Háromdimenziós, relativisztikus, gyorsuló

hidrodinamikai megoldások

nehézion-ütközésekben

Kurgyis Bálint

Fizika BSc. II.

Témavezet®:

Csanád Máté

ELTE TTK Atom�zikai Tanszék

2017. november 16.

TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOLGOZAT

Absztrakt

A nagyenergiás nehézion�zika egyik legfontosabb felfedezése az volt, hogy a relativisztikus atommag-ütközésekben létrejön az er®sen kölcsönható kvark-gluon plazma, amely majdnem tökéletes folyadék-ként viselkedik, és így id®fejl®dése hidrodinamikai modellekkel írható le. A numerikus számításokon túlaz egzakt, analitikus megoldások kiemelten fontosak a kezdeti- és a végállapot kapcsolatának megér-tésében. A relativisztikus hidrodinamika egyenleteinek kevés analitikus megoldása ismert, ezek közöttvannak realisztikus (többpólusú szimmetriával rendelkez®) megoldások, amelyek Hubble-tágulást ír-nak le, és jól leírják a hadronok és fotonok kísérletekben mért eloszlásait. Ugyanakkor ezen megoldásokgyorsulásmentes tágulást írnak le, így nem használhatóak az id®fejl®dés kezdetének leírására. Ismertekgyorsuló tágulást modellez® megoldások is, ezek viszont térben csak egydimenziósak vagy gömbszim-metriával rendelkeznek, így legfeljebb a longitudinális dinamika vizsgálatára használhatóak. Tudomá-nyos diákköri munkám célja egy analitikus, gyorsuló, perturbatív megoldás kidolgozása és bemutatása,egzakt Hubble-folyás típusú, többpólusú megoldásokat alapul véve. A munkám során talált megol-dás a hidrodinamika egyenleteinek els®rend¶ perturbációinak segítségével kapható meg. A rendszerleírásához használt minden mez®t (négyessebesség, nyomás, energias¶r¶ség és száms¶r¶ség) els® rend-ben perturbáltam, majd a perturbált mez®kre vonatkozó egyenletek megoldásaiból kaptam a keresettmennyiségeket. A kapott perturbációk az eredeti mez®kkel arányosak, illetve minden perturbációbanugyanaz az egyetlen perturbációs paraméter szabályozza a talált megoldás skáláját. A relativisztikushidrodinamika ilyen módszerrel kapott új megoldásosztálya azért fontos, mert a realisztikus, többpólu-sú szimmetriával rendelkez® eloszlásokat összehangolja a gyorsuló tágulással. Így alkalmas arra, hogy aHubble-táguláshoz közeli dinamikával rendelkez® rendszerben fellép® gyorsulást és nyomásgradienst re-alisztikus geometria mellett analitikusan leírjuk. A talált megoldásosztály jelent®sége továbbá az, hogymegérthetjük általa a kezdeti gyorsulásnak és a nyomásgradienseknek a végállapotbeli eloszlásokragyakorolt hatását.

1

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 31.1. Bevezetés a nehézion�zikába . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. A tökéletes kvarkfolyadék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Hidrodinamika 62.1. A relativisztikus hidrodinamika alapegyenletei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Ismert megoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. A relativisztikus hidrodinamika perturbatív kezelése 93.1. A perturbációkra vonatkozó egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2. Álló közeg perturbációi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4. Hubble-tágulás perturbációira vonatkozó egyenletek 114.1. Az energiaegyenlet megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2. Az Euler-egyenlet megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3. A kontinuitási egyenlet megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5. A talált perturbatív megoldásosztály 145.1. Konkrét megoldások megadása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6. Mérhet® mennyiségek kiszámítása 22

7. Összefoglalás 27

Hivatkozások 28

A. Függelék 30A.1. További skálaváltozók I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30A.2. További skálaváltozók II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2

1. Bevezetés

A körülöttünk lév® atomos anyag elektronokból, és az atommagot felépít® neutronokból valamit proto-nokból áll. Ezek közül az elektron elemi részecske, viszont a protonok és a neutronok kvarkokból és az®ket összetartó gluonokból állnak. A természetben találhatunk más kvarkok és gluonok által felépítettrészecskéket (azaz hadronokat) is, például kaonokat vagy pionokat.

Ezeket az er®s kölcsönhatás, más néven a kvantum-színdinamika (QCD) írja le. Ennek az elmé-letnek több érdekes tulajdonsága is van, ami az er®sen kölcsönható rendszereket jellemzi. Az egyika kvarkbezárás jelensége, amely azt jelenti, hogy hétköznapi körülmények között a kvarkokat szaba-don nem, csupán az általuk alkotott, színtöltésre nézve semleges hadronokban �gyelhetjük meg. Azer®s kölcsönhatás másik érdekes tulajdonsága az úgynevezett aszimptotikus szabadság, ami azt jelenti,hogy extrém nagy energián a kvarkok kiszabadulhatnak a hadronokból, illetve az energia növelésévela köztük ható kölcsönhatás eltüntethet®.

Az Univerzumunk körülbelül 13.7 milliárd éves [1]. Az id®ben visszafelé haladva egyre forróbbés s¶r¶bb világgal találjuk szembe magunkat, ahogyan azt az 1. ábra is illusztrálja. Az �srobbanástkövet®en egymilliomod másodperccel még nem léteztek protonok vagy neutronok, az Univerzumot akvarkok és gluonok forró egyvelege, azaz a kvark-gluon plazma (QGP), töltötte be. Ahhoz, hogy ezt azújfajta közeget és ezzel együtt az �srobbanást is jobban megérthessük, az akkori körülményeket kellreprodukálnunk a Földön.

1. ábra. Az Univerzum története az �srobbanástól napjainkig.

3

1.1. Bevezetés a nehézion�zikába

A kvark-gluon plazma vizsgálatához �mini-®srobbanásokat� hozunk létre nehézion-ütközésekben. Ré-szecskegyorsítókban ultrarelativisztikus sebességekre (azaz majdnem fénysebességre) gyorsítunk ne-hézionokat (például elektronjaitól megfosztott ólom (Pb) vagy arany (Au) atommagokat), majd ezeketütköztetjük egymással. Így megteremthetjük a szükséges feltételeket a kvark-gluon plazma létrejötté-hez [2, 3]. A létrejöv® kvark-gluon plazmát közvetlenül azonban még itt sem tudjuk vizsgálni, mivelélettartama nagyon rövid (kb. 10 fm/c). Ahogy a kvark-gluon plazma h¶l, egy kritikus �kifagyási�h®mérséklet elérésénél bekövetkezik a hadronizáció, mely során a kvarkok és gluonok újra hadronokkáállnak össze. Az ütközési pont köré telepített detektorrendszerekben egyrészt az ütközéskor közvetle-nül keletkez® leptonokat és fotonokat, másrészt a hadronizáció során létrejöv® részecskéket �gyelhetünkmeg, ahogyan ezt a 2. ábrán is láthatjuk. Ezeknek a jól ismert részecskéknek mérhetjük különböz® para-métereit (impulzusát, tömegét, töltését). Az így nyert információkból tudunk következtetni arra, hogymi történt az ütközés pillanatában, létrejött-e a kvark-gluon plazma.

El®ször az amerikai Relativisztikus Nehézion-Ütköztet®ben (RHIC) végeztek olyan méréseket, ame-lyeknél egyértelm¶ bizonyítékot találtak egy újfajta anyag létrejöttére [4�7]. Számos olyan jelenségettapasztaltak, amely arra utalt, hogy egy új fázisú anyag jött létre az ütközés során. Meg�gyelték azt,hogy kevesebb nagyimpulzusú részecske keletketett az Au+Au ütközésekben, mint azt a proton-proton(p+p) ütközésekb®l várták volna [8]. Ha azt feltételezzük, hogy sok nukleonból álló atommagok ütkö-zésekor nem történik más, mint sok szimultán nukleon-nukleon ütközés, akkor azt várhatnánk, hogyannyi részecske keletkezik a nehézion-ütközésben, mint az ütközésben résztvev® bináris nukleon-nukleonütközések száma, szorozva a p+p ütközésekre jellemz® értékkel. Ennek az aránynak a jellemzésére be-vezethetjük a nukleáris módosulási faktort (RAA):

RAA =Au+Au ütközésben keletkez® részecskék száma

p+p ütközésben keletkez® részecskék száma x Bináris ütközések száma

Ezek után a nehézion-ütközéseket centralitásosztályokba rendezhetjük, ami azt jelenti, hogy százalé-kos értékkel jellemezzük a periférikusságot. Tehát ha egy ütközés 100%-os centralitású, az azt jelenti,hogy az a legperiférikusabb ütközés. Ha százalékos intervallumot adunk meg, akkor például a 0-10%az ütközések legcentrálisabb tizede. Ennek az új osztályozásnak a segítségével azt vehetjük észre, hogya nukleáris módosulási faktor a centralitás függvényében egyre inkább eltér ett®l, centrálisabb ütközé-sekben kevesebb részecskét �gyelhetünk meg, mint amennyit várnánk. Ennek egyszer¶ magyarázatátadja az a feltevés, hogy a centrálisabb ütközésekben nagyobb térfogatban keletkezik egy újfajta közeg,amelyben így hosszabb úton tudnak fékez®dni a részecskék. Így végül kisebb impulzussal érkeznek adetektorokba.

Ugyanezt a jelenséget látjuk a jetek (nagyimpulzusú, jól de�niált irányba érkez® részecskezápo-rok) elnyomásánál [6�8]. A nagyenergiás ütközésekben általában csak párban keletkeznek nagyon nagyenergiájú részecskék, mivel kezdetben a nyalábokban érkez® részecskék nyalábra mer®leges impulzusanulla, így a keletkez® részecskéknek a nyalábra mer®leges síkban (azaz transzverz síkban) vett impulzus-összege nulla kell, hogy legyen. Ennek következtében általában jet-párokat �gyelhetünk meg egymássalellentétes irányban. Így p+p ütközéseknél, ha találtunk egy jetet, akkor az ellentétes irányban lév® de-tektorokban megtalálhatjuk annak párját, ám a centrálisabb nehézion-ütközésekben gyakran hiányzik,vagy nagyon szétlapult az ellentétes oldalon keresett jet.

Ezek a meg�gyelések azt jelzik, hogy nem szimplán nukleon-nukleon ütközések szimultán sokaságazajlott le, hanem egy újfajta közeg alakult ki az ütközések során. Ez az új közeg a keresett kvark-gluonplazma, amit 2005-ben fedeztek fel a RHIC-ben. Azóta az európai Nagy Hadronütköztet®ben (LHC)is el®állították a kvark-gluon plazmát [9�12], és mindkett® intézményben ma is aktívan kutatják amaganyag ezen érdekes fázisát.

1.2. A tökéletes kvarkfolyadék

A kísérletekben láttuk azt, hogy egy újfajta közeg, a maganyag egy új fázisa jön létre. Szeretnénk akísérletek során tapasztalt jelenségeket elméleti modellekkel is leírni. Kézenfekv® az er®sen kölcsönható

4

2. ábra. A nehézion-ütközésekben létrejön a kvark-gluon plazma, amelyb®l a kifagyás során létrejöv®hadronokat mérhetjük. Emellett az ütközésben közvetlenül keletkez® leptonok és fotonok az er®senkölcsönhat® QGP-vel nem lépnek interakcióba, így ezekb®l közvetlen információt kaphatunk az ütkö-zésr®l.

megolvadt kvarkanyag alapvet® tulajdonságait a hidrodinamika segítségével leírni. Ennek oka, hogy akísérletekben létrejöv® maganyag majdnem tökéletes folyadékként viselkedik [13�16].

A folyadékkép kialakulásához több meg�gyelt jelenség is hozzájárult. Az egyik, hogy a közeg ter-malizálódik, így a hadronizáció során létrejöv® részecskék impulzuseloszlása Maxwell�Jüttner-eloszlástkövet. A QCD által jósolt 170 MeV-es h®mérséklet (ez nagyjából 1.16 · 1012 K) jól egyezik az impul-zuseloszlásból kísérletileg meghatározott hadronizációs h®mérséklettel [17�21].

