75
- 1 - Hoofdstuk 2 "MOMENT & KROMMING"

hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

  • Upload
    masarati

  • View
    1.758

  • Download
    27

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 1 -

Hoofdstuk 2

"MOMENT & KROMMING"

Page 2: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 2 -

blanco

Page 3: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 3 -

Inhoudsopgave 2.1 Verband tussen moment en kromming 5 2.2 De invloed van de buigstijfheid 7 2.3 Het gedrag bij belasten, stap voor stap 2.3.1 Moment dat aan de onderzijde de beton nog juist niet scheurt (Mr) 9 2.3.2 Moment dat het staal gaat vloeien 11 2.3.3 Moment dat het beton gaat stuiken 13 2.3.4 Moment dat het beton bezwijkt 15 2.4 Moment – krommingsdiagram (M - κ - diagram) 2.4.1 Inleiding 20 2.4.2 Rekenvoorbeeld #1 (constructie in de U.G.T.) 21 2.4.3 Het scheurmoment nader beschouwd 30 2.5 Belasten – ontlasten 36 2.6 Niet lineair – elastisch (variabele EI) 38 2.7 De buigstijfheid in de bruikbaarheidsgrenstoestand (B.G.T) 2.7.1 Uitgangspunten 41

2.7.2 Rekenvoorbeeld #2 (constructie in de B.G.T.) 46 2.7.3 Het kruipgedrag 53 2.7.4 Rekenvoorbeeld #3 (doorbuiging) 56 2.8 Nadere beschouwing van moment en kromming

2.8.1 De invloed van de hoeveelheid wapening op de kromming 66

2.8.2 Benaderingsformules voor Mu en κu 69 2.9 Omgekeerde volgorde markante punten (eerst betonstuik, daarna vloeien) 71

Page 4: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 4 -

blanco

Page 5: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 5 -

κ=⇒=κ ·EIMEIM

2

2

xdyd

ρ=κ⇒

κ=ρ

11

2.1 Verband tussen moment en kromming Het verband tussen moment M en kromming κ (“kappa”) is de buigstijfheid EI: De kromming κ is de 2e afgeleidde (2 * differentiëren) van de elastische lijn (zakking y): De reciproke waarde van de kromming is de kromtestraal ρ (“rho”): Afleiding: Figuur 2.1: Op buiging belaste ligger met een uitvergroting van een stukje balkdeel. In figuur 2.1 is een stukje balk getekend welke belast is op buiging. Voor de doorsnede geldt de wet van Bernoulli (“vlakke doorsneden blijven na buiging vlak”) en het moment is constant over de lengte v. Door de kromming zal het elementje aan de bovenzijde verkorten en aan de onderzijde verlengen met Δv. Uit evenredigheid met de grote driehoek ρ_v_ρ en de kleine driehoek (h – x)_Δv_(h – x) volgt:

h v

v + ∆v

ε'b

ε0 ε'b + ε0

x

h - x

ρ

h ϕ

ϕ

ϕ

Page 6: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 6 -

ρ−

=ε⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

=εεΔΔ

=ρ− xh

vv:verlengingspecifiekedeis

vv

vvxh

xhplaatsvindrekdewaaroverhoogterekspecifieke kromming De

−ε

=κ⇒=

x'ε

E·E :Hooke vanWet σ

=ε⇒ε=σ

)xh(E −σ

Iz·M

WM

==σ

I)xh(·M −

ρ==

−−

=κ⇒1

EIM

)xh(·EI)xh(·M

xdd ϕ

Op gelijkaardige wijze valt af te leiden voor de bovenste vezel, dus over hoogte x: (accent ‘ vanwege druk)

h':geldt dus gelijk, zijn krommingen Beide ε+ε

Uit bovenstaande valt af te leiden dat: σ is de optredende buigspanning: W is het weerstandsmoment I is het traagheidsmoment ( A.K.O.M.) z is de afstand van de zwaartelijn tot de uiterste vezel z = h – x Hiermee is het verband tussen moment en kromming aangetoond. De kromming kan ook worden verkregen door het éénmaal differentiëren van de hoekverdraaiing ϕ: Ofwel: het integreren van krommingen geeft een hoekverdraaiing.

Page 7: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 7 -

xdyd

∫ ∫ +=+κ=ϕ=ϕ cdx·EIMcdx·en

xdyd

Eénmaal differentiëren van de elastische lijn (zakking y) geeft de hoekverdraaiing, dus: Samengevat: Dit betekent dat als het M / EI – vlak als lastvlak wordt gebruikt (op een ligger), de oplegreacties gelijk zijn aan de totale hoekverdraaiing ϕ die de balk ondergaat. Dit is de methode van het “gereduceerd momentvlak”. 2.2 De invloed van de buigstijfheid De buigstijfheid EI is bij betonconstructies erg belangrijk. Net als bij andere materialen wordt hiermee de vervorming en doorbuiging (B.G.T.) bepaald en is de onderlinge stijfheidsverhouding van de aansluitende delen belangrijk bij statisch onbepaalde constructies (U.G.T.). Maar in tegenstelling tot bijv. staal is de EI bij beton niet constant! In een eenvoudig gewapend betonbalkje dat belast wordt tot bezwijken, kunnen in het balkje de volgende kenmerken worden herkend:

- delen van niet gescheurd beton - delen van gescheurd beton - delen waar het staal vloeit - delen waar de uiterste vezels stuiken (1,75 ‰) - delen waar de uiterste vezels bezwijken (3,50 ‰)

De aansluitende delen hebben dus een buigstijfheid EI die varieert! Dus even vlug de (juiste) doorbuiging uitrekenen m.b.v. een doorbuigingsformule (“vergeet-me-nietje”) gaat niet welke waarde moet dan voor de stijfheid EI ingevuld worden? De balk heeft dus meerdere verschillende stijfheden. Om dit inzichtelijk te maken wordt een gewapend betonbalkje aan de uiteinden opgelegd op scharnierende steunpunten en belast door twee puntlasten (“vierpuntsbuigproef”). Het moment tussen de puntlasten is dan constant. Stap voor stap wordt nagegaan wat er in de middendoorsnede gebeurt bij langzaam opvoeren van de belasting. De constructie wordt beschouwd in de uiterste grenstoestand (U.G.T.). Dit i.v.m. de uitgangspunten.

Page 8: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 8 -

Figuur 2.2: Vierpuntsbuigproef met bijbehorende dwarskrachten- en momentlijn. Om het gedrag van de balk goed te kunnen beschrijven, moet ook het gedrag van de toegepaste (verschillende) materialen bekend zijn. Dus hoe is het gedrag van beton onder trek (onderzijde balk), onder druk (bovenzijde balk) en hoe gedraagt het betonstaal zich in het trekgebied. Daarom worden voor de verschillende materialen grafieken gehanteerd waarin hun karakteristieke gedrag valt af te lezen, de zgn. σ - ε - diagrammen (“sigma – epsilon – diagrammen”). De benodigde σ-ε-diagrammen voor de beschouwing U.G.T. zijn hieronder weergegeven: Figuur 2.3: σ-ε-diagrammen van beton (druk en trek) en staal voor de uiterste grenstoestand. De diagrammen zijn onderling niet op schaal getekend. In werkelijkheid is fs vele malen groter dan f’b: Vergelijk: FeB500 fs = 435 N/mm2 B25 f ’b = 15 N/mm2

ε’

σ’

σ-ε-diagram, beton onder druk

ε

σ

σ-ε-diagram, beton onder trek

εs

σs

σ-ε-diagram, staal onder trek

f 'b

1,75‰

fbm

≈0,20‰ 2,175‰ 27,5 – 32,5‰

fs

3,50‰

Page 9: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 9 -

De belasting wordt in vier stappen vanaf nul opgevoerd. Iedere stap wordt gekozen bij een markant (kritisch) punt op één van de drie diagrammen:

1. moment dat aan de onderzijde de beton nog juist niet scheurt.

2. moment dat het staal gaat vloeien (einde van de schuine tak, εs;pl = 2,175‰).

3. moment dat beton gaat stuiken (einde van de schuine tak, ε’b;pl = 1,75‰).

4. moment dat beton bezwijkt (einde van de horizontale tak, ε’b;u = 3,50‰) Dit is de volgorde zoals die hier wordt aangehouden. Echter kan punt 2 en 3 omgekeerd zijn. Het betonstaal hoeft niet per sé te vloeien aleer het beton stuikt, dit is afhankelijk van de hoeveelheid toegepaste wapening. Verderop in dit hoofdstuk wordt hier nog uitvoerig aandacht aan besteed. Deze ‘aanname’ moet altijd gecontroleerd worden. Het betonstaal moet natuurlijk wel altijd vloeien voordat de betondrukzone bezwijkt, dus voordat punt 4 bereikt wordt. Hieraan wordt voldaan met het maximale toepasbare wapeningspercentage ω0;max. Als even gemakshalve het eigen gewicht achtterwege wordt gelaten, zijn alle spanningen nul tot dat er belasting wordt aangebracht, i.d.g. kracht F. Dan pas ontstaan bovenin drukspanningen en onderin trekspanningen in het beton, als ook trekspanningen onderin het wapeningsstaal, zij het nog zeer gering, omdat het staal pas echt wordt geactiveerd als het beton scheurt. Maar vanwege het feit dat het een samengestelde doorsnede ('n – zware' doorsnede) is, zal het staal niet geheel spanningsvrij blijven. 2.3 Het gedrag bij belasten, stap voor stap 2.3.1 Moment dat aan de onderzijde de beton nog juist niet scheurt (Mr). De constructie gedraagt zich lineair-elastisch. Dit is de fase dat het einde van de schuine tak in het beton-trekdiagram wordt bereikt. Figuur 2.4: σ-ε-diagrammen voor beton en staal op het moment dat punt 1 wordt bereikt (scheurmoment).

fs

ε’

σ’

σ-ε-diagram, beton onder druk

ε

σ

σ-ε-diagram, beton onder trek

εs

σs

σ-ε-diagram, staal onder trek

f'b

1,75‰

fbm

≈0,20‰ 2,175‰ 27,5 – 32,5‰

punt 1 punt 1 punt 1

3,50‰

Page 10: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 10 -

b

> ½h

< ½h n · As

h

Omdat nu aan de onderzijde van de balk de maximale treksterkte in het beton wordt bereikt, zal de balk scheuren. De bijbehorende σ-ε-diagrammen zien er dan als volgt uit: Figuur 2.5: Rek- en spanningsdiagram voor de nog juist ongescheurde doorsnede (Mr). Dit moment wordt het ‘scheurmoment’ (Mr) genoemd. In feite is het gedrag hier nog lineair elastisch, maar het is wel een ‘n-zware’ doorsnede. De doorsnede is dus samengesteld uit verschillende materialen met verschillende eigenschappen. Figuur 2.6: Zwaartelijn 'n – zware' doorsnede Aan de onderzijde bevind zich dus meer materiaal. Het zwaartepunt van deze doorsnede ligt daarom ook wat lager, dus de afstand van de zwaartelijn tot de onderste uiterste vezel is kleiner dan ½ h en de afstand tot de bovenste uiterste vezel is dan uiteraard groter dan ½ h. Uit het ε-diagram blijkt:

• εs << 2,175‰ • εb,max is bereikt • ε’b << 1,75‰

d h

xuxu

h - xu

ε'b σ 'b << f 'b

σs << fs εs

rekdiagram spanningsdiagram

b fbm εb

Page 11: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 11 -

Uit het σ-diagram blijkt:

• σs << fs staal vloeit nog lang niet. • fb = fbm de maximale betontrekspanning is bereikt. • σ’b << f’b de maximale betondrukspanning is nog lang niet bereikt.

Dit is de enige fase waarin gebruik gemaakt wordt van het σ-ε-diagram van beton onder trek. 2.3.2 Moment dat het staal gaat vloeien (Me). Als de belasting wordt opgevoerd, scheurt de balk aan de onderzijde en t.p.v. een scheur komen alle trekkrachten in het staal, want het beton is niet meer in staat deze trekspanningen op te nemen. Tussen twee scheuren in vind nog wel overdracht plaats van de trekkrachten in het betonstaal aan het beton. De invloed op de stijfheid van de balk als geheel van deze ongescheurde stijvere 'tussenstukken' tussen de scheuren in wordt "tension stiffness" genoemd. De balk moet niet gezien worden als een betonnen drukzone met er onder door enkel en alleen een wapeningsstaaf in het trekgebied. De ongescheurde betondelen hebben wel degelijk nog een grote invloed op de stijfheid van de balk. Bij verder door belasten zal het staal gaan vloeien. Dit is de fase dat het einde van de schuine tak in het staal-trekdiagram wordt bereikt. Figuur 2.7: σ-ε-diagrammen op het moment dat punt 2 wordt bereikt (vloeimoment). Nogmaals, punt 2 kan even zo goed eerder bereikt worden bij beton (f 'b) dan bij het staal (fs), dus dat de eerste vezels in het beton reeds stuiken voordat het staal vloeit. Controleberekeningen moeten aantonen dat de uitgangspunten ook daadwerkelijk goed zijn aangenomen. D.w.z. de rekken van beide materialen uitrekenen en vergelijken met de rekken die behoren bij het einde van de schuine tak. Als dan blijkt dat de optredende betonspanning σ'b groter is dan f 'b was de aanname fout.

fs

ε’

σ’

σ-ε-diagram, beton onder druk

σs

σ-ε-diagram, staal onder trek

f'b

1,75‰ 2,175‰ 27,5 – 32,5‰

punt 2

punt 2

3,50‰ εs

Trekspanning in het beton overschreden gescheurd géén trekopname meer mogelijk

σ - ε - diagram voor beton onder trek niet meer nodig.

Page 12: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 12 -

De bijbehorende σ-ε-diagrammen zien er dan als volgt uit: Figuur 2.8: Rek- en spanningsdiagram op het moment dat staal vloeit (Me). Uit het ε-diagram blijkt:

• εs = 2,175‰ ( ε = σ / E εs = 435 / 2,0 · 105 = 2,175‰ ) • de rek in het beton aan de trekzijde is niet meer van belang • ε’b < 1,75‰

Uit het σ-diagram blijkt:

• σs = fs staal vloeit. • σb >> fbm beton is gescheurd en kan geen trekspanningen meer opnemen. • σ’b < f’b de maximale betondrukspanning is nog niet bereikt.

