Http Dl.iu-travnik.com Uploads 98 8610 Osnovi Elektrotehnike Predavanja

1•1

1 UVOD

Oblast elektrotehnike obuhvata primjenu elektriciteta kroz dvije glavne primjene električne energije i prenos informacija.

Elektronika je oblast koja obuhvata proučavanje osobina materijala i komponenata koji imaju primjenu u elektrotehnici odnosno u elektronici i bavi se analizom i primjenom poluprovodničkih elemenata u kojima se može kontrolisati tok struje.

Fizički svijet je pretežno analogne prirode (temperatura, vlažnost, pritisak, sluh, vid). Modelovanje je proces predstavljanja realnog fizičkog sistema na način koji omogućava primjenu matematičkih tehnika za analizu takvog sistema.

Elektronski elementi su nelinearni elementi kod kojih struje i naponi nisu vezani linearnim zavisnostima. Pri tome se koriste matematički modeli odnosno relacije između napona na posmatarnom elementu i struje kroz taj element. Takvi elementi se mogu podijeliti na pasivne elemente koji primaju energiju iz kola i aktivne elemente koji predaju energiju ostatku kola. Analiza primjene poluprovodničkih elemenata (dioda, tranzistora i integrisanih kola) vrši se i povezivanjem u složena kola. Pri projektovanju elektronskih kola koriste se različiti materijali u specijalnim konfiguracijama ili strukturama radi dobijanja elemenata u kojima se može kontrolisati tok struje.

Osnovi elektrotehnike i elektronike

1•2

Elektrotehnički materijali prema električnim osobinama mogu biti podijeljeni u tri kategorije:

• provodnici, • poluprovodnici • izolatori. Karakteristike materijala koji se primjenjuju u elektronici

obuhvataju njihove električne osobine, temperaturne i frekvencijske osobine. Struktura čvrstih tijela definisana je rasporedom atoma ili grupa atoma.

Osobine materijala obuhvataju: • Električne osobine materijala; • Optičke osobine materijala; • Termičke osobine materijala; • Akustičke osobine materijala; • Mehaničke osobine; • Ponašanje materijala prema djelovanju tečnosti i vatre; • Ponašanje materijala na uticaj gasovitih fluida uključujući i

vazduh; • Ponašanje materijala u odnosu na čvrsta tijela - čestice; • Podesnost/nepodesnost materijala za primjenu; • Trajnost materijala; • Radne (tehnološke) osobine materijala. Tako je kod kristala pravilan raspored atoma, dok amorfni materijali

imaju nepravilan raspored atoma. Na energetskom dijagramu provodni materijali imaju preklopljenu provodnu i valentnu zonu. Pod dejstvom, naprimjer, električnog polja elektroni se mogu premještati na susjedne više nivoe. Zonska struktura provodnika odgovara metalima prve grupe Mendeljejevog periodnog sistema.

Pri analizi elektronskih sklopova sa priključenim analognim signalima, koji predstavljaju kontinualno promjenljive veličine, koriste se linearni i linearizovani modeli nelinearnih elemenata.

1. Materijali i osnovne komponente

1•3

1.1. ANALOGNI SIGNALI Napon i struja mogu da se sastoje od vremenski promjenljivog

signala (AC–alternative current) i vremenski nepromjenljivog signala (DC - direct current).

Signali se mogu podijeliti u dvije skupine: *Analogni signali predstavljaju kontinualno promjenljive veličine. *Digitalni signali imaju jedan ili više diskretnih nivoa. Naizmjenična struja, promjenljiva u vremenu, označava se malim

pisanim slovima (npr. naizmjenična struja kroz diodu označava se sa id). Jednosmjerna struja kroz otpornik označava sa IR a kroz diodu ID. U opštem slučaju oblik prostoperiodične funkcije napona i struje je

dat sa: ( ) ( )sinmv t V t= ω +ϕ , ( ) ( )sinmi t I t= ω + θ , 2 fω = π

gdje je 2 fω = π kružna učestanost dok ϕ i θ predstavljaju fazni ugao ili početnu fazu.

Na slici 1.1a predstavljena su dva naizmjenična kontinualna prostoperiodična signala sinusoidalnog oblika iste frekvencije f =1/T i istog perioda T a različite amplitude.

5 .10 4 0.001 0.0015 0.0028

4

0

4

88

8−

vi t( )

vo t( )

2 10 3−×0.00001 t Sl. 1.1a.


1•4

Na sl. 1.1b. predstavljen je oscilogram vremenskih zavisnosti dva prostoperiodična napona obrnutih faza (protufazni). Na apscisi je vremenska podjela.

Poznato je: Time/div = 50µs, Volts/div=2V.

Sl. 1.1b.

Na slici 1.2a predstavljeni su naizmjenični prostoperiodični signali

jednostruke i dvostruke učestanosti (prvi i drugi harmonik).

0 1.6 3.2 4.8 6.4 8

3

1.5

0

1.5

33

3−

v1 ωt( )

v2 ωt( )

v ωt( )

6.80 ωt Sl. 1.2a. Signal sastavljen od prvog i drugog harmonika. , Na sl. 1.2b predstavljen prvi i treći harmonik pri čemu je dat i

njihov zbir.


1•5

0 1.6 3.2 4.8 6.4 8

3

1.5

0

1.5

33

3−

v1 ωt( )

v2 ωt( )

v ωt( )

6.80 ωt Sl. 1.2b. Signal sastavljen od prvog i trećeg harmonika.

Ako u elektronskom kolu protiču istovremeno i jednosmjerna i naizmjenična komponenta struje tada se ukupna struja označava malim slovom i sa velikim slovom u indeksu (npr. struja diode je tada iD). Kod linearnih mreža može se analiza vršiti zasebno za DC i AC signale i metodom superpozicije dobiti kompletan rezultat.

Tipičan kontinualni signal, a koji nije prostoperiodičan, je signal EKG koji je prikazan na sl. 1.3.

Sl. 1.3. Kontinualni signal EKG.


1•6

1.2. OSNOVNI ZAKONI U ELEKTROTEHNICI

Svako uređeno kretanje elektrićnih opterečenja predstavlja električnu struju.

Električna struja je jedan od osnovnih pojmova u elektrotehnici i predstavlja mjeru količine elektriciteta koja se pomjerila u jedinici vremena. Električno opterećenje je fudamentalna osobina materije koje se ne može stvoriti ili uništiti. Postoje dva tipa naelektrisanja: pozitivno i negativno naelektrisanje. Ta dva tipa naelektrisanja se međusobno privlače. Sila između naelektrisanih tijela je posljedica naelektrisanja (elektriciteta)na njima.Najmanje naelektrisanje q koje postoji je elementarno naelektrisanje ili kvant naelektrisanja koji odgovara električnom opterečenju elektrona: (q = 1,6 ⋅10-19 C).

Efekti proticanja električne struje su toplotni (Džulov efekat), hemijski t magnetni efekat.

Uobičajena oznaka za struju je I ili i. Jedinica za struju je Amper (A) i predstavlja pomjeraj naboja od jednog Kulona (C) u jednoj sekundi (1 C/s). U elektronskim kolima struje su reda mA, µA, nA ili pA. Po konvenciji se uzima da smjer struje odgovara smjeru kretanja pozitivnog naelektrisanja. Referentni polaritet napona v(t) na elementu i referentni smjer struje i(t) moraju biti definisani tako da pozitivni kraj napona bude kod one tačke elementa u koju ulazi referentni smjer struje.

Trenutna struja i se definiše kao brzina promjene naelektrisanja, odnosno prvi izvod količine elektriciteta po vremenu. Prosječna (srednja) struja I se definiše kao količnik ukupnog pomjerenog naelektrisanja Δq i vremenskog intervala u kome se izvrši taj pomjeraj Δt:

qIt

Δ=Δ

, d qidt

= .

Napon predstavlja razliku potencijala između dvije tačke. Jedinica za napon je Volt (V) i predstavlja energiju od jednog Džula (1J=1VAs), koja je potrebna za pomjeraj pozitivnog naelektrisanja od jednog Kulona (1 C=1 As). Uobičajena oznaka za napon je V (jednosmjerna


1•7

komponenta) i v (trenutna vrijednost). Napon se može definisati kao promjena energije w po promjeni naboja q:

qdwdv = .

Snaga Džulovih gubitaka se definiše kao brzina promjene energije:

( ) ( ) ( )d d d

d d d

w w qp t v t i tt q t

= = = ⋅ .

Gornja jednačina pokazuje da se snaga na elementu elektronskog kola može predstaviti proizvodom napona na elementu i struje kroz taj element. S obzirom da napon i struja mogu biti vremenski promjenljivi snaga se tada takođe može mijenjati sa vremenom p(t). Trenutna snaga p(t) je data sa:

( ) ( ) ( )p t v t i t= ⋅ .

Promjena energije od trenutka t1 do trenutka t2 može se odrediti integracijom jednačine za snagu:

2 2

1 1

t t

t tw p dt v i dt= = ⋅∫ ∫ .

Prilikom proticanja struje kroz provodnik dolazi do zagrijavanja provodnika. Razvijena energija se mjeri u Đulima (1 J=1 VAs) i opisuje se na osnovu Džulovog zakona sa relacijom:

[ ]

22d d

Ws=VAs

VW V I t R I dt ,

RW P t V I t .

= ⋅ ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ ⋅

Količina elektriciteta Q mjeri se u Kulonima i dobija pri nominalnoj struji I kao:

[As=C]Q I t= ⋅ . Napon se može se definisati kao promjena energije w po promjeni

količine naboja q:

qdwdv = .


1•8

Energija se mjeri u Đulima (1 J=1 VAs) i opisuje sa relacijom:

[ ]Ws=VAsW P t V I t= ⋅ = ⋅ ⋅ .

Idealni nezavisni naponski izvor je aktivni element koji održava napon nezavisno o struji kroz njega. Nezavisni naponski izvor može biti konstantne vrijednosti ems V (kao što je elektrohemijska baterija) a može imati promjenljivu vrijednost u funkciji od vremena v(t).

Idealni nezavisni strujni izvor je aktivni element koji održava struju između priključaka nezavisno od vrijednosti napona između istih priključaka. Vrijednost struje može biti konstantna I ili vremenski promjenljiva veličina u funkciji od vremena i(t).

Idealni zavisni izvori generišu napon ili struju koja zavisi od nekog drugog napona ili struje u kolu. Tako postoje:

* Naponsko kontrolisani strujni izvor (VCCS-voltage controlled current source)

* Strujno kontrolisani strujni izvor (CCCS-curent controlled curent source)

* Naponsko kontrolisani naponski izvor (VCVS) * Strujno kontrolisani naponski izvor (CCVS).

♦ Kulonov zakon je osnovni zakon elektrostatike iz koga proističe praktično cjelokupna teorija elektostatičkog polja.

Sile između nelektrisanih tijela su rezultata sila koje djeluju između lementarnih čestica u analiziranim tijelima.

Sila F između dva tačkasta naelektrisanja q1 (Q1) i q2 (Q2), koja su dovoljno malih dimenzija u odnosu na njihovo rastojanje d, opisana je Kulonovim zakonom:

1 22

q qF k

d= ⋅ ili 1 2

21

4 o

Q QF

d=

πε,

gdje je konstanta k = 8,99 ⋅109 Nm2/C2, dok je dielektrična konstanta ili permitivnost vakuuma 12 2 2 128 85 10 C /Nm 8 85 10 F/mo , ,− −ε = ⋅ = ⋅ .


1•9

Ako električno polje potiče od pozitivnog tačkastog naelektrisanja q (u Kulonima C) uzima se da je tada vektor jačine polja usmjeren od tog naelektrisanja.

Ako je izvor polja negativan tada je vektor jačine polja usmjeren ka tom naelektrisanju. Sila je vektorska veličina koja ima svoj smjer kao i električno polje. Vektori se označavaju strelicom iznad oznake. Električna sila između dva naelektrisana tijela srazmerna je proizvodu opterećenja jednog i drugog tijela, a obrnuto srazmjerna kvadratu rastojanja d između njih:

1 212 122 o

q qF k r

d= ⋅ .

