Houles Fondamentales Et Effets Hydrodyna

HOULES FONDAMENTALES ET

EFFETS HYDRODYNAMIQUES

Prof. Dr. Ir. Yasar Argun ISIN

HOULES FONDAMENTALES ET

EFFETS HYDRODYNAMIQUES

Par Prof. Dr. Ir. Yasar Argun ISIN

Houles fondamentales et Effets hydrodynamiques Prof. Dr. Ir. Yasar Argun ISIN

ii

Préambule

Le présent livre est essentiellement destiné aux personnes intéressées par l'hydrodynamique et tout spécialement d'hydrodynamique appliquée aux structures qui résume les différentes notions et les grands principes, notamment des houles et leurs effets sur les structures océaniques tout spécialement sur des corps cylindriques.

Il est rédigé de manière à servir comme manuel de cours pour des étudiants des facultés des

sciences appliquées et des instituts polytechniques des universités, et ainsi que des écoles techniques supérieures d'ingénieurs.

Les notions reprises dans le présent livre nécessitent de la part du lecteur des connaissances

approfondies acquises au cours de sa formation antérieure, notamment, des notions avancées d'hydrodynamique.

La nomenclature et les unités reprises en fin de l'ouvrage seront d'une grande utilité au

lecteur pour suivre avec facilité les notions exposées, et de même que la bibliographie présentée lui permettra de les compléter et les approfondir s'il en éprouve le besoin.

Pour une meilleure compréhension et une plus grande facilité de lecture, nous suggérons au

lecteur de recourir aux notions et termes qu'il aurait eus au cours de son cursus antérieur dans le domaine de la mécanique des fluides

Bonne lecture……….. Dédié à mon épouse Henny et à mon fils Gaëtan Kaan ISIN.

Kinshasa, le 15.05.2007

Yasar Argun ISIN Docteur en Sciences Appliquées Ingénieur Civil des Constructions Navales

Océanologue


iii

Table des Matières

PARTIE I. HOULES FONDAMENTALES Chapitre I. Introduction

Chapitre II. Les modèles déterministes

• Généralités • Hypothèses et définitions • Equations générales

• Conditions cinématiques • Conditions dynamiques

• Houles non linéaires • Conservation de la masse • Quantité de mouvement • Linéarisation

• Les houles rotationnelles • La houle de Gerstner • La houle de Miche • La houle de Biesel

• Les houles irrotationnelles • Les houles de Stokes

• Représentation • Conditions aux limites • La houle d'Airy • Les houles d'ordre supérieur

• La houle cnoïdale • L'onde solitaire • La houle R.T (Théorie de Réflexion)

• Commentaires à propos des modèles déterministes Chapitre III. Les modèles statistiques

• Généralités • Analyse statistique simple (vague par vague)

• Distribution probabilistique de l'état de la mer • Distribution des hauteurs des vagues • Distribution des périodes des vagues

• Analyse spectrale • Notion de spectre d'énergie

• Spectres "one sided" ou "two sided" • Energie prise en compte • Largeur d'un spectre

• Distribution statistique des extrêmes • Cas particulier d'un processus étroit • Cas général (spectre large)

• Application à l'étude de la houle


iv

Chapitre IV. Comportement de la houle • Généralités • Le déferlement

• Développements théoriques • Remarques

• Déferlement en eau profonde • Déferlement en eau peu profonde

• La réfraction • Développements théoriques

• Tracé des plans de vagues • Tracé des orthogonales (rayons) au front de vagues • Calcul de l’amplitude des vagues

• Note sur la réfraction des vagues • La diffraction

• Calcul de l’amplitude des vagues • Diffraction et réfraction simultanée

• La réflexion • Méthodes de calcul • Réflexion sur le musoir • Superposition des vagues progressives linéaires

• Vagues obliques • Réflexion totale • Réflexion des vagues obliques • Réflexion partielle

PARTIE II. EFFETS HYDRODYNAMIQUES Chapitre I. Forces hydrodynamiques

• Généralités • Notion de couche limite • Ecoulement permanent

• Paradoxe de D'Alembert • Ecoulement non permanent

• Notion de masse ajoutée • Cas du corps en mouvement dans un fluide au repos • Cas du corps fixe dans un écoulement non permanent • Cas du corps en mouvement dans un écoulement non permanent

• Détermination de la masse d'eau ajoutée • Forces dues aux vagues

• Forces hydrodynamiques • Forces de viscosité • Forces d'inertie • Potentiel incident • Potentiels diffracté et radié

• Paramètres importants Chapitre II. Corps de petite dimension (D/L<0,2)

• Introduction • Equation de Morrison

• Linéarisation de l'équation de Morrison • Le cas des piles inclinées


v

• La force de portance latérale • Le cas des piles en mouvement

• A propos des coefficients CI, CD et CL • Détermination des valeurs des coefficients hydrodynamiques • Valeurs des coefficients hydrodynamiques en écoulement alterné

Chapitre III. Corps de grande dimension (0,2<D/L<1)

• Introduction • La théorie de diffraction

• La condition de radiation • Solution de Mac Camy et Fuchs • Analyse spectrale • Effets de non linéarité et de viscosité

• Méthodes numériques • Méthode des singularités (fonction intégrale, fonction de Green)

• Le potentiel de l'onde incidente • Le potentiel de l'onde émise par le corps

• Méthodes des éléments finis fluides • Problème à la frontière • Formulation du problème discrétisé

Chapitre IV. Structures océaniques

• Introduction • Généralités

• Efforts hydrodynamiques • A propos des coefficients CI et CD • Etude du mouvement d'une structure articulée

• Les études expérimentales • Les études théorético-expérimentales • Les études expérimentales in situ

• Développement analytique • Développements théoriques

• Hypothèses • Etude sans viscosité • Etude avec viscosité

• Développements sans viscosité • Equations et conditions

• Les équations de l'écoulement • Les contraintes • Les conditions aux limites • La force et le moment hydrodynamique

• Détermination des potentiels • Le potentiel incident • Le potentiel diffracté • Le potentiel radié • Le potentiel résultant

• La loi du mouvement • La pression hydrodynamique • La force et le moment hydrodynamique • La loi du mouvement

• La force hydrodynamique • Cas de la structure oscillante • Cas de la structure verticale et fixe


vi

• Développements avec viscosité • Equations et conditions

• Les équations de l'écoulement • Les contraintes • Les conditions aux limites • La force et le moment hydrodynamique

• Les potentiels incident et diffracté • Les vitesses irrotationnelles • Les vitesses rotationnelles • Paramètres et expressions utilisés

• Le potentiel radié • Les vitesses irrotationnelles • Les vitesses rotationnelles • Paramètres et expressions utilisés

• La loi du mouvement • Le potentiel et les vitesses résultantes • La force et le moment hydrodynamique • La loi du mouvement

• La force hydrodynamique • Cas de la structure oscillante • Cas de la structure verticale et fixe

• Les coefficients CI et CD de Morrison • Viscosité turbulente • Remarques

Annexes

• Détail des développements théoriques • Fluide parfait

• Potentiel diffracté • Potentiel radié • Potentiel résultant

• Fluide réel • Potentiel incident et diffracté

• Les vitesses irrotationnelles • Les vitesses rotationnelles

• Potentiel radié • Les vitesses rotationnelles

• Le potentiel et les vitesses résultants • Diagrammes

• Structure fixe • Structure oscillante

Bibliographie - Références Nomenclature

Partie I - Houles fondamentales I.1 Chapitre I – Introduction


Chapitre I. Introduction

Les différents mouvements ondulatoires d'un fluide représentent un processus de transmission de l'énergie apportée par une perturbation extérieure, et selon la nature de cette perturbation, le mouvement sera dit capillaire, élastique ou gravifique.

On ne s'intéressera qu'aux ondes de gravité qui apparaissent du fait que le fluide se trouve dans le champ de pesanteur.

Parmi ces ondes, on peut noter les marées induites par les positions de la lune et du soleil, les tsunamis d'origine séismique ou volcanique et la houle engendrée par le vent. Une classification coutumière des ondes de gravité est donnée, d'après Munk (Réf. 7), dans la figure (I.1).

(Fig. I.1)

La houle, qui est génératrice des efforts hydrodynamiques dans notre étude, se présente comme une fluctuation irrégulière, désordonnée et chaotique de la surface de la mer. Ce désordre semble davantage dû à l'instabilité du phénomène générateur qu'à une dégénérescence du mouvement.

Cependant, à travers cet aspect chaotique de la surface de l'eau, on distingue une direction privilégiée de propagation et un pseudo périodicité dans l'espace et dans le temps, on parle ainsi de hauteur, de longueur d'onde, de période et de célérité de la houle; ces termes suggèrent une ondulation harmonique simple que l'on retrouve dans le canal à houle des laboratoires.

Le modèle de houle régulière a bénéficié de l'intérêt d'un grand nombre de mathématiciens et d'hydrodynamiciens qui ont essayé de modeler la houle avec plus ou moins de précision.

A la fin des années 40 les travaux de Rice (Réf. 8) sur le bruit dans les circuits électroniques ont été repris et ont permis une approche statistique plus proche de la réalité du phénomène.



La formulation mathématique de la houle est un problème pratiquement difficile à résoudre sinon à poser, il s'agit de déterminer le mouvement d'un fluide réel dans un champ de force uniforme soumis à des sollicitations extérieures et se propageant dans un domaine donné. Le problème est que ces sollicitations et ce domaine de propagation ne sont pas faciles à déterminer.

§ Les sollicitations Il s'agit essentiellement de la genèse et de l'amplification des vagues par le vent. Les mécanismes de transfert dynamique à travers une interface air-eau ont fait l'objet de nombreuses recherches depuis une vingtaine d'années. Il est bien connu (Réf. 9, 10 et 11) que le transfert de quantité de mouvement et d'énergie entre deux écoulements superposés d'air et d'eau se fait essentiellement par l'intermédiaire, d'une part, de la pression et, d'autre part, du frottement tangentiel à l'interface.

Kinsman (Réf. 12) a montré que le mode de transfert par pression peut induire un mouvement irrotationnel, tandis que le mode de transfert par frottement induit nécessairement un mouvement rotationnel.

A cette méconnaissance du transfert s'ajoute celle de l'écoulement lui-même. L'écoulement d'air au-dessus d'une interface donnée est turbulent (couche limite). Les paramètres de cet écoulement se caractérisent par des propriétés statistiques et non par des grandeurs déterministes. Ce double inconnu explique le fait que toutes les théories de houle s'intéressent à des houles se propageant loin de leurs lieux de formation et pour lesquelles la pression est supposée constante et le vent nul.

§ Le domaine de propagation Le fond de la mer est assimilé à un plan horizontal, au large, ou incliné près des côtes, qui impose à la houle une direction de propagation unique et induit un écoulement plan, aucun transfert ne se fait dans la direction perpendiculaire à celle de la propagation.

Cette simplification est légitime dans la mesure où la connaissance et la mise en équation du fond marin sont impossibles, d'autant plus que c'est la profondeur moyenne du fond, et éventuellement son inclinaison dans le cas de déferlement, qui influe sur les caractéristiques de la houle.

§ Le fluide L'eau de mer est un fluide qui est loin d'être homogène, ses principales caractéristiques (température, densité, salinité, pression, viscosité, etc.), variant d'un point à un autre, peuvent même présenter des discontinuités: stratification des densités, variation brusque de sa limite près des embouchures.

Le problème est donc d'intégrer tous ces paramètres, et leurs variations, dans les équations régissant le mouvement; ce problème est contourné en assimilant l'eau de mer à un fluide parfait de densité donnée.

Le fait de négliger la viscosité de l'eau n'a pratiquement pas d'influence sur les vagues ayant quelques mètres de longueur: Boussinesq a calculé qu'une houle de 100 mètres pouvait traverser l'Atlantique sans perdre par viscosité 1% de sa hauteur (Réf. 13).

Ces trois remarques ponctuelles montrent qu'il serait illusoire de chercher une solution exacte, il est donc nécessaire de faire des hypothèses simplificatrices, quitte à les vérifier à posteriori.

Aux hypothèses du (Tableau I.1), qui résume tant les hypothèses et leurs conséquences, communes aux ondes de surface, s'ajoutent d'autres, propres à tel ou tel modèle de houle, telle que des conditions sur la trajectoire des particules du fluide, (Gerstner), ou des conditions d'irrotationnalité du mouvement (Stokes).



(Tableau I.1)

§ Equations de l'hydrodynamique

a). Equations générales du mouvement en variables d'Euler: Soit :

- La pression p (x, y, z, t) - La masse volumique ρ (x, y, z, t)

- La vitesse du fluide V de composantes u, v, w (x, y, z, t) - La viscosité cinématique ν. (ν = µ/ρ et µ étant la viscosité dynamique)

- Les forces extérieures F (dont la force de Coriolis) de composantes X, Y, Z.

Pour un fluide incompressible ( 0t=

∂

ρ∂ ), en coordonnées cartésiennes l'équation vectorielle de Naviers-

Stokes s'écrit:

VpFdtdV. 2∇µ+∇−=ρ

Où ∇ est l'opérateur vectoriel nabla ou del qui appliqué tel quel à un vecteur, définit le gradient ou (...)grad , sous forme ∇ .(..) et ∇ 2(..) ou Δ(..), comme opérateurs scalaires, définit respectivement la

divergence ou Div(..) et le laplacien et enfin sous forme de ∇Λ(..) ou ∇x(..) appliqué comme opérateur vectoriel à un vecteur vitesse U(u, v, w), définit le rotationnel . Ces opérateurs sont exprimés par les relations:

)e.z

e.y

e.x

( zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ (Opérateur vectoriel nabla)

)zyx

(2

2

2

2

2

22

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇ (Opérateur scalaire le laplacien)

)zyx

(.(...)∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇ (Opérateur scalaire la divergence)

zyx e).yu

xv(e).

zu

xw(e).

zv

yw()(U

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂=∇ Λ (Opérateur vectoriel rotationnel)

Où ex, ey et ez sont les vecteurs unitaires respectivement selon les axes ox, oy et oz.

Les composantes par rapport ox, oy et oz de l'équation de Naviers-Stokes sont données par les expressions:

u2xp

Xdtdu. ∇µ+

∂

∂−=ρ ; v2

yp

Ydtdv. ∇µ+

∂

∂−=ρ

w2xp

Zdtdw. ∇µ+

∂

∂−=ρ



Dans le cas de fluide parfait (µ = 0), en mouvement permanent ( 0

tw

tv

tu

=∂

∂=

∂

∂=

∂

∂ ), soumis uniquement

à la pesanteur, l'équation de Naviers-Stokes se réduit à l'équation d'Euler et s'écrit:

p.gdtd 1V

∇−=ρ

Avec

).(dtd 2

2

1VV.2

V∇+=γ= ωΛ et V.

2

1Λ∇=ω

Où γ représente le vecteur accélération de la particule fluide et (∇xV) ou (∇ΛV) ou encore )(rot V représente le rotationnel de la vitesse V.

b). Equation de continuité:

L'expression de l'équation de continuité ( 0)V.(.t

=ρ∇+∂

ρ∂ ), dans le cas de fluide incompressible

( 0t=

∂

ρ∂ ) se réduit à: 0).(. V =ρ∇ ou encore Div (ρ .V) = 0, c'est-à-dire, la divergence de la vitesse V est

nulle.

Partie I - Houles fondamentales II.1 Chapitre II – Modèles déterministes


Chapitre II. Modèles déterministes

• Généralités Depuis le premier modèle de houle proposé par Gerstner en 1802 (Réf. 14), un grand nombre de modèles ont été étudiés, ces modèles, dont le nombre prouve à l'évidence leur faiblesse, ont été presque tous élaborés par des mathématiciens.

La première solution rigoureuse en profondeur infinie a été donnée par Gerstner. Lagrange a montré que le mouvement de liquides parfaits ayant pris naissance sans choc sous l'effet de forces dérivant d'un potentiel (pesanteur) était nécessairement irrotationnel.

La houle d'Airy ou "houle infiniment petite", qui sert le plus couramment dans la pratique (base de l'approche statistique, calcul de diffraction,...), est irrotationnelle. Mais les houles finies ne le sont pas en général. Une classification des houles les plus connues est donnée dans le tableau (II.1) en fonction du rotationnel

)V(rot.2

1=ω ou V.

2

1Λ∇=ω

(Tableau II.1)

En 1847, Stokes (Réf. 15) trouva des solutions approchées jusqu'au cinquième ordre, mais ne put en démontrer la convergence.

C'est seulement en 1925, que Levi-Civita (Réf. 16) démontra ce dernier point et obtint une solution rigoureuse en profondeur infinie. Pour ces houles, les trajectoires des particules ne sont pas fermées; il y a, par conséquent, un courant lié à la houle et partant dans la direction de propagation. Ce mouvement est un "mouvement d'entraînement" ou un "transport de masse" dans cette direction. La vitesse de propagation dépend de la hauteur de la houle, à partir de la 3ème approximation.

Ces solutions rigoureuses sont obtenues dans l'hypothèse d'une mer infiniment profonde; en profondeur finie, pratiquement. Dès que cette profondeur devient de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde, la solution du problème est plus difficile; mais on y retrouve la même variété de solutions qu'en profondeur infinie.

Stokes a aussi donné en 1847 les expressions des houles des deuxième et troisième ordres d'approximation par profondeur finie constante. Comme pour la houle en profondeur infinie, la célérité est celle de la houle infiniment petite, pour la deuxième approximation.



Pour la troisième, la célérité croît en fonction de l'amplitude (U.S. Beach Erosion Beard, 1942). Ces houles sont accompagnées d'un mouvement d'entraînement. La convergence du développement de Stokes n'a été démontrée qu'en 1926 par Struik (Réf.17), utilisant la méthode de Levi-Civita. A l'époque Stokes avait été amené à faire la remarque suivante: "En fait, des ondes d'oscillation de grande hauteur tendent à prendre le caractère d'une série d'ondes solitaires et la hauteur maximum possible dépend essentiellement de la profondeur fluide et n'est guère influencée par la longueur d'onde." (Lacombe, Cours d'Océanographie physique, 1965).

Enfin depuis les années 1940, de nouvelles théories ont été présentées par Miche, Biesel, Skjelbreia, etc. (Réf. 18, 19, 20):

- Développement de la houle de type Stokes à un ordre élevé (on en est au 11ème ordre). - Houles de Miche. - Houle cnoïdale, onde solitaire, etc.

Actuellement, il existe près de 25 modèles de houles dont cinq ou six sont utilisés pour le calcul des structures marines. Le tableau (II.2) donne les théories de houle irrotationnelle les plus utilisées.

(Tableau II.2)

Avant d'entreprendre l'étude de quelques modèles déterministes de houle, définissons quelques termes intervenant dans l'étude de la houle.

§ Hypothèses et définitions L’expression mathématique des modèles des houles est assez simple. Par contre, d'une manière générale, un certain nombre d’hypothèses sont faites selon les modèles étudiés. Notamment:

▫ la pression atmosphérique (p) est constante en tout point de la région modélisée; ▫ l’océan est un fluide parfait, homogène, incompressible et pesant; ▫ le mouvement est supposé périodique, selon les modèles, des hypothèses supplémentaires sont

faites sur la profondeur et la pente des fonds marins; ▫ et que la houle (le modèle) est étudiée en absence du vent, donc une fois que le vent a cessé de

souffler.

On prend une coupe verticale, dans la mer, et on définit un écoulement bidimensionnel dans ce plan oxz, ox étant dirigé dans le sens de propagation de la houle, et oz étant orienté vers le haut (Fig. II.1).

Les paramètres définissant une houle sont au nombre de quatre:

H la hauteur, qui est la distance verticale de la crête au creux; L la longueur d'onde, qui est la distance horizontale entre deux crêtes ou creux successifs;



T la période qui est le temps, généralement exprimé en secondes, entre deux passages successifs du profil en crête ou en creux. Dans le cas d'onde simple c'est aussi le temps écoulé entre deux passages successifs du profil à un niveau déterminé, dans le même sens, par exemple le niveau moyen (NSM);

(d) la profondeur d'eau, qui est la distance entre le fond de la mer supposé plat et le niveau de la surface libre au repos (NSL).

(Fig. II.1)

La connaissance de trois de ces quatre paramètres suffit à déterminer complètement la houle et sa cinématique. Par contre, pour étudier l'ensemble des houles, les notions suivantes sont aussi nécessaires:

(NSL) niveau au repos correspondant au niveau de la mer calme; (NSM) niveau moyen, défini par la mi-distance entre un creux et une crête; il ne coïncide pas

nécessairement avec le niveau au repos; (a) amplitude de la houle, égale à la mi-hauteur (H/2) de la houle et définit donc le niveau moyen

(NSM).correspond au niveau de la mer; σ (= 2.π/T) la fréquence de la houle et la réciproque de la période T représentant le nombre de houles

passant en un endroit par unité de temps; (k) le nombre d'ondes défini par la relation k = 2 π/L; (c) la célérité, qui est la vitesse de propagation de la houle dans un milieu liquide, elle est définie par

la relation c = L/T.

Pour étudier le comportement des houles et comparer les différents modèles, on définit les paramètres suivants sans dimension:

γ (=H/L) la cambrure, qui est le rapport entre la hauteur et la longueur d'onde. Celle-ci a une limite

supérieure qui correspond à la stabilité propre de la houle, au-delà de laquelle l'instabilité se produit sous forme de déferlement. La cambrure limite pour la houle de Stokes est de 0,14 selon Michell (Réf. 21); 0,13 selon Gwyther et 0,148 selon Havelock (Réf. 22). Pour des faibles profondeurs la cambrure de déferlement est donnée par le critère de Miche (Réf. 18), γd = 0,14. th (kd);

H/d est la hauteur relative de la houle. Pour des profondeurs d'eau supérieures à 100 m, les faibles valeurs de (H/d) correspondent à des houles de hauteur non négligeable. La seule connaissance de ce paramètre ne suffit pas à déterminer tous les types de houles;

d/L est la profondeur relative. Aux très petites valeurs de ce paramètre correspondent les faibles profondeurs. (d/L « 0,05). Lorsque les valeurs de ce paramètre sont faibles (0,05 < d/L < 0,5), on doit tenir compte de la profondeur d'eau. Par contre pour (d/L > 0,5), la présence du fond ne modifie aucunement les caractéristiques des houles et la profondeur d'eau peut être considérée comme infinie.

En eau profonde, le paramètre qui est le plus significatif est (H/d), et dans le domaine intermédiaire c'est le paramètre d'Ursell (Réf. 23) défini par (H/L).(L/d)3 qui trouve son utilisation.



Suivant l'ordre de grandeur des paramètres ainsi définis et suivant les problèmes à résoudre, trois types de méthodes sont employés pour obtenir une représentation mathématique de la houle à partir des équations de base de l'hydrodynamique.

1. La linéarisation appliquée aux houles de faible amplitude. La condition de Bernoulli est linéarisée et les termes quadratiques ne sont pas pris en compte.

2. Le développement en série de puissance, pour les houles de plus grande amplitude en faible ou grande profondeur. Les développements de Stokes correspondent à ce cas.

3. Les méthodes numériques telles que la représentation des houles à l'aide de la fonction de courant et ou de la fonction de potentiel est obtenue numériquement.

§ Equations générales Dans un fluide incompressible, la propagation de la houle est étudiée en fonction des équations des fluides assorties des conditions aux limites particulières correspondant au phénomène qu'on étudie.

On part donc des équations de conservation de la quantité de mouvement et de la masse appliquées au fluide dans lequel les houles naissent et propagent. Du fait du l'incompressibilité de l'eau, l'équation de la conservation de la masse se réduit à une divergence nulle de la vitesse.

Dans un système de coordonnées cartésiennes (Fig.II.1), la position des particules de l'eau est définie en tout point par un vecteur P(x, y, z) ou encore par un vecteur horizontal à deux composantes X = (x, y), donc dans le plan horizontal x, y et la position verticale z. Les vitesses sont, dès lors, définies par leurs dérivées temporelles, donc, du vecteur vitesse V(u, v, w) ou du vecteur vitesse U(u, v) dans le plan x, y et w dans la direction z.

Ainsi, en coordonnées cartésiennes, l'étude de la houle se fait à travers les équations de Navier Stokes et de la conservation de la masse. On a, dès lors:

)zu.(p

z.w.

t 2

22U

UUU

U 1

∂

∂+∇ν+∇−=

∂

∂+∇+

∂

∂

ρ

)zww.(g

zw.ww.

tw

2

221

U∂

∂+∇ν+−−=

∂

∂+∇+

∂

∂

ρ

0zw.U =∂

∂+∇

Où ρ est la masse volumique de l'eau, g la gravité et p la pression.

Ces équations assorties des conditions aux limites de continuité des vitesses et des contraintes (pression et tension de cisaillement) permettent de définir les quatre inconnues que sont u, v, w et p.

Comme conditions aux limites on considère les conditions cinématiques et dynamiques:

▫ Conditions cinématiques Les conditions cinématiques à considérer sont celles du fond et de la surface libre.

- Condition au fond: On considère qu'au fond il n'y a pas de glissement, ce qui s'exprime par:

dw .U ∇−= sur z = -d(x,y)

Pour un fond horizontal constant, donc d constant, cette condition se réduit à:

w = 0 pour z = -d.



- Condition à la surface libre: En surface, z = η , la surface libre est telle que toute particule qui s'y trouve y reste, la surface est une ligne de courant, se qui s'exprime par:

0t

.w)z(dtd

U =∂

η∂−η∇−=η− sur z = η

▫ Conditions dynamiques Les conditions dynamiques, qui, en négligeant la tension en surface (due au vent) et la tension de la surface, se réduisent à la continuité de la pression qui est supposée égale à une pression atmosphérique connue pa uniforme. Dès lors à la surface libre on obtient:

app = sur z = η

§ Houles non linéaires Dans le système des coordonnées cartésiennes ox, oz (Fig. II.2) et sur base des hypothèses et des définitions précités, pour définir les équations générales, on considère, pour un déplacement vertical η(x, y) de la surface libre, la colonne de fluide déterminée par dx, dy et d(x, y) représentant le niveau moyen (NSM) du fluide au repos (la profondeur). On étudie sous forme différentielle le flux à travers la colonne en appliquant les lois de conservation de la masse et des quantités de mouvement.

(Fig. II.2)

▫ Conservation de la masse A tout moment, l'accroissement du volume élémentaire dy.dx.

t∂η∂ dans la colonne doit être équilibré par le

volume du flux à travers les quatre facettes de celle-ci.

Dès lors, on considère, dans le plan horizontal, un écoulement de vitesse V dont ses composantes u et v sont fonctions de x, y et t, et où la profondeur d est fonction de x et y.

En éliminant les termes de l'ordre supérieur en dx et dy (infiniment petits) dans les différentes expressions traduisant la conservation de la masse du flux dans la colonne, on obtient l'expression vectorielle traduisant la condition de conservation de la masse du fluide dans la colonne:

0)}d.(V.{t

=+η∇+∂

η∂

Ou encore:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+η

∂

∂++η

∂

∂−=

∂

η∂ )}d.(v{y

)}d.(u{xt

(Ces équations sont non linéaires du fait du produit quadratique des inconnues V et η )



▫ Quantité de mouvement Pour la houle en profondeur limitée, l'équilibre de la quantité de mouvement vertical est dominé par le gradient de la pression et la pesanteur ce qui signifie que la distribution de la pression p est hydrostatique et définie par:

)z.(g.p −ηρ=

Où la pression atmosphérique sur la surface libre est ignorée. En considérant les quantités de mouvement selon les axes ox et oy, notamment dues, d'une part, au taux de variation du temps, et d'autre part, au flux net à travers les quatre facettes verticales, et en égalisant le taux de changement de la quantité de mouvement à la force de pression nette sur les facettes et au fond de la colonne d'eau, on aboutit à l'expression vectorielle:

η∇−=∇+∂

∂ .g.t

VVV

Ou encore selon les directions respectives ox et oy:

x.g

yu.v

xu.u

tu

∂

η∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ (Direction ox)

y.g

yv.v

xv.u

tv

∂

η∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ (Direction oy)

Les équations principales ainsi obtenues à travers la conservation de la masse et des quantités de mouvement, constituent un système de deux équations à dérivées partielles non linéaires pour les trois inconnues scalaires, c'est-à-dire, les composantes u et v de la vitesse V et η .

Comme condition aux limites, on considère que sur la ligne de rive on ne peut pas avoir de flux normal, donc: d. (V).n = 0 où n est le vecteur normal unitaire pointé dans la direction de ox. Cette condition est aussi bien applicable pour une rive où d est finie (falaise) que pour une rive où d = 0, et ce, aussi longtemps que le phénomène de déferlement n'apparaît pas.

De même que comme condition initiale, on considère que le déplacement η(x, y, t) et la vitesse verticale

)t,y,x(tη

∂

∂ de la surface libre entière sont connus en temps t = 0.

▫ Linéarisation Les équations ainsi établies peuvent être simplifiées pour des houles de petites amplitudes en considérant que η /d << 1. Cette hypothèse, pour une houle d'amplitude a, de longueur d'onde L et de période T, progressant dans un milieu de profondeur d, revient à considérer que a/h << 1.

De même que, l'échelle du temps étant caractérisée par la période de la houle T et celle de la longueur horizontale par sa longueur d'onde L, le rapport a/T équivalant à ud/L, l'hypothèse sur a/d peut aussi s'écrire sous forme de uT/L << 1.

Dès lors, ces hypothèses permettent à linéariser les équations quadratiques principales établies précédemment. Ainsi, les équations, traduisant la conservation de la masse et la quantité de mouvement, se réduisent respectivement à:

0).d.(t

V =∇+∂

η∂ (Conservation de la masse)

η∇−=∂

∂ .gtV (Quantité de mouvement)

De même que la condition aux limites traduisant l'absence du flux normal sur les rives se réduit à:

0n

.d =∂

η∂ (Sur les rives)



Si on considère la dérivée partielle par rapport au temps de l'équation obtenue pour la conservation de la masse et ainsi que la divergence de l'expression de la condition limite sur le rivage, on obtient respectivement:

0)}.d.(t

{t

V =∇+∂

η∂

∂

∂

).d.g()t

.d.( Vη∇−∇=

∂

∂∇

En les soustrayant membre à membre, on obtient:

).d.g.(t 22

η∇∇=∂

η∂

Dans le cas ou la profondeur d est une constante, cette expression se réduit à:

η∇=∂

η∂ 22

2

2 tc

1

Où c = (g.d) 1/2 est la célérité de la houle en eau à faible profondeur, et l'expression traduit l'extension de l'équation de la houle bidimensionnelle.

Note: Pour η(x, y, t) et d(x, y) le détail des calculs ci-dessous permet de suivre l'acheminement utilisé pour établir les expressions traduisant la conservation de la masse et de la quantité du mouvement.

- Conservation de la masse:

La différence du flux entrant et sortant à travers les facettes de la colonne d'eau normales à l'axe des x s'écrit:

[ ] dy.dx)dx(o)}d.(u{x

dy.)}d.(u{)}d.(u{ xdxx ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++η

∂

∂−=+η−+η− +

La différence du flux entrant et sortant à travers les facettes avant et arrière de la colonne d'eau normales à l'axe des y s'écrit:

[ ] dy.dx)dy(o)}d.(v{y

dx.)}d.(v{)}d.(v{ ydyy ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++η

∂

∂−=+η−+η− +

En omettant les termes d'ordre supérieur en dx et dy, en égalisant l'accroissement du volume élémentaire

dy.dx.t∂η∂ à la somme des termes de droite, on obtient:

dy.dx)dy,dx(o)}d.(v{y

)}d.(u{x

dy.dx.t ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++η

∂

∂++η

∂

∂−=

∂

η∂

Dans les limites tendant vers zéro de dx et dy cette expression sous forme vectorielle s'écrit dès lors:

[ ] 0)d.(V.t

=+η∇+∂

η∂ (I)

- Quantité de mouvement:

La force de pression nette sur les facettes de la colonne d'eau normales à l'axe des x s'écrit:

∫µ

−−ηρ∫

η

− ∂

∂−=

∂

∂

ddz).z.(g.

d x.dy.dxdz.p

x.dy.dx

dy.dx).d(x

)d.(g. +η∂∂

+ηρ=

La réaction hydrodynamique due à l'inclinaison du fond s'écrit:

dy.dx.xd).d.(g.dy.dx.

xdp

∂

∂+ηρ=

∂

∂−



Comme le changement de la quantité de mouvement est dû, d'une part, à la variation temporelle de la colonne d'eau exprimée par:

dy.dx.)}d.(u.{t ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ηρ

∂

∂

Et d'autre part, du flux net à travers les quatre facettes verticales de la colonne d'eau exprimé par:

dx.dy)}.d.(v.u.{y

dy.dx)}.d.(u.{x

2 +ηρ∂

∂++ηρ

∂

∂

En égalisant le taux de changement total de la quantité de mouvement à la force de pression nette sur les facettes et au fond de la colonne d'eau, on obtient:

xd).d.(g.)}d(

x).{d.(g.)}d.(v.u.{

y)}d.(u.{

x)}d.(u.{

t2

∂

∂+ηρ++η

∂

∂+ηρ−=+ηρ

∂

∂++ηρ

∂

∂++ηρ

∂

∂

Où les termes de gauche, en tenant compte de l'équation (I) de la conservation de la masse et de celle de

continuité 0)yv

xu( =

∂

∂+

∂

∂ , peuvent s'écrire sous forme simplifiée:

)d}.(yu.v

xu.u

tu.{)}d.(v{

y)}d.(u{

xt.u.)d}.(

yu.v

xu.u

tu.{ +η

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ρ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+η

∂

∂++η

∂

∂+

∂

η∂ρ++η

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ρ (II)

Tandis que les termes de droite se réduisent à:

x).d.(g.

xd).d.(g.)}d(

x).{d.(g.

∂

η∂+ηρ−=

∂

∂+ηρ++η

∂

∂+ηρ− (III)

En égalisant les termes (II) et (III) on obtient l'expression traduisant la quantité de mouvement suivant l'axe des x:

x.g}

yu.v

xu.u

tu{

∂

η∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

De même que, suivant l'axe des y, d'une manière similaire, on obtient:

y.g}

yv.v

xv.u

tv{

∂

η∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

Ces deux expressions se résument en une équation vectorielle:

η−=+∂

∂∇∇ .gV.V

tV

• Les houles rotationnelles Sont toutes celles dont le rotationnel ω = 1/2.∇ΛV est non nul.

• La houle de Gerstner En 1802, Gerstner a défini une théorie de houle exacte du point de vue mathématique, valable en profondeur infinie, pour un fluide parfait. Cette houle était ignorée de tous jusqu'en 1863, date à laquelle Rankine (Réf. 24) en ignorant complètement la publication de Gerstner dans un obscure journal de Bohème, a présenté la même solution. Pendant longtemps cette houle a porté le nom de "Houle de Rankine" jusqu'au jour où l'on a découvert les travaux de Gerstner.

Le mouvement obtenu est rotationnel et les trajectoires des particules sont des cercles dont le rayon décroît exponentiellement avec la profondeur. La surface libre est constituée par une cycloïde réduite dont on montre que, l'ordonnée moyenne (niveau de repos) est située plus bas que le niveau moyen.

Chaque particule de fluide est supposée tourner autour d’un point de coordonnées (x0, z0) en décrivant une circonférence de rayon R0, ce dernier décroissant exponentiellement en fonction de sa distance à la surface. Cette décroissance est pondérée par un coefficient, qui, sous les hypothèses de satisfaction de l’équation de continuité du fluide, vaut k. La vitesse de rotation des particules dépend classiquement d’un coefficient σ de vitesse angulaire.



Les coordonnées de chaque particule (Fig.II.3) sont données par les expressions:

)tkxsin(xx 00 R σ−−=

)tkxcos(zz 00 R σ−+=

Où 0kz0 e.RR = est le rayon décrivant le mouvement des particules d’eau.

(Fig. II.3)

Dès lors, la pression (p) est donnée par l'expression:

)tkxcos(gR).1gk()z

g2R.(gp

0

2

0

22σ−−

σ−−

σ=

ρ

La pression étant considérée constante durant le mouvement, la surface est donc isobare, quelque soit le temps, si:

1gkR22

=σ ⇔

π=2gT

L2

A la surface, la pression s'exprime par:

)zg2

.(g.p 0

22R−ρ=

σ ⇔ )z.(g.p 0

2

LR

−π

ρ=

La surface libre étant le lieu décrit par les particules et où la pression étant constante et nulle (p = 0), elle est caractérisée par z0 = πR2/L.

Le centre de la circonférence décrite par les particules de la surface libre est donc situé à la hauteur z0 = πH2/4L. Si, au temps t=0 la coordonnée z=0, dès lors, on obtient η = πH2/4L (Fig.II.4).



(Fig. II.4)

Ainsi, les particules en déplacement sont situées sur une trochoïde. Si kR < 1, la courbe générée est située sur une trochoïde, si kR = 1, la courbe est une cycloïde, enfin, dès que kR > 1 la trajectoire des particules ne correspond plus à un phénomène naturel. La figure (II.5) illustre les différents types de comportements des particules (profil de la surface libre) correspondant aux différentes valeurs de kR.

(Fig. II.5)

La surface libre et toutes les surfaces d’égale pression sont caractérisées par la cote z0 et le rayon R. Les particules correspondantes sont situées sur la trochoïde. Il s’agit du lieu décrit par un point A d’un disque de rayon 1/k qui roule sans glisser, tel que: OA = R.

A l’instant t1, tous les points de même z0 et R auront tourné sur leur trajectoire circulaire d’un angle égal à (σ. (t1 - t0) = 2π (t1 - t0) /T).

La surface sera déplacée dans le sens de rotation des cercles; la trochoïde représentant la surface libre et toutes les surfaces d’égale pression, se déplacent donc d’un mouvement de translation non déformée (Fig.II.6). Il faut noter que seule l’onde se déplace à la surface, les particules de fluide ont un trajet circulaire situé autour de leur position de repos. De ces faits, la houle de Gerstner est communément appelée la houle trochoïdale.

(Fig. II.6)



De même que les vitesses des particules sont tangentes à la crête et au creux. Ces vecteurs vitesse sont dirigés dans le sens de la propagation sur la crête et en sens inverse dans le creux. Ainsi, un objet à la surface aura tendance à aller dans le sens de propagation de la houle lorsqu’il se trouve sur la crête et à revenir en arrière lorsqu’il se trouve dans le creux (Fig.II.7).

(Fig. II.7) Les composantes horizontale u et verticale w de la vitesse des particules sont données par les expressions:

)tkxcos(R.dtdxu 0 σ−σ==

)tkxsin(R.dtdzw 0 σ−σ==

Enfin, on peut déterminer la cambrure maximale de la houle de Gerstner. L’amplitude maximale Hmax est obtenue lorsque R=1/k ⇒ Hmax =2/k = L/π . La valeur maximale de la cambrure devient: Hmax = (L/π)/L = 1/π = 0,31.

Cette théorie n'est guère utilisée de nos jours. En effet, le rotationnel obtenu en crête de vague par le calcul est opposé à celui provoqué par le vent. De plus, le profil de la surface libre obtenu diffère assez fortement de celui produit par une houle réelle.

• La houle de Miche En 1944, Miche (Réf. 18) a publié une étude importante relative à divers aspects de la houle, il a présenté entre autres les équations générales des houles rotationnelles de deuxième approximation en mettant en évidence quelques caractères très importants de ces houles. Pour son étude, Miche emploie les coordonnées de Lagrange qui dans le cas particulier du problème de la houle ont l'avantage considérable sur celles d'Euler d'exprimer facilement la condition de pression constante à la surface. Malheureusement, cette théorie conduit à l'emploi de fonctions difficiles à résoudre.

Le fondement de la méthode est sensiblement le même que celui des houles de type Stokes. Par rapport aux coordonnées initiales au repos (x0, z0) d'une particule, Miche développe en série entière de l'amplitude, a = H/2, les coordonnées actuelles (x, z) de cette particule et la pression à laquelle elle est soumise.

1. La solution du premier ordre est irrotationnelle et conduit à un potentiel des vitesses (φ), à une fonction arbitraire du temps près.

2. La solution générale du deuxième ordre possède un rotationnel arbitraire et un courant d'entraînement, chacun en fonction de la seule profondeur. En se donnant le rotationnel, on se fixe la valeur du courant d'entraînement à une constante près. La forme de la surface libre diffère très peu d'une trochoïde elliptique (symétrique par rapport à la verticale et toujours plus pointue sur les crêtes que sur les creux).

Le rotationnel ω = 1/2.∇ΛV vaut:

))kd(sh

)}zd(k2{shk

z.(a

202

0

2 −σ+

∂

ν∂−=ω

Où ν(zo) est une fonction arbitraire de z0 représentant le courant d'entraînement des particules.



Comme Miche, Biesel aussi a donné la solution générale du deuxième ordre en coordonnées d'Euler. (Réf. 25).

3. Cas particuliers a. Pour ω=0, on a la houle de Stokes et le courant d'entraînement, pour lequel la constante

d'intégration est déterminée par l'annulation du flux global entre la surface et le fond.

b. Le courant d'entraînement est nul, la houle de Boussinesq (Réf. 26) pour:

)kd(sh

)}zd(k2{shka

2022 −

σ−=ω

(Le rotationnel ω est négatif, donc, opposé à la propagation) Plus généralement on peut se donner, comme le fait Miche, le rotationnel sous une forme qui permet de retrouver les houles classiques en donnant au coefficient (µ) des valeurs numériques simples quelconques:

)kd(sh

)}zd(k2{shka.

2022 −

σµ=ω

Le rotationnel est maximum en surface et décroît, en grandeur, de la surface vers le fond. Le courant d'entraînement est alors donné par:

})kd2()kd2(sh)}zd(k2{ch{

)kd(sh2ka).1()z(a 02

20

2 −−σ

+µ=ν

Et le flux global sur une verticale est nul. Ces houles sont dénommées les houles rotationnelles normales qui ont comme cas particuliers la houle de Stokes (µ= 0) et la houle de Boussinesq (µ= 1).

On peut classer les diverses houles dites normales selon la valeur de (µ) :

µ > 0 le rotationnel est dans le sens de la rotation des particules sur leur orbite. Ce genre de houle peut faire penser à une houle soumise à un vent soufflant dans la direction de propagation.

µ = 0 est la houle irrotationnelle de Stokes, ce cas correspond à des actions tangentielles négligeables en surface.

0 > µ > -1 le rotationnel est négatif mais le courant superficiel d'entraînement est dans le sens de la propagation.

µ = -1 le courant d'entraînement est nul. µ < -1 le rotationnel et le courant d'entraînement sont dans le sens opposé de la propagation, c'est

le cas probable d'une houle soumise à un vent soufflant dans le sens contraire de la propagation.

Ce ne sont là que des cas particuliers. Le fait même du caractère arbitraire du courant d'entraînement avec z0 permet de retrouver les formes de profil du courant d'entraînement rencontrées en modèle réduit et dans la nature.

• La houle de Biesel Le modèle de houle dit de Biesel se place dans le cas de la description complexe de la houle arrivant sur un rivage tenant compte des changements de vitesse des particules et de la formation du déferlement.

Dans ce modèle, la trajectoire circulaire des particules d’eau situées à la surface se transforme progressivement en ellipse dont le grand axe s’aligne à la pente (Fig.II.8). Ceci permet de prendre en compte les frottements des particules sur le fond. A faible profondeur, la houle est freinée et ainsi déformée.



(Fig. II.8)

En général les théories paramétriques ne sont valables qu’à partir d’une certaine profondeur, la limite inférieure est toujours au moins égale à une profondeur d’une demi-longueur d’onde. Entre la surface libre et cette profondeur limite, toutes les particules d’eau sont en mouvement.

Lorsque les vagues s’approchent du rivage, des frottements sur le sol interviennent et la houle est ralentie. On peut remarquer que seule la période reste constante. La longueur d’onde L est plus courte au bord du rivage que L∞ au large et peut être calculée en fonction de la profondeur d par la relation:

)kd(thk/kL/L == ∞∞

La hauteur théorique H de la houle décroît continûment jusqu’à 91% de sa valeur au large avant d’augmenter jusqu’au point de déferlement. Elle peut, à chaque point où la profondeur d est connue, être déduite par la relation (Fig.II.9):

[ ] 2/1)}kd(sh/kd.21).{kd(thH/H −∞ +=

Le modèle de Biesel tient compte de la modification d’amplitude et permet de décrire une vague jusqu’à son point de déferlement Les figures (10-11) illustrent la houle de Biesel en bord de rivage en 1ère et 2ème approximations pour une pente 1/10ème (tg (α)=0,1) du fond.

(Fig. II.9)



En coordonnées cartésiennes et avec les notations de la Figure (II.1), par rapport à une position initiale (x0, y0, t0) des particules et en considérant que k varie suivant la loi {k=k∞.th(kd)}, les équations paramétriques de la surface libre sont données par les expressions:

∫ σ−∫ −σ−+=0x

0

0x

0xx0 }tdx.k{cos.B}tdx.ksin{.Axx

∫ σ−∫ −σ−−=0x

0

0x

0zz0 }tdx.k{sin.B}tdx.kcos{.Azz

Où les paramètres Ax, Az et Bx, Bz sont représentés par les expressions: )kd(th/CA 1x = et 1z CA =

)}kd(th/)(tg.{C.CB 31x α= et )}kd(th/)(tg.{C.CB 41z α=

Avec C1, C2, C3 et C4, fonctions de R et kd, définis par les relations: 2/1

21 )}kd(th.C/{RC = et )}kd2(sh/kd.2{1C2 +=

)}kd(thkd{)}kd2(sh.C/{)}kd(th.2kd.{kd)}kd(th.C/{)}kd(th.kd1{C 2223 +−+++=

)}kd(th.kd1{)}kd2(sh.C/{)}kd(th2.{kd)}kd(th.C/{)}kd(thkd{C 2224 +−+++=

(Fig. II.10)

(Fig. II.11)



La répartition du courant d'entraînement des houles réelles a été étudiée de plus près par Bertin et Caligny (Réf. 27), Bouasse (Réf. 28) et Lhermitte (Réf. 29-30). Ajoutons aussi que diverses études sur les approximations de la houle ont vu le jour pour des cas assez généraux; comme exemples citons les travaux de Daubert (Réf. 31-32) et de Chabert d'Hieres (Réf. 33), pour clôturer les houles rotationnelles. • Les houles irrotationnelles Sont toutes celles dont le rotationnel ω = 1/2.∇ΛV est nul.

Lagrange (Réf. 34) a montré que pour un fluide parfait, si le mouvement a pris naissance sans choc et sous l'effet des forces dérivant d'un potentiel, alors ce mouvement est nécessairement irrotationnel (ω = 0), donc le champ de vitesse dérive d'un potentiel (φ).

Cette hypothèse simplifie l'étude, car elle permet d'accéder à la pression à l'intérieur du liquide, par le théorème de Bernoulli (Réf. 35). Parmi ces houles, on trouve la houle de Stokes à divers ordres d'approximation, la houle cnoïdale ou elliptique et l'onde solitaire qui sont les plus utilisées pour le calcul des structures marines et océanographiques. • Les houles de Stokes

◦ Représentation On suppose que le mouvement progressif de la surface suivant ox est formé de crêtes et de creux parallèles dont les génératrices sont des horizontales et perpendiculaires à ox; oz est vertical et dirigé vers le haut; l'origine des coordonnées o est pris dans le plan de la mer, supposée au repos (NSM), et la profondeur d est supposée constante (Fig. II.12).

(Fig. II.12)

D'autre part, on suppose que l'eau est un fluide parfait et incompressible; la seule force appliquée est la pesanteur qui dérive du potentiel (Ω = g.z).

Dans ces conditions, le théorème de Lagrange montre que le mouvement est irrotationnel (ω=0), c'est-à-dire que les vitesses u et w, respectivement dans la direction des axes de ox et oz, dérivent d'un potentiel (φ) tel que V = ∇φ . Dès lors, on obtient:

xu

∂

∂=

φ et z

w∂

∂=

φ

L'équation de continuité ∇ .V = 0)zyx

( =∂

φ∂+

∂

φ∂+

∂

φ∂ , du fait que (y∂φ∂ ) = 0, se réduit à:

∇ .V = 0)zx

( =∂

φ∂+

∂

φ∂

Dès lors, en y introduisant le potentiel (φ), on obtient:

∇2φ = 0)zx

(2

2

2

2=

∂

φ∂+

∂

φ∂



Note: Les vitesses dérivent d'un potentiel (φ) tel que V=∇φ . Le signe positif est tout à fait conventionnel. Le signe positif indique que les vitesses évoluent dans le sens du potentiel croissant tandis que le signe négatif indique leur évolution dans le sens du potentiel décroissant.

Les deux signes sont valables car dans chaque cas les conditions de Cauchy-Riemann traduisant les conditions d'orthogonalité entre les lignes de courant et celles de potentiel, se trouvent être respectées. Dans un écoulement

irrotationnel l'orthogonalité entre φ et ψ se traduit par les conditions yx ∂

ψ∂=

∂

φ∂ et xy ∂

ψ∂−=

∂

φ∂ .