In het spanningsdiagram staat voor beton alleen een driehoekig (druk-) spanningsfiguurtje getekend, terwijl in werkelijkheid ook onder de neutrale lijn nog een klein gebiedje is waar trekspanningen heersen. Deze trekspanningen worden eenvoudigweg niet beschouwd en wordt alleen nog gekeken naar druk in beton en trek in staal. Figuur 2.9: Spanningsfiguur beton met verwaarloosd trekgedeelte. Doordat het beton aan de onderzijde niet meer mee doet, maar alléén de wapening de trekkrachten opneemt, ligt de neutrale lijn nu aanzienlijk hoger, dus de afstand van de n.l. tot de onderste uiterste vezel is nu groter dan ½h en de afstand tot de bovenste uiterste vezel is dan nu uiteraard kleiner dan ½h.

d h

xuxu

d - xu

ε'b σ 'b

fs = 435 N/mm² εs = 2,175 ‰ rekdiagram spanningsdiagram

N'b

Ns

z

b

xu

σ 'b

fs = 435 N/mm²

n.l

wordt niet meer beschouwd, géén trek meer in beton

Page 13: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 13 -

Omdat er sprake moet zijn van inwendig evenwicht (ΣH = 0), moet de horizontale resultante van de betondrukkracht (N’b) gelijk zijn aan de horizontale kracht in het staal (Ns). De kracht in het staal is: Ns = As · fs De kracht in het beton is: N’b = inhoud spanningsfiguur oppervlak Δ · breedte ½· σ’b· xu· b xu = hoogte van de ‘betondrukzone’ (hoogte van de driehoek, het gebied waarin druk zit in de beton). Ns grijpt aan in het hart van het wapeningsstaal en N’b grijpt aan in het zwaartepunt van de driehoek, dus op 1/3 xu vanuit de bovenzijde, ofwel op 2/3 xu vanaf de n.l. Het inwendige moment wat kan worden opgenomen door deze gewapende doorsnede is dus: Mu = Ns · z ofwel Mu = N’b · z met Ns = N’b en ‘z’ als inwendige hefboomsarm (z = d - 1/3 xu). 2.3.3 Moment dat het beton gaat stuiken (Mpl). Bij verder opvoeren van de belasting zullen de eerste vezels aan de bovenzijde in het beton gaan stuiken. Dit wil nog niet zeggen dat dan de constructie is bezweken. Het staal was al aan het vloeien en dit blijft zo. De spanning kan namelijk niet groter worden dan fs, alléén de rek wordt groter (punt 3 ligt nu verder verwijderd op de horizontale tak dan punt 2). Het staal is plastisch aan het vervormen. De rek in het staal kan nog oplopen tot ongeveer 3% (≈ 30‰ !) Dit is de fase dat het einde van de schuine tak in het beton-drukdiagram wordt bereikt. Figuur 2.10: σ-ε-diagrammen op het moment dat punt 3 wordt bereikt (stuikmoment).

fs

ε’

σ’

σ-ε-diagram, beton onder druk

σs

σ-ε-diagram, staal onder trek

f'b

1,75‰ 2,175‰ 27,5 – 32,5‰

punt 3

punt 3

3,50‰ εs

Page 14: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 14 -

De bijbehorende σ-ε-diagrammen zien er dan als volgt uit: Figuur 2.11: Rek- en spanningsdiagram op het moment dat beton stuikt (Mpl). Uit het ε-diagram blijkt:

• εs > 2,175‰ • ε’b = 1,75‰

Uit het σ-diagram blijkt:

• σs = fs staal vloeit nog steeds, kracht neemt niet meer toe • σ’b = f ’b de maximale betondrukspanning is bereikt.

Omdat uiteraard ook hier weer sprake moet zijn van inwendig evenwicht, moet N’b weer gelijk zijn aan Ns. De kracht in het staal is, en blijft: Ns = As · fs De kracht in het beton is nu wat eenvoudiger te bepalen, omdat σ’b = f ’b (f ’b aflezen in tabel) N’b = ½· f ’b· xu· b Het aangrijpen van de krachten is op dezelfde plaats als in de vorige fase: Ns grijpt aan in het hart van het wapeningsstaal en N’b grijpt aan in het zwaartepunt van de driehoek. Het inwendige moment wat kan worden opgenomen door deze gewapende doorsnede is dus weer gelijk aan: Mu = Ns · z ofwel Mu = N’b · z

d h

xuxu

d - xu

ε'b;pl = 1,75 ‰ σ'b = f 'b

fs = 435 N/mm² εs > 2,175 ‰ rekdiagram spanningsdiagram

N'b

Ns

z

b

Page 15: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 15 -

In feite is dus de inhoud van deze spanningsfiguur van beton gelijk aan die uit de vorige fase tenslotte moet de kracht in het beton gelijk zijn aan die in het staal, en die in het staal is en blijft onveranderd, alléén de rek in het staal is toegenomen. De spanningsdriehoek in fase 2 heeft een grotere betondrukzone (xu), maar een kleinere spanning (σ’b), terwijl in deze fase, fase 3, de betondrukzone juist kleiner is en de spanning daarentegen groter is (σ’b bereikt hier de maximale waarde f ’b), waardoor de oppervlakken van de spanningsfiguren aan elkaar gelijk kunnen blijven. Het inwendige moment Mpl is nu toch een fractie groter dan in de vorige fase, omdat het zwaartepunt van de betondrukzone iets hoger ligt, dus de inwendige hefboomsarm z is iets groter. De betondrukzone wordt verder gereduceerd omdat de scheur steeds ‘dieper’ doorloopt. 2.3.4 Moment dat het beton bezwijkt (Mu). Bij nog verder opvoeren van de belasting zullen steeds meer vezels aan de bovenzijde en in de lagen juist daaronder in het beton gaan stuiken. Het staal, dat al een tijdje aan het vloeien is, blijft dit (uiteraard) nog steeds doen en de rek wordt als maar groter. Let wel, het kan voorkomen dat het staal voortijdig het einde van de horizontale tak bereikt (εs;u), dus bezwijkt de constructie op staalbreuk! Controleer voortdurend (bij elke stap) de rekken in het materiaal! Dit is de fase dat het einde van de horizontale tak in het beton-drukdiagram wordt bereikt. Figuur 2.12: σ-ε-diagrammen op het moment dat punt 4 wordt bereikt (bezwijkmoment).

fs

ε’

σ’

σ-ε-diagram, beton onder druk

σs

σ-ε-diagram, staal onder trek

f'b

1,75‰ 27,5 – 32,5‰

punt 4

punt 4

3,50‰ εs

2,175‰

Page 16: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 16 -

De bijbehorende σ-ε-diagrammen zien er dan als volgt uit: Figuur 2.13: Rek- en spanningsdiagram op het moment dat beton bezwijkt (Mu). Uit het ε-diagram blijkt:

• εs >> 2,175‰ • ε’b = 3,50‰

Uit het σ-diagram blijkt:

• σs = fs staal vloeit nog steeds, kracht neemt al lang niet meer toe • σ’b = f ’b de maximale betondrukspanning wordt bereikt over een grotere hoogte

(over meer vezels) Er zijn nu zoveel betonvezels ‘gestuikt’, dat de constructie als bezweken wordt beschouwd. Verder opvoeren van de belasting, met behoud van een deugdelijke constructie, is onmogelijk. Dit is dus de laatste fase. De tabellen die zijn opgenomen in de G.T.B. (Grafieken en Tabellen voor Betonconstructies) voor het berekenen van de buigtrekwapening in een constructie zijn gebaseerd op dit stadium, dus met de uitgangspunten in deze fase, het bezwijkstadium. Evenals bij alle vorige fasen, geldt ook hier dat er voldaan moet worden aan inwendig evenwicht (ΣH = 0). Voor de staalkracht Ns geldt nog steeds, vanaf het eerste moment van vloeien, hetzelfde: Ns = As · fs Voor het beton blijft de resultante van de kracht N’b gelijk aan de inhoud van de spanningsfiguur, echter dit is geen driehoek meer. Het is een combinatie van een rechthoek (bovenste deel) met een driehoek (onderste deel). Deze twee tezamen vormen weer de hoogte van de betondrukzone xu.

d h

½ xu½ xu

xu

d - xu

ε'b;u = 3,50 ‰ f 'b

fs = 435 N/mm² εs >> 2,175 ‰ rekdiagram spanningsdiagram

N'b

Ns

z

b

Page 17: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 17 -

Dit is een vereenvoudigde weergave. In werkelijkheid is het verloop parabolisch Figuur 2.14: Verloop van de drukzone; werkelijk, parabolisch en volgens de Eurocode. Het werkelijke σ - ε - diagram is parabolisch. Hieruit kan geconcludeerd worden dat de werkelijke vorm van de betondrukzone ook een parabolisch verloop heeft. In werkelijkheid is er nog een klein gebiedje waar trek optreed, juist onder de neutrale lijn, echter conform de afspraak wordt dit verder niet meegenomen in de berekening. Door de invloed van de kruip zullen in werkelijkheid de bovenste vezels iets ontlast worden, iets in spanning afnemen en zullen de lager gelegen vezels de grootste spanning vertonen. Inhoudelijk maakt het echter weinig uit welk diagram er gehanteerd wordt; bi-lineair, parabolisch of parabolisch – rechthoekig (Eurocode). Het oppervlak van de parabolische figuur is gelijk aan:

⅔ · f ’b· xu· b met z = d – 0,375 xu Het oppervlak van de parabolische – rechthoekige figuur is gelijk aan:

17/21 · f ’b· xu· b met z = d – 416 xu Of het oppervlak is wat kleiner, maar dan is de inwendige hefboomsarm z weer wat groter, of vice versa. Conclusie is dat er procentueel een verschil van ± 1% zit in het uiteindelijk berekende moment Mu. Het (parabolisch) bezwijkmoment is een fractie kleiner. We rekenen echter met een bi – lineair σ-ε-diagram en dat betekent dat de vorm van de drukspanningsfiguur ook gelijk is aan dit bi – lineaire diagram. Zie figuur 2.15. In deze figuur zijn ook de rekken weergegeven. Dit is niet gebruikelijk, maar laat wel heel goed de verhouding zien tussen de hoogte van de driehoek en van de rechthoek. I.d.g. is het verschil van 0 – 1,75‰ en van 1,75‰ – 3,50‰ even groot, dus m.a.w. kan de hoogte van de betondrukzone xu keurig in twee gelijke delen gesplitst worden, ½ xu voor de driehoek en ½ xu voor de rechthoek.

Page 18: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 18 -

)x39,0(x'fx'fx

Ay·Ay uu18

7

bu43

b2

u247

===Σ

Σ=

Figuur 2.15: De betondrukzone weergegeven als vereenvoudigd σ-ε-diagram (bi-lineair), gedraaid en gespiegeld. Nu kan ook het oppervlak van drukspanningsfiguur met bijbehorend zwaartepunt worden berekend. Figuur 2.16: Oppervlak en zwaartepunt betondrukzone bij gelijke hoogte van en Δ (½xu). AΙ = ½ xu · f 'b yΙ = ¼ xu → AΙ ⋅ yΙ = 1/8 xu² f 'b AΙΙ = ¼ xu · f 'b yΙΙ = 2/3 xu → AΙΙ ⋅ yΙΙ = 1/6 xu² f 'b ∑A = 3/4 xu · f 'b ∑A · y = 7/24 xu² f 'b

opmerking: als er gerekend wordt met andere uitgangspunten, bijv. een bi – lineair σ-ε-diagram met

een stuikrek εb;pl = 2,00‰ i.p.v. 1,75‰, is het oppervlak niet meer gelijk aan ¾ · f ’b · xu ! Het zwaartepunt van de drukzone ligt dus op 7/18 xu (0,39 xu) uit de bovenzijde.

fs

f 'b

d h

3,50‰

1,75‰

0

0 1,75‰ 3,50‰

f 'b

σ'

ε'

σ - ε - diagram van beton onder druk Spanningsfiguur

Page 19: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 19 -

Algemeen wordt ook wel geschreven: ∑A = α xu · f 'b en y = β xu Voor betonsterkteklassen C12/15 (B25) t/m C53/65 (B65) geldt dus: α = 0,75 β = 0,39 Naarmate de sterkteklasse verder toeneemt (>C53/65), neemt zowel α als β af. Voor bijv. C90/105 geldt: α = 0,62 β = 0,35 De kracht in het beton in het bezwijkstadium kan nu bepaald worden. Het oppervlak vermenigvuldigd met de breedte van het constructie-element b geeft de inhoud van de spanningsfiguur: N’b = ½ · f ’b · xu · b ( ) + ½ · ½ · f ’b · xu· b (Δ) = ¾ · f ’b · xu · b Deze resultante van de betondrukkracht is weer gelijk aan die in de vorige fase, maar ook hier is het zwaartepunt weer naar boven verschoven, zodat de inwendige hefboomsarm z groter is geworden en derhalve uiteraard ook het moment Mu is toegenomen, zij het in (zeer) geringe mate. Samengevat, de betonoppervlakken in de spanningsfiguren zijn gelijk en dus ook de krachten. Dit moet ook wel, want de kracht in het staal verandert niet (vloeien alleen de rek neemt toe) en voor inwendig evenwicht geldt: ΣH = 0, dus N'b = Ns. Wel verschuift steeds de zwaartelijn naar boven. Een grotere waarde van Mu kan niet bereikt worden, dus dit is het maximale inwendige moment (Mu) wat een constructie kan opnemen, tenminste als er sprake is van bezwijken door betonstuik èn niet het voortijdig bezwijken van het staal omdat het eerder het einde van zijn horizontale tak heeft bereikt dan het beton. Controleren! Dit moment, uit deze fase, wordt gebruikt om constructies te controleren op hun maximale draagvermogen bij buiging in de U.G.T., dus voor het bepalen van de buigtrekwapening voor sterkteberekeningen. Voor berekeningen in de B.G.T. gelden andere uitgangspunten (representatieve waarden i.p.v. rekenwaarden: f 'b;rep i.p.v. f 'b, fy;rep i.p.v. fy, etc.). De aanpak is hetzelfde. Merk op dat de gehele filosofie zoals die hierboven is besproken afhankelijk is van de gehanteerde σ - ε - diagrammen van de verschillende materialen (beton en staal). De hier gebruikte diagrammen zijn voorgeschreven in de norm. In werkelijkheid kan de rek van beton aanzienlijk groter zijn dan 3,50‰, is de betonspanning groter dan f'b en is resp. de spanning en de rek in het betonstaal ook groter dan fs en εsu. Dus bij laboratoriumproeven (werkelijk gedrag) moeten deze punten eerst proefondervindelijk worden vastgesteld.