Da bi se označio vektor koristi se jedinični vektor 12or (ort) duž prave linije koja prolazi kroz naelektrisana tijela i usmjeren je od opterečenja koje je izvor sile ka opterečenju na koga djeluje sila. U gornjoj relaciji εo je dielektrična konstanta ili permitivnost vakuuma, koja ima vrijednost εo= 8,854 ⋅ 10-12 F/m . Zavisno od fizičkog rasporeda više naelektrisanja postoje i međusobni uticaji sila između naelektrisanja. Za izračunavanje rezultantne sile potrebno je sabrati sve sile dnosno sabrati njihove vektore.

Pomjeraj naelektrisanja može se vršiti na različite načine. Ako se u električno polje E unese probno opterečenje qΔ tada na njega električno polje djeluje silom F:

F q E= Δ ⋅

Pod dejstvom te sile F opterečenje qΔ se kreće po određenoj putanji od jedne do druge tačke čija je dužina lΔ . Pri tome se izvrši rad:

A F lΔ = ⋅Δ . Ukupna rad po cijeloj putanji je dat sa:

N N

M M

A Fdl q E dl= =Δ∫ ∫ .

Jačina električnog polja E u nekoj tački brojčano je jednaka sili F kojom bi polje djelovalo na jediničnu količinu elektriciteta Q dovedeno u tu tačku:


1•10

FE , F QEQ

= = .

Jedinica za jačinu električnog polja je Njutn po Kulonu (N/C) ili Volt po metru (V/m). Prema izrazu za silu jačina električnog polja koje stvara tačkasto naelektrisanje Q u tački na udaljenosti r od centra naelektrisanja može se izračunati prema relaciji:

( )2

1

4 o

QE rr

=πε

, 2

1

4o

o

QE rd

=πε

.

♦ Posmatraju se dva naelektrisanja Q1 i Q2 koja se nalaze u vakuumu na rastojanju r. Ako su naelektrisanja pozitivna ili negativna postoji tačka u kojoj sila koja djeluje na jedinicu naelektrisanja jednaka nuli.

Razultantno polje je dato sa zbirom pojedinačnih polja:

1 2E E E= + .

Sl. 1.4.

Rezultantno polje je jednako pa se dobija:

1 22 2

1 2

1 1

4 4o o

Q Q

r r=

πε πε.

Ako se uvedu oznake 1r x= i 2r r x= − tada se dobija :


1•11

( )1 2

22

Q Q

x r x=

−.

Elektrostatički potencijal definiše se kao količnik potencijalne energije i probnog opterečenj.Ako je referentna tačka u beskonačnosti tada je potencijal ϕ dat sa:

M

dl∞

ϕ = ∫E , 1

4 o

Q

rϕ =

πε,

1

1

4

Ni

io i

Q

r=ϕ =

πε∑ .

Električni napon je jednak razlici potencijala dvije tačke. Razlika električnih potencijala u posmatranoj tački P tačkastog

naelektrisanja u odnosu na neku referentnu tačku R definisan je naponom sa:

dR

PP

V E l= ∫ , 2 2

1d d4 4

R

P

R r

Po oP r

Q QV r rr r

= =πε πε

∫ ∫ ,

tj. 1 1 1

4 4

R

P

r

Po o R Pr

Q QVr r r

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟πε πε⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Jedinica za napon je Volt (V) i predstavlja energiju od jednog Džula (1J=1VAs), koja je potrebna za pomjeraj pozitivnog naelektrisanja od jednog Kulona (1C=1 As). Uobičajena oznaka za napon je V (jednosmjerna komponenta) te v (trenutna vrijednost).

♦ Određivanje potencijala u težištu trougla ako se tri naelektrisanja nalaze u vrhovima trougla. Ukupni potencijal dobija se sabiranjem pojedinačnih potencijala:

1

4 o

QVr

ϕ = =πε

,

1 1 1 1 2 1 3P Q Q QV V V V= + + .

Visina h u trouglu iznosi: 32

ah = pa je udaljenost r :


1•12

2 2 3 33 3 2 3

a ar h= = = .

Sl. 1.4a.

Traženi potencijal tada iznosi:

11 1 34

3

Q

o

QV

a=

πε,

1 2 31 3 3 34 4 4

3 3 3

P

o o o

Q Q QV

a a a= + +

πε πε πε.

♦ Omov zakon povezuje napon i sruju otpornika:

[ ]AViRv ⋅Ω=⋅= .

Pri tome konstanta R predstavlja otpornost otpornika. Osnovna električna karakteristika provodnika i materijala namijenjenih za izradu otpornika je specifična otpornost materijala a zavisno od nje i električna otpornost koja je data sa:

∫ρ=l

xSdxR

0 )(, [ ]l

RS

= ρ Ω .

gdje je S(x) poprečni presjek otpornog sloja materijala.


1•13

Snaga razvijena na otporniku jednaka je proizvodu struje i napona:

[ ]P V I VA W= ⋅ = . Primjenom Omovog zakona snaga na otporniku može se izraziti i

ekvivalentnim izrazima: 2 2

2 2V IP R I G VR G

= ⋅ = = ⋅ = .

Specijalni slučaj otpornosti R=0 ima naziv kratki spoj, dok beskonačnu otpornost ima otvorena veza kod koje je struja jednaka nuli a napon može imati ma kakvu vrijednost.

♦Prvi Kirhofov zakon se odnosi na struje u kolu i glasi: Algebarska suma struja koje utiču u ma koji čvor kola jednaka je

nuli.

∑=

=N

jjI

10 ,

gdje je jI struja j -te grane koja ulazi u čvor, dok je N broj grana koje ulaze u čvor. Po konvenciji sve struje čija je referentna orijentacija ka čvoru uzimaju se sa pozitivnim predznakom, dok se struje čije su referentne orijentacija od čvora uzimaju sa negativnim predznakom.

Alternativna formulacija prvog Kirhofovog zakona glasi: Suma struja koje utiču u ma koji čvor kola jednaka je sumi struja koje ističu iz istog čvora:

A BI I=∑ ∑ . Tako, naprimjer, kod paralelne veze otpornika ukupna struja iz

izvora napona Vs jednaka je zbiru pojedinačnih struja (I Kirhofov zakon) :

1 2sI I I I= = + ,

gdje su pojedinačne struje:

11 R

VI s= , 2

2 RVI s= .

Uvrštavanjem dobijenih relacija proizlazi da je paralelena veza Rp data sa:


1•14

1 2

1 2p

R RR

R R

⋅=

+.

U opštem slučaju kod paralelne veze ukupna struja iz izvora je:

1 2p n

V V V V...R R R R

= + + + .

Dijeljenjem jednačine naponom (V), ostaje:

1 2

1 1 1 1

p n...

R R R R= + + + .

♦ Drugi Kirhofov zakon se odnosi na napone u kolu i glasi: Algebarska suma napona u bilo kojoj petlji (konturi) kola jednaka

je nuli.

01

=∑=

N

jjV

gdje je Vj napon na j-toj grani petlje koja ukupno ima N grana. Po konvenciji se napon na granama čija je referentna orijentacija suprotna orjentaciji petlje uzimaju se sa pozitivnimpredznakom, dok se naponi na granama čija je referentna orijentacija jednaka orijentaciji petlje uzimaju sa negativnim predznakom.

Tako kod serijske veze otrponika vrijedi relacija da je napon izvora jednak zbiru padova napona na svakom od otpornika:

1 2AB nV V V ... V= + + + .

Kako kroz otpornike protiče ista struja tada je:

ns R...RRR +++= 21 . Kombinovano ili mješovito spajanje otpornika se sastoji od serijski

i paralelno spojenih otpornika. Rješavanje zadataka ove vrste spojeva vrši se uproštavanjem, tako što se primjenjuju pravila i formule za serijsko i paralelno spajanje otpornika.


1•15

Prvi i drugi Kirhofov zakon u slučaju prostoperiodične pobude vrijede i u fazorskom obliku.

Ako se u kolima nalaze kompleksne impedanse Z ekvivalentna impedansa dobija se anlaogno kolima sa otpornicima. Tako se serijska veza impedanse može opisati ekvivalentnom impedansom:

1 2s nZ Z Z ... Z= + + + .

♦ Teveneova i Nortonova teorema pokazuju kako se cijelo kolo, osim potrošača, može zamijeniti ekvivalentnim realnim naponskim ili strujnim izvorom, tako da struja i napon potrošača ostanu nepromijenjeni.

Teveneova teorema: U odnosu na bilo koja dva kraja (između tačaka A i B), svako električno kolo može zamijeniti ekvivalentnim kolom koje se sastoji od naponskog izvora TE , čiji je napon jednak naponu kola sa isključenim potrošačem i serijske impedanse TZ odnosno unutrašnje ekvivalentne otpornosti. Ta unutrašnja otpornost Tevenenovog (ekvivalentnog) generatora jednaka je ekvivalentoj otpornosti između posmatranih tačaka i i j kada su krajevi naponskih generatora koji se nalaze u kolu kratko spojeni ( 0=ems ), a krajevi idealnih strujnih generatora odspojeni ( 0=I ).

Dakle, Tevenenova elektromotorna sila TE jednaka je naponu između tačaka i i j kada se posmatrani dio kola između tih tačaka odspoji- otvoreno kolo.

Nortonova teorema: Svako električno kolo sa nezavisnim izvorima i impedansama se može zamijeniti ekvivalentnim kolom koje se sastoji od idealnog strujnog izvora NI , čija je struja jednaka struji kroz kratkospojeni potrošač i paralelne impedanse NR = NZ , čija je impedansa jednaka količniku napona kola sa isključenim potrošačem OCV i struje kroz kratkospojeni potrošač SCI . Električna mreža se u odnosu na bilo koja dva svoja priključka ponaša kao Nortonov strujni generator, čija je struja NI jednaka struji kroz kratak spoj između posmatranih priključaka, a paralelna otpornost mu je jednaka ekvivalentnoj otpornosti mreže,


1•16

gledano sa strane ovih priključaka, kada su sve ems naponskih generatora i struje strujnih generatora poništene.

♦ Sistem jednačina napona čvorova bazira se na primjeni prvog i drugog Kirhofovog zakona te prema Omovom zakonu. Pri izračunavanju struje kroz elementi i napona na njima u kolu se bira jedan referentni čvor pa se proračun vrši u odnosu na njega.

Aktivni elementi opisuju se linearizovanim modelima u bliskoj okolini radne tačke. Naime pri malim naizmjeničnim signalima posljedice zakrivljenosti karakteristika mogu se zanemariti tako da se analiza takvih sklopova vrši kao i analiza linearnih električnih mreža.

Kako u elektrotehnici i elektronici veliku primjenu ima klasa linearnih kola tada se primjenjue princip superpozicije.

♦ Princip superpozicije omogućava da se u jednom linearnom kolu sa više nezavisnih izvora struja kroz ma koji element ili napon bilo kog čvora u kolu može predstaviti kao algebarski zbir doprinosa pojedinačnih izvora. Prilikom određivanja doprinosa jednog izvora, preostali nezavisni naponski izvori moraju biti zamijenjeni kratkim spojevima, a preostali nezavisni strujni izvori se moraju zamijeniti otvorenim vezama.

♦ Sistem konturnih jednačina obuhvata padove napona po zatvorenoj konturi pri čemu se uvode struje u svakoj od kontura.

Ako se u kolima nalaze kompleksne impedanse Z ekvivalentna impedansa dobija se anlaogno kolima sa otpornicima. Tako se serijska veza impedanse može opisati ekvivalentnom impedansom:

1 2s nZ Z Z ... Z= + + + .

Primjenom II Kirhofovog zakona da je algebarski zbir napona duž zatvorene petlje u električnoj mreži jednak nuli, postavlja se sistem konturnih jednačina prema broju kontura:

1 2 111 12 1 nnZ I Z I ... Z I V+ + + =∑ ,

1 2 221 22 2 nnZ I Z I ... Z I V+ + + =∑ , …


1•17

1 21 2 n nn n nnZ I Z I ... Z I V+ + + =∑ .

U ovim jednačinama In su nepoznate struje za petlje 1 do n, impedanse Znn za su impedane za svaku petlju. Navedene jednačine se mogu izraziti u matričnom obliku kao:

[ ][ ] [ ]Z I V= ,

Rješenje jednačina po strujama je:

[ ] [ ] [ ]1I Z V−= . gdje su:

[ ] [ ] [ ]

111 12 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n

n

nn n nn n

VZ Z ... Z IZ Z ... Z I V

Z , I , V ....... ...IZ Z ... Z V

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑∑

∑

1.3. OTPORNICI

Otpornik (rezistor) je linearan pasivni element koji apsorbuje snagu i pretvara je u toplotu. Između napona na njemu V i stuje kroz njega I postoji zavisnost data Omovim zakonom:

[ ]V I R V A= ⋅ = Ω . Kod materijala kao parametar se uzima slojna otpornost. Kada je materijal debljine D, dužine L i širine W tada je otpornost

takve strukture data sa: Rs =R L/W:

0 0

1 1

( )d ( )ds D D

n D

R

x x q N x x

= =

∫ ∫σ μ

.

