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http://www.licimep.org/calculo.htm
1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto.
2. Calcular, en caso de que exista, el límite de una función mediante la aplicación de reglas y procedimientos algebraicos.
3. Comprender la noción de límites laterales (de una función en un punto) y su relación con el concepto de límite (de una función).
4. Determinar la existencia o la no existencia del límite de una función, vía la existencia y la comparación de los límites laterales.
5. Comprender la noción de límites infinitos de una función.
6. Determinar los limites infinitos de una función, mediante la aplicación de reglas y procedimientos algebraicos.
7. Comprender la noción de asíntota vertical de una función.
8. Calcular las asíntotas verticales de una función.
9. Comprender la noción de límites en infinito de una función.
10. Determinar los límites en infinito de una función, mediante la aplicación de reglas y procedimientos algebraicos.
11. Comprender la noción de asíntota horizontal de una función.
12. Calcular las asíntotas horizontales de una función.
13. Bosquejar la gráfica de una función considerando su comportamiento asintótico.
14. Determinar el límite de una función de ciertos puntos a partir de su gráfica.
3.1 Introducción
3.2 El álgebra de los límites
3.3 Los límites laterales
3.4 Los límites infinitos
3.5 Los límites en el infinito
Explicar el concepto de límite
1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, ....
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30,
31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40,
41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50,
51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60,...
1, 4, 9, 16,
25, 36, 49, 64,
81, 100, ....
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169,
196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529,
576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089,
1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681,
1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401,
2500, 2601, 2704, 2809, 2916, 3025, 3136, 3249,
3364, 3481, 3600,....
1, 1/2, 1/3, 1/4,
1/5, 1/6, 1/7, 1/8,
1/9, 1/10, .......
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10,
1/11, 1/12, 1/13, 1/14, 1/15, 1/16, 1/17, 1/18,
1/19, 1/20, 1/21, 1/22, 1/23, 1/24, 1/25, 1/26,
1/27, 1/28, 1/29, 1/30, 1/31, 1/32, 1/33, 1/34,
1/35, 1/36, 1/37, 1/38, 1/39, 1/40, 1/41, 1/42,
1/43, 1/44, 1/45, 1/46, 1/47, 1/48, 1/49, 1/50,
1/51, 1/52, 1/53, 1/54, 1/55, 1/56, 1/57, 1/58,
1/59, 1/60, ...
Los números primos
Los cubos de los números naturales
Los dígitos del número irracional
Los números de Fibonaci
1 2 3
Una sucesión es un conjunto de números
reales , , ,..., ,...
con un orden definido (por ejemplo, en
correspondencia con los números enteros)
y formados o calculados de acuerdo con
una regla espe
iu u u u
cífica y bien definida.
Una sucesión de números reales
es una función cuyo dominio
son los números naturales
y su contradominio son los reales.
:s
1 2 3Una sucesión es un conjunto de números , , ,..., ,...
con un orden definido (por ejemplo, en correspondencia
con los números enteros) y formados o calculados de acuerdo
a una regla específica y bien
iu u u u
definida.
* Cada uno de los números de la sucesión se
llama término
* El número es llamado el término esimo
* La sucesión puede ser finita o infinita
* Por brevedad, muchas veces se le designa
n
n
u n
u
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
......
123 123
......
n n
1 1
2 4
3 9
4 16
......
50 2,500
......
625 390,625
......
2n n
1 1
2 1 / 2
3 1 / 3
4 1 / 4
......
60 1 / 60 0.0167
......
1,625 1 / 1,625 0.0006
......
1n
n
2nn
1 2.00
2 1.41
3 1.26
4 1.19
........
15 1.047
........
67 1.010
........
2.00, 1.41, 1.26, 1.19, 1.15, 1.12, 1.10,
1.09, 1.08, 1.07, 1.07, 1.06, 1.05, 1.05,
1.05, 1.04, 1.04, 1.04, 1.04, 1.04, 1.03,
1.03, 1.03, 1.03, 1.03, 1.03, 1.03, 1.03,
1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02,
1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02,
1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.01, 1.01, 1.01,
1.01, 1.01, 1.01, 1.01, 1.01, 1.01, 1.01,
1.01, 1.01, 1.01, 1.01
2
Normalmente hay una regla de asociación:
1
2n
n n
n n
nn
n
1 2 3
Una sucesión es un conjunto de números
reales , , ,..., ,...
con un orden definido (por ejemplo, en
correspondencia con los números enteros)
y formados o calculados de acuerdo con
una regla espe
iu u u u
cífica y bien definida.
Una sucesión de números reales
es una función cuyo dominio
son los números naturales
y su contradiminio son los reales.
:s
n n2,345 2,345
.......
897,562 897,562
.......
2,749,876,439,320,870 2,749,876,439,320,870
........
limn
n
2,345 2,345
.......
897,562 897,562
.......
2,749,876,439,320,870 2,749,876,439,320,870
........
2n n327 106,929
.......
31,978 1,022,592,484
.......
3,213,894 10,329,114,643,236
........
2lim n 327 106,929
.......
31,978 1,022,592,484
.......
3,213,894 10,329,114,643,236
........
La sucesión se va a infinito
si después de un cierto término,
los siguientes términos se hacen
arbitrariamente grandes.
Por ejemplo, en la sucesión ,
si ustedes me dicen un número
muy grande, digamos 10 millones,
tomando el término 10 millones
más 1 les ganó.
n n
Si me dicen mil millones,
tomo el término mil millones
más 1 y de nuevo les ganó.
Y así sucesivamente....
¿Pero cómo podemos precisar
matemáticamente esto que
estamos diciendo?
Se escribe
lim
cuando dado , 0,
existe tal que
siempre que
nn
n
a
M M
N a M
n N
R
R
0
n n
n n
n n
n n
2n n
2n n
2n n
Veamos ahora otras sucesiones …….
3n n
-1, -8, -27, -64, -125, -216, -343, -512, -729, -1000, -1331, -1728, -2197, -2744, -3375, -4096, -4913, -5832, -6859, -8000
3limn
n
Se escribe
lim
cuando dado , 0,
existe tal que
siempre que
nn
n
a
M M
N a M
n N
R
R
3n n
3n n
1, 1/2, 1/3, 1/4,
1/5, 1/6, 1/7, 1/8,
1/9, 1/10, .......
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10,
1/11, 1/12, 1/13, 1/14, 1/15, 1/16, 1/17, 1/18,
1/19, 1/20, 1/21, 1/22, 1/23, 1/24, 1/25, 1/26,
1/27, 1/28, 1/29, 1/30, 1/31, 1/32, 1/33, 1/34,
1/35, 1/36, 1/37, 1/38, 1/39, 1/40, 1/41, 1/42,
1/43, 1/44, 1/45, 1/46, 1/47, 1/48, 1/49, 1/50,
1/51, 1/52, 1/53, 1/54, 1/55, 1/56, 1/57, 1/58,
1/59, 1/60, ...
1n
n
1457 0.002,188
457.......
31,978 0.000,031,27
.......
