HOMOTECIA Nº 5-9servicio.bc.uc.edu.ve/homotecia/2011/5-2011.pdf · que la humanidad habla hoy en día. ... Nóbel e incluso Bill Gates, tienen números de Erdös muy bajos. Gates

HOMOTECIA Nº 5–Año 9 Lunes, 2 de Mayo de 2011 1

Saberes. Más sobre el origen de la comunicación y el lenguaje. Un cable

proveniente de la BBC Ciencia, publicado el 15-04-2011 en el periódico virtual

Notitarde.com, hace referencia a: “EL LENGUAJE HUMANO SE ORIGINÓ EN

ÁFRICA”. Un estudio sobre las lenguas que se hablan en todo el mundo, ha

hecho posible afirmar que todas provienen de un lenguaje común surgido en

África. Previamente, investigaciones genéticas permitieron afirmar que el primer

humano tuvo su origen en África hace cincuenta mil años; siendo la principal

evidencia que permite esta opinión, el que la diversidad genética es mayor en

este continente y se reduce a medida que las poblaciones se alejan del mismo.

Los datos arrojados por esta nueva investigación, dan pie para afirmar que el

primer lenguaje también surgió de allí, y con las migraciones de las poblaciones,

se produjeron evoluciones lingüísticas que dieron origen a los idiomas actuales.

La investigación fue realizada por el doctor Quentin Atkinson (Departamento de

Psicología, Universidad de Auckland, Nueva Zelandia) y publicada en la

prestigiosa revista de fama mundial Science. Atkinson, al suponer que el

lenguaje tuvo una evolución de una manera semejante a la del ser humano,

analizó los patrones del lenguaje y su diversidad de sonidos alrededor del

mundo. Estudió los fonemas (las unidades de sonido que se usan para

diferenciar distintas palabras en los idiomas) de quinientos cuatro de las lenguas

que la humanidad habla hoy en día. Descubrió que todos los fonemas que se

usan en todos los idiomas presentan de manera similar el llamado "efecto

fundador" que se ve en la genética de las poblaciones. Los grupos pequeños que

en su momento migraron hacia nuevas tierras, conservaron algunos rasgos

lingüísticos originarios. ¿Pero por qué en África? Porque en este continente, los

dialectos presentes contienen más fonemas que en otras regiones, y además, a

medida que estas regiones se alejan de África, menos fonemas tienen, como es

el caso de América del Sur y las islas tropicales del océano Pacífico. En la misma

línea, él comprobó que de las lenguas habladas en África hay algunas que tienen

hasta cien fonemas, una diferencia grande con respecto al idioma inglés que

tiene cuarenta y cinco fonemas, así como que en las islas hawaianas solo hay

trece, según datos que él proporciona. Para este investigador, la reducción en el

número de fonemas usados no puede explicarse por cambios demográficos o

por algún factor local, pero sí muestra que existen mecanismos paralelos que

fueron gradual y lentamente formando tanto la diversidad genética como la

lingüística del ser humano. Hasta ahora la mayoría de las teorías sobre el origen

del lenguaje humano se basan en la correspondencia de sonidos similares entre

las distintas familias de dialectos y lenguas. Por ejemplo: “agua” se dice “wáter”

en inglés y “wasser” en alemán, y eso puede indicar un ancestro común.

Atkinson reconoce que es difícil en los actuales momentos determinar cuál fue

el cambio que se dio de un sonido original al actual en un idioma particular,

puesto que los procesos evolutivos de la sociedad humana han afectado la

conformación de los idiomas. Por ello, suponer que en la región donde se

utilizan más fonemas se originó el lenguaje puede ser un acierto. Si esto es así,

para Atkinson significa que todos provenimos de una misma familia, tanto en el

sentido cultural como en el sentido genético. Ésta teoría, por supuesto, es una

más sobre el origen del lenguaje humano, que amerita ser grandemente

discutida aunque aparente ser acertada.

Paúl Erdös Nació el 26 de Marzo de 1913 en Budapest, Hungría; y murió el 20 de Septiembre de 1996 en Varsovia, Polonia. Paúl Erdös (se lee “Erdich”) nació en el seno de una familia húngara judía.

Fuente: Documento en línea.

Un matemático es un ser humano que hace matemáticas, y todo lo

demás son tópicos. Eso no quiere decir que algunos matemáticos no

cumplan el tópico a rajatabla. Este es el caso de Paúl Erdös. Dicen los

que le conocieron que usaba calcetines con sandalias y que al viajar

sólo llevaba una maleta semivacía, que arrastraba por el mundo de

congreso en congreso. Vivió plenamente para las matemáticas,

olvidándose del resto de las obligaciones y quehaceres humanos. No

tenía ni familia ni un lugar fijo de residencia. "La propiedad perjudica",

decía. Sus colegas se encargaban de él y de todas sus necesidades: le

buscaban alojamiento, gestionaban sus finanzas, le alimentaban, le

compraban ropa y hasta pagaban sus impuestos. A cambio, él los

alimentaba con nuevas ideas y retos, con problemas por resolver y

brillantes maneras de abordarlos. Alguien que lo conocía bien, decía

que "sus amigos lo quieren ciegamente, devolviéndole como pueden la

luz que él trae a sus casas y oficinas". Erdös no se preocupaba por el

dinero; donaba la mayor parte de lo que ganaba dando conferencias a

sus estudiantes. Ya fuese para ayudarlos o para premiar la solución de

algún problema que les hubiese planteado. Publicó a lo largo de su vida

alrededor de 1475 trabajos con 485 coautores. Su verdadera pasión fue

la teoría de números, que le fascinaba por ser, según sus palabras,

independiente del universo; y especialmente los números primos.

((CCOONNTTIINNÚÚAA EENN LLAA SSIIGGUUIIEENNTTEE PPÁÁGGIINNAA))

Reflexiones "Lo poco que he aprendido carece de valor, comparado con lo que ignoro y no desespero en aprender".

René Descartes


(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

Una de sus grandes preocupaciones fue la distribución de los primos dentro de los enteros. El teorema de los números primos afirma que la densidad de primos menores que x tiende a [x/Ln(x)]. Esto fue conjeturado por Gauss, y fue demostrado con métodos muy potentes del análisis, por Jaques Hadamard (1865-1943) y Charles de la Vallée Poussin (1866-1950). En 1946, Erdös y Atle Selberd (Medalla Fields 1950) obtuvieron una demostración que no recurría a métodos superiores del análisis. Era una demostración elemental, que no es lo mismo que sencilla. Este tipo de demostraciones elementales que no recurrían a los métodos superiores del cálculo diferencial e integral y de variable compleja, sino que se mantenía en los terrenos de la teoría de números, eran las que consideraba Erdös las ideales y a las que se dedicó mayormente. Aparte de la teoría de números, abordó temas importantes y difíciles en el área de la combinatoria, teoría de conjuntos, análisis clásico, geometría discreta, topología de conjuntos... extendiéndose a muchas otras áreas, entre ellas: probabilidad, topología, teoría de grupos, funciones complejas. Ofrecía premios por las soluciones de algunos problemas, variando el monto según la dificultad e hizo pagos desde 1 hasta 1000 dólares a quienes los resolvían (Fue un gran solucionador y un gran planteador de problemas, en contraste con la tendencia contemporánea de algunos matemáticos a la elaboración de teorías generales). Según la opinión de algunas personas que lo conocieron poseía la habilidad de hacer la pregunta adecuada a la persona adecuada. Fue un viajero incansable. Hombre amable y generoso que supo motivar, inspirar y entusiasmar a varias generaciones de matemáticos. Su estilo de vida era muy sencillo. En 1983 ganó el Premio Wolf, y conservó sólo 720 de los 50000 dólares que recibió. Como no podía faltar, algunos de sus trabajos están vinculados con el último teorema de Fermat. Un encantador resultado debido a Erdös es: "el conjunto de números amigables tiene densidad 0". Una pareja de enteros es amigable si cada uno es igual a la suma de los divisores propios del otro, como por ejemplo 220 y 284. Por cierto, todavía no se sabe si hay una infinidad de tales parejas. Una de las bromas que gustaba decir este peculiar matemático es la siguiente: “Cuando era niño, se decía que la Tierra tenía una antigüedad de dos mil millones de años. Ahora los científicos dicen que es de cuatro y medio miles de millones de años. Lo cual hace que yo tenga ahora una edad de dos y medio miles de millones de años”. Dejó tras de sí una leyenda que ha ido creciendo desde el día de su muerte entre los matemáticos, que lo idolatraban por su humanidad, su genialidad y su desapego por las causas del mundo. Tanto es así, que existe un homenaje que pertenece al acervo folklórico de la comunidad matemática: el cómputo del número de Erdös asignado personalmente a cada matemático, que se define de la siguiente manera:

Paúl Erdös tiene número de Erdös igual a cero; el número de Erdös de una persona es 1 si publicó en colaboración con Erdös, su número de Erdös es 2 si publicó con alguien que haya publicado con Erdös, su número de Erdös es 3 si publicó con alguien que haya publicado con alguien que haya publicado con Erdös, y así sucesivamente.