S obzirom da Rs predstavlja otpornost sloja bilo kog kvadrata debljine D to se ona izražava se u omima po kvadratu (Ω / ). Uzimajući u obzir srednju vrijednost specifične otpornosti može se otpornost definisati i kao:


1•18

[ ]s SL LR R , R

DW W Dρ

= ρ = = Ω ,

gdje je Rs slojna otpornost. Otpornost sloja kvadratnog oblika kada je L=W iznosi:

0

1

( )S D

n D

L LR R

W W q N x dx

= = ⋅

∫ μ

.

Modeli temperaturne zavisnosti otpornika mogu biti opisani linearnim i polinomskim funkcijama. U užem opsegu temperatura dobre rezultate daje linearna zavisnost električne otpornosti materijala u funkciji od temperature R(T) :

[ ])(1)()( 00 TTTRTR R −α+= ,

gdje je R(T0) otpornost na sobnoj temperaturi T0. Temperaturni koeficijent α (TCR) definisan je kao relativna promjena otpornosti sa promjenom temperature:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=α=

CdTdR

RTCR oR

11 .

Ako na temperaturi T1 otpornost termistora iznosi R1 , a na temperaturi T2 otpornost R2 tada je sistem jednačina dat sa:

1 1 0 1 0

2 2 0 2 0

( ) [1 ( )]

( ) ( ) [1 ( )].

R T R (T ) T T ,

R T R T T T

= ⋅ +α −

= ⋅ + α −

Temperaturni koeficijent je dat sa:

)()( 1221

12

ooR TTRTTR

RR−−−

−=α .

Posebno važan parametar je pregrijavanje otpornika. Ako se temperatura otpornika pri radu poveća sa sobne temperature T0 za ΔT (često se koristi i oznaka Δϑ) tada koeficijent prenošenja toplote αP [W/0C cm2] direktno utiče na snagu koju otpornik predaje spoljašnjoj sredini. Ta snaga pregrijavanja iznosi:

d PP S Tα= Δ .


1•19

Zavisnost otpornosti od temperature može biti opisana i polinomom drugog reda:

( ) ( ) ( ) ( )20 0 01R T R T T T T T⎡ ⎤= +α ⋅ − +β⋅ −⎣ ⎦ ,

gdje su α i β temperaturni koeficijenti otpornosti (TCR).

Pri početnoj temperaturi T0 = 0 data sa:

( ) ( )( )210 TTRTR β+α+= .

Pri projektovanju otpornika potrebno je odrediti geometrijske veličine tijela, te dužinu i presjek upotrebljenog otpornog materijala uz poznavanje nominalnih vrijednosti parametara.

Upotrebom konstantana, čiji je temperaturni koeficijent negativan, u kombinaciji sa drugim legurama koje imaju pozitivan TCR mogu se dobiti temperaturno kompenzovani otpornici.

Na sl. 1.5 predstavljena je zavisnost otpornosti od temperature hrom-nikla kod koga je koeficijent 6110 10 [1/ ]o

c C−α = ⋅ i konstantana

kod koga je 650 10 [1/ ]oc C−α = − ⋅ . Uslov temperaturne kompenzacije

je da ukupni temperaturni koeficijent treba da bude jednak nuli αR = 0.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

99.6

99.8

100

100.2

100.4

100.6

100.8

101

Temperatura T [°C]

Otp

orno

st R

[Ohm

]

Konstantan

Hrom-nikl

Sl. 1.5. Zavisnost otpornosti od temperature za hrom-nikl i konstantan.


1•20

Da bi se dobila otpornost R nezavisna od temperature mora biti:

1

2

02

01)()(

αα

−=TRTR .

b) Kod paralelne veze otpornika totalni diferencijal ukupne otpornosti je:

2221

21

1221

22

22

11 )()(

dRRR

RdR

RRR

dRRR

dRRR

dR+

++

=∂

∂+

∂

∂= .

Dijeljenjem lijeve i desne strane sa R dT:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

dTdR

RR

dTdR

RR

RRdTdR

R2

21

1

12

21

1111,

dobija se temperaturni koeficijent otpornosti:

)(121 12

21RRR RR

RRα+α

+=α .

Potreban uslov za temperaturnu kompenzaciju dat je sa:

1

212

R

RRRα

α−= .

Koeficijenti α i β se mogu odrediti na osnovu izmjerenih otpornosti na dvije temeprature Zavisnost otpornosti od temperature ya dvije temperature pri početnoj temperaturi T0 može se opisati sa polinomom drugog reda:

( ) ( ) 21 1 0 1 0 1 01 ( ) ( )R T R T T T T T⎡ ⎤= + α ⋅ − +β⋅ −⎣ ⎦ ,

( ) ( ) 22 2 0 2 0 2 01 ( ) ( )R T R T T T T T⎡ ⎤= + α ⋅ − +β⋅ −⎣ ⎦ .

U opštem slučaju temperaturni koeficijenti se razlikuju zavisno od početne temperature na kojoj se vrše mjerenja. Tako je pri početnoj temperaturi T1 otpornost data sa:

( ) ( )[ ]21

*1

*1 )()(1 TTTTTRTR −β+−α+= ,

gdje su sa zvijezdicom označene korigovane vrijednosti konstanti TCR.


1•21

Data relacija predstavlja prva tri člana razvoja u Tajlorov red funkcije R(T).

Otpornosti računate prema ovim relacijama su jednake pri ma kojoj temperaturi pa se dobija da je:

( )2

2 21 1 1 1

0 1

0 1 1 * *

R( ) T T

R( )( T T ) (T T ) (T T )

+α +β =

⎡ ⎤= +α +β +α − +β −⎣ ⎦

Iz ovog uslova prozlazi sistem od tri jednačine:

2 21 1 1 1

21 1 1

21 1

1 1 1

1 2

1

* *

* *

*

( T T )( T T ) ,

( T T )( T ) ,

( T T )

= +α +β −α +β

α = +α +β α − β

β = +α +β β

čijim rješavanjem se dobija veza između koeficijenata:

12 2

1 11 1

2

1 1* *T

, .T T T T

α + β βα = β =

+α +β +α +β

• Mjerenja mogu da se vrše na tri temperature. Mjerenjem otpornosti na tri temperature dobija se sistem jednačina:

21 0 1 1 01 ( ) ( )oR R T T T T⎡ ⎤= + α − +β −⎣ ⎦

22 0 2 2 01 ( ) ( )oR R T T T T⎡ ⎤= +α − +β −⎣ ⎦

[ ] .)()(1 203303 TTTTRR o −β+−α+=

Rješavanjem sistema jednačina izračunavaju se vrijednosti koeficijenata α i β u obliku:

2 3 3 2 3 2 0 3 2 2 1 0 2 3

0 3 2 3 1 2 1

3 2 2 1 2 1 3 2

0 3 2 3 1 2 1

( ) ( )( 2 ) ( ) ( ) (2 )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) .( ) ( ) ( )

R R T T T T T R R T T T T TR T T T T T T

R R T T R R T TR T T T T T T

− − + − + − − − −α =

− − −

− − − − −β =

− − −


1•22

Postupak proračuna:

1. Za poznatu nominalnu snagu i temperaturu pregrijavanja dobija se površina hlađenja S kao:

/d PS P T= α Δ .

2. Prema površini cilindra: LDLrS π=π= 2 , dobija se da je

njegova dužina: D

SLπ

= .

3. Po cijeloj površini cilindra namotana je otporna žica promjera dž i dužine lž (zavojak do zavojka). Kako namotaji prekrivaju cijelu površinu omotača tijela otpornika tada je površina S jednaka projekciji površine koju zauzima žica:

ž žS d l≅ .

4. Na osnovu otpornosti dobija se dužina žice:

2 3ž ž

4 4ž ž

ž

l l SRS d d

= ρ = ρ = ρπ⋅ π⋅

,

3 4ž

SdRρ

=π

.

5. Dužina žice je: lž = S / dž , tj.

2 2ž ž

4 / 1,27žd R dRS Rl ⋅

= = =ρ ρ π ρ

.

6. Maksimalna struja iznosi: RPI /maxmax = .

7. Ukupni maksimalni napon je: maxmax IRU = .

8. Prema debljini žice i dužini cilindra slijedi broj namotaja:

`dLN /= . 9. Napon između susjednih namotaja: NUU z /max= .


1•23

1.4. TERMISTORI Termistor (termorezistor) je nelinearni elemenat čija se otpornost

smanjuje sa porastom temperature. Imaju negativan temperaturni koeficijent pa se nazivaju se i NTC otpornici. Otpornost poluprovodničkog termistora ja data sa:

B

b TTR A T e= ⋅ ⋅ , b = c - 3/2.

Relacija koja dobro aproksimira temperaturnu karakteristiku poluprovodničkog monokristalnog termistora, pri b = 0, je:

B BT T

TR A e R e∞= ⋅ = ⋅ ,

gdje su: T apsolutna temperatura u stepenima Kelvina. Konstanta A = R∞ predstavlja otpornost termistora pri beskonačnoj

temperaturi, B temperaturna osjetljivost data u stepenima Kelvina. Konstante A i B određuju se mjerenjem otpornosti termistora na dvije temperature. Tako je:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= 21

2

1 TB

TB

eRR

.

Konstanta B dobija se logaritmiranjem ofnods otporniks kao:

21

2111

logloglog

1

TT

RRe

B−

−= ,

1

2

1 2

1 1

Rln

RB

T T

=−

.

Konstanta A = R∞ dobija se uvrštavanjem B u početnu relaciju:

21

2211 lnlnln

TTRTRT

R−

−=∞ .


1•24

Na sl. 1.6 su date zavisnosti otpornosti termistora pri različitim vrijednostima konstantama B.

260 280 300 320 340 3600

5000

1 .104

1.5 .104

2 .104

R1 T( )

R2 T( )

R3 T( )

T Sl. 1.6. Zavisnost otpornosti termistora od temperature.

Snaga termistora se određuje na slijedeći način :

0

0

2 22 2

0

0

B BT T

T B BTT T

V VP I R I R e .R

R e

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

= = = =

Snaga disipacije je funkcija faktora disipacije D:

( )d oP V I D T T= = − . Logaritmiranjem se dobija:

ln ( )olnV ln I ln D T T+ = + − .

Kako je otpornost termistora: TBT AeIVR // == ,

tako da slijedi: TBAIV /lnlnln +=− .

Kombinujući jednačina za R i P dobija se:


1•25

TBTTADV

21)ln(

21ln

21ln 0 +−+= .

Maksimalna vrijednost temperature T = Tm izračunava se iz uslova 0/ln =TdVd tako da je:

( )2

020

1 0 02 2

B , T BT BTT T T

− = − + =−

,

T T B B BTm= = ± −2 4

2

0 .

Temperaturni koeficijent termistora TKT (osjetljivost termistora) je:

( )( )

21 .

TT

RT

d R T BR T d T T

α = = −

Statička karakteristika termistora (sl.1.6a) predstavlja međusobnu zavisnost napona V od struje V = f (I).

Sl. 1.6a. Naponsko – strujna karakteristika termistora.

Na sl. 1.7 data je normalizovana vrijednost otrponosti termistora za različite vrijedosti konstante B. Otpornost RT0 je nazivna otpornost NTC otpornika na temperaturi T=20°C.

I_I1

0A 2mA 4mA 6mA 8mA 10mA 12mA 14mA 16mA 18mA V(NTC1:2)

0V

10V

20V

30V

40V

50V

60V

T=338K

T=298K

T=248K


1•26

Sl. 1.7. Temperaturne karakteristike NTC otpornika.

1.5. POZISTORI Kod nelinearnih otpornika sa pozitivnim temperaturnim

koeficijentom (pozistori) u opsegu viših temperatura dolazi do povećanja otpornosti sa porastom temperature. Ta zavisnost kod termootpornika na bazi poluprovodnika je data sa:

B TpR A C e ⋅= + ⋅ ,

gdje su A, B i C konstante (npr. titanata barija). Konstanta A može biti jednaka nuli. Analitički oblik zavisnosti otpornosti RTP od temperature, kao i temperaturni koeficijent Pα tada imaju oblik:

,0

0

q

TPTP TT

RR ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Tq

P =α .

