http___~cansever_oto_D11-12-13

Otomatik Kontrol Prof.Dr.Galip Cansever

1

Otomatik Kontrol

Kök Yer Eğrileri

Prof.Dr.Galip Cansever

Ders #11-13


2

Geribeslemeli kontrol sistemleri tasarımında açık döngüsistemin analiz edilmesi, kapalı döngü sistemin nasıl davranacağı hakkında bilgi edinilebilmesi açısından çok önemlidir.

Yöntemlerden bir tanesi sistem için kök yer eğrisinin oluşturulması ve yorumlanmasıdır.

Bir kontrol tasarımcısı sistemin kararlı olup olmadığını vekararlılık derecesini bilmek, diferansiyel denklem çözmedenbir analiz ile sistem performasını tahmin etmek ister.

Tanım: Kök yer eğrisi sistem parametrelerinin değişimi ile Sistem kapalı döngü köklerinin s düzlemindeki yerini gösteren grafiktir.


3

Kapalı döngü sistemlerin geçici rejim cevap karakteristiklerikapalı döngü kutuplarının yerlerine bağlıdır. Eğer sistem değişken kazanca sahipse, kapalı döngü sistemin kutuplarıseçilen kazanca göre değişir. Dolayısıyla kontrol tasarımcısınındöngü kazancı değiştikçe kapalı döngü sistemin kutuplarınınnasıl hareket ettiğini bilmesi önemlidir.

Amaç: İstenilen sistem cevabını elde edebilmek için uygunkutuplar seçmek ve dolayısıyla bu kutuplar için sistem kazancını belirlemektir


4

İçerik

•Basit geribesleme sistemleri kök yer eğrileri

• Adım adım kök yer eğrisi çizimi

• Kök yer eğrisi problemleri

• Kazanç tabanlı kök yer eğrisi tasarımı

• Nonlineer sistemler ve kök yer eğrileri

• Mat-Lab ile kök yer eğrisi çizimi


5

Transfer Fonksiyonu:

Basit Geribesleme Sistemleri Kök Yer Eğrileri Çizimi

Karakteristik Denklemi:

∑R(s) E(s) U(s)

Y(s)-+ Controller Plant

Sensor

1

KAKGG(s)

)(1)(

)()(

sGKKsGKK

sRsY

GA

GA

+=

0)(1 =+ sGKK GA


6

Kapalı döngü kutupları amplifikatör kazancı KA ‘ya bağlıdır.KA’yı 0 dan sonsuza değiştirerek olası bütün kökleri çizerek bizim için en uygun KA değerini çizimden kolayca seçebiliriz.

)()()(

sasbsG =

mmm bsbssb +++= − ............)( 1

1

))........(()( 21 mzszszs −−−=

∏=

−=m

iizs

1

)(

nnn asassa +++= − ............)( 1

1

∏=

−=n

iips

1

)(


7

Hepsinin kökleri aynıdır!

GAKKK =

0)()(1 =+

sasbK

0)(1 =+ sKG

0)()( =+ sKbsa

KsG 1)( −=


8

Örnek: Bir Doğru akım motorunun kök yer eğrisi

Doğru akım motorunun transfer fonksiyonu:

Geri besleme Kapalı Döngü Sistemi:

∑R(s) E(s) U(s)

Y(s)-+ Controller Plant

Sensor

1

KAKGG(s)

)1(1)(

)()(

+==

sssGK

svs

Ga

mθ


9

Eğer 0 ≤ K ≤ 1/4 ise kökler gerçektir ve -1 ile 0

arasındadır.

Eğer K = 1/4 ise iki katlı kök -1/2 dir.

Eğer K > ¼ ise kompleks eşlenik iki kök vardır.

241

21

2,1Kr −

±−=

02 =++ Kss


10

Böylece K=1 olarak hesaplanır

K=0 olduğunda sistem açık döngüolduğundan kök yer eğrisi G(s)’ ninkutuplarından başladı.

K arttıkça kökler birbirine doğru hareket etti ve s=-1/2 de birleştiler.

Bu noktada reel eksenden koptular.

Kopma noktasından sonra kökler reel eksenleri değişmeyerek sonsuza doğru yöneldiler.

Tasarım açısından düşünecek olursak, K’yı değiştirerek kapalıdöngü kutuplarımızı istediğimiz gibi seçebiliriz.

