Hydrostatics (2) (Hydrostatics-2...c c c c c Ay I x Ay Axy I x :ﻢﯿﻫد راﺮﻗ ار ﺢﻄﺳ ﺰﮐﺮﻣ زا يرﻮﺒﻋ مود نﺎﻤﻣ Iξη ،Ixy يﺎﺟ ﻪﺑ

Hydrostatics (2)

Mohsen SoltanpourEmail: [email protected]

URL: http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/

برشی، تنش وجود عدم بدلیل ور غوطه سطوح بر وارد نیروي برآیند .باشد می آن بر عمود

فشار از ناشی فشار نیروي

:با است برابر )atmP( یکنواخت

نیروي هیدرواستاتیک وارد بر سطوح مسطح غوطه ور در سیال غیر قابل تراکم ساکن

(Static incompressible submerged fluid):

جزء سطحی اختیاري

واقع بر سطح جسم

Patm

APdAPdAP atmA

atmA

atm

فشار آوردن بدست براي را dA نوار سیال، هیدرواستاتیک

تمام هک می کنیم انتخاب شکلی به داشته یکسانی عمق آن نقاط

.باشند

:dAجزء نیروي وارد بر . می باشد γhدر این حالت فشار وارد بر تمام نقاط یکنواخت و برابر hdAdF

http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/

A:بنابر این کل نیروي وارد بر سطح

AAA

R ydAdAhdFF sin)(

cAy=ها xممان استاتیک سطح حول محور

APAhAyF cccR sin

. به تمام صفحه اثر می کند) فشار در مرکز سطح(cPبنابراین می توانیم فرض کنیم فشار یکنواختی برابر

dA


ydAhyFA

R )('

dF

dMx

:ها را در نظر می گیریمx، لنگر توزیع فشار نسبت به محور )RF )’yبراي بدست آوردن محل اثر نیروي برآیند

c

c

c

c

Ay

Iy

Ay

IAyy

2

'

2 عبارت xxI جاي به اگرcAy+ξξI که دهیم قرار را ξξI محور حول سطح دوم ممان ξموازات به سطح مرکز از عبوري

:می باشد هاx محور

cyy '

A

c ydAyAyh sin'

A

c dAyAyy 2sin'sin

c

xx

Ay

Iy '

xxc IAyy sin'sin

. ها استxممان دوم سطح حول محور xxIکه در آن

Center( فشار مرکز ور غوطه سطح بر وارد برآیند نیروي اثر نقطه of pressure( همواره فشار مرکز .می شود نامیده :می گیرد قرار سطح مرکز زیر

0cAy

I


c

c

c

cc

Ay

Ix

Ay

IyAxx

'

: ممان دوم عبوري از مرکز سطح را قرار دهیم xyI ،ξηIاگر به جاي

xdAyxFA

R )sin(' dF

dMx

A

c xydAxAy sin')sin(

c

xy

Ay

Ix 'xyc IAxy '

. است yو xدستگاه نسبت به محورهاي ) Product of inertia(حاصل ضرب اینرسی xyIکه در آن

ξ و η که آنجایی از .می باشند آزاد سطح و صفحه اثر خط بر عمود و موازي ترتیب به ξηI منفی یا مثبت تواند می تقارن محور η و ξ محورهاي از یکی چنانچه .بگیرد قرار است ممکن cx=x خط طرف دو هر در فشار مرکز باشد،

.می گیرد قرار cx=x خط روي بر فشار مرکز و شده صفر ξηI باشد، سطح

را ها y محور به نسبت فشار توزیع لنگر و RF برآیند نیروي لنگر ها، y محور از فشار مرکز فاصله ،x’ محاسبه براي :گیریم می نظر در

) x,y(جزء سطح متناظر با نقطه



: مرکز سطح و ممان اینرسی سطوح مسطح

(Pressure prism): منشور فشار

فشار نشورم از استفاده آن اثر محل و برآیند نیروي تعیین غوطه ور مسطح سطوح بر وارد نیروي مسئله حل دیگر روش هرابط با ارتفاعش و بوده فشار اعمال صاف سطح اش قاعده که است شکلی منشوري حجم منشور این .می باشد

P=γh می آید بدست )h می باشد مایع فرضی یا واقعی آزاد سطح تا عمودي فاصله(.