Temperaturna zavisnost pokretljivosti nosilaca elektriciteta utiče na otpornost monokristalnih poluprovodničkih termorezistora sa pozitivnim temperaturnim koeficijentom. Zavisnost otpornosti pozistora od temperature data je na sl. 1.8.


1•27

Sl. 1.8. Zavisnost otpornosti od temperature kod pozistora

(kataloški podaci).

Strujno-naponska karakteristika pri temperaturi kao parametru predstavljena je na sl. 1.9 (podaci iz kataloga).

Sl. 1.9. Strujno-naponska karakteristika pozistora.


1•28

Pozitivan temperaturni koeficijent otpornosti pozistora je:

BeCA

eCBTdRd

R BT

BTp

pp ≈

+==α

1.

1.6. VARISTORI

Varistori su nelinearni otpornici čija se otpornost mijenja sa promjenom jačine električnog polja. U primjeni su simetrični nelinearni otpornici izrađeni na bazi silicijum karbida (SiC) i njegovih modifikacija. Prave se u obliku diska, prstena ili cilindra sa metaliziranim krajevima. Mogu se zaštiti od vlage smještanjem u metalno ili plastično tijelo.

Pod dejstvom malog napona struja protiče samo kroz mjesta direktnog kontakta kristalnih zrna i tada je srazmjerna naponu. Sa povećanjem napona pod dejstvom većeg električnog polja javlja se autoelektronska emisija tj. elektroni prelaze manje zazore između zrna strukture. Daljim povećavanjem napona u dejstvo stupaju kontakti između zrna sa sve većim zazorima. Otpornost počinje da se smanjuje i narušava se linearna zavisnost struje i napona. Naravno u svemu tome dodatnu ulogu ima mikrozagrijavanje kontaktnih oblasti pri velikim gustinama struja. Uz kristalna zrna pokrivena oksidom slicijuma pri jakim električnim poljima (većim od 105 V/m) otpornost oksidnog sloja se smanjuje a može doći i do proboja.

Aproksimacija strujno naponske karakteristike data je eksponencijalnom karakteristikom u obliku:

Va

oe

RVI = , β= VBI .

gdje je a konstanta nelinearnosti za dati varistor, Ro statička otpornost varistora izmjerena pri malom električnom polju (početna statička otpornost). Sa povećanjem temperature dolazi do porasta struje, tj. smanjuje se statička otpornost. Iz toga slijedi zaključak da je ovakav nelinearni element u stvari složeni otpornik tipa varistor-termistor.

Koeficijent nelinearnosti β jednak je količniku statičke otpornosti u strujno-naponske karakteristike i diferencijalne otpornosti u radnoj tački:


1•29

IV

VI

dIdVIV

RR

d

sΔΔ

===β// .

Poslednja relacija modeluje stanje za uski opseg struja i napona. Koeficijent nelinearnosti može se odrediti na osnovu poznavanja koordinata dvije mjerne tačke:

12

12lnlnlnln

VVII

−−

=β .

1.7. KONDENZATORI Za ukupno električno polje proizvoljnog broja tačkastih opterećenja

(sistem električnih opterećenja), važi princip superpozicije, Kao i za električne sile, tj. ukupni vektor jačine električnog polja se dobija kao zbir vektora jačina električnog polja koje u posmatranoj tački stvaraju opterećenja sistema pojedinačno, tj.

21 1

1

4

n n kokk

k ko k

QE E r

d= == =

πε∑ ∑ .

Naelektrisana tijela imaju ogroman broj naelektrisanih čestica, pa bi proračun polja preko polja tačkastog naelektrisanja bio veoma otežan. Zato se, umjesto da se svaka čestica posmatra zasebno, uvodi pojam gustine naelektrisanja, koja karakteriše makroskopsku srednju vrednost naelektrisanja u okolini tačke unutar naelektrisanog tela.

Kod dva tijela koja nisu malih dimenzija u odnosu na međusobno rastojanje (predstavljena na donjoj slici) uzima se zbir elementarnih polja koje stvara elementarno naelektrisanje dQ1 (diferencijalna veličina) na nekoj veoma maloj površini ds1 (diferencijalna veličina):

1121 2

1

4o

o

dQd E r

d=

πε.

Neka se na nekoj površini nalazi mala elementarna površina ΔS a na njoj neka se nalazi maleno opteečenje ΔQ.


1•30

Diferencijalno opterečenja može se definisati preko površinske gustine naelektrisanja σ kao:

1 1d dQ s= σ .

Tada je elementarno električno polje dato sa:

1 1121 24

oo

d sd E r

d

σ=

πε.

Sl. 1.10.

Ukupna jačina polja se dobija sabiranjem svih elementarnih jačina polja kao:

1

1 121 124o

S o

E d s rd

σ=

πε∫ .

Za takav slučaj električnog polja dobija se elementarna sila kojom tijelo 1 djeluje na elementarno opterečenje dQ2 na tijelu 2 [2]:

1 112 2 2 2d dF E Q E d s= = σ

Ukupna sila dobija se integralenjem po cijeloj povšini:

2

112 2 2S

F E d s= σ∫ .

Kondenzator predstavlja komponentu kod koje se energija koja se predaje elementu pretvara u energiju električnog polja. Osnovni parametar kondenzatora, kapacitivnost, određena je u linearnom modelu odnosom količine naelektrisanja Q na elektrodama i međuelektrodnog napona V . Osnovni parametar kondenzatora, kapacitivnost, određena je u


1•31

linearnom modelu odnosom količine naelektrisanja na elektrodama Q i međuelektrodnog napona V tj:

d Q QCd V V

= = .

Konstanta C predstavlja kapacitivnost kondenzatora (jedinica mjere je Farad F , dok su manje jedinice mF, µF, nF, pF).

Kod serijske veze kondenzatora ukupni napon iznosi:

1 2 3 nV V V V ... V= + + + +

Kaoko je: 321 QQQQ === tada se dobija:

1 2 3 n

Q Q Q Q Q...C C C C C= + + + +

1 2 3

1 1 1 1 1

e n...

C C C C C= + + + +

Vrijednost ekvivalentne serijske kapacitivnosti dva kondenzatora je:

1 2

1 1 1

eC C C= + .

Kod paralelne veze ukupni naboj iznosi:

1 2 3e nQ Q Q Q ... Q= + + + +

1 2 3 nQ C V C V C V ... C V= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ te je: 1 2 3e nC C C C ...C= + + +

Kapacitivnost pločastog kondenzatora sastavljenog od dvije paralelene ploče površine S , koje se nalaze na razmaku d iznosi:

SCd

ε= ⋅ ,

gdje je ε dielektrična konstanta, koja za vakuum iznosi:

εo = 8,854 ⋅10-14 F/cm. Energija kondenzatora je:


1•32

[ ]21 J2

W C V= ⋅ ,

Dok je jačina elektrićnog polja data sa:

Vm

VEd⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

• Pomjeranjem pločica kondenzatora (napr. pod djelovanjem zvuka joa kod kondenzatorskog mikrofona) koji se može predstaviti prostoperiodičnom funkcijom mijenja se kapacitivnost prema relaciji:

( ) 1

o

oo

S S CC dd d d sin t sin t

d

ε= ε = =

ω + ω + ω.

• Kapacitivnost pločastog kondenzatora sa N ploča je:

( 1)N SCd

ε − ⋅= ⋅ ,

gdje je S površina, a d razmak ploča. • Kapacitivnost spiralnog (tubastog) kondenzatora, dobijenog namotavanjem trake, iznosi:

2 b LCd

ε ⋅= ⋅ ⋅

gdje je b širina trake, L ukupna dužina trake, a d debljina dielektrika. • Kapacitivnost cilindričnog kondenzatora gdje su D1 unutrašnji i D2 vanjski poluprečnik dielektrika, a l dužina kondenzatora:

2 1

2ln( )

lCD Dπ ε⋅ ⋅ ⋅

= .

Izraz za proračun cilindričnog kondenzatora izvodi se iz osnovnog izraza za kapacitivnost izmedju koaksijalnih cilindričnih površina.

1

2

1

2 ln556,0

log241,0

RRl

RR

lC == [pF],


1•33

gdje je: R1-vanjski poluprečnik unutrašnjeg cilindra R2-unutrašnji poluprečnik vanjskog cilindra l- aktivna dužina cilindra u cm. Ukoliko se i rotor i stator kondenzatora sastoje od nekoliko koaksijalnih cilindara, kapacitivnost kondenzatora će biti:

2 3

1 2 1

1 1 10,556 [ ... ].ln ln ln n

n

C l R R RR R R −

= + +

Promjena kapacitivnosti cilindričnog promjenjivog kondenzatora može da se javlja uslijed aksijalnog pomjeranja jednog sistema koaksijalnih polucilindara u odnosu na drugi, kao i uslijed obrtanja jednog sistema koaksijalnih polucillindara unutar drugog. U prvom slučaju priraštaj kapacitivnosti je funkcija promjene dužine cilindra l dok je u drugom slučaju zavisna od ugla obrtanja α. U opštem slučaju za dva cilindra može se napisati:

2

1

0 5562

lC , .RlnR

⋅α= ⋅

π

• U slučaju kondenzatora sa pravolinijskom promjenom kapacitivnosti u zavisnosti od ugla obrtanja jednog sistema u odnosu na drugi, dužina se ne mjenja i kapacitivnost je proporcionalna uglu α. Kod kondenzatora sa aksijalnim pomjeranjem jednog sistema ploča u odnosu na drugi, kapacitivnost se mjenja proporcionalno dužini l. Iz izraza se dobija:

1

2ln2556,0

RR

lddC

παα

=

odakle se lako određuje zavisnost dužine, koju obrazuju cilindri, od ugla obrtanja kondenzatora za bilo koju zavisnost kapacitivnosti kondenzatora:

..ln6,31

2

απα

ddC

RRl =

Za mnogocilindrične kondenzatore:


1•34

.

ln

1...ln

1

ln

1

6,3

12

3

1

2

−

++=

n

n

l

RR

RR

RR

dldCπ

α

Pošto su odnosi R2/R1, R3/R2 itd. bliski jedinici, logaritmi lnR2/R1, lnR3/R2 se mogu izračunati koristeći razvojem u red prema izrazu:

...432

)1ln(432

+−+−=+xxxxx

Varijabla x u datom slučaju je:

,1

12

RRR −

2

23

RRR − itd.

Postoje dva tipa logaritamskih kondenzatora: kapacitivno-logaritamski i frekventno-logaritamski. Kod prvih je relativna graška kapacitivnosti ΔC / C konstantna veličina u cijelom opsegu, dok je kod drugih konstantna vrijednost relativne greške frekvencije Δ f / f.

• Promjena kapacitivnosti kondenzatora sa temperaturom može se predstaviti izrazom:

1 coC C ( T )⋅= + α ⋅Δ , gdje je Co kapacitivnost na temperaturi T0. Temperaturni koeficijent kapacitivnosti αc :

1c

dCC dT

=α ⋅ .

Ako su C10 i C20 kapacitivnosti dva kondenzatora na sobnoj temperaturi, ekvivalentna kapacitivnost paralelne veze je data sa:

10 1 20 2

1 10 2 2010 20

10 20

(1 ) (1 ),

( ) (1 ).

c c

c c

C C T C T

C CC C C TC C

= ⋅ + ⋅Δ + ⋅ + ⋅Δ

⋅ + ⋅= + ⋅ + ⋅Δ

+

α α

α α

Kapacitivnost se dobija u obliku:


1•35

10 20( ) (1 ).ceC C C T= + ⋅ + ⋅Δα

Uslov da ekvivalentna kapacitivnost bude najmanje temperaturno zavisna dobija se kada je ekvivalentni koeficijent αce = 0 te je:

1 10 2 20 0c cC C⋅ + ⋅ =α α , odakle je:

2 210 20 10

1 1( )c c

c cC C C C= − ⋅ = − ⋅ −

α αα α

.

