÕ

ĐA: a) Gián đoạn tại x = 0; b) liên tục tại x = 0, c) liên tục trên [0, 2].

6) Hãy xác định hằng số a để cho các hàm số sau liên tục

a) x2e n u x 0f (x)

a 2x n u x 0

ÕÕ

liên tục (-, + )

b) 2

2x a nf (x)

ax 2 n

Õu x 0,1

Õu x 1,2

Đáp số: a) a = 2; b) liên tục a.

7. Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) 1x.(cos ) x 0

f (x) x0 x 0

b) 1

x 2

1 v i x 2f (x) 1 e

0 v

í

í i x = 2

Đáp số: a) liên tục tại x = 0; b) gián đoạn tại x= 2.

8. Tìm các điểm gián đoạn của hàm số và phân loại điểm gián đoạn.

x1 x

1f (x)

1 e

Đáp số: x = 1 là điểm gián đoạn loại 1, x = 0 là điểm gián đoạn loại 2.

III. Đạo hàm và vi phân

9. Dùng trực tiếp định nghĩa tìm đạo hàm của hàm số.

a) y = x ( x > 0) b) y = 2x2

Đáp số: a) x yx y

, b) y' = 2x2 .2x.ln 2

159

10. Xét xem hàm số sau có đạo hàm tại x = 0 hay không?

a) y = cosx b) 1x.sin ; x 0

f (x) x0 ; x 0

Đáp số: a) Không tồn tại b) Không tồn tại

11. Tìm đạo hàm của các hàm số

a) y = ln (x + 2x 1 ) b) y = tg(cosx)

Đáp số: a) 2

1y'x 1

b) 21y'

xcos (cosx)

12. Tìm các đạo hàm sau

a) 2y arcsin(cosx ) ; b) 2y arccos(sinx )

13. Tìm đạo hàm y', y'' của hàm y = y(x) cho dưới dạng tham số:

2

3

x 2t t

y 3t t

Đáp số: x

3y' 1 t2

2x3 1y ''4 (1 t)

14. Tìm vi phân

a) xd(xe ) b) 2 2d a x

c) 2

xd1 x

d) dln(1- x2)

Đáp số: a) xe (1 x)dx b) 2 2

xdx

a x

c) 32 2

dx

(1 x )

d) 22x dx

1 x

15. Áp dụng công thức gần đúng y dy = f'(x)dx, dx = x để tính gần

đúng các giá trị sau:

a) 3

1,02 b) sin290 c) arctan 1,05.

160

d) 5 , e) 10

1000

Đáp số: a) 1,0066, b) 0,484, c) 0,8104, d) 2,25, e) 1,9955

Đạo hàm của hàm ẩn - hàm ngược.

16. Tìm đạo hàm y'x từ các phương trình sau:

a) 3y 3y x b) 2 2x 2xy y 2x

c) x 2e yln x y

Đáp số: a) 21y'

3y 3

b) 1 x yy'

x y

c) xxe yy '

x(2y ln x)

17. Tìm đạo hàm của hàm ngược x'(y)

a) y = x + lnx b) y = x + ex

Đáp số: a) xx '(y)1 x

b) x1x '(y)

1 e

18. Khảo sát và vẽ đường cong cho theo tham số

(a) Elip bán trục a, b cho bởi phương trình x a cos ty bsin t, t [0, 2 ].

(b) t t /2x e t, y 4e , 8 t 3

19. Khảo sát và vẽ đường cong trong tọa độ dạng tọa độ cực

(a) Đường cardioid (đường hình tim) (i) r 1 a cos (a 1) ; (b) r 1 cos ;