Egy másik érdekes jelenség, amelyet nehézion-ütközésekben meg�gyelhetünk, a periférikusabb üt-közéseknél a transzverz impulzuseloszlásban jelentkez® anizotrópia. Az ultrarelativisztikus sebességregyorsított, és a Lorentz-kontrakció miatt kilapított atommagok, ha nem teljesen centrálisan ütköz-nek, akkor az ütközési tartomány els® közelítésben ellipszis alakú. Az ütközési tartomány ellipszoidálisszimmetriáját illusztrálja a 3. ábra. A transzverz síkban, az ellipszis nagytengelyét®l mért φ szög függ-vényében Fourier-sorba fejtve a kezdeti alakot:

F (φ) = f0 +∞∑1

an cos(nφ) +∞∑1

bn sin(nφ) (1)

Itt a naiv elképzelésünknek megfelel®en a cos(2φ) együtthatója a meghatározó. Ezután, ha de�niáljuka reakciósíkot, ami az ellipszis kistengelye és a nyaláb által meghatározott sík, akkor azt mondhatjuk,hogy a rendszerünk erre a síkra szimmetrikus, így a páratlan indexhez tartozó cos(nφ) együtthatókelhanyagolhatóak. Továbbá az ellipszis nagytengelyére is szimmetrikus a rendszer, és mivel a szöget azegyik nagytengelyt®l mérjük, így a sin(nφ) tagok teljesen elt¶nnek, vagyis minden ütközést a reakcíó-síkba forgatva cos(n(φ− ψn)) kifejezést kapjuk, ahol a ψn szögek a reakciósík n-ed rend¶ elfordulásátjelzik. A valóságban az atommagok nem folytonosak, hanem véges számú nukleonból állnak, így apáratlan index¶ an együtthatók is megmaradnak.

Megvizsgálhatjuk azt, hogy a kezdeti geometriai alak, amit a (1) kifejezéssel írhatunk fel, mennyiretükröz®dik a végs®, detektorokban mért impulzuseloszlásban. Ha azt feltételeznénk, hogy csak ilyenalakban elrendezett nukleon-nukleon ütközések történnek, amelyek önmagukban gömbszimmetrikusak,akkor egy hengerszimmetrikus transzverz impulzuseloszlást várnánk. Ám tudjuk, hogy itt egy újfajtatermalizálódott közeg jön létre, tehát a kérdés az, hogy milyen mértékben marad meg, vagy �emészt®dik

5

3. ábra. Két nehézion nem centrális ütközésénél egy ellipszoidális szimmetriával rendelkez® ütközésitérrész alakul ki.

fel� a kezdeti gömbszimmetrikushoz képesti anizotrópia. Ha a létrejöv® kvark-gluon plazma inkább gázjelleg¶ közeg lenne, akkor a kezdeti anizotrópia egyeltalán nem, vagy csak nagyon kicsit jelenne mega végs® impulzuseloszlásban. Ezzel szemben a folyadékképben azt várjuk, hogy az impulzuseloszlást(N(pt, φ)) a következ® alakban írva:

N(pt, φ) = N0(pt)

(1 + 2

∞∑n=1

vn cos(nφ− ψn)

)(2)

a mért eloszlásban a v2 együttható értéke jelent®s lesz. A mérések alapján valóban azt tapasztaljuk,hogy egy nagyon fontos jellemz® lesz az elliptikus folyásnak nevezett v2 érték, illetve magasabb har-monikusokat (v3,v4,...) is kimérhetünk [22�24].

A folyadékmodellek tehát jól leírják a kísérleti adatokat. Ezen kívül további fontos eredmény afolyadékmodellekb®l meghatározott kinematikai viszkozitás (ηs ) értéke. Erre az értékre húrelméletiszámítások adtak egy elméleti alsó határt [25], noha a számolás csak konform térelméletekre voltlevezetve (η/s > ~/4π), sokak szerint a QCD által vizsgált rendszerekre is érvényesnek kell tekinteni. Akvark-gluon plazma kinematikai viszkozitására a különböz® hidrodinamikai modellek ehhez az elméletiminimumnak tekinthet® értékhez nagyon közeli értékeket jósolnak [26]. Így a kvark-gluon plazma a�legfolyékonyabb� anyag, nagyságrenddel alacsonyabb a kinematikai viszkozitása még az ultrahideghéliuménál is. Összegezve a fent leírtakat, a kés®bbi modellalkotás során joggal tekinthetjük tökéletesfolyadéknak a vizsgált kvark-gluon plazmát.

2. Hidrodinamika

Az eddigiek fényében kijelenthetjük, hogy a hidrodinamika az er®sen kölcsönható kvark-gluon plaz-ma leírására alkalmas. Általánosan a hidrodinamika valamilyen folytonosnak tekinthet® közeget ír le,amelynek így a kollektív viselkedését, és a teljes rendszert jellemz® makroszkópikus paramétereket is-merhetjük meg. A kísérleti eredmények leírásához relativisztikus keretben kell dolgoznunk. A vizsgáltfolyadék tekinthet® tökéletes, így viszkozitás-, és h®vezetésmentes folyadéknak. Attól függ®en, hogycsak a nyalábirányú (longitudinális) vagy a transzverz dinamikát is szeretnénk vizsgálni, alkalmazha-tunk egy id®- és egy térdimenziós (1+1D), vagy egy id®- és három térdimenziós (1+3D) megoldásokat.Egyes várakozások szerint a rendszerben fellép gyorsulás, és nyomásgradiens is, amelyek hatását szinténszeretnénk �gyelembe venni. További er®s feltételt szabunk azzal, ha a modellünket a relativisztikushidrodinamika analitikus megoldásai között keressük. Ám a QGP id®fejl®désének mélyebb megértésé-hez szükségesek az analitikus modellek, így érdemes ezt a célt magunknak kit¶zni.

6

4. ábra. A kvark-gluon plazma id®fejl®dése nehézion-ütközések során.

Fontos a hidrodinamika hatáskörét is tisztázni. Az ultra-relativisztikus sebességre gyorsított nyalá-bok találkozásakor a lezajló ütközésekben a közeg termalizálódik, ett®l a pillanattól kezdve tekinthetjükmajdnem tökéletes folyadéknak a maganyagot. Ezután a közeg elkezd tágulni, és h¶lni. Majd a kifagyá-si h®mérséklet elérésekor lejátszódik a hadronizáció, amivel megsz¶nik a folyadéknak tekinthet® közeg.Tehát a �mini-®srobbanások� id®fejl®désében a hidrodinamikát arra használjuk, hogy az ütközési pil-lanattól kezdve a termalizálódott közeg megsz¶néséig leírjuk a létrehozott forró, táguló kvark-gluonplazmát, ahogyan azt a 4. ábra is illusztrálja.

2.1. A relativisztikus hidrodinamika alapegyenletei

A következ®kben a relativisztikus hidrodinamika perturbatív megoldásait keressük. Els®ként írjuk fela tökéletes folyadékra vonatkozó (viszkozitás- és h®vezetés-mentes) relativisztikus hidrodinamika alap-egyenleteit. Az egyenletekben az általam vizsgált �zikai mennyiségeket három skalár- és egy vektormez®segítségével írhatjuk le. Ezek a vizsgált mez®k: a nyomás (p), valamilyen megmaradó mennyiség (pl.barionszám, n), az energias¶r¶ség (ε), és a négyessebesség (uµ). Illetve megemlítend®, hogy végig c = 1egységekben számolok. Többször el®kerül® mennyiség a koordináta-sajátid®, amelyet a következ®kép-pen írhatunk fel a négyeshelyvektorok (xµ), vagy a térid®-koordináták segítségével:

τ =√xµxµ =

√t2 − x2 − y2 − z2. (3)

Továbbá a négyessebesség Lorentz-hossza 1-re van normálva, azaz:

uµuµ = 1. (4)

Valamely n megmaradó mennyiségre (pl bariontöltés) vonatkozik a kontinuitási egyenlet:

∂µ(nuµ) = 0. (5)

Tökéletes (viszkozitás- és h®vezetés-mentes) folyadékokra az energia-impulzus tenzor alakja a követke-z®:

Tµν = (ε+ p)uµuν − pgµν . (6)

Ebben az ε a korábban már említett energias¶r¶ség, p a nyomás, uµ pedig a négyessebesség. A számolássorán a Minkovski-térben dolgozok, ahol gµν jelöli a metrikus tenzort, melynek alakja a következ®:

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

.

(7)

7

Az energia lokális megmaradása miatt az energia-impulzus tenzor kovariáns divergenciája elt¶nik:

∂µTµν = 0. (8)

Mivel azonban így még alulhatározott a rendszer, egy további összefüggésre van szükségem. Felhasz-nálom még az állapotegyenletet is, ami a következ®:

ε = κp. (9)

Ismertek olyan megoldások, amelyeknél a κ együttható a h®mérséklet függvénye [27], jelenleg azonbanκ egy konstans szorzót jelent, így a számolás további részében az energias¶r¶ség helyett mindenholegyszer¶en csak a κp mez®t használom.

A h®mérsékletet ezek után megmaradó száms¶r¶ség esetén p = nT módon, vagy az entrópias¶r¶ségsegítségével T = (ε+ p)/σ módon de�niálhatjuk. Ekkor az entrópias¶r¶ség ilyen alakú de�níciójából,valamint az energia-impulzus tenzor tökéletes folyadékra vonatkozó alakjából, és annak megmaradá-sából következik, hogy az entrópias¶r¶ségre (σ) is felírható egy (5) egyenlethez hasonló összefüggés:

∂µ(uµσ) = 0. (10)

Tekintsük most a relativisztikus hidrodinamika egy megoldásának bármely olyan (ε, p, uµ, n) (vagy(ε, p, uµ, σ)) mez®ket, amelyek megoldják a fenti egyenleteket. Az egyszer¶ség kedvéért dolgozzunk in-nent®l csak az n-re vonatkozó egyenlettel, de tartsuk észben, hogy az n↔ σ csere bármikor elvégezhet®.

Az energia-impulzus tenzor megmaradására vonatkozó egyenlet tovább alakítható: uν Lorentz-párhuzamos és arra (Lorentz-) mer®leges egyenletekre bonthatjuk szét a tenzoregyenletünket. Az ígykapott egyenletek ekvivalensek lesznek az eredeti egyenlettel, ám számolás szempontjából sokkal ké-nyelmesebb egy vektor, és egy skaláregyenlettel dolgozni. Szorozzuk az egyenletet el®ször az uν-vel:

uν∂µTµν = 0, (11)

uµ∂µ(ε+ p) + (ε+ p)∂µuµ + (ε+ p)uνu

µ∂µuν − uν∂νp = 0. (12)

Itt felhasználható, hogy uν∂µuν = 0, és így a következ® adódik:

κuµ∂µp+ (κ+ 1)p∂µuµ = 0. (13)

A (13) egyenlet az energiaegyenlet, ez a folyadék energiamérlege. Ezután az Euler-egyenletet a fentiegyenlet uν-vel való szorzásából és az eredeti ∂µTµν = 0 egyenletb®l való kivonásával kaphatjuk meg:

∂µTµν − [κuµ∂µp+ (κ+ 1)p∂µu

µ]uν = 0. (14)

Az Euler-egyenlet tehát:(κ+ 1)puµ∂µu

ν = (gµν − uµuν)∂µp. (15)

A következ®kben a kontinuitási (5), az Euler- (15) és az energiaegyenletnek (13) keressük a perturbatívmegoldásait.

2.2. Ismert megoldások

A relativisztikus hidrodinamikában felmerül® di�erenciálegyenletek megoldásainak nehézsége miatt anumerikus technikák használata általános. Léteznek analitikus megoldások is, melyek a modellezettrendszer mélyebb megértését teszik lehet®vé. Tekintsünk néhányat az eddigi ismert analitikus megol-dások közül.