1h

2h

h

1h2h h

dA

dVhdAdF

: dAجزء نیروي وارد بر

ارده بنابراین کل نیروي و. که یک عنصر حجم از منشور فشار می باشد

:برابر است با حجم منشور فشار) برآیند فشار اعمال شده به سطح(

VdVFV

:از مرکز حجم منشور فشار می گذرد Fنیروي

V

P

V

P

ydVV

y

xdVV

x

1

1


مستطیل سطح در مثال .می باشد گیري انتگرال روش از مناسبتر بسیار فشار منشور روش ساده شکلهاي بعضی در

:است )شکل گوه اي( گوش سه فشار منشور است، مایع آزاد سطح بر منطبق آن فوقانی ضلع که شکلی

h a

b

h

2)(

21 hab

bahVF

x'y

3

2

62)2

(

121

2

'

2)(

2

3aaa

aab

baa

Ay

Iyy

hababhAPF

c

c

c

3

2'

ay

:با استفاده از روش منشور فشار

)قاعده قرار دارد 1/3مرکز حجم در (

:با استفاده از روابط قبل

F


(Equivalent height): ارتفاع معادل سیال

منظور نبدی .نمود جایگزین سیال ارتفاع فرضی افزایش با توان می را سیال سطح بر وارد یکنواخت فشار تاثیر

:گردد اعمال سیال سطح در یکسانی فشار که شود انتخاب اي گونه به معادل ارتفاع کافیست

2h

1h2h

atmP

2h

1h

2h

atmP

atmP

1h

atm

e

Ph

1h)( 1 ehh

)( 2 ehh

ارائه سیال طرف از وارده نیروي اثر محل و مقدار تعیین در ساده تري حل راه گاهی معادل ارتفاع روش از استفاده

.می دهد

1h

2h

یا


atmPatmP

در روش این از استفاده و شود تعیین روش بدین می تواند سیال تراز از تر پایین در صرفا فشار توزیع که است واضح

:است اشتباه سیال تراز از باالتر

.توزیع فشار در باالتر از تراز آب غلط است

atm

e

Ph

فشار صحیح


:نیروي هیدرواستاتیک وارد بر سطوح منحنی غوطه ور

(Hydrostatic force on curved submerged surfaces)

ر نیروي وارد بر المان عمود بر سطح آن المان بوده و براب

:است با

ApdFd

ndAAd

طبق قرارداد به طرف خارج(که در آن همراستا با

:است) صرفنظر از تقعر یا تحدب آن -پوستهAd

n

: با ضرب داخلی طرفین در بردار i

xx pdAdF

iApdiFd

..

.باشد می yz سطح روي بر dA المان تصویر xdA آن در که عمود دیگر صفحه هر یا( yz صفحه روي بر گیري انتگرال با:)هاx محور بر

xA

xx pdAF


yA

yy pdAF

عمود آزاد طحس بر که وري غوطه مسطح صفحه به وارده نیروي تعیین به منحنی سطح بر وارد نیروي مسئله بنابراین

:مشابه شکل به .شود می منجر است

ها مولفه نای .آورد بدست ور غوطه مسطح سطوح به مربوط روشهاي با می توان را برآیند نیروي مولفه دو ترتیب بدین رب وارد نیروهاي اثر محل و مقدار با مورب سطح بر وارده افقی نیروهاي اثر محل و مقدار( هستند موازي آزاد سطح با

.)یکسانست - مسطح سطوح - راستا دو در مورب سطح تصاویر

گردندمی تعیین روش همین به بسادگی نیز شکل منحنی سطوح بر وارد جو فشار از ناشی قائم و افقی نیروهاي

)atmPP=( صفحات روي بر شکل منحنی سطح تصویر کافیست تنها و yz، xz یا xy شود گرفته نظر در: *

zatm

A

zatmz

yatm

A

yatmy

xatm

A

xatmx

ApdApF

ApdApF

ApdApF

z

y

x


:براي تعیین مولفه عمود بر سطح آزاد

ApdFd

z

z

zz

z

z

zz

dAdzdAdz

pdAdF

kApdkFd

00

'')(

..