337,657,324,987 0.000,000,000,002,962
........
1lim 0n n
1457 0.002,188
457.......
31,978 0.000,031,27
.......
337,657,324,987 0.000,000,000,002,962
........
2.00, 1.41, 1.26, 1.19, 1.15, 1.12, 1.10,
1.09, 1.08, 1.07, 1.07, 1.06, 1.05, 1.05,
1.05, 1.04, 1.04, 1.04, 1.04, 1.04, 1.03,
1.03, 1.03, 1.03, 1.03, 1.03, 1.03, 1.03,
1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02,
1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.02,
1.02, 1.02, 1.02, 1.02, 1.01, 1.01, 1.01,
1.01, 1.01, 1.01, 1.01, 1.01, 1.01, 1.01,
1.01, 1.01, 1.01, 1.01
2nn
1 2.00
2 1.41
3 1.26
4 1.19
........
15 1.047
........
67 1.010
........
2nn
3,257 1.000,212,840
.......
76,431 1.000,009,069
.......
337,657,324,987 1.000,000,000,002,052,812,509
........
lim 2 1n
n
3,257 1.000,212,840
.......
76,431 1.000,009,069
.......
337,657,324,987 1.000,000,000,002,052,812,509
........
En estos otros casos que acabamos de ver,
es claro que la sucesión se acerca cada vez
más a un número real.
En este caso decimos que dicho número real
es el límite de la sucesión cuando tiende
a infinito
n
.
La idea es que nos podemos acercar
al límite tanto como queramos, con
tal de tomar términos suficientemente
"lejos" (valores muy grandes de ) en
la sucesión.
n
Debemos precisar esta idea.
Aúnque es aceptable,
matemáticamente no es precisa.
Hay que enunciarla de una
manera correcta matemáticamente.
Un número es llamado el límite de
una sucesión infinita, si para cualquier
número positivo podemos encontrar
un entero positivo , dependiente de ,
tal que
para todos los enteros .n
l
N
u l
n N
Se escribe lim nn
u l
Un número es llamado el límite de una sucesión infinita,
si para cualquier número positivo podemos encontrar un
entero positivo , dependiente de , tal que
para todos los enteros .n
l
N
l u
n N
1n
n
1n
n
1n
n
1n
n
1n
n
1lim 0n n
Se puede uno acercar tanto
como quiera
J
a
A
l
MÁ
cero,
pero sin llegarS a él.
2nn
2nn
2nn
2nn
Si alguien pide que 2 esté más
cerca de 1 que una milésima 0.001 ,
debemos encontrar el que haga
que todos los términos posteriores
estén más cerca de 1 que una
milésima.
n
n
2nn
1/
¿Cómo lo calculamos?
2 1.001
ln 2 ln 1.001
ln 2ln 1.001
ln 2693.493
ln 1.001
n
n
n
n
2nn
Ojo, hay sucesiones más latosas,
que sin irse a infinito, no tienen
límite.
Sea la sucesión 1
1, 1,1, 1,1, 1,1,...
Es claro que esta sucesión no tiene
un límite
n
1n
1Sea la sucesión 3
1lim 3 3n
n
n
1lim 3 3n n
* Cuando el límite existe,
se dice que la sucesión converge a
* Si el límite no existe
se dice que diverge o que no converge
l
Un número es llamado el límite de una sucesión infinita,
si para cualquier número positivo podemos encontrar un
entero positivo , dependiente de , tal que
-
para todos los enteros .
n
l
N
l u
n N
Un número es llamado el límite de una
sucesión infinita, si para cualquier número
positivo podemos encontrar un entero
positivo , dependiente de , tal que
para todos los enteros .n
l
N
u l
n N
Se escribe
lim
cuando dado , 0,
existe tal que
siempre que
nn
n
a
M M
N a M
n N
R
R
Nota. El infinito + no es un número y estas
sucesiones no convergen.
Lo que se indica es cómo divergen.
Se escribe lim cuando dado , 0,
existe tal que , siempre que .
nn
n
a M R M
N a M n N
Se escribe
lim
cuando dado , 0,
existe tal que
siempre que
nn
n
a
M M
N M a M
n N M
R
Nota. El infinito no es un número y estas
sucesiones no convergen.
Lo que se indica es cómo divergen
Se escribe lim cuando dado , 0,
existe tal que siempre que .
nn
n
a M R M
N a M n N
* Cuando el límite existe,
se dice que la sucesión converge a
* Si el límite no existe
se dice que diverge o que no converge
l
Un número es llamado el límite de una sucesión infinita,
si para cualquier número positivo podemos encontrar un
entero positivo , dependiente de , tal que
-
para todos los enteros .
n
l
N
l u
n N
Voy de Puebla a México,
son 103.6 Km y hago una hora,
¿A qué velocidad voy?
103.6 Km
1 hora
103.6 Km/hora
dv
t
v
v
Distancia recorrida
Tiempo en el que se recorre esa distanciav
(min)tiempo
(Km)distancia
(Km)distancia
(min)tiempo
(Km)distancia
(min)tiempo
(Km)distancia
(min)tiempo
(min)tiempo
(Km)distancia
(min)tiempo
(Km)distancia
2 1
2 1
tan 182.4x x
vt t
2 1x x
2 1t t
(Km)distancia
(min)tiempo
2 1
2 1
tan 180x x
vt t
2 1x x
2 1t t
2 1
2 1
tan 176x x
vt t
2 1x x
2 1t t
2 1
2 1
tan 168x x
vt t
2 1x x
2 1t t
2 1
2 1
tan 144x x
vt t
2 1x x
2 1t t
2 1
2 1
tan 120x x
vt t
2 1x x
2 1t t
2 1
2 1
tan 108x x
vt t
2 1x x
2 1t t
2 1
2 1
tan 98.4x x
vt t
2 1x x
2 1t t
2 1
2 1
tan 96.24x x
vt t
2 1x x
2 1t t
2 1
2 1
tan 96.024x x
vt t
2 1x x
2 1t t
La función
; : [0, )
nos da la posición del coche
como función del tiempo.
x t x R
Esta nueva función nos
da idea de la "velocidad"
del coche:
(42)
42
x x tv
t
(42)
42
x x tv
t
(Km)distancia
(min)tiempo
Esta nueva función nos
da idea de la "velocidad"
del coche:
(42) ; : (0, )
42
x x tv v
t
R
... pero ya vimos que para que funcione
bien debemos hacer igual a 42 y
todo pierde sentido porque no se puede
dividir por c
¿Qué hace
ero.
mos?
t
(42) ; : (0, )
42
x x tv v
t
R
... pero ya vimos que para que funcione
bien debemos hacer igual a 42 y
todo pierde sentido porque no se puede
dividir por
El
ce
co
ro.
¿
ncep
Qué hace
to de lí
mos?
mite
t
(42) ; : (0, )
42
x x tv v
t
R
(42)
42
x x tv
t
(Km)distancia
(min)tiempo
Estamos tratando con
funciones
de los reales en los reales:
: ff D R R
: ff D R R
0
0
0
Supongamos que , y que tenemos
una función tal que su dominio contiene
al intervalo , con excepción posiblemente
de .