◦ Conditions aux limites

ú Conditions cinématiques: - le fond est imperméable, la vitesse normale w au fond est nulle, dès lors:

0)z

(w =∂

∂=

φ pour z = - d

- les particules de la surface libre ne quittent pas celle-ci. Dès lors, l'expression traduisant cette condition dans le système des coordonnées oxyz, s'écrit:

y.yx

.xzt ∂

η∂

∂

∂−

∂

η∂

∂

∂−

∂

∂=

∂

η∂ φφφ

Du fait que 0y=

∂

η∂ pour z = η, cette condition s'écrit:

}{x

.xzt ∂

η∂

∂

∂−

∂

∂=

∂

η∂ φφ pour z = η

Où η représente l'élévation de la surface libre.

ú Condition dynamique: En prenant la pression atmosphérique comme référence, pour un fluide incompressible, la condition dynamique à la surface libre, traduisant l'existence d'une surface libre, se déduit de l'équation de Bernoulli qui permet de définir la pression sous forme de:

z.g.)z

()x

( }{ 222g.

t.p ρ−

∂

φ∂+

∂

φ∂φ∂ ρ−

∂ρ−=

Du fait que la pression p à la surface libre (z = η) est nulle, cette expression se réduit à:

η=−η=∂−=η

∂

φ∂+

∂

φ∂φ∂z2

1ztg

1 }{}{ 22 )z

()x

(

Finalement, on aboutit au système d'équations:

(I)

(1). ∇ 2φ = 0

(2). 0)z

( =∂

φ∂ pour z = - d

(3). }{x

.xzt ∂

η∂

∂

∂−

∂

∂=

∂

η∂ φφ pour z = η

(4). gp)

z()

x( }{ 22

21

tg1

ρ−

∂

φ∂+

∂

φ∂φ∂−

∂−=η pour z = η

La difficulté de résolution provient du fait que les équations I. (3) et I. (4) sont non linéaires. Pour contourner cette difficulté, on se ramène à un problème linéaire en supposant que les déformations η(x, t), de la surface libre restent infiniment faibles par rapport à la longueur d'onde L.



La solution sous cette forme linéaire, dite de première approximation ou d'ordre un, a été proposée par Airy (Réf. 36) en 1846.

§ La houle d'Airy La houle d'Airy présente l'avantage d'être relativement aisée à développer, et permet de voir les caractéristiques communes aux différentes théories de houle, et sert de point de départ aux théories probabilistiques.

Les variations de la surface libre étant considérées suffisamment faibles par rapport à la longueur d'onde

(H/L << 1), par rapport à la profondeur d'eau (H/d << 1), les composantes des vitesses des particules x∂φ∂ ;

z∂φ∂ et la pente

x∂η∂ de la surface libre sont faibles. Dès lors, les termes 2)

x(∂

φ∂ , 2)z

(∂

φ∂ et x

.x ∂

η∂

∂

φ∂ sont, en

première approximation (théorie linéaire 1er ordre), négligeables devant les termes linéaires. Ainsi les équations (I) se réduisent à:

(II)

(1). ∇ 2φ = 0

(2). 0)z

( =∂

φ∂ pour z = - d

(3). zt ∂

∂=

∂

η∂ φ pour z = η

(4). tg

1∂

−=ηφ∂ pour z = η

Les équations II. (3) et II. (4) donnent la condition dite de Poisson à la surface libre:

0z

.gt 22

=∂

φ∂+

∂

φ∂ pour z = η

◦ Caractéristiques en profondeur finie La houle périodique sinusoïdale se propageant dans le sens des x positifs, la déformation de la surface libre sera prise sous la forme:

)tkx(ie.a σ−=η

L'équation de la continuité, ∇φ = 0, ainsi que la forme de η suggèrent une recherche de potentiel sous la forme:

)tkx(ie).dz(P σ−+=φ

En introduisant cette expression du potentiel (φ) dans l'équation II. (1), on obtient l'équation différentielle:

0)dz(Pkdz

)dz(Pd 22

2=+−

+

qui a pour solution: P(z + d) = A.ek(z+d) +B.e−k(z+d) , d'où: ϕ = (A.ek(z+d) +B.e−k(z+d)).ei(kx−σt)

La condition au fond II. (2) donne: A.ek (0) = B.e-k (-0) = 1/2. C

On obtient ainsi: )tkx(ie)}.dz(k{ch.C σ−+=φ

En appliquant la condition II. (3) ou II. (4), on obtient: )tkx(i)}d(k{sh. e.k.Ce..a.i )tkx(i σ−+η=σ− σ−



Or par hypothèse (H/d <<), donc sh{k(η+d)} ≅ sh(kd) (car | kη | ≤ π .H/L) et comme H/L << 1, dès lors, |kη| << 1, par conséquent | η | << d). Dès lors, on a:

)kd(sh.ka.iC σ

−= et )tkx(ie.)kd(sh)}dz(k{ch.

ka.i σ−+σ

−=φ

Ainsi, en considérant les parties réelles de (φ) et de η, on obtient: )tkxcos(.a σ−=η

)tkxsin(.)kd(sh)}dz(k{ch.

ka

σ−+σ

=φ ou )tkxsin(.)kd(ch)}dz(k{ch.ag

σ−+

σ=φ

Tandis que les parties imaginaires sont données par les expressions: )tkxsin(.a σ−=η

)tkxcos(.)kd(sh)}dz(k{ch.

ka

σ−+σ

−=φ ou )tkxcos(.)kd(ch)}dz(k{ch.ag

σ−+

σ−=φ

La condition de Poisson établie précédemment permet d'écrire la relation de dispersion reliant la fréquence σ au nombre d'ondes k;

)kd(th.k.g2 =σ et )kd(th..2T.g

L2

π=

Les expressions des composantes des vitesses et des accélérations des particules s'obtiennent par simple dérivation de l'expression du potentiel (φ).

Ainsi pour: )tkxcos(.a σ−=η

)tkxsin(.)kd(sh)}dz(k{ch.

ka

σ−+σ

=φ

On a successivement:

ú Vitesses:

)tkxcos(.)kd(sh)}dz(k{ch.a

xu σ−

+σ=

∂

φ∂=

)tkx(sin.)kd(sh)}dz(k{sh.a

zw σ−

+σ=

∂

φ∂=

La vitesse horizontale u est en phase avec la variation η du niveau de la surface libre, atteignant ses valeurs extrêmes à la verticale des crêtes (où elle est dirigée dans le sens de propagation de l’onde) et des creux (où elle est dirigée dans le sens inverse).

De plus, la condition préalable d’imperméabilité du fond w = 0 pour z = -d est vérifiée. L’absence de frottement au fond se traduit par la non nullité de u pour z = -d. Ces expressions sont surtout utilisées lorsqu’on cherche à évaluer les efforts exercés par la houle sur une structure fixe.

ú Accélérations:

)tkxsin(.)kd(sh)}dz(k{ch.a

tu 2 σ−

+σ=

∂

∂

)tkxcos(.)kd(sh)}dz(k{sh.a

tw 2 σ−

+σ−=

∂

∂



ú Trajectoires: Les particules de fluide décrivent des orbites pratiquement fermées dont les dimensions sont assez petites devant la longueur d’onde. En première approximation, les vitesses u et w peuvent donc être confondues avec leur valeur au centre xc, zc de chaque orbite.

D’où la position d’une particule donnée par:

ud).z,x(u zct

0∫

Dès lors, en y introduisant les expressions: utx =

∂

ξ∂ et w

tz =

∂

ξ∂

Et en les intégrant on obtient:

ξx = −a.ch{k(z + d)}sh(kd)

. sin(kx − σt)

ξz = a.sh{k(z + d)}sh(kd)

. cos(kx − σt)

Les particules décrivent des ellipses (Fig.II.13) dont les semi axes sont donnés par:

- le demi-axe horizontal ⇒ )kd(sh)}dz(k{ch

.axR+

=

- le demi-axe vertical ⇒ )kd(sh)}dz(k{sh

.azR+

=

Et la distance focale par: FF' = 2.a/sh(kd)

(Fig. II.13)

Le rapport des demi axes est de th{k(z+d)}; en surface (z = o), dès que d est assez grand (supérieur à 1/2.L), les trajectoires sont pratiquement circulaires. Au fond (z = -d), l'ellipse est infiniment aplatie, le déplacement horizontal est a/sh(kd) autour de sa position moyenne (mouvement de va et vient); il tend à croître au-delà de toute limite quand d décroît.



ú Pression: La pression est donnée par les expressions:

z.gt

p−

∂

φ∂−=

ρ soit z.g)tkxcos(.

)kd(ch.agp )}dz(k{ch

−σ−−=ρ

+

Pour passer de l'amplitude de la fluctuation de pression au fond à l'amplitude de la houle en surface, on multiplie la fluctuation par ch(kd). Les fluctuations de pression (pression dynamique) autour de la valeur hydrostatique (-g.z) dans l'eau au repos ont une amplitude qui diminue, quand la profondeur augmente.

◦ Caractéristiques en profondeur infinie En reprenant les expressions établies pour la houle en profondeur finie et en faisant tendre d vers l'infini, on obtient celles de la houle en profondeur infinie.

Pour { )tkxcos(.a σ−=η } on obtient successivement les expressions suivantes:

ú Potentiel:

)tkxsin(.e.ka kz σ−σ

=φ

ú Vitesses:

)tkxcos(.e.au kz σ−σ= et )tkxsin(.e.aw kz σ−σ=

ú Accélérations:

)tkxsin(.e.atu kz2 σ−σ=∂

∂ et )tkxcos(.e.atw kz2 σ−σ−=∂

∂

ú Trajectoires:

)tkxsin(.e.a kzx σ−−=ξ et )tkxcos(.e.a kz

z σ−=ξ

ú Pression:

z.g)tkxcos(.e.agp kz −σ−−=ρ

Ainsi les particules décrivent des cercles de rayon a.ekz qui décroît avec la profondeur. Donc, en grande profondeur (d/L > 1/2) ou en profondeur infinie, le fond n'a pratiquement pas d'influence sur la houle, et les particules décrivant des cercles avec une vitesse angulaire σ = (g.k) 1/2, leur mouvement et les fluctuations de pression diminuent exponentiellement quand la profondeur augmente; ce qui justifie l'appellation d'ondes de surface.

En profondeur infinie, la célérité c = (g.L/2π) 1/2 ne dépend que de la longueur d'onde. Si au contraire la profondeur devient très faible ou si la longueur d'onde est très grande par rapport à la profondeur, la célérité est alors définie par l'expression c = (g.d) 1/2 et elle est indépendante de la longueur d'onde.

Nous remarquons que les notions de profondeur ont une grande influence sur les comportements et caractéristiques des houles. Ainsi, dans la littérature sur les houles les définitions suivantes sont de rigueur (Réf. 12).

▫ Eau profonde si d/L ≥ 1/2 ▫ Profondeur intermédiaire si 1/200 < d/L < 1/2 avec L = g.T2/2π ▫ Profondeur faible si d/L ≤ 1/200

La figure (II.14) illustre le champ des vitesses correspondant aux cas de profondeurs limitée, illimitée et intermédiaire selon que d tend vers 0 ou à l'infini ou prend des valeurs intermédiaires.



(Fig. II.14)

◦ Dispersion, vitesses de phase et de groupe Comme précisé précédemment, l'équation II. (4), (η=-1/g.{∂Φ /∂t}z=η) définissant une des conditions à la surface libre (z=η), appliquée au potentiel Φ correspondant à la forme de la surface libre η (sinusoïdale) permet d'obtenir une relation dite relation de dispersion qui relie la fréquence σ au nombre d'onde k.

Ainsi, pour une surface libre représentée par { )tkxcos(.a σ−=η }, elle est donnée par l'expression:

)kd(th.k.g2 =σ et )kd(th..2.g 2T

Lπ

=

Qui, pour d → ∞, s'écrit σ2=g.k.

Sous forme résolue on a donc: σ(k) = ±{g.k.th(kd)}1/2 ou pour les valeurs finies de d et σ(k) = ±(g.k) 1/2 pour d → ∞. Elle se simplifie dans les deux limites de l’eau peu profonde, d << L, soit (kd) << 1, ou de l’eau profonde, d >> L.

Dans le premier cas on a th(kd) ~ (kd) et donc σ = ± c.k avec c = (g.d) 1/2, où c est la célérité des ondes et est constante: il n’y a pas de dispersion.

Dans le second cas, on a th(kd) = 1 et σ prend la même forme que dans le cas d = ∞. La célérité des ondes dépend constamment de leur longueur d’onde, il y a dispersion. 6 Un mouvement ondulatoire compliqué de la surface libre se présente généralement sous la forme η(x, t) = Φ(x, t).cos{ε(x, t)} ou η(x, t) = Φ(x, t).sin{ε(x, t)} où ε(x, t) est une phase variant rapidement, généralement de la forme (kx − σt + ε0), tandis que Φ est une fonction variant lentement qu’on appelle l’enveloppe (Fig.II.15). Dire que ε varie rapidement, et Φ lentement c’est dire que k et σ sont très grands

devant x∂φ∂ et

t∂φ∂ . En outre en général k est aussi une fonction à variation lente de (x, t), tandis que σ est

une fonction de k (relation de dispersion).



(Fig. II.15)

Dans un tel cas on appelle vitesse de phase ou célérité Cε le rapport σ /k. Dès lors, si un observateur se déplace par rapport à la surface libre η à la vitesse Cε il observe toujours la même phase ε , c’est-à-dire, se trouve toujours au même endroit de la sinusoïde cos(ε) ou sin(ε). Par contre l’enveloppe des oscillations évolue autour de lui. Comme k = k(x, t), Vε va aussi évoluer lentement.

Par contre, si un observateur se déplace par rapport à la surface libre η avec une vitesse dite vitesse de groupe Cg, définie pour un nombre d'onde k0 par la relation:

)( 0kdkd

Cgσ

=

Du fait que x=Cg(k0).t, il voit un paysage constant autour de lui (à l'exception de la phase rapide cos ou sin(kx0 - σ(k0).t + π/4) ). Les vagues à courte longueur d’onde défilent sous lui, mais l’enveloppe est fixe. Notons cependant qu’à d’autres parties du profil enveloppe, correspondant à des valeurs différentes de k0, sont associées des vitesses de groupe différentes.

Ainsi la vitesse de groupe maximale pour la propagation des ondes de surface est C0, ce qui veut dire que, à t donné, la valeur maximale de x où l’on peut observer une enveloppe notable est C0.t. On appelle cette zone le front d’onde, c’est-à-dire le point où l’onde commence à se manifester.

Clairement la valeur de k correspondante est voisine de 0, ce qui correspond à un régime très peu dispersif (on a presque σ = C0.k). Au contraire pour x << C0.t on est dans le régime de grand k, c’est-à-dire, d’eau profonde, où σ = (g.k) 1/2 qui est très dispersif.

L'expression de la vitesse de groupe Cg s'obtient ainsi, en dérivant la relation de dispersion σ(kd) par rapport au nombre d'onde k:

Cg =d

dkσ(kd) =

d

dk{g.k.th(kd)}1/2 ⇒ Cg = 1 / 2.

σ

k.{1 + 2.kd

sh(2.kd)}

Ou encore en y substituant la célérité c=σ /k:

Cg =C

2.{1 + 2.kd

sh(2.kd)}

Par conséquent, en eau peu profonde la vitesse de groupe est égale la célérité de la vague, par contre en eau profonde elle vaut la moitié de la célérité de la vague, car:

ú pour kd << 1 ⇒ sh(2kd) ~ 2kd ⇒ Cg = C. ú et pour d → ∞ ⇒ 2kd/sh(2kd) → 0 ⇒ Cg = C/2, donc Cg = ½ σ/k

Note: La vitesse de groupe est en fait la vitesse à laquelle l'énergie de houle se propage. Les orbites des particules d'eau étant périodiques, les vagues linéaires ne correspondent à aucun courant moyen. Par contre, la propagation des vagues est associée à un flux d'énergie.

En effet, les vitesses et pressions sont en phase, si bien qu'une colonne d'eau effectue un travail W sur sa voisine située dans la direction de propagation.

∫η

−=

ddz.u.pW



Où

z.g.)tkxcos(.)kd(ch)}dz(k{ch

.g..ap ρ−σ−+

ρ−= et )tkxcos(.)kd(ch)}dz(k{ch

.k.g.a

u σ−+

σ=

En introduisant les expressions de p et de u dans l'intégrale,

∫ +σ−σ

ρ−=η

−d

222

2 dz)}.dz(k{ch).tkx(cos.)kd(ch.

k.g.a.g.W

Et en prenant la moyenne sur une période, on obtient:

∫η

−++

σρ=

d2/1

222/1 dz.)}dz(k{ch1..

)kd(ch.

k.g.a.g..W }{

Comme 1/2.ρ.g.a2 est l'énergie totale E de la houle développée sur une période, en intégrant on obtient;

)}kd2(sh.k41

2d.{

)kd(ch.

k.g.EW

2+

σ= ⇒ )kd(th}.

)kd2(shkd

2d.{

k.k.g

.EW +σ

=

En remplaçant g.k.th(kd) par σ2, on aboutit à l'expression finale:

})kd2(sh

kd2d.{

k.EW +σ

= ⇒ gC.EW =

Avec

})kd2(sh

kd2d.{

kCg +

σ=

W est un flux d'énergie et Cg est la vitesse de groupe qui est donc la vitesse moyenne de cette énergie. Le nom de vitesse de groupe vient du fait que Cg=dσ /dk qui est la vitesse de propagation d'un groupe de vagues contenant des fréquences différentes mais proches.

◦ Energie de la houle La houle renferme de l'énergie sous deux formes: l'énergie potentielle EP nécessaire pour déformer la surface libre et l'énergie cinétique EC pour communiquer aux particules leur mouvement orbital.

Pour une surface libre représentée par { )tkxcos(.a σ−=η }, l'énergie potentielle EP nécessaire à élever de

(1/2.η) la masse d'eau (ρ.η.dx) contenue dans la longueur dx est égale à ( dx..g.. 22/1 ηρ ).

Sur une longueur d'onde, l'énergie potentielle EP vaut donc:

∫ σ−ρ=∫ ηρ=L

0

22L

0

2P dx).tkx(cos.g..a.dx...g.E 2/12/1

D'où: L.g..a.E 24/1P ρ=

L'énergie cinétique EC s'obtient en résolvant la relation:

∫∫ +ρ=L

0

22d

02/1C dz.dx).wu(..E

Soit: L.g..a.E 24/1C ρ=

L'énergie totale ET se compose donc de deux termes égaux (EP = EC) et a pour valeur: L.g..a.EEE 22/1CPT ρ=+=

Ou encore en remplaçant (a) par (H/2):

L.g..H.E 28/1T ρ=



◦ Energie perdue par viscosité La viscosité tend à faire diminuer l'amplitude d'une lame selon une loi que l'on peut établir (Réf. 37). En l'absence de viscosité et en profondeur finie, on a:

)tkxcos(.a σ−=η

)tkxcos(.)kd(sh)}dz(k{ch.

ka

σ−+σ

=φ

Et

)tkxcos(.)kd(sh)}dz(k{ch.au σ−

+σ=

)tkxsin(.)kd(sh)}dz(k{sh.aw σ−

+σ=

Ce type de mouvement à potentiel peut subsister même en présence de viscosité si des forces extérieures non strictement normales sont appliquées. Ces forces sont données par les expressions:

xu..pP 2xx ∂

∂µ+−= ;

zw..pP 2zz ∂

∂µ+−= ; )

xw

zu.(PP zxxz ∂

∂+

∂

∂µ==

Sur la surface libre (z=0), on obtient:

)tkxsin(.)kd(sh)kd(ch

.k..a..pP 2xx σ−σµ−−= ; )tkxsin(.)kd(sh)kd(ch

.k..a..pP 2zz σ−σµ+−=

Et )tkxcos(.k..a..PP 2zxxz σ−σµ==

Le travail de ces forces par unité de surface de la mer et par unité de temps est donné par: u.Pw.Pw.Pu.P zxxzzzxx +++=τ

En substituant les valeurs correspondantes, et prenant les valeurs moyennes sur une période, on obtient l'énergie moyenne dissipée par unité de temps:

222m k.a.g..µ=τ

En régime supposé uniforme dans l'espace et en présence de cette seule dissipation, on obtient:

mTmEdtd

τ−= où g..a.E 22/1Tm ρ=

Dès lors:

mTmEdtd

τ−= ⇒ 22222/1 k.a.g..)a.g..(dtd

µ−=ρ

Soit: 222 k.a.g..

dtda.a.g. µ−=ρ ⇒ a.k..

dtda 22 ν−=

Qui a pour solution: t.k..e.aa

220

ν= −

Ainsi la surface libre peut-être représentée, en tenant compte de l'amortissement de l'amplitude par viscosité, par l'expression:

)tkxcos(.t.k..e.a22

0 σ−ν−=η

Le potentiel des vitesses, dans ce cas, a été donné par Lamb (Réf. 13) pour une profondeur infinie et par Basset (Réf.38) pour une profondeur finie.



§ Les houles d'ordre supérieur Dans la première approximation, les termes non linéaires ont été négligés; cette théorie s'applique donc aux houles d'amplitudes faibles par rapport à la longueur d'onde. La méthode de calcul des houles d'amplitudes non infiniment petites consiste à développer 1es coordonnées x, z et la pression p en série de puissances des coordonnées du point moyen x0, z0. Comme on cherche une houle périodique de profil constant qui ne peut être obtenue par une superposition quelconque de termes harmoniques mais par une superposition de termes harmoniques bien déterminée, il faut donc maintenir une vitesse de propagation constante. Le potentiel des vitesses se compose dès lors d'une somme de fonctions sinusoïdales de (kx-σt), 2(kx-σt)...La vérification des équations générales se fait par approximations successives.

La houle d'Airy n'est qu'une première approximation de la condition aux limites de la surface libre. Par cette méthode, on peut aussi mieux approcher la condition aux limites de la surface libre par des développements d'ordres supérieurs à un paramètre ε (ε < 1 pour des raisons de convergence de la série), du potentiel et de la surface libre écrits sous forme de:

.....)t,z,x(.)t,z,x(.)t,z,x(.)t,z,x( 33

22

1 +Φε+Φε+Φε=Φ

.....)t,x(.)t,x(.)t,x(.)t,x( 33

22

1 +ηε+ηε+ηε=η

Dès lors, afin d'obtenir les équations linéaires à tous les ordres, on introduit ces expressions dans le système d'équations (I) et on identifie les relations pour les diverses puissances du paramètre ε .

La houle d'Airy est celle qui est le plus souvent utilisée pour calculer les forces et sollicitations hydrodynamiques. Elle ne diffère de la houle sinusoïdale d'amplitude non infiniment petite que par des termes correctifs d'ordres supérieurs. Ces houles sont du types Stokes, notamment, celle de Wehausen et Laitone (Réf. 39, 40) qui correspond au développement d'ordre 2, celle de Borgman et Chappelear (Réf. 41, 42) au développement d'ordre 3, et celle de Skjelbreia (Réf. 20) et De (Réf. 43) au développement d'ordre 5.

Par l'introduction d'harmoniques d'ordre supérieur avec ε=H/L (valeur proposée par Stokes), on peut dès lors obtenir les équations des différentes houles non linéaires de Stokes. Notamment, à titre d'exemples, les développements d'ordre 1, 2 et 3 aboutissant aux expressions suivantes:

ú Stokes d'ordre 1. )tkxcos(.a1 σ−=η

)tkxsin()kd(sh)}dz(k{ch.

..g.a

2

T1 σ−

+

π=Φ

)/d..(th...g

L LT

22

2π

π=

ú Stokes d'ordre 2.

)}tkx(cos{.)kd(th

)}kd(th{.

.a.

23

23

8 L12 σ−−π

+η=η

)}tkx(sin{.)kd(sh

)}dz(k{ch.

.a..

24

2

64

23

T12 σ−+π

+Φ=Φ

)/d..(th...g

L LT

22

2π

π=



ú Stokes d'ordre 3.

)}tkx(cos{.)kd(sh

)}kd(ch.{.

.

a..3

6

681

21024

323

L23 σ−

−π+η=η

)}tkx(sin{)}.dz(k{ch.)kd(sh

)}kd(ch.{.

..a.

337

2211

1024

32

TL23 σ−+−π

+Φ=Φ

}{)kd(sh.

)}kd(ch.{.).k()./d..(th.

..g

L416

224142122

2L

T +β+π

π=

)kd(sh)}kd(ch.{.

...a

62281

232

332

L

+β+β=

Ces houles sont surtout utilisées pour le calcul des efforts exercés par la houle sur des structures en mer telles que les plates formes pétrolières. Des calculs aussi complexes ne sont pas nécessaires dans le cas de calculs de réflexion, de réfraction et de diffraction de la houle, notamment, dans les surfaces portuaires. En effet, la houle n’y est pas régulière et subit beaucoup de modifications dues aux variations du sol, des digues, des brises lames, etc.

§ La houle cnoïdale La houle cnoïdale est une houle transitoire entre les houles en grande profondeur et l'onde solitaire. Elle est la solution d'une équation différentielle issue des deux conditions suivantes:

- La houle simple se propage à célérité constante (c); elle représente un écoulement permanent dans un système d'axe se déplaçant à la vitesse (-c). Le débit de cet écoulement est donc constant.

- La somme des énergies cinétique et potentielle est invariable le long d'une ligne d'écoulement et donc le long de la surface libre si on ne suppose aucune action extérieure et aucune déperdition.

Elle est obtenue en développant le potentiel en série de Taylor. Elle porte le nom de houle cnoïdale parce qu'elle nécessite l'emploi de la fonction cosinus elliptique. Bien qu'elle soit irrotationnelle, comme les houles de Stokes d'ordre supérieur à 2, elle est accompagnée d'un transport de masse. La forme de la surface libre s'apparente à celle des houles sinusoïdales pour des faibles valeurs de H/d et à celle de l'onde solitaire pour les grandes valeurs de ce rapport.

Pour la première fois, c'est en 1895 que Korteweg et De Vries (Réf. 44) ont développé la théorie de la houle cnoïdale, suivis de Keulegan et Patterson (Réf. 45) en 1940 et Keller (Réf. 46) en 1948. C'est en 1957 que Littman (Réf. 47) a démontré l'existence des houles périodiques permanentes de ce type. Benjamin et Lighthill (Réf. 48) ont développé considérablement la théorie, comme Iwasa (Réf. 49), pour l'étude des sauts hydrauliques.

Pour une houle cnoïdale de hauteur H et période T propageant dans la direction ox dans une eau de profondeur constant d, l'élévation de la surface libre η(x, t) est exprimée par:

)m,(cn. 2min H θηη +=

Où cn est le cosinus elliptique et cn(θ , m) est le jacobien de la fonction elliptique d'argument θ et de paramètre elliptique m.

L'argument θ est une combinaison de x et t, et défini, en fonction de la longueur d'onde L dans la direction ox de la propagation et de l'intégrale elliptique complète de 1er ordre K(m), par la relation:

)xt.(.LT

)m(K2 −=θ



L'élévation du creux de la houle ηmin (< 0) est donnée par l'expression:

}).(.{d 111

)m(K)m(E

mmin −−=η

Où E(m) est l'intégrale elliptique complète du 2ème ordre.

Le paramètre elliptique m (0 ≤ m < 1) est la solution au nombre d'Ursell ou de Stokes (Ur) , traduisant le rapport de non linéarité (H/d) et de dispersion (d/L) des houles, exprimé par:

)m(KmL.HrU

23

163

2..

d==

La célérité (c = L/T) et la longueur d'onde L de la houle cnoïdale s'obtiennent dès lors par les expressions: [ ] 2/1}).d(1.{d.gc )m(A/H+=

[ ] 2/1}).d(1.{d.g. )m(A/HTL +=

Où la fonction A(m) est définie par l'expression:

)m(K)m(E

mm)m(A .31

2−−=

Dans le cas de la houle cnoïdale oblique ayant une direction de propagation (α) dans le plan (x, y) du système d'axes cartésiens (x, y, z) avec des nombres d'onde kx et ky correspondants et des longueurs d'onde Lx et Ly dans les directions ox et oy respectives, l'élévation de la surface libre de la houle cnoïdale η(x, y, t), en fonction de la longueur d'onde L dans la direction de propagation, peut être définie par les expressions:

)m,(cn.)t,y,x( 2min H θηη +=

)yxt.(.)t,y,x(yLxLT

)m(K2 −−=θ

Où

)cos(k. L

Lx

x2

α

π== et

)sin(k. L

Ly

y2

α

π==

Les fonctions elliptiques intervenant dans les expressions de ces théories sont données dans la littérature sous forme de diagramme, notamment dans Wiegel (Réf. 50).

La houle cnoïdale n'est pas souvent employée car les expressions des composantes de la vitesse sont d'un maniement très complexe.

Note: Les intégrales elliptiques complètes K(m) et E(m) respectivement du 1er et 2ème ordre sont définies par les expressions analytiques:

∫=∫=−−−

1

0

2/

0 2/1221212/1221 )}.m).({(

d

)}(sin.m{

d)m(K

νν

ν

θ

θπ

∫=∫= −−−1

0

2/

0d.)}.m).({(d.)}(sin.m{)m(E 2/1221212/1221 νννθθ

π

§ L'onde solitaire (Soliton - Tsunami) L'onde solitaire est une intumescence cylindrique de périodes temporelle et spatiale infinies qui se propage sans déformation à une célérité constante. Cette houle programmable est utilisée pour le calcul des structures en mer très peu profonde où les théories de houle sophistiquées (3ème et 5ème ordre) deviennent numériquement instables. Du fait du quasi linéarité de la relation de dispersion σ/k de l'onde, celle-ci propage sur une très longue distance sans déformation.



Les expressions du profil de la surface libre et de la célérité découlent de la théorie des oscillations limites en très faible profondeur d'un fluide soumis au champ de gravité.

Dans un fluide parfait et incompressible, pour un écoulement irrotationnel, aux voisinages de la valeur 1 du nombre d'Ursell (H.L2/d), les ondes sont cnoïdales et, en particulier, l'onde solitaire, ainsi, il existe une solution sous forme de potentiel harmonique répondant aux équations de Boussinesq.

En fait, l'onde solitaire est une solution particulière, appelée aussi Soliton, de l'équation de Korteweg et De Vries qui découle de celles de Boussinesq écrites pour une propagation unidirectionnelle. Cette solution est définie comme une onde dont la célérité (c) et l'amplitude (a) sont constantes, si la surélévation H de la surface libre par rapport à la profondeur au repos d et la profondeur d sont constantes. Donc une onde qui se propage sans se déformer en profondeur constante.

La surface libre η est définie, en fonction de l'amplitude H, la profondeur constante d et la célérité constante c, par l'expression:

)ctx.()d./.(ch.)t,x( 2/132 43 HH −= −η

Où la célérité de l'onde est donnée par:

)d.

.(d.gc2

1H

−=

En un point x, la variation de hauteur d'eau à t = 0 lors du passage de l'onde est donnée par: x.)d./.(ch.)x( 2/132 43 HH −=η

Dès lors, pour un écoulement supposé unidirectionnel, en considérant que L = (d3/H) 1/2 est la longueur caractéristique de l’onde, on obtient, en fonction de la largeur Ly de l'onde, le volume d'eau déplacé entre -x et x, exprimé par:

y2/12/32/1x

xL.)

H)x(.(d.H.

34dx).x()x( 1

η−∫ =η=∇

+

−

Soit un volume total soulevé:

y2/12/3 L.H.d.

34

=∇

Pour une expression simple de la célérité C = {g.(H+d)}1/2 tirée des essais en bassin de houles, les expressions des vitesses des particules selon Munk sont données par:

2)}d/x.M(ch)d/y.M{cos(

)}d/x.M(ch).d/y.Mcos(1{.N.Cu

+

+=

et

2)}d/x.M(ch)d/y.M{cos(

)}d/x.M(sh).d/y.Msin(1{.N.Cw

+

+=

Et la vitesse horizontale maximum umax qui apparaît pour x et t zéro, est donnée par:

)d/y.Mcos(1N.Cumax +

=

Où y est mesuré à partir du fond et M et N sont fonctions de H/d (Fig.II.16).

Sans tenir compte d'un éventuel déferlement de l'onde, qui selon Miles apparaît pour {(H/d)max=0,78}, (ordre retenu étant faible), ceci procure au système une énergie potentielle qui peut être importante. D'autre part la célérité de l'onde est grande et fournit une énergie cinétique très forte.



Dès lors, l'énergie totale ET de l'onde est donnée par l'expression:

y2/32/3

T L.dH338E ..g..ρ=

(Fig. II.16)

Note: La signification japonaise du mot Tsunami, "vague de port", résume parfaitement l’idée commune que l’on se fait de ce phénomène redoutable qui est en fait le déferlement sur les côtes d’un gigantesque mur d’eau. Un tsunami comprend en pratique trois étapes: déclenchement, propagation et déferlement.

Le déclenchement des tsunamis ne fait pas l’objet en soit d’une théorie bien établie. En revanche, on dispose d’une théorie de la phase de propagation, comprenant à la fois les équations générales qui régissent la propagation des tsunamis, et les caractéristiques du tsunami lors de sa propagation, articulées autour d’une solution mathématique appelée le soliton. Lors de la phase de propagation, on observe que les ordres de grandeurs caractéristiques des tsunamis vérifient : d << H <<L et que, comme observée dans la réalité, la vitesse est très bien approximée par la formule v = (g.d) ½, ceux qui justifient l’étude de la propagation des tsunamis dans le cadre de l’approximation des eaux peu profondes.

§ La houle R.T. (Théorie de réflexion) "Une onde se propageant en profondeur infinie se déforme, donc lorsqu'elle atteint un milieu de profondeur finie de manière telle que les équations, qui la caractérisent, s'obtiennent en tenant compte d'une réflexion par un fond situé à cette profondeur.

Il apparaît dans l'absolu tout aussi logique de tenir compte également d'une réflexion à la surface libre, séparation entre deux milieux fluides différents. Alors que la réflexion par un fond rigide s'accompagne d'un renversement du sens du mouvement orbital, celle à la surface libre conserve celui-ci dans le même sens." Marchal (Réf. 51).

En complétant les hypothèses habituelles par celle de la réflexion à la surface libre, Marchal obtient les équations des caractéristiques d'une houle irrotationnelle dont en seconde approximation, les orbites des particules ont la forme en "œuf aplati" et sont fermées.

Cette théorie donne une importance plus grande aux axes horizontaux des orbites, celles-ci étant plus écrasées; les vitesses, les accélérations et donc les efforts horizontaux seront plus importants.



• Commentaires à propos des modèles déterministes

La théorie de la houle trochoïdale de Gerstner a le mérite de satisfaire aux équations fondamentales de l'hydrodynamique et aux conditions aux limites, contrairement à la houle du type Stokes, et ce, même pour des amplitudes non infiniment petites; cela ne signifie cependant pas qu'elle représente correctement le mouvement réel. On peut montrer facilement que pour la houle, seules les deux conditions sur la surface libre ne sont généralement pas satisfaites de par la forme des développements.

Pour l'onde solitaire de Munk (Réf. 52) et la théorie de la fonction de courant, la condition cinématique est automatiquement satisfaite.

La forme de la surface libre de la houle de Gerstner n'est pas symétrique par rapport à l'axe horizontal; les crêtes ont des pentes plus fortes et les creux des pentes plus faibles que celles de la trochoïde; de plus les vitesses des particules ne sont pas constantes. Cependant la houle de Gerstner peut servir de base de calcul dans une première approximation.

Les houles de Stokes, contrairement à celle de Gerstner considèrent un mouvement irrotationnel. A la 2ème approximation, bien que le potentiel des vitesses et la célérité aient les mêmes expressions qu'en 1ère approximation, les profils de la surface libre diffèrent et les particules ne décrivent plus des orbites fermées; il existe un faible transport de masse (de vitesse d'autant plus grande que la longueur d'onde est petite) comme dans le phénomène réel, mais la totalité du fluide se transporte dans la direction de la célérité, ce qui ne peut être vrai, car un courant compensateur doit exister à une certaine profondeur.

La houle de 3ème ordre coïncide avec celle de Gerstner, qui elle-même tend vers une houle cycloïdale qui est sa limite. Le courant d'entraînement, dû au fait que les orbites des particules restent ouvertes, est donné pour le 3ème ordre par:

kz.U 222 e.c.ak=∗

La solution de Stokes définit une forme limite de la houle dans laquelle les tangentes à la surface font entre elles un angle de 120° tandis que Gerstner définit cette limite par la cycloïde générée par le cercle de roulement de rayon L/2π .

Enfin, si pour Gerstner la célérité de la houle ne dépend pas de son amplitude, pour Stokes par contre la célérité augmente d'une quantité proportionnelle au carré du rapport entre l'amplitude et la longueur d'onde. En réalité cependant, pour la plupart des houles rencontrées, la trochoïde de Gerstner donne un profil d'onde assez fidèle. Dean (Réf. 53) a comparé les différentes théories de houle en calculant par la méthode des moindre-carrés les erreurs des équations des conditions aux limites, introduites par les différents ordres d'approximation, comme indicateurs de validité relative de ces théories (Fig. II.17).

Les erreurs ont été évaluées pour différentes hauteurs de houle et comparées avec les hauteurs de déferlement. De même que Laitone (Réf. 54) a utilisé comme critère de comparaison les célérités calculées par les différentes théories de houle.



(Fig. II.17)

La figure (II.18) illustre les profils de houles les plus usuelles découlant de ces différentes études théoriques.

(Fig. II.18)

Enfin, Estrade (Réf. 55) a montré que la théorie numérique de la fonction de courant satisfait, à la précision désirée, aux conditions aux limites; cette théorie, développée jusqu'au 10ème ordre, a été prise comme référence pour classer les théories usuelles de houle. Mais, l'emploi d'une telle théorie est prohibitif, compte tenu des temps de calculs relativement longs, et des résultats très voisins obtenus par des théories plus simples.



Au point de vue d'utilisation des différentes théories de houle dans le calcul des efforts et des sollicitations des structures off-shore Hogben et Standing (Réf. 56) ont fait la comparaison entre la théorie linéaire et 5ème ordre de la houle de Stokes, ayant mêmes amplitude et période. Les valeurs de ces paramètres étaient choisies dans les enregistrements de houle de la Mer du Nord.

Ils ont découvert que les forces totales d'inertie sur une colonne cylindrique, calculées par les deux théories, différaient de 7%, tandis que la contribution de la force de traînée était moins de 13%.

En conclusion, ils recommandent l'utilisation de la théorie linéaire de la houle de Stokes pour les structures où les forces dominantes sont du type inertiel, exception faite pour des composantes des structures où les forces de traînée sont prédominantes, particulièrement à proximité de la surface libre.

Ils trouvent que les erreurs, introduites dans la prise en considération des longueurs immergées des structures par le fait de considérer la hauteur d'eau au repos, sont plus importantes que celles introduites par l'utilisation de la théorie linéaire à la place de celles d'ordres supérieurs.

Cette discussion n'est valable que pour des fluides parfaits; quelle que soit la théorie choisie, on ne tient pas compte d'un fluide réel visqueux.

Dès lors, il ne semble pas utile de choisir une théorie d'ordre élevé. Par contre, il est beaucoup plus important d'analyser les théories existantes en 1ère ou 2ème approximation pour l'utilisation qu'on veut en faire et d'y apporter des améliorations éventuelles.

Partie I - Houles fondamentales III.1 Chapitre III – Modèles statistiques


Chapitre III. Modèles statistiques

• Généralités La mer est composée de très nombreuses vagues différentes en hauteur, longueur, direction et assemblées dans une confusion évidente; le profil de la surface libre est difficilement assimilable à une courbe d'allure sinusoïdale, comme le font les modèles de houle périodique à potentiel des vitesses.

D'un enregistrement de houle réelle, il est en effet peu facile de déduire une houle périodique de creux et de longueur bien déterminés. Et pourtant, ces modèles, de part leur simplicité, ont rendu et rendront encore dans les années à venir de grands services, surtout si l'on connaît leurs limites de validité et si l'on prend quelques précautions dans le choix des houles retenues comme houle de projet (Réf. 57).

Les vagues de l'océan peuvent être classées en deux catégories:

▫ Les vagues de mer: sous forme de trains de vagues évoluant localement dans une zone où elles sont générées et entretenues par le vent prédominant. Ils sont composés de vagues à crêtes courtes dont leurs longueurs peuvent atteindre 2 à 3 fois la longueur apparente de la vague. Ces vagues sont très irrégulières, les hautes vagues sont suivies, d'une manière imprédictible, par les basses et vice et versa. Les crêtes des vagues individuelles paraissent propager dans différentes directions avec des dizaines de degré de déviation par rapport à la direction principale de la propagation. Leurs crêtes sont assez aigues et parfois on y observe de petites vagues ou des saillies sur les larges crêtes ou creux. La période T~ virtuelle ou apparente des vagues varie continuellement comme d'ailleurs sa longueur virtuelle ou apparente L~

▫ Les houles: vagues évoluant hors de la zone de leur génération, donc ne dépendant plus du vent et pouvant propager sur des centaines de kilomètres en absence du vent. Elles sont, individuellement, plus régulières et leurs crêtes sont plus arrondies que celles des trains de vagues, les longueurs de leurs crêtes sont plus longues et peuvent atteindre 6 à 7 fois la longueur virtuelle de la vague et leurs hauteurs sont prédictibles. En cas de houles hautes, en un point donné, 5 à 6 houles d'hauteurs approximativement égales, peuvent y être observées. De même qu'en cas de houles basses, elles peuvent rester basses pendant plus d'une minute même quand l'élévation de la surface reste irrégulière.

En général, les vagues irrégulières sont le résultat, dans une zone donnée, de la superposition des houles et des trains de vagues de mer.

Le traitement des vagues irrégulières peut se faire par deux méthodes distinctes, à savoir: la méthode dite d'analyse statistique du train de vagues ou méthode de vague par vague et celle dite spectrale. La première méthode consiste à analyser les enregistrements des vagues (hauteurs et périodes correspondantes) par rapport au temps en un point fixe donné. La seconde par contre consiste à procéder à l'analyse du spectre des vagues obtenu à travers les enregistrements temporels de la surface libre de la mer et leur traitement par la transformation de Fourrier. Celle-ci, malgré sa grande complexité est la méthode d'approche le plus usuelle et appropriée mathématiquement pour analyser les enregistrements temporels et trois dimensionnels de la surface libre de la mer.

• Analyse statistique simple (vague par vague) Les enregistrements des vagues irrégulières obtenus à travers les observations en un point donné permettent d'établir une banque de données et de les traiter par de simples analyses statistiques. Pour obtenir des informations significatives et fiables les enregistrements doivent être faits sur une durée au moins égale 100 fois la période de la plus longue vague observée.



(Fig. III.1)

Sur de tels enregistrements la courbe des ondulations doit être divisée en plusieurs segments dont chacun est considéré comme une vague individuelle. Les principaux paramètres, la hauteur et la période, de chaque vague sont dès lors enregistrés. C'est ainsi que, sur chaque segment de l'enregistrement, les caractéristiques statistiques de l'enregistrement sont estimées et les données sont compilées.

Dans le cas des vagues irrégulières, le caractéristique principal, la hauteur de vague, peut être défini de plusieurs façons, notamment sous forme de hauteur moyenne H , hauteur moyenne quadratique HMQ et de hauteur significative HS définie comme la hauteur moyenne des 1/3 des vagues les plus hautes H1/3 et qui est plus utilisée et ainsi que la hauteur maximum Hmax. Dans le même ordre d'idée, la hauteur moyenne 1/N des plus hautes vagues parmi toutes les vagues de l'enregistrement est H1/N où on assigne un ordre N aux hauteurs allant de la plus haute à la plus courte hauteur (N= 1 à N), par conséquent la hauteur significative HS ou H1/3 correspond à la hauteur moyenne des 1/N premières plus hautes vagues. De même que, le deuxième caractéristique principal, la période, est défini sous forme de période moyenneT , période moyenne d'intersection de la ligne zéro TZ, etc. (Fig.III.1).

En pratique, d'une manière générale, la période moyenne T peut être facilement déterminée de la période des croisements ascendants de la courbe des η avec l'axe du temps t, ou de la période moyenne des crêtes ou des creux. Le moyen plus simple consiste à diviser la durée de l'enregistrement par le nombre (n-1) des croisements ascendants ou descendants comptés de η avec l'axe du temps t.

La hauteur moyenne H des vagues par contre nécessite la mesure des hauteurs des vagues et leur classement par groupe d'intervalles et ainsi que le comptage du nombre d'hauteurs de vague inclus dans chaque groupe. Pour obtenir le quotient de fréquence ou la fonction f(x) de la distribution de probabilité, ces nombres d'hauteurs de vague de chaque groupe sont, dès lors, divisés par le nombre total d'hauteurs de vague. Enfin, ces quotients de fréquence sont cumulativement additionnés pour obtenir les quotients cumulatifs des fréquences.

La fonction f(x) de la distribution de probabilité des hauteurs de vague est souvent représentée sous forme d'histogramme (Fig.III.2). Plus le nombre de vagues enregistrées est élevé, plus cette fonction a une forme stable.



La fonction f(x) de la distribution de probabilité des hauteurs de vague permet ainsi d'obtenir des informations statistiques, comme par exemple, la probabilité que la hauteur de vague H dépassant un certain seuil a donnée par la relation:

∫=>∞

adx).x(f}aH{P

(Fig. III.2)

La probabilité que la hauteur des vagues soit supérieure ou inférieure ou égale au seuil a fixé des vagues peut s'obtenir par:

Nm

aH }{P => et Nm

1aH }{P −≤ =

Et la hauteur moyenne quadratique { MQH } est égal au moment d'ordre (2) de cette distribution;

∑=

=N

1n

2/12n}H.

N1H {MQ

Ainsi, si on considère, comme exemple, les données du tableau accompagnant la figure (III.2) et qui reprend les différentes valeurs extraites d'un certain enregistrement des hauteurs des vagues, la probabilité de trouver des hauteurs de vague supérieures à un seuil d'hauteur de vague de a (= 3,25 m) s'obtient par:

150

1525,3 }{P H +

=> ou 04,0007,0033,025,3 }{P H ==> +

De même que la hauteur significative H1/3, définie comme étant la moyenne des hauteurs du 1/3 des plus hautes vagues enregistrées, se déduit soit par le calcul:

m51,250

1x0,45x5,39x0,314x5,221x0,23/1H =

++++=

Soit du quotient de fréquence f(x):

m51,250

07,0x0,4033,0x5,3060,0x0,3093,0x5,2140,0x0,23/1H =

++++=

Une approche similaire peut être utilisée pour la période. Ainsi, sur un enregistrement de longueur Tr, on définit TZ la période moyenne d'intersection de la ligne zéro et TC la période des crêtes de vagues, représentant la période moyenne entre deux crêtes de vagues voisines, par les expressions:

ZZ N

rTT = et C

C NrTT =



Où, NZ et NC sont respectivement le nombre de points d'intersection de la ligne zéro et celui des crêtes des vagues enregistrées.

Signalons que par définition TZ ≠ TC et que la quadratique de l'élévation de la surface libre ηMQ définit la déviation standard (σ) de l'élévation de la surface libre et la hauteur significative HS relative à ηMQ est donnée par la relation: HS = 3,8.ηMQ =4. ηMQ.

La hauteur significative HS ou H1/3 est le paramètre le plus important utilisé pour la description de l'état de la mer, et sa valeur moyenne, comme on a précitée, est donnée par la relation:

∑=

=3/N

1ii3/N

1S H.H

Où N est le nombre d'hauteurs de vagues individuelles Hi de l'enregistrement classées de plus haute à la plus courte.

Il est bien connu que tout signal périodique η(t) avec valeur moyenne nulle peut être décomposé à ses composantes de fréquence par l'analyse de Fourier standard. Ainsi, les enregistrements des vagues périodiques peuvent généralement être traités par le processus aléatoire gouverné par les lois de la théorie probabilistique. Des vagues sont dites aléatoires si leur enregistrement, comme dans la majorité des cas, a la particularité d'un signal aléatoire. Les propriétés statistiques d'un signal aléatoire, comme le profil de la surface libre de la vague, ne peuvent, dès lors, être obtenues que de plusieurs observations simultanées donc d'un ensemble de signaux {η 1(t), η 2(t), η 3(t),..}, et non d'une seule. Une seule observation, même si elle est infiniment longue, ne peut suffire à la détermination de la variabilité spatiale des statistiques des vagues. Un ensemble est constitué en fait de différentes mesures de η(t) effectuées en des locations connues, et qui permet de définir les propriétés des vagues sous certaines hypothèses, notamment:

▫ qu'au cours du processus d'enregistrement {η(t)} est stationnaire, c'est-à-dire, que ses propriétés statistiques sont indépendantes de l'origine des mesures temporelles, donc elles restent invariables vis-à-vis du temps et par conséquent, sans dérive temporelle du comportement statistique, ce qui permet de développer une distribution probabilistique des vagues. Cette distribution peut être obtenue en prenant les η 1(t1), η2(t1), η3(t1),.., comme variables indépendantes de l'instant t1. Si en plus, η(t) peut être mesuré en des points différents et que ses propriétés en sont indépendantes ou n'en dépendent pas, dès lors, le processus peut être considéré homogène. En réalité η(t) ne peut être considéré stationnaire et homogène à l'endroit des mesures que pendant une durée limitée (2 à 3 heures), au-delà de laquelle, ses propriétés peuvent être assujetties aux changements.