Ekvivalentna kapacitivnost serijske veze kondenzatora je:

10 1 20 2

10 1 20 2

(1 ) (1 )(1 ) (1 )

c c

c c

C T C TCC T C T

⋅ + ⋅Δ ⋅ ⋅ + ⋅Δ=

⋅ + ⋅Δ + ⋅ + ⋅Δα αα α

.

Zanemarujući, nakon množenja, koeficijent ispred ΔT 2 (jer sadrži proizvod αc1 i αc2 koji je veoma mala veličina), proizčazo:

10 20 1 21 10 2 2010 20

10 20

1 ( )

1

c cc c

C C TC C CC C TC C

⋅ + + ⋅Δ≅ ⋅

⋅ + ⋅+ + ⋅Δ+

α αα α .

Konačna zavisnost se dobija prema slijedećim izrazima:

10 20 1 10 2 201 2

10 20 10 20

10 20 1 10 2 200

10 20 10 20

[1 ( ) ] [1 ]

(1 ), (1 ).

c cc c

c cce

C C C CC T TC C C C

C C C CC T C C TC C C C

⋅ ⋅ + ⋅≅ ⋅ + + ⋅Δ ⋅ − ⋅Δ

+ +

⋅ ⋅ + ⋅≅ ⋅ + ⋅Δ = ⋅ + ⋅Δ

+ +

α αα α

α αα

Na osnovu prethodne jednačine iz uslova αce = 0 slijedi da je:

110 0

1(1 )c

cC C= − ⋅

αα

.

1.8. ELEKTROMAGNETIZAM

Osnovna menifestacija postojanja magnentog polja je pojava Amperove sile:


1•36

F I B l= × , kojom magnetsko polje indukcije B djeluje na provodnik dužine l

kroz koji električna struja jačine I protiče u istom smjeru. Mjerna jedinica je Tesla:

[ ] [ ][ ] [ ]

N1 1TA m

FB

I l= = =

⋅ ⋅

Ako provodnik zaklapa uago α tada intenzitet vektora sile iznosi: F B I l sin= ⋅ ⋅ ⋅ α .

Rezultujuće magnetsko polje u materijalu B (mjerna jedinica je Tesla) je jednako vektorskom zbiru atomskih magnetnih momenata (dipola). Gornji izraz u vektorskom smislu dobija se kao sila na putanji l:

dl l

F F I d l B= = ×∫ ∫ .

Lorencova sila predstavlja kombinaciju sila kojima elektromagnetno polje djeluje na naelektrisanu česticu u kretanju. Sadrži dvije komponente i to električnu koja je proporcionalna električnom polju E i naelektrisanju čestice q te magnetnu koja zavisi od magnetne indukicije i brzine kretanja čestice.

Lorencova jednačina glasi:

( )F q E v B= + × .

Lorencova sila koja djeluje na naelektrisanu česticu (količine naelektrisanja q) glasi:

F qv B= × , odnosno kada vektor brzine zaklapa ugao α sa magnetnim linijama sile:

F q v B sin= ⋅ ⋅ ⋅ α

Prema Bio-Savarovom zakonu magnetno polje indukcije B koje izaziva mali dio provodnika dužine dl, kroz koji protiče električna struja I, u nekoj tački koja je za r udaljena od tog elementa iznosi:


1•37

02

dd

4oI l r

Br

×μ= ⋅

π.

Indukcija na udaljenosti a od dugog pravolinijskog provodnika kroz koji protiče struja I je:

0

2

IBr

μ=

π.

Polarizacione osobine magnetika karakterišu se relativnom magnetnom propustljivošću ili permeabilnošću 0/μμ=μr koja ima nelinearan karakter (μ0 magnetna propustljivost

vakuuma 70 4 10 H

m−μ = ⋅π⋅ ). Jačina magnetnog polja ima

isti smjer i pravac kao vektor magnetne indukcije:

HB μ= . Jedinica za magnetnu indukciju B je Tesla [T=N/Am], dok je jačina magnetnog polja:

H= I / l [A/m].

Fluks vekora magnetne indukcije u SI sistemu je dat sa:

]WbmT[ 2 =⋅=Φ SB .

U slučaju primenjenog magnetnog polja H , između vektora magnetizacije M i vektora polja H može se uspostaviti zavisnost

mM H= χ , gde je χm- magnetna susceptibilnost materijala. Za materijale slabog magnetnog uredenja χm predstavlja konstantu materijala, dok za materijale jakog magnetnog uređenja postoji zavisnost od vrijednosti spoljašnjeg polja H . Magnetna propustljivost materijala definiše se prema relaciji:

μ =μ0 (1+χm) = μ0 μr ,


1•38

koja predstavlja koeficijent srazmjernosti između vektora magnetne indukcije B i magnetnog polja H :

( )o o rB H M H= μ + = μ μ

gde je μ0 - magnetna propustijivost vakuuma, μr - relativna magnetna propustljivost materijala. Prema vrijednostima relativne magnetne propustijivosti μr , odnosno magnetne susceptibilnosti χm , može se izvršiti klasifikacija materijala na one sa slabim i jakim magnetnim uređenjem.

1.9. KALEMOVI Kalem predstavlja komponentu kod koje se energija koja se

predaje elementu pretvara u magnetsko polje. Konstanta L u definicionim relacijama predstavlja sopstvenu induktivnost kalema koja se mjeri u Henrijima H.

U posebnom slučaju kada se energija lokalizovana u provodniku kalema može zanemariti u odnosu na energiju lokalizovanu izvan provodnika, u linearnim sredinama, induktivnost se može izraziti kao količnik sopstvenog fluksa Φ i struje I u kalemu koja stvara taj fluks:

L N i= ⋅Φ ,

gdje je N – broj namotaja kalema.

U opštem slučaju induktivnost kalema L definiše se kao:

22 mWL

i= ,

gdje je mW - ukupna energija magnetnog polja kalema, I - struja u kalemu.

Kada je poznato magnetno polje struje u domenu V u kome postoji to polje magnetna energija se izračunava na sonovu izraza:

1 d2m

V

W B H V= ∫ .


1•39

Induktivnost dugačkog cilindričnog kalema dužine l [m], površine poprečnog presjeka S [m2] sa N zavojaka žice, može se izračunati kao:

lSNL r

20μμ= [H],

gdje je rμ relativnu magnetna propustljivost dok je 0μ magnetna propustljivost (permeabilnost) vakuuma.

Kod jednoslojnih kalemova unutrašnji prečnik kalema i njegov srednji prečnik d0 praktično su jednaki, jer je prečnik žice u odnosu na prečnik kalema zanemarljiv. Uz relativnu magnetnu propustljivost vazduha 1=rμ , dobija se:

][10256,1 82

Hl

SNL −= .

Kalemovi se mogu povezivati serijski i paralelno. Kod serijske veze induktivnosti se sabiraju a kod paralelne veze sabiraju se njihove recipročne vrijednosti.

• Za cilindrične kalemove kružnog presjeka 20

4dS π

= postaje:

2 2 2 28 80 01,256 10 [ ] 10 [ ]

4N d N dL H H

l l− −π

= ≈ .

• Induktivnost kratkih cilindričnih jednoslojnih kalemova izračunava se prema standardnom izrazu ali s tim da se umjesto stvarne dužine kalema, prema Vajsu i Olendorfu, uvrsti prividna dužina definisana sa: 2

0 00, 45 0,005 /pl l d d l= + − . Tabela 1.1.

0d l pl l pl l 0l d

0.01 1.005 0.995 100.00 0.02 1.009 0.992 50.00 0.05 1.023 0.978 20.00 0.10 1.045 0.957 10.00 0.20 1.090 0.920 5.00 0.50 1.224 0.866 2.00


1•40

1.00 1.445 0.692 1.00 2.00 1.880 0.521 0.50 5.00 3.125 0.320 0.20

10.00 5.000 0.200 0.10 20.00 8.000 0.125 0.05 50.00 11.000 0.091 0.02

Interpolacijom vrijednosti iz tabele 1.1 može se uzeti da je:

p

lL Ll

′= ⋅ .

gdje je L′ podužna induktivnost, a l / lp koeficijent koji se dobija iz tabele 1.1. • Za proračun induktivnosti dugačkih višeslojnih kalemova sa visinom namotaja h koristi se relacija:

22 20 0 (0,693 )

4 2d d hL N N kl l

π= μ −μ + [H]

gdje je k korekcioni faktor u zavisnosti od odnosa l/h dat u tabeli 1.2.

Tabela 1.2.

l/h k l/h k l/h k 1 0.0000 11 0.2844 21 0.3116 2 0.1202 12 0.2888 22 0.3131 3 0.1753 13 0.2927 23 0.3145 4 0.2076 14 0.2961 24 0.3157 5 0.2292 15 0.2991 25 0.3169 6 0.2446 16 0.3017 26 0.3180 7 0.2563 17 0.3041 27 0.3190 8 0.2656 18 0.3062 28 0.3200 9 0.2730 19 0.3082 29 0.3209

10 0.2792 20 0.3099 30 0.3218

Ako je izolacija žice istog reda veličine kao i prečnik neizolovane žice, treba izvršiti korekciju dobijenog rezultata za induktivnost po prethodnom obrascu, uvećavajući je za:


1•41

)155,0(ln20 +=Δ

dDN

Lμ

[H]

gdje je: D -udaljenost između dvije susjedne žice, d - prečnik gole žice. • Za izračunavanje induktivnosti kod ovih kalemova najčešće se

koristi Vilerov (Vheeler) obrazac:

][101093

87,7 8

0

220 H

hldNd

L −

++= .

1.10. MAGNETOREZISTORI

Magnetorezistori imaju otpornost koja zavisi od magnetne indukcije B prema modelu relacije:

( ) ( ) 2 20 1R B R Bμ= ⋅ + ⋅ . Pri manjim indukcijama, izraz se može aproksimirati sa dva člana Tejlorovog reda:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅= 22

211 0 BRBR μ .

Eksperimentalna karakteristika otpornost-indukcija pri konstantnoj temperaturi prikazuje se izrazom:

( ) ( ) ( )0 1 nR B R A B= ⋅ + ⋅ μ

gdje je A-magnetootporni koeficijent forme koji zavisi od vrste materijala i oblika senzora, n-faktor određen jačinom magnetne indukcije:

0 5 T 2 1 T 1B , nB n< → =⎧

⎨ > → ≈⎩.

U tom slučaju se koriste feromagnetni materijali kao što su NiFe (80% Ni i 20% Fe) ili NiCo (76% Ni i 24% Co). Diskretni magnetootpornici se izrađuju u obliku redne veze niza paralelnih traka od indijuma na pločici od InSb.

Izrađuju se kao uske pločice od InSb koje imaju paralelno glavnoj osi ubačene iglice od NiSb koji ima znatno veću specifičnu provodnost.


1•42

1.11. HOLOV GENERATOR

Magnetni senzor koji se nalazi u upotrebi je Hall-ov senzor čiji se rad zasniva na Hall-ovom efektu (Hall effect) koga je 1879. godine otkrio dr. Edwin Hall. Hall-ov efekat je posljedica uticaja magnetne indukcije na nosioce naelektrisanja u provodniku.

Hall-ov efekat se odnosi na stvaranje razlike potencijala (napon) između suprotnih strana tankog komada provodnog ili poluprovodnog materijala u obliku ″Holove šipke″ ili van der Pauw elementa kroz koji električna struja teče stvarajući magnetno polje koje je normalno na Holov element.

Pošto je Hall-ov efekat jako izražen u poluprovodnicima najpogodniji Hall-ov element predstavlja pločica napravljena od poluprovodničkog materijala. Holova pločica sa konačnom strujom i Holovim naponom na krajevima smještena je na površini kristala. Ovaj element senzora detektuje komponente magnetnog fluksa na površini čipa i emituje proporcionalni električni signal koji nastaje u kolu koje je integrisano na čipu.

Pomoću strujnih elektroda kroz pločicu se propušta struja I,dok se naponske elektrode koriste za mjerenje izlaznog, tzv. Hall-ovog napona. Posmatra se strujno polje u pločici pravougaonog poprečnog presjeka sa dva para upravno postavljenih elektroda. Dimenzije pločice su: l -dužina, b -širina i d -debljina.

Ako se pločica nalazi u magnetnom polju indukcije B koje je okomito na ravan pločice, tada na nosioce elektriciteta q djeluje Lorencova sila F normalna na smjer struje i indukcije. Ta sila je opisana relacijom: F q v B= ± gdje je v srednja brzina naelektrisanja. Izražavajući brzinu nosilaca naelektrisanja preko gustine struje J:

nqJ

v = , I

Jb d

=⋅

.