سیال از کوچکی المان وزن آن در که تا المان روي از سیال ستون داخل که است

.دارد ادامه آزاد سطح

zdzdA

سیال کل وزن برابر zF سطح، تمام روي بر zdF گیري انتگرال از .است صادق نیز پذیر تراکم سیال در فوق رابطه .آید می بدست منحنی سطح روي

نیرویی )جسم یک فوقانی بخش( است مثبت آن zdA تصویر که منحنی سطح یک به که دهد می نشان منفی عالمت .شود می وارد )پایین طرف به( z محور خالف جهت در

: ثابت γبا فرض

zA

zz pdAF

VdVdAzzdAzzVA

z

A

z

zz

)'()'( 00

z-0z’و ارتفاع zdAمنشوري با قاعده حجم مایع باالي سطح

منحنی غوطه ور


بدست z و x محورهاي حول )zdA با متناظر( جزئی قائم هاي مولفه گشتاور دادن قرار مساوي با قائم، مولفه اثر خط:آید می

در .ندک می عبور واقعی یا فرضی آزاد سطح تا منحنی سطح روي سیال حجم مرکز از قائم نیروي اثر خط بنابراین اشدب برخوردار منحنی سطح با تماس در مایع مخصوص وزن همان از باید فرضی مایع ذهنی، آزاد سطح یک ساختن

.باشد صحیح سطح روي فشار توزیع تا

نیروهاي ندبرآی دیگر عبارت به .کنند نمی تالقی نقطه یک در لزوما قائم نیروي و افقی نیروهاي مولفه سه اثر خط.ردک استفاده آزاد سطح با موازي و قائم هاي مولفه از توان می عملی مسائل در .نیست منفردي نیروي لزوما وارده

اثر خط یر،پذ تراکم سیال در .است معتبر سیالی هر در و نبوده تراکم قابل غیر سیاالت به محدود بخش این نتایج

.گذرد می منحنی سطح باالي سیال )ثابت ثقل شتاب فرض با جرم مرکز یا( ثقل مرکز از قائم نیروي

V

z

V

z

dVyyF

dVxxF

V

ydV

V

ydV

F

ydV

y

V

xdV

V

xdV

F

xdV

x

VV

z

V

VV

z

V

)yلنگرگیري حول محور (

) zلنگرگیري حول محور(


(Buoyant force): نیروي شناوري

یستاا سیال توسط جسم یک بر شده اعمال آیند بر نیروي نیروي باشد، می شناور آن روي یا ور غوطه آن در جسم که

.شود می نامیده شناوري

ور هغوط ناحیه یا ور غوطه جسم قائم تصویر که آنجایی از شناوري نیروي است، صفر همواره مایع در شناور جسم

.ندارد افقی مولفه و بوده باال سمت به همواره

F↓

F↑

FB

به توجه با اام باشند، می استفاده قابل منحنی یا مستقیم سطوح بر وارد نیروهاي به مربوط روابط شناوري مسائل در .نمود ارائه تري ساده روابط توان می شناور یا ور غوطه کامال جسم شرایط

:دو حالت زیر در نظر گرفته می شوند

.جسم به طور کامل در سیال غوطه ور است -1

. جسم در سطح مشترك دو سیال غیر محلول قرار دارد -2


: تقسیم می کنیم ALBتحتانی و AUBجسم کامال غوطه ور در آب را به دو بخش فوقانی

به سیال از ستونی وزن( zdAuP آن باالي بر وارد قائم نیروي بگیریم، نظر در را zdA مقطع سطح با قائمی ستون اگر .باشد می )آزاد سطح تا المان روي ارتفاع و zdA مقطع سطح

بنابراین .تاس برابر یابد می ادامه آزاد سطح تا المان کف از که سیال از فرضی ستونی فشار با ستون پایین LP فشار آن ارتفاع و مقطع که GH سیال ستون وزن با است برابر zdALP تحتانی نیروي و zdAuP فوقانی نیروي بین اختالف

جسم دهباالبرن خالص نیروي ور، غوطه جسم داخل ستونهاي تمام گرفتن نظر در با .است برابر جسم داخل ستون باArchimedes ارشمیدس، اصل( شده جابجا سیال وزن با است برابر principle(. محدودیتی ارشمیدس اصل در .ندارد وجود پذیري تراکم براي


hD

:دبه طریق مشابه در اجسام شناور نیز نیروي باالبرنده برابر با وزن سیال جابجا شده می باش