▫ que η(t) est assumé être ergodique, c'est-à-dire, que la moyenne d'un enregistrement singulier d'un ensemble est la même que celle des enregistrements de l'ensemble. Pour un processus ergodique la moyenne de l'échantillon sur l'ensemble tend à la moyenne réelle µ et la variance de l'échantillon tend à la variance σ du processus, donc de l'état de la mer. L'ergodicité de η(t) implique que la valeur mesurée η 1(t1) est typique de toutes les autres valeurs possibles η2(t1), η3(t1),.., toutes mesurées en un instant t1. Ce concept d'ergodicité permet, dès lors, de dériver d'un enregistrement singulier les différentes informations statistiques utiles, et d'éliminer ainsi la nécessité de recourir aux enregistrements multiples à des points différents.

Ces deux hypothèses constituent la colonne vertébrale du développement des statistiques des vagues sur base des mesures effectuées (enregistrements des vagues). Il est implicitement assumé que de telles hypothèses existent et sont valables dans la réalité, particulièrement pour l'état de la mer.

Pour appliquer ces concepts aux vagues de la mer, on considère η(t), représentant l'état de la mer pendant un temps fini T et obtenu à travers un ensemble d'enregistrements.



La moyenne η ou µη ou la valeur probable E{η} de l'état de la mer est définie par l'expression:

∫ ητ

=η=µτ+

τ−µ

2/

2/dt).t(.1)}t({E

Où E est la valeur probable de η(t).

D'une manière similaire la valeur quadratique moyenne de η correspond au second moment E{η2} de η et la déviation standard ση ou la moyenne quadratique du processus correspond à la racine carrée de celui-ci. La variance 2

ησ de η peut être exprimée en terme de la variance du processus V par l'expression: 222 }{E)}t({V ηη µ−η=η=σ

La déviation standard ση est la racine carrée de la variance et aussi appelée le second moment central de η(t), elle caractérise la dispersion des valeurs de η(t) par rapport à la moyenne.

La fonction d'autocorrélation ou d'autocovariance Rη de l'état de la mer, relit la valeur de η au temps t à sa valeur au temps (t+τ). Elle est définie par l'expression:

)}t()t({E)}t(,t{R τ+ηη=τ+η

La valeur de Rη donne une indication sur la corrélation du signal avec lui-même pour différents pas de temps τ, elle est la mesure de la variation temporelle de η(t) avec le temps. Si le signal est parfaitement corrélé avec lui-même pour le pas τ zéro, son coefficient d'autocorrélation est dès lors définie par la relation:

}{E

R

}{E

)}t()t({E22 η

=η

τ+ηη=ρ

ηη

Qui sera égale à 1.

Pour deux signaux aléatoires différents η1 et η2 le coefficient de corrélation croisée R peut être défini par l'expression:

∫ +ηητ

=δ+ηη=τ+

τ−

2/

2/2121 dt).tt().t(.1)}tt()t({ER

Qui mesure le degré de corrélation entre les deux signaux. Ce concept est très utile notamment au cours des mesures effectuées en de points différents pour obtenir les vitesses des vagues et les pressions. Signalons que le processus η(t) est stationnaire que µη et ση sont constants pour toutes les valeurs de t et que R est seulement fonction de τ = t2 - t1.

§ Distribution probabilistique de l'état de la mer Comme on a précisé précédemment, les enregistrements des états irréguliers de la mer ne sont en fait formés que des signaux aléatoires. Pendant un projet maritime, pour un utilisateur des caractéristiques des vagues irrégulières les propriétés des enregistrements des vagues individuelles doivent être accompagnés des statistiques des vagues déjà traitées par la théorie probabilistique.

C'est ainsi que Rice a développé la théorie statistique des signaux aléatoires pour l'analyse du bruit électrique et Longuet et Higgins l'ont appliqué à l'élévation de la surface libre des vagues de la mer pour décrire leurs statistiques avec quelques hypothèses simplificatrices. Ils ont démontré que les paramètres des signaux des vagues aléatoires suivaient les lois probabilistiques connues.

La distribution de probabilités P(x) est la fraction (pourcentage) d'événements qui n'excède pas un événement particulier. Elle peut être obtenue directement de la courbe des proportions des valeurs n'excédant pas une valeur particulière et ce en fonction de la valeur particulière de la variable x0. Elle s'exprime par:

P(x) = probabilité {x ≤ x0}



La densité de probabilités p(x) est, par contre, la fraction (pourcentage) d'événements dont un événement particulier est escompté apparaître.

Elle représente le taux de changement de la distribution et peut être tout simplement obtenue en prenant la différentielle de P(x) par rapport à son argument x, donc:

)x(Pdxd)x(p =

La distribution de Gauss (ou normale) et la distribution de Rayleigh sont les deux distributions communément le plus utilisées pour l'étude des vagues aléatoires.

La distribution de Gauss (Fig.III.3) est utilisée pour décrire la probabilité à court terme de l'élévation de la surface η de la mer et sa densité de probabilités est donnée par l'expression:

}{e

2x2

2)xx(

x.

21)x(p σ

µ−−

πσ=

Où µx et σx sont respectivement la moyenne et la déviation standard. Il est à noter que la distribution gaussienne P(x) est l'intégrale de la fonction de densité p(x), et elle est ouverte. Elle ne peut pas être fermée.

(Fig. III.3)

Dans la littérature elle est donnée sous forme de tables en fonction des paramètres:

),(N)x(p xx σµ= et }{x

xx)x(P

σ

µ−Φ=

Qui pour la moyenne nulle (µx = 0) et la déviation standard unitaire (σx = 1) se réduisent à:

2/2xe.21)x(p −

π= et ∫=Φ

x

0dy).y(p)x(

Où l'intégrale ∫x

0dy).y(p est la fonction d'erreur.

La probabilité Q(x) d'excéder un événement particulier peut être déduite de celle P(x) de ne pas excéder ce même événement, en écrivant:

}x{1}x)t(x{P1}x)t(x{Q

x

x11 σ

µ−Φ−=<−=>

(L'expression de la probabilité que x excédera x1 sur une période t, représentée par la partie hachurée de la figure III.3).



Dans les applications des structures maritimes, on est plutôt concerné par la hauteur des vagues que par l'élévation de la surface libre η de la mer.

Pour définir la distribution des hauteurs des vagues on n'a en fait besoin que d'examiner les statistiques de l'enveloppe (lentement variante) de l'élévation η(t) de la surface libre. Longuet et Higgins ont déduit de la théorie statistique que les amplitudes et les hauteurs des vagues suivaient la distribution de Rayleigh (Fig.III.4). Une distribution toujours positive et qui pour des valeurs croissantes de x décroît asymptotiquement vers zéro sans l'atteindre.

(Fig. III.4)

La densité de probabilités p(x) et la distribution cumulative P(x) sont données par: 2)

x

x.(4

2xe.

.2x.)x(p µ

π−

µ

π= pour x ≥ 0

et

2)x

x.(4e1)x(P µ

π−

−= pour x ≥ 0

ú Distribution des hauteurs des vagues Les hauteurs des vagues individuelles peuvent être considérées comme variable stochastique représentée par la fonction de distribution de probabilités. La distribution peut ainsi être obtenue de l'histogramme des hauteurs normalisées avec les hauteurs moyennes des différents enregistrements (mesures) effectués en un point donné (Fig.III.5). Si l'énergie des vagues est concentrée dans une bande étroite des périodes, les maxima du profil des vagues coïncident dès lors avec les crêtes et les minima avec les creux des vagues.

Dans ce cas, les hauteurs H des vagues sont représentées par la distribution de Rayleigh dont la densité et la distribution cumulative sont définies par les expressions:

)2H2H( MQ

MQ

e.HH2)H(p2

−= et )2H2H( MQe1)H(P

−−=

La hauteur significative H1/3 est dès lors le centroïde de la surface sous la fonction de densité p(H) pour H ≥ HΦ et où H > HΦ correspond aux vagues de la gamme des 1/3 les plus hautes (Fig.III.4).



Dès lors, de P(HΦ) en écrivant: )2H2H( MQe13/11)H(P

−−== −Φ

(Fig. III.5)

On obtient HΦ = 1,05 HMQ. En utilisant les propriétés mathématiques de la fonction d'erreurs on trouve:

MQ3/1 H.416,1m.00,4H 0 =≈

MQ3/110/1 H.80,1m.091,5H.27,1H 0 ===

MQ3/1100/1 H.36,2m.672,6H.67,1H 0 ===

3/1max H.86,1H = (Pour 1000 cycles de vague de l'enregistrement)

Pour un enregistrement contenant N vagues, en fonction de la hauteur HMQ, la hauteur maximum le plus probable de vague est donnée par l'expression de Longuet et Higgins:

MQ2/3

max H.)}N{log(247,0)Nlog(2886,0)Nlog(H }{ −+=

La valeur Hmax obtenue de cette manière peut être étendue à des plus longues périodes de temps en ajustant la valeur de N obtenue sur base de la période moyenne de la méthode d'intersection de la ligne zéro décrite précédemment.

ú Distribution des périodes des vagues La fonction de distribution des périodes des vagues obtenue par Longuet et Higgins et par Bretschneider, en considérant que le carré de la période T des vagues suivait la distribution de Rayleigh, est très similaire à la distribution normale avec la période moyenne définie par T0, 1 = m0/m1, où les moments m0 et m1 sont définies en terme de fréquence cyclique (Hertz). Pour cette distribution, la densité de probabilités de la période T est exprimée par:

4.675,03e.

TT.7,2)T(p τ−= où TT=τ

Signalons que dans la littérature on trouve d'autres distributions de la densité de probabilités de la période, notamment celle établie par Longuet et Higgins en fonction du paramètre de la largeur spectrale et des moments du spectre des vagues. De même qu'il y existe des distributions à plusieurs variables comme celles utilisant les hauteurs et les périodes des vagues, très commodes quand il n'y pas de relation entre celles-ci.



• Analyse spectrale Une approche différente est celle de l'analyse spectrale qui consiste à définir la mer comme la juxtaposition d'un grand nombre de houles sinusoïdales de différentes longueurs d'onde, mais toutes de petites amplitudes, et toutes juxtaposées sans aucune relation apparente sauf celle de se propager dans une direction commune (Fig.III.6).

L'élévation η de la surface libre est donc dans ces conditions:

)t.cos(.. nnnN

1

N

1n2/1n H

nε+ω∑ ∑=η=η

= =

Cette approche a pris naissance après 1950, avec les travaux Longuet - Higgins (Réf.58), puis ceux de Saint-Denis et Pierson (Réf. 59), Pierson - Neuman et James (Réf. 60), Mc Kay (Réf.61).

Des travaux antérieurs sur le bruit dans des circuits électroniques (Réf.8) ont trouvé une application particulièrement importante dans les domaines océanographique et off-shore.

§ Notion de spectre d'énergie Une houle réelle est caractérisée par son énergie totale qui doit nécessairement être égale à la somme des énergies de toutes les composantes. On définit une fonction de la fréquence angulaire ω, S(ω), appelée densité spectrale d'énergie et exprimée en (m2.s), de telle façon que:

∑=

=ωΔωN

1n

2nH).(S

Où Δω représente l'intervalle de fréquences successives considéré Fig.III.7).

ú Spectres "one sided" S1(ω) ou "two sided" S2(ω) (Fig.III.8) En utilisant les notations de Crandall et Mark (Réf. 62), dans le domaine des fréquences positives, c'est-à-dire le spectre "one sided" S1(ω) avec ω > 0, on obtient, entre la densité spectrale d'énergie S1(ω) et la fonction d'autocorrélation R(τ), les relations importantes définies par:

∫+∞

ωτ ωω=τ+=τ0

i d.e).(S)}t(x),t(x{)( 1ER

(Fig. III.7)

Avec:

τ∫ τπ

=+∞

∞−

ωτ−ω d.e).(R.)(S i1

1 ou τ∫ τπ

=+∞

∞−

ωτ−ω d.e).(R.2

)(S i2

1



Et la fonction d'autocorrélation R(τ) pour τ=0 et la variance σ2:

∫ ωω=∫ ωω∫ =ωω=+∞+∞+∞

∞− 02

012 d).(S.2d).(Sd).(S)(R 0

22 )}x({)( ER 0 −=σ Et en particulier:

)(..)(S..)f(S 211 S42 ωπ=ωπ= Où

f (Hz) > 0 ; ω (rad/s) > 0 ; -∞ < ω < +∞

(Fig. III.8)

ú Energie prise en compte Pour une onde sinusoïdale de creux Hn = 2.an l'énergie totale est égale à 1/8.Hn

2 ou 1/2.an2. Mais certains

auteurs prennent pour le calcul de S1(ω) une énergie qui est l'énergie fondamentale 1/2.an2 multipliée par 2p

(p = 1, 2, 3, 4) d'où des spectres de différentes natures (Réf. 63):

▫ Spectre d'amplitude )a(S 21 , demi-spectre d'amplitude )a( 2

1S.2/1

▫ Spectre d'hauteur )(S 21 H , double spectre d'hauteur )21 H2(S

ú Largeur d'un spectre D'après Cartwright et Higgins (Réf. 64), la largeur d'un spectre peut être caractérisée par le paramètre:

40

22

mmm.

12 −=ε

Avec

∫∫+∞

∞−

+∞ωωω=ωωω= d).(.d).(.m 21 SS n

0

nn

On parlera d'un spectre étroit quand ε sera faible (ε < 0,5) et d'un spectre large quand ε sera voisin de 1. La valeur de ce paramètre est souvent discutée (Réf. 65).



On peut calculer la valeur de ε à partir d'un enregistrement temporel du processus aléatoire en déterminant le nombre N0

+ de fois que le processus coupe le niveau moyen par valeurs croissantes, et N1 le nombre de maxima positifs:

2

1

02 }{NN

1+

−=ε

Théoriquement le calcul d'un spectre se fait à partir du calcul de la fonction d'anticorrélation R(τ) dont on prend la transformée de Fourier. Mais en pratique de nombreux problèmes se posent, en particulier ceux de la cadence d'échantillonnage, de la durée de l'enregistrement, du filtrage (Réf. 66).

• Distribution statistique des extrêmes Les deux paramètres, ε largeur du spectre et m0 valeur quadratique moyenne des amplitudes, suffisent à caractériser la distribution des maxima d'une fonction aléatoire (Réf. 64). § Cas particulier d'un processus étroit Dans le cas d'un spectre étroit le paramètre "a" considéré est la moitié du creux de la houle, c'est-à-dire la demi différence entre une crête et un creux consécutifs; c'est un paramètre essentiellement positif.

On montre dans ces conditions (ε < 0.5 en pratique) que les maxima sont distribués suivant une loi de Rayleigh. La courbe du spectre, pour m0 représentant la surface sous la courbe du spectre et x la variable étudiée, est définie par l'expression:

)0.2(0

mx)mx()x(f 2e. −=

Qui peut être utilisée pour spectre plus ou moins étroit comme le spectre normal de vagues. Ces spectres ne sont pas très larges et leurs fréquences ω varient entre 0,2 à 1,5-2,0. Avec cette distribution la probabilité que l'amplitude ηa de la vague dépasse la valeur a du seuil fixé comme amplitude, peut être calculée en utilisant:

dx.mxe.x.dx).x(f}a{Pa

).2(

a

1a

02

0m∫∫ ==>η∞

−∞

Ou )0.2(

amae}a{P

2−=>η

§ Cas général (spectre large) Dans le cas d'un spectre large, on considère comme paramètre la différence η entre une crête et le niveau moyen; c'est un paramètre qui peut être positif ou négatif. La distribution des pics a été étudiée par Rice: elle est uniquement fonction de ε et m0. Quand ε=0 on retrouve la distribution précédente de Rayleigh; quand ε= 1, on a la distribution normale.

• Application à l'étude de la houle Comme on a précisé précédemment, on admet généralement (Réf. 12) que la surface libre des océans est assimilable à un processus aléatoire dans le temps, mais:

- stationnaire, c'est-à-dire que toutes ses propriétés statistiques sont invariantes dans tout changement de l'origine des temps;

- ergodique, c'est-à-dire que les moyennes d'ensemble sont égales aux moyennes temps réels. - gaussien, c'est-à-dire que la loi de distribution des maxima de surface libre est la loi normale.

Dans ces conditions, la cote η d'un point, par rapport au niveau moyen est représentée par l'expression:

ωω∫ ωε+ω=η∞

d.)(S.)}(tcos{)t( 2a10

Où 2a)(1S ω est la densité spectrale d'énergie.



Cette fonction peut être calculée directement à partir des données expérimentales, mais ces dernières étant fort coûteuses à obtenir, on a souvent recours à di verses expressions formulées à partir de la vitesse U du vent. Les formules les plus usuelles sont données dans le tableau de la figure (III.9); la plus usitée semble être celle de Pierson - Moskowitz établie à partir des travaux théoriques de Kitaigorodski (Réf.67) en 1961.

Signalons aussi le spectre Jonswap (Joint North Sea Wave Project) qui a été postulée pour essayer de tenir compte des plus hauts pics du spectre dans la situation de tempête, pour la même énergie totale, comparée avec celle de Pierson - Moskowitz (Réf. 68).

(Fig. III.9)

Le spectre Jonswap a été établi à la suite des mesures extensives de vagues effectuées en 1968 et 1969 le long d'une ligne de 185,2 km située dans la Mer du Nord en partant de l'Île Sylt. Les données obtenues ont permis de formuler un spectre pour des vagues générées par les vents dans une zone de génération limitée.

En 1984 le 17ème Conférence ITTC a proposé l'utilisation du spectre moyen de Jonswap pour des cas des vagues de zone de génération limitée. Ce spectre est défini par:

}{ 4p

4

4p

5

2

1T/

e..T.H.)(S

.1950A320 3/1 ωγ

−

ω=ω

Avec }{

eA2/)1p/( σ−ωω−

= γ = 3,3 (facteur d'irrégularité); ωp = 2.π /Tp (fréquence angulaire du pic); Tp (période du pic); σ (fonction échelon de ω) : si ω < ωp ⇒ σ = 0,07 et si ω > ωp ⇒ σ = 0,09

Signalons que, si on prend pour γA la valeur de 1,522 et Tp comme période du pic, on retrouve le plus vieux et populaire spectre de vagues formulé par Bretschneider et qui convient pour les vagues des zones de haute mer. Ce spectre est défini par:

}{e.

44

45

2

1 1

1

3/1 T/.

T

H.)(S.692173 ω

ω

−=ω



Pour des spectres de vagues non tronquées, autres définitions de la période de vague peuvent être utilisées en y substituant:

T1=1,086.T2 ou T1=0,772.TP

L'utilisation simple de ces spectres dits météorologistes supprime l'un des inconvénients majeurs de l'analyse spectrale, à savoir celui du traitement relativement long des données pour obtenir des spectres.

Les avantages de la méthode spectrale sont nombreux:

- prise en compte de toutes les fréquences composantes avec leur niveau d'énergie correspondante;

- position relative des fréquences de résonance par rapport aux fréquences composantes d'énergie élevée (connaissance indispensable pour les structures par grande profondeur d'eau);

- calculs des fréquences moyennes zéro up-crossings, crête-à-crête ... de la houle; - connaissance de la loi de distribution des maxima de surface libre (Hl/3, H1/8, H1/10, etc.); - connaissance sous forme de densité spectrale de la réponse de la structure assimilée à un

résonateur linéaire d'après la formule classique:

Densité spectrale sortie = (Densité spectrale entrée) x (FT) 2

Où (FT) représente une fonction de transfert préalablement déterminée et qui est donnée par le rapport (Réponse) /(Excitation).

Partie I - Houles fondamentales IV.1 Chapitre IV – Comportement de la houle


Chapitre IV. Comportement de la houle

• Généralités La propagation des vagues prés des rivages en présence des hauts fonds est fortement influencée par la bathymétrie du fond et les courants La pente, les ondulations ou la présence des ornières ou canyons au fond de la mer peuvent entraîner de grands changements dans la hauteur et la direction de propagation des vagues. Les hauts fonds, dans certains cas, peuvent, notamment, engendrés des doublements des hauteurs des vagues qui les traversent, et d'autres caractéristiques bathymétriques peuvent engendrer l'amortissement des hauteurs.

La magnitude de ces comportements est particulièrement sensible à la période et la direction de propagation des vagues et de même qu'à la manière dont l'énergie des vagues se disperse en fréquences et directions (Fig.IV.1). L'interaction des vagues avec le fond peut entraîner leur atténuation. Malgré la complexité de la transformation que subissent les vagues sous l'influence des fonds marins de profondeurs limitées, la hauteur des vagues reste un paramètre très important de tout projet de génie maritime.

(Fig. IV.1)

Les phénomènes de transformation que subissent les vagues au cours de leur propagation de large (eau profonde) vers les rivages (eau de faible profondeur) peuvent être résumés en trois groupes selon leur source d'effets:

▫ Réfraction, shoaling (approche côtière) et diffraction dues aux effets de la propagation et résultant de la convergence ou divergence des vagues causées par la forme bathymétrique du fond influençant la direction de la propagation des trains de vagues et la concentration ou la dissipation de leur énergie. En résumé, il y a réflexion lorsqu'elles rencontrent un obstacle et sont renvoyées sur elles-mêmes, il y a diffraction lorsqu'elles contournent un obstacle et enfin, il y a réfraction lorsqu'elles subissent l'influence du fond.

▫ Dissipations par frottements et percolation et le déferlement constituant les phénomènes d'absorption d'énergie des vagues étant donné qu'ils enlèvent l'énergie du champ des vagues.

▫ Grossissement additionnel due au vent et les interactions vague-courant et vague-vague dues à l'apport d'énergie par le vent.

La diffraction apparaît aussi à l'encontre des obstacles qui interrompent la propagation des vagues et la présence des courants importants peut affecter la propagation et la dissipation des vagues.



Les interactions vague-vague résultent tant de l'accouplement non linéaire des composantes des vagues que du transfert de l'énergie de certains vagues à d'autres. Ces phénomènes cessent au-delà de la zone de surf (ressac).

• Le déferlement Comme on a déjà vu dans les chapitres précédents, les vagues sont des ondes de surface périodiques qui se propagent sans transporter de matière mais avec un transport d'énergie considérable. Par vent faible, il y a tout d'abord apparition de rides, qui sont essentiellement contrôlées par la tension superficielle et l'inertie. Lorsque le vent forcit, on passe progressivement des rides aux vagues, dont l'amplitude augmente avec la vitesse du vent. Le mouvement ondulatoire est alors essentiellement contrôlé par la gravité et l'inertie (ondes de gravité). Aux grandes ondulations, il y a superposition des ondulations de plus petites amplitudes et de plus faibles longueurs d'ondes. Lorsque le vent s'arrête et que la vague persiste, on parle alors de houle, pouvant être ramenée schématiquement à un profil sinusoïdal.

Le creux de la houle ne peut pas prendre une valeur trop élevée, les vagues ne sont plus stables lorsque leur cambrure atteint une valeur limite. Cette valeur critique peut-être atteinte soit par accroissement local du creux soit par réduction de la longueur d'onde par suite de la diminution de la profondeur. Alors la vague est partiellement ou totalement détruite: la houle déferle.

Lors de ce déferlement, l'énergie de la vague est en grande partie libérée, avec un fort degré de turbulence. Ce phénomène est visible au voisinage du rivage, mais également en pleine mer.

Ainsi le phénomène de déferlement survient lorsque la houle arrive près de la côte (phénomène de réfraction). En effet, lorsque la houle se rapproche du rivage, sa célérité ne dépend que de la profondeur locale et diminue avec cette dernière. La longueur d'onde de la houle, étant liée à la célérité diminue aussi avec la profondeur locale. Par conséquent, ces lignes de crêtes ont tendance à se resserrer près de la côte. La densité d'énergie par unité de surface augmente (par conservation de l'énergie), ce qui entraîne l'augmentation de la hauteur de la vague. La hauteur augmente jusqu'à une certaine limite. En effet, lorsque la hauteur atteint une fraction fois la profondeur, la vague devient instable et déferle.

En fait, le déferlement est un phénomène au cours duquel l’onde est partiellement détruite; il est caractérise par un haut degré de turbulences et une grande dissipation d’énergie. Une vague ne déferle pas uniquement en eaux peu profondes. Il arrive couramment de voir les vagues se briser en pleine mer. Du point de vue hydrodynamique, le phénomène se produit lors des éventualités suivantes:

▫ la vitesse des particules sur la crête dépasse celle de l’onde, ▫ l’accélération des particules sur la crête est supérieure à la pesanteur, ▫ la surface devient verticale et la gravité écrase le sommet de la vague.

§ Développements théoriques Très près des côtes, la hauteur des vagues H augmente à cause de la diminution de la profondeur et donc de la vitesse de groupe Cg, en particulier pour une incidence normale θ = 0. Pour une incidence oblique, la réfraction tend a réduire cet effet car le flux d'énergie 1/4.Cg.H2.cos (θ) vers la plage est constant et cos (θ) augmente (pour une bathymétrie uniforme le long de la côte, le rapport (sin (θ))/C est conservé). Or plus les vagues sont hautes, plus elles sont pentues et la vitesse des particules d'eau augmente. Pour une vague de Stokes, la pente maximale des vagues H/L est environ 1/7, au-delà de cette valeur, l'accélération verticale dépasse la gravité g et la vague devient instable.

La vitesse des particules d'eau sur les crêtes peut aussi dépasser la vitesse de phase des vagues, ce qui provoque aussi le déferlement. Par la théorie linéaire, la hauteur H d'une houle monochromatique est limitée par la profondeur d, où H < d/2.

En pratique on mesure que le déferlement d'une vague régulière se produit lorsque sa hauteur dépasse γ.H avec γ variant entre 0,4 et 1 suivant les conditions.



Le déferlement dépend aussi de la pente du fond: plus elle est forte et plus les vagues seront réfléchies et moins le déferlement sera important. Pour des vagues régulières, la réflexion partielle à la côte forme une onde stationnaire. Si la pente du fond est assez abrupte alors la pente de la surface devient verticale et le déferlement apparaît. En représentant l'amplification locale des vagues par rapport à leur amplitude au large, cela donne un critère du type ε 0 = 1 pour le déferlement avec:

)(./...2 2/50

20 tgga απ= σε

Où a0 est l'amplitude des vagues en eau profonde (pour kH >> 1) et tg (α) est la pente du fond.

En eau profonde σ2 = g.k et donc εσ est le rapport entre la pente des vagues au large ka0 et une fonction de la pente du fond tg (α). On peut aussi ignorer l'amplification des vagues depuis le large pour obtenir le nombre d'Irribarren IB aussi appelé paramètre de déferlement ou surf parameter, qui est donné par l'expression:

2/1)T.H..2(

)(tgI

2Bπ

α= ou encore

2/1}LH{

)(tgIBα

=

Qui permet de classifier le déferlement en trois types (Fig. IV.2): déferlement glissant (spilling) pour (IB < 0,4), déferlement plongeant (plunging) pour (0,4 < IB < 2) et déferlement écroulant (collapsing) pour (IB > 2).

(Fig. IV.2) Dans le cas des houles progressives irrotationnelles le déferlement est donc lié à une valeur maximale de la cambrure γ = H/L.

C'est ainsi que, 1orsque la profondeur diminue, la seule caractéristique de la houle qui semble rester constante est la période T. Pour étudier comment varient les autres paramètres, on considère le cas simple d'un fond en forme de plan incliné de pente faible, sur lequel une houle monochromatique de période T et de hauteur H, se propage dans la direction de la plus grande pente du fond. Et on suppose de plus que la plage n'induit pas de houle réfléchie (ce qui est vrai pour les pentes de moins de 10%).

Dès lors, en utilisant les expressions obtenues par la théorie linéaire de Stokes, et en y désignant par Co et Lo la célérité et la longueur d'onde au large, c'est-à-dire pour une grande profondeur, on obtient:

π= .2T.gL 20 et 2/1

00 ).2L.g(C π=

Pour la profondeur d on obtient:

)kd(th.LL 0= et )kd(th.CC 0=



En considérant (des observations faites) que les crêtes de houle sont parallèles aux lignes de niveau, on fait l'hypothèse de la conservation de l'énergie transmise entre deux plans parallèles à la direction de propagation des ondes, car si ce n'était pas le cas, il y aurait accumulation d'énergie entre deux plans parallèles aux crêtes. En fonction de la hauteur H0 des vagues au large, il est donc possible d'écrire l'expression de l'énergie totale ET sous forme de:

020

2T C.H.g..

)kd2(shkd21.C.H.g.E 16/1.16/1 }{ ρ=+ρ=

D'où

2/1)}kd(ch).kd(shkd{

)kd(chHH

0 +=

Ainsi le rapport H/H0 est une fonction explicite du rapport d/L donc de d/L0 du fait que )kd(th).Ld(Ld 0 = et sa dérivée s'annule pour d/L0 = 1/2.π = 0,15. Par conséquent, pour d < 0,15 L0, le

creux relatif décroît de H0 à 0,91 H0, pour croître par la suite (Fig. IV.3).

(Fig. IV.3)

De ce fait, la cambrure γ varie (rapportée à celle du large γ0 = H0/L0)

2/1)}kd(ch).kd(shkd{

)kd(ch).kd(cothL.HL.H

0

0

0 +==

γγ

Dont la dérivée s'annule pour γ = 0,985 γ0, donc le maximum est inappréciable.

Du fait du frottement sur le fond et de la non-linéarité de la houle, dans la réalité le phénomène est plus complexe, néanmoins, il est intéressant d'étudier la variation des vitesses orbitales en restant dans le cadre des hypothèses simples.



Pour une faible profondeur, les valeurs des composantes uo et wo de la vitesse au large s'écrivent sous la forme:

)tkx(cos.C.2H.g

u0 σ−≈ et 0w0≈

On remarque que la vitesse horizontale et la cambrure sont liées par les relations:

2.T.g

C.2H.g

u0γ

==

On peut donc en conclure que lorsque la cambrure augmente vers l'infini, il en est de même pour uo. La cambrure augmentant au fur et à mesure de l'approche du rivage, la vitesse des particules se rapproche de la valeur de la célérité, jusqu'à l'atteindre : c'est la forme limite de la houle. Le déferlement commence alors, les particules d'eau s'écroulent sur le versant côté rivage.

Grâce aux observations et constatations qu'on vient de faire, on peut expliquer le phénomène de déferlement. En effet, lorsque la distance au fond diminue, la cambrure de la vague augmente. Les particules d'eau vont passer d'un mouvement circulaire en eau profonde, à un mouvement elliptique, pour tendre finalement vers un mouvement horizontal. Arrivé à la cambrure critique, la vitesse des particules d'eau va dépasser la célérité de la vague. Il y aura alors déferlement.

Pour trouver la cambrure critique, différentes théories ont été développées et plusieurs auteurs ont établi des critères, notamment (pour des houles progressives irrotationnelles):

γ = H/L < 0,142 en eau profonde (Michell); γ = H/L < 0,14 th (kd) en eau de profondeur intermédiaire (Miche); γ = H/d < 0,78 en eau peu profonde (Munk).

En profondeur très faible, th(kd) peut être confondu avec d/L, la hauteur de déferlement HC en fonction de la profondeur de déferlement dC est exprimée par la relation dC = 1.14. HC établie par Miche. De même que selon la théorie de Munk, qui consiste à considérer chaque vague prête à déferler comme une onde solitaire de hauteur HC, la hauteur de déferlement HC en fonction de profondeur de déferlement dC est définie la relation: dC = 1.28 HC.

§ Remarques ▫ Déferlement en eau profonde En pleine mer, l’augmentation de la hauteur d’une vague ne peut pas provenir de l’influence du sol. Le vent, qui est aussi la cause de la houle, est le facteur majeur influençant l’amplitude de la vague. Etant donné qu’en pleine mer la longueur d’onde d’un train de vagues est quasiment stable, lorsque l’amplitude tend vers 0,142.L, la vague devient instable et un moutonnement en crête apparaît.

Comme on a précisé précédemment, pour Michell, la cambrure maximale H/L en pleine mer est de 0,142 et d'après Lacombes, la longueur d’onde limite Lmax avant déferlement est égale à 1,193 fois sa valeur correspondant aux faibles hauteurs.

Or selon la théorie de Gerstner cette longueur d'onde maximale est exprimée par:

π=

.2T.g

.L2

max 193,1

On peut, donc, en déduire la valeur de l’amplitude maximale Hmax au point de déferlement en fonction de la période T de la houle:

22

max T..2T.g

..H 265,0193,1142,0 =π

=



▫ Déferlement en eau peu profonde Comme on a vu précédemment, en eau peu profonde, le type de déferlement (Fig.IV.2) dépend essentiellement de la pente du fond marin en bord de côte, donc du nombre d'Irribarren. Sur un fond de pente faible, la vague déferle en glissant sur sa face avant (déferlement glissant). Lorsque la pente du fond augmente, le déferlement s’effectue sous la forme connue des rouleaux plongeants. Enfin sur fond très incliné, le déferlement se manifeste par l’écoulement progressif d’un front d’ondes. Dans le cas des houles de grande longueur d'onde on peut aussi y inclure le mascaret qui est une onde solitaire déferlante sur fond quasiment plat.

La figure (IV.4) ci-dessous, permet de déterminer le type de déferlement en fonction de la pente de la plage et de la cambrure de la vague au large.

(Fig. IV.4)

Signalons enfin que, l’angle compris entre le front montant de la vague et le front descendant est aussi un moyen efficace pour déterminer le point de départ d’une vague déferlante. Stokes propose comme valeur limite 120° (Fig.IV.5).

(Fig. IV.5)

• La réfraction Parmi les phénomènes principaux concernant la transformation des vagues, à savoir: la réfraction, diffraction et réflexion, c’est la réfraction qui est la plus manifeste. Il s’agit de la déviation des orthogonales (rayons) au front de vagues en fonction du relief qui fait varier la vitesse de phase de l’onde. Ainsi, l’évolution du sol agit de manière similaire à des variations continues d’indice de réfraction lors de la propagation d’ondes lumineuses. Du point de vue visuel, c’est la réfraction qui explique la déformation des trains de vagues propageant vers les côtes.

A l’approche d’une côte, les vagues atteignent des eaux peu profondes. Les fronts de vagues sont alors ralentis et leur longueur d’onde décroît. Ceci est dû aux frottements de l’eau sur le fond marin. Ces frottements s’amplifient avec la diminution de la profondeur ce qui explique que, sur un sol non uniforme, les trains de vagues sont déformés.



D’autre part, la réfraction induit aussi des variations d’amplitude de la vague. Lorsque les orthogonales convergent, il y a concentration de masse d’eau et l’amplitude augmente. Lorsqu’elles s’écartent, la masse d’eau est alors répartie sur une plus grande surface de sol et l’amplitude diminue (Fig.IV.6).

(Fig. IV.6)

L'étude de la réfraction doit être fine. Le relief du sol et la bathymétrie doivent être connus avec précision. De petites irrégularités du fond peuvent avoir des conséquences importantes.

§ Développements théoriques Pour évaluer la réfraction, on utilise deux grandes méthodes: Le tracé des plans de vagues développé par Huyghens et le tracé des orthogonales aux fronts de vagues de Johnson, O’Brien et Isaacs.

La première méthode positionne graphiquement les crêtes des trains de vagues en fonction des lignes de crêtes précédentes. La seconde utilise une génération de la réfraction à deux échelles des orthogonales au front de vagues et n’est utilisée que pour les grandes étendues.

▫ Tracé des plans de vagues Cette méthode proposée par Huyghens consiste, en partant d’une ligne de crête initiale, à retrouver les lignes de crête suivantes. En tout point Pi d’une ligne, le calcul de la vitesse Ci de l’onde en fonction de la profondeur di et de la période T est effectué. Le point Pi situé sur la crête suivante se trouve donc à une distance Ci. T de Pi. On peut donc, de proche en proche, tracer la ligne de crête suivante qui correspond à l’enveloppe des circonférences centrées sur la ligne de crête initiale et de rayons Ci. T (Fig.IV.7).

(Fig. IV.7)

▫ Tracé des orthogonales (rayons) au front de vagues Cette méthode permet de contrôler les effets de la réfraction à deux niveaux. Un premier calcul est effectué à grande échelle suivant un plan dit d’approche permettant d’avoir une idée globale de la propagation de la houle depuis le large jusqu’au voisinage de la côte. Un deuxième plan, dit local, peut être utilisé pour obtenir plus d’informations sur les crêtes de vague obtenues à partir du plan d’approche.

Les rayons sont générés à partir du large, ils progressent en parallèle tant qu’ils ne subissent pas de réfraction (ni d’ailleurs de diffraction et réflexion).



La déviation des rayons aux fronts de vagues est fonction de la vitesse de propagation C de l’onde et donc fonction de la profondeur d. La variation de la vitesse est donnée par l’équation:

T/LC = ou encore )kd(th.g

Cσ

= (profondeur limitée)

On a ainsi, dans le cas d'un bathymétrie où les courbes de niveau sont constantes (profondeurs uniformes et la pente du fond est linéairement variables) aux points P1(C1;d1) et P2(C2;d2) d'une ligne de crêtes (front de vagues) avec d2 > d1 on obtient la relation (Fig.IV.8):

)kd(th.g

C)kd(th.g

C 1122 σ=>

σ=

(Fig. IV.8)

Quant à la déviation, elle est obtenue à partir des valeurs précédentes, à travers la loi de Snel:

2

2

1

1C

)sin(C

)sin( θ=

θ

Où C1 et C2 sont les vitesses de l’onde avant et après la courbe de niveau et θ1 et θ2 sont respectivement les angles d’incidence et de réfraction du rayon sur la courbe de niveau (Fig.IV.9).

(Fig. IV.9) (

Pour calculer la déviation de chaque rayon en fonction des phénomènes de réfraction, il faut connaître la configuration du terrain en tout point de la zone considérée. Donc un relevé bathymétrique précis est nécessaire.



Les vagues tendent à devenir parallèles aux courbes de niveau de fond (isobathes). A l’approche de la côte, les vagues toucheront le fond d’abord en face des caps (qui se prolongent sous l’eau sous forme de hauts-fonds) ensuite dans le prolongement des baies. Etant donné qu’une crête de vague ne sera pas influencée par le fond au même moment, il en résulte une convergence vers les caps (on dit que les vagues s’enroulent autour du cap) et une divergence dans les baies (les vagues s’étalent dans la baie). Les vagues ont toujours tendances à s’aligner avec le rivage et donc, les rayons orthogonaux aux fronts de vagues à être perpendiculaire avec la côte (Fig.IV.10).

(Fig. IV.10)

▫ Calcul de l’amplitude des vagues (en fonction de la réfraction) La méthode précédente rend possible un calcul aisé de l’amplitude (hauteur) de la vague en fonction de la réfraction en tout point du champ des vagues. L’énergie transmise entre deux rayons de distance Δ∞ est constante tout au long de leur trajectoire. Si elles ne subissent pas d’autres phénomènes tels que la réflexion ou la diffraction, le volume d’eau compris entre deux rayons est, par conséquent, constant (conservation de l’énergie et incompressibilité du fluide).

Ceci influence directement la hauteur de la vague qui varie en raison de l’inverse de la racine carrée de la distance entre les rayons:

11 .HH

Δ

Δ= ∞

∞

Où H∞ et Δ∞ sont respectivement la hauteur de la vague et la distance entre les rayons au large et H1 et Δ1 en un point considéré du calcul. Donc, la caractéristique d’une vague est donnée par:

H2.Δ = Cte

Si deux rayons se divergent en raison de la réfraction, leur hauteur diminue et réciproquement, elle augmente lorsqu’ils convergent. Les différents calculs d'hauteurs sur les rayons sont menés pas à pas, les relevés et calculs effectués en partant des données initiales sont conduits pour les points suivants considérés en utilisant les résultats précédents, donc on évolue d'un point à l'autre en utilisant chaque fois les résultats du point précédent. Ainsi, en partant des données des vagues au large (indice ∞) les paramètres des points successifs P1 et P2 sont calculés en fonction des écartements successifs des rayons et des hauteurs précédentes calculées (Fig.IV11).



(Fig. IV.11)

En effet, comme:

11 .HH

Δ

Δ= ∞

∞ et 2

2 .HHΔ

Δ= ∞

∞

Dès lors:

1

2

1

2

/

/HH

ΔΔ

ΔΔ=

∞

∞ ⇒ 2

112 .HH

Δ

Δ=

Dès que la distance entre deux rayons est supérieure à un seuil fixé pour la commodité des calculs, un nouveau rayon est créé. Ce seuil vaut a priori le double de la distance entre deux rayons initiaux mais peut être modifié en fonction des besoins. Les propriétés initiales (amplitude, phase, vecteur vitesse, direction de propagation, ...) sont obtenues par interpolation linéaire avec celles de ses deux voisins.

En cas de génération d'un nouveau rayon, on obtient:

32

1132 .HHH

Δ+Δ

Δ==

Au pas suivant, on utilise les valeurs calculées et ainsi de suite.

Pendant le tracé des rayons, par convention pratique, un rayon touchant la plage suit le rivage dans le prolongement de la direction de son arrivée. Par contre, certains rayons arrivant sur la côte peuvent être déviés par réfraction de telle sorte qu’ils s’éloignent de celle-ci. C’est là qu’on crée de nouveaux rayons le long de la côte, pour pouvoir assurer la continuité entre les rayons fortement écartés par la réfraction. Lorsque sur la côte, deux rayons très rapprochés se joignent (conjonction), ils se superposent dans la même direction de leur arrivée et suivent la ligne de rive (Fig. IV.12).

(Fig. IV.12)



§ Note sur la réfraction des vagues Dans le cas des courbes de niveau du fond marin uniforme donc à pente constante dans la direction des x perpendiculaire à la ligne de rive et sans variation dans la direction de l'axe des y parallèle à la ligne de rive

( 0)y,x(ddyd

= ), pour une vague monochromatique, pour déterminer le vecteur nombre d'ondek , la fonction de phase

s'écrit: )t.sin.kcos.k()t,y,x( σ−θ+θ=κ ⇒ κ∇= .k ⇒ 0.k =κ∇∇=∇ ΛΛ

Car par définition k est le gradient d'un scalaire et le laplacien d'un scalaire est égale à zéro.

(Fig. IV.13)

En y substituant les composantes du vecteur k on obtient:

0y

)cos.k(x

)sin.k(=

∂

θ∂−

∂

θ∂

En y introduisant la relation de dispersion reliant le nombre d'onde k à la vitesse de propagation C (k = 2.π/C.T et T est constant), on obtient:

0}Csin{

dxd

=θ ⇒ .teC

Csin

=θ

C'est ainsi que, en connaissant la vitesse de propagation C0 et l'angle de la direction de propagation de la vague θ0 au large, on en déduit en chaque point du rayon les nouvelles valeurs de C et θ courants (Fig. IV.13):

0

0Csin

Csin θ

=θ (Loi de Snel)

La variation de la hauteur de vague le long d'un rayon peut être évaluée en considérant deux rayons successifs et proches l'un de l'autre et séparés d'une distance b0. Au large, en un point P0(H0,Cg) le flux d'énergie (E.C) ou (E.Cg), à travers la distance b0 du front de vagues, est estimé par {(E.C)0 . b0}. Considérant un point proche P1(H1,Cg1) le long du rayon, le flux d'énergie est, dès lors, donné par {(E.C)1 . b1}. Or, comme les fronts des vagues sont orthogonaux aux rayons, il n'y a pas de transfert d'énergie à travers les rayons. Dès lors, le principe de conservation d'énergie permet d'écrire:

1100 b.)C.E(b.)C.E( = En y introduisant l'expression de l'énergie totale de la vague monochromatique E=1/8.ρ.g.H2, on obtient:

1

0

1g

0g01 b

b.

CC

.HH = ou encore RS01 K.K.HH =



Où KS ( g1g0/CC= ) et KR ( 10/bb= ) sont respectivement coefficients de shoaling et de réfraction. Pour des lignes

de niveau uniformes rectilignes et parallèles, en fonction de θ, le coefficient de réfraction est donné par l'expression:

4/1

120

2

1

0

1

0R }{

)sin1(

)sin1(coscos

bb

Kθ−

θ−=

θ

θ==

Dans le cas où la topographie du fond présente des variations dans la direction de l'axe des y l'équation complète de κ doit être utilisée. Dans ce cas les coordonnées cartésiennes (x, y) sont remplacées par celles curvilignes (s, n) où s est pris le long du rayon et n dans la direction de la normale. Algébriquement, l'équation de l'angle de la direction de propagation θ est alors établie dans le système des coordonnées attaché au rayon (Fig. IV13), par les relations:

nC

.C1

nk

.k1

s ∂

∂−=

∂

∂=

∂

θ∂

Et le rayon est défini par:

Ctdsd= ; θ= cos.C

tdxd ; θ= sin.C

tdyd

Le coefficient de réfraction, par contre est plus complexe à exprimer. Munk, en posant β=b/b0, a donné comme solution:

2/1R }/1{K β= ⇒ 0.q

sdd.p

s22

=β+β

+∂

β∂

Avec

yC

.Csin

xC

.Ccos)s(p

∂

∂θ−

∂

∂θ−= et

2

22

2

2

22

yC.cos

y.xC.

C2sin

xC.

Csin)s(q

∂

∂θ+

∂∂

∂θ−

∂

∂θ=

L'ensemble de ces équations est à résoudre pour des groupes de rayons en fonction de chacune des paramètres de la vague dont on veut étudier l'évolution.

Ce mode calcul simplifié permet de faire un rapide estimation, or dans la réalité la configuration du fond est beaucoup plus compliqué et nécessite une bathymétrie précise qui pourrait être utilisée pour discrétiser le fond afin de traiter le phénomène de réfraction par un programme numérique. • La diffraction Le phénomène de diffraction, comme celui de réflexion, est essentiel lorsque les trains de vagues rencontrent des obstacles émergés accompagnés d’une rupture brutale de la pente du sol. C'est le cas notamment, lorsqu'un train de vagues rencontre une digue à l’entrée d’un port. La simulation de ce phénomène, comme celui de la réflexion d'ailleurs, est un atout pour la conception d’ouvrages portuaires.

La diffraction des vagues est un phénomène visible derrière une digue. Quand on observe un train de vagues parallèle à une digue rectiligne, on remarque qu'une partie de celui-ci se réfléchit et de plus, à partir du bout de la digue, on constate l’apparition de vagues situées derrière cet obstacle. Elles ont une forme circulaire. Elles sont en fait issues de la diffraction de la vague incidente née à l’extrémité de la digue aussi appelée musoir.

En l’absence de réfraction, la houle se propage de manière rectiligne et lorsqu’elle heurte une digue, elle est réfléchie. La partie évitant la digue et se trouvant à une distance raisonnable de la digue continue sa propagation rectiligne. Ainsi, sans diffraction, aucune agitation (ou vague) ne devrait être perceptible derrière la digue (Fig.IV.14), or, ce n’est pas le cas.



(Fig. IV.14)

Tout se passe comme si le musoir était un générateur d’ondes. Ces dernières situées derrière la digue sont de forme circulaire et leur amplitude dépend de celle de la houle incidente et de leur distance au musoir. Dans cette partie, les ondes sont amorties et les crêtes des vagues diffractées prolongent de manière continue celles des trains d’ondes incidents (Fig. IV.15).

(Fig. IV.15)

La difficulté principale du tracé de ces ondes diffractées réside dans le calcul de l’amplitude. Dans la littérature de nombreuses méthodes existent comme celle de Larras exposée ci-dessous.

§ Calcul de l’amplitude (hauteurs) des vagues La méthode de Larras, malgré qu'elle soit proposée pour des digues semi infinies et d’épaisseur infinitésimale, elle est souvent utilisée, en pratique sur le terrain, pour calculer l’amplitude derrière les digues. Lorsque plusieurs musoirs existent sur une digue, ils sont pris en compte indépendamment.

L’amplitude en un point est la somme des amplitudes diffractées et l’épaisseur de la digue n’intervient que pour l’identification des musoirs. Dans un système de coordonnées polaires (r, θ), on calcule l'agitation en tout point P(r, θ) derrière la digue, dans la zone dite d'ombre, comme une combinaison d'une onde incidente d'hauteur Hi diffractée et d'une onde réfléchie d'hauteur Hr. Ce découpage n'est possible que si on considère le phénomène comme étant séparable. Dès lors, la hauteur de l'onde incidente Hi, ne peut être calculée que si la digue est supposée parfaitement absorbante donc rigide (Fig.IV.16).



. (Fig. IV.16)

Ces deux ondes (incidente et réfléchie) dépendent respectivement de deux coefficients géométriques Ui et Ur qui s'expriment par les expressions:

)//(sinL/r..U 242i θ−ππ=

)//(sinL/r..U 242r ϕ−θ−ππ=

Où ϕ est l’angle entre la crête incidente et la jetée.

Notons que, pour les points situés derrière la digue et soumis à la diffraction, un des coefficients Ui ou Ur est nécessairement négatif.