161

(c) Đường xoắn ốc Archimede r , 0

ÔN TẬP CHƯƠNG I

20. Tìm các giới hạn sau:

a) 2

x 0

sinxlim1 cosx

b) x 0

x tgxlimx sinx

. Đáp số: a) 2 b) -2

21. Xét tính liên tục của hàm số1x

x khi x 0f (x) 1 e

0 khi x 0

Đáp số: liên tục

22. Tìm đạo hàm của hàm ẩn và hàm ngược của các hàm số sau:

a) 3y 3y x b) y sin x x cos y

Đáp số: a) 221y'(x) ; x '(y) 3y 3

3y 3

b) cosx cos y 1 x.sin yy '(x) ; x '(y)1 xsin y cos x cos y

23. Tìm vi phân của các hàm số sau:

a) y = x + lnx b) y = x + ex

c) y = lnx + xex

Đáp số: a) 1 xdy dxx

b) dy = (1+ex)dx, c) x 2 x1+xe x edy= dxx

162

CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN

I. Tích phân bất định

1. Tính các tích phân sau

a) 2 4x (5 x) dx b) 3x 1dx

x 1 , c) 2005(2x 1) dx

d) 2 3x x 5dx e) 3(2ln x 3) dx

x

Đáp số: a) 3 2x x x C

3 2 b) c) 20061 (2x 1) C

4012

d) 332 x 5 C9

e) 41 (2ln x 3) C8

2. Tính các tích phân sau:

a) 2dx

x 6x 25 b) 4 2xdx

x 6x 5

Đáp số: a) 1 x+3arctg C4 4

; b) 2

21 x 2ln C8 x 5

3. Tính các tích phân sau:

a) 2

dx

x 2x 5 , b)

2

dx

x 5x 2x 1

c) 4 10

dx

x( x 1)

Đáp số: a) 2ln x 1 x 2x 5 C

b) 21 x 5x 2x 1ln C

x

, c) 4 48 9

1 4 C2( x 1) 9( x 1)

4. Tính các tích phân sau:

163

a) 3sinx+cosx dx

sinx-cosx b) 2 2

dxsin x 2cos x

c) 4 4sinxcosxdx

sin x cos x d) 2dx

sinxcos x

Đáp số:

a) 33 1 sin 2x C

2 b) 1 tgxarctg C

2 2

c) 21 arctg(tg x) C2

d) x 1ln tg C2 cosx

5) Tính tích phân xác định sau:

a) 2

2

4

dxsin x

b) 3

0

x.sin xdx

, c) 0

cosx sinxdx

Đáp số: a) 1; b) 43 ; c) 0

6. Tính các tích phân sau:

a) 1

x

0

xe dx b) e 2

1

ln x dxx

c) 20

xsinx dx1+cos x

d) 21

2 x

1

(xcos x xe )dx

Đáp số: a) e 2e b) 1

3 c)

2

4 d) 0

III. Ứng dụng của tích phân xác định

7. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau:

2y 2x 1 và x - y = 1. Đáp số: 163

8. Tính độ dài của đường cong cho bởi phương trình tham số

164

2

4

1x t6

1y 2 t , 0 t 14

Đáp số: 133

9. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay miền giới hạn các đường

y = 2x - x2 và y = 0

a) Quay xung quanh trục Ox.

b) Quay xung quanh trục Oy.

Đáp số: a) 1615

b) 2

2 ln(1 2)

IV. Tích phân suy rộng

10. Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau:

a) 1

dxx x 1

b) 21

cosx dxx(x 1)

c) 1

dxx

d) 1

arctg3x dxx

e) 1

2(1 cos )dxx

Đáp số: a) Hội tụ b) Hội tụ c) Phân kỳ d) phân kỳ e) Hội tụ

11. Tính các tích phân suy rộng sau:

a) x

0

e dx

b) 2

2 20

x dx(1 x )

c) x2

0

xe dx

Đáp số: a) 2 b) 2 c) 2

ÔN TẬP CHƯƠNG II

12. Tích phân bất định

a) 1 sinx+cosx dxx+cosx+sinx

b) arctgxdx

c) 5cos x sin xdx , d) 3

2(sinxcos x)dx

1+cos x

165

Đáp số: a) ln x cosx+sinx C , b) 21xarctgx- ln(1 x ) C2

c) 2 4 32 4 2sin x sin x sin x C3 7 11

,

d) 2 21 1ln 1 cos x cos x C2 2

13. Tích phân xác định

a) 5 3 2

0

(sin x.cosx+cos x.sin x)dx

b) 3

0

(cos x sinx xsinx)

dx, c)