A G

B

D

C

EF

)(

)]()([)(

GBCDFW

DEFWABGWABCDEWFZ

نیروي شناوري

BCD نیروي وارد برBG نیروي وارد بر

FD نیروي وارد بر

(Center of buoyancy): مرکز شناوري

:لدر شکل اسالید قب. مرکز شناوري نقطه اي از فضا است که نیروي شناوري در آن اثر می کند

ZULB dAPPdF )(

:یریماگر سیال تراکم ناپذیر را در نظر بگ. که در سیال تراکم پذیر و تراکم ناپذیر صحیح است

ZZB hdAdAhDDdF ])([(


VhdAF:با انتگرال گیري بر روي کل جسم ZB

حول لنگرگیري با .)است ناپذیر تراکم سیال در ارشمیدس اصل اثبات رابطه این( است ور غوطه جسم حجم V که

:ها y محور

V

V

ZB

xdVVx

xdVxhdAFx

'

'

V

xdV

x V

'

V

ydV

y V

' :ها xبه طریق مشابه با لنگرگیري حول محور

سمج توسط شده جابجا حجم حجم مرکز از تراکم قابل غیر سیال در واقع جسم بر وارده شناوري نیروي بنابراین در ثقل شتاب کردن فرض ثابت با جرم مرکز یا( شده جابجا سیال ثقل مرکز باید پذیر تراکم سیاالت در .می گذرد

.شود گرفته نظر در )ور غوطه جسم ارتفاع محدوده


واي روي مثال جسم شناور در آب با در نظر گرفتن ه(در حالتی که جسم در مرز بین دو سیال محلول قرار داشته باشد

):آب

)()(12 BWAWdFdF ba

A از سیال aوزن ستون B از سیال bوزن ستون

زنو که صورتی در .بود خواهد شده جابجا سیال دو وزن برابر شناوري نیروي جسم کل روي بر گیري انتگرال با.*کند نمی عبور شده جابجا سیال حجم مرکز از لزوما شناوري مرکز باشد متفاوت سیال دو مخصوص

را شناوري مرکز و کرده صرفنظر هوا تاثیر از توان می کشتیرانی مباحث در هوا، ناچیز مخصوص وزن به توجه با

.گرفت نظر در شده جابجا سیال حجم مرکز بر منطبقhttp://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/

(Hydrometer): هیدرومتر

نیروي که آنجایی از .می رود بکار سیاالت مخصوص وزن تعیین براي شناوري قانون از استفاده با که است ابزاري سیال رد هیدرومتر فروروي میزان هیدرومتر، وزن بودن ثابت به توجه با و است سیال مخصوص وزن از تابعی شناوري

:باشد می سیال مخصوص وزن از تابعی

)( ffh


fsubmergedhydrometer VW

)(

)(

hV

hV

submergedf

submergedf

وصمخص وزن می توان قائم راستاي کردن مدرج با بنابراین

:آورد بدست را سیال

(Hydrometer): پایداري اجسام شناور و غوطه ور

آن رد بازگردانده اي نیروي شود، اعمال آن به خطی کوچک مکان تغییر گاه هر که است خطی پایداري داراي جسمی پایداري یستاا مایع در شناور جسم یک مثال .باشد داشته اولیه اش موقعیت به جسم بازگرداندن به تمایل که شود ایجاد

.دارد قائم

(Unstable) ناپایدار

:یک جسم ممکن است بطور پایدار، ناپایدار و یا خنثی در سیال شناور باشد

کز مرکز ثقل باالتر از مر.شناوري قرار دارد

ز مرکز ثقل پایینتر ا.مرکز شناوري قرار دارد

مرکز ثقل و مرکز شناوري.بر هم منطبق هستند


اما )بالونها المث( کافیست غوطه ور اجسام بودن پایدار براي شناوري مرکز به نسبت جسم ثقل مرکز بودن پایین شرط