Evidentemente este es un asunto lúdico de los que gustan a los matemáticos, pero tiene sorprendentes connotaciones: Se han estudiado los números de Erdös de personalidades en el mundo de la ciencia y tecnología, resultando que los poseedores de medallas Fields, muchos premios Nóbel e incluso Bill Gates, tienen números de Erdös muy bajos. Gates tiene un número de Erdös igual a 4, Andrew Willes, el que consiguió demostrar el último teorema de Fermat lo tiene igual a 3; Einstein lo tenía igual a 2, e Ilya Prigogine igual a 6. El lingüista Noam Chomsky tiene un número de Erdös de 4. Es como si la cercanía a Erdös iluminara las mentes de los científicos... una hermosa leyenda en todo caso.

Paúl Erdös murió en Varsovia mientras participaba en un encuentro matemático, como no podía ser de otra forma. Tenía ya preparada su colaboración en otro congreso de teoría de números en Lituania, teniendo en su cartera el boleto para el viaje.


Aportes al conocimiento

EEssttuuddiioo ddeell CCoommppoorrttaammiieennttoo IInntteerrnnoo ddee llooss AArrgguummeennttooss ddee ffuunncciioonneess::

MMééttooddoo ddee llaa CCIINNTTAA ((44))..

Continuando con la presentación del Método de la CINTA, en el escrito de hoy trataremos del Tercero y del Cuarto casos.

♦♦♦♦ Tercer Caso: ))...()()((

))...()()(()(

332211

332211

mm

nn

dxcdxcdxcdxc

bxabxabxabxaxF

++++++++=

Básicamente el método busca productos de signos, y las leyes del producto de signos son las mismas para el cociente de ellos. Por lo tanto, al efectuar productos y cocientes de signos se efectúa como un producto general. La característica esencial de este caso es que los valores cero de TODAS las funciones lineales presentes son distintos.

Para este tipo de funciones, se tomará en cuenta que los valores cero del denominador no se toman, ya que en esos puntos la función no está definida, en otras palabras serán abiertos dichos extremos.

Ejemplo: Estudie el comportamiento de los signos de )1)(2)(3(

)1)(2)(3()(

+−+−++++−=

xxx

xxxxF

Solución:

1°) Valores cero:

Vc1: -x + 3 = 0 ⇒ x = 3 Vc2: x - 2 = 0 ⇒ x = -2 Vc3: x + 1 = 0 ⇒ x = -1 *Vc4: x + 3 = 0 ⇒ x = -3 *Vc5: -x + 2 = 0 ⇒ x = 2 *Vc6: -x + 1 = 0 ⇒ x = 1

Los valores cero que posean un * irán abiertos, es decir en estos puntos ~∃ F(x)

2°) Signo final:

Número de pendientes negativas=3. Por lo tanto: Signo final (-).

3°) Construcción de la CINTA:

-∞ -3 -2 -1 1 2 3 ∞ F(x) - ∼∃ + 0 - 0 + ∼∃ - ∼∃ + 0 -

Por lo que se concluye:

F(x) > 0 ⇔ x ∈ (-3,-2)∪(-1,1)∪(2,3)

F(x) < 0 ⇔ x ∈ (-∞,-3)∪(-2,-1)∪(-1,2)∪(3, ∞)

F(x) ≥ 0 ⇔ x ∈ (-3,-2]∪[-1,1)∪(2,3]

F(x) ≤ 0 ⇔ x ∈ (-∞,-3)∪[-2,-1]∪[-1,2)∪[3, ∞)

F(x) = 0 ⇔ x ∈ {-2,-1,3}

∼∃F(x) ⇔ x ∈ {-3, 1, 2} (CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)



♦♦♦♦ Cuarto Caso: F(x)=(a1X+b1).(a2X+b2).(a3X+b3)....(anX+bn)

En el Segundo Caso, se estudiaron funciones de la forma:

F(x)=(a1X+b1).(a2X+b2).(a3X+b3).(a4X+b4)....(anX+bn)

Pero la condición de estudio era que los valores cero no se repitieran, sin embargo, se puede presentar una función donde no todos sus valores cero son distintos, a continuación se presentará una de las extensiones del método de la CINTA para funciones de la forma:

F(x)=(a1X+b1).(a2X+b2).(a3X+b3).(a4X+b4)....(anX+bn)

Donde se repite uno o más de sus valores cero.

Se aplicarán los mismos principios expuestos para el Segundo Caso, sólo que se tomará en cuenta las veces que se repite dicho valor cero:

• Principio (a): Si el número de veces que se repite el valor cero “frecuencia” es par, entonces no hay cambio o alternancia de signo en dicho punto.

• Principio (b): Si el número de veces que se repite el valor cero “frecuencia” es impar, entonces si hay cambio o alternancia de signo en dicho punto.

Ejemplo: Estudie el comportamiento de la función definida como:

F(x)=(x-2)(2-x)(x-1)(x+1)(2-x) Solución:

1.- Cálculo de los valores cero:

Vc1: x-2=0 ⇒ x=2

Vc2: 2-x=0 ⇒ x=2

Vc3: x-1=0 ⇒ x=1

Vc4: x+1=0⇒ x=-1

Vc5: 2-x=0 ⇒ x=2

Hay un valor cero común a tres factores lineales, dicho punto es x=2. Por lo tanto, las veces que se repite dicho valor cero debe ser tomado en cuenta para saber si en ese punto hay o no hay alternancia o cambio de signos.

Para esta función x=2 se repite (3) tres veces, como 3 es un número impar, se concluye que en x=2 hay alternancia o cambio de signo. Principio (b)

2.- Cálculo del signo final: Se calcula de la misma forma que en el Segundo Caso, el número de pendientes negativas es 2, como dicho número es par entonces el signo final será positivo.

3.- Construcción de la CINTA:

-∞ -1 1 2 ∞

F(x) - 0 + 0 - 0 +

Se concluye:

F(x) > 0 ⇔ x ∈(-1,1)∪(2, ∞)

F(x) < 0 ⇔ x ∈(-∞,-1)∪(1,2)

F(x) ≥ 0 ⇔ x ∈[-1,1]∪[2, ∞)

F(x) ≤ 0 ⇔ x ∈(-∞,-1]∪[1,2]

F(x) = 0 ⇔ x ∈{-1, 1, 2}

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)

En este punto si hay cambio de signo debido a que su frecuencia es un número impar



Ahora se estudiará la siguiente función: F(x)=(x-2) (2-x) (x-1) (x+1)

Solución:

1.- Cálculo de los valores cero:

Vc1: x-2=0 ⇒ x=2 Vc2: 2-x=0 ⇒ x=2 Vc3: x-1=0 ⇒ x=1 Vc4: x+1=0⇒ x=-1

Hay un valor cero común a dos factores lineales, dicho punto es x=2. Por lo tanto, las veces que se repite dicho valor cero debe ser tomado en cuenta para saber si en ese punto hay o no hay alternancia o cambio de signos.

Para esta función x=2 se repite (2) dos veces, como 2 es un número par, se concluye que en x=2 no hay alternancia o cambio de signo. Principio (a)

2.- Cálculo del signo final:

Se calcula de la misma forma que en el Segundo Caso, el número de pendientes negativas es 1, como dicho número es impar entonces el signo final será negativo.

3.- Construcción de la CINTA:

-∞ -1 1 2 ∞

F(x) - 0 + 0 - 0 -

Se concluye:

F(x) > 0 ⇔ x ∈(-1, 1) F(x) < 0 ⇔ x ∈(-∞,-1) ∪(1, 2) ∪(2, ∞) F(x) ≥ 0 ⇔ x ∈[-1, 1] F(x) ≤ 0 ⇔ x ∈(-∞,-1] ∪[1, 2] ∪[2,∞) F(x) = 0 ⇔ x ∈{-1, 1, 2}

Como se habrá notado, debe tener cuidado a la hora de establecer el comportamiento de una función alrededor de un valor cero que se repite, el criterio general está perfectamente establecido en los Principios (a) y (b). SIEMPRE debe recordar que si la frecuencia (veces que se repite) es un número par, NO HABRÁ CAMBIO DE SIGNO EN LOS ALREDEDORES DE DICHO PUNTO. Pero si la frecuencia es un número impar, SI HABRÁ CAMBIO DE SIGNO DESDE LA DERECHA Y HACIA LA IZQUIERDA DE DICHO PUNTO.