El que la función esté o no definida
en es irrelevante.
f
x a b
f
a b
x
f x
x
D
0
0
Decimos que el límite de la función ,
cuando tiende a , es el número real
si para números , ,
suficientemente próximos a ,
las imágenes correspondientes están
tan próximas a como queram
y f x
x x
x a b
x
f x
os.
0
0
Decimos que el límite de la función , cuando tiende a , es el
número real si para números , , suficientemente próximos a ,
las imágenes correspondientes están tan próximas a como que
y f x x x
x a b x
f x
ramos.
0
Si esto sucede, se dice que el
límite de en existe
y es igual a .
f x x
0
0
Decimos que el límite de la función , cuando tiende a , es el
número real si para números , , suficientemente próximos a ,
las imágenes correspondientes están tan próximas a como que
y f x x x
x a b x
f x
ramos.
0
0
Decimos que el límite de la función , cuando tiende a , es el
número real si para números , , suficientemente próximos a ,
las imágenes correspondientes están tan próximas a como que
y f x x x
x a b x
f x
ramos.
0
0
Decimos que el límite de la función , cuando tiende a , es el
número real si para números , , suficientemente próximos a ,
las imágenes correspondientes están tan próximas a como que
y f x x x
x a b x
f x
ramos.
0
0
Se denota: lim
y se lee: .
También se usa:
cuando
x x
0
f x
el límite de f x cuando x tiende a x es
f x x x
En caso de existir,
el límite es único
3
4Determinar lim .
Tenemos la función
2
xf x
f x x x
3 2 ; ff x x x D R
x f(x) x f(x)-4.750 -113.922 0.000 -2.000-4.500 -97.625 0.250 -1.734-4.250 -83.016 0.500 -1.375-4.000 -70.000 0.750 -0.828-3.750 -58.484 1.000 0.000-3.500 -48.375 1.250 1.203-3.250 -39.578 1.500 2.875-3.000 -32.000 1.750 5.109-2.750 -25.547 2.000 8.000-2.500 -20.125 2.250 11.641-2.250 -15.641 2.500 16.125-2.000 -12.000 2.750 21.547-1.750 -9.109 3.000 28.000-1.500 -6.875 3.250 35.578-1.250 -5.203 3.500 44.375-1.000 -4.000 3.750 54.484-0.750 -3.172 4.000 66.000-0.500 -2.625 4.250 79.016-0.250 -2.266 4.500 93.6250.000 -2.000 4.750 109.922
3 2 ; ff x x x D R
3 2 ; ff x x x D R
x f(x) x f(x)3.980 65.025 4.001 66.0493.981 65.073 4.002 66.0983.982 65.122 4.003 66.1473.983 65.170 4.004 66.1963.984 65.219 4.005 66.2453.985 65.268 4.006 66.2943.986 65.316 4.007 66.3443.987 65.365 4.008 66.3933.988 65.414 4.009 66.4423.989 65.462 4.010 66.4913.990 65.511 4.011 66.5403.991 65.560 4.012 66.5903.992 65.609 4.013 66.6393.993 65.658 4.014 66.6883.994 65.706 4.015 66.7383.995 65.755 4.016 66.7873.996 65.804 4.017 66.8363.997 65.853 4.018 66.8863.998 65.902 4.019 66.9353.999 65.951 4.020 66.985
3 2 ; ff x x x D R
3 2 ; ff x x x D R
4
3
Tenemos la función
2 ;
lim 66.
x
f
f x
f x x x
D R
3
4 2 ; lim 66 f x
ff x x xx
D R
4
Note que el valor del límite es igual al
valor de la función en el punto; es decir,
lim 66 4x
f x f
1
2
Determinar
Tenemos la función
5 8 3.
l
1
im .
x
x xg x
x
g x
25 8 3 ;
1
1g
x xg x
x
D= R
x f(x) x f(x)0.500 -0.500 1.025 2.1250.525 -0.375 1.050 2.2500.550 -0.250 1.075 2.3750.575 -0.125 1.100 2.5000.600 0.000 1.125 2.6250.625 0.125 1.150 2.7500.650 0.250 1.175 2.8750.675 0.375 1.200 3.0000.700 0.500 1.225 3.1250.725 0.625 1.250 3.2500.750 0.750 1.275 3.3750.775 0.875 1.300 3.5000.800 1.000 1.325 3.6250.825 1.125 1.350 3.7500.850 1.250 1.375 3.8750.875 1.375 1.400 4.0000.900 1.500 1.425 4.1250.925 1.625 1.450 4.2500.950 1.750 1.475 4.3750.975 1.875 1.500 4.500
25 8 3
; 11 g
x xg x
x
D= R
25 8 3
; 11 g
x xg x
x
D= R
x f(x) x f(x)0.800 1.000 1.010 2.0500.810 1.050 1.020 2.1000.820 1.100 1.030 2.1500.830 1.150 1.040 2.2000.840 1.200 1.050 2.2500.850 1.250 1.060 2.3000.860 1.300 1.070 2.3500.870 1.350 1.080 2.4000.880 1.400 1.090 2.4500.890 1.450 1.100 2.5000.900 1.500 1.110 2.5500.910 1.550 1.120 2.6000.920 1.600 1.130 2.6500.930 1.650 1.140 2.7000.940 1.700 1.150 2.7500.950 1.750 1.160 2.8000.960 1.800 1.170 2.8500.970 1.850 1.180 2.9000.980 1.900 1.190 2.9500.990 1.950 1.200 3.000
25 8 3
; 11 g
x xg x
x
D= R
x f(x) x f(x)0.900 1.500 1.005 2.0250.905 1.525 1.010 2.0500.910 1.550 1.015 2.0750.915 1.575 1.020 2.1000.920 1.600 1.025 2.1250.925 1.625 1.030 2.1500.930 1.650 1.035 2.1750.935 1.675 1.040 2.2000.940 1.700 1.045 2.2250.945 1.725 1.050 2.2500.950 1.750 1.055 2.2750.955 1.775 1.060 2.3000.960 1.800 1.065 2.3250.965 1.825 1.070 2.3500.970 1.850 1.075 2.3750.975 1.875 1.080 2.4000.980 1.900 1.085 2.4250.985 1.925 1.090 2.4500.990 1.950 1.095 2.4750.995 1.975 1.100 2.500
25 8 3
; 11 g
x xg x
x
D= R
25 8 3
; 11 g
x xg x
x
D= R
1
2
Tenemos la función
5 8 3 .
