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Homework 9 ( 98, :5 15| | 18) [2020D Y 1] ø ıHYü tD $. ıH 1 tüD X$. 0. lxX (\ (Yü/Y), Y, t, + “9062571”D , X$.(]X 7+ l\ .¤ <t )¨. 80 ¿PC| 'X ü<D1X Y˜ tX mD lxX D·\ @ ˜ ˜D \ l0\ | 0 ıH XX0 ¨.) 1. L ¡0t|(¯x |(x X$. (a) a = (1) (b) a = (0, 0) (c) a = (1, 1, 0), b = (1, 0, 1), c = (0, 1, 1) (d) a = (2, 3, 1), b = (1, 0, 2), c = (1, 1, 1) 2. L ˜t 8tt X, ptt @| $. (a) 8 ¡0 u, v, w |(¯tt, 8 ¡0 u + v, v + w, w + u ˜ |(¯t. (b) 8 ¡0 u, v, w |(tt, 8 ¡0 u + v, v + w, w + u ˜ |(t. (c) 8 ¡0 u, v, w |(¯tt, 8 ¡0 u, v - p u (v), w - p u (w) ˜ |(¯t. 3. N|Xxl| p\ ü, D ˜ <\ tüX @ ˜ xlX 2%, ˜\ tüX @ xlX 5% X.(^ 0\ x, , tü æ<\ x\ xl @ ˘\.) t\ `iD ,\ t P = p 11 p 12 p 21 p 22 = 0.98 0.02 0.05 0.95 t. , p 11 =0.98 @ ˜xt L t˜ ˜ ˜püU, p 12 =0.02 ˜xt L txt UD ·, ¨, \ p 21 , p 22 ˜ D\ Xl\ ü·˜. tL L <LıX$. 1

Homework 9 ( 98 œ: 5Ô 15 - Seoul National University · 2020. 5. 11. · Homework 9 (˛98˝, ˝œ: 5Ô 15| fl| 18Ü) [2020D ˘Yðµ1] ø ıHÀ— Y‹üt—DðÜ$. ıH ‚1Ü•tü

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Homework 9 (총 9문제, 제출: 5월 15일 금요일 18시)

[2020년 수학연습 1]

※ 답안지에 학번과 이름을 쓰시오. 답안 작성시 풀이과정을 명시하시오.

0. 본인의 손글씨로 소속(학과/학부), 학번, 이름, 숫자 “9062571”을 적고,서명하시오. (끝의 7자리 숫자는 그대로 옮겨 적으시면 됩니다. 문서편집기 또는 태블릿PC를 사용하여 과제물을 작성하는 학생께서도 종이에위의 사항을 본인의 필체로 적은 후 사진을 찍고 적절한 크기로 잘라서

0번 답안 위치에 삽입하기 바랍니다.)

1. 다음 벡터들이 일차독립인지 일차종속인지 판정하시오.

(a) a = (1)

(b) a = (0, 0)

(c) a = (1, 1, 0), b = (1, 0, 1), c = (0, 1, 1)

(d) a = (2, 3, 1), b = (1, 0, 2), c = (1, 1, 1)

2. 다음 진술이 참이면 증명하고, 거짓이면 반례를 드시오.

(a) 세 벡터 u, v, w가 일차독립이면, 세 벡터 u+ v, v+w, w+ u도일차독립이다.

(b) 세 벡터 u, v, w가 일차종속이면, 세 벡터 u+ v, v+w, w+ u도일차종속이다.

(c) 세벡터 u, v, w가일차독립이면,세벡터 u, v−pu(v), w−pu(w)도 일차독립이다.

3. N나라의 인구동태를 조사한 결과, 매년 도시에서 농촌으로 이주하는 사람은도시인구의 2%,농촌에서도시로이주하는사람은농촌인구의 5%였다고 하자. (앞서 기술한 것 외에 출생, 사망, 이민 등으로 인한 인구변동은 없다고 가정한다.) 이러한 상황을 행렬로 나타낸 것이

P =

(p11 p12p21 p22

)=

(0.98 0.020.05 0.95

)이다. 즉, p11 = 0.98은 도시인이 다음 해에도 계속 도시에 거주할 확률,p12 = 0.02는 도시인이 다음 해에 농촌인이 될 확률을 나타내고, 마찬가지로 p21, p22도 비슷한 의미로 주어진다. 이때 다음 물음에 답하시오.

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(a) 올해 N나라인구중도시인의비율이 q,농촌인의비율이 1− q라고하자. 이때 다음 등식을 만족하는 a, b, c, d 중 내년의 농촌인 비율을나타내는 것을 고르고, 이유를 설명하시오.

(a b

)=(q 1− q

)P,

(cd

)= P

(q

1− q

)(b) N나라 인구 중 도시인의 비율이 작년과 올해 q로 동일하였다고 할때, 도시인의 비율 q를 구하시오.

4. 이차 정사각행렬 A,B에 대하여 다음을 보이시오.

(a) A가 단위행렬의 상수배이면, 임의의 B에 대하여 AB = BA이다.

(b) 임의의 B에 대하여 AB = BA이면, A는 단위행렬의 상수배이다.

5. m× n 행렬 A와 n× l 행렬 B에 대하여 두 선형사상 LB : Rl → Rn와

LA : Rn → Rm의 합성

LA ◦ LB : Rl → Rm

은 LAB : Rl → Rm와 일치함을 보이시오.

6. 선형사상 L : Rn → Rm 및 벡터 v ∈ Rn에 대하여 다음을 보이시오.

(a) v = 0이면 L(v) = 0이다.

(b) 위 명제의 역(L(v) = 0이면 v = 0이다)은 L이 일대일함수라는것과 동치이다.

7. 차수가 n 이하인 다항식 전체 집합을 Pn이라 두고,

p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn

을 벡터

a0a1...an

∈ Rn+1과 같이 보았을 때, 다음 물음에 답하시오.

(a) 미분사상

Dn : Pn → Pn−1, p(x) 7→ p′(x) (n ≥ 1)

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에 대응되는 행렬 An을 구하시오. 또, 적분사상

Jn : Pn → Pn+1, p(x) 7→∫ x

0

p(y) dy (n ≥ 0)

에 대응되는 행렬 Bn을 구하시오.

(b) n ≥ 1일 때, 행렬 Bn−1An과 An+1Bn이 같은지 판단하시오. 또,각각이 항등행렬 In+1과 같은지도 판단하시오.

8. 삼차원 공간에서 원점을 지나고 방향이 벡터 v = (1, 2, 3)인 직선을 `,원점을 지나고 v에 수직인 평면을 E라 할 때, 다음 각 사상에 대응하는행렬을 구하시오.

(a) 삼차원 공간의 점 P 를 그 점에서 `에 내린 수선의 발 A에 대응시키는 사상 a

(b) 삼차원 공간의 점 P 를 P 의 `에 대한 (선)대칭점 B에 대응시키는사상 b

(c) 삼차원 공간의 점 P 를 그 점에서 E에 내린 수선의 발 C에 대응시키는 사상 c

(d) 삼차원공간의점 P 를 P 의 E에대한 (면)대칭점 D에대응시키는사상 d

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