Se procederá a estudiar una función a la que se le pueda aplicar simultáneamente los principios (a) y (b).

Ejemplo: Estudie el comportamiento de la siguiente función:

F(x)=(2-x)(2-x)(x-1)(x+1)(2-x)(3-x)(x+1)(x+3)(3-x)

Solución:

1.- Se calculan los valores cero de los factores. (V.C.F):

Vc1: 2-x=0 ⇒ x=2 Vc2: 2-x=0 ⇒ x=2 Vc3: x-1=0 ⇒ x=1 Vc4: x+1=0⇒ x=-1 Vc5: 2-x=0 ⇒ x=2 Vc6: 3-x=0 ⇒ x=3 Vc7: x+1=0 ⇒ x=-1 Vc8: x+3=0 ⇒ x=-3 Vc9: 3-x=0⇒ x=3


En este punto no hay cambio de

signo debido a que su frecuencia es un número par



2.- Se calculan los puntos notables de la CINTA.(P.N.C): Aquí aplicaremos los principios (a) y (b)…

PN1: x=-3, frecuencia=1 (si hay cambio de signo)

PN2: x=-1, frecuencia=2 (no hay cambio de signo)

PN3: x=1, frecuencia=1 (si hay cambio de signo)

PN4: x=2, frecuencia=3 (si hay cambio de signo)

PN5: x=3, frecuencia=2 (no hay cambio de signo)

3.- Se calcula el signo final: Contar las pendientes negativas presentes en la función si dicho número es par el signo final será positivo (+); si el número es impar, el signo final será negativo (-).

Número de pendientes negativas: 5. Por lo tanto el signo final es: (-)

4.- Se construye la CINTA:

-∞ -3 -1 1 2 3 ∞

F(x) + 0 - 0 - 0 + 0 - 0 -

Se concluye:

F(x) > 0 ⇔ x ∈(-∞,-3) ∪(1, 2)

F(x) < 0 ⇔ x ∈(-3,-1)∪(-1,1)∪(2,3)∪(3,∞)

F(x) ≥ 0 ⇔ x ∈(-∞,-3]∪[1,2]

F(x) ≤ 0 ⇔ x ∈[-3,-1] ∪[-1, 1] ∪[2, 3] ∪[3, ∞)

F(x) = 0 ⇔ x ∈{-3,-1, 1, 2, 3}

Existen otras formas de expresar las funciones que pertenezcan al Cuarto Caso, esto es aplicando las leyes de agrupación de términos en una multiplicación, a esas leyes se les llama multiplicación de potencias de igual base, donde se coloca la misma base y se suman los exponentes, pues bien los exponentes condicionan los comportamientos de los signos de la base por ejemplo las potencias pares siempre generan resultados positivos. En el próximo escrito, se presentará el Quinto Caso donde se estudia dicha configuración.

Continuará en el próximo número…


AACCEERRCCAAMMIIEENNTTOO DDIIDDÁÁCCTTIICCOO AA LLAA

DDIINNÁÁMMIICCAA HHAAMMIILLTTOONNIIAANNAA--LLAAGGRRAANNGGIIAANNAA Por: JOAQUÍN GONZÁLEZ ÁLVAREZ

[email protected] Fuente: casanchi.com

Algunos profesionales formados en carreras en las que la física y la matemática se imparte al nivel de los dos primeros años de pregrado, necesitan en virtud de su trabajo, frecuentemente aplicar conocimientos de la dinámica Hamiltoniana-Lagrangiana, Analítica o Superior que no han recibido académicamente. Por lo general ante esa situación buscan literatura especializada, pero suelen encontrarse con la dificultad de que ésta no les es fácil de asimilar por falta de la necesaria base documental.

Con la pretensión de minimizar un tanto la citada dificultad, hemos preparado este trabajo en el que se presentan de la manera mas asequible y directa posible los conceptos, formalismos y procedimientos propios de la dinámica Hamiltoniana, aplicados a problemas sencillos cuya solución ya conocen aplicando solamente la segunda ley de la dinámica newtoniana y que ahora verán como se llega a los mismos resultados aplicando, las ecuaciones de Lagrange y las canónicas de Hamilton. Veremos también un tratamiento elemental de la ecuación de Hamilton-Jacobi. Se hará hincapié en mostrar que estos formalismos son en definitiva otras maneras de expresar la conocida amF ⋅= , pero que aventajan a ésta por su aplicabilidad tanto a sistemas inerciales como a los que no lo son, y además por sólo involucrar relaciones entre escalares.

Previamente necesitamos advertir sobre notaciones y términos que utilizaremos:

Por q denotaremos cualquier coordenada espacial a las cuales algunas veces nos referiremos como grados de libertad. Las derivadas totales respecto al tiempo de una variable la denotaremos “acentuando” una o dos veces según el caso, a la variable, así q' será velocidad y q" será aceleración. El momento será qmp ′⋅=′ y por tanto

qmp ′′⋅=′ será fuerza. El momento p también será otra coordenada en el espacio de las fases cuyas

coordenadas son las q como abscisas y las p como ordenadas.

Aunque las ecuaciones de Lagrange constituyen un sistema de tantas ecuaciones como grados de libertad, vamos a referirnos en aras de la comprensión, sólo a casos de un solo grado de libertad y podemos escribir la ecuación de Lagrange así:

)1(0=∂∂−

′∂∂

q

V

q

L

dt

d

en donde es VTL −= función lagrangiana, con T energía cinética y V energía potencial.

Veamos como (1) deviene en algo conocido.

VqmL −′= 2

2

1con lo cual por (1):

( ) 0=−′⋅ Fqmdt

d y por tanto: qmF ′′⋅= , que es como decir nuestra familiar amF ⋅= .

Las ecuaciones canónicas constituyen dos sistemas de ecuaciones aunque por lo ya dicho sólo necesitaremos una ecuación de cada sistema:

)3(

)2(

q

Hp

p

Hq

∂∂−=′

∂∂=′




donde Vm

pH +=

2

2

es la función hamiltoniana.

Veamos como también (2) y (3) nos llevan a cosas conocidas.

La (2) nos lleva a una identidad:

qmqmmppHq ′=′⋅==∂∂=′ ///

y la (3):

qVp ∂−∂=′ / que es la ya conocida: xVF ∂−∂= / .

Las ecuaciones de Hamilton toman singular importancia en el tratamiento de los sistemas dinámicos en el espacio de fases al cual ya hicimos referencia y mas adelante volveremos a tratar.

Nos ocuparemos ahora de la muy importante ecuación de Hamilton-Jacobi en la que interviene una magnitud

llamada acción representada por S la cual está relacionada con p mediante pxS =∂∂ / para el caso de un solo

grado de libertad. Si en la expresión ya vista de H despejamos ( )VEmp −⋅= 22 vemos que:

( ) ( ) )4(2/ 2 VEmxS −⋅=∂∂

una expresión de la ecuación de Hamilton-Jacobi para el caso de un solo grado de libertad.

Veamos ahora como ejemplo sencillo pero muy ilustrativo la aplicación de los métodos de la mecánica newtoniana, las ecuaciones de Lagrange y las de Hamilton a un mismo caso para mostrar la equivalencia de los tres métodos.

Tomemos el caso de la energía total del oscilador armónico simple:

22

2222

22

kqqmE

VTEkx

VVm

T

−′⋅=

+==⋅=

Por las ecuaciones de Lagrange:

( ) 0=+′⋅ kqqmdt

d por lo que qkqm ⋅−=′′⋅ y lleva a la conocida xkF ⋅−= donde reconocemos a amF ⋅=

después de las pertinentes transformaciones que propone la mecánica newtoniana.

Para las ecuaciones de Hamilton tendremos en cuenta que podemos escribir E = H con lo cual utilizando p y q se

tendrá

22

22 qk

m

pH

⋅−= y por (3):

qkp ⋅−=′ o lo que es lo mismo nuestra familiar xkF ⋅−= que lleva a amF ⋅= .




Una de las mas importantes aplicaciones de la ecuación de Hamilton-Jacobi es la de servir de punto de partida para llegar a la ecuación de Schrödinger unidimensional de la mecánica cuántica por la simple sustitución de p

en (4) por el operador cuántico de p para un solo grado de libertad x

ih

∂∂−

π2.

A las coordenadas q, p se les denomina coordenadas fásicas pues lo son en el plano de las fases en el cual los ejes de coordenadas serán el de abscisas, el eje de las q y el de ordenadas, el eje de las p.

Las representaciones de funciones ),( qpf en el espacio de las fases, permite tratar sistemas de ecuaciones

diferenciales como los de los sistemas dinámicos los cuales, sobre todo los no lineales, resultan difícil, si no imposible, de resolver por métodos analíticos. Esto lo podremos ir comprobando mediante el tratamiento en el

plano fásico del sistema dinámico en el cual deviene la ecuación xkF ⋅−= del oscilador armónico.

