Hoofdstuk 7

Projectie en stelling van thales

2. Instap

2. Instap

A

B

A’ B’

3. Evenwijdige projectie

A

B

A’ B’x

Z

p

Z’

3. Evenwijdige projectie

A

B

A’ B’x

Z

p

Z’

1. Construeer door Z de evenwijdigerechte met p

2. Het snijpunt van die rechte met xis het gezochte beeld Z’

4. Beeld van een figuur

A’ C’x

p

A

B

C

D

E

F G

H

IJ

J’ G’

De evenwijdige projectie

Vragen en opdrachten

1. Bepaal het beeld van de figuur F door de projectie op x, evenwijdig met pop x, evenwijdig met p:

px

1. Bepaal het beeld van de figuur F door de projectie op x, evenwijdig met pop x, evenwijdig met p:

p

x

1. Bepaal het beeld van de figuur F door de projectie op x, evenwijdig met pop x, evenwijdig met p:

p x

4. Bepaal het beeld van een rechte a door de projectie op x, evenwijdig met p. Maak, zo nodig, een onderscheid.

a

1° geval: rechte a loopt evenwijdig met p:

Het beeld van de rechte is een punt A’

A’

4. Bepaal het beeld van een rechte a door de projectie op x, evenwijdig met p. Maak, zo nodig, een onderscheid.

a

2° geval: rechte a loopt niet evenwijdig met p:

Het beeld van de rechte a is de rechte x

A’B’ C’

5. Behoren de koppels (A, A') en (B, B') tot eenzelfde evenwijdige projectie?

1° vraag: lopen AA’ en BB’ evenwijdig?

AA’ // BB’

2° vraag: liggen A’ en B’ op één rechte?

Ja

Besluit: De koppels behoren tot de evenwijdige projectie op x evenwijdig met p

x

p

5. Behoren de koppels (A, A') en (B, B') tot eenzelfde evenwijdige projectie?

1° vraag: lopen AA’ en BB’ evenwijdig?

AA’ // BB’

2° vraag: liggen A’ en B’ op één rechte?

Ja

Besluit: De koppels behoren tot de evenwijdige projectie op x evenwijdig met p

xp

5. Behoren de koppels (A, A') en (B, B') tot eenzelfde evenwijdige projectie?

1° vraag: lopen AA’ en BB’ evenwijdig?

Nee!

Besluit: De koppels behoren niet tot een evenwijdige projectie

5. Behoren de koppels (A, A') en (B, B') tot eenzelfde evenwijdige projectie?

1° vraag: lopen AA’ en BB’ evenwijdig?

Nee, maar in B vertrekt een lus dus B ligt op …

Besluit:

p

2° vraag: liggen A’ en B’ op één rechte?

Jax

De koppels behoren tot de evenwijdige projectie op x evenwijdig met p

6. De gegeven koppels bepalen een evenwijdige projectie. Construeer het beeld van het punt A.

1°: projectierichting p bepalen

p

2°: projectiescherm x bepalenx

3°: beeld van A bepalen evenwijdig met p op x

A’

7. Bepaal voor de volgende figuur de beelden van A, B, C, D door

a. de projectie op BD, evenwijdig met AD, (A’,B’,C’ en D’)b. de projectie op BD, evenwijdig met AC. (A’’,B’’,C’’ en D’’)

=A’’

=B’’

=D’’

=C’’

=A’

=B’=C’

=D’

Hoofdstuk 11

Homothetie

5. Instap

Welk koppel krijg je als je het koppel (0, 0) met om het even welk getal vermenigvuldigt?

Antwoord:

p201

Het koppel (0,0)

Een koppel met een getal vermenigvuldigen

Voorbeeld: (6,-1).2 = (12,-2)

(6,-1).(-2) = (-12,2)

5. p201Opdracht 1 : We geven ten opzichte van een assenstelsel (x, y) het rechthoekig trapezium ABCD met hoekpunten:

A(6,-1) B(2,3) C(6,3) D(8, 1)

A’(12,-2) B’(4,6) C’(12,6) D’(16, 2)

A’

B’ C’

D’

5. p201Opdracht 1 : We geven ten opzichte van een assenstelsel (x, y) het rechthoekig trapezium ABCD met hoekpunten:

A(6,-1) B(2,3) C(6,3) D(8, 1)

A’(-12,2) B’(-4,-6) C’(-12,-6) D’(-16,-2)

A’

B’C’

D’

6. Homothetie p201

Opmerking 5 : Waar eindigen alle pijlen als k = O ?

Alle pijlen eindigen in de

oorsprong (0,0)

= de constante homethetie

6. Homothetie p201

Opmerking 6 : Ook k = -1 geeft een bijzondere transformatie. Welke?