Ako kroz pločicu poluprovodničog materijala, koja je postavljena kao na na slici 1.11, teče struja I gustine vnqJ = u smjeru ose x, a


1•43

okomito na taj smjer u smjeru ose z djeluje magnetsko polje jačine H tada se okomito na ta dva smjera (dakle u smjeru y ose) javlja napon VH koji se zove Holov (Hall) napon.

d

IBz

wx

y

z

Sl. 1. 11. Poluprovodnički paralelopiped.

Pojava Holovog efekta potiče od prirode struje koja teče kroz provodnik. Struja se sastoji od naelektrisanih čestica (elektrona) koji izazivaju silu u magnetnom polju. Neki od ovih nelektrisanih elemenata prinudno prelaze na drugu stranu provodnika gdje grade zajednički naboj. Bitna karakteristika Holovog efekta je da se pozitivni naboji kreću u jednom smjeru , a negativni u suprotnom smjeru.

Električno polje u pravcu pločice iznosi J /= σE , gdje je σ specifična provodnost materijala.

Rezultantna dva upravna polja sa pravcem pločice zahvata ugao δ koji je dat izrazom:

H Btg B

n q⋅σ

δ = = = μ ⋅⋅

EE

.

gdje je / n qμ = σ ⋅ pokretljivost nosilaca naelektrisanja.

Ugao δ se naziva Hall-ov ugao. Usljed pojave Hall-ovog električnog polja dolazi do nagomilavanja naelektrisanja duž bočnih ivica stvarajući elektrostatičko polje suprotnog smjera od Hall-ovog. Ova dva poprečna polja se međusobno poništavaju.

Glavni nosioci elektriciteta, elektroni kod n-tipa i šupljine kod p-tipa, kretaće se prema graničnim površinama kristala. Uspostavlja se transverzalno elektično polje koje djeluje na nosioce elektriciteta silom koja je suprotna Lorencovoj sili:


1•44

zxy Bvqq =E . dobija se:

xy x z z

Jv B B

q n= ⋅ =E .

Električno polje uspostavlja Holov napon VH: dV yH ⋅=E , pa je:

1H xz

V IB ,

d q n wd=

1 x zH

I BV .

q n w=

Uz Holovu konstantu 1HR / q n= , koja je za elektrone negativna, a za šupljine pozitivna izraz za Holov napon se može napisati u obliku:

wBI

RV zxHH = .

Linearni Hall-ovi senzori generišu analogni izlazni signal koji je proporcionalan magnetnom fluksu okomitom na Hall-ovu pločicu.

Izlazna karakteristika je definisana vrijednošću napona OQV (napon

u stanju mirovanja) kada nema magnetnog polja, tj. kada je [ ]mTB 0= i osjetljivošću.

1.12. PROVODNICI

Provodnici su materijali koji dobro provode električnu struju jer imaju specifičnu otpornost malih vrijednosti. Pod dejstvom, naprimjer, električnog polja elektroni se mogu premještati na susjedne više nivoe. Valentni elektroni u metalima su slabo vezani za matične atome.

Zonska struktura provodnika odgovara metalima prve grupe Mendeljejevog periodnog sistema.

Provodnici prvog reda obuhvataju metale i njihove legure i mogu se svrstati u četiri grupe:

Metali velike provodnosti, kao što su bakar Cu, aluminijum Al, srebro Ag i zlato Au, imaju unutar valentne zone nepopunjene obližnje energetske nivoe. Njihova specifična električna otpornost je veoma malena mΩ−810~ρ .


1•45

Metali male provodnosti (nikl Ni, gvožđe Fe, olovo Pb, kalaj Sn, cink Zn, molibden Mo, volfram W, platina Pt). Metali male provodnosti imaju veću specifičnu električnu otpornost

mΩ−710~ρ . Otporne legure (kantal, cekas, manganin, konstantan itd)

mΩ−610~ρ koriste se za izradu grijača i otpornika. Specijalni provodni materijali se koriste u izradi nelinearnih

otpornika, termoelektričnih spregova, lemova, topljivih osigurača, električnih kontakata i galvanskih elemenata.

U karakteristike metala velike provodnosti spadaju:

specifična otpornost ρ [Ωcm], pokretljivost elektrona μn [ cm2/Vs], tačka topljenja tt [oC], specifična gustina ρm [g/cm3], zatezna čvrstoća σm [N/mm2] i tvrdoča HB [N/mm2] (tabela 1.3).

Tabela 1.3.

Cu Al Ag Au

ρ [Ωcm] 1,7241 ⋅ 10-8 2,78 ⋅ 10-8 1.65 ⋅ 10-8 2,35 ⋅ 10-8

μn [ cm2/Vs] 32 12 56 30

tt [oC] 1083 660 961 1063

ρm [g/cm3] 8,92 2,70 10,49 19,32

σm [N/mm2] 200÷450 70÷170

HB [N/mm2] 400÷950 170÷350 250 180

U širokom opsegu temperatura (kod metala u čvrstom stanju) zavisnost specifične otpornosti ρ(Ω cm) može se opisati polinomom:

...)1()( 320 +γ+β+α+ρ=ρ TTTT

gdje su γβα ,, pripadajući koeficijenti.

Temperaturna zavisnost specifične električne otpornosti provodnika sa dovoljnom preciznošću se opisuje polinomom drugog reda:

[ ]2000 )()(1)()( TTTTTT −β+−α+ρ=ρ


1•46

gdje su βα i koeficijenti provodnika na temperaturi T0.

Većina metala male provodnosti ima specijalne primjene: termoparovi (Pt, Ir, W, Mo), vlakna za zagrijavanje (W, Mo, Pt), lemovi (Pb, Sn, Zn), magnetni materijali (Fe, Ni, Co).

1.12.1. Provodni materijali velike provodnosti

• Bakar (Cu) je metal svijetle crvenosmeđe boje, kubno plošno centrirane kristalne rešetke. U čistom stanju relativno je mekan, ali vrlo žilav i rastezljiv. Lako se kuje, valja (na hladno i vruće) i izvlači u vrlo tanke žice. Može se meko i tvrdo lemiti i zavarivati. Odlično provodi električnu struju i toplinu. Bakar je relativno postojan na vazduhu, a izlaganjem uticaju atmosferilija dobiva zeleno-bijelu patinu (malahit) koja ga štiti od dalje oksidacije. Patina može biti i drukčijeg hemijskog sastava (hidroksisulfat, hidroksiklorid), zavisno o nečistoćama u atmosferi.

U prirodi se nalazi i elementaran ali češće u spojevima kao što su: - halkopirit (žute boje) CuFeS2, - halkozin (metalno sjajan) Cu2S, - kovelin (plav) CuS, - kuprit (crvenkast) Cu2O.

Bakar lijevane teksture ima mehaničku čvrstoću oko 200 N/mm2 i istezljivost oko 15%. Bakar žarene teksture omogućuje najveću električnu provodnost i istezljivost, ali je smanjene čvrstoće i tvrdoće. Bakar gnječene teksture ima veću čvrstoću i tvrdoću, električna provodnost je manja, istezljivost je minimalna. Prema mehaničkoj čvrstoći moguća je podjela na: - meki i ekstra meki bakar, - polutvrdi i tvrdi te ekstra tvrdi bakar. Skupina srodnih legura bakra, nikla i cinka (ili mangana) pojavljuje se pod imenima: nnoovvoo ssrreebbrroo (62Cu 22Zn 15Ni Fe Mn), nniikkeelliinn (67Cu 30Ni 3Mn), aarrggeennttaann, ppaakkffoonngg i kkiinnaa ssrreebbrroo. Nikl u kombinaciji sa cinkom leguri daje srebrnastu boju.


1•47

• Aluminijum (Al) je dobar provodnik električne struje. Aluminijum je srebrnasto bijele boje, male specifične težine, ne hrđa. Danas je to jedan od najrasprostranjenijih hemijskih elemenata na Zemlji,

odmah iza kiseonika i silicijuma. Male je specifične mase od 2,7 kg/dm3

(kod bakra 8,9 kg/dm3) i električne provodnosti 34,8 – 38 [Sm/mm2]. Topljenje aluminijuma nastaje pri temperaturi 660 °C, a ključanje pri 2270 °C.

Aluminijum se može dobiti elektrolizom glinice te grijanjem boksita ili aluminijeva hidroksida (Al(OH)3). Električni provodnici od aluminijuma, u poređenju sa bakarnim provodnicima iste električnw otpornosti imaju 1,6 puta veći presjek. Aluminijum na vazduhu korodira stvaranjem tankog sloja oksida Al2O3 (glinica) na površini, koji izoluje aluminijum od daljeg utjecaja vazduha. Taj oksid koji se stvara na površini aluminijuma u električnom smislu je izolator.

• Zlato (Au) se upotrebljava za električne vodove i kontakte električnih instrumenata i specijalnih uređaja te kao sastojak industrijskih lemila i za lemljenje legura. To je plemeniti metal sjajne žute boje i ima plošno centriranu kubnu strukturu. Veoma je mekano, a uz to vrlo žilavo pa se može izvlačiti u najfinije žice ili listiće izvanredno male debljine (0,00001 mm) koji propuštaju modrozelenu svjetlost. Dobar je provodnik toplote i elektriciteta. Na vazduhu je apsolutno stabilno i s kiseonikom se ne spaja ni na kojoj temperaturi. Količina zlata iskazuje se u karatima, pri čemu čisto zlato ima 24 karata. Drugi način iskazivanja čistoće zlata je u promilima mase zlata (čisto zlato je 1000).

• Srebro (Ag – lat. argentum - bijel, sjajan) je najbolji provodnik električne struje i toplote. Ubraja se u plemenite metale, u prirodi se javlja u elementarnom stanju kao i u svojim jedinjenjima. U prirodi ga u elementarnom stanju nalazimo iznimno rijetko. Najčešće se srebro pojavljuje u obliku sulfida Ag 2 S(argentit) i klorida AgCl. Srebro je meko, rastegljivo i lako kovno, što omogućava njegovo jednostavno oblikovanje i izvlačenje u tanke žice i folije zato se još u dalekoj prošlosti koristilo za pravljenje nakita. Uglavnom se dobija kao sporedni proizvod prerade ruda drugih metala. Pri sobnoj temperaturi na vazduhu ne


1•48

oksidira, ali nakon dužeg vremena potamni od tragova sumporovodika iz vazduha. Može se kovati i izvlačiti u žicu jer se lako obrađuje plastičnim deformacijama. Ima visoku refleksivnost (posebno u infracrvenom i vidljivom dijelu spektra) i veliku otpornost prema koroziji zbog čega se upotrebljava u elektrotehnici i elektronici kao materijal za izradu električnih kontakata i provodnika te za izradu štampanih strujnih kola.

Posrebrivanje je poznato kao mehaničko-termički proces prevlačenja srebrom predmeta i nakita. Najpoznatiji izraz za takvo posrebrenje je SHEFFIELD što je ujedno i ime engleske kuće koja je izrađivala predmete od srebra (Sheffield plate debeli sloj srebra sa obje strane bakrene ili mesingane ploče). Važniji spojevi srebra su: Srebrni (I)-nitrat (AgNO3, lapis infemalis) najrasprostranjeniji je i najvažniji spoj srebra. Srebro halogenidi su: žuti AgF, svijetložuti AgBr, žuti AgI i bijeli AgCl. U praksi je najvažniji AgCl koji je u vodi najtopljiviji a otapa se i u organskim otapalima. Tačka topljenja mu je pri 449°C. U fotografskoj emulziji uzrokuje potamnjenje svjetlosti osvjetljenog - eksponiranog sloja. Isti sloj je transparentan za IC-zračenje pa se koristi kao fotopodloga u IC-spektroskopiji. Posebni provodni materijali (Nb, Sn, Ti, Ta, La), elektrode galvanskih elemenata (Zn, Fe, Pb, Cd, Na, Li), provodne i otporne paste i slojevi u hibridnim integrisanim kolima (Ta, Ti, Pd, Pt, Nb). Pored provodnika koji dobro provode struju postoji materijali male

provodnosti. Takvi su:

• Nikl se nalazi u prirodi u čistom elementarnom stanju, a najčešće u raznim mnogobrojnim rudama nikla, a dobija se u krajnjoj operaciji bilo topioničkim putem redukovanjem oksida nikla (čistoća 99%), bilo elektrolitskim putem (čistoća 99,5%). Nikal se koristi za izradu čeličnih akumulatora i pravljenje otpornih legura.