Une autre formulation où la hauteur Hi de l'onde incidente en fonction de Ui ou encore celle de l'onde réfléchie Hr en fonction de Ur, est donnée par les équations (intégrales) de Fresnel (Fig.IV.17):

2/1

iU iU

222/1222/1i }dr).r..(sin{}dr).r..(cos{H⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∫ ∫ π+π=∞ ∞

2/1

rU rU

222/1222/1r }dr).r..(sin{}dr).r..(cos{H⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∫ ∫ π+π=∞ ∞

(Fig. IV.17)



Finalement, l'amplitude (hauteur) HM au point P s'obtient par le produit de l'amplitude au musoir avec l'amplitude Hd, dite relative, calculée par l'expression:

ϑα++= cos.H.H..2H.KH{H ri2r

2r

2id

Où

ϕ+θϕπ=ϑ )(cos).(sin.Lr..4

Et Kr est un coefficient de réflexion de la digue dont la valeur est comprise entre 0 et 1 et α est la pente de l’obstacle par rapport au plan moyen de l’océan. § Diffraction et réfraction simultanée Il est clair que les rayons diffractés subissent aussi la réfraction. Comme a précisé précédemment, le calcul de l’amplitude en fonction de la distance entre deux rayons voisins est donné par:

11 .HH

Δ

Δ= ∞

∞

Où Δ∞ et Δ1, comme d'ailleurs H∞ et H1 sont respectivement les distances en deux rayons voisins et les hauteurs d'onde avant et après un pas de progression des fronts d’onde. Comme l'amplitude (hauteur d'onde) et le pas de calcul sont constants, la distance entre deux rayons diffractés sans réfraction émis à partir du musoir vérifie l’équation:

11 dd∞∞ =

Δ

Δ

Où d∞ et d1 sont les distances entre le musoir et les points considérés avant et après un pas de progression.

Dans le cas o`u il y a réfraction, la précédente formule n’est plus satisfaite. On peut dès lors y apporter une correction (pondération) sur l'amplitude sous forme de:

∞

∞∞ Δ

Δ=

dd..HH 1

11

Pour un tracé méthodique des fronts de vagues réfléchies et afin de calculer leur amplitude en fonction de la réfraction à n’importe quel point du champ des vagues, on peut utiliser une formule générique de la forme:

11 ..HH

Δ

Δµ= ∞

∞

Avec µ = 1 pour les rayons non diffractés et µ = d1/d∞ pour les rayons diffractés. • La réflexion La réflexion est un phénomène simple à envisager. Une vague heurtant violemment un obstacle rebondit sur celui-ci. L’obstacle absorbe alors une partie de l’énergie de la vague. La loi régissant la réflexion des orthogonales au front de vagues est identique `a celle de la réflexion optique. L’angle de réflexion est égal à l’angle d’incidence. Si l’obstacle est perpendiculaire au plan moyen de l’océan, la réflexion est spéculaire car la dissipation d’énergie dans l’obstacle est négligeable.

La réflexion de la houle est, donc, le phénomène qui traduit le rebond d’une vague sur un obstacle. Comme la réfraction, elle peut être étudiée par l'intermédiaire de deux méthodes: méthode géométrique et méthode énergétique. La nature de l’obstacle où se produit la réflexion influe notablement sur ces deux méthodes.



§ Méthodes de calcul La méthode géométrique est basée sur les lois des ondes optiques. Lorsque l’onde incidente touche un obstacle, une onde réfléchie est générée obéissant aux lois de Snel (égalité des angles d’incidence et de réflexion). La composée de ces deux ondes s’appelle houle gaufrées. Toutefois, lorsque l’angle d’incidence est de 0°, il se crée devant la digue un état d’agitation stationnaire appelé clapotis. Dans ce cas, on ne parle plus d’onde gaufrée puisque l’intersection entre l’onde incidente et l’onde réfléchie n’est plus visible. Les trajectoires des particules d’eau ne sont alors plus des cercles ou des ellipses mais des segments verticaux.

La méthode énergétique se traduit par une variation de l’amplitude de l’onde incidente qui naturellement diminue au moment de l’impact contre l’obstacle. Cette perte d’énergie dépend d’un coefficient Kr, dit de réflexion, qui varie en fonction de la nature de l’obstacle et de la pente α de cet obstacle par rapport à la surface libre. Lorsque la pente est inférieure à 10%, la réflexion devient négligeable. La perte d’énergie peut être exprimée par le rapport entre l’amplitude Hi de l’onde incidente juste avant la réflexion et l’amplitude Hr de l’onde juste après l’impact.

2i

r

r

r

.

)(sin.K.HH 2

πγ

α=

Où Hi et Hr sont les amplitudes respectives des ondes incidente et réfléchie et γi la cambrure de l’onde incidente.

Lorsque l’onde incidente n’est pas déferlante, la cambrure γi admet une valeur limite donnée par l'expression formulée par Miche:

π

α

π

α=γ

)(sin.

.2 2

i

En cas de déferlement, une grande partie de l’énergie de l’onde disparaît. Il est évident que le coefficient de réflexion comme d'ailleurs celui de la diffraction dépend tant de la géométrie de l'obstacle que sa constitution, donc, de la nature des matériaux le constituant. Dans la littérature spécialisée on trouve plusieurs valeurs pour le coefficient Kr de réflexions selon les matériaux utilisés pour la construction des digues.

Notamment: ú Kr = 0,9 à 1 pour les revêtements lisses en béton; ú Kr = 0,7 à 0,8 pour les revêtements en maçonnerie; ú Kr = 0,6 à 0,7 pour les enrochements en pierre; ú Kr = 0,5 pour les massifs en blocs d'enrochement.

Il est à signaler qu'au cours du calcul de la valeur de l’amplitude de l’onde réfléchie, on doit tenir compte de la modification de la trajectoire circulaire ou elliptique des particules d’eau. Car l'amplitude est, en fait, perturbée par la superposition de l’onde incidente et réfléchie. L’onde incidente s'atténue légèrement, tandis que l’onde réfléchie s'amortie. Ce phénomène peut être introduit, au processus des calculs, sans qu'on perturbe l'onde incidente, sous forme d'une fonction amortissement classique pour l'onde réfléchie, définie par l'expression:

d).rHiH(e)d( −=φ

Où d est la distance parcourue par l’onde depuis la réflexion et le quotient Hi/Hr traduit le fait que; plus l’amplitude incidente est proche de l’amplitude réfléchie plus l’amortissement de l’onde réfléchie est faible. Dès lors l’amplitude HP1 en point P1 s'obtient par la relation (Fig.IV.18):

r1P H.)d(H φ=



(Fig. IV.18)

C'est ainsi, dès que l’amplitude de la vague réfléchie passe en dessous d’un certain seuil, l’onde ne progresse plus. § Réflexion sur le musoir Comme on a précisé précédemment, le musoir est certes un point de diffraction, mais aussi un point de réflexion particulier. En effet, en un tel point il y a une réflexion dans toutes les directions qui se traduit par de petites ondes circulaires réfléchies (Fig. IV.18).

Au cours du tracé des fronts de vagues et du calcul des amplitudes, on tient compte de ces fines ondulations partant du musoir, on y rajoutant des rayons de type réfléchis à partir de ce musoir, c'est ce qui permet d'assurer une certaine continuité entre l’onde réfléchie et l’onde transmise. Pour assurer qu'au cours du processus des calculs l’amplitude des rayons décroît en fonction de leur éloignement à la première onde réfléchie, on peut utiliser une formule empirique, fonction de α et θ, dont sa valeur vaudrait 1 dans la direction de réflexion et 0 dans la direction de la houle incidente:

}.4

)(.{cos),(

θ

θ+απ=θαψ

L'amplitude HP2 au point P2, en fonction de l’amplitude Hr de l’onde juste après impact au point M2, s'écrit, dès lors:

r2P H.)(.),(H αθα= φψ

§ Superposition des vagues progressives linéaires

▫ Vagues obliques Dans le système des coordonnées cartésiennes (x, y, z) de la figure (IV.19), la surface libre des vagues propageant à une vitesse VP dans une direction faisant un angle θ avec l'axe des x est donnée par l'expression:

)tsin.kycos.kx(cosa σ−θ+θ=η

Ou encore en considérant les composantes kx et ky du vecteur nombre d'ondes k (kx, ky) tel que:

θ+θ= sin.kycos.kxx.k

Elle est exprimée par: )tykxk(cosa yx σ−+=η

(Fig. IV.19)



Ainsi que le potentiel et le coefficient de dispersion s'écrivent respectivement par:

)tsin.kycos.kx(sin.)kd(ch)dz(kch.a.g σ−θ+θ

+

σ=φ

)kd(th.k.g2 =σ

Avec kx = k.cosθ et ky = k.sinθ ⇒ k = (kx+ky)1/2

▫ Réflexion totale (vagues stationnaires) Lorsque une houle rencontre, sans déferlement, un mur vertical normal à sa direction de propagation, la vitesse de chaque particule d'eau se réfléchie sur la paroi imperméable. La vague réfléchie η r est identique à la vague incidente η i mais de direction opposée.

Les deux vagues peuvent se superposer et les trajectoires des particules sont des droites horizontales aux noeuds d'oscillation N, verticales aux ventres V, l'amplitude au ventre étant 2a (Fig.IV.20).

(Fig. IV.20)

Si on exprime la vague monochromatique incidente η i et celle réfléchie η r respectivement par:

)tkx(cosai σ−=η et )tkx(cosar σ−−=η

Dès lors, pour la vague résultante ηT on obtient:

tcos.kxcos.a.2)tkx(cos.a)tkx(cos.ariT σ=σ−−+σ−=η+η=η

Et le potentiel φ est exprimé par:

tcos.kxcos.)kd(ch)}dz(k{ch.g.a.2 σ

+

σ−=φ

(Fig. IV.21)



Ainsi, si on considère (Fig. IV.21) qu'au cours de la réflexion sur une barrière verticale et fixe la vitesse normale doit être nulle, on obtient:

0kxsin...xx

==∂

∂≈

∂

η∂ φ aux points 2nL

kn,0x =π

=

D'où 0x x =∂

∂ φ

Donc, obtenir une vague stationnaire, on doit avoir, pour x = 0, une réflexion totale et parfaite sur l'obstacle. Quand la vague stationnaire se produit en eau profonde d>>L, on se trouve devant le phénomène de clapotis.

Par contre si elle se produit en eau peu profonde d<<L, dans un bassin fermé de longueur LB et de profondeur d ou semi-fermé, le phénomène s'appelle seiche. Dans le premier cas la vitesse de la vague étant c=(gd)1/2, le temps que met la vague à traverser la longueur LB du bassin sera t=LB/(gd)1/2 et la période de 1er ordre s'écrira T1=2LB/(gd)1/2. Les ordres supérieurs (n) sont définis en fonction du nombre de nœuds engendrés donc pour nème de la période Tn, (T1/n). (Fig. IV.22)

(Fig. IV.22)

Dans le cas d'un bassin semi-fermé ouvert à la mer, la période correspondant au plus petit ordre est double de celle correspondant au plus petit ordre du bassin fermé. Donc, la longueur d'onde effective de la vague est double de la longueur du bassin. Dès lors, dans le bassin semi-fermé la période de 1er ordre est définie par T1=4LB/(gd)1/2. Des seiches d'ordres supérieurs, avec la période T1/n, sont de nouveaux possibles.

Le coefficient de réflexion Kr se définit dès lors par le rapport: Kr = ar/ai, où ar et ai sont respectivement les amplitudes des vagues réfléchies et incidentes. Le coefficient de réflexion est égal ou plus petit que l'unité (Kr ≤ 1). Pour une réflexion totale il est égal à l'unité (Kr = 1).

▫ Réflexion des vagues obliques Pour une réflexion totale (Kr = 1, donc pour ai = ar = a) des vagues obliques, les expressions de la surface libre de la vague incidente η i et de celle réfléchie η r s'écrivent respectivement (Fig.IV.23):

)tsin.kycos.kx(cosai σ−θ+θ=η et }t)(sin.ky)(cos.kx{cosar σ−θ−+θ−=η ππ

(Fig. IV.23)



Dès lors, la surface libre résultante ηT s'écrit:

)tsin.ky(cos).cos.kx(cos.a2riT σ−θθ=η+η=η Où

θ= cos.kxxkx (Vague stationnaire propageant dans la direction de l'axe des x)

)tsin.ky()tyk( y σ−θ=σ− (Vague stationnaire propageant dans la direction de l'axe des y)

Avec

θ

π=

cosk2Lx (Longueur d'onde de la vague propageant dans la direction de l'axe des x)

θ

π=

sink2Ly (Longueur d'onde de la vague propageant dans la direction de l'axe des y)

0VPx = (Vitesse de propagation de la vague propageant dans la direction de l'axe des x)

θ

σ=

sinkVPy (Vitesse de propagation de la vague propageant dans la direction de l'axe des y)

Et dont

0)cos.kx(sin...xx

=θ=∂

∂≈

∂

η∂ φ pour x = 0

▫ Réflexion partielle La réflexion partielle apparaît soit, quand la vague réfléchie sur un obstacle (talus) présente un déphasage δ par rapport à la vague incidente dont les raisons pourraient provenir de la forme de l'obstacle (incliné ou autre forme) ou de sa qualité physique (perméabilité, porosité, rugosité, etc.) entraînant un amortissement, réduction d'amplitude, etc. La réflexion est, donc, fonction de l'angle α du talus (le rapport diminue très vite avec α), de la nature de la surface du talus, et de la cambrure γ au large (le rapport diminue quand la

cambrure augmente) dont la valeur limite au large est donnée selon Miche par (π

α

π

α=γ

)(sin..2 2

i ).

Le coefficient de réflexion aura, dès lors, une valeur inférieure à l'unité (Kr < 1) et les expressions de la surface libre de la vague incidente η i et de celle réfléchie η r pourraient s'écrire respectivement (Fig.IV.24):

}e{.a)tkx(cos.a )tkx(ieiii

σ−ℜ=σ−=η et }e.K{.a)tkx(cos.a )tkx(ireirr

σ−−ℜ=δ+σ+=η

(Fig. IV.24)



Kr y étant le coefficient de réflexion sous forme de nombre complexe, on écrit: δ−= e.KK rr avec

i

rr a

aK =

Dès lors l'expression de la surface libre résultante s'obtient par:

)}e.K(.e{.a ikxr

)tkx(ieiriT 1 −σ− +ℜ=η+η=η

Et )}kx(cos.K.K{.a 221 rriT δ+++=η

Ainsi, on obtient les valeurs absolues de ηT de la surface libre en un nœud et en un ventre par les

expressions:

Au nœud (NTT η=η ) ⇒ }K{.a riT 1−=η pour 12 )kx(cos −=δ+ ou π+=δ+ )n()kx( 122

Au ventre (VTT η=η ) ⇒ }K{.a riT 1+=η pour 12 )kx(cos +=δ+ ou 12 )kx(cos +=δ+

D'où, pour x = LB ⇒ 2kL = 2π ⇒ LB = L/2 et ⇒ )k(KK rNTVT

NTVTr =

η+η

η−η=

Partie II – Effets hydrodynamiques I.1 Chapitre I – Forces hydrodynamiques


Chapitre I. Forces hydrodynamiques

• Généralités Il est connu des mécaniques des fluides que le déplacement des corps dans un fluide subit de la part du fluide une certaine résistance qui est, d'une manière générale, fonction de la vitesse de déplacement du corps et des caractéristiques tant du corps (forme et dimensions) que du fluide (poids spécifique et viscosité).

Le corps peut être flottant évoluant, par conséquent, dans l'interstice de deux fluides à savoir l'eau et l'air. De ce fait, au cours de son déplacement dans un fluide au repos, il subit la résistance de ces deux fluides, l'une appelée résistance hydrodynamique due à la présence de l'eau et l'autre appelée résistance aérodynamique due à la présence de l'air. Ainsi, dans son mouvement la partie immergée du corps subit une résistance de la part de l'eau, tandis que sa partie émergée subit une résistance de la part de l'air.

L'ensemble de ces deux résistances, sans tenir compte d'une éventuelle résistance due à l'existence simultanée des deux fluides, constitue la résistance à l'avancement du corps se déplaçant dans un fluide au repos.

En général, la résistance à l'avancement du corps émergé dans un fluide au repos, dans sa plus simple expression, se compose de trois composantes principales:

▫ RF "résistance de frottement" ou "résistance visqueuse", fonction du nombre de Reynolds Re et de la rugosité relative ε /L de la surface du corps, due au mouvement du corps dans un fluide visqueux;

▫ RR "résistance résiduaire" composée de RW "résistance de vague", fonction du nombre de Froude Fr, due à l'énergie que le corps doit fournir au système de vagues qu'il engendre sur la surface de l'eau au cours de son mouvement et de RTB "résistance tourbillonnaire" due à la formation des tourbillons aux changements de forme du corps;

▫ La somme des résistances RF (résistance de frottement ou résistance visqueuse) et RR (résistance résiduaire), en eau calme et en absence des appendices, constitue la "résistance hydrodynamique " RH du corps;

▫ RAir "résistance de l'air" ou "résistance aérodynamique" due au mouvement du corps, plus précisément, de sa partie émergée dans l'air.

Dans le cas d'un corps présentant des appendices et éventuellement évoluant sous l'action des forces externes comme les vagues, il y a lieu d'ajouter à ces trois composantes principales, deux autres composantes, notamment:

▫ RApp "résistance des appendices" due à la présence des appendices sur le corps (protubérances, dérive, ailerons, etc.), qui engendrent tant de la résistance de frottement que de la résistance tourbillonnaire.

▫ RAdd "résistance additionnelle" due à l'état de mer (effets des vagues).

Dans le cas de l'étude d'un écoulement autours d'un corps fixe, l'étude de la "résistance à l'avancement" est tout simplement remplacée par celle des "forces hydrodynamiques" et concerne seulement (donc abstraction faite de la résistance de l'air) les effets des phénomènes de l'eau sur les corps flottants ou immergés, donc à fortiori, la force hydrodynamique engendrée par le fluide en mouvement sur le corps et qui est composée de forces provenant de plusieurs phénomènes que l'on distingue dans l'étude mais dont les interactions sont intimement mêlées.



Elle est menée selon la nature de l'écoulement. Les caractéristiques de l'écoulement et du fluide et ainsi que la forme et les mouvements des structures déterminent la nature des forces sur les structures. Selon la nature de l'écoulement (permanent ou non, laminaire ou turbulent), du fluide (réel ou idéal) et de la structure (fixe ou en mouvement, bien profilé ou non, lisse ou non), la détermination des forces hydrodynamiques nécessite des approches différentes influencées par les différents phénomènes étudiés précédemment dans le cadre des houles fondamentales.

§ Notion de couche limite Dans le cas où le fluide n’est pas très visqueux (nombre de Reynolds pas trop petit), la viscosité n’a d’effet que dans les régions où le gradient de vitesse est important. Or, étant donné que le fluide adhère aux parois solides, c’est au voisinage de ces parois que le gradient de vitesse est le plus important; c’est également là que naît et se développe la turbulence.

En schématisant, on peut donc distinguer dans le fluide deux régions :

▫ à quelque distance des parois solides, le fluide se comporte comme un fluide parfait; ▫ au voisinage de parois, au contraire, dans une couche mince appelée couche limite, les forces de

viscosité et éventuellement de turbulence, ne peuvent pas être négligées.

La couche limite étant très mince, on peut calculer l’écoulement extérieur, supposé parfait, en admettant, en première approximation, que ses limitantes sont confondues avec les parois solides (ou mieux, avec des parois fictives distantes des parois réelles d’une longueur égale à l'épaisseur de déplacement).

L’écoulement à l’intérieur de la couche limite peut être laminaire ou turbulent.

Sur la paroi, la vitesse est identiquement nulle, non seulement en moyenne mais à chaque instant. La turbulence, qui est une agitation du fluide, est donc forcément nulle sur la paroi. Par conséquent, l’écoulement, immédiatement au contact de la paroi, demeure laminaire même si la couche limite, dans son ensemble, est turbulente: la zone fluide correspondante est appelée sous-couche laminaire (ou film laminaire). Le développement de la couche limite et de celle laminaire le long d’une plaque plane est schématisé dans la figure (I.1).

(Fig. I.1)



Dans le cas de l'écoulement laminaire, dans un fluide idéal (non visqueux) et en absence de toutes perturbations, les lignes de courant sont uniformes, rectilignes et parallèles. Autour d'un corps bien profilé, l'écoulement laminaire est caractérisé par des lignes de courant uniformes et parallèles, qui près du corps suivent, sans enchevêtrement, son contour (Fig. I.2).

(Fig. I.2)

Par contre, dans le cas d'un fluide réel, l'écoulement autour du corps profilé change d'aspect et on observe une zone perturbée le long et à l'arrière du corps. Le long du corps apparaît une zone dite couche limite où les lignes de courant ne sont plus uniformes et parallèles mais sont enchevêtrés les unes dans les autres et à l'arrière du corps on observe une zone de fortes perturbations appelée sillage avec décollage de la couche limite et l'apparition des tourbillons. On est, dès lors, en présence d'un écoulement turbulent autour du corps. Au-delà de la couche limite, donc, de l'épaisseur de la couche limite, l'écoulement reste laminaire et se déroule comme si le contour du corps était remplacé par celui de la couche limite (Fig. I.3).

(Fig. I.3)

Normalement si le corps est bien profilé, comme c’est le cas d'un navire ou aile d'avion ayant des lignes continues et bien profilées, la couche limite enveloppe complètement le corps, son épaisseur variant de quelques centimètres à l’avant à quelques décimètres voire un mètre à l’arrière. A l’énergie absorbée par le travail des forces de viscosité dans cette couche limite, correspond une force qui tend à s’opposer à la progression de la carène et qu’on appelle généralement la résistance de frottement. La figure (I.4) représente la couche limite et la répartition des vitesses autour d'un corps bien profilé.

(Fig. I.4) Pour un écoulement réel autour d'un corps élancé (type navire) on observe quatre zones d'écoulement: une zone d'écoulement laminaire à l'amont du corps, une zone d'écoulement turbulent autour du corps, une zone d'écoulement dit séparé (décollage de la couche limite) et enfin une zone tourbillonnaire à l'arrière du corps (sillage). La figure (I.5) schématise l'écoulement réel autour d'un tel profil.



(Fig. I.5)

Le point de séparation, où le décollage de la couche limite s'opère, est un point d’arrêt pour la ligne de courant infiniment proche de la paroi : en aval de ce point, il se produit un courant de retour ; mais comme à l’intérieur de la couche limite le courant est dans le sens normal, cette ligne se replie rapidement sur elle-même pour former un remous tourbillonnaire. Le corps semble alors traîner derrière elle un gros sillage tourbillonnaire où ces tourbillons s’agglomèrent souvent en vortex parfaitement visibles (Fig. I.6).

(Fig. I.6)

§ Ecoulement permanent Dans le cas d'un écoulement visqueux permanent d'une vitesse donnée, la force hydrodynamique FHy engendrée par le fluide en mouvement sur un corps immergé peut s'exprimer sous forme de deux composantes, l'une appelée la "force de portance" (lift force) FL engendrée dans la direction perpendiculaire à celle de l'écoulement, et l'autre appelée "force de rencontre ou la traînée" (drag force) FD engendrée dans la direction de l'écoulement.

La force hydrodynamique est ses deux composantes sont exprimées en fonction de la vitesse U de l'écoulement, des coefficients hydrodynamique CHy, de traînée CD et de portance CL et ainsi que des dimensions ou de la surface caractéristique S et la masse spécifique ρ du fluide.

Pour un écoulement visqueux ces forces sont respectivement définies par les expressions:

2HyHy U.S..C.

21F ρ= (Force hydrodynamique)

2DD U.S..C.

21F ρ= (Composante de traînée)

2LL U.S..C.

21F ρ= (Composante de portance)



Ces expressions peuvent aussi être utilisées dans le cas d'un corps en translation avec une vitesse U dans un fluide au repos. Donc, elles sont valables tant dans le cas d'un fluide en mouvement et le corps fixe que dans le cas où le corps est en mouvement et le fluide au repos. Dans les deux cas la vitesse U peut être considérée comme étant la vitesse relative de l'écoulement par rapport au corps fixe.

La force de traînée est due au comportement visqueux du fluide, donc aux frottements du fluide sur le contour (surface mouillée) du corps. En fait, le fluide peut être considéré comme étant formé de couches superposées qui sont en mouvement les unes par rapports aux autres. La couche en contacte avec la surface du corps y adhère, donc sur la surface de frottement, elle a une vitesse tangentielle nulle si le corps est fixe par rapport à l'écoulement ou égale à celle du corps si le corps est en mouvement par rapport au corps (condition de non glissement). Tandis que la couche suivante se frotte sur la précédente et ainsi de suite (voir couche limite ci-dessus). Ces frottements engendrent dès lors une certaine force (force de frottements) à cause de la viscosité. En absence de viscosité cette force tendrait logiquement à zéro.

▫ Paradoxe de D'Alembert Sur base de la théorie potentielle, D'Alembert a procédé, en vue d'étudier la variation de la force hydrodynamique en fonction de la viscosité du fluide, à des essais et mesures de traînée sur des sphères placées dans un écoulement permanent. Il a trouvé que la force exercée sur le corps au lieu de tendre à zéro quand la viscosité du fluide approchait zéro, qu'elle convergeait, au contraire, vers une valeur finie non nulle.

Dans le système de coordonnées cartésiennes (x, y, z), pour un écoulement uniforme ayant une vitesse U dans la direction de l'axe des x (Fig.I.7), le potentiel des vitesses φ autours d'une sphère de rayon (a), en coordonnées polaires (r, θ), s'écrit:

θ+=θφ cos).r.ar.(U),r(2

3

2

(Fig. I.7)

La force hydrodynamique exercée sur la sphère par un écoulement non permanent est donnée par l'intégrale de la pression qu'exerce le fluide dans son mouvement uniforme autours de celle-ci. Sa composante Fx dans la direction de l'axe des x est exprimée par:

dS.n.t

{.dS.n.pF x2

xx 2

1φ∇+

∂

φ∂ρ−== ∫∫∫∫

Où p est la pression donnée par l'équation de Bernoulli et nx représente la composante dans la direction de l'axe des x (direction de l'écoulement) du vecteur normal n (nx, ny, nz).

La dérivée temporelle du potentiel étant zéro l'écoulement est permanent et par conséquent la vitesse est indépendante du temps. Dès lors, en coordonnées sphériques les composantes de la vitesse sur la surface de la sphère, en r = a, sont obtenues en prenant le gradient du potentiel, tel que:

}sinr1,

r1,

r{)V,V,V(V r ϕ∂

φ∂

θθ∂

φ∂

∂

φ∂==φ∇= ϕθ



En tenant compte des conditions aux limites, notamment, de la condition de non glissement sur la surface de la sphère, donc Vr=0 pour r=a, on obtient:

)0,sin.U.,0()(V2

3ar θ−=φ∇= =

Et par conséquent:

θ=φ∇ 222 sin.U.8

9

2

1

Dès lors, en introduisant dans l'expression de la force hydrodynamique et en intégrant sur une période (0, π) on obtient successivement:

∫π

θθθπρ=0

322x d.cos.sin.U.a...F

4

9 ⇒ 0sin..U.a...F0

44/122x 4

9=θπρ=

π

Donc, "dans un écoulement permanent sans viscosité, il n'y a pas de force hydrodynamique qui s'exerce sur le corps"

C'est ainsi que, l'absence de la force hydrodynamique dans un écoulement permanent d'un fluide non visqueux autour d'un corps fermé, est connue, sous le nom de "paradoxe de D'Alembert". Autrement dit: la force s'exerçant sur un corps arbitraire qui se meut dans un fluide incompressible et idéal à vitesse constante selon une trajectoire rectiligne est égale à zéro, pourvu que la circulation autours du corps soit nulle (cas des corps cylindriques), donc absence de portance.

L'explication physique de ce résultat est la suivante. La puissance mécanique U.FX fournie par une force de résistance doit être transformée au sein du fluide soit en chaleur, soit en énergie cinétique. Cela représenterait un débit continu d'énergie vers l'infini; dans le premier cas, par un transport en aval de l'énergie interne croissante du fluide; dans un deuxième cas par un transport d'énergie cinétique sous forme de mouvement ondulatoire. Cependant, par hypothèse dans un écoulement idéal aucun mécanisme de dissipation d'énergie ne peut exister; il en est de même en ce qui concerne les phénomènes ondulatoires dans un fluide incompressible d'étendue infinie. De ce fait la force FX ne peut pas exister.

Par contre, le paradoxe de d'Alembert ne s'applique pas en présence d'un mécanisme de transport d'énergie ou de quantité de mouvement. Par exemple, des ondes de surface peuvent être engendrées à la surface libre d'un fluide incompressible idéal. Celles-ci sont susceptibles de transporter de l'énergie et de la quantité de mouvement vers l'infini. Par conséquent, les ondes de surface sont liées à une force de traînée.

Il s'avère des considérations précédentes, que la force totale résultante s'exerçant sur deux corps, situés ensembles dans un écoulement idéal, est nulle à condition que le paradoxe de d'Alembert soit applicable pour chacun des corps pris isolément dans ce même écoulement. Ceci n'exclut pas toutefois l'existence de forces non nulles s'appliquant individuellement sur chacun des éléments placés ensemble dans l'écoulement.

Dans le cas des corps cylindriques le paradoxe de d'Alembert n'est valable que si la circulation autour du cylindre est égale à zéro.

Dans le cas contraire, la circulation engendre une force FZ de direction perpendiculaire à la direction de l'écoulement et qui ne contribue pas à la production d'énergie dans l'écoulement, mais dont la résultante sur le corps constitue la force de portance FL.



§ Ecoulement non permanent

▫ Notion de masse ajoutée Dans un fluide au repos le mouvement d'un corps (ou vice et versa) est accompagné d'entraînement du fluide par celui-ci dans son mouvement. La quantité ou la masse du fluide entraîné dépend essentiellement de la forme géométrique du corps et de la direction du mouvement.

Ainsi, dans le cas des écoulements non permanent autours des corps ou dans le cas du mouvement temporel d'un corps dans un fluide au repos ou encore dans le cas du mouvement temporel du corps et du fluide, on est ramené, du fait de ce phénomène, à considérer l'augmentation des forces inertielles du fluide s'ajoutant à la force hydrodynamique totale exerçant par le fluide sur le corps. Tout se passe comme si dans son mouvement la masse propre du corps était augmentée d'une masse du fluide entraînée et que la force hydrodynamique exercée par le fluide sur le corps était augmentée d'une force d'inertie additionnelle due au fluide. Cette masse de fluide est ainsi appelée la masse ajoutée ou masse d'eau ajoutée.

En effet, si on considère le mouvement non permanent d'un corps animé d'une vitesse Uc(t) dans un fluide irrotationnel et non visqueux au repos (Uf=0), et la masse ajoutée ma du fluide, la force fonction du temps exercée sur le corps par le fluide sera directement proportionnelle à l'accélération du corps. Cette force d'inertie additionnelle ou la force de la masse d'eau ajoutée sur le corps, qui serait d'ailleurs nulle en cas de fluide non visqueux (paradoxe de D'Alembert) est, dès lors, donnée par l'expression:

dt)t(dU

.m)t(F ca−=

▫ Cas du corps en mouvement dans un fluide au repos Dans le cas d'un corps (sphère de rayon a) animé d'une vitesse UC(t) dans un fluide au repos, les expressions du potentiel φ satisfaisant à la condition de non glissement sur la surface de la sphère et l'expression de la vitesse radiale Vr sont données respectivement par:

θ=∂

φ∂=

=

cos).t(Ur

V Car

r et θ−=φ cos.r.a).t(U2

3

C2

Dès lors, en coordonnées sphériques on obtient successivement:

)0,sin).t(U.1,cos).t(U()(V CCar 2θθ=φ∇= = ⇒ θ+θ=φ∇ 22

C22

C2 sin.U.cos.U

4

1

et

θ−=θ−=∂

φ∂== cos.a.

dt)t(Ud

.}cos.r.a.

dt)t(Ud

{}t

{ Car2

3C

ar 2

1

2

Par conséquent, sachant que ∫∫ ∫π

θπθ=C 0

)sin.a..).(d.a(ds 2 , en intégrant l'expression de la pression p sur la

surface de la sphère, on obtient :

}a....{dt

)t(UdF 3Cx 3

2πρ−=

Sachant que le volume de la sphère est donné par VS = 4/3.π.a3 et que 2/3.ρ .π.a3 de l'expression de la force Fx est l'unité de la masse, on obtient tout simplement:

}V...{dt

)t(UdF S

Cx 2

1ρ−=



L'expression de la force de la masse d'eau ajoutée sur un corps sphérique animé d'un mouvement à accélération variable en fonction du temps et où 1/2.ρ .VS représente la masse d'eau ajoutée ma de la sphère. ▫ Cas du corps fixe dans un écoulement non permanent Dans le cas d'un corps fixe (sphère de rayon a) dans un écoulement non permanent de vitesse UF(t), on obtient, d'une manière similaire au cas précédent, les différentes expressions conduisant à la force hydrodynamique Fx. On a ainsi successivement:

θ+=θφ cos).r.ar).(t(U)t,,r(2

3

F2

et

)0,sin).t(U.,0()(V Far 2

3θ−=φ∇= = ⇒ θ=φ∇ 22

F2 sin.U.

8

9

2

1

et

θ=∂

φ∂= cos.a.

dt)t(Ud

.}t

{ Far 2

3

Et par conséquent:

}a....{dt

)t(UdF 3Fx 2 πρ=

En y introduisant le volume de la sphère VS et l'expression de la masse d'eau ajoutée (ma=1/2.ρ .VS), cette expression s'écrit:

}mV..{dt

)t(UdF aS

Fx +ρ=

Où le terme (ρ .VS) est dû au gradient de la pression nécessaire pour accélérer le fluide autour de la sphère. C'est comme un effet de flottabilité du corps.

▫ Cas du corps en mouvement dans un écoulement non permanent Dans ce cas où le corps (sphère de rayon a) est animé d'une vitesse UC(t) dans un écoulement non permanent de vitesse UF(t), la force hydrodynamique Fx s'obtient, en combinant les deux cas précédents par l'expression:

}mV..{dt

)t(Udm.

dt)t(Ud

F aSF

aC

x +ρ+−=

D'où

)}t(U)t(U{dtd.m)}t(U{

dtd.V.F CFaFSx −+ρ=

§ Détermination de la masse d'eau ajoutée Pendant la formulation des équations du mouvement non permanent des corps dans un fluide au repos ou d'un écoulement non permanent d'un fluide autour des corps, on doit tenir compte de l'effet additionnel de la force résultant de l'action du fluide sur le corps. Cet effet additionnel est la masse ajoutée.



Pour des petits mouvements les comportements linéaires de la plupart des structures flottantes peuvent être modélisés par un système d'équations similaires à celles du système d'oscillations linéaires, bien connu de la mécanique classique, composé d'un corps de masse m, d'un ressort ayant un coefficient de raideur k et d'un amortisseur ayant un coefficient d'amortissement linéaire b. L'équation générale des oscillations linéaires d'un tel système, pour un déplacement x du corps s'écrit:

)t(fx.kdtdx.b

dtxd.m 2

2=++

La fréquence naturelle d'oscillations ω est simplement:

mk

=ω

Physiquement, la masse ajoutée ma est la masse qui est ajoutée au système du fait qu'au cours de l'accélération ou de décélération du corps, celui-ci entraîne dans son mouvement (mouvement non permanent dU/dt≠0) une quantité de fluide de son entourage qui constitue la masse ajoutée en question. La force de la masse ajoutée s'oppose au mouvement du corps et peut être introduite dans l'équation précédente en l'écrivant:

2

2

a2

2

dtxd.m)t(fx.k

dtdx.b

dtxd.m −=++ ⇒ )t(fx.k

dtdx.b

dtxd).mm(2

2

a =+++

Dès lors, la nouvelle fréquence naturelle d'oscillations ω ' en substituant dans le système la nouvelle masse (m'=m+ma) devient:

)mm(k

'mk

a'

+==ω

Il est clair que, dans la réalité, les mouvements des structures océaniques ou marines se produisent dans plusieurs directions, par conséquent les forces de la masse ajoutée peuvent apparaître dans une direction sous l'effet des mouvements dans plusieurs directions. Pour cette raison, on doit considérer pour la masse ajoutée les effets des mouvements dans le cadre des six degrés de liberté des structures, donc en considérant la matrice de dimension 6x6 constituées par les coefficients de la masse ajoutée.

(Fig. I.8)

En considérant le système des coordonnées cartésiennes (Fig.I.8) en 2D et 3D, les vitesses de translation Ui=1,2,3 selon les axes (directions) principaux 1,2 et 3 et ainsi que les vitesses de rotation Ui=4,5,6 respectivement Ωi=1,2,3 , autours de ses mêmes axes normaux (comme Ω3 autours de la direction 3), représentant en fait les directions des moments, la matrice (tenseur) des coefficients de la masse ajoutée s'écrit sous forme de:

mij avec i,j=1,…,6



Où mij est associé à la force exercée sur le corps dans la direction i avec l'accélération unitaire dans la direction j. D'une manière explicite elle s'écrit telle que illustrée dans la figure (I.9). Les valeurs mij sont données dans la littérature sous forme de tableau selon les formes des corps considérés.

(Fig. I.9)

Ainsi pour une sphère pour des raisons de symétrie, on obtient:

m11 = m22 = m33 = ½. ρ .VS = ma Et les autres mij = 0.

En 2D, pour d'autres formes géométriques centrées sur l'origine des axes 1 et 2, on obtient notamment:

- Cercle de rayon a: ⇒ m11 = m22 = ρ .VC = ρ .π.a2 - Ellipse: ⇒ m11 = ρ .π.a2 et m22 = ρ .π.b2 (a et b sont les demi axes situés respectivement dans

les directions 2 et 1). - Plat: ⇒ m11 = ρ .π.a2 et m22 = 0 (plat d'épaisseur négligeable et de hauteur 2a

perpendiculaire à la direction 1). - Carré de coté 2a: ⇒ m11 = m22 ≅ 4,754 ρ .a2

• Forces dues aux vagues En plus des efforts hydrostatiques, un corps placé dans une houle subit des efforts hydrodynamiques. Suivant les dimensions du corps et les caractéristiques de la houle, l'étude des efforts hydrodynamiques est menée de manière différente, et deux types de facteurs sont à considérer:

▫ La présence du corps modifie le champ des vitesses de la houle, de telle sorte que le potentiel résultant ne correspond plus à celui de la houle incidente. Cependant, si le corps est très petit vis-à-vis de la longueur d'onde de la houle, on peut, en première approximation, considérer que la houle n'est pas perturbée par la présence du corps et que les efforts qu'elle engendre sur celui-ci, peuvent être calculés à l'aide du potentiel de la houle incidente.

Par contre, si le corps est très grand par rapport à la longueur d'onde de la houle, il constitue un obstacle qui réfléchit entièrement la houle incidente. Entre ces deux extrêmes, la houle est diffractée par le corps et il est nécessaire de tenir compte d'une manière appropriée de l'interaction fluide-corps.

Si D est une dimension caractéristique du corps dans la direction de propagation de la houle (D représente, par exemple, le diamètre dans le cas des colonnes cylindriques) et L la longueur d'onde de la houle incidente, les résultats pratiques d'expérience permettent de définir les critères suivants:

D/L > 1 ⇒ pure réflexion 0,2 < D/L < 1 ⇒ diffraction importante D/L < 0,2 ⇒ houle non perturbée



▫ Les efforts hydrodynamiques engendrés par les houles, dans leurs sens de propagation, peuvent être décomposés en deux familles (Fig. I.10):

(Fig. I.10)

- les forces d'inertie dues au caractère instationnaire du mouvement des particules d'eau: elles sont en phase avec l'accélération et proportionnelles au volume du fluide déplacé.

- les forces de traînée dues à la viscosité de l'eau: elles sont en phase avec la vitesse et proportionnelles à une surface de référence.

Plus précisément, pour la houle de Stokes de 1er ordre on a les relations suivantes:

3I D...kVolume

tV

F x φσ≅∂

∂≈ et 2222

D D..kSurfaceVF x φ≅≈

Où V est la vitesse des particules de l'eau et φ le potentiel des vitesses exprimé sous forme φ ~(a.g/σ){..}.

Dès lors en fonction de l'amplitude a de la houle en profondeur finie d et de la longueur caractéristique D, on obtient les relations:

)kd(thDFF

aD

I ≅ ⇒ WD

FF

D

I ≅

Où W = a/th(kd) est l'amplitude de l'orbite des particules d'eau en surface.

Ainsi, on obtient les limites de la prédominance des efforts exprimées par:

D/W >> 2.π ⇒ les efforts d'inertie sont prépondérants; et D/W << 2.π ⇒ les efforts de traînée sont prédominants.

On voit que, pour une houle donnée, les forces d'inertie sont d'autant plus importantes que le corps est grand et que les forces de traînée ont leur domaine d'action sur les corps de faibles tirants d'eau. Mais l'importance relative de ces dernières, proportionnelle au creux de la houle, se trouve également bornée par la limitation de ce creux par le déferlement.

La figure (I.11) (Réf. 69) donne les différents régimes de charge au niveau de l'eau au repos (SWL) et qui peuvent, en fonction de la longueur caractéristique D et la longueur d'onde L de la houle, se résumer en général par:

▫ En cas de fluide parfait : D/L > 1 ⇒ Réflexion pure; 0,2 < D/L < 1 ⇒ Diffraction importante.



▫ Quand la viscosité est prise en compte : D/L < 0,2 ⇒ Houle non déformée; D/W >> 2.π ⇒ Inertie prédominante; D/W << 2.π ⇒ Traînée prédominante.

(Fig. I.11) § Forces hydrodynamiques Les forces hydrodynamiques sur un corps soumis à l'action de la houle sont ainsi de deux types: forces de viscosité et forces inertielles (Fig.I.12).

(Fig. I.12)

Ainsi, une houle (Fig.I.12), dont la surface libre est représentée par η(x,t), ayant une amplitude a, une longueur d'onde L et une période T et propageant dans la direction x avec une vitesse U, exerce sur un corps de longueur caractéristique D, une force hydrodynamique globale FH donnée par l'expression:

2HH D.a.g..CF ρ=

Dont le coefficient CH est une fonction de plusieurs paramètres tels que:

....},K,R,D,

Ld,

LD,

da,

Da,

La{C ceH

ε= ℑ



Où les paramètres sans dimension a/L, a/D, a/d, D/L, d/L et ε /D représentent respectivement la pente de la surface libre et l'effet de la cambrure de la houle, influence de la réflexion, l'amplitude relative de la houle, influence de la diffraction, profondeur relative de l'eau, rugosité relative de la surface du corps et ainsi que les nombres de Reynolds et de Keulegan-Carpenter. ▫ Forces de viscosité Les forces de viscosité ou visqueuses sont fonctions tant du nombre de Reynolds Re, défini par la relation D.U/ν que du nombre de Keulegan-Carpenter NKC défini par U.T/D. Elles sont exprimées sous forme de force de traînée de forme FD et de force de traînée de frottement FF.

La traînée de forme FD est due principalement à la séparation du flux d'écoulement et aux contraintes normales (Fig.I.13). Pour un écoulement de vitesse U et d'un corps de surface de rencontre (section) SD, elle peut être formulée par l'expression:

2DDD U.S..C.

21F ρ=

(Fig. I.13)

La traînée de frottement FF par contre est due aux contraintes τω de frottement du fluide sur la surface mouillée SM du corps et spécialement à l'intérieur de la couche limite. Etant égale à l'intégrale de surface de ces contraintes (sur la surface mouillée), elle peut être formulée par l'expression:

2MfF U.S..C.

21F ρ= ou encore ∫∫ τ≈ ω dS.FF

▫ Forces d'inertie Les forces d'inertie FI sont principalement celles dues à la pression autours du corps et définies par celle de Froude-Krylov, de diffraction et de radiation. Dans un écoulement potentiel elles s'expriment par l'intégrale de la pression autours de la surface mouillée SM du corps. On a ainsi:

dSnpFMS

I ..∫∫=

La pression p est exprimée en fonction du potentiel φ par la relation:

}21z.g

t{.p 2φφ

∇++∂

∂ρ−=

Où le terme 2

21

φ∇ est nul pour la théorie linéaire (amplitude de houle est petite).

Dans le cas de la théorie linéaire (houle d'Airy), du fait qu'on peut additionner linéairement des différents potentiels, le potentiel des vitesses φ peut être décomposé en ses composantes: incidente, diffractée et radiée et ainsi que la pression p à ses composantes correspondantes. Dès lors, on écrit:

RDIT φφφφ ++=



Où φT, φ I, φD et φR sont respectivement le potentiel total des vitesses et ceux de la houle incidente, diffractée et radiée. La pression p s'écrit aussi comme étant la somme des pressions correspondantes à ces différents potentiels:

}z.gttt

.{}z.gt

.{p RDIT +∂

φ∂+

∂

φ∂+

∂

φ∂ρ−=+

∂

φ∂ρ−=

ú Potentiel incident Dans le cas où la longueur significative (dimension) D du corps par rapport à la longueur d'onde de houle L est telle que D<<L, le champ des vagues incidentes n'est pas perturbé (ou modifié), d'une manière significative, par la présence du corps. Dès lors, on ignore les potentiels diffracté et radié (corps de petite dimension ⇒ absence de diffraction et de radiation). C'est l'approximation de Froude-Krylov est la force hydrodynamique obtenue en intégrant la pression p sur la surface mouillée du corps s'appelle force de Froude-Krylov (FFK). Elle est donnée par l'expression:

IT φ≈φ et }z.gt

.{p I +∂

φ∂ρ−≈

⇒ dS.n.pdS.n}.z.gt

{FMS

IMS

IFK ∫∫∫∫ =+

∂

φ∂ρ−=

Note: Approximation mathématique

En appliquant le théorème de divergence, la force FFK s'écrit:

∫∫∫∫∫ ∇−=−=V

IMS

IFK dV.pdS.n.pF

Où V est le volume du corps immergé.

Si les dimensions du corps sont très petites en comparaison avec la longueur d'onde L de la houle, on peut considérer que ∇pI est approximativement constant à travers le volume du corps. Dès lors, en le sortant hors de l'intégrale, on obtient la force FFK approximative donnée par l'expression:

IV

IFK p.VdV}.p{F ∇=∇≅ ∫∫∫

Où ∇pI est calculé au centre du corps.

Cette expression est très usuelle pour des corps de petites dimensions dont la forme géométrique est régulière à l'exception des corps à section rectangulaire (points de discontinuité aux arêtes).

ú Potentiels diffracté et radié (Fig.I.14) Dans le cas où la longueur significative (dimension) D du corps par rapport à la longueur d'onde de houle L ne peut plus être considérée petite (D</<L), le champ des vagues incidentes est perturbé (ou modifié), d'une manière significative, par la présence du corps, même si celui-ci est stationnaire. Dès lors, on ne peut plus ignorer les potentiels diffracté et radié (corps de grande dimension ⇒ existence de diffraction et de radiation).

(Fig. I.14)



La force hydrodynamique FD engendrée par l'action de la houle diffractée est calculée en fonction du potentiel diffracté φD en intégrant l'expression de la pression correspondante autours de la surface mouillée SM du corps.

Elles donnée par l'expression:

dS.n}.t

.{FMS

DD ∫∫

∂

φ∂ρ−=

Tandis que la force hydrodynamique de radiation est crée par le mouvement propre du corps et ce même en absence de la houle incidente, dans un fluide au repos. Le mouvement du corps crée ainsi des vagues dites radiées génératrices des forces d'inertie. C'est ainsi que les forces de la masse ajoutée et les forces d'amortissement entre en jeu. Cette force est calculée en fonction du potentiel diffracté φR en intégrant de l'expression de la pression correspondante autours de la surface mouillée SM du corps. Elles donnée par l'expression:

)t(U.dt)t(U

.mdS.n}.t

.{F jijj

ijMS

RR −

∂

∂−=

∂

φ∂ρ−= ∫∫

Où mij et dij sont respectivement les tenseurs des coefficients de la masse ajoutée et d'amortissement.

§ Paramètres importants L'étude des forces hydrodynamiques engendrées par la houle autours des corps fait intervenir deux paramètres très important à savoir: le nombre de Keulegan-Carpenter NKC et le paramètre de diffraction D/L, qui sont reliés l'un à l'autre par le paramètre a/L définissant la limite de l'amplitude a de la houle par rapport à sa longueur d'onde L (paramètre de linéarisation, houles de faibles amplitudes). Ainsi:

La..2

DT.UNKC π== et

LD

Avec la relation:

07,0La≤ ⇒ 07,0)

DL(.)

La( ≤

En fonction des valeurs du nombre de Keulegan-Carpenter NKC on obtient les différentes prédominances des forces comparées les unes par rapport aux autres en fonction de celles des phénomènes dus à l'action de la houle sur le corps (Fig.I.15).

(Fig. I.15)



On a ainsi, en résumé:

o NKC ≤ 1 Il n'y a pas de séparation du flux d'écoulement autours du corps et les effets de viscosité n'apparaissent que dans la couche limite n'ayant qu'une épaisseur très mince. Ainsi, les effets de viscosité étant négligeables, on appliquera dans ce cas la théorie potentielle.

Pour ces valeurs de NKC, si en plus on examine les limites des valeurs de D/L, on remarque selon le cas que:

▫ pour D/L << 1, la diffraction et les effets de radiation sont négligeables (dij ≈ 0 et mij ≈ mij, masse ajoutée dans un fluide infini). Pour déterminer la force hydrodynamique on utilise l'approximation de Froude-Krylov.