Történetileg az els® jelent®s analitikus megoldása a relativisztikus hidrodinamikának az 1+1 di-menziós Landau�Khalatnikov-megoldás [28, 29], amely gyorsuló rendszert ír le. Ennek a megoldásnakaz állapotegyenletében κ = 3 található. Másik tulajdonsága, hogy a mez®k nem írhatóak fel ben-ne expliciten a koordináták függvényében. Másik jól ismert relativisztikus hidrodinamikai megoldás aHwa�Bjorken-megoldás [30, 31]. Ez egy 1+1 dimenziós gyoruslásmentes áramlást ír le.

8

A relativisztikus hidrodinamika területén fellendülést jelentett a kvark-gluon plazma felfedezése,és annak felismerése, hogy folyadéknak tekinthetjük az ütközésekben létrejöv® közeget. Így sok újmegoldás született, amelyek célja els®sorban a forró, táguló, tökéletes folyadék leírása volt.

Ismertek azonban realisztikus geometriájú Hubble-tágulást leíró, 1+3 dimenziós analitikus megoldá-sok is [32]. A kozmológiai Hubble-tágulás sebességpro�ljához hasonló sebességmez® mellett (uµ = xµ/τ)ez a megoldás egy nem gyorsuló tágulást ír le. Az önhasonlóságot egy S skálaváltozó biztosítja, amirea következ® kikötésnek kell teljesülnie:

uµ∂µS = 0 (16)

Az uµ∂µ kifejezést átírhatjuk a sajátid® segítségével, és akkor ez a sajátid® szerinti deriváltat jelenti,azaz uµ∂µ = ∂τ . Így könnyen látható, hogy a skálaváltozóra a sajátid®ben vett konstans függvényekadnak megoldást, így biztosítva az id®fejl®dés során az önhasonlóságot. Ennek segítségével a jól ismertmegoldást a következ® mez®k adják:

uµ =xµ

τ, (17)

n = n0

(τ0τ

)3N (S), (18)

p = p0

(τ0τ

)3+ 3κ, (19)

T = T0

(τ0τ

) 3κ 1

N (S). (20)

Ahol N (S) a skálaváltozó tetsz®leges függvénye lehet, illetve p0 = T0n0. Ez a megoldás továbbáltalánosítható többpólusú megoldássá [33], ami még általánosabb 3 dimenziós geometriát tesz lehet®vé.Az így kapott megoldásosztály nagy jelent®séggel bír a nehézion�zikában, mivel jó leírását adja akísérletekben mért fotonok és hadronok eloszlásának is [34, 35].

3. A relativisztikus hidrodinamika perturbatív kezelése

A munkám során a [36] hivatkozásban tárgyaltakhoz hasonlóan, a �zika egyik legszéleskör¶bben hasz-nált módszerét, a perturbációszámítást alkalmaztam a relativisztikus hidrodinamikában. A pertur-bációszámítás egy közelít® módszer, aminek a segítségével bonyolult rendszerek viselkedését tudjukegyszer¶bben leírni az egyensúlyi pontok körül. Az egyensúlyi rendszerünket vizsgálva arra a kérdésrekeressük a választ, hogy mi történik, ha a rendszerbe egy kis zavart, azaz perturbációt viszünk. Aszemléletünk megköveteli, hogy a perturbáció �kicsi� legyen. Ez e�ektíven azt jelenti, hogy elvárjuk,hogy a perturbációban bizonyos rendt®l kezdve a tagok elhanyagolhatóak legyenek. Els®rend¶ pertur-bációszámítást alkalmaztam, ami azt jelenti, hogy a perturbációban másod-, vagy magasabb rend¶tagokat elhanyagolhatóan kicsinek tekintettem.

Feltételezzük, hogy ismerjük a relativisztikus hidrodinamika egyenleteinek egy megoldását, tehátvan egy jól leírt rendszerünk és ebbe viszünk perturbációt. Vezessünk be tehát kissé perturbált mez®ket:

uµ → uµ + δuµ, (21)

p→ p+ δp, (22)

n→ n+ δn. (23)

Vizsgáljuk meg a segességperturbációra (δuµ) fellép® ortogonalitási feltételt, amely a négyessebességhosszának állandóságából adódik. Az eredeti uµuµ = 1 helyett

(uµ + δuµ)(uµ + δuµ) = 1 (24)

lesz, és ebb®l a másodrend¶ δuµδuµ tagot elhagyva, illetve az eredeti egyenletet kivonva, a következ®ortogonalitási reláció írható fel:

uµδuµ = 0. (25)

9

Ennek a feltételnek a kielégítésére a kés®bbiekben �gyelni kell, amikor egy konkrét megoldás esetén aδuµ perturbációt szeretném meghatározni.

3.1. A perturbációkra vonatkozó egyenletek

A perturbált mez®ket (21)-(23) az eredeti (5), (13), (15) egyenletekbe helyettesítve megkaphatjuk aperturbációkra vonatkozó egyenleteket. Állítsuk el® tehát a perturbációkra vonatkozó, perturbációkbanlineáris (azaz els®rend¶) egyenleteket. A kontinuitási egyenletbe (5) a perturbált mez®ket behelyette-sítve:

∂µ [(n+ δn)(uµ + δuµ)] = 0. (26)

Ebb®l a perturbációban másodrend¶ tagokat elhagyva, illetve a nulladrend¶ (az eredeti) egyenletetkivonva kapjuk a perturbációkra vonatkozó kontinuitási egyenletet:

uµ∂µδn+ δn∂µuµ + δuµ∂µn+ n∂µδu

µ = 0. (27)

Az eredeti energiaegyenletbe (13) behelyettesítve a perturbált mez®ket:

κ(uµ + δuµ)∂µ(p+ δp) + (κ+ 1)(p+ δp)∂µ(uµ + δuµ) = 0. (28)

Ebb®l a nulladrend¶ egyenlet kivonásával, majd a másod-, vagy magasabb rend¶ tagok elhanyagolásávalmegkaphatjuk a perturbációkra vonatkozó energiaegyenletet:

κδuµ∂µp+ κuµ∂µδp+ (κ+ 1)δp∂µuµ + (κ+ 1)p∂µδu

µ = 0. (29)

Az Euler-egyenletnél az el®z®ekhez hasonlóan behelyettesítünk az eredeti egyenletbe (15), majd azeredeti egyenletet levonva és a perturbációban els® rend¶nél magasabb tagokat elhanyagolva megkapjuka perturbációkra vonatkozó Euler-egyenletet:

(κ+1)δpuµ∂µuν+(κ+1)pδuµ∂µu

ν+(κ+1)puµ∂µδuν = (gµν−uµuν)∂µδp−δuµuν∂µp−uµδuν∂µp. (30)

Most a kapott egyenletek megoldásához el®ször ki kell választanunk egy ismert megoldást, amelyetalapmegoldásként felhasználunk. Majd ezt követ®en oldhatjuk meg a perturbációkra vonatkozó egyen-leteket.

3.2. Álló közeg perturbációi

El®ször az ismert megoldás legyen egy igen egyszer¶ rendszer, az álló folyadék. Itt példaként nézzükmeg, milyen perturbációk alakulhatnak ki. Az álló közeget az alábbi mez®k írják le:

uµ = (1, 0, 0, 0), (31)

n = n0, (32)

p = p0. (33)

Ennél a példánál csak az energia- (29) és az Euler-egyenleteket (30) használom fel, és csak a négyesse-besség, illetve a nyomásmez®kre lesz szükség. El®ször használjuk ki uµ és p konkrét alakját:

∂µuµ = 0, (34)

∂µp = 0, (35)

uµ∂µ = ∂0. (36)

Ezeket felhasználva az energiaegyenlet (29):

κ∂0δp+ (κ+ 1)p∂µδuµ = 0. (37)

10

Ennek vegyük a nulladik koordináta, azaz az id® szerinti detiváltját (∂0):

κ∂20δp+ (κ+ 1)p∂0∂µδuµ = 0. (38)

Most térjünk rá az Euler-egyenletre (30), ahol szintén kihasználjuk uµ és p konkrét alakját. Így azEuler-egyenlet:

(κ+ 1)p∂0δuν − (uµuν − gµν)∂µδp = 0. (39)

Itt bevezetjük a Qµν = (uµuν − gµν) jelölést, ahol Qµν = diag(0, 1, 1, 1). Az Euler-egyenletre hattatvaa Qρν∂ρ operátort:

(κ+ 1)p∂0Qρν∂ρδuν −Qρν∂ρQµν∂µδp = 0. (40)

Itt tekintsük el®ször az els® ((κ+ 1)p∂0Qρν∂ρδuν) tagot:

(κ+ 1)p∂0Qρν∂ρδuν = (κ+ 1)p∂0(uρuν − gρν)∂ρδuν , (41)

uρuν∂ρδuν = uρ∂ρ(uνδu

ν)− uρδuν∂ρuν = 0, (42)

(κ+ 1)p∂0Qρν∂ρδuν = −(κ+ 1)p∂0∂νδu

ν . (43)

Ezután alakítsuk át a második (Qρν∂ρQµν∂µδp) tagot. Itt vegyük észre, hogy:

Qρν∂ρQµν∂µ = (∂21 + ∂22 + ∂23). (44)

Ez láthatóan megfelel a háromdimenziós Laplace-operátornak. Így az Euler-egyenlet alakja a következ®:

(κ+ 1)p∂0∂νδuν + ∆δp = 0. (45)

Most vonjuk ki a (38) egyenletb®l a (45) egyenletet. Fontos, hogy az egyenleteknél az indexek elnevezésetetsz®leges, így ∂νδuν = ∂µδu

µ. A kapott (46) egyenlet:

∂20δp−1

κ∆δp = 0. (46)

Ezzel a nyomásperturbációra vonatkozó hullámegyenlethez jutottunk, ahol a hangsebesség cs = 1/√κ.

Ez az eredmény nagyon ismer®s lehet a nemrelativisztikus hidrodinamikából, ahol ehhez a gondolat-menethez hasonlóan megkaphatjuk az álló folyadék esetén a nyomásperturbációra vonatkozó hullám-egyenletet. Ezen a példán láttuk tehát azt, hogy a relativisztikus hidrodinamika esetén az els®rend¶perturbációszámítás eredményes lehet. A következ® lépés, hogy egy másik realisztikus megoldásbólkiindulva is meghatározzuk a perturbációkat.

4. Hubble-tágulás perturbációira vonatkozó egyenletek

A vizsgált megoldás, amellyel dolgoztam munkám során, a hidrodinamika jól ismert Hubble-folyástípusú megoldása volt [32]. Ez a megoldásosztály nem gyorsuló tágulást ír le, míg a kísérletek alap-ján gyorsulás is fellép a QGP tágulása közben. Munkám célja, hogy gyorsuló perturbatív megoldásttaláljak a Hubble-folyásból kiindulva. Így a felhasznált mez®k alakja a korábban felírt (17)-(20) megol-dásból származik. Továbbá teljesül a már korábban felírt (16) egyenlet, amely a skálaváltozóra ad egymegkötést (uµ∂µS = 0.)

Ezen konkrét alakok felhasználásával a perturbált energia-, és Euler-egyenleteket egyszer¶bb alakratudjuk hozni. A perturbált kontinuitási egyenlet itt az alábbi alakot ölti:

δuµnN ′

N∂µS + uµ∂µδn+

3δn

τ+ n∂µδu

µ = 0. (47)

Az energiaegyenlet a következ®képpen írható fel:

κuµ∂µδp+3(κ+ 1)

τδp = −(κ+ 1)p∂µδu

µ. (48)

11

Az Euler-egyenlet pedig így adódik:

∂µδp

(κ+ 1)p[gµν − uµuν ] =

κ− 3

τκδuν + uµ∂µδu

ν . (49)

Láthatóan az így kapott di�erenciálegyenletrendszer igen bonyolult, már mások is foglalkoztak aHubble-táguló rendszeren terjed® perturbációkkal [37], viszont az általam talált analítikus megoldástkorábban még nem írták fel. A di�erenciálegyenleteket kell®en általános alakú tesztfüggvények segít-ségével oldottam meg. Általánosan a perturbációk alakját úgy választottam meg, hogy lehet®leg azokarányosak legyenek az eredeti mez®kkel. Els® lépésként célszer¶ a nyomásperturbáció alakját megha-tározni, majd ennek segítségével feltenni egy alakot a sebességmez® perturbációjára, végül pedig akontinuitási egyenlet segítségével a száms¶r¶ség perturbációja kényszerként adódik a rendszerbe.