• Olovo se dobija iz rude galanit.Olovo se upotrebljava za izradu električnih akumulatora u vidu mekog olova za ploče i u vidu olovnih olsida. Još se upotrebljava za izradu omotača električnih kablova, zatim u leguri sa kalajem služi u vidu žice za osigurače i šipke za lemljenje.


1•49

• Cink se dobija iz rude sfalerita, smitsonita, kalamine i dr. Jedna od glavnih primjena cinka je galvanizacija čeličnih žica, kada se ove upotrebljavaju za vazdušne vodove, kao i galvanizacija različitih čeličnih djelova za izgradnju vodova za prenos električne energije itd.

• Najvažnija ruda u kojoj se nalazi kalaj je kasiterit. Upotreblajava se u leguri sa olovom za lemljenje, zatim u legurama za topljive žice (osigurače) i u bronzi.

• Platina je plemenit metal koji ne oksiduje i veoma je otporan prema hemijskim reagentima, a lako se može i obrađivati. Platina je najpodesniji metal za termoelektrične spregove. Upotrebljava se i kao element u laboratorijskim pećima. Služi kao osnova za čitav niz tvrdih legura, od kojih je najpoznatija legura platine i iridijuma. Platina se upotrebljava i za otporničke termometre.

• Živa je jedini metal u tečnom stanju pri običnoj temperaturi. Živa se upotrebljava za električne lučne lampe sa živinom parom, usmjerače sa živinom parom, kod raznih prekidača za kontakte, za elektrode za ispitivanje izolatora itd.

U grupu metala visoke tačke topljenja spadaju: volfram, molibden i tantal, čije su tehničke osobine istraživane u vezi sa tehnikom električni sijalica i elektronskih cijevi.

Ova spomenuta grupa metala se dobija pomoću posebnog postupka. koji se naziva metalurgijom praha.

• Volfram je mehanički vrlo čvrst i tvrd metal. Pri visokim temperaturama postaje krut. Od svih metala on ima najvišu temperaturu topljenja, topi se pri 3400oC. Čvrštoća pri kidanju znatno se smanjuje sa povišenjem radne temperature.

• Molibden. Temperatura topljenja molibdena je 2630oC. Upotrebljva se kao držač za usijana vlakna električnih sijalica, za izradu rešetaka i anoda u elektronskim cijevima i za zagrijavanje elektronskih peći. Molibden i volfram mogu se miješati u različitim količinama i tako daju legure.

• Tantal spada među najrijeđe elemente koji se nalazi u elementarnom stanju. Topi se pri 2900oC.


1•50

Osobine metala sa visokom temperaturom topljenja su date u slijedećoj tabeli 1.4.

Tabela 1,4.

Osobine W Mo Ta

Gustina 17,6 – 19,4 10 – 10,3 16,6 – 17

Tvrdoća na Mosu 4,5 – 8 5,5 6 – 6,5

Temperatura topljenja (oC) 3400 2 630 2 900

Čvrstoća pri kidanju (N/mm2) 350 – 4150 1400 -2500 350 – 1200

Istezanje pri kidanju (%) 1 – 4 2 – 5 1 – 2

Modul elestičnosti (N/mm2) 380 000 300 000 190 000

Tvrdoća po Brinelu (N/mm2) 3500 do 1 850 do 3500

Specif. toplota pri 1400oC (kcal/kgoC) 0,043 0,080 0,040

Specif. otpor pri 20oC (Ωm) Specif. otpor pri 2000oC (Ωm)

0 059 0,65

0,055 0,60

0,155 0,88

Temperaturni koef. po oC 4,8 * 10-3 4,57 * 10-3 3,3 * 10-3

Kod materijala kao parametar uzima se slojna otpornost koja

direktno zavisi od koncentracije primjesa koja se mijenja sa promjenom udaljenosti x od površine pločice tako da se i specifična provodnost mijenja od tačke do tačke.

U tabeli 1.5 su date tipične vrijednosti specifične otpornosti kao i vrijednosti temperaturnog koeficijenta α pri T = 20 oC.

Tabela 1.5

Materijal

ρ20 (Ω mm2/m)

α20*104 (1/ 0 C)

Bakar 0,017 43

Aluminijum 0,028 42

Volfram 0,055 46


1•51

Molibden 0,057 46

Tantal 0,135 38

Niobijum 0,181 31

Titan 0,420 44

Cirkonijum 0,410 45

Renijum 0,210 32

Zlato 0,024 38

Srebro 0,016 39

Platina 0,105 38

Paladijum 0,110 38

Gvožđe 0,098 62

Nikal 0,075 65

Kobalt 0,062 61

Olovo 0,210 37

Kalaj 0,120 44

Cink 0,059 41

Kadmijum 0,076 42

Indijum 0,092 47

Mesing 0,07-0,08 13-19

Kod slojnih otpornosti od 100 Ω / koeficijent TCR iznosi od 1⋅10-3 / oC dok je kod 300 Ω / njegova vrijednost 3⋅10-3 / oC. Tipična vrijednost slojne otpornosti bazne oblasti iznosi 100-250 Ω/ , a emitorske 2-10 Ω/ . Proizvode se za radne napone od 100 V do 300 V, malog su šuma od 0,1 μV/V. Tolerancija iznosi ± 20 %. Temperaturni koeficijent iznosi +1500 p.p.m/0C (p.p.m = part per milion – dijelova na milion 10-6/0C odnosno TCR = ±10-4 [1/0C].


1•52

Minijaturizacija u elektronici i smanjenje disipacije na elementima dovela je do SMD otpornika (Surface Mounting Device - elementi za površinsku montažu). Ovi otpornici se dobijaju debeloslojnom tehnikom na keramičkoj pločici od aluminijum-trioksida (Al2O3) ili na bazi berilijum-oksida (BeO). Krajevi izolacione podloge se prvo metalizuju pa se između njih nanosi otporni sloj izrađen od rutenijum-dioksida (RuO2).

1.13. DIELEKTRICI

Neprovodni materijali - izolatori imaju valentnu zonu sasvim popunjenu elektronima dok je provodna zona potpuno prazna. Sinonim za pojam izolator je dielektrik koji se u elektrotehnici obično koristi za izolatore u kondenzatorima.

Neprovodni materijali - izolatori su materijali koji nemaju sposobnost lake pokretljivosti elektrona. Specifičnost izolacionih materijala je da u njima nema slobodnih nosilaca električnog naboja, pa zbog toga vrlo slabo provode električnu struju pri uobičajenim veličinama spoljašnjeg električnog polja. Izolacioni materijali se često koriste za izolovanje provodnika da bi se spriječio neželjeni dodir dva provodnika i uspostavljanje struje između njih.

U fizici čvrstog stanja uobičajeno je izvršiti dodatnu klasifikaciju neprovodnih materijala prema veličini energetskog procjepa između vrha valentne i dna provodne zone. Ovi materijali su neprovodni pri uobičajenim veličinama spoljašnjeg električnog polja.

Tek pri znatno većim razlikama potencijala ili pri znatno višim temperaturama može doći do pobuđivanja elektrona sa vrha valentne prema dnu provodne zone. Kod izolatora specifična otpornost ima vrijednosti 510 cmρ > Ω i smanjuje se sa porastom temperature.

Postoje dvije grupe dielektrika: polarni i nepolarni (neutralni). Kod polarnih dielektrika (koji se uglavnom nalaze u gasnom ili tečnom stanju) molekuli su ujedno i električni dipoli. Broj orijentisanih dipola u pravcu dovedenog električnog polja proporcionalan je jačini električnog polja.


1•53

Kod polarnih dielektrika molekuli su ujedno i električni dipoli, jer prilikom povezivanja atoma u molekule dolazi do asimetrične raspodele pozitivnih i negativnih naelektrisanja, što odgovara postojanju stalnog električnog dipola molekula. Električni dipoli polarnih molekula su, zbog toplotnog kretanja molekula, haotično orijentisani, zbog čega je rezultujući dipolni momenat čitavog dielektrika jednak nuli.

Ukoliko u odsustvu spoljašnjeg električnog polja (E = 0) dielektrik nema stalne električne dipole tada je on neutralan.

Dovođenjem spoljašnjeg električnog polja E, nastaće samo djelimično uređenje orijentacije električnih dipola. Broj orijentisanih dipola u pravcu dovedenog električnog polja povećava se sa povećanjem jačine električnog polja E i sa smanjenjem temperature.

Jednačina koja povezuje makroskopsko električno polje E sa vektorom električne indukcije D i vektorom polarizacije P :

oD P= ε +E .

Dielektrična konstanta dielektrika ε zavisi u opštem slučaju od njegove temperature, te veličine i frekvencije napona. Ovakva linearna zavisnost vektora dielektričnog pomjeraja D od vektora jačine električnog polja E i vektora polarizacije P postoji kod linearnih dielektrika.

Odavde slijedi da (u odsustvu slobodnih nalektrisanja) makroskopsko električno polje mora zadovoljavati jednačinu:

( ) ( )1r P r0

∇ = − ∇ε

E ,

pri čemu polarizacija P obično predstavlja sporo promenljivu funkciju koordinata u dielektriku i povezana je sa makroskopskim električnim poljem E relacijom:

eP0

= χ εE ,

gde je eχ - električna susceptibilnost dielektrika, ε0 - dielektrična

propustljivost vakuuma.

Dielektrična konstanta ili specifična induktivna kapacitivnost se definiše kao odnos gustine električnog fluksa proizvedenog u materijalu i gustine


1•54

električnog fluksa proizvedenog u slobodnom prostoru pomoću iste električne sile, a izražava se odnosom kapacitivnosti kondenzatora sa posmatranim dialektrikom i kapacitivnosti istog kondenzatora kad bi dielektrik bio vakuum:

128 85 10 F/mr x v oC / C , , −ε = ε = ⋅

Toplotne osobine obuhvataju: toplotnu provodnost, specifičnu toplotu, koeficijent linearnog širenja, temperaturu topljenja i smrzavanja, temperaturu zapaljivosti, temperaturu omekšanja…

Nelinearni dielektrični materijali se koriste u pojedinim elektronskim komponentama zbog čega se ponekad nazivaju i aktivnim dielektričnim materijalima. Mogu se podijeliti na piroelektrike, piezoelektrike, feroelektrike, antiferoelektrike i elektrete. Kod piroelektrika pri zagrijavanju kristala mijenja se polarizacija pa se definiše piroelektrični koeficijent p koji karakteriše promjenu dielektričnog pomjeraja D sa temperaturom T:

TDp ∂∂= / .

Kristali koji mogu steći spontani dipolni moment pri mehaničkoj deformaciji nazivaju se piezoelektrici. Takozvani piezoelektrični modul d karakteriše promjenu dielektričnog pomjeraja D pri izmjeni mehaničkog napona σ:

σ∂∂= /Dd . Pored ovog efekta postoji i obrnuti piezoelektrični efekat koji

opisuje pojavu nastajanja mehaničkih deformacija pri djelovanju električog polja. Modul obrnutog piezoelektričnog efekta d ′ predstavlja promjenu relativnog izduženja ξ pri promjeni električnog polja:

/d ′=∂ ξ ∂E .

U feroelektričnim materijalima (ispod Kirijeve temperature) zavisnost D(E) ima oblik histerezne petlje, što znači da polarizacija dielektrika u nekoj tački nije određena samo električnim poljem u toj tački u posmatranom trenutku, već i električnim poljem u ranijim trenutcima. Ova pojava naziva se dielektričnim histerezisom i analogna je magnetnom histerezisu B(H) kod feromagnetnih materijala.


1•55

Materijali sa strukturom sastavljenom od domena sa naizmjenično suprotno orijentisanim paralelnim orijentacijama dipolnih momenata nazivaju se antiferoelektricima. Specifičnost ovih materijala je dvostruka histerezna petlja D(E) i to jedna u prvom a druga u trećem kvadrantu.

Materijali koji poslije prethodne obrade stiču i zadržavaju električnu polarizaciju nazivaju se elektreti.

