Hoofdstuk 5:

Leven in

de wereld van lage Reynoldsgetallen

(deel 2: pag. 172 en verder)

1

Voor situaties met een laag Reynoldsgetal is fext ≈fvisc

is laag.

de externe kracht is dus veel lager dan de kritische kracht,en dus treedt laminaire stroming op.

Voor situaties met een hoog Reynoldsgetal is fext ≈finertial

is hoog.

de externe kracht is nu juist veel hoger dan de kritische kracht;turbulente stroming.

2

Symmetrie t.a.v. tijdsinversie: t => -t

• elke vloeistoflaag is een denkbeeldige vlakke ‘plaat’ die met constante snelheid beweegt

Bij vlakke geometrie:

stationair

V0

dz

x

• op de bodem: v=0

• netto kracht op elke ‘plaat’ = 0

‘laminair uitsmeren’3

Maar ook: het inverse proces!

(‘ontmengen’)

(‘mengen’)

Belangrijk punt:

Newtoniaanse massatraagheid: ‘tijds-reversibel’

Viskeuze kracht:

‘tijds-irreversibel’

Ander voorbeeld:Vergelijking viskeuze vloeistof - vaste stof t.a.v. glij-krachten:

stationair

V0

dz

x

Vloeistof: viskositeit , v (=‘verandering’) géén geheugen niet invariant onder -t

Uit Wet v Hooke (Serway):

Vaste stof: glijmodulus G, ∆z (=‘statische vervorming’) ‘geheugen’ invariant onder -t

stationair

∆z

5

Biologische toepassingen: • bacterieel zwemmen • bloedstroom • viskeuze krachten rond het DNA molecuul

Het probleem voor de zwemmende bacterie:Het effect van een kracht in een viskeuze omgeving wordttenietgedaan door de inverse tijds-geïnverteerde kracht.

Bacterie ‘a’ (peddel) komt niet vooruit(‘ontmenging’)

6

Snelheid peddels (v t.o.v. lichaam)door het water: hangt af van v en u.

In de eerste helft van de cyclus:

Afgelegde afstand:

In de tweede helft van de cyclus:

en

Omdat de peddels terug naar hun beginpositie gaan moet

Hieruit volgt onontkoombaar dat

7

Een periodieke beweging die wél tot voortbeweging leidt is de‘zweepslag’: dit kan met ‘ciliae’ (flexibele draden) of via een‘schroefbeweging’ met ‘flagellae’ (stijve draden)

Idee: de viskeuze kracht op een lange staaf is evenredig met snelheid van de staaf, en met de oppervlakte loodrecht op de snelheidsvector. Gevolg:

cilium

Beweging vnl loodrecht op haar Beweging vnl parallel met haar

8

Fig. 2.109

flagellum Voor een snelheidsvector in

willekeurige richting is de

resulterende viskeuze kracht

niet parallel aan v gericht, maar

altijd dichter naar f

(volgt uit de geometrie). De

bacterie maakt hiervan gebruik.

10

de truc van flaggelae

De flagellum wordt aan de basis door een moleculaire motorin rotatie gebracht, wat leidt tot voortbeweging van de E-coli bacterie

11

Roterende flagellum: werkt als een soort propeller

Merk op dat de netto krachtvector df niet parallel aan v ligt.(krachtcomponenten van df in het xy-vlak vallen allemaal tegenelkaar weg). Hierdoor zal de bacterie zich in de +z-richting voortbewegen (reactiekracht t.g.v. viskositeit vloeistof).

12

Meercelligen kunnen niet via diffusie voedsel door hun lichaamtransporteren. Dat gaat via een vatenstelsel, bijv. de bloedsomloop.

De stroming door de vaten is vnl. laminair.

We passen de Wet van Newton en de viskeuzekrachten op een dunne cylindrische vloeistofmanteltoe op de situatie in evenwicht (constante snelheid)

Stroming door aderen

13

Buis lengte L, straal R, stroming a.g.v. een drukverschil over de buis.

Totale kracht op cylindrische vloeistofschil met dikte dr, straal r:

Gebruik Taylor:

14

Sommeren van de krachten (en uitschrijven Taylor tot 2e orde):

Substitueer:

Stroom door de totale buisdoorsnede per tijdseenheid:

Wet van Poiseuille

Z = de hydrodynamische weerstand van het systeem

is de hydrodynamische vorm van de Wet van Ohm 15

Met Poileuille’s wet kunnen hele stromingsnetwerken wordendoorgerekend. Bijv. drie situaties, gelijk drukverschil:

A Q

A

A2A

Q

Q

4Q

De bloedsomloop:

Z1

Z3

Z2Z4

Z5

Z7

Z6

Z8

Z9

Z10

Z11

Z12

∆p

16

Toepassing op moleculair niveau: DNA replicatie

Model: een lange dunne roterende staaf in een viskeuze omgeving

Vraag: als het lange DNA molecuul roteert, om zich te splitsen, hoeveel viskeuze tegenkracht ondervindt het dan?

17

Voor een vlakke beweging hadden we:

Voor een roterende beweging wordt dit een moment:

De arbeid die nodig is om één volledige rotatie te maken is dan:

Voor een rotatiesnelheid van 600 rad/s en een straal van 1 nm volgtdan

De energie die door één ATP molecuul kan worden geleverdis ongeveer 20kBT = 8•10-20 J.

=> Zolang L < 2mm zal één ATP molecuul de helix een volledige rotatie kunnen laten maken (en dus is het viskeuze verlies verwaarloosbaar!).18