23

214=

−K


11

Sadece sistem kazancı K değil, karakteristik denklemdeki herhangi bir parametreye göre de yer eğrisi

Oluşturulabilir.

Örnek:

Karakteristik Denklem:

olsunKcss

sG 1)(

1)( =+

=

0)(1

s2+cs+1=0=+ sG

a(s)=s2+1,

b(s)=s,

K=c.


12

01

1 2 =+

+s

sc2

42

2

2,1−

±−=ccr


13

Kök-Yer Eğrisi Çizimi

Kök yer eğrisinin elle çiziminin iki yararı vardır

•Basit sistemleri kolayca çizebilmek

•Bilgisayara yaptırılan çizimleri irdeleyebilmek, daha iyi anlamak

Tanım I: Kök yer eğrisi, K sıfır ile sonsuz arasında değişirken 1+KG(s)=0 yapan s değerleri set’idir. G(s) sistem açık döngütransfer fonksiyonudur, kök yer eğrisindeki kökler kapalı döngüsistemin kökleridir.

Tanım II: G(s)’in kök yer eğrisi, G(s)’in fazörleri 1800 olduğu s düzlemindeki set noktalarıdır.

l: bir tam sayılsG 000 360180)( +=∠


14

Örnek:

s0=-1+2j noktasını seçelim. Amacımız s0 noktasının kökyer eğrisi üzerinde olup olmadığını anlamak.

( ) )5](42[1)( 2 +++

+=

sssssG

lsG 000 360180)( +=∠


15

G’nin açısı 1800 olmadığıiçin s0 noktasının kök yer eğrisi üzerinde olmadığınısöyleyebiliriz.

43211)( φφφφψ −−−−=∠ sG

[ ] 00

2000 180)5(4)2()1( =+∠−++∠−∠−+∠ ssss

00000 6,267606,11690 −−−−=02,129−=


16

Örnek:

Adım I: s düzleminde eksenleri çizilir, kökler “x” ie sıfırlar “0” ile işaretlenir.

( )0

]164[1 2 =

+++

ssK


17

Adım II: Eğrinin reel eksen kısmı tespit edilir. Test noktası s0 seçilir,

Ve Φ1, Φ2 açıları bulunur. Φ1=- Φ2 (eşlenik kökler olduğundan).

Kuralı gereği, test noktasının sağında kutup ve sıfır sayısıtoplamı tek sayı olmalıdır.

lsG 000 360180)( +=∠

Eğer test noktası kutup veya sıfırın sağında ise bu açı 00 solunda

ise 1800 dir.

Sonuç;Reel eksen üzerindei bir s0 için G(s0) açısı reel eksen üzerindeki kutup ve sıfırlardan tespit edilir.


18

Adım III: K’nın büyük değerleri için asimtotlar çizilir. K sonsuza giderken;

G(s)’in 0 olması gerekir. Bu iki şekilde olabilir:

olduğundan G=0 ancak b(s)=0 ise olabilir.

Olduğundan,

Yazılabilir.

)()()(

sasbsG =

KsG 1)( −=0)(1 =+ sKG

0)()(1 =+

sasbK

0........................1 1

1

11 =

++++++

+ −

−

nnn

mmm

asasbsbsK


19

Biz K’nın büyük değerleri ile ilgileniyoruz. G(s) fiziksel bir sistemi temsil ettiğinde n>m olduğundan s sonsuza giderken G(s) sıfıra gider ve yukardaki denklem

Şeklinde yazılabilir.

Köklerin s=α da toplandığı n-m dereceli sistemdir.

K ve s nin yüksek değerlerinde m sıfır n kutubu elimine eder ve n-m tane kutup aynı noktada görünür. Bu durumda asimtotiksistemin yerini bulmamız ve α’yı hesaplamamız gerekir.

0)(

11 =−

+ −mnsK

α


20

s0 test noktamızı s0=RejΦ olarak seçelim. Köklerin hepsi aynınoktada olduğu için eğer her biri Φl olan n-m açı toplamı 1800

ise transfer fonksiyonunun açısı 1800 dir. Böylece:

(n-m)Φl=180+360xl dir.

Asimptotik kök yer eğrisi n-m ayrık açıda açısal çizgiler içerir,

Örnek: n-m=3 ise

Φ1,2,3=60, 180, ve 3000dir

Bu asimptotik yerin çizgisi reel eksen üzerindeki s=α dan gelir.

l=1,2,...n-m mn

ll −

−+=

)1(360180 00

φ


21

α yı belirlemek için polinom özelliğini kullanacak olursak,

Eşitsizliğin sağ tarafını açıcak olursak, a1= -Σpi olduğunu görürüz.