4.1. Az energiaegyenlet megoldása

El®ször tehát a nyomásperturbáció tesztfüggvényét írtam fel. Ez arányos az eredeti mez®vel, így szor-zótagként tartalmazza a p0 (τ0/τ)3+3/κ kifejezést. A perturbációs paraméter legyen a �kicsi� δ szám,ezzel és egy tetsz®leges skálaváltozótól függ® π(S) taggal a nyomásperturbáció:

δp = δ · p0(τ0τ

)3+ 3κπ(S). (50)

Ezután az energiaegyenlet (48) alakjába helyettesítve a fenti tesztfüggvényt a következ® egyszer¶ össze-függést kaptam:

∂µδuµ = 0. (51)

Most egy olyan alakú sebességperturbációt kell választanom, amely teljesíti egyszerre a négyessebesség-re és perturbációjára vonatkozó ortogonalitási feltételt (25) és a fent kapott energiaegyenletet (51), deelég általános ahhoz, hogy a további egyenletekre is találhassak megoldást. A sebességperturbációbanis a δ szám lesz a perturbációs paraméter. Ezen kívül bevezetem a skálaváltozó tetsz®leges χ(S) függ-vényét, illetve a sajátid® tetsz®leges F (τ) függvényét, valamint a tetsz®leges g(xµ) függvényt. Továbbáegy ∂µS taggal biztosítom a (25) ortogonalitási feltétel teljesülését. Így a sebességperturbáció alakja:

δuµ = δ · F (τ)∂µSχ(S)g(xµ). (52)

A sebességperturbáció ezen (52) alakját behelyettesítve a (51) egyenletbe a következ®t kaptam:

δ · F (τ)[∂µ∂

µSχ(S)g(xµ) + ∂µS∂µSχ′(S)g(xµ) + χ(S)∂µ∂

µSg(xµ)]

= 0. (53)

A triviális megoldás, ha a perturbációs paraméter (δ) vagy a sajátid® bevezetett függvénye (F (τ))nulla. A nem triviális megoldást a következ® egyenet adja:

χ′(S)

χ(S)= − ∂µ∂

µS

∂µS∂µS− ∂µS∂

µ ln g(xµ)

∂µS∂µS. (54)

Látható, hogy ez nem csak megadja a χ(S) függvény alakját, de megszorítást ad a g(xµ) függvényreés S-re is: csak olyan S skálaváltozó és g(xµ) függvény megfelel®, amik esetén a fenti egyenlet jobboldalán szerepl® mennyiség kizárólag S-t®l függ, külön a térid®-koordinátáktól nem.

4.2. Az Euler-egyenlet megoldása

Következ® lépésben az Euler-egyenlet megoldását kerestem meg, pontosabban a kezdetben tetsz®legesfüggvényekre az Euler-egyenlet által adódó megkötéseket. El®ször az Euler-egyenletbe (49) a nyomás-perturbációt (50) behelyettesítve a következ®t kaptam:

κ− 3

κτδuµ + uν∂νδu

µ =1

(κ+ 1)δπ′∂µS. (55)

12

Ezután a fenti (55) egyenletbe a sebességperturbációt (52) behelyettesítve adódik a következ®:

κ− 3

κ

F (τ)

τδ · χ(S)g(xµ)∂µS + δ · uν∂ν(F (τ)χ(S)g(xµ)∂µS) =

1

κ+ 1δ · π′(S)∂µS. (56)

Ezen egyenlet bal oldalának második tagja (A = uν∂ν(F (τ)χ(S)g(xµ)∂µS)) átalakítható a szorzat-függvény deriválására vonatkozó szabály, illetve a skálaváltozó de�níciójából adódó (16) egyenlet fel-használásával, az A kifejezés így írható:

A = F ′(τ)χ(S)g(xµ)∂µS − F (τ)χ(S)g(xµ)∂µS

τ+ F (τ)χ(S)∂µuν∂νg(xµ). (57)

Ezt felhasználva kiderül, hogy az Euler-egyenlet minden tagja a δ∂µS négyesvektorral arányos, így akövetkez® egyenlet adódik:

π′(S)

χ(S)= (κ+ 1)

[F (τ)

(uµ∂µg −

3g(xµ)

κτ

)+ F ′(τ)g(xµ)

]. (58)

Látható, hogy ebben az esetben is a (54) egyenlethez hasonlóan a bal oldalon álló kifejezés csak askálaváltozótól függ, így ez egyrészt megadja a π(S) függvény alakját, valamint megszorítást ad azF (τ) és a g(xµ) függvényekre.

4.3. A kontinuitási egyenlet megoldása

Ezután a perturbált kontinuitási egyenletre térek rá. Itt a (47) egyenletben felhasználva a (51) össze-függést a következ® egyenletet adódik:

δuµnN ′

N∂µS + uµ∂µδn+

3δn

τ= 0. (59)

Következ®ként a száms¶r¶ség perturbációjának tesztfüggvényét is meghatároztam. A perturbáció ará-nyos az eredeti mez®vel, így tartalmaz egy n0 (τ0/τ)3 szorzótényez®t. Továbbá a perturbáció skálájáta δ perturbációs paraméter határozza meg. Ezen kívül bevezettem a kezdetben teljesen tesz®legesh(xµ) és a skálaváltozótól függ® tetsz®leges ν(S) függvényeket. Így a száms¶r¶ség perturbációjánaktesztfüggvénye a következ® alakú:

δn = δ · n0(τ0τ

)3h(xµ)ν(S). (60)

Ezután a sebességperturbációt (52) és a száms¶r¶ségperturbációt (60) behelyettesítettem a (59) egyen-letbe:

δ · F (τ)g∂µS∂µSn0

(τ0τ

)3χN ′ + δ · n0

(τ0τ

)3ν

[−3

τh+ uµ∂µh

]+

3

τδn0

(τ0τ

)3νh = 0. (61)

Itt egyszer¶sítve, és rendezve:

ν(S)

χ(S)N ′(S)= −F (τ)g(xµ)∂µS∂

µS

uµ∂µh(xµ). (62)

A fenti (62) egyenlet bal oldala a skálaváltozó függvénye, így a jobb oldalnak is S függvényének kell len-nie. Ez megszorítást ad a skálaváltozóra, a g(xµ) és a h(xµ) függvényekre nézve is. Továbbá ez az egyen-let adja meg a ν(S) függvény alakját is. Ezzel tehát a kezdeti di�erenciálegyenletrendszerb®l egy másikegyenletrendszert állítottam el®, ami a skálaváltozót (S), és annak függvényeit: χ(S), π(S), ν(S)N (S),valamint a h(xµ) és g(xµ) függvényeket tartalmazza.

13

5. A talált perturbatív megoldásosztály

Összegezve az eddigieket, a relativisztikus Hubble-tágulást alapul véve találtam egy olyan perturbatívmegoldásosztályt, amelynél a legáltalánosabb perturbációk a következ® alakúak:

δuµ = δ · F (τ)g(xµ)∂µSχ(S), (63)

δp = δ · p0(τ0τ

)3+ 3κπ(S), (64)

δn = δ · n0(τ0τ

)3h(xµ)ν(S). (65)

Ezen kívül teljesülnie kell következ® három relációnak is:

χ′(S)

χ(S)= − ∂µ∂

µS

∂µS∂µS− ∂µS∂

µ ln g(xµ)

∂µS∂µS, (66)

π′(S)

χ(S)= (κ+ 1)

[F (τ)

(uµ∂µg −

3g(xµ)

κτ

)+ F ′(τ)g(xµ)

], (67)

ν(S)

χ(S)N ′(S)= −F (τ)g(xµ)∂µS∂

µS

uµ∂µh(xµ). (68)

Láthatóan egy konkrét megoldás megtalálásához találni kell olyan g(xµ) és h(xµ) függvényt, ame-lyek mellett a fenti egyenletek megoldhatóak. Emellett olyan skálaváltozót kell keresni, ami eleget tesza következ® feltételeknek:

• Az eredeti Hubble-tágulásból jöv® (16) feltételt teljesíti, azaz uµ∂µS = 0.

• Az (66) egyenlet miatt a ∂µ∂µS∂µS∂µS

− ∂µS∂µ ln g(xµ)∂µS∂µS

kifejezés csupán a skálaváltozó függvénye.

• A (68) egyenlet miatt a F (τ)g(xµ)∂µS∂µSuµ∂µh(xµ)

kifejezés egyedül a skálaváltozótól függhet.

Ennek fényében a következ® lépés, hogy ebb®l az általános formából kiindulva konkrét megoldásokatkeressünk, amelyek ennek az osztálynak a tagjai. Ehhez választanom kellett egy h(xµ) és egy g(xµ)függvényt, ami mellett tudtam olyan S skálaváltozót felírni, amivel megoldhatóak a fenti (66), (67),(68) egyenletek, amik a perturbációkban lév® skálafüggvényeket kapcsolják össze. A konkrét megoldá-sok esetén meg lehet vizsgálni a perturbált mez®k alakját, illetve a hidrodinamikai modellb®l számol-ható mérhet® mennyiségeket. Ezeket kés®bb össze lehet hasonlítani mérési eredményekkel, vagy másmodellek eredményeivel.

5.1. Konkrét megoldások megadása

A konkrét megoldások keresésénél el®ször az eredeti megoldásból származó (16) egyenletben megfo-galmazott kikötést (uµ∂µS = 0) vizsgáltam. Könnyen belátható, hogy tetsz®leges a, b kitev®k mellett,ha t az id®koordináta, r pedig a helyvektor abszolútértéke, azaz r =

√x2 + y2 + z2,akkor teljesül a

következ®:

uµ∂µ

(ra

ta· τ

b

tb

)= 0. (69)

Következ® lépésben a g(xµ) függvény alakját rögzítettem le egy igen egyszer¶ választással, ezzel egy-szer¶sítve a további munkát:

g(xµ) = 1. (70)

Ezzel a választással leegyszer¶södik az energiaegyenletb®l adódó (66) egyenlet:

χ′(S)

χ(S)= − ∂µ∂

µS

∂µS∂µS. (71)

14

Illetve az Euler-egyenletb®l jöv® (58) egyenlet is egyszer¶bb alakot ölt:

π′(S)

χ(S)= (κ+ 1)

[−3

F (τ)

κτ+ F ′(τ)

]. (72)

Mivel itt az egyenlet bal oldala csak S függvénye, így a (κF ′(τ)− 3F (τ)/τ)(κ + 1)/κ kifejezésnekkonstansnak kell lennie, tehát a következ® di�erenciálegyenletet kell megoldani:

κF ′(τ)− 3F (τ)

τ= K, ahol K konstans. (73)

Ezzel az F (τ) függvény megadható a következ® alakban:

F (τ) = τ + cτ0

(τ

τ0

) 3κ

, ahol c tetsz®leges, dimenziótlan konstans. (74)

Mivel a sebességperturbációban már volt egy tetsz®leges konstans (δ), így az F (τ) függvényt úgyválasztottam, hogy ne adjon az is az egész egyenletrendszerre vonatkozó további tetsz®leges konstansszorzóként megjelen® járulékot, mivel akkor is ugyanezt a megoldást kapnánk. Ezzel a (72) egyenletb®la következ® összefüggésre jutottam:

π′(S) =(κ+ 1)(κ− 3)

κχ(S). (75)