(6,-1)

A’ (-6,1)

B’C’

D’

= de puntspiegeling met centrum O

= de draaiing d(O,180°)

8. Eigenschappen van een niet-constante homothetie

A’

B’C’

D’

een niet-constante homothetie behoudt Het rechte-zijn de evenwijdige stand van rechten de hoekgrootte de loodrechte stand van rechten

een niet-constante homothetie beeldt een rechte op een evenwijdige rechte af.

9. Instap p204

We geven ten opzichte van een assenstelsel een rechthoekige driehoek met hoekpunten:A(2, - 2) B(2, 1) C(6, - 2)

h(O,-2) A’(-4,4) B’(-4,-2) C’(-12,4)

A’

B’

C’

10. Verdere eigenschappen p204

1,5 cm

A’

B’

C’

Meet de zijden van ABC en A'B'C':

|AB| = |BC|= |CA| =

|A'B'|= |B'C'|= |CA'|=3 cm

2,5 cm

5 cm

2 cm

4 cm

Voor een homethetie met centrum O en factor k geldt: |A’B’| = |k|.|AB|

10. Verdere eigenschappen p205

1,5 cm + 2,5 cm + 2 cm =

A’

B’

C’

Bereken de omtrekken van ABC en A'B'C':

Omtrek ABC =

Omtrek A’B’C’ =

6 cm

Voor een homethetie met centrum O en factor k geldt:

omtrek ABC = |k|. omtrek A’B’C’

3 cm + 5 cm + 4 cm = 12 cm

10. Verdere eigenschappen p204

(2 cm . 1,5 cm) : 2 =

A’

B’

C’

Bereken de oppervlakten van ABC en A'B'C':

Oppervlakte ABC =

Oppervlakte A’B’C’ =

1,5 cm²

Voor een homethetie met centrum O en factor k geldt:

oppervlakte ABC = k². oppervlakte A’B’C’

(4 cm . 3 cm) : 2 = 6 cm²

11. Een homothetie zonder assenstelsel. p206

A’

B’ C’

D’

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

11. Een homothetie zonder assenstelsel. p206

Methode 1: Bepaal het beeld van het punt A door de homothetie h(O,3)

AO

1. Trek de rechte OA

2. Geef O de abscis 0 en A de abscis 1

01

3. Zoek op de rechte OA het punt met abscis 3

4. Dit punt is het beeld A’ van A door h(O,3)

23

A’

11. Een homothetie zonder assenstelsel. p206

Methode 1: Bepaal het beeld van het punt A door de homothetie h(O; -0,5)

1. Trek de rechte OA

2. Geef O de abscis 0 en A de abscis 1

3. Zoek op de rechte OA het punt met abscis -0,5

4. Dit punt is het beeld A’ van A door h(O;-0,5)

-0,5

A’

11. Een homothetie zonder assenstelsel. p206

Methode 1: Bepaal het beeld van het punt A door de homothetie h(O,4)

1. Trek de rechte OA

2. Geef O de abscis 0 en A de abscis 1

3. Zoek op de rechte OA het punt met abscis 4

4. Dit punt is het beeld A’ van A door h(O,4)

01

A’

4

11. Een homothetie zonder assenstelsel. p206

Methode 1: Bepaal het beeld van het punt A door de homothetie h(O,-3)

1. Trek de rechte OA

2. Geef O de abscis 0 en A de abscis 1

3. Zoek op de rechte OA het punt met abscis -3

4. Dit punt is het beeld A’ van A door h(O,-3)

01

-3

A’

11. Een homothetie zonder assenstelsel. p206

Methode 2: Bepaal het beeld van het punt B door de homothetie met centrum O en koppel (A,A’)

A’ B’

C’

O

A B

C

D

D’

11. Een homothetie zonder assenstelsel. p206

Methode 2: Bepaal het beeld van het punt B door de homothetie met centrum O en koppel (A,A’)

1. Trek de rechte OB en AB

2. Trek door A’ de evenwijdige rechte met AB

3. Het snijpunt van deze rechte en OB is B’

B’

Vragen en opdrachten

p 207

8. Bepaal bet beeld van de gegeven figuur door de gegeven homothetie:

0

1

2

8. Bepaal bet beeld van de gegeven figuur door de gegeven homothetie:

0

3

1

8. Bepaal bet beeld van de gegeven figuur door de gegeven homothetie:

0

1

-2

8. Bepaal bet beeld van de gegeven figuur door de gegeven homothetie:

0 1-1-1,5

8. Bepaal bet beeld van de gegeven figuur door de gegeven homothetie:

0

1

-1/3

9. Is de figuur F' het beeld van de figuur F door een homothetie? Zo ja, duid het centrum aan en geef de factor.

0

1

-2

h(O,-2)O

9. Is de figuur F' het beeld van de figuur F door een homothetie? Zo ja, duid het centrum aan en geef de factor.

0

1

-0,5

h(O;-O,5)

O

9. Is de figuur F' het beeld van de figuur F door een homothetie? Zo ja, duid het centrum aan en geef de factor.

Geen homothetie, wel een verschuiving

10. a. Heeft een homothetie dekpunten? Maak, zo nodig, een onderscheid.