2 5 3

0

(sin x.cos x x.sin x)dx

Đáp số: a) 0 b) c) 43

14. Tích phân suy rộng

Xét sự hội tụ hay phân kỳ của các tích phân sau:

a) m

n1

x dx1 x

b) 23 x

0

x e dx

Đáp số: a) Hội tụ nếu n - m > 1, b) Hội tụ

15. Ứng dụng của tích phân

a) Tính diện tích của hình phẳng cho bởi phương trình tham số:

x = 2t - t2, y = 2t2 - t3

b) Tính độ dài đường cong cho bởi phương trình r = a(1+ cos)

Đáp số: a) 815

b) 8a

166

Chương III

HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

I. Đạo hàm riêng và vi phân riêng của hàm 2 biến

1. Tìm các đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau:

a) 3 3

2 2x yf (x, y)x y

b) 2 2f (x, y) ln(x x y )

c) 2 xf (x, y) y .siny

d) f (x, y) aresin(x 2y)

e) f(x,y) = ln (x + lny)

Đáp số: a) 4 3 2 2

'x 2 2 2

x 2xy 3x yf(x y )

,

4 3 2 2'y 22 2

y 2yx 3x yfx y

b) 'x 2 2

1fx y

, 'y 2 2 2 2

yfx x y x y

c) 'x

xf ycosy

, 'y

x xf 2ysin xcosy y

d) 'x 2

1f1 (x 2y)

, 'y 2

2f1 (x 2y)

e) 'x

1fx ln y

, 'y

1fy(x lng)

2. Tìm vi phân của các hàm số sau:

a) z = sin (x2 + y2) b) z = arctg x yx y

c) z = ln (x+ 2 2x y )

Đáp số: a) dz = cos (x2+ y2) (2xdx + 2ydy)

b) 2 2xdy ydxdzx y

, c)

2 2 2 2 2 2

dx ydydzx y x x y x y

167

II. Đạo hàm và vi phân cấp cao

3. Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau:

a) f(x,y) = x2y + x y , b) f(x,y) = sin (x+y) + cos (x-

y)

c) f(x,y) = x2 ln (x+y)

d) f(x,y) = cos (ax + ey)

Đáp số: a) 'xf 2xy y , ' 2

yxf x

2 y , 2

"x

f = 2y,

"xy

1f 2x2 y

b) f'x = cos (x+y) - sin (x+y), f'y = cos (x+y), +

sin (x - y)

2"x

f sin(x y) cos(x y)

"xyf sin(x y) cos(x y) , 2

"y

f sin(x y) cos(x y)

c) f2

'x

xf 2x ln(x y)x y

, 2

'y

xfx y

,

2

2"

2x2x x 2xyf 2ln(x y)

x y (x y)

, 2

"xy 2

2x xfx y (x y)

,

2

2"

2yxf

(x y)

d) f'x = -sin (ax+ey)a, f'y = - sin (ax+ey)ey

2" y 2x

f cos(ax e )a , " y yxyf cos( e )ae ,

2" y 2y y yy

f cos(x e )e sin(ax e )e

4. Tìm vi phân cấp 2 của các hàm số sau đây:

a) f(x,y) = x3 + 2xy + y3

b) f(x,y) = sin x + cos y + x2

168

c) f(x,y) = y2 + 2xy + x3

Đáp số: a) d2f = 6xdx2 + 4dxdy + 6ydy2

b) d2f = (-sin x + 2) dx2 - cosydy2 c) d2f = 6xdx2 + 4dxdy + 2dy2

III. Tìm cực trị của hàm số

5. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) z = 4(x-y) - x2 - y2 b) z = x2 + xy + y2 + x - y+1

c) z = x + y - xey d) z = x4 + y4 - x2 - 2xy - y2

e) z = x2 (x+1) + y2

Đáp số: a) zmax = z(2,-2) = 8

b) zmin = z (-1,1) = 0

c) Không có cực trị.

d) Các điểm dừng M1 (0, 0); M2(-1, -1), M3(1,1).

M1 không là điểm cực trị, Z(M2) = Z(M3) = Zmin = - 2

e) Các điểm dừng Mo (0, 0); M12 ,03

: Hàm số không có cực trị.