Page 20: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 20 -

2.4 Moment – krommingsdiagram (M - κ - diagram) 2.4.1 Inleiding In iedere fase, zoals hierboven is omschreven, kan bij het inwendige moment M de bijbehorende kromming κ worden bepaald. Als de hoogte van de betondrukzone xu bekend is, kunnen m.b.v. vergelijkingen van driehoeken in het ε - diagram de rekken worden berekend en daarmee zijn ook de krommingen te bepalen. Figuur 2.17: Bepalen van de kromming m.b.v. het ε - diagram. De momenten met bijbehorende krommingen kunnen worden uitgezet in een zgn. M - κ - diagram (spreek uit als M – kappa – diagram). Figuur 2.18: M - κ - diagram

εboven

εonder

x

d - x dxdxonderbovenonderboven ε+ε

=−

ε=

ε=κd

κr κe κpl κu

Mr

Me

Mpl Mu

M [Nmm] * 106

κ [mm-1] * 10-6

M - κ - diagram

Mx

κx

αx

Mr = scheurmoment Me = vloeimoment Mpl = stuikmoment Mu = bezwijkmoment Mx = willekeurig moment

αx = arctan (EI)x tan αx = Mx / κx

αe

αu

Lineair – elastisch verloop

Page 21: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 21 -

κ=⇒=κ

MEIEIM

Hierboven is een willekeurig M - κ - diagram. Het is gebruikelijk om voor een M - κ - diagram wat bedoeld is voor de U.G.T. te stileren met vier punten, zoals hier getekend. Voor een M - κ - diagram wat bedoeld is voor de B.G.T. is het meestel voldoende om maar twee punten te stileren, namelijk het scheurmoment en het vloeimoment. Echter wordt dit gedaan voor zowel de korte – als de lange – duur. Dit wordt verder in dit hoofdstuk behandeld. Er kan nu voor ieder willekeurig moment de bijbehorende kromming worden afgelezen. En omdat de buigstijfheid EI gerelateerd is volgens: kan dus ook voor ieder willekeurig moment de bijbehorende EI worden bepaald. Vanuit de oorsprong wordt een lijn getrokken naar Mx (moment waarbij de EI bepaald moet worden). De kromming κx wordt afgelezen en de buigstijfheid (EI)x kan bepaald worden. De EI is dus de richtingscoëfficiënt (r.c.) van de lijn. Merk op dat de r.c. genomen wordt van de lijn die vertrekt vanuit de oorsprong en niet van betreffend lijn in het M - κ - diagram (αe)! Dit is per definitie zo. Anders zou de EI op dat traject constant zijn. De EI die afgeleid zou worden uit gegevens van tak 3 – 4, tussen Mpl en Mu, zou dan tot een absoluut minimum gereduceerd zijn (αu). Een M - κ - diagram hoort bij een (klein) stukje constructie-onderdeel (balk, vloer) waarin het moment en de eigenschappen constant zijn aangenomen en niet bij een (door-) snede! 2.4.2 Rekenvoorbeeld #1 (constructie in de U.G.T.) b * h = 400 * 600 mm2 As = 3 ∅16 = 603 mm2 Betonkwaliteit: C20/25 (B25) Staalkwaliteit: FeB500 d = 0,9h (beugel en flankstaven zijn niet getekend.) Opgave: Bepaal voor bovenstaande balkdoorsnede het verband tussen moment en kromming en de waarde van EI in geval van een sterkteberekening, dus in de U.G.T. Teken telkens voor ieder punt het bijbehorende vervormings- (ε) en spanningsdiagram (σ) met daarin in aangeven de (on-)bekenden. Controleer steeds je uitgangspunten (aannames).

b

h

Page 22: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 22 -

²mm/N857010·75,1

15‰75,1

'f'E 3b

b =⇒= −

3,238570

10·0,2n5

==

Zet de resultaten in een tabel (M, κ en EI) en teken het bijbehorende M-κ-diagram. Uitwerking: Er moeten 4 kritische punten beschouwd worden:

1. Scheurmoment Mr σb = fbm 2. Vloeimoment Me σs = fs 3. Stuikmoment Mpl ε'b = 1,75‰ 4. Bezwijkmoment Mu ε'b = 3,50‰

Ze worden hier in deze volgorde behandeld. Mocht het nu zijn, dat het stuikmoment eerder optreedt dan het vloeimoment, dan komt dit bij de controle van de uitgangspunten naar voren. Bij de controle van de betonrek in fase 2 (vloeien staal) moet bij bovenstaande aanname ε'b < 1,75‰. Blijkt de betonrek juist groter te zijn dan 1,75‰, is de volgorde verkeerd gekozen en zal stap 2 en 3 omgewisseld moeten worden en de berekening worden herzien. Nogmaals, bij een relatief laag wapeningspercentage is doorgaans deze volgorde juist. Hier wordt later op teruggekomen. 1) Scheurmoment Figuur 2.19: Rek- en spanningsdiagram voor de nog juist ongescheurde doorsnede (Mr). "n – zware" doorsnede: Es = 2,0 · 105 N/mm² A beton: 400 * 600 = 240.000 mm2 xb = 300mm → Ab ⋅ xb = 72000 · 103 mm3

A staal: 23,3 * 603 = 14.050 mm2 xst = 540mm → Ast ⋅ xst = 7587 ⋅ 103 mm3 254.050 mm2 79.587 ⋅ 103 mm3

d h

xuxu

h - xu

ε'b << 1,75‰ σ 'b << f 'b

σs << fs εs << 2,175‰

rekdiagram spanningsdiagram

b fbm = 2,3 N/mm² εb

Page 23: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 23 -

mm313050.254

10·587.79x3

==

Nmm10·83,63313) -600(

10·7965*3,2)x- h(

I·fM 66

0bmr =⇒=

‰268,010·268,08570

3,2Ef 3-

b

bmb ====ε

‰212,010·292,010·268,0*313)- (600313)- 540(

x- hx- d 33-

sb

s ===ε⇒=εε

‰292,010·292,010·268,0*313)- (600

313'x- h

x' 33- b

b

b ===ε⇒=εε −

' )m0009333,0(mm10·333,9540

10·)212,0292,0(d

1-17-3

sbr

−−=+

=ε+ε

(h – x → 600 - 313 = 287mm.) A.K.O.M. ('eigen' traagheidheidsmoment + verschuivingsregel van Steiner): I0 = 1/12 ⋅ 400 · 6003 + (400· 600) ⋅ (313 - 300)2 + 14.050 (540 - 313)2 = 7200 ⋅ 106 + 41 · 106 + 724 · 106 = 7965 · 106 mm4

(EI)0 = 8570 * 7965 · 106 = 68.300 · 109 Nmm2 (= 68.300 kNm²) Alternatieve methode: fbm = 2,3 N/mm²

σs = 0,212 · 10-3 * 20.000 = 42,4 N/mm²

σ'b = 0,292 · 10-3 * 8570 = 2,50 N/mm²

Page 24: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 24 -

²)kNm400.68(²mm/N10·400.6810·9,33310·83,63M)EI( 9

7-

6

r

r0 ==

κ=

nE'E

'EEn s

bb

s =⇒=

bbb 'E·'' ε=σ

nE··

xdx' s

sb ε−

sss E· σ=ε

sb ·)xd(n

x' σ−

sb ·xd

x' ε−

Figuur 2.20: Rek- en spanningsdiagram met berekende waarden voor de nog juist ongescheurde doorsnede (Mr). 2) Vloeimoment Figuur 2.21: Rek- en spanningsdiagram op het moment dat staal vloeit (Me).

d = 540 h = 600 313 xu = 313

h - xu = 287

ε'b = 0,292‰ σ 'b = 2,50 N/mm²

σs = 42,4 N/mm² εs =0,212‰

rekdiagram spanningsdiagram

400 fbm = 2,3 N/mm² εb = 0,268‰

As = 603 mm²

d h

xuxu

d - xu

ε'b σ 'b

fs = 435 N/mm² εs = 2,175 ‰ rekdiagram spanningsdiagram

N'b

Ns b

z

Page 25: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 25 -

sb )x-d(nx' σ⋅=σ

sss ·A·x)-d(n

x·x·b·½ σ=σ

‰175,210·175,210·0,2

435Ef 3-

5s

ss ====ε

accoord‰75,1‰94,010·94,010·175,2·163)-540(

163' x)-d(

x' 3-3-b

s

b ⇒<===ε⇒=εε

)m00576,0(mm10·76,5540

10·)175,294,0(d

' 1-16--3

sbe

−=+

=ε+ε

ssss Ax)-d(n

x·x·b·½·A·x)-d(n

x·x·b·½ =⇒σ=σ

ΣH = 0 ½ · b · x · σ 'b = As · σs

½ · b · x² = n(d – x) · As

½ · 400 · x² = 23,3 · (540 – x) · 603

200 x² = 14.050 · (540 – x)

200 x² = 7587 · 103 – 14050 x

x² = 37.935 – 70,25 x

x² + 70,25 x – 37.935 = 0

x1 = 163 mm. ( x2 = -233 mm. n.v.t. ) σs = fs = 435 N/mm² (staal vloeit)

σ'b = 0,94 · 10-3 * 8570 = 8,1 N/mm² Hieruit blijkt dat de volgorde vloeimoment – stuikmoment juist is gekozen (ε'b < ε'b;pl).

Page 26: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 26 -

²)kNm100.22(Nmm10·100.2210·76,510·4,127M)EΙ( 29

6

6

e

ee ==

κ= −

‰11,910·11,910·75,1·87

87) -540(x

) x-d('

3-3-s

b

s ===ε⇒=εε

M = As · fs · z Me = 603 · 435 · (540 - ⅓ ·163) = 127,4 · 106 Nmm (127,4 kNm)

z = (d - ⅓ x) Figuur 2.22: Rek- en spanningsdiagram met berekende waarden op het moment dat staal vloeit (Me). 3) Stuikmoment Figuur 2.23: Rek- en spanningsdiagram op het moment dat beton stuikt (Mpl). ΣH = 0 ½ · b · x · σ 'b = As · σs ½ · 400 · x · 15 = 603 · 435 → x = 87 mm.

d = 540 h = 600

163xu = 163

d - xu = 377

ε'b = 0,94‰ σ 'b = 8,1 N/mm²

fs = 435 N/mm² εs = 2,175 ‰ rekdiagram spanningsdiagram

N'b

Ns 400

As = 603 mm²

z = 486

d h

xuxu

d - xu

ε'b;pl = 1,75 ‰ σ'b = 15 N/mm²

fs = 435 N/mm² εs > 2,175 ‰ rekdiagram spanningsdiagram

N'b

Ns

z

b

Page 27: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 27 -

) kNm668.6(Nmm10·668.610·01,2

10·04,134M)EI( 229

5-

6

pl

plpl ==

κ=

)m0201,0(mm10·01,2540

10·)11,975,1(d

' 1-16--3

sbpl

−=+

=ε+ε

=κ Mpl = As · fs · (d - ⅓ x) 603 · 435 · (540 - ⅓ · 87) = 134,04 · 106 Nmm (134,04 kNm) Figuur 2.24: Rek- en spanningsdiagram met berekende waarden op het moment dat beton stuikt (Mpl). 4) Bezwijkmoment Figuur 2.25: Rek- en spanningsdiagram op het moment dat beton bezwijkt (Mu). Het oppervlak van de spanningsfiguur is nu geen driehoek meer. 3/4 · b · x · f ’b = As · fs → 3/4 · 400 · x · 15 = 603 · 435 → x = 58 mm.

d = 540 h = 600

87 xu = 87

d - xu = 453

ε'b;pl = 1,75 ‰ σ'b = 15 N/mm²

fs = 435 N/mm² εs = 9,11 ‰ rekdiagram spanningsdiagram

N'b

Ns

z = 511

400

As = 603 mm²

d h

½ xu½ xu

xu

d - xu

ε'b;u = 3,50 ‰ f 'b = 15 N/mm²

fs = 435 N/mm² εs >> 2,175 ‰ rekdiagram spanningsdiagram

N'b

Ns

z

b

Page 28: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 28 -

)(!‰1,2910·1,2910·50,3·58

58) -540(x

) x-d('

3-3-s

b

s ===ε⇒=εε

)m06037,0(mm10·037,6540

10· )1,2950,3(d

' 115--3

sbu

−−=+

=ε+ε

) kNm248.2(NNm10·248.210·037,610·73,135M)EI( 229

5-

6

u

uu ==

κ=

Let op! Als de verhouding ε’b;pl : ε’b;u ≠ 1 : 2, mag voor het oppervlak van de drukspanningsfiguur niet 3/4 · b · x · f ’b worden aangehouden, omdat dan hrechthoekje ≠ hdriehoekje ≠ ½ xu. De oplossing wordt gegeven achteraan in dit hoofdstuk wanneer Me > Mpl.

bij gebruikmaking van FeB500 HKN (koud vervormd) zou al staalbreuk zijn opgetreden bij 27,5 ‰ ! Mu = As · fs · (d - 7/18 x) 603 · 435 · (540 - 7/18 · 58) = 135,73 · 106 Nmm (135,73 kNm) Figuur 2.26: Rek- en spanningsdiagram met berekende waarden op het moment dat beton bezwijkt (Mu).

d = 540 h = 600

½ xu½ xu

xu = 58

d - xu = 482

ε'b;u = 3,50 ‰ f 'b = 15 N/mm²

fs = 435 N/mm² εs = 29,1 ‰ rekdiagram spanningsdiagram

N'b

Ns

z = 517

400

As = 603 mm²

Page 29: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 29 -

Tabel 2.1: M - κ - tabel van rekenvoorbeeld #1

M – κ - tabel

Moment M

* 106 (Nmm)

Kromming κ * 10-6 ( mm-1)

Stijfheid (EI) * 109 (Nmm2)

1) σb = fbm

2) σs = fs

3) ε’b = 1,75‰ 4) ε’b = 3,50‰

63,83

127,40

134,04

135,73

0,9333

5,76

20,10

60,37

68.400

22.100

6.668

2.248

1 Nmm = 10-6 kNm 1 mm-1 = 103 m-1 1 Nmm² = 10-6 kNm Figuur 2.27: M - κ - diagram van rekenvoorbeeld #1 Voor ieder willekeurig moment kan nu de bijbehorende kromming worden afgelezen, zodat ook de bijbehorende stijfheid EI bepaald kan worden.