Transfer fonksiyonunun payı içinde aynısını yazabiliriz, b1= -Σzi olur.

Kapalı döngü transfer fonksiyonu;

0........................1 1

1

11 =

++++++

+ −

−

nnn

mmm

asasbsbsK

))........(()(............ 211

1 nnnn pspspsasas −−−=+++ −

0)......(...... 11

11 =+++++++ −−

mmm

nnn bsbsKasas


22

Dikkat edilecek olursa kutupların toplamının sn-1 katsayısının negatifidir ve eğer m < n-1 ise K dan bağımsızdır. Kapalı döngü sisteminde ise bu katsayı Σri’nin negatifidir. (ri: Kapalı Döngü sistemin kutupları)

Ayrıca m < n-1 olduğundan –a1;-Σri=-Σpi

K’nın büyük değerlerinde ri nin m tane kökü zi sıfırlarına eşittir ve n-mtane kök 1/(s-α)n-m asimptotundan gelir ve toplamı (n-m) α dir.

Bu sonuçları birleştirecek olursak: Bütün köklerin toplamı eşittir, G(s) ninsonsuza giden köklerin toplamı + sıfıra giden köklerin toplamıdır

Σri=+(n-m) α +Σzi=Σpiα’yı çözecek olursak

mnzp ii

−

−= ∑∑α


23

Asimptotları ±600 olarak şekilde görüyoruz. Ayrıca 1800 asimptot ikinci adımda gösterilmişti.

03044

−+−−

=α

38−

=α


24

Adım IV: Ayrılma ve geliş açılarını hesaplanırKök yer eğrisi kutuplarda başlar ve ya sıfırlarda yada sonsuzda sona erer. Bu adımda bir kutuptan ayrılan yer eğri parçasının açısı bulunur

Test noktası olarak s0’ı ikinci kutup -4-4j noktasına yakın olarak ele alalım ve G(s0) açısını hesaplayalım

Test noktası 2. kutba yeterince yakın olduğundan Φ1 ve Φ3 açıları 2.kutubun açıları olarak alınabilir ve Φ2açısı açı koşulundan hesaplanabilir.

-900- Φ2- 1350 =1800+3600l

Φ2 açısı -1800 ile +1800 arasında olacak şekilde l=-1 olarak seçilirse

Φ2 = -450


25

Simetriden dolayı 1. kökün ayrılma açısı +450 dir. 2. Adımda anlatıldığı gibi 3. kutbun ayrılış açısı 1800 dir. Eğer G(s)’in sıfırları olsaydı ikinci kutbun açısına sıfırların açılarıdeklemin sol tarafına eklenecekti. Genel olarak bir kutup için ayrılma açısı

Eğer q tane tekrar eden kutup varsa;

Genel olarak sıfırlara geliş açısıda;

liidep00 360180 −−−= ∑∑ φψφ

lq iidep00 360180 −−−= ∑∑ φψφ

lq iiar00 360180 ++−= ∑∑ ψφφ

: kutuplara olan açıların toplamı∑ iφ

: diğer sıfırlara olan açıların toplamıdır. ∑ iψ

: Diğer kutuplara olan açıların toplamı∑ iφ

: Sıfırlara olan açıların toplamıdır. ∑ iψ


26

Adım V: İmajiner ekseni kesme noktaları hesaplanır.

Sağ yarı düzlemdeki kutup veya kutuplar kararsızlığı gösterir. Routh’s kararlılık testi ile kararlılık tespit edilebilir. K parametresini kullanarak Routh’s dizi oluşturularak sağ yarı düzleme geçecek kökler belirlenebilir. Hesaplanan K değerleri imajineri ekseni kesen değerleri gösterir. Böylece K değeri bilinir ve bu kesme noktasıs0=jw0 kök değerine karşılık gelir.

Örnek:

s3+8s2+32s+K=0 ve Routh Kararlılık Dizisi:

Ks

Ks

Kss

:

08

32.8:

8:321:

0

1

2

3

−

( )0

]164[1 2 =

+++

ssK


27

0<K<256 için denklem sağ yarı düzlemde kök içermez. Biz K’nın pozitif değeleri ile ilgilendiğimizden, K’nın üst sınırı ile ilgileniyoruz. K<256 için sağ yarı düzlemde kök yoktur. K=256sağ yarı düzlemi kesme noktasını işaret eder. İlgili frekansı K yıve s=jw0

‘ı yerine koyarak bulabiliriz.