6. Tìm cực trị có điều kiện

a) Z = x2 + y2 nếu x + y = 1

b) z = xy nếu x + y = 1

Đáp số: a) Zmin 1 1 1;2 2 2

b) Zmax = 1 1 1Z ,2 2 4

3) Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số

7.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) Z = x2 - y2 trong miền x2 + y2 4.

b) Z = x2y (4-x-y) trong miền D giới hạn bởi các đường thẳng x = 0,

y = 0, x+y = 6.

169

c) z = x2 + 2xy - 4x + 8y trong miền D giới hạn bởi các đường thẳng x =

0, x = 1, y = 0, y = 2.

Đáp số: a) Zmax (± 2,0) = 4; zmin (0, ± 2) = - 4

b) Zmax (2,1) = 4, Zmin (4,2) = - 64

c) Zmax (1,2) = 17; Zmin (1,0) = - 3

V. Ôn tập chương III

8. Xét xem hàm nào sau đây là nghiệm của phương trình 2 2

2 2y y 0

x y

a) = 2x2 + y2, b) = x2 - y2, ĐS: b)

9. Chứng minh rằng hàm số 2 2

1lnx y

thỏa mãn phương trình

2 2

2 2y y 0

x y

10. Tìm cực trị của hàm số sau:

a) x2 - xy + y2 - 2x + y = z

b) x3 + y3 - 3xy = z

Đáp số:

a) Zmin (-1, -4) = 11

b) Điểm dừng M0 (0, 0) và M1 (1,1) tại M0 (0,0) hàm số đạt cực tiểu Zmin

(1,1) = -1.

11. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số:

a) Z = x2 + y2 - x - 2y trong miền D: x ≥ 0,y ≥ 0. x + y ≤ 2.

b) z = x2 + y2 - 12x + 16y trong D: {x2 + y2 ≤ 25}

Đáp số: a) ZLN (2,0) = 2, ZNN 1 5,12 4

b) ZLN (-3,4) = 125, ZNN (3, -4) = -75

170

Chương IV

TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT

I. Tích phân bội

1. Tính các tích phân sau:

a) 2

V

I x ydxdy , v 0,1 x 0,2

b) 3

D

I x xy dxdy

D là miền giới hạn bởi các đường cong y = x2 và y = x

c) 3D

dxdy(x y) , D là miền xác định bởi x ≥ 1, y ≥ 1, x + y ≤ 3.

d) 2

D

x (y x)dxdy , D là miền giới hạn bởi các đường y = x2 và x = y2

e) D

(x y)dxdy , D là miền giới hạn bởi các đg y = 2 - x2, y = 2x - 1.

f) Chuyển qua toạ độ cực hãy tính tích phân:

2 2(x y )

D

I e dxdy . D là hình tròn tâm O bán kính R.

g) 2 2

D

x y dxdy , D giới hạn bởi các đường tròn x2 + y2 = a2, x2 + y2

= 4a2

Đáp số: a) 23

; b) 536

; c) 136

; d) - 1504

;

e) 20 f) 2R1 e

g) 64

15

II. Tích phân đường

2. Tính các tích phân đường sau

171

a) 2 2

34 2 2

x y 1

xxy x ycosxy dx xy x xcosxy dy3

b) 2

c

xxy 3x 2y dx y 2x dy2

với C là đường trong x2 + y2 =

R2, chiều dương.

c) c

xy x y dx xy x y dy ., C là đường x2 + y2 = ax, chiều

dương, a > 0.

d) 2 2

L

x y dx x y dyx y

, L là chiều dương của đường x2 + y2 = a2.

e) C

x y dx xydy trong đó C là chiều dương của chu vi miền giới

hạn bởi các đường x = y2 và y = x.

Đáp số: a) 3

, b) - 4R2, c) 3a

8 , d) - 2

III. Ôn tập chương IV

3. Tích phân bội 2

a) 2

D

x xy dxdy ,

D là miền giới hạn bởi các đường y = x, y = 2x, x = 2

b) D

x y dxdy ,

D là miền giới hạn bởi các đường x + 4 = y, y = 0, y = (x-2)2.

c) D

xydxdy , D là nửa trên của mặt tròn (x-2)2 + y2 4.

d) D

x y dxdy , D là miền giới hạn bởi đường x2 + y2 = 2(x+y).