1
lim 2x
x x
g x
g xx
2
1
5 8 3 ; l i 2
1m
xg
xg x
xx
x
Note que la función
en 1, pero el límite existe.
definidano estág
x
3
Determinar li
Tenemos la f
m
unc
1
3
.
ión
x
h xx
h x
1
3
3h
h xx
D R
1 ; 3
3 hh xx
D R
x f(x) x f(x)-3.020 -50.000 -2.999 1000.000-3.019 -52.632 -2.974 38.462-3.018 -55.556 -2.949 19.608-3.017 -58.824 -2.924 13.158-3.016 -62.500 -2.899 9.901-3.015 -66.667 -2.874 7.937-3.014 -71.429 -2.849 6.623-3.013 -76.923 -2.824 5.682-3.012 -83.333 -2.799 4.975-3.011 -90.909 -2.774 4.425-3.010 -100.000 -2.749 3.984-3.009 -111.111 -2.724 3.623-3.008 -125.000 -2.699 3.322-3.007 -142.857 -2.674 3.067-3.006 -166.667 -2.649 2.849-3.005 -200.000 -2.624 2.660-3.004 -250.000 -2.599 2.494-3.003 -333.333 -2.574 2.347-3.002 -500.000 -2.549 2.217-3.001 -1000.000 -2.524 2.101
1 ; 3
3 hh xx
D R
3
lim NO
Tenemos l
EX
a función
1
STE
33
I
h
xh
h x
x
x
; D R
3.1 Introducción
3.2 El álgebra de los límites
3.3 Los límites laterales
3.4 Los límites infinitos
3.5 Los límites en el infinito
0 0 0
lim lim lim
El límite de una suma
es la suma de los límites.
x x x x x xf g x f x g x
0
Esto es, que si y también están tan
cerca de y , respectivamente, como queramos
para valores de próximos a , entonces:
está tan próximo a como
queramos con tal de que esté suficient
f x g x
x x
f g x
x
0
emente
próximo a .x
0 0 0
lim lim limx x x x x x
f g x f x g x
0 0 0
lim lim lim
El límite de una diferencia
es la diferencia de los límites.
x x x x x xf g x f x g x
0
Esto es, que si y también están tan
cerca de y , respectivamente, como queramos
para valores de próximos a , entonces:
está tan próximo a como
queramos con tal de que esté suficient
f x g x
x x
f g x
x
0
emente
próximo a .x
0 0 0
lim lim limx x x x x x
f g x f x g x
0 0 0
lim lim lim
El límite de un producto
es el producto de los límites.
x x x x x xf g x f x g x
0
Esto es, que si y también están tan
cerca de y , respectivamente, como queramos
para valores de próximos a , entonces:
está tan próximo a como
queramos con tal de que esté suficient
f x g x
x x
f g x
x
0
emente
próximo a .x
0 0 0
lim lim limx x x x x x
f g x f x g x
0
0 0
0
limlim si lim 0
lim
El límite de un cociente
es el cociente de los límites,
excepto cuando el denominador es cero,
en cuyo caso el límite no existe.
x x
x x x xx x
f xfx g x
g g x
En el caso del cociente,
tiene que ser diferente de 0.
Si =0, la afirmación no tiene sentido.
0
0 0
0
limlim si lim 0
limx x
x x x xx x
f xfx g x
g g x
0
Esto es, que si y también están tan
cerca de y , respectivamente, como queramos
para valores de próximos a , entonces:
está tan próximo a / como
queramos con tal de que esté suficiente
f x g x
x x
fx
g
x
0
mente
próximo a .x
0
0 0
0
limlim si lim 0
limx x
x x x xx x
f xfx g x
g g x
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
0 0
0
Si existen lim y lim , entonces:
lim lim lim
lim lim lim
lim lim lim
limlim si lim
lim
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x xx x
f x g x
f g x f x g x
f g x f x g x
f g x f x g x
f xfx g x
g g x
0
2 7 5
3 5
x xf x
x
R
5
lim 18x
f x
2 13g x x
5
lim 3x
g x
5
5 5
lim
lim lim
18 3
21
x
x x
f x g x
f x g x
5 5
lim 18 lim 3x x
f x g x
2
2
7 2 13 5
3 2 5 13 5
2 6 5
6 5
f x g x
x x x
x
x x x
x
R
R
2 7 5
3 5
x xf x
x
R 2 13g x x
2 2 6 5
6 5
x x xf x g x
x
R
5
lim 21x
f x g x
3.1 Introducción
3.2 El álgebra de los límites
3.3 Los límites laterales
3.4 Los límites infinitos
3.5 Los límites en el infinito
0
0Si lim y 0, entonces "cerca" de
las imágenes tienen el mismo signo que .
x xg x L L x
g x L
0 0
0
0
El límite de una función constante
en cualquier es la constante;
es decir,
lim lim para toda x x x x
f x
x
f x x
R
R
00Si es una constante, lim para toda
x xx
R
0.5 , f x x R
00Si es una constante, lim para toda
x xx
R
0.5 , f x x R
0
0lim 0.5 , x x
f x x
R
0 0
0 0
De las afirmaciones anteriores se concluye que:
lim lim
En particular, para 1 tenemos
lim lim
x x x x
x x x x
f x f x
f x f x
0 0
0 0
En el caso de la función identidad,
se tiene:
lim lim para cualquier x x x x
f x x
f x x x x
R
0
0
0
Si ,
entonces
lim
para cualquier .
x x
g x mx n
g x mx n
x
R
0 0
0
0
Si ,
entonces
lim lim ,
para cualquier .
nn n
x x x x
n
x x x
x
N
R
0
0
Si lim ,
entonces
lim ,
para cualquier .
x x
n n
x x
f x
f x
n
N
0
10 1 1
0
0
Si es un polinomio de grado ,
...
y además ,
entonces
lim .
n nn n
x x
f x n
f x a x a x a x a
x
f x f x
R
0
10 1
10 1
0 0 0
0
Si es una función racional,
con
...
y
...
polinomios 0 y 0 , y además ,
entonces lim .
m mm
n nn
f
x x
f x
P xf x
Q x
P x a x a x a
Q x b x b x b
a b x
f x f x
D
4 3 22 3 4 7 9 z z z z z D R
4 3 2
1
2 3 4 7 9
Calcular el límite: limz
z z z z z
z
D R
4 3 2
1
2 3 4 7 9
Calcular el límite: limz
z z z z z
z
D R
4 3 2
1 1
4 3 2
1 1 1 1 1
4 3 2
1 1 1 1
4 3 2
1 1 1
4 3 2
lim lim 2 3 4 7 9
lim 2 lim 3 lim 4 lim 7 lim 9
2 lim 3 lim 4 lim 7 lim 9
2 lim 3 lim 4 lim 7 1 9
2 1 3 1 4 1
z z
z z z z z
z z z z
z z z
x z z z z
z z z z
z z z z
z z z
1
7 9
2 3 4 7 9
l
25
im 25z
x
4 3 22 3 4 7 9 z z z z z D R
1
lim 25z
x
4 3 2
1
2 3 4 7 9
Calcular el límite: limz
z z z z z
z
D R
4 3 2
1
2 3 4 7 9
Calcular el límite: limz
z z z z z
z
D R
4 3 2
1 1
4 3 2
1 1 1 1 1
4 3 2
1 1 1 1
4 3 2
1 1 1
4 3 2
lim lim 2 3 4 7 9
lim 2 lim 3 lim 4 lim 7 lim 9
2 lim 3 lim 4 lim 7 lim 9
2 lim 3 lim 4 lim 7 1 9
2 1 3 1 4 1 7 9
z z
z z z z z
z z z z
z z z
x z z z z
z z z z
z z z z
z z
1
2 3 4 7 9
lim 5z
x
4 3 22 3 4 7 9 z z z z z D R
1
lim 5z
x
0
0
0
Si lim 0
y si lim existe,
entonces
lim 0
x x
x x
x x
g x
f x
g x
f x
0
0
0
Si lim 0
y si lim 0,
entonces
lim
no existe.
x x
x x
x x
g x
f x
f x
g x
0
0 0
Próximamente diremos algo más del
lim ,
cuando lim 0 y lim 0
al ver los límites infinitos.
x x
x x x x
f x
g x
g x f x
4
3
5
27
¿Cuál es el límite de en 3?