De homothetie met factor 1:

1 dekpunt, nl. het centrum

De homothetie met factor = 1:

alle punten zijn dekpunten

10. b. Als je bij een homothetie alle pijlen omkeert, krijg je dan opnieuw een homothetie?

A’

B’C’

D’

h-1(O,-2) = h(O;-1/2)

h-1(O,k) = h(O,k-1)

10. c. Behoudt een niet-constante homothetie de doorloopzin van een figuur?

A’

B’C’

D’

Doorloopzin blijft behouden

11. • Omtrek F = 18 cm Oppervlakte F = 24 cm²Voor het beeld F' van F door h(O, 3) geldt:

– omtrek F' =

– oppervlakte F' =

• Voor het beeld F" van F door h(P, -4) geldt:

– omtrek F" =

– oppervlakte F" =

• Voor het beeld F'" van F door h(Q, -0,5) geldt:

– omtrek F'" =

– oppervlakte F'" =

|3|.18 cm = 54 cm

3².24 cm² = 9.24 cm² = 216 cm²

|-4|.18 cm = 72 cm

(-4)².24 cm² = 16.24 cm² = 384 cm²

|-0,5|.18 cm = 9 cm

(-0,5)².24 cm² = 0,25.24 cm² = 6 cm²

• Driehoek OBC is het beeld van OVA door een homothetie met factor

Dus |BC| = k1 . |AV| = (1)

• Driehoek FBC is het beeld van FOD door een homethetie met factor

Dus |BC| = k2 . |AV| = (2)

• Lid aan lid ((2) delen door (1)) geeft:

OVOB

k 1

A

B

C

D

OFFB

k 2

AVOVOB

.

AVOFFB

.

AVOVOB

AVOFFB

BCBC

.

. OB

OVOFFB

.1

A

B

C

DVervangen –we nu |FB| door b-f , |OF| door f, |OB| door b en |OV| door v dan krijgen we

OBOV

OFFB

.1

bv

ffb .1

fbfvbv

1

Beide leden delen door v

fbfv

fbbv

1

bv

fv

1

bfv111

Beide leden + 1/b

fbv111

Voor wie meer wil!

p 208

13. Er bestaan twee homothetieën die de rechthoek F op de rechthoek F‘ afbeelden. Construeer telkens het centrum en geef de factor.

h(O1,2)

0

1

2

O1

O2

0

1

-2

h(O2,-2)

14. Bereken voor elke figuur x en y:

K = 39:13 = 3

x = k.11 = 3 . 11 = 33

y = 24 : k = 24 : 3 = 8

14. Bereken voor elke figuur x en y:

K = 10:5 = 2

x = k.9 = 2 . 9 = 18

y = 10 : k = 10 : 2 = 5

15. Behoren de gegeven koppels tot een zelfde homothetie?

Wordt een rechte afgebeeld op een

evenwijdige rechte?

Nee!

Geen homothetie

15. Behoren de gegeven koppels tot een zelfde homothetie?

Wordt een rechte afgebeeld

op een evenwijdige

rechte?

Ja!

Is er een mogelijke oorsprong?

Ja!

Homothetie met k>1

15. Behoren de gegeven koppels tot een zelfde homothetie?

Wordt een rechte afgebeeld

op een evenwijdige

rechte?

Ja!

Is er een mogelijke oorsprong?

Ja!

Homothetie met 0<k<1

15. Behoren de gegeven koppels tot een zelfde homothetie?

Wordt een rechte afgebeeld

op een evenwijdige

rechte?

Ja!

Is er een mogelijke oorsprong?

Ja!

Homothetie met k<-1

16. Construeer het beeld van het punt A door de homothetie

bepaald door de gegeven koppels:

Een lijnstuk wordt op een

evenwijdig lijnstuk

afgebeeld…

A’

16. Construeer het beeld van het punt A door de homothetie

bepaald door de gegeven koppels:

Een lijnstuk wordt op een

evenwijdig lijnstuk

afgebeeld…

A’

17*. Gegeven is een ABC. Construeer een vierkant met één hoekpunt op [AB], één op [AC] en twee op [BC].

Teken een vierkant met 2 punten op BC en 1 op AB

Nu werk je verder met een

homothetie met centrum B…