172

Đáp số: a) 10; b) 285

; c) 323

; d) 4

4. Tích phân đường

a) Tính I = 2 2

L

y dx x dy

L là chiều dương chu vi của nửa hình tròn 2 2 2x y R

y 0

b) Tính I = L

xdy ydx L 3

3

x acos ta 0

y asin t

c) Tính I = 2 2

C

x y dx xy dy ,

C là đường 2 2

2 2x y 1,a b

chiều dương (a > 0, b > 0).

d) 2 2L

ydx xdyx y

Tính tích phân trên nếu L là đường tròn tâm x2 + y2 = 1 lấy theo chiều dương.

Đáp số: a) 34 R3

, b) 23 a4 , c) 2 2ab a b

4

, d)

2

173

Chương V

CHUỖI

I. Chuỗi số dương

1. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi có số hạng tổng quát sau đây:

a) 2

n 22n 3n 2Un 2n 1

b)

n

n2 nUn

3 3n 3

c) 2

n 2n 1U arctg

n n 1

d) n1 sinn 2n

U

Đáp số: a) Phân kỳ b) Hội tụ c) Phân kỳ d) Hội tụ

2. Khảo sát sự hội tụ hay phân kì của các chuỗi có các số hạng tổng quát sau:

a) 2

nnUn!

, b) n 2 22n 1U

n (n 1)

c) 2

n nnU

2 n

Đáp số: d) Hội tụ, e) Hội tụ, g) Hội tụ

3. Khảo sát sự hội tụ hay phân kỳ của các chuỗi có các số hạng tổng quát sau:

a) n n2.4.6...(2n)U

n , b) 2n!

(2n)! c)

n 2

n4 (n!)U

(2n)!

Đáp số: a) Hội tụ, b) Hội tụ c)

II. Chuỗi có dấu bất kỳ

4. Khảo sát sự hội tụ hay phân kỳ của các chuỗi có các số hạng tổng quát sau:

a) n

n( 1)Unln n

b) n

n( 1)n 1

U

c) n

n 2

1( 1) .sinnU

n 1

, d)

n2

n 2

1( 1) tgnU

n n 1

Đáp số: a) Hội tụ, b) Hội tụ, c) Hội tụ d) Hội tụ

5. Khảo sát sự hội tụ hay phân kỳ của các chuỗi có số hạng tổng quát sau:

174

a) 2n 1

n 2( 1)U

n 1

b) 2

cosnn 2n 1

nU

c)

n

n 2

1( 1) .sin nnU

x 2

d) 2n 1

n( 1)U

n n

Đáp số: a) Hội tụ, b) Hội tụ c) Hội tụ, d) Hội tụ

III. Chuỗi hàm số

6. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau:

a) 5 2nn 0

2n 1(n 1) x

b) n 1 2n 1

2n 1

2 x(4n 3)

c)

n

n nn 1

x3 2

d)

n 1n

n 1

x( 1)n(n 1)

e) 2n

nn 1

(x 2)2 .n

Đáp số: a) |x| 1, b) |x| 12

, c) |x| < 1,

d) |x| 1, e) -3 x < -1

IV. Chuỗi lũy thừa

7. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

a) n2

n 1

n 2 (x 3)n

b)

n

n nn 1

x3 2

c) a) n

n

n 1

n 1 (x 1)2n 1

, d)

3n

n 1

2n 1 (x 2)3n 2

e) n

n 1

(x 1)n

Đáp số: a) 2 x < 4 b) |x| < 3,

175

c) -1<x<3, d) 1 7x2 2 , e) 0 x < 2

V. Ôn tập

8. Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau:

a) 2n

nn 1

xn.9

b) n

n 1

1n(ln x)

c) n

n 1

n 1

x( 1) .n

d)

n

n 1

(x 4)n

e) n

n 1(nx)

g)

n

n 1

(5x)n!