Ecuación que puede escribirse ( )xmkx /=′′ y mediante la sustitución yx =′ plantear el sistema dinámico:

( )

=′′=′

xmkx

yx

/

Como los primeros miembros son derivadas respecto al tiempo de x y de y, tendremos

( )( ) yxmkdxdy /// −= igualdad mediante la cual podemos calcular en cada punto ( )yxP ′′, la pendiente

de la curva solución del sistema dinámico, los cuales darán la pauta para el trazado de la trayectoria fásica del

oscilador armónico en el sistema de coordenadas x’, y cuyos puntos ( )yxP ′, representarán los estados

dinámicos del oscilador según transcurre el tiempo, o sea, que la trayectoria fásica nos ofrece un retrato fásico de la dinámica del oscilador. En la mayoría de los casos este método gráfico es el único que se puede utilizar por lo ya dicho, aunque en el ejemplo que mostramos, por su sencillez excepcional, la solución analítica la podemos obtener a partir de la expresión de la pendiente antes expresada, llegándose a la siguiente igualdad:

2222 2/2/ ωω mKExmy ==+

donde E es la constante de integración, la cual reconocemos como energía mecánica total pues vemos en el primer miembro la suma de las energías cinética y potencial.

Podemos transformar la ecuación cartesiana anterior en una expresión en función de las coordenadas fásicas:

( ) )5(12//2/ 222 =+ EqEp ω

expresión de la trayectoria fásica del oscilador armónico que como advertimos es una elipse mostrando que los estados dinámicos del oscilador son representados por los puntos fásicos P(x,y). En este caso la trayectoria fásica es una órbita cerrada en la que al ir recorriendo sus puntos, los estados fásicos P(x,y) se van repitiendo periódicamente mostrando el carácter oscilatorio del movimiento que estudiamos.

Las trayectorias fásicas de los sistemas no oscilatorios son abiertas. Si las trayectorias son atraídas hacia un punto o hacia una órbita cerrada a éstos se les llama atractores.

Contrario comportamiento tienen los puntos y órbitas cerradas repulsores. Tanto a los puntos atractores como a los repulsores se les llama puntos fijos o de equilibrio del sistema y en ellos tanto x' como y' son iguales a cero. Si la órbita cerrada no contiene atractores, constituye lo que se denomina un ciclo límite.




En los sistemas como el oscilador armónico, en los cuales E=constante, esto es, en los sistemas conservativos, el área del espacio fásico que encierra una trayectoria fásica como la expresada por (5), tiene un área

constante. Esto puede verse al calcular el área encerrada por la elipse (5) mediante abA π= (a y b semiejes

de la elipse) y obtenerse ωπ /2 EA = donde en el segundo miembro sólo hay constantes.

Si en el sistema E no es constante (sistema disipativo), el área se contrae. Las ecuaciones de Hamilton se cumplen en los sistemas conservativos por lo que a éstos se les llama hamiltonianos. En las regiones del espacio fásico de los sistemas conservativos no existen atractores pues éstos contraerían las áreas y tal cosa no puede ocurrir pues como vimos, en dichos sistemas, el área es constante.

Tanto el concepto de espacio de fases como las ecuaciones canónicas de Hamilton, tienen una importante aplicación en el proceso de identificación de una función como integral o constante de movimiento como lo es la energía mecánica total.

Veamos sea la función ),,( tqpff = , para probar si es integral de movimiento se tendrá que cumplir que:

0/ =dtdf

para lo cual:

( ) ( )qqfppftfdtdf ′∂∂+′∂∂+∂∂= ////

por las ecuaciones de Hamilton:

( ) ( ){ }qHpfpHqftfdtdf ∂∂∂∂−∂∂∂∂+∂∂= //////

donde lo encerrado entre las llaves es el llamado Corchete de Poisson. Si f no depende explícitamente del

tiempo, esto es, 0/ =dtdf , entonces si f es integral de movimiento o lo que es lo mismo si 0/ =dtdf , el

Corchete de Poisson tiene que ser igual a cero. Lo dicho puede comprobarse tomando como f a la energía E

despejada de (5).

Hemos presentado pues, de la forma más elemental posible lo fundamental de la Dinámica Analítica o Hamiltoniana Lagrangiana utilizando ejemplos muy sencillos que el lector ya conoce tratados por los métodos newtonianos lo cual le facilita la mejor comprensión de los métodos de Hamilton-Jacobi y Lagrange.

Bibliografía Consultada:

� Goldstein, H. (2008). Mecánica Clásica.

� Landau, L.; Lifshitz E. (1974).Curso Abreviado de Física Teórica.

� Sánchez Chinea, C. Sobre la formulación lagrangiana de la Mecánica aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales. www.casanchi.com.

� Terlietski, Y. P. (1971). Física Estadística.


GGuussttaavv RRoobbeerrtt KKiirrcchhhhooffff Físico considerado alemán. Nació el 12 de marzo de 1824, en Königsberg, Prusia,

hoy Kaliningrado, Rusia; y falleció el 17 de octubre de 1887, en Berlín, Alemania, a los 63 años de edad. Se casó con Clara Richelot.

Sus principales contribuciones científicas estuvieron en el campo de los circuitos eléctricos, la teoría de placas, la óptica, la espectroscopia y la emisión de radiación

de cuerpo negro. Kirchhoff propuso el nombre de radiación de cuerpo negro en 1862. Es responsable de dos conjuntos de leyes fundamentales en la teoría clásica de circuitos eléctricos y en la emisión térmica. Aunque ambas se denominan Leyes

de Kirchhoff, probablemente esta denominación es más común en el caso de las Leyes de Kirchhoff de la ingeniería eléctrica.

GUSTAV KIRCHHOFF (*1824-†1887)

Gustav Robert Kirchhoff. Estrecho colaborador del químico Robert Bunsen, aplicó métodos de análisis espectrográfico (basados en el análisis de la radiación emitida por un cuerpo excitado energéticamente) para determinar la composición del Sol. En 1845 enunció las denominadas leyes de Kirchhoff aplicables al cálculo de tensiones, intensidades y resistencias en el sí de una malla eléctrica, entendidas como una extensión de la ley de la conservación de la energía, basándose en la teoría del físico Georg Simon Ohm, según la cual la tensión que origina el paso de una corriente eléctrica es proporcional a la intensidad de la corriente.

En 1847 ejerció como Privatdozent (profesor no asalariado) en la Universidad de Berlín, y al cabo de tres años aceptó el puesto de profesor de física en la Universidad de Breslau. En 1854 fue nombrado profesor en la Universidad de Heidelberg, donde entabló amistad con Bunsen. Merced a la colaboración entre los dos científicos se desarrollaron las primeras técnicas de análisis espectrográfico, que condujeron al descubrimiento de dos nuevos elementos, el cesio (1860) y el rubidio (1861).

En su intento por determinar la composición del Sol, Kirchhoff averiguó que cuando la luz pasa a través de un gas, éste absorbe las longitudes de onda que emitiría en el caso de ser calentado previamente. Aplicó con éxito este principio para explicar a las numerosas líneas oscuras que aparecen en el espectro solar, conocidas como líneas de Fraunhofer. Este descubrimiento marcó el inicio de una nueva era en el ámbito de la astronomía. En 1875 fue nombrado catedrático de física matemática en la Universidad de Berlín. Publicó diversas obras de contenido científico, entre las que cabe destacar Vorlesungen über mathematische Physik (1876-94) y Gessamelte Abhandlungen (1882; suplemento, 1891).




Las tres leyes de la espectroscopia de Kirchhoff.

Más adelante propuso las tres leyes empíricas que describen la emisión de luz por objetos incandescentes:

1. Un objeto sólido caliente produce luz en espectro continuo.

2. Un gas tenue produce luz con líneas espectrales en longitudes de onda discretas que dependen de la composición química del gas.

3. Un objeto sólido a alta temperatura rodeado de un gas tenue a temperaturas inferiores produce luz en un espectro continuo con huecos en longitudes de onda discretas cuyas posiciones dependen de la composición química del gas.

La justificación de estas leyes fue dada más tarde por Niels Bohr, contribuyendo decisivamente al nacimiento de la mecánica cuántica.

Las dos leyes de la electricidad de Kirchhoff.

Las dos leyes de la electricidad de Kirchhoff son consecuencia de los principios de conservación de la carga y de la energía.

Primera Ley de Kirchhoff, también llamada ley de los nudos (o nodos): La suma de corrientes que entran a un nudo es igual a la suma de las que salen (Todas las corrientes entrantes y salientes en un nudo suman 0). Para un metal, en el que los portadores de carga son los electrones, la anterior afirmación equivale a decir que los electrones que entran a un nudo en un instante dado son numéricamente iguales a los que salen. Los nudos no acumulan carga (electrones).