▫ pour D/L >> 0,20, les phénomènes de diffraction et de radiation {a/D ≤ 0,07/ (D/L) ≤ 0,035} apparaissent, donc on doit en tenir compte.

o NKC >> 1 Il existe une importante séparation du flux d'écoulement autours du corps, par conséquent les forces visqueuses ne peuvent plus être négligées. Si d'autre part, on a {

)D/a(07,0

LD≤ } et par conséquent { 1

LD<< },

dès lors, on néglige la diffraction et on utilise l'approximation de Froude-Krylov. Ainsi, la force en fonction de la vitesse relative U(t) du fluide est donnée par l'expression:

)t(U).t(U.D..C.21F 2

D ρ=

Où le coefficient de traînée CD est une fonction du nombre de Reynolds Re. o Valeurs intermédiaires NKC Pour les valeurs intermédiaires nombre de Keulegan-Carpenter NKC, les effets tant visqueux qu'inertiaux sont importants. Dès lors, la force hydrodynamique se calcule par la formule de Morrison.

t)t(U.D..C)t(U).t(U.D..C.

21F 3

I2

D ∂

∂ρ+ρ=

Où le coefficient de la force de traînée CD est une fonction du nombre de Reynolds Re, tandis que le coefficient de la force d'inertie CI est une fonction à la fois du nombre de Reynolds Re et du nombre de Keulegan-Carpenter NKC.

Partie II - Effets hydrodynamiques II.1 Chapitre II - Corps de petite dimension


Chapitre II. Corps de petite dimension

• Introduction On définit un corps comme un corps de petite dimension quand un de ses éléments géométriques est pris comme une dimension active influençant les interactions entre le corps et le phénomène du fluide dans lequel il évolue. Dans le cas des corps cylindriques soumis à l'action de la houle cette dimension significative est définie par son diamètre D et il est comparé à la longueur d'onde L de la houle. Le rapport D/L constitue dès lors le paramètre principal comparatif des différents phénomènes d'interaction entre le corps et la houle. On parle ainsi d'un corps de petite dimension quand le rapport D/L < 0,2.

Dans un fluide accéléré, considéré comme incompressible et non visqueux, existe un champ de force qui accélère ce fluide, ce même champ de force tentant à accélérer tout corps plongé dans ce fluide; la force résultante est proportionnelle à la masse du fluide déplacée par le corps. De plus, le fluide devant contourner l'obstacle représenté par le corps, subit de ce fait une décélération. Il s'ensuit une force supplémentaire, qui est représentée par une augmentation fictive de la masse du fluide déplacé, appelée la "masse ajoutée".

L'équation de Newton écrite sous la forme:

dtdu).mm(F aI +=

Qui représente la "force d'inertie" FI exprimée en (kgf), et où:

m est la masse du fluide déplacé (kg); ma est la masse ajoutée (kg) qui dépend de la forme du corps et des caractéristiques de l'écoulement autour

de celui-ci; et du/dt est l'accélération (m/s2) du fluide au centre de gravité du volume de fluide déplacé par le corps.

Dans le cas de la théorie linéaire de Stokes où l'amplitude de la houle est considérée très petite, en négligeant les termes de l'accélération convective et en ne gardant que le terme de l'accélération locale du fluide, on obtient:

tu

dtdu

∂

∂=

Et par conséquent, l'équation de la force d'inertie FI s'écrit:

tu

.m.Ctu

.V..CF III ∂

∂=

∂

∂ρ=

Où CI = 1+Cm est le coefficient d'inertie; Cm = ma/m est le coefficient de la masse ajoutée; m = ρ .V est la masse du fluide (kg), avec ρ et V respectivement la masse volumique du fluide (kg/m3) et

le volume du fluide déplacé (m3). D'autre part, dans tout fluide réel, il existe une force additionnelle due à la viscosité qui dépend du nombre de Reynolds, de la forme du corps, de la turbulence, de la rugosité, etc.

Cette force est due aux différences de pression entre les parties aval et amont de l'obstacle, causées par la séparation de l'écoulement, le phénomène de sillage et les efforts de cisaillement visqueux et turbulents dans les couches limites sur les parois.



Cette force appelée "force de traînée" FD est exprimée par la relation:

2D2

1D u.A..C.F ρ=

Où A est l'aire (m2) projetée du corps perpendiculairement à la direction de la vitesse instantanée u; et CD est le coefficient de traînée qui dépend des facteurs précités.

• Equation de Morrison En 1950, J.R. Morrison et ses associés ont donné comme résultat de leurs expériences, une formule empirique pour le calcul des forces sur des piles cylindriques fixes (pas nécessairement circulaires) en présence des vagues de surface (Réf.70). Ils supposent que la force totale peut être obtenue en ajoutant linéairement les forces de traînée, d'inertie, et éventuellement, quand cela s'avère nécessaire, de portance latérale.

En écoulement non permanent, pour une pile de longueur infinie, en faisant abstraction de la force de portance latérale, ils donnent comme expression de la force totale qui agit sur le corps dans le sens de la propagation de la houle, et par unité de longueur, la formule empirique suivante:

u.u.D..C.tu

.S..CdFdFdF D2

1IDIT ρ+

∂

∂ρ=+=

Où le terme non linéaire u.u , à la place de u2, permet de maintenir son signe propre à la force de traînée. S et D sont respectivement la section (m2) et le diamètre (m) de la pile.

Le maximum de la force totale dépend de la variation de dFI et dFD au cours du cycle de la houle et ce maximum ne se produit pas nécessairement au moment où la crête de la vague est au droit de la pile.

Il est évident que la formule de Morrison n'est pas rigoureuse, et est même sujette à caution, surtout lorsque l'on voit que l'équation de la force de traînée viole les hypothèses de celle d'inertie.

Cette remarque est particulièrement vraie dans le cas de la houle car la vitesse s'inverse périodiquement de telle sorte que la pile se trouve face à son sillage à chaque changement de sens de 1a vitesse du fluide, donc dans un champ de vitesse perturbé par sa propre présence. La formule de Morrison n'utilisant que les expressions de la vitesse et de l'accélération des particules fluides non perturbées et les évaluant à l'axe de la pile comme si celle-ci n'existait pas, ne tient pas compte des interactions fluide-structure qui modifient complètement le champ de vitesse du fluide.

Néanmoins, du point de vue des applications de l'ingénieur, cette méthode reste acceptable, car elle conduit à des résultats pratiques et elle est de plus la seule utilisable à l'heure actuelle.

§ Linéarisation de l'équation de Morrison Le terme de traînée de l'équation de Morrison est non-linéaire. Si nous postulons qu'il existe un coefficient de traînée DC pour le terme linéarisé, nous pouvons dès lors écrire:

u.D..C.u.D..C.u.u.D..C.tu

.S..CdFdFdF D2

1D2

1D2

1IDIT ρ−ρ+ρ+

∂

∂ρ=+=

Et

Eu.D..C.tu

.S..CdF D2

1IT +ρ+

∂

∂ρ=

Où }u.Cu.u.C{.D..E DD2

1−ρ= peut être interprété comme une fonction d'erreur.



En minimisant E par la méthode de moindre-carrés:

0}u.Cuu.C{.CE 2

D2

DD

22 >=−<>=

∂

∂< −

Où le terme < > signifie la variation temporelle, on obtient:

><

><=

2

2

DDu

u.u.CC

En assumant que l'élévation de la surface libre η , et la vitesse u, ont une distribution Gaussienne, à une moyenne nulle, on obtient:

2u

2u σ>=< ; u./u 8 σπ>=<

3u

2 ./u.u 8 σπ>=<

Dès lors:

uDD ./.CC 8 σπ=

Où σu est la variance du processus gaussien qui nécessite la connaissance de la distribution des vitesses u.

L'équation linéarisée de Morrison s'écrit alors:

u.D.../.Ctu

.S..CdF uD2

1IT 8 ρσπ+

∂

∂ρ=

§ Le cas des piles inclinées Dans l'équation de Morrison la force horizontale ne dépend que des composantes horizontales de la vitesse et de l'accélération du fluide. Les composantes tangentielles sont négligées; si on omet les effets de friction, elles n'ont pratiquement pas d'effet sur la pile. Les coefficients qui représenteraient ces effets seraient d'ailleurs 30 à 120 fois plus faibles que ceux de la traînée et de l'inertie.

Dans la littérature on ne trouve pas de méthode unanime pour l'extension de l'équation de Morrison aux cas des piles inclinées.

Ainsi Wade et Dwyer (Réf.71) discutent sur quatre formulations différentes et démontrent qu'il y a des différences allant de 10 à 20 % suivant les méthodes utilisées. Ces différences entre les méthodes deviennent d'autant plus importantes que la pile se trouve dans un régime où 1a force de traînée est prédominante.

Ippen (Réf.72) propose de remplacer les composantes horizontales de la vitesse et de l'accélération, par les modules des vecteurs vitesse et accélération, dans les cas où ces vecteurs font un angle inférieur à 60° avec l'axe de la pile. Dans le cas des piles verticales cette méthode ne conduit pas à l'équation originale de Morrison.

D'autres méthodes présentent des coefficients pour sections elliptiques et font des assomptions sur la pression normale à la pile. En améliorant la méthode proposée par Borgman (Réf.73), Chakrabarti (Réf.74) donne pour une pile inclinée de et α° par rapport à z et de β° par rapport à y l'équation vectorielle de Morrison dans laquelle la vitesse et l'accélération horizontales sont remplacées par les vecteurs de la vitesse et de l'accélération normales.

Ainsi, pour l'unité de longueur, la force totale est donnée par:

dFT = C I.ρ.S.ddtVn+1

2CD.ρ.D.V n

. Vn



Où les composantes de Vn

suivant x, y et z sont données par les expressions:

βαα+βα−= cos.sin).cos.wcos.sin.u(uVnx

βαα+βα−= sin.sin).cos.wcos.sin.u(Vny

αα+βα−= cos).cos.wcos.sin.u(wVnw

Notons que pour une pile verticale α = 0 et Vn = (u, 0, 0) on retrouve la formule de Morrison.

§ La force de portance latérale La formation et le détachement des tourbillons autour de la pile créent une force résultante transversale à la direction de propagation de la houle avec une fréquence correspondante à celle du décollement des tourbillons. Cette force de portance latérale est donnée par l'expression:

2mLL u.A.C.F

21

=

Où CL est le coefficient de portance latérale, et um la composante horizontale de la vitesse maximum des particules fluides.

En écoulement non permanent, comme dans le cas de la houle, et pour une pile fixe de longueur infinie, cette force par unité de longueur est exprimée par:

∑ ψ+ωρ==

N

1nn

nL

2L )t..ncos(.C.u.D..dF

21

Où ω est la fréquence angulaire de la houle incidente; ψn est l'angle de la phase du nème harmonique de force; nLC est le coefficient de portance latérale du nème harmonique et qui dépend du nombre de Keulegan-

Carpenter NKC.

§ Le cas des piles en mouvement Dans ce cas, dans l'absence de tourbillons, donc de la force de portance latérale, l'équation de Morrison prend la forme donnée par l'expression vectorielle:

r.r.D.C..21

dtvd.S.

dtrd.S..CFd DMT ρ+ρ+ρ=

Où r est la vitesse relative du fluide )w,v,u(V et de la pile )w,v,u(V ssss , donc; sVVr −= .

Pour une translation de la pile verticale dans la direction de la propagation de la houle, l'expression précédente devient:

r.r.D.C..21

dtdu.S.

dtdr.S..CdF DMT ρ+ρ+ρ=

Ou encore:

s)sDsMT uu.uu.(D.C..21

dtdu.S.)uu(

dtd.S..CdF −−ρ+ρ+−ρ=

Sous forme linéarisée, l'expression s'écrit:

s)srDsMT uu.uu.(D../8C..21

dtdu.S.)uu(

dtd.S..CdF −−σπρ+ρ+−ρ=

Dans ce cas-ci, la distribution gaussienne de r, nécessaire pour la technique de linéarisation, n'est pas justifiée.



On obtient la variance σr par la procédure cyclique, qui en partant de σu de la distribution gaussienne des vitesses du cas de la pile rigide, permet d'atteindre la convergence de la solution (Réf.76). Il est important de noter que l'utilisation σu initial sans aucun ajustement dans le calcul de la variance σr, peut conduire à des erreurs, surtout quand les effets de la force de traînée ne sont pas négligeables vis-à-vis de ceux d'inertie (Réf.77).

De même, la force de portance latérale peut s'exprimer, dans le cas des piles en mouvement, par l'expression:

∑ ψ+ωρ==

N

1nn

nL

2mL )t..ncos(.C.r.D..dF

21 où sm VV(maxr −= )

Si on désire linéariser cette expression, comme dans le cas de la force de traînée, en assumant pour r une distribution gaussienne, on retrouve pour rm une distribution de Rayleigh.

• A propos des coefficients CI, CD et CL

L'utilisation de la formule de Morrison nécessite la connaissance de CI, CD, tu

∂

∂ et u. Si on suppose un

instant que CI et CD sont connus avec leur valeur exacte, ce qui postule la validité de la formule et l'existence réelle de CI et CD, dès lors, il ne restera qu'à introduire pour

tu

∂

∂ et u les valeurs correctes. Or,

les mesures effectuées sur 1a hou1e sont en général en termes d'hauteur H (d'amplitude a) et de période T, les mesures de vitesse et d'accélération étant en pratique difficiles à réaliser, il est nécessaire de passer par une théorie de la houle, dont il est bien connu qu'il n'en existe pas de rigoureuse.

Le choix d'une théorie de houle dépend du type de houle mais aussi des préférences de l'auteur. Il en résulte une première source de dispersion sur le calcul des efforts dus à la houle.

Ensuite, il faut choisir les valeurs de CI et CD. D'abord, il faut remarquer que CI n'aura pas la même valeur en présence d'une surface libre que dans un fluide infini, aussi les expériences de Murtha (Réf.78) donnent pour un cylindre circulaire des valeurs de CI = 1,5 - 1,6 près de la surface et 2, à deux diamètres en-dessous de la surface.

De plus, les effets de la viscosité modifient le champ des vitesses dont il découle un changement de la valeur de la masse ajoutée. Il faut donc s'attendre à une interaction des coefficients CI et CD à l'intérieur de l'équation de Morrison. Bien qu'un effort important ait été fait depuis quelques années pour évaluer CI et CD, les résultats restent très dispersés.

La première idée qui vient pour mesurer CI et CD, c'est de se placer dans un cas où la cinématique est bien connue. Ceci n'est possible qu'en laboratoire et a conduit à d'innombrables essais en houle régulière. Dans tous les cas, les résultats sont très dispersés. Ceci tient en partie au fait que les vitesses et accélérations sont déduites de la mesure de la surface libre et ne sont pas mesurées directement.

L'imprécision est donc très grande sur u et tu

∂

∂ et par conséquent sur CI et CD. Un autre facteur de

dispersion vient du fait que les coefficients CI et CD dépendent d'autres paramètres que le nombre de Reynolds.

Ainsi, une analyse complète des paramètres qui peuvent avoir une influence sur ces coefficients conduit aux relations:

}Tt,,

gT

2,

gT

2,

TD,

D{C

dzdaaa

22Iππ

ν= ℑ

}Tt,,

gT

2,

gT

2,

TD,

D{C

dzdaaa

22D ' ππ

ν= ℑ



Où ν est la viscosité cinétique du fluide; a et T, respectivement l'amplitude et la période de la houle; d la profondeur d'eau et z la profondeur à laquelle se trouve le corps.

Le terme aD/νT est un nombre de Reynolds et son influence, sous une forme quelconque, sur CD et parfois sur CI est la seule qui soit démontrée dans la littérature par Wiegel (Réf.50) et Aagaard (Réf.79). Parmi les autres termes caractérisant la houle, a/D est un paramètre relatif au développement du champ des vitesses autour de l'obstacle. D'après les expériences de Iversen et Salent, sur les disques (Réf.80), de Keulegan-Carpenter sur des plaques planes et des cylindres (Réf.81) et de Sarpkaya sur des cylindres (Réf.82), le paramètre a/D a une influence très importante sur les valeurs de CI et CD (Fig.II.1) et il semble raisonnable d'attribuer une partie de la dispersion de leurs valeurs trouvées dans la littérature à influence de ce paramètre.

(Fig. II.1) § Détermination des valeurs des coefficients hydrodynamiques Il est évident qu'un écoulement périodique (la houle) autour d'une pile est un phénomène trop complexe pour qu'on puisse le calculer. En conséquence, il faut déterminer les coefficients d'inertie, de traînée et de portance latérale, à l'aide de modèles réduits hydrauliques. Il existe deux méthodes:

▫ On peut mettre la pile dans un canal, engendrer une houle et mesurer les forces exercées par la houle sur la pile. Pour obtenir les coefficients CI, CD et CL, on utilisera des houles régulières.

Si on mesure les composantes horizontale et transversale de la houle sur une petite section de la pile, on pourrait en outre mesurer la composante horizontale de la vitesse orbitale à la hauteur de cette section.

▫ On peut aussi faire osciller la pile dans l'eau au repos avec une période et une amplitude donnée. On mesure alors la force à appliquer dans le sens d'oscillation à la pile pour qu'elle exécute ce mouvement. Dans ce cas, la houle régulière est schématisée par un mouvement translatoire, et l'influence de la composante verticale de la vitesse orbitale est négligée.

Pour obtenir les coefficients CI, CD et CL, on dérive du profil de la houle la répartition des vitesses en fonction du temps, sur une verticale. Donc, on choisit une théorie de houle et on applique cette théorie au profil de houle qu'on a mesuré. Il est extrêmement important d'utiliser la même théorie pour la dérivation des coefficients et pour les calculs pratiques. Quand on obtient les courbes des composantes horizontale et transversale de force et les répartitions des vitesses et des accélérations horizontales en fonction du temps, on peut alors définir FI, FD et FL et, dès lors, CI, CD et CL (Fig.II.2).



(Fig. II.2)

Le coefficient de portance latérale se déduit de la composante transversale de la force et de la répartition des vitesses, or les coefficients CI et CD se déduisent tous les deux de la composante horizontale de la force et des répartitions des vitesses et des accélérations. La composante horizontale contient ainsi à la fois la force d'inertie et la force de traînée, tandis que la composante transversale ne contient que la force de portance latérale. Les coefficients CI et CD s'obtiennent de plusieurs manières:

▫ Par l'analyse de Fourier des enregistrements de la force, de la vitesse, et de l'accélération, en tenant compte de la relation quadratique entre la force de traînée et la vitesse.

▫ En considérant le maximum de la force, et regardant sa valeur et la différence de phase qui le sépare du maximum de la vitesse horizontale et du maximum de l'accélération horizontale (la différence de phase entre vitesse et accélération maximales ne sera pas de 90° en général). Ce procédé donne la valeur exacte de la force maximale mais présente des déviations pour les valeurs intermédiaires des forces.

▫ En définissant comme force de traînée la force qui se produit au moment du passage de la crête de la houle et comme force d'inertie, celle qui se produit un quart de période avant ou après le passage de la crête au droit de la pile. Cette méthode bien qu'elle puisse donner des valeurs incorrecte~ pour la force maximale, est néanmoins employée par plusieurs compagnies pétrolières.

▫ Enfin, par la méthode des moindres carrés.

La détermination des coefficients par des essais avec des piles oscillantes s'effectue de la même manière, mais c'est un peu plus facile, puisque la vitesse et l'accélération sont des fonctions connues du temps.

Chacune des méthodes a sa propre imprécision. L'effet de cette incertitude peut être minimisé en utilisant le même procédé pour la détermination des coefficients et pour l'application des résultats d'essais. § Valeurs des coefficients hydrodynamiques en écoulement alterné En fonction de ce qui a été dit précédemment, il faut prendre avec circonspection les valeurs des coefficients hydrodynamiques que l'on trouvera dans la littérature.

La meilleure manière de procéder consiste donc à effectuer des essais sur modèle réduit dans chaque cas particulier. Dans ce domaine, les seules valeurs publiées proviennent des études sur les cylindres circulaires verticaux, les sphères et les plaques planes; pour d'autres formes, l'absence de publications est quasi-totale; les seules valeurs disponibles sont celles recommandées par les sociétés de classification comme Bureau Véritas, Lloyd, Norske Veritas, etc. Les seules valeurs qu'on examine dans le cadre d'ici ce sont les valeurs des coefficients hydrodynamiques des cylindres circulaires verticaux.

Keulegan-Carpenter (Réf.81) ont trouvé d'après leur expérience sur les cylindres circulaires verticaux, que le meilleur paramètre pour caractériser CI et CD était défini par:

DT.U

N maxKC =

Où la vitesse est définie par U = Umax.cosσt, et T et D sont respectivement la période de la houle et le diamètre du cylindre.



Ce paramètre, en fait, version temporelle du nombre de Keulegan-Carpenter, vu précédemment, est appelé paramètre de Keulegan-Carpenter où la vitesse U est une fonction qui dépend du temps, il est proportionnel au rapport du mouvement horizontal des particules d'eau sur le diamètre du cylindre.

Ainsi, à l'aide de la théorie linéaire de la houle de Stokes, on obtient:

kdsh)dz(kch.

TH.umax

+=π

Et l'amplitude de l'orbite des particules d'eau:

kdsh)dz(kch

.H+

=κ

Dès lors:

D.

DT.U

N maxKC

κ==π

Le raisonnement dimensionnel effectué précédemment et où NKC (en fait κ/D) caractérisait le rapport entre la force d'inertie et de traînée, justifie donc théoriquement l'emploi du nombre de Keulegan-Carpenter comme paramètre caractérisant les sollicitations de structures soumises à l'action des houles. Ce paramètre peut donc être interprété comme coefficient qui compare l'importance relative de l'inertie et de la traînée dans la formule de Morrison.

Des résultats des expériences de Keulegan-Carpenter reproduits à la figure (II.3), il apparaît que CI et CD présentent un extremum pour NKC = 15

Ces observations permettent d'expliquer les faibles valeurs de CI et les valeurs élevées de CD aux voisinages de NKC = 15 et l'apparition de la force de portance latérale pour NKC > 15.

(Fig. II.3)

Par contre Bidde (Réf.83) a signalé la séparation de l'écoulement pour NKC ≅ 2-3, la formation de tourbillons et l'apparition de la force de portance latérale pour NKC ≅ 3, et l'organisation des tourbillons en allée de Von Karman pour NKC > 3-4. Les observations de Bidde étaient purement visuelles et les arguments de Shaw (Réf.84) jettent un doute sur ses résultats.

De son côté, Chakrabarti (Réf.75) donne, pour des valeurs de NKC < 18, les variations de CI et CD des cylindres circulaires et signale que pour NKC ≅ 15 le module de la force horizontale obtenu en tenant compte de la force de portance latérale est de 60% plus que la force donnée par l'équation de Morrison (Fig.II.4).



(Fig. II.4)

Les résultats des expériences de laboratoire de Keulegan-Carpenter ont été comparés par Wiegel, Beebe et Moon (Réf.85), avec les essais effectués en mer sur un tronçon de pile circulaire (essais d'Oavenport). Cette comparaison a fait apparaître que la courbe CD de Keulegan-Carpenter représentait une enveloppe supérieure et celle de CI une enveloppe inférieure des résultats en houle réelle. Au point de vue pratique, cette courbe enveloppe CI met en doute sa validité par le fait de représenter des valeurs très faibles de CI comparées à celles obtenues en houle réelle.

Il est à signaler que les essais de Wiegel suivent une loi gaussienne avec une valeur moyenne de CI = 2,5 et une valeur significative à 95% de CI = 4,4. Le tableau de la figure (II.5) donne une idée générale sur les principaux résultats de CI et CD obtenus par des essais en houle réelle.

(Fig. II.5) Pour le coefficient de portance latérale CL le nombre de Reynolds Re = Umax.D/ν et le nombre de Keulegan-Carpenter NKC = Umax. T/D, semblent être les deux paramètres les plus significatifs.



Pour des valeurs de NKC suffisamment grande, les tourbillons peuvent se détacher de la pile. A cause de la dissymétrie de l'écoulement, le cylindre est soumis à des forces transversales à la direction de propagation de la houle et d'une fréquence fL plus élevée que celle de la houle.

D'où la possibilité de mise en vibration du cylindre si fL est voisine d'une fréquence propre de ce dernier. Il faut donc vérifier que fL n'est pas dangereux au point de vue résonnance de la structure et ajouter aux sollicitations en ligne (équation de Morrison) une force FL transversale.

Ainsi la figure (II.6) représente les variations du coefficient de portance latérale en fonction du nombre de Reynolds pour diverses valeurs du nombre de Keulegan-Carpenter NKC.

(Fig. II.6)

Les valeurs de CL données par ce diagramme conduisent à des forces de portance latérale qui peuvent être du même ordre de grandeur que la force donnée par la formule de Morrison. Elle ne peut donc en aucun cas être négligée

Enfin, Chakrabarti (Réf.75) a obtenu, pour un cylindre circulaire de 76 mm de diamètre, en faisant varier le nombre de Keulegan-Carpenter et en appliquant une analyse harmonique à la force de portance latérale, les 5 premières harmoniques du coefficient de portance latérale CL en fonction de NKC (Fig.II.7).

(Fig. II.7)

En guise de conclusion, le tableau de la figure (II.8) extrait du rapport original de BSRA (Réf.86) résume les valeurs de CI et CD des cylindres circulaires lisses, en fonction des nombres de Reynolds et de Keulegan-Carpenter, telles qu'on en rencontre dans la littérature.



(Fig. II.8) Quant à la fréquence fL de la sollicitation latérale, elle est en général étudiée en fonction du nombre de Strouhal exprimé par:

Str = fL. D/umax

Cette fréquence dépend du nombre de Keulegan~Carpenter et du nombre de Reynolds.

Le rapport fL/fW de la fréquence des tourbillons à la fréquence des vagues est une valeur entière qui est donnée à la figure II.9 en fonction de NKC. Pour NKC < 5, aucun tourbillon ne se forme et il n'y a pas de portance latérale, Pour NKC compris entre 5 et 16, fL/fW = 2. Pour des valeurs de NKC plus grandes, le rapport des fréquences augmente (tout en restant un nombre entier) bien qu'il faille considérer toutes les valeurs inférieures de ce rapport. Ainsi, si on trouve fL/fW = 6, les tourbillons peuvent se produire à une fréquence 6, 5, 4, 3, ou 2 fois plus élevée que la fréquence des vagues.

L'influence de Re doit également être prise en compte en considérant des valeurs de Str allant de 0,125 à 0,2 pour Re valant de 103 à 106 respectivement; l'interpolation se fera linéairement pour des valeurs intermédiaires de Re. Pour un cylindre horizontal, il faut majorer de 2 la valeur de fL/fW trouvée à la figure II.9.

(Fig. II.9)



Concluons en rappelant que le peu de certitudes acquises dans ce domaine oblige l'ingénieur à prévoir des forces de portance non négligeables qui peuvent être d'autant plus fâcheuses pour la structure qu'elles se produisent à des fréquences plus élevées que celles de la houle (de 2 à 5 fois dans les cas les plus courants).

Peu d'expériences ont été réalisées à ce sujet jusqu'à ce jour (les seules existantes ayant étudié des cylindres circulaires); aussi les abaques que nous avons donnés sont à utiliser avec précaution.

§ Effets pouvant affecter la valeur des coefficients hydrodynamiques (cas des cylindres circulaires) ▫ Influence de la rugosité Les courbes de CD sont en général établies pour des corps lisses Or, la majorité des structures en mer se couvrent de salissures, de telle sorte que la rugosité est augmentée, ce qui a pour effet de modifier la structure de la couche limite. Une rugosité importante conduit à des CD qui restent importants pour des nombres de Reynolds Re importants.

Certaines études ont abouti à la conclusion que CD croît de 0.57 (surface lisse) à 1.02 (pour un état de surface correspondant à une épaisseur moyenne de barnacles sur un pieu de 60 cm de diamètre).

On représente la rugosité par un paramètre E qui est une mesure de la hauteur moyenne des protubérances. La figure II.10 donne la valeur de CD pour un cylindre circulaire en fonction du nombre de Reynolds "apparent" de l'écoulement, qui est défini comme suit:

Re = Re. {ε / (D. 35.10-6)}

(Car un cylindre considéré comme lisse donne des résultats qui correspondent à une rugosité relative ε /D= 35.10-6).

Les courbes en pointillé correspondent au cas de l'écoulement permanent et celles en trait plein, au cas de l'écoulement alterné.

En ce qui concerne les salissures marines les plus courantes (et aussi les plus grandes) ont peut dire que l'on a :

▫ pour les moules ε ≅ 2 à 3 cm ▫ pour les barnacles ε ≅ 0.5 cm

Signalons qu'une couche normale de ces animaux se forme en 2 ans à peu près, et qu'il faut tenir compte de l'augmentation correspondante de CD (mais aussi du diamètre de la pile) ou qu'il faut prévoir un service d'entretien pour enlever ces salissures régulièrement, au moins dans les 10 mètres en-dessous du niveau d'eau au repos.

(Fig. II.10)



▫ Effet de proximité Nous avons étudié jusqu'à présent le cas d'un cylindre seul, mais la présence d'autres corps aux alentours peut créer une interférence. Il s'agit essentiellement:

▫ de l'influence d'une paroi proche d'un cylindre: application au cas des tuyaux posés sur le fond. ▫ de l'influence d'un ou plusieurs cylindres proches du cylindre étudié (application aux piles de

plates-formes).

Lorsque l'entredistance entre cylindres est faible, il peut y avoir une augmentation de la force totale (par rapport à la somme des forces de tous les cylindres considérés comme seuls) due à un l'effet de blocage, (il y a un volume de fluide littéralement emprisonné entre les cylindres) ou une réduction de celle-ci due à un effet de protection des piles avals par les piles amonts. Il n'existe pratiquement aucun résultat sur ces effets en fluide réel, aussi on ne peut que conseiller d'effectuer des essais sur modèle dans chaque cas particulier. Un exemple d'un tel effet de blocage est montré aux figures II.11, 12 et 13 ci-dessous relatant des essais de Sarpkaya. La formule de Morrison, en écoulement plan oscillatoire dans un tube U, est employée sous la forme:

F = 1/2. ρ . CD. um2. ΣDi. |cos (ωt)|. cos (ωt) + π/4. ρ . L. CM. ΣDi

2. um. sin (ωt)

Où les coefficients CD et CM étant des coefficients "moyens" pour l'ensemble des tubes. On peut voir l'augmentation importante de CM traduisant l'effet de blocage.

(Fig. II.11)

(Fig. II.12) (Fig. II.13)

Toutefois, on peut considérer qu'il n'y a aucune interaction entre piles de même diamètre D si X/D > 4 et Y/D > 2, où X est la distance entre piles dans le sens de l'écoulement et Y la distance entre piles dans le sens perpendiculaire au sens de l'écoulement. Dans ces conditions, on peut simplement sommer les efforts relatifs à chaque pile.



▫ Effets dus à l'inclinaison du cylindre Il est évident que le champ des vitesses n'est pas le même lorsque le cylindre est incliné, que lorsqu'il est vertical; il en résulte donc une modification des coefficients hydrodynamiques. Les valeurs de CD et CM pour des différents angles d'inclinaison par rapport à la verticale présentent de grandes dispersions.

Ces coefficients ne définissent que la force dans la direction de l'écoulement mais il est évident qu'il y a aussi une composante latérale qui varie de manière complexe et dont le problème de la modélisation ne semble pas être résolu à l'heure actuelle. Pour des différentes inclinaisons, on peut en première approximation trouver la traînée en ligne, en multipliant la traînée du cylindre vertical par (cos α) 3/2 où α est l'angle compris entre la vitesse et la normale au cylindre, le coefficient de masse ajoutée gardant une valeur proche de 2. § Cas de la sphère Morrison et O'Brien ont réalisé des essais sur des sphères petites vis-à-vis de la longueur d'onde de la houle. Ils ont trouvé pour CM une valeur moyenne de 1.59 (la valeur théorique étant de 1.5).

Les valeurs pour CD en fonction du nombre de Keulegan-Carpenter présentent aussi une très grande dispersion allant de 0,70 à 40 et plus. § Cas des plaques planes verticales Le cas des plaques planes verticales placées perpendiculairement au sens de l'écoulement a été étudié par Keulegan-Carpenter; leurs résultats se trouvent à la figure II.14.

Le coefficient CM est associé au volume déplacé par un cylindre circulaire ayant le même maître couple que la plaque c'est-à-dire ayant un diamètre D égal à la hauteur h de la plaque. § Cas de pipe-lines posés sur le fond Ce genre de corps se retrouve dans beaucoup de cas et on ne peut pas ne pas tenir compte de l'influence du fond sur la sollicitation hydrodynamique vu que l'écoulement ne peut se faire par le dessous du pipe-line.

La vitesse est accrue aux environs, et cet accroissement est associé à une diminution de la pression qui engendre une force de portance vers le haut. Le cylindre doit résister à cette force par son poids et celui de son contenu (diminués de la force d'Archimède).

La force de portance est maximum lorsque la vitesse horizontale est maximum, c'est-à-dire lorsque la force de traînée est maximum. La situation est schématisée à la figure II.14.

(Fig. II.14)



Les forces en jeu sont, par unité de longueur:

▫ Force de traînée: FD = 1/2. ρ . CD. D0. U2Max

▫ Force de portance: FL = 1/2. ρ . CL. D0. U2Max

▫ Force massique résultante: FW = poids du pipeline et de son contenu. FB = poussée d'Archimède.

FW – FB = π/4. {(D02 - Di

2). ωP} + π/4. {Di2. ωC}- π/4. {D0

2. ωW} = π/4. {D0

2. (ωP - ωW) + Di2. (ωC - ωP)}

Où ωW est le poids spécifique de l'eau; ωP est le poids spécifique du matériau dont est fait le tuyau ωC est le poids spécifique du liquide ou du gaz véhiculé; CD est le coefficient de traînée CL est le coefficient de portance U est la vitesse dans le fluide lorsque le pipeline n'est pas présent.

On a de plus une force de frottement:

FF = f. (FW - FB - FL)

Où f est le coefficient de frottement entre le pipeline et le sol.

Remarquons que d'autres formes que le cylindre sont possibles et que notamment une forme trapézoïdale (Fig. II.15 B) est très appropriée pour compenser la force de portance par un poids élevé.

(Fig. II.15)

De plus, on voit à la figure II.15 A qu'un moment de torsion est exercé sur le tube, moment qui est très aisément supporté par la large base de la forme trapézoïdale. Comme pour tous les cas rencontrés jusqu'ici, les valeurs expérimentales pour CD et CL sont peu nombreuses.

Les valeurs les plus couramment employées sont CD = CL= 0.5 ou 1 suivant les auteurs. D'autre part, il existe une force d'inertie qui est en quadrature de phase avec les forces de traînée et de portance; elle doit donc être calculée séparément et comparée à la résultante des précédentes. Cette force est définie de la manière classique par l'expression:

(FM) max = π/4. {ρ . CM. D02}. (∂u/∂t) max

La valeur généralement admise pour CM est de 2,5. La force FM maximale se produit lorsque le niveau d'eau passe par le niveau de la surface libre au repos. Il faut noter que le terme FL dans l'expression de la force de frottement ne sera pas présent dans le cas où FF est engendré par les forces d'inertie.

Enfin, de graves problèmes d'affouillements peuvent survenir; ils sont encore très peu connus et ont conduit à la destruction de plusieurs pipelines d'installations offshore, notamment dans le golf du Mexique.



§ Présence du courant Il ne suffit pas toujours d'ajouter la vitesse du courant estimée à celle des particules d'eau agitées par la houle pour se représenter le phénomène réel. On sait en effet qu'une houle se creuse dans un courant contraire alors qu'elle s'allonge en se calmant dans un courant de même direction qu'elle (la période des vagues ne subissant aucune modification).

On admet cependant habituellement que la superposition linéaire des vitesses est conservative, de sorte que le terme de traînée de la formule de Morrison s'exprime en (V + u) où V est la vitesse du courant (qui varie avec la profondeur) et u la vitesse des particules due au mouvement des vagues. La question est alors de savoir si le coefficient de traînée CD pour les mouvements oscillatoires reste encore valable.

Cette méthode n'est pas justifiée pour les calculs de fatigue où l'on a besoin d'approcher le spectre des sollicitations réelles.

En particulier, il est faux de croire que la présence du courant n'influera pas sur les contraintes dynamiques dans la structure, même si la période de ce courant est très grande devant celle de la houle. Ceci vient de ce que la traînée étant proportionnelle au carré de la vitesse, la dynamique des forces n'est pas une fonction linéaire de celle des vitesses rencontrées. On ne peut donc négliger la présence de courants et il est en outre souhaitable de tenir compte de leur interaction avec la houle.

Les conclusions les plus importantes des études réalisées à l'heure actuelle sont les suivantes:

▫ la superposition linéaire du courant au champ des vitesses est une approximation justifiée dans le cas de la profondeur infinie. L'erreur commise sur les vitesses est maximale dans les creux (où les efforts sont moins importants) et de l'ordre de 10 % (valeur obtenue pour une houle de 1,5 m dans 30 m d'eau avec deux nœuds de courant en surface).

▫ mais ce procédé n'est plus justifié dans les eaux peu profondes où un phénomène de surélévation des crêtes se manifeste (le niveau moyen des vagues se situe au-dessus du niveau de la surface libre au repos). Dans ce cas, les théories existantes étant sans signification réelle, un essai sur modèle sera nécessaire.

▫ Il faut tenir compte d'une modification de la longueur d'onde et de la hauteur de la houle, la période restant constante.

On a T = L/C = Cte. ⇒ L0/C0 = L/(C + VC)

Où L0 et C0 sont la longueur d'onde et la célérité de la houle sans courant, et L et C sont celles avec le courant, VC est la projection du courant sur la direction de la houle (orientée dans le sens de la propagation). Avec:

C0 = {g/k0. th (k0.d)} 1/2 et C = {g/k. th (k.d)} 1/2

On est ainsi capable de calculer, par approximations successives, la longueur d'onde et par suite la hauteur des vagues en présence de courant. A titre d'exemple, la figure II.16 donne le rapport L/L0 en fonction de T pour quatre directions d'un courant d'une vitesse de 2 nœuds.

Signalons encore que dans le cas d'un courant oblique par rapport à la houle, celle-ci change en outre de direction. Nous ne nous étendrons pas sur ce sujet qui doit être traité par des théories de diffraction. § Le slamming On désigne ainsi le phénomène d'impact qui se produit lors de la rencontre d'une structure avec la surface libre. De tels chocs sont fréquents sur les parties avant d'un navire se déplaçant à grande vitesse dans une houle. Historiquement, le problème est posé de façon aiguë à propos de l'amerrissage des hydravions et du lancement des torpilles. Dans le cas des plates-formes pétrolières, on rencontre ces forces d'impact sur les entretoises horizontales situées dans la zone de marnage ou au-dessus. C'est pourquoi leur nombre est en général réduit au minimum possible dans cette zone, à la suite d'un certain nombre d'incidents qui ont dans certains cas provoqué la destruction totale des entretoises.



La manière dont cette sollicitation se développe est encore très peu connue à l'heure actuelle; Aussi, les rares études expérimentales entreprises considèrent que la force de slamming vaut 2 à 3 fois la force de traînée. Pour une analyse approchée, une valeur de CD = 3,5 a été suggérée pour le calcul de la force verticale dans l'équation de Morrison.

(Fig. II.16)

§ Forces exercées par la houle déferlante La force exercée par une houle déferlante peut atteindre plusieurs fois celle que causerait une houle imaginaire de caractéristiques identiques mais ne déferlant pas. De nombreux travaux ont été menés sur les effets du déferlement sur les digues et autres ouvrages portuaires, mais on trouve peu de renseignements à propos des cylindres (où l'effet de l'air comprimé n'existe plus).

On comprend cependant facilement que, la raideur de la vague augmentant, le profil incident devient fortement dissymétrique et lion peut avoir, à la limite, un phénomène de choc lorsque le cylindre est attaqué par une muraille d'eau quasi-verticale animée d'une grande vitesse.

On a proposé la formule suivante pour le calcul de la force totale FB due aux vagues déferlantes:

FB =ρ . g. CB. D. HB2

Où CB est un coefficient valant 1.2 à 3.0, D est le diamètre du cylindre HB est la hauteur des vagues déferlantes.



§ Force hydrodynamique sur structure en mouvement Si le corps possède une réponse dynamique ou est une partie d'une structure flottante, il faut tenir compte de son mouvement propre dans l'expression de la formule de Morrison.

Dès lors, la force hydrodynamique est donnée par l'expression:

F = 1/2. ρ . CD. A. |(U - Ub)|(U - Ub) + ρ . CM. V. (∂U/∂t - ∂Ub/∂t) + (ρ . V - M). ∂Ub/∂t

Où Ub et ∂Ub/∂t sont la vitesse et l'accélération propres du corps et M sa masse.

Si le corps flotte ou si son accélération est nulle, le dernier terme est nul et la vitesse et l'accélération doivent seulement être ajoutées vectoriellement dans la formulation standard de la formule de Morrison. Cependant, l'équation complète ci-dessus doit être utilisée pour une partie d'une structure flottante, lorsque la masse de fluide déplacé par cette partie n'est pas égale à sa masse propre.

Partie II – Effets hydrodynamiques III.1 Chapitre III - Corps de grande dimension


Chapitre III. Corps de grande dimension

• Introduction On définit un corps comme un corps de grande dimension, comme dans le cas des corps de petite dimension, quand, cette fois-ci, pour le paramètre principal D/L comparatif des différents phénomènes d'interaction entre le corps et la houle, a les valeurs situées en 0,2 et 1, donc, 0,2 < D/L <1.

Pour cette catégorie de structures, il est permis de négliger les effets dus à la viscosité du fluide. Par contre, l'hypothèse suivant laquelle la houle incidente n'est pas perturbée par la présence de la structure n'est plus valable. La force hydrodynamique se compose, en toutes généralités, de trois termes;

o Si le corps est fixe:

▫ FI (force de Froude-Krylov): force calculée en intégrant sur le corps la pression due à la houle incidente.

▫ FD : la force due à la composante diffractée.

o Si le corps est en mouvement: On ajoute aux deux forces précédentes, une force de radiation FR, qui traduit le fait que l'énergie est perdue par le corps dans son mouvement. Il s'ensuit la formation de vagues dont la fréquence est la même que celle du mouvement de la structure.

On résout le problème ainsi posé en faisant les hypothèses que le fluide est parfait et son mouvement irrotationnel, qui permet de développer une théorie basée sur le fait que les vitesses dérivent d'un potentiel scalaire. (Théorie potentielle). • Théorie de diffraction Dans la théorie de diffraction, l'analyse des efforts, due à l'action de la houle sur un corps fixe de forme quelconque, se ramène à la recherche d'un potentiel φ qui vérifie toute une série de conditions. Ainsi dans un écoulement bidimensionnel où le corps de section quelconque considéré vertica1 est soumis à une houle linéaire d'amplitude a et de fréquence σ, le potentiel φ doit vérifier successivement les conditions aux limites étudiées précédemment (Fig.III.1):

(Fig. III.1)



Pour, φ−∇=)w,,u(V 0 , ses conditions s'écrivent:

(1) 02 =φ∇ avec x

u∂

∂−=

φ et z

w∂

∂−=

φ

(2) 0z=

∂

∂φ en z = 0

(3) φφ σ=

∂

∂ .gz

2 en z = d

Et enfin condition de non glissement sur la surface du corps:

(4) 0n=

∂

∂φ sur le contour du corps immobile où n est la normale extérieure au corps.

Les trois premières conditions traduisant successivement le mouvement irrotationnel: les conditions aux limites au fond et à la surface libre du fluide, sont celles qu'on a déjà rencontrées pendant l'étude de la houle. Par contre, la condition (4) appelée condition de glissement ou d'imperméabilité, traduit la présence du corps au sein du fluide. Dans le cas d'un corps en mouvement cette condition s'écrit:

u.nn=

∂

∂φ (Sur le contour du corps)

Où n et u représentent les vecteurs, normale extérieure et vitesse du corps.

En pratique, généralement on décompose le potentiel φ en deux parties (cas du corps immobile) ou en trois parties (cas du corps en mouvement) (Fig.III. 2).

(Fig. III.2)

Ainsi, DI φφφ += (Corps immobile)

Ou RDI φφφφ ++= (Corps en mouvement)



Où φ I est le potentiel de la houle incidente, c'est-à-dire le potentiel en l'absence du corps. φD est le potentiel de la houle diffractée, donc dû à la présence du corps fixe au sein du mouvement

du fluide. φR est le potentiel de radiation, c'est-à-dire le potentiel que l'on ajoute dans le cas où le corps est en

mouvement au sein du fluide; il représente le potentiel des ondes rayonnées par 1es mouvements du corps dans le fluide au repos.

La détermination du potentiel φ (ou φT) en utilisant les conditions précitées permet d'obtenir l'expression de la pression sur le contour du corps. L'expression de la pression est donnée par l'équation de Bernoulli:

)zd(.g.)z

()x

(.t

.p }{ }{ 2221

−ρ+∂

∂+

∂

∂−

∂

∂ρ=

φφφ

En utilisant la houle de Stokes en théorie linéaire, l'expression s'écrit:

)zd(.g.t

.p −ρ+∂

∂ρ=

φ

Dès lors, la force hydrodynamique sur le corps s'obtient en intégrant l'expression de la pression sur la surface totale du corps. Ainsi:

∫−=S

dS.n.pF

Où n est le vecteur- normal extérieur au corps.

La détermination du potentiel φD et φR nécessite en plus des conditions précitées, une condition dite condition de radiation qui exprime la disparition complète de la perturbation engendrée par la présence du corps.

§ La condition de radiation Dans la solution de φ (ou φD et φR) on est souvent ramené à exprimer φD et φR en une somme infinie de fonctions propres correspondant à la géométrie du corps et satisfaisant l'équation de Helmholtz. On sait, d'autre part, que seules les fonctions propres divergentes émanant du corps sont à retenir.

La condition dite de radiation permet justement le choix de ces fonctions propres divergentes propres satisfaisant la géométrie du corps et l'équation de Helmholtz.

L'équation des ondes pour φ(x, y, t} s'écrit:

2

222

t.c

∂

∂=∇

φφ

Où c est la célérité des perturbations ondulatoires, solutions de cette équation.

Si on doit résoudre cette équation dans le domaine borné S contenant les corps solides et les sources, on doit chercher la condition de radiation à appliquer à la frontière Γ (en particulier, dans les méthodes d'éléments finis et d'éléments frontières, sur l'élément extérieur de frontière).

Ainsi, en considérant le petit segment δΓ de la frontière Γ et ainsi que, sur celui-ci les coordonnées orthogonales locales (s, n) comme indiquées sur la figure (III.3), et en estimant que près du segment δΓ la courbe est localement rectiligne, dès lors, dans le système des coordonnées ainsi définies, l'équation des ondes s'écrit:

2

2

2

2

2

22

t)

ns(.c

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂ φφφ



(Fig. III.3) Le segment δΓ étant très petit, on peut estimer que φ est approximativement constant le long de celui-ci et ne considérer que la variation de φ suivant la normale n. Ainsi,

)t,n(*.)t,n,s( S φφφ = ⇒ 2

2

22

2

t

*.

cn

* 1

∂

∂=

∂

∂ φφ

Et en prenant les coordonnées caractéristiques; ξ et ζ données par:

ctn −=ξ et ctn +=ζ

On obtient:

tcn1∂

∂−

∂

∂=

ξ∂

∂ et tcn

1∂

∂+

∂

∂=

ζ∂

∂

Et par conséquent,

0.*2=

ζ∂ξ∂

∂ φ

La solution générale de cette équation fois par D'Alembert est de la forme:

)ctn(g)ctn(f)(g)(f),(* −+−=ζ+ξ=ζξφ

Où f et g sont deux fonctions dont la dérivée première est continue.

La fonction f (n-ct) ou f (ξ) représente l'onde à profil constant passant à travers le segment δΓ dans la direction des n croissants avec la célérité c, c'est-à-dire vers l'extérieur du champ borné, par contre g(n+ct) ou g(ζ) représente l'onde traversant vers l'intérieur du champ borné. C'est cette dernière qu'on désire éliminer. Dès lors, sur l'élément δΓ , pour la condition de radiation on obtient:

0)(g ≡ζ ⇒ 0g≡

ζ∂

∂ ou 0*=

ζ∂

∂ φ

En utilisant les variables locales et le potentiel original φ , on obtient:

0tcn

1=

∂

∂+

∂

∂ φφ

C'est la condition de radiation que l'on doit appliquer à chaque petit segment de la frontière Γ (la fonction φ doit aussi être bornée sur Γ). En particulier, si on assume pour φ la fonction:

tie.)y,x()t,y,x( σφφ =



L'équation de l'onde devient:

0.k22 =+∇ φφ où c

k σ=

Dès lors la condition de radiation s'écrit:

0.ikn

=+∂

∂φ

φ

Cette condition aux limites ne s'applique que si la frontière Γ est infiniment loin des corps solides et des sources qui produisent les ondes. Une expression similaire a été plus rigoureusement décrite par Sommerfeld (Réf. 87), d'où le nom de la condition de radiation de Sommerfeld.

Sachant que le potentiel φ satisfait l'équation de Helmholtz, c'est-à-dire:

0.k22 =+∇ φφ avec DI φφφ +=

D'où ).k(.k I

2I

2D

2D

2 φφφφ +∇−=+∇

La houle linéaire incidente satisfaisant aussi l'équation de Helmholtz:

0I2

I2 .k =+∇ φφ ⇒ 0D

2D

2 .k =+∇ φφ

D'où

0}.ikr

.{rlim DD

r =+∂

∂φ

φ∞→ et ∞<φ∞→ Dr .rlim

Où r est la coordonnée globale radiale et r dérive du facteur dispersion qui tient compte de l'énergie dispersée par la source d'ondes en deux dimensions. L'énergie de l'onde étant proportionnelle au carré de l'amplitude, elle est aussi proportionnelle à 2

Dφ dans le champ de dispersion. Comme la même énergie est distribuée sur des cercles de plus en plus larges centrés sur la source, les amplitudes des ondes doivent décroître comme r1 ; c'est le facteur dispersion.