Đáp số: a) |x| < 3, b) 0 < x < 1e

và 0 < x < +

c) -1 < x 1 d) 2 2 x 2 2

e) phân kỳ x g) - < x < +

176

CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

I. Phương trình vi phân cấp 1

1. Giải các phương trình vi phân có biểu số phân ly

a) yy'cosx=cosy

với điều kiện ban đầu y (0) = 1

b) y' = tgxtgy

c) 2 2 2 2x(1 y ) dx y(1 x ) dy 0

d) 2 2x (1 y)y ' y (1 x) 0

e) y'cos2y - siny = 0

Đáp số: a) 21 xln y ln tg2 2 4

b) siny.cosx=C

c) 2 21 1 k

1 x 1 y

d) x x yln Cy xy

(xy 0)

e) yx ln tg 2cosy+C2

(siny 0)

2. Phương trình vi phân thuần nhất (đẳng cấp) cấp 1

a) 2(x 2xy)dx xydy 0

b) y yy' sin , y(1)x x 2

c) y yy ' tg 0, y(1)x x 2

d) 2y(x y)dx x dy 0

g) (y - x)dx + (y + x)dy = 0

177

h) 2 2xdy ydx x y dx

Đáp số: a) xln x y Cx y

, b) y = 2xarctgx

c) yx.sin 1x , d)

xyx Ce

g) 2 2y 2xy x C , h) 2 21 2Cy C x 0

3. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

a) 2y' xy 1 x y(1) 1

b) 32y 1y ' (x 1) , y(0)x 1 2

c) 2(1 x )y ' xy 1, y(0) 0

d) 2xy' 2xy xe , e) 2 2 2(1 x )y ' 2xy (1 x )

Đáp số: a) y = x, b) 2

2x 1y x (x 1)2 2

c) 2

Cy1 x

d) 22

xxy C e2

, e) 2y (x C)(1 x ) ,

4. Giải các phương trình Becnuli

a) 2(2xy y)dx xdy 0 , b) 2 2y' ytgx+y sin x 0

c) 3 3y' xy x y

Đáp số: a) 2xy

x C

, b) 1 xcosx(lntg sinx+k )

y 2 4

c) 22 2 xy (x 1 Ce ) 1

5. Chứng minh rằng các phương trình sau là phương trình vi phân toàn

phần, giải chúng

178

a) 2(x y 1)dx (x y 3)dy 0

b) 2 3 3 22(3xy 3y )dx 3(2x y y )dy 0

c) 2y dx (2xy 3)dy 0 , d) x 2 xe (2 2x y )dx 2e ydx 0

e) 3

2 x3x (1 ln y)dx (2y )dy 0y

Đáp số: a) 2 3x yx xy 3y C

2 3 , b) 4 2 3x 3x y y C

c) 2xy 3y C , d) x 2e (2x y ) C , e)

3 3 3x y x ln y C

II. Phương trình vi phân cấp 2

6. Giải các phương trình vi phân cấp 2 sau

a) x

xey '' y

e 1

b) xy '' 2y ' y 3e x 1

c) xy '' 3y ' 2y 4xe , d) 2xy '' 5y ' 6y (x 1)e

e) y'' 9y 6cos3x , g) xy'' 5y' 6y e (2x 1)

Đáp số: a) x x x x x1 2

1 1y e x ln(e 1) K e e ln(e 1) K2 2

b) 5

x 21 24y e K K x 1 x5

c) x 2x x1 2y C e C e xe (2x 4) , d)

x 3x 2x1 2

1y C e C e x x 2 e2

e) 1 2y C cos3x+C sin5x x.sin3x , g)

2x 3x x1 2y C e C e e (x 2)

179

MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Bài 1: Giả sử bạn có A (đơn vị triệu đồng), bạn đem gửi vào ngân hàng với lãi suất r % trong

một năm. Hỏi sau n năm bạn được bao nhiêu tiền?

Giải Sau 1 năm: A + A.r = A (1 + r)

Sau 2 năm: A(1 + r) + A(1 + r) = A(1 + r)2

Sau 3 năm: A(1 + r)2 + A(1 + r)2.r = A(1 + r)3

Thời gian sau n năm: n 1 n 1 nA(1 r) A(1 r) r A(1 r)

Bài 2: Thời gian mùa tuyển sinh đại học, một trường ĐH ở thành phố Hồ Chí Minh tuyển 5000

sinh viên, được đào tạo tại 2 cơ sở:

Cơ sở A với số lượng là x sinh viên, hàm chi phí là:

2AC 0,01x 70x 9300

Cơ sở B với số lượng y sinh viên, hàm chi phí là:

2BC 0,015y 72y 5200

Lãnh đạo trường nên phân bổ sinh viên thế nào để chi phí đào tạo thấp nhất.