.*نیست )الزم( ضروري سیاالت مشترك مرز در شناور اجسام پایداري براي

BF

W

BF BF

W

اثر در اینکه بدلیل شناوري مرکز به نسبت ثقل مرکز بودن باالتر وجود با شود می مالحظه زیر شکل در که همانگونه بر هاولی وضعیت به را جسم و بوده دارنده باز شده ایجاد گشتاور ،می دهد مکان تغییر شناوري مرکز جسم چرخش

.می گرداند

باعث و هشد جابجا سیال زیادي مقدار غلطیدن اثر در زیرا هستند پایداري بسیار اشکال عریض مستطیلی مقاطع ایجاد بزرگی انسبت برگرداننده گشتاور و بدهد شده کج قسمت سمت به زیادي مکان تغییر شناوري مرکز که می شود

.شود

حرکت در جهت خالف عقربه هاي ساعت گشتاور برگرداننده اي در جهت عقربه هاي ساعت ایجاد

.می کند

BF

W

BF

Whttp://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/

منتقل ’B به B از شناوري مرکز .می گیریم نظر در هاy تقارن محور حول را ∆ کوچک دوران شکل مطابق .می شود

در شده جابجا آب حجم کاهش بدلیل و∆F باالبرنده نیروي چپ سمت شده جابجا حجم افزایش اثر در کشتی دوران .می باشد C نیرو زوج این از حاصل لنگر .شود می ایجاد∆F پایین به رو نیروي راست سمت


: می باشد Cو BFحاصل جمع تاثیر ) وارد بر مرکز شناوري جدید( BF’نیروي

'BF

W

BF

W

'BB FF

W

≡ ≡

F F

'BCFB

0CFB

W

C

F

C

B

)( ' WFF BB

اما

sin

MBو یاMB

sin

)(

)(

نیروي و شناوري نیروي ،) ( گیرد قرار G نقطه باالي در شود می تعیین فوق شکل به که M نقطه اگر گشتاور اشد،ب بزرگتر چه هر ضمنا .است پایدار کشتی دیگر عبارت به و کنند می ایجاد بازدارنده اي گشتاور وزن

.است پایدارتر کشتی و بوده بزرگتر شده ایجاد

شود واقع G روي M اگر .می شود نامیده)Metacentric( متاسنتریک ارتفاع و بوده پایداري براي معیاري .بود خواهد ناپایدار وضعیت باشد آن زیر اگر و خنثی تعادلMG

MG

GBMB


'B

B

:محاسبه شود Cباید MGبراي تعیین لنگر

dAxdV )( جزء حجمdAxdVdf

......

22

sfsfsf A

yy

AA

IdAxdAxxdfC

ممان دوم سطح حول

(free surface)مقطع بدنه کشتی در امتداد سطح آزاد ها yمحور

):I(با توجه به معادله yyIC

W

C W

I yy

):II(با در نظر گرفتن معادله

sinsin W

IMB

yy

):کوچک ∆در (و یا W

IMB

yy

**:برابر است باارتفاع متاسنتریک نمایش دهیم، lرا با اگر فاصله

lW

IlMBMG

yy

0

0

0

MG

MG

MG پایدارتعادل

خنثیتعادل

ناپایدارتعادل

BG


*

Hendijan (1385)

Morro Bay, California (December 4, 2007)



(Translation and Rotation of fluids): انتقال و دوران سیاالت

یکنواخت سرعت اب انتقال هنگام سیال .است ساده فشار تغییرات محاسبه برشی، تنش نبودن بدلیل ایستا سیاالت در یکدیگر به بتنس ذرات دارد، ثابتی شتاب سیال که زمانی همچنین .دارد قرار استاتیک فشار تغییرات قوانین تحت نیز

.گردد نمی ایجاد برشی تنش و )سیال گونه صلب حرکت( نداشته نسبی حرکت

شتاب خطی یکنواخت

P

خطوط هم فشار

0=gP

فرض می کنیم به مایعی که درون

a ظرفی باز قرار دارد شتاب یکنواخت: اعمال شود) xzدر صفحه (

P

a

k

: وتنبا استفاده از معادله اصلی حرکت یا قانون دوم نی

akPfd

x

z

)()( kaiag

kkz

Pj

y

Pi

x

Pzx

a

xa

za


)1(

0

g

a

z

P

y

P

agx

P

z

x

dzg

adxa

g

dzz

Pdy

y

Pdx

x

PdP

zx )1(

فشار حقیقی یا 0P( با انتگرال گیري براي سیاالت غیر قابل تراکم : *)موهومی در مبدا

0)1(),( Pzg

axa

gzxP z

x

: ه شودبراي بدست آوردن معادله تراز آزاد آب کافیست فشار برابر صفر قرار داد

0)1( 0 Pzg

axa

gz

x

z

x

z

x

ag

a

g

a

ag

dx

dz

)1(

شروع آن از استفاده با مسائل حل است ساده تر است ظرف شکل از مستقل آزاد سطح شیب رابطه اینکه به توجه با