0,933 5,76 20,1 60,37

63,83

127,4

134,04 135,73

M [Nmm] * 106

κ [mm-1] * 10-6

M - κ - diagram

Page 30: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 30 -

2.4.3 Het scheurmoment nader beschouwd In dit rekenvoorbeeld #1 is voor het scheurmoment Mr uitgegaan van beton als lineair – elastisch materiaal waarbij de gemiddelde treksterkte van beton maatgevend is. De invloed van het wapeningsstaal is alleen meegerekend in het axiaal kwadratisch oppervlakte moment (of wel het 'traagheidsmoment'), als een 'n – zware' doorsnede. De lijn in het M - κ - diagram die loopt van het scheurmoment naar het vloeimoment houdt rekening met de invloed van de treksterkte van beton. Tussen de scheuren in is er ongescheurd beton, m.a.w. beton met een hoge stijfheid. De bijdrage van deze ongescheurde, stijve delen beton aan de totale stijfheid heet "tension – stiffening". Het scheurmoment Mr is in feite fictief (rekenkundig) in werkelijkheid is er een geleidelijke overgang van ongescheurd naar gescheurd, omdat er natuurlijk geen scheurtjes ontstaan bij exact de opgegeven maximale trekspanning. Er zullen al scheurtjes ontstaan voor het bereiken van dit punt, bij minimale buigtrekspanningen. Als de invloed van de betontrekspanningen niet meegerekend zou worden, zou dus de volledige trekkracht worden opgenomen door het wapeningsstaal, direct al na de eerste scheur. De resterende trekcapaciteit van het beton wordt dan verwaarloosd. Het volledige beton (-aandeel) aan de trekzijde zou als het ware weggedacht kunnen worden. Dit zou in het M - κ - diagram een extra punt opleveren tussen het scheurmoment en het vloeimoment. Om dit te illustreren wordt dit punt berekend m.b.v. het voorgaande rekenvoorbeeld #1. Het scheurmoment Mr = 63,83 · 106 Nmm Dit moment zou dan volledig moeten worden opgenomen door de wapening. Dit geeft het volgende beeld: Figuur 2.28: Rek- en spanningsfiguur als de wapening het volledige scheurmoment Mr opneemt. Bij voorgaande berekeningen waren er altijd wel onder en/of boven de zwaartelijn van het rek- en spanningsdiagram bekende rekken en/of spanningen terug te vinden, de z.g.n. 'kritische punten' zoals die hier genoemd zijn. Deze zorgen ervoor dat middels gelijkheid van driehoeken de onbekenden uitgerekend kunnen worden.

dh

xuxu

d - xu

ε'b σ 'b

σs εs

rekdiagram spanningsdiagram

N'b

Ns

z

b

Page 31: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 31 -

sbs

b ·xd

x'xd

x'ε

−=ε⇒

−=

εε

sss ·A·n·xd

x·x·b·½ ε=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε

−⇒

)xd(·A·nx·b·½ s2 −=⇒

x·A·nd·A·nx·b·½ ss2 −=⇒

0d·A·nx·A·nx·b·½ ss2 =−+⇒

0540·603·3,23x·603·3,23x·400·½ 2 =−+⇒

0935.37x·25,70x2 =−+⇒

Hier zijn alleen maar onbekenden: xu, ε'b, σ'b, εs en σs. Wat nu wel bekend is, in tegenstelling tot vorige berekeningen, is het moment, want het scheurmoment Mr = 63,83 · 106 Nmm. Uit het rekdiagram is af te leiden dat: [1] N'b = Ns ½ · b · x · σ'b = As · σs σ'b = E'b · ε'b ½ · b · x · E'b · ε'b = As · Es · εs [2] σs = Es · εs [1] invullen in [2]: (met n = Es / E'b) [3] invullen: x1 = 163 mm. (x2 = -233 mm. n.v.t.) M.b.v. de wortelformule kan ook een algemene formule worden afgeleid. In [3] de hoeveelheid wapening As vervangen door het wapeningspercentage ω0:

Page 32: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 32 -

)!10géén:oplet(d·b

Amet·n·2)·n(·ndx 2s

002

00−⇒=ωω+ω+ω−=

‰ 0,508‰175,1·163540

163'b =−

)xd(·d·b··nx·b·½ 02 −ω=⇒

x·d··nd··nx·½ 02

02 ω−ω=⇒

0d··nx·d··nx·½ 200

2 =ω−ω+⇒

1d··n·2d··nd··n

x2

022

02

02,1

ω+ω±ω−=⇒

As = ω0 * b * d (voor ω0 alléén de getalswaarde nemen, zonder 10-2) Invullen in [3]: Alleen met de positieve discriminant is het antwoord valide: dit geeft uiteraard hetzelfde resultaat voor x. Mr = Ns * z

Mr = As · Es · εs · (d - ⅓ x) invullen: 63,83 · 106 = 603 · 2,0 · 105 · εs · (540 - ⅓ ·163) εs = 1,175 · 10-3 (1,175 ‰) σs = 1,175 · 10-3 * 2,0 · 105 = 235 N/mm² σ'b = 0,508 · 10-3 * 8570 = 4,35 N/mm²

Page 33: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 33 -

163

mm10·116,3540

10·)508,0175,1( −−−

=+

=κ⇒ Deze gegevens kunnen bijgetekend worden in het reeds gemaakte M - κ - diagram: Figuur 2.29: M - κ - diagram van rekenvoorbeeld #1 zonder de invloed van de betontreksterkte. Het gearceerde gebied wordt nu niet meegenomen. Dus vanaf het eerste scheurtje neemt de wapening de volledige trekkracht over. Het te volgen traject is vanaf de oorsprong naar 1 - 2 - 3

0,933 5,76 20,1 60,37

63,83

127,4

134,04 135,73

M [Nmm] * 106

κ [mm-1] * 10-6

M - κ - diagram3,116

1 2

3

Page 34: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 34 -

F F

Omdat hier geen rekening gehouden wordt met de positieve bijdrage van de treksterkte van het beton in de stijvere ongescheurde betondelen tussen de scheuren in (tension – stiffening), kan dit het best vergeleken worden met een balk waar aan de trekzijde wel wapening aanwezig is maar geen beton. De wapeningsstaven worden dan via de beugels in twee richtingen op hun plaats gehouden. Omdat het niet erg realistisch is (en bij onderzoek ook niet is vastgesteld), dat na het eerste scheurtje de kromming excessief toeneemt (in dit geval met een factor > 3), is het aannemelijker het eerste diagram aan te houden (zoals direct uit het rekenvoorbeeld volgde). Zoals reeds eerder is aangegeven, het scheurmoment is fictief. Er zal een geleidelijke overgang zijn. Zou de invloed van de trekcapaciteit van beton geheel achterwege worden gelaten, wordt onderstaande grafiek verkregen. Figuur 2.30: M - κ - diagram van rekenvoorbeeld #1 zonder scheurmoment. Het te doorlopen traject is direct van de oorsprong naar vloeipunt 2, scheurpunt 1 is dan niet van toepassing. Als het verschil tussen κr en κe niet al te groot is, kan dit een goede benadering zijn.

0,933 5,76 20,1 60,37

63,83

127,4

134,04 135,73

M [Nmm] * 106

κ [mm-1] * 10-6

M - κ - diagram

1

2

gebied tension-stiffening

gebied treksterkte beton

Page 35: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 35 -

In dit voorbeeld is de kromming ter hoogte van Mr op de tak 'oorsprong - 2' ongeveer de helft van 5,76 is 2,88 * 10-6 mm-1. Deze kromming is wel ongeveer een factor 3 groter dan bij 1! Of het scheurmoment is helemaal niet interessant voor de beschouwing die gedaan wordt. Het is dus sterk afhankelijk van het optredende moment waarmee gewerkt moet worden. In sommige literatuur staan sterk vereenvoudigde M - κ - diagrammen van zelfs maar twee punten: κe en κu. Omdat de momenten Me, Mpl en Mu vaak zo kort bij elkaar liggen, wordt hiervoor één horizontale lijn getekend ter hoogte van Mu. Dit sterk vereenvoudigde diagram ziet er als volgt uit: Figuur 2.31: Sterk vereenvoudigd M - κ - diagram. Dit sterk vereenvoudigde diagram wordt o.a. gebruikt bij het bepalen van de rotatiecapaciteit bij plastische scharnieren. Het scheurmoment is dan niet relevant.

κe κu

Mu

Moment

Kromming

Sterk vereenvoudigd M - κ - diagram

Page 36: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 36 -

Normaliter wordt hier uitgegaan van het M - κ - diagram met vier kritische (markante) punten. Dus de 1e tak loopt vanuit de oorsprong naar het scheurmoment Mr, de 2e tak loopt vanuit dit punt naar het vloeimoment Me, vervolgens de 3e tak naar Mpl en als 4e en laatste tak naar Mu. Of in geval van veel wapening zijn vloeimoment Me en stuikmoment Mpl omgewisseld. M.a.w. er wordt rekening gehouden met de bijdrage van beton onder trek! De andere M - κ - diagrammen zijn hier alleen ter illustratie en ter completering gegeven. 2.5 Belasten - ontlasten Bij het belasten van een constructie-onderdeel kan het traject gevolgd worden in het M - κ - diagram. Als nu ergens in dit traject gestopt wordt met belasten (de belasting wordt er af gehaald) wordt een rusttoestand bereikt die eindigt op de x-as. Afhankelijk in welk stadium (traject) het onderdeel zich bevindt, zal er een blijvende kromming optreden. Belasten tot het scheurmoment (nog net niet scheuren), geeft bij ontlasten een zelfde terugweg, dus lineair – elastisch. Op het moment dat er een scheurtje optreedt en het traject zich in de 2e tak gaat begeven, is er een blijvende kromming. Hieronder staan grafieken hoe het 'terugverloop' plaatsvindt. Figuur 2.32: M - κ - diagrammen bij belasten – ontlasten.

1

2

3

A

1

2

4

A

3

vòòr het vloeimoment nà het vloeimoment

M M

κ κ

Page 37: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 37 -

Als hulp wordt gebruik gemaakt van het 3e kwadrant. De eerste tak, vanuit de oorsprong naar het scheurmoment, wordt doorgetrokken in het 3e kwadrant, dus de r.c. is hetzelfde. De afstand van de oorsprong tot punt 1 is gelijk aan die van de oorsprong tot aan punt A Indien gedurende het belastingtraject het scheurmoment is gepasseerd, maar het punt van vloeien nog niet is bereikt, m.a.w. men bevind zich op de 2e tak, kan worden volstaan door een rechte lijn te trekken vanuit dit stoppunt (hier 2) naar punt A in het 3e kwadrant. Waar de krommingsas (x-as) wordt doorsneden (punt 3) is het eindpunt. De afstand van uit de oorsprong tot dit punt 3 is een blijvende kromming. Als nu opnieuw belast gaat worden, is in feite dit punt 3 de nieuwe oorsprong en het nieuwe startpunt. Dezelfde lijn wordt weer gevolgd naar punt 2 en vanaf hier geldt het normale M - κ - verloop. Wordt echter pas ontlast nà het vloeimoment (zie grafiek), moet eerst een hulplijn getrokken worden vanaf het punt van vloeien (punt 2) naar punt A in het 3e kwadrant. Vervolgens wordt vanaf het stoppunt op de 3e tak (punt 3) een lijn getrokken naar de krommingsas (x-as) evenwijdig aan de lijn 2 - A Het verdere verloop is gelijk aan het voorgaande. Ontlasten nà het scheurmoment resulteert dus altijd in een blijvende kromming!

Page 38: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 38 -

2.6 Niet lineair – elastisch (variabele EI) Het is nu duidelijk dat de buigstijfheid van een gewapende betonbalk (-vloer) niet constant is over de lengte van de balk. Figuur 2.33: Relatie stijfheid – moment. In feite staat hier het complete M - κ - diagram in geprojecteerd (denk voor de verticale as de kromming κ). Heel gemakkelijk is nu ook het gebied te zien waarin de wapening aan het vloeien is (tussen de twee punten Me). Een "correcte" ligger kan nu verkregen worden, door de ligger op te splitsen in delen en voor ieder deel de bijbehorende EI te geven. Het eerste deel, tot Mr , is constant, hier verandert de r.c. niet omdat deze lijn al vertrekt vanuit de oorsprong. Iedere andere lijn voorbij dit punt heeft een andere r.c. en dus een andere EI. In figuur 2.33 onderaan is telkens een "gemiddelde" stijfheid aangegeven, alleen ter illustratie. In werkelijkheid zou dit tussen de verschillende punten een constant (continue) verloop moeten hebben. Het eerste ongescheurde deel van de ligger is zo stijf t.o.v. het middendeel, dat de bijdrage hiervan tot de totale kromming van de ligger minimaal is. Als het M / EI – vlak als lastvlak wordt gebruikt, geven de oplegreacties de hoekverdraaiing van de gehele ligger, immers het integreren van krommingen resulteert in een hoekverdraaiing.

F

Mu

Mu

Mr

Me

Mpl

Ligger + belasting

M - lijn

M / EI - vlak

L

(EI)r

Page 39: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 39 -

Figuur 2.34: Ligger belast door het M / EI – vlak, waarbij de oplegreactie gelijk is aan de hoekverdraaiing. De puntjeslijn (vanuit de oplegging in het gearceerde gebied) geeft het oppervlak weer indien lineair – elastisch gerekend zou worden, dus met een ongescheurde doorsnede. Zie ook figuur 2.18. De stippellijn geeft het oppervlak weer indien de EI constant zou zijn met (EI)u = Mu / κu. Vergelijk met de lijn uit de oorsprong tot punt Mu - κu in een M - κ - diagram. Het oppervlak binnen deze stippellijnen is gelijk aan: ½ · Mu / (EI)u· L Met Mu = ¼ · F · L geeft: ½ · (¼ · F · L) / (EI)u · L = ⅛ F L² / (EI)u (totale hoekverdraaiing van de ligger) ϕlinks = ϕrechts = ½ · ⅛ F L² / (EI)u = F L² / 16 (EI)u [rad.] (vergelijk met "vergeet-me-nietje") De werkelijke hoekverdraaiing is dus een stuk kleiner, namelijk het gearceerde oppervlak. Logisch, want nu wordt verondersteld dat de stijfheid van de gehele ligger gelijk is aan (EI)u. Indien lineair – elastisch wordt gerekend, geldt het oppervlak wat binnen het gearceerde gebied is getekend. Er zou dan gerekend worden met een volledig ongescheurde (stijve) doorsnede. De oplegreactie (hoekverdraaiing) is dan minimaal. Omdat bij verschillende belastinggevallen (lees; momenten) verschillende stijfheden behoren, geldt het superpositiebeginsel niet. Dus het wordt erg moeilijk om op een relatief eenvoudige wijze een constructie uit te rekenen. Een oplossing hiervoor is gevonden in het toepassen van een "gemiddelde EI" voor de gehele ligger (constructie). Op arbitraire manier is bepaald dat de r.c. van de lijn uit de oorsprong naar 0,8 Md gezien mag worden als de rekenwaarde van de buigstijheid (EI)d voor de gehele ligger. Dit wordt de quasi – lineaire elasticiteitstheorie genoemd (QLE).