Giải.

2 2

A B2 2

C C C 0,01x 70x 9300 0,015y 72y 5200

0,01x 70x 0,015y 72y 14500

Thoả mãn: x + y = 5000

C2: Lập hàm L - G:

2 2L(xy, ) 0,01x 70x 0,015y 72y 14800 (5000 xy)

L'x 0,02x 70 0L'y 0,03y 2 0L' 5000 x y 0

x 3040, y 1960, 130,8

0 1 1

H 1 0,02 01 0 0,03

, det A = - 0,05 < 0 nên có CT.

KL: Cơ sở A: 3040 sinh viên, cơ sở B: 1960 sinh viên chi phí đào tạo thấp nhất.

Bài 3: Trong hai kỳ kinh doanh, chi phí sản xuất của 1 đơn vị sản phẩm cho bởi:

2C 0,005t 0,01t 13,15 0 t 24 (t: tháng)

Tìm chi phí trung bình để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm trong kỳ kinh doanh:

Giải. Chi phí trung bình được xác định bởi:

180

242

0

1 (0,005t 0,01t 13,1524

1dt .(341,2) 14,2324

$

Nhận xét: Ta có thể KT kết quả này bằng cách làm thông thường tính chi phí ứng với t = 0,

1, 2,...24.

t = 0 C = 13,15

t = 1 C = 13,15

t = 2 C = 13,19

Cuối kỳ: 13,15 13,17 13,19 .... 16,27 14,2325

Bài 4: Sản phẩm A có hàm lợi nhuận tính theo sản lượng là:

M = -100Q + 1000

Nếu chỉ bán được 100 sản phẩm thì công ty có 50.000 đơn vị tiền tệ (1 đơn vị tiền tệ là

1.000đ). Tìm hàm lợi nhuận theo Q?

Giải. = 2( 100Q 1000)dQ 50Q 1000Q C

C là hằng số vì (100) = -50.000 đơn vị tiền tệ bị lỗ, nên ta có:

2(100) 50.000 1000(100) C

50.000 C 350.000

Vậy hàm lợi nhuận (Q) - 250Q 1000Q 350.000

Bài 4. Lợi nhuận biên của một sản phẩm được xác định bởi:

d 0,0005x 12,2dx

Tìm sự thay đổi lợi nhuận khi sản lượng bán tăng từ 100 lên 101 đơn vị

Giải. 101 101

100 100

d ( 0,005x 12,2)dx 12,15dx $

Bài 5. Xác định hàm cầu khi biết hệ số co giãn của cầu ta biết rằng hệ số co giãn của cầu thị

trường của 1 sản phẩm được xác định bởi:

ddP dQE .P Q

Ed: hằng số co giãn

Q: cầu thị trường của sản phẩm

P: giá bán trên thị trường

Rõ ràng đây là phương trình vi phân với biến số phân ly giải bằng cách tích phân 2 vế ta có:

181

dEd d

QlnQ E ln P lnC ln E ln P ln PC

d dE Ed

Q P Q C.PC

Bài tập tìm hàm cầu của sản phẩm A, cho biết hệ số co giãn của cầu theo giá P là:

2

d10P 4PE

a

thoả Q = 1000, khi p = 20

Đáp số: a = -10p + 2p2 + 400

Bài 6. Điều chỉnh giá bán để đạt được sự cân bằng thị trường theo thời gian

Giả sử một sản phẩm A đang lưu thông trên thị trường, hàm cầu và hàm cung được

cho như sau:

Qd = a - bP (a, b > 0)

Qs = - C + dp (c, d > 0)

Khi đó thị trường cân bằng ở mức giá P0 và Ce0 được xác định là:

0 d sQ Q Q 0a cPb d

Nếu tại thời điểm bắt đầu nghiên cứu t = 0 giá P(0) = P0 thì thị trường đã đạt được cân bằng.