4
3
5
27¿Cuál es el límite de en 3?
444 4
3 3 3
333 3
3 3
3
3 3
a) lim 5 5 lim 5 lim 5 3 405 0
b) lim 27 lim lim 27 lim 27
Por lo tanto, lim NO EXIST
27
E
3 0
4
3
5
27
0 0
0
Si lim 0 y si lim 0,
entonces
lim ,
puede o no existir.
A este resultado se le llama
0indeterminación cero sobre cero:
0
x x x x
x x
g x f x
f x
g x
2
3 2
25
5 5
¿Cuál es el límite de en 5?
sw s
s s s
w s
2
3 2
25 ¿Cuál es el límite de en 5?
5 5
sw s w s
s s s
22 2 2
5 5 5 5
3 2 3 2
5 5 5 5 5
3 223
5 5
a) lim 25 lim lim 25 lim 25 5 25 0
b) lim 5 5 lim lim 5 lim lim 5
lim 5 lim 5 5 5 5 5
¿Y entonces?
5 5 0
s s s s
s s s s s
s s
s s s
s s s s s s
s s
2
3 2
25 ¿Cuál es el límite de en 5?
5 5
sw s w s
s s s
2
3 2
25 ¿Cuál es el límite de en 5?
5 5
sw s w s
s s s
2
3 2
25 ¿Cuál es el límite de en 5?
5 5
sw s w s
s s s
3 2
3 22
2
3 2
Como es claro, por simple inspección, que 1
es una raiz del polinomio 5 5 tenemos
5 54 5
1y
4 5 5 1
En resumen,
- 5 - 5 5 1 1
s
s s s
s s ss s
s
s s s s
s s s s s s
2
3 2
25 ¿Cuál es el límite de en 5?
5 5
sw s w s
s s s
5
2
3 2
5
Entonces
5 525
5 5 1 1 1 1
Por tan
5
t
5 5lim
1 1 1
o,
5 10 5lim
1 1 24 12
2
5
s
s
s
s s
s ss
s s s s ss s s
s
s s
s
2
3 2
25 ¿Cuál es el límite de en 5?
5 5
sw s w s
s s s
55,
12
50.4167
12
00
Sea un número entero,
entonces
lim n n
x x
n
x x
0Nota: Si es par, necesariamente debemos tener 0.n x
00
Si es racional ,
entonces
limm m
n n
x x
m m
n n
x x
Q
0Nota: Si es par, necesariamente debemos tener 0.n x
0
0
0
Si es un entero ,
entonces
lim li
Si es par se requiere que lim 0
m
x x
n nx x x x
n n
f x f x
n f x
N
0 0
0
0
Si para en un
intervalo abierto que contiene a y
lim lim
entonces
lim
x x x x
x x
f x h x g x x
x
f x g x
h x
3.1 Introducción
3.2 El álgebra de los límites
3.3 Los límites laterales
3.4 Los límites infinitos
3.5 Los límites en el infinito
0
Supongamos que
una función
está definida en
en un cierto intervalo ,
f x
a x
0
0
1
1
Si para números del dominio de ,
suficientemente próximos a ,
y menores que , los valores
correspondientes de están tan
próximos a como queramos,
decimos que es el límite por la
izquierda de
x f
x
x
f x
0 , cuando tiende a .f x x x
0Supongamos que está definida en un cierto intervalo , .f x a x
0
1
0 0
Se denota mediante
lim
se lee: tiende a por la izquierda
x xf x
x x x x
0
0
0
1
Supongamos que está definida en un cierto intervalo , .
Si para números del dominio de suficientemente próximos a ,
y menores que , los valores correspondientes de están tan
próximos a
f x a x
x f x
x f x
1
0
como queramos, decimos que es el límite por la
izquierda de , cuando tiende a .f x x x
0
Supongamos que
la función
está definida en un
cierto intervalo , .
f x
x b
0
0
2
2
Si para números del dominio de ,
suficientemente próximos a ,
y mayores que ,
los valores correspondientes de
están tan próximos a como queramos,
decimos que es el límite por la
derecha de
x f
x
x
f x
0, cuando tiende a .f x x x
0Supongamos que está definida en un cierto intervalo , .f x x b
0
2
0 0
Se denota mediante
lim
se lee: tiende a por la derecha
x xf x
x x x x
0
0
0
2
Supongamos que está definida en un cierto intervalo , .
Si para números del dominio de suficientemente próximos a ,
y mayores que , los valores correspondientes de están tan
próximos a
f x x b
x f x
x f x
2
0
como queramos, decimos que es el límite por la
derecha de , cuando tiende a .f x x x
0 0
1 2A los límites lim y lim
se les conoce como límites laterales.
x x x xf x f x
El límite existe
sí y sólo sí
existen los dos límites laterales
y son iguales.
0
0 0
El límite existe
sí y sólo sí
existen los dos límites laterales
y son iguales.
Es decir,
lim
lim lim
x x
x x x x
f x
f x f x
Este resultado se usa frecuentemente
para probar que un límite no existe.
Si no existe alguno de los límites laterales,
el límite no existe.
Si los límites laterales existen pero son
diferentes,
el límite no existe.
0 0
0
Observación: Para los límites laterales
lim y lim
hallamos resultados análogos a los
que hemos enlistado anteriormente
para el límite lim
x x x x
x x
f x f x
f x
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
0
0
Si existen lim y lim , entonces:
lim lim lim
lim lim lim
lim lim lim
limlim
lim
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x
x xx x
f x g x
f g x f x g x
f g x f x g x
f g x f x g x
f xfx
g g x
0
si lim 0x x
g x
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
0
0
Si existen lim y lim , entonces:
lim lim lim
lim lim lim
lim lim lim
limlim
lim
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x
x xx x
f x g x
f g x f x g x
f g x f x g x
f g x f x g x
f xfx
g g x
0
si lim 0x x
g x
4
0
100
Calcular el límite por la derecha
y el límite por la izquierda en
.