(jw0)3+8(jw0)2+32(jw0)+256=0

Reel ve imajiner kısımlar ayrı ayrı

0’a eşit olmalı böylece

8(w0)2+256=0 ve

(w0)3+32w0=0

Çözüm: w0=±√32 =±5.66

Dikkat edilecek olursa asimptot s=4.62j de imajineri ekseni kesiyor, 5.66 olması gerektiği gibi bu değerin üzerinde


28

Adım VI: Katlı köklerin yerleri belirlenir, özellikle reel ekseni ve geliş, ayrılış açıları belirlenir.

K=1/4 için s=-1/2 de iki katlı kök var.Eğrinin yatay bölümleri birbirine doğru hareket ederken diken bölümleri reel eksenden ayrılıyorlar ve K>1/4 için kompleks oluyor. Eğri 0ve 180 derecede bir araya gelirken +90 ve -90 derecede ayrılıyor.

s=-1 noktasında K=0 dır ve s=-1/2noktasına kadar reel eksen üzerinde K=1/4’e kadar yükseliyor ve s=0noktasında tekrar 0’a düşüyor. K kazancı s=-1/2 katlı kök noktasında maksimum oluyor.

02 =++ Kss


29

Eğer K bu noktada maksimum oluyorsa, bu noktada dK/ds=0 olmalı, katlıkök noktasında veya eğri ayrılma noktasında. K=-1/G kullanılırsa,

G=b/a olduğundan;

yazılabilir.0)(1)( 2 =−−=−dsdba

dsdab

bba

dsd

0)1(0=− =ssGds

d


30

Örnek:

0)(1)( 2 =−−=−dsdba

dsdab

bba

dsd

)1(1)(

)()(

+==

sssGK

svs

Ga

mθ

1)( =sb 0=dsdb

12 += sdsdasssa += 2)(

012 0 =+s

21

0 −=s


31

Örnek:

0)(1)( 2 =−−=−dsdba

dsdab

bba

dsd

( )0

]164[1 2 =

+++

ssK

1)( =sb 0=dsdb

32163 2 ++= ssdsdassssa 328)( 23 ++=

js 89.167.20 ±−=


32

Bu noktalar kök yer eğrisi üzerinde değil, buda bize türev şartının s0’ın katlı kök olması için gerekli fakat yeterli şart olmadığınıgösterir.


33

Katlı köklerin geliş ve ayrılış açılarını belirlemek için iki yeni özellik daha eklememiz gerekir.

Eğrinin sürekliliği: 0≤K≤K0 aralığında başlangıç olarak eğriyi düşünebiliriz. Eğer K= K0+ K1 olarak düşünülürse K1parametresine göre yeni kök yer eğrisi çizilebilir ve bu eğrinin başlangıç kutupları K0 sisteminin kökleri olacaktır.

Örnek: 02 =++ KssBu sistemde K0=1/4 değerine denk gelir.

Daha önceki sistemini düşünelim.

K= 1/4+ K1 ise denklemimiz:

.0)21(0

41

12

12 olurKsveyaKss =++=+++

Burada K1’in ilk ayrılışı orjinal sistemde K’nın kopma noktasına denk gelir. s=-1/2 deki katlı köke ayrılma açısı kuralınıuygulayacak olursak;


34

ldep00 3601802 −−=φ

ldep00 18090 −−=φ

090±=depφ (Kopma noktasındaki ayrılma açıları)

Bu durumda s=-1/2 deki geliş açıları (orjinal sistemden) reel eksen boyuncaaçıkca 00 ve 1800 dir.

Reel eksen üzerinde birbirine doğru gelen eğri parçaları daima ±90 derece ile koparlar.

Hatta genelleştirecek olursak s düzleminin herhangi bir noktasında birbirine doğru gelen 2 eğri parçası birbirlerine 180 derece ile yaklaşırlar ve ±90 derece ile koparak yön değiştirirler.

Benzer şekilde s düzleminin herhangi bir noktasında birbirine doğru gelen 3 eğri parçası birbirlerine 120 derece ile yaklaşırlar ve ve geliş açılarına göre 60 derece dönerek 120 derece ile koparlar.