Nhưng nếu P(0) P0 nghĩa là thị trường chưa đặt độ cân bằng đã đạt được sự cân bằng cần

điều chỉnh, lúc đó P, Qd, Qs thay đổi nên chúng là các hàm số theo thời gian.

Câu hỏi là liệu sự điều chỉnh giá có đạt được sự cân bằng theo thời gian không?

Tức là P(t) P0 khi t +?

(Qd - Qs) là sự chênh lệch của cung cầu trên thị trường ở mỗi thời điểm. Giả sử sự biến thiên

của giá tỉ lệ thuận với lượng chênh lệch cung cầu ở mọi thời điểm thì d sdP Q Qdt

(*)

> 0.

Cần nhớ rằng d sdP 0 Q Qdt

. Từ (*) ta có:

dP dP(a c) (b d)P (b d)P (a c)dt dt

Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 giải phương trình này ta được NTQ là:

(b d)t0 0P(t) P(0) P e P , trong đó P0 là giá cân bằng thị trường.

Do (b + d) > 0 (b d)t0P(0) P e 0 khi t

Vậy P(t) P0 khi t nghĩa là trạng thái cân bằng thị trường đạt được.

182

Bài 7. Sản phẩm A có hàm cung và hàm cầu được cho như sau:

Qd = 4 - 2P, Qs = -6 + 4P

Giả sử sự điều chỉnh giá theo thời gian là:

d sdP 1 Q Qdt 2

hệ số điều chỉnh 12

.

Xác định hàm P biết rằng P = 15, lúc t = 0.

Đáp số: P(t) = 3t40 5e3 3

IV. Các ứng dụng của đạo hàm và vi phân

d) Đạo hàm và giá trị biến tế trong kinh tế

Cho mô hình hàm số y = f(x), x, y là các biến kinh tế, x là biến độc lập hay biến đầu vào; y

là biến phụ thuộc hay hiếm đầu ra: Trong QTKD người ta quan tâm đến sự thay đổi y khi x

thay đổi từ ĐN đạo hàm: x 0

yf '(x) limx

khi x đủ nhỏ ta viết

0 00

f (x x) f (x )y f '(x )x x

0 0 oy f (x x) f (x ) f ' x . x

Khi x = 1 y = f'(x0). Vậy đạo hàm biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi của biến y khi biến

x tăng thêm 1 đơn vị.

1. Cho phương trình chuyển động của một vật phụ thuộc thời gian 1 2 ty 3 sin5 8

(t tính

theo giây, s tính theo mét). Xác định tốc độ chuyển động ở cuối giây thứ 2.

Đáp số: V(2) 16,18 (m/s)

2. Một chuyển động theo parabon y = x(8-x) sao cho hoành độ của nó thay đổi phụ thuộc vào

thời gian theo quy luật x = t t (t tính theo giây, x tính theo m) tại M(1, 7) tốc độ biến đổi

của tung độ hằng bao nhiêu?

Đáp số: Tốc độ biến đổi của y là 9 m/s.

VD. Giả sử hàm sản xuất cho một doanh nghiệp là;

Q = f(L) = 5 L , L là số công nhân

Ở mức L = 100 đơn vị lao động Q = 5 100 50 (đơn vị sản phẩm).

Sản phẩm liên tế của lao động tại L = 100 là:

2" y 2y y yy

f cos(x e )e sin(ax e )e khi L = 100.

Điều này có nghĩa là khi tăng lao động từ 100 101 thì sản phẩm sẽ tăng thêm 0,25 đơn vị

sản phẩm.

183

3. Hàm chi phí của một sản phẩm được cho là TC = 0,0001Q3 - 0,02Q2 + 5Q + 100.

Tìm chi phí biên là đại lượng đo sự thay đổi của chi phí khi sản lượng Q tăng thêm 1 đơn vị

khi Q = 50 đơn vị sản lượng.

Đáp số: MC = 3,75.

+ Hàm doanh thu TR = P.Q ở đó P là giá bán, Q là sản lượng.

+ MR (Doanh thu biên) là đại lượng đo sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1

đơn vị.

4. Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là Q = 1000 - 14P (Q là sản lượng, P là giá bán).

Tìm MR khi P = 40 và P = 30.

Đáp số: P = 40 thì MR = - 120.

P = 30 thì MR = 160