A kontinuitási egyenletb®l jöv® (68) egyenlet alakja is kis mértékben egyszer¶södik. Ám továbbra is egyismeretlen h(xµ) függvényt tartalmaz. Ahhoz, hogy erre a függvényre is találjak egy megfelel® alakot,felhasználom azt a felismerést, hogy az S = rm/tm skálaváltozó mellett megoldható az említett (68)egyenlet, ha a következ® teljesül: (

τ + cτ0

(ττ0

) 3κ

)uµ∂µh(xµ)

= τ2. (76)

Ennek ismeretében rögzítettem a kés®bbiekre nézve a h(xµ) függvényt. Fontos, hogy ez csupán egytetsz®leges választás, és a megoldásosztályban más h(xµ) függvényekhez tartozó megoldások is lehetnek.Tehát a választott függvény:

h(xµ) = ln

(τ

τ0

)+ c

κ

3− κ

(τ

τ0

) 3κ−1

, ha κ 6= 3, (77)

h(xµ) = (1 + c) ln

(τ

τ0

), ha κ = 3. (78)

Ezzel a skálaváltozóra, és a bevezetett függvényekre vonatkozó egyenletek közül a (85) a következ®alakúra módosul:

ν(S) = −τ2∂µS∂µSχ(S)N ′(S). (79)

Ezzel a megoldásosztályban már csak a sklálaváltozó és a skálafüggvények nincsenek meghatározva.Így a fentiek alapján rögzített g(xµ) és h(xµ) függvények mellett a megoldásosztály a következ® alakotölti:

δuµ = δ ·

[τ + cτ0

(τ

τ0

) 3κ

]∂µSχ(S), (80)

δp = δ · p0(τ0τ

)3+ 3κπ(S), (81)

δn = δ · n0(τ0τ

)3 [ln

(τ

τ0

)+ c

κ

3− κ

(τ

τ0

) 3κ−1]ν(S). (82)

15

Továbbá teljesülnie kell a skálafüggvényekre vonatkozó alábbi három egyenletnek is:

χ′(S)

χ(S)= − ∂µ∂

µS

∂µS∂µS, (83)

π′(S) =(κ+ 1)(κ− 3)

κχ(S), (84)

ν(S)

χ(S)N ′(S)= −τ2∂µS∂µS. (85)

Ezzel probléma a konkrét skálaváltozó megválasztására redukálódott. Ez a probléma már jóval kö-nyebb, mint az eredeti di�erenciálegyenletrendszer, több megoldását is megtaláltam. A rögzített (77)h(xµ) és (70) g(xµ) függvények mellett a következ® skálaváltozók megoldják a perturbációk skálafügg-vényeire vonatkozó (83), (84) és (85) egyenleteket:

S =rm

tm, S =

rm

τm, S =

τm

tm. (86)

A továbbiakban ezekkel a skálaváltozó alakokkal foglalkozom, így eljutva a megoldásosztály egy konkréttagjához.

5.1.1. Kiválasztott skálaváltozóra vonatkozó megoldás

Vizsgáljuk most a korábban felsoroltak közül a S = rm/tm esetet, amely gömbszimmetrikus rendszere-ket írhat le. Ez a skálaváltozó teljesíti az eredeti Hubble-folyásból származó (16) feltételt (uµ∂µS = 0).Fontos továbbá, hogy az eredeti megoldás nem függ közvetlenül a skálaváltozótól, csak annak függ-vényét®l a száms¶r¶ségben lév® N (S) függvény formájában. Így az eredeti megoldás alakja mindenm kitev® esetén lehet ugyanaz. Érdemes el®ször kiszámolni a skálaváltozó négyesgradiensét, annakLorentz-hosszát, illetve a d'Alambert-operátor hatását a skálaváltozóra. Ezek a következ® alakúak:

∂µS =

(−m rm

tm+1,mx

rm−2

tm,my

rm−2

tm,mz

rm−2

tm

), (87)

∂µS∂µS =

m2

t2

[(rt

)2m−(rt

)2m−2], (88)

∂µ∂µS =

m(m+ 1)

t2

[(rt

)m−(rt

)m−2]. (89)

(90)

Felhasználom továbbá az alábbi összefüggést:

τ2

t2= (1− S2/m). (91)

A fentieket el®ször a sebességperturbáció skálafüggvényére vonatkozó (83) egyenletbe helyettesítem be,ez adja az els® feltételt a skálaváltozóra. Ebben az esetben a (89) és a (88) kifejezések hányadosa a (91)összefüggés segítségével átalakítható, így ki tudjuk fejezni csupán a skálaváltozó segítségével. Ezzel askálaváltozóra kirótt feltételek közül láthatjuk, hogy teljesül a (83) egyenlet miatti megszorítás is. Egyegyszer¶ di�erenciálegyenletet kapok χ(S)-re nézve:

χ′(S)

χ(S)= −m+ 1

mS(92)

Ennek megoldása a következ® alakú:

χ(S) = χ0S−m+1

m (93)

16

Itt a χ0 egy tetsz®leges konstans, mivel ez kés®bb minden perturbációban szorzóként jelenik meg,viszont minden perturbációban azonosan van már egy tetsz®leges perturbációs paratméterünk (δ), ígya χ0 értékét a kés®bbiekre nézve χ0 = 1-nek rögzítem. Így a perturbációkban lév®, skálaváltozótólfügg® χ(S),π(S) és ν(S) függvények alakja a következ®:

χ(S) = S−m+1m , (94)

π(S) = −(κ+ 1)(κ− 3)

κmS−

1m , (95)

ν(S) = m2Sm−1m

(S

2m − 1

)(1− S−

2m

)N ′(S). (96)

Ezzel a megoldásosztály egy sz¶k csoportját határoztam meg, amely a c és δ konstansokon kívül az mkitev®re, és az N (S) függvényre nézve továbbra is tetsz®leges. A perturbációk alakja ebben az esetben:

δuµ = δ ·

(τ + cτ0

(τ

τ0

) 3κ

)∂µS, (97)

δp = −δ · p0(τ0τ

)3+ 3κ (κ+ 1)(κ− 3)

κmS−

1m , (98)

δn = δ · n0(τ0τ

)3(ln

(τ

τ0

)+ c

κ

3− κ

(τ

τ0

) 3κ−1)m2S

m−1m

(S

2m − 1

)(1− S−

2m

)N ′(S). (99)

Következ® lépésként az m kitev® értékének, és a N (S) függvény alakjának megválasztásával egy olyankonkrét alakhoz lehet eljutni, amelyben csupán kett®, perturbációra jellemz® szabad konstans marad.Ezen paraméterek hatását már könnyen lehet vizsgálni a perturbált mez®kre, illetve a számolhatómennyiségekre is.

5.1.2. A skálaváltozó egy másik esete

Következ®ként a 5.1.1. szakaszban említett megoldás m = 2 esetén adódó speciális esetét vizsgál-juk. A (94), (95) és (96) egyenletek alapján egyszer¶en megkaphatjuk a keresett χ(S), π(S) és ν(S)függvényeket. Ha elvégezzük a behelyettesítést, akkor a következ® adódik:

χ(S) = S−32 , (100)

π(S) = −2(κ+ 1)(κ− 3)

κS−

12 , (101)

ν(S) = 4(S − 1)2S−12N ′(S). (102)

Következ® lépés a N (S) függvény megválasztása, amely az eredeti száms¶r¶ségben szerepel. Itt azadott id®pillanatban Gauss-eloszlás szer¶ száms¶r¶séget feltételezek, amely a valós �zikai rendszernekegy jó közelítése. Noha ez a megoldás gömbszimmetrikus, mutatja a perturbáció jellegét, ahogyan azta következ®kben tárgyaljuk. Válasszuk tehát N (S) alakját a következ®képp:

N (S) = e−br2

t2 = e−bS (103)

Ezzel a száms¶r¶ségperturbációban szerepl® ν(S) alakját is meg lehet határozni (110) alapján:

ν(S) = 4b(1− S)2S−12N (S) (104)

17

Ezzel már egyszer¶en megkaphatjuk a perturbációk alakját is, amik a következ®k lesznek:

δuµ = δ ·

(τ + cτ0

(τ

τ0

) 3κ

)S−

32∂µS, (105)

δp = −δ · 2p0(τ0τ

)3+ 3κ (κ+ 1)(κ− 3)

κS−

12 , (106)

δn = δ · 4bn0(τ0τ

)3(ln

(τ

τ0

)+ c

κ

3− κ

(τ

τ0

) 3κ−1)

(1− S)2S−12N (S). (107)

Ezek után megvizsgálhatjuk a megoldásosztály egy másik tagját, amely az itt felírt megoldáshoz ha-sonlóan az S = rm/tm skálaváltozó egy tetsz®leges kitev®höz tartozó esete.

5.1.3. A skálaváltozó harmadik esete

A 5.1.1 alfejezet speciális eseteként vegyük az m = −1 esetet. Ebben az esetben láthatóan a χ(S)függvény alakja igen egyszer¶ lesz (94) alapján. Illetve a többi függvény alakja is egyszer¶en megha-tározható:

χ(S) = 1, (108)

π(S) =(κ+ 1)(κ− 3)

κS, (109)

ν(S) =(1− S2

)2N ′(S). (110)

Itt is a 5.1.2. szakaszhoz hasonló megfontolás alapján válasszuk a N (S) = e−br2

t2 = e−bS−2

függvényt.Ezzel a ν(S) függvény alakja a következ®:

ν(S) = 2bS−3(1− S2

)2N (S). (111)

Ezzel megkaptuk a megoldásosztály egy konkrét tagját a következ® formában:

δuµ = δ ·

(τ + cτ0

(τ

τ0

) 3κ

)∂µS, (112)

δp = δ · p0(τ0τ

)3+ 3κ (κ+ 1)(κ− 3)

κS, (113)

δn = δ · 2bn0(τ0τ

)3(ln

(τ

τ0

)+ c

κ

3− κ

(τ

τ0

) 3κ−1)S−3

(1− S2

)2N (S). (114)

A kapott mez®kben már csak a c és a δ szabad paraméterek szerepelnek, olyan tekintetben, hogya többi konstans paratmétert az eredeti megoldás is tartalmazza (b, n0, p0, τ0, κ). Ez a megoldásgömbszimmetrikus, így egy kiválasztott origótól nézve bármely radiális irányban vizsgálva azonos me-z®kkel találkozunk. Vizsgáljuk ennek megfelel®en egy dimenzióban az eredeti és a perturbált mez®ket.Az eredeti megoldásban szerepl® τ0, κ és b konstansokat a nehézion-ütközésekben jellemz® értékeknekválasztottam [34]. A p0 és n0 paramétereketet ebben az esetben tetsz®legesen választottam, a paramé-tereket a 1. táblázat tartalmazza. Ezekhez képest tudtam vizsgálni a δ és a c paraméter hatását.

Els®ként egydimenziós ábrákon vizsgáltam a perturbációk jellegét, minden mez®nél rögzített τ = 6fm/c, c = −3 és δ = 0.001 értékek mellett. Az eredeti négyessebesség x irányú komponense az xtávolság függvényében és a perturbált mez® x irányú komponense az x távolság függvényében az 5.ábrán láthatóak. Látszik, hogy a sebességperturbáció a skálaváltozó által meghatározott régió közepénad jelent®s járulékot, távolabb nem érezhet® a hatása. Megvizsgálhatjuk továbbá a c és δ paraméterekváltoztatásának hatását a sebességperturbációra. Ezt láthatjuk a 6. ábrán, ahol az eredeti és a per-turbált mez®k arányát hasonlítom össze. Láthatóan a δ paraméter a perturbáció nagyságát határozza

18

τ0 [fm/c] 7.7κ 10b -0.1

T0 [MeV] 170

1. táblázat. Az ábráknál használt paraméterek

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

u x+

δux

x [fm]

δ=0δ=0.001, c=-3

τ=6 fm/c

5. ábra. Az eredeti négyessebesség és a perturbált mez® x komponense τ = 6 fm/c-nél ábrázolva.

meg, ahogyan vártuk. A c paraméter viszont a sebesség irányát is megváltoztatja, ezzel sokkal draszti-kusabb változást el®idézve. Az eddig említett ábrák, mind egy statikus sajátid®beli állapotot, a τ = 6fm/c pillanatot ábrázolták. Ám megnézhetjük azt is, hogy id®ben hogyan változik a perturbáció. Asebességperturbáció esetében ezt láthatjuk a 7. ábrán. Itt a hármassebesség perturbációja látható azx − y síkon, négy különböz® egymást követ® pillanatban. Látható, hogy a perturbáció id®ben egyrenövekszik.