Dans le cas des corps cylindriques à sections circulaires, la solution de l'équation de Helmholtz avec la condition de radiation de Sommerfeld est une fonction de Hankel, telle que:

▫ pour tiσ+

0}.ikr

{.rlim DD

r =+∂

∂φ

φ∞→

Et la solution est )kr(Yi)kr(J)kr(H 00)2(

0 −= donc:

ti

n

)2(nnD e).ncos().kr(H.A)t,,r( σ+∞

−∞=θ∑=θφ

▫ pour tiσ−

0}.ikr

{.rlim DD

r =−∂

∂φ

φ∞→

Et la solution )kr(Yi)kr(J)kr(H 00)1(

0 += donc:

ti

n

)1(nnD e).ncos().kr(H.A)t,,r( σ−+∞

−∞=θ∑=θφ



§ Solution de Mac Camy et Fuchs En appliquant la méthode de Havelock (Réf.88) à une pile circulaire verticale, Mac Camy et Fuchs établirent l'expression de la force hydrodynamique engendrée par une houle linéaire (Réf.89).

Ainsi, en partant de l'expression du potentiel de la houle incidente exprimé en coordonnées rectangulaires par:

)tkx(iI e.

)kd(ch)}dz(k{ch.gH

2σ−+

σ

−=φ

Et en y développant eikx en coordonnées polaires, en une série de fonctions de Bessel:

kxie ⇒ )ncos().kr(J.i.)kr(Je1n

nn

0coskri 2 θ∑+=

∞

=

θ

On obtient, dès lors, l'expression du potentiel incident en coordonnées cylindriques sous forme:

)ti

1nn

n0I e)}.ncos().kr(J.i.)kr(J.{

)kd(ch)}dz(k{ch.gH

22

σ−∞

=θ∑+

+

σ

−=φ

En se donnant comme potentiel diffracté:

ti

0n

)1(nnD e).ncos().kr(H.A σ−+∞

=θ∑=φ

Qui satisfait simultanément l'équation de Helmholtz et la condition de radiation de Sommerfeld et où )kr(Yi)kr(J)kr(H nn

)1(n += est la fonction de Hankel de 1ère espèce et les coefficients An se déterminent par

la condition d'imperméabilité à la surface de la pile exprimée par:

0Rr}r{ =∂

∂=

φ avec DI φφφ +=

Cette force hydrodynamique, obtenue d'ailleurs par plusieurs autres auteurs (Réf.91, 92, 93) depuis lors, n'est autre que l'intégrale de l'expression de la pression sur la pile le long de sa longueur immergée.

Ainsi, pour une profondeur limitée, cette force hydrodynamique, obtenue par la théorie de diffraction, agissant dans la direction horizontale, est exprimée par:

)tcos().kr(A).kd(th.kH.g.F 2T2

α−σρ=

De même que le moment par rapport à la base de la pile est donné par:

)tcos(.)kd(sh.kd)kd(ch.)kd(ch)kr(A.

kH.g.M }{123 α−σ+−ρ=

Dont 2/12

121 }{ )kR('Y)kR('J)kr(A −+= et }{

)kR('Y)kR('J

arctg1

1=α

Où J'1(kR) et Y'1(kR) sont respectivement les dérivées de J1(kR) et de Y1(kR) prises en respectant l'argument kR.

Pour des diamètres faibles comparés aux longueurs d'onde de la houle incidente, l'expression de la force se réduit à:

tcos).kd(th.R.H..g.F 2T σπρ≅



La force hydrodynamique calculée par la théorie de diffraction est une force d'inertie et peut être comparée à celle donnée par l'équation de Morrison. Cette comparaison permet d'obtenir l'expression du coefficient hydrodynamique d'inertie donc celui de la masse d'eau ajoutée. Ainsi, nous obtenons:

▫ par l'équation de Morrison

tu.R..C.F 2

II ∂

∂πρ=

Où tu

∂

∂ est l'accélération des particules d'eau de la houle incidente.

▫ par l'équation de Mac Camy et Fuchs

)tcos().kr(A).kd(th.kH.g.F 2I2

α−σρ=

Dès lors, en remplaçant l'expression de tu

∂

∂ dans l'équation de Morrison et en égalisant les deux formules,

on obtient:

tcos)t(cos).kR(A.

)kR.(C 2I

4σ

α−σ

π=

Or, pour t >> α /σ, cos(σt - α)/cos(σt) tend vers 1 et CI = 4.A(kR)/π .(kR)2, par contre pour une valeur de ka donnée, CI tend de 4.A(kR).cosα /π .(kR)2 vers 4.A(kR)/π .(kR)2 qui sont ses valeurs limites pour t → 0 et t >> α /σ respectivement. § Analyse spectrale L'analyse spectrale de la force hydrodynamique peut se faire, pour une houle réelle, par la méthode de Borgman (Réf.73). Un aperçu détaillé de cette méthode est donnée avec une application pratique par Michel (Réf.90) dans le cadre de l'étude des forces hydrodynamiques sur des piles cylindriques verticales fixes par un spectre de houle.

Dans le cas où les amplitudes de la houle réelle sont considérées être d'un processus ergodique, gaussien et de moyenne zéro, les forces d'inertie calculées par la théorie de diffraction et par la formule de Morrison peuvent être représentées par un spectre. Ainsi le spectre de puissance des forces SFF(o, z) peut être pour 1es forces respectives de Mac Camy et Fuchs, et de Morrison:

2)1(1

224TFF

)kR('H

)(S.g..

k)z,(S 16 σ

ρ=σ ηη et )(S).kd(th.R..g..)z,(S 24222T

MFF 4 σπρ=σ ηη

Le rapport du spectre de Morrison à celui de la diffraction nous permet de comparer les forces hydrodynamiques évaluées par ces deux méthodes. Ainsi la figure (III.4) donne pour les différentes valeurs a du rayon des piles cylindriques verticales fixes, dans un éventai1 des valeurs des fréquences σ du domaine off-shore, les variations du rapport γ défini par:

2)1(1

42

TFF

TMFF )kR('H.)kR.(

)(S)(S)d,a,(

4π

=σ

σ=σγ



(Fig. III.4) Ainsi qu'on l'observe sur la figure (III.5), en-dessous d'une certaine fréquence critique σc qui dépend de la valeur du rayon de la pile, le spectre de Morrison sous-estime la force hydrodynamique de plus ou moins 6%, tandis qu'au-dessus de cette fréquence critique, il la surestime (spécialement pour des larges piles).

(Fig. III.5)

§ Effets de non-linéarité et de viscosité Plusieurs auteurs et chercheurs se sont attachés à appliquer des théories de houles non linéaires pour obtenir l'expression de la force hydrodynamique (force d'inertie) dans le cas des piles circulaires, verticales et fixes, en profondeur finie. Dans l'application de la théorie de diffraction, ils négligèrent les effets de viscosité et utilisèrent comme expression de la houle incidente celle de Stokes du 5ème ordre (houle de Skjelbreia) (Réf.94, 95,96) ou appliquèrent la méthode des perturbations (Réf.97, 98, 99, 100), décrite par Wehausen (Réf.101). La plupart du temps la condition aux limites de la surface libre resta insatisfaite aux voisinages de la pile.

En utilisant la théorie des houles du 2ème ordre, Garrison arriva, pour la première fois, à résoudre numériquement les problèmes posés par les conditions aux limites dans le cas des structures fixes en profondeur finie (Réf.102).

Par contre, en discutant les aspects physiques du problème et en se basant sur ses observations, Isaacson affirma l'inexistence de la théorie non linéaire (Réf.103). Néanmoins, cette affirmation ne repose pas sur des bases rigoureuses de justification mathématique. D'ailleurs Hunt et Baddour (Réf.104) démontrèrent que l'affirmation d'Isaacson provenait de la propriété non analytique de la solution des conditions aux limites à l'interaction du cylindre et de la surface libre, et conclurent que ceci ne permettait pas de mettre en doute la méthode d'expansion de Stokes. De même que Miloh (Réf.105) signale que Wehausen utilisait des arguments similaires pour réfuter l'affirmation d'Isaacson.



Une autre analyse douteuse a été faite par Oortmerssen (Réf.106) qui tout en utilisant la théorie linéaire de houle introduisit les termes non linéaires (énergie cinétique locale) dans l'équation de Bernoulli avant d'intégrer la pression pour obtenir la force hydrodynamique. Néanmoins, les résultats théoriques et expérimentaux qu'il communique semblent concorder.

La force de résistance constante due aux termes non-linéaires, provenant de l'énergie cinétique locale des particules d'eau, dans l'expression de la pression donnée par l'équation de Bernoulli ainsi que la force variable, due à la variation de la surface libre par rapport au niveau moyen de la surface libre au repos et calculée en considérant comme une pression hydrostatique la pression engendrée par cette variation de la surface libre, sont toutes les deux proportionnelles au carré de l'amplitude de la houle.

Par conséquent, elles ne doivent être prises en considération que dans l'ana lyse de la force hydrodynamique par la théorie des houles non linéaires, le contraire violerait les hypothèses de départ de la théorie linéaire.

Une étude analytique par la théorie non linéaire de diffraction a été faite par Chakrabarti (Réf.107), qui en utilisant la houle de 5ème ordre établit l'expression analytique de la force par unité de longueur de la pile circulaire, verticale et fixe en profondeur finie. Cette force est exprimée par:

n25

1n)n(Ix V.R...C)t,z,(dF πρ∑=σ

=

Avec

)tn(cos)}.dz(nk{ch..n..kV nn2

n δ−σ+λσ= et )nkR(A.)nkR(

C 2)n(I4

π=

Où

)nkR(Y/)nkR(J)(tg '1

'1n =δ et 2/12'

12'1 }{ )nkR(Y)nkR(J)nkR(A −+=

En intégrant sur la longueur immergée de la pile jusqu'au niveau au repos, l'expression s'écrit:

)tn(cos).nkd(sh.C.R...F n5

1n)n(I

2x δ−σ∑σπρ=

=

En considérant linéaire, la distribution de la pression p sur la surface de la pile au-dessus du niveau d'eau au repos et s'annulant à la surface libre, pour 2a/d > 0,2, on y ajoute la force variable (ou force corrective) donnée par:

∫ θθηρ=π2

0

2xc d.cos..R.g..F

21 où g./}p{ ρ=η en z = d

La figure (III.6) donne la variation des coefficients CI(n) en fonction de kR, où CI(l) représente le coefficient d'inertie obtenu par la théorie linéaire de diffraction (Mac Camy et Fuchs).

L'étude faite par Isaacson (Réf.108) sur le calcul de la force totale d'inertie engendrée par une houle non linéaire du second ordre présente un intérêt remarquable à cause de la comparaison faite entre les résultats des différents auteurs.

Ainsi, la force totale d'inertie est exprimée sous la forme:

}{ )tkx(sin).kd(f.LH)tkxsin().kd(th.D.H.g..F 2

42 σ−+σ−ρ

π=

Elle permet de comparer les expressions de f(kd), trouvées par d'autres auteurs, en fonction de kd, et de donner une expression approximative de la force maximale d'inertie sous la forme:

}{ 22 )}kd(f.LH.{).kd(th.D.H.g..F 21

4+ρ

π= où }{ kd.)kd(sh.)kd(coth..

)kd(sh.)kd(f

23

43

64 2 −+

π=



(Fig. III.6)

Qui minimise les écarts, pratiquement sans importance, existant entre les résultats des autres auteurs, et qui présente, par rapport à l'expression du 1er ordre, une correction de faible pourcentage, généralement négligeable.

En guise de conclusion des effets de non linéarité de la théorie de diffraction, et d'après les résultats expérimentaux obtenus par Hellstrom et Rundgren (Réf.109), Laird (Réf.110), Bonfille et Germain (Réf.111), Tsuchiya et Yamaguchi (Réf.112) et Chakrabarti et Tam (Réf.113), il est bon de signaler que:

▫ pour des faibles profondeurs d'eau, la houle cnoïdale donne de meilleurs résultats que la houle sinusoïdale;

▫ les effets de non-linéarité sont moins marqués quand la diffraction est importante et la force d'inertie prépondérante.

En d'autres termes; la théorie non linéaire de diffraction est nécessaire pour d/L < 0,24; les effets de non linéarité, restent appréciables même pour H/d ≅ 0,1 et deviennent évidents pour H/d ≅ 1/3 et les valeurs de ka élevées. La théorie du 2ème ordre surestime la force pour H/d ≅ 1/5 – 1/4. La théorie de diffraction reste valable pour H/d ≤ 0,25 et 0,3 < kR ≤ 3, et la théorie approchée de Morrison donne des résultats satisfaisants pour kR < 0,3.

Bien que les effets de la viscosité aient été étudiés, dans le cadre de la théorie de la houle linéaire, par Stokes (Réf.114), Lamb (Réf.13), Basset (Réf.38), Kinsman (Réf.12) et d'autres, dans le cadre de la théorie de diffraction appliquée à des piles circulaires, verticales et fixes, nous ne pouvons tout juste signaler que les travaux de Black (Réf.115) et de Chakrabarti (Réf.116). Dans la suite, dans le cadre de l'étude d'une pile articulée, on introduira les effets de viscosité dans le calcul de la force hydrodynamique, par le biais de la théorie linéaire de diffraction en s'inspirant de ces travaux.

• Méthodes numériques Dans la littérature, nous avons recensé deux méthodes numériques pour résoudre le problème des corps soumis à une houle incidente. Il s'agit de méthodes qui recherchent la fonction potentielle φ (fonction de x, y, z, t) solution du problème par une méthode de discrétisation numérique traitée sur ordinateur; ce sont donc des méthodes approchées pour trouver la solution mathématique du potentiel φ .



Ces deux méthodes sont:

▫ la méthode des singularités (équation intégrale, fonction de Green); ▫ la méthode des éléments finis fluides.

Dans un but d'information, on se bornera à donner seulement le principe de ces méthodes. La formulation pratique des équations qui en découlent et leur traduction pour être traitée sur ordinateur peuvent être consultées par le lecteur intéressé dans la bibliographie citée dans ce chapitre. § Méthode des singularités (fonction intégrale, fonction de Green) La méthode la plus générale pour calculer les efforts hydrodynamiques fut formulée vers les années 50 par John (Réf.117). Cette méthode qui est applicable à des corps de formes arbitraires, utilise la fonction exacte de Green donnée par l'auteur et le théorème de Green pour obtenir une équation intégrale du potentiel aux surfaces frontières du problème. Les variantes de cette méthode utilisent la fonction de Green ou la solution fondamentale qui ne satisfait pas toutes les conditions aux limites, par exemple la condition de surface libre, ce qui implique l'intégration de différentes quantités sur les surfaces où ces mêmes quantités ne satisfont pas les conditions nécessaires.

Une autre variante importante de la méthode fut développée par Black (Réf.118). Cette méthode en utilisant la fonction symétrique de Green qui est séparable suivant les coordonnées, permet de résoudre avec plus d'efficacité le problème des corps présentant une symétrie axiale.

La littérature spécialisée abonde de résultats obtenus par cette méthode générale et ses variantes, notamment Boreel (Réf.119) et Hogben et Standing (Réf. 56). Dans ces applications le corps est représenté par une matrice de sources dont la magnitude est telle qu'elle annule le flux du fluide à travers la surface du corps.

La méthode de l'équation intégrale peut aussi être utilisée pour calculer les forces d'inertie sur les corps en faible oscillation. Une liste exhaustive de littérature sur ce sujet est donnée par Wehausen (Réf. 20). Le mouvement du corps est modélisé en remplaçant le flux du fluide, résultant du mouvement du corps, à travers la surface du corps pendant sa position moyenne par une distribution de sources.

Un autre outil important de l'analyse des forces des houles est donné par les relations de Haskind expliquées en détail dans Newman (Réf.121). Ces relations exploitent la réciprocité entre les problèmes de radiation et de diffraction. Le théorème de Haskind fournit une méthode d'évaluation des forces des houles sur des corps fixes, par l'amplitude des ondes radiées qui seraient gérées par les mêmes corps en oscillation.

Une première particularité de la méthode des singularités consiste à utiliser un principe de superposition de plusieurs fonctions potentielles, la théorie employée conduisant à des équations linéaires. On décompose le potentiel φ solution du problème, en une somme de deux termes: ▫ Le potentiel de l'onde incidente Il s'agit du potentiel d'une houle φ I de période (T) et d'amplitude (a) qui s'étend sur toute la surface de la mer et vient donc de l'infini. Ce potentiel est connu au départ sur la base d'une théorie de houle, donc il vérifie la condition de continuité, les conditions aux limites sur le fond et à la surface libre et il a la même valeur sur toute l'étendue de la mer. ▫ Le potentiel de l'onde émise par le corps Il s'agit de l'onde diffractée par le corps considéré comme fixe, de potentiel φD et de l'onde rayonnée par les mouvements du corps de potentiel φR.

Ainsi le potentiel φ , solution du problème, est donné par:

RDI φφφφ ++=



La condition de radiation de Sommerfeld, dans le cas de la méthode des singularités, s'écrit:

φD → 0 et φR → 0 pour x et z tendant vers ± ∞

Pour déterminer les potentiels φD et φR, on utilise les méthodes précitées qui permettent de ramener le problème tridimensionnel dans le domaine fluide à un problème bidimensionnel sur le corps. Ainsi, dans la méthode de fonction intégrale on suppose que l'écoulement réel du fluide autour du corps peut être représenté de manière équivalente par un écoulement associé à une densité de sources et de puits répartis sur la surface immergée du corps.

Le potentiel des vitesses en un point P du fluide s'exprime en fonction de la densité de sources inconnues f (P') du point P' situé sur la surface immergée SC du corps:

∫∫π

=CS

)P( dS).'P,P(G).'P(f..

Q41

Où la fonction G (P, P') appelée fonction de Green, décrit potentiel d'une source élémentaire de débit variable.

)t..(cos..Q T/24 ππ=

La forme de G est choisie de manière à satisfaire automatiquement à la condition de continuité et à toutes les conditions aux limites à l'exception de celle de glissement sur le corps. Cette condition de glissement sur la surface SC permettant de déterminer la répartition des densités de sources sur cette même surface s'écrit:

∀ P ∈ SC ⇒ )P(f.dS).'P,P(Gn

).'P(f..

)P(V21

41

CSn −∫∫

∂

∂

π=

Où Vn (P) et n sont respectivement la vitesse normale et le vecteur normal à la surface SC du corps. Cette équation intégrale, avec la fonction f pour inconnue, se résout par la méthode des singularités en introduisant deux approximations:

▫ la surface immergée SC est remplacée par un ensemble de N facettes Si; ▫ la densité de source f (P) est supposée constante sur chaque facette.

Une fois les intégrales de surface remplacées par des sommes finies, le problème se ramène à un système linéaire de N équations à N inconnues. La valeur du potentiel se déduit, dès lors, de la densité de sources discrétisées. Elle permet de calculer la pression pi sur chaque facette et d'en obtenir la force hydrodynamique par sommation du produit pi.Δδ i sur le nombre total de facettes (Réf.122).

Le principal avantage de cette méthode réside dans l'élimination du domaine fluide infini par le transport du problème à résoudre sur la surface immergée du corps pour ne plus se préoccuper de surface frontière limitant le domaine étudié. Par contre, cette méthode rencontre au niveau de sa mise en oeuvre de sérieuses difficultés d'intégration numérique.

Notamment la résolution de l'équation intégrale de Fredholm obtenue par la condition de glissement sur la surface immergée SC du corps, à l'intersection de SC avec la surface libre introduit deux complications: le noyau )'P,P(G

n∂∂ de cette intégrale possède des singularités sur la courbe d'intersection de SC avec la

surface libre et d'autre part pour certaines fréquences de l'onde, l'intégrale peut avoir des fonctions propres.



§ Méthode des éléments finis fluides La méthode des éléments finis est une méthode numérique de résolution approchée de champs qui peuvent s'exprimer sous forme variationnelle. Elle peut être considérée comme une extension de la méthode de Rayleigh-Ritz, au lieu d'appliquer cette dernière à l'ensemble du champ cherché dans le domaine étudié, la méthode des éléments finis l'applique à des petites régions de ce domaine dont la juxtaposition reconstitue le champ complet (Réf.123).

L'avantage et la puissance de cette méthode résident dans le fait que dans les sous régions fragmentant le domaine, on peut choisir pour approcher le champ cherché des fonctions beaucoup plus simples que celles qui serviraient à décrire le champ complet. Grâce à la subdivision du domaine, on peut s'adapter aisément à une forme compliquée de ce dernier, en particulier sur son contour. On élimine ainsi une des grandes difficultés de la méthode de Rayleigh-Ritz, à savoir des fonctions décrivant le champ complet et le respect des conditions aux limites.

Physiquement, le domaine est considéré comme formé d'un assemblage de composants individuels, les éléments finis. Le domaine est subdivisé en un nombre fini de tels éléments liés par un nombre fini de conditions de continuité, exprimées en certains points communs à plusieurs éléments, les nœuds. Ces conditions stipulent simplement l'égalité des paramètres des divers champs aux nœuds communs.

Cette méthode, développée il y a une quarantaine d'années, a actuellement prouvé sa capacité à résoudre toutes sortes de problèmes relatifs à des milieux continus. Elle a surtout été appliquée pour la recherche des champs des contraintes et de déformations dans des milieux élastiques (Réf.124).

Sous l'impulsion de Zienkiewics, Newton et Holland (Réf.125, 126, 127), son application dans le domaine de la mécanique des fluides s'est développée avec l'introduction des éléments fluides qui a permise la résolution du champ potentiel en se basant sur l'équation de continuité.

Le problème de réfraction et de diffraction a été traité pour la première fois par Berkhoff (Réf.128) en discrétisant la région entourant un obstacle ainsi que les régions de profondeurs variables par un réseau d'éléments finis et en résolvant l'équation de propagation des ondes sur ce réseau pour différentes îles et haut fonds circulaires. La méthode d'application de la condition de radiation paraît néanmoins semblable à la méthode utilisée par Chen et Mei (Réf. 129).

▫ Problème à la frontière Dans l'application de la méthode des éléments finis fluides, le fait que le domaine fluide s'étende à l'infini dans la direction des x pose une difficulté dans la mesure où il n'est évidemment pas raisonnable d'étendre à l'infini un maillage par éléments finis pour raison de temps et coût de calcul sur ordinateur.

Trois solutions existent pour surmonter cette difficulté, en utilisant une frontière artificielle à distance finie:

o Imposition de la condition de radiation sur cette frontière en exprimant qu'à une distance r du corps, la perturbation due à la présence du corps s'organise suffisamment pour que le champ de vitesses corresponde à cet endroit à une onde de gravité s'éloignant de la structure avec une célérité c, donc un potentiel φ fonction de z et (x-ct).

La condition de radiation en x = r s'écrit alors:

t

.cx1

∂

∂−=

∂

∂ φφ avec )t.cx(g).z(f −=φ

Notons qu'il n'y a pas de critère mathématique qui permet de définir la distance r, en général, on procède par approximations successives en augmentant progressivement r jusqu'à ce que la solution se stabilise d'un calcul à l'autre. Sur la base de cette méthode empirique, Newton conseille:

ad.nrmin += avec n = 1,5 à 3



Où d est la profondeur du fluide et a la demi largeur du corps symétrique par rapport à son axe vertical et dans la direction de la propagation. Dans le cas des piles cylindriques verticales a représenterait le rayon de la pile.

o Utilisation des éléments fluides infinis pour se raccorder au domaine extérieur. La seule différence entre ces éléments et les éléments classiques est que le domaine d'application des premiers s'étend à l'infini. Cela crée aussi quelques problèmes d'intégration numérique. Cette approche très prometteuse du problème, bien qu'elle ne soit pas beaucoup utilisée, a l'avantage d'une grande homogénéité dans le traitement des problèmes intérieur et extérieur, qui se trouvent modélisés par un ensemble d'éléments finis ou infinis, relevant du même type d'approximation.

o Possibilité de raccorder sur cette frontière la solution intérieure (éléments finis) avec une solution extérieure obtenue par une méthode choisie (équations, séries de "fonctions propres", etc.). Dans la littérature très peu de renseignements sont disponibles sur ce type de solution.

▫ Formulation du problème discrétisé En divisant le domaine fluide en plusieurs éléments, le potentiel des vitesses à l'intérieur de chaque élément discrétisé par:

tiT e..G σψ=φ

Où ψ est le vecteur des valeurs du potentiel complexe aux nœuds de l'élément, G est le vecteur des fonctions de pondération et eiσt exprime que le potentiel est harmonique de fréquence σ. La résolution approchée du problème de Laplace s'effectue par la méthode de Galerkin (Réf.130). Dans le cas d'un problème plan:

0d..G 2T =∫ ∇ ΩΩ

φ où 2

2

2

22

zx ∂

∂+

∂

∂=∇

φφφ

Dès lors, par le théorème de divergence, on obtient:

Γ∫∂

∂=∫

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

Γ

φφφΩ

Ωd.

n.Gd.}

z/x

{.}zG,

xG{ T

TT

Où Γ est la frontière du domaine fluide Ω et n est une coordonnée locale dans la direction de la normale extérieure à la frontière.

En remplaçant φ par son expression discrétisée et exprimant par le second membre les différentes conditions aux frontières, on retrouve un système linéaire d'équations matricielles du type:

[ ] [ ]P.K =Ψ

qui peut être résolu numériquement.

La méthode des éléments finis ne pose plus à l'heure actuelle de problème de convergence numérique et elle permet de plus de traiter n'importe quelle forme de structure et de fond. Il faut cependant noter que, quelle que soit la méthode utilisée pour résoudre le problème de champ, on est ramené à utiliser un ordinateur puissant, et que la mise au point d'un tel programme n'est pas à la portée de tous.

Aussi, utilise-t-on souvent, dans chaque cas particulier, un programme général existant, ce qui ne se fait malheureusement pas sans difficultés. L'utilisation d'un tel programme comme une boîte magique impose à l'utilisateur toute une série de problèmes à résoudre; notamment au niveau du volume des données et d'interprétation des résultats, sans oublier le coût des opérations.

Partie II – Effets hydrodynamiques IV.1 Chapitre IV – Structures océaniques


Chapitre IV. Structures océaniques

• Introduction Pour atteindre le fond de la mer, on disposait, jusqu'à l'apparition des structures articulées, de trois procédés:

▫ Utilisation de plates formes fixes constituées par des pieux battus et réunis entre eux par une charpente, ou par un fût tubulaire encastré au fond, ou encore par des pieds posés au fond mais encastrés dans la plate forme.

▫ Utilisation d'engins flottants, tels que des bateaux spécialisés ou des structures supportées par un système complexe de flotteurs destinés à diminuer leur mouvement propre sous l'effet de la houle. Tels sont les bateaux ou plates formes semi-submersibles de forage et les dragues flottantes.

▫ Utilisation de différents types de sous-marins ou de cloches permettant de travailler au fond.

Les structures articulées, notamment, la colonne (pile) oscillante procède, à la fois, de ces trois méthodes:

o des plates formes fixes, elle a le pied immobilisé en un point immuable au fond; o des bateaux, elle a les flotteurs; o des sous-marins, elle a le fût constamment immergé jusqu'au fond.

Ces trois caractères permettent d'en envisager l'emploi pour des missions très variées. Elle peut jouer seulement un rôle de support pour des installations qui doivent demeurer hors de l'eau, ou bien un rôle de chemin d'accès permanent et sûr jusqu'à des organes reposant au fond. Le maintien d'une telle colonne en position verticale peut être assuré, soit par encastrement dans le sol (Fig. IV.1), soit par des haubans obliques attachés à des poids morts (Fig. IV.2).

(Fig. IV.1) (Fig. IV.2)

Les calculs d'une telle structure soumise aux efforts conjoints de la houle, du vent et du courant, ont fait apparaître l'importance des efforts en jeu dans les haubans ou à l'encastrement. Alors, l'idée d'une liaison articulée de la colonne sur le fond et son maintien en position verticale au moyen des flotteurs indépendants ou incorporés est apparue (Fig. IV.3 et 4).



(Fig. IV.3) (Fig. IV.4)

Devant les forces alternatives de la houle, une telle structure oscille au lieu de résister et ainsi elle ne supporte que des efforts réduits, et elle est plus légère qu'une structure fixe équivalente. • Généralités § Efforts hydrodynamiques Comme on a déjà exposé dans le chapitre précédent, sur un obstacle fixe entièrement immergé, la houle exerce une force variable en grandeur et en direction qui est caractérisée par les deux termes essentiels de l'équation de Morrison:

▫ la force de traînée; semblable à celle qui s'établirait au cours d'un écoulement fluide permanent autour du même obstacle;

▫ la force d'inertie, qui n'apparaît qu'au cours de mouvements d'écoulements non uniformes.

Sur un obstacle qui n'est que partiellement immergé et qui traverse le plan d'eau (surface libre), ces forces dépendent en outre du degré d'immersion et, en particulier, la poussée verticale subie par le fond ne dépend que de la variation de pression au niveau considéré.

Bien que les coefficients CI et CD obtenus par de nombreuses expériences sur des pieux cylindriques présentent une importante dispersion, les différentes théories établies et les résultats d'expériences permettent d'évaluer d'une manière satisfaisante les forces subies par un obstacle fixe. Par contre pour les efforts subis par un obstacle mobile, il n'existe pas de théorie bien établie.

Pour une structure comme la colonne articulée, on distingue, pour plus de clarté, d'une part les projections verticales des forces pour lesquelles la colonne constitue pratiquement un obstacle fixe, puisqu'elle demeure appuyée constamment sur le fond et ne peut effectuer aucun mouvement vertical, et d'autre part la projection horizontale des forces et ainsi que les mouvements d'oscillation auxquels ces forces donnent naissance.

Les forces verticales ont une grande importance, car elles conditionnent le lest ou l'ancrage de ces structures. La structure idéale à ce point de vue est une colonne cylindrique pleine, constituant par elle-même un flotteur, et ne présentant à la houle que des parois verticales (Fig. IV.4).



Seule la paroi horizontale de l'extrémité inférieure (au fond) subit les variations de pression qui règnent au voisinage du fond. Ces variations sont quasiment nulles pour les petites houles, mais très importantes pour les grandes, et la colonne doit disposer d'un lest ou d'un ancrage suffisant si l'on ne veut pas qu'elle risque de se soulever au passage de chaque vague.

Quant aux forces horizontales et aux mouvements d'oscillation que ces forces provoquent, sous la poussée de l'eau, la structure recule et prend un mouvement qui résulte de l'équilibre permanent des moments, par rapport au centre de rotation, de cinq sollicitations principales:

▫ Forces de traînée; ▫ Forces d'inertie; ▫ Couple de redressement hydrostatique; ▫ Forces d'inertie de la masse en mouvement; ▫ Forces d'amortissement.

Dans la plupart des cas, on néglige ces dernières, car on considère qu'elles sont sécurisantes et limitent l'amplitude des oscillations calculées sans en tenir compte. En effet, la résonance n'est pas à craindre pour ce genre de structures, car leur période propre d'oscillation est souvent comprise entre 40 et 100 secondes alors qu'on n'observe jamais, en mer, de houle dont la période propre soft supérieure à 20 secondes. D'autre part, il faut noter que l'effet de choc d'une vague déferlante est moindre ici que sur une construction fixe, puisque l'obstacle se déplace dans le même sens que la masse d'eau.

Le courant et le vent agissent également sur la structure et la superstructure et engendrent un couple pour incliner l'ensemble du système, dès lors, pour limiter l'angle d'inclinaison, l'incorporation des flotteurs permettent d'accroître ou de créer un couple de redressement suffisant (Fig. IV.5).

(Fig. IV. 5) Il faut noter au passage que les critères de définition d'une telle structure sous les influences conjuguées des plus mauvaises conditions de houle, de courant et de vent, sont:

- les vagues n'atteignent pas la plate forme; - le lest ou l'ancrage du pied soit capable de résister aux efforts variables, verticaux et horizontaux; - les contraintes dans la charpente demeurent inférieures aux limites imposées par la sécurité; - l'angle maximal d'inclinaison soit compatible avec les installations d'exploitation.



Ce dernier critère n'est à considérer, pour les conditions océanographiques extrêmes envisagées, que sous l'aspect d'une limite de sécurité. On peut admettre que "l'angle centenaire" occasionne quelques perturbations à l'exploitation. Par contre, pendant le quasi totalité du temps, des conditions de grande sécurité et de grande stabilité doivent être assurées, afin de permettre une exploitation normale et continue. Ce critère de l'angle maximal acceptable détermine les plus faibles profondeurs dans lesquelles le procédé peut être employé. La plus grande profondeur, au contraire, n'est fixée que par des considérations économiques.

▫ A propos des coefficients CI et CD

L'expression de l'équilibre des moments de toutes ces sollicitations principales précitées conduit à l'équation différentielle du mouvement de la structure. Dans la plupart des études qu'on a recensées, l'utilisation de l'équation de Morrison pour exprimer les forces d'inertie et de traînée et ainsi que leur moment par rapport à la rotule au pied de celle-ci, implique de nouveau les coefficients CI et CD. Il est nécessaire de faire quelques remarques relatives à la définition de ces coefficients, afin d'avoir une vue plus claire sur les études déjà réalisées.

Le coefficient d'inertie CI n'est pas le même selon qu'il s'agit de l'accélération d'un obstacle par rapport au fluide au repos, ou de l'accélération d'un fluide par rapport à un obstacle fixe. En effet les analyses théoriques faites sans tenir compte de la viscosité ou de la formation de sillage mettent en évidence une valeur de 1 pour le cylindre circulaire accéléré dans un fluide au repos et une valeur de 2 pour le cylindre fixe dans un fluide accéléré. Dans ce dernier cas, le coefficient 2 provient de deux termes: l'un qui résulte uniquement du mouvement relatif, le second (de valeur identique au précédent pour un cylindre circulaire) provient du fait qu'un fluide accéléré n'est pas isobare, c'est l'équivalent d'une poussée d'Archimède. Pour une plaque plane pour laquelle le volume déplacé est nul, le coefficient global est le même dans les deux cas de figure.

Ainsi, lorsqu'un cylindre est accéléré dans un fluide au repos, dans ce fluide l'accélération est due au déplacement du fluide par l'objet. Il s'agit d'une distribution de pression que l'on peut écrire comme fonction de la masse ajoutée. Par contre, si l'objet est fixe et le fluide accéléré, il y a dans ce fluide un gradient de pression, à cause de l'accélération du fluide lui-même et en plus une autre accélération du fait que l'objet constitue un obstacle. Dans le cas d'un pieu à section circulaire oscillant dans un fluide au repos, la masse virtuelle est celle entraînée par le pieu dans son déplacement: mais, si le fluide est accéléré, il y a aussi un gradient de pression dans ce fluide et on retrouve, à cause de l'accélération, la même quantité (masse virtuelle).

Cette remarque soulève en pratique deux questions, l'une sur l'utilisation des résultats d'essais en bassin effectués en accélérant l'obstacle, l'autre sur l'application de la formulation au cas du calcul des mouvements d'un corps immergé sous l'action de la houle. En effet, le premier terme dépend de l'accélération relative alors que le deuxième dépend de l'accélération absolue du fluide par rapport à un repère fixe, ce qui n'apparaît pas dans la formule de Morrison. Si la décomposition des deux termes est simple dans le cas de l'écoulement théorique du fluide parfait, elle est moins évidente pour un écoulement réel avec sillage.

De même que, lorsque le fluide et le solide sont tous les deux en mouvements accélérés, la formulation de Morrison ne semble plus valable car un terme dépend de l'accélération relative et l'autre de l'accélération absolue.

Enfin, sur l'importance du rapport de l'amplitude du mouvement aux dimensions du corps, on signale qu'une expérience élémentaire faite sur le corps accéléré montre que l'écoulement sans sillage persiste sur une distance finie qui dépend de la forme du corps. Pour un déplacement qui doit être de l'ordre de grandeur de un diamètre dans le cas du cylindre circulaire, le sillage n'existe pas, on conçoit donc que le coefficient CI dans ce cas, soit proche de celui de la théorie en fluide parfait, alors que, lorsque l'amplitude est suffisante pour que le sillage soit développé, il doit être très différent. De même, le coefficient de traînée CD dans le cas où il n'y a pas de sillage devrait être pratiquement nul, ou en tout cas très différent de celui qu'on détermine en écoulement permanent.



▫ Etude du mouvement d'une structure articulée Les premières structures articulées ont fait leur apparition vers les années 1970. Avec l'évolution sans cesse croissante des ordinateurs et par conséquent des méthodes de calcul numérique utilisées en mécanique des fluides, tout spécialement en hydrodynamique, a eu pour conséquence la tendance à résoudre les problèmes posés par les structures océaniques et off-shore par des méthodes numériques.

L'étude du mouvement d'une structure articulée nécessite la détermination des forces et des moments en jeu. La plupart des études expérimentales sur modèles réduits sont fondées soit sur la détermination des coefficients CI et CD de l'équation de Morrison (Réf.131, 132, 133), soit sur la détermination des coefficients de l'équation différentielle du mouvement du type oscillation forcée et amortie, dans laquelle les moments d'excitation sont calculés par la théorie potentielle (Réf.134, 135), par des méthodes numériques (Réf.136, 137) ou encore par l'ana lyse spectrale (Réf.138). D'autres études expérimentales sont menées in situ sur des prototypes (Réf.139, 140).

L'équation différentielle du mouvement qui est non linéaire est souvent résolue, pour chaque cas particulier, avec la technique de "pas de temps" en supposant que les accélérations restent constantes dans chaque intervalle de temps considéré (Réf.141). La différence entre les différentes études recensées réside dans la manière, méthodes et techniques de détermination des forces et des moments que celles-ci engendrent au cours du mouvement de la structure sous l'action de la houle.

La littérature sur l'étude théorique ou expérimentale du mouvement de la structure (colonne ou pile) articulée est très restreinte, les quelques publications existantes sont d'ailleurs fort spécifiques. Néanmoins, on peut les classer suivant trois tendances: les études purement expérimentales, théorétiques et expérimentales et enfin in situ sur les prototypes. a. Les études expérimentales sont basées sur la détermination des coefficients CI et CD en vue d'évaluer

les forces d'inertie et de traînée par la formule de Morrison. Les vitesses et accélérations introduites dans les expressions de ces forces sont souvent celles obtenues en partant de la houle du 1er ordre, c'est-à-dire d'une houle linéaire du type Stokes. La détermination de ces coefficients par des essais sur modèle réduit se fait suivant deux méthodes:

- la première consiste à déterminer; le coefficient CD en soumettant la structure à un courant ayant la même distribution des vitesses que celles de la houle incidente; et le coefficient CI par le biais de l'équation d'équilibre statique des forces en fin de course de la structure (Réf.132);

- la seconde consiste à imposer à la structure un mouvement d'oscillation sinusoïdal et à enregistrer l'effort en tête de la structure et la houle produite par le mouvement. Ceci permet de déterminer les coefficients CD et CI via l'équation d'équilibre instantané des moments, dans laquelle on utilise le fait d'opposition de phase existant entre vitesses et accélérations donc entre forces de traînée et d'inertie exprimées par l'équation de Morrison (Réf.133).

Ces deux méthodes utilisées par la majorité des chercheurs ne tiennent pas compte d'une éventuelle interaction entre les forces d'inertie et de traînée. Elles nécessitent la détermination exacte du déphasage, entre ces deux forces pour pouvoir déterminer chacune d'elles. D'autre part, les remarques faites précédemment sur la détermination de ces coefficients pèsent sur les résultats obtenus.

b. Les études théorético-expérimentales bien qu'incomplètes et insuffisantes à l'heure actuelle, se servent souvent des valeurs des coefficients CD et CI obtenus par la voie expérimentale pour déterminer les forces et des moments qui entrent dans l'expression de l'équation différentielle du mouvement.

Pour la détermination de ces forces, elles ont recours soit à la méthode des singularités, soit aux fonctions de transfert de l'analyse spectrale, soit encore à des méthodes purement numériques. Ces méthodes fortes coûteuses demandent des programmes de calcul très élaborés (Réf.136, 137, 138).



D'autres études théoriques suivies d'une vérification expérimentale (Réf.134, 141) bien que fort attrayantes utilisent, pour le calcul de la force d'inertie, la théorie de diffraction linéaire en considérant la structure fixe et non en mouvement. Dans l'équation du mouvement, on introduit par conséquent l'inertie de la masse d'eau ajoutée obtenue expérimentalement en faisant osciller la structure dans l'eau au repos. Ce qui introduit dans la théorie une expérimentation indispensable non pour vérifier les résultats de la théorie établie, mais pour son aboutissement.

c. Enfin les études expérimentales in situ sur des prototypes permettant d'échapper aux critiques faites sur

la détermination des coefficients CD et CI, et en tenant compte des conditions réelles dans lesquelles la structure sera exploitée. Ces études très coûteuses, ne sont envisageables qu'en cas de réalisation en série de ces structures. Elles sont souvent menées par souci de sécurité après des études préliminaires théoriques et expérimentales sur modèle réduit (Réf.139, 140). La référence 140 est un bel exemple d'une telle étude; la loi du mouvement d'oscillation est déterminée sur modèle réduit et les inconnues de l'équation différentielle du mouvement en sont déduites, les résultats théorético-expérimentaux sont alors vérifiés par des essais in situ sur le prototype.

▫ Développement analytique Les études des mouvements des structures océaniques et off-shore, leur réponse aux diverses sollicitations naturelles telles que la houle, le vent, le courant, les phénomènes séismiques et ainsi que leur dimensionnement restent, encore maintenant, le domaine de prédilection pour l'utilisation de ces méthodes. La plupart des centres de recherches, des laboratoires d'hydrodynamique et d'off-shore possèdent leur propre programme d'ordinateur pour pouvoir répondre d'une manière rapide et concrète à la demande croissante du marché des structures off-shore, soit pour une étude purement théorique du comportement de ces structures et de leur dimensionnement pour pouvoir résister aux conditions naturelles de leur site d'exploitation, soit pour une étude expérimentale en vue de vérifier les résultats théoriques obtenus.

Pour déterminer analytiquement les expressions des forces hydrodynamiques et leur moment, par rapport à la rotule de la colonne, on utilise la méthode des superpositions linéaires. La théorie linéaire de diffraction de la houle sur des obstacles fixes est alors adaptée aux cylindres mobiles. En régime établi, la résolution de l'équation d'équilibre des moments de toutes les forces en jeu, sous la forme d'une équation différentielle du second ordre, permet dès lors de déterminer et d'étudier la loi du mouvement de la structure (cas de la colonne ou pile) soumise à l'action de la houle linéaire de Stokes (Stokes 1er ordre).

Dès lors, dans une première phase, on détermine la loi du mouvement et la force hydrodynamique qui, en l'absence de la viscosité, n'est autre que la force d'inertie, et dans une seconde phase, l'introduction de la viscosité dans l'élaboration des expressions des forces et moments hydrodynamiques permet de déterminer l'influence de .la viscosité sur la loi du mouvement de la structure et d'établir les expressions de la force d'inertie et de celle de traînée. Cette dernière ne traduit que l'effet de l a viscosité sous forme d'une force de frottement.

La détermination purement analytique des forces d'inertie et de traînée, par la théorie élaborée et par le biais de la résolution de l'équation différentielle du mouvement, permet dès lors de calculer les coefficients CD et CI de l'équation de Morrison écrite pour la houle incidente.

La connaissance de ces coefficients facilite, d'une manière très appréciable, l'évaluation des forces d'inertie et de traînée que subirait une structure cylindrique oscillante sous l'action de différentes houles, sans pour cela recommencer la procédure complète du calcul.

Enfin, ce n'est que dans une troisième phase qu'on peut, si nécessaire, procéder à une vérification expérimentale de la loi du mouvement de la structure, par des essais sur modèles réduits.



• Développements théoriques L'étude théorique du mouvement d'une structure articulée, à section circulaire, libre de se mouvoir dans le plan vertical et dans le sens de la propagation de la houle, sous l'action de cette dernière, est traitée par la méthode des superpositions linéaires. Dans le contexte de la théorie linéaire de la houle, l'étude présente est menée, dans une première phase, en faisant abstraction de la viscosité dans la détermination de la force dite d'inertie. Dans une seconde phase, l'introduction de la viscosité permet d'évaluer la force dite de traînée qui, dans le cadre de cette étude, traduit l'influence de la viscosité sous forme de force de frottement.

Le développement théorique est essentiellement basé sur la détermination des expressions des potentiels des vitesses irrotationnelles engendrées par les phénomènes de diffraction et de radiation en l'absence de la viscosité ainsi que les expressions des vitesses rotationnelles engendrées par les mêmes phénomènes en présence de la viscosité. Une fois que ces expressions sont établies, on recherche pour chaque phase considérée (visqueuse et non visqueuse) les expressions des efforts et moments hydrodynamiques.

Le moment hydrodynamique et le moment de redressement de la structure (résultant de sa flottabilité), par l'intermédiaire de l'équation différentielle du mouvement de la structure, qui traduit l'équilibre des moments des forces en jeu considérés par rapport à l'axe d'oscillation (la rotule unidirectionnelle), permettent de déterminer la loi du mouvement et par conséquent d'évaluer à chaque instant les forces et moments hydrodynamiques.

§ Hypothèses L'étude d'une structure cylindrique articulée à sa base peut être menée par la théorie linéaire dans le cadre des hypothèses suivantes:

ú Etude sans viscosité:

- L'eau est assimilée à un fluide parfait et incompressible; - Le champ des vitesses est irrotationnel et dérive d'un potentiel; - En l'absence du corps, l'écoulement a un potentiel de vitesse φ I qu'on appelle le potentiel du

milieu non perturbé ou de la houle incidente; - La présence du corps dans le milieu non perturbé engendre un potentiel φP qu'on appelle le

potentiel du milieu perturbé, qui dans le cas des corps en mouvement est formé par la superposition linéaire des potentiels diffracté φD et radié φR par le corps, donc:

φT = φ I + φP = φ I + φD + φR Où φD : le potentiel diffracté par le corps fixe et soumis à l'action de la houle incidente représentée par le potentiel

incident φ I ;

φR : le potentiel radié par le corps en mouvement dans le milieu au repos (en régime étab1i, on suppose que 1a fréquence du mouvement d'oscillation est identique à celle de 1'excitation donc de la houle incidente. L'interaction de φD et φR est supposée négligeable.

- La condition de surface sur le corps (imperméabilité) est réalisée par la superposition linéaire des potentiels des milieux perturbé et non perturbé;

- Dans le milieu non perturbé, l'endroit qu'occupe le corps ainsi que son voisinage ne présente pas de singularités;

- Enfin, on ne considère que les petites oscillations de la colonne dans le sens de propagation de la houle incidente.



ú Etude avec viscosité: Pour pouvoir introduire les effets de la viscosité à l'étude hydrodynamique de la structure, les hypothèses précédentes doivent être complétées par:

- Les vitesses des particules fluides se composent d'une partie irrotationnelle et d'une autre rotationnelle, dont la partie irrotationnelle dérive d'un potentiel;

- Les pertes d'énergie par viscosité, de la houle incidente, sont suffisamment comblées par une distribution de pression extérieure, afin de maintenir sa propagation vers l'infini. Ce qui vient à considérer que la hou1e incidente reste essentiellement non visqueuse à des grandes distances du corps;

- L'écoulement est laminaire et les effets dominants de la viscosité sont limités aux voisinages du corps.

D'autre part, dans les deux cas de l'étude, la méthode des superpositions linéaires nécessite les considérations telles que:

- La houle incidente est celle d'Airy (Stokes 1er ordre); les vitesses des particules fluides et la pente de la surface libre sont donc faibles.

- Les dimensions caractéristiques du corps (diamètre D pour le cylindre) sont faibles comparées à la longueur d'onde de la houle, par conséquent 1es perturbations engendrées par la présence du corps sont faibles et localisées aux voisinages de celui-ci et s'évanouissent au fur et à mesure qu'on s'éloigne du corps (condition de radiation).

- Enfin, la profondeur de l'eau est importante comparée à la longueur d'onde de la houle; dès lors, les effets des extrémités de la structure sont négligeables.

Pendant l'étude de l'effet de la viscosité, les conditions aux limites ne sont pas toutes simultanément vérifiées. Le but étant d'évaluer les efforts et moments hydrodynamiques sur la structure, la condition aux limites primordiale reste celle d'imperméabilité de la surface de la structure C'est ainsi, qu'on recherche des solutions qui vérifieront d'une manière rigoureuse la condition aux limites à la surface de la structure et d'une manière asymptotique celles de la surface libre.

Il est bon de signaler que dans le domaine off-shore, les valeurs de, πD/L et de 2aπ /L varient respectivement 0,25 → 1,25 et π /40 → π /50 (Réf.115), on obtient pour D/a des valeurs situées entre 20/π et 125/π . Dès lors le critère a >>>2π , vu précédemment dans le cas des forces hydrodynamiques, montre que les efforts dominants sont ceux d'inertie. De ce fait, dans les équations de Navier Stokes les termes du second ordre peuvent dès lors être négligés.



• Développements sans viscosité L'étude des forces et moments hydrodynamiques engendrés par une houle sur une structure cylindrique est menée, dans un fluide parfait (sans viscosité), suivant le schéma de la figure (IV.6).

(Fig. IV.6) § Equations et conditions ú Les équations de l'écoulement Les équations de Navier Stokes traduisant le mouvement d'un fluide parfait, incompressible, s'écrivent:

})zd.(g.p{1dtVd

−ρ−∇ρ

−= (Equation d'Euler)

Où V est le vecteur vitesse des particules fluides dans le système d'axes O (x, y, z) représenté dans la figure (IV.7).

L'équation de continuité exprime que la divergence du vecteur vitesse V (u, v, w) est nulle, s'écrit:

0V. =∇



(Fig. IV.7) En théorie linéaire, pour des houles de faibles amplitudes (Stokes 1er ordre), les composantes des vitesses u, v, et w étant considérées très faibles, les équations d'Euler deviennent:

})zd.(g.p{1tV

−ρ−∇ρ

−=∂

∂

Et en prenant la divergence des deux membres de l'équation on obtient:

p1V.t

2∇ρ

−=∇∂

∂

Comme la divergence est nulle (condition de continuité) cela entraîne que le laplacien de la pression aussi est nulle, c'est-à-dire, ∇2p = 0.

Or la pression p étant donnée par l'expression:

)zd.(t

.p 0T −ω+

∂

∂ρ=

φ où g.0 ρ=ω

Dès lors,

0T22

t.p =∇∂

∂ρ=∇ φ c'est-à-dire 0T

2 =∇ φ

Les équations du mouvement du fluide se résument ainsi par:

TV φ−∇=

0T2 =∇ φ et 0V. =∇

ú Les contraintes En coordonnées cylindriques (r, θ, z) les contraintes du fluide imposées par les équations d'Euler s'écrivent:

pzzrr −=τ=τ=τ θθ et 0zrzr =τ=τ=τ θθ



ú Les conditions aux limites Dans le système d'axes considéré (Fig. IV.7) on a successivement:

(I). 0z=

∂

∂ φ en z = 0

(II). 0RrDI )}(r

{ =+∂

∂=φφ (II.a) et θα−=

∂

∂=φ cos.z).t(}

r{ RrR (II.b)

(III). Pour la houle réfléchie et rayonnée: pour r → ∞ ⇒ φ , ∇φ et V → 0

(IV). { .ext0 p.p =ηω−

wt=

∂

η∂ en z=d }

⇒

0t

.gz 2

21=

∂

∂+

∂

∂ φφ en z=d (condition de Poisson)

Les vitesses en coordonnées cartésiennes et cylindriques sont données, en fonction du potentiel φ par les expressions:

xu

∂

∂−=

φ , y

v∂

∂−=

φ , z

w∂

∂−=

φ

Et

rVr ∂

∂−=

φ , θ∂

∂−=

φθ rV 1 ,

zVz ∂

∂−=

φ

Les potentiels φ I, φD, φR et φT sont respectivement les potentiels incident, diffracté, radié et résultant. Le potentiel φ représente un de ces potentiels suivant le cas considéré.

ú La force et le moment hydrodynamique La force hydrodynamique dans la direction ox est donnée par l'expression:

∫ θθ∫−=∫ θθτ∫=π

=

π

=

2

0Rr

d

0

2

0Rrrr

d

0x dz.d.cos.R.)p(dz.d.R.)cos.(F

Le moment hydrodynamique par rapport à la rotule o de la structure est donné par l'expression:

∫ θθ∫−=∫ θθτ∫=π

=

π

=

2

0Rr

d

0

2

0Rrrr

d

0Hy dz.d.cos.z.R.)p(dz.d.z.R.)cos.(M

Dans lesquelles expressions, la pression p est définie par:

)zd.(t

.p 0 −ω+∂

∂ρ=

φ

§ Détermination des potentiels Etant en présence d'un corps libre de se mouvoir sous l'action de la houle, on considère les trois potentiels φ I (incident), φD (diffracté) et φR (radié). Leur superposition linéaire conduit alors au potentiel résultant φT qui permet de calculer la force et le moment hydrodynamique.

On a ainsi: φT = φ I + φD + φR

▫ Le potentiel incident Le potentiel incident φ I est celui qu'on a établi au cours de l'étude de la houle d'Airy (Stokes 1er ordre) précédemment.



Dans le système cartésien de la figure (IV.7), le potentiel et l'équation de la surface libre correspondante sont donnés par les expressions:

)tkx(i0I e).kz(ch. σ−φφ = et )tkx(cos.a σ−=η

Avec

)kd(ch.iag

0 σ=φ et )kd(th.gk2 =σ ;

L2k π

=

Où L et a représentent respectivement la longueur d'onde et l'amplitude de la houle incidente.

L'expression du potentiel incident φ I en coordonnées cylindriques s'écrit:

tin

n

0nn0I e.)n(cos).kr(J.i.).kz(ch. σ−∞

=θ∑ε= φφ

Où ε0 = 1 et εn = 2 pour n = 1, 2, 3, …., n, ainsi que i2 = -1 et Jn(kr) est la fonction de Bessel de 1ère espèce obtenue par la relation:

)n(cos).kr(J.i.e nn

0nn

cosikr θ∑ε=∞

=

θ

▫ Le potentiel diffracté Le potentiel diffracté φD qui doit vérifier ∇ 2φD = 0 et les conditions aux limites (I), (II.a), (III) et (IV), est obtenu en résolvant ∇ 2φD = 0 en coordonnées cylindriques par la méthode dite de séparation des variables.

En appliquant cette méthode et en imposant les conditions aux limites précitées on obtient:

ti

n

nn

n

0nn0D e.)n(cos.

)kR('H)kr(H).kr('J.i.).kz(ch. σ−∞

=θ∑ε−= φφ

Où Hn (kr) est la fonction de Hankel de 1ère espèce et les termes J'n (kr) et H'n (kr) sont respectivement les dérivées par rapport à r des fonctions de Bessel Jn (kr) et de Hankel Hn (kr) de 1ère espèce, obtenues par les relations:

)kr(J.k)kr(J)kr(d

d.k)kr(Jdrd '

nnn == et )kr(H.k)kr(H)kr(d

d.k)kr(Hdrd '

nnn ==

▫ Le potentiel radié Le potentiel radié φR correspondant au mouvement d'oscillations périodiques de la colonne dans le fluide au repos, donc en l'absence de la houle incidente, doit vérifier ∇ 2φR = 0 et les conditions aux limites (I), (II.b), (III) et (IV), pour x > R et 0 < z < d.

Les oscillations de la structure cylindrique (colonne) étant engendrées par la houle incidente, le potentiel radié φR qui au point de vue des variations temporelles dépend directement de celles de la rotation angulaire α(t) de la structure, aura une fonction facteur temps identique à celle de la houle incidente. Donc, en régime établi, la loi du mouvement α(t) a le même facteur temps que celui de la houle incidente, soit e- iσt.

Comme dans le cas précédent, le potentiel radié φR s'obtient, en résolvant ∇ 2φR = 0 en coordonnées cylindriques par la méthode de séparation des variables, avec les conditions aux limites précitées. En prenant φR = ΨR.e-iσt et en tenant compte de la symétrie de révolution on peut considérer que ΨR aura une expression de la forme:

θ∑=Ψ∞

=cos)z(Z).r(R.

0nR

Qui, introduite dans ∇ 2ΨR = 0, conduit à l'équation différentielle paramétrique de Bessel.



En appliquant les conditions aux limites précitées et définissant le paramètre qui permet leur respect, en fonction de la loi du mouvement α(t) on aboutit à l'expression du potentiel radié φR écrit sous la forme:

∑ θ+α−=∞

=φ

1mmm0R cos)}.zk(cos).kr(f)kz(ch).kr(f{).t(.2

Avec

)kR(H

)kr(H).kd(Q.

k)kr(f

'1

1201

= et )Rk(K)rk(K).dk('Q.

k)rk(f

m'1

m1m2

mmm

1=

Où )t(α la dérivée temporelle de la fonction du mouvement avec facteur temps e- iσt, K1 (kmr) la fonction de Bessel de 2ème espèce et K'1 (kmR) sa dérivée par rapport à r en r = R.

L'expression de la dispersion donnée par: )kd(th.gk)dk(tg.gk mm

2 =−=σ

Et les expressions de Q (kd) et de Q' (kmd) sont définies par les relations:

)}kd(ch).kd(shkd/{})kd(ch)kd(sh.kd{)kd(Q 1 ++−=

)}dk(cos).dk(sindk/{})dk(cos)dk(sin.dk{)dk('Q mmmmmmm 1 +−+=

▫ Le potentiel résultant La superposition linéaire des trois potentiels φ I, φD et φR ainsi obtenus, permet dès lors d'écrire l'expression du potentiel résultant φT sous la forme:

φT = φ I + φD + φR

ti

0nnnn

nn0T e.)n(cos)}.kR('H/)kr(H).kR('J)kr(J{i.).kz(ch. }{ σ−∞

=∑ θ−ε= φφ

∑ θ+α−∞

=1mmmm0 cos.)zk(cos).rk(f)kz(ch).kr(f).t(. }{2

§ La loi du mouvement ▫ La pression hydrodynamique Comme cela déjà été établi la pression hydrodynamique p est donnée par l'expression:

t.p T∂

∂ρ=

φ

Dès lors, en remplaçant φT par son expression établie et dérivant par rapport au temps, en utilisant les relations de récurrence des fonctions de Bessel telles que:

kR.i.)kR(H).kR('J)kR('H).kR(J 2

nnnn π=−

On obtient l'expression de la pression hydrodynamique exercée sur la colonne.

Elle est donnée par:

∑ θ+ρα−∑θ

επ

ω=

∞

=

σ−∞

==

1mmmm0

ti

0n n

nn

0Rr cos.)zk(cos).rk(f)kz(ch).kr(f.).t(.e.

)kR('H)n(cos.i..

)kd(ch)kz(ch.

kR.a.i.}p{ }{2

2

Où ω0 = ρ.g et )t(α la dérivée seconde temporelle de la fonction du mouvement avec facteur temps e- iσt.



▫ La force et le moment hydrodynamique La force et le moment hydrodynamique, dont les expressions ont été établies précédemment, sont obtenus par l'intégration de la pression dynamique sur le corps. Ainsi, les doubles intégrations qui s'écrivent sous la forme:

∫ θθ∫−=π

=

2

0Rr

d

0x dz.d.cos.R.)p(F et ∫ θθ∫−==

π

=

2

0Rr

d

0Hy dz.d.cos.z.R.)p(M

Elles conduisent aux expressions de la force et du moment hydrodynamique définies par:

}Fe.F).{t(e.FF m)(i

1)t(i

0x +α+= β−γβ+σ− et }Me.M).{t(e.MM m)(i

1)t(i

0Hy +α+= β−γβ+σ−

Où les différents facteurs sont définis par les expressions:

)kd(th).kR(A.k.a.F 20

0 4ω

= ; )kd(S.)kR(B)kR(A.D..F F1 πρ= et

)Rk('K)Rk(K).dk(S.D..F

m1

m1m

1mFm ∑πρ=

∞

=

et

)kd(N.)kd(ch)kR(A.

k.a.M 130

0 4ω

= ; )kd(S.)kR(B)kR(A.D..M M1 πρ= et

)Rk('K)Rk(K).dk(S.D..M

m1

m1m

1mMm ∑πρ=

∞

=

Avec

2/121

21 )}kR('Y)kR('J{)kR(A −+= ; 2/12

121 )}kR(Y)kR(J{)kR(B −+=

})kR('J)kR('Y

{arctg1

1=β ; })kR(J)kR(Y{arctg

1

1=γ

})kd(ch)kd(sh.kd{)kd(N 11 +−= ; })dk(cos)dk(sin.dk{)dk('N 1mmmm1 −+=

Et

)kd(sh).kd(Q.k

)kd(S3F1

= ; )dk(sin).dk('Q.k

)dk(S mm3m

mF1

=

)kd(N).kd(Q.k

)kd(S 14M1

= ; )dk('N).dk('Q.k

)dk(S m1m4m

mM1

=

Le moment de redressement de la structure (colonne) est donné par:

Q).t(MR α= où OG.POB.d.R..Q 20 −πω=

Avec (Fig.IV.7): P : le poids de la structure (kgf); OG : la distance du centre de gravité à la rotule O; OB : la distance du centre de la carène à la rotule O.

Remarque: Dans le cas de la colonne à section circulaire uniforme, le moment se réduit à:

OG.Pd.R...Q 2202

1−πω=

▫ La loi du mouvement L'équation d'équilibre instantané des efforts en jeu s'écrit:

∑−∑ ∑==α RE MMMomentsI).t( Où

I : Inertie de la structure (par rapport à la rotule O); ME : Moments d'excitation, donc MHy; MR : Moments résistants, donc MR.



En introduisant les expressions des moments ME et MR on obtient l'équation différentielle du mouvement: )t(i

0 e.MQ).t(}MI{).t( β+σ−=α+−α avec m)(i

1 Me.MM += γ−β

Dans cette équation différentielle du mouvement d'oscillations forcées sans amortissement (absence du terme en )t(α ), en posant ω2 = Q/I et en y introduisant α(t) = α0.e-iσt, on obtient:

β−=σ+σ−ωα ie.MM.I).(. 0222

0 }{

Dès lors, en substituant l'expression de α0 dans celle de α(t), on obtient l'expression de la loi du mouvement de la structure:

)t(i0 e.)(A

M)t( αθ+σ−

σ=α

Dont la partie réelle est exprimée par:

)t(cos.)(A

M)t( 0

R αθ+σσ

=α

Où }M)(cos.M.{I).()(x m1

222 +β−γσ+σ−ω=σ ; )(sin.M.)(y 12 β−γσ=σ

2/122 )}(y)(x{)(A σ+σ=σ ; )}(x/)(y{arctg σσ+β=θα § La force hydrodynamique La force hydrodynamique Fx s'obtient en introduisant l'expression de α(t) dans celle de la force établie précédemment et prenant sa partie réelle. Les expressions de la force hydrodynamique tant pour la structure oscillante que pour celle fixe sont données respectivement par:

▫ Cas de la structure oscillante

)t(cos.FF Fx θ+σ=

Où 2/12

2x21x }FF{F += et }F/F{arctg 1x2xF =θ

Avec

}{ cos.F)(cos.F.)(A

M.cos.FF m1

0201x αα θ+γ−β+θ

σσ−β=

}{ sin.F)(sin.F.)(A

M.sin.FF m102

02x αα θ+γ−β+θσ

σ−β=

▫ Cas de la structure verticale et fixe

En introduisant 0)t()t( =α=α , dans l'expression de la force hydrodynamique Fx on obtient directement l'expression recherchée; dont la partie réelle s'écrit:

)t(cos.FF 0x β+σ=



• Développements avec viscosité L'étude des forces et moments hydrodynamiques engendrés par une houle sur une structure cylindrique est menée, dans un fluide réel (avec viscosité), suivant le schéma de la figure (IV.8).

(Fig. IV.8)

§ Equations et conditions

ú Les équations de l'écoulement Les équations de Navier Stokes, traduisant le mouvement d'un fluide newtonien incompressible, avec les termes visqueux s'écrivent:

V})zd.(p{1dtVd 2

0 ∇ν+−ω−∇ρ

−=

Où V est le vecteur vitesse des particules fluides dans le système d'axes O (x, y, z) représenté dans la figure (IV.7) et ω0 = ρ.g.



L'équation de continuité pour un fluide incompressible s'écrit:

0V. =∇

En théorie linéaire, pour des houles de faibles amplitudes (houle d'Airy), on obtient:

V})zd.(p{1tV 2

0 ∇ν+−ω−∇ρ

−=∂

∂

Dès lors, en prenant la divergence des deux membres de l'équation on obtient:

)V.(p1V.t

22 ∇∇ν+∇ρ

−=∇∂

∂

Comme 0V. =∇ cela entraîne que ∇2p = 0.

En théorie linéaire, comme la pression p dérive du potentiel φ de l'écoulement irrotationnel (Réf.12), elle est donnée par l'expression:

)zd.(t

.p 0 −ω+∂

∂ρ=

φ

Dès lors,

022t

.p =∇∂

∂ρ=∇ φ d'où 02 =∇ φ

On peut alors séparer la vitesse V en une partie irrotationnelle)i(

V et une autre rotationnelle)r(

V , de

manière à obtenir)r()i(

VVV += , c'est-à-dire, )r(

VV +−= φ∇ . En l'introduisant dans les équations de

Navier Stokes et sachant que 02 =∇ φ et (..)}t

{.(..).t ∂

∂∇=∇

∂

∂ , on obtient:

)r(2)r(

Vt

V∇ν=

∂

∂

Ainsi les équations du mouvement du fluide se résument en:

φ∇−=)i(

V ; 02 =∇ φ et 0)i(

V. =∇

Et

)r(2)r(

Vt

V∇ν=

∂

∂ et 0)r(

V. =∇

ú Les contraintes En coordonnées cylindriques (r, θ, z), sachant que µ = ρ.ν, les contraintes du fluide (Fig.IV.7) s'écrivent:

rV..p r

rr 2∂

∂µ+=τ − ; }{

rVV.

r.p r1

+θ∂

∂µ+=τ θ

θθ − ; zV..p z

zz 2∂

∂µ+=τ −

}{ rr

V.r

)rV(

r.r. 1

θ∂

∂+

∂

∂µ=τ θ

θ ; }{ zz

V.rz

V. 1θ∂

∂+

∂

∂µ=τ θ

θ ; }{rV

zV. zr

zr ∂

∂+

∂

∂µ=τ



ú Les conditions aux limites Sachant que )t(α est la vitesse angulaire de la structure, on a successivement:

(I). 0)r(z

)i(z VV == en z = 0

(II).

- Diffraction (II.a) : 0)r()i(

VVV =+= en r = R, c'est-à-dire:

)r(rRrDI V)}(

r{ =+∂

∂=φφ ; )r(

RrDI V)}(.r{1 θ= =+

θ∂

∂φφ ; )r(

zRrDI V)}(z

{ =+∂

∂=φφ

- Radiation (II.b) : 0z).t(VV)r()i(

=α−+ en r = R, c'est-à-dire:

θα=+∂

∂− =φ cos.z).t(}Vr

{ Rr)r(

rR ; θα−=+θ∂

∂− =θφ sin.z).t(}V.r

{ Rr)r(

R1

0Rr)r(

zR }Vz

{ =+∂

∂− =φ

(III). Pour r → ∞ ⇒ φD, φR et DV , RV → 0 (Condition de radiation pour la houle diffractée et rayonnée)

(IV). .extz

0 pzV

...p 2 =∂

∂µ−ηω− (pression extérieure) en z = d

(V). )r(z

)i(z VV

t+=

∂

η∂ en z = d et (VI). 0yzxz =τ=τ en z = d

ú La force et le moment hydrodynamique La force hydrodynamique Fx dans la direction ox est donnée par l'expression:

∫ θθτ−θτ∫=π

=θ

2

0Rrrrr

d

0x dz.d.R.)sin.cos.(F

Le moment hydrodynamique MHy par rapport à la rotule o de la structure est donné par l'expression:


=θ

2

0Rrrrr

d

0Hy dz.d.z.R.)sin.cos.(M

§ Les potentiels incident et diffracté Les potentiels incident φ I et diffracté φD sont ceux établis au cours de l'étude de la solution non visqueuse.

∑ θ−=∞

=

σ−φ0n

tinnI e).n(cos).kr(J.m).kz(ch et [ ]

[ ]∑ θ=∞

=

σ−φ0n

ti

nn

nnnnD e).n(cos.

)kR(HD)kR(JD).kr(H.m).kz(ch

Leur superposition linéaire permet d'obtenir, par simple dérivation, les expressions des vitesses irrotationnelles.

Par contre, les vitesses rotationnelles s'obtiennent en résolvant, en coordonnées cylindriques, les équations du mouvement du fluide définies par.

)r(2)r(

Vt

V∇ν=

∂

∂ et 0)r(

V. =∇



▫ Les vitesses irrotationnelles Les vitesses irrotationnelles, en coordonnées cylindriques, s'obtiennent par les relations:

)i(rRrDI V)}(

r{ =+∂

∂− =φφ ; )i(

RrDI V)}(.r

{ 1θ= =+

θ∂

∂− φφ ; )i(

zRrDI V)}(z

{ =+∂

∂− =φφ

Et elles sont définies par les expressions:

[ ] [ ] tie).n(cos.)kR(HD/)kR(JD).kr(H.)kr(J.m).kz(ch.kV }{ nnnn'n

0n

'nn

)i(r

σ−θ−∑=∞

=

[ ] [ ] ti1 e).n(sin.)kR(HD/)kR(JD).kr(H.)kr(J.m.n).kz(ch.r

V }{ nnnnn0n

nn)i( σ−θ−∑−=

∞

=θ

[ ] [ ] tie).n(cos.)kR(HD/)kR(JD).kr(H.)kr(J.m).kz(sh.kV }{ nnnnn0n

nn)i(

zσ−θ−∑=

∞

=

▫ Les vitesses rotationnelles En coordonnées cylindriques (r, θ, z), les vitesses rotationnelles peuvent être obtenues par l'introduction des vitesses de la forme:

tirr e.V)t(V σ−= ; tie.V)t(V σ−

θθ = ; tizz e.V)t(V σ−=

Dans l'expression: )r(2

)r(

Vt

V∇ν=

∂

∂

Elles peuvent, dès lors, s'écrire sous la forme:

)V.iV(.ri

rz.

rr.rr

)V.iV(.i)V.iV(t r222

2

2

2

22rr }.{ .2111θθθ ±

θ∂

∂±−

∂

∂+

θ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=±

ν

σ−=±

∂

∂

z2

2

2

2

22zz V

z.

rr.rr

V.itV }.{ 11

∂

∂+

θ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

ν

σ−=

∂

∂

Dont on peut, avec les conditions aux limites précédemment définies, les résoudre par la méthode de séparation des variables, à travers les équations différentielles paramétriques de Bessel.

Ces équations différentielles ont des solutions simultanées différentes en fonction des valeurs du paramètre. Les solutions retenues sont celles qui vérifient toutes les conditions aux limites d'une manière rigoureuse, ou au moins celles qui sont importantes pour le calcul des efforts et moments hydrodynamiques sur la structure. Les conditions aux limites prépondérantes sont celles de la surface libre et de l'imperméabilité sur la surface de la structure, respectivement les conditions (IV), (V) et (II.a). Elles ne sont malheureusement pas vérifiables simultanément, d'une manière rigoureuse, par ces différentes solutions. On ne retient, en fait, que les solutions qui vérifieront simultanément d'une manière rigoureuse la condition (II.a) et d'une manière asymptotique celles de (IV) et (V) combinées ensemble (condition de Poisson).

Ainsi, on obtient:

[ ] [ ]ti

nnnn

2

0n1n1n1n1n

2n

)r(r e.

)kR(HD)n(cos.)sR(H).sr(H.

R.rn.2)sR(H).sr(H)sr(H).sR(Hk.m.

kR.)kz(ch.iV }{ σ−∞

=−+−+

θ−∑ +

π=

[ ] [ ]ti

nnn

'n

0n1n1n1n1n

2n

)r( e.)kR(HD)n(sin.)sR(H).sr(H.

Rs.n.2)sR(H).sr(H)sr(H).sR(Hk.m.


=−+−+θ

θ−∑ −

π−=

[ ]ti

nn

'nn

0nn

)r(z e.

)kR(HD)n(cos).sR(H).sr(H.m.

kR.)kz(sh.sk.i.2V σ−∞

=

θ∑

π−=



▫ Paramètres et expressions utilisés Les différents paramètres et expressions utilisés dans les expressions des vitesses rotationnelles et irrotationnelles du cas de diffraction sont:

▫ ε0 = 1 et εn = 2 pour n = 1, 2, 3, …., n, ainsi que i2 = -1

▫ )kd(ch.

iag0 σ=φ ; 2/12 )/.ik(s νσ+= ; 0

nnn .i.m φε−=

▫ [ ] )sR(H).sR(X.kRn)sR(H).sR(H).kR(X.k)sR(H).sR(H).kR('X.s)kR(XD 2

n2

2

1n1nn'nn −+= −+

Où X (kR) représente une fonction de Bessel Jn (kr) ou de Hankel Hn (kr) dont J'n (kr) et H'n(kr) sont leur dérivée respective par rapport à r définie précédemment.

§ Le potentiel radié (Rayonnement) Le potentiel radié φR se détermine, comme dans le cas de la solution non visqueuse en résolvant ∇ 2φR = 0, en coordonnées cylindriques, par la méthode de séparation des variables et en appliquant les conditions aux limites (I) et (III), avec la symétrie de révolution cylindrique, à la solution paramétrique de l'équation différentielle de Bessel obtenue.

En fonction de α(t) l'expression du potentiel radié s'écrit:

θ∑+α=∞

=φ cos.)zk(cos.)rk(f)kz(ch).kr(f).t(. }{ m

1mmm0R 2

Où

[ ])kR(HD/)kr(H).sR(H).sR(H).kd(Q.ks)kr(f 1112120 =

[ ])Rk(KD/)rk(K).Rq(K).Rq(K).dk('Q.kq)kr(f m11m1m2m1m2m

mm =

▫ Les vitesses rotationnelles

La résolution de l'équation du mouvement du fluide avec )r(2)r(

Vt

V∇ν=

∂

∂ et 0)r(

V. =∇ , par la méthode de

séparation des variables, en coordonnées cylindriques, conduit à l'équation différentielle paramétrique de Bessel. Comme dans le cas de la solution visqueuse de diffraction, avec les mêmes critères de choix des valeurs du paramètre, dans le souci de vérifier les conditions aux limites (rigoureusement sur la surface de la colonne et asymptotiquement à la surface libre), on aboutit aux expressions suivantes des vitesses rotationnelles.

On obtient ainsi:

ú θ∑+α=∞

=cos.)zk(cos.)rq(g)kz(ch).sr(g).t(.V }{ m

1mmm0

)r(r 2

Où

[ ])kR(HD/)sr(H).sR(H).kR(H.k)sr(H).sR(H).kR(H.r.

k)kd(Q)sr(g 110211120 }{1 −−=

[ ])Rk(KD/)rq(K).Rq(K).Rk(K.k)rq(K).Rq(K).Rk(K.r

.k

)dk('Q)rq(g m11m2m2m1mm1m1m2m

mmm }{1 +−=

ú θ∑+α=∞

=θ sin.)zk(cos.)rq(h)kz(ch).sr(h).t(.V }{ m

1mmm0

)r( 2



Où

[ ])kR(HD/)sr(H).sR(H).kR(H.k)sr(H).sR(H).kR(H..k)kd(Q)sr(h 11021

'1120 }s{ −=

[ ])Rk(KD/)rq(K).Rq(K).Rk(K.k)rq(K).Rq(K).Rk(K.q.k

)dk('Q)rq(h m11m0m2m1mm'1m1m2m

m

mmm }{ +=

ú θ∑+α=∞

=cos.)zk(sin.)rq(p)kz(sh).sr(p).t(.V }{ m

1mmm0

)r(z 2

Où

[ ])kR(HD/)sr(H).sR(H).kR(H.k)kd(Q)sr(p 111210 s=

[ ])Rk(KD/)rq(K).Rq(K).rk(K.q.k

)dk('Q)rq(p m11m1m2m1mm

mmm −=

▫ Paramètres et expressions utilisés Les différents paramètres et expressions utilisés dans les expressions des vitesses rotationnelles du cas de radiation sont:

2/12 )/.ik(s νσ+= ; 2/12mm )/.ik(q νσ−= ; ti

0 e.)t( σ−α=α

})kd(ch)kd(sh.kd{)kd(N 11 +−= ; })dk(cos)dk(sin.dk{)dk(N 1mmmm'1 −+=

)}kd(ch).kd(shkd/{)kd(N)kd(Q 1 += ; )}dk(cos).dk(sindk/{)dk(N)dk('Q mmmm'1m +=

§ La loi du mouvement

ú Le potentiel et les vitesses résultantes En superposant linéairement les potentiels φ I, φD et φR d'une part, les composantes respectives selon r, θ et z des vitesses rotationnelles )r(

V et irrotationnelles )i(V d'autre part, on obtient:

[ ][ ]

ti

0n nn

nnnnnT e.cos}.

)kR(HD)kR(JD).kr(H)kr(J.{m).kz(ch σ−∞

=θ∑ −−=φ

∑ θ+α+∞

=1mmmm0 cos)}.zk(cos).rk(f)kz(ch).kr(f).{t(.2

)i(

r)r(

rT

r VVr

V ++∂

∂−=

φ ; )i()r(T VVr

V 1θθθ ++

θ∂

∂−=

φ ; )i(z

)r(z

T VVz

V ++∂

∂−=

φθ

ú La force et le moment hydrodynamique La force hydrodynamique Fx dans la direction ox, dont l'expression est donnée par:


=θ

2

0Rrrrr

d

0x dz.d.R.)sin.cos.(F

Elle peut être séparée, par unité de longueur axiale (dz), en trois composantes dFx(1), dFx

(2) et dFx

(3) respectivement dues, à la pression hydrodynamique, aux contraintes visqueuses normales et aux contraintes visqueuses tangentielles. Ainsi:

)3(x

)2(x

)1(xx dFdFdFdF ++=



Avec,

θθ∫∂

∂ρ−= =

π φ d.cos.t

.R.dF Rr2

0

T)1(x }{

θθθ∂

∂−θ∫

∂

∂µ= =

πd.sin.V.

rcos.

rV..R.dF Rr

r2

0

r)2(x }{ 1

2

θθ−∫∂

∂µ−= =

θπ

θ d.sin.rV

rV.R.dF Rr

2

0

)3(x }{

Pendant l'évaluation de la force, l'intégration par rapport à θ, compte tenu des expressions des fonctions circulaires dans φR, Vr , Vθ, et leur dérivée par rapport à r, θ et t, on ne considérer que le mode n=l, du fait que:

⎩⎨⎧

=∫ θ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

θθ

θθ

=

≠

π

π

1npour

1npour0

0d.

sin).n(sincos).n(cos

Dès lors, sachant que:

∫=d

0xx dz.dFF et ∫=

d

0xHy dz.dF.zM

En y introduisant les expressions de tT

∂

∂φ ,rVr∂

∂ ,θ∂

∂ rV , θV et rV∂

∂ θ pour r = R et n = 1, et en intégrant par

rapport à z, on obtient les expressions de la force hydrodynamique Fx et du moment hydrodynamique MHy.

On a ainsi: }SS.{).t(}SS).{t(e.SF )2(

m2)1(

m1ti

0x −να++α−−= σ−

}QQ.{).t(}QQ).{t(e.QM )2(m2

)1(m1

ti0Hy −να++α−−= σ−

Où on a successivement posé:

a0000 Z.FiS =Λ+Ω= ; b1111 Z.FiS =Λ+Ω= ; 1bc222 F).Z.kZ(.kiS −=Λ+Ω=

∑=Λ+Ω=∞

=1m

)1(mm

)1(m

)1(m

)1(m Z.FiS ; m

1m

)1(mm

)2(mm

)2(m

)2(m

)2(m F).Z.kZ.(kiS ∑ −=Λ+Ω=

∞

=

De même que: a0000 Z.MViUQ =+= ; a1111 Z.MViUQ =+= ; 1bc222 M).Z.kZ(.kViUQ −=+=

∑=+=∞

=1m

)1(mm

)1(m

)1(m

)1(m Z.MViUQ ; m

1m

)1(mm

)2(mm

)2(m

)2(m

)2(m M).Z.kZ.(kViUQ ∑ −=+=

∞

=

Avec:

)kd(th.k

.a.F

20

0 4ω

= ; )kd(sh.k)kd(Q.D..F 31 πρ= ; )dk(sin.

k)dk('Q.D..F m3

m

mm πρ=

)kd(ch/)kd(N.k.a.M 130

0 4ω

= ; )kd(N).kd(Q.kD..M 141

πρ= ; )dk('N).dk('Q.

kD..M m1m4m

mπ

ρ=

Et [ ])kR(HD/)sR(H).sR(H.sZ 1121a = ; )kR(H.ZZ 1ab = ; [ ])kR(HD/)sR(H).kR(H.sZ 11

212

2c =

[ ])Rk(KD/)Rq(K).Rq(K).Rk(K.qZ m11m2m1m1m)1(

m = ; [ ])Rk(KD/)Rq(K).Rk(K.qZ m11m21m2

2m

)2(m =



ú La loi du mouvement L'équation d'équilibre instantané des efforts en jeu conduit à l'équation différentielle du mouvement donnée par:

ti0

2)2(m2

)1(m1 e.Q.I).t(QQ.).t()QQ(I).t( }{}{ σ−−=ωα+−να−++α

Qui représente l'équation différentielle du mouvement d'oscillations forcées amorties.

Dès lors en introduisant ti0 e.)t( σ−α=α et en posant:

}{ )VV(..)UU(.I).()(x )2(m2

)1(m1

222 −νσ−+σ−σ−ω=σ ; }{ )UU(..)VV(.)(y )2(m2

)1(m1

2 −νσ−+σ=σ

2/122 }{ )(y)(x)(A σ+σ=σ ; 2/120

20 }{ VUQ += ; }{

)(x)(y

arctgσ

σ=δ ; }{

0

0UVarctg=µ

On obtient la loi du mouvement: )t(ie.

)(AQ)t( αθ+σ−

σ=α où )( µ+δ−π=θα

En prenant la partie réelle:

)t(cos.)(A

Q)t(R αθ+σσ

=α

§ La force hydrodynamique Comme dans le cas de fluide parfait, la force hydrodynamique Fx s'obtient en introduisant l'expression de α(t) dans celle de la force établie précédemment et prenant sa partie réelle. Les expressions de la force hydrodynamique tant pour la structure oscillante que pour celle fixe sont données respectivement par:

ú Cas de la structure oscillante En posant successivement:

}{ )(.)(..)(A

Q.F )2(m2

)1(m1A Λ−Λν−Ω+Ωσ

σσ= ; }{ )(.)(..

)(AQ.F )2(

m2)1(m1B Ω−Ων−Λ+Λσ

σσ=

Avec 2/12

B2AAB }{ FFF += ; }F/F{arctgu AB=

0ABI )u(cos.FF Ω−−θ= α et 0ABD )u(sin.FF Λ−−θ= α

On obtient: ti

DIx e).F.iF(F σ−−=

Dont la partie réelle s'écrit: )t(sin.F)t(cos.FF DIRx σ−σ=

En reposant 2/12D

2I }{ FFF += et }F/F{arctg IDF =θ cette expression s'écrit:

)Ft(ix e.FF θ+σ−=

Dont la partie réelle est donnée par: )t(cos.FF FRx θ+σ=

ú Cas de la structure fixe verticale

L'introduction de α(t) = 0, dans l'expression générale de la force hydrodynamique permet d'obtenir dans un fluide réel la force hydrodynamique exercée par la houle sur la structure cylindrique fixe et verticale.



On obtient ainsi: ti

0x e.SF σ−−=

Qui en posant: 0IF Ω−= ; 0DF Λ= et 2/12

D2I0 }{ FFF += avec }F/F{arctg ID0 =θ

Elle peut s'écrire sous la forme: )0t(i

0x e.FF θ+σ−=

Dont la partie réelle est donnée par: )t(cos.FF 00Rx θ+σ=

Remarque:

ú Pour ν → 0 les expressions de sR et qmR tendent vers l'infini. En effet, si on considère les expressions 2/1

Eq22 }R.iRk{sR += et 2/1

Eq22

mm }R.iRk{Rq −= où νσ= /R.R 2Eq est le paramètre fréquence-viscosité

équivalent du nombre de Reynolds. Pour ν → 0 ⇒ REq → ∞ ; dès lors, sR et qmR → ∞ ; en écrivant les expressions asymptotiques des fonctions Hn (sR) et Kn (qmR) pour des grands arguments, on obtient:

ν → 0 ⇒ sR et qmR → ∞ et par conséquent:

)kR(H/Z '1a 1−→ ; )kR(H/)kR(1HZ '

1a −→ et )Rk(K/)Rmk(1Z m'1

)1(m K−→

Ces expressions introduites dans celles de α(t) et F conduisent aux mêmes expressions établies pour la solution non visqueuse. Donc, "pour ν → 0 la solution visqueuse tend à la solution non visqueuse".

▫ Pour REq >> k2R2 et k2

m R2 les développements en série des arguments sR et qmR permettent d'écrire:

4/i2/1Eq e.RsR π≅ et 4/i2/1

Eqm e.RRq π−≅ , dès lors, les expressions de Hn (sR) et Kn (qmR) peuvent être remplacées par:

}{ )R(kei.i)R(ker.)(.i)sR(H 2/1Eqn

2/1Eqn

nn 1

2−

π−≅ − ; }{ )R(kei.i)R(ker.)()Rq(K 2/1

Eqn2/1

Eqnn

mn 1 −≅ −

Où ker et kei sont les fonctions de Kelvin. De même que, pour sR et qmR >>, ont obtient:

1''1

'1a }{ sR/)kR(H.kR)kR(HZ −+−≅ ; )kR(H.ZZ 1ab ≅ ; )kR(H.

RsR.ZZ 2ac ≅

Et ainsi que:

1mm

''1m

'1

)0(m }K{ Rq/)Rk(K.kR)Rk(Z −+−≅ ; )Rk(K.ZZ m1

)0(m

)1(m ≅ ; )Rk(K.

RRq.ZZ m2

m)0(m

)2(m ≅

A condition que REq >> k2R2 et k2

m R2, ces expressions permettent d'évaluer α(t), Fx et MHy, d'une manière

directe, sans passer par les fonctions de Bessel à argument complexe.

Pour des cas pratiques, bien que REq >> k2R2, la condition REq >> k2m

R2 peut ne pas être vérifiée. Dans ce cas, on utilise forcément les expressions des fonctions de Bessel à argument complexe. Au cours de l'évaluation de α(t), Fx et MHy, c'est cette dernière méthode qu'on applique pour ne pas être tributaire fait de ces conditions sur REq vis-à-vis de kR et kmR.



• Les coefficients CI et CD de Morrison L'expression de la force hydrodynamique Fx peut s'écrire, d'une manière similaire à celle donnée par Morrison, sous la forme:

u.D.C.u).D.(.C.dF D

2

Ix 4∗ρ+

πρ=

Où u et ü sont respectivement les vitesses et accélérations des particules fluides en l'absence de la structure cylindrique, donc elles sont données par l'expression de la houle incidente.

Dans cette expression (équation linéarisée), le coefficient ∗DC est considéré linéaire et ayant les

dimensions de la célérité de la houle, donc (m/s). Cette équation est équivalente à celle de Morrison qui ne tient pas compte de la diffraction de la houle en présence de la structure et qui assume une force d'inertie proportionnelle aux accélérations des particules fluides.

Le coefficient de traînée CD de l'équation de Morrison provient principalement du sillage de la structure (proportionnel au carré de la vitesse u2) et par conséquent n'est pas directement comparable à celui de l'équation linéarisée.

Pour des raisons pratiques de calcul d'évaluation des vitesses et accélérations des particules fluides de la houle, nécessaires pour le calcul de la force hydrodynamique, pour éviter l'établissement fastidieux de leur expression en présence de la structure, on compare les forces d'inertie et de traînée de l'expression linéarisée à celles données par l'équation de Morrison pour des vitesses et accélérations des particules fluides de la houle incidente.

Ainsi, pour le potentiel incident φ I de la houle donné par l'expression: )tkx(i

I e.)kd(ch)kz(ch

.g.a.i σ−

σ=φ

Par conséquent, en absence de la structure (colonne), les expressions de la vitesse et de l'accélération des particules fluides de la houle incidente s'obtiennent par:

)tkx(i0x

I e.)kd(ch)kz(ch.k.g.a

xu }{ σ−

= σ=

∂

∂−=

φ et )tkx(i0x

I2

e.)kd(ch)kz(ch.k.g.a.i

t.xtuu }{ σ−

= −=∂∂

∂−=

∂

∂=

φ

Dès lors, pour x = 0, la force hydrodynamique par unité d'hauteur dz s'écrit;

ti0D

ti0

2

Ix e.)kd(ch)kz(ch

..a

.D.k.Ce.)kd(ch)kz(ch

.k..a).D.(.C.idF4

σ−∗σ−

σ

ω+ω

π−=

En l'intégrant par rapport à z dans l'intervalle (0, d), pour la force hydrodynamique on obtient l'expression:

dz.dFFd

0xx ∫= ⇒ ti0

Dti

0

2

Ix e).kd(th..a.D.Ce).kd(th..a).D.(.C.iF4

σ−∗σ−

σ

ω+ω

π−=

Et en la comparant à )Ft(ix e.FF θ+σ−= , on obtient:

I

II f

FC = et

D

DD f

FC =∗

Où

)kd(th..a.D.f 0

2

I 4ω

π= ; )kd(th.D..af 0

D σ

ω=

Et FI sin.FF θ= (Force d'inertie)

FD cos.FF θ= (Force de traînée)



• Viscosité turbulente En écoulement turbulent développé, la pression et les composantes instantanées de la vitesse V

fluctuent

autour des valeurs moyennes p , u , v , w , l'écart de la vitesse par rapport à cette valeur moyenne étant un vecteur u', v', w' tel que: 'uuu += ; 'vvv += ; 'www += , de même que 'ppp += , avec la condition que la valeur moyenne de la partie fluctuante u', v', w', p', prise sur un intervalle de temps T convenable, soit nulle:

∫ =+Tt

t0dt.)'p,'w,'v,'u(.

T1

Pour un fluide incompressible, à chaque instant et en tout lieu les composantes satisfont aux équations de Navier Stokes et à l'équation de continuité.

Dès lors pour une houle de faible amplitude (houle d'Airy) l'équation généralisée d'Euler s'écrit:

}{ .ptV 1

τ∇−∇ρ

−=∂

∂

Où τ est le tenseur des contraintes.

Pour la composante u dans la direction ox, on obtient:

}{ )zyx

(xp

.tu xzxyxx1

∂

τ∂+

∂

τ∂+

∂

τ∂−

∂

∂

ρ−=

∂

∂ (Equation d'Euler)

Où

2xx 'u.

xu

.2 ρ−∂

∂µ=τ ; 'v'.u.)

xv

yu

(.xy ρ−∂

∂+

∂

∂µ=τ ; 'w'.u.)

xw

zu

(.xz ρ−∂

∂+

∂

∂µ=τ

En introduisant l'hypothèse de Prandtl sur la longueur de mélange (Réf.143), ces contraintes s'écrivent:

xu..

xu. xxxx 2

∂

∂ερ+

∂

∂µ=τ où

xu

.l 2xxx ∂

∂=ε

yu..)

xv

yu(. xyxy ∂

∂ερ+

∂

∂+

∂

∂µ=τ où

yu

.l 2yxy ∂

∂=ε

zu..)

xw

yu(. xzxz ∂

∂ερ+

∂

∂+

∂

∂µ=τ où

zu

.l 2zxz ∂

∂=ε

En supposant que le niveau de turbulence reste le même dans toute direction (ce qui n'est probablement pas vrai mais peut être considéré comme une bonne approximation pour déterminer la force hydrodynamique dans la direction ox), on peut postuler que:

ε==ε=ε=ε texzxyxx C (Viscosité turbulente)

La considération ε = Cte n'est sûrement pas réaliste, mais par contre pour sa valeur moyenne elle est au moins raisonnable. Dès lors, l'équation d'Euler se réduit à:

u.)(xp.

tu 21

∇ε+ν+∂

∂

ρ−=

∂

∂

Cette équation est identique à celle d'Euler écrite pour la composante u en absence de turbulence et dans laquelle on a remplacé v par (v +ε).



Par conséquent, le seul changement dans les équations de la solution visqueuse se porte sur l'expression du paramètre fréquence-viscosité REq, qui, en régime turbulent s'écrit:

ε

σ≅

ε+ν

σ=

22

EqR.

)(R.R

Pour obtenir une comparaison numérique entre les différentes solutions qu'on a établies, on utilise l'évaluation de Schlichting (Réf.143) pour ε, dans le cas d'un écoulement permanent (bidimensionnel) autour d'un cylindre circulaire, où ε est donné par:

∞=ε U.D.C. D0222,0

Où, U∞ représente la vitesse de l'écoulement libre, CD le coefficient de traînée pour un écoulement permanent et D le diamètre du cylindre.

Dans le cas des plates-formes océaniques, le nombre de Reynolds est de l'ordre de 105 et le coefficient de traînée CD de l'écoulement permanent est constant pour le nombre de Reynolds de cet ordre, et vaut 1.

Dès lors, sachant que, pour une houle de 1er ordre U∞ = σ. a, on obtient successivement:

a..D.C. D0222,0 σ=ε et )ka(

kR(.R 52,22Eq =

Or pour des structures off-shore les valeurs de kR et de ka sont respectivement de l'ordre de 0,25 → 1,25 et π/40 → π/50, ainsi les valeurs du paramètre fréquence-viscosité REq seront de l'ordre de 22 → 450, ce qui fait que la force visqueuse de traînée sera beaucoup plus importante que celle de l'écoulement laminaire.

La comparaison des solutions visqueuse et non visqueuse par rapport à la solution visqueuse en régime turbulent, par le fait des approximations faites sur les longueurs de mélange et de la constance de la viscosité turbulente ε dans toute direction, est plutôt qualitative que quantitative. Néanmoins, elle permet de voir l'influence de la viscosité turbulente sur l'évolution de α(t), Fx et MHy et par conséquent sur celle de CI et CD.

• Remarques Certaines remarques d'ordre général tirées des essais sur des structures cylindriques verticales fixes (Réf.115, 116) et des structures cylindriques articulées pouvant osciller librement autour d'une rotule à leur base (Réf.146) permettent de bien cerner tant la validité de la théorie linéaire pour l'évaluation des forces et des coefficients y afférents que le comportement des structures elles-mêmes.

On peut, ainsi, en résumer quelques unes:

▫ En général, la théorie linéaire n'est applicable que dans les limites imposées par la suppression des termes convectifs des équations de Navier-Stokes donc pour des D/a >> 2.π, de même que la théorie linéaire de la houle qui exigerait L/a >> 2.π, c'est-à-dire, D/L << 1 où encore kR << π.

▫ La théorie n'est valable que pour des petites inclinaisons de la structure (colonne), c'est le cas pour la plupart des applications off-shore.

▫ Les inclinaisons de la colonne sont une fonction inverse des kR, quand kR augmente les inclinaisons diminuent ainsi les petites longueurs d'ondes engendrent de faibles oscillations, les grandes longueurs d'ondes engendrent de grandes oscillations.

▫ Dans le cas où le déphasage entre la houle incidente et le mouvement du cylindre est de l'ordre de π/2, les efforts hydrodynamiques sont presque le double des efforts correspondants au cylindre fixe (couple de démarrage).

▫ La viscosité empêche ce phénomène et crée un déphasage différent de π/2.

▫ Pour une même houle l'augmentation de l'inertie de la colonne diminue les inclinaisons maximales de la colonne.



▫ Pour un même modèle de la structure, les efforts sont plus importants dans le cas non visqueux que visqueux et turbulent, bien que les maxima des inclinaisons varient peu.

▫ Dans le cas de la colonne oscillante, la théorie potentielle (non visqueuse) surestime les efforts par rapport au cas réel avec viscosité.

▫ Les valeurs maximales des coefficients CI, sur le système non visqueux sont respectivement de l'ordre de 2,2 et 1,2 au maximum pour des cylindres fixes, de l'ordre de 4,2 et 1,7 pour des cylindres oscillants non visqueux et de l'ordre de 0,1 et 0,05 pour les autres cas visqueux et turbulents.

▫ Dans tous les cas ∗DC présente un maximum vers kR ≅ 0,7 - 0,9 tandis que CI le présente pour kR <

0,1.

▫ De même que dans le cas de la colonne oscillante CI présente un minimum pour kR = 0,2 (cas visqueux et turbulent), alors que ∗

DC le présente vers kR ≅ 0,15.

▫ Enfin, il est à signaler que le coefficient ∗DC ne reflète que les forces de frottement donc

d'amortissement linéaire et par conséquent est très faible par rapport au coefficient CD que l'on peut rencontrer dans la réalité. D'autre part, le coefficient CI du cas non visqueux risque de ne jamais être rencontré dans la réalité sauf en présence d'un déphasage de π/2 par rapport à la surface libre et en présence d'une grande flottabilité.

Note: Le détail des développements théoriques, sur la détermination des potentiels et des vitesses rotationnelles et irrotationnelles dans un fluide réel, et ainsi certains diagrammes sur les résultats théoriques de la détermination des forces et des coefficients hydrodynamiques sont données, à titre complémentaire, dans les annexes du présent livre.

Houles fondamentales et Effets hydrodynamiques A. 1 Annexes


Annexes



Annexe I

• Détails des développements théoriques § Fluide parfait

Dans le cas d'un fluide parfait les expressions des potentiels diffracté et radié se déterminent à travers les équations du fluide et des conditions aux limites définies telles que:

TV φ−∇=

0T2 =∇ φ et 0V. =∇

Et des conditions aux limites. Notamment:

(I). 0z=

∂

∂ φ en z = 0

(II). 0RrDI )}(r

{ =+∂

∂=φφ (II.a) et θα−=

∂

∂=φ cos.z).t(}

r{ RrR (II.b)

(III). Pour la houle réfléchie et rayonnée: pour r → ∞ ⇒ φ , ∇φ et V → 0

(IV). { .ext0 p.p =ηω−

wt=

∂

η∂ en z=d }

⇒

0t

.gz 2

21=

∂

∂+

∂

∂ φφ en z=d (condition de Poisson)

Les vitesses en coordonnées cartésiennes et cylindriques sont données, en fonction du

potentiel φ par les expressions:

xu

∂

∂−=

φ , y

v∂

∂−=

φ , z

w∂

∂−=

φ

Et

rVr ∂

∂−=

φ , θ∂

∂−=

φθ rV 1 ,

zVz ∂

∂−=

φ

▫ Potentiel diffracté Le potentiel diffracté φD qui doit vérifier ∇ 2φD = 0 et les conditions aux limites (I), (II.a),

(III) et (IV), est obtenu en résolvant ∇ 2φD = 0 en coordonnées cylindriques par la méthode dite de séparation des variables.

Ainsi, en supposant une solution de la forme:

tiin

0n

inD e}.e).z,r(Ge).z,r(F{ σ−θ−∞

=

θ +∑=φ

En posant: F(r,z) = H(r).h(z) et G(r,z) = E(r).e(z), ∇ 2φ = 0 conduit à l'équation différentielle de Bessel:

0}rn{

rd)r(Hd

.rrd

)r(Hd2

2

2

2 1=−µ++

écrite pour F(r,z). Pour G(r,z), on obtient la même équation différentielle en remplaçant H(r) et h(z) respectivement par E(r) et e(z).



Dès lors, en posant µ' = µ1/2, on obtient les solutions généralisées:

ϑµ−µθ µ+µ+= in)2(nn

)1(nn

z'2

z'1

in e.)}r'(H.B)r'(H.A{.)e.Ce.C(e).z,r(F Et

ϑ−µ−µθ− µ+µ+= in)2(nn

)1(nn

z'2

z'1

in e.)}r'(H.F)r'(H.E{.)e.De.D(e).z,r(G

Où C1, C2, D1, D2 et An, Bn, En, Fn sont des constantes et les fonctions:

)r'(Y.i)r'(J)r'(H nn)1(

n µ+µ=µ et )r'(Y.i)r'(J)r'(H nn)2(

n µ−µ=µ

Sont respectivement les fonctions de Hankel de 1ère et 2ème espèce.

La condition aux limites (I) et la condition de radiation (III) du fait que pour r → ∞ ⇒ ti)1(

n e).r'(H σ−µ → 0 et ti)2(n e).r'(H σ−µ → ∞ , conduisent aux expressions:

ϑθ µµ= innn

in e.)z'(ch.)r'(H.Ae).z,r(F et ϑ−θ− µµ= innn

in e.)z'(ch.)r'(H.Ee).z,r(G

Avec )r'(Y.i)r'(J)r'(H nnn µ+µ=µ fonction de Hankel de 1ère espèce.

En tenant compte de la symétrie de révolution cylindrique; An = En = ½. Cn, on obtient:

ti

0nnnD e.)n(cos.)z'(ch.)r'(H.C σ−∞

=θ∑ µµ=φ

Les valeurs µ = 0 et µ = -λ2 conduisent à des solutions triviales, Cn = 0, c'est la valeur µ = k2

qui conduit à une solution avec un φD qui vérifie la condition de Poisson (surface libre) (IV). Dès lors, le potentiel φD s'écrit:

ti

0nnnD e.)n(cos.)kr(H.C.)kz(ch σ−∞

=θ∑=φ

Où )kd(th.k.g2 =σ .

La condition d'imperméabilité sur la surface du corps (II.a) permet de déterminer les coefficients Cn. On obtient ainsi:

)kR(H/)kR(J..i.C 'n

'n0

nnn φε−=

Où ε0 = 1 et εn = 2 pour n = 1, 2, 3, …., n, ainsi que i2 = -1

Dès lors, l'expression du potentiel diffracté φD devient:

ti

n

nn

n

0nn0D e.)n(cos.

)kR('H)kr(H).kr('J.i.).kz(ch. σ−∞

=θ∑ε−= φφ

Où les termes J'n(kr) et H'n(kr) sont respectivement les dérivées par rapport à r des fonctions de Bessel Jn(kr) et de Hankel Hn(kr) de 1ère espèce, obtenues par les relations:

)kr(J.k)kr(J)kr(d

d.k)kr(Jdrd '

nnn == et )kr(H.k)kr(H)kr(d

d.k)kr(Hdrd '

nnn ==

▫ Le potentiel radié

Le potentiel radié φR correspondant au mouvement d'oscillations périodiques de la colonne dans le fluide au repos, donc en l'absence de la houle incidente, doit vérifier ∇ 2φR = 0 et les conditions aux limites (I), (II.b), (III) et (IV), pour x > R et 0 < z < d.



Les oscillations de la structure cylindrique (colonne) étant engendrées par la houle incidente, le potentiel radié φR qui au point de vue des variations temporelles dépend directement de celles de la rotation angulaire α(t) de la structure, aura une fonction facteur temps identique à celle de la houle incidente. Donc, en régime établi, la loi du mouvement α(t) a le même facteur temps que celui de la houle incidente, soit e- iσt.

Comme dans le cas précédent, le potentiel radié φR s'obtient, en résolvant ∇ 2φR = 0 en

coordonnées cylindriques par la méthode de séparation des variables, avec les conditions aux limites précitées.

En prenant φR = ΨR.e-iσt et en tenant compte de la symétrie de révolution on peut considérer que ΨR aura une expression de la forme:

θ∑=Ψ∞

=cos)z(Z).r(R.

0nR

qui, introduite dans ∇ 2ΨR = 0, conduit à l'équation différentielle paramétrique de Bessel.

0}rn{

rd)r(Rd.

rrd)r(Rd

2

2

2

2 1=−µ++ ou

2

2

zd)z(Zd.

)z(Z1

=µ

En posant µ' = µ1/2, la solution généralisée vérifiant la condition de radiation (III) est de la

forme: }e.Ce.C{.)r'(H.A)z(Z.)z,r(R)z,r(Q z'

2z'

1nnµ−µ +µ==

Où Hn est la fonction de Hankel de 1ère espèce et les coefficients C1, C2 et An sont des constantes.

En fonction des valeurs de µ, l'équation différentielle considérée possède des solutions différentes. Ainsi:

o Cas µ = 0

La solution générale dans ce cas conduit à ΨR de la forme:

)n(cos.)r.Br.A(.)Cz.C(.0n

nn

nn21R θ∑ ++=Ψ

∞

=

−

Les conditions aux limites (I) et (III) conduisant à An = CI = 0 et la condition aux limites (IV) à Bn = 0, on obtient dès lors une solution triviale de ΨR; par conséquent µ ≠ 0.

o Cas µ > 0; (µ = l2)

Dans ce cas, la solution généralisée de l'équation différentielle vérifiant les conditions aux limites (I) et (III) conduit à ΨR de la forme:

)n(cos.)lz(ch.)lr(H.D0n

nnR θ∑=Ψ∞

=

Où Hn est la fonction de Hankel de 1ère espèce.

o Cas µ < 0; (µ = -l2) La solution généralisée de .l'équation différentielle est de la forme:

)}lr(I.B)lr(K.A{.)}lz(sin.C)lz(cos.C{)z(Z.)z,r(R)z,r(Q nnnn21 ++==

Où les fonctions In et Kn sont respectivement les fonctions de Bessel modifiées de 1ère et 2ème espèce. Sachant que pour r → ∞ ⇒ ti

n e).lr(K σ− → 0 et tin e).lr(I σ− → ∞ , les conditions aux limites (I)

et (III) conduisent à ΨR de la forme:

)n(cos.)lz(cos.)lr(K.A0n

nnR θ∑=Ψ∞

=



Le potentiel radié φR sera dès lors une combinaison de ces deux dernières expressions de ΨR. Ainsi, on peut écrire:

ti

0mmmR e..C σ−∞

=∑= ψφ

Dès lors, les potentiels ΨR (µ > 0) et ΨR (µ < 0) peuvent chacun s'écrire sous forme de série

sous signe de double sommation en m et n.

)n(cos.)zl(ch.)rl(H.D)( m0n

mnm,n1m

R 0 θ∑∑=µΨ∞

=

∞

=>

)n(cos.)z(cos.)r(K.A)(0n

mmnm,n1m

R 0 θ∑ λλ∑=µΨ∞

=

∞

=<

Ainsi pour chaque valeur de l ou deλ , on obtient une série distincte:

)n(cos.)z(cos.)r(K.A

)lz(ch.)lr(H.D

0n nn

nn θ∑⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

λλ

∞

=

La condition aux limites (IV) appliquée aux deux expressions de ΨR donne pour chaque cas:

o ΨR (µ > 0) 0)dl(th.l.g mm

2 =−σ pour m = 1, 2, ….., ∞ .

Pour une valeur donnée de σ, cette relation ne sera vérifiée que pour une seule valeur de lm, par conséquent la série n'aura qu'un seul terme. Dans ce terme lm = k permet de retrouver σ2 = gk. th (kd), la formule de fréquence de la houle en profondeur finie. o ΨR (µ < 0)

0)d(tg..g mm2 =λλ+σ pour m = 1, 2, ….., ∞ .

Contrairement au cas précédent, pour une valeur donnée de σ, on aura km valeurs qui vérifieront l'identité et ces km sont alors des racines positives croissantes de l'équation:

0)dk(tg.k.g mm2 =−=σ

L'équation différentielle paramétrique en µ:

0)z(Z.zd)z(Zd

2

2=µ−

Avec les conditions aux limites (I) et (IV) écrites pour Z(z):

00z}{z)z(Z

=∂

∂= et 0dz

2}{ )z(Z.

gz)z(Z

=σ

−∂

∂=

pour 0 < z < d et r > R, a pour l'ensemble des valeurs de µ, une solution en série complète et orthogonale selon le corollaire du théorème de Sturm-Liouville (Réf.142).

Ainsi, les deux solutions en série, qu'on vient d'établir, possèdent cette propriété d'être complètes et orthogonales puisqu'elles sont solutions de l'équation différentielle paramétrique en µ et que les conditions aux limites (I) et (IV) sur ΨR s'appliquent aussi à Z(z), par le fait de la forme des expressions de ΨR obtenues par séparation des variables ΨR = R(r).Z(z).cos (nθ), et sont vérifiées.



Enfin, la condition aux limites (II.b) appliquée à ΨR;

θα=∂

Ψ∂= cos.z.)t(}

r{ Rr

R où )t(α est sans facteur temps tie σ− , en posant les termes

indépendants de θ:

)zl(ch.)Rl(H.l.DB m1m

m'nmm,nn ∑=

∞

= ; )z(cos.)R(K..AC m

1mm

'nmm,nn λ∑ λλ=

∞

=

et en posant θα=θ cos.z.)t()(f , permet d'écrire pour chacune des deux solutions:

∑ θ=θ∞

=0nn )(f)n(cos.B et ∑ θ=θ

∞

=0nn )(f)n(cos.C

qui sont respectivement les développements en cosinus de la série de Fourrier.

Dès lors:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=α−

≠=θθ∫ θ

π=

π

1

101npourz.)t(

npourd.)n(cos.)(f.C,B

2

0nn

D'où

z.)t()zl(ch.)Rl(H.l.D m1m

m'nmm α−=∑

∞

= ; z.)t()z(cos.)R(K..A m

1mm

'nmm α−=λ∑ λλ

∞

=

qui sont deux séries complètes et orthogonales. Par conséquent:

)dl(Q.l)t(.2

dq.)ql(ch

dq.)ql(ch.q.)t()Rl(H.l.D m

md

0m

2

d

0m

m'nmm

α−=

∫

∫α−=

)d('Q.)t(.2dq.)q(cos

dq.)q(cos.q.)t()R(K..A m

md

0m

2

d

0m

m'nmm λ

λ

α−=

∫ λ

∫ λ

α−=λλ

où les expressions de Q(lmd) et de Q'(λmd) sont définies par les relations:

)}dl(ch).dl(shdl/{})dl(ch)dl(sh.dl{)dl(Q mmmmmmm 1 ++−=

)}d(cos).d(sind/{})d(cos)d(sin.d{)d('Q mmmmmmm 1 λλ+λ−λ+λλ=λ Ainsi, ayant appliqué les conditions aux limites précitées et défini le paramètre qui permet

leur respect, en fonction de la loi du mouvement α(t) on aboutit à l'expression du potentiel radié φR écrit sous la forme:

∑ θ+α−=∞

=φ

1mmm0R cos)}.zk(cos).kr(f)kz(ch).kr(f{).t(.2

Avec

)kR(H

)kr(H).kd(Q.

k)kr(f

'1

1201

= et )Rk(K)rk(K).dk('Q.

k)rk(f

m'1

m1m2

mmm

1=

Où )t(α la dérivée temporelle de la fonction du mouvement avec facteur temps e- iσt, K1(kmr) la fonction de Bessel de 2ème espèce et K'1(kmR) sa dérivée par rapport à r en r = R.

L'expression de la dispersion donnée par: )kd(th.gk)dk(tg.gk mm

2 =−=σ



Et les expressions de Q(kd) et de Q'(kmd) sont définies par les relations:

)}kd(ch).kd(shkd/{})kd(ch)kd(sh.kd{)kd(Q 1 ++−=

)}dk(cos).dk(sindk/{})dk(cos)dk(sin.dk{)dk('Q mmmmmmm 1 +−+=

▫ Le potentiel résultant Dès lors, la superposition linéaire des trois potentiels φ I, φD et φR ainsi obtenus, permet dès

lors d'écrire l'expression du potentiel résultant φT sous la forme: φT = φ I + φD + φR . Ainsi:

ti

0nnnn

nn0T e.)n(cos)}.kR('H/)kr(H).kR('J)kr(J{i.).kz(ch. }{ σ−∞

=∑ θ−ε= φφ

∑ θ+α−∞

=1mmmm0 cos.)zk(cos).rk(f)kz(ch).kr(f).t(. }{2

§ Fluide réel

Dans le cas d'un fluide réel les expressions des potentiels diffracté et radié, et ainsi que les vitesses tant rotationnelles qu'irrotationnelles se déterminent à travers les équations du fluide et des conditions aux limites définies telles que:

φ∇−=)i(

V ; 02 =∇ φ ; 0)i(

V. =∇ (I.a.1)

)r(2)r(

Vt

V∇ν=

∂

∂ ; 0)r(

V. =∇ (I.a.2)

Et sachant que )t(α est la vitesse angulaire de la structure, on a successivement:

(I). 0)r(z

)i(z VV == en z = 0

(II).

- Diffraction (II.a) : 0)r()i(

VVV =+= en r = R, c'est-à-dire:

)r(rRrDI V)}(

r{ =+∂

∂=φφ ; )r(

RrDI V)}(.r{1 θ= =+

θ∂

∂φφ ; )r(

zRrDI V)}(z

{ =+∂

∂=φφ

- Radiation (II.b) : 0z).t(VV)r()i(

=α−+ en r = R, c'est-à-dire:

θα=+∂

∂− =φ cos.z).t(}Vr

{ Rr)r(

rR ; θα−=+θ∂

∂− =θφ sin.z).t(}V.r

{ Rr)r(

R1

0Rr)r(

zR }Vz

{ =+∂

∂− =φ

(III). Pour r → ∞ ⇒ φD, φR et DV , RV → 0 (Condition de radiation pour la houle diffractée et rayonnée)

(IV). .extz

0 pzV

...p 2 =∂

∂µ−ηω− (pression extérieure) en z = d

(V). )r(z

)i(z VV

t+=

∂

η∂ en z = d et (VI). 0yzxz =τ=τ en z = d



§ Les potentiels incident et diffracté Les potentiels incident φ I et diffracté φD sont ceux établis au cours de l'étude de la solution

non visqueuse.

∑ θ−=∞

=

σ−φ0n

tinnI e).n(cos).kr(J.m).kz(ch et [ ]

[ ]∑ θ=∞

=

σ−φ0n

ti

nn

nnnnD e).n(cos.

)kR(HD)kR(JD).kr(H.m).kz(ch

Leur superposition linéaire permet d'obtenir, par simple dérivation, les expressions des

vitesses irrotationnelles. Par contre, les vitesses rotationnelles s'obtiennent en résolvant, en coordonnées cylindriques, les équations du mouvement du fluide définies par.

)r(2)r(

Vt

V∇ν=

∂

∂ et 0)r(

V. =∇

▫ Les vitesses irrotationnelles

Les vitesses irrotationnelles, en coordonnées cylindriques, s'obtiennent par les relations:

)i(rRrDI V)}(

r{ =+∂

∂− =φφ ; )i(

RrDI V)}(.r

{ 1θ= =+

θ∂

∂− φφ ; )i(

zRrDI V)}(z

{ =+∂

∂− =φφ

Elles sont définies par les expressions:


0n

'nn

)i(r

σ−θ−∑=∞

=


V }{ nnnnn0n

nn)i( σ−θ−∑−=

∞

=θ


nn)i(

zσ−θ−∑=

∞

=


En coordonnées cylindriques (r, θ, z), les vitesses rotationnelles peuvent être obtenues par l'introduction des vitesses de la forme:

tirr e.V)t(V σ−= ; tie.V)t(V σ−

θθ = ; tizz e.V)t(V σ−=

Dans l'expression: )r(2

)r(

Vt

V∇ν=

∂

∂

Elles peuvent, dès lors, s'écrire sous la forme:

)V.iV(.ri

rz.

rr.rr

)V.iV(.i)V.iV(t r222

2

2

2

22rr }.{ .2111θθθ ±

θ∂

∂±−

∂

∂+

θ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=±

ν

σ−=±

∂

∂

z2

2

2

2

22zz V

z.

rr.rr

V.itV }.{ 11

∂

∂+

θ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

ν

σ−=

∂

∂

Dès lors en prenant:

θ−θθ +=+ nini

r e.)z,r(fe.)z,r(FV.iV ; θ−θθ +=+ nini

r e.)z,r(fe.)z,r(FV.iV

θ−θ += niniz e.)z,r(he.)z,r(HV



On obtient:

θθ +−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

ν

σ− ni

2

2

2

2

2ni e.F

r)n(

zr.rr

e.F.i }.{ 11 ; θ−θ− −−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

ν

σ− ni

2

2

2

2

2ni e.

r)n(

zr.rr

e.f.i f}.{ 11

(Idem pour θnie.G et θ− nie.g ) Et:

θθ −∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

ν

σ− ni

2

2

2

2

2ni e.

rn

zr.rr

e.H.i H}.{ 1 ; θ−θ− −∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

ν

σ− ni

2

2

2

2

2ni e.

rn

zr.rr

e.h.i h}.{ 1

La résolution de cette dernière équation par la méthode de séparation des variables conduit à

l'équation différentielle de Bessel:

0)r(R.}rns{

rd)r(Rd.

rrd)r(Rd

2

22

2

2 1=−++ (II.b.1)

Où )/i(s2 νσ+µ= et 2

2

zd)z(Zd.

)z(Z1

=µ (II.b.2), écrite pour la variable H(r, z) = R(r). Z(z).

Pour la variable h(r, z) = F(r). G(z), on obtient les mêmes équations dans lesquelles les

variables R(r) et Z(z) sont remplacés respectivement par F(r) et G(z). Les équations différentielles (II.b.1) et (II.b.2) ont des solutions simultanées différentes en

fonction des valeurs de µ. Les solutions retenues seront celles qui vérifieront toutes les conditions aux limites d'une manière rigoureuse, ou au moins celles qui sont importantes pour le calcul des efforts et moments hydrodynamiques sur la colonne. Dans le contexte de ce travail, les conditions aux limites prépondérantes sont celles de la surface libre et de l'imperméabilité sur la surface de la colonne, respectivement les conditions (IV), (V) et (II.a). Elles ne sont malheureusement pas vérifiables simultanément, d'une manière rigoureuse, par ces différentes solutions. On ne retiendra, en fait, que les solutions qui vérifieront simultanément d'une manière rigoureuse la condition (II.a) et d'une manière asymptotique celles de (IV) et (V) combinées ensemble (condition de Poisson).

Ainsi: ◦ µ = 0 : conduit à des fonctions de Hankel à argument complexe {(i.σ/ν)1/2.r}; comme les

expressions des vitesses irrotationnelles ne contiennent que des fonctions de Hankel à argument réel (kr), la condition aux limites (II.a) ne peut être vérifiée. Ceci exclut la valeur µ = 0 des valeurs possibles pour les solutions simultanées de ces équations différentielles.

◦ µ ≠ 0: sachant que les expressions des vitesses irrotationnelles contiennent des fonctions

hyperboliques à argument réel (kz) et des fonctions de Hankel à argument réel (kr), pour que les solutions de ces équations différentielles vérifient rigoureusement la condition (II.a) et asymptotiquement celles (IV) et (V) prises ensemble, il faudrait µ = k2 pour obtenir des fonctions hyperboliques comme solutions de l'équation différentielle (II.b.2). En effet si µ = -k2, on obtiendrait comme solutions des fonctions circulaires à argument (kz), et la condition (II.a) ne serait pas vérifiée pour toutes valeurs de z.

De même que l'équation différentielle (II.b.1) conduirait à une solution en fonctions modifiées de Bessel de 1ère et 2ème espèce et non en fonctions de Hankel. Ceci exclut les valeurs négatives de µ comme valeurs susceptibles de donner des solutions qui vérifieront les conditions aux limites exigées.

Par conséquent: ◦ µ < 0 : les valeurs comme -k2, (-k2 ± i.σ/ν), conduisent à des solutions qui ne vérifient pas la

condition (II.a).



◦ µ > 0 : les valeurs comme (k2 ± i.σ/ν) ne vérifient pas les conditions (IV) et (V) prises ensemble, par contre la valeur µ = k2 vérifie, simultanément, d'une manière rigoureuse la condition (II.a) et d'une manière asymptotique celle de la surface libre. C'est cette valeur de µ qu'on retient pour la suite des développements.

En coordonnées polaires pour 0 < θ/2 < π/4, en posant ρ = (k4 + σ2/ν2)1/2 et θ = arctg (σ/ν .k2), (µ = k2) permet d'écrire successivement:

)/ik(s 22 νσ+= ⇒ 2/i2/1 e.s θρ=

Par conséquent:

2/1222/1222/12 }{}{ /R..i)kR(/r..i)kr(kr)/.ik(.rsr νσ+>νσ+⇒>νσ+=

Dès lors, pour r → ∞ ;

0ti)1(n e.)sr(H →σ− et ∞→σ− ti)2(

n e.)sr(H

De même que 0ti)1(n e.)sr(H →σ− plus rapidement que ti)1(

n e.)kr(H σ− .

Ainsi en tenant compte des conditions aux limites (I) et (III) et de la symétrie de révolution cylindrique (en θ), la solution de l'équation différentielle paramétrique en µ de Bessel pour µ = k2, conduit à l'expression de Vz.

Elle s'exprime sous la forme:

∑ θ=∞

=

σ−

0n

tinnz e.)n(cos.)sr(H.D.)kz(shV

Où )sr(Y.i)sr(J)sr(H nnn += est la fonction de Hankel du 1ère espèce à argument complexe (sr).

De la même manière, les expressions de Vr et Vθ sont obtenues en résolvant les équations différentielles paramétriques en µ de Bessel correspondant à chacune d'elles, par les conditions aux limites mentionnées; ainsi:

∑ θ+=∞

=

σ−−+

0n

ti1nn1nnr e.)n(cos.)sr(H.C)sr(H..)kz(chV }B{

∑ θ−=∞

=

σ−−+θ

0n

ti1nn1nn e.)n(sin.)sr(H.C)sr(H..)kz(chV }B{

L'équation de continuité écrite en coordonnées cylindriques

01

zVV

.rr

VrV zrr =

∂

∂+

θ∂

∂++

∂

∂ θ

implique pour tout θ, égalité des n et conduit à la relation )CB(.ksD nnn −−= , ce qui permet de

récrire l'expression de Vz sous la forme:

∑ θ−−=∞

=

σ−

0n

tinnnz e.)n(cos.)sr(H.}CB{.)kz(sh.

ksV

Les conditions aux limites (IV) et (V), combinées ensemble, pour z = d se réduisent à :

tp

}zV

{t

..2t

.tp z

0 ∂

∂=

∂

∂

∂

∂µ−

∂

η∂ω−

∂

∂



En y introduisant t

.p∂

∂ρ=

φ , on obtient:

tinnn0

n2 e.)n(cos.)kr(H.A)kr(J..i..)kd(ch..tp }{2 σ−θ+ρσ−=∂

∂φ

tinnn0

n0 e.)n(cos.)kr(H.A)kr(J..i.{.)kd(sh.k{. }2 σ−θ+ω+ φ

tinnn e.)n(cos.)kr(H.CB{.)kd(sh.

ks } σ−θ−+

tinnn0

n2 e.)n(cos.nCnB.)kd(ch.s)kr(H.A)kr(J..i..)kd(ch.k...i. }{ )sr(nH.}{}{22 σ−θ−++σµ− φ

Comme pour r → ∞ , 0ti)1(n e.)sr(H →σ− plus rapidement que ti)1(

n e.)kr(H σ− et que

tp∂

∂ balance la partie visqueuse de la houle incidente (par hypothèse), c'est-à-dire:

}{ tinnn0

n2 e.)n(cos.)kr(H.A)kr(J..i..)kd(ch.k..i..tp }{22 σ−θ+σµ−=∂

∂φ

On aboutit à la relation: 0{.....})kd(sh.k.{.......})kd(ch.. 02 =ω+ρσ , donc )kd(th.k.g2 =σ comme dans

la solution non visqueuse.

De même que les autres conditions aux limites de la surface libre sont asymptotiquement vérifiées. Les coefficients An, Bn et Cn des expressions ainsi établies se déterminent par les conditions aux limites (II.a) qui en posant 0

nnn .i.m φε−= avec ε0 = 1 et εn = 2 pour n = 1, 2, 3, …., n, ainsi que i2 = -1,

conduisent aux relations:

)kR(J.m)sR(H.C.k

)sR(H.B.k

)kR(H.A 'nn1nn1nn

'nn

11=−− −+

)kR(J.m)sR(H.C.nR)sR(H.B.

nR)kR(H.A nn1nn1nnnn =−+ −+

)kR(J.m)sR(H.C.ks)sR(H.B.

ks)kR(H.A nnnn2nn2nn =−+

En posant:

[ ] )sR(H).sR(X.kRn)sR(H).sR(H).kR(X.k)sR(H).sR(H).kR('X.s)kR(XD 2

n2

2

1n1nn'nn −+= −+

Où X(kR) représente une fonction de Bessel Jn(kr) ou de Hankel Hn(kr) dont J'n(kr) et H'n(kr) sont leur dérivée respective par rapport à r définie précédemment.

La résolution du système de trois équations à trois inconnues (An, Bn et Cn) conduit aux relations:

[ ][ ])kR(HD

)kR(JD.mA

nn

nnnn =

[ ])kR(HD/)}sR(H.Rs.n)sR(H.k{.

kR.m.iB nnn1n

2nn −

π= −

[ ])kR(HD/)}sR(H.Rs.n)sR(H.k{.

kR.m.iC nnn1n

2nn −

π= +

[ ])kR(HD/)}sR(H.k{.kR.m.i.2}CB{ nn

'n

2nnn π=−



En introduisant ces relations dans les expressions correspondantes on obtient les expressions finales des vitesses irrotationnelles V(i) et des vitesses rotationnelles V(r) : ▫ Les vitesses irrotationnelles


0n

'nn

)i(r

σ−θ−∑=∞

=


V }{ nnnnn0n

nn)i( σ−θ−∑−=

∞

=θ


nn)i(

zσ−θ−∑=

∞

=


[ ] [ ]ti

nnnn

2

0n1n1n1n1n

2n

)r(r e.




=−+−+

θ−∑ +

π=

[ ] [ ]ti

nnn

'n

0n1n1n1n1n

2n

)r( e.)kR(HD)n(sin.)sR(H).sr(H.



=−+−+θ

θ−∑ −

π−=

[ ]ti

nn

'nn

0nn

)r(z e.


kR.)kz(sh.sk.i.2V σ−∞

=

θ∑

π−=

§ Le potentiel radié (rayonnement)

Le potentiel radié φR se détermine, comme dans le cas de la solution non visqueuse en résolvant ∇ 2φR = 0, en coordonnées cylindriques, par la méthode de séparation des variables et en appliquant les conditions aux limites (I) et (III), avec la symétrie de révolution cylindrique, à la solution paramétrique de l'équation différentielle de Bessel obtenue

Comme précédemment, le paramètre µ détermine la forme des différentes solutions; µ = 0

conduisant à une solution triviale, seules les valeurs µ ≠ 0 conduisant solutions qui, après l'application des conditions aux limites (I) et (III), s'écrivent respectivement:

o Cas µ > 0; (µ = l2

m)

)n(cos.)zl(ch.)rl(H.D0n

mmnm,n1m

R θ∑∑=Ψ∞

=

∞

=

o Cas µ < 0; (µ = -λ2m)

)n(cos.)z(cos.)r(K.E0n

mmnm,n1m

R θ∑ λλ∑=Ψ∞

=

∞

=

des séries sous signe de double sommation en met n. Le potentiel φR est alors, une combinaison de ces deux ΨR, telle que:

ti

0mmmR e..C σ−∞

=∑= ψφ

Les conditions aux limites (IV) et (V), combinées ensemble, conduisent pour chaque solution

de ΨR aux expressions:

o ΨR (µ > 0) 0)dl(th.l.g mm

2 =−σ pour m = 1, 2, ….., ∞ .

Par conséquent, par unicité de la solution en lm = k; k sera la solution de l'équation bien connue )kd(th.k.g2 =σ , c'est-à-dire, de la formule de fréquence de la houle en profondeur finie.



o ΨR (µ < 0) 0)d(tg..g mm

2 =λλ+σ pour m = 1, 2, ….., ∞ .

Par conséquent, par multiplicité de solutions; λm = km où les km seront des racines positives, successivement croissantes de l'équation )dk(tg.k.g mm

2 −=σ qui sont précédemment obtenues, au cours de la solution non visqueuse du φR. ▫ Les vitesses rotationnelles

La résolution de l'équation du mouvement du fluide (I.a.1) avec ∇ .V(r) = 0, par la méthode de séparation des variables, en coordonnées cylindriques, conduit à l'équation différentielle paramétrique en µ de Bessel. Comme dans le cas de la solution visqueuse de diffraction, les mêmes critères de choix des valeurs de µ, dans le souci de vérifier les conditions aux limites (rigoureusement sur la surface de la structure cylindrique et asymptotiquement à la surface libre), on aboutit aux expressions suivantes des vitesses rotationnelles : o Cas µ > 0; (µ = l2

m), en posant 2/12mm )/il(s νσ+=

ti

0nm1nm,nm1nm,nm

1m

)r(r e.)n(cos.)rs(H.C)rs(H.B.)zl(chV }{ σ−∞

=−+

∞

=θ∑ +∑=

ti

0nm1nm,nm1nm,nm

1m

)r( e.)n(sin.)rs(H.C)rs(H.B.)zl(chV }{ σ−∞

=−+

∞

=θ θ∑ −∑=

ti

0nmnm,nm,nm

m

m

1m

)r(z e.)n(cos.)rs(H.}CB.)zl(sh.

lsV { σ−∞

=

∞

=θ∑ −∑−=

o Cas µ < 0; (µ = -λ2

m), en posant 2/12mm )/i(q νσ−λ=

ti

0nm1nm,nm1nm,nm

1m

)r(r e.)n(cos.)rq(K.G)rq(K..)z(cosV }F{ σ−∞

=−+

∞

=θ∑ +λ∑=

ti

0nm1nm,nm1nm,nm

1m

)r( e.)n(sin.)rq(K.G)rq(K..)z(cosV }F{ σ−∞

=−+

∞

=θ θ∑ −λ∑=

ti

0nmnm,nm,nm

m

m

1m

)r(z e.)n(cos.)rq(K.}G.)z(sin.qV F{ σ−∞

=

∞

=θ∑ +λ

λ∑=

Les expressions de φR et des vitesses rotationnelles ainsi obtenues vérifient les conditions

aux limites imposées, respectivement:

02 =∇ φ ; 00zR }{z

=∂

∂=

φ ;

)r(2)r(

Vt

V∇ν=

∂

∂ ; 0)r(

V. =∇ ; 00z)r(

z }{V ==

r → ∞ ⇒ ∞→φR ; 0)r(

V → Par contre, la condition de la surface libre n'est vérifiée qu'asymptotiquement par le biais

des relations: )kd(th.k.g2 =σ et )dk(tg.k.g mm

2 −=σ

Où k est la valeur unique de lm et km sont les racines positives successivement croissantes de la relation pour λm = km.



Ces relations découlent de (conditions aux limites (IV) et (V) combinées ensemble):

0z

... R0R

2 =∂

∂ω+ρσ−

φφ en z = d

Du fait que, par hypothèse, tp∂

∂ balance }z

{t

..22R

2

∂

∂

∂

∂µ

φ et que pour r → ∞ , }V.zV...i.2{ )r(

z0

)r(z ω−∂

∂σµ

tend plus rapidement vers zéro que }z

...{ R0R

2∂

∂ω+ρσ−

φφ , car pour r → ∞ comme rkrs mm ≥ et ainsi

que rkrq mm ≥ , les fonctions timn e.)rs(H σ− et ti

mn e.)rq(K σ− tendent plus rapidement vers zéro que les

fonctions timn e.)rk(H σ− et ti

mn e.)rk(K σ− .

◦ Détermination des coefficients Les coefficients Dn, Bn, Cn et En, Fn, Gn des expressions obtenues sont déterminés par les

conditions aux limites sur 1a surface de la structure (II.b).

Comme les expressions obtenues pour µ > 0 et µ < 0 sont des séries complètes et orthogonales en z (corollaire du théorème de Sturm-Liouville), les conditions aux limites (II.b) écrites, pour φR et les vitesses rotationnelles, sans facteur du temps e-iσt, et après avoir effectué les développements en cosinus de la série de Fourrier des termes dépendants de θ, on obtient respectivement, avec les notations de 1a solution non visqueuse, les relations:

o µ = l2

m

)dl(Q.l)t(.)Rs(H.C)Rs(H.B)Rl(H.l.D m

mm0mm2mm

'1mm 2

α=++−

)dl(Q.l)t(.)Rs(H.C)Rs(H.B)Rl(H.l.D.

R mm

m0mm2mm1mm 21 α

−=−+

0)Rs(H.}CB{.ls)Rl(H.l.D m1mmm

mm1mm =−+

o µ = -λ2

m

)d('Q.)t(.)Rq(K.C)Rq(K.F)R(K..E mm

m0mm2mm'1mm 2 λ

λ

α=++λλ−

)d('Q.)t(.)Rq(K.G)Rq(K.F)R(K..E.R m

mm0mm2mm1mm 2

1λ

λ

α−=++λλ

0)Rq(K.}GF{.q)R(K..E m1mmm

mm1mm =+

λ+λλ

où )t(α est pris sans facteur temps tie σ− .

Dès lors:

[ ])Rl(HD/)Rs(H.)Rs(H.s.)dl(Q.l)t(.D m11m2m1mm2

mm 2

α=

[ ])Rl(HD/)Rl(H.)Rs(H.s.)dl(Q.l)t(B m11m2m1mm

mm

α= −

[ ])Rl(HD/)Rs(H.)Rl(H.l.2)Rl(H.)Rs(H.s.)dl(Q.l)t(C m11m2m1mm2m1mm

mm }{ −

α= −

[ ])Rl(HD/)Rs(H.)Rl(H.)dl(Q.)t(.}CB{ m11m2m1mmm 2 α−=−



Avec:

[ ] )Rs(H.)Rl(H.Rl

)Rs(H.)Rs(H.)Rl(H.l)Rs(H.)Rs(H.)Rl(H.sRl(HD m21m12

mm0m2m1mm1m

'1m

'1mm11

1−+=

Et

[ ])R(KD/)Rq(K.)Rq(K.q.)d('Q.)t(.E m11m2m1mm2m

m 2 λλλ

α=

[ ])R(KD/)R(K.)Rq(K.q.)d('Q.)t(B m11m2m1mmm

m λλλλ

α= −

[ ])R(KD/)Rq(K.)R(K..2)R(K.)Rq(K..)d('Q.)t(C m11m2m1mm2m1mmm

m }q{ λλλ−λλλ

α=

[ ])R(KD/)Rq(K.)R(K.)d('Q.)t(.}GF{ m11m2m1mmm 2 λλλα−=+

Avec:

[ ] )Rq(K.)R(K.R

)Rq(K.)Rq(K.)R(K.)Rq(K.)Rq(K.)R(K.qR(KD m21m12

mm0m2m1mm1m

'1m

'1mm11

1λ

λλ−λ=λ −λ

Les coefficients ainsi obtenus, introduits dans les expressions sous forme de séries de ΨR et

des vitesses rotationnelles, pour µ > 0 et µ < 0, permettent d'écrire:

ti

0mmmR e..C σ−∞

=∑= ψφ et ti

0m

)r(mm

)r( e.V.NV σ−∞

=∑=

qui sont en fait des combinaisons des séries respectives établies.

Ainsi, on obtient les vitesses rotationnelles:

ú θ∑+α=∞

=cos.)zk(cos.)rq(g)kz(ch).sr(g).t(.V }{ m

1mmm0

)r(r 2

Où

[ ])kR(HD/)sr(H).sR(H).kR(H.k)sr(H).sR(H).kR(H.r.

k)kd(Q)sr(g 110211120 }{1 −−=

[ ])Rk(KD/)rq(K).Rq(K).Rk(K.k)rq(K).Rq(K).Rk(K.r

.k

)dk('Q)rq(g m11m2m2m1mm1m1m2m

mmm }{1 +−=

ú θ∑+α=∞

=θ sin.)zk(cos.)rq(h)kz(ch).sr(h).t(.V }{ m

1mmm0

)r( 2

Où

[ ])kR(HD/)sr(H).sR(H).kR(H.k)sr(H).sR(H).kR(H..k)kd(Q)sr(h 11021

'1120 }s{ −=

[ ])Rk(KD/)rq(K).Rq(K).Rk(K.k)rq(K).Rq(K).Rk(K.q.k

)dk('Q)rq(h m11m0m2m1mm'1m1m2m

m

mmm }{ +=

ú θ∑+α=∞

=cos.)zk(sin.)rq(p)kz(sh).sr(p).t(.V }{ m

1mmm0

)r(z 2

Où

[ ])kR(HD/)sr(H).sR(H).kR(H.k)kd(Q)sr(p 111210 s=

[ ])Rk(KD/)rq(K).Rq(K).rk(K.q.k

)dk('Q)rq(p m11m1m2m1mm

mmm −=



Avec: 2/12 )/.ik(s νσ+= ; 2/12

mm )/.ik(q νσ−= ; ti0 e.)t( σ−α=α

})kd(ch)kd(sh.kd{)kd(N 11 +−= ; })dk(cos)dk(sin.dk{)dk(N 1mmmm'1 −+=

)}kd(ch).kd(shkd/{)kd(N)kd(Q 1 += ; )}dk(cos).dk(sindk/{)dk(N)dk('Q mmmm'1m +=

Et le potentiel radié:

ú θ∑+α=∞

=φ cos.)zk(cos.)rk(f)kz(ch).kr(f).t(. }{ m

1mmm0R 2

Où

[ ])kR(HD/)kr(H).sR(H).sR(H).kd(Q.ks)kr(f 1112120 =

[ ])Rk(KD/)rk(K).Rq(K).Rq(K).dk('Q.kq)kr(f m11m1m2m1m2m

mm =

§ Le potentiel et les vitesses résultants

Dès lors en cas de fluide réel le potentiel résultant est donné par l'expression:

[ ][ ]

ti

0n nn

nnnnnT e.cos}.

)kR(HD)kR(JD).kr(H)kr(J.{m).kz(ch σ−∞

=θ∑ −−=φ

∑ θ+α+∞

=1mmmm0 cos)}.zk(cos).rk(f)kz(ch).kr(f).{t(.2

Et les vitesses résultantes par les expressions:

)i(r

)r(r

Tr VV

rV ++

∂

∂−=

φ ; )i()r(T VVr

V 1θθθ ++

θ∂

∂−=

φ ; )i(z

)r(z

T VVz

V ++∂

∂−=

φθ

D'une manière explicite:

ú [ ] [ ] tie).n(cos.)kR(HD/)kR(JD).kr(H.)kr(J.m).kz(ch.kV }{ nnnn'n

0n

'nnr

σ−θ−∑=∞

=

[ ] [ ]ti

nnnn

2

0n1n1n1n1n

2n e.



kR.)kz(ch.i }{ σ−∞

=−+−+

θ−∑ +

π+

θ∑+α+∞

=cos.)zk(cos.)rq(g)kz(ch).sr(g).t(. }{ m

1mmm02

ú [ ] [ ] ti1 e).n(sin.)kR(HD/)kR(JD).kr(H.)kr(J.m.n).kz(ch.r

V }{ nnnnn0n

nnσ−θ−∑−=

∞

=θ

[ ] [ ]ti

nnn

'n

0n1n1n1n1n

2n e.

)kR(HD)n(sin.)sR(H).sr(H.


kR.)kz(ch.i }{ σ−∞

=−+−+

θ−∑ −

π−

θ∑+α+∞

=sin.)zk(cos.)rq(h)kz(ch).sr(h).t(. }{ m

1mmm02

ú [ ] [ ] tie).n(cos.)kR(HD/)kR(JD).kr(H.)kr(J.m).kz(sh.kV }{ nnnnn

0nnnz

σ−θ−∑=∞

=

[ ]ti

nn

'nn

0nn e.


kR.)kz(sh.sk.i.2 σ−∞

=

θ∑

π−

θ∑+α+∞

=cos.)zk(sin.)rq(p)kz(sh).sr(p).t(. }{ m

1mmm02



Annexe II • Diagrammes (Réf.146)

Diagrammes des coefficients de la formule de Morrison CI et C*D (linéarisé) en fonction de kR, obtenus pour une structure cylindrique (colonne) ayant un rapport D/a = 10 (diamètre D sur l'amplitude de la houle a) et une facteur ω = (Q/I) 1/2 variant de 1,6 à 3,6, où I le moment d'inertie de la colonne par rapport à la rotule de base et Q le moment de redressement dû à la flottabilité de la colonne donné par l'expression:

OG.POB.d.R..Q 20 −πω=

Où selon (Fig.IV.7):

P : le poids de la structure (kgf); OG : la distance du centre de gravité à la rotule O; OB : la distance du centre de la carène à la rotule O.

§ Structure cylindrique (colonne) fixe: Coefficients hydrodynamique CI et CD

*



§ Structure cylindrique (colonne) oscillante: Coefficients hydrodynamique CI et CD*





Annexe III

• Equations en coordonnées cylindriques et sphériques

§ Equation de Navier-Stokes

▫ Coordonnées cylindriques x, r, θ

▫ Coordonnées sphériques r, θ, φ



• Relations entre vitesse, potentiel et fonction de courant

u est la vitesse, φ le potentiel et Ψ est la fonction de courant.

§ Ecoulement bidimensionnel

▫ Coordonnées cartésiennes

▫ Coordonnées polaires

§ Ecoulement tridimensionnel

▫ Coordonnées cartésiennes

▫ Coordonnées polaires

§ Ecoulement tridimensionnel avec symétrie de révolution

▫ Coordonnées cylindriques x, r, θ

▫ Coordonnées sphériques r, θ, φ

Houles fondamentales et Effets hydrodynamiques B-R 1 Bibliographie - Références


Bibliographie - Références

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Houles fondamentales et Effets hydrodynamiques N. 1 Nomenclature - Unités


Nomenclature - Unités

Houles fondamentales p Pression Kgf/m2 pa Pression atmosphérique Kgf/m2 ν Viscosité cinématique m2/s µ Viscosité dynamique Kgfxs/m2

F Forces extérieures Kgf L Longueur d'ondes m a Amplitude de l'onde m H Hauteur de l'onde (2.a) m T Période s k Nombre d'ondes (2.π /L) m-1

σ Coefficient de dispersion, fréquence (2.π /T) s-1 (hertz) c Vitesse de propagation (L/T) m/s cg Vitesse de groupe m/s d Profondeur de l'eau m γ Cambrure de l'onde (H/L) - u Vitesse des particules dans la direction de l'axe des x m/s v Vitesse des particules dans la direction de l'axe des y m/s w Vitesse des particules dans la direction de l'axe des z m/s η Surface libre m φ Potentiel des ondes m2/s ψ Ligne de courant m2/s R Rayon de la trajectoire des particules (houle de Gerstner) m ξx Position des particules (axe des x) m ξ z Position des particules (axe des y) m Rx Demi-axe des trajectoires des particules (axe des x) m Rz Demi-axe des trajectoires des particules (axe des x) m E Energie de l'onde Kgfxm/s EP Energie potentielle Kgfxm/s Ec Energie cinétique Kgfxm/s W Travail effectué par l'onde sur une période Kgfxm cn Cosinus elliptique - ch Cosinus hyperbolique - sh Sinus hyperbolique - th Tangente hyperbolique - sin Sinus (fonction circulaire) - cos Cosinus (fonction circulaire) - tg Tangente (fonction circulaire) - HS Hauteur significative de l'onde (théorie spectrale) m H1/3 Hauteur significative de l'onde (théorie spectrale) m HMQ Hauteur moyenne quadratique m H Hauteur moyenne statistique m

T Période moyenne s Tp Période des pics - η ou µη Elévation moyenne de la surface libre m

ηMQ Elévation quadratique de la surface libre m ση Déviation standard de l'élévation de la surface libre - 2ησ Variance de l'élévation de la surface libre -

E{η} Valeur probable de l'élévation de la surface libre - Rη Fonction d'autocorrélalion ou d'autocovariance - R Coefficient de corrélation croisée ρη Coefficient d'autocorrélalion ou d'autocovariance - Tr Période d'enregistrement (longueur en durée) s TC Période des crêtes d'onde s



TZ Période zéro crossing s P(x) Fonction de distribution spectrale - p(x) Densité de distribution spectrale - ω Fréquence angulaire s-1

ωp Fréquence angulaire du pic s-1

γ Facteur d'irrégularité - S(ω) Densité spectrale d'énergie - S1 (ω) Densité spectrale d'énergie one sided - S2 (ω) Densité spectrale d'énergie two sided - ε Paramètre de la largeur spectrale - mi Valeur quadratique moyenne des amplitudes θ Angle d'incidence ° ou rad IB Nombre d'Irribarren (paramètre de déferlement) - Δ∞ Distance entre rayons successifs m κ Fonction de phase - KS Coefficient de shoaling KR Coefficient de réfraction Hi Hauteur de la vague incidente m Hr Hauteur de la vague réfléchie m Ui Coefficient de l'onde incidente - Ur Coefficient de l'onde réfléchie - α Inclinaison du fond (pente) ° ou rad φ (d) Fonction d'amortissement (onde réfléchie) - Ψ(α,θ) Fonction d'amortissement (réflexion au musoir) - Kr Coefficient de réflexion - ai Amplitude de la vague incidente m ar Amplitude de la vague réfléchie m ℜ e Partie réelle d'une fonction complexe - ℑm Partie imaginaire d'une fonction complexe -

Effets hydrodynamiques – Structures océaniques FHy Force hydrodynamique Kgf FD Force de traînée Kgf FI Force d'inertie Kgf FF Force de frottement Kgf FL Force de portance Kgf FFK Force de Froude-Krylov Kgf m Masse Kg ω Fréquence d'oscillation Hz. W Amplitude de l'orbite des particules fluides m KC, NKC Nombre de Keulegan-Carpenter - Re Nombre de Reynolds - φ Le potentiel m2/s φ I Le potentiel incident m2/s φD Le potentiel diffracté m2/s φR Le potentiel radié m2/s φT Le potentiel total (φ I + φD + φR) m2/s R Rayon du cylindre m D Diamètre du cylindre m G (P, P') Fonction de Green - Q Débit (fonction de Green) m3/s CI Coefficient de la force d'inertie (Morrison) - CD Coefficient de la force de traînée (Morrison) - C*

D Coefficient linéarisé de la force de traînée (Morrison) - d Profondeur de l'eau m Jn, Yn Fonctions de Bessel 1ère espèce - Kn Fonction de Bessel 2ère espèce - Hn Fonction de Hankel -



MR Moment de redressement de la structure Kgf x m α(t) Loi d'oscillations du cylindre (structure) rad )t(α Vitesse des oscillations Rad/s )t(α Accélération des oscillations Rad/s2

P Le poids de la structure Kgf I Moment d'inertie de la structure par rapport à la rotule m4

OB Distance de la rotule au centre de flottaison de la structure m OG Distance de la rotule au centre de gravité de la structure m ω0 Poids volumique Kgf/m3

V (r) Vitesses rotationnelles m/s V (i) Vitesses irrotationnelles m/s ν Viscosité cinématique m2/s µ Viscosité dynamique Kgfxs/m2

ε Viscosité turbulente m2/s g Accélération gravitationnelle terrestre m/s2

ρ Masse volumique Kgf.s2/m4

τ Contraintes du fluide Kgf/m2

REq Paramètre fréquence-viscosité -

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Houles Fondamentales Et Effets Hydrodyna