x xf x x
x
x
4
0
100
x xf x x
x
4
0
/ 100
x xf x
x x
x f(x) x f(x)3.00 1.73 3.15 0.983.01 1.73 3.16 1.003.02 1.74 3.17 1.013.03 1.74 3.18 1.023.04 1.74 3.19 1.043.05 1.75 3.20 1.053.06 1.75 3.21 1.063.07 1.75 3.22 1.083.08 1.75 3.23 1.093.09 1.76 3.24 1.103.10 1.76 3.25 1.123.11 1.76 3.26 1.133.12 1.77 3.27 1.143.13 1.77 3.28 1.163.14 1.77 3.29 1.17
4
4 4
lim lim lim 1.7725
limlim lim 0.97410
100 100 100
x x x
x
x x
f x x x
xxf x
4
0
100
x xf x x
x
lim 1.7725
lim 0.97410x
x
f x
f x
4
0
100
x xf x x
x
lim 1.7725
lim 0.97410x
x
f x
f x
4
0
100
x xf x x
x
lim 1.7725
lim .97410x
x
f x
f x
Como
lim lim
se conc
l
l
im
uye
NO EX
que
ISTE.
x x
x
f x f
f x
x
4
0
100
x xf x x
x
3.1 Introducción
3.2 El álgebra de los límites
3.3 Los límites laterales
3.4 Los límites infinitos
3.5 Los límites en el infinito
0
0
Si dado cualquier número 0,
con tal de tomar a suficientemente cerca de ,
diremos que diverge a +
(se lee "más infinito")
y lo denotaremos así:
limx x
M
f x M
x x
f x
f x
00
Si dado 0, , con tal de tomar
a suficientemente cerca de , limx x
M f x M
x x f x
0
0
0
Gráficamente lim quiere decir que dada
cualquier recta con 0, la gráfica de
en cierto intervalo con centro en está arriba de tal
recta, exceptuando lo que ocurre en .
x xf x
y M M f x
x
x
0
0
Si dado cualquier número 0,
con tal de tomar a suficientemente cerca de ,
diremos que diverge a
(se lee "menos infinito")
y lo denotaremos así:
limx x
N
f x N
x x
f x
f x
00
Si dado 0, , con tal de tomar a
suficientemente cerca de , limx x
N f x N
x x f x
0
0
0
Gráficamente lim quiere decir que dada
cualquier recta con 0, la gráfica de
en cierto intervalo con centro en está abajo de tal
recta, exceptuando lo que ocurre en .
x xf x
y N N f x
x
x
0
0
Las definiciones de
lim
y de
lim
son análogas
x x
x x
f x
f x
0
0 0
Se tiene entonces,
lim
si y sólo si
lim lim
x x
x x x x
f x
f x f x
0
0 0
Se tiene entonces,
lim
si y sólo si
lim lim
x x
x x x x
f x
f x f x
4
2
3
Determinar el límite en 3
f xx
x
4
2
3
El dominio de esta función es:
3f
f xx
D
4
2
3
3f
f xx
D
4
2 ; 3
3ff x
x
D
x f(x) x f(x) x f(x)
2.955 -344,877.564 2.970 -1,745,942.670 2.985 -27,935,082.714
2.956 -377,315.192 2.971 -1,999,507.356 2.986 -36,813,139.379
2.957 -413,657.760 2.972 -2,300,821.211 2.987 -49,515,547.858
2.958 -454,483.202 2.973 -2,661,092.318 2.988 -68,200,885.531
2.959 -500,471.753 2.974 -3,094,721.741 2.989 -96,592,689.186
2.960 -552,427.173 2.975 -3,620,386.720 2.990 -141,421,356.237
2.961 -611,303.060 2.976 -4,262,555.346 2.991 -215,548,477.728
2.962 -678,235.646 2.977 -5,053,632.464 2.992 -345,266,983.001
2.963 -754,584.885 2.978 -6,037,043.074 2.993 -589,010,230.058
2.964 -841,986.241 2.979 -7,271,731.235 2.994 -1,091,214,168.495
2.965 -942,416.368 2.980 -8,838,834.765 2.995 -2,262,741,699.789
2.966 -1,058,276.932 2.981 -10,851,770.339 2.996 -5,524,271,727.995
2.967 -1,192,502.336 2.982 -13,471,779.858 2.997 -17,459,426,695.858
2.968 -1,348,699.152 2.983 -16,932,430.914 2.998 -88,388,347,647.494
2.969 -1,531,327.996 2.984 -21,579,186.438 2.999 -1,414,213,562,346.080
4
2 ; 3
3ff x
x
D
x f(x) x f(x) x f(x)
3.001 -1,414,213,562,373.720 3.016 -21,579,186.438 3.031 -1,531,327.996
3.002 -88,388,347,648.357 3.017 -16,932,430.914 3.032 -1,348,699.152
3.003 -17,459,426,695.972 3.018 -13,471,779.858 3.033 -1,192,502.336
3.004 -5,524,271,728.022 3.019 -10,851,770.339 3.034 -1,058,276.932
3.005 -2,262,741,699.798 3.020 -8,838,834.765 3.035 -942,416.368
3.006 -1,091,214,168.498 3.021 -7,271,731.235 3.036 -841,986.241
3.007 -589,010,230.060 3.022 -6,037,043.074 3.037 -754,584.885
3.008 -345,266,983.001 3.023 -5,053,632.464 3.038 -678,235.646
3.009 -215,548,477.728 3.024 -4,262,555.346 3.039 -611,303.060
3.010 -141,421,356.237 3.025 -3,620,386.720 3.040 -552,427.173
3.011 -96,592,689.186 3.026 -3,094,721.741 3.041 -500,471.753
3.012 -68,200,885.531 3.027 -2,661,092.318 3.042 -454,483.202
3.013 -49,515,547.858 3.028 -2,300,821.211 3.043 -413,657.760
3.014 -36,813,139.379 3.029 -1,999,507.356 3.044 -377,315.192
3.015 -27,935,082.714 3.030 -1,745,942.670 3.045 -344,877.564
4
2
3
3f
f xx
D
4
2 ; Determinar el límite en 3
3f x x
x
43
Es claro que
2lim
3x x
1
2
Determinar el límite en 2
f xx
x
1
22
f xx
x
x f(x) x f(x) x f(x)-2.15 -6.67 -2.015 -66.67 -2.0015 -666.67-2.14 -7.14 -2.014 -71.43 -2.0014 -714.29-2.13 -7.69 -2.013 -76.92 -2.0013 -769.23-2.12 -8.33 -2.012 -83.33 -2.0012 -833.33-2.11 -9.09 -2.011 -90.91 -2.0011 -909.09-2.10 -10.00 -2.010 -100.00 -2.0010 -1,000.00-2.09 -11.11 -2.009 -111.11 -2.0009 -1,111.11-2.08 -12.50 -2.008 -125.00 -2.0008 -1,250.00-2.07 -14.29 -2.007 -142.86 -2.0007 -1,428.57-2.06 -16.67 -2.006 -166.67 -2.0006 -1,666.67-2.05 -20.00 -2.005 -200.00 -2.0005 -2,000.00-2.04 -25.00 -2.004 -250.00 -2.0004 -2,500.00-2.03 -33.33 -2.003 -333.33 -2.0003 -3,333.33-2.02 -50.00 -2.002 -500.00 -2.0002 -5,000.00-2.01 -100.00 -2.001 -1,000.00 -2.0001 -10,000.00
1 ; 2
2f x x
x
1, 2 ; Determinar el límite en 2
2f x x x
x
2
2
2
1lim
21
lim2
1Es claro que lim NO EXISTE
2
x
x
x
x
x
x
2
2
1lim
21
lim2
x
x
x
x
1
22
f xx
x
0
0
0Si lim 0 y si 0 cerca de ,
entonces lim si 0
x x
x x
g x g x x
cc
g x
0
0
0Si lim 0 y si 0 cerca de ,
entonces lim si 0
x x
x x
g x g x x
cc
g x
0
0
0Si lim 0 y si 0 cerca de ,
entonces lim si 0
x x
x x
g x g x x
cc
g x
0
0
0Si lim 0 y si 0 cerca de ,
entonces lim si 0
x x
x x
g x g x x
cc
g x
0 0
0 0
0 0
0
0
0
Si lim 0 y si 0 cerca de , entonces lim si 0
Si lim 0 y si 0 cerca de , entonces lim si 0
Si lim 0 y si 0 cerca de , entonces lim si
x x x x
x x x x
x x x x
cg x g x x c
g x
cg x g x x c
g x
cg x g x x c
g x
0 00
0
Si lim 0 y si 0 cerca de , entonces lim si 0x x x x
cg x g x x c
g x
22 2
Sea la función
3
2Calcular
lim , lim y limxx x
f xx
f x f x f x
Sea la función
3
2Claramente, el dominio de la función
son todos los números reales menos
el 2. Es decir,
2f
f xx
D R
2
3. Calcular lim
2 xf x f x
x
2
Como nos acercamos por la izquierda,
2 y 2 0.