Következ®ként rátérhetünk a nyomásmez®re, és annak perturbációjára. Ebben az esetben is el®ször,az el®z® esethez hasonlóan rögzített δ = 0.001 és τ = 6 fm/c értékek mellett vizsgáltam az eredeti és aperturbált mez® viszonyát egy dimenzióban, az x tengely mentén, ez látható a 8. ábrán. Látható, hogy asebességmez®höz hasonlóan itt is az x szerint lecseng® perturbációt kaptunk. Ezután megvizsgálhatjuka δ paraméter hatását a perturbációra, a nyomásperturbáció független a c értékét®l. Ennek megfelel®ena 9. ábrán az eredeti és a perturbált mez®k aránya látható, különböz® δ paraméterek mellett. A δ ittis várakozásunknak megfelel®en a perturbáció er®sségét határozza meg.

Megvizsgálhatjuk még a nyomásperturbáció id®fejl®dését is. Ezt a 10. ábrán láthatjuk, ahol négykülönböz® id®pillanatban ábrázoltam az x − y síkon a nyomásperturbáció nagyságát. Láthatóan anyomásperturbáció az id® el®rehaladtával lecseng, épp ellentétben a 7. ábrán látható id®ben növekv®sebességperturbációval.

Végül vizsgáljuk meg a száms¶r¶ségperturbáció hatását. A korábbiakhoz hasonlóan el®ször az ere-deti száms¶r¶ség és a perturbáció viszonyát vizsgáltam, rögzített τ = 6 fm/c, δ = 0.001 és c = −3értékek mellett. A gömbszimmetria miatt ebben az esetben is csak egy dimenzióban az x tengelymentén vizsgáltam a mez®ket. Ahogy az a 11. ábrán is látható a perturbáció a nyomáshoz és a négyes-sebességhez hasonlóan x irányban gyorsan lecseng.

Következ®ként megvizsgálhatjuk, hogy milyen hatással van a száms¶r¶ségperturbációra a c és δparaméterek megváltoztatása. A 12. ábrán az eredeti és a perturbált mez®k aránya látható, különböz®c és δ értékek mellett. Láthatóan a δ ebben az esetben is a perturbáció er®sségét szabályozza. A cparaméter azonban a perturbáció jellegét meg tudja változtatni olyan módon, hogy az többletjárulékot

19

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

(ux+

δux)

/ux

x [fm]

δ=0δ=0.001, c=-3δ=0.001, c=2,

δ=0.0005, c=-3δ=0.0005, c=2

τ=6 fm/c

6. ábra. A perturbált és az eredeti négyessebesség x irányú komponenseinek aránya, különböz® δ és cparaméterek esetén.

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

y [fm

]

x [fm]

τ=3 fm/c

-2 -1 0 1 2x [fm]

τ=4 fm/c

-2 -1 0 1 2x [fm]

τ=6 fm/c

-2 -1 0 1 2x [fm]

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

τ=8 fm/c

7. ábra. A sebességperturbáció id®fejl®dése az x− y síkban.

2.1

2.15

2.2

2.25

2.3

2.35

2.4

2.45

2.5

1 2 3 4 5 6 7 8

(p+

δp)/

p 0

x [fm]

δ=0δ=0.001

τ=6 fm/c

8. ábra. Az eredeti nyomás és a perturbált mez® az x tengely mentén τ = 6 fm/c-nél.

20

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

1 2 3 4 5 6

(p+

δp)/

p

x [fm]

δ=0δ=0.01

δ=0.005δ=0.001

δ=0.0005

τ=6 fm/c

9. ábra. Az eredeti és a perturbált nyomás aránya, különböz® δ paraméterek mellett.

-2 -1 0 1 2x [fm]

-2

-1

0

1

2

y [fm

]

τ=3 fm/c

-2 -1 0 1 2x [fm]

τ=4 fm/c

-2 -1 0 1 2x [fm]

τ=6 fm/c

-2 -1 0 1 2x [fm]

0.1

1

10

100

τ=8 fm/c

10. ábra. A nyomásperturbáció sajátid® szerinti id®fejl®dése az x− y síkon.

0

0.5

1

1.5

2

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

(n+

δn)/

n 0

x [fm]

δ=0δ=0.001, c=-3

τ=6 fm/c

11. ábra. Az eredeti száms¶r¶ség és a perturbált mez® az x tengely mentén rögzített δ = 0.001, c = −3és τ = 6 fm/c értéknél.

21

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

(n+

δn)/

n

x [fm]

δ=0δ=0.01, c=-3δ=0.01, c=2

δ=0.005, c=-3δ=0.005, c=2

τ=6 fm/c

12. ábra. Az eredeti és a perturbált száms¶r¶ségek aránya az x tengely mentén, különböz® δ és c értékekmellett.

ad az eredeti mez®höz, vagy csökkenti azt.Láthatóan ez a megoldás nagy perturbációt eredményez kis x, y, z értékekre (azaz kis radiális tá-

volságra), és a következ®kben ilyen tulajdonsággal nem rendelkez® alosztályokat is keresünk, ennekellenére kés®bb látni fogjuk, hogy ez a mérhet® mennyiségekben nem játszik érdemi szerepet. Tehátnoha a nagy perturbációk tartománya nem realisztikus, a teljes térid®fejl®désben ez elhanyagolható já-rulékot ad a meg�gyelhet® mennyiségekhez. További megoldásokat is találhatunk, ezek közül néhányataz A. függelékben tárgyalok. Következ®kben térjünk rá a meg�gyelhet® mennyiségekre.

6. Mérhet® mennyiségek kiszámítása

A nehézion-ütközéseknél a nyomás, száms¶r¶ség vagy sebességmez®ket közvetlenül nem lehet mérni,helyette a hadronizáció során keletkez® részecskék eloszlását vizsgáljuk. A hidrodinamikai modelleklehet®séget nyújtanak többek között a részecskék impulzuseloszlásának vizsgálatára is. Els®ként aztfeltételezve, hogy a részecskék egy termalizált közegb®l, azaz a kvark-gluon plazmából származnak,felírhatjuk a relativisztikus Jüttner-eloszlás forrásfüggvényét a következ® alakban:

S(x, p) = Nn exp

(−pµu

µ

T

)H(τ)pµd

3Σµ(xµ)dτ, (115)

aholN egy normálási faktor, pµ pedig a részecske négyesimpulzusa. A pµd3Σµ(xµ) a Cooper�Frye-faktor

[38], a d3Σµ(xµ) a kifagyási hiperfelület vektormértéke , ennek Lorentz-szorzata a pµ négyesimpulzussaladja a részecske�uxust. Feltétezzük, hogy a kifagyás konstans τ0 sajátid®nél történik, pillanatszer¶en.Így a H(τ) függvény a τ0 id®pillanathoz tartozó Dirac-delta lesz:

H(τ) = δ(τ − τ0). (116)

A Cooper�Frye-faktor pedig a következ®képp néz ki:

pµd3Σµ(xµ) =

pµuµ

u0d3x (117)

Vizsgáljuk a forrásfüggvényt is a hidrodinamikai mez®k szerint els® rendben perturbálva. Ehhez a(115) egyenletbe behelyettesítem az általánosan perturbált mez®ket. Fontos, hogy a h®mérsékletben is

22

perturbációt viszünk a rendszerbe:

T → T + δT. (118)

Ahol a h®mérséklet perturbációját a nyomás és a száms¶r¶ség perturbációival fejezem ki a p = nTösszefüggés segítségével:

T + δT =p

n+

(δp

n− pδn

n2

). (119)

Ezzel az általam talált megoldásosztályra fel tudom írni a h®mérsékletperturbációt, ami a következ®alakú:

δT = δ · T0(τ0τ

) 3κ N (S)π(S)− h(xµ)ν(S)

N 2(S). (120)

Ezután a forrásfüggvénybe behelyettesítve az általános perturbációkat, megkaphatjuk az általánosperturbációkra nézve els® rend¶ forrásfüggvényt:

S(x, p) = Nn exp

(−pµu

µ

T

)δ(τ − τ0)

pµuµ

u0

[1 +

δu0

u0+pµδu

µ

pνuν− pµδu

µ

T+pµu

µδT

T 2+δn

n

]dτdx3

(121)Ezután vizsgáljunk egy konkrét megoldást, és annak perturbációit. Tekintsük most a Hubble-folyást ésaz általam talált perturbatív megoldásosztályt. El®ször a perturbatív megoldásosztályt, és a Hubble-folyást is általános esetben írom fel, tetsz®leges S, h(xµ), g(xµ), F (τ) és N (S) függvények mellett.Ebben az esetben a (121) egyenletbe helyettesítve az eredeti mez®ket (17)-(20), és perturbációkat(80)-(82), (120) a következ® alakú forrásfüggvényt kapjuk:

S(x, p) =Nδ(τ − τ0)dτd3xn0(τ0τ

)3N (S) exp

− pµuµ

T0(τ0τ

) 3κ

N (S)

(τpµuµt

)·

·

[1 + δ

(− F (τ)g(xµ)∂0Sχ(S)τ

t+F (τ)g(xµ)χ(S)t

τpµuµpµ∂

µS +F (τ)g(xµ)χ(S)

T0(τ0τ

) 3κ

+(pµu

µ)(N (S)π(S)− h(xµ)ν(S))

T0(τ0τ

) 3κ

+h(xµ)ν(S)

N (S)

)].

Ezután kiválasztva a h(xµ)-nak a (77), g(xµ)-nek (70), F (τ)-nak (74), S-nek pedig a 5.1.3. szekcióbantárgyalt alakját. Illetve az eredeti megoldásból származó N (S)-nek a következ® alakot feltételezve:

N (S) = e−bx

2+y2+z2

R02t2 (122)

A forrásfüggvény nemmérhet®, mivel tartalmazza a részecskék keletkezési helyét. Így a térid®-koordinátákrakell kiintegrálni a forrásfüggvényt, hogy megkapjuk az egyrészecske impulzuseloszlást. El®ször a τ -ranézve végzem el az integrált, miután az id®változót is kifejeztem τ -val. Ezután az integrál értékétGauss-féle nyeregpronti közelítéssel számolom ki, ami azt jelenti, hogy egy f(x) · g(x) alakú függvényintegrálját a következ®képpen közelítem, ha x0-ban g(x)-nek éles maximuma van, f(x) pedig lassanváltozó függvény: ∫

f(x)g(x) = f(x0)g(x0)

√2π

−(ln(g(x0)))′′(123)

Ezt azért tehetem meg, mert azzal a feltételezéssel élhetünk a kvark-gluon plazma kifagyásával kap-csolatban, hogy τ20 >> r2. Ebben az esetben az integrált két tagra lehet bontani az alapján, hogy a

23

két tagnak hol van a maximuma. Ez alapján más pontok körül végezzük a nyeregponti közelítést a kétesetben. Az integrál tehát:∫ ∞

−∞S(x, p)d3x = I1 + I2, ahol (124)

I1 =

∫ ∞−∞

d3xNn0ζ(1)f0 (1 + ε1 + ε2 + ε3) , (125)

I2 =

∫ ∞−∞

d3xNn0ζ(2)f0 (ε4 + ε5) . (126)

Ahol a bevezetett ζ(1), ζ(2) és f0 függvények alakja a követez®:

ζ(1) = exp

[−E

√τ20 + r2 − xpx − ypy − zpz

τ0T0exp

(−b r2

R02√

τ20 + r2

)− b r2

R02√

τ20 + r2

], (127)