L

ϕ ϕ

Mu = ¼ · F · L

Page 40: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 40 -

Nu kunnen weer gewoon berekeningen worden gemaakt als ware het een lineaire – elastische constructie en het superpositiebeginsel kan weer toegepast worden. Het enige nadeel nog aan voorgaande methode is, dat er nog steeds M - κ - diagrammen gemaakt moeten worden. Om dit te ondervangen zijn er zeer veel M - κ - diagrammen berekend met als variabelen de betonsterkteklasse f 'ck en het wapeningspercentage ω0. De buigstijfheden (EI)d zijn berekend op bovenstaande wijze, dus bij 0,8 Md. Vervolgens is voor de I (A.K.O.M. Axiaal Kwadratisch Oppervlakte Moment ofwel traagheidsmoment) de ongescheurde en ongewapend gedachte doorsnede genomen. Dus voor rechthoekige doorsneden: 1/12 b h3 [mm4]. Delen van de (EI)d door I resulteert in een E. Omdat natuurlijk in werkelijkheid de doorsnede gescheurd is, is deze E een 'rekenhulp', een ficiteve getal. De op deze manier bepaalde elasticiteitsmodulus voor beton heet dan ook de fictieve E-modulus, ofwel Ef. In de VBC staat deze in tabel 15. In deze tabel staan ook fictieve waarden voor de E-modulus van constructies die belast worden op zowel buiging als normaalkracht, denk bijv. aan excentrisch belaste kolommen (moment + normaalkracht). Voor constructies die niet alleen op buiging worden belast, maar tevens ook op een normaalkracht, kunnen zgn. M – N - κ - diagrammen gemaakt worden. Hierin wordt dus de relatie buiging + normaalkracht weergegeven versus de kromming. Deze worden verder hier niet behandeld. Tabel 3.2: Fictieve E-modulus Ef voor buiging zonder normaalkracht.

Beton - sterkteklassen

f 'ck (N/mm²)

Ef voor buiging zonder normaalkracht (N/mm²)

C 12 / 15 (B15) C 20 / 25 (B25) C 28 / 35 (B35) C 35 / 45 (B45) C 45 / 55 (B55) C 53 / 65 (B65)

15

25

35

45

55

65

2200 + 4900 ϖ0 e 2900

2500 + 5500 ϖ0 e 3600

2800 + 6100 ϖ0 e 4300

3100 + 6700 ϖ0 e 5000

3400 + 7300 ϖ0 e 5700

3700 + 7900 ϖ0 e 6400

Voor de complete tabel inclusief "buiging en normaalkracht symmetrisch gewapende rechthoekige doorsnede" wordt verwezen naar de VBC. Merk op dat het wapeningspercentage (ϖ0) hier betrokken is over de gehele bruto betondoorsnede.

Page 41: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 41 -

In het vorige rekenvoorbeeld is de EI uitgerekend met m.b.v. een M - κ - diagram. Als vergelijk wordt hier de EI berekend m.b.v. de fictieve E-modulus Ef volgens VBC tabel 15: Voor B25 (f 'ck = 25 N/mm²) Ef = 2500 + 5500 ϖ0 e 3600 ϖ0 = 603 / (400 * 600) * 100% = 0,25 Ef = 2500 + 5500 * 0,25 = 3875 N/mm² (EI)d = 3875 * 1/12 * 400 * 6003 = 27.900 * 109 Nmm² 2.7 De buigstijfheid in de bruikbaarheidsgrenstoestand B.G.T. 2.7.1 Uitgangspunten Voor 1e – orde berekeningen in de U.G.T. is het vaak niet belangrijk wat de absolute waarde van de buigstijfheid EI is. De verhouding van de buigstijfheden van de aansluitende delen is meestal belangrijker. Vergelijk dit met een portaalconstructie de verhouding tussen (EI)kolom en (EI)liger is juist belangrijk (methode Cross). Daarom mag voor het berekenen van de krachtsverdeling van de 1e – orde gerekend worden met de EI van de ongescheurde doorsnede. Voor een rechthoekige doorsnede geldt dus: (EI)d = E'b * 1/12 · b · h3 Let wel, het wapeningsverschil mag niet al te groot zijn tussen de aansluitende delen. Als echter de absolute waarde van de EI een rol speelt, zoals bij vervormingen en 2e – orde effecten, dan moet gerekend worden met de "werkelijke" EI uit het M - κ - diagram verkregen. Het 2e – orde effect, ook wel "geometrisch niet – lineair” genoemd, treedt op wanneer er sprake is van beïnvloeding van de krachtswerking door de vervorming. Als de vervormingen t.g.v. de 1e – orde krachtsverdeling toenemen vanwege de aanwezige belastingen, is er sprake van 2e – orde. Tot dusverre is er alleen nog gekeken naar de situatie in de uiterste grenstoestand (U.G.T.), dus voor berekeningen op sterkte en de hierbij behorende buigstijfheid EI. Als de buigstijfheid EI nodig is voor het bepalen van verplaatsingen en vervormingen, kunnen er M - κ - diagrammen gemaakt worden voor de situatie bruikbaarheidsgrenstoestand (B.G.T.). De absolute waarde van de EI zal dan belangrijker zijn als de verhouding van de buigstijfheden onderling. Het maken van een M - κ - diagram in de B.G.T. gaat op een gelijke manier als voor de U.G.T.

Page 42: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 42 -

ϕ+=∞

43b

;b 1'E'E

²mm/N77026,3·1

500.28'E4

3;b =+

=∞

Zoals bekend wordt verondersteld, wordt in deze situatie gerekend met representatieve waarden van zowel de materialen als voor de belastingen, m.a.w. de materiaal- en belastingfactoren zijn gelijk aan 1,0. In de U.G.T. zijn deze steeds > 1,0. Bijvoorbeeld, i.p.v. f ’b wordt gerekend met f ’b;rep en i.p.v. fs wordt gerekend met fs;rep. Voor beton wordt daarom gerekend met onderstaande σ - ε - diagrammen.

Figuur 2.35: σ - ε - diagrammen voor beton in de B.G.T. voor korte – en lange – duur. De ε’b;pl is voor de sterkteberekening een vast gegeven, namelijk 1,75 ‰. Hier is deze afhankelijk van de E-modulus, dus in feite juist andersom. Omdat de betonspanning f ’b;rep bekend is en de elasticiteitsmodulus E’b uit de tabel kan worden afgelezen, kan eenvoudig met de wet van Hooke de bijbehorende relatieve vervorming ε’b;pl berekend worden. Deze is dan voor de korte – duur. Voor de lange – duur moet de invloed van de kruip worden meegenomen en dat gebeurd middels de kruipfactor ϕ. De E-modulus lange – duur wordt daarmee: Ook hier is dan op eenvoudige wijze de bijbehorende relatieve vervorming ε’b;pl te bepalen. Stel: ϕ = 3,6 (maximale waarde voor C 20/25 (B25), toegepast in een droog milieu, waarin R.V. < 60%) De E – modulus lange – duur voor C 20/25 wordt hiermee:

Page 43: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 43 -

‰)50,2(00250,010·0,2

5005pl;s ==ε

Voor staal wordt gerekend met onderstaande σ - ε - diagram.

Figuur 2.36: σ - ε - diagrammen voor betonstaal in de B.G.T. De rek bij vloeien wordt hiermee voor FeB500: Voorts werd er in de U.G.T. één M - κ - diagram getekend, bestaande uit vier punten. Voor de B.G.T. is dit niet voldoende, omdat door invloed van de kruip de vervorming (verplaatsing) op de lange duur zal toenemen. Daarom wordt een M - κ - diagram voor zowel de korte – als de lange – duur gemaakt. Deze worden in hetzelfde diagram getekend. Zie figuur 2.37. Het is wel voldoende om voor elk van deze diagrammen maar twee punten te stileren, namelijk het scheurmoment Mr en het vloeimoment Me (of, zoals reeds eerder gezien, bij veel wapening kan het stuikmoment Mpl eerder optreden dan het vloeimoment). In de ‘normale’ gebruiksfase zullen deze twee punten voldoende zijn. Mocht het ooit voorkomen dat dit onvoldoende blijkt, zal het M - κ - diagram natuurlijk moeten worden uitgebreid. Het bezwijkmoment Mu in de U.G.T. is echter meestal kleiner dan het vloeimoment Me of Met in de B.G.T. Het verschil tussen beide grafieken is t.g.v. het kruipeffect. Dit wordt niet op een willekeurige plaats bepaald in de grafiek, maar bij het moment t.g.v. de permanente belasting. Hierin zit ook een gedeelte veranderlijke belasting verwerkt! Hier wordt later verder op ingegaan.

Page 44: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 44 -

Figuur 2.37: M - κ - diagram voor beton voor korte- en lange-duur. Door het M - κ - diagram voor de korte – duur kunnen krommingen worden afgeleid voor belastingen die van korte duur zijn (bijv. een windvlaag), dus ook een buigstijfheid EI voor de korte – duur. Dit wordt aangegeven met de index "0" (EI)0 Voor lange - duur belastingen (permanent, maar ook een deel van de veranderlijke belasting) kan dan het M - κ - diagram lange – duur gebruikt worden. De buigstijfheid EI voor de lange – duur wordt aangegeven met de index "∞" (EI)∞ Het scheur- en vloeimoment korte – duur is resp. Mr en Me en voor de lange – duur is dat Mrt en Met, dus met een index “t” er aan toegevoegd. Voor de scheurmomenten geldt: Korte – duur Mr = 1,4 · W · fbr · kW;0

Lange – duur Mr = 1,2 · W · fbr · kW;∞

κr

Mr

Me

M

κ

M - κ - diagram

korte-duur

lange-duur

Mrt

Met

κrt κe κet

kruip

Page 45: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 45 -

x

y212

1y a

Ih·b·W ==

W is het weerstandsmoment van de ongewapende, ongescheurde betondoorsnede, dus voor rechthoekige doorsneden geldt: ax is de afstand van het zwaartepunt tot de uiterste vezel, onder (o) of boven (b). kW is een factor die er voor zorgt dat de invloed van de wapening van een “n – zware" doorsnede wordt meegenomen in de berekening. Omdat de invloed van de wapening afhankelijk is van de verhouding van E –moduli van de verschillende materialen (beton en staal), dus van “n”, is deze factor voor de korte – duur anders dan voor de lang – duur, simpelweg omdat de E – modulus van beton verschillende waarden heeft. Zie r.c. in de σ - ε - diagrammen van figuur 2.35. Ook voor de bepaling van de invloed van de wapening op het traagheidsmoment bestaat zo’n factor, kI. Deze factoren kunnen worden afgelezen uit grafieken die zijn terug te vinden in CUR – rapport nr. 115 "Doorbuiging van betonconstructies". Omdat de berekening van een “n – zware" doorsnede relatief eenvoudig is, wordt hier niet gerekend met deze factoren, maar wordt gewoon de invloed van de wapening in de doorsnede uitgerekend. De ‘eigen traagheid’ van het betonstaal is zeer gering, daarom wordt alleen de verplaatsing meegenomen (regel van Steiner). Dus voor een rechthoekige betondoorsnede b * h [mm²] met wapening As [mm²] wordt dat:

I ”n” – zware doorsnede = 1/12 · b · h³ + b * h · (½ h – x)² + n · As · (d – x)² [mm4] x is het zwaartepunt van de samengestelde doorsnede. Houd er rekening mee of x is gekozen t.o.v. de boven- of onderzijde van de doorsnede! In dit voorbeeld is x vanaf de bovenzijde en zit de wapening onderin. Delen door ax (zie hierboven) geeft meteen het weerstandsmoment van de gewapende doorsnede. De verhouding (I ”n – zware" doorsnede) / (I ongescheurd, ongewapend) geeft de factor kI. In onderstaand voorbeeld zullen deze factoren bepaald worden om een idee te geven van de invloed van de wapening op de doorsnede.

Page 46: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 46 -

2.7.2 Rekenvoorbeeld #2 (constructie in de B.G.T.) Als voorbeeld wordt dezelfde uitgangspunten (doorsnede, materialen etc.) genomen als in het rekenvoorbeeld U.G.T.

b * h = 400 * 600 mm2 As = 3 ∅16 = 603 mm2 Betonkwaliteit: C20/25 (B25) Staalkwaliteit: FeB500 d = 0,9h ϕ = 3,6 (kruipfactor) (beugel en flankstaven zijn niet getekend.) Opgave: Bepaal voor bovenstaande balkdoorsnede het verband tussen moment en kromming en de waarde van EI in geval van een doorbuigingsberekening, dus in de B.G.T., voor zowel de korte - als de lange - duur. Teken telkens voor ieder punt het bijbehorende vervormings- (ε) en spanningsdiagram (σ) met daarin in aangeven de (on-)bekenden. Controleer steeds je uitgangspunten (aannames). Zet de resultaten in een tabel (M, κ en EI) en teken het bijbehorende M-κ-diagram. Uitwerking: 1) Scheurmomenten a) Korte – duur Figuur 2.38: Rek- en spanningsdiagram voor de nog juist ongescheurde doorsnede (Mr). fbr: kh = 1,6 – h = 1,6 – 0,600 = 1,0 fbr = 1,0 * fbm = 1,0 * 2,3 = 2,3 N/mm²

b

h

d h

xuxu

h - xu

ε'b σ 'b << f 'b;rep

σs << fs;rep εs << 2,50‰

rekdiagram spanningsdiagram

b fbr εb

Page 47: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 47 -

033,110·720010·7439k 6

6

0;I ==

366

x

y0;y mm10·13,25

)304600(10·7439

aI

W =−

==

047,110·24

10·13,25k 6

6

0;W ==

)m000381,0(mm10·381,010·000.212

10·92,80 1169

6

r−−−==κ

7500.2810·0,2

'EEn

5

b

s ≈⇒=

mm304mm2,304221.244

10·280.74x3

≈==

Bepaling van het zwaartepunt: A beton: 400 * 600 = 240.000 mm2 xb = 300mm → Ab ⋅ xb = 72.000 · 103 mm3