Así que, claramente
3lim
2x
x x
x
2
3. lim
2 xf x f x
x
2
3. Calcular lim
2 xf x f x
x
2
Como nos acercamos por la derecha,
2 y 2 0.
Así que, claramente
3lim
2x
x x
x
2
3. lim
2 xf x f x
x
2
3. Calcular lim
2 xf x f x
x
2
2
2
Tenemos
3lim
2y
3lim
23
así que el lim NO EXISTE2
x
x
x
x
x
x
3
2f x
x
0 0
0 0
0 0
0
0
0
Si lim 0 y si 0 cerca de , entonces lim si 0
Si lim 0 y si 0 cerca de , entonces lim si 0
Si lim 0 y si 0 cerca de , entonces lim si
x x x x
x x x x
x x x x
cg x g x x c
g x
cg x g x x c
g x
cg x g x x c
g x
0 00
0
Si lim 0 y si 0 cerca de , entonces lim si 0x x x x
cg x g x x c
g x
0 0
0
Si lim 0, 0 y lim 0,
entonces lim si 0.
Como regla nemotécnica decimos:
0
x x x x
x x
g x g x f x
f x
g x
0 0
0
Si lim 0, 0 y lim 0,
entonces lim si 0.
Como regla nemotécnica decimos:
0
x x x x
x x
g x g x f x
f x
g x
0 0
0
Si lim 0, 0 y lim 0,
entonces lim si 0.
Como regla nemotécnica decimos:
0
x x x x
x x
g x g x f x
f x
g x
0 0
0
Si lim 0, 0 y lim 0,
entonces lim si 0.
Como regla nemotécnica decimos:
0
x x x x
x x
g x g x f x
f x
g x
0 0
0
Algunas afirmaciones interesantes que podemos
hacer con límites infinitos son las siguientes:
Si lim y si lim , con ,
entonces
lim
x x x x
x x
f x g x
f x g x
R
0 0
0
Algunas afirmaciones interesantes que podemos
hacer con límites infinitos son las siguientes:
Si lim y si lim , con ,
entonces
lim
x x x x
x x
f x g x
g x f x
R
0 0
Si lim y si lim , con ,
entonces
x x x xf x g x
R
0 0
Si lim y si lim , con ,
entonces
x x x xf x g x
R
0 0
0 0
0
0
lim 0 quiere decir que lim 0
y que 0 cerca de .
lim 0 quiere decir que lim 0
y que 0 cerca de .
x x x x
x x x x
h x h x
h x x
h x h x
h x x
0 0
Si lim y si lim , con ,
entonces
x x x xf x g x
R
0
0 0 0
Resultados análogos se obtienen
cuando lim y todos
siguen siendo válidos si en lugar
de ponemos o bien .
x xf x
x x x
0 0
0
Algunas afirmaciones interesantes que podemos
hacer con límites infinitos son las siguientes:
Si lim y si lim , con ,
entonces
lim
x x x x
x x
f x g x
g x f x
R
2
1 4 ;
3
3f
xf x
x
D R
2
1 4
3
xf x
x
23 3
1 4lim lim
3x x
xf x
x
2
1 4 ;
3
3f
xf x
x
D R
53 1
g
g x x
D R
53 1g x x
5
55
3 3
3 1
lim lim 3 1 3 3 1 728
g
x x
g x x
g x x
D R
52
52
1 4 ; 3 1
3
1 43 1
3
f g f g
xf x g x x
x
xf g x x
x
D D D
52
1 43 1 ; 3
3f g f g
xf g x x
x
D D D R
52
52
1 4 ; 3 1
3
1 43 1
3
f g f g
xf x g x x
x
xf g x x
x
D D D
52
1 43 1 ; 3
3f g f g
xf g x x
x
D D D R
La recta es una asíntota vertical de la función o bien de la
curva si ocurre al menos una de las condiciones siguientes:
lim
lim
lim
li
x a
x a
x a
x a f
y f x
f x
f x
f x
mx a
f x
Nota. Determinar las asíntotas verticales de una función resulta de
mucha utilidad para realizar el bosquejo de la gráfica de una función.
3
1) limx
f x
3
3
1) lim
2) limx
x
f x
f x
3
3
1) lim
2) limx
x
f x
f x
2
Por lo tanto, la recta 3
es una asíntota vertical
de la función
1
3
x
f xx
3.1 Introducción
3.2 El álgebra de los límites
3.3 Los límites laterales
3.4 Los límites infinitos
3.5 Los límites en el infinito
Sea una función.
Supongamos que
, .f
f x
a D
Diremos que el límite de , cuando
tiende (o diverge) a + , es
si los valores de
están tan próximos a como queramos,
con tal de tomar
suficientemente grande.
f x
x
f x
x a
Sea una función. Supongamos que , .ff x a D
Se denota lim
y se lee:
.
xf x
es el límite de f
cuando x tiende a más infinito
Sea una función. Supongamos que , .
Diremos que el límite de cuando tiende (o diverge) a +
es si los valores de están tan próximos a como
queramos con tal de tomar suficientemen
ff x a
f x x
f x
x a
D
te grande.
Sea una función. Supongamos que , .
Diremos que el límite de cuando tiende (o diverge) a +
es si los valores de están tan próximos a como
queramos con tal de tomar suficientemen
ff x a
f x x
f x
x a
D
te grande.