ζ(2) = exp

[−E

√τ20 + r2 − xpx − ypy − zpz

τ0T0exp

(−b r2

R02√

τ20 + r2

)− 2b

r2

R02√

τ20 + r2

], (128)

f0 =

(E − xpx + ypy + zpz√

τ20 + r2

), (129)

az εi pedig az egyes perturbációkból származó tagok, amelyeket majd csak a közelítés elvégzése utánírok ki. A bevezetett ζ(1) és ζ(2) gyorsan változó közel Gauss-alakú függvények, amelyeket el®szörmásodrendig sorba fejtek, majd teljes négyzetté alakítva megkaphatjuk a maximum helyét másodrend¶közelítésben. A függvényeket sorbafejtve és rendezve a következ®t kaptam:

ζ(1) = exp

[−E

2 +m2

2ET0− p2

2ET1

]exp

−(x− x(1)s

)22R2

1

−

(y − y(1)s

)22R2

1

−

(z − z(1)s

)22R2

1

, (130)

ζ(2) = exp

[−E

2 +m2

2ET0− p2

2ET2

]exp

−(x− x(2)s

)22R2

2

−

(y − y(2)s

)22R2

2

−

(z − z(2)s

)22R2

2

. (131)

Ahol a bevezetett mennyiségek a forrás adott irányban vett maximumának helyét (xs, ys, zs), és aforrásfüggvény szélességét (R1 és R2) adják meg. Illetve a Gauss-szer¶ eloszlás logaritmikus inverzmeredekségéb®l egy új e�ektív h®mérsékletet (T1 és T2) is be lehet vezetni. A hagyományos Maxwell�

Boltzmann-eloszlásban ehhez hasonlóan az e−ET esetén a h®mérséklet az inverz logaritmikus meredek-

ség. Ezek a mennyiségek a következ®k:

T1 = T0 +T0ER0

2

2b(T0 − E), T2 = T0 +

T0ER02

2b(2T0 − E), (132)

R21 =

T0τ20 (T1 − T0)ET1

, R22 =

T0τ20 (T2 − T0)ET2

, (133)

x(1)s =pxτ0(T1 − T0)

ET1, x(2)s =

pxτ0(T2 − T0)ET2

, (134)

y(1)s =pyτ0(T1 − T0)

ET1, y(2)s =

pyτ0(T2 − T0)ET2

, (135)

z(1)s =pzτ0(T1 − T0)

ET1, z(2)s =

pzτ0(T2 − T0)ET2

. (136)

24

Vezessük be a kés®bbiekre való tekintettel a következ® jelöléseket is:

r1 =

√(x

(1)s )2 + (y

(1)s )2 + (z

(1)s )2, r2 =

√(x

(2)s )2 + (y

(2)s )2 + (z

(2)s )2, (137)

ρ1 =

√√√√(x(1)spx

)2

+

(y(1)s

py

)2

+

(z(1)s

pz

)2

, ρ2 =

√√√√(x(2)spx

)2

+

(y(2)s

py

)2

+

(z(2)s

pz

)2

. (138)

Ezzel a Gauss-féle nyeregponti közelítéshez megkaptuk a keresett pontokat, amelyek körül a közelí-tést elvégezhetjük. Ennek megfelel®en az egyrészecske impulzuseloszlás egyszer¶en kiszámolható, és akövetkez®képpen adódik:

N(p) = Nn0E1V1(1 + P1 + P2 + P3) +Nn0E2V2(P4 + P5) (139)

Ahol a bevezetett jelölések a következ®k:

E1 = exp

[−E

2 +m2

2ET0− p2

2ET1

], (140)

E2 = exp

[−E

2 +m2

2ET0− p2

2ET2

], (141)

V1 =

√2πT0τ20E

(1− T0

T1

)3(E − p2

E

(1− T0

T1

)), (142)

V2 =

√2πT0τ20E

(1− T0

T2

)3(E − p2

E

(1− T0

T2

)). (143)

A perturbációkból adódó tagok a következ®k:

P1 = − δ(1 + c)τ20r1√τ20 + r21

, (144)

P2 =δ(1 + c)τ0

E − p2ρ21√τ20+r

21

(E

r1− (p2ρ21)

√τ20 + r21r31

), (145)

P3 =δ2bcκ

(3− κ)R20

(r1√τ20 + r21

)3(τ0r1

)4

, (146)

P4 =δ2bE

√τ20 + r22 − p2ρ22R0

2τ0T0

((κ+ 1)(κ− 3)

κ

τ20 + r22r2

− cκ

3− κτ0

)(r2√τ20 + r22

)3(τ0r2

)4

, (147)

P5 = −δ(τ0 + cτ0)

T0

(E

r2− (p2ρ22)

√τ20 + r22r32

). (148)

Észrevehetjük, hogy az eloszlásfüggvényben is megjelenik az, amit a 5.1.3. szekcióban már említettem,miszerint a kapott megoldás gömbszimmetrikus. Ez az oka többek között annak, hogy a bevezetette�ektív h®mérsékletek minden irányban azonosak, illetve, hogy az eloszlásfüggvény az impulzustólcsak négyzetesen p2-en keresztül függ. Ez azt is jelenti, hogy ha áttérünk nyalábirányú (pz), illetvetranszverz impulzusra (pt), akkor a p2 = p2t + p2z helyettesítést egyszer¶en elvégezhetjük. Ezt követ®en�gyelembe véve azt, hogy például a RHIC kísérleteiben a detektorok gyakran csak olyan részecskékettudnak mérni, amelyekre igaz, hogy a longitudinális impulzus elhanyagolható a transzverz impulzushozképest, így érvényes a pz ≈ 0 közelítés [2,34]. Ezzel arra az eredményre jutunk, hogy ebben az esetbena transzverz impulzuseloszlás alakja megegyezik a kiszámított egyrészecske impulzuseloszlással, csak ap2 → p2t cserét kell megtennünk.

25

0.999

0.9992

0.9994

0.9996

0.9998

1

1.0002

1.0004

1.0006

1.0008

1.001

200 600 1000 1400

(N1(

p t)+

δN1(

p t))

/N1(

p t)

pt [MeV/c]

δ=0, c=0δ=0.1, c=-3δ=0.5, c=-3δ=0.5, c=2

δ=0.5, c=-9

13. ábra. Transzverz impulzuseloszlás esetén a perturbált és az eredeti eloszlások aránya különböz® δés c értékek esetén.

A transzverz impulzuseloszlás hidrodinamikai vizsgálatát elvégezték már többek között a RHIC PHE-NIX kísérletének adataira. Ennél a vizsgálatnál az általam is használt Hubble-típusú megoldást hasz-nálva [34], a pionok transzverz impulzuseloszlásának illesztésénél a 200 GeV-es tömegközépponti ener-giájú Au+Au ütközések adatait használták [39]. Ennek a hidrodinamikai vizsgálatnak a paramétereithasználtam, így a perturbációk hatását egy valós impulzuseloszláson vizsgálhattam.

τ0 [fm/c] 7.7κ 10b -0.1N 0.0022

T0 [MeV] 170m [MeV] 139

R02

1

2. táblázat. Az ábráknál használt paraméterek, amelyek alapja a [34] cikk

Az implzuseloszlás esetén a perturbáció hatását érdemes a perturbált és az eredeti mez®k arányánkeresztül vizsgálni. Ezt az arányt a 13. ábrán láthatjuk külöböz® c és δ értékek mellett. Láthatóan aperturbáció ebben az esetben is egyszer¶ módon függ a δ perturbációs paramétert®l. A c paraméterazonban jóval nagyobb hatással van a perturbált eloszlás alakjára. De alapvet®en azt mondhatjuk,hogy a perturbációkból adódó változás minden esetben kicsi.

Ezután még megvizsgálhatjuk a rendszer geometriai méretét jellemz® HBT-sugarat [40,41]. Ebbenaz esetben a Bose�Einstein-korrelációs függvény kétkomponens¶ Gauss-függvény. A számolás során be-vezetett R1 és R2 mennyiségek (133) felelnek meg a két külön komponenst jellemz® sugaraknak. Az R1

sugár tartozik az eredeti rendszerhez, illetve három perturbatív taghoz, R2 pedig kett® perturbációhoztartozó sugarat jelöli, így ennek a két sugárnak valamilyen függvénye lesz a teljes perturbált rendszerrejellemz® HBT-sugár. Mivel a kett® számolt sugár csak kis mértékben tér el egymástól, így az összetettstruktúra HBT-sugara csak kis mértékben fog eltérni az eredetit®l. A 14. ábra bal oldalán a kett®különböz® sugarat láthatjuk a transzverz impulzus függvényében ábrázolva, a használt paramétereketa 2. táblázat tartalmazza. Látható, hogy a perturbációk miatt adódó második sugár nagyobb impulzu-

26

2.5 3

3.5 4

4.5 5

5.5 6

6.5 7

200 400 600 800

R1,

R2

[fm]

pt [MeV/c]

R1(pt)R2(pt)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

200 400 600 800

1/R

12 , 1/R

22 [1/fm

2 ]

mt [MeV/c2]

1/R12(pt)

1/R22(pt)

14. ábra. Jobb oldalon a rendszer geometriai méretét jellemz® R1 és R2 sugarak a transzverz impulzusfüggvényében. Baloldalon a sugarak skálázása a transzverz tömeg függvényében

soknál kisebb mértékben tér el az eredeti sugártól. A 14. ábra jobb oldalán láthatjuk, hogy a számoltHBT-sugarakra teljesül az következ® skálázás R−2 ∝ a + b · mt, ahol a és b konstansok, mt pedig atranszverz tömeg. Ez a skálázás a kísérleti adatokban is megjelenik centralitástól, ütközési energiátólés részecsketípustól függetlenül [42,43].

Az eddig vizsgált mennyiségeken kívül még további mérhet® mennyiségek is kiszámolhatóak. Az itttárgyalt konkrét megoldás gömbszimmetrikus, ám a megoldásosztályt többpólusú rendszerekre általá-nosítva a kés®bbiekben lehet®ség nyílhat az eddigi mennyiségek mellet az elliptikus folyás vizsgálatárais.

7. Összefoglalás

Az ultrarelativisztikus nehézion-ütközésekben létrejöv® kvark-gluon plazma egyik fontos modellje azadatokat igen jól leíró relativisztikus hidrodinamika. Munkám célja a relativisztikus hidrodinamikaáttekintése, valamint egy új, a nagyenergiás nehézion�zikában hasznos, analitikus megoldásosztálymegtalálása volt. Ehhez a nagyenergiás �zikában ismert egyetlen egzakt, analitikus és realiszikus,háromdimenziós megoldást vettem alapul, amely Hubble-tágulást ír le. Ezen megoldás perturbáció-it vizsgálva egy új, széleskör¶ perturbatív megoldásosztályt írtam fel. Ez az új, korábban nem ismertmegoldásosztály perturbációként írja le a rendszerben fellép® nyomásgradienst és az ebb®l adódó gyor-sulást, azaz a Hubble-tágulástól való eltérést. A perturbációk az eredeti mez®khöz igen hasonló alakotöltenek, az eredeti megoldáshoz hasonló skálaparaméter-függést mutatnak, azzal együtt tágulnak, ésskálájukat egy közös perturbációs paraméter szabályozza.

A megoldásosztály egy speciális, egyszer¶ tagját vizsgálva kiszámoltam az abból származó egy-részecske invariáns impulzuseloszlást, a transzverz impulzus eloszlását illetve a részecskekelt® forrásskáláját leíró sugarakat. Az így kapott eredményeket összevetettem az eredeti Hubble-megoldásbóladódóakkal, és vizsgáltam a perturbáció paramétereinek hatását.