Segunda Ley de Kirchhoff, también llamada ley de las mallas: La suma de caídas de tensión en un tramo que está entre dos nudos es igual a la suma de caídas de tensión de cualquier otro tramo que se establezca entre dichos nudos.

FUENTES:


EELL OORRIIGGEENN DDEELL LLEENNGGUUAAJJEE Versión del artículo de:

Antonio Cruz, Profesor de Biología. (Restauración - Mayo 1982)

En la editorial anterior y también en la correspondiente a esta publicación, se hace referencia al origen de la comunicación y el lenguaje. Fue interesante, entonces, encontrar en

nuestros archivos un artículo sobre “EL ORIGEN DEL LENGUAJE” del Profesor Antonio Cruz. Por ello se nos hizo pertinente presentarles esta versión del mismo.

"Tenía entonces toda la tierra una sola lengua y unas mismas palabras". (Génesis 11:1)

Son en la actualidad unas seis mil quinientas las lenguas que se hablan en nuestro mundo. De ellas, solamente veinticinco pueden considerarse importantes por su extensión y por su producción escrita.

La pregunta que ha preocupado siempre a pensadores y lingüistas es inmediata: ¿De dónde surgió tal diversidad? ¿Cuál fue el origen de todas las lenguas?

Desde que Charles Robert Darwin, en el año 1871, escribía la frase: "Creemos que la facultad del lenguaje articulado no ofrece tampoco seria objeción a la hipótesis de que el hombre descienda de una forma inferior", en su famosa obra "El origen del hombre", se han venido publicando toneladas de libros en favor de esta teoría: La teoría de la evolución del lenguaje, según la cual la enorme variedad de lenguas que existen actualmente se habrían originado a partir de los gruñidos y gritos intermitentes de los monos antecesores -según el transformismo-del hombre.

Se ha supuesto, que los hombres empezaron por imitar los sonidos que oían en los animales (bú-bú), o a lanzar gritos emocionales instintivos (hú, hú) o cantos de sincronización al trabajar en equipo (yo-je-jo), más o menos como los remeros del Volga, y todo esto dio origen al lenguaje.

Engels, en su "Dialéctica de la naturaleza" dice: "... los hombres en formación llegaron a un punto en que tuvieron necesidad de decirse algo los unos a los otros. La necesidad creó el órgano. La laringe poco desarrollada del mono se fue transformando... mientras los órganos de la boca aprendían a pronunciar un sonido tras otro."

Y esto es, en definitiva, lo que se acepta hoy. Mayoritariamente se cree, se escribe y se enseña que de los gruñidos han surgido las modernas gramáticas; de lo simple lo complejo y de lo primitivo lo civilizado.

Hasta tal punto esto es así que los modernos métodos "científicos" para la investigación del origen del lenguaje se centran en la observación de los recién nacidos, desde sus primeros balbuceos, y en el estudio de retrasados mentales, pues según Maistre (1963), estos deficientes nos marcarían las etapas por las que la inteligencia humana tuvo que pasar para conseguir hablar.

Pero ¿estamos ya en condiciones de responder a la pregunta inicial? ¿Es la teoría de la evolución del lenguaje la explicación científica definitiva al problema del origen de las lenguas? Pues parece que no; la cosa no es tan simple como creían Darwin, Engels y sus correligionarios.

SE PROHIBE HABLAR SOBRE EL ORIGEN DEL LENGUAJE.

La ciencia que estudia las leyes humanas del lenguaje (Lingüística), acabó desechando –ya siglo pasado- el problema del origen de las lenguas, por considerarlo incompatible con la objetividad científica.

Así, en el año 1866, la Sociedad Lingüística de París prohibió en sus estatutos que se tratase sobre el tema en cuestión, negándose a aceptar cualquier comunicación en éste sentido, el problema supera los límites de la observación científica. Se afirmaba que cualquier discusión acerca del origen del lenguaje no es más que una mera especulación.

Desde ese momento, los lingüistas se han interesado más por el funcionamiento de las lenguas que por su origen.

Así pues, para la ciencia actual los orígenes del lenguaje articulado constituye un verdadero enigma; pero ¿quiere esto decir que los lingüistas se muestran asépticos al problema, que no profesan, sostienen y enseñan ninguna hipótesis sobre este origen? Bueno, esto ya es otra cosa, porque a pesar que los hombres de ciencia como tal no pueden decir nada al respecto, los hombres de ciencia sí dicen y enseñan lo que creen; y lo que ''creen"' -valga la expresión, ya que se trata de un acto de fe, sin base histórica, ni factual- es precisamente la teoría de la evolución del lenguaje: un mono que se hizo inteligente, dejó de gruñir y empezó a hablar.

TEORIA DE LA EVOLUCIÓN DEL LENGUAJE: CRÍTICA.

Vamos a pasar revista a algunos hechos que podemos observar en la actualidad, para comprobar si concuerdan con lo que nos propone esta teoría.

En primer lugar, notemos que los lenguajes escritos más antiguos que nos han llegado suelen ser los más difíciles y complicados. Es de todos conocido que el griego clásico es más difícil que el griego moderno; el latín mas que el castellano, el francés o el inglés, y el chino antiguo mucho más que el chino moderno. Incluso, si comparamos los más antiguos entre sí, resulta que el griego clásico, anterior 600 años al latín, era más complicado que éste, y si nos remontamos al Sánscrito Veda (1.500 a.C.) la dificultad es increíblemente superior, ya que, por ejemplo, cada verbo poseía 500 partes (compárese con el ingles, en él que cada verbo solo posee 5 partes). ¿Qué nos viene a decir este hecho?

Pensemos un momento... si la teoría de la evolución fuera verdad, deberíamos esperar que las lenguas antiguas fuesen mas simples que las modernas, ya que -según la teoría- de lo simple se evoluciona a lo complejo. Pero esto no es lo que podemos observar, sino más bien todo lo contrario.

Si estudiamos detenidamente las lenguas modernas podemos observar una creciente degeneración de las lenguas primitivas, una simplificación a partir de un idioma complicado.

(Continúa en la siguiente página)


(Viene de la página anterior)

El eminente filólogo inglés Richard Chevenix Trench, después de estudiar numerosas lenguas nativas en distintas misiones por todo el mundo, dijo que en cada caso se trataba de las ruinas de un pasado mejor y más noble. A medida que cambian las costumbres en una civilización, ciertas palabras se pierden primero del uso y después de la memoria.

En la India existe el descendiente más directo del Sánscrito, el Hindi, que tiene solamente 400 años de antigüedad y es considerado como el idioma más fácil de aprender de toda la India.

La conclusión es evidente: En los distintos lenguajes a través del tiempo, la dirección es siempre la misma: de lo complicado a lo simple, y nunca al revés.

El segundo hecho en el que podemos fijarnos, es que los lenguajes hablados por pueblos considerados "primitivos" son con frecuencia más complejos que los hablados por personas civilizadas. Así por ejemplo: los Yagaanos de la Tierra de Fuego, -tribu nómada- poseen 30,000 palabras en su vocabulario, casi como los Zulúes de Sudáfrica.

La lengua Aymará del Perú tiene la posibilidad de expresar casi cada raíz verbal en 100,000 combinaciones distintas.

Algunos lenguajes Bantúes poseen una gramática más compleja que el griego, tienen 20 clases de nombres y cada adjetivo tiene que concordar con el nombre al que modifica.

Los esquimales utilizan 63 formas para el presente y sus nombres tienen 252 desinencias (finales de palabra distintos, ejemplo: mesa, mesita, mesaza, etc.).

Desde luego, esto tampoco encaja con la pretendida evolución del lenguaje a partir de estructuras monosilábicas, pues seria de esperar que los pueblos "primitivos" tuviesen también un lenguaje primitivo y simple. Pero los hechos nos dicen de nuevo que esto no es así.

Otro último dato a tener en cuenta es la existencia en el mundo de cincuenta familias de lenguajes diferentes que no parecen tener ninguna relación entre sí, por ejemplo: la familia Indoeuropea (que comprende a su vez otras 70 lenguas), la Sinotibetana, Semítico-camítica, Dravidiana, Uralaltaica, Japonesa, Malayo-polinesia, Bantú, Austro-asiática y aproximadamente cuarenta más, algunas de las cuales se hablan en grupos pequeños, como el vascuence, de la zona vasco-navarra, que parece no tener ningún "antepasado", ni ningún "descendiente".

Entre todas estas familias no existen evidencias de pertenecer a un tronco común o de tener algún tipo de relación histórica; pero a pesar de ello, los antropólogos admiten la unidad de la raza; entonces ¿por qué son tan distintos nuestros idiomas?