Za formiranje elektreta koriste se samo materijali sa orijentacionom polarizacijom, tj. oni koji sadrže stalne dipole. Tako termoelektreti se poslije zagrijavanja hlade u spoljašnjem električnom polju (oko 1kV/mm). U tom procesu dipoli se orijentišu u pravcu električnog polja. Pri tome naelektrisanja na površini elektreta su suprotnog polariteta od onog na polarizacionim elektrodama.

Pri jakim električnim poljima u području njegove kritične jačine dolazi do naglog smanjenja električne otpornosti materijala odnosno do njegovog dielektričnog proboja. Kritična jačina polja pri kojoj dolazi do dielektričnog proboja materijala naziva se dielektričnom čvrstoćom tog dielektrika. Zavisnost dielektrične konstante od različitih faktora određena je načinom polarizacije dielektrika.

Postoje dva načina polarizacije dielektrika: deformaciona polarizacija i relaksaciona polarizacija. Deformaciona polarizacija je svojstvena nepolarnim dielektricima. Ukoliko u odsustvu spoljašnjeg električnog polja (E=0), dielektrik nema stalne električne dipole, kaže se da je neutralan.

U odsustvu spoljašnjeg električnog polja (E =0) efektivni centri pozitivnih i negativnih naelektrisanja se poklapaju pa zbog toga nema električnog dipola.

Dovođenjem spoljašnjeg električnog polja (E ≠ 0), dolazi do razdvajanja efektivnih centara pozitivnih i negativnih naelektrisanja i do obrazovanja dipolnog momenta p q l= Δ , gdje je q naelktrisanje, a

lΔ rastojanje između efektivnih centara pozitivnog i negativnog naelektrisanja.

Ova pojava je elastičnog karaktera i naziva se elektronskom polarizacijom koja traje samo dok postoji spoljašnje električno polje. Kod te vrste materijala, polarizacija je deformacionog


1•56

karaktera, jer pod dejstvom spoljašnjeg električnog polja dolazi do male, ali konačne deformacije elektronskog oblaka i do nepoklapanja efektivnih centara pozitivnog i negativnog naelektrisanja.

U slučaju dielektrika sa defektima u strukturi, slobodni nosioci koji se akumuliraju na mjestima defekata mogu se pomjerati pod dejstvom spoljašnjeg električnog polja. To je tzv. međuslojna polarizacija, gdje pod dejstvom spoljašnjeg električnog polja dolazi do promjene raspodjele naelektrisanja.

Mehanizam proboja kod čvrstih dielektrika predstavlja kombinaciju električnih, toplotnih i hemijskih pojava. Vrijednosti čvrstoće dostižu 160 kV/mm. U gasovitim dielektricima proboj nastaje uslijed udarne ili fotonske jonizacije. Tipična vrijednost dielektrične čvrstoće gasova iznosi 5 kV/mm. U tečnim dielektricima mehanizam proboja je isti kao i u gasovitim, s tim što je njihova dielektična čvrstoća dostiže do 30 kV/mm.

Relativne dielektrične konstante i tangens gubitaka raznih dielektrika temperaturi T = 20 °C date su u slijedećim tabelama.

Tabela 1.6

Dielektrik rε tgδ cα maxf

Stirofleks (2 ÷ 10) · 10-4 100MHz

Poliester 3,25 20 · 10-4

Polikarbonat 2,8 10 · 10-4 ± 75·10-6 °C-1

Polipropilen 2,2 (5 ÷ 10) · 10-4 -250·10-6 °C-1

Polisulfon 15 · 10-4 ±30·10-6 °C-1

Teflon (metalizovani) 10 · 10-4 ±60 · 10-6 °C-1

Mica 6 do 8


1•57

Tabela 1.7

Liskun 6.8 ÷ 7.5 (0,5 ÷ 2) · 10-4 ±(30÷200)·10-6 °C-1 1GHz

Staklo 4 αc = (140±25)· 10-6 °C-1 30MHz

Keramika (tip 1)

5 ÷ 15

10 · 10-4 100 ÷ 130)·10-6 °C-1

-5600·10-6 °C-6 50MHz

Tantal oksid 10 do 20 100kHz

Papir 3,4÷5,5 (30 ÷ 50)·10-4,

50Hz (0,01 ÷ 0,03) ,

(50 ÷ 200) ·10-6

1kHz

Materijal εr tg δ · 104

Vakuum 1 0

Kondenzovano mineralno ulje 2.2 1÷5 (pri 1 MHz)

Polipropilen 2.2 5÷10 (pri 1 MHz)

Sintetički parafin 2.3 3÷7 (pri 1 MHz)

Vazelin 2.3 3÷5 (pri 1 MHz)

Parafin iz nafte 2.4 6÷16 (pri 1 MHz)

Polistirol 2.4÷2.6 ≤2 (pri 50 Hz)

Polikarbonat 2.8 ≤10 (pri 50 Hz)

Poliester 3.25 ≤20 (pri 50 Hz)

Papir 3.4÷5.5 30÷60 (pri 50 Hz)

Metalizovani papir 3.5÷4.0 50÷150 (pri 1 kHz)

Sintetičko ulje (piranol) 5 5÷10 (pri 1 MHz)


1•58

Primjer 1.1.

Posmatraju se dva naelektrisanja q1 i q2 koja se nalaze na rastojanju a. Ali ako se izmedju njih postavi treće naelektrisanje q3 tada se može odrediti uslov pri kome bi sva tri naelektrisanja bila nepokretna.

Sl. 1.1.

Hlornaftalin 5.6 5÷20 (pri 1 MHz)

Staklo 4 4÷10 (pri 1 MHz)

Liskun 6.8÷7.5 0.5÷2 (pri 50 Hz)

Oksid aluminijuma 8.5÷10 500÷1000 (pri 1 kHz)

Oksid tantala 25÷27 500 (pri 1 kHz)

Kondenza (na bazi rutila) 35÷80 1÷2 (pri 1 MHz)

Voda 80

Kerakond 200 20 (pri 1 MHz)

Suprakond 1800 150 (pri 1 MHz)

Ultrakond 4000 150 (pri 1 MHz)

Keramika tipa 1 5÷470 10÷20 (pri 1 MHz)

Keramika tipa 2 (7÷150) ·102 50÷200 (pri 1 MHz)


1•59

Smjerovi privlačnih sila između opterečenja su označeni na slici 1.1. Pri tome su naznačeni i smjerovi između prvog i drugog naelektrisanja.

Prvo je potrebno označiti njihovi međusobni razmaci. Neka je sa x označeno rastojanje prvog tačkastog naelektrisanja q1 do tačke gdje se postavlja treće naelektrisanje q3. S obzirom da je ukupni razmak prva dva naelektrisanja označen sa a tada rastojanje trećeg i drugog opterečenja iznosi (a - x). Da bi poslije postavljanja trećeg naelektrisanja sistem bio nepokretan treba da intenziteti sile između naelektrisanja budu jednaki. Mogu se postaviti tri uslova: 1. Između prvog i trećeg naelektrisanja sile treba da budu jednaki:

13 23F F= .

Prema izrazima za sile po Kulonovom zakonu je:

( )1 3 2 3

22

q q q qk k

x a x

⋅ ⋅=

−.

tj. ( )

122 2 2

2

1 1

2

q

q x a x a ax x= =

⋅ − − +,

2 2 2 2

12

qx a ax x

q= − + ,

odnosno:

22 2

11 2 0

qx ax a

q

⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Kada se uzme početni uslov da je prvo naelektisanje četiri puta veće od drugog naelektrisanja dobija se sređenija kvadratna jednačina:

2 23 8 4 0x ax a− + = , .


1•60

Za rastojanje a = 60 cm kvadratna jednačina postaje:

2 28 4 03 3

x ax a− + = ,

2 160 4800 0x x− ⋅ + = .

Rješenja ove kvadratne jednačine:

2

1 2160 160 4 4800

2,x± − ⋅

=

Važi samo jedno rješenje prema kome je x a< te je :

1160 80 40 cm

4x x −= = = .

2. Drugi uslov je jednakost sila između prvog i drugog te između drugog i trećeg naelektrisanja:

12 32F F= .

Tako se dobija: ( )

1 2 3 222

q q q q

a a x

⋅ ⋅=

−,

Odavde je: ( )2 13 2

qq a x

a= − ⋅ .

Tako se uvrštavanjem datih vrijednosti dobija:

( )2 2

3 1 260 40 14 4 0 444 nC

60 9a x

q q ,a− −⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

3. Treba provjeriti i treći uslov jednakosti sila 21 31F F= :

1 2 3 12 2

q q q q

a x

⋅ ⋅= .

Uvrštavanjem i izračuvanjem dobija se ista vrijednost za treće naelektrisanje:

22 2

3 240 41 0 444 nC60 9

qq x ,

a⎛ ⎞= = ⋅ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

.


1•61

Primjer 1.2. Data su tri jednaka pozitivna opterećenja q koja se nalaze u tjemenima istostraničnog trougla čije su stranice dužine a. Svi uglovi u jednakostraničnom trouglu su isti i iznose po 60o. Koliki naboj naelektrisanja Q bi trebalo postaviti u težište trougla da bi rezultujuća sila na svako opterečenje bila jednaka nuli. Sila F na jedno naelektrisanje potiče od

Kulonovih sila dva druga naelektrisanja 1F i 2F tako da je

jednaka vektorskom zbiru tih sila:

1 2F F F= + .

Sl. 1.2.

S obzirom da vektorski zbir čine pojedinačne sile kao rezultanta pod uglom od 30o.

o o1 22 cos30 2 cos30F F F= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ,

2 2 2o

2 2 232 cos30 2 3

2q q qF k k ka a a

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ .

Visina h u trouglu iznosi: 3

2ah = .


1•62

Da bi rezultujuća sila na naelektrisanje Q bila jednaka nuli tada intenziteti sila FQq i F moraju biti jednaki ali suprotnog smjera. Zbog toga naelektrisanje Q mora biti negativno da bi se sile poništile. Količina naelektrisanja se može izračunati iz uslova jednakosti tih sila: QqF F= . Sila između

naelektrisanja u težištu trougla Q i q data sa:

2 2 232 3 33 2 3

QqQ q Q q Q qF k k k

aa a= ⋅ = ⋅ = ⋅

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Smjerovi sila su na pravcima naelektrisanja u tjemenima trougla što je vidljivo na sl. 1.2a.

Sl. 1.2a.

Izjednačavanjem sila QqF F= dobija se:

2

2 23 3q Q qF k k

a a= ⋅ = ⋅ , 3 3Q q= ⋅ .

Odavde proizlazi da količina elektriciteta Q zavisi samo od količine pozitivnog naelektrisanja q u tjemenima trougla i da je nezavisno od dužine stranic a.

33

Q q= .


1•63

Primjer 1.3.

Posmatraju se dvije kuglice veoma malih dimenzija istih masa m koje vise o končićima jednakih dužina l a koji su učvršćeni u gornjoj tački O. Kada se takvim kuglicama dovedu jednake količine naelektrisanja one se odbijaju i nalaze se na razmaku r. Pri tome svaki končić pravi sa vertikalom ugao α. Pored električne sile na kuglice djeluju još i gravitaciona sila i sila zatezanja konca. Sile kao vektori označavaju se strelicom iznad slova F ili slovom F -bold.

Te tri sile moraju biti u ravnoteži tj. njihov vektorski zbir mora biti jednak nuli. Sila zatezanja konca Fz usmjerena je duž konca ka tački vješanja O. Treba primjetiti da je vektorski zbir gravitacione sile Fg i električne sile odbijanja

između jednog i drugog naelektrisanja Fe12 jednak

rezultantnoj sili Fr koja mora biti u pravcu duž konca.

Sl. 1.3.


1•64

Isto važi za drugo opterečenje. Za analizu se uzima da se sistem nalazi u vakuumu a da se masa konca može zanemariti. Sa slike se vidi da je u ravnotežnom stanju:

2 cosg rF F= ⋅ α ,

12 2 sine rF F= ⋅ α .

Tada je:

12sin tgcose g gF F Fα

= ⋅ = ⋅ αα

.

Kako je tangens ugla određen odnosom stranica trougla dobija se:

( )12 22

2

2e g

r /F Fl r /

= ⋅−

.

Pri tome gravitaciona sila iznosi:

gF m g= , (g = 9,81 m/s2).

Kako je: 2

12 21 20

1

4e e

QF Fr

= =πε

,

0 124 eQ r F= πε .

Documents

Http Dl.iu-travnik.com Uploads 98 8610 Osnovi Elektrotehnike Predavanja