Következ® céljaim közé tartozik az általam felírt megoldásosztály speciális új tagjainak, többekközött multipoláris szimmetriával rendelkez®knek keresése. Ehhez els® körben a tetsz®legesen választ-ható, de általam egyszer¶ megoldáshoz vezet® alakúra rögzített h(xµ) és g(xµ) függvényekre tervezekmás alakot feltenni, illetve más, multipoláris skálaváltozók lehet®ségét is vizsgálni fogom. A munkámsorán feltárt módszert többféle ismert megoldás perturbációinak vizsgálatára is tervezem hasznosítani.

Végezetül megemlítem, hogy a munkám során talált perturbatív megoldásosztály alapvet® tulajdon-ságairól a [36] konferenciaközlemény formájában publikáció készült. A megoldásosztályból számolhatómérhet® mennyiségek, valamint a megoldásosztály további konkrét alosztályainak vizsgálata a követ-kez® tudományos közleményünk alapját képezi majd.

27

Hivatkozások

[1] Bennett, C.L.; et al. The Astrophysical Journal Supplement Series. 208: 20. (2013) ar-Xiv:1212.5225

[2] K. Adcox et al. (PHENIX Collaboration), Nucl. Instrum. Meth. A499, 469 (2003).

[3] P. Jacobs, X. Wang: Prog. Part. Nucl. Phys. 54: (2005) 443-534. arXiv:hep-ph/0405125

[4] C. Adler et al. (STAR Collaboration). Phys. Rev. Lett. 90 082302. (2003).

[5] J. Adams, et al. (STAR Collaboration) Nucl. Phys. A757: 102-183, (2005) arXiv:nucl-ex/0501009

[6] K. Adcox et al. (PHENIX Collaboration). Phys. Rev. Lett. 88 022301, (2002). arXiv:nucl-ex/0109003

[7] K. Adcox et al. (PHENIX Collaboration), Nucl. Phys. A 757, 184 (2005). arXiv:nucl-ex/0410003

[8] A. Adare, et al. (PHENIX Collaboration) Phys. Rev. Lett. 98: 232-301, (2007). arXiv:nucl-ex/0611020

[9] Aamodt K et al. (ALICE Collaboration) Phys. Lett. B696 30�39 (2011) arXiv:1012.1004

[10] Aamodt K et al. (ALICE Collaboration) Phys. Rev. Lett. 105 252302 (2010) arXiv:1011.3914

[11] Chatrchyan S et al. (CMS Collaboration) Eur. Phys. J. C72 1945 (2012) arXiv:1202.2554

[12] Chatrchyan S et al. (CMS Collaboration) Phys. Rev. C87 014902 (2013) arXiv:1204.1409

[13] E. Shuryak: Prog. Part. Nucl. Phys. 53: 273-303. (2004). arXiv:hep-ph/0312227

[14] R. Lacey et al., Phys. Rev. Lett. 98 092301 (2007)

[15] H.-J. Drescher et al., Phys. Rev. C76 024905 (2007) arXiv:0704.3553

[16] S. Gavin, M. Abdel-Aziz, Phys. Rev. Lett. 97 162302 (2006) arXiv:nucl-th/0606061

[17] C.M.Hung, E.V.Shuryak (SUNY at Stony Brook): Phys.Rev.Lett. 75 (1995) 4003-4006. arXiv:hep-ph/9412360

[18] F. Becattini, M. Bleicher, E. Grossi, J. Steinheimer, R. Stock, Phys. Rev. C 90, 054907 (2014)arXiv:1405.0710 [nucl-th]

[19] G. Endr®di, Z. Fodor, S. D. Katz and K. K. Szabó, JHEP 1104, 001 (2011) arXiv:1102.1356[hep-lat]

[20] M. Csanád, T. Csörg®, B. Lörstad, A. Ster, J. Phys. G30 S1079-S1082 (2004) arXiv:nucl-th/0403074

[21] M. Csanád, T. Csörg®, B. Lörstad, Nucl. Phys. A742 80-94 (2004) arXiv:nucl-th/0310040

[22] B.Alver, G.Roland, Phys. Rev. C81: 054905, (2010) arXiv:1003.0194 [nucl-th]

[23] A. Adare et al. Phys. Rev. C 93, 051902 (2016) arXiv:1412.1038 [nucl-ex]

[24] A. Adare et al. Phys. Rev. Lett. 107 252301 (2011) arXiv:1105.3928 [nucl-ex]

[25] P. Kovtun, D. T. Son, A. O. Starinets, Phys.Rev.Lett. 94 111601 (2005) arXiv:hep-th/0405231

[26] H. Song, Eur.Phys.J. A48 163 (2012) arXiv:1207.2396 [nucl-th]

28

[27] M. Csanád, M. I. Nagy, S. Lökös, Eur. Phys. J. A48 173 (2012) arXiv:1205.5965 [nucl-th]

[28] L. D. Landau, Izv. Akad. Nauk Ser. Fiz. 17, 51 (1953)

[29] I.M. Khalatnikov, Zhur. Eksp. Teor. Fiz. 27, 529 (1954)

[30] R. C. Hwa, Phys. Rev. D 10, 2260 (1974)

[31] J. D. Bjorken, Phys. Rev. D 27, 140 (1983)

[32] T. Csörg®, L. P. Csernai, Y. Hama, T. Kodama, Heavy Ion Phys. A21 : 73-84, (2004) arXiv:nucl-th/0306004

[33] M. Csanád, A. Szabó , Phys. Rev. C 90, 054911 (2014) arXiv:1405.3877

[34] M. Csanád, M. Vargyas, Eur. Phys. J. A 44, 473 (2010) arXiv:0909.4842

[35] M. Csanád, I. Májer, Central Eur. J. Phys. 10 (2012) arXiv:1101.1279

[36] Kurgyis B., Csanád M., benyújtva az MDPI Universe folyóirathoz arXiv:1711.05446 [nucl-th]

[37] S. Shi, J. Liao, P. Zhuang Phys.Rev. C90 no.6, 064912 (2014) arXiv:1405.4546 [hep-th]

[38] F. Cooper, F. Graham, Phys. Rev. D10 186 (1974)

[39] S. S. Adler et al. (PHENIX Collaboration), Phys. Rev. C 69, 034909 (2004) arXiv:0406004 [nucl-ex]

[40] R. Hanbury Brown, R. Q. Twiss, Nature 178, 1046 (1956)

[41] G. Goldhaber, S. Goldhaber, W. Y. Lee, A. Pais, Phys. Rev. 120 300 (1960)

[42] S. S. Adler et al. (PHENIX Collaboration), Phys. Rev. Lett. 93, 152302 (2004) arXiv:nucl-ex/0401003

[43] S. Afanasiev et al. (PHENIX Collaboration), Phys. Rev. Lett. 103, 142301 (2009) arXiv:0903.4863[nucl-ex]

29

A. Függelék

A.1. További skálaváltozók I.

Röviden tekintsük át az 5.1. fejezetben megemlített skálaváltozókat (86), amiket a h(xµ) függvény (77)szerinti rögzítése mellett találtam. Els®ként vizsgáljuk a

S =τm

tm(149)

esetet. Ahogyan azt az 5.1.1. szekcióban is tettük, írjuk fel a skálaváltozó négyesgradiensét, ennekLorentz-hosszát, illetve a d'Alambert-operátor hatását a skálaváltozóra:

∂µS = m

[τm−1

tmuµ −

τm

tm+1(1, 0, 0, 0)

], (150)

∂µS∂µS = m2S2

[1

t2− 1

τ2

], (151)

∂µ∂µS = mS

[(2−m)

1

τ2+ (n+ 1)

1

t2

]. (152)

Ezek segítségével a (83) egyenlet, amely a χ(s) függvényt határozza meg a következ®képp alakul:

χ′(S)

χ(S)=

1

mS

2−m+ (m+ 1)S2m

1− S2m

. (153)

Ennek megoldása a következ®:

χ(S) = χ0S

2m−1(

1− S2m

) 32

. (154)

Itt az 5.1.1. fejezethez hasonlóan a χ0 konstans értékét 1-nek választom, mivel ez minden perturbáció-ban szorzóként lép fel, viszont már van egy konstans, ami minden perturbációnak szorzótényez®je, eza (δ) perturbációs paraméter. Így tehát a χ(S) függvény alakja ennél a skálaváltozónál:

χ(S) =S

2m−1(

1− S2m

) 32

. (155)

Ebb®l egyszer¶en megkaphatjuk a (84) egyenletb®l a π(S) függvény alakját, ami a következ®képpalakul:

π(S) =(κ+ 1)(κ− 3)

κ

π0 +m√

1− S2m

. (156)

A (85) egyenlet alapján, ami kapcsolatot ad a ν(S), χ(S) és N (S) között, megkaphatjuk ν(S) alakjátis:

ν(S) = m2S2 S2m−1

1− S2m

N ′(S). (157)

30

Ezek segítségével felírhatóak a perturbációs mez®k:

δuµ = δ · (τ + cτ0

(τ

τ0

) 3κ

)∂µSS

2m−1(

1− S2m

) 32

, (158)

δp = −δ · p0(τ0τ

)3+ 3κ (κ+ 1)(κ− 3)

κ

π0 +m√

1− S2m

, (159)

δn = δ · n0(τ0τ

)3(ln

(τ

τ0

)+ c

κ

3− κ

(τ

τ0

) 3κ−1)m2S2 S

2m−1

1− S2m

N ′(S). (160)

Ennél konkrétabb megoldásra az m kitev® és az N (S) függvény megválasztásával juthatunk. Mostazonban tekintsük a másik, korábban említett skálaváltozót.

A.2. További skálaváltozók II.

Legyen a skálaváltozó alakja a következ®:

S =rm

τm(161)

Most is a korábban rögzített h(xµ) függvény (77) alakját használom. Ebben az esetben is írjuk felels®ként a kés®bb használt kifejezéseket. Ezek a skálaváltozó négyesgradiense, ennek Lorentz-hossza,valamint a d'Alambert-operátora:

∂µS = m

[rm−2

τm(0, x, y, z)− rm

τm+1uµ

], (162)

∂µ∂µS = −mS

[(m+ 1)

1

r2+ (m+ 2)

1

τ2

], (163)

∂µS∂µS = −m2S2

[1

r2+

1

τ2

]. (164)

Ezek segítségével els®ként a χ(S) skálafüggvényre vonatkozó (83) egyenletet írjuk fel:

χ′(S)

χ(S)= − 1

mS

m+ 1 + (m+ 2)S2m

1 + S2m

(165)

Ennek megoldása, ha a konstans szorzótényez®t, ami az integrálásnál adódik 1-nek vesszük, a korábbiesetekhez hasonló megfontolásból:

χ(S) =S−

m+1m√

S2m + 1

. (166)

Ezután a másik kett® π(S) és ν(S) skálafüggvényeket is meghatározhatjuk:

π(S) =(κ+ 1)(κ− 3)

κ

[π0 −m

√1 + S−

2m

], (167)

ν(S) = m2S2[S−

2m + 1

] S−m+1m√

S2m + 1

N ′(S). (168)

31

Ezek segítségével felírhatjuk az S = rm/τm skálaváltozóhoz tartozó perturbációkat:

δuµ = δ · (τ + cτ0

(τ

τ0

) 3κ

)∂µSS−

m+1m√

S2m + 1

, (169)

δp = −δ · p0(τ0τ

)3+ 3κ (κ+ 1)(κ− 3)

κ

(κ+ 1)(κ− 3)

κ

[π0 −m

√1 + S−

2m

], (170)

δn = δ · n0(τ0τ

)3(ln

(τ

τ0

)+ c

κ

3− κ

(τ

τ0

) 3κ−1)m2S2

[S−

2m + 1

] S−m+1m√

S2m + 1

N ′(S). (171)

Ezeknél a mez®knél is még szabadságunk van az m kitev® és a N (S) függény megválasztását illet®en.A 5.1.1. szekcióban, és az itt tárgyalt skálaváltozókon kívül azonban még lehetnek más skálaváltozókaz ezeknél használt h(xµ) függvény mellett is. Illetve ennek a függvénynek a megválasztása is önkényesvolt, így a megoldásosztály további tagjai után is kutathatunk a kés®bbiekben.

32