La teoría de la evolución del lenguaje no tiene respuesta a esta pregunta. Pero si descartamos esta teoría, aparece una posible respuesta, que de antigua ya casi habíamos olvidado: la historia de la Torre de Babel de Génesis 11.

EL VERDADERO ORIGEN DEL LENGUAJE.

Todos estos hechos que acabamos de comentar -y otros que la brevedad de este artículo no nos permite tratar- constituyen un problema para la teoría de la evolución del lenguaje articulado, pero sin embargo concuerdan perfectamente con el registro bíblico.

La Biblia nos dice que el lenguaje fue un don de Dios dado al primer hombre. Adán no tiene que realizar todo un proceso de aprendizaje, pasando por etapas de balbuceos, gritos o gruñidos, antes de pronunciar la primera palabra correcta, sino que en el mismo acto creador le es infundida una lengua perfecta y compleja.

Inmediatamente, el padre de la humanidad es capaz de comprender órdenes verbales, de hablar con su compañera, de poner nombre a todos los animales -los zoólogos saben bien lo difícil que puede resultar esta labor- y de comunicarse con Dios.

Según el primer versículo del capítulo 11 de Génesis, parece que “toda la tierra era de una misma lengua...", pero esto no duró mucho; cien años después del diluvio universal, el Creador efectuó un milagro de juicio.

Los hombres se rebelan contra Él, los descendientes de Noé no quieren obedecer el mandato de Dios de "llenar la tierra" (9:1) y Dios tiene que actuar. Confusión instantánea y total del primitivo lenguaje, para que no se pudieran entender unos con otros y no tuvieran más remedio que dispersarse.

Este es, según la Biblia, el verdadero origen de las lenguas.

En la misma Torre de Babel, Dios disgregó el lenguaje original, que había otorgado a Adán, en los aproximadamente cincuenta lenguajes principales que hoy los lingüistas no consiguen relacionar entre sí, todos igualmente complejos y mutuamente incomprensibles.

Surgen así el japonés, el árabe, el bantú, etc., modos completamente distintos de comunicación verbal. Desde luego, es muy cierto que un español, un inglés, un alemán o un francés que no conociesen las lenguas de sus vecinos, no se podrían entender en absoluto con ellos; pero la evidencia demuestra que probablemente Dios no actuó dividiendo idiomas de una misma familia, en este caso, la Indoeuropea, sino que se centró en la separación, rotunda y radical de las principales familias, que luego, con el tiempo, cada una por separado, originarían el total de las lenguas de la actualidad.

En el transcurso de los siglos, algunas tribus aprenderían a escribir y dejarían así constancia de su lenguaje (griego); otras se perderían en la jungla y no desarrollarían ningún sistema de escritura, pero aún así, la transmisión oral nos permite comprobar que sus lenguas son reliquias de un pasado glorioso.

Esto es lo que dice la Biblia y lo que nosotros creemos.

La oscura incógnita que se cierne en nuestros días sobre el tema de los orígenes de las lenguas, este verdadero enigma que ha hecho abandonar la toalla a numerosos investigadores, se ha producido y se continúa manteniendo como consecuencia del fracaso de arqueólogos, lingüistas y antropólogos, al pretender obstinadamente explicar este origen, en términos evolucionistas.

La gran diversidad de lenguas que existe en la actualidad no es una obra -como muchos creen- del ingenio humano, sino todo lo contrario: de su pecado, la rebeldía del hombre a la voluntad de Dios, algo que, por desgracia, todavía no hemos superado.


LLAA CCIIEENNCCIIAA DDEE NNUUEESSTTRROO TTIIEEMMPPOO:: UUNN MMUUNNDDOO DDEE RREELLAACCIIOONNEESS Por: PATRICIO DIAZ PAZOS

Desde Concepción, Chile.

Por desgracia para los soñadores, los medios de expresión de la ciencia han cambiado en gran manera y el acercamiento a la realidad cosmológica y la observación más acuciosa y a nuestra escala del universo, y han destruido, en gran medida, gran parte del oropel y del trasfondo con que, en el pasado, la fantasía componía y coloreaba sus paisajes y entronizaba a la humanidad dentro de un marco de ritualizaciones y mitos o, en el mejor de los casos, de aceptaciones irrestrictas propugnadas por un hombre sabio; creando en sí, seres terráqueos insertos en una civilización de maravillas.

Son muchísimos los ejemplos que demuestran la verdad de esta desencantada aserción. Hasta hace muy poco, los científicos habían poblado el ambiente de nuestra realidad doméstica con hermosos sistemas planetarios en que un núcleo formado por protones y neutrones, bellamente coloreados, hacía girar a su alrededor a traviesos electrones, los cuales, al saltar de una órbita a otra, esparcían con sus cabriolas el polvo de oro de la luz. Imágenes de este tipo se ven todavía en dibujos de publicidad, en el cine, en la televisión y aun en libros de divulgación. El avance de las investigaciones y la profundización en el conocimiento de tales fenómenos han transformado todos estos hermosos símbolos o representaciones en simples relaciones matemática.

En forma tajante Werner Heisenberg lo dijo: "Es menester liberarse de las imágenes descriptivas y contentarse con símbolos métricos. Queriendo imaginar lo inimaginable, la física se aventura en un dominio donde el control de la observación es impotente para seguirla".

Algo semejante ha sucediendo y, lo está, con las investigaciones realizadas por el propio hombre en sus pasadas visitas al satélite natural de su Tierra y, en la actualidad, con los vehículos; laboratorios y telescopios espaciales; los radiotelescopios, y demás instrumentos astronómicos y astrofísicos que se realizan. Sus búsquedas y los encuentros consiguientes se concretan en tablas de relaciones, en cifras, en ecuaciones, en general en matemáticas, pero no en imágenes y, mucho menos, en aritmética.

Las objetivas informaciones obtenidas por las diferentes misiones en sus viajes por los aledaños, en algunos casos y pequeñas fracciones de las superficies, en otros, de planetas del sistema solar han agregado muy poco al conocimiento de las apariencias externas de los astros. En cambio, han enriquecido notablemente el acervo de datos representables sólo por números y relaciones y, por ello, de difícil comprensión para los profanos. Pero un día no muy lejano, cuando un hombre pose sus plantas sobre la superficie de alguno de nuestros vecinos y pueda recorrer sus territorios y excavar los estratos que lo forman, se satisfará nuestro afán de conocer las apariencias de esos parajes y sabremos qué albergan atmósferas, sus hielos, sus valles, sus desiertos, sus piélagos y sus montañas.

Mientras tanto, cumple ponernos en guardia para no generalizar con demasiado entusiasmo. Los conceptos adquiridos sobre las posibles realidades del universo en sus conjunto, como de la marciana, lunar, venusiana, joviana, etc., lo han sido con el mismo criterio que emplea una persona al imaginar cómo son la superficie y la flora de la Tierra partiendo de lo que ha observado en su propio y pequeño jardín. Un gusano inteligente, nacido en el corazón de una manzana, la perfora, sale a la superficie y la recorre deseoso, quizás, de conocer el mundo en que vive. Puede que logre formarse una imagen de cómo es la manzana, y acaso alcance a completar un concepto respecto del árbol que produjo la manzana. Pero ¿logrará saber de la arboleda, del país, del planeta al cual pertenece?

El extraordinario pensador Lecomte du Nouy utilizó un ejemplo que yo he tomado prestado en un ensayo anterior para aclarar esta estricta capacidad de conocimiento del hombre. Planteó el caso de un microorganismo - para nuestro ejemplo, considerado inteligente - habitante de las pequeñísimas grietas e la piel de un elefante.

¿Qué concepto podría tener ese minúsculo ser de la rugosa cobertura del paquidermo? Para él, los altibajos de la gruesa epidermis serían barrancos y montañas más impresionantes que, para nosotros, las alturas del Aconcagua o los riscos del Himalaya. Podría ese organismo llegar a formarse, después de largos viajes de aventura, una imagen de la forma externa del elefante; y si su inteligencia fuera suficiente poderosa y penetrante, lograría crear medios científicos y tecnológicos de observación y análisis para descubrir o imaginar la estructura y funcionamiento de todo el intrincado sistema de los órganos internos, circulación de sangre, complejo nervioso y demás del paquidermo. Difícil resulta, sin embargo, suponerlo capaz de ampliar y generalizar sus conocimientos hasta comprender la existencia de otros animales, de otras especies y, sobre todo, del hombre, independiente dominador del ser que a él lo alberga.

Ahora bien, si razonamos prudentemente, podríamos preguntarnos: ¿No estará el hombre metido en un contorno tan restringido como el del microbio inteligente que hemos imaginado? ¿No existirán en el universo realidades extrañas a nuestra escala conceptual y de observación?