A staal: 7 * 603 = 4.221 mm2 xst = 540mm → A5t ⋅ xst = 2.280 ⋅ 103 mm3 244.221 mm2 74.280 ⋅ 103 mm3

(d – x → 540 - 304 = 236 mm.) I0 = 1/12 ⋅ 400 · 6003 + (400· 600) ⋅ (304 - 300)2 + 7 · 603 (540 - 304)2 = 7200 ⋅ 106 + 3,84 · 106 + 235,1 · 106 = 7439 · 106 mm4 De invloed van de wapening is dus: Wy;ongescheurd, ongewapend = 1/6 · 400 · 600² = 24 · 106 mm³ Mr = 1,4 · fbr · W = 1,4 · 2,3 · 25,13 · 106 = 80,92 · 106 Nmm (80,92 kNm) (EI)r = 28.500 * 7439 · 106 = 212.000 · 109 Nmm2 (212.000 kNm² )

Page 48: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 48 -

118,110·720010·7,8047k 6

6

;I ==∞

366

x

y;y mm10·237,28

)315600(10·7,8047

aI

W =−

==∞

176,110·24

10·237,28k 6

6

;W ==∞

2

43

43b

;b Nmm77036,3·1

500.281

'E'E =+

=ϕ+

=∞

267703

10·0,2'E

En5

b

s ≈⇒=

mm315mm7,314678.255

10·470.80x3

≈==

b) Lange - duur Bepaling van het zwaartepunt: A beton: 400 * 600 = 240.000 mm2 xb = 300mm → Ab ⋅ xb = 72.000 · 103 mm3

A staal: 26 * 603 = 15.678 mm2 xst = 540mm → A5t ⋅ xst = 8.466 ⋅ 103 mm3 255.678 mm2 80.470 ⋅ 103 mm3

(d – x → 540 - 315 = 225 mm.) I0 = 1/12 ⋅ 400 · 6003 + (400· 600) ⋅ (315 - 300)2 + 7 · 603 (540 - 313)2 = 7200 ⋅ 106 + 54 · 106 + 793,7 · 106 = 8047,7 · 106 mm4 De invloed van de wapening is dus: Wy;ongescheurd, ongewapend = 1/6 · 400 · 600² = 24 · 106 mm³

Page 49: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 49 -

)m001257,0(mm10·257,110·000.62

10·93,77 1169

6

rt−−−==κ

‰50,210·50,210·0,2

500Ef 3

5s

rep;ss ====ε −

Mrt = 1,2 · fbr · W = 1,2 · 2,3 · 28,237 · 106 = 77,93 · 106 Nmm (77,93 kNm) (EI)rt = 7703 * 8047,7 · 106 = 62.000 · 109 Nmm2 (= 62.000 kNm² ) 2) Vloeimomenten a) Korte – duur Figuur 2.39: Rek- en spanningsdiagram op het moment dat staal vloeit (Me). fs;rep = 500 N/mm² (staal vloeit) ΣH = 0 (voor de afleiding van de volgende formules zie rekenvoorbeeld U.G.T. bij “Vloeimoment”)

½ · b · x² = n(d – x) · As

½ · 400 · x² = 7 · (540 – x) · 603

200 x² = 4221 · (540 – x)

200 x² = 2.279.340 – 4221 x

d h

xuxu

d - xu

ε'b σ 'b

fs = 500 N/mm² εs = 2,50 ‰ rekdiagram spanningsdiagram

N'b

Ns b

z

Page 50: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 50 -

accoord‰63,0‰55,010·55,010·50,2·97)-540(

97' x)-d(

x' 3-3-b

s

b ⇒<===ε⇒=εε

)m005643,0(mm10·643,597540

10·50,2xd

1-16--3

se

−=−

=−ε

²)kNm129.27(Nmm10·129.2710·643,510·1,153M)EΙ( 29

6

6

e

ee ==

κ= −

‰63,010·63,0500.28

18'E

'f 3-

b

rep;bpl;b ====ε

x² = 11.396,7 – 21,105 x

x² + 21,105 x – 11.396,7 = 0

x1 = 96,8 mm. ≈ 97 mm. ( x2 = - 233 mm. n.v.t. ) Hieruit blijkt dat de volgorde vloeimoment – stuikmoment juist is gekozen. σ'b = 0,55 · 10-3 * 28.500 = 15,7 N/mm² M = As · fs · z

Me = 603 · 500 · (540 - ⅓ · 97) = 153,1 · 106 Nmm (153,1 kNm) z = (d - ⅓ x)

Page 51: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 51 -

accoord‰34,2‰15,110·15,110·50,2·170)-540(

170' x)-d(

x' 3-3-b

s

b ⇒<===ε⇒=εε

)m00676,0(mm10·76,617054010·50,2

xd1-16-

-3s

et−=

−=

−ε

²)kNm564.21(Nmm10·564.2110·76,610·7,145M)EΙ( 29

6

6

et

etet ==

κ= −

‰34,210·34,2770318

'E'f 3-

b

rep;bpl;b ====ε

b) Lange - duur ΣH = 0 (zie korte - duur)

½ · b · x² = n(d – x) · As

½ · 400 · x² = 26 · (540 – x) · 603

200 x² = 15.678 · (540 – x)

200 x² = 8.466.120 – 15.678 x

x² = 42.330,6 – 78,39 x

x² + 78,39 x – 42.330,6 = 0

x1 = 170,2 mm. ≈ 170 mm. ( x2 = - 248,5 mm. n.v.t. ) σ'b = 1,15 · 10-3 * 7703 = 8,9 N/mm² M = As · fs · z

Met = 603 · 500 · (540 - ⅓ · 170) = 145,7 · 106 Nmm (145,7 kNm) z = (d - ⅓ x)

Page 52: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 52 -

Tabel 2.2: M - κ - tabel van rekenvoorbeeld #2

M – κ - tabel

Moment M

* 106 (Nmm)

Kromming κ * 10-6 ( mm-1)

Stijfheid (EI) * 109 (Nmm2)

1) Scheurmomenten: a) korte – duur b) lange – duur 2) Vloeimomenten: a) korte – duur b) lange – duur

81,0 77,9

153,1 145,7

0,38 1,26

5,64 6,76

212.028 61.982

27.143 21.561

1 Nmm = 10-6 kNm 1 mm-1 = 103 m-1 1 Nmm² = 10-6 kNm Figuur 2.40: M - κ - diagram van rekenvoorbeeld #2 Het bezwijkmoment in de U.G.T. was 134,7 kNm. Het heeft dus weinig zin om meerdere punten aan dit diagram toe te voegen.

0,38 6,76

81,0

145,7 153,1

M [Nmm] * 106

κ [mm-1] * 10-6

M - κ - diagram

77,9

5,64 1,26

korte-duur

lange-duur

Page 53: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 53 -

2.7.3 Het kruipgedrag Bij ieder willekeurig moment kan nu de bijbehorende kromming worden afgelezen, voor zowel korte-duur als lange-duur en dus ook de bijbehorende buigstijfheid EI worden berekend. Het verschil tussen korte-duur en lange-duur kromming wordt veroorzaakt door het kruipeffect. De horizontale afstand tussen beide grafieken bij een zelfde moment geeft immers steeds verschillende waarden, maar de grafieken lopen niet parallel. De 'tussenafstand' is niet overal het hetzelfde. Op welk punt in deze grafiek kan dan de kruip worden gedestilleerd? De invloed van de kruip is afhankelijk van langdurende belastingen. De permanente belasting (eigen gewicht, afwerking, scheidingswanden, plafond, installaties e.d.) is zonder meer een belasting die gedurende de gehele referentieperiode aanwezig is, maar ook een gedeelte van de veranderlijke belasting van personen en/of goederen. De inrichting van de veranderlijke belasting is (meestal) ook permanent aanwezig. Daarom wordt voor kruipberekeningen 60% van de momentane veranderlijke belasting geacht permanent aanwezig te zijn:

0,60 * Pver;momentaan 0,60 * ψ · Pver;extreem ψ = momentaanfactor De kruipbelasting bestaat dus uit de permanente belasting en een gedeelte van de veranderlijke belasting: Pkruip = Pperm. + 0,60· Pver;mom Het buigend moment wat uit deze belasting Pkruip voortkomt, wordt het 'momentaanmoment' Mmom genoemd. Dus deze term van 'momentaan' niet verwarren met de term momentaan als zijnde een gedeelte van de extreme veranderlijke belasting: Mmom = ⅛ · (qperm. + 0,60· qver;mom) · l² (q is de belasting in kN/m1) Mmom ≠ ⅛ · qver;mom · l² (dit is Mq;mom) De totale extreme veranderlijke belasting Pver;extreem bestaat dus uit 2 delen:

1. een 'langdurend' deel 60% * Pver;momentaan (= 0,60 * ψ · Pver;extreem)

2. een 'kortdurend' deel Pver;extreem - 60% * Pver;momentaan Het langdurend gedeelte wat aanwezig is gedurende het (korte) optreden van de extreme veranderlijke belasting is: 0,60 * Pver;momentaan (t = 0) Het langdurend gedeelte wat aanwezig is gedurende de gehele referentieperiode is: 0,60 * Pver;momentaan (t = ∞) Deze laatste is dus aanwezig vanaf het tijdstip t = 0 tot aan t = ∞, m.a.w. 0,60 * Pver;momentaan (t = 0) is een deel van 0,60 * Pver;momentaan (t = ∞). Zie ook figuur 2.43.

Page 54: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 54 -

Figuur 2.41: M - κ - diagram t.b.v. de doorbuiging. In de grafiek is duidelijk het aandeel van de kruip te zien: bij Mmom hoort een kromming κmom;kort en een kromming κmom;lang waaruit volgt: κkruip = κmom;lang - κmom;kort Om de overige indices duidelijk te maken die in deze grafiek gebruikt worden, eerst een overzicht: utot de totale doorbuiging utot = uel + ukr uel de onmiddellijke, dus tijdsonafhankelijk optredend doorbuiging (kortdurend). ukr de tijdsafhankelijke doorbuig t.g.v. kruip. ubij de bijkomende doorbuiging ubij = utot – uon uon de onmiddellijk, dus tijdsonafhankelijk optredende doorbuiging t.g.v. de permanente belasting. ueind de doorbuiging in de eindtoestand ueind = utot – uze uze zeeg (bewust gemaakte opwaartse ronding in de constructie t.b.v. compensatie van de

doorbuiging).

κ κr

Mr

Me

M

M - κ - diagram

korte-duur

lange-duur

Mrt

Met

κrt κe κet

κkr

Mg κon

κmomMmom

Mrep κel κkr

κtotaal

60%·Pver;momentaan

Pver;extreem

Ppermanent

κmom;kort κmom;lang

Page 55: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 55 -

Figuur 2.42: Verband tussen belasting en doorbuiging (formule). uel is dus de vervorming die direct optreed t.g.v. de permanente belasting (uon) en de extreme veranderlijke belasting voor t = 0, dus zonder bijdrage van de kruip:

uel = uon + uver;extr; t = 0 t = 0 geeft dus aan dat de vervorming beschouwd moet worden direct na het aanbrengen van de belasting, zonder enige invloed van het kruipeffect. Het is dus de korte-duur vervorming van de representatieve waarde van de volledige belasting Prep. Van deze belasting is een deel verantwoordelijk voor de kruip, namelijk de permanente belasting en een deel van de veranderlijke belasting, namelijk 60% van de momentane veranderlijke belasting. Wat overblijft van de veranderlijke belasting staat incidenteel (kortstondig) op de constructie. Figuur 2.43: Verband tussen belasting en doorbuiging (grafisch).

uel ukr

utotaal

uon ubij utotaal

totale doorbuiging:

1,0qver;extr – 0,60qver;mom + 1,0qperm + 0,60qver;mom t = 0 t = ∞

bijkomende doorbuiging:

1,0qver;extr – 0,60qver;mom + 1,0qperm + 0,60qver;mom - 1,0qperm t = 0 t = ∞ t = 0

utot = uel + ukr

ubij = utot – uon

vera

nder

lijk

perm

anen

t

uon ubij utot

0,60qver;mom langdurend

u

q

qver;extr - 0,60qver;mom

umom;t = 0 umom;t = ∞

ukr u0,60qver;mom

uver;extr; t = 0

t = 0

uel ukr utot

Page 56: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 56 -

2.7.4 Rekenvoorbeeld #3 (doorbuiging) Opgave: - bereken voor onderstaande vloer de wapening - bereken en controleer de doorbuiging in de eindtoestand en de bijkomende doorbuiging - vergelijk de doorbuiging met de “α - methode” (zie VBC art. 8.6.3). Vloer in een woongebouw (veiligheidsklasse 3), tweezijdig opgelegd overspanning L = 6,0 m¹ Betonsterkteklasse C 28/35 (B35) (maximale kruipcoefficient ϕ = 3,2) Staalsterkteklasse FeB500 dekking c = 20 mm

extreme veranderlijke belasting = 1,75 kN/m², ψ = 0,4 afwerklaag: 50 mm. (ρ = 20,0 kN/m³) lichte scheidingswanden: 0,50 kN/m² Uitwerking: Schatten van de vloerdikte: Vloer is 2-zijdig vrij opgelegd volgens de slankheidsregels is l/d ≈ 25

d ≈ 6000 / 25 = 240 mm. Omdat de slankheidregels erg conservatief zijn en de doorbuiging nu niet globaal wordt uitgerekend, maar 'exact' met M - κ - diagrammen, zal hier gerekend worden met h = 200 mm. Wat de consequenties zijn met deze geringere dikte voor een minder exacte doorbuigingsberekening (zoals de α - methode) wordt aan het einde bepaald. Belastingen: Permanent: e.g. 0,200 * 24,0 = 4,80 kN/m² afwerklaag 0,050 * 20,0 = 1,00 kN/m² lichte scheidingswandjes = 0,50 kN/m² totaal = 6,30 kN/m² Veranderlijk: (personen en goederen) extreem = 1,75 kN/m² momentaan 1,75 * 0,4 = 0,70 kN/m² Pd = 1,2 * 6,30 + 1,5 * 1,75 = 10,19 kN/m² Pd = 1,35 * 6,30 = 8,51 kN/m² (niet maatgevend) Md = ⅛ * 10,19 * 6,000² = 45,8 kNm