35

Adım VII: Eğrinin tamamlanır


36

Kök-Yer Eğrisi Çizimi

Özet

Adım I: s düzleminde eksenleri çizilir, kökler “x” ie sıfırlar “0” ile işaretlenir.Adım II: Reel eksen üzerinde sıfır ve kutup sayısı toplamının solunda tek olduğu doğruyu çiziniz

Adım III: α’da merkezlenen ve Φl açıları ile ayrılan asimtotlar çizilirn-m: asimptot sayısı

l=1,2,...n-m

mnzp ii

−

−= ∑∑α

mnl

l −−+

=)1(360180 00

φ

mnba

−+−

=)( 11


37

Adım IV: Ayrılma açıları kutuplardan ve geliş açıları sıfırlardanhesaplanır

Adım V: İmajiner ekseni kesme noktaları hesaplanır. (Bu adım bazı çizimler için gerekli olmaya bilir.)

Adım VII: Eğri tamamlanır.

Adım VI: Katlı köklerin yerleri belirlenir, özellikle reel ekseni ve geliş, ayrılış açıları belirlenir. İki parçalı kök yer eğrisi 180 derecede bir araya gelir ±90 derecede ayrılır. Üç parçalı yer eğrileri 120 derecede bir araya gelir 60 derece dönerek ayrılır

lq iidep00 360180 −−−= ∑∑ φψφ

lq iiar00 360180 ++−= ∑∑ ψφφ

Kök yer eğrisinin kutup sayısı kadar kolu vardır.

Kök yer eğrileri kutuplarda başlar, sıfırlarda yada sonsuzda son alır.


38

Örnek: İçin kök yer eğrisini çiziniz?


2

1)(s

ssG +=


39

Adım II: Reel eksen üzerinde sağında sıfır ve kutup sayısı toplamıtek olan doğruyu çiziniz


40

Adım III: α’da merkezlenen ve Φl açıları ile ayrılan asimtotlar çizilir

n-m=2-1= 1 asimptot var.

Adım IV: Ayrılma açıları kutuplardan ve geliş açıları sıfırlardan hesaplanır.

s=0 daki kutuplar için bu kutuplar etrafında bir çember çizelim.

İki kutuptan olan açılar eşittir ve sıfırdan olan açıda neticede sıfırdır,(kökler sıfırın sağında kaldığıiçin) böylece açı şartı:

ll000 36018002 +=+− φ

090±=lφ

0

0

18012

180

=−

=

l

l

φ

φ


41

Eğri bir kolu yukarı bir kolu aşağı olacak şekilde ayrılır.


Karakteristik denklem: S2+Ks+K=0

S2 : 1 K

S1 : K

S0 : K

K>0 için birinci kolon elemanlarının hepsi pozitif olduğu için bütün kökler sol yarı düzlemdedir ve kök yer eğrisi imajiner ekseni kesmez


42

Adım VI: Katlı köklerin yerleri belirlenir, özellikle reel ekseni ve geliş, ayrılışaçıları belirlenir. İki parçalı kök yer eğrisi 180 derecede bir araya gelir ±90derecede ayrılır. Üç parçalı yer eğrileri 120 derecede bir araya gelir 60 derece dönerek ayrılır.

Kök yer eğrisi koşulu:

s=0 kök yer eğrisinin G(s)’in iki kökünün K=0 da olduğunu gösterir.

II. Adımda s=-2 noktasının kök yer eğrisi üzerinde olduğunu gördüğümüzdens=-2 kök yer eğrisinin katlı köküne işareteder.

0)(1)( 2 =−−=−dsdba

dsdab

bba

dsd

1)( += ssb

1=dsdb s

dsda 2=

2)( ssa =

2,002

02)1()1(2

2

−==+

=++−

sss

sss


43

Adım VII: Eğrini tamamlanır.


44



)4(1)( 2 +

+=

ssssG


45



46



mnzp ii

−

−= ∑∑α

13)1(360180 00

−−+

=l

lφ

090±==lφ13

)1(4−−−−

=α23−

=α


47


s=0 daki kutuplar için bu kutuplar etrafında bir çember çizelim.

-1 noktasındaki sıfırdan ve -4noktasındaki kutuptan olan açılar 0 dır ve orjindeki iki kutuptan olan açılar aynıdır, böylece açı koşulu:

ll0000 360180002 +=+−− φ

ll00 18090 −−=φ

090±=lφ


48


Karakteristik denklem:

S3 : 1 K

S2 : 4 K

S1 : (4K-K)/4

S0 : K


0)4(

11 2 =++

+ss

sK

04 23 =+++ KKsss


49

Adım VI: Katlı köklerin yerleri belirlenir, özellikle reel ekseni ve geliş, ayrılışaçıları belirlenir. İki parçalı kök yer eğrisi 180 derecede bir araya gelir ±90derecede ayrılır. Üç parçalı yer eğrileri 120 derecede bir araya gelir 60 derece dönerek ayrılır.

s=0 ve s=-1.75±0.97j

s=0 kök yer eğrisinin G(s)’in

iki kökünün K=0 da olduğunu gösterir.

1)( += ssb

1=dsdb ss

dsda 83 2 +=

23 4)( sssa +=

Kök yer eğrisi koşulu: 0)(1)( 2 =−−=−dsdba

dsdab

bba

dsd

081134 2323 =+++−− sssss0872 23 =++ sss

0)872( 2 =++ sss

0)1)(4()83)(1( 232 =+−++ sssss


50



51



)12(1)( 2 +

+=

ssssGÖrnek:


52



53


mnl

l −−+

=)1(360180 00

φ

13)1(360180 00

−−+

=l

lφ

090±=lφ

13)1(012

−−−−−

=α211−

=α

mnzp ii

−

−= ∑∑α



54


ll0000 360180002 +=+−− φ

ll00 18090 −−=φ 090±=lφ


55



S3 : 1 K

S2 : 4 K

S1 : (12K-K)/4

S0 : K


0)12(

11 2 =++

+sssK

012 23 =+++ KKsss


56

1)( += ssb

1=dsdb ss

dsda 243 2 +=

23 12)( sssa +=

Adım VI: Katlı köklerin yerleri belirlenir, özellikle reel ekseni ve geliş, ayrılışaçıları belirlenir. İki parçalı kök yer eğrisi 180 derecede bir araya gelir ±90derecede ayrılır. Üç parçalı yer eğrileri 120 derecede bir araya gelir 60 derece dönerek ayrılır. Kök yer eğrisi koşulu: 0)(1)( 2 =−−=−

dsdba

dsdab

bba

dsd

0)243)(1()1)(12( 223 =++++− sssss

31.2,18.5,0 −−=s02415202427312

23

2323

=++

=+++−−

ssssssss


57

Bu kökler kök yer eğrisi üzerinde dolayısıyla katlı kök noktalarıdır. Bunun anlamı kök yer eğrisi üzerinde bu noktalar temas yada kopma noktalarını gösterir. Kök yer eğrisi kolu reel eksenden ayrılamayacağıiçin tek çözüm s=0 noktası kopma, s=-2.31 noktası temas ve s=-5.18noktası kopma noktasıdır.

31.2,18.5,0 −−=s


58


Dikkat edilecek olursa -5,18 kopma noktasından sonra eğri K nınbüyük değerleri olan asimptotuna yaklaşır. Ayrıca kopma ve temas noktaları dik açı ile gerçekleşir.


59



)9(1)( 2 +

+=

ssssG



60


mnl

l −−+

=)1(360180 00

φ

13)1(360180 00

−−+

=l

lφ

090±=lφ13

)1(09−

−−−−=α 4

28

−=−

=α

mnzp ii

−

−= ∑∑α


s=0 noktasında kopma açısı(ayrılıma açısı) 090±=lφ


61



S3 : 1 K

S2 : 4 K

S1 : (9K-K)/4

S0 : K


0)9(

11 2 =++

+ss

sK

09 23 =+++ KKsss


62

1)( += ssb

1=dsdb ss

dsda 183 2 +=

23 9)( sssa +=

Adım VI: Katlı köklerin yerleri belirlenir, özellikle reel ekseni ve geliş, ayrılışaçıları belirlenir. İki parçalı kök yer eğrisi 180 derecede bir araya gelir ±90derecede ayrılır. Üç parçalı yer eğrileri 120 derecede bir araya gelir 60 derece dönerek ayrılır. Kök yer eğrisi koşulu: 0)(1)( 2 =−−=−=

dsdba

dsdab

bba

dsd

0)1)(183()1)(9( 223 =++++− sssss

0182139 2323 =+++−− sssss018122 23 =++ sss

s=0, -3, -3


63

Katlı kökler kök yer eğrisinin üzerinde fakat bu kez türevde katlı kökümüz var. Buda bize üç kökünde aynı noktada olduğunu gösterir.

s=-3 noktasında K>0 için kopma (ayrılma) açısı kuralını uygalayacak olursak;

ll000 3601801803 +=+− φ 00 120,0 ±=depφ

Geliş açısı ayrılış açılarından 60 derece döndürülür.

00 180,60±=arφ


64



65

Üçüncü kutup 0’a yakın olduğunda, s=0 noktasında ±90 ile iki kola ayrılan G(s)=1/s2 nin kök yer eğrisine çok benzemektedir(biraz bozularak). p=9 a kadar bu bozgunluk devam eder ve p=9 için -3noktasında üç katlı temas olur. Kutup -9 dan ileri götürüldüğünde kök yer eğrisi ayrık temas ve kopma noktaları gösterir. İki uçnoktası olan p=1 (sıfırın elendiği) ve p= ∞ (ekstra kutbun etkisiz olduğu) arasında ikinci derece sistemin p=9 noktası geçişnoktasıdır.


66



]4)1)[(2(1)( 2 +++

=sss

sG

Adım II: Reel eksen üzerinde sağında sıfır ve kutup sayısı toplamıtek olan doğruyu çiziniz s=0, -2, -1±2j


67


04)1(360180 00

−−+

=l

lφ

0000 135,45,135,45 −−=lφ

0400112

−+−−−−

=α

1−=αmn

zp ii

−

−= ∑∑α

)1(9045 00 −+= llφ


68


ldep00

421 360180 −−−−−= φφφφ

s= -1+2j deki ayrılış açıları

l000003 360180904.636.116 −−−−−=φ

03 90−=φ

011 6.116)

12(tan =−

= −φ

012 4,63)

12(tan == −φ

04 90=φ


69


Karakteristik denklem: 01094 234 =++++ Ksssss=jw0 için çözümü deneyecek olursak, w0 ı buluruz ve K denklemi sağlar

01094 02

03

04

0 =++−+ Kωωωω

0104 03

0 =+ ωω.58,15,2 0

20 bulunurve == ωω

09 20

40 =+− Kωω

25,164255,2.9 =−=K

Reel ve imajiner kısımları eşitleyecek olursak;


70

58,10 =ω


71

1)( =sb

0=dsdb 1018124 23 +++= sss

dsda

Adım VI: Katlı köklerin yerleri belirlenir, özellikle reel ekseni ve geliş, ayrılışaçıları belirlenir. İki parçalı kök yer eğrisi 180 derecede bir araya gelir ±90derecede ayrılır. Üç parçalı yer eğrileri 120 derecede bir araya gelir 60 derece dönerek ayrılır. Kök yer eğrisi koşulu: 0)(1)( 2 =−−=−

dsdba

dsdab

bba

dsd

sssssa 1094)( 234 +++=

0)1084)(1(1018124 223 =+++=+++ ssssss

Kökler s=-1, ±1,22j


72

Kökler s=-1, ±1,22j


73


Karmaşık katlı kökerimiz var ve kök yer eğrisinin kolları s=-1, ±1,22j bir araya ve 0 ve 180 derecelerde koparlar.


74

Örnek: İçin kök yer eğrisini çiziniz?]25)1.0[(

16)1.0()( 2

2

++++

=ssssG

Adım I: s düzleminde eksenleri çizilir, kökler “x” ie sıfırlar “0” ile işaretlenir.Adım II: Reel eksen üzerinde sağında sıfır ve kutup sayısı toplamıtek olan doğruyu çiziniz

Sıfırlar s=-0.1±3.99j

Kutuplar s=0, -0.1±4.99j


75


mnl

l −−+

=)1(360180 00

φ isizi lg=α

000

18023

)1(360180=

−−+

=l

lφ


0 daki geliş açısı için açı koşulu l0021321 360180 ++=++−−− ψψφφφ

02

03

02

01

90

90

90

90

≅

≅

−≅

≅

ψ

φ

φ

φ Böylece derecedir ve kutup soldan gelir.

1801 =ψ


76

Ayrılış açısıda benze formülle bulunur. Bu kez;

02

01

03

01

90

90

90

90

≅

≅

≅

≅

ψ

ψ

φ

φ

02 180≅φ

olduğundan

Bulunur.


77

Eğriden anlaşılacağı gibi katlı kök ve imajiner ekseni kesen noktalarıbeklemediğimizden beşinci ve altıncı adımları geçerek eğriyi tamalyabiliriz.


78



79

Örnek: İçin kök yer eğrisini çiziniz?]16)1.0[(

25)1.0()( 2

2

++++

=ssssG


-0.1+4j kutbunda ayrılma açımız var

l0021321 360180 ++=++−−− ψψφφφ

03

01

03

01

90

90

90

90

≅

≅

≅

≅

ψ

ψ

φ

φİse 0

2 0≅φ

Sıfırlar s=-0.1±4.99j

Kutuplar s=0, -0.1±3.99j


80

l0021321 360180 ++=++−−− ψψφφφ

02

03

03

01

90

90

90

90

≅

≅

≅

≅

ψ

φ

φ

φ

İse 01 0≅ψ

-0.1+4.99j için geliş açımız


81



001.25)01.162.0()2.0( 23 =+++++ KsKsKs

Bir önceki adımda gördük ki geliş ve ayrılış açıları sağ yarı düzleme doğru. Bu noktada K nın yüksek değerleri için sistemin çoğu zaman kararsız olduğunu görmek mümkün.

KsK

KKKs

KKsKs

01.25:2.0

01.25)2.0)(01.162.0(:

01.252.0:01.162.01:

0

1

2

3

+−++

+

+

Kararlılık çoğunlukla s1 li terimlerin olduğu sıra ile belirlenecek


82

02.396.82.0 2 =+− KKK=44 ve K=0.362

Bu değerler için karakteristik denklemin reel kısmından frekansları bulabiliriz.

KK 01.25)2.0( 20 =+ ω

01.4,99.42.0

01.25=

+=

KKω

Dikkat edilecek olursa imajiner ekseni kesme açık döngü sistemin sıfır ve kutuplarına çok yakın ve 0.362 < K < 44.4 için sistem kararsız.


83



84

Son iki örnek bize eğer kararsız bölgeye yakın kutup ve sıfırlar varsa ayrılma açıları kapalı döngü sistemin karararlılık problemi olup olmadığını gösterdi. Ayrıca eğer kutup ve sıfırları yerlerini değiştirdiğimizde bunun kararlılık üzerinde son derece tesiri olduğunu gördük. Bir önceki örnekte sistemin sıfır kutbuna göre daha düşük frekansta ve kök yer eğrisinin sol yarı düzlemde kaldığınıgördük. Son örneğimizde ise kutup ve sıfırların yerini değiştirdik ve gördük ki nerdeyse K’nın tüm değerleri için sistem kararsız.


85

KÖK YER EĞRİLERİ

TANIMLAR ve NOTLAR

Kök yer eğrisi kol sayısı açık döngü sistemin transfer fonksiyonunun kutup sayısı kadardır.

Tanım: Kök yer eğrisi sistem parametrelerinin değişimi ile Sistem kapalı döngü köklerinin s düzlemindeki yerini gösteren grafiktir.

Kök yer eğrisi reel eksene göre simetriktir.

Kök yer eğrisi sağında kutup ve sıfır sayısı toplamı tek sayıolmalıdır.

Kök yer eğrisi açık döngü sistemin kutuplarında başlar (K=0 dır), sıfırlarında sonlanır (K=∞ dur).


86

Ayrılma Noktası: Reel eksen üzerinde kapalı döngü sistem kutuplarının reel den kompleks’e geçtiği noktadır.(dK/ds=0)

Geliş Açısı: Kompleks eşlenik sıfıra geliş açısıdır ve açı kuralıile hesaplanır.

Tekrar Giriş Noktası: Reel eksen üzerinde kapalı döngüsistem kutuplarının kompleksden reel’e geçtiği noktadır. (dK/ds=0)

Ayrılma Açısı: Kompleks eşlenik kutuptan ayrılma açısıdır ve açı kuralı ile hesaplanır.

lq iidep00 360180 −−−= ∑∑ φψφ

lq iiar00 360180 ++−= ∑∑ ψφφ

Asimptot: Kopmleks kutuplar olduğunda K sonsuza giderken kök yer eğrisi sonsuzdaki sıfırlara doğru bir asimptot boyunca hareket eder.

Documents

http___~cansever_oto_D11-12-13