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Homework 9 (총 9문제, 제출: 5월 15일 금요일 18시)
[2020년 수학연습 1]
※ 답안지에 학번과 이름을 쓰시오. 답안 작성시 풀이과정을 명시하시오.
0. 본인의 손글씨로 소속(학과/학부), 학번, 이름, 숫자 “9062571”을 적고,서명하시오. (끝의 7자리 숫자는 그대로 옮겨 적으시면 됩니다. 문서편집기 또는 태블릿PC를 사용하여 과제물을 작성하는 학생께서도 종이에위의 사항을 본인의 필체로 적은 후 사진을 찍고 적절한 크기로 잘라서
0번 답안 위치에 삽입하기 바랍니다.)
1. 다음 벡터들이 일차독립인지 일차종속인지 판정하시오.
(a) a = (1)
(b) a = (0, 0)
(c) a = (1, 1, 0), b = (1, 0, 1), c = (0, 1, 1)
(d) a = (2, 3, 1), b = (1, 0, 2), c = (1, 1, 1)
2. 다음 진술이 참이면 증명하고, 거짓이면 반례를 드시오.
(a) 세 벡터 u, v, w가 일차독립이면, 세 벡터 u+ v, v+w, w+ u도일차독립이다.
(b) 세 벡터 u, v, w가 일차종속이면, 세 벡터 u+ v, v+w, w+ u도일차종속이다.
(c) 세벡터 u, v, w가일차독립이면,세벡터 u, v−pu(v), w−pu(w)도 일차독립이다.
3. N나라의 인구동태를 조사한 결과, 매년 도시에서 농촌으로 이주하는 사람은도시인구의 2%,농촌에서도시로이주하는사람은농촌인구의 5%였다고 하자. (앞서 기술한 것 외에 출생, 사망, 이민 등으로 인한 인구변동은 없다고 가정한다.) 이러한 상황을 행렬로 나타낸 것이
P =
(p11 p12p21 p22
)=
(0.98 0.020.05 0.95
)이다. 즉, p11 = 0.98은 도시인이 다음 해에도 계속 도시에 거주할 확률,p12 = 0.02는 도시인이 다음 해에 농촌인이 될 확률을 나타내고, 마찬가지로 p21, p22도 비슷한 의미로 주어진다. 이때 다음 물음에 답하시오.
1
(a) 올해 N나라인구중도시인의비율이 q,농촌인의비율이 1− q라고하자. 이때 다음 등식을 만족하는 a, b, c, d 중 내년의 농촌인 비율을나타내는 것을 고르고, 이유를 설명하시오.
(a b
)=(q 1− q
)P,
(cd
)= P
(q
1− q
)(b) N나라 인구 중 도시인의 비율이 작년과 올해 q로 동일하였다고 할때, 도시인의 비율 q를 구하시오.
4. 이차 정사각행렬 A,B에 대하여 다음을 보이시오.
(a) A가 단위행렬의 상수배이면, 임의의 B에 대하여 AB = BA이다.
(b) 임의의 B에 대하여 AB = BA이면, A는 단위행렬의 상수배이다.
5. m× n 행렬 A와 n× l 행렬 B에 대하여 두 선형사상 LB : Rl → Rn와
LA : Rn → Rm의 합성
LA ◦ LB : Rl → Rm
은 LAB : Rl → Rm와 일치함을 보이시오.
6. 선형사상 L : Rn → Rm 및 벡터 v ∈ Rn에 대하여 다음을 보이시오.
(a) v = 0이면 L(v) = 0이다.
(b) 위 명제의 역(L(v) = 0이면 v = 0이다)은 L이 일대일함수라는것과 동치이다.
7. 차수가 n 이하인 다항식 전체 집합을 Pn이라 두고,
p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn
을 벡터
a0a1...an
∈ Rn+1과 같이 보았을 때, 다음 물음에 답하시오.
(a) 미분사상
Dn : Pn → Pn−1, p(x) 7→ p′(x) (n ≥ 1)
2
에 대응되는 행렬 An을 구하시오. 또, 적분사상
Jn : Pn → Pn+1, p(x) 7→∫ x
0
p(y) dy (n ≥ 0)
에 대응되는 행렬 Bn을 구하시오.
(b) n ≥ 1일 때, 행렬 Bn−1An과 An+1Bn이 같은지 판단하시오. 또,각각이 항등행렬 In+1과 같은지도 판단하시오.
8. 삼차원 공간에서 원점을 지나고 방향이 벡터 v = (1, 2, 3)인 직선을 `,원점을 지나고 v에 수직인 평면을 E라 할 때, 다음 각 사상에 대응하는행렬을 구하시오.
(a) 삼차원 공간의 점 P 를 그 점에서 `에 내린 수선의 발 A에 대응시키는 사상 a
(b) 삼차원 공간의 점 P 를 P 의 `에 대한 (선)대칭점 B에 대응시키는사상 b
(c) 삼차원 공간의 점 P 를 그 점에서 E에 내린 수선의 발 C에 대응시키는 사상 c
(d) 삼차원공간의점 P 를 P 의 E에대한 (면)대칭점 D에대응시키는사상 d
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