Page 57: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 57 -

491,7·k0,72174,0·1·218,45

02 =ω⇒=

Schat de kenmiddellijn ∅12 mm. d = 200 - 20 - ½ · 12 = 174 mm. G.T.B. 11.2.a ω0 = 0,362 B35 k = 20,71 FeB500 As;berekend = 0,362 · 10-2 * 1000 * 174 = 630 mm²

toepassen ∅12 – 150 As;toegepast = 754 mm² (6,67 staven / m¹) (neem de marge tussen de "berekende" en de "toegepaste" hoeveelheid wapening ruim genoeg i.v.m. de controle op de scheurwijdte het is dan van belang de optredende staalspanning relatief laag te houden). ω0 = 754 / (1000 * 174) * 100% = 0,43 (ωmin = 0,18 < ω0 < ωmax = 1,94 voldoet) Maak een M - κ - diagram voor de korte-duur en voor de lange-duur. B35 f ’b;rep = 25,2 N/mm² fbm = 2,8 N/mm² fbr = 2,8 * 1,4 = 3,92 N/mm²

kh = 1,6 – 0,200 = 1,4 FeB500 fy;rep = 500 N/mm² 1) Scheurmoment a) Korte – duur Figuur 2.44: Rek- en spanningsdiagram voor de nog juist ongescheurde doorsnede (Mr).

dh xuxu

h - xu

ε'b σ 'b << f 'b;rep

σs << fs;rep εs

rekdiagram spanningsdiagram b fbm εb

Page 58: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 58 -

039,110·66710·693k 6

6

0;I ==

366

x

y0;y mm10·05,7

)102200(10·693

aI

W =−

==

058,110·67,610·05,7k 6

6

0;W ==

)m00180,0(mm10·802,110·473.21

10·69,38 1169

6

r−−−==κ

45,6000.3110·0,2

'EEn

5

b

s ≈⇒=

mm102mm5,101863.244

10·846.24x3

≈==

Bepaling van het zwaartepunt: A beton: 1000 * 200 = 240.000 mm2 xb = 100mm → Ab ⋅ xb = 24.000 · 103 mm3

A staal: 6,45 * 754 = 4.863 mm2 xst = 174mm → A5t ⋅ xst = 846 ⋅ 103 mm3 244.863 mm2 24.846 ⋅ 103 mm3

(d – x → 174 - 102 = 72 mm.) I0 = 1/12 ⋅ 1000 · 2003 + (1000· 200) ⋅ (102 - 100)2 + 6,45 · 754 (174 - 102)2 = 667 ⋅ 106 + 0,8 · 106 + 25,2 · 106 = 693 · 106 mm4 De invloed van de wapening is dus: Wy;ongescheurd, ongewapend = 1/6 · 1000 · 200² = 6,67 · 106 mm³ Mr = 1,4 · fbr · W = 1,4 · 3,92 · 7,05 · 106 = 38,69 · 106 Nmm (38,7 kNm) (EI)r = 31.000 * 693 · 106 = 21.473 · 109 Nmm2 (21.473 kNm² )

Page 59: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 59 -

126,110·66710·751k 6

6

;I ==∞

366

x

y;y mm10·953,7

)106200(10·751

aI

W =−

==∞

193,110·67,610·953,7k 6

6

;W ==∞

)m00547,0(mm10·468,510·841.610·4,37 116

9

6

rt−−−==κ

2

43

43b

;b Nmm91182,3·1

000.311

'E'E =+

=ϕ+

=∞

229118

10·0,2'E

En5

b

s ≈⇒=

mm106mm7,105588.256

10·886.26x3

≈==

b) Lange - duur Bepaling van het zwaartepunt: A beton: 1000 * 200 = 240.000 mm2 xb = 100mm → Ab ⋅ xb = 24.000 · 103 mm3

A staal: 22 * 754 = 16.588 mm2 xst = 174mm → A5t ⋅ xst = 2.886 ⋅ 103 mm3 256.588 mm2 26.886 ⋅ 103 mm3

(d – x → 174 - 106 = 68 mm.) I0 = 1/12 ⋅ 1000 · 2003 + (1000· 200) ⋅ (106 - 100)2 + 22 · 754 (174 - 106)2 = 667 ⋅ 106 + 7,2 · 106 + 76,7 · 106 = 751 · 106 mm4 De invloed van de wapening is dus: Wy;ongescheurd, ongewapend = 1/6 · 1000 · 200² = 6,67 · 106 mm³ Mrt = 1,2 · fbr · W = 1,2 · 3,92 · 7,953 · 106 = 37,41 · 106 Nmm (37,4 kNm) (EI)rt = 9118 * 751 · 106 = 6.841 · 109 Nmm2 (6.841 kNm² )

Page 60: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 60 -

‰50,210·50,210·0,2

500Ef 3

5s

rep;ss ====ε −

accoord‰81,0‰67,010·67,010·50,2·37)-174(

37' x)-d(

x' 3-3-b

s

b ⇒<===ε⇒=εε

‰81,010·81,0000.312,25

'E'f 3-

b

rep;bpl;b ====ε

2) Vloeimomenten a) Korte – duur Figuur 2.45: Rek- en spanningsdiagram bij het vloeimoment (Me). fs;rep = 500 N/mm² (staal vloeit) ΣH = 0 (voor de afleiding van de hier toegepaste formules zie rekenvoorbeeld #1 “Vloeimoment”)

½ · b · x² = n(d – x) · As

½ · 1000 · x² = 6,45 · (174 – x) · 754

500 x² = 4863,3 · (174 – x)

500 x² = 846.214,2 – 4863,3 x

x² = 1692,4 – 9,7 x

x² + 9,7 x – 1692,4 = 0

x1 = 36,6 mm. ≈ 37 mm. ( x2 = - 46,3 mm. n.v.t. )

xu

ε'b σ 'b

fs;rep = 500 N/mm² εs = 2,50 ‰

rekdiagram spanningsdiagram

N'b

Ns z d h

xu

d - xu

b

Page 61: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 61 -

)m01819,0(mm10·19,1837174

10·50,2xd

1-16--3

se

−=−

=−ε

²)kNm355.3(Nmm10·355.310·19,1810·0,61M)EΙ( 29

6

6

e

ee ==

κ= −

‰77,210·77,29118

2,25'E

'f 3-

b

rep;bpl;b ====ε

Hieruit blijkt dat de volgorde vloeimoment – stuikmoment juist is gekozen. σ'b = 0,67 · 10-3 * 31.000 = 20,6 N/mm² M = As · fs · z

Me = 754 · 500 · (174 - ⅓ · 37) = 61,0 · 106 Nmm (61,0 kNm) z = (d - ⅓ x) b) Lange - duur ΣH = 0 (zie korte - duur)

½ · b · x² = n(d – x) · As

½ · 1000 · x² = 22 · (174 – x) · 754

500 x² = 16.588 · (174 – x)

500 x² = 2.886.631.2 – 16.588 x

x² = 5.772.6 – 33,2 x

x² + 33,2 x – 5.772.6 = 0

x1 = 61,2 mm. ≈ 61 mm. ( x2 = - 94,2 mm. n.v.t. )

Page 62: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 62 -

accoord‰77,2‰35,110·35,110·50,2·61)-174(

61' x)-d(

x' 3-3-b

s

b ⇒<===ε⇒=εε

)m02215,0(mm10·15,2261174

10·50,2xd

1-16--3

set

−=−

=−ε

²)kNm616.2(Nmm10·616.210·15,2210·94,57M)EΙ( 29

6

6

et

etet ==

κ= −

σ'b = 1,35 · 10-3 * 9118 = 12,3 N/mm² M = As · fs · z

Met = 754 · 500 · (174 - ⅓ · 61) = 57,94 · 106 Nmm (57,9 kNm) z = (d - ⅓ x)

Tabel 2.3: M - κ - tabel van rekenvoorbeeld #3

M – κ - tabel

Moment M

* 106 (Nmm)

Kromming κ * 10-6 ( mm-1)

Stijfheid (EI) * 109 (Nmm2)

1) Scheurmomenten: a) korte – duur b) lange – duur 2) Vloeimomenten: a) korte – duur b) lange – duur

38,7 37,4

61,0 57,9

1,80 5,47

18,19 22,15

21.473 6.841

3.355 2.616

1 Nmm = 10-6 kNm 1 mm-1 = 103 m-1 1 Nmm² = 10-6 kNm

Page 63: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 63 -

Figuur 2.46: M - κ - diagram voor korte- en lange-duur rekenvoorbeeld #3. Nu de M - κ - diagrammen voor de korte- en lange-duur bekend zijn, kunnen de momenten berekend worden die relevant zijn voor het bepalen van de vervormingen. Deze kunnen dan vervolgens worden ingetekend in het zojuiste gemaakte diagram om zo de bijbehorende krommingen te bepalen, waarmee vervolgens de EI berekend kan worden. Tot nu toe is alleen nog de rekenwaarde van de belasting in de U.G.T. bepaald; Pd = 10,19 kN/m² De volgende belastingen zijn nog nodig voor de B.G.T.; Pg = 6,30 kN/m² Prep = 6,30 + 1,75 = 8,05 kN/m² Pmom = 6,30 + 0,6 * 0,40 * 1,75 = 6,72 kN/m² De bijbehorende momenten: ⅛ · Px · L²: Mg = 28,4 kNm Mrep = 36,2 kNm Mmom = 30,2 kNm Deze momenten kunnen nu bij ingetekend worden in het M - κ - diagram.

1,80 22,15

38,7

57,9 61,0

M [Nmm] * 106

κ [mm-1] * 10-6

M - κ - diagram

37,4

18,19 5,47

korte-duur

lange-duur

Page 64: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 64 -

)kNm473.21(Nmm10·473.2110·32,110·4,28M

)EI( 2296

6

on

g0 ==

κ= −

)kNm709.7(Nmm10·709.710·70,410·2,36M

)EI( 2296

6

tot

rep ==κ

= −∞

Figuur 2.47: M - κ - diagram figuur 2.46 uitgebreid met gegevens t.b.v. doorbuigingsberekening Nu kunnen de bijbehorende krommingen worden bepaald (m.b.v. gelijkvormigheid van driehoeken): Mg = 28,4 kNm κon = 1,32 · 10-6 mm-1 Mrep = 36,2 kNm κrep = 1,69 · 10-6 mm-1 Mmom = 30,2 kNm κmom;0 = 1,41 · 10-6 mm-1 (kort)

κmom;∞ = 4,42 · 10-6 mm-1 (lang) κkruip = κmom;∞ - κmom;0 = (4,42 – 1,41) · 10-6 = 3,01 · 10-6 mm-1 (zie ook figuur 2.41) κtotaal = κrep + κkruip = (1,69 + 3,01) · 10-6 = 4,70 · 10-6 mm-1 Voor de buigstijfheden EI geldt:

1,80 22,15

Mr = 38,7

M [Nmm] * 106

κ [mm-1] * 10-6

M - κ - diagram

18,19 5,47

korte-duur

lange-duurMrt = 37,4

Mrep = 36,2

Mmom = 30,2 Mg = 28,4

Me = 61,0 Met = 57,9

κkruip

κtot κon

κel κkruip

Page 65: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 65 -

.)m018,0(.mm1810·709.7·486000·10·2,36·5

)EI(·48l·M·5

u 9

262rep

tot ===∞

.)m005,0(.mm510·473.21·486000·10·4,28·5

)EI(·48l·M·5

u 9

26

0

2g

on ===

De doorbuiging is: ubij = utot – uon ubij = 18 – 5 = 13 mm. Als nu de maximale doorbuiging in de eindtoestand gelijk is aan 0,004· L: ueind ≤ 0,004 · 6000 = 24 mm. en de bijkomende doorbuiging ≤ 0,003·L: ubij ≤ 0,003 · 6000 = 18 mm. Hieruit blijkt dat deze vloer aan de doorbuigingseisen voldoet. Benadering m.b.v. de "α-methode" volgens tabel 35 uit de VBC:

(EI)rep = α · E'b · I Mg ≤ Mr voor de onmiddellijk optredende doorbuiging: α = 1

(EI)0 = 1 · 31.000 · 1/12·1000·200³ = 20.667 · 109 Nmm² (20.667 kNm²) Mrep ≤ Mrt voor de totale doorbuiging: α = 1 / (1 + ¾ ϕ )

α = 1 / (1 + ¾ · 3,2 ) = 0,29

(EI)∞ = 0,29 · 31.000 · 1/12·1000·200³ = 5.993 · 109 Nmm² (5.993 kNm²)

Page 66: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 66 -

.)m0227,0(.mm7,2210·993.5·486000·10·2,36·5

)EI(·48l·M·5

u 9

262rep

tot ===∞

.)m0052,0(.mm2,510·667.20·486000·10·4,28·5

)EI(·48l·M·5

u 9

26

0

2g

on ===

ubij = utot – uon ubij = 22,7 – 5,2 = 17,5 mm. Ook in dit geval zal de constructie nog juist voldoen. Wel valt te constateren dat de vervormingen nu echt tegen de grens aan zitten. Logisch, want het is een conservatieve benadering. 2.8 Nadere beschouwing van moment en kromming 2.8.1 De invloed van de hoeveelheid wapening op de kromming Om e.e.a. te verduidelijken wordt terug gegaan naar de U.G.T., omdat er dan maar één grafiek is. Dat maakt de verklaring wat eenvoudiger. In een M - κ - diagram zijn er vier markante punten:

1. scheurmoment 2. vloeimoment 3. stuikmoment 4. bezwijkmoment

De volgorde van 2 en 3 kan omgewisseld zijn. De verklaring hiervoor wordt nu duidelijk. Een gewapend betonnen doorsnede heeft qua hoeveelheid wapening een onder- en een bovengrens, bekent als resp. ϖ0;minimaal en ω0;maximaal. De minimale benodigde hoeveelheid wapening zorgt ervoor dat het scheurmoment kan worden opgenomen. De maximale hoeveelheid wapening die mag worden toegepast zorgt ervoor dat de constructie zijn 'waarschuwende' taak kan blijven vervullen, door flink te vervormen (scheuren) alvorens te bezwijken. M.a.w. de constructie moet rotatiecapaciteit bezitten. Hieronder in figuur 2.48 is een M - κ - diagram getekend van een gewapend betonnen doorsnede met als enige variabele de hoeveelheid wapening ω0. De eerste tak, de ongescheurde doorsnede, loopt tot het (fictieve) scheurmoment Mr. Hier is gemakshalve steeds hetzelfde punt (moment) gebruikt als start voor de volgende fase.

