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Hydrologie und Flussgebietsmanagement

o.Univ.Prof. DI Dr. H.P. Nachtnebel

Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau

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Gliederung der VorlesungStatistische GrundlagenExtremwertstatistikKorrelation und RegressionZeitreihenanalyse und AnwendungRegionalisierung & räumliche InterpolationBodenwasserhaushaltGrundwasserhaushaltNiederschlags-AbflussmodelleKontinuierliche N-A ModelleRetention und Flood RoutingHydrologische VorhersagenFlussgebietsmodelleStofftransportSedimenttransport – ModellierungFlussgebietsmodelle

Statistische Verfahren

Physikalisch basierte Verfahren

Konzeptmodelle

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Def.: Hydrologie und Prozesse

Die Hydrologie ist die Wissenschaft vom Wasser, von seinen Eigenschaften und seinen Erscheinungsformen auf und unter der LandoberflächeDamit verbundene Prozesse

NiederschlagSchnee bzw. EisWasser in Flüssen, Seen und TalsperrenAbfluss und SpeicherungVerdunstungBodenwasserGrundwasser

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Charakteristik der Abflussganglinie

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Abflussganglinie: Donau 1976 – 1988, aus Monatsmittelwerten

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DatenauswertungZeitreihen Ganglinien

• Stetige Variablen Polygon• Mittelwerte und Summen Treppenlinie• x(t) = xT(t) + xP(t) + xR(t)

Häufigkeiten Histogramm• Absolute Häufigkeit Hj

• Relative Häufigkeit hj

Klassenanzahl

Klassenbreite

• 90 % der Werte in 7 Klassen

( )k

xxx minmax −=Δ

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Darstellung Häufigkeit

Wie oft liegen Werte in ∆x?

Verlust des Zeitbezugs

x

H

t

x

∆x1

∆x3∆x2

∆x3∆x1 ∆x2

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Summenlinie einer Zeitreihe

Def.: Aufsummieren der Werte einer GanglinieBeispiel: Ermittlung Abflussfracht

• Abflussfracht als Fläche unter der AbflussGL

Abfluss-fracht

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Dauerlinie einer Zeitreihe

Definition• fortlaufende Aufsummierung der Häufigkeiten• bei äquidistanten Reihen

Ordnung der Größe nachAuf- oder AbsteigendUnter- / Überschreitungsdauerlinie

t

QAÜberschreitungsdauerlinie

Unterschreitungsdauerlinie

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Konstruieren einer Dauerlinie

• Aufsummieren der Häufigkeiten• Hier: Ausgehend vom größten Wert = Überschreitungsdauerlinie• Anwendung

Statistische Behandlung von Abflussgeschehen

Überschreitungsdauerlinie

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Über- / Unterschreitungswahrscheinlichkeit

x

f(x)

x

s

x

F(x)

0

1

Dichtefunktion

Verteilungsfunktion

UnterschreitungsWK ÜberschreitungsWK 230t

QA

QA

t

Dauerlinie

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WahrscheinlichkeitBegriff der Wahrscheinlichkeit nach Laplace

• Beispiel Würfel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau eine Sechs zu würfeln?

Verteilungsfunktion• Zur eindeutigen Festlegung einer Zufallsvariablen

• Durchläuft die Werte 0 bis 1

Dichtefunktion• Anforderungen:

Verteilung F(x) Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)

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Verteilungs- / Dichtefunktion

Dichtefunktion f(x)Gesamtflächeninhalt = 1

Summenhäufigkeit

Verteilungsfunktion P(x)

P(x ≤ c)

P(x ≤ c) = PU = Pc

P(x ≥ c) = PÜ

= 1- Pc

Häufigkeitsverteilung

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Beschreibung von Verteilungen

Durch ParameterLageparameter 1. Ordnung

Dispersionsparameter 2. Ordnung

Asymmetrieparameter höherer Ordnung

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Statistische Parameter

LageparameterArithmetisches MittelMedian ModusQuantile

nx

x i∑=

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Statistische Parameter

x

f(x)

xs

Unterschiedliche StreuungVarianz = s2

Spannweite: xmax-xmin

1)( 2

2

−−

= ∑n

xxs i

Dispersionsparameter:

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Normalverteilung

Symmetrisch2parametrigBeidseitig unbegrenzt

Anwendung:• Jahresnieder-

schlag• Jahres-

temperatur

x

f

∆x

Bestimmung von und s

Abweichung zwischen beobachteten und geschätztem Wert Min

nx

x i∑=1

)( 22

−−

= ∑n

xxs i

x

∑ − 2)( ii BTMin ∆x

Bi

Ti

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Unterschiedliche Datengrundlage

Bei Einzelwerten

Bei Werten in Klassen

Bei Werten in Klassen mit Mittelwerten und Häüfigkeiten

n … Stichprobenumfang

n … Stichprobenumfanghi …relative HäufigkeitXi … Klassenmittel

fi … Häufigkeitenxi … Klassenmittel

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Standardisierung

Parameterfreie VerteilungSchätzung von Bemessungswerten der Variablen x

-1,96 ≤ u ≤ 1,96 95 % aller Werte-2,576 ≤ u ≤ 2,576 99,5 % aller Werte

x

f(x)

x

xx −

sDiv ss

xxu −=

2²

21)(

u

euf−

=π

suxx *)()( αα +=

(Siehe Tabelle S.21)

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Quantile

rel.

Hae

ufig

keit

Dichteverteilung

Häufigkeitsverteilung(Summenhäufigkeit)

Standardisierte Normalverteilung

Dichtefunktion f(u) und Verteilung F(u)

Beispiel: F(u) = 0.99 d.h. W(u‘>u)=0.01liefert u=2.32

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Inverse standardisierte Normalverteilung

0,0010 -3,0902 0,5000 0,00000,0020 -2,8782 0,5500 0,12570,0030 -2,7478 0,6000 0,25330,0040 -2,6521 0,6500 0,38530,0050 -2,5758 0,7000 0,52440,0060 -2,5121 0,7500 0,67450,0070 -2,4573 0,8000 0,84160,0080 -2,4089 0,8500 1,03640,0090 -2,3656 0,9000 1,28160,0100 -2,3263 0,9050 1,31060,0150 -2,1701 0,9100 1,34080,0200 -2,0537 0,9150 1,37220,0250 -1,9600 0,9200 1,40510,0300 -1,8808 0,9250 1,43950,0350 -1,8119 0,9300 1,47580,0400 -1,7507 0,9350 1,51410,0450 -1,6954 0,9400 1,55480,0500 -1,6449 0,9450 1,59820,0550 -1,5982 0,9500 1,64490,0600 -1,5548 0,9550 1,69540,0650 -1,5141 0,9600 1,75070,0700 -1,4758 0,9650 1,81190,0750 -1,4395 0,9700 1,88080,0800 -1,4051 0,9750 1,96000,0850 -1,3722 0,9800 2,05370,0900 -1,3408 0,9850 2,17010,0950 -1,3106 0,9900 2,32630,1000 -1,2816 0,9910 2,36560,1500 -1,0364 0,9920 2,40890,2000 -0,8416 0,9930 2,45730,2500 -0,6745 0,9940 2,51210,3000 -0,5244 0,9950 2,57580,3500 -0,3853 0,9960 2,65210,4000 -0,2533 0,9970 2,74780,4500 -0,1257 0,9980 2,87820,5000 0,0000 0,9990 3,0902

F(u) u F(u) u

∫∞−

=u

duufuF ')'()(

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Anwendung

Starkregen in WienDer mittlere Jahresniederschlag beträgt ca 650 mmDie Streuung 150mmWie gross ist der niederschlag in einem Nassjahr, das ca. in einem Zeitraum von 40 Jahren durchschnittlich einmal auftritt ?

xT= x+u(α)* sx

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Zusammenfassung Statistische Grundlagen

Definitionen der statistischen Grundlagen• Grundgesamtheit / Stichprobe / Wahrscheinlichkeit• Absolute / relative Häufigkeit• Histogramm / Dichte- / Verteilungsfunktion• Summenlinie / Dauerlinie

Verteilungen• Parameter zur Beschreibung• Normalverteilung• Standardisierung

Begriffe• Jährlichkeit • Wiederkehrintervall