(Continúa en la siguiente página)


(Viene de la página anterior)

Sin embargo, el hombre tiene, sobre el gusano y el microbio inteligentes del cuento, extraordinarias ventajas capaces de hacer menos desalentador el cuadro. El hombre sabio, de gran masa cerebral y erguido en dos pies, ha agigantado y sigue agigantando, cada día de manera más asombrosa, su capacidad de observación; para ello ha creado instrumentos, herramientas, dispositivos y máquinas que le permiten obtener informaciones para las cuales sus sentidos, directamente, son sordos. Así, ha penetrado en la profundidad recóndita de la materia y en los dilatados campos espaciales mucho más allá de lo que le habrían permitido sus medios biológicos propios.

Además, sobre todo desde el principio de este siglo, genios tan extraordinarios como Albert Einstein enseñaron la utilización de un tipo de raciocinio epistemológico y axiomático de autocrítica, destinado a comparar los alcances y las certezas de las extrapolaciones y generalizaciones, con los resultados de la observación. Se logra de este modo no sólo limitar los márgenes de error, sino que también se hace evidente la reiterada inexactitud de lo observado por nuestros sentidos o por sus instrumentos auxiliares; se adquiere una más clara conciencia de que muchas de las imágenes y conclusiones obtenidas corresponden a interpretaciones de impactos o informaciones que, aun cuando aparecen como una realidad, son sólo realidades humanas. Comprende el observador, por consiguiente, cómo para otros sistemas neurológicos y psíquicos existentes en el universo en medios distintos, los mismos impactos podrían generar apariencias o imágenes o conceptos que en nada se parecen a los por él figurados o aceptados.

No deja de ser peculiar, y en cierto modo subjetivo, modo de conocer del hombre, resultado de una morfología suigeneris y de métodos de observación precarios y deformadores. Se aprecia allí lo limitado de la realidad última o hipotéticamente absoluta del cosmos y de la naturaleza conocidos por el hombre.

Conscientemente y tratando de basarme en lo postulado y observado por la ciencia, voy a dejar volar mi imaginación, sin sobrepasar, sin embargo los confines aceptados. Seguiré, en cierto modo, el método empleado por Desiderio Papp cuando, hace más de cincuenta años, escribió su apasionante ensayo "La Vida en Otros Mundos".

Pero este libro fue escrito por un muchacho y, en cambio, estas letras surgidas como una reflexión frente a una sistemática denostación de enquistados dentro de un ámbito de personas muy disímiles a ellos, lo es por un hombre que ha pasado ya la madurez. Papp escribió en un momento de eclosión de ideas, pero todavía muy limitado en el campo de la observación. No sólo no eran realidad los vehículos espaciales; apenas se iniciaba la radiotelefonía; la electrónica estaba en la mente de Dios y la constitución íntima de la materia se representaba por imágenes ya muchas veces renovadas. Ni energía nuclear, ni satélites espaciales, ni telescopios de largo alcance, ni radioastronomía, ni microscopios electrónicos, ni siquiera aviones ultrasónicos. Para qué hablar de computadores o de los mil artificios puestos en trabajo por la tecnología durante los últimos lustros. Ni de cibernética, ni de la luz coherente, ni de temperaturas del cero absoluto.

Millones de nuevas observaciones, más hondas y más vastas, han alterado el cuadro configurado por el hombre de su propia realidad y del mundo que lo rodea; y lo han enriquecido extraordinariamente. ¡La ciencia ha sobrepasado, en gran manera, los sueños de los soñadores!

Pero el acelerado cambio que nos ha cabido en suerte presenciar obliga a ser más cautelosos y a dudar de la permanencia de algunos de los esquemas que los hombres de ciencia en la actualidad manejan. Porque, a pesar de tantos avances vertiginoso todavía no somos capaces de comprender a cabalidad la estructura y su comportamiento de nuestro propio planeta, como asimismo la vida; no ya una vida susceptible de germinar en lo ignoto de un cosmos desconocido, pero ni siquiera la vida orgánica terrestre.

¿Para qué, entonces, se preguntará más de un listero, sobre bases tan inestables elaborar teorías sobre la arquitectura del universo? ¿Por qué no concentrar nuestro esfuerzo en la búsqueda de nosotros mismos? Mi respuesta es categórica: sólo para satisfacer un ansia incontrolable del pensamiento. Además, conociendo el universo nos conocemos.

No voy a negar que lo que he expuesto es una respuesta, pero ganas de decirlo de otra forma no me faltaban. También es difícil responder en matemáticas falacias expuestas con una primitiva aritmética o con conocimientos extremadamente mediatizados o ninguno.

Mi apuesta sigue siendo la misma. Mi objetivo medular de vida siempre ha sido morir menos ignorante, porque desde muy niño me di cuenta que la ignorancia nunca ayuda a nadie.


FFííssiiccaa,, QQuuíímmiiccaa,, BBiioollooggííaa yy oottrraass cciieenncciiaass……..

UUnn eessppeejjoo qquuee nnoo iinnvviieerrttee llaa iimmaaggeenn.. Poderse ver reflejado tal y como otras personas nos ven. Un matemático lo ha hecho posible.

Enviado por: Prof. José R. Fernández (Mención Informática – FaCE – UC).

En este espejo hay algo que no cuadra. Si colocamos delante de él un libro abierto, el texto que refleja es perfectamente

legible, porque no invierte el orden de la escritura como sucede en los espejos convencionales. Si alguien eleva el brazo

derecho, el movimiento que se observa en el cristal es fiel, pues el movimiento se realiza con el brazo diestro. Es decir,

en lugar de la imagen invertida lateralmente, este espejo produce una imagen virtual que no altera el eje vertical.

El espejo mágico es un gran invento del matemático norteamericano Andrew Hicks. O mejor dicho, esta superficie ha

sido diseñada por Hicks mediante algoritmos de ordenador. Desde hace años, este profesor de la Universidad Drexel en

Filadelfia (EE UU) busca soluciones matemáticas a problemas ópticos. Así, calcula mediante el ordenador cómo lograr

que cada uno de los miles de puntos de la superficie de un espejo refleje la luz a su antojo.

El misterio que encierra este reflector creado por Hicks, capaz de mostrar los objetos como realmente se ven y no

producir la tradicional imagen invertida de un espejo convencional, se fundamenta en una micro estructura muy

compleja. La superficie está conformada de tal guisa, que el haz de rayos de luz que inciden sobre ella no se refleja una,

sino varias veces antes de enviarlas de vuelta al observador.

¿Cómo transforma la imagen un espejo convexo?

Otro ingenioso diseño de Andrew Hicks permite que los espejos con superficies convexas, que generalmente devuelven

imágenes panorámicas deformadas y de un tamaño mayor al real, refleje una imagen de 360 grados en forma horizontal

sin distorsión alguna. Esto es posible gracias al pulimento especial del cristal que desvía hacia arriba los rayos de luz que

inciden lateralmente al observador.

Hicks también ha diseñado un espejo retrovisor donde el campo de visión en el modelo de espejo del lado del conductor

de un automóvil gracias a que el campo visual es de 45 grados en lugar de los 17 grados que ofrecen los convencionales

espejos planos laterales. Esta obra maestra de la óptica permite una panorámica más amplia en la circulación por la red

viaria.

Sin embargo, la comercialización del invento de Hicks no está aprobada en Estados Unidos. Las autoridades

estadounidenses argumentan que los espejos curvos siempre reflejan imágenes irreales del entorno, por lo que sus

reflectores están prohibidos por la ley de tráfico. El inventor confía en encontrar clientes en Europa para su práctico

retrovisor exterior.

HOMOTECIA Nº 5–Año 9 Lunes, 2 de Mayo de 2011

MISCHA COTLAR (*1912-†2007)

Según confesó a Adrián Paenza (1), nació en Sarney, Ucrania en 1912; pero existen registros donde se señala que nació en esa localidad pero en agosto de 1913 (2). Falleció en Buenos Aires, Argentina, el 16 de enero de 2007.

Fue un matemático que inició su actividad científica en y desarrolló la mayor parte de su actividad en Venezuela.

Siendo su familia judía, emigró de Ucrania con sus padres y su hermano a Montevideo, Uruguay, en 1928; estaba ya en los 15 años de edad y a pesar de que no había tenido más de un año de educación formal, el sexto de la escuela primaria, había estudiado algunos libros de matemática y resuelto algunos problemas de teoría de números, como descubrió algún tiempo después, el matemático uruguayo Rafael Laguardia quien lo invitó a participar en su seminario.

Su padre, Ovsey Cotlar, lo formó en matemática, ajedrez y música. Para ayudar económicamente a su familia, Mischa, convertido en un buen pianista, se ganaba la vida tocando el piano en algunos bares del puerto de Montevideo hasta 1931, cuando comenzó a tocar en un trío de cámara en Punta del Este.