Sea una función.
Supongamos que
, .f
f x
b D
Diremos que el límite de cuando
tiende (o diverge) a es
si los valores de están tan próximos a
como queramos con tal de tomar
negativo de suficiente
gran valor absoluto.
f x
x
f x
x b
Sea una función. Supongamos que , .ff x b D
Sea una función. Supongamos que , .
Diremos que el límite de cuando tiende (o diverge)
a es si los valores de están tan próximos a como
queramos con tal de tomar negativo de s
ff x b
f x x
f x
x b
D
uficiente gran valor absoluto.
Se denota lim
y se lee:
.
xf x
es el límite de f
cuando x tiende a menos infinito
Sea una función. Supongamos que , .
Diremos que el límite de cuando tiende (o diverge)
a es si los valores de están tan próximos a como
queramos con tal de tomar negativo de s
ff x b
f x x
f x
x b
D
uficiente gran valor absoluto.
Cuando
lim
a la recta
se le llama asíntota horizontal.
xf x
y
Se dice que la recta es una
asíntota horizontal de la función ,
o bien de la curva , si
ocurre alguno de los hechos siguientes:
lim o bien limx x
y
f
y f x
f x f x
Si es un número natural,
,
entonces
lim n
x
n
n
x
N
Si lim n
xn x
N 5lim
xx
x f(x) x f(x) x f(x)1.000 1.000 16.000 1,048,576.000 31.000 28,629,151.0002.000 32.000 17.000 1,419,857.000 32.000 33,554,432.0003.000 243.000 18.000 1,889,568.000 33.000 39,135,393.0004.000 1,024.000 19.000 2,476,099.000 34.000 45,435,424.0005.000 3,125.000 20.000 3,200,000.000 35.000 52,521,875.0006.000 7,776.000 21.000 4,084,101.000 36.000 60,466,176.0007.000 16,807.000 22.000 5,153,632.000 37.000 69,343,957.0008.000 32,768.000 23.000 6,436,343.000 38.000 79,235,168.0009.000 59,049.000 24.000 7,962,624.000 39.000 90,224,199.000
10.000 100,000.000 25.000 9,765,625.000 40.000 102,400,000.00011.000 161,051.000 26.000 11,881,376.000 41.000 115,856,201.00012.000 248,832.000 27.000 14,348,907.000 42.000 130,691,232.00013.000 371,293.000 28.000 17,210,368.000 43.000 147,008,443.00014.000 537,824.000 29.000 20,511,149.000 44.000 164,916,224.00015.000 759,375.000 30.000 24,300,000.000 45.000 184,528,125.000
Si lim n
xn x
N
5limx
x
Si es un número natural par,
entonces
lim n
x
n
x
2limx
x
x f(x) x f(x) x f(x)-1.0 1.0 -151.0 22,801.0 -301.0 90,601.0
-11.0 121.0 -161.0 25,921.0 -311.0 96,721.0-21.0 441.0 -171.0 29,241.0 -321.0 103,041.0-31.0 961.0 -181.0 32,761.0 -331.0 109,561.0-41.0 1,681.0 -191.0 36,481.0 -341.0 116,281.0-51.0 2,601.0 -201.0 40,401.0 -351.0 123,201.0-61.0 3,721.0 -211.0 44,521.0 -361.0 130,321.0-71.0 5,041.0 -221.0 48,841.0 -371.0 137,641.0-81.0 6,561.0 -231.0 53,361.0 -381.0 145,161.0-91.0 8,281.0 -241.0 58,081.0 -391.0 152,881.0
-101.0 10,201.0 -251.0 63,001.0 -401.0 160,801.0-111.0 12,321.0 -261.0 68,121.0 -411.0 168,921.0-121.0 14,641.0 -271.0 73,441.0 -421.0 177,241.0-131.0 17,161.0 -281.0 78,961.0 -431.0 185,761.0-141.0 19,881.0 -291.0 84,681.0 -441.0 194,481.0
2limx
x
Si es un número natural impar,
entonces
lim n
x
n
x
Si es una constante y
entonces
lim 0mxn
mc
n
c
x
Q
Si es una constante y entonces lim 0mxn
m cc
nx
Q
En particular,
lim 0
Como regla nmetoécnica podemos poner 0
nx
c
x
c
10 1 1
0
1 10 1
Si tenemos un polinomio de grado ,
...
(se supone que 0)
lo podemos escribir como
...
n nn n
n n nn n
n
f x a x a x a x a
a
a a af x x a
x x x
0
0
1. lim si 0.
2. lim si 0.
x
x
f x a
f x a
1 10 1
...n n nn n
a a af x x a
x x x
0
0
3. lim si 0 y es par.
4. lim si 0 y es impar.
x
x
f x a n
f x a n
1 10 1
...n n nn n
a a af x x a
x x x
0
0
5. lim si 0 y es par.
6. lim si 0 y es impar.
x
x
f x a n
f x a n
1 10 1
...n n nn n
a a af x x a
x x x
10 1
10 1
0 0
0
0
Si es una función racional con
... y
...
polinomios 0 y 0 , entonces:
0 si
lim si
ó si
m mm
n nn
x
P xf x
Q x
P x a x a x a
Q x b x b x b
a b
m n
af x m n
b
m n
1 10 1
1 10 1
1 10 1
1 10 1
Este resultado es claro si ponemos
...
...
...
...
m m mm m
n n nn n
m n m mm m
n nn n
a a ax a
P x x x xf x
b b bQ x x bx x x
a a ax a
x x xb b b
bx x x
0
0
0 si
lim si
ó si
x
m n
af x m n
b
m n
0
0
Una función racional tiene asíntotas horizontales
0 si y
Además, puede o no tener as
si
íntotas vertical s
.
.
e
ay m n y m n
b
0
0
0 si
lim si
ó si
x
m n
af x m n
b
m n
5
3
Calcular
3 2 1lim
5 6 7x
x x
x x
5 25 4 5 4 5
33
2 3 2 3
2 1 2 13 3
3 2 16 7 6 75 6 7 5 5
x xx x x x x xx x x
x x x x
5 25 4 5 4 5
33
2 3 2 3
2 1 2 13 3
3 2 16 7 6 75 6 7 5 5
x xx x x x x xx x x
x x x x
0
0
0 si
lim si
ó si
x
m n
af x m n
b
m n
24 5
2 3
2 13
6 75
xx x
x x
5
3
Calcular
3 2 1lim
5 6 7x
x x
x x
5
3
Por lo tanto
3 2 1lim
5 6 7x
x x
x x
5
3
3 2 1
5 6 7
x x
x x
Calcular
2 3lim
4x
x
x
3 32 22 3
4 4 4
xx x x
x x
0
0
0 si
lim si
ó si
x
m n
af x m n
b
m n
3 32 22 3
4 4 4
xx x x
x x
32
4x
Calcular
2 3lim
4x
x
x
Por lo tanto
2 3 2 1lim
4 4 2x
x
x
2 3
4
x
x