.شودhttp://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/

دوران حول یک محور قائم

منحنیهاي

هم فشار

0=gP در دوران سیال با سرعت زاویه اي ثابت ب حول یک محور قائم نیز سیال حرکت صل

ه اي گونه داشته و تنش برشی در هیچ نقط از سیال ایجاد نمی گردد و در این وضعیت

و) به سمت محور دوران(شتاب جانب مرکز

. شتاب ثقل وجود دارند

P

a

k

): تنقانون دوم نیو(با استفاده از معادله اصلی حرکت

r

z

irkkz

Pj

y

Pi

r

P 2)(

1h

g

r

2

22

r

o1r

1z11 zh

g

r

2

21

2

، هر جزء از سیال داراي شتابی شعاعی به ωبا فرض سرعت زاویه اي :سمت محور دوران و متناسب با شعاع دوران می باشد

ira 2

akPfd

.می باشد) جهت مماس(ها yبردار واحد در جهت محور که در آن j


z

P

y

P

rgr

P

0

2

dzrdrg

dzz

Pdy

y

Pdr

r

PdP

2

فشار حقیقی یا 0P( با انتگرال گیري براي سیاالت غیر قابل تراکم o :(0موهومی در مبدا

22

2),( Pz

g

rzrP

: داده شود 1hاگر تراز آب در محور دوران با نشان

1

0

hz

r

0P

010 Ph

و یا10 hP

)2

(

2),(

1

22

1

22

hzg

r

hzg

rzrP

*),zr(ارتفاع سیال واقعی یا موهومی باالي نقطه


صمخصو وزن در موهومی یا واقعی آب تراز ضرب از توان می فشار رابطه از استفاده بجاي حالت این در بنابراین

**.کرد استفاده نیز مایع

: براي بدست آوردن معادله تراز آزاد آب

1

22

2)( h

g

rrz

استوانه یک در .دارد قرار =1hz در دوران محور روي بر آن راس که است سهموي یک آزاد سطح معادله بنابراین 0h را دوران از قبل مایع اولیه ارتفاع اگر .نمود ارائه استوانه داخل جرم بقاي به توجه با صریحی روابط می توان دوار

:کنیم فرض

r

z

0h1h

0r

g

r

2

20

2

dr

z

0

0

020 )2(

r

zdrrhr

g

rrh

g

rrh

drg

rhr

r

r

4

822

)2

)(2(

40

2201

0

422

1

0

22

1

0

0

: 1hحجم زیر سطح سهموي و باالي *

0rو شعاع 1hحجم استوانه اي به ارتفاع


0)2

(),( 1

22

hzg

rzrP

)22

1(

20

220

g

rr

])(5.0[2

)( 2

0

2

02

0r

r

g

rhrz

:بنابراین

g

rrhhr

4

40

22010

20

و یا

g

rhh

4

20

2

10

g

r

22

1 20

2

*.از وسط ارتفاع سهمی می گذرد 0hیعنی

g

rhz

2

22

1

g

r

g

rh

24

2220

2

0

این که شود توجه .دهد می نشان دوار درحرکت ار 0h اولیه ارتفاع و 0r شعاع به استوانه اي آزاد سطح معادله رابطه این.نیست صادق ظرف بودن بسته سر یا مایع سرریزي درصورت معادله


Documents

Hydrostatics (2) (Hydrostatics-2...c c c c c Ay I x Ay Axy I x :ﻢﯿﻫد راﺮﻗ ار ﺢﻄﺳ ﺰﮐﺮﻣ زا يرﻮﺒﻋ مود نﺎﻤﻣ Iξη ،Ixy يﺎﺟ ﻪﺑ