Entra en el mundo académico de la mano de los matemáticos uruguayos Rafael Laguardia y José Luis MasseraInstituto de Matemática y Estadística de la Facultaden Uruguay su primer contacto formal con la matemática

En 1935 decidió emigrar a Buenos Aires, Argentinaconvirtió en su “ciudad natal”, siguiendo los pasos de Julio Rey Pastor, atraído por su actividad matemática. En 1937 conoce en Buenos Aires a su futura esposa, Yanny Frenkel, joven estudiante de matemática de origen ruso, con la cual se casó compartió con ella el resto de su vida.

Como Mischa Cotlar fue en sus inicios un autodidacta y sólo tuvo un año de educación formal, nunca pudo inscribirse oficialmente en ningún instituto educativo argentino o uruguayo. grados académicos hasta que en 1953, cuando tenía 40 años y ya había publicado alrededor de 30 trabajos sobre Matemática, se doctoró en la Universidad de Chicago donde había asistido gracias a una beca Guggenheim, obteniendo así su primer diploma.

Al retornar a la Argentina fue designado Director del IMatemáticas de la Universidad Nacional de Cuyo

Año 9 Lunes, 2 de Mayo de 2011

, nació en Sarney, Ucrania en 1912; pero existen registros donde se señala que nació en esa

. Falleció en Buenos Aires,

que inició su actividad científica en Uruguay, y desarrolló la mayor parte de su actividad en Argentina y

Siendo su familia judía, emigró de Ucrania con sus padres y su hermano a Montevideo, Uruguay, en 1928; estaba ya en los 15

ad y a pesar de que no había tenido más de un año de educación formal, el sexto de la escuela primaria, había estudiado algunos libros de matemática y resuelto algunos problemas de teoría de números, como descubrió algún tiempo

ayo Rafael Laguardia quien lo

Su padre, Ovsey Cotlar, lo formó en matemática, ajedrez y música. Para ayudar económicamente a su familia, Mischa, convertido en un buen pianista, se ganaba la vida tocando el

unos bares del puerto de Montevideo hasta 1931, cuando comenzó a tocar en un trío de cámara en Punta del Este.

Entra en el mundo académico de la mano de los matemáticos José Luis Massera, siendo el

Facultad de Ingeniería en Uruguay su primer contacto formal con la matemática (3).

Argentina, ciudad que , siguiendo los pasos de Julio Rey

Pastor, atraído por su actividad matemática. En 1937 conoce en Buenos Aires a su futura esposa, Yanny Frenkel, joven estudiante de matemática de origen ruso, con la cual se casó en 1938 y

Como Mischa Cotlar fue en sus inicios un autodidacta y sólo tuvo un año de educación formal, nunca pudo inscribirse oficialmente en ningún instituto educativo argentino o uruguayo. Careció de

, cuando tenía 40 años y ya había publicado alrededor de 30 trabajos sobre Matemática,

donde había asistido , obteniendo así su primer

Director del Instituto de de Cuyo.

Fue profesor desde 1957 hasta Exactas de la Universidad Nacional de Buenos Aires, cuando renunció luego de la noche de los bastones largosMontevideo. En 1967 fue designado profesor de la University en Estados Unidos. En un breve período, y por razVenezuela donde enseñó en la Universidad Central. En recibió el Premio Nacional de Ciencias de

Aportes a la matemática

Sus aportes a la matemática están centrados en el armónico, la teoría ergódica y la lema que lleva su nombre. A lo largo de su trayectoria formó a numerosos alumnos en análisis armónico, como por ejemplo Rodrigo Arocena.

Filosofía de vida

Su militancia humanista y pacifista fue destacada, hasta el punto de obligarlo al exilio, sin por ello perder su compromiso y militancia. En sus últimos años tuvo una preocpor la ética de los científicos, y la utilización ética del conocimiento

Referencias.

1. Entrevista realizada por Adrián Paenza

2. Currículum Vítae. Obsérvese que en documentos personales figura la fecha oficial, pero inexactanacimiento.

3. LOS ORIGENES Y EL DESARROLLO DE LA ESCUELA URUGUAYA DE MATEMATICAS. Por José Luis Massera

4. La Noche de los Bastones Largosla Dirección General de Orden Urbano de la Argentina, el 29 de julioUniversidad de Buenos Aireslas autoridades legítimas, estudiantes, profesores y graduados, en actitud de oposición a la decisión del intervenir las universidades y anular el régimen de El mes anterior, el 28 de junioJuan Carlos Onganía había derrocado el gobierno democrático de Arturo Illia y dado inicio a la dictadura autodenominada Revolución Argentina. Las universidades públicas argentinas estaban entonces organizadas de acuerdo a los principios de la Reforma Universitaria, que establecían la universitaria del poder político y el cogobierno tripartito de estudiantes, docentes y particularmente violenta en las facultades de Naturales y de Filosofía y LetrasAires. La Policía Federal, que se encontraba bajo intervención militar desde el 28 de junio de duramente. El nombre proviene de los bastones larpor efectivos de la Policía Federal Argentina para golpear con dureza a las autoridades universitarias, los estudiantes, los profesores y los graduados, cuando los hicieron pasar por una doble fila al salir de los edificios, luego de ser deteniddetenidas 400 personas y destruidos laboratorios y bibliotecas universitarias. En los meses siguientes cientos de profesores fueron despedidos, renunciaron a sus cátedras o abandonaron el país. En total emigraron 301 profesores universitarios; d215 eran científicos; 166 se insertaron en universidades latinoamericanas, básicamente en Chile y Venezuela; otros 94 se fueron a universidades de los Estados Unidos, Canadá y Puerto Rico; los 41 restantes se instalaron en Europa.

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Año 9 Lunes, 2 de Mayo de 2011 18

hasta 1966 en la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad Nacional de Buenos Aires, cuando

noche de los bastones largos (4), y retornó a fue designado profesor de la Rutgers

. En 1972 retornó a Argentina por un breve período, y por razones políticas debió emigrar a

donde enseñó en la Universidad Central. En 1984 recibió el Premio Nacional de Ciencias de Venezuela.

Sus aportes a la matemática están centrados en el análisis y la teoría espectral destacándose el

que lleva su nombre. A lo largo de su trayectoria formó a numerosos alumnos en análisis armónico, como por ejemplo

Su militancia humanista y pacifista fue destacada, hasta el punto de obligarlo al exilio, sin por ello perder su compromiso y militancia. En sus últimos años tuvo una preocupación especial por la ética de los científicos, y la utilización ética del

Entrevista realizada por Adrián Paenza.

Obsérvese que en documentos personales figura la fecha oficial, pero inexacta, de 1913 como su año de

LOS ORIGENES Y EL DESARROLLO DE LA ESCUELA URUGUAYA DE MATEMATICAS. Por José Luis Massera.

Noche de los Bastones Largos fue el desalojo por parte de eneral de Orden Urbano de la Policía Federal

29 de julio de 1966, de cinco facultades de la de Buenos Aires (UBA), en Argentina, ocupadas por

las autoridades legítimas, estudiantes, profesores y graduados, en actitud de oposición a la decisión del gobierno militar de intervenir las universidades y anular el régimen de cogobierno.

28 de junio de 1966, el Teniente General había derrocado el gobierno democrático de

y dado inicio a la dictadura autodenominada . Las universidades públicas argentinas

estaban entonces organizadas de acuerdo a los principios de la , que establecían la autonomía

del poder político y el cogobierno tripartito de estudiantes, docentes y graduados. La represión fue particularmente violenta en las facultades de Ciencias Exactas y

Filosofía y Letras de la Universidad de Buenos . La Policía Federal, que se encontraba bajo intervención

militar desde el 28 de junio de 1966, tenía órdenes de reprimir duramente. El nombre proviene de los bastones largos usados por efectivos de la Policía Federal Argentina para golpear con dureza a las autoridades universitarias, los estudiantes, los profesores y los graduados, cuando los hicieron pasar por una doble fila al salir de los edificios, luego de ser detenidos. Fueron detenidas 400 personas y destruidos laboratorios y bibliotecas universitarias. En los meses siguientes cientos de profesores fueron despedidos, renunciaron a sus cátedras o abandonaron el país. En total emigraron 301 profesores universitarios; de ellos 215 eran científicos; 166 se insertaron en universidades latinoamericanas, básicamente en Chile y Venezuela; otros 94 se fueron a universidades de los Estados Unidos, Canadá y Puerto Rico; los 41 restantes se instalaron en Europa.

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Consulta: 20 Octubre 2009.

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HOMOTECIA Nº 5-9servicio.bc.uc.edu.ve/homotecia/2011/5-2011.pdf · que la humanidad habla hoy en día. ... Nóbel e incluso Bill Gates, tienen números de Erdös muy bajos. Gates