Page 67: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 67 -

In werkelijkheid zitten er (geringe) verschillen in het scheurmoment, omdat gerekend wordt met een n-zware doorsnede waarin dus de invloed van de wapening is verwerkt. Meer wapening geeft een hoger traagheidsmoment. Maar t.o.v. de andere getalswaarden is dit minimaal. Wat direct opvalt, is dat naar mate men hoger in het diagram komt, dus waar meer wapening is toegepast, de horizontale tak steeds kleiner wordt. Deze (bijna) horizontale tak is de krommingsafstand tussen het vloeimoment en het bezwijkmoment of tussen het stuikmoment en het bezwijkmoment. De scheiding wordt midden in de grafiek weergegeven. Op deze lijn ligt het punt waarvoor geldt dat het vloeimoment en het stuikmoment aan elkaar gelijk zijn, dus Me = Mpl. Onder deze lijn zal het staal steeds vloeien aleer het beton stuikt, ofwel Me < Mpl, terwijl boven deze lijn juist het omgekeerde geldt, beton zal stuiken voor het staal vloeit, dus Mpl < Me. Figuur 2.48: M - κ - diagram in de U.G.T. met ω0 als variabele. Vaak wordt bij het maken van een M - κ - diagram gekozen voor de situatie dat staal het eerst zal vloeien, maar dit geldt alleen bij relatief lage wapeningspercentages. Dus altijd controleren of de gekozen volgorde juist is!

Moment

Kromming

M - κ - diagram met ω0 als variabele

Me = Mpl

Mr Me = Mr (met ϖ0;minimaal)

Me > Mpl

Me < Mpl

Mu bij ω0;maximaal Xu = 500 / (500+fs) * d (V.B.C.)

Xu = 700 / (700+fs) * d (werkelijk) Mu = Me

Mmax

lijn die Mu weergeeft voor alle wapeningspercentages

Page 68: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 68 -

)d62,0x²mm/N435fmet500FeBvoor(df500

500x uss

u ≤→=∗+

)d53,0x²mm/N435fmet500FeBvoor(df700

700x uss

u ≤→=∗+

Als de volgorde anders is, moet de berekening herzien worden met nieuwe uitgangspunten. Dat betekent dat als het staal vloeit, er geen zgn. markant punt is te constateren bij beton. Beton bevindt zich dan in het bi-lineaire diagram op de 2e tak, maar waar exact is niet bekend. Hierop wordt later teruggekomen. De ‘horizontale’ tak in het M - κ - diagram bepaalt eigenlijk de reserve die de constructie in zich heeft alvorens te bezwijken, de zgn. “rotatiecapaciteit”, het vermogen om te kunnen vervormen. Hoe langer deze tak, hoe meer een constructie kan vervormen. De horizontale tak is immers niets anders dan een toename in de kromming. De langste tak zit onderin de grafiek, daar waar het wapeningspercentage minimaal is (ϖ0;min). Juist genoeg om het scheurmoment op te kunnen nemen. Helemaal bovenin de grafiek is een punt zonder horizontale tak. Dit is het punt waar tegelijkertijd het staal vloeit en het bezwijkmoment wordt bereikt, dus Me = Mu. Dit is één van de uitgangspunten in de veiligheidsfilosofie bij betonconstructies. Het staal moet vloeien (vervormen) voordat de constructie bezwijkt op het verbrijzelen van de betondrukzone. Bij de afleiding van deze hoeveelheid maximaal toepasbare wapening (ω0;max) blijkt dat de betondrukzone is beperkt tot een hoogte van: Dit volgt uit verdere uitwerking van: xu : ε'bu = d : (ε'bu + εs) Inwendig horizontaal evenwicht (ΣH = 0) zorgt ervoor dat Ns = N’b. De betondrukresultante is gelijk aan de inhoud van de spanningsfiguur. Door opzettelijk de betondrukzone xu klein te houden, waardoor N’b wordt beperkt, wordt indirect het wapeningsstaal gelimiteerd. Omdat echter bij het bereiken van deze betondrukzonehoogte géén rotatiecapaciteit meer aanwezig is (geen horizontale tak), is om veiligheidsredenen de hoogte van de betondrukzone begrensd bij: Bij de afleiding van het maximale wapeningspercentage ω0;max volgens de V.B.C. is deze maximale hoogte voor de betondrukzone aangehouden om de constructie toch nog een waarschuwende functie mee te kunnen geven. Dit is dus tevens Mmax, het grootst opneembare moment wat geldt voor deze doorsnede. In deze grafiek is ook heel goed te zien, dat het effect van tension – stiffening steeds geringer wordt naarmate het wapeningspercentage toeneemt. Vergelijk dit met het gearceerde deel in figuur 2.30. Uiteindelijk liggen de punten oorsprong - - bij benadering op één lijn en is er geen gearceerd gebied meer.

Page 69: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 69 -

]Nmm[d'fb10·19,2M 8918,0u

1082,1ck

3u

−− κ∗∗∗∗≈

]Nmm[dAA

d'fb156Ad'fb156M s

1082,0

s

ck8918,0s

1082,11082,0ck

1082,0u ∗∗⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∗∗∗⇒∗∗∗∗≈

]Nmm['fdb56,2M1082,0

0

ck20u ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

∗∗∗ω∗≈

]mm[A

'f·b10·6224,3 1

s

ck6u

−− ∗=κ

2.8.2 Benaderingsformules voor Mu en κu. Hier volgen nog enkele benaderingsformules voor het (snel) bepalen van Mu en κu. Deze formules zijn afgeleid door vele M - κ - gegevens aan elkaar te relateren middels grafieken. Ze volgen niet uit zuivere wiskundige afleidingen, vandaar 'benaderingen'. Uitgangspunt is hier dat het beton bezwijkt en niet dat voortijdig het staal breekt. De kromme die de lijn voor alle Mu’s markeert (zie parabolische lijn in figuur 2.48), kan benaderd worden met de formule: Als functie van de kromming κu: Als functie van de hoeveelheid wapening: Als functie van het wapeningspercentage: Voor de kromming geldt:

Page 70: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 70 -

Beschouw onderstaande tabel en merk op wat de gevolgen zijn voor de kromming bij wijziging van:

− breedte b − netto hoogte d − de hoeveelheid wapening As − betonsterkteklasse

De betonstaalsterkteklasse is steeds FeB500.

Tabel 2.4: invloed van verschillende variabelen op de kromming.

Invloed van b, d, f ‘b en As op de kromming κu b [mm] d [mm] As [mm²] Mu [kNm] κu [m-1]

250 B25

250 250 500 750

100 1000 1000 1000

10,6 82,6

191,3 299,9

0,22640 0,02264 0,02264 0,02264

250 B65

→ 65 / 25 = 2,6

250 250 500 750

260 2600 2600 2600

27,6 214,8 497,4 779,7

0,22640 0,02264 0,02264 0,02264

500 B25

750 1000 1250 1250

2000 2000 2000 4000

599,9 817,3

1034,7 1964,8

0,02264 0,02264 0,02264 0,01132

750 B25

750 1000 1250 1250

3000 3000 3000 6000

899,8 1225,9 1552,0 2947,2

0,02264 0,02264 0,02264 0,01132

Page 71: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 71 -

2.9 Omgekeerde volgorde markante punten (eerst betonstuik, daarna vloeien). Bij de voorbeeldberekeningen van de M - κ - diagrammen was de volgorde altijd:

1. scheurmoment 2. vloeimoment 3. stuikmoment 4. bezwijkmoment

Bij de controle van deze aanname (controle van de rekken) is gebleken dat deze ook altijd juist was. Er wordt nu een rekenvoorbeeld gegeven waarin wordt uitgegaan van bovenstaande volgorde, maar waar uit blijkt dat deze fout is. Tevens wordt de juiste oplossing gegeven. Als uitgangspunt wordt het eerste rekenvoorbeeld in dit hoofdstuk genomen, "rekenvoorbeeld #1". Alle gegevens blijven ongewijzigd behalve de hoeveelheid wapening. De 3 staven ∅16 worden nu vervangen door 3 staven ∅32 (As = 3 * 804 = 2412 mm²). In dit rekenvoorbeeld is stap 1, het bepalen van het scheurmoment, niet relevant. Daarom wordt direct overgegaan naar stap 2, het vloeimoment. 2) Vloeimoment Figuur 2.49: Rek- en spanningsdiagram bij vloeien (Me). Voor de afleiding van de formules zie rekenvoorbeeld 1. In feite wordt nu alleen in de bestaande formules de hoeveelheid wapening aangepast en herberekend:

½ · b · x² = n(d – x) · As

½ · 400 · x² = 23,3 · (540 – x) · 2412 (dit was 603 mm²)

200 x² = 56.200 · (540 – x)

200 x² = 30.348 · 103 – 56.200 x

x² = 151.740 – 281 x

d h

xuxu

d - xu

ε'b σ 'b

fs = 435 εs = 2,175 ‰

rekdiagram spanningsdiagram

N'b

Ns

z

b

Page 72: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 72 -

‰175,210·175,210·0,2

435Ef 3-

5s

ss ====ε

!accoordniet‰75,1‰22,210·22,210·175,2·273)-540(

273' x)-d(

x' 3-3-b

s

b ⇒<===ε⇒=εε

x² + 281 x – 151.740 = 0

x1 = 273 mm. ( x2 = - 555 mm. n.v.t. ) σs = fs = 435 N/mm² (staal vloeit) Hieruit blijkt dat de volgorde vloeimoment – stuikmoment foutief is aangenomen. De rek in het beton is al voorbij het stuikmoment (> 1,75 ‰) en bevind zich al op de horizontale tak in het bi-lineaire diagram. De vraag is nu: hoever? Eerst moet opnieuw begonnen worden, maar nu met het stuikmoment als uitgangspunt: 2) Stuikmoment Figuur 2.50: Rek- en spanningsdiagram bij stuik (Mpl). Voor de bepaling van de hoogte van de betondrukzone xu verandert er niets en kan gewoon dezelfde formule gehanteerd worden (ga dit zelf na bij de afleiding):

½ · b · x² = n(d – x) · As

x1 = 273 mm. (is dus ongewijzigd)

d h

xuxu

d - xu

ε'b pl = 1,75 ‰ f 'b = 15 N/mm²

σs εs

rekdiagram spanningsdiagram

N'b

Ns

z

b

Page 73: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 73 -

voldoet2,175‰‰71,110·71,110·75,1·273

273) -540(x

) x-d('

3-3-s

b

s ⇒<===ε⇒=εε

sbb

s ·xd

x'x

) x-d('

ε−

=ε⇒=εε

bb

uubu

b2

1b 'f·b·

')xd(·75,1x'f·b·)xd(·

'75,1·'N ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ε

−−+−

ε=⇒

d h

α βxu

d - xu

ε'b;pl > ε'b > ε'b;u f 'b = 15 N/mm²

fs = 435 N/mm² εs = 2,175‰

rekdiagram spanningsdiagram

N'b;□

Ns

z∆

b

1,75‰ N'b;∆

z□

xu

σs = Es * εs = 2,0 · 105 * 1,71 · 10-3 = 342 N/mm² < 435 N/mm² De verdere berekening van M, κ en EI is bekend en wordt hier verder niet meer uitgewerkt. De volgende fase is het vloeien van het staal: 3) Vloeimoment Figuur 2.51: Rek- en spanningsdiagram bij vloeien (Me). De hoogte van de betondrukzone xu bestaat nu uit een verticaal stukje α xu en het schuine deel β xu. Voor de betonrek ε'b geldt: ε'b;pl > ε'b > ε'b;u De totale drukkracht N'b = N'b;rechthoekje + N'b;driehoekje

Figuur 2.52: Betondeel (druk) van spanningsdiagram fig. 2.51.

α

β

f 'b = 15 N/mm² N'b;□ N'b;∆ xu

Page 74: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 74 -

.mm28015·400·)175,2·275,1(

)2412·435(·175,2·215·540·400·75,1'f·b·)·2'(

'N··2'f·d·b·'x

bspl;b

bsbpl;bu ≈

++

⇒ε+ε

ε+ε=

voldoet3,50‰‰34,2175,2·280540

280·xd

x' sb ⇒<=−

=ε−

.mm209280·34,275,1x·

''x

''

ub

pl;bu

pl;b

b ≈=εε

=β⇒β

=εε

M.b.v. deze formules kan xu geschreven worden als: n.b. omdat N'b = Ns en Ns = σs * As is hier voor N'b ingevuld: σs * As (bij vloeien: σs = fy) α = xu - β α = 280 – 209 = 71 mm. z□ = 540 – (½ · 71) ≈ 505 mm. z∆ = 540 – (71 + ⅓ · 209) ≈ 400 mm. Me = N'b;□ * z□ + N'b;∆ * z∆ = (71 · 400 · 15) · 505 + (½ · 209 · 400 · 15) · 400 = 466 · 106 Nmm ofwel: Me = fs * As * z = 435 * 2412 * (540 – 98) = 464 · 106 Nmm (z bepaalt m.b.v. statisch moment) Er is een klein verschil i.v.m. afronden naar hele millimeters. Het bepalen van het bezwijkmoment Mu gaat op dezelfde wijze als in voorbeeld 1. Controleer wel steeds de rek in het staal in de eindsituatie om te voorkomen dat de constructie vroegtijdig bezwijkt door staalbreuk! Bij twijfel wat de goede volgorde is en om extra rekenwerk te voorkomen kan er een eenvoudige toetsingsregel worden afgeleid die voldoet aan Me = Mpl.

½ · xu · b · f 'b = fs · As ½ · xu · b · f 'b = fs · ω0 · 10-2 · b · d As = ω0 · 10-2 · b · d

Page 75: hoofdstuk 2 dictaat Beton 2

- 75 -

d'

'xherleiden

xdx'

pl;spl;b

pl;bu

u

u

pl;s

pl;b ∗ε+ε

ε=⇒⇒

−=

εε

d·10··f'f·d'

'·½invullen 2

0sbpl;spl;b

pl;b −ω=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∗

ε+εε

20sb

pl;spl;b

pl;b 10··f'f·'

'·½ −ω=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

ε+εε

s

b

pl;spl;b

pl;b

s

bpl;spl;b

pl;b

0 f'f·

''

·50f

'f·'

'·50

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

ε+εε

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

ε+εε

=ω⇒

%77,043515·

175,275,175,1·50:opgevalditinligtgrensde 0 =⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

s

bgrens;0 f

'f3,22 ∗=ω⇒

½ · xu · f 'b = fs · ω0 · 10-2 · d Extra rekenwerk wordt voorkomen door m.b.v. deze formule eerst ω0;grens te bepalen. Indien voor de U.G.T. de rekken volgens de V.B.C. worden aangehouden: ε´b;pl = 1,75‰ εs;pl = 2,175‰ gaat de formule eenvoudig over in: