HRAVÁ MATEMATIKA 9Obsah obdélníku je 150 dm2 a strana a = 300 cm. Ze vzorce pro výpočet objemu válce vyjádři výšku a pak ji vypočítej. Objem válce je 157 cm3 a poloměr

JMÉNO

ŠKOLA

TŘÍDA ŠKOLNÍ ROK

HRAVÁ MATEMATIKA9

Pracovní sešit pro 9. ročník ZŠ

1. vydání, 2014

Vydal: Taktik International, spol. s r.o.,

P. O. BOX 326, Jindřišská 14, 111 21 Praha 1

Autoři: Mgr. Jana Presová, Mgr. Jana Davidová, Mgr. Dana Hermochová

Lektoři: Mgr. Alena Hronová, Mgr. Markéta Vlková, Ing. Květa Tošnerová

Spolupracovníci: RNDr. Ivana Šimurdová, Mgr. Monika Pavlíková, Mgr. Jan Podpěra, Mgr. Eva Slezáková,

Mgr. Michal Malík, Mgr. Alena Máslová

Grafická úprava: Bc. Marek Bárta, Jan Kubeš, MgA. Josef Tauš

Projektový manager: Ing. Valerián Stec

Produktový manager: Michaela Červená, Růžena Samková

Všechna práva vyhrazena. Kopírování a šíření tohoto díla i jeho části bez písemného souhlasu vydavatele je trestné.ISBN 978-80-87881-21-7

Úlohy označené mají vyšší náročnost.

I. OPAKOVÁNÍ Z 8. ROČNÍKU 2

II. SOUSTAVY ROVNIC 13

III. FUNKCE 27

IV. LOMENÉ VÝRAZY 43

V. OPAKOVÁNÍ Z GEOMETRIE 62

VI. PODOBNOST 72

VII. JEHLAN, KUŽEL, KOULE 80

VIII. GONIOMETRIE 93

IX. FINANČNÍ MATEMATIKA 105

2

Je dán zlomek 23 a smíšené číslo –225 . Podle pokynů v tabulce sestav příklady a vypočítej je.

Zachovej pořadí zlomků. Tyto výsledky uspořádej podle velikosti od nejmenšího k největšímu. Ve stejném pořadí pak zapiš slova u každého příkladu a vyjde ti tajenka.

Tajenka: .....................................................................................................................................

Najdi v nabídce nejmenší společné násobky a největší společné dělitele daných čísel.

a) n (9, 24) = D (9, 24) =

b) n (81, 270) = D (81, 270) =

c) n (72, 144, 180) = D (72, 144, 180) =

Která čísla zbyla? Když je sečteš, získáš tajný kód k trezoru.

Kód k trezoru je ...................... .

1.

4.

3 9 15 27 36 72 81 360 450 720 810 900 1440

Součet zlomků není

Rozdíl zlomků má ráda

Součin zlomků víc než 1

Podíl zlomků když tě ta

Podíl rozdílu a součinu zlomků 100

Součet rozdílu a součinu zlomků 1

2. Převeď zlomky na desetinná čísla.

3. Uprav složený zlomek na základní tvar.

1 – 1 = 3 – 2

6040

= 57125

=38

=

CELÁ ČÍSLA A ZLOMKY

72 3

810 27

720 36

3255

0,375 1,5 0,456

15

–11115

3 1 15

–135

– 5 18

–11112

1 7 15

100 není víc než 1, když tě ta 1 má ráda.

3

I. O

PAK

OV

ÁN

Í Z 8

. RO

ČN

ÍKU

Porovnej jednotlivé výsledky. Vypočítej.

30 % z 200 75 % z 80 25 % z 2 km = m

20 % z 45 90 % z 12 70 % z 5 t = kg

1 % z 500 25 % z 8 5 % z 86 kg = g

40 % z 70 70 % z 40 12 % z 1 100 l = hl

Na narozeninovou párty připravujeme koktejly. Ze smetany, ananasového džusu a kokosového sirupu chceme vyrobit 3,4 l Virgin Colady. Koktejl obsahuje 17 % smetany, 20 % kokosového sirupu. Kolik ml jednotlivých složek koktejl obsahuje?

Změň číslo v daném poměru. Nejprve rozhodni, zda se číslo zvětší nebo zmenší.

Délky stran trojúhelníku ABC jsou v daných poměrech. Vyjádři je postupným poměrem.

a : b = 5 : 4 b : c = 3 : 4

Mozek vorvaně patří mezi největší savčí mozky. Jeho hmotnost je 9 kg. Vzhledem k hmotnosti sloního mozku se dá vyjádřit poměrem 3 : 2. Poměr hmotnosti lidského mozku vzhledem ke slonímu je 1 : 4. V jakém poměru je hmotnost lidského mozku vzhledem k vorvaňovu mozku? Urči hmotnost lidského mozku.

1. 2.

3.

5.

4.

6.

Původní číslo Poměr Zvětšení / zmenšení Výsledné číslo

100 2 : 8

3 4 : 5

4,5 9 : 3

24 12 : 2

POMĚR A PROCENTA

=

<

>

=

500

1,32

3500

4300

smetana 578 ml

kokos. sirup 680 ml

ananas. džus 2142 ml

25

2,4

13,5

144

a : b : c = 15 : 12 : 16

Hmotnosti lidského a vorvaňova mozku jsou v poměru 1 : 6.

Hmotnost lidského mozku je 1,5 kg.

zmenší se

zmenší se

zvětší se

zvětší se

4

Vypočítej a výsledky seřaď podle velikosti od nejmenšího po největší.

a) (–1)7 = c) –62 = e) (–4)2 = b) 23 = d) (–2)3 = f) · 92 =

..................................................................................................................................

Vypočítej. Pak příklady se stejnými výsledky zapiš do bublin. a) (–1)5 = d) –40 = g) (–6)0 =

b) (–1)8 = e) – (–1)5 = h) –14 =

c) 70 = f) 18 = i) (–2)0 =

Vypočítej příklady bez použití kalkulačky.

a) (√64 · √9) : 4 = c) · · =

b) √0,36 : 0,1 = d) =

Vypočítej co nejjednodušším způsobem. Výsledek zapiš ve tvaru mocniny.

a) = c) – 4 · ( – )3 2 =

b) 25 · 54 · 125 =

Jsou následující rovnosti pravdivé?

a) √3,58 + √2,42 = √6

b) √5 · √4 = √20

c) √50 – √14 = √50 – 14

d) 22 + 52 = (2 + 5)2

Monika má zrcadlo ve tvaru čtverce, které zakrývá 665,64 cm2 stěny pokoje. Jak dlouhá je jedna strana zrcadla?

1.

2.

3.

4.

5.

6.

35 · 37

3612

12

1–1

MOCNINY A ODMOCNINY

516

425

209

52 · √4 · 9√32 · (– √100)

ANO NE

–1

8

–36

–8

16

27

–36, –8, –1, 8, 16, 27

–1

1

1

1

–1

1

–1

1

1

A, H, D B, C, E, F, G, I

6

6

13

–5

36

59

1

×

×

×

×

Strana zrcadla je dlouhá 25,8 cm.

5

Urči, jaká je výška stanu s přední stěnou tvaru rovnoramenného trojúhelníku, jehož šířka je 3,8 m a boční hrana má 2,6 m.

1.

2.

3. Matěj si chce koupit nový tablet. U tabletu ve tvaru obdélníku se stranami 13 cm a 18 cm prodejce tvrdí, že má úhlopříčku dlouhou přesně 22 cm. Matějovi se to nezdá. Ověř, jestli má prodejce pravdu.

4.

Vypočítej přeponu.

a) a = 5,5 cm; b = 4,8 cm; c = ..........

Vypočítej odvěsnu.

b) x = 2,9 dm; y = 5,6 dm; z = ..........

Vypočítej třetí strany trojúhelníků tak, aby byly pravoúhlé. Bude-li potřeba, výsledky zaokrouhli na dvě desetinná místa.

5. Je dán kvádr s podstavou 7 cm x 3,9 cm a tělesovou úhlopříčkou 9 cm. Urči výšku kvádru a délku úhlopříčky podstavy. Výsledky zaokrouhli na jedno desetinné místo.

Zjisti, které trojúhelníky jsou pravoúhlé. a) a = 2,5 cm; b = 3,4 cm; c = 4,9 cm

b) k = 6 cm; l = 6,1 cm; m = 1,1 cm

c) o = 4,4 cm; p = 3,1 cm; q = 2,9 cm

d) x = 1,5 dm; y = 0,8 dm; z = 1,7 dm

UŽITÍ PYTHAGOROVY VĚTY

I. O

PAK

OV

ÁN

Í Z 8

. RO

ČN

ÍKU

Výška strany je 1,8 m.

není pravoúhlý

je pravoúhlý

není pravoúhlý

je pravoúhlý

u = 22,2 cm

Prodejce nemá pravdu.

c = 7,3 cm z = 4,8 dm

Výška kvádru je 4,1 cm a délka úhlopříčky podstavy je 8 cm.

6

1. Zapiš výrazem, kolik každý z chlapců měří, jestliže Petr měří x cm. Potom vypočítej jejich výšky, když víš, že Petr měří 178 cm.

Kuba je o 3 cm vyšší než Petr.

Milan je o 15 cm menší než Kuba.

Hynkova výška zvětšená o 172 cm je rovna dvojnásobku výšky Petra.

6. Poloměr kruhu na obrázku je 8 cm.

a) Vypočítej délku strany, obvod a obsah červeně ohraničeného čtverce.

b) Vypočítej obsah zeleně ohraničeného čtverce.

2. Zjednoduš výrazy.

VÝRAZY A MNOHOČLENY

a) 2x 2+ 3x – 5 – 7y + 4x + 6 – 2y =

b) 12x – 8(2x + 3y ) + 36y =

c) 17y 2– 15y + 4 – 22x + 16 – 9 + 4x =

d) (2x – 3y)(x 2+ 5) + 3(x 2y + 5y ) + x 3 – 5x =

S =́ 64 cm2, a =́ 8 cm, o =́ 32 cm

S = 128 cm

(x + 3) cm

(x – 12) cm

(2x – 172) cm

Kuba: 181 cm

Milan: 166 cm

Hynek: 184 cm

2x2 + 7x – 9y + 1

–4x + 12 y

17y2 – 18x – 15y + 11

3x2 + 5x

7

Spoj výrazy, které jsou si rovny.

(a – 1) · (a + 2) (a – 3) · (a + 1) (a – 3) · a + 4 a · (a + 1) – 2 a · (a – 2) – (a + 4)

a2 – 3a – 4 a2 + a – 2 a2 – 2a – 3 a2 – 3a + 4 a2 – a – 2

Rozlož výrazy na součin mnohočlenů.

a) x 2 – 2x + 1 = c) 9x 2 + 24xy + 16y 2 =

b) a2 + ab – 3a – 3b = d) a4 – a6 =

Vyřeš rovnice a proveď zkoušky.

a) 5(x – 2) – 7(x + 1) = 3(1 – 2x)

b) (2x – 3) (x + 2) = 2(x 2 – 1) + 4x – 7

c) – – = 1,2

3.

4.

1.

3x – 45

x + 26

2x3

LINEÁRNÍ ROVNICE

I. O

PAK

OV

ÁN

Í Z 8

. RO

ČN

ÍKU

(x – 1)2

(a + b) (a – 3)

(3x + 4y)2

a4 (1 – a) (1 + a)

x = 5

L = P = –27

x = 1

L = P = –3

x = –10

L = P = 1,2

8

2.

3.

4.

5.

Zjisti, pro která x ∈ {–1; 0; 1; 3; 5} jsou si výrazy 3x – 6ax 2 – 2x – 6 rovny.

Tři studentky si na letní brigádě dohromady vydělaly 1 780 Kč. Částku si rozdělily podle toho, jak dlouho pracovaly. Pavlína dostala o třetinu méně než Hanka. Eva dostala o sto korun méně než Hanka. Kolik dostala každá z nich?

Neoprenové tričko bylo zlevněno o 100 Kč. Původní cena trička zvýšená o 1 Kč je šestkrát vyšší než výše slevy. Kolik stálo tričko před zlevněním a kolik po zlevnění?

Kamarádi o víkendu hráli paintball. Vendelín během 10 minut vystřílel polovinu kuliček

ze zásobníku. Za dalších deset minut přišel o 23 zbytku a za dalších pět minut vystřílel

i zbývajících 35 kuliček. Kolik kuliček měl Vendelín v zásobníku původně?

Výrazy jsou si rovny pro x = 0 a x = 5.

Před zlevněním stálo tričko 599 Kč a po zlevnění 499 Kč.

Hanka dostala 705 Kč, Pavlína 470 Kč a Eva 605 Kč.

Vendelín měl v zásobníku celkem 210 kuliček.

9

3.

4.

V užším výběru Miss World porotci zjišťovali barvu očí finalistek. Výsledky zapsali do následující tabulky. Urči modus.

Urči pravděpodobnost, že na hrací kostce padnou daná čísla.

a) číslo větší než 4 b) sudé číslo

Barva očí Hnědá Zelená Modrá Černá Šedá

Počet finalistek 12 5 3 4 1

1. Dvě stě žáků ze základní školy vyplnilo anketu, kterému z nabízených sportů se věnovali v životě nejvíce. Výsledky jsou znázorněny pomocí kruhového diagramu. Urči, kolik žáků se věnovalo jednotlivým sportům.

2. Nakresli sloupcový diagram k dané tabulce. Tabulka vyjadřuje, kolik telefonů určité značky se prodalo v elektroprodejně za měsíc. Vypočítej modus a medián značek prodaných telefonů. Kolik kusů telefonů se průměrně prodalo od jedné značky?

Značka Počet kusů

Samsung 20

Nokia 10

Siemens 15

Apple 30

Motorola 7

Sony 8

poče

t kus

ů

značka

florbal (20 %)

lyžování (36 %)

tenis (7,5 %)

plavání (14,5 %)

cyklistika (22%)

STATISTIKA A PRAVDĚPODOBNOST

I. O

PAK

OV

ÁN

Í Z 8

. RO

ČN

ÍKU

florbal 40 žáků

lyžování 72 žáků

tenis 15 žáků

plavání 29 žáků

cyklistika 44 žáků

Sam. Nok. Sie. App. Mot. Son.

Modus: hnědá

Pravděpodobnost je 1 Pravděpodobnost je 1 3 2

10

1.

2.

Tvoje spolužačka Vendula chce vysvětlit, jak se vyjadřuje neznámá ze vzorce. Co musí udělat nejdřív, aby ze vzorce x 3 – 2y 2 – 5 = 0 vyjádřila y ? Zapiš pořadí, ve kterém bude provádět jednotlivé kroky.

a) převede se na druhou stranu 2y 2

b) odmocní

c) vydělí rovnici dvěma

Ze vzorce pro výpočet obsahu obdélníku vyjádři stranu b a pak ji vypočítej. Obsah obdélníku je 150 dm2 a strana a = 300 cm.

Ze vzorce pro výpočet objemu válce vyjádři výšku a pak ji vypočítej. Objem válce je 157 cm3 a poloměr podstavy je 2 cm.

3.

Vyber správnou možnost.

a) Zakroužkuj vyjádření neznámé x ze vzorce. b) Zakroužkuj vyjádření neznámé y ze vzorce.

x 2 – 5y = 2 – x 2 2y – x =

• 1 + 2,5y • y = –

• • y =

• 2 + 5y : 2 • y =

Kruh i čtverec na obrázku mají stejný obsah. Vyjádři závislost délky strany čtverce a na poloměru kruhu r a pak závislost poloměru kruhu r na délce strany čtverce a.

4.

2 + 5y2

y2

2x3

2x3

2x + y4

5.

+ar

VYJÁDŘENÍ NEZNÁMÉ ZE VZORCE

1.

3.

2.

b = S

b = 50 cm

v = V

v = 12,5 cm

a πr2

a = π r

r = a π

11

Vypočítej a výsledek zapiš jako desetinné číslo.1.

Vypočítej a výsledky znázorni na číselné ose. 3.

Zoologická zahrada ve své výroční zprávě zveřejnila přehled chovaných zvířat z podkmene obratlovců.

2.

(2 14 + 35 ) · (1115 – 25 ) =

1 – 53

1 + 16 9

=

a) Doplň tabulku.

b) V jakém poměru jsou počty chovaných druhů ryb a obojživelníků? Poměr uprav na základní tvar.

c) Dokonči kruhový diagram.

–10 0 10

TřídaPočet kusů

chovaných druhůPočet chovaných

druhů v %

Ryby 45

Obojživelníci 6

Plazi 38 19

Ptáci 29,5

Savci 46

Celkem

ryby

obojživelníci

plazi

..................... .....................

6 %

19 %

29,5 %

23 =

–32 =

–(–1)6 = 23 · 25 =

√ 0,25 = √50 · √2 =

27 2

SOUHRNNÝ TEST

a)

b)

I. O

PAK

OV

ÁN

Í Z 8

. RO

ČN

ÍKU

0,95

–2,4

22,5

100

23

12

59

200

Ryby a obojživelníci jsou chované v poměru 15 : 4.

ptáci

savci

22,5 %

23 %

–9 –1 0,5 2 5 8× ×× × × ×

12

Z jedné obdélníkové desky chce truhlář vytvořit dvě stejné desky tvaru trojúhelníku. Deska má rozměry 12 dm a 9 dm. Vypočítej délku řezu.

4.

Z každého vzorce pro obsah obrazce vyjádři proměnnou a. 8.

Uprav výrazy. O správnosti svého postupu se přesvědč dosazením za b = –3 do původního a upraveného výrazu.

5.

a) (b + 2) · (2b – 3) =

b) (b – 2)2 – b · (b – 3) =

Kastelán počítal návštěvnost hradu ve druhém čtvrtletí roku 2014. Zjistil, že v dubnu přišlo o 70 návštěvníků méně než v květnu a oproti červnu byla dubnová návštěvnost poloviční. Celkem v těchto třech měsících hrad navštívilo 870 lidí. Jaká byla návštěvnost v jednotlivých měsících?

6.

Ve skupině angličtinářů byli z písemného testu hodnoceni žáci těmito známkami:2, 1, 1, 3, 5, 2, 2, 1, 3, 1, 3, 1.

7.

Známka 1 2 3 4 5

Četnost

S = a · b

S = a · b

S = a2

S = a + c · v

2

2

a) Zapiš četnost známek do tabulky. c) Vypočítej aritmetický průměr známek

a výsledek zaokrouhli na setiny.

b) Urči medián a modus.

Délka řezu desky je 15 dm.

2b2 + b – 6 = –9

–b + 4 = 7

Návštěvnost byla v dubnu 200, v květnu 270 a v červnu 400 návštěvníků.

5 3 3 0 1Aritmetický průměr známek je 2,08.

Medián: 2 Modus: 1

a = Sa = 2S

a = 2S – ca = Sb

b

v

13

Rozhodni, zda se jedná o ekvivalentní úpravy rovnice.

K oběma stranám rovnice přičteme /odečteme stejné číslo.

Obě strany rovnice vynásobíme libovolným stejným číslem.

K levé straně rovnice přičteme libovolné číslo různé od nuly.

Od obou stran rovnice odečteme stejný mnohočlen.

Pravou stranu rovnice můžeme vynásobit číslem –1.

Obě strany rovnice můžeme vydělit stejným číslem různým od nuly.

Vypočítej rovnice a proveď zkoušku.

a) 9 m – 18 = 6 m – 42 b) · ( z + 6) = · ( z – 2)

Znak X označuje určitý stejný počet kusů jablek. Podle váhy zapiš rovnici, využij ekvivalentních úprav a z rovnice zjisti, kolik je X jablek. Proveď zkoušku.

Piráti si dělili ukradené zlaťáky. První dostal 1

zlaťáků, druhý 24 zlaťáků a třetí 40 % z celkového

počtu zlaťáků. Kolik zlaťáků piráti ukradli?

1.

2.

3.

4.

15

13

XX X

X

X

3

ANO NE

II. S

OU

STA

VY

RO

VN

IC

OPAKOVÁNÍ ZNALOSTÍ O ROVNICÍCH

×

×

×

×

×

×

m = –8

L = P = –90

z = 14

L = P = 4

x = 3

L = P = 13

X jsou 3 jablka.

Piráti uloupili 90 zlaťáků.

14

Najdi alespoň tři dvojice čísel x a y, které jsou řešením rovnice o dvou neznámých. Proveď zkoušku.

5x – 3y = 2

Doplň tabulku dvojic čísel tak, aby byly řešením rovnice 3x + 2y = 4.

Z každé rovnice postupně vyjádři obě neznámé.

Řeš soustavy rovnic a proveď zkoušku.

Urči, která z uspořádaných dvojic čísel je řešením obou rovnic.

x + y = 3 [2; 2] [1; 1] [2; 1] [1; 2] 3x – y = 5

1.

2.

3.

4.

5.

x – 2 0 –1

y –1 0

x = 2y – 6

x = 4 y – 10

a + b = 3

a – b = 1

CO JE TO SOUSTAVA ROVNIC

a) 3x + y =

x =

y =

7 b) m2

+ 3n =

m =

n =

5

VOŽ

5

2 11

2 3,5

3

7 – y3

10 – m6

7 – 3x

10 – 6n

[–2; 2] [2; 1]

15

II. S

OU

STA

VY

RO

VN

IC

Nacvič si výpočet soustavy rovnic metodou dosazovací. Jednu neznámou představuje a druhou neznámou představuje . Nejprve si vyjádři z první rovnice a potom ho dosaď do druhé rovnice. Proveď zkoušku.

+ = 9 =

3 · – 2 · = 2

Vypočítej soustavy rovnic metodou dosazovací. Urči, která soustava rovnic má jedno, žádné a nekonečně mnoho řešení. Pokud je to možné, proveď zkoušku.

a) 2x + y = 7 c) 2a – b = –13

3y + 5x = 17 6a – 3b = –7

b) y + = 3 d) = –2 y

+ = 1 = 2 – y

1.

2.

7 x – 1

28 x – 3

3

x

3y

3

x

9

DOSAZOVACÍ METODA

= 4

= 5

L1 = P1 = 9

L2 = P2 = 2

nemá řešení[4; –1]

L1 = P1 = 7

L2 = P2 = 17

nekonečně mnoho řešení

[a, 3 – a]; a ∈ R[3; –5]

L1 = P1 = 10

L2 = P2 = 73

16

3.

4.

5.

6.

Lenka přepisovala soustavu rovnic ze sešitu na papír. Přitom však udělala několik chyb. Najdeš je? Proveď zkoušku.

= 2 / . 9 Zk.: x + 2 = –3y 3x + y = 18 x + 2 = 3y x = –3y – 2 3. (–3y + 2) + y = 18 –9y – 3 – y = 1 –8y = 18 + 6 8y = 24 /: (–8) y = –3 [7; –3] x = 3 . (-3) – 2 x = 9 + 2 x = 7

V obchodě IKEA prodávají celkem 29 stolů. Psacích je o 5 více než jídelních. Kolik prodávají stolů psacích a kolik stolů jídelních? Vypočítej metodou dosazovací.

Zapletalovi se vracejí z dovolené ve Francii a v peněžence jim zbývá několik drobných euro mincí v hodnotě 2 € a 1 €. Celkový počet kusů mincí je 58 a jejich celková hodnota je 89 €. Kolik mají mincí v hodnotě 2 € a kolik v hodnotě 1 €?

Tomáš má dvě přihrádky s CD-ROMy. Aritmetický průměr počtu CD v obou přihrádkách je 30. Kdyby přidal do první přihrádky dalších 10 CD, bylo by jich zde 1,5 krát více než ve druhé přihrádce. Kolik CD je v každé přihrádce?

3x + y9

–

–

–

–

–

6 8+

1. rovnice

L1 = P1 = 2

2. rovnice

L2 = P2 = 9

Psacích stolů je 17, jídelních je 12.

2€ mincí je 31; 1€ mincí je 27.

V první přihrádce je 32 CD, ve druhé je 28 CD.

17

Soustava rovnic je řešená sčítací metodou. Chybějící údaje doplň do kroužků. Proveď zkoušku.

7 x – 2 y = –1 / ·

5 x + 4 y = 21

14 x – = 7·1 – 2 y = –1 ZK:

5 x + 4 y = 21 7 – 2 y = –1 L1 =

–2 y = –1 – P1 =

14 x + – 4 y + 4 y = –2 + 21 –2 y = –8 L2 =

19 x = y = P2 =

x = 1 [1; ]

Vypočítej soustavy rovnic sčítací metodou. Proveď zkoušky.2.

1.

c) 3 x + 1,7

5 x – 0,9

= – y

= 0,2 y

a) 6 m + 2 n

m – 4 n

= 20

= –1

= 10

= –10

= 4

= –7

b) 2 a + 5

4 a – 2 b

d) 2 · (2 t + 3) + s

3 · (4 t + s)

II. S

OU

STA

VY

RO

VN

IC

SČÍTACÍ METODA

2

4y –2

7

4

4

19

5x

L1 = P1 = –1

L2 = P2 = 21

[3; 1]

L1 = P1 = 20

L2 = P2 = –1

[0,1; –2]

L1 = P1 = 2

L2 = P2 = –0,4

nemá řešení[–1,25; 2,5]

L1 = P1 = 10

L2 = P2 = –10

18

Počet obyvatel Londýna je o 5 939 376 vyšší než počet obyvatel Paříže. Čtyřnásobný počet obyvatel Paříže je o 762 078 nižší než počet obyvatel Londýna. Jaký je počet obyvatel Londýna a Paříže?

V sále se svítí 14 žárovkami. Některé z nich jsou staré klasické s příkonem 60 W. Ostatní již byly vyměněny za nové moderní LED žárovky s příkonem 9 W. Kolik je již vyměněno žárovek, jestliže příkon sálu je nyní 432 W?

3.

4.

Zopakuj si vyjadřování neznámé x z daných rovnic.

a) 3 y + 4 x = 7 x = b) 5 x + 4 y = –2 x =

Ze všech rovnic vyjádři neznámou a tvoř soustavy rovnic vždy s rovnicí v rámečku. Řeš metodou srovnávací. Proveď zkoušky.

1.

2.

3 x – 2 y = –7

a) 2 x + 6 y = –1

x =

3 x2

b) – y = 5

x =

SROVNÁVACÍ METODA

V Londýně žije 7 665 142 a v Paříži 1 725 766 obyvatel.

Vyměnilo se 8 žárovek.

7 – 3y4

–2 – 4y5

nemá řešení[–2; 0,5]

L1 = P1 = –1

L2 = P2 = –7

19

a) metoda sčítací a dosazovací b) metoda dosazovací a srovnávací

Řeš soustavy rovnic danými metodami a proveď zkoušku.

Při dostavbě dálnice D8 byli investoři nuceni novou část stavby rozdělit na dva úseky. První úsek je 3,5 krát delší než druhý. Celková délka obou úseků dálnice je 54 km. Jakou délku mají oba úseky dálnice? Vypočítej libovolnou metodou.

Na večírek přišlo o 10 chlapců méně než děvčat. Po odchodu sedmi chlapců a jedné slečny zbylo na večírku dvakrát více děvčat než chlapců. Kolik chlapců a kolik děvčat přišlo na večírek?

1.

2.

3.

3 x + y = 18 x + 3 y = –2

x + 5 y = –2 2 x + 9 y = –2

II. S

OU

STA

VY

RO

VN

IC

ŘEŠENÍ SOUSTAV ROVNIC

Na večírku bylo 33 dívek a 23 chlapců.

1. úsek je dlouhý 42 km, 2. úsek je dlouhý 12 km.

[7; –3]

L1 = P1 = 18

L2 = P2 = –2

[8; –2]

L1 = P1 = –2

L2 = P2 = –2

20

4.

V prodejně Oxalis prodávají míchané čaje. Bylinky do čajů vykupují od dodavatele za ceny uvedené v zelené tabulce. Do modré tabulky doplň ceny směsí bylinných čajů. V čaji jsou složky obsaženy ve stejném množství.

1.

BylinkaMeduňka lékařská

Máta kadeřavá

Pelyněk pravýAndělika lékařská

plodHeřmánek

římský

Cena za 1 kg v Kč

150 100 70 130 450

Složky čajůMeduňka + máta

Meduňka + heřmánek

Pelyněk + andělika

Meduňka + máta + heřmánek

Cena za 1 kg směsi v Kč

a) 4s + 2t = –14 s – 3t = 7

b) 6 – 2y = 15x + 10 6y + 15 = 3 – 7x

c) 4 x3

– y = 13

3y – 4x = –17

d) 5 · (2y – 1) + 12x = –27 2 · (5y – 6) = 3x – 4

Řeš rovnice.

SLOVNÍ ÚLOHY O SMĚSÍCH A ROZTOCÍCH

nemá řešení[–2; –3]

L1 = P1 = –14

L2 = P2 = 7

[0; –2]

L1 = P1 = 10

L2 = P2 = 3

[–2; 0,2]

L1 = P1 = –27

L2 = P2 = –10

125 300 100 233

21

Jana koupila na zeleninový salát rajčata cherry v ceně 81 Kč za 1 kg a ledový salát v ceně 48 Kč za 1 kg. Kolik kg rajčat a kolik kg salátu Jana koupila, jestliže zaplatila 95 Kč za kg zeleniny?

V luxusní pralinkárně připravili 12 kg směsi dvou druhů bonbónů v ceně 270 Kč za 1 kg. Marcipánové bonbóny stojí 345 Kč/kg a nugátové 255 Kč/kg. Kolik kilogramů každého druhu bonbónů bylo použito?

V nemocnici v Kladně dezinfikují přístroje v nádobě, do které se vlévá 25 litrů dezinfekčního roztoku o koncentraci 1,5 %. Sestra má k dispozici šestilitrový kanystr se 100% dezinfekčním prostředkem. Na kolik nádob jí takový kanystr vystačí?

2 .

3.

4.

139

II. S

OU

STA

VY

RO

VN

IC

Jana koupila 7 kg rajčat a 2 kg salátu.

Marcipánu bylo 2 kg, nugátu bylo 10 kg.

Kanystr vystačí na 16 nádob.

39

22

1. Výletní parník míří z Jamajky na ostrov vzdálený 6 km. Vyplouvá rychlostí 15 km/h. Potom svou rychlost zvýší na 30 km/h. Na ostrov dorazí přesně za 14 minut. Kolik minut pluje zvýšenou rychlostí?

3. Z Prahy vyjíždí Pendolino. Ve stejný čas vyjíždí rychlík z Pardubic. Oba vlaky míří do Olomouce. Rychlík jede průměrnou rychlostí 65 km/h, Pendolino jede průměrnou rychlostí 115 km/h. Vzdálenost Praha–Pardubice je 104 km. Za jak dlouho Pendolino dostihne rychlík?

Olomouc

Praha Pardubice

4. Na Mistrovství světa v atletice se právě chystá start běhu mužů na 1 500 metrů. Běžec Michal Šneberger vyběhl rychlostí 6,5 m /s, běžec Bernard Lagat dosahující lepších výsledků vyběhl až 5 s po startu, jeho rychlost byla 7 m /s. Dohoní běžec Lagat běžce Šnebergera? Pokud ano, tak na kterém metru a za kolik sekund?

Vzdušná vzdálenost Praha–Berlín je 280 km. Letadlo z Prahy do Berlína letí rychlostí 450 km/h. Druhé letadlo letí z Berlína do Prahy. Obě letadla se minou po 20 minutách letu. Jaká je rychlost letadla letícího do Prahy, jestliže obě letadla vzlétla současně?

2 .

Berlín Praha

SLOVNÍ ÚLOHY O POHYBU

Se zvýšenou rychlostí pluje 10 minut.

Letadlo z Berlína letí rychlostí 390 km/h.

Vlaky se potkají za 2,08 hodiny.

Lagat dohoní Šnebergera na 455 m po 65 s svého běhu (70 s od startu).

23

Televize Prima uspořádala soutěž snoubenců. Pro svatbu v televizi se musí co nejdříve setkat v centru města. Snoubenci jsou od sebe 6 km daleko. Nevěsta vyšla v 9:30 rychlostí 6 km/h, po 200 m ji na čtvrt hodiny zdrželo hledání cesty. Ženich vyběhl v 9:30 rychlostí 9 km/h a po celou dobu běžel stejnou rychlostí. V kolik hodin se oba snoubenci setkali? Kolik km ušla nevěsta a kolik km uběhl ženich?

5.

Dva kronikáři mají za úkol přepsat do počítače Kroniku města Jičína. Prvnímu by tato práce trvala 8 hodin, druhému 10 hodin.

a) Jak velkou část práce by udělali společně za 1 hodinu?

b) Jak velkou část práce by udělali společně za 2 hodiny?

c) Jak velkou část práce by udělali společně za x hodin?

1.

6. Technické muzeum potřebovalo přesunout tank T 34/85 do Pardubic na výstavu. Nákladní auto s tankem vyrazilo v 8:30 rychlostí 45 km/h. Za půl hodiny za ním vyrazila dodávka s dalšími drobnými exponáty rychlostí 75 km/h. V kolik hodin a v jaké vzdálenosti od muzea dodávka nákladní auto dohonila?

II. S

OU

STA

VY

RO

VN

IC

SLOVNÍ ÚLOHY O PRÁCI LIDÍ A VÝKONU STROJŮ

Setkali se v 10:00. Ženich uběhl 4,5 km, nevěsta 1,5 km.

Potkají se v 9:45, tj. 56,25 km od muzea.

9 40

9 20

9 20

x

24

Manažerka Karolína by marketingový plán podniku sama zpracovávala k hodin, její kolega Marek by jej sám zpracovával m hodin. Jejich společná práce trvala x hodin. Vyber správnou rovnici vyjadřující jejich společnou práci a poté z ní vyjádři x.

a) 1k

– 1m

= x c) x · ( 1k + 1m) = 1 b) 1

k – 1

m = 1

x d) x · 1

k + 1

m = 1

Na dovolené v Egyptě tě požádali místní údržbáři, abys jim pomohl s výpočty. „Když do nádoby na pitnou vodu přivedeme jeden pramen, naplní se nádoba za 6 hodin. Druhý pramen vody naplní nádobu za 9 hodin. Za jak dlouhou dobu se naplní nádoba při napojení obou pramenů?“

V ZOO Praha potřebují vědět, jak dlouho vystačí ovoce pro gorily. Zásoba ve skladu by samici Kambě vystačila na 25 dní, samci Richardovi na 20 dní a malému Nuru dokonce na 40 dní. Na jak dlouho zásoba vystačí, pokud z ní budou krmeni všichni?

Pan Karel zvládne postavit parní saunu za 10 dní. Pan Jaroslav se nabídl, že mu se stavbou pomůže. Společně postavili saunu za 6 dní. Jak dlouho by trvalo postavit saunu, pokud by pracoval pouze pan Jaroslav?

2.

3.

4.

5.

k · m m + k

x =

Oba prameny naplní nádobu za 3,6 h.

Zásoby vydrží na 8,7 dne.

Pan Jaroslav by saunu stavěl 15 dní.

25

SOUHRNNÝ TEST

Pětinásobek neznámého čísla zmenšený o 7 se rovná dvojnásobku téhož čísla zvětšeného o 8. Jaké je neznámé číslo?

1.

Pro kterou soustavu dvou rovnic o dvou neznámých je řešením uspořádaná dvojice [3,1]? Správnou dvojici zakroužkuj.

2.

a) x – y = 2

5x – 6y = 9

b) 2x + y = 7

x – 2y = 0

Martinovi zůstalo na skladě v prodejně několik kusů chytrých telefonů v hodnotě 150 € / kus a tabletů v hodnotě 180 € / kus. Celkem měl na skladě 12 kusů oboží o hodnotě 1 950 €. Kolik chytrých telefonů a kolik tabletů měl na skladě? Doplň tabulku. Řeš dosazovací metodou.

3.

Řeš soustavy rovnic sčítací metodou a zapiš řešení.4.

3x – y = 5

x + y = 3

–3x = 5y + 1

0 = 6x + 10y

5x – 2y = 4

10x – 6y = 5

Počet Cena za ks v € Cena celkem v €

Telefony

Tablety

Celkem –––

II. S

OU

STA

VY

RO

VN

IC

Neznámé číslo je 5.

7

5

12

150

180

1050

900

1950

nemá řešení [1,4; 1,5][2; 1]

26

Ve sběrně za dopoledne vykoupili tolik červeného rybízu, že byl o 40 kg lehčí než osminásobek množství černého rybízu. Jana ale spočítala, že totéž množství červeného rybízu může zapsat jako pětinásobek množství černého rybízu zvětšený o 32 kg. Kolik červeného a černého rybízu vlastně ve sběrně vykoupili? Řeš srovnávací metodou.

5.

Při nákupu granulí pro kočku Lízu se Jakub rozhodl koupit dražší granule po 90 Kč za 1 kg a levnější za 55 Kč za 1 kg. Prodavačka navážila celkem 1,2 kg granulí, za které Jakub zaplatil 83,50 Kč. Kolik kilogramů každého druhu granulí Jakub koupil?

6.

Při fyzikálním pokusu sledovali žáci rovnoměrný přímočarý pohyb dvou kuliček na vodorovné podložce. Černá kulička se pohybovala rychlostí 10 cm za 1 s a bílá rychlostí 15 cm za 1 s. Žáci začali měřit čas, když se černá kulička nacházela v bodě A. Bílá kulička se stejným bodem A prokutálela o 20 s později. Za jak dlouho předhoní bílá kulička černou? Kolik metrů přitom urazí?

7.

V hrnčířské dílně potřebují splnit zakázku do deseti dnů. Zakázku začne plnit pracovnice, která by ji sama dokončila za 15 dní. Po uplynutí jednoho dne se k ní přidá druhá, která by sama celou zakázku od začátku dokončila za 20 dní. Za jak dlouho splní zakázku, budou-li od této chvíle pracovat společně? Podaří se jim dodržet termín?

8.

Červeného rybízu bylo 152 kg, černého 24 kg.

Dražších koupil 0,5 kg, levnějších 0,7 kg.

Bílá kulička dožene černou za 40 s od doby, kdy projela bodem A a bude od něj vzdálená 6 m.

Zakázka bude hotová za 9 dní.

27

1. Podle obrázku vytvoř pravdivá tvrzení. Následně do soustavy souřadnic Oxy vyznač body

B [0; 2,3], C [–1; 12 ], D [3; 0], E [4; –1], F [–1; –1].

3. Běžkař Bauer trénuje na světový pohár v Krušných horách. Aplikace na mobilním telefonu mu umožnila zaznamenat počet uběhnutých kilometrů v průběhu tréninku.

2. Doplň tabulku, která udává, kolik dávek a kolik ml L-Carnitinu musí profesionální veslař Michal Vabroušek vypít během různě dlouhých tréninků. Během jedné hodiny musí vypít 3 dávky L-Carnitinu po deseti mililitrech.

Počet hodin tréninku 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

Počet dávek 3

Objem L-Carnitinu v ml 30

a) Kolik kilometrů běžkař Bauer celkem uběhl?

b) Jak dlouho během celé trasy odpočíval?

c) Jak dlouho byl v pohybu?

d) Kdy běžel nejrychleji? Kdy nejpomaleji?

e) Jakou měl průměrnou rychlost, neuvažuješ-li přestávky?

f) Jaká byla jeho průměrná rychlost, započítáš-li i přestávky?

Čísla 2, 1 v zápise A [2; 1] určují

Číslo 1 je v zápise A [2; 1]

Y-ová souřadnice počátku soustavy

souřadnic se rovná

Bod O [0; 0] se nazývá

Osa x je

počátek soustavy souřadnic.

polohu bodu A v soustavě souřadnic.

nule.

vodorovná osa soustavy souřadnic.

y-ová souřadnice bodu A.

21

y(km)

x (h)0 3 4

10

20

30

B

C

A

DE

F

G

5

ZÁVISLOSTI, PŘIŘAZOVÁNÍ, PŘEDPISY

A [2; 1]

y

x1–1 0 2 3 4 5

3

2

1

–1

III. F

UN

KC

E

ZÁVISLOSTI, PŘIŘAZOVÁNÍ, PŘEDPISY

B

C

F

D

E

4,5 6 7,5 9 10,5 12 13,5

45 60 75 90 105 120 135

a) 32 km

b) 1,5 h

c) 3 h

d) nejrychleji FG, nejpomaleji DE

e) v = 7,1 km/h

f) v´ = 10,7 km/h

28

4. Funkce je dána následující tabulkou.

CO JE A CO NENÍ FUNKCE

1. Rozhodni, zda následující tabulky definují funkce. Pokud ano, zapiš jejich definiční obor a obor hodnot.

x 3 1 4 0 2

y –1 – 2 – 3 – 4 –1

x –1 – 4 – 2 –1 – 3

y 0 1 2 3 4

2. Rozhodni, zda jsou na obrázcích znázorněny grafy funkcí. Grafy funkcí zakroužkuj.

a)

–1

–1

–2

–2

21

1

2

y

x0 3

3

4

c)

–1

–1

–2

–2

21

1

2

y

x0 3

3

4

b)

–1

–1

–2

–2

21

1

2

y

x0 3

3

4

d)

–1

–1

–2

–2

21

1

2

y

x0 3

3

4

3. Urči definiční obor a obor hodnot u funkcí, které jsou zadány grafem.

a) b)

–1

–1

–2

–2

21

1

2

y

x0 3

3

4

x –3 –2 –1 0 1 2

y –2 –1 0 1 2 3

a) Zapiš definiční obor funkce.

......................................................................................................

b) Zapiš obor hodnot funkce.

......................................................................................................

c) Urči hodnotu funkce, která je přiřazena číslům –3 a 0.

......................................................................................................

d) Sestroj graf funkce v pravoúhlé soustavě souřadnic O[x; y].

–1–2–3

–1

–2

–3

2 31

1

2

3y

x0

a)

b)

D = ..........................................................................

H = ..........................................................................

D = ..........................................................................

H = ..........................................................................

–1

–1

–2

–2

21

1

2

y

x0 3

3

4

není funkce

Ne Ano Ano Ne

D = (–2, 3 > H = (0, 2,5 > D = R – {0} H = R – {0}

{0, 1, 2, 3, 4}

{–1, –2, –3, –4}

D = {–3, –2, –1, 0, 1, 2}

H = {–2, –1, 0, 1, 2, 3}

f (–3) = –2; f (0) = 1

29

2. Přiřaď předpisy funkcí k jednotlivým grafům.

3. Sestroj grafy funkcí.

1. Urči, který z grafů je graf přímé úměrnosti.

PŘÍMÁ ÚMĚRNOST

a) y = 2x

b) y = 0,5x

c) y = 0,25x

d) y = 4x

e) y = x

a) y = –x

b) y = 1,2x

c) y = – 3x

–2–4–6–2

2

4

6

–4

–6

2 4 6

y

x0

–2–4–6–2

2

4

6

–4

–6

2 4 6

y

x0

–2–4–6–2

2

4

6

–4

–6

2 4 6

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

a) b) c) d)

y

0 x

1

3

2

4

21 43 65

III. F

UN

KC

E

Ne Ne Ano Ano

D EB

C

A

30

1. Vyber z následujících tabulek ty, které vyjadřují nepřímou úměrnost. Grafy nepřímých úměrností načrtni.

4. Jedna vstupenka na film Hunger games stojí 180 Kč. Doplň tabulku a sestroj graf přímé úměrnosti, jejíž některé body jsou dány tabulkou. Zvol vhodné měřítko na osách x a y.

Počet prodaných vstupenek

100 200 500 750 1000

Celková tržba v Kč

NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST

Počet operátorů v call centru u telefonního operátora 10 15 20 30 40

Čekací doba zákazníka na lince v minutách 12 8 6 4 3

Hmotnost kuřete v kg 1 1,2 1,5 1,8 2

Celková cena v Kč 56 67,20 84 100,80 112

Rychlost auta v km/h 60 80 90 100 120

Čas ujetí stejné vzdálenosti v hodinách 0,6 0,45 0,4 0,36 0,3

a)

b)

c)

prod

ané

vstu

penk

y (k

s)

tržba (Kč)

y

x100 200 500 750 1000

180 000

144 000

108 000

72 000

36 000

Ano

Ne

Ano

18 000 36 000 90 000 135 000 180 000

31

3. Doplň tabulku nepřímé úměrnosti čísly z hvězdiček. Urči její koeficient k tak, aby platilo y = k .

4. Načrtni graf nepřímé úměrnosti.

Zakroužkuj grafy nepřímé úměrnosti. 2.

x –3 –2 –1 1 2

y

k =

4,5 –4,5 -9 9 –3

y

x–5–10

–5

–10

105

5

0

10

y

x–1–2

–1

–2

21

1

2

0

a) y = 7 ; pro x = –7; –3,5; –1; 1; 3,5; 7x b) y = –0,5 ; x ∈ R; x ≠ 0x

5. Některé body nenáleží grafu nepřímé úměrnosti dané rovnicí y = 4 . Najdeš je? x

a) b) c) d)

•

•

•

• •

y

x0

y

x0

yx0

y

x0

x

G [16; 4] H [–16; –0,25]

D [–4; –1]

E [–2; –2]F [–8; –0,5]

C [–1; –4]B [2; –2]A [1; –4]

III. F

UN

KC

E

–3 –4,5 –9 4,5

9

–9

A, B, G

32

1. Rozhodni, zda jsou uvedená tvrzení pravdivá.

LINEÁRNÍ FUNKCE A JEJÍ GRAF

ANO NEGrafem lineární funkce, jejímž definičním oborem jsou všechna reálná čísla, může být polopřímka.

Chceme-li sestrojit graf konstantní funkce, stačí, když známe souřadnice průsečíku jejího grafu s osou y.

Lineární funkce je dána vzorcem y = kx + q, kde k a q jsou libovolná reálná čísla. Pokud platí q = 0, jedná se o konstantní funkci. Definiční obor tvoří všechna čísla.

Grafem konstantní funkce je rovnoběžka s osou y.

K sestrojení grafu lineární funkce stačí znát souřadnice dvou bodů, jimiž graf prochází.

3. Sestroj grafy lineární funkce.

2. Utvoř správné čtveřice pro předpis lineární funkce y = kx + q.

a) y = 2x + 1 b) y = 1,2x – 1 c) y = 3x – 2

y

x0

y

x0

y

x0

Konstantní

funkce

Obor hodnot funkce tvoří

všechna reálná čísla.

Obor hodnot funkce tvoří

všechna reálná čísla.

Oborem hodnot funkce je

jen číslo q.

Přímá

úměrnost

Ostatní

lineární funkce

k ≠ 0

q ∈ R

k = 0

q ∈ R

k ≠ 0

q = 0

×

×

×

×

×

Grafy záleží na volbě polohy os x a y.1 2 3 4

4

3

2

1

1 2 3 4

4

3

2

1

1 2 3 4

4

3

2

1

y y y

x x x0 0 0

33

5. Rozhodni a zapiš, zda body uvedené v tabulce náleží grafům zadaných funkcí.

4. Urči rovnici lineární funkce, jejíž graf je zobrazen v soustavě souřadnic.

6.

Graf funkce Body ANO NE

y = x[0, 0]

[1, –1]

y = 2x + 1[1, –3]

[0, 1]

y = –3x[1, 1]

[–6, 2]

Do jedné soustavy souřadnic sestroj všechny grafy daných konstantních funkcí.

Graf funkce f, kterému náleží bod [0; 0].

Graf funkce g, kterému náleží bod [2; 1,5].

Graf funkce h, která je dána rovnicí y = –1.

Graf funkce k, která je dána rovnicí y = 0,5.–1–2

–1

21

1

2y

x0

–2

–2

–2

–1

2

2

1

1

y

x0–1 –2

–2

–1

2

2

1

1

y

x0–1

–2

–2

–1

2

2

1

1

y

x0–1–2

–2

–1

2

2

1

1

y

x0–1

–2

–2

–1

2

2

1

1

y

x0–1

–2

–2

–1

2

2

1

1

y

x0–1

a) ........................................

b) ........................................

c) ........................................

d) ........................................

e) ........................................

f) ........................................

III. F

UN

KC

E

y = –x + 1

y = 1x – 1

y = 1x

y = –1

y = 1,5

y = –2x

2

2

×

×

×

×

×

×

g

kf

h

34

7. Pomocí dvou zadaných bodů, které leží na grafu lineární funkce, rozhodni, o jakou funkci se jedná. Zapiš do rámečku, zda se jedná o konstantní funkci, funkci přímé úměrnosti nebo o obecnou lineární funkci, a urči její rovnici.

8. Vypočítej průsečíky grafů daných funkcí s osou x a osou y. Pak sestroj grafy těchto funkcí a vyznač průsečíky s osami x a y. Ověř, zda vyznačené průsečíky odpovídají výpočtu.

–5

–5

5

5

y

x0 –5

–5

5

5

y

x0 –5

–5

5

5

y

x0

a) A [0; –2], B [–4; 0] b) C [2; 1], D [4; 1] c) E [0; 0], F [–2; –2]

a) y = x – 3 b) y = –2x – 2 c) y = 0,5x + 1,5

...................................................... ...................................................... ......................................................

obecná lineární funkce konstantní funkce funkce přímé úměrnosti

[0; –3]

[3; 0]

[0; –2]

[–1; 0]

[0; 1,5]

[–3; 0]

Grafy záleží na volbě polohy os x a y.

y y y

x

x

x

0

0

0

11

1

35

1. Doplň věty.

Pro rostoucí funkci platí: zvětšují-li se hodnoty proměnné x, .................................. se hodnoty funkce.

Pro klesající funkci platí: ............................... se hodnoty proměnné x, zmenšují se hodnoty funkce y.

3. Obecná lineární funkce má předpis y = kx + 3. Napiš tři libovolné hodnoty k pro tuto funkci s danou vlastností.

a) klesající funkce

b) rostoucí funkce

ROSTOUCÍ A KLESAJÍCÍ FUNKCE

4. Přiřaď správné charakteristiky k jednotlivým funkcím.

Rostoucí lineární funkce:

a) hodnota k a q je vždy kladné číslo.

b hodnota k je vždy záporné číslo a q vždy

kladné číslo.

c) hodnota k je vždy kladné číslo a q vždy

záporné číslo.

Klesající lineární funkce:

d) hodnota k je vždy kladné číslo, q může být

libovolné číslo.

e) hodnota k a q je vždy záporné číslo.

f) hodnota k je vždy záporné číslo, q může

být libovolné číslo.

5. Roztřiď předpisy lineárních funkcí do složek.

c) y = –5

d) y = 3(4x + 3) – 12x

a) y = 3x – 5

b) y = –2x

e) y = 3,5 – 7x

f) y = 14x8

13

2. Rozhodni, jestli jsou funkce rostoucí (R), klesající (K), nebo ani rostoucí ani klesající (ARAK).

–5–10

–5

–10

105

5

y

x0

10

–5–10

–5

–10

105

5

y

x0

10

–5–10

–5

–10

105

5

y

x0

10

–5–10

–5

–10

105

5

y

x0

10

rostoucí funkce klesající funkce konstantní funkce

a) b) c) d)

III. F

UN

KC

E

zvětšují

zmenšují

K K ARAK R

– VOŽ – záporná čísla

– VOŽ – záporná čísla

D F

A, F B, E C, D

36

LINEÁRNÍ FUNKCE V TEORII I V PRAXI

2. Alza.cz obdržela novou zásilku iPadů. Jeden se prodává za akční cenu 6 500 Kč.

3. Benzinová sekačka má objem palivové nádrže 0,9 l. Její průměrná spotřeba paliva je 1 l benzínu na 500 m2 posečeného trávníku.

a) Vyjádři vzorcem závislost tržby v Kč na počtu pro-daných iPadů.

b) Alza.cz dostane od výrobce za každý prodaný iPad 5 % z jeho ceny jako bonus za zprostředkování prodeje. Zapiš vzorcem a graficky znázorni závis-lost odměny na počtu prodaných iPadů.

c) O jaké funkce se jedná?

a) Na kolik m2 bude stačit plná nádrž benzínu?

b) Zapiš vzorcem, jak se mění stav benzínu v nádrži (y) na počtu posečených m2 trávníku (x). Začínáme sekat s plnou nádrží.

500

1 000

1 500

2 000

2 500

y (Kč)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x (ks)

3 000

3 500

0

1. Lineární rovnicí vyjádři závislost:

a) obvodu rovnostranného trojúhelníku (y ) na délce jeho strany (x),

b) velikosti jedné strany obdélníku (y ) na straně druhé (x), jestliže jeho obvod je 120 cm,

c) délky strany čtverce (y ) na jeho obvodu (x),

d) obvodu čtverce (y ) na délce jeho strany (x),

e) obvodu obdélníku (y ) na délce jeho strany (x), jeho druhá strana je o 4 cm delší,

f) délky kružnice (y ) na jejím poloměru (x).

y = 6500 · x x ∈ N

y = 325 · x x ∈ N

Jde o přímé úměrnosti.

Nádrž bude stačit na 450 m2 trávníku.

y = 0,9 – x · 0,002

37

4. Horolezec Michal si potřebuje před zájezdem do Alp pořídit nové čtyřicetimetrové lano značky Singing rock. V e-shopu nabízejí toto lano v ceně 42 Kč/m. Ke každé objednávce si e-shop účtuje 250 Kč za poštovné a balné. Pokud ho koupí v obchodě, zaplatí 49 Kč za každý metr lana. Sestroj graf závislosti celkové zaplacené ceny na počtu metrů lana pro oba prodejce. Pak odpověz na otázky.

1. Jsou dány soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Nejprve si vyjádři ze všech rovnic y a pak k daným soustavám přiřaď správný obrázek s grafickým řešením.

a) Kde uvedené lano sežene výhodněji?

b) Od kolika metrů se vyplatí si lano objednat přes internet?

GRAFICKÉ ŘEŠENÍ SOUSTAVY DVOU ROVNIC

–5

–5

5

5

y

x0 –5

–5

5

5

y

x0

2x + y = 6

x + y = 4

0,5x + y = 3

x + y = 4

500

1 000

1 500

2 000

y (Kč)

10 20 30 40 50 x (m)0

III. F

UN

KC

E

Přes e-shop.

Vyplatí se mu to od 36 m.

y = 3 – 0,5x

y = 4 – x

y = 6 – 2x

y = 4 – x

b a

e-sho

p

obch

od

38

3. Z Louisiany vypluje v 9 hodin plachetnice Grece stálou rychlostí 18 km/h. V 9:30 hodin vypluje za ní ze stejného místa motorový člun, který bude plout stálou rychlostí 54 km/h.

a) Vyjádři rovnicí a graficky znázorni závislost délky ujeté dráhy jednotlivých dopravních plavidel na čase.

b) Z grafu urči, kdy motorový člun dostihne plachetnici.

c) Výpočtem urči, kdy motorový člun dostihne plachetnici. Výsledek porovnej s grafickým řešením.

2. Soustavy rovnic řeš graficky i výpočtem. Proveď zkoušku.

a) 2x + y = 5

x + y = 4

b) 2x – y = 6

2x + 2y = 0

x

x

y

y

xčas (h)

vzdá

leno

st (

km)

y

54

90

36

72

18

9 9.30 10 10.30 11

a)

b)

[1; 3]

L1 = P1 = 5

L2 = P2 = 4

[2; –2]

L1 = P1 = 6

L2 = P2 = 0

y = 18x y … km

y = 54x – 27 x … h

Počáteční stav 9:00.

Motorový člun dohoní plachetnici v 9:45.

39

1. Obtáhni paraboly na obrázcích.

2. Přiřaď ke každému grafu odpovídající rovnici kvadratické funkce.

3. Na každý lístek napiš body, které náleží grafu dané funkce.

KVADRATICKÉ FUNKCE

6

5

4

3

1

1 2

–1

–1–2

–2

–3

–4

2

0

y

x

a) f1: y = x2

b) f2: y = –x2

c) f3: y = 0,5x2

d) f4: y = –0,5x2

e) f5: y = 2x2

f) f6: y = –2x2

y = –2x 2y = x2

y = –0,4x 2

y = –5x 2

E [2; 4] F [–1; 1] H [1; –2]

C [4; –80]

I [3; –18]

B [–0,5; –0,5] D [–1; –0,4]

G [1; –0,4]

A [0,1; 0,01]

III. F

UN

KC

E

a) f1

c) f3

d) f4

f) f6b) f2

e) f5

A, E, F B, H, ID, G

C

40

6. Načrtni grafy kvadratických funkcí.

4. Urči číslo a tak, aby graf funkce y = ax2 procházel daným bodem.

a) [1; 4]

b) [2; –8]

c) [5; 100]

d) [–3; 27]

7. Rozhodni, zda je tabulkou zadána kvadratická funkce y = ax2.

x –5 –1 0 2 4

y –87,5 –3,5 0 –14 –56

a) y = 1,5x 2, x ∈ Rb) y = –x 2, x > 0

c) y = 2x 2, x < 0

d) y = –2x 2, x < 0

5. Doplň tabulku funkčních hodnot kvadratické funkce zadané rovnicí y = 0,5x2.

x –2 –1 0 1 2 3

y

a = 4 a = 4

a = 3a = –2

2 0,5 0 0,5 2 4,5

ac

bd

Ano, jedná se o kvadratickou funkci.

y

0 1x

41

SOUHRNÝ TEST

Do tabulky přímé úměrnosti se vloudila chyba. Dokážeš ji najít a nesprávný údaj opravit? Zapiš rovnici přímé úměrnosti, která je určena správnou tabulkou, a sestroj její graf.

2.

Kuchař má zásobu 13,5 l oleje. Na jak dlouho mu toto množství oleje vystačí, spotřebuje-li denně na přípravu jídel tři čtvrtě litru oleje?

4.

Koeficient rovnice nepřímé úměrnosti je 3. Zapiš rovnicí tuto nepřímou úměrnost a načrtni

její graf. Které z bodů A [1; 3], B [–3; –1], C [2; 6], D [0; 0], E [6; 12

] leží na grafu této funkce?3.

Urči, zda jsou následující tabulky předpisem funkce. Pokud ano, urči definiční obor D a obor hodnot H.

1.

x –4 –2 3 5

y 0 7 –8 –2

x 0 4 4 6

y –5 –5 3 2

x –1 –2 –3 –4

y 2 2 2 2

a) b) c)

x 0 2 4 5

y 0 4 6 10

–2–4

–2

–4

42

2

4

y

x0 6

–6

6

–6

III. F

UN

KC

E

–2–4

2

4

42

6

8

y

x0 6

–2

10

–6

Ano

D = {–4; –2; 3; 5}

H = {–8; –2; 0; 7}

Ano

D = {–4; –3; –2; –1}

H = {2}

Není funkce

y = 2x

8

nebo 3

Na grafu funkce leží A, B, E.

Olej vystačí na 18 dní.

y = 3x

42

Doplň tabulky a načrtni grafy lineárních funkcí f, g, h, i do jedné soustavy souřadnic. Jaká je vzájemná poloha grafů těchto funkcí? Doplň dvojice grafů funkcí do správného rámečku.

6.

Soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých řeš grafickou metodou.7.

x – 3y =

y =

6

x – 4

Zakroužkuj předpis kvadratické funkce.8. Co je grafem kvadratické funkce?9.

Rostoucí funkci zakroužkuj, klesající dej do rámečku. Jak se říká lineární funkci, kterou jsi nedal ani do rámečku ani do kroužku?

5.

y = 7x – 1 x – y = 5 –x – 4y = 0 9 = x – 2y y – 10 = 0 y = 11 – 4x

x 0 2

y

x –2 1

y

x 3 5

y

x –4 0

y

f: y = 0,5x + 2

g: y = –x

h: y = x – 2

i: y = x – 12

kolmice rovnoběžky různoběžky

a) y = 3x – 0,9

b) y = –5x 2

c) y = 4x

d) y = 22x

a) hyperbola

b) parabola

c) přímka

d) jiná křivka

–2–4

–2

–4

42

2

4

y

x0 6

–6

6

–6

y = x – 5 y = – 1x y = 10 y = 1x – 94 2 2 konstantní funkce

g, h f, i f, g ¦¦ i, hi, g ¦¦ f, h

řešení: [3; –1]

43

Políčka se správnou odpovědí označují bezpečnou cestu přes ledovcové trhliny. Naviguj horelezce až na vrchol hory.

Jaký je výsledek čtvrté mocniny Příklad 25 · 27 · 23 vypočítám tak, záporného čísla? že číslo 2 umocním na

Příklad 250

210 vypočítám tak, Výsledek číselného výrazu 35 + 35 je stejný

že číslo 2 umocním na jako výsledek číselného výrazu

V pexesu najdeš dvojice, které jsou si rovny. Vybarvi je stejnou barvou. Proměnná a je libovolné reálné číslo; a ≠ 0; proměnné r, s jsou libovolná přirozená čísla; r > s .

Vyplň jednotlivá políčka tak, že vždy použiješ základ mocniny z prvního políčka daného řádku.

Splň zadané úkoly.

a) Zapiš jako součin mocnin se základem 2 a 3. [(–3)2]5 · (–2)8

66 · 23 ·

(–24)· 8

9 · 25 =

b) Zapiš jako mocninu se základem 2. (2 – 4)3 · [3 – 2 · (1 – 2)2]5 · (23)2 · (5 – 7)5 =

1.

2.

3.

4.

a1 1 2ar a

a0 a–1ar · as ar + ar

ar + s

ar–sa

ar

as

· 25 · 26: 24 · 28

· 33 2: 36 8

23

(–3)4

· :3 5

21 3

21 4 : 2

1 10

kladný součin mocnitelů.

325.podíl

exponentů.

zápornýsoučet

mocnitelů.

2 · 35.rozdíl

exponentů.

IV. L

OM

EN

É V

ÝR

AZ

Y

OPAKOVÁNÍ – MOCNINY

28

37

24

3

210 218

32 316

–32 · 21

214

21

21

211612 6

21 15

44

Spoj mnohočleny s jejich názvy.

Doplň tabulku.

Když dosadíš za x libovolné číslo v následujícím výrazu, vyjde vždy stejný výsledek. Jaký? Zdůvodni.

5 · (2x – 4) + (x – 2)2 – (x 2 – 4x ) + 52 – 10x

Uprav mnohočleny na nejstručnější tvary. Pak vypočítej jejich hodnotu pro a = π . Výsledky zaokrouhlené na tři desetinná místa dopiš do displeje na kalkulačce.

a) 4a – 5a3 + a – (2a – 3a3 – 4a )

b) –(a2 – 3a3 ) – 5a2 + (a2 – a3 )

Vynásob mnohočleny, výsledky dosaď do barevných obdélníků a dopočítej výsledek.

+ – =

1.

2.

3.

4.

5.

jednočlen dvoučlentrojčlen čtyřčlen

x 2y – 2x 3 + y 2 – 4 7x – 7xyz 3 –8x – 2y + 7 a3b · c7

x y z x 2 2y 2 (x – yz)2 x 3 – xyz

4 – 2 0,3

–2 25 32

a) ........................

b) ........................

a2 · (a – 3) (a + 3) · (7 – a) 3a · (–2 + a2)

ZNALOSTI O MNOHOČLENECH

16 8 21,16

1695

66,4

1654

Po dosazení jakéhokoliv čísla vyjde výsledek 9, protože úpravou výrazu dostanu výsledek 9.

= –2a3 + 7a

= – 5a2 + 2a3

–39, 938

–49, 298

a3 – 3a2 4a – a2 + 21 –6a + 3a3 –2a3 – 4a2 + 10a + 21

45

Uprav na součin.

a) 21x 3y 2 – 14x 2y 7

b) 5a 6 – 15a 5 + 20a 3

c) 25x 2 – 16y 2

d) 64x 3 – 64x

e) 100 – 36a 2

f) 16x 2 – 8xy + y 2

g) y 3 – 2y 2 + y

Doplň čísla na místa teček tak, aby dané rovnosti platily.

a) ( a – ............ )2 = a 2 – ............ + 4 b

2

b) ( x 2y + ............ )2 = ............ + ............ + 25

c) ( ............ – 4) · ( ............ + 4) = a4 – ............

d) 2abc · ( ............ – ............ ) = 4 a2bc3 – 20 a4b2c

6.

1.

7.

2.

Je dán výraz 2x 2 – 6x + 4. Dosaď čísla z nabídky za x a vypočítej hodnotu daného výrazu. Tato čísla zařaď do složek tak, aby pro hodnotu výrazu platilo to, co je napsáno pod složkou.

–3 –1 0 1 1,5 2 3

Zjisti, pro které hodnoty proměnné u se výraz rovná nule.

a) z · (z – 13)

b) (z + 1) · (2 – z)

c) 16 – z 2

d) (9z 3 – 4z 2) · (z – 0,5)

> 0= 0< 0

IV. L

OM

EN

É V

ÝR

AZ

Y

PŘÍPRAVA NA LOMENÉ VÝRAZY

= 7x2y2 · (3x – 2y5)

= 5a3 · (a3 – 3a2 + 4)

= (5x – 4y) · (5x + 4y)

= 64x · (x – 1) · (x + 1)

= (10 – 6a) · (10 + 6a)

= (4x – y)2

= y · (y – 1)2

2b

5

a2

2ac2 10a3b

a2 16

10x2yx4y2

4ab

1,5 1; 2–3; –1;

0; 3

z = 0; z = 13 z = ±4

z = –1; z = 2 z = 0; z = 4; z = 0,5

9

46

Utvoř správné dvojice.

Kdy nemá lomený výraz smysl?

Kdy je lomený výraz roven 0?

Výraz zapiš ve tvaru lomeného výrazu a urči, kdy má smysl.

a) 159 : 6 x b) 4 a : 5 b c) (3 p – 2) : (5 p + 10)

Urči hodnotu lomeného výrazu 64x2

x · (x + 4) pro daná x. Uveď podmínky, za kterých má výraz smysl.

a) x = – 2

b) x = –1

Když je čitatel roven nule.

Když je jmenovatel roven nule.

Urči 3 různé dvojice hodnot proměnných x a y, pro které je hodnota výrazu rovna nule.

a) 2 x – 4 y b) 0,5 x + 7 y

Ze vzorce vyjádři proměnnou uvedenou v závorce.

v = (t ) V = a · b · c (b) V = π r 2h (h)

4.

1.

3.

3.

2.

c) x = 0

d) x = 1

st

LOMENÝ VÝRAZ

VOŽ

t = b = h = sv

V ac

V πr2

532x

4a5b

3p –2 5p + 10

x ≠ 0 b ≠ 0 p ≠ –2

= –64 nemá smysl

x ≠ 0; x ≠ –4 … x ∈ R \ { 0; –4}

= –2113

= 1245

47

Ve městě pracuje x lékařů. Město má y občanů.

Může být výraz 6x + 43x + 2 pro některé x roven 0? Pokud ano, napiš pro které. Pokud ne, napiš proč.

4.

5.

6. Napiš, pro která a, b má daný výraz smysl.

a) Kolik občanů připadá na jednoho lékaře?

b) Kolik lékařů připadá na jednoho občana?

c) Kolik domácností připadá na jednoho lékaře, jestliže má jedna domácnost průměrně z členů?

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

7. Čísla, pro která je lomený výraz roven nule, vybarvi v tabulce červeně. Hodnoty, pro které nemá lomený výraz smysl, vybarvi v tabulce žlutě.

6 –5 –4,5 4

1,5 0,4 7 5

11 –3 0 –6

1 –1 -8 –2

–11 8 –7 3

a) b) c)

IV. L

OM

EN

É V

ÝR

AZ

Y

Na jednoho lékaře připadá y občanů.x

Na jednoho občana připadá x občanů.y

Na jednu domácnost připadá y občanů.xz

Výraz nemůže být roven nule, protože x= – 2 je zakázané podmínkou.3

a ≠ –b

b ≠ –a2

b ≠ 2a

a ≠ b3

3b ≠ –2a

b ≠ – 2 a

a ≠ – 3 a2

48

1.

2.

3.

Zkrať lomené výrazy a uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

a) d)

b) e)

c) f)


a) d)

b) e)

c) f)


a)

b)

c)

+

ROZŠIŘOVÁNÍ A KRÁCENÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ

= 2

= 4

= 3y

= 3ab2

= 3

= 2ab2c

x ∈ R

x, y ≠ 0

y ∈ R

a, b ≠ 0

x, y ≠ 0

a, b, c ≠ 0xy

x3y4

2

= e13s9

= 3m

= 7

= – 2,5

= –1

= 4

= m – n

= 4

= 1

l, e, s ≠ 0

x ≠ y

m ≠ –n

n ≠ 0n ≠ m

x ≠ 0y ≠ 0x ≠ –2

p ≠ 0p ≠ 1

a ≠ 0a ≠ ±bl

36

2n

2y

1,2p

a(a+b)

x – y

m + n

x

4

x ≠ 0x ≠ y

2

x ≠ y2

2

49

Daný výraz rozšiř barevně zvýrazněným výrazem. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

a) – 3

b) – 4x

c) x – y

d) c – 4

e) x + 3

Rozšiř, popřípadě zkrať zadané lomené výrazy tak, aby ve jmenovateli nebyla odmocnina. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

a)

b)

c)

Doplň takové číslo nebo výraz, aby platila daná rovnost. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

a) = d) =

b) = e) =

c) = f) =

Dané dvojice lomených výrazů uprav tak, aby měly stejné jmenovatele. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

, , ,

4.

5.

6.

7.

5xx – 2

2 x – 32 x – 3

58 x – 6

a – 7

IV. L

OM

EN

É V

ÝR

AZ

YIV

. LO

ME

NÉ

VÝ

RA

ZY

= 9

= 64xy

= 8x4y – 8x3y2

= 5x2 + 5x 2

= 5 8x + 5 6

= x2 + 8x + 15

= c2 – 4c + cd – 4d

x ≠ 0

z ≠ 0

y ≠ 0

a ≠ b

b ≠ 0; h ≠ 0

x ≠ 0; y ≠ 0 a ≠ ±7 m ≠ ± 3

x ≠ 0

x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ y

x ≠ 2; x ≠ – 2

x ≠ 3; x ≠ – 3

x ≠ 3; x ≠ – 3

x ≠ –3; x ≠ 3

c ≠ 4; c ≠ d

186x

80x

2x5y2 – 2x4y3

x2 – 2

8x2 – 6

–x2 + 9

c2 – 4c – cd + 4d

14

24y 2

24z

a – b

6b5h5

5

= 1 2

2

2

2

k ≠ 5 l;2 k ≠ –

5 l2

3 xy

7x2

xy 9a + 63 (a –7)(a + 7)

21 – a (a –7)(a + 7)

5m2 – 11 (2m –3)(2m + 3)

m2 – 2 (2m –3)(2m + 3)

2

50

Vypočítej. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

a) + = d) + =

b) + = e) + =

c) + = f) + =


a) + = d) + =

b) + = e) + =

c) + =

Doplň sčítací pyramidu. Výrazy na dalších řádcích získáš tak, že vždy sečteš dva nejbližší výrazy, které se nacházejí o patro níže.

1.

2.

3.

Př.

+ =

SČÍTÁNÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ

4a2 + 3b2

6z + z3 2x (x + 2)

8x – 2y

8x2 + 112

3x2 + 5x + 3

a ≠ 0; b ≠ 0

x ≠ 0; x ≠ y x ≠ –1

x ≠ ±y

x ≠ ±1

12ab

x2 – xy (x + 1)2

(x + y)2(x – y)

7x

x2 – 1

2x 2 + 18

3 + x2 x2 + 15 35 + x2

10x 2 + 210

7x

3x

3x 3x 7x

21x

y – 7

3x – 7 2 2x

x ≠ –1x ≠ 0

x ≠ 0

x ≠ 0

x – 4y

x + 17

51

Vypočítej příklady s více sčítanci. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

a) + + =

b) + + =

c) + + =

Doplň chybějící údaje ve výpočtech. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

a) + =

b) + = =

c) + = =

4.

5.

1. Vypočítej. Uveď podmínky, kdy mají výrazy smysl.

a) – = b) – =

c) – = d) – =

e) – = f) – =

+

IV. L

OM

EN

É V

ÝR

AZ

Y

ODČÍTÁNÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ

5x2 + 16x – 21 x ≠ ±3(x – 3)(x + 3)2

(x – 2)(x + 2) x2 – 4

3x + 12y

a 1

8

3b – 2c x – 1

a

2c

– 1 – 17

13

30

3

7p 8x

12x

b ≠

x ≠ 1

p ≠ 0 x ≠ 0

x ≠ 0

11

x 6 9

5x

x ≠ –1

x ≠ ±2

x ≠ – 3 ; x ≠ – 72 3

3b2

c ≠

7(x + 1) x ≠ ±2(x – 2)(x + 2)

52


a) – =

b) – =

c) – =


a) – =

b) – =

Přiřaď výsledky ke správným úlohám v tabulce. V pravém sloupci uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

Myslím si výraz. Když k němu přičtu zlomek, v jehož čitateli je součet druhých mocnin proměnných a a b, ve jmenovateli druhá mocnina proměnné a, dostanu číslo 5. Který výraz si myslím? Ověř výpočtem.

2.

3.

4.

5.

Výsledky Podmínky

3ab – 1

–2 + a1 – b

0

a – 34b – 2

–3 – a

2 – 4b a 2 – 3a – 6

3ab

a3b

–a + 2ab

a 2 + b2

a 2 – b 2

aa – b

–b

a + b–a – 4(a + 1)2

4a + 1a 2 + 2a + 1

–5

a + 14a + 2b – 1

5x x – 1

2xy – 2y2 – 7x2

x2 – 12x + 4

x ≠ 0; x ≠ y

x ≠ –2

x(x – y)2

(x + 2)2

3x – 29

–2a2 – 7ab

x ≠ –2;

a ≠ ±b

(x + 2)(2x – 3)

a2 – b2

x ≠ 1

32

x ≠

a ≠ –1

a, b ≠ 0

a ≠ ±b

b ≠ 1

12

b ≠

Myslím si výraz 4a2 – b2.a2

53

Vynásob a zjednoduš. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

a) · = c) · =

b) · = d) · =


a) · =

b) · =

c) · =

Doplň násobící pyramidu tak, že vždy vynásobíš výrazy v políčkách vedle sebe a výsledek napíšeš do políčka nad nimi. Předpokládej, že a, b, c, d jsou čísla různá od nuly.


a) · = b) · =

Uveď podmínky, za kterých mají výrazy A, B, C smysl a vypočítej zadané příklady.

A = B = C =

a) A · B =

b) A · C =

1.

2.

3.

4.

5.

ax 2 – ay 2

a + ba 2 – b 2

a · (x 2 – 2xy + y 2)a 2 + 2ab + b 2

4a · (x 2 – 2xy + y 2)

IV. L

OM

EN

É V

ÝR

AZ

Y

NÁSOBENÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ

1

2x13

ab17c7

b10c10 a5b7

– h5

a7b2c6

3c6y

d26

a4d13 c3d13

g20

(x + y) (a – b)

(x + y) (a + b)

a ≠ 0; x ≠ y

x – y

4(x – y)

7

a

k5

f4

5y

20

l 8

e

y ≠ 0 k, l ≠ 0

a, b, c ≠ 0

a, c, y ≠ 0

g, h ≠ 0

a, b ≠ 0 x ≠ –1

a ≠ –b

e, f ≠ 0b ≠ 0

25a –3y

32

x ≠

54

6.

7.

2.

3.

1.


a) · =

b) · =

c) · =

d) · =


a) 1 – · =

b) + · =

Zapiš převrácené výrazy k zadaným výrazům. Uveď podmínky, za kterých mají oba výrazy smysl.

a) c)

b) d)

Vyděl a zjednoduš. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

a) : = c) : =

b) : = d) : =


a) : = b) : =

DĚLENÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ

15(2v – 3f)

4(2v + 3f)

4a

4u2 – 3u 2

t2

1

4u + v

(t +1)8

5a – 3b

a ≠ 0; x ≠ ±y

a ≠ 0; v ≠ –4u

t ≠ ±1

v ≠ 0; v ≠ –1

x ≠ y; a ≠

–3f2

v ≠

3b5

1

b

v

aba, b ≠ 0

k – 1

x(x – y)

k ≠ ±1

x ≠ ±y

k + 1

x – y

y

a

21x

20

x, y ≠ 0

a, b, c, d ≠ 0 x, y, u, v ≠ 0

b ≠ 0

k16

e4

l13

200f 4

k, l ≠ 0

e, f ≠ 0

bd 3 x28y 35

a7c4 u26v48

135 52

55


a) : =

b) : =

Zjisti, kolikrát je výraz menší než výraz . Napiš, za jakých podmínek.


a) : =

b) : =

c) : =


a) – : =

b) + 2 : =

Radek se zaradoval, protože našel sbírku řešených úloh, ze kterých paní učitelka připravuje test. Bohužel se mu na část příkladů vylila voda a příklady se rozmazaly. Doplň příklady tak, aby byly správně.

a) : =

b) : =

4.

5.

6.

7.

8.

+IV

. LO

ME

NÉ

VÝ

RA

ZY

x + 2

4a(x – y)

y(x + y)2

–3y(x – 2)

(x + y)

(m + n)2

–x 4(2x – y)

x, y ≠ 0; y ≠ ±2x

a ≠ 0; x ≠ –y

a, b ≠ 0; b ≠ 2a

x ≠ 0; x ≠ ±2; x ≠ 3

u, v ≠ 0; u ≠ ±v

x, y ≠ 0; m ≠ –n

1

1

a

uv

x – y x ≠ –y(x + y)2

y x2

x ≠ 0; y ≠ –1

u12v23

d 4e3f 2

x20y27

c4

56

1.

2.

3.

4.

5.

Zakroužkuj všechny složené výrazy.

a2 – b2

Výrazy uprav na základní tvar. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

a) = c) =

b) = d) =

Přiřaď výrazům jejich výsledky z nabídky. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

a) = c) =

b) = d) =

Uprav složené výrazy. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

a) = c) =

Rozšiř výraz výrazem x + y a uprav. Uveď podmínky, za kterých má výraz smysl.

· =

abc2

ab

35

a + ba – b

s57s

3a –2 –18

–a10

8

SLOŽENÝ VÝRAZ

l3

7a

– a

b

– 1

49x2

2k

b

10

5a

8

9

k, l ≠ 0

b ≠ 0; a ≠ –b

a, b ≠ 0

a, b ≠ 0

a ≠ 1; a ≠ 4

x, y ≠ 0

3a

–2

–12xy2

a ≠ ±2

a ≠ –2b; a ≠ 3b

x, y ≠ 0 αa, b, x, y ≠ 02ax2b

3y2

xy (x – y) (x + y)

y ≠ 0; x ≠ ±y

57

Vypočítej a výsledné složené výrazy uprav na jeden zlomek. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

a)

21x 2y3y 2

14x 3y 3

5y 2

=

b)

a 2 – bab

a + ba

+

b3y 2

b2

(a – b)2

=

c)

1x – y

1x + y

·

x – yx

x 2 – y 2

x 2y

=

Kolikrát je výraz za podmínek a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ b, a ≠ – b větší než výraz ?

Uprav složené výrazy. Uveď podmínky, za kterých mají výrazy smysl.

a) = b) =

Pan Plachý má měsíční plat , jeho žena má měsíční plat o 4 m – 2 n menší než on. Peníze

si rozdělují rovnoměrně. Jaký je měsíční příjem paní Plaché?

Třída 9. A jela do aquaparku. Akce se zúčastnilo x osob a bylo domluveno, že při počtu x osob

nemusí 3 lidé platit. Paní učitelka zaplatila celkem Kč. Kolik stojí jedna vstupenka

bez hromadné slevy?

6.

7.

8.

9.

10.

IV. L

OM

EN

É V

ÝR

AZ

Y

1 s – 1

s ≠ 2s ≠ 1

x, y, s ≠ 0 5 2x2y2

2(a – b)

yx

(m – n)2 .

2a .

a + b

b

x – y

n

b(x – 3)

b

a, b ≠ 0; a ≠ ±b

x, y ≠ 0; x ≠ ±y

a ≠ b, b ≠ 01

Příjem paní Plaché je

Vstupenka stojí

58

1.

2.

3.

Vypočítej rovnice. Zapiš podmínky, za kterých mají dané rovnice smysl. Proveď zkoušku.

a) = 15 b) – 7 = –9

Vypočítej rovnice, kde se vyskytují výrazy se stejnými jmenovateli. Zapiš podmínky, za kterých mají dané rovnice smysl. Proveď zkoušku.

a) + 1 = b) + 2 =

Vypočítej rovnice. Zapiš podmínky, za kterých mají dané rovnice smysl. Proveď zkoušku.

a) + = 0 b) =

ROVNICE S NEZNÁMOU VE JMENOVATELI

4 = x

c = 2

–1 = x15

3

2

x ≠ 0

c ≠ 1 b ≠ 5

x ≠ 0

b = –30

L = P = – 3 L = P = –1

x ≠ ±1nemá řešení

8

x ≠ 3; x ≠ –4x = 10

L = P = 7

59

Pro které hodnoty proměnné x je součin výrazů , roven jejich součtu?

Je dán zlomek, jehož jmenovatel je o 3 větší než jeho čitatel. Když čitatele i jmenovatele tohoto

zlomku zvětšíme o 5, dostanete . Který zlomek má tuto vlastnost?

Vypočítej rovnici. Zapiš podmínky, za kterých má daná rovnice smysl. Proveď zkoušku.

– + =

Martin počítal rovnice. Prohlédni si jeho řešení a oprav případné chyby. Proveď zkoušku.

Zk.:

4.

5.

6.

7.

+ = 1

= 1

x · (x – 3) + 3 · (x + 2) = (x + 2) · (x – 3) x2 – 3x + 3x + 6 = x2 – x – 6 2x2 = x x = 0

3x – 3

x(x – 3) + 3(x + 2)(x + 2)(x – 3)

xx + 2

IV. L

OM

EN

É V

ÝR

AZ

Y

y = 3 = 0,6

– 2 = x

5

3

3

y ≠ 0; y ≠ 1

x ≠ ±4

L = P = 1

L = P = – 20

Tuto vlastnost má zlomek 10 .13

12

–12–

60

SOUHRNNÝ TEST

Výrazy rozšiř na výrazy s uvedeným jmenovatelem. Urči podmínky, za kterých mají dané výrazy smysl.

Výrazy zkrať na základní tvar. Urči podmínky, za kterých mají dané výrazy smysl.

Uprav výrazy na součin a zjisti, kdy se rovnají nule. Výsledek napiš do tabulky.

Mocniny uprav a vyjádři jako celé číslo.

a) 10 · (–5)3 · 202 =

b) (4 – 1)4 · 27 · 62 · 12 =

40 · 55

183

42s2 – 21s =

4p2 – 25 =

tu + 2t + 4u – 8 =

2q 2r + 28qr + 98 r =

s1 = s2 =

p1 = p2 =

t = u =

q = r =

1.

2.

3.

4.

–5uv 2 =

–2y =

a – 5 =

u – 1 =

4x 20ux

y + 3

a – 2

y 2 + 6y + 9

4 – a 2

3u 3u 2 + 3u

a) c)

b) d)

60x 5yz 3 =

x 3z – x 3 =

5a 2 – 5b 2 =

kl – 3l – 3m + km =

12x 3z 4

z 2 – 2z + 1

a 2 + 2ab + b 2

5k – 15

a)

b)

c)

d)

–4

162

21s(2s – 1)

2r(q + 7)2

(2p – 5)(2p + 5)

(t – 4)(u + 2)

0

2,5

4

–7

0,5

–2,5

–2

0

x, z ≠ 0

u, x ≠ 0

5x 2yz

x3

l + m

z – 1

5

z ≠ 1

y ≠ –3

k ≠ 3

5(a – b)(a + b)

a ≠ –b

a ≠ ±2

u ≠ 0; u ≠ –1

25u v 2 (5 – a)(2 + a)

– 2y(y + 3) u 2 – 1

61

Výrazy uprav na co nejjednodušší tvar a urči podmínky, za kterých mají smysl.

Výrazy uprav na co nejjednodušší tvar a urči podmínky, za kterých mají smysl.

Řeš rovnici s neznámou ve jmenovateli. Když z trojúhelníku vyškrtneš všechna čísla, pro které rovnice nemá smysl, zůstane ti správné řešení.

IV. L

OM

EN

É V

ÝR

AZ

Y

5.

6.

7.

Výrazy uprav na co nejjednodušší tvar a urči podmínky, za kterých mají smysl.8.

d + –2d =d – 1 d 2 – 1

2x + 1 + 3x + 6 =x x 2 + 2x

36u2 – 36 · uv – v =2u2v 3 9u2 – 18u + 9

15k 2l 5 : 20kl4 =

(3k 2l 3)2 18l

5 + 2 = 8x – 1 x x

0

6 1

5x 2 – 5x 2 – xx + 1

2x + 1 x

=

a)

a)

a)

b)

b)

b)

4x 2 + 24x + 36–x 2 – 3x2x 2 – 18

x

=

d d + 1

d ≠ ±1

2(u + 1)

5(2x + 1)

u2v2

(x + 1)

u, v ≠ 0; u ≠ 1

x ≠ 0; x ≠ ±1; x ≠ –0,5

2(x + 2)x

x ≠ 0; x ≠ –2

k, l ≠ 0 3 2k 3l 4

3

x = 6

L = P = 1 1

2 3 – x

x ≠ ±3; x ≠ 0

62

Doplň barevná políčka.

Urči bez měření velikost úhlů α, β, γ.

32°20´ + 27°40´ = ………….. 68°12´ + ………….. = 117°18´

108°50´ – 25°30´ = ………….. ………….. – 95°10´ = 54°50´

34°15´ · 4 = ………….. 15°20´ · ………….. = 46°

142° : 5 = ………….. ………….. : 6 = 20°15´

Trojúhelník Δ rovnostranný Δ rovnoramenný Δ obecný

Strany trojúhelníku a = 82 mm rameno r = 1m

základna z = 1,2 m

a = 69 cm b = 56 cm c = …..….

Výška trojúhelníku va = 71 mm výška vz = …………… vb = 58 cm

Obvod trojúhelníku o = …………… o = …………… o = 186 cm

Obsah trojúhelníku S = …………… S = 0,48 m2 S = ……………

35°

β

α

γ

75°

•

1.

2.

Dopočítej údaje v tabulce pro různé typy trojúhelníků.4.

Sestroj bez použití úhloměru úhly ρ = 45° a σ = 60°. Pak sestroj úhel ε, pro který platí ε = σ + ρ . 2

3.

ÚHLY, TROJÚHELNÍKY

60°

83° 20´

137°

28° 24´

49° 6´

150°

3

121° 30´

α = 55°

β = 20°

γ = 110°

ρ σ ε

246 mm

0,8 m

3,2 m

61 cm

1624 cm22911 mm2

63

Každý obrázek spoj čarou s pravdivým tvrzením zapsaným uprostřed. U středově souměrných obrazců střed souměrnosti označ S. U osově souměrných obrazců napiš počet jejich os souměrnosti.

Na obrázku je bod B vzor a bod B´ je jeho obraz v osové souměrnosti. Sestroj osu této osové souměrnosti a označ ji o. Rozhodni, zda jsou dané dvojice bodů nebo útvarů osově souměrné podle osy o.

středově souměrné

osově souměrné

Narýsuj obraz trojúhelníku ABC ve středové souměrnosti se středem S a obraz kosodélníku KLMN v osové souměrnosti s osou o.

Kažkou dvojici shodných trojúhelníků vybarvi jinou barvou a napiš, podle které věty jsou trojúhelníky shodné.

A B

C

R S

L

K

M

Z G

EV

WUFX

Y

T

3,6 m 6 m

4 m

6 m77°

77°

48°

48°

63°

63°

4 m4,2 m

4,2 m3,6 m

3,6 m

3,6 m

6 m6 m

SC

A

B

N

M

L

K

o

O(o): A → A´ O(o): C → C´ O(o): F → F´ O(o): D → D´ O(o): ∆ CDE → ∆ C´D´E´ O(o): k1 → k2

ANO NE

E´

B

·

D

cd

e

A

F´

C´ c´D´

e´d´

k2·

A´

B´

k1F

4.

3.

2.

1.

C

V. O

PAK

OV

ÁN

Í Z G

EO

ME

TR

IE

SOUMĚRNOST, SHODNOST

×

×

×

×

×

×

o

C´

M´

N´

K´

Ĺ

B´

A´

ssssss

sus

sus

usu

usu

S

S

S

+

×

×

4

52

1

64

Čtverec má stejný obvod jako kosodélník se stranami délky 17,2 cm a 26,3 cm. Vypočítej obsah čtverce v dm2.

2.

Pozemek Tošnerových má tvar čtverce se stranou délky 30 m. Pozemek Musilových má tvar obdélníku s rozměry 24 m a 36 m. Spočítej, o kolik m2 se liší jejich obsahy a o kolik m se liší jejich obvody.

1.

Rogalo na obrázku má rozpětí 10,4 m a plochu 13 m2. Rozpětí považujeme za základnu rovnoramenného trojúhelníka. Jaká je výška trojúhelníkové plachty?

3.

V obrázku s lichoběžníkem dopočítej úhly označené řeckými písmeny.4.

Plážová taška je sešitá ze dvou stejných dílů ve tvaru rovnoramenných lichoběžníků. Základny lichoběžníku měří 40 cm a 50 cm. Výška je 30 cm. Při jejich výrobě je potřeba počítat 15 % tkaniny navíc. Kolik m2 tkaniny je potřeba na zhotovení deseti tašek?

5.

38°

88°

δ

β ε116°

ČTYŘÚHELNÍKY, TROJÚHELNÍKY

Obsahy pozemků se liší o 36 m2 (pozemek Tošnerových je větší).

Obvody pozemků jsou stejné.

Výška trojúhelníkové plachty je 2,5 m.

Na zhotovení 10 tašek je potřeba 3,105 m2 tkaniny.

S = 4,73 dm2

ε = 54°

β = 38°

δ = 26°

65

Pravoúhlý trojúhelník má odvěsny délky 8 cm a 6 cm. Jaký je poloměr kružnice opsané tomuto trojúhelníku?

Kosočtverec má úhlopříčky dlouhé 10 cm a 16 cm. Vypočítej jeho obvod a obsah.

Spoj správné názvy s jejich barevným znázorněním.

průměr kružnice

poloměr kružnice

tětivakružnice

kruhová výseč

kruhová úseč

mezikružístředový

úheloblouk

kružnice

Dopočítej

Documents

HRAVÁ MATEMATIKA 9Obsah obdélníku je 150 dm2 a strana a = 300 cm. Ze vzorce pro výpočet objemu válce vyjádři výšku a pak ji vypočítej. Objem válce je 